10Cap9-Asentamientos

7/26/2019 10Cap9-Asentamientos

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Captulo 9Asentamientos

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Problemas resueltos de mecnica de suelos

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CAPITULO NUEVE

Asentamientos

9.1. Introduccin.

El asentamiento en las fundaciones superficiales est compuesto por tres componentes, elasentamiento inmediato (Si), el asentamiento por consolidacin primaria (Sc) y elasentamiento por consolidacin secundaria (Ss). El clculo del asentamiento inmediato engeneral se basa en la teora elstica. Los otros dos componentes de asentamiento resultan dela expulsin gradual de agua y del reordenamiento de partculas bajo carga constante,respectivamente. La importancia relativa de los componentes de asentamiento segn el tipode suelo, es presentada en la Tabla.

Tipo de suelo S i S c S s

Arena Si No NoArcilla Relativa Si RelativaSuelo orgnico Relativa Relativa Si

Asentamiento inmediato. Es estimado a partir de los parmetros elsticos del suelo. Parasuelos predominantemente cohesivos, esta teora es buena, debido a que se asumencondiciones de homogeneidad e isotropa no tan alejadas de la realidad. Como datos para elclculo, se requieren el mdulo de elasticidad no drenadoEUy el coeficiente de Poisson.Por otro lado, para la estimacin del asentamiento inmediato de suelos granulares sincohesin, se recomienda utilizar los mtodos semi empricos en los que s se toma en cuentala variacin de los parmetros elsticos, como por ejemplo el mtodo de Schmertmann.

Asentamiento por consolidacin primaria.El asentamiento por consolidacin es propio desuelos saturados cohesivos o de baja permeabilidad sujetos a un incremento en el esfuerzoefectivo que se traduce en un incremento en la presin de poros. Si bien el agua y laspartculas de suelo son virtualmente incompresibles, el cambio de volumen en la masa desuelo se debe a la expulsin gradual del agua de los poros. Para predecir el asentamiento porconsolidacin, es necesario conocer las propiedades esfuerzo deformacin en una masa desuelo. Para esto, se desarrolla una prueba de laboratorio denominada consolidacinunidimensional (prueba del edmetro), en la cual la muestra puede deformarse solamente endireccin vertical. La deformacin horizontal es impedida.Las ecuaciones para la estimacin del asentamiento por consolidacin primaria a partir de losparmetros obtenidos en laboratorio, son presentadas en el Anexo I.

De forma meramente casual, el mtodo de consolidacin primaria unidimensional resultamuy acertado para la estimacin del asentamiento total (Si + Sc). Para arcillas rgidas elasentamiento total es igual al asentamiento edomtrico (total = edmetro). Para arcillas blandasel asentamiento total es igual a 1,1 veces el asentamiento edomtrico (total = 1,1 x edmetro).Finalmente, en cuanto a la estimacin del tiempo de consolidacin, el Anexo I presenta lasecuaciones y tablas basadas en la teora de consolidacin unidimensional de Terzaghi.

Asentamiento por consolidacin secundaria.A diferencia de la consolidacin primaria, elproceso de consolidacin secundaria no contempla la expulsin de agua de los poros, sinoms bien se refiere a la reorientacin, fluencia y descomposicin de materiales orgnicos enel suelo por lo que tampoco es preponderante un cambio en el esfuerzo efectivo para sudesarrollo. Las ecuaciones para su estimacin son presentadas en el Anexo I.


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9.2. Problemas resueltos.

PROBLEMA 1

La estratigrafa de un terreno est formada por 5 m de arcilla normalmente consolidada, todoello sobre un macizo rocoso compuesto de arenisca de permeabilidad alta. El nivel fretico sehalla a 2 m de la superficie del terreno (Figura 9.1). El peso unitario saturado de la arcilla es21 kN/m3.

Con una muestra inalterada obtenida a 2,5 m de profundidad se realiz un ensayo deconsolidacin, habindose alcanzado los siguientes resultados:

ndice de vacos inicial = 0,58ndice de compresibilidad = 0,11

Coeficiente de consolidacin = 0,20 m2

/ao ( parmetro correspondiente al rango depresiones al que estar sometido el suelo)

En la superficie del terreno se proyecta construir un tanque de almacenamiento decombustible de 5m de dimetro, mismo que ejerce una presin vertical sobre el suelo de 143kN/m2. Este tanque duplicar la presin vertical efectiva que existe en la arcilla actualmente.

5

eo=0,58cc=0,11cv=0,2 m /ao2

Arcilla N.C.

Macizo rocoso muy fracturado

Figura 9.2. Carga sobre el suelo.

Se requiere:

a) Calcular el asentamiento.

b) Qu tiempo en aos ser necesario para alcanzar el 50 % del asentamiento en la capa dearcilla?


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Solucin .

aa)) Calcular el asentamiento.

El asentamiento debido a la consolidacin de la arcilla NC es calculado, por la ecuacin:

+

+=

o

pro

o

ccC

p

pp

e

HcS log

1

Reemplazando los valores se tiene que:

( ) mmSC 422log58,01

)2000)(11,0(

=+=

Este valor resulta ser el asentamiento por consolidacin del ensayo del edmetro (ensayo deconsolidacin), o sea:

mmoedSC 42)( =

ste debe ser corregido por factores empricos para obtener el asentamiento porconsolidacin real. En este caso se puede emplear el criterio de Skempton & Bjerrum (Tabla9.2) para arcillas suaves normalmente consolidadas, segn el cual el valor del factorcorreccin es de 1

)(oedSS CC=

Entonces:

SC= 42 mm

El asentamiento inmediato producido en la arena puede ser calculado segn la ecuacin E-3propuesta porHarr(en este caso para fundaciones flexibles). Para el ejemplo, B= 5 m,ES=25 MN/m2,S= 0,3. El coeficiente avse puede obtener de la Figura E,1 del Anexo E.

b) Tiempo en aos para alcanzar el 50 % del asentamiento en la capa de arcilla.

El esfuerzo vertical efectivo inicial en el punto medio de la arcilla, empleando un valor parael peso unitario del agua de 10 kN/m3.

o= (2)(18) + (1)(20) + (1)(21)(2)(10)

o= 57 kN/m2


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Entonces, el incremento de esfuerzo promedio efectivo en ese punto es igual a

pav= 57 kN/m2

A continuacin se procede a estimar la carga neta en la superficie mediante un procesoinverso utilizando la ecuacin de incremento de esfuerzo por debajo de una fundacincircular flexible.

( )[ ]

+

=

2

322/1

11

zB

qp o

Para B = 5 m y z = 3 m, 4 m, 5 m se obtiene que:

( )( ) ( )( ) ( )( )

+

+

+

+

+

=

2

322

322

32

52

51

11

42

51

114

32

51

11

6o

av

qp

57 = qo (0,399)

Por lo que la carga neta a nivel de fundacin es:

qo= 143 kN/m2

Como las hiptesis deHarr H = no se cumple, se deben hacer correcciones mediante loscoeficientes F1y F2. Estos coeficientes se pueden obtener de las figuras E.2 y E.3 del AnexoE.

Para:

=

=

1

6,0

BL

BH

075,0

08,0

2

1

=

=

F

F

Finalmente se tomar la ecuacin E-4 del Anexo E.

( )( ) ( )[ ]2212 21112

FFEs

qBS ssss

oi +=

( ) ( ) ( )[ ])075,0()3,0(23,01)08,0(3,013,0125000

)143)(5( 222 +=iS

Si= 0,00291 m = 3,0 mm


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El asentamiento calculado corresponde al asentamiento en la parte central del tanque.

Empleando la Tabla E.1 del Anexo E, para un grado de consolidacin del 50 %, se obtiene

que el factor del tiempo correspondiente a un 50% de consolidacin es:

Tv= 0,197Mediante la ecuacin E-14 del anexo E, se sabe que:

v

drv

c

HTt

2=

Para el ejemplo, cv= 0,20 m2/ao,Hdr= 1 m (doble drenaje), ya que el agua de los poros en laarcilla ser expulsada hacia el estrato superior de arena y hacia la base rocosa fracturada,

20,0 )1()197,0(

2

=t

t 1 ao

Finalmente, se concluye que al cabo de un ao (50% de consolidacin) el asentamientomximo de la fundacin ser:

St(42)(0,50) + 2,0

St= 23 mm


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PROBLEMA 2

Se planea construir un edificio de hormign armado de 10 niveles (incluyendo stano). La

presin aplicada al terreno por nivel es de 10 kN/m2. La fundacin de la estructura consistede una losa rectangular flexible de 10 m de ancho y 20 m de largo, apoyada a 4 m deprofundidad. La estratigrafa del terreno consiste de 8 m de arcilla sobre - consolidada quedescansa sobre roca impermeable (Figura 9.3). Los parmetros obtenidos del estudiogeotcnico son los siguientes:

Profundidad del nivel fretico respecto a la superficie del terreno = 1 mPeso unitario de la arcilla = 19 kN/m3Coeficiente de compresibilidad volumtrica = 0,14 m2/MNCoeficiente de consolidacin = 10 m2/ao(Estos dos ltimos parmetros corresponden al rango de presiones al que ser

sometido el suelo).

Se requiere:

a) Calcular el asentamiento total del punto central de la losa de fundacin, en mmb) Calcular el asentamiento total en una de las esquinas de la losa de fundacin, en mm.c) Calcular la magnitud del asentamiento diferencial producido entre el punto central y la

esquina de la losa.d) Suponiendo en principio un exceso de presin de poros uniforme (uo constante), y una

longitud o trayectoria de drenaje de 4 m, estimar el tiempo en aos que ser necesariopara alcanzar el 90% del asentamiento total.

Figura 9.3. Edificio en estrato de suelo.

Solucin.

a) Calcular el asentamiento total del punto central de la losa de fundacin

El edificio tiene 10 plantas, por lo tanto la carga bruta es:

q= (10)(10) = 100 kN/m2


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La carga neta a nivel de fundacin es:

fon Dqqqq == ''

Para = 19 kN/m3y una profundidad de fundacin Df= 4 m, se tiene:

qn= 100 (4)(19) = 24 kN/m2

Para el caso de una fundacin flexible se puede emplear la ecuacin D-7 del Anexo D

p= qI3

En este caso q= 24 kN/m2y el factor I3puede ser determinado de la Tabla D.4 del Anexo D.

Para determinar el asentamiento del centro de la losa, se analiza la cuarta parte delrectngulo.

L= 20 / 2 = 10 m,B= 10 / 2 = 5 m, z = 2 m

De este modo se obtiene que el esfuerzo vertical por debajo de la esquina es:

p= 5,85 kN/m2

Entonces, el incremento de esfuerzo vertical en el centro de la fundacin

p= (4)(5,85) = 23,4 kN/m2

Ahora, para hallar el asentamiento de consolidacin del ensayo del edmetro se tiene que:

c(oed) = mv'H

c(oed) = (0,00014)(23,4)(4)

c(oed) = 0,0131 m = 13 mm

Valor que debe ser corregido para obtener el asentamiento total de la arcilla. En este caso sepuede emplear el criterio deBurlandpara arcillas rgidas sobreconsolidadas, segn el cual,

Stotal= Sc(oed) = c(oed)

Entonces:

Stotal= 13 mm

b) Calcular el asentamiento total en una de las esquinas de la losa de fundacin.

En este caso q= 24 kN/m2y el factor I3puede ser determinado de la Tabla D.4 del Anexo D.Para determinar el asentamiento de la esquina de la losa, se analiza toda la losa.

L= 20 m,B = 10 m,z= 2 m


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De este modo se obtiene que el esfuerzo vertical por debajo de la esquina es:

p= 5,98 kN/m2

El asentamiento de consolidacin del ensayo del edmetro

c(oed) = mvH

c(oed) = (0,00014)(5,98)(4)

c(oed) = 0,0033 m = 3,3 mm

Valor que se corrige para obtener el asentamiento total de la arcilla. En este caso se emplearel criterio deBurlandpara arcillas rgidas sobreconsolidadas, segn el cual:

Stotal= Sc(oed) = c(oed)

Entonces:

Stotal= 3,3 mm

c)Se pide encontrar el asentamiento diferencial entre los puntos previamente analizados.Asentamiento diferencial producido:

= 13 3,3 = 9,7 mm

d) Empleando la Tabla E.1 del Anexo E, se obtiene el valor del factor tiempo,correspondiente al 90% de consolidacin

Tv= 0,848

Adems se sabe que:

v

v

c

HTt

2=

Para el ejemplo, cv= 10 m2/ao,H= 4 m (trayectoria de drenaje), entonces:

10)4)(848,0( 2=t

t 1,4 aos


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PROBLEMA 3

Una zapata flexible de fundacin de 1,0 m x 1,0 m, soportando una carga de contacto sobre elnivel de fundacin de 200 kN, es construida a una profundidad de 1,0 m debajo de lasuperficie del terreno.El depsito de suelo est conformado por un estrato de 2,0 m de arena. El nivel fretico seencuentra a 1,0 m de profundidad respecto a la superficie. Debajo de la arena se halla unestrato de arcilla normalmente consolidada de 2,0 m de espesor que a su vez descansa sobrearena densa (Figura 9.4).

1m

1m

2m

200 kN

1.0m x 1.0m

Arena

Arcilla compresible

Arena densa Figura 9.4.Zapata en perfil de suelo.

Mediante el estudio de suelos se han determinado los siguientes parmetros:

Depsito de arena

Peso unitario por encima del nivel fretico = 17,0 kN/m3Peso unitario por debajo del nivel fretico = 19,0 kN/m3Mdulo de elasticidad = 20 MPa

Arcilla

Peso unitario saturado = 18,0 kN/m3ndice de vacos inicial = 0,7ndice de compresin = 0,25ndice de expansin = 0,06Mdulo de elasticidad = 25 MPa

Peso unitario del agua = 9,8 kN/m3

Se pide encontrar el asentamiento total en el centro de la fundacin.


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Solucin.

El incremento de esfuerzo promedio en el estrato de arcilla est dado por:

)4(6

1bmt pppp ++=

Si empleamos la ecuacin:

p= qI

En este caso, la carga neta es:

kPaqn 0,183)17)(1()0,1)(0,1(

0,200==

Asimismo, I= f (B, L, z), Para L= 1,0 / 2 = 0,5 m B= 1,0 / 2 = 0,5 m, se tiene que elincremento de esfuerzo vertical en la esquina es:

z = 1,0 m p= 15,37 kN/m2z = 2,0 m p= 4,94 kN/m2z = 3,0 m p= 2,32 kN/m2

Entonces, el incremento de esfuerzo vertical bajo el centro de la fundacin es:

pt = (4)(15,37) = 61,48 kN/m2

pm= (4)(4,94) = 19,76 kN/m2

pb = (4)(2,32) = 9,28 kN/m2

Y el incremento de esfuerzo promedio en el estrato, ser:

)28,9)76,19)(4(48,61(6

1)4(

6

1++=++= bmtav pppp

pav 25 kN/m2

Asentamiento inmediato en la arcilla

Se puede emplear la ecuacin propuesta porJanbu, que ser:

S

Oe

E

BqAAS

21=

Los factores A1y A2se obtienen de la Figura E.5 del Anexo E.

Para estimar el asentamiento inmediato en la arcilla, se asume que el estrato de arcilla seextiende hasta la superficie y que tiene una base rgida. En este caso, para Df/B= 1,0 / 1,0 =1,0 se tiene:

A20,94


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Adems, paraH / B= (3,0) / 1,0 = 3,0 se tiene:

A10,6

Entonces:

25

(183)(1,0))94,0)(6,0(=eS

Se= 4,13 mm

Se asume luego que el primer estrato es arcilla con caractersticas iguales al segundo estrato ycon una base rgida.

En este caso, para Df/ B = 1,0 / 1,0 = 1,0, se tiene:

A20,94

Adems, paraH / B= (1,0) / 1,0 = 1,0 se tiene:

A10,34

Luego:

25

(183)(1))94,0)(34,0(=eS

Se= 2,34 mm

Entonces el asentamiento inmediato en la arcilla es la diferencia entre los dos asentamientosanteriores.

Se= 4,13 2,34 = 1,79 mm

Asentamiento por consolidacin en la arcillaEl esfuerzo vertical efectivo inicial en el punto medio de la arcilla

'o= (1,0)(17,0) + (1,0)(19,09,8) + (1,0)(18,09,8)

'o= 34,4 kN/m2

El asentamiento debido a la consolidacin de la arcilla est dado por:

+

+=

'

'

log1

o

o

O

Coed

p

e

HCS

Por lo que,

+=

34,4

25+34,4log

70,01

)2000)(25,0(oedS


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SOED = 69,77 mm

Valor que deber ser corregido para obtener el asentamiento por consolidacin real. En este

caso se puede emplear el criterio deBurlandpara arcillas rgidas normalmente consolidadas,segn el cual

SC= Soed

Entonces

Stotal= 69,77 + 1,79 = 71,6 mm

Asentamiento en la arena

Para calcular el asentamiento en el estrato de arena, se recurre al mtodo propuesto porSchmertmann, para el que se procede a dibujar un esquema del factor de influencia.

El esfuerzo efectivo inicial al nivel de la fundacin (Df) y a la profundidad del factor mximode influencia (Df+B/2) es:

'vo= (1)(17) = 17 kPa

'vp= (1)(17) + (0,5)(199,8) = 21,6 kPa

El valor mximo del factor de influencia Izy los factores de correccin C1, C2y C3 son (v,Ecuaciones 8.2, 8.3, 8.4):

IZ = 0,5 + (0,1)(183 / 21,6)1/2= 0,79

C1= 1 (0,5)(17 / 183) = 0,95

C2= 1,0

C3= 1,030,03(1,0/1,0) = 1,0

Figura 9.5. Incremento de esfuerzo verticales.


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Para zapatas :

zf= 0 a B/2: Iz= 0,1+(zf/B)(2Izp0,2]zf= 0,25 m: Iz= 0,1+(0,25/1,0)[(2)(0,79)0,2] = 0,4450zf= B/2 a 2B: Iz= 0,667Izp(2zf/B)zf= 0,75 m: Iz= (0,667)(0,79)(20,75/1,0) = 0,6587

Tabla 9.5. Propiedades del estrato.Estratoi Hi[m] Izi IziHi/Ei1 0,5 0,4450 0,0111252 0,5 0,6587 0,016468

=

=n

i

E

HI

i

izi

1

027593,0

Si= (0,95)(1)(1)(183)(0,027593)

Si= 4,8 mm

Finalmente, el asentamiento total en el centro de la fundacin

Stotal = Sarcilla + Sarena

Stotal = 71,6 + 4,8

Stotal76,4 mm


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PROBLEMA 4

Una zapata de 2,0 m x 2,0 m transmite una carga bruta de contacto de 700 kN al nivel de lafundacin que se encuentra a 1,5 m de profundidad. El estudio geotcnico ejecutadocontempl la realizacin de una perforacin y un ensayo de penetracin de cono.Los resultados indican que el subsuelo est conformado por un depsito de arenamedianamente densa a densa, El peso unitario de la arena seca es de 16 kN/m3y se estimaque el peso unitario saturado de la misma, es de 18 kN/m3. El nivel fretico se encuentra a 2,0m de profundidad a partir de la superficie del terreno. El agua tiene un peso unitario de 9,81kN/m3. La Figura 9.6 muestra la variacin de la presin en la punta del cono de penetracincon la profundidad. Se pide, determinar el asentamiento producido por la carga de fundacin.

Figura 9.6 Resultados de la prueba CPT

Solucin .

Para analizar el problema se procede a elaborar una tabla.Como se puede apreciar en la Figura 9.6, la profundidad de influencia fue dividida en cincoestratos segn el valor promedio de presin en la punta del cono y segn el ndice deinfluencia. La carga neta transmitida por la estructura, el esfuerzo efectivo al nivel defundacin y al nivel del valor mximo de Iz, son:

kPaqn 151)16)(5,1()2)(2(

700==

'vo= (1,5)(16) = 24 kPa

'vp= (2)(16) + (0,5)(18 9,81) = 36,1 kPa

Entonces, el valor mximo del factor de influenciaIzy los factores de correccin C1, C2y C3son (Ecuaciones 8.2, 8.3, 8.4, 8.5):


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IZ = 0,5 + (0,1)(151 / 36,1)1/20,7

C1= 1 (0,5)(24 / 151) = 0,92

C2= 1

C3= 1,03(0,03)(2,0 / 2,0) = 1

Estrato Hi[m] zi[m] Iziqc[MPa]promedio

Es[MPa]Promedio

Izz/Es

[m/MPa]

1 0,50 0,25 0,2500 4 10 0,012502 0,50 0,75 0,5500 7 17,5 0,015713 1,00 1,50 0,5833 7 17,5 0,033334 1,25 2,625 0,3208 4 10 0,040105 0,75 3,625 0,0875 10 25 0,00263zies la profundidad hasta el punto medio del estrato analizado

(IzHi/Ei) 0,10427Nota: El mduloEs= 2,5 qc(para condiciones axisimtricas,B/L=1)

Finalmente, el asentamiento de la estructura es igual a:

S= (0,92)(151)(0,10427) = 14,5 mm

S= 14,5 mm


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6 m

4m

PROBLEMA 5

Una losa de fundacin de 8,0 m x 12,0 m transmite una carga neta de 80 kPa. El nivel de

fundacin se encuentra a 2,0 m de profundidad.El estudio geotcnico ejecutado determin el perfil presentado en la Figura 9.7 el cual estconformado por arcilla magra y arena limosa, sobre un lecho rocoso impermeable. El nivelfretico se encuentra muy cerca a la superficie.Asumiendo que la fundacin est dotada de un sistema de drenaje que permite el ingreso deagua en toda su rea, y que la deformacin de la arena es despreciable.

Se pide determinar:

a) El asentamiento total de la fundacin a partir de los parmetros obtenidos.b) El tiempo que debe transcurrir para el desarrollo del 80 % de la consolidacin.

A

B

5.0 m

1.0 m

5.0 m

2.0 m

B x L = 8 x 12 m1.5 m

2.5 m

nq = 80 kPa

Roca impermeable

Arena limosa

Arcilla magra

Arcilla magra

= 20 kN/mCc= 0.22Cs= 0.09e = 0.6Cv= 0.804 m /aopc= 135 kPa

3

2o

= 19 kN/mCc= 0.30

Cs= 0.12e = 0.9Cv= 0.432 m /aopc= 95 kPa

o2

3

= 19 kN/m3

Figura 9.7 Perfil de suelo

Solucin .

a) El asentamiento total de la fundacin a partir de los parmetros obtenidos.

Para determinar el asentamiento total de la fundacin, es necesario estimar el incremento de

esfuerzo efectivo vertical debido a la carga neta transmitida por la fundacin.Se analiza de fundacin (ver figura).


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A partir de las ecuaciones D-7, D-9, D-10 y la Tabla D.4 del Anexo D, se obtiene losiguiente:

Sea A el punto medio del estrato superior de arcilla magra (CL)Sea B el punto medio del estrato inferior de arcilla magra (CL)

Para el punto A del estrato superior de arcilla:

pt= 80 kPam = 4/1,5 = 2,666 I3= 0,2443 pm= 4 x 0,2443 x 80 78 kPan = 6/1,5 = 4m = 4/4 = 1 I3= 0,2178 pb= 4 x 0,2178 x 80 70 kPan = 6/4 = 1

Entonces:

pAV(A)= 77 kPa

Para el punto B del estrato inferior de arcilla:

m = 4/4 = 1 I3= 0,1934 pt= 4 x 0,1934 x 80 62 kPa

n = 6/4 = 1,5

m = 4 / 6,5 = 0,615 I3= 0,1341 pm= 4 x 0,1341 x 80 43 kPa

n = 6 / 6,5 = 0,923

m = 4/8 = 0,5 I3= 0,1069 pb = 4 x 0,1069 x 80 34 kPa

n = 6/8 = 0,75

Entonces:

pAV(B)= 45 kPa

A continuacin se determina el esfuerzo efectivo promedio en cada uno de los estratos dearcilla, antes de la construccin de la fundacin.

'A= (3,5)(20 9,81) = 35,6 kPa < Pc= 135 kPa SC'A+ pA= 113,6 kPa < Pc= 135 kPa SC'B= (5,0)(209,81)+(3,5)(19 9,81) = 83,1 kPa < Pc= 95 kPa SC'B+ pB= 126,1 kPa > Pc= 95 kPa NC

Como se puede observar, inicialmente ambas arcillas estn sobre consolidadas. Despus de lacarga la arcilla superior se mantiene sobre consolidada, mientras que la arcilla inferior cambiade estado a normalmente consolidada.

A continuacin, los asentamientos de los estratos de arcilla superior (SA) e inferior (SB) soncalculados, segn las ecuaciones B-7 y B-8 del Anexo B respectivamente.


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mmSA 4,846,35

776,35log

6,01

)3000(09,0=

+

+=

mmSB 12195

451,83log

9,01

)5000(30,0

1,83

95log

9,01

)5000(12,0=

+

++

+=

1214,84 +=TOTALS

Stotal = 205,4 mm

b) El tiempo que debe transcurrir para el desarrollo del 80 % de la consolidacin.

El grado de consolidacin de 80% est referido al asentamiento total, por lo tanto:

U= 80% S80= 0,80 x 205,4 = 164,32 mm

Para un tiempo t en el estrato superior de arcilla se tiene:

2Adr

Av

AvH

tCT =

Para un tiempo t en el estrato inferior de arcilla se tiene:

2

Bdr

BB

H

tCvTv =

Dividiendo ambas ecuaciones se obtiene:

68,205,1

5

432,0

804,02

2

2

2

=

=

=

Adr

Bdr

B

A

B

A

H

H

Cv

Cv

Tv

Tv

)(68,20 BA TvTv =

Ntese que la altura de drenaje para la arcilla superior es de 1,5 m debido a que puedeexpulsar el agua hacia la fundacin y hacia el estrato de arena. La altura de drenaje para la

arcilla inferior es igual a su espesor debido a que solamente puede drenar hacia la arena.La siguiente ecuacin muestra el desarrollo del asentamiento total de la fundacin en funcindel tiempo.

BBAA StUStUtS )()()( +=

Donde:S(t) Asentamiento total de la fundacin en funcin del tiempo.UA(t), UB(t) Grado de consolidacin en funcin del tiempo.SA, SB Asentamiento total por consolidacin en cada estrato.Se requiere determinar un tiempo t en el que S(t) = 164,32 mm.


20/55


42

A continuacin se sigue un proceso indirecto para calcular t:Suponemos primeramente un 90% de consolidacin para la arcilla superior, cuanto ser elasentamiento total?

UA= 90% TvA= 0,848 (de la Tabla B.1, Anexo B)

TvB= 0,848 / 20,68 = 0,0410 UB= 23% (de la Tabla B.1, Anexo B)

Entonces el asentamiento total es: (0,90)(84,4) + (0,23)(121) = 104 mm

aosCv

HTvt

A

AdrA 3,2804,0

)5,1(848,0)( 22===

Esto significa que transcurridos aproximadamente 2,3 aos despus de la aplicacin de lacarga, el asentamiento ha alcanzado una magnitud de 104 mm para un grado de consolidacin

de 90% y 23% de los estratos de arcilla superior e inferior respectivamente.El valor calculado an est alejado de los 164,32 mm (correspondientes al 80% delasentamiento total) que se requieren alcanzar, lo cual significa que el estrato superior seconsolida totalmente antes de alcanzar el asentamiento total de 164,32 mm, quedando elestrato inferior como el limitante o el crtico para este anlisis.El problema ahora, se reduce a hallar el tiempo en que el estrato inferior de arcilla alcanceuna deformacin igual a la diferencia de la deformacin total requerida y la deformacin totaldel estrato superior.

El asentamiento del estrato B en el tiempo t requerido es

SB(t) = 164,32 84,4 = 79,92 mm

UB= 79,92 / 121 = 66,05% TvB= 0,352 (de la Tabla E.1, Anexo E)

TvA= (0,352)(20,68) = 7,3 UA= 100% CUMPLE! (de la Tabla E.1, Anexo E)

Entonces el asentamiento total es: (1,00)(84,4) + (0,66)(121) = 164,32 mm

Finalmente, el tiempo es:

432,0

)5(352,0)( 22==

B

BdrB

Cv

HTvt

t = 20,4 aos


21/55


43

PROBLEMA 6

Se desea construir una zapata flexible sobre una arcilla saturada con las dimensiones que se

muestran en la Figura 9.7. Considere que los parmetros de deformacin de la arcilla son cc=0,22, cs= 0,05. El ndice de vacos varia desde la superficie segn la ecuacin e= 0,80 0,05H, dondeH es la profundidad en metros, el lmite inferior de ees 0,50. Asimismo se sabeque la presin de preconsolidacin en la superficie es 170 kPa y disminuye segn la siguienteecuacin:

pc= 170 8H2

a) Calcule la magnitud del asentamiento producida por una carga segura igual a 150 kPa.b) Calcule el coeficiente de consolidacin promedio del estrato si el tiempo para que se

produzca el 50% del inciso a) es 1 ao.

Figura 9.8. Fundacin.

Solucin.

a) Calcule la magnitud del asentamiento producido por una carga segura.

La carga segura es una carga bruta al nivel de fundacin, pero para el clculo de losasentamientos necesitamos un incremento neto al nivel de fundacin; por lo tanto paraobtener este incremento, se puede proceder de la siguiente manera:

fsn Dqq =

( ) kPa12020)5,1(150 ==nq

Los siguientes grficos corresponden al esfuerzo efectivo inicial y carga de preconsolidacin,y a el incremento de esfuerzos, respectivamente:


22/55


44

0

1

2

3

4

5

6

152

120

72

42

8

25

35

45

55

65

Carga de

preconsolidacin

Esfuerzo efectivo

inicial

0

1

2

3

4

5

6

120

79

20

37

8

27

12

Incremento

de esfuerzos

Figura 9.9. Trayectorias de esfuerzo.

A partir de una profundidad 5,5 m el incremento de esfuerzos se hace menor al 10% delincremento al nivel de fundacin, por lo cual el anlisis se realizar slo hasta estaprofundidad.


23/55


45

Cuando z= 4,0 se produce una interseccin formada por las curvas de carga q, y carga depreconsolidacinpc ( suponemos que los valores 40 y 42 son demasiado prximos); a partirde esta interseccin la curva se encuentra a la izquierda de la curva q, lo cual no es posible en

ninguna circunstancia debido a la concepto mismo de carga de preconsolidacin, por lo cualse deduce que a partir de una profundidad igual a 5,5 m nos encontramos con una arcilla.Normalmente consolidada. Por el contrario, hasta una profundidad de 4,0 m la curva pc seencuentra a la derecha de la curva q, es decir para un punto dadopc> q, lo cual significa queestamos en presencia de una arcilla sobre consolidada.

En resumen: 1,5 z 4,0 SOBRECONSOLIDADA4,0 z 5,5 NORMALMENTE

CONSOLIDADA

A partir de estas conclusiones, podemos hacer el anlisis tratando a nuestra arcilla como si setratase de dos diferentes estratos. De esta manera, realizamos el clculo del ndice de vacos,esfuerzo inicial e incremento promedio en el centro de cada estrato.

eo= 0,8 (0,05)(2,75) = 0,6625Arcilla sobre consolidada

2,75 m Pc= 109,5 kPa

'o = 27,5 kPa

kPa5,686

27)66)(4(120 =++

= avp

4,0 m

eo= 0,8 (0,05)(4,75) = 0,5625

Arcilla normalmente consolidada

4,75 m 'o= 47,5 kPa

kPa83,17

6

12)17)(4(27=

++= avp

En la arcilla sobre consolidada 'o+ pav< Pc, por lo tanto el asentamiento estar dado por:

'

'

log1

o

avo

o

soed

p

e

HcS

+

+=

Para arcillas sobre consolidadas, el asentamiento total es igual al edomtrico:

mmSS oedt 8,40==


24/55


46

De la misma manera: que ser:

'

'

log1 o

avo

o

c

oed

p

e

Hc

S

+

+=

mmSoed 36,2925,47

83,1725,47log

5625,01

)1500)(22,0(=

+

+=

En las arcillas normalmente consolidadas, el asentamiento total es el siguiente:

mmSS oedt 3,321,1 ==

Por ltimo, el asentamiento total en la arcilla ser:

3,328,40 +=totalS

Stotal= 73 mm

b) Calcule el coeficiente de consolidacin promedio del estrato.

De la relacin:

v

drv

c

HTt

2=

El valor de Tvcorrespondiente al 50% de grado de consolidacin es 0,197.

1

)4)(197,0(

t

HT 22drv ==vc

vc = 3,152 m2/ao


25/55


47

PROBLEMA 7

Se ha realizado la exploracin geotcnica de un sitio, la Figura 9.8 muestra el perfil de suelo

encontrado y sus propiedades. Se va construir una zapata flexible y rectangular a 2 m deprofundidad, con las dimensiones que se presentan en el esquema. Considere que la zapata ase construye en un instante de tiempo, en el que adicionalmente el nivel fretico desciende alnivel de fundacin y permanece en esa posicin por tiempo indefinido. El peso unitario de laarena en la parte no saturada es el 90 % del valor en el sector saturado. Asimismo, considereque no existe asentamiento secundario en la arcilla y que el asentamiento inmediato es el50% del total.

Se pide:

a) Determinar el asentamiento total de la zapata.b) Determinar el tiempo que toma para que se de el 50% del asentamiento total.

0.30x0.30m

P = 1500 kN

muestra 1

2m

3m

muestra 3

muestra 2

2m

3m

B= 2.0mL= 6.0m

45

E (MN/m2)

40

E (MN/m2)35

arena = 20 kN/m3Dr = 60%

arcilla = 19 kN/m3

arena = 20 kN/m3

Figura 9.10. Zapata.

De la muestra 2:

eo= 0,75; cc= 0,2; cs=0,03

Pc= 85 kPa ( mtodo Casagrande)

Presin 25 50 100 200 400 800

cv(cm2/min) 0,0194 0,009 0,006 0,008 0,011 0,018


26/55


48

Solucin:a) Determinar el asentamiento total de la zapata.

En primera instancia calculamos el incremento de carga neta al nivel de fundacin, que es ladiferencia entre las cargas efectivas antes y despus de la construccin.La carga inicial efectiva al nivel de fundacin qoes la siguiente:

qo= (2)(20 9,8) = 20,4 kPa

La fuerza total al nivel de fundacin F t, despus de la construccin, debe incluir el pesopropio de la zapata y el peso del suelo, adems de la carga transmitida por la columna.

Ft= 1500 + (24)[(0,3)(2)(6)+(0,3)2(1,7)] + (0,9)(20)[(2)(6)0,32)](1,7) = 1954,52 kN

kPa88,162)2)(6(

52,1954

=== A

F

q

t

Por lo tanto:

qn= q qo= 162,8820,4 = 142,48 kPa

Clculo de asentamientos en la arena (Segn Schmertmann)

El mtodo de Schmertmann fue propuesto para zapatas axisimtricas y corridas (L / B >10),por lo cual en una zapata como la que se trata en este problema se debe realizar unainterpolacin de valores, entre valores obtenidos considerando a la zapata como cuadrada ylos valores obtenidos considerndola corrida.

Anlisis como una zapata cuadrada

vp

qIz

)1,0(5,0

+=

vp = 3(209,8)=30,6

716,06,30

48,142)1,0(5,0 =+=Iz

=

=

48,142

4,20)5,0(1)5,0(11

n

vo

qC =0,928

C2 = 1

94,02

6)03,0(03,1

73,003,003,1

3

3

=

=

=

C

B

LC

0

1

2

3

4

5

6

0.1

0.716

0.418

0.477

0.239


27/55


49

)1000()2(

)10)(43(

477,0)1(

)10)(40(

408,0)48,142)(94,0)(1)(928,0(

331

+=S

S1 = 4,025 mm

Considerado como una zapata corrida

vp

q

0,1)(0,5Izp

+=

vp= 4(209,8) = 40,8Izp= 0,687Los coeficientes C1, C2, C3, se mantienen constantes,1 estrato

+= )1(

44000

630,0)2(

41000

443,0)48,142)(94,0)(1)(928,0(2S

S2 = 4,465mm

2 estrato

= )2(

40000

114,0)48,142)(1)(94,0)(928,0(3S

S3 = 0,709mm

A partir de los valores obtenidos para los casos anteriores, se debe realizar la correspondienteinterpolacin para la zapata de 6m x 2m en anlisis.Interpolando valores:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.443

0.2

0.687

0.630

0.572

0.229

0.114


28/55


50

1 estrato mmSi 123,4)2(9025,4465,4

025,4 =

+=

2 estrato mmSi 158,092)709,0( =

=

El asentamiento total en las arenas es la sumatoria de los asentamientos en los dos estratos dearena, ser:

Siarenas = 4,28 mm

Clculo de asentamientos en la arcilla:

La arcilla se encuentra a una profundidad de 5 m. y tiene un espesor de 3 m., en consecuenciael incremento promedio en el estrato se calcula de la siguiente manera:

pt(5m) = 49,60

pm(6,5m) = 29,03pb(8m) = 18,53

707,306

4=

++= bmtav

pppp

Po=(5)(20) + (1,5)(19) (6,5)(9,8)=64,8kN/m2

c

avo

o

c

o

c

o

s

P

PP

e

HC

P

P

e

HCSoed

+

++

+= log

1log

1

mmSoed 41,2385707,308,64log

75,01)3)(2,0(

8,6485log

75,01)3)(03,0( =

+

++

+=

En arcillas sobre consolidadas:

St= Soed

Finalmente, el asentamiento total en los estratos se obtiene de la sumatoria de losasentamientos correspondientes a la arena y la arcilla.

ST = 23,41+ 4,28=27,70 mm

b) Determinar el tiempo que toma para que se de el 50% del asentamiento total.

El asentamiento total para un tiempo dado, estar en funcin del grado de consolidacin quela arcilla haya alcanzado.

St(t) = Si Arcilla + Si arena+ScArcilla(U%)

Adems sabemos que la arcilla tiene un 50% de asentamiento inmediato, por lo tanto el 50%restante ser una sentamiento por consolidacin.

ScArcilla= 0,5(St arcilla) y SiArcilla= 0,5(St_arcilla)


29/55


51

Combinando las anteriores igualdades, para un tiempo cero:

St(0) =Si = 0,5 St_arcilla+Siarena+ 0,5 Soed(0) = 0,5 St_arcilla+ Si arena

Como:0,5 St_arcilla+ Si arena> ScArcilla = 0,5 St_arcilla

Deducidos queel asentamiento inmediato supera el 50%.


30/55


52

PROBLEMA 8

A continuacin se presentan los resultados de un ensayo de consolidacin practicados en una

muestra obtenida en la parte media del estrato de arcilla mostrado en la Figura 9.9.

Peso seco del espcimen = 116,74 gAltura del espcimen al inicio del ensayo = 25,4 mmDimetro del espcimen = 63,5 mmGs= 2,72

Presin kPaAltura final de la muestra al final de la consolidacin,

mm

0,00 25,400

47,88 25,189

95,76 25,004

191,52 24,287

383,04 23,218

766,08 22,062

Se pide:

a) Determine la presin de preconsolidacin.b) Determinar la curva de compresin en campo.c) Determinar los coeficientes de compresin y expansin.

d) Calcular el tiempo que toma el estrato de arcilla el alcanzar 95% de consolidacin, Asumirel valor de coeficiente de consolidacin encontrado a partir de los siguientes datos:

Altura del espcimen antes del ensayo: 25.4 mm

Deformacin de lamuestra, mm

Tiempo, min

0,170 0,1

0,174 0,250,180 0,5

0,196 10,211 2

0,241 40,274 80,305 15

0,335 30

0,364 600,386 1200,401 2400,406 480

0,411 14400,412 1900


31/55


53

e) En caso de que el valor del coeficiente de consolidacin en el inciso d) no sea asumido,indicar la forma correcta de obtenerlo.

Arena sat= 22 kN/m

8

3

4

Arena

Arcilla = 20 kN/m

Arena = 21 kN/m 4

3

3

3

Figura 9.11. Caractersticas de los estratos de suelo.

Solucin .

Para poder obtener la carga de preconsolidacin Casagrande sugiri un mtodo grficobasado en la curva e- logpobtenida en laboratorio. Por lo cual debemos encontrar, a partirde las alturas obtenidas en el ensayo de consolidacin, la variacin del ndice de vacos conlas diferentes cargas. El clculo del ndice de vacos se lo puede resumir de la siguientemanera:

1. Calcular la altura de slidos,Hs, en la muestra de slidos:

mmGA

WH

ws

ss 55,13))()((

==

donde: Ws: peso seco de la muestra.

A: rea de la muestra.

Gs: gravedad especfica de los slidos.

w: peso unitario del agua.

2. Calcular la altura inicial de vacos,Hv:

Hv=H Hs= 11,85 mm

dondeH: Altura inicial de la muestra,

3. Calcular el ndice de vacos inicial, eo, de la muestra:


32/55


54

874,055,13

85,11===

s

vo

H

He

4. Para el primer incremento de carga, p1, el cual provoca una deformacin H1, calcularel cambio en el ndice de vacos e1:

0156,011 =

=sH

He

H1es obtenido de la diferencia entre lecturas inicial y final para la carga.

5. Calcular el nuevo ndice de vacos, e1, despus de la consolidacin causada por elincremento de presinp1:

e1 = e0 e1 = 0,8586

Para la siguiente presinp2, el nuevo ndice de vacos e2, puede ser calculado como:

sH

Hee 212

=

Donde H2, es la deformacin adicional causada por el incremento de presin.

Siguiendo este procedimiento, se puede encontrar la variacin del ndice de vacoscorrespondiente a las diferentes presiones a las que se somete la muestra durante elensayo, y por lo tanto la curva e- logp.

La siguiente tabla resume el clculo efectuado para obtener la variacin del ndice devacos:

Presin,kPa

h, mm h e e

0,00 25,400 - - 0,8742

47,88 25,189 0,211 0,0156 0,8586

95,76 25,004 0,185 0,0137 0,8450

191,52 24,287 0,717 0,0529 0,7921

383,04 23,218 1,069 0,0789 0,7132

766,08 22,062 1,156 0,0853 0,6279


33/55


55

Obtenida la curva de laboratorio e - logp, pasamos a desarrollar el procedimientosugerido por Casagrande:

1. Por simple observacin, establecer un punto a, en el cual la curva e - logp tiene unradio de curvatura mnimo.

2. A partir de este punto trazar una lnea horizontal ab.

3. Dibujar una lnea ac tangente a la curva en el punto a.

4. Dibujar la lnea ad, la cual es bisectriz del ngulo bac.

5. Proyectar la parte recta gh de la curva hacia atrs hasta intersecar a la lnea ad en elpunto f.

La abscisa del punto f es la carga de preconsolidacin, pc.

En el anterior grfico podemos apreciar la carga de preconsolidacin, enaproximadamente

138 kPa.

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

10 100 1000

Presin, kPa

Indicedevacos

ba

c

d

f

h

g

pc


34/55


56

b) El procedimiento para determinar la curva de compresin en campo depende de si elestrato se encuentra sobre consolidado o no, por lo tanto debemos verificar en que estadose encuentra nuestro estrato:

po= 4(21) + 4(229,81) + 2(209,81) = 153,14 kPa

Se puede ver claramente que la carga po, a la que est sometida la parte central del estratoes mayor a la carga de preconsolidacin, cosa que tericamente es imposible, por lo cualdebemos asumir que se trata de una arcilla normalmente consolidada.

El procedimiento que se sigue en arcillas normalmente consolidadas es el siguiente:

- Determinar la carga de preconsolidacinpc= po, Conociendo esta dibujar una lneavertical ab.

- Calcular el ndice de vacos en campo, eo, Dibujar la lnea horizontal cd.

- Calcular 0,4eoy dibujar la lnea horizontal ef, ( Nota: f es el punto de interseccin de lalnea con la curva, o con la proyeccin lineal de esta,)

- Unir los puntos f y g, Note que g es el punto de interseccin de las lneas ab y cd.Esta es la curva de compresin virgen.

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0.9000

10.00 100.00 1000.00 10000.00

Presin, kPa

Indicedevacos

153.14

eo = 0.8742a

b

dcg

f

0.4eo = 0.35

e


35/55


57

c) Como nuestra arcilla es normalmente consolidada, solo contamos con un coeficiente decompresin, y no as con uno de expansin. Por otra parte, conocemos 2 puntos quepertenecen a la curva virgen de consolidacin, el punto (eo, po) y el punto de interseccin

de la proyeccin de la curva e- logpcon la lnea horizontal 0,4eo, Tomando estos puntospara definir el coeficiente de compresin tenemos:

( ) ( ) ( )14,153log7200log35,08742,0

ploglog

=

+

=

oo

cpp

eC

cc= 0,313

d) Para calcular el coeficiente de consolidacin se dispone de varios mtodos, de los

cuales tomaremos el mtodo del logaritmo del tiempo, el cual indica los siguientes pasos:

Extender las porciones rectas de las consolidaciones primaria y secundaria hastaintersecarlas en A. La ordenada de A es representada por d100- que es, la deformacin enel fin de 100% de consolidacin primaria.

Elegir dos tiempos t1y t2, sobre la porcin de la curva inicial tal que t2= 4t1. De la grficase eligen: t2= 4, t1=1. Sea la diferencia de la deformacin de la muestra durante el tiempo(t2t1) igual a x = 0,045.

Trazar una lnea horizontal DE tal que la distancia vertical BD sea igual a x = 0,045, Ladeformacin correspondiente a la lnea DE es do( que es, la deformacin en 0% deconsolidacin).

La ordenada del punto F sobre la curva de consolidacin representa la deformacin a 50%de consolidacin, y su abscisa representa el correspondiente tiempo (t50).

Para un 50% de grado de consolidacin Tv= 0,197, entonces:

dr

v

H

tc

T 250

50=

)60)(8(2

)0412,054,2()197,0(

197,0

2

50

2

==t

Hc

dr

v

cv=6,41(104) cm2/s


36/55


58

dondeHdr= distancia de drenaje promedio ms larga durante la consolidacin.

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.450.1 1 10 100 1000 10000

tiempo, min

t 1=1 t2= 4

0.045

0.045

do

d100

d d d

50100 0

20151 0400

20275= =

+ +=

. ..

A

F

C

B

A E

Figura 9.12.Grfico deformacin versus tiempo.

Obtenido ya el valor del coeficiente de consolidacin, podemos hallar el tiempo para un95 % de consolidacin de la siguiente manera:

dr

v

H

tcT

295

95=

de donde:

v

dr

c

TH

t95

2

95=

para un 95% de consolidacin el factor T95correspondiente es 1,129, por lo tanto:

4

2

95)10)(41,6(

)129,1(2

400

=t

t95= 2,23 aos


37/55


59

e) Un buen valor de cv debe haber sido obtenido a partir de un ensayo en el que se hasometido la muestra a un rango de cargas al cual pertenece la carga en anlisis. En caso de no

contar con un cvde estas caractersticas, se procede a ponderar el valor requerido en base acoeficientes obtenidos para otros rangos de cargas.


38/55


60

PROBLEMA 9

Para la Figura 9.10, calcular el asentamiento total en el suelo (en el centro de la fundacin).

Figura 9.13.Fundacin en una excavacin.

LEYENDA

Fundacin Flexible= Peso unitarioC= Peso unitario del concretoC= 24 kN/m3

B = Ancho de la zapata

L = Largo de la zapataP = Carga puntualE = Mdulo de elasticidad

Arena

E1 = 22 MN/m2

= 16 kN/

0,4m x 0,4m

B = 4m x L = 4m

0.

1.

2 .

3 .

4.

5 .

6.

7.

8 .

9.

10.

Posicin Inicial

Posicin Final

P = 4000 kN

2E2 = 40 MN/m

E3 = 60 MN/m2

E4 = 15 MN/m2

E5 = 10 MN/m2

= 20kN/

Arena

Arena

m3

3m

0,40m


39/55


61

Solucin .

Figura 9.14. Esfuerzos bajo la fundacin.

Se procede a calcular los factores de influencia para una zapata cuadrada que estn mostradasen la grafica

( )737.0

28.919216

5.2711.05.01.05.0

'0

=+

+=+=xx

qI

v

nzp

Donde qncarga neta a nivel de fundacin y voesfuerzo efectivo inicialA continuacin se calcula los factores por correccin que son los siguientes,

( )926.0

5.271

18.9182165.015.05.01

'0

1 =+

== xx

qC

n

v

12=C

00.103.003.13 ==B

LC

P = 4000 kN

10.

9.

8 .

7.

6.

5 .

4.

3 .

2 .

1.

0.

= 20kN/

Posicin Final

Posicin Inicial

m3

Arena

Arena

= 16 kN/

Arena

0,4m x 0,4m

m3

11.

0.4

0.578

0.419

0.614

0.369

0.260

0.1 0.2 0.6 Iz

z

0.260

z3= 2

z2 = 1

z1 = 1

z4= 2

z3= 2

zp

B = 3m x L = 6m


40/55


62

Entonces la ecuacin de asentamiento inmediato es el siguiente;

= E

zI

qCCCS z

ni 321

Reemplazando valores calculados se tiene;

++++=

10

2123.0

15

2369.0

60

2614.0

40

1578.0

22

126.05.27111926.0

xxxxxxxxxSi

[ ]mmS

xxS

i

i

30

121.05.271926.0

=

=


41/55


63

PROBLEMA 10

Para la Figura 9.11, se pide calcular:

a) Carga neta

b) Incremento de esfuerzos en el centro de la fundacin, en funcin de la profundidad

c) Asentamiento total en el centro de la fundacin.

d) Tiempo de consolidacin total

Figura 9.10

Figura 9.15.Dimensiones de la fundacin.

Presin Cv ( m^2/s)

0-5 5,0*10-9

25-50 6,0*10-8

50-100 9,9*10-7

100-200 8,1*10-8

200-400 7,9*10-8

400-800 7,5*10-7

LEYENDA

Fundacin FlexibleP = Carga rpida= Peso unitarioC= Peso unitario del concretoC= 24 kN/m3

Pc = Presin de pre-consolidacinPc = Igual en todo el estrato

B = Ancho de la zapataL = Largo de la zapataE = Mdulo de elasticidad

Est ra toincompres ib l e ,i m p e r m e b l e y

r u g o so

B = 3 m x L = 6 m

0 ,4 0 m

0 , 3 5 m x 0 , 3 5 m

P = 2 9 0 0 k N

p c = 1 0 8 k P ae o = 0 , 8c c = 0 , 2 3c s= 0 , 0 8

c u = 5 9 k P ac ' = 5 k P a '= 3 0

9 .

8 .

7 .

4 .

6 .

5 .

3 .

2 .

1 .

0 .

Arci l la= 1 8 k N / m 3


42/55


64

Solucin .

a) Carga neta

Como el nivel fretico no varia, entonces la carganeta es,

( )casoesteenqqqqq

f

n

0

0'0

'

=

==

[ ]KPaxxDqA

Fq 60320; 0 ====

[ ]KPaxxxx

xxxxxF

07.40106.2)35.035.063(20

)6.235.035.04.063(242900

=+

++=

=

378.222

m

KNq

[ ]KPaqn 79.162=

Est ra toincompres ib l e ,i m p e r m e b l e y

r u g o so

B = 3 m x L = 6 m

0 ,4 0 m

0 , 3 5 m x 0 , 3 5 m

P = 2 9 0 0 k N

p c = 1 0 8 k P ae o = 0 , 8c c= 0 , 2 3c s= 0 ,08c u = 5 9 k P ac ' = 5 k P a

'= 3 0

9 .

8 .

7 .

4 .

6 .

5 .

3 .

2 .

1 .

0 .

Arci l la= 1 8 k N / m 320 KN/m3


43/55


65

b) Incremento de esfuerzo

Opcin 1Boussinesqque asume las siguientes hiptesis del suelo

Figura 9.16.Incremento de esfuerzos verticales.

Opcin 2 Milovic & Tournier (Base rgida rugosa)

Utilizando esta opcin se considera un estrato finito.Se procede a calcular el incremento de esfuerzos a diferentes profundidades, realizandointerpolaciones para,

H1 = 5 m ; B = 3 m ; L/B = 6/3 = 2 ; H1/B = 5/3 = 1.667

A 1m

P = 2900 kN

9 .

7 .

8 .

5 .

6 .

cu= 59 kPac' = 5 kPa'= 30

3 .

4 .

1 .

2 .

0 .

= 20 kN/ 3m

Arcilla

0,35m x 0,35m

148.60

110.75

P[KPa]

162.78

55.87

78.25

z[m]

40.98

20015010050

93.17

942.0333.0z

;11 =

==s

z

qBB

H

918.0667.1

906.00.333B

z;2

1

1

=

=

=

==

s

z

s

z

qB

H

qB

H

Hiptesis:Estrato de suelo Semi infinitoHomogneoIsotropito

Nota: No cumple especialmente con laHiptesis de espacio semi infinito


44/55


66

00.23

6

333.03

1

667.13

51

==

==

==

B

L

B

z

B

H

A 2m

00.23

6

667.032

667.13

51

==

==

==

B

L

Bz

B

H

A 3m

00.23

6

00.13

3

667.1

3

51

==

==

==

B

L

B

zB

H

A 4m

00.23

6

333.13

4

667.1351

==

==

==

B

L

B

z

BH

796.0667.0z

;11 =

==s

z

qBB

H

736.0667.1

0.7060.667

B

z;2

1

1

=

=

=

==

s

z

s

z

qB

HqB

H

[ ]KPaxP 81.11978.162736.0 ==

638.000.1z

;11 =

==s

z

qBB

H

566.0667.1

0.5301.00Bz;2

1

1

=

=

===

s

z

s

z

qB

H

qBH

[ ]KPaP 13.92 =

478.0333.1z

;11 =

==

s

z

qBB

H

431.0667.1

074.01.333B

z;2

1

1

=

=

=

==

s

z

s

z

qB

H

qB

H

[ ]KPaP 16.70 =


45/55


67

A 5m

00.23

6

667.13

5667.13

51

==

==

==

B

L

B

z

B

H

A continuacin se calcula el incremento de

esfuerzos promedio

[ ]KPaP

xP

av

av

55.106

6

52.52106478.162

=

++=

Figura 9.17. Incremento de esfuerzos bajo la zapata.

c) Asentamiento Total

Para calcular el asentamiento en el estrato de arcilla se tiene que calcular el ndice de vacosque corresponde al punto medio del estrato.

318.0667.1z;11 ===s

z

qBB

H

321.0667.1

328.01.667B

z;2

1

1

=

=

=

==

s

z

s

z

qB

H

qB

H

[ ]KPaP 25.52 =

Hiptesis:

= 0.3Se puede interpolar y extrapolar.

Considerando que el rango del coeficiente de poisson parauna arcilla est entre 0.2 y 0.4 entonces se puede utilizar 0.3,que es un valor razonable.

Por lo tanto la opcin 2 es la ms adecuada

100

119.81

90.13

0,35m x 0,35m

Arcilla= 20 kN/

z[m]9 .

8 .

7 .

52.52

70.16

6 .

5 . cu= 59 kPac' = 5 kPa'= 30

4 .

3 . 50

2 .

1 .

0 .

P = 2900 kN

149.43

150 200162.78

P[KPa]

m3

106


46/55


68

p0 pc

Cs

eceo

Cc

e

log '

e1

p1

Figura 9.18. Trayectoria eversus log .

Entonces de la grafica e vs. log para una arcilla sobre consolidada se puede observar queutilizando la ecuacin de la pendiente cs(ndice de expansin), se calcula el nuevo ndice devacos a la profundidad que deseamos .

La ecuacin de la pendiente cs(ndice de expansin) es,

=

1

0

01

logp

p

eecs

Despejando ndice de vacos inicial se tiene,

=

1

010 log

p

pcee s

Esfuerzo efectivo inicial a la profundad que se

estrajo la muestra

( ) [ ]KPaxp 8.408.92041 ==

El esfuerzo efectivo inicial en la parte central delestrato de arcilla

( ) [ ]KPaxp 1.268.9205.50 ==


47/55


69

5 .

3 .

2 .

1 .

0 .

Hdr=5 m

52.52

162.78

0 50 100 200

4 .

Reemplazando valores se obtiene;

=

8.40

1.56log08.0800.00 xe

789.00=e

p0


48/55


70

Incremento de esfuerzo de 56.1 a 162.65

Los coeficientes de consolidacin estn ubicados en dos rangos

=

=

seg

mxc

seg

mxc vv

28

27 101.8;109.9

20010010050

Obteniendo la media ponderada, se pude obtenerun coeficiente de consolidacin aceptable

( ) ( )

+= 87 101.8

55.106

65.62109.9

55.106

9.43xxcv

=

seg

m

xcv

27

10555.4

Despejando tiempo de consolidacin se tiene;

v

drv

dr

vv

c

HTt

H

tcT

2

2 ==

Reemplazando valores se tiene.

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]aost

dast

hrt

segx

xt

09.2

762

9.18294

6586169010555.4

52.17

2

=

=

=

==


49/55


71

Arena

Arena

ArcillaA

PROBLEMA 11

Demostrar la ecuacin de la teora de consolidacin de Terzagui.

2

2

z

uc

t

uv

=

Donde: u = exceso de presin de poros causado por el incremento de esfuerzos,t = tiempo,cv = coeficiente de consolidacin,z = distancia de la parte superior del estrato al punto en consideracin.

Solucin .

En un perfil de suelo se considera unelemento diferencial en el punto A :

En donde se tiene el caudal de entrada ysalida en el elemento diferencial

Figura 9.20. Caracterstica del perfil de suelo.

Figura 9.21. Elemento diferencial.

El cambio del caudal est definido a continuacin como la razn entre el cambio de volumen

y el cambio del tiempo en la direccin del eje z.

t

VQ

=

El caudal tambin puede ser definido como el producto de la velocidad por el rea, entoncestenemos;

t

Vdydxvdydxdz

z

vv z

zz

=

+

dydxdzz

vvQ zzf

+=

dz

dy dx

iz Qdydxv =


50/55


72

Donde:

rea en la direccin z; dxdyA=

Velocidad de entrada del flujo en la direccin z; zv

Velocidad de salida del flujo en la direccin z; dzz

vv zz

+

Realizando operaciones aritmticas se tiene la siguiente expresin;

t

Vdydxvdydxdz

z

vdydxv z

zz

=

+

Simplificando la expresin se tiene lo siguiente;

)1(t

Vdzdydx

z

vz

=

La ley de Darcy dice que la velocidad ( v ) es igual al producto de el gradiente hidrulico (k)por el coeficiente de permeabilidad ( i ); kivz=

En la base del elemento diferencial A, el gradiente hidrulico esta definido comoz

hiz

=

El exceso de presin de poros ( u ) ocasionado por el incremento de esfuerzos, es igual alproducto de la altura piezomtrica ( h ) por el peso unitario del agua constante ( w ),

despejando se tiene;w

p

uh

= , entonces desarrollando las ecuaciones se obtendr;

z

uk

z

hkkv

w

p

iz

=

==

)2(z

ukv

w

z

=

Reemplazando la ecuacin (2) en (1), y despejando se obtiene

)3(1

)1()2(2

2

t

V

dzdydxz

uken

w

=

Durante la consolidacin, la razn de cambio de volumen del elemento del suelo es igual a larazn de cambio en el volumen de vacos

t

V

t

V v

=


51/55


73

Adems se sabe que el volumen total es igual a la sumatoria del volumen de slidos del sueloy el volumen de vacos

vs VVV +=

El ndice de vacos esta definido como la razn de el volumen de vacos y el volumen de

slidos del suelos

v

V

Ve= , despejando se tiene sv eVV =

Reemplazando y realizando operaciones aritmticas se tiene,

( ))4(

t

Ve

t

eV

t

V

t

eVV

t

V

t

V ss

sssv

+

+

=

+=

=

Suponiendo que los slidos del suelo son incompresibles,

Se asume )5(0=

t

Vs

Adems el volumen ( V )del elemento diferencial A es igual a dzdydx y el volumen de

slidos ( Vs) es igual a01 e

V

+reemplazando se tiene;

)6(11 00 e

dzdydx

e

VVs

+=

+=

La ecuacin (5) y (6) se reemplaza en (4) para obtener la siguiente expresin;

)7(1 0 t

e

e

dzdydx

t

V

+=

Se define

( )'pe

av

=

El cambio de la relacin de vacos es causado por el incremento en el esfuerzo efectivo (esdecir, el incremento de la presin de poro del agua en exceso). Suponiendo que esos valoresestn linealmente relacionados, se tiene

= upcomo

( ) )8(' uaae vv == donde

( )' = cambio de presin efectivava = Coeficiente de compresibilidad ( va se considera constante para un

rango estrecho de incremento de la presin)


52/55


74

Combinando las ecuaciones (8) y (7) se tiene

)9(1 02

2

t

u

e

a

z

uk v

w

+=

Se define:

)10(1 0e

am vv

+=

donde vm = Coeficiente de compresibilidad del volumen

Reemplazando la ecuacin (10) en (9) se tiene

)11(2

2

t

um

z

ukv

w

=

Se define el coeficiente de consolidacin como:

)12(vw

vm

kc

=

Entonces combinando las ecuaciones (12) en (11) se obtendr la ecuacin diferencial bsicade la teora de consolidacin de Terzaghi

2

2

z

uc

t

uv

=

Esta ecuacin se puede resolver con las siguientes condiciones de borde:

0,0

0,2

0,0

uut

uHz

uz

dr

==

==

==


53/55


75

PROBLEMA 12

Demostrar la siguiente ecuacin:

c

occs

p

pp

e

Hc

p

p

e

HcS

+

++

+= log

1log

1 000

Donde Sc= asentamiento de consolidacin a partir del ensayo del edmetro,Cs= coeficiente de expansin,eo= ndice de vacos inicial,pc = presin de preconsolidacin,po=presin efectiva antes de la carga,H = espesor del estrato,ppr = incremento de carga promedio en el estrato

Solucin

Se considera un estrato de arcilla saturada de espesor H y rea de la seccin transversal Abajo una presin de sobrecarga efectiva promedio. Debido a un incremento de presin ,sea el asentamiento primario igual a S. Al final de la consolidacin, = . Entonces. Elcambio de volumen es

Figura 9.22.Variacin del volumen en el asentamiento.

( ) ( )110 ASASHAHVVV ===

Donde V0y V1son los volmenes inicial y final, respectivamente. Sin embargo, el cambio enel volumen total es igual al cambio en el volumen de vacos Vv. por lo tanto el cambio devolumen solo se da en los vacos. Entonces,

( )2vVV =

vvv VVVASV === 10


54/55


76

Donde Vv0y Vv1son los volmenes de vacos inicial y final, respectivamente.

De la definicin de relacin de ndice de vacos. Despejando se tiene

( )3svs

v

s

v VeVV

Ve

V

Ve =

==

Adems:

10000 =

==ss

s

s

v

V

V

V

VV

V

Ve

Donde e0es la relacin de vacos inicial en el volumen V0, despejando volumen de slidos setiene

( )41

10

000

e

VV

V

Ve s

s +==+

Entonces reemplazando la ecuacin (4) en (3) y (2) en (1), se obtiene

ASe

Ve =

+

0

0

1

Despajando asentamiento se tiene

( )51 0

He

eS

+

=

H = Altura inicial del estrato a comprimirse

En las arcillas sobre consolidadas, para 0+ cla variacin de ndice de vacos ylogaritmo de esfuerzo efectivo e-log() esta definida por dos pendientes.

La pendiente de la curva de expansin csse denomina ndice de expansin, por lo que se tiene

[ ]0loglog ppce cs =

Desarrollando y despejando ndice de expansin

0

01

loglogp

p

ee

p

p

ec

c

c

o

cs

=

=


55/55


e1

e

log '

eo

ef

p0 pc p0 + p

ec

Cs

e2Cc

Figura 9.23. Curva de eversus log .

Donde pces la pre consolidacin y p0es el esfuerzo efectivo inicial.Igualando la ecuacin (6) = (7) entonces se obtiene

++=

c

cfc

sp

ppce

p

pce 0

00 loglog

Entonces el incremento de ndice de vacos es e,

( )8loglog 00

++==

c

c

o

csf

p

ppc

p

pceee

Reemplazando la ecuacin (8) en (5), se obtiene,

++

+=

+

=

c

cc

sp

ppc

p

pc

e

HH

e

eS 0

000

loglog11

Por lo tanto la ecuacin es:

c

occs

p

pp

e

Hc

p

p

e

HcS

+

++

+= log

1log

1 000

( )6log

0

0p

pcee csc +=

+

=

+

=

c

fc

c

c

p

pp

ee

p

pp

ec

00

2

loglog

( )7log 0

++=

c

cfcp

ppcee

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10Cap9-Asentamientos