SOLUCION SEGUNDA PRUEBA ECUACIONES DIFERENCIALESIngeniería Civil Códigos 10008-11039-19003-95007- 96008

Primer Semestre 2011(25/05/2011)

Pregunta 1

Una masa de 12 slug estira un resorte de 4 pies y el medio que rodea el sistemamasa-resorte ofrece una resistencia al movimiento numéricamente igual a 4.5veces la velocidad instantánea. El peso se suelta 6 pulgadas por debajo de laposición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de v0 pies/seg.¿Quevalores puede tener v0 para que la masa pase por la posición de equilibrio?Respuesta:Como m = 1

2 slug )W = 32 � 12 = 16 = 4k ) k = 4Luego la ecuación es :1

2x00 +

9

2x0 + 4x = 0

con las condiciones x (0) = 12 y x

0 (0) = �v0 y v0 > 0pues la velocidad esta dirigida hacia arriba.................................................................................................................0.4

Resolviendo la ecuación homogénea obtenemos:x (t) = Ae�8t +Be�t con A y B constantes.................................................................................................................0.4De las condiciones x (0) = 1

2 y x0 (0) = �v0

obtenemos el sistema :A+B = 1

2�8A�B = �v0

�de donde A =

2v0 � 114

y B =4� v07

................................................................................................................0.2El objeto pasará por la posición de equilibrio si x (t) = 0; es decir si:�2v0 � 114

�e�8t +

�4� v07

�e�t = 0

.

................................................................................................................0.2De donde obtenemos:, e7t =

2v0 � 12 (4� v0)

con v0 > 0

................................................................................................................0.2Para todo t > 0 se tiene que e7t � 1; entonces2v0 � 12 (4� v0)

> 1 con v0 > 0

................................................................................................................0.2Resolviendo la inecuación se tiene que la masa pasará por la posición de

equilibrio si

v0 >9

4................................................................................................................0.4

1

Pregunta 2

Para x > 0 usando método de Frobenius encuentre la solución general alrede-dor de x = 0 de la ecuación de Laguerre de orden 2: xy00+(1�x)y0+2y = 0:

Solución:Multiplicando por x la ecuación se tiene:

x2y00 + (1� x)xy0 + 2xy = 0; x = 0; punto singular regular

�(x) = xr1Xk=0

ck(r)xk; �0(x) = xr�1

1Xk=0

(k + r)ck(r)xk;

�00(x) = xr�21Xk=0

(k + r � 1)(k + r)ck(r)xk

Formando los términos de la ecuación diferencial:

x2�00(x) = xr1Xk=0

(k + r � 1)(r + k)ck(r)xk

x�0(x) = xr1Xk=0

(k + r)ck(r)xk

x2�0(x) = xr1Xk=0

(k + r)ck(r)xk+1 = xr

1Xk=1

(k + r � 1)ck�1(r)xk

2x�(x) = xr1Xk=0

2ck(r)xk+1 = xr

1Xk=1

2ck�1(r)xk

Reemplazando en la ecuación diferencial:

xr

" 1Xk=0

((k + r � 1)(k + r) + (k + r)) ck(r)xk +1Xk=1

(�(k + r � 1) + 2) ck�1(r)xk#

= 0

xr

"((r � 1)r + r) c0(r) +

1Xk=1

[((k + r � 1)(k + r) + (k + r)) ck(r) + (�k � r + 3) ck�1(r)]xk#

= 0

Polinomio indicial: q(r) = r2; q(r) = 0, tiene por solución r = r1 = r2 = 0

q(k + r) = (k + r)2; luego (k + r)2ck(r) + (�k � r + 3)ck�1(r) = 0; 8k � 1

................................................................................................................0.3ck(r) =

k+r�3(k+r)2 ck�1(r); 8k � 1

c1(r) =r�2(r+1)2 c0(r)

c2(r) =r�1(r+2)2 c1(r) =

(r�1)(r�2)(r+1)2(r+2)2 c0(r)

c3(r) =r

(r+3)2 c2(r) =r(r�1)(r�2)

(r+1)2(r+2)2(r+3)2 c0(r)

2

ck(r) =(r � 2)(r � 1)r(r + 1):::(r + k � 3)

(r + 1)2(r + 2)2:::(k + r)2c0(r); 8k � 1

................................................................................................................0.4Con r = 0 y c0(0) = 1, se tiene c1(r) = �2; c2(r) = 1

2 yck(0) = 0; 8k � 3

�1(x) = 1� 2x+1

2x2

................................................................................................................0.3Aplicando logaritmo a ck(r) y luego derivando se tiene:

ln(ck(r)) = [ln(r � 2) + ln(r � 1) + ln(r) + ln(r + 1) + :::+ ln(r + k � 3)]�2 [ln(r + 1) + ln(r + 2) + :::+ ln(k + r)]

c0k(r)

ck(r)=

1

r � 2 +1

r � 1 +1

r+ :::+

1

r + k � 3

�2�1

r + 1+

1

r + 2+ :::+

1

r + k

�c0k(r) =

"(r � 1)r(r + 1):::(r + k � 3)(r + 1)

2 � (r + 2)2 ::: (r + k)2+(r � 2)r(r + 1):::(r + k � 3)

(r + 1)2::: (r + k)

2

+(r � 2)(r � 1)(r + 1):::(r + k � 3)(r + 1)

2 � (r + 2)2 ::: (r + k)2+ � � �+ (r � 2)(r � 1)(r + 1):::(r + k � 2)

(r + 1)2 � (r + 2)2 ::: (r + k)2

�2�1

r + 1+

1

r + 2+ :::+

1

r + k

�ck(r)

�c0(r)

8k � 3

................................................................................................................0.4Con r = 0 y c0(0) = 1 se tiene:

c0k(0) =2 � 1 � 2 � 3 � 4 � :: � (k � 3)12 � 22 � 32 � ::: � k2 =

2 � 1 � 2 � 3 � ::: � (k � 3) � (k � 2)(k � 1)k(k!)2(k � 2)(k � 1)k

c0k(0) =2

(k � 2)(k � 1)k � k! ; 8k � 3

................................................................................................................0.4Coonsiderando en forma independiente las derivadas de c1(r) y c2(r)

3

�2(x) =

"5x� 9

4x2 +

1Xk=3

2

(k � 2)(k � 1)k � k!xk

#+ ln(x)�1(x)

Solución general

�(x) = c1�1(x) + c2�2(x); c1; c2�R

................................................................................................................0.2

.Pregunta 3(a) Demuestre que:

sen(at) � sen(bt) = asen(bt)� bsen(at)a2 � b2 ; a 6= b

(b) Resuelva la ecuación con valores iniciales. Use transformada de Laplace.

y00 + 4y = f(t); donde f(t) =�

0; si 0 � t < 42sen(�t); si t � 4

tal que y(0) = 1; y0(0) = 0

Solución:(a)

L�asen(bt)� bsen(at)

a2 � b2

�(s) =

1

a2 � b2

�ab

s2 + b2� ba

s2 + a2

�=

ab

a2 � b2

�s2 + a2 � s2 � b2(s2 � b2)(s2 + a2)

�=

ab

(s2 + b2)(s2 + a2)

=a

s2 + a2� b

s2 + b2

= L (sen(at)) (s) � L (seb(bt)) (s)= L(sen(at) � sen(bt))(s)

Como L es inyectivo, se tiene que sen(at) � sen(bt) = asen(bt)� bsen(at)a2 � b2

................................................................................................................0.6

(b) Tenemos:

y00 + 4y = 2sen(�t) � u(t� 4)= 2u(t� 4)sen(�t� 4�)

................................................................................................................0.3

4

Aplicando transformada de Laplace queda:

s2Y (s)� s+ 4Y (s) = 2e�4s�

�

s2 + �2

�Entonces:

Y (s) =s

s2 + 22+ e�4s

��

s2 + �2� 2

s2 + 22

�................................................................................................................0.4

Y (s) =s

s2 + 22+ e�4s (L(sen(�t))(s) � L(sen(2t)) (s))

Y (s) =s

s2 + 22+ e�4s(L(sen(�t) � sen(2t))(s))

................................................................................................................0.3Usando (a)

Y (s) =s

s2 + 22+ e�4s

�L��sen(2t)� 2sen(�t)

�2 � 22

�(s)

�Aplicando L�1 :

y(t) = cos(2t) +

��sen(2(t� 4))� 2sen(�(t� 4))

�2 � 4

�u(t� 4)

................................................................................................................0.4

5