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COMPORTAMIENTO DINCOMPORTAMIENTO DINÁÁMICO DE MICO DE LOS PROCESOSLOS PROCESOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍÍAA

Facultad de IngenierFacultad de Ingenieríía Qua Quíímica y Textilmica y Textil

Curso: Curso: ““SimulaciSimulacióón y Control de Procesosn y Control de Procesos””PI426PI426

Profesor: Ing. Celso MontalvoProfesor: Ing. Celso Montalvo

2CELSO MONTALVO

Comportamiento Dinámico de losProcesos

• El comportamiento de los procesos ante el efecto de perturbaciones ó acciones externas se representapor medio de sistemas de ecuaciones diferencialesya que sus propiedades varían con el tiempo.

• Para resolver dichas ecuaciones (el modelomatemático) se usan las Transformadas de Laplace. Como resultado se obtiene una Función de Transferencia, que relaciona la Respuesta del Sistema ante una Función Forzante:

( ) ( ) ( )s s s= ⋅Y G X ( )s ss

=Y( )

GX( )

Respuesta Transitoria Función Forzante

Función deTransferencia

3CELSO MONTALVO

Comportamiento Dinámico de losProcesos

• La Función de Transferencia representa el Comportamiento Dinámico del Proceso. Estecomportamiento produce diferentesrespuestas cuantitativas según el estímulo ófunción forzante que se le aplique al proceso.

• Funciones Forzantes típicas son las siguientes:− Escalón.− Rampa.− Sinusoidal.− Pulso ó Impulso.

4CELSO MONTALVO

Pulso e Impulso

• Un Pulso es una función que a t = 0 toma un valor durante un tiempo limitado y luego su valor se hace 0.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

• Un Pulso Unitario es un pulso cuya área es igual a 1.

• Un Impulso es un pulsounitario cuya duración esigual a cero.

t

A

1/A

5CELSO MONTALVO

Descripción Matemática

• Un pulso rectangular unitarioa t=0 se representa por dos señales tipo step.

• Para un pulso unitario (de área 1) con A→0 se obtiene la Función de Dirac ó Impulso Unitario.

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−

<=

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<=+= At

A

AttGt

A

ttFtGtFtP 1

0)( 01

00)( )()()(

)()()( AtFtFtP −−=

0

F(t)

G(t)

A1/A

0 F(t)+G(t)

A1/A

( )1( ) ( ) ( ) 1sA sAP s F s e F s eAs

− −= − = −

( ))(lim)(0

tPtA→

=δ { } ( ){ } ∫∞ −

→→==δ

0 00)(lim)(lim)( dtetPtPt st

AALL

0

δ(t)

Teorema de L’Hospital

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡→→ )(

)(lim)()(lim

00 AdgAdf

AgAf

AA

{ }00 0 0

1( ) lim ( ) lim lim 1sA sA

st

A A A

e set P t e dtAs s

− −∞ −

→ → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−δ = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫L

1)( =δ s

6CELSO MONTALVO

Funciones Forzantes y susTransformadas

2

23

2 2

( )

Escalón

1Rampa

2Parábola

1Exponencial

Sinusoidal sin(kt)

Pulso

at

FORZANTE f t TRANSFORMADAAKs

ts

ts

es a

ks k

−

+

+

( )

(1 )

Impulso t 1

pt sp

APlsAxt es

−⋅ −

δ

7CELSO MONTALVO

Respuesta Transitoria de los Procesos

• La Respuesta Transitoria es calculada al invertir la transformada resultante del producto de la Funciónde Transferencia por la Función Forzante.

( ) ( ) ( )s s s= ⋅Y G X

• Ejemplo, para una función de primer orden y unaFunción Forzante tipo escalón:

1( ) ( )1

Ks ss sτ

= =+

G X

( )1 1( )

1 1 1K A Bs K K

s s s s s s⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= = = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥τ + τ + τ +⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Y

( )/( ) 1 tt K e− τ= −Y

8CELSO MONTALVO

Respuestas Transitorias Típicas

/1 2

1 1 [( ) ( ) ]( )( ) ( )( )

1( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1 1 1( ) ! ( 1) ( 1)

at btbt ct

at bt ct

n bt t an

e e s a a b e a c es a s b b a s b s c c b

e e es a s b s c b a c a c b a b a c b c

a a at e es b n s as s as

− −− −

− − −

− −+

− +− − −

+ + − + + −

+ ++ + + − − − − − −

− −+ + +

/

/2

/2

2 2 2

/ 2 22 2 2

1 .( 1)

1 sen( 1 ) para 12 1 1-

1 1 cos( 1 ) sen( 1 ) para 1( 2 1) 1

t a

t a

t

t

t ea

a e t as as

e ts s

t tes s s

ς τ

ς τ

ς ςτ ςτ ττ ς

ζς ς ςτ ςτ τ τς

−

−

−

−

+

+ −+

− − <+ +

⎡ ⎤+ − − − − <⎢ ⎥

+ + −⎢ ⎥⎣ ⎦

9CELSO MONTALVO

Respuestas Transitorias Típicas

/2

2 2 2

2 /2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

1 1 sen( 1 ) donde arccos( )( 2 1) 1-

11 1 sen( 1 ) donde arctg( )( 2 1) 1-

1 sen( 1 ) donde arccos( )( 2 ) 1-

( )

t

t

t

e ts s s

e ts s s

e ts s s

ss

ς τ

ς τ

ς ω

ς φ φ ςτ ςτ τς

ςς φ φ

τ ςτ τ ςς

ω ω ς φ φ ςςω ω ς

ω

−

−

−

+ − − = −+ +

−− − + =

+ +

+ − − = −+ +

+

2 2 2 2 2 2

2 2

1 sen( )2

1 sen( ) donde arctg( )( )[( ) ] ( ) ( )

cos( ) sen( )( )

at bt

at at

t t

e e ts a s b a b a ba b

ds c c add e t e ts a

ωω

ω φ ωφω ω ω ω

ω ωω ω

− −

− −

−+ =

+ + + − + −− +

+ −⎛ ⎞⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠

10CELSO MONTALVO

Sistema Integrador

• Se llama así al proceso cuya Función de Transferencia es P/s, donde P = cte.

( ) Pss

=X

• Su respuesta a un escalón es:

( ) ( )P Ks t PK ts s

= ⋅ = ⋅G G

11CELSO MONTALVO

Sistema Capacitivo

• Por analogía con un circuito eléctrico RC se llama así al proceso donde el cambio de su propiedadrepresentativa puede representarse comoproporcional a un fuerza motriz. La constante de proporcionalidad es una resistencia:

FuerzaMotriz PropiedadAcumuladaResistencia CapacidadPropiedad FuerzaMotriz

Resistencia Capacidadτ

∆ ∆= =

∆ ∆= ⋅

• Por ejemplo, para un tanque de nivel variable:h VResistencia CapacidadQ h

FuerzaMotriz h PropiedadAcumulada VVF

τ

∆ ∆= =∆ ∆

∆ = ∆ ∆ = ∆

=

h A V

Q=h/R

F

12CELSO MONTALVO

Respuesta Inversa

• Se produce cuando el Proceso tiene dinámicavariable en el numerador.

( )( )1( )

3 1 15 1nss

s sτ +

=+ +

Y

• Según el valor de τn, la respuesta puede disminuiren vez de aumentar, al iniciar la perturbación. Un ejemplo típico es el nivelde agua en un caldero.

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Step Response

Time (sec)A

mpl

itude

( )( )1( )

3 1 15 1nss

s sτ +

=+ +

Y

13CELSO MONTALVO

TEOREMA DEL VALOR FINAL

• Si la Respuesta Transitoria de un proceso se expresa como una Función de Transferencia F(s), su valor, cuando t ∞ se expresa

como:

[ ] [ ]0

lim ( ) lim ( )t s

f t s s→∞ →

= F

• siempre que el resultado no es infinito para todo valor de S, donde la parte real de s sea ≥ 0.

• Ejemplo. Hallar el valor final de la función y(t) tal que4( )

(2 1)(3 1)s

s s s=

+ +Y

• Operando:

[ ]0

4 4lim ( ) lim ( ) 4(2 1)(3 1) (2 1)(3 1)t s

sy t s ss s s s s→∞ →

= = = =+ + + +

Y

14CELSO MONTALVO

TEOREMA DEL VALOR INICIAL

• Si la Respuesta Transitoria de un proceso se expresa como una Función de Transferencia F(s), su valor, cuando t 0 se expresa

como:

[ ] [ ]0

lim ( ) lim ( )t s

f t s s→ →∞

= F

• Ejemplo. Hallar el valor inicial de la función y(t) tal que4( )

(2 1)(3 1)s

s s s=

+ +Y

• Operando:

[ ]0

4 4lim ( ) lim ( ) 0(2 1)(3 1) (2 1)(3 1)t s

sy t s ss s s s s→ →∞

= = = =+ + + +

Y

15

¡¡FIN!FIN!

Ing. CELSO MONTALVO HURTADOIng. CELSO MONTALVO HURTADOIng. CELSO MONTALVO HURTADO