11) González, F. y Gracia, F. (2003) (1)

Jornadas de Educacin Matemtica de la Comunidad Valenciana

491

Ampliacin al teorema de Morgan

Francisco G. Gonzlez Martnez y Floreal Gracia AlcaineUniversitat Jaume I

Resumen

Walter Marion estableci que: Si los puntos de triseccin de los lados de un tringulo cualquiera sonunidos a los vrtices opuestos, la razn entre el rea del tringulo y el rea del hexgono resultante es10. Este resultado fue generalizado por el estudiante de enseanza media Ryan Morgan, cuando cadalado del tringulo es dividido en n segmentos congruentes, con n impar. Edison De Faria ampli lageneralizacin para el caso en que n sea par.Esta ponencia, con el apoyo del software de geometra dinmica Cabri Geometry II y el Derive,generaliza el teorema de Morgan a la proporcin entre el segmento utilizado y el lado del tringulo,adems de plantear nuevas ideas y caminos de investigacin.

IntroduccinFrank D. Nowosielski, profesor del Patapsco High School en Baltimore County,Maryland, en 1993 present a sus alumnos de noveno grado de enseanza media,una actividad para que utilizando un software de geometra, redescubrieran elteorema de Walter Marion que establece lo siguiente: Si los puntos de triseccinde los lados de un tringulo cualquiera son unidos a los vrtices opuestos, la raznentre el rea del tringulo y el rea del hexgono resultante es 10.

Figura 1

UserCuadro de texto11) Gonzlez, F., & Gracia, F. (2003). Ampliacin al teorema de Morgan. Jornadas de educacin matemtica de la comunidad valenciana, 491-499.

UserSello

UserCuadro de textoMaterial compilado con fines acadmicos, se prohbe su reproduccin total o parcial sin la autorizacin de cada autor.

Gonzlez, Francisco. y Gracia, Floreal. Ampliacin al teorema de Morgan

492

Utilizando Geometers Sketchpad en clase, uno de los estudiantes llamado RyanMorgan, adems de comprobar el teorema propuesto, generaliz el resultado aldividir cada lado del tringulo en n partes congruentes con n 3, Ryan se diocuenta de que la razn entre el rea del tringulo y el rea del hexgono centralformado era constante para cualquier valor de n impar.

Nmero de segm. 3 5 7 9 11 13

Razn entre reas 10 28 55 91 136 190

Utilizando regresin cuadrtica, el estudiante conjetur que la razn entre lasreas era igual a:

si n es impar, pero pasaron varios meses hasta que se lograra la demostracinterica de la conjetura [Watanabe].

Generalizacin del teorema de MorganEn el RELME 14 desarrollado en Panam en julio pasado, Edison De Faria de laUniversidad de Costa Rica utilizando el software de geometra dinmica CabriGeometry trabaj con N par:

Nm. Segmentos Razn entre reas 4 4.375 6 10 8 17.875 10 28 12 40.375 14 55

Figura 2Ajustando los datos mediante un polinomio cuadrtico se tiene:

Edison demostr que para N par, la raznentre el rea del tringulo original y elhexgono central correspondiente es iguala: [De Faria]

3249 2 -N

Equivalencia entre Morgan y De FariaLa relacin que plantea De Faria es equivalente a la primera, considerando que elvalor de n de Morgan es diferente al N de De Faria, al tomar ste dos partes en ladivisin.

819 2 -n


493

Morgan De Farian N

Nmero de segmentos congruentes(impar) tomando el central

Nmero de segmentos congruentes(par) tomando los dos centrales

819 2 -n

3249 2 -N

Siendo: N = 2n

819

84

)19(4

32

4)4(9

32

4)2(9

3249

:22222 -

=

-=

-=

-=

- nnnnNy

Sea el tringulo:

Si construimos un cuadro comparativo para los doscasos a partir del tringulo de la figura 3 yconsiderando que n es el nmero de segmentos decada lado se tiene:

Figura 3n impar (Morgan) n par (De Faria)

n i c d n i c d

3 1 1 1 2

4

n1

4

n

5 2 1 2 4 38

n

1 38

n

7 3 1 3 6 512

n

1 512

n

9 4 1 4 8 716

n

1 716

n

... ... ... ... ... ... ...

n

2

1-n1

2

1-nn

n

nn

2

)1( -1

n

nn

2

)1( -

2

1-n1

2

1-n

Esto muestra que existe una confusin entre el nmero de segmento y laproporcin utilizada, que es el anlisis que a continuacin presentamos.

Proporcin en el Teorema de Morgan

Sean CAyBCAB, la longitud de cada uno de los lados del tringulo de la figura4 y aa, bb y dd la longitud de los segmentos a partir de los cuales se construye elhexgono interno, de modo que:


494

rdba 1

===CABCAB

Donde r1 es la proporcin entre el

segmento utilizado y el lado corres-pondiente del tringulo, para cualquiervalor de r.

As tenemos los siguientes valores:

Figura 4

Proporcin r 2 3 4 5 6 7Razn entre reas 4.375 10 17.875 28 40.375 55

8

19 2 -r

Bajo estas condiciones el Teorema de Morgan se cumple con independencia deque n se par o impar:

Figura 5 Figura 6DemostracinDado el tringulo ABC de la figura 6 donde:

los puntos a1 y a2 dividen AB en tres segmentos de longitudes m, n y o los puntos a3 y a4 dividen al lado BC en tres segmentos de longitudes p, q y r los puntos a5 y a6 dividen al lado CA en tres segmentos de longitudes s, t y u.

trazamos segmentos que unen los vrtices con los puntos ai del lado opuesto,obteniendo 12 puntos de interseccin que los nombramos con la letra b (b1, b2,....., b12), estos puntos definen las siguientes figuras geomtricas:

Los tringulos b1b2b3 y b4b5b6 que los llamaremos T1 y T2 respectivamente.

Figura 7 Figura 8


495

Los tringulos b1b7b12 , b8b2b9 , b11b10b3 , b4b8b7 , b9b5b10 y b12b11b6 que losllamaremos P1 , P2 , P3 , P4 , P5 y P6 respectivamente.

Figura 9 Figura 10

El Hexgono de vrtices b7b8b9b10b11b12 que llamaremos H (fig. 10). Y E a la estrella de vrtices: b1b7b4b8b2b9b5b10b3b11b6b12

Figura 11El Teorema de Steiner dice: Si los lados AB, BC, y CA del tringulo ABC sondivididos por los puntos P1 , P2 y P3 en los respectivos ratios l:1, m:1 y n:1, lossegmentos AP2, BP3 y CP1 forman un tringulo cuya rea es:

( )( )( )( ) )(111

1)'''(

2

ABCareaCBAarea ++++++

-=

mmmnmnlllmlmnnnlnllmnlmn

Para futuras referencias llamaremos:( )

( )( )( )1111

),,(F2

++++++-

=mmmnmnlllmlmnnnlnl

lmnlmnnnmmll

Por lo tanto el cociente de las reas delos dos tringulos depende exclusiva-mente de los ratios l:1, m:1 y n:1 y si serealiza una transformacin del tringulo

ABC en otro ABC que conserve los ratios anteriores, se mantendr constante larazn entre las reas.Por comodidad llamaremos transformaciones de Steiner a toda transformacin deun tringulo que conserve los ratios l:1, m:1 y n:1. Las homotecias del trianguloABC son un caso particular de estas transformaciones, ya que si realizamos unahomotecia a dos de los lados sin variar el tercero (es decir, movemos un vrticesin cambiar las proporciones entre los segmentos) los ratios no se alteran.Volviendo a la construccin inicial y aplicando el teorema de Steiner


496

adecuadamente en cada caso, obtenemos que los siguientes cocientes soninvariantes por transformaciones de Steiner:

T

Py

T

P,

T

P ,

T

P ,

T

P,

T

P ,

T

T ,

T

T 65432121

donde T representa el rea del tringulo ABC y T1, T2, P1, P2, P3, P4, P5 y P6 lasreas de los respectivos tringulos que tienen los mismos nombres (ver figuras 7,8 y 9). Vemoslo:Sea ABC el tringulo obtenido del tringulo ABC (figura 6), por unatransformaciones de Steiner. Si llamamos m,n,o,p,q,r,s,t,u a las longitudes delos nuevos segmentos obtenidos, se verifica que:

ggbbaa ========='u

u

't

t

's

s ,

'r

r

'q

q

'p

p ,

'o

o

'n

n

'm

m (2)

Aplicando el teorema de Steiner (figura 7) tenemos que :

+++=

uts

,r

qp,

onm

FT1T y

+++=

'u't's

,'r

'q'p,

'o'n'm

F'T'1T

Segn (2) 'o

'n'm'o

'n'mo

nm +=

+

=+

aaaaaa anlogamente

'u't's

uts

y 'r

'q'pr

qp

+=

++=

+

De donde se obtiene que :'T'1T

T1T

=

Repitiendo el mismo razonamiento anterior y teniendo en cuenta las relacionessiguientes ( ver figuras 8 y 9 ):

+++

=ut

s,

rqp

,on

mF

T2T ,

++

+=

uts

,r

qp,

onm

FT1P , ..

++

+=

uts

,rq

p,

onm

FT2P

+++

=ut

s,

r

qp,

o

nmF

T

3P ,.

+++

=u

ts,

rqp

,on

mF

T4P .,

++

+=

uts

,rq

p,

onm

FT5P

++

+=

uts

,r

qp,

onm

FT6P , y 6y 1,2,3,4,5j

'T'Pj

TPj

y 1,2i 'T'Ti

TTi

====

As como tambin: 6y 1,2,3,4,5j 1,2i 'Pj

'Ti

Pj

Ti===

De la figura 10 puede observarse la siguiente relacin: H = T1 -- P1 --P2 -- P3siendo H el rea del Hexgono. Dividiendo la anterior igualdad por T, tenemos:

'T'H

T'P3'

T'P2'

T'P1'

T'T1'

TP3

TP2

TP1

TT1

TH

=---=---=

de donde se obtiene que este cociente tambin permanece invariante portransformaciones de Steiner.Anlogamente de la figura 11 se obtiene la siguiente relacin: E = T1 + T2 -- Hsiendo E el rea de la estrella de doce puntas. Dividiendo por T, tenemos que:

T

H

T

T

T

T

T

E 21 -+= Y como todos los cocientes que intervienen en el segundo

miembro son invariantes por transformaciones de Steiner, tambin los ser elcociente entre el rea de la estrella y el tringulo ABC. De la misma forma:


497

'H'E

HE

= Por lo tanto podemos establecer el siguiente resultado:

Dado el tringulo ABC de la figura 6 cuyos lados son divididos en tres segmentoscada uno, por los puntos a1 , a2 , a3 , a4 , a5 y a6, de modo que los segmentoscentrales contienen al punto medio de cada lado como punto interior, al cual leaplicamos una transformaciones de Steiner. Los cocientes entre las reas de lasfiguras formadas por la interseccin de los segmentos que unen cada vrtice conlos puntos situados en el lado opuesto:

61,2,3,4,5,j 1,2i T

Ey

T

H ,

H

E ,

Pj

E,

Pj

H ,

Ti

E ,

Ti

H,

T

Pj ,

Pj

Ti ,

T

Ti==

son invariantes bajo transformaciones de Steiner del triangulo ABC.Adems tenemos las siguientes relaciones:

Para el tringulo T1: u

ts ,

rqp

, o

nm +=

+=

+= nnmmll

( ) [ ][ ] [ ] [ ]ruutsqutsputsotsntsmorrqpnrqpmorutsqpntsqpm

utsrqponmT

T

++++++++++++++++++-+++++

=)()()()()()()(

))(())((,,,,,,,,

21

Anlogamente tomando los valores apropiados de l, m y n se obtiene T

T2 .

Para el tringulo P1:u

ts ,

rqp

, on

m +=

+=

+= nnmmll

( ) [ ][ ] [ ] [ ]ru)uts(q)uts(p)uts)(on()ts(m)on(r)rqp(m)on(ru)ts)(qp(m

u,t,s,r,q,p,o,n,mT

1P 2

++++++++++++++++-++

=

De forma similar obtenemos las frmulas de T

P

T

P 62 ..., .

Para los cocientes entre el hexgono y la estrella usaremos las relaciones:

T

P

T

P

T

P

T

T

TH 3211 ---= y

T

H

T

T

T

T

T

E 21 -+=

Llegando al Teorema de MorganUn caso particular , pero que generaliza el problema de Morgan es:


498

Aplicando las frmulas anteriores para los siguientes valores :

21-

u , 1 t, 2

1s ,

21-

r , 1q , 2

1p ,

21-

o , 1n , 2

1m

rrrrrrrrrrrr==

-===

-===

-=

obtenemos: 1,2i 4

13

21

,1,2

1,1,

21

,2

1,1,

21 2

=+

=

----- rrrrrr

TiT

( )( )( ) 1,2,...,6i 14

1913

2

1,1,

2

1,1,

2

1,

2

1,1,

2

12

22

=-

-+=

-----

rrrrrrrr

PiT

819

21

,1,2

1,1,

21

,2

1,1,

21

HT 2 -

=

----- rrrrrrrrrrrr ,

( )( )( ) 1316

1913

2

1,1,

2

1,1,

2

1,

2

1,1,

2

12

22

--+

=

-----

rrrrrrrr

ET

Y tambin las siguientes relaciones:( )

( ) 13132

2

1,1,

2

1,1,

2

1,

2

1,1,

2

12

2

+-

=

-----

rrrrrrr

HE

Observar que si calculamos:( )( ) 213

132

2

1,1,

2

1,1,

2

1,

2

1,1,

2

12

2

=+-

=

-----

rrrrrrr

rrlimlim H

E

lo cual nos indica que cuando r se hace muy grande el rea de la estrella es eldoble del rea del hexgono.

Otras constantesOtras relaciones interesantes son:

( )( ) 1,2i 3

4

19

134

21

,1,2

1,1,

21

,2

1,1,

21

2

2

= --

=

-----

rrrrrrrr

TiE

( )( ) 1,2,...,6i 12 1

134

21

,1,2

1,1,

21

,2

1,1,

21

2

2

= -

-=

-----

rrrrrrrr

PiE

( )( ) 1,2i 3

2

19

132

21

,1,2

1,1,

21

,2

1,1,

21

2

2

= -+

=

-----

rrrrrrrr

TiH

( )( ) 1,2,...,6i 6 1

132

21

,1,2

1,1,

21

,2

1,1,

21

2

2

= -

+=

-----

rrrrrrrr

PiE

( )( ) 1,2,...,6j 1,2i 9 1

19

21

,1,2

1,1,

21

,2

1,1,

21

2

2

== --

=

-----

rrrrrrrr

PjTi

Nuevas investigaciones

Una lnea de investigacin es la ampliacin del Teorema de Morgan cuando losvalores de las proporciones son diferentes para cada lado.


499

Conclusiones

La tecnologa ha realizado progresos notables en la sociedad actual y como no, enlas costumbres de sta. En el mbito cientfico esta revolucin tambin haproducido cambios asombrosos, aunque todava nos queda por realizar una mayoracomodacin a estas novedades. Se abren nuevos debates que no se abordan enprofundidad, dejando que los acontecimientos nos sobrepasen o simplementedamos soluciones de urgencia, sin buscar una solucin definitiva o por lo menosreflexionada al enigma planteado. Uno de estos problemas abiertos es laaplicacin de esta tecnologa en el mbito educativo e incluso en el campo de lainvestigacin matemtica y hay que determinar esto ltimo ya que la tecnologa sique se ha incorporado con arraigo en muchos de los otros campos cientficos, sinembargo parece que .el mbito terico est vetado para tales aplicaciones.En este trabajo apreciamos la utilizacin de las nuevas tecnologas en ayuda denuestra labor de investigacin en matemticas. Principalmente podemos destacarlas siguientes aplicaciones:

1. Formulacin de hiptesis de trabajo.2. Comprobacin de estas hiptesis.3. Eliminacin de conjeturas y formulacin de contraejemplos.4. Elaboracin de complicados y tediosos clculos algebraicos.

Gracias a un asistente geomtrico como el CABRI, hemos podido formularhiptesis de trabajo con una increble comodidad y precisin, llegandoposteriormente a una fcil comprobacin de stas. Creando un debate en lacomunidad matemtica sobre la aceptacin de la comprobacin exhaustiva comodemostracin de una tesis. Es necesario que la evidencia observada, seacontrastada con una demostracin algebraica rigurosa? Puede darse comodemostracin, la comprobacin exhaustiva? Lo que nadie puede negar es lautilidad para dar contraejemplos que eliminen conjeturas errneas y la aceptacinmatemtica de estos procedimientos.Tambin los asistentes matemticos, como el Derive (incorporado en calculadorassimblicas como la TI-89) nos han ayudado a la realizacin de tediosos clculosalgebraicos, que mas que por su dificultad, aburren por su amplitud.

Referencias

[1] DE FARIA, E. (2000). Generalizacin del Teorema de Morgan, Panam:RELME 14.

[2] WATANABE, T., HANSON, R., NOWOSIELSKI, F.( 1996) Morgans theorem.The Mathematics Teacher, Vol. 89, No. 5.

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