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8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 1/65
Es importanterecordarque las hipótesis son siempre afirmacionesrelativas a la poblacióno distri
buciónbajo estudio, no en tomo a la muestra.El valor del parámetro de la población especificado en
lahipótesis nula 2500 lpc en el ejemplo anterior suele determinarseen una de tres maneras.Primero,
puede resultar de la experienciao conocimientopasado del proceso, o incluso en un plan formal de ex
perimentaciónprevio. El objetivo de la prueba de hipótesis consiste, entonces, en determinar si la si
tuación experimental ha cambiado. Segundo, este valor puede determinarse a partir de alguna teoría
o modelo respecto del objeto que se estudia. Aquí el objetivo de la prueba de hipótesis es verificar la
32
11-2
o J 1
25001pc,
1 :
J 1 > 2500 lpc.
Al enunciado o J 1
2500 lpc de la ecuación 11-1 se le llama
hipótesis nula
al enunciado
H
J 1 : : ; :.
2500 lpc,
hipótesis alternativa.
Puesto que la hipótesis alternativa especifica valores de
J 1
que podrían ser más grandes o más pequeños que 2500 lpc, se le llama
hipótesis alternativa de dos
lados o bilateral . En algunas situaciones podemos estar interesados en formular una hipótesis al-
ternativa de un lado
o
unilateral
como en
11-1
o J 1
2500 lpc,
1 :
J 1 * 2500 lpc.
Una hipótesis estadística es una afirmación acerca de la distribución de probabilidad de una varia
ble aleatoria. Las hipótesis estadísticas a menudo involucran uno o más parámetros de esta distribu
ción. Por ejemplo, suponga que estamos interesados en la resistencia media a la compresión de un
tipo particular de concreto. Específicamente, estamos interesados en decidir si la resistencia media
a la compresión digamos
J 1
es o no de 2500 lpc libras por pulgada cuadrada;
psi: pound by squre
inch .
Podemos expresar esto de manera formal como
11 1 1 Hipótesis estadística
INTRODUCCiÓN
~fuchos problemas requieren decidir si se acepta o se rechaza una afirmación acerca de algún pará
metro.Tal afirmación suele llamarse hipótesis, el procedimiento de toma de decisiones en tomo a
ella recibe el nombre de prueba de hipótesis. Éste es uno de los aspectos más útiles de la inferencia
estadística, puesto que muchos tipos de problemas de decisión pueden formularse como problemas
e prueba de hipótesis. En este capítulo se desarrollarán procedimientos de prueba de hipótesis pa
r varias situaciones importantes.
Pruebas de
hipótesis
Capítulo
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 2/65
Error de tipo
Ningún error
Ningún error
Error de tipo I
Aceptación de
Rechazo de
es falsa
es verdadera
Tabla Decisiones en la prueba de hipótesis
11-3
11-4
a
{ rror tipo I}
P{rechazar
ol o
es verdadera},
f 3
P {error tipo TI}
P {aceptar ol o es falsa}.
La decisión para aceptar o rechazar la hipótesis nula se basa en una estadística de prueba calculada
a partir de los datos en una muestra aleatoria. Cuando se toma una decisión utilizando la informa
ción en una muestra aleatoria, ésta está sujeta a error. Pueden producirse dos tipos de errores cuan
do se prueban hipótesis. Si la hipótesis nula se rechaza cuando es verdadera, se ha cometido un error
del tipo 1. Si la hipótesis nula se acepta cuando es falsa, el error cometido es del tipo 11.Esta situa
ción se describe en la tabla 11-1.
Las probabilidades de ocurrencia de los errores de tipo I y de tipo TItienen símbolos especiales:
11 1 2 Errores de tipo tipo
teoría o modelo. Una tercera situación surge cuando el valor del parámetro de la población es resulta
do de consideraciones experimentales, como especificaciones de diseño o ingeniería, o de obligaciones
contractuales. En esta situación el objetivo usual de la prueba de hipótesis es confmnar la conformidad.
Estamos interesados en tomar una decisión en tomo a la veracidad o falsedad de una hipótesis:
Un procedimiento que conduce a tal decisión se llama prueb de un hipótesis Los procedimientos
de la prueba de hipótesis dependen del uso de la información en una muestra aleatoria de la pobla
ción de interés. Si esta información es consistente con la hipótesis, concluiríamos que la hipótesis es
verdadera; por el contrario, si esta información es inconsistente con la hipótesis, concluiríamos que
ésta es falsa.
Para probar una hipótesis, debemos tomar una muestra al azar, calcular una estadística de prueba
apropiada a partir de los datos de la muestra, y utilizar después la información contenida en esta esta
dística de prueba para tomar una decisión. Por ejemplo, al probar la hipótesis nula relativa a la resis
tencia media de compresión del concreto, en la ecuación 11-1, suponga que se prueba una muestra
aleatoria de 10 tipos de concreto
y
que se utiliza la media de la muestra
como una estadística de prue
ba. Si > 2550 lpc o si 2450 lpc, consideraremos que la resistencia media de compresión de
este tipo particular de concreto será diferente de 2500 lpc. Esto es, rech z rí mos la hipótesis nula
o u
2500. El rechazo de
o
implica que la hipótesis alternativa,
es verdadera. Al conjunto de
todos los valores posibles de
que son más grandes que 2550 lpc o menores que 2450 lpc se les lla
ma región crític o región de rech zo para la prueba. De modo alternativo, si 2450 lpc ~ 550 lpe,
cept rí mos la hipótesis nula
o f
2500. De tal modo, el intervalo [2450 lpc, 2550 lpc] se lla
ma región de cept ción para la prueba. Observe que las fronteras de la región crítica, 2450 lpc y
2550 lpc llamados a menudo v lores críticos de la estadística de prueba , se han determinado un po
co arbitrariamente. En las secciones siguientes mostraremos cómo construir una estadística de prue
ba apropiada para determinar la región crítica para diversas situaciones de prueba de hipótesis.
PROBABILIDAD ESTADíSTICA PARAINGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 3/65
igur 11-1 Curva característica de operación para el ejemplo de la prueba del concreto.
2300 2400 2500 2600 2700
,8 2300 ,8 2700
0.00
,8 2400 ,8 2600
1.00
_
Observe que la potencia de la prueba es la probabilidad de que una hipótesis nula falsa se recha
ce correctamente. Debido a que los resultados de una prueba de hipótesis están sujetos a error, no
podemos probar o rechazar una hipótesis estadística. Sin embargo, es posible designar procedi
mientos de prueba que controlen las probabilidades de error
y
[
a valores adecuadamente peque
ños.
La probabilidad
del error de tipo 1a menudo se llama nivelo t m ño de signific ciónde la prue
ba. En el ejemplo de la prueba de concreto, un error del tipo 1podría ocurrir si definimos que la me
dia de la muestra > 2550 lpc o si < 2450 lpc cuando, de hecho la resistencia media de compresión
verdadera es J 2500 lpc. En general, la probabilidad de cometer un error de tipo 1depende de la lo
calización de la región crítica. Por consiguiente, en la práctica para el analista suele ser fácil fijar la
probabilidad del error de tipo 1en o cerca de) cualquier valor deseado. Puesto que la probabilidad de
rechazar en forma errónea Ho depende directamente de quien toma las decisiones, el rechazo de Ho
siempre es una
conclusiónfuerte
Suponga ahora que la hipótesis nula Ho
J
2500 lpc es falsa. Es
to es, la verdadera resistencia media a la compresión J es algún otro valor diferente de 2500 lpc. La
probabilidad de cometer un error de tipo 11no es constante, sino que depende de la verdadera resisten
cia media a la compresión del concreto. Si J denota la verdadera resistencia media a la compresión,
[3 j1 denota la probabilidad de que ocurra un error de tipo II correspondiente a
J
La función f3 j1 se
evalúa encontrando la probabilidad de que la estadística de prueba en este caso
i
caiga en la región
de aceptación dado un valor particular de
J
Definimos la curv c r cterístic de oper ción o cur
va CO) de una prueba, como la gráfica de
[3 j1
contra
J
Un ejemplo de una curva característica de
operación para el ejemplo de la prueba de concreto se presenta en la figura 11-1. A partir de esta
curva, vemos que la probabilidad del error de tipo 11depende del grado en el que Ho
J
2500 lpc es
falsa. Por ejemplo, observe que [3 2700)
<
[3 2600). Por tanto, podemos considerar la probabilidad de
ocurrencia de un error de tipo 11como una medida de la capacidad de un procedimiento de prueba pa
ra detectar una desviación particular respecto de la hipótesis nula, Ho Las desviaciones pequeñas son
más difíciles de detectar que las grandes. Observamos también que, puesto que ésta es una hipótesis
alternativa de dos lados, la curva característica de operación es simétrica; esto es, [3 2400) [3 2600).
Además, cuando
J
2500, la probabilidad de que ocurra un error de tipo 11[3 1 -
11-5)
otencia
1 -
[
P{rechazar
HolH o
es falsa}.
Algunas veces es más conveniente trabajar con la potenci de la prueba, donde
PRUEBAS DE HIPÓTESIS 323
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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Figura 3
Efecto del error de tipo I en la curva característica de operación
J
5
f 3 1
Laprobabilidadde ocurrenciade un error de tipo es tambiénuna función del tamaño de lamues
tra como se ilustra en la figura 11-2.A partir de esta figura vemos que para un valor dado de la
probabilidad del error de tipo 1y un valor dado de la resistencia media a la compresión la proba
bilidad de ocurrencia del error de tipo disminuye conforme aumenta el tamaño
de la muestra.Es
to es en la hipótesis nula es más fácil de detectar una desviación específica de la media verdadera
respecto del valor en tamaños muestrales grandes que en pequeños. El efecto de la probabilidad
del
error de tipo 1 sobre la probabilidad del error de tipo para un tamaño dado de muestran se ilus
tra en la figura 11-3.La disminución de
provoca que
aumente y el incremento de
ocasiona que
disminuya.
Debido a que la probabilidad del error de tipo es una función tanto del tamaño de muestra
como del grado en el que es falsa la hipótesis nula opor lo común se considera que la decisión
de aceptar oes una conclusión débil a menos que sepamos que es aceptablemente pequeña. Por
tanto en vez de decir que aceptamos Ro preferimos la terminología no se rechaza Ro . El no
rechazar oimplica que no hemos encontrado la evidencia suficiente para rechazarla esto es para
Figura 2
Efecto del tamaño de la muestra de la curva característica de operación
J
324 PROB BILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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11-7
H o: J1
f lo
H¡:J1>f lo·
Esto implicaría que la región crítica se localiza en la cola superior de la distribución de la esta
dística de prueba. Esto es, si la decisión se basara en el valor de la media de la muestra
X
rechaza
ríamosHo en la ecuación 11-6si
fuera demasiado grande. La curva característica de operación para
la prueba correspondiente a esta hipótesis se muestra en la figura 11-4,junto con la curva caracte
rística de operación para una prueba bilateral. Observamos que cuando es cierto que la media ver
dadera
J1
es mayor que
flo
esto es, cuando la hipótesis alternativa
H¡: J1
>
flo
es verdadera , la prueba
unilateral es superior a la prueba bilateral en el sentido de que tiene una curva característica de ope
ración con pendiente más pronunciada. Cuando la media verdadera
J1
f lo
las pruebas unilaterales
y bilaterales son equivalentes. Sin embargo, cuando la media verdadera
J1
es menor que
f lo
las dos
curvas características de operación difieren. Si
J1
f lo
la prueba bilateral tiene una mayor probabili
dad que la prueba unilateral de detectar esta desviación respecto de
f lo
Esto resulta atractivo desde el
punto de vista intuitivo, ya que la prueba unilateral está diseñada suponiendo ya sea que
J1
no puede
sermenor que f lo o que sería deseable aceptar la hipótesis nula en caso de queJ1fuera menor que f lo·
En realidad, se pueden emplear dos modelos diferentes para la hipótesis alternativa unilateral.
En caso de que la hipótesis alternativa seaH ¡: J1> f lo estos dos modelos serían:
11-6
Ho:
f
f lo
H
1: f
flo ·
Muchos problemas de prueba de hipótesis involucran de manera natural las hipótesis alternati
vas unilaterales. Por ejemplo, suponga que deseamos rechazar
sólo cuando el valor verdadero de
la media es superior a f lo Las hipótesis serían:
Ho:
f
flo
H ¡:
f =
flo
Debido a que rechazar
siempre da por resultado una conclusión fuerte, en tanto que no rechazar
puede dar lugar a una conclusión débil, a menos que sesepa que f 3 es pequeña, casi en todos los
casos preferimos que la afirmación en tomo a la cual se desea una conclusión fuerte esté en la hipó
tesis alternativa, H ¡ Los problemas para los que es apropiada una hipótesis alternativa bilateral, en
realidad no permiten que el analista haga una elección. Esto es, si deseamos probar la hipótesis de
que la media de una distribución
f
es igual a un valor arbitrario, digamos
flo
y al hacerlo es impor
tante detectar valores de la media verdadera
f
que podrían ser más grandes o más pequeños que flo
debe utilizarse la alternativa bilateral en
11 1 3 Hipótesis unilaterales o bilaterales
hacer una conclusión fuerte. De este modo, no rechazar
no significa necesariamente que hay una
alta probabilidad de que esa hipótesis sea verdadera. Esto puede implicar que se requieran más datos
para llegar a una conclusión fuerte. Lo anterior puede tener importantes consecuencias en la formu
lación de hipótesis.
PRUEB S DE HIPÓTESIS 325
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 6/65
Considere la formulación
de
la ecuación 11-9.Si se rechaza la hipótesis nula, lasbotellas seránjuz
gadas satisfactoriamente; en tanto que si no se rechaza, se consideraría que las botellas no se
11-10
H a : f .1 ; : : :
200 lpe,
H ¡ :
f
<
200 lpc.
o
11-9
H a : f .1 : : : ; 200 lpc,
H ¡ : f . 1 200 lpc.
En la ecuación 11-7estamos suponiendo que
f . 1
no puede ser menor que 1 1 0 así que la curva carac
terística de operación no está definida para valores de f . 1 / 1 0 En la ecuación 11-8 suponemos que
f . 1 puede ser menor que 1 1 0
y
que, en una situación tal, sería deseable aceptar H a . Por tanto, en l a ecua
ción 11-8la curva característica de operación se define para todos los valores de
f .1 : :: ; 1 1 0
Específica
mente, si
f . 1 : : : ; / 1 0
tenemos
f 3 f . 1
1-
e x f . 1 ,
donde
e x f . 1
es el nivel de significación como una función
de
En situaciones en las que el modelo de la ecuación 11-8 es apropiado, definimos el nivel de
significación de una prueba como el valor máximo de la probabilidad e x del error de tipo 1;esto es,
el valor de e x en f . 1
=
/ 1 0 En situaciones en las que sea apropiada la hipótesis alternativa unilateral,
por lo general escribimos la hipótesis nula con la igualdad; por ejemplo, H a : f . 1 = 1 1 0 Esto se inter
pretará como la inclusión de los casos H a : f . 1 : : : ; 1 1 0 o H a : f .1 ; : : : 1 1 0 cuando sea apropiado.
En los problemas en que se indican procedimientos de prueba unilateral, los analistas en ocasio
nes tienen dificultad para elegir una formulación apropiada de la hipótesis alternativa. Por ejemplo,
suponga que un embotellador de refrescos compra botellas no retomables de 10 onzas a una com
pañía vidriera. El embotellador desea tener la certeza de que las botellas superarán la especifica
ción relativa a la presión interna media, o resistencia al rompimiento, que en el caso de las botellas
de 10onzas es de 200 lpc.El embotelladorha decidido formular el procedimiento de decisión para un
lote específico de botellas como un problema de hipótesis. Hay dos formulaciones posibles para es
te problema:
11-8
a : f . 1
f . 1 a ,
H ¡ : f . 1
1 1 0 ·
Figura 11 4 Curvas características de operación para las pruebas bilaterales
y
unilaterales
1 1
1 0
Curva CO para una
prueba unilateral
Curva CO para una
y prueba bilateral
1.00
{r
326 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 7/65
donde lo es una constante específica.
Sedispone de una muestra aleatoria de tamañon l 2 •
n
Cada observación de esta mues
r tiene una media
L
desconocida y una varianza conocida. El procedimiento de prueba para
H j: l
lo utiliza la estadística de prueba
11-11)
a :
l
lo
I l lo
nálisis est dístico
Suponga que la variable aleatoria X representa algún proceso o población de interés. Daremos por
hecho que la distribución de X es normal o que, si no lo es, se cumplen las condiciones del Teorema
del Límite Central. Además, consideraremos que se desconoce la media l de X, pero que se conoce
la varianza
a2
Estamos interesados en probar la hipótesis
11 2 1
rueb s de hipótesis sobre l medi de un distribución norm l
con v ri nz conocid
2 PRUEBAS DE H IPÓTES IS SO BRE U NA SO LA M UESTRA
apegan a las especificaciones y que, por tanto, no deberían utilizarse. Debido a que el rechazo de
H o
es una conclusión fuerte, esta formulación obliga a que el fabricante de las botellas demuestre que
la resistencia media de éstas al rompimiento supera la especificación. Considere ahora la formula
ción de la ecuación 11-10. En esta situación, las botellas se juzgarán satisfactorias
a menos
que
H o
se rechace. Esto es, concluiríamos que las botellas son satisfactorias a menos que hubiera una evi
dencia significativa en sentido contrario.
¿Cuál de las formulaciones es correcta, la de la ecuación 11-9 o la de la ecuación 11-10?Eso
depende. En el caso de la ecuación 11-9hay cierta probabilidad de que
H a
sea aceptada esto es, de
cidiríamos que las botellas no son satisfactorias), aun cuando la media verdadera sea ligeramente
mayor que 200 lpc. Esta formulación implica que deseamos que el fabricante de las botellas
demues-
tr e
que el producto cumple o supera nuestras especificaciones,y sería apropiada si, de acuerdo con la
experiencia, el fabricante ha enfrentado dificultades para cumplir las especificaciones, o si las consi
deraciones de seguridad del producto nos obligan a mantener estrictamente la especificación de 200
Ipc. Por otra parte, en lo que respecta a la formulación de la ecuación 11-10,hay cierta probabilidad
de que H a se aceptará y de que se juzgarán satisfactorias las botellas, aun cuando la media verdade
ra sea ligeramente menor que 200 lpc. En consecuencia, concluiríamos que las botellas no son satis
factorias sólo en caso de haber una fuerte evidencia de que la media no supera 200 lpc; esto es,
cuando la hipótesis
H a:
u ~200 lpc se rechace. Esta formulación supone que estamos relativamen
te satisfechos con el rendimiento que el fabricante de botellas ha tenido en el pasado, y que las pe
queñas desviaciones respecto de la especificación
u ~
200 lpc no son perjudiciales.
Al formular hipótesis alternativas, debemos recordar que el rechazo deH o es siempre una con
clusión fuerte y, en consecuencia, debemos enunciar la importancia de los hechos involucrados en
la hipótesis alternativa. A menudo, esto dependerá de nuestro punto de vista y experiencia en tomo
a la situación.
PRUE S DE HIPÓTESIS 7
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 8/65
H a: J
=
40 cm/s,
H ¡: J 40 cm/s.
Se está estudiando la tasa de quemado de un propulsor a chorro. Las especificaciones requieren que la tasa
media de quemado sea 40 cm/s. Además, suponga que sabemos que la desviación estándar de la tasa de que
mado es aproximadamente de 2 cm/s. El experimentador decide especificar una probabilidad de error de tipo
1
a
0.05,Ybasará la pruebaen una muestraaleatoriade tamaño n 25. Las hipótesis que deseamosprobar son:
La ecuación 11-14 define la
región de aceptación
para
Yla ecuación 11-13 define su
re-
gión crítica o región de rechazo La probabilidad de ocurrencia de un error de tipo 1para este pro
cedimiento de prueba es a
Figura 5 La distribución de
o
cuando Ho es verdadera
o
Región crítica
a/2
Región de
aceptación
Región
z
>
ZaJ2
U-13a
o
z
<
ZaJ2
ll-13b
no rechazarla si
ZaJ2 ::;;z sZaJ2·
11-14
Si la hipótesis nula H o: 1
=
1 0 es cierta, E X
=
f l D resulta que la distribución de Zo es N O 1
En consecuencia, siH o: 1
=
f l D
es verdadera, la probabilidad de que un valor de la estadística de prue
ba Zo caiga entre
ZaJ2 y
Z l_ a> en donde
ZaJ2
es
el
punto porcentual de la distribución normal están
dar, tal que
P
{Z ZaJ2} =
a/2
[esto es, ZaJ2 es el punto porcentual
100 1-a/2
de la distribución
normal estándar]. La situación se ilustra en la figura 11-5.Observe que a es la probabilidad de que
un valor de la estadística de prueba Zo caería en la región Zo >
ZaJ2
o Zo <
ZaJ2
cuando H o: J
= f l D
es
verdadera. Resulta obvio que sería inusual que una muestra produjera un valor de la estadística de
prueba que se ubicara en las colas de la distribución de Zo si H o:
J
= f l D es verdadera; esto también
es una señal de que H o es falsa. Por tanto, debemos rechazar H o si
11-121
x - f l D
z
¡¡n.
a n
8
PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 9/65
Ho:
.1
. 1 0
H¡: .1 = . 1 0 .
lección del t m ño de l muestr
Al probar las hipótesis de las ecuaciones 11-11, 11-15Y 11-17,el analista selecciona directamente
la probabilidad
a
del error de tipo
1
Sin embargo, la probabilidad
3
del error de tipo II depende de la
elección del tamaño de la muestra. En esta sección mostraremos cómo seleccionar el tamaño de
muestra para llegar a un valor específico de
3
Considere las hipótesis bilaterales
11-18
calcularíamos la estadística de prueba Zo y rechazaríamos Ho en valores de Zo que fueran demasiado
pequeños. Esto es, la región crítica se ubicaría en la cola inferior de la distribuciónN O 1 ,y recha
zaríamos
Ho
si
11-17
o: .1
. 1 0
H¡: .1
. 1 0
De modo similar, para probar
01-16
Observe que también podríamos escribir Ho: .1 S .10 Al definir la región crítica para esta prue
ba, observamos que un valor negativo de la estadística de prueba Zo nunca nos conduciría a con
cluir que Ho: .1 .1 0 es falsa. Por lo tanto, colocaríamos la región crítica en la cola superior de la
distribución N O 1 , y rechazaríamos Ho en valores de Zo que fueran demasiado grandes. Esto es,
rechazaríamos Ho si
11-15
o: .1
. 1 0
H¡:
.1 > . 1 0 .
Suponga ahora que deseamos probar la alternativa unilateral, digamos
Puesto que a
0.05, las fronteras de la región crítica son ZO 025
1.96Y ZO 025
1.96, y observamos
que Zo cae en la región crítica. Por tanto,
H o
se rechaza y concluimos que la tasa media de quemado no es igual
a 40 cm/s.
Zo x f1
- C 5 /jii
41.25 - 40 3.125.
m
Se prueban 25 especímenes,
y
la tasa media de quemado que se obtiene en la muestra es x 41.25 cm/s.
El valor de la estadística de prueba en la ecuación 11-12es
PRUEB S DE HIPÓTESIS 9
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 10/65
Hemos elegido
d
de manera que un conjunto de curvas características de operación pueda em
plearse en todos los problemas, independientemente del valor de J y
a
Al examinar las curvas ca
racterísticas de operación o la ecuación 11-20y la figura 11-6,observamos que:
11-21
=
1 1 1 f l o l
=~
Si bien la ecuación 11-20podría emplearse para evaluar el error de tipo 11,es más conveniente
utilizar las curvas características de operación que se proporcionan en los diagramas VIa y VIb del
apéndice. En estas curvas se grafica
f 3
como se calcula con la ecuación 11-20,contra un parámetro
d para diversos ejemplos de tamaños n Se incluyen curvas tanto para e x =0.05 como para e x 0.01.
El parámetro d se define como:
Figura 6
Distribución de
Z o
bajo H a Y H
Bajo
H o J i
1 1
donde eI> z denota la probabilidad a la izquierda de z en la distribución normal estándar. Observe
que la ecuación 11-20 se obtuvo evaluando la probabilidad de que o caiga en el intervalo [-ZaJ2
ZaJ2]
en la distribución de o cuando 1 es verdadera. Estos dos puntos se estandarizaron para pro
ducir la ecuación 11-20.Además, observe que la ecuación 11-20se cumple también si 8
<O,
debi
do a la simetría de la distribución normal.
11-20
8 . f ñ 8 . . r n
3
l
ZaJ2 - ----;;- -
l
-ZaJ2 - a
La distribuciónde laestadística de prueba o respecto tanto de la hipótesis nula
Ho
como de la hi
pótesis alternativa
H
se muestra en la figura 11-6.Al examinar esta figura, observamos que si
H
es
verdadera,se presentará un error de tipo 11,sólo si
-ZaJ2 ~
o ~
ZaJ2
donde o
N 8. fñ/a
1 .Esto
es, la probabilidad
f 3
del error de tipo 11es la probabilidad de que
o
caiga entre -ZaJ2 y ZaJ2 dado
que
I
es verdadera. Esta probabilidad se muestra como la parte sombreada en la figura 11-6. Ex
presada en forma matemática, esta probabilidad es
11-19
Suponga que la hipótesis nula es falsa y que el valor verdadero de la media es
1 1
=
f l o
+ 8, por
ejemplo, donde
8>
O Ahora bien, puesto que H es verdadera, la distribución de la estadística de
prueba
Z
es
PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 11/65
2. Para 1 3 yodadas, determinarn Esto se ilustró en el ejemplo 11-3.Este tipo de problema sue
le encontrarse cuando el analista tiene la oportunidad de seleccionar el tamaño de muestra
al principio del experimento.
1. Para
n
yodadas, obtener 1 3 Lo anterior se ilustró en el ejemplo 11-2.Este tipo de problema
se encuentra a menudo cuando al analista le interesa la sensibilidad de un experimento que
ya se ha efectuado, o cuando el tamaño de la muestra se restringe por economía u otros fac
tores.
En general, las curvas características de operación involucran tres parámetros:
1 3 O
y
n
Dado
cualquier par de ellos, es posible determinar el valor del tercero. Estas curvas tienen dos aplicacio
nes comunes:
Considere de nuevo el problema del propulsor a chorro del ejemplo 11-1. Suponga que al analista le gustaría
diseñar la prueba de modo que si la verdadera tasa media de quemado difiere de 40 cm/s en 1 cm/s, la prueba
detecte esta diferencia es decir, se rechaza
o
40) con más alta probabilidad, por ejemplo 0.9. Las cur
vas características de operación pueden utilizarse para determinar el tamaño de muestra que nos dará tal prue
ba. Puesto que
1 1 1 u o l / ~
1/2,
0.05 y
0.10, encontramos, de acuerdo con el diagrama Vla del
apéndice, que el tamaño de muestra requerido es
n
40, aproximadamente.
y, con base en el diagrama Vla del apéndice, con
n
25, encontramos que 0.30. Esto es, si la verdadera
tasa media de quemado es 41 cm/s, hay una posibilidad de 30 de que el error no sea detectado en la prue
ba con
n
25.
I J l u o 1
= =_ _
o 2
Considere el problema del propulsor a chorro del ejemplo 11-1. Suponga que el analista está interesado en la
probabilidad de que ocurra un error de tipo TIsi la verdadera tasa media de quemado es u
=
41 cm/s. Podemos
utilizar las curvas característicasde operaciónpara encontrar 3 De esta forma observamosque 8
41 - 40
1,
n
25,
2 y
0.05. Entonces
Cuanto más lejos esté el valor verdadero de la media
J
de J l f J menor será la probabilidad 1 3
del error de tipo 11para
n
y
dados. Esto es, vemos que para un tamaño de muestra y
es
pecíficos, las diferencias más grandes en la media son más fáciles de detectar que las más
pequeñas.
2. Para
y
dadas, la probabilidad
1 3
del error de tipo 11disminuye cuando
n
aumenta. Esto
es, para detectar una diferencia específica en la media o podemos hacer más eficaz la prue
ba aumentando el tamaño de la muestra.
PRUE S DE HIPÓTESIS
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 12/65
11-26
Ésta es una buena aproximación cuando
<P ZaJ2
8 .fii/cr es pequeña en comparación con f
Para cualquiera de las hipótesis alternativas unilaterales de la ecuación 11-15 o de la 11-17, el ta
maño de muestra que se requiere para producir un error del tipo 11específico con probabilidad
f
dadas 8 y
es
11-25
o
8 ñ
Z f3 ZaJ2 _-
puesto que
I ZaJ2
8
rn /
o
=
cuando 8 es positiva. A partir de la ecuación 11-24, tomando la
inversa de la normal, obtenemos
11-24
o si
0,
También es posible deducir fórmulas para determinar el tamaño de muestra apropiado para ob
tener un valor particular de f respecto de
y dadas. Estas fórmulas son alternativas comparables
al empleo de curvas características de operación. Con base en la ecuación 11-20, sabemos que, pa
ra las hipótesis alternativas bilaterales
11-23
. l o f 1
d= .
Cuando la hipótesis alternativa es H¡:
f 1
/ . l o la escala de la abscisa correspondiente es
11-22
1 f 1 o
d= .
En los diagramas VIc y VId del apéndice se presentan las curvas características de operación
para las alternativas unilaterales. Si la hipótesis alternativa es
H¡: f 1 > / . l o
la escala de la abscisa en
estos diagramas es
PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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Valores de
Muchas veces se emplean paquetes de software para realizar pruebas de hipótesis estadística. Casi
todos estos programas calculan y presentan la probabilidad de que la estadística de prueba tome un
valor al menos tan extremo como el valor observado en ella cuando
H a
es verdadera. Esta probabi
lidad suele llamarse valor de
P y
representa el nivel de significación más pequeño que conduciría al
rechazo de
H a .
En consecuencia, si la computadora diera como resultado
P
0.04, la hipótesis nula
H a
se rechazaría en el nivel
e x
0.05, pero no en el nivel
e x
0.01. En general, si P fuera menor o
igual que e x , rechazaríamos
H a ,
en tanto que si
P
fuera superior a e x , no lo haríamos.
rueba de muestras grandes con varianza desconocida
Aunque hemos desarrollado el procedimiento de prueba para la hipótesis nula
H a :
f
f 1 o
suponiendo
que se conoce el valor de
a
en muchas situaciones prácticas
a
se ignorará. En general, si
n ~
30,
la varianza S de la muestra puede sustituirse sin mucho problema por a
en los procedimientos de
prueba. Por tanto, si contamos con una prueba para la
a
conocida, ésta puede convertirse con faci
lidad en un procedimiento de prueba de
muestra grande
para la
o?
desconocida. El tratamiento exac
to del caso en el que
a
se desconoce y n es pequeña, implica el uso de la distribución
t
y su análisis
se pospondrá hasta la sección 11-2.2.
conducirá al rechazo de
H a
si y sólo si
( J a
no está en el intervalo L
U J
Amodo de ilustración, con
sidere el problema del propulsor a chorro del ejemplo 11-1.La hipótesis nula H a :
f
40 se rechazó,
empleando
e x
0.05. El intervalo de confianza bilateral de 95 en
f
para estos datos puede calcu
larse a partir de la ecuación 10-25 como 40.47 ~ f ~ 42.03. Esto es, el intervalo [L U J es [40.47,
42.03], y puesto que f 1 o 40 no se incluye en este intervalo, la hipótesis nula
H a :
f
40 se rechaza.
H a : ( J ( J a '
H
1 :
( J ( J a
elación entre la prueba de hipótesis
y
los intervalos de confianza
Hay una estrecha relación entre la prueba de hipótesis en tomo a un parámetro
( J
y el intervalo de
confianza
( J .
Si
[ L ,
U J representa un intervalo de confianza de 100 1 - e x ) % para el parámetro
( J ,
la
prueba de tamaño e x de la hipótesis
que guarda una cercana concordancia con el valor determinado a partir de la curva característica de operación.
Observe que la aproximación es buena, puesto que «1>
-Za/2 -
8. ¡¡i/a «1> -1.96 - ).J42 / 2 -5.20 =
O
que es un valor pequeño en relación con
f 3
Al regresar al problema del propulsor a chorro del ejemplo 11-3, observamos que a 2, 8
41 - 40
1,
a 0.05 Y
f 3
0.10. Puesto que
Za/2
Z0025
1.96 YZ{3 ZO.IO 1.28, el tamaño de muestra requerido para
detectar esta desviación respecto de
H o
J
40
es, de acuerdo con la ecuación
11-25 :
(
Z a / 2 Z ( 3 ) a
1.96
1.28 2 2
2
n=
PRUEB S DE HIPÓTESIS
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 14/65
ignific do práctico en comp r ción con signific do est dístico
En los capítulos 10 y 11 presentamos intervalos de confianza y pruebas de hipótesis tanto para pro
blemas de una sola muestra como de dos muestras. En las pruebas de hipótesis hemos analizado el
significado estadístico cuando se rechaza la hipótesis nula. Lo que no se ha analizado es el signifi
cado práctico que conlleva rechazar la hipótesis nula. En la prueba de hipótesis, el objetivo es tomar
una decisión acerca de una demanda o creencia. La decisión entre rechazar o no la hipótesis nula a
favor de una alternativa, se basa en una muestra tomada de la población de interés. Si se rechaza la
hipótesis nula, decimos que existe una evidencia estadísticamente significativa encontra de la hipó
tesis nula
y
a favor de la alternativa. Los resultados estadísticamente importantes por rechazo de la
hipótesis nula , no necesariamente implican resultados prácticos significativos.
Como ejemplo, suponga que el promedio de la temperatura un solo día en todo un estado dado
es u 63 grados. Imagine que n 50 municipios del estado tuvieron un promedio de temperatura
de
62 grados
y
una desviación estándar de
0 .5
grados. Si probáramos la hipótesis H o
l
63 con
tra H ¡ l
63. obtendríamos como resultado un valor de P de aproximadamente Oy rechazaríamos
la hipótesis nula. Nuestra conclusión sería que la temperatura real promedio no es de 63 grados. En
otras palabras, este ejemplo evidencia una diferencia estadísticamente significativa entre el valor hi
potético y el promedio muestral que se obtuvo a partir de los datos. ¿Pero es ésta una diferencia re
levante en la práctica? Esto es, ¿63 grados es en realidad un valor
diferente
a 62 grados? Muy pocos
investigadores podrían realmente concluir que esta diferencia es relevante. En otras palabras. un sig
nificado estadístico no implica la existencia de un significado práctico.
Por consiguiente, H o
l
40 se rechazaría en cualquier nivel de significación donde a ~ P
0 .0018 . Por ejemplo,
H o
se rechazaría si 0.01, pero no si 0 .001 .
2[1 - <1> 3 .125 ]
0 .0018 .
A modo de ilustración, considere el problema del propulsor a chorro del ejemplo 11-1.El valor
calculado de la estadística de prueba es
20 3 .125
y puesto que la hipótesis alternativa es de dos
colas, el valor de es
para una prueba de dos colas,
para una prueba de cola superior,
para una prueba de cola inferior.
2[1 - <1> 1201 ]
P
1 - <1> 20
<1> 20
Se acostumbra calificar como signific tiv a l a estadística de prueba ylos datos , cuando se re
chaza la hipótesis nula H
o
por lo que podemos considerar elvalor de P como el nivel
a
más peque
ño en el que los datos son significativos. Una vez que se conoce el valor de
P
la persona encargada
de tomar las decisiones puede determinar por sí misma qué tan significativos son los datos, sin que
el analista imponga formalmente un nivel de significación preseleccionado.
No siempre es fácil calcular el valor P exacto de una prueba. Sin embargo, en el caso de las prue
bas de las distribuciones normales que hemos analizado es relativamente simple. Si 20 es el valor
calculado de la estadística de prueba, el valor de P es
PROB BILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 15/65
11-29a)
o
t
a
/2
n -
que sigue la distribución t con n - 1 grados de libertad si la hipótesis nula Ho:
u
/l o es verdadera. Pa
ra probar
o /l
/l o de la ecuación 11-27,se calcula la estadística de prueba
o
de la ecuación 11-28,
y
o
se rechaza si
11-28)
/l o
to
S Jr¡
El procedimiento de prueba se basa en la estadística
11-27)
o : /l
/l o
¡
/l
u «
nálisis est dístico
Suponga que X es una variable aleatoria distribuida normalmente con media u y varianza a2 desco
nocidas. Deseamos probar la hipótesis de que
/l
es igual a una constante /l o Observe que esta situa
ción es similar a la que se trató en la sección 11-2.1, excepto que ahora tanto
u
como
a
2 son
desconocidas. Suponga que se dispone de una variable aleatoria de tamaño n digamos Xl Xb X n
y sean
X
y S lla media y la varianza de la muestra, respectivamente.
Considere que deseamos probar la alternativa bilateral
Al probar hipótesis en relación con la media
/l
de una población cuando o? se desconoce, podemos
utilizar los procedimientos de prueba que se presentaron en la sección 11-2.1, siempre y cuando el
tamaño de muestra sea grande
n ;
30, por ejemplo). Estos procedimientos son más o menos válidos
independientemente de que la población base sea normal o no. Sin embargo, cuando el tamaño de
muestra es pequeño
y
se desconoce
a
2, debemos hacer una suposición en tomo a la forma de la dis
tribución base para obtener un procedimiento de prueba. Una suposición razonable, en muchos ca
sos, es que la distribución base es normal.
En la práctica, muchas poblaciones se aproximan de manera bastante adecuada a la distribución
normal, por lo que esta suposición conducirá a un procedimiento de prueba que puede aplicarse en
muchos casos. En efecto, la desviación moderada respecto de la normalidad que muestran estas po
blaciones tendrá un efecto mínimo sobre la validez de la prueba. Cuando la suposición no es razona
ble, podemos especificar otra distribución exponencial, de Weibull, etc.), y emplear algún método
general de construcción de prueba para obtener un procedimiento válido, o podríamos emplear una
de las pruebas no paramétricas que son válidas para cualquier distribución base véase el capítulo 16).
11 2 2
Pruebas de hipótesis sobre la media de una distribución
normal con varianza desconocida
El tamaño de la muestra que se está investigando tiene una influencia directa sobre la potencia
de la prueba y el significado práctico. Conforme aumenta el tamaño de la muestra, aun la más pe
queña diferencia entre el valor hipotético y el valor muestral se puede detectar mediante la prueba
de la hipótesis. Por tanto, debe tenerse cuidado al interpretar los resultados de una prueba de hipó
tesis cuando los tamaños de muestra son grandes.
PRUE S DE HIPÓTESIS
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 16/65
lección del t m ño de l muestr
La probabilidad de ocurrencia del error de tipo II para pruebas en la media de una distribución normal
con varianza desconocida, depende de la distribución de la estadística de prueba que se dio en la
El error de tipo 1 se especifica como
a
0.05. En consecuencia, tO.025.14
2.145 Y tO.025.14
-2.145, Y
concluiríamos que no hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que J 1 150 lpc.
.t Ilo
152 18 150
to
= = =2 07
s/v i i
16 63/15
Se selecciona una muestra aleatoria de 15 especímenes de la fibra, y se determinan sus resistencias al rom
pimiento. La media y la varianza se calculan a partir de los datos de la muestra, resultandor
152.18 Y
s2
=
16.63.Por tanto, la estadística de prueba es
H o : J 1
150 lpc,
H : J 1 * 150 lpc.
La resistencia al rompimiento de una fibra textil es una variable aleatoria distribuidanormalmente.Las especifi
caciones requieren que la resistencia media al rompimiento debe ser igual a 150 lpc. Al fabricante le gustaría
detectar cualquier desviación significativa respecto de este valor. En consecuencia, desea probar
11-33
se rechazaría H o si
11-32
o : 1 1
flo
R 1 1 1 1
Para la otra alternativa unilateral,
11-31
calculamos la estadística de prueba lo de la ecuación 11-28 y rechazamos R o si
11-30
R o : 1 1
flo
R ¡ : 1 1
> flo
donde
t
an
n _
Y
t
an
n _
son los puntos porcentuales
a/2
superior e inferior de la distribución
t
con
n 1 grados de libertad.
Para la hipótesis a lt er na ti v a u n il ate ra l
11-29bJ
o
tan n
o si
PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 17/65
11-37
0 - J 1
8
Tenga en cuenta que d depende del parámetro desconocido 2• Son varias las maneras en que se
ede evitar esta dificultad. En algunos casos podemos utilizar los resultados de un experimento
n tanto que si se desea el rechazo cuando J 1 < J 1 o como en la ecuación
11-32,
11-36
. . - J 1 o
8
d
En cuanto a las alternativas unilaterales, si se desea el rechazo, por ejemplo
J 1
> J como en la
uación 11-30, utilizamos los diagramas VIg y Vlh con
11-35
, . . - J 1 0 I 1 8 1
d
Las distribuciones de Z
y
Wen
la ecuación 11-34son
N O
1
y
X~
_I/ n -
1 , respectivamen
y Z y W son variables aleatorias independientes. Sin embargo, 8Fn/ a es una constante diferente
e cero, por lo que el numerador en la ecuación 11-34es una variablealeatoria N 8Fn/a 1 .La dis
bución resultante se denomina distribución t
no central
con
n
1 grados de libertad y parámetro
no centralidad 8Fn/ a Observe que si 8= 0, la distribución
t
no central se reduce a la usual o dis
ción central
t.
Por tanto, el error de tipo II de la alternativa bilateral por ejemplo sería
f 3
P {
on. n ~ to ~ ton. n _ O}
=P{-ta/2 n-l ~to~1a/2 n-l}
lo
denota la variable aleatoria
t
no central. La determinación del error de tipo II para la prue
a de t implica encontrar la probabilidad contenida entre dos puntos en la distribución
t
no central.
Las curvas características de operación en los diagramas Vle, VJj, VIg y Vlh del apéndice, gra
can f 3 contra un parámetro d para diversos tamaños de muestra n Se brindan las curvas tanto para
s alternativas bilaterales como para las unilaterales, y para a
0.05 o a
0.01. En el caso de la
ternativa bilateral de la ecuación 11-27, el factor de la escala de las abscisas en los diagramas Vle
Vlfse define como:
11-34
w
8 .¡n
-
a
t
_ X - J 1 o
o - S - /
. ¡ n - - n - - -
[i - J 1 o
8)]v l
ación 11-28 cuando la hipótesis nula
Ho:
J 1 J es falsa. Observe que, cuando el valor verdade
o de la media es J 1 J la estadística de prueba puede escribirse como:
PRUEBASDEHIPÓTESIS
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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11-39)
2
n -
o
0 0
empleamos la estadística de prueba
11-38)
Procedimientos de prueba para una población normal
Suponga que deseamos probar la hipótesis de que la varianza de una distribución normal 0 2 es
igual a un valor específico, por ejemplo 0 . Sea X - N ( I l , 0 2 ) , donde 1 1 y 0 2 se desconocen, y sea
XI 2 n una muestra aleatoria de n observaciones de esta población. Para probar
H o :
0 2
= 0 ,
H ¡ :
0 2
0 ,
Enocasiones se necesitanpruebas relativasa la varianza o la desviaciónestándarde una población.En
esta sección presentaremos dos procedimientos para lograrlo: uno basado en la suposición de nor
malidad, y el otro en la prueba de una muestra grande.
11 2.3 Pruebas de hipótesis sobre la varianza de una distribución normal
Considere el problema de la prueba de fibras textiles del ejemplo 11-5. Si la resistencia al rompimiento de
esta fibra difiere de 150 lpc en 2.5 lpc, el analista podría rechazar la hipótesis nula o
f l
150 lpc con pro
babilidad de por lo menos 0.90. ¿El tamaño de muestra n = 15 es adecuado para asegurar que la prueba es
así de sensible?
Si empleamos la desviación estándar de la muestra s =
16.63 = 4.08 para estimar
a
d = 1 1 l I j = 2.5/4.08
0.61. Utilizando las curvas características de operación del diagrama VIe, con d
0.61 15,encon
tramos que 0.45. Por consiguiente, la probabilidad de rechazar o
u
150 lpc si la media verdadera di
fiere de este valor en ±2.5 lpc es 1 -
1 - 0.45
=
0.55, aproximadamente, y concluiríamos que un tamaño
de muestra n
15 no es adecuado. Con el objetivo de encontrar el tamaño de muestra requerido para brindar
el grado de protección que se desea, considere las curvas características de operación del diagrama VIe con
= 0.61
0.10, Ylea el tamaño de muestra correspondiente como n = 35, aproximadamente.
~ _ . .
i I '
1,,, , ,, . , _ ~
••
previo o información anterior para hacer una estimación aproximada de 0 2 . Si estamos interesados
en examinar la curva característica de operación después de que se hayan recopilado los datos, po-
dríamos emplear la varianza de la muestra s 2 para estimar 0 2 . Si los analistas no tienen experiencia
previa a partir de la cual extraer una estimación de
0 2 ,
pueden definir la diferencia en la media 8 que
desean detectar en relación a
o:
Por ejemplo, si se desea detectar una pequeña diferencia en la me
dia, podría emplearse digamos) un valor de
d 1 0 1 1 0
S; 1, en tanto que si uno está interesado en de
tectar sólo diferencias moderadamente grandes en la media, puede seleccionarse d = 1 0 1 1 0 = 2 por
ejemplo). Esto es, el valor del cociente 1 0 1 1 0 es el que resulta importante en la determinación del ta
maño de la muestra y, si es posible especificar el tamaño relativo de la diferencia entre las medias
que nos interesa detectar, por lo general se elige un valor apropiado de
338 PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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Si elegimos 0.05, encontramos que
X .05,¡9
30.14, y concluiríamos que no hay suficiente evidencia
de
que la varianza de llenado excede 0.02 onzas de líquidoj-.
19 0.0225
2 38
0.02
2 n s2
Xo
0
Una muestra aleatoria de
n
20 latas produce una varianza de muestra de
s2
0.0225. Por tanto, la esta
dística de prueba es
H o: 0 2
0.02,
H ¡: 0 2>0.02.
Considere la máquina descrita en el ejemplo 10-16, la cual se utiliza para llenar latas de refresco. Si la varian
za del volumen de llenado excede 0.02 onzas de
Iíquidoj-,
un gran porcentaje de latas se llenarán por debajo
del nivel aceptable. El embotellador está interesado en probar la hipótesis
11-44
2
Xa<XI-a ,n -l
rechazaríamos
Ha
si
11-43
Ha: 0 2
0 5,
H¡ 0 2
<
0 5,
Para la otra hipótesis unilateral,
11-42
XO>Xa .n -l·
rechazaríamos
Ha
si
11-41
Ha: 0 2
0 5,
1:
0 2> 0 5,
donde
i~ l2 ,
-l Yx al2, n _ ¡son los puntos porcentuales aJ2 superior e inferior de la distribución ji
cuadrada con n 1 grados de libertad.
La misma estadística de prueba se emplea para las alternativas unilaterals. En el caso de una hi
pótesis unilateral:
11-40b
2
Xa
<
X
a l2, n -
i-
o si
11-40a
Xa>Xal2.n -l
donde es la varianza de la muestra. Ahora bien, si
Ha:
02
0 es cierta, la estadística de prueba
sigue la distribución ji cuadrada con n - 1 grados de libertad. En consecuencia, Ha: 02 0 se
rechazaría si
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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11-47
Ho J
J~,
H ¡
J J~
es aproximadamente normal estándar.
Para probar
11-46
J
Zo -
JA/2Yt
rocedimiento de prueba de una muestra grande
El procedimiento de prueba ji cuadrada prescrito anteriormente es bastante sensible a la suposición
de normalidad. En consecuencia, sería deseable desarrollar un procedimiento que no requiera esta
suposición. Cuando la población base no es necesariamente normal, pero n es grande digamos n ~
35 o 40), podemos utilizar el siguiente resultado: si
Xl X
2 •
X
es una muestra aleatoria de una po
blación con varianza J2,la desviación estándar S de la muestra es aproximadamente normal con me
dia
E S = J
y varianza
VeS =
J2/2n, si n es grande.
Entonces, la distribución de
A partir del diagrama Vlk con 1.23 y
n
20, encontramos que
3
= 0.60. Esto es, sólo hay 40 de
posibilidades de que
H o
c¡2
0.02 se rechace si la varianza es realmente tan grande como
c¡2
0.03. Para re
ducir
3
debe emplearse un tamaño de muestra más grande. Tomando en cuenta la curva característica de ope
ración, observamos que para reducir
3
a 0.20 es necesario un tamaño de muestra de 75.
0.1732
1.23.
c¡o 0.1414
Tomando como base el ejemplo 11-7, determine la probabilidad de rechazar H o J 0.02 si la varianza ver
dadera es tan grande como c¡2 0.03. Puesto que
=-J0.03
0.1732 y r
=-J0.02
0.1414, el parámetro de
abscisa es
para diversos tamaños de muestra
n
donde
J
denota el valor verdadero de la desviación estándar.
Los diagramas VIk y VII corresponden a la alternativa unilateral
H ¡
J
> J~ en tanto que los dia
gramas VIm
y
VIn son para la otra alternativa unilateral
H ¡
J J~. Al emplear estos valores, con
sideramos
J
como el valor de la desviación estándar que deseamos detectar.
11-45)
Las curvas características de operación para las pruebas se presentan en los diagramas VIi a VIn
del apéndice para 0.05 y 0.01. En el caso de la hipótesis alternativa bilateral de la ecuación
11-38, los diagramas VIi
y
VI} grafican
contra un parámetro de abscisa,
lección del tamaño de la muestra
4 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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nálisis est dístico
En muchos problemas de ingeniería y de administración nos interesa una variable aleatoria que siga
la distribución binomial. Por ejemplo, considere un proceso de producción en el que se manufacturan
artículos que se clasifican como aceptables o defectuosos. Por lo general, es razonable modelar la ocu
rrencia de defectos con la distribución binomial, donde
el
parámetro binomial
p
representa la propor
ción de artículos defectuosos producidos.
11 2 4 Pruebas de hipótesis sobre una proporción
Como Z o O ] =-2.33 Yel valor observado de Zono es más pequeño que este valor crítico, no se rechaza
H o Esto es, la evidencia respecto del proceso del proveedor no es lo suficientemente fuerte para justificar un
contrato a largo plazo.
s - jo 0.021 - 0.025
Zo
=
-1.60.
jo/ J2n
0.025/-liOO
puesto que 0.025 2=0.000625. Se obtiene una muestra aleatoria de
=
50 piezas, y la desviación estándar
de la muestra es s =0.021 mm. La estadística de prueba es
H o:
j2=6.25 X 10-4,
H ]: j2
6.25
X
10-4,
Una pieza de plástico moldeada por inyección se emplea en una impresora gráfica. Antes de acordar un con
trato a largo plazo, el fabricante de impresoras desea asegurarse, empleando 0.01, de que el proveedor
puede producir piezas con una desviación estándar de la longitud de cuando mucho 0.025 mm. Las hipótesis
que se probarán son:
rechazaríamos
Ro
si Zo < -
Za
11-50
rechazaríamos
H o
si Zo > Zw en tanto que si lo que probáramos fuera
2 _ 2
o vo ,
R J2
<
J5 ,
11-49
y rechazaríamos
H o
si Zo > Z 1/2 o si Zo
-Z 1/2 En las alternativas unilaterales se emplearía la mis
ma estadística de prueba. Si estuviéramos probando
Ho: J2
J~ ,
1: J2> J5 ,
11-48
sustituya Jopor J en la ecuación 11-46. En consecuencia, la estadística de prueba es
PRUEBAS DE HIPÓTESIS 341
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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11-54)
lección del t m ño de l muestr
Es posible obtener ecuaciones de forma cerrada correspondientes al error
para las pruebas anali
zadas en esta sección. El error
para la alternativa bilateral
H ¡:
p
P o
es aproximadamente
Al emplear 0.05, encontramos que ZO.05 1.645y, de ese modo, no podemos rechazar la hipótesis nu
lap
0.05.
x - npo 6 - 200 0.05)
Zo
-1.30.
-vnpo l - Po
v 200 0.05) 0.95)
Una muestra aleatoria de 200 dispositivos produce seis defectuosos. La estadística de prueba es
Ho:p 0.05,
H¡:
p
0.05.
Una firma de semiconductores produce dispositivos lógicos. El contrato con cierto cliente estipula una frac
ción de defectos no mayor de 0.05. Se desea probar
Las regiones críticas para las hipótesis alternativas unilaterales se localizarían de la manera usual.
11-53)
y
rechazamos
H o: P
=
P o
si
11-52)
Se brindará una prueba aproximada que se basa en la aproximación normal a la binomial. Este
procedimiento aproximado será válido siempre y cuando el valor de
P
no esté demasiado cerca de
cero o de 1 y si el tamaño de muestra es relativamente grande. Sea X el número de observaciones en
una muestra aleatoria de tamaño que pertenecen a la clase asociada con p Entonces, si la hipóte
sis nula
H o: P
P o
es cierta, tenemos que X ~
N n p o > n P o 1 - P o » ,
aproximadamente. Para probar
H o: P
=
P o calcúlese la estadística de prueba
11-51)
H o: P
=p«.
Hc p ep
Consideraremos probar
4
PROB BILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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ue es un tamaño de muestra sumamente grande. Sin embargo, observe que estamos tratando de detectar una
sviación muy pequeña respecto del valor nulo
Po
0.05.
1174,
1.645.J 0.05 0.95 1.28.J 0.07 0.93
0.07 -0.05
Esta probabilidad de error de tipo II no es tan pequeña como podría parecer, aunque 200 no es en par
cular grande y 0.07 no está muy alejado del valor nuloPo = 0.05. Suponga que deseamos tener un error
no
ayor que 0.10, si el valor verdadero de la fracción defectuosa es tan grande como 0.07. El tamaño de
estra requerido se encontraría utilizando la ecuación 11-58como:
=
<D 0.05 - 0.07 1.645.J 0.05 0.95 /200
.J 0.07 0.93 /200
<D 0.30
0.6179.
rtiendo de la situación descrita en el ejemplo 11-10, suponga que deseamos encontrar el error f 3 de la prue
a si 0.07. Al emplear la ecuación 11-56, el error f 3 es
ra las alternativas unilaterales.
11-58
ZaVPo 1 - Po Zf3Vp 1 - p
P P«
ra la alternativa bilateral,
11-57
ZaJ2VPo 1 - Po Zf3Vp l - p
P P«
Estas ecuaciones pueden resolverse para encontrar el tamaño de muestra que proporciona una
rueba de nivel
con un riesgo específico fi.Las ecuaciones del tamaño de muestra son:
11-56
n tanto que si la alternativa es H¡
P
>
Po,
11-55
Po - P - ZaV Po 1 - po /n
fi=l-~
p 1 - p /n
Si la alternativa es
H¡ P
<
o
entonces
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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11-62
H o : /1 ¡
J 1 z
H
/1 ¡
J 1 z
Las hipótesis alternativas unilaterales se analizan de manera similar. Para probar
11-61b
o
l1-61a
Za
sigue la distribución N O , 1 .En consecuencia, el procedimiento para probar H o :
/1 1
J 1 z consiste en
calcular la estadística de prueba Z o de la ecuación 11-60, y rechazar la hipótesis nula si
11-60
¡
Ji J~
n n 2
Z o
Por tanto, si la hipótesis nula H o : /1 ¡
J 1 z es verdadera, la estadística de prueba
Suponga que una muestra aleatoria de tamañon ¡ se toma de X l digamos X l I X 1 2 . .. X ¡n y que
1
se toma una segunda muestra aleatoria de tamañon 2 de X 2 , digamos X 2¡, X 22 ... , X 2n . Se supone que
2
las
{X¡¡}
se distribuyen independientemente con media
/1 ¡
y varianza Ji, que las
{ X 2 ¡ }
se distribu-
yen independientemente con media J 1 z y varianza J~,y que las dos muestras { X ¡ ¡ } y { X 2 ¡ } son inde
pendientes. El procedimiento de prueba se basa en la distribución de la diferencia de las medias de
muestra, digamosX¡ En general, sabemos que
11-59
o : /1 ¡ / 1 2
H ¡ :
/1 ¡
J 1 z
Suponga que hay dos poblaciones de interés,
X ¡
y X Imagine que
X ¡
tiene media desconocida
/1 ¡
y
varianza conocida Ji, y que X2 tiene media desconocida J 1 z y varianza conocida J~.Estaremos in
teresados en la prueba de la hipótesis de que las medias
/1 ¡
y J 1 z son iguales. Se considera que las va
riables aleatorias X ¡ y X 2 se distribuyen normalmente, o que si no lo hacen de esa forma, se aplican
las condiciones del Teorema del Límite Central.
Considere primero las hipótesis alternativas bilaterales
Análisis estadístico
11 3 1 Pruebas de hipótesis sobre las medias de dos distribuciones
normales con varianzas conocidas
3 PRU EBASDE H IPÓ TES ISSO BRE D OS M UESTR AS
PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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11-66
l u ¡
J 1 z 1 I
c 5 I
a i a ~ a i a ~
lección del t m ño de l muestr
as curvas características de operación que se proporcionan en los diagramas VIa, VIb, VIc y VId del
péndice, pueden utilizarse para evaluar la probabilidad de error de tipo 11para las hipótesis de las
aciones 11-59, 11-62 y 11-64. Estas curvas también son útiles en la determinación del tamaño
e la muestra. Se presentan las curvas para 0.05 y 0.01. En el caso de la hipótesis alter
va bilateral de la ecuación 11-59, la escala de abscisas de la curva característica de operación
n los diagramas VIa y Vlb es d donde
Al emplear a = 0.05, encontramos que ZO.05 l.645, Ypuesto que o > ZO.05 rechazaríamos Ho Ycon
luiríamos que el número medio de cajas producidas diariamente por la nueva línea de producción es mayor
ue el número medio de cajas producidas por la antigua línea.
2
824.9 - 818.6
Zo
2.10.
f f 2 :
J ~ } _ _
¡
10 10
El valor de la estadística de prueba es
H o: Ji¡ Ji2
H ¡: J i¡ > Ji2
a gerente de planta de una fábrica enlatadora de jugo de naranja, está interesada en comparar el rendimiento
de dos diferentes líneas de producción. Como la línea número 1es relativamente nueva, sospecha que el núme
ro de cajas que se producen al día es mayor que con la línea 2, más antigua. Se toman datos al azar durante 10
días en cada línea, encontrándose que x ¡
824.9 cajas por día y x 2
818.6 cajas por día. De acuerdo con la ex
eriencia en la operación de este tipo de equipo, se sabe que Ji 40 y J ~ 50. Deseamos probar
11-65
se utiliza la estadística de prueba Zo de la ecuación 11-60, y se rechaza H o: J 1 1
J 1 z si
ZO< Za
11-64
H o: J 1 1
J 1 z
H ¡: J 1 1 1 1 2 ,
11-63
> Za
Para probar las otras hipótesis alternativas unilaterales,
se calcula la estadística de prueba Zo de la ecuación 11-60, y se rechaza Ho: J 1 1
J 1 z
si
PRUEBAS DE HIPÓTESIS 5
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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11-70
También es posible deducir fórmulas a fin de obtener el tamaño de muestra requerido para de
terminar una
1 3
específica para
y
dadas. Estas fórmulas son en ocasiones complementos útiles
para las curvas características de operación. En el caso de la hipótesis alternativa bilateral, el tama
ño de muestra
nI
=
n2
=
n
es
y puesto que a = 0.05, encontramos con ayuda del diagrama VIc del apéndice que n = = n2 = 8.
= PI
f =
10 = 1.05
¡ J i
+
J~
140 + 50
Considere el problema de la línea de producción de jugo de naranja del ejemplo 11-12.Si la verdadera diferen
cia en las tasas medias de producción fuera de 10 cajas diarias, encuentre los tamaños de muestra requeridos
para detectar esta diferencia con probabilidad de 0.90. El valor apropiado del parámetro de la abscisa es
Si
nI
¡
n2
Ysus valores se fijan de antemano, se emplea la ecuación 11-69 directamente para cal
cular
n
y las curvas características de operación se presentan con una d específica para obtener 1 3 . Si
estamos dando d y es necesario determinar
nI
Y
n2
para obtener una 1 3 específica, por ejemplo 1 3 , se
suponen entonces valores de ensayo para
n¡
Y
n2
se calcula
n
en la ecuación 11-69 y se presentan las
curvas con el valor especificado de para, finalmente, determinar 1 3 . Si 1 3 = 1 3 , los valores de ensayo
de nI Yn2 son satisfactorios. Si f 3 j : . 1 3 , se hacen ajustes a nI Y n2 Yse repite el proceso.
(11-69)
y n
=
nI
=
n2·
No es raro encontrar problemas donde los costos de obtención de datos difieren de manera
importante entre dos poblaciones, o donde una varianza de población sea mucho más grande que la
otra. En esos casos, a menudo se utilizan tamaños de muestra desiguales. Si ¡ ¡
2
las curvas ca
racterísticas de operación pueden presentarse con un valor
equiva len te
de
n
calculado a partir de
0 2
+
0 2
n
=
I 2
O i/n l + O yn2
(11-68)
=
J12-
=
¡
i + ~ v i + ~
en donde n
=
n¡
=
n2 La otra hipótesis alternativa unilateral,
I: J1¡ j1z requiere que
se defina
como:
(11-67)
y debemos elegir tamaños de muestra iguales, digamos n = = n2, La hipótesis alternativa unilate
ral requiere el empleo de los diagramas Vlc y VId. Para la alternativa unilateral
J1¡
> j1 z de la
ecuación 11-62, la escala de abscisas es
6
PROBABILIDAD
y
ESTADíSTICAPARAINGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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11-73
ni
n2
2
S2
ni -
l Sr
n2 -
l S1
p
Suponga que XlI X12, ... , XII es una muestra aleatoria de nI observaciones de Xl y que X21,
1 - -
X 22 ... , X es una muestra aleatoria de
n
observaciones de X 2. Sean XI X 2, SI y S2 las medias y
las varianzas de las muestras, respectivamente. Puesto que tanto S~ como S~ estiman la varianza co
mún
a
2, podemos combinarlas para producir una sola estimación, digamos
11-72
O:
112
H
i: ·
Caso 1: ~
a
Sean Xl
y
X2 dos poblaciones normales independientes con medias descono
cidas
111
y y varianzas desconocidas pero iguales, aI a~ a
2.
Deseamos probar
Consideraremos ahora pruebas de hipótesis respecto de la igualdad de las medias
y
de dos dis
tribuciones normales donde no se conocen las varianzas
aI
y
a~
Se empleará una estadística
t
para
probar estas hipótesis. Como se observó en la sección 11-2.2, se requiere la suposición de normali
dad para desarrollar el procedimiento de prueba, pero las desviaciones moderadas de normalidad no
afectan de manera adversa el procedimiento. Hay dos situaciones diferentes que deben tratarse. En
el primer caso, suponemos que las varianzas de las dos distribuciones normales no se conocen pero
son iguales; esto es, aI
a~
=
a2. En el segundo, suponemos que y a~ se desconocen
y
no son
necesariamente iguales.
11 3 2 Pruebas de hipótesis sobre las medias de dos distribuciones
normales con varianzas desconocidas
que concuerda con los resultados obtenidos en el ejemplo 11-13.
z,
2/3 2
aI
aD
1.645
1.28 2 40
50
n
8
8
2 -
10
2 - ,
Las deducciones de las ecuaciones 11-70 y 11-71 son muy semejantes al caso de una sola mues
tra que se comentó en la sección 11-2. Para ilustrar el empleo de las ecuaciones, considere la situa
ción del ejemplo 11-13. Tenemos una alternativa unilateral con ex=
0.05,
8 =
10,
aI
40,
a~
50
y 3 0.10. Por tanto,
Z¿
ZO.05 1.645, Z/3 ZO.1O 1.28, Yel tamaño de muestra requerido se en
cuentra a partir de la ecuación 11-71 como
11-71
Esta aproximación es válida cuando < > -Zm2
8 fii/ ~
a n es pequeña en comparación con
3
Para la alternativa unilateral, tenemos ni = n2 =n donde
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
7
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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Ha: ¡ = 1 z
H ¡:
¡ = 1 =
1 z·
Los datos de la planta piloto producen ni = 8,
= 91.73, s = 3.89, nz = 8, Xz = 93.75 y s = 4.02. A par
tir de la ecuación 11-73,encontramos
Se están analizando dos catalizadores para determinar cómo afectan la producción media de un proceso quí
mico. Específicamente, se está empleando el catalizador 1, pero el catalizador 2 es aceptable. Puesto que el ca
talizador 2 es más barato, deberá usarse en lugar del otro, a menos que el proceso de producción cambie.
Suponga que deseamos probar las hipótesis
La prueba t de dos muestras dada en esta sección, a menudo se denomina prueba t mezclada
debido a que las varianzas de muestra se combinan o mezclan para estimar la varianza común. Se
conoce también como prueba
independiente porque se da por sentado que las dos poblaciones nor
males son independientes.
11-79)
calcule la estadística de prueba to Yrechace
Ho: / 1 1 1 1 1 .
si
11-78)
Ho: / 1 1 = 1 1 1 .
HI:
/ 1 1 < 1 1 1 .
Para la otra alternativa unilateral,
11-77
11-76)
Ho: / 1 1
112,
HI: / 1 1 > 1 1 1 .
calcule la estadística de prueba t
o
de la ecuación 11-74 y rechace
Ho: / 1 1
= 112si
rechazamos
Ho: / 1 1
1 1 1 . .
Las alternativas unilaterales se tratan de modo similar. Para probar
11-75b)
o si
11-75a)
Si Ho: / 1 1
=
1 1 1 . es verdadera,
o se distribuye como
n + n _ 2 · En consecuencia, si
11-74)
Este estimador combinado o mezclado se presentó en la sección 10-3.2. Para probar O / 1 1 = 1 1 1 .
en la ecuación 11-72, calcule la estadística de prueba
Xl
X
o = _ _ _ : :
S p
1 + 1
ni n
348 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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H O
Jil
= J i2
H :
J i, = F - J i2
Deseamos probar
s~= 10
s~=2
X
1 = 24 2
=23 9
Diseño 1
Diseño 2
fabricante de unidades de pantallas de video prueba dos diseños de microcircuitos para determinar si produ
t1ujos de corriente equivalentes. Los ingenieros del departamento de desarrollo han obtenido los siguientes
la
hipótesis nula
H o ] =
es cierta. Por tanto, si
J i - J i
las hipótesis de las ecuaciones 11-72,
76 Y 11-78 se prueban como antes, excepto que se utiliza
t~
como estadística de prueba y
n
- 2 se sustituye por
al determinar los grados de libertad para la prueba. Este problema general
menudo se conoce como problema de Behrens- Fisher.
11-81)
distribuye aproximadamente como
t
con grados de libertad dados por
(11-80)
Xl
X
2
S2 S2
_l+...1..
n n
t~=
ao 2: u f
F l
En algunas situaciones no podemos suponer razonablemente que las varianzas des
as
a l
y
a i
son iguales. No hay una estadística
t
exacta disponible para
H o
111=
en este
Sin embargo, la estadística
. \1
emplear
= 0.05, encontramos que
fo 25• 14
= 2.145 Y
fo 25 14
= -2.145
y
en consecuencia, que
u]
=
no puede rechazarse. Esto es, no tenemos la suficiente evidencia para concluir que el catalizador
:
or resultado una producción media distinta de la producción media que se obtiene al emplear el catali
i ~ l.
91.73 - 93.75
= 2.03.
1.99
8
estadística de prueba es
n i -
l sr
n2 -
l si
(7)3.89
7(4.02)
S2= 3 96
P n
n2 - 2 - 8
8 - 2 -..
PRUEBAS DE HIPÓTESIS 9
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 30/65
Tenga en cuenta que el parámetro d es una función de
a
la cual se desconoce. Como en la prue
ba t de una solamuestra sección 11-2.2),podríamos partir de una estimación previa de O; o emplear
una estimación subjetiva. De modo alternativo, podríamos definir las diferencias en la media que de
seamos detectar en relación con
a:
11-8- 1
=
2
fl =~.
a a
en tanto que para la hipótesis alternativa unilateral de la ecuación
11-78
utilizamos
d =
flI
2
=~
a a
Para poder usarlas, estas curvas deben considerar el tamaño de la muestra n n 1. Por lo qUe
respecta a la hipótesis alternativa unilateral de la ecuación
11-76,
utilizamos los diagramas VIg .:
VIh
y
definimos
11-8.2,
lección del t m ño de l muestr
Las curvas de operación características de los diagramas VIe, VIj, VIg y VIh del apéndice se em
plean para evaluar el error de tipo II para el caso donde a l ai= a Desafortunadamente, cuando
a l * a i , la distribución de t~ se desconoce si la hipótesis nula es falsa, y no se dispone de curvas
características de operación para este caso.
Para la alternativa bilateral de la ecuación 11-72, cuando
al
ai= a
y
nI
n
n
se emplean
los diagramas VIe y VI con
Al emplear
a
0.10, encontramos que
fa lz v
t
O 05•
16
1.746. Puesto que
t ~
<
t
O 05 •
16
no podemos recha
zar
o Ji = J i
s t l n ¡ F s i J n 2 ) 2
nI 1 n 1
j _ : i 2 ~ ~ 2
n i n 2 15 10
v=--------2=--------2= 16.
10/15 220/10
2
_:_-- - _:_-- -
16 11
Los grados de libertad en t~se encuentran a partir de la ecuación 11-81 como:
X I x 24.2 - 23.9
t~ ;=;:=:::::;0: 0.184.
s t
s i ~
10 20
n ¡ n 15 10
donde se supone que ambas poblaciones son normales, pero no estamos dispuestos a considerar que las \;¡,...
rianzas desconocidas
J f
y
J i
son iguales. La estadística de prueba es
5 PROBABILIDAD ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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(11-85)
a:
J - L v = O ,
H ¡: J - L v i
O
n caso especial de las pruebas t de dos muestras ocurre cuando las observaciones en las dos pobla
ones de interés se recaban en pares. Cada par de observaciones, digamos
(Xli X 2 ,
se toma en con
ciones homogéneas, aunque estas condiciones pueden cambiar de un par a otro. Por ejemplo,
nsidere que estamos interesados en comparar dos tipos diferentes de boquillas para una máquina
prueba de dureza. Esta máquina presiona la boquilla contra un espécimen metálico con una fuer
conocida. Al medir la profundidad de la depresión ocasionada por la boquilla puede determinar
la dureza del espécimen. Si se seleccionaron varios especímenes y se les dividió en dos conjuntos
ra probar el primero con la boquilla 1 y el segundo con la boquilla 2 para, finalmente, aplicar la
t
mezclada o independiente, tal como se comentó en la sección 11-3-2, los resultados podrían
ecer de validez. Esto podría deberse, por ejemplo, a que quizá los especímenes metálicos provie
n de distintos lotes de materia prima que fueron tratados con diferentes niveles de calentamiento,
tal vez porque no son homogéneos en algún otro aspecto capaz de influir en su dureza. En conclu
ón, la diferencia observada entre los registros de dureza media de los dos tipos de boquilla deben
mbién tomar en cuenta la diferencia entre la dureza de los especímenes.
El procedimiento experimental correcto consiste en recabar los datos en pares; es decir, hacer
s lecturas de dureza en cada espécimen, uno con cada boquilla. El procedimiento de prueba con
stiría entonces en analizar las diferencias entre las lecturas de dureza de cada espécimen. Si no hay
ferencia entre las boquillas, la media de las diferencias debe ser cero. Este procedimiento de prue
se llama prueba t por pares.
Sea XIl , X 21 ), X ¡Z X 2 Z ) . . . , X
ln,
X
Zn
un conjunto de n observaciones en pares, donde supone
os que X
J ~
N J - L J 0 1 YX ~ N J 1 z , O i)· Defina las diferencias entre cada par de observaciones como
. Xlj X2j } 1,2, ...,
Las
D i
se distribuyen normalmente con media
J - L v E(XI - X2 ) E(X¡) - E(X2 ) J L J - L 2
r lo que las hipótesis de prueba en tomo a la igualdad de
J L J
y
)1 z
pueden realizarse efectuando una
t de una muestra en
J - L v .
Específicamente, probar
Ha: J - L 1
)1 z
contra
H I : J L i )1z,
es equiva
nte a probar
1 3 3 Prueba
por pares
emplearíamos tamaños de muestra de n 1
2
n 11.
n*
1 20 1 .
n
= ---
10.5 = 11 (por ejemplo),
sidere el experimento del catalizador del ejemplo 11-14.Suponga que si el catalizador 2 da por resultado
a producción distinta de la que genera el catalizador 1 en 3.0 ,nos gustaría rechazar la hipótesis nula con
obabilidad de por lo menos
0.85.
¿Qué tamaño de muestra se requiere? Al emplear
1.99
como una es
mación aproximada de la desviación común estándar 0 ,tenemos d 101/20 13.001/(2)(1.99) 0.75. A par
r del diagrama VIe del apéndice, con d 0.75 Y
0.15, encontramos n* 20, aproximadamente. Por
, puesto que n* 2n - 1,
PRUEBAS DE HIPÓTESIS 5
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 32/65
Tabla 2
Predicciones de resistencia al corte en nueve vigas de placa de acero
carga predicha / carga observada
Viga
Método de Karlsruhe
Método de Lehigh
Diferencia
di
S1 1
1 186 1 061
0 125
S2 1
1 151 0 992
0 159
S3 1
1 322
1 063 0 259
S4 1
1 339
1 062 0 277
S5 1
1 200 1 065 0 135
S2 1 1 402 1 178 0 224
S2 2
1 365 1 037
0 328
S2 3 1 537 1 086 0 451
S2 4 1 559
1 052
0 507
0.2739 = 6.08.
0.1351j.J9
Un artículo del oumal of Strain nalysis Vol. 18, núm. 2, 1983) compara varios métodos para predecir la re
sistencia
al
corte de vigas de placa de acero. Los datos para dos de estos métodos, los procedimientos de
Karlsruhe y Lehigh, cuando se aplican a nueve vigas específicas, se muestran en la tabla 11-2.Deseamos deter
minar si hay alguna diferencia en promedio) entre los dos métodos.
El promedio de muestra y la desviación estándar de las diferencias
d
j son
J
=0.2739 y sd
=
0.1351, por
lo que la estadística de prueba es
son la media y la varianza de muestra de las diferencias. Rechazaríamos o J1D
=
O lo que impli
ca que
J11
:
J 2
si fo >
ta
n_lo si fo
a
n l
Las alternativas unilaterales se tratarían de mane-
ra similar.
11-88,
n
1
n 2
LD J
n
LD j
}=l J =
=
n
_
n
D
=-
D·
J
}=l
donde
11-86.
La estadística de prueba apropiada para la ecuación 11-85es
5
PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 33/65
suponiendo que ambas poblaciones Xl y X 2 tienen varianzas idénticas y que
SJjn
estima la varianza
de
D
Ahora bien, siempre que hay una correlación positiva dentro de los pares, el denominador de
la prueba
t
por pares será más pequeño que el denominador de la prueba t de dos muestras. Esto pue-
de causar que la prueba
t
de dos muestras subestime de manera considerable la importancia de los
datos si se aplica incorrectamente a muestras por pares.
Aunque el pareado da lugar, muchas veces, a un valor más pequeño de la varianza de
i\ - X
tiene una desventaja. Es decir, la prueba
t
por pares origina una pérdida de
n -
1 grados de libertad
en comparación con la prueba t de dos muestras. En general, sabemos que aumentar los grados de
libertad de una prueba incrementa la potencia contra cualesquiera valores alternativos fijos del pa-
rámetro.
n
V Xl V X2 - 2Cov X X2
20 2 1-
p
los numeradores de ambas estadísticas son idénticos. Sin embargo, el denominador de la prueba
t
de
dos muestras se basa en la suposición de que Xl y X
2
son
independientes.
En muchos experimentos
por pares hay una fuerte correlación positiva entre Xl y X Esto es,
que se compara con ta/2.n l Observe que puesto que
I n
n n n
D
LDj L
Xlj-
X2 -¡¡LXlj - -¡¡LX2j
j j l } l } l
que podría compararse con
t
aJ2• 2n _
2
Ydesde luego, la estadística t en pares es
Xl X
lo
S
1
1
n n
Comparación de pares contra no pares. En ocasiones, al llevar a cabo un experimento comparati-
vo, el investigador puede elegir entre el análisis en pares y la prueba t de dos muestras no pares .
Si se van a efectuar n mediciones en cada población, la estadística t de dos muestras es
En el caso de la alternativa bilateral H
1: J o
f O
y
a 0.1, no la rechazaríamos sólo si t o
<
o
05, 8
1.86.
Puesto que lo > lO.05,8 concluimos que los dos métodos de predicción de resistencia producen resultados dife-
rentes. Específicamente, el método de Karlsruhe produce, en promedio, predicciones de resistencia más altas
que el método de Lehigh.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS 353
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 34/65
1l-91b
o
SI
1l-91a
a> F 1Yi2 n 1 nz l
se distribuye como F con
n
1 y
nz
1 grados de libertad, si la hipótesis nula
Ha: J f = J i
es ver
dadera. Por tanto, rechazaríamos
Ha
si
11-90
_
utilizamos el hecho de que la estadística
11-89
a:
J[
J i ,
H
J f
: : ¡ :
J i ,
rocedimiento de prueb p r pobl c iones norm les
Suponga que tenemos dos poblaciones de interés, por ejemplo
XI J 1 1
Jr y
X z N } lz , J i ,
don
de J 1 1 J r J lz y
J i
se desconocen. Deseamos probar hipótesis relativas a l a igualdad de las dos va
rianzas, digamos
Ha:
J r
J i .
Imagine que se toman dos muestras aleatorias: de tamaño
n i
de la
población 1 y de tamaño n z de la población 2, y sean y s i las varianzas de muestra. Para probar
la alternativa bilateral
Presentaremos ahora pruebas para comparar dos varianzas. Siguiendo el planteamiento en la sec
ción 11-2.3, presentamos pruebas para poblaciones normales y pruebas de muestras grandes que
pueden aplicarse a poblaciones no normales.
11 3 4
rueb s p r l igu ld d de dos v r i nz s
Aunque estas reglas son útiles, al emplearlas es necesario aplicar el criterio, ya que muchas ve
ces el valor de
J y p
no se conoce con precisión.Además, si el número de grados de libertad es gran
de digamos 40 o 50 , la pérdida de
n
1 debido al pareo podría ser poco importante. Sin embargo,
si el número de grados de libertad es pequeño digamos 10 o 20 , la pérdida de la mitad podría ser
significativa, a menos que se compense con el aumento de precisión que conlleva el pareo.
Así que, ¿cómo decidiremos llevar a cabo el experimento, es decir, debemos efectuar las obser
vaciones por pares o no? Aunque no hay una respuesta general a esta pregunta, podemos dar algu
nas guías con base en el análisis anterior. Éstas son:
1.
Si las unidades experimentales son relativamente homogéneas
J
pequeña y la correlación
entre pares es pequeña, la ganancia en precisión gracias al pareado se compensará por la pér
dida de grados de libertad, de modo que debe emplearse un experimento de muestras inde
pendientes.
2. Si las unidades experimentales son relativamente heterogéneas J grande y hay una gran
correlación positiva entre pares, lo mejor es recurrir al experimento por pares.
5
PRO ILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 35/65
11-95
al
2
a diversas
ni
n2
=
n.
Los diagramas VIq
y
VIr se emplean para la alternativa unilateral de la
uación 11-93.
s diagramas VIo, VIp, VIq y VIr del apéndice proporcionan las curvas características de opera
ión para la prueba para a
0.05
y
a
0.01, suponiendo que ni
n2
n. Los diagramas VIo
y
Ip se emplean con la alternativa bilateral de la ecuación 11.89. En ellos, se grafica contra el pa
ámetro de abscisa
lección del t m ño de l muestr
H o: J [
J r
H1:
J f : t J i·
Dos muestras de tamaños nI
nz
8 producen 3.89 y
s r
4.02, Y
s r 3.89
F= = =0 97
s
4.02
Si
0.05, tenemos que
O 025
7, 7
4.99 Y
O 97 5
7, 7
=
O 025
7,
7 -1
4.99 -1
0.20. Por tanto, no po
rechazar H o:
J r =
J i y concluimos que no hay suficiente evidencia de que la concentración afecte la
za de la producción.
sustancia química se utiliza para remover cobre de unos tableros de circuitería. XI y X2 representan los
sultados del proceso cuando se utilizan dos concentraciones diferentes de dicha sustancia. Suponga que de
amos probar
h
ec azanamos
o:al = 2·
11-94
o
Fa nl I.nz I
Si
11-93
La misma estadística de prueba puede utilizarse para probar hipótesis alternativas unilaterales.
uesto que la notación Xl y X es arbitraria, dejemos queXI denote la población que puede tener la
arianza más grande. Por consiguiente, la hipótesis alternativa unilateral es
Ho:
=
ai
H1 : oi »
f
11-92
FI aI2 nl l n2 1
-
F al2 nz
1n
onde F al2 nI 1, nz _ 1 YFI uJ2 nI 1, nz _ 1 son los puntos porcentuales
a/2
superior e inferior de la
stribución F con nI 1 Yn2 1 grados de libertad, La tabla V del apéndice proporciona sólo los
s de la cola superior de
F
por lo que para determinar
F _
al2 nI _
1,
n2_
1
debemos emplear
PRUEB S DE HIPÓTESIS
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 36/65
Presentaremos un procedimiento de muestra grande basado en la aproximación normal a bino
mial, y describiremos después un posible planteamiento para tamaños de muestra pequeños.
11-98
H O : P I
P
H I: P I = P ·
Las pruebas de la sección 11-2.4 pueden extenderse al caso en el que hay dos parámetros binomiales
de interés, por ejemplo
P :
Y
P
Ydeseamos probar que son iguales. Esto es, tratamos de probar
11 3 5 Pruebas de hipótesis sobre dos proporciones
donde S p es el estimador mezclado de la desviación estándar común a. Esta estadística tiene una dis
tribución normal estándar aproximada cuando
ai
a~ Rechazaríamos Ho si 20
> Za 2
o si 20
< - Za 2
Las regiones de rechazo para las alternativas unilaterales tienen la misma forma que en otras prue
bas normales de dos muestras.
11-97
emplearíamos la estadística de prueba
11-96
rocedimiento de prueb de un muestr gr nde
Cuando ambos tamaños de muestra n¡ n2 son grandes, puede desarrollarse un procedimiento de
prueba que no requiere la suposición de normalidad. La prueba se basa en el resultado de que las
desviaciones estándar S¡ y S2 de muestra tienen, de modo aproximado, distribuciones normales con
media
a¡
a2
Y varianzas ai
/2n¡
y
a~ /2n2
respectivamente. Para probar
Ho:
ar=
ai
H¡: ar= ai
Al referimos al diagrama VIo, con
=
0.20 y =2, encontramos que es necesario un tamaño de muestra
n =n
= 20, aproximadamente.
1
1= =2.
2
Tomandocomobase el problemadel análisisde la producciónde la sustanciaquímica del ejemplo 11-18,supon
ga que si una de las concentraciones afectó la producción de manera que una varianza fue cuatro veces mayor
que la otra, deseamos detectar ésta con probabilidad de por lo menos 0.80. ¿Qué tamaño de muestra debe uti
lizarse? Observe que si una varianza es cuatro veces mayor que la otra,
6 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 37/65
x¡ x2250 178
0.7643.
+ n
2 300
+
260
Observe que
p ¡
250/300
0.8333,
178/260
0.6846, y
H o:
PI =P2
cp
i:-P2
Se están considerando dos tipos diferentes de computadoras de control de disparo que se utilizarán en baterías
de 6 cañones de 105mm del ejército. Los sistemas de las dos computadoras se someten a una prueba opera
tiva en la que se cuenta el número total de impactos en el blanco. El sistema de la computadora 1produce 250
impactos con 300 descargas, en tanto que el sistema 2 consigue 178 impactos con 260 descargas. ¿Hay algu
na razón para pensar que los dos sistemas difieren? Para responder esta pregunta, probamos
la hipótesis nula se rechaza.
11-100
Si
11-99
La estadística de prueba para
Ho: PI
P2
es entonces
l X2
P
se distribuye aproximadamente como
N O ,
1 Una estimación del parámetro común
P
es
n prueb de muestr gr nde p r Ha PI
P
Considere que se toman dos muestras aleatorias de tamaño ni n2 de dos poblaciones, y sea l y 2
el número de observaciones que pertenecen a la clase de interés en la muestra 1 y 2, respectivamen
te. Suponga además que la aproximación normal a la hinomial se aplica a cada población, por lo que
los estimadores de las proporciones de población X ni y Xin2 tienen distribuciones nor
males aproximadas. Ahora bien, si la hipótesis nula
H o: PI
P2
es verdadera, empleando el hecho de
que
PI P2 P
la variable aleatoria
PRUEBAS DE HIPÓTESIS 7
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 38/65
11-104
-Z a ~ p ij O /n i l/n 2 ) - P I - P 2 ) )
f 3 = I-C I> .
Jp¡
si la hipótesis alternativa es H : P I <P 2
11-103
Jp¡ PZ
está dado por la ecuación 11-101. Si la hipótesis alternativa es H P I> P 2
n I 1 - P I)
n 2 P 2 )
ij
donde
11-102
_ C I > -Z c d 2 ~ P
l /ni
l: n 2 ) - PI - P 2 » ),
Jp¡
P2
Z c d 2 ~pij l /nl l/ n 2 )- P I - P 2 »)
f3
=
C I >
Jp¡ pz
Si la hipótesis alternativa es bilateral, el riesgo de un error f3 es aproximadamente:
11-1011
lO - P I) P 2 1 - P 2 )
lección del t m ño de l muestr
El cálculo del error f3 para la prueba precedente es un poco más complejo que en el caso de una so
la muestra. El problema es que el denominador de
es una estimación de la desviación estándar
de P I - P 2 ante la suposición de que P I =P 2 =p . Cuando H o : P I =P 2 es falsa, la desviación están
dar de P I - P z es
Si utilizarnos a
=
0.05, entonces Z o 0 2 5
=
1.96 Z o O Z 5
=
1.96, rechazaríamos o concluyendo que ~
una diferencia significativa entre los sistemas de las dos computadoras.
P I - p z 0.8333 - 0.6846
Z o = ;:===== = ;:======= =4.13.
0.7643 0.2357 [_1- _1_]
300 260
El valor de la estadística de prueba es
8 PROBABILIDAD y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 39/65
11-106
Y nI
n2 -
Y .
XI ni
-Xl
Debido a que los resultados son igualmente posibles, la probabilidad de exactamente
X I
éxitos
en la muestra 1, es la razón del número de resultados de la muestra 1 que tiene X¡ éxitos respecto
del número total de resultados, o
Dado que X I
X2
Y
valores grandes de X I sustentan
H
I en tanto que valores pequeños o mo
derados de
X l
sustentan
Ho .
En consecuencia, rechazaremos
Ho
siempre y cuando
XI
sea lo suficien
temente grande.
Puesto que la muestra combinada de ni
n2 observaciones contiene un total de
X l
Xz
Y de
éxitos, si
Ho : P I = P 2
es improbable que los éxitos estén más concentrados en la primera muestra
que en la segunda. Esto es, todas las formas en las que las
ni n2
respuestas, pueden dividirse en
una muestra de ni respuestas y en una segunda muestra de n2 respuestas, son igualmente probables.
El número de maneras de seleccionar
X l
éxitos para la primera muestra dejando
Y
X I
éxitos para
la segunda es
a P I
P 2
H ¡: P I> P 2
Una prueba de muestra pequeña para
Ha:
PI
P
Casi todos los problemas que involucran la comparación de proporciones P I y
P:
tienen tamaños de
muestra relativamente grandes, por lo que el procedimiento basado en la aproximación normal a la
binomial se emplea mucho en la práctica. Sin embargo, en ocasiones se encuentra un problema ele
tamaño de muestra pequeño. En tales casos, las pruebas Z son inapropiadas y se requiere un proce
dimiento alternativo. En esta sección describimos un procedimiento que se basa en la distribución
hipergeométrica.
Suponga que X¡ y X representan el número de éxitos en dos muestras aleatorias de tamaños
y
n2
respectivamente. El procedimiento de prueba requiere que consideremos el número total de éxi
tos como fijo en el valor X¡
X
2 =
Y
Consideremos ahora las hipótesis
donde ql
1 - P I Y q z
1 - P 2 Para las alternativas unilaterales, Z a / 2 se sustituye por
en la ecua
ción 11-105.
11-105
Z a / Z ~ P 1
p z ) q ¡
q z ) 1 2
Z f 3 ~ P l q ¡
p z q z ) Z
P I pz)Z
En el caso de un par de valores específicos
P I
y
P »
podemos encontrar los tamaños de muestra
= =
requeridos para brindar la prueba de tamaño
que ha especificado
el
error
de tipo U.
Por lo que respecta a la alternativa bilateral, el tamaño de muestra común es
PRUEBASDEHIPÓTESIS 9
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 40/65
Este procedimiento de prueba en ocasiones recibe el nombre de prueba Fisher-Irwin. Debido a
que la prueba depende de la suposición de que
XI
X 2
se fija en cierto valor, algunos profesionales
de la estadística se han expresado en contra del uso de la prueba cuando
XI
X
2
no es en realidad
fijo. Es claro que XI X 2 no se fija por medio del procedimiento de muestreo en nuestro ejemplo.
Sin embargo, debido a que no hay métodos mejores que compitan, muchas veces la prueba Fisher
Irwin se utiliza sin importar que Xl X2 se haya fijado o no previamente.
El valor es 0.0750
0.0095
0.0003
0.OS4S. Por consiguiente, en el nivel 0.10, la hipótesis
nula se rechaza y concluimos que los cambios propuestos por los ingenieros han mejorado la producción del
proceso.
2 ~
P X
9112
éxitos
0.0095,
~
~
P X
10112
éxitos
0.0003.
~~
C s
2 ~
P XI
SI12 éxitos 0.0750,
~
Cierta tela aislante que se utiliza en tarjetas de circuitería se fabrica en grandes rollos. El fabricante está tra
tando de mejorar laproducción del proceso, esto es, el número de rollos producidos sin defectos. Una mues
tra de 10 rollos contiene exactamente 4 libres de defectos. A partir del análisis del tipo de defectos, los
ingenieros del departamento de manufactura sugieren varios cambios en el proceso. Después de la implemen
tación de estos cambios, otra muestra de 10rollos da como resultado S libres de defectos. ¿Los datos
confir
man que el nuevo proceso es mejor que el antiguo, empleando 0.10?
Para responder esta pregunta, calculamos el valor
P
En nuestro ejemplo, n n 10, y S 4 12 y
el valor observado de Xl S. Los valores de Xl son más extremos que S son 9 y 10. Por tanto,
dado que Ro: P I
P es verdadera. Reconocemos la ecuación 11-106 como la distribución hipergeo
métrica.
Para utilizar la ecuación 11-106 en la prueba de hipótesis, calcularíamos la probabilidad de de
terminar un valor de
XI
al menos tan extremo como el valor observado de
XI
Observe que esta pro
babilidad es un valor de P Si este valor de P es
1
suficientemente pequeño, se rechaza la hipótesis
nula. Este planteamiento también podría aplicarse a las alternativas de cola inferior y de dos colas.
6
PROB BILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 41/65
Una distribución completamente especificada. Un científico de computadoras ha desarrollado un algorit
mopara generar enteros seudoaleatorios sobre el intervalo 0-9; luego, codifica el algoritmo
genera 1000dí
gitos seudoaleatorios. Los datos se muestran en la tabla 11-3. ¿Existe evidencia de que el generador de
números aleatorios está trabajando correctamente?
Si está trabajando de manera correcta, los valores 0-9 deben seguir la distribución uniforme discreta lo
cual
implica que cadauno de los enteros debe ocurrirmás o menos 100veces.Esto es, las frecuencias esperadas
Puede demostrarse que sigue aproximadamente la distribución ji cuadrada con
k
p 1 gra
dos de libertad, donde p representa el número de parámetros de la distribución hipotética estimada
por medio de estadísticas de muestra. Esta aproximación se mejora cuando n aumenta. Rechazaría
mos la hipótesis de que X se ajusta a la distribución hipotética si a
k p
Un punto que debe observarse en la aplicación de este procedimiento de prueba, se refiere a la
magnitud de las frecuencias esperadas. Si éstas son demasiado pequeñas, no reflejará la desvia
ción de las observadas respecto de las esperadas, sino sólo las frecuencias esperadas más pequeñas.
No hay un acuerdo general en relación con el valor mínimo de las frecuencias esperadas, aunque los
valores 3, 4 Y5 se utilizan ampliamente como mínimos. Si la frecuencia esperada es demasiado pe
queña, puede combinarse con la frecuencia esperada en un intervalo de clase adyacente. Las frecuen
cias observadas correspondientes se combinarían también en ese caso, y
k
se reduciría en 1. No se
requiere que los intervalos de clase sean de igual ancho.
A continuación brindaremos tres ejemplos del procedimiento de prueba.
11-107)
_
Oi
E ¡
ÁO ~
i=1
E¡
rueb de bond d de juste de l ji cu dr d
El procedimiento de prueba requiere una muestra aleatoria de tamaño de la variable aleatoria X, cu
ya función de densidad de probabilidad se desconoce. Estas
n
observaciones se arreglan en un histo
grama de frecuencias, teniendo k intervalos de clase. Sea O¡ la frecuencia observada en el intervalo
de clase í-ésimo. A partir de la distribución de probabilidad hipotética, calculamos la frecuencia es
perada en el intervalo de clase i-ésimo, denotada ¡ La estadística de prueba es
Los procedimientos de prueba de hipótesis que se han estudiado en las secciones previas son para
problemas en los que se conoce la forma de la función de densidad de la variable aleatoria y la hi
pótesis involucra los parámetros de la distribución. Sin embargo, con frecuencia encontramos otro
tipo de hipótesis: no conocemos la distribución de probabilidad de la variable aleatoria bajo estudio,
digamos X, y deseamos probar la hipótesis de que X sigue una distribución de probabilidad particu
lar. Por ejemplo, podría interesamos probar la hipótesis de que X sigue la distribución normal.
En esta sección describiremos un procedimiento de prueba formal de bondad de ajuste que se
basa en la distribución ji cuadrada. Analizaremos también una técnica gráfica muy útil llamada gra
ficación de la probabilidad . Por último, se brindarán algunas guías útiles para seleccionar la forma
de la distribución de la población.
P R U E D E O N D D D E JU S T E
4
PRUEBAS DE HIPÓTESIS 6
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 42/65
La media de la distribución de Poisson supuesta en este ejemplo se desconoce,
y
puede estimarse a partir
de los datos de la muestra. La estimación del número medio de defectos por tarjeta es el promedio de la mues
tra; esto es, 32 . 0+ 15 . 1 + 9 . 2 + 4 . 3)/60
0.75. A partir de la distribución de Poisson acumulativa con
parámetro 0.75, podemos calcular las frecuencias esperadas como
E ¡
=
np¡
donde
P t
es la probabilidad hipo
tética teórica asociada con el intervalo de clase z-ésimo y es el número total de observaciones. Las hipótesis
apropiadas son:
32
15
9
4
1
2
3
Frecuencia observadaúmero de defectos
Una distribución discreta. Se desea probar si el número de defectos en ciertas tarjetas de circuitería sigue
una distribución de Poisson. Una muestra aleatoria de
60 tarjetas se ha recopilado para observar el núme
ro de defectos. Con base en ello se obtienen los siguientes datos:
Puesto que rl 05 9
16.92, no somos capaces de rechazar la hipótesis de que los datos provienen de una
distribución uniforme discreta. En consecuencia, el generador de números aleatorios parece estar trabajando
en forma satisfactoria.
94 - 100)2 93 - 100)2 94 - 100)2
+ + ... + .
100 100 100
3.72.
E ¡ lOO,para O, 1, . ,9. Puesto que estas frecuencias esperadas pueden estimarse sin que sea necesario
estimar ningún parámetro a partir de los datos de la muestra, la prueba resultante de bondad de ajuste de la ji
cuadrada tendrá 1
10 - O- 1
9 grados de libertad.
El valor observado de la estadística de prueba es
362
PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARAINGENIERíA
Tabla 3 Datos para el ejemplo 11 22
Total
1
2
3
4
5 6
7
8 9
Frecuencias
observadas ¡ 94 93
112
101
104
95 100 99
108 94 1000
Frecuencias
esperadas E¡ 100
100 100
100
100 100 100 100 100 100
1000
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 43/65
an iguales. Suponga que decidimos emplear k 8 celdas. Para la distribución normal estándar, los interva
que dividen la escala en ocho segmentos igualmente espaciados son [O,0.32), [0.32,0.675), [0.675, 1.15),
0)
Ysus cuatro intervalos de imagen espejo al otro lado del cero. Denotando estos puntos extremos
Pi
n».,~
X ~
¡
i
f x dx
° l
a distribución continua
Un ingeniero de manufactura está probando una fuente de poder utilizada en una
taciónde trabajo de procesamiento de textos. Él desea determinar si una distribución normal describe en for
a adecuada el voltaje de salida. De una muestra aleatoria de n
100 unidades, el ingeniero obtiene estima
ones de la media
y
de la desviación estándar de la muestra 12.04V Ys
0.08 V.
Una práctica común en la construcción de los intervalos de clase para la distribución de frecuencia utili
ada en la prueba de bondad de ajuste de la ji cuadrada, consiste en elegir las fronteras de celda de modo que
frecuencias esperadas
E¡ = np¡
sean iguales para todas las celdas. Para emplear este método, deseamos ele
r las fronteras de celda ao, al ... , ak para las k celdas, de manera que todas las probabilidades
puesto que
ro os
3.84, no podemos rechazar la hipótesis de que la ocurrencia de defectos sigue una dis
ibución de Poisson con media 0.75 defectos por tarjeta.
32 - 28.32)2 15 - 21.24)2
13 10.44)2 2.94,
o 28.32 21.24 10.44
La estadística de prueba que tendrá
k
p 1 3 - 1 - 1 1grados de libertad) se vuelve
28.32
21.24
10.44
32
15
13
1
recuencia esperada
recuencia observada
úmero de fallas
Las frecuencias esperadas se obtienen multiplicando el tamaño de la muestra por las probabilidades res
. Puesto que la frecuencia esperada en la última celda es menor que 3, combinamos las dos últimas
:
Número de fallas Probabilidad
recuencia esperada
O
0.472
28.32
1
0.354
21.24
2 0.133
7.98
~3
0.041
2.46
Podemos calcular las frecuencias esperadas del modo siguiente:
H¡: p x) no es de Poisson con í 0.75.
x 0 1 2
e
l·
s
0.75}
Ho: p x)
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 44/65
Graficación de la probabilidad
Los métodos gráficos también son útiles cuandose selecciona una distribución de probabilidad pa
ra describir datos. La graficación de probabilidad es un método gráfico que se basa en un examen
visual subjetivo para determinar si los datos se ajustan a una distribución hipotética. El procedimien
to general es muy simple y puede efectuarse con rapidez. La graficación de la probabilidad requie
re papel especial, conocido como papel de
probabilidad
diseñado para la distribución hipotética.
Este papel de probabilidad es útil también para las distribuciones normal, lognormal, de Weibull y
Puesto que se han estimado dos parámetros en la distribución normal, compararíamos
1.12con una
distribución ji cuadrada con
k P
1
8 - 2 - 1
5 grados de libertad. Usando
0.10, vemos que
r o ¡
13.36, Yde este modo concluiríamos que no hay razón para creer que el voltaje de salida no se distribuye
normalmente.
lO - 12.5 2 14 - 12.5 2 14 - 12.5 2
... - ------
12.5 12.5 12.5
1.12.
Los valores calculados de la estadística ji cuadrada son:
Intervalo de clase Frecuencia observada, O í
Frecuencia esperada, E í
x
11 948
1
12 5
11 948 : :; x
11 986
14
12 5
11 986 : :;
x
12 14
12 12 5
12 14 : :; x « 12 4 13
12 5
12 4 : :; x
12 66 11
12 5
12 66 : :; x 12 94
12
12 5
12 94 : :; x 12 132 14
12 5
12 132 : :; x 14
12 5
1
1
Tabla 11-4 Frecuencias observadas y esperadas
Para cada intervalo,
Pi
t
0.125, así que las frecuencias de celda esperadas son
E¡
nP i
100 0.125
12.5.Todas las frecuencias observadas y esperadas se muestran en la tabla 11-4.
a sa 12.04 0.08 0.675 12.094.
estándares normales mediante ao al ... as lo único que resta es calcular los puntos extremos necesarios pa
ra el problema generalnormal; a saber,definimos los nuevos puntos extremos de los intervalos de clase median
te la transformacióna;
sa¡ O,1, ..., 8. Por ejemplo, el punto extremo del sexto intervalo a l a derecha es
364 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARAINGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 45/65
Podemos obtener una estimación de la media
y
de la desviación estándar directamente de la grá
fica de la probabilidad normal. En la línea recta de la figura 11-7 se observa que la media se estima
como
el
500. percentil de la muestra o
¡1
0.10 aproximadamente
y
la desviación estándar se es
timacomo la diferenciaentre los percentiles 840. y 500. o
=
0.95 - 0.10
=
0.85 aproximadamente.
Los pares de valores de X j y j - 0.5 /n se grafican luego sobre papel de probabilidad normal. Esta grá
fica se muestra en la figura 11-7.Casi todo el papel de probabilidad normal grafica
100 j - 0.5 /n
en l a esca
la vertical derecha y 100[1-
j - 0.5 /n]
en la escala vertical izquierda con el valor variable graficado sobre la
escala horizontal. Hemos elegido graficar X j contra 100 j - 0.5 /n sobre la vertical derecha en la figura
11-7.Una línea recta elegida en forma subjetiva se ha dibujado a partir de los puntos graficados. Al dibujar
la línea recta debe haber mayor influencia de los puntos cercanos a la mitad que de los puntos extremos.
Puesto que los puntos caen por lo general cerca de la línea concluimos que una distribución normal descri
be los datos.
X j
j - 0.5 / n
1
-1.390
0.05
2 -0.801
0.15
3 -0.563 0.25
4 -0.314 0.35
5 -0.179
0.45
6 0.504
0.55
7 0.863
0.65
8 1.080
0.75
9 1.153 0.85
10 1.436
0.95
Consideramos la hipótesis de que una distribución normal modela de manera adecuada estos datos. Las
observaciones se arreglan en orden ascendente y sus frecuencias acumulativas j - O 5 /n se calculan del mo
do siguiente:
-0.314 1.080 0.863 -0.179 - 1.390 -0.563 1.436 1.153 0.504 -0.801.
Para ilustrar la graficación de la probabilidad considere los siguientes datos:
diversas distribuciones ji cuadrada
y
gamma. Para construir una gráfica de probabilidad se clasifi
can primero las observaciones d e la muestra de la más pequeña a la más grande. Esto es la mues
tra
Xl X
2
X;
se arregla como
X l) X 2) .. . , X C n )
donde
X j)::; X j+l)
Las observaciones ordenadas
X j
se grafican después contra su frecuencia acumulativa observada
j -
0.5 /n
en papel de probabi
lidad apropiado. Si la distribución hipotética describe de manera adecuada los datos los puntos gra
ficados caerán aproximadamente a lo largo de una línea recta; si los puntos graficados se desvían de
modo significativo de una línea recta significa que el modelo hipotético es inapropiado. Usualmen
te la determinación de si los datos se grafican o no como una línea recta es subjetiva.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
6
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 46/65
j
X }
j
0.5 /
n
1 -l.390 0.05 -l.64
2
-0.801 0.15 -1.04
3 -0.563 0.25 -0.67
4 -0.314
0.35 -0.39
5 -0.179 0.45 -0.13
6 0.504 0.55 0.13
7
0.863
0.65 0.39
8 1.080 0.75 0.67
9 1.153
0.85 1.04
10 1.436 0.95
1.64
Por ejemplo, si
j 0 5 /n
0.05, <P Z¡ 0.05 implica que
Zj
l.64. A manera de ilustración,
considere los datos del ejemplo 11-25. En la tabla siguiente mostramos los conteos normales estan
darizados en la última columna:
Una gráfica de probabilidad normal puede construirse también sobre papel gráfico ordinario,
graficando los conteos normales estandarizados
Zj
contra
X j ,
donde los conteos normales estanda
rizados satisfacen
Figura 11 7 Gráfica de probabilidad normal
0. 5 1. 0 1. 5 2. 0
X jl
10
~ __ ~ __ ~ __ ~ __ ~ __ ~ ~ __ ~ __ ~ __ ~2
70 G
60
50 : : : ;
40 ~
30
80
95
900
20
~
30
40
;
50
. . . . .
60
70
80
90
95
98
2. 0 1. 5 1. 0 0. 5
1 . . ~99
2 98
366 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 47/65
3
E X fl
es una medida estandarizada del sesgo y
La elección de la distribución hipotética para ajustar los datos es importante. En ocasiones los ana
listas pueden utilizar su conocimiento de los fenómenos físicos para elegir una distribución que mo
dele los datos. Por ejemplo al estudiar los datos de defectos de tarjetas de circuitería del ejemplo
11-23 s e consideró de manera hipotética una distribución de Poisson para describirlos debido a que
las fallas son fenómenos de eventos unitarios y tales fenómenos a menudo son mejor modelados
por una distribución de Poisson. En ocasiones la experiencia previa puede sugerir la elección de la
distribución.
En situaciones en las que no hay experiencia previa ni alguna teoría que sugiera una distribución
para describir los datos el analista debe confiar en otros métodos. En muchas ocasiones la inspec
ción de un histograma de frecuencias puede indicar una distribución apropiada. También es posible
usar la disposición de la figura 11-9 para ayudar en la selección de una distribución que describa los
datos. En ese caso hay que tener en cuenta que el eje 3 2 aumenta en forma descendente. Esta figura
muestra las regiones en el plano { ¡ 3 2 para diversas distribuciones de probabilidad estándar donde
elección de l form de un distribución
igur 11 8 Gráfica de probabilidad normal
2.0 01 0
2 0
L___ ¡ l __ ¡
2 0
•
1 0
Z¡
1 0
La figura 11-8 presenta la gráfica de Zj contra X J) Esta gráfica de probabilidad normal es equiva
lente a la de la figura 11-7. Muchos programas de computadora construyen gráficas de probabilidad
para diferentes distribuciones. En la sección 11-6 encontrará ejemplos en los que se usó Minitab® .
PRUEBAS DE HIPÓTESIS 367
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 48/65
Figura 9
Regiones en el plano
f 3
{ 3 ¿ para diversas distribuciones estándar. Adaptada de G. J. Hahn y S.
S. Shapiro, Statistical Mode s in Engineering JohnWiley
Sons, Nueva York, 1967; utilizada con autorización
del editor y profesor E. S. Pearson, Universidad de Londres.)
4
f 3
9
8
3
2
y
4
f 3 2
~
5
~/6
ó l. ? Ol
i r, h
1) J: i0/ .
o , >} ;s ó
<;lo:
(/el
6
1
(1)
o
3
: : : J
..c
.¡::
U í
7
5
es una medida de la curtosis o pico . Para utilizar la figura 11-9, se calculan las estimaciones de
muestra de f y
f 3 z
por ejemplo:
368 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 49/65
1
011
012
01c
2
021 022
02c
0 1
0 2
o
e
englón
Columna
Tabla 5 Una tabla de contingencia e
En muchas ocasiones, los
n
elementos de una muestra de una población pueden clasificarse de
acuerdo con dos criterios diferentes. Por ello, nos interesa conocer si dos métodos de clasificación
son estadísticamente independientes. Por ejemplo, podemos considerar la población de ingenieros
graduados, y tal vez deseemos determinar si el salario inicial es independiente de las disciplinas
académicas. Suponga que el primer método de clasificación tiene
r
niveles, y que el segundo méto
do de clasificación tiene
e
niveles. Sea
j
la frecuencia observada para el nivel del primer método
de clasificación y el nivelj del segundo. Los datos aparecerían, en general, como en la tabla 11-5.
Una tabla de tales características se llama comúnmente tabla de contingencia r x e renglón x co
lumna .
P RU EB AS D E T AB LA S D E C ON TIN G EN C IA S
5
y segrafica el punto 1 3 1
f z
Si este punto cae razonablemente cerca de un punto, línea o área que co
rresponda a una de las distribuciones dadas en la figura, esta distribución es una opción lógica para
modelar los datos.
A partir de la inspección de la figura 11-9,observamos que todas las distribuciones normales se
representanmediante el punto { ¡ y
f 3 2
3. Esto es razonable, puesto que todas las distribuciones
normales tienen la misma forma. De manera similar, las distribuciones exponencial y uniforme se
representan por medio de un solo punto en el plano { ¡ f 3 2 Las distribuciones gamma y lognormal
se representan mediante líneas, porque sus formas dependen de los valores de su parámetro. Obser
ve que estas líneas están muy próximas entre sí, lo que puede explicar por qué algunos conjuntos de
datos semodelan igualmente bien mediante cualquier distribución. Observamos también que hay re
giones del plano { ¡ f 3 2 para las que ninguna de las distribucionesde la figura 11-9es apropiada.Otras
distribucionesmás generales, tales como las familias de distribucionesde Johnson o Pearson, pueden
requerirseen estos casos. Los procedimientospara ajustar estas familiasde distribucionesy figuras si
milares a la 11-9 se presentan en Hahn y Shapiro 1967 .
2 3 4
n
M=
X-X
~
i=l
donde
PRUE S DE HIPÓTESIS
9
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 50/65
34
6
5
4
6
4
6
2
6
4
2
Trabajadores asalariados
Trabajadores por horas
Totales
Total
Plan de pensión
Tabla 11 6 Datos observados para el ejemplo 11 26
El n a ¡ v ¡ 500 0.68) 0.40) 136.
Una compañía tiene que escoger entre tres planes de pensión. La administración desea saber si la preferencia
por algún plan es independiente de la clasificación del empleo. Las opiniones de una muestra aleatoria de 500
empleados se muestran en la tabla 11-6.Podemos calcular a ¡ 340/500) 0.68, a 160/500) 0.32, v ¡
=
200/500)
0.40,
v
200/500)
0.40, Y
v 3
100/500)
0.20. Las frecuencias esperadas pueden calcu
larse a partir de la ecuación 11-109.Por ejemplo, el número esperado de trabajadores asalariados que favore
cen el plan 1 es
11-110)
~~ O..
-E.. 2
E..
~
xZr-l) c-I)
i=1 j=l
aproximadamente, y rechazaríamos la hipótesis de independencia si >
r a
r 1 c - 1
Entonces, para
n
grandes, la estadística
11-109)
Por tanto, suponiendo independencia, el número esperado de cada celda es
11-108)
Estamos interesados en probar la hipótesis de que los métodos de clasificación de renglón y de
columna son independientes. Si rechazamos esta hipótesis, concluimos que hay cierta
interacción
entre los dos criterios de clasificación. Los procedimientos de prueba exactos son difíciles de obte
ner, pero una estadística de prueba aproximada es válida para n grande. Suponga las Oijcomo varia
bles aleatorias multinomiales y j como la probabilidad de que un elemento elegido al azar caiga en
la celda ij-ésima dado que las dos clasificaciones son independientes. Entonces, Pi}
=
u¡v
j,
donde u¡
es la probabilidad de que un elemento elegido al azar caiga en el renglón de clase
i y v j
es la proba
bilidad de que un elemento seleccionado en forma aleatoria caiga en la columna de clase j. Ahora bien,
suponiendo independencia, los estimadores de máxima probabilidad de u¡ y v
j
son:
1 e
i
LOij
n
j=1
1
V j =-LOi}
n
;=1
37 PROBABILIDAD y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 51/65
Existen muchos paquetes estadísticos que se pueden usar para construir intervalos de confianza, rea
lizar pruebas de hipótesis y determinar tamaños de lamuestra. En esta sección presentaremos los re
sultados que ofrece uno de ellos, Minitab , para diferentes problemas.
R E S U L T D O S D E L M U E S T R U S N D O O M PU T D O R6
El uso de la tabla de contingencias de dos vías para probar la independencia entre dos variables
de clasificaciónen una muestra a partir de una sola población de interés, no es la única aplicaciónque
tiene estemétodo. Otra situación común ocurre cuando hay poblaciones de interés y cada una de
ellas se divide en las mismas e categorías. Una muestra se toma luego de la población i-ésima, y los
conteos se anotan en las columnas apropiadas del renglón i ésimo En esta situación deseamos in
vestigar si las proporciones en las e categorías son las mismas para todas las poblaciones o no. La
hipótesis nula en este problema, establece que las poblaciones son homogéneas respecto de las ca
tegorías. Por ejemplo, cuando sólo hay dos categorías, tales como éxito y fracaso, defectuoso o no
defectuoso, etc., la prueba de homogeneidad es en realidad una prueba de igualdad de los
paráme
tros binomiales. El cálculo de las frecuencias esperadas, la determinación de los grados de libertad
y el cálculo de la estadística de la ji cuadrada para la prueba de homogeneidad son idénticas a la
prueba para la independencia.
Puesto que
ro OS 2
5.99, rechazamos la hipótesis de independencia
concluimos que la preferencia
respecto de los planes de pensión no es independiente de la clasificación del empleo.
(160 - 136)2+(140 - l36)2 + (40 - 68)2 + (40 - 64)2+ (60 - 64)2 + (60 - 32)2 49.63.
136 l36 68 64 64 32
Las frecuencias esperadas se muestran en la tabla 11-7.La estadística de prueba se calcula a partir de la
ecuación 11-110como sigue:
34
6
5
8
32
36
2
36
2
Trabajadores asalariados
Trabajadores por horas
Totales
Total
Plan de pensión
Tabla 7 Frecuencias esperadas para el ejemplo 26
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
37
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 52/65
Figura 11 1 Gráfica de probabilidad normal para el ejemplo 11 27
Resistencia a la tensión
400
00
00
~
~
~
I~
0.999
0.99
0.95
O
0.80
l
g
c
0.50
l
c
e
0.20
0.05
0.01
0.001
El valor P se reporta de 0.004, lo que nos conduce a rechazar la hipótesis nula y c oncluir que la media de
la resistencia a la tensión es mayor que 250 MPa. El intervalo de confianza interior de un solo lado del 95
está dado como 272
Test of mu 250 vs mu
>
250
Var i abl e
N
Mean St Dev SE Mean
TS 15 301 9 65 9
7 O
Var i abl e 95 0 Lower Bound T
p
TS 272 0 3 05 0 004
En la figura 11-10se muestra la gráfica de probabilidad normal construida para la resistencia a la tensión.
La suposiciónde normalidadqueda satisfecha.Se suponeque la varianza de la poblaciónpara la resistencia a la
tensión es desconocida, y en consecuencia, se usará una prueba de una sola muestra para este problema.
Los resultados que ofrece Minitab®para la prueba de hipótesis y el intervalo de confianza de la media son
H o :
=
250,
¡
> 250.
Suponga que nos interesa determinar si la media de la resistenci a a l a tensión es mayor que 250MPa. Es
to es, probar
226,237,272,245,428,298,345,201,327, 301, 317,395,332,238,367.
Se realizó un estudio sobre la resistencia a la tensión de varias fibras a diversas temperaturas. Los resultados
del estudio dados en unidades MPa) son
372 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 53/65
El valor dado es 0.048, lo cual indica que hay una diferencia significativaentre las proporciones de los
vuelos
canceladospor las compañíasAmericanAirlines yAmericanWestAirlinesa un nivel deconfianza de 5 .
0. 048
Est i mat e f or p l ) - p 2) : - 0. 0231240
95 Cl f or p l ) - p 2) : - 0. 0459949, - 0. 000253139)
Test f or p l ) - p 2)
O v s not
O) : Z
- 1. 98 P- Val ue
Sampl e p
0. 054041
0. 077165
2128
635
115
49
Sampl e
2
¿Existe una diferencia significativa en la proporción de vuelos cancelados por las dos aerolíneas? Las hi
pótesis de interés son H a PI
P z contra H PI
P z Una prueba de dos muestras y un intervalo de confianza
bilateral sobre las proporciones son:
0.054
0.077
115
49
2128
635
AmericanAirlines
AmericanWestAirlines
Proporción
úmero de vuelos canceladosúmero de vuelos
erolínea
El número de vuelos cancelados en cada día de servicio se registrapara todas las aerolíneas.A continuación se
lista tanto el número de vuelos programados como el de vuelos cancelados en un solo día de marzo de 2001,
en el caso de las dos aerolíneas principales.
Los resultados de Minitab®concuerdan con los que se encontraron en el ejemplo 11-17.Minitabf tam
bién proporciona el intervalo de confianza apropiado para el problema. Usando 0.10, el nivel de confian
za es 0.90; el intervalo d e confianza 90 sobre la diferencia entre los dos métodos es (0.1901, 0.3576). Puesto
que el intervalo de confianza no contiene al cero, también concluimos que hay una diferencia significativa en
tre los dos métodos.
SE Mean
0. 0487
0. 0165
0. 0450
St Dev
0. 1460
0. 0494
0. 1351
Mean
1. 3401
1. 0662
0. 2739
9
9
Kar l sr uhe
Lehi gh
Di f f er ence
pai r ed T f or Kar1sruhe - Lehi gh
6. 08 P- Va1ue
90 f or mean di f f er ence: 0. 1901, 0. 3576)
T- Test of mean di f f erence
O vs not
O T- Va1ue
0. 000
Reconsidere el ejemplo 11-17, comparando dos métodos para predecir la resistencia al corte de vigas de pla
ca de acero. El resultado, usando Minitab' , de la prueba
en pares usando 0.10 es
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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Por tanto, para detectar en forma adecuada un cambio significativo en la proporción de cinturones elásti
cos no ajustables, serían necesarias al menos
348 muestras aleatorias.
0. 01 versus> 0. 01
est i ng propor t i on
Al pha
0. 05
Act ual
Power
0. 9502
Tar get
Power
0. 9500
Sampl e
Si ze
8
Al t ernat i ve
Pr opor t i on
3. 50E- 02
Un fabricante de cinturones elásticos desea inspeccionar y controlar el número de cinturones no ajustables que
genera cierta línea de producción. La proporción de cinturones no ajustables aceptable es 0.01. Para fmes
prácticos, si la proporción aumenta a 0.035 o más, el fabricante quiere detectar el cambio. Esto es, la prueba
de interés sería o 0.01 contra ¡
>
0.01. Si el nivel de significación aceptable es a
0.05
y
la potencia
es 1 -
0.95, ¿cuántos cinturones elásticos debe seleccionar para llevar a cabo la inspección? Para
0.05
y
1- 0.95, el tamaño apropiado de la muestra se puede determinar usandoMinitab®.El resultado es
Para lograr la potencia el nivel de significación deseados, el número mínimo de especímenes que debe
utilizarse es
6.
Test i ng mean
nul l versus nul l
Cal cul at i ng power f or mean
nul l
+
di f f er ence
Al pha 0. 05 Si gma 1. 3
Act ual
Power
0. 9936
Target
Power
0. 9900
Sampl e
Si ze
6
Di f fe rence
- 2. 6
La resistenciamedia a la compresión de un concreto particular de alta resistencia se suponeque es
J
20 (MPa).
Se sabe que la desviación estándar de la resistencia a la compresión es
1.3MPa. Un grupo de ingenieros
quiere determinar el número de especímenes de concreto que serán necesarios en el estudio para detectar una
disminución en la media de la resistencia a la compresión de dos desviaciones estándar. Si el promedio de la
resistencia a la compresión es realmente menor que
J 20
los analistas quieren tener confianza de detectar
correctamente esta diferencia significativa. En otras palabras, la prueba de interés sería o
J
20 contra ¡
J
20. Para este estudio, el nivel de significación se establece en
0.05,
y
la potencia de la prueba es l -
0.99 ¿Cuál es el número mínimo de especímenes de concreto que se debe usar en este estudio? Para una
diferencia de 20 o 2.6 MPa,
0.05
y
l -
0.99, la muestra de tamaño mínimo se encuentra usando Mi
nitab' . El resultado es
El intervalo de confianza de 95 es (-0.0460, -0.0003), lo cual señala que American WestAirlines tiene una
proporción de vuelos cancelados estadísticamente más significativa que American Airlines para un solo día.
7
PRO ILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
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11-7 Se emplean dos máquinas para llenar botellas
de plástico con un volumen neto de 16.0 on
zas. El proceso de llenadopuede suponersenor
mal, con desviaciones estándar de
JI=
0.015 Y
j
0.018. Los ingenieros del departamento
de control de calidad sospechan que ambas
máquinas llenan hasta el mismo volumen neto,
11-6 Considere los datos del ejercicio 10-41.Pruebe
lahipótesisdeque la resistenciamedia a la com
presión es igual a 3500 lpc. Utilice
0.01.
11-5 Considere los datos del ejercicio 10-40.Pruebe
la hipótesis de que la vida media de las bombi
llas eléctricas es de 1000horas. Use
=
0.05.
b
¡,Qué tamaño de muestra se requiere para
detectar un diámetro medio real de 74.030
mm con probabilidad de por lo menos
0.957
11-4 Considere los datos del ejercicio 10-39.
Pruebe la hipótesis de que el diámetrome
dio de un anillo de pistón es 74.035 mm.
Utilice
0.01.
Pruebe la hipótesis de que el diámetro me
dio real de los tornillos es igual a 0.255
pulg, empleando 0.05.
b ¡,Qué tamaño de muestra se necesitaría
para detectar un diámetro medio real de
0.2552 pulg con probabilidad de por lo
menos 0.907
11-3 Se sabe que el diámetro de ciertos tomillos tie
ne una desviación estándar de 0.0001 pulg.
Una muestra aleatoria de 10 tomillos produce
un diámetro promedio de 0.2546 pulg.
¡,Hayrazón para creer que el rendimiento
es menor a 90 7
b
¡,Qué tamaño de muestra se requeriría pa
ra detectar un rendimiento medio verda
dero de 85 con probabilidad de 0.95?
11-2 Seestá estudiando el rendimiento de un proce
so químico. A partir de la experiencia previa,
se sabe que la varianza del rendimiento con es
te proceso es 5 (unidades de
j =
porcentaje ).
Los últimos cinco días de operación de la plan
ta han dado como resultado los siguientes ren
dimientos (en porcentajes): 91.6, 88.75,90.8,
89.95, 91.3.
11-1 Se requiere que la resistencia al rompimiento
de una fibra utilizada en la fabricación de ropa
no sea menor que 160 lpc. La experiencia in
dica que la desviación estándar de la resisten
cia al rompimiento es de 3 lpc. Se prueba una
muestra aleatoria de cuatro especímenes y se
encuentra que la resistencia promedio al rom
pimiento es de 158 lpc.
¿Debe considerarse aceptable la fibra con
=
0.05?
b
¿Cuál es la probabilidadde aceptar
Ho l ~
160 si la fibra tiene una resistencia al rom
pimiento verdadera de 165 lpc?
EJERCIC IOS 8
En este capítulo se abordó la prueba de hipótesis. Los procedimientos para probar hipótesis en me
dias y varianzas se resumen en la tabla 11-8.La bondad de ajuste de la ji cuadrada se presentó para
probar la hipótesis de que una distribuciónempírica sigue una ley de probabilidad particular.Los mé
todos gráficos también son útiles en la prueba de la bondad de ajuste, en particular cuando los tama
ños de muestra son pequeños. Además, se presentaron las tablas de contingencia de dos vías para
probar la hipótesis de que dos métodos de clasificación de una muestra son independientes. También
se analizaron varios ejemplos cuyos resultados se obtuvieron usando computadora.
PRUEBASDEHIPÓTESIS 7
7 RESUMEN
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 56/65
F
o
< F1 - a/2
n
1
n2
1
F o > F
a n 1 n2 1
F o > F « 2 n 1 n2 1
o
xg> X ~ 2,n-1
o
X ~ < X L a/ 2, n-1
X g > X ;;,n -1
X ~ < X L a,n-l
H 1 : a2 > ag
H :a
2
<a~
t¿» ta v
fo < ta v
H : /1 1
/ 1 2
H1:/ 11 > / 1 2
H ,:/1 , < /12
X X
2
sf s~
n n2
H O :/1 1 = /1 2
a~ a~
desconocidas
d
=
1 / 11 - /1 21/ 2a
d
=
/1 , - /1 2 /2 a
d =
/1 2 - /1 1 /2 a
t o l > t / 2 n
n2- 2
to
>
a n n
2 2
to < -fa
n n
2 2
H
1 : /1 1
/ 1 2
H : ~l >
/1 2
H 1 :/1 1 < /1 2
H o :/1 1 = /1 2
a ~ = a~
=
a 2
desconocidas
d
=
1 /1 1- /1 21
~a~
a~
d = /1 , - / 1 2 /
¡ ; ¡ - ; ; ; ¡
d =
/ 1 2 -
/1 , / ~a~ a~
X
1
X
2
a~ a~
-
n n
2
H
O
:/1 1 = /1 2
a~y a~conocidas
d =
1 /1 - /1 ol/a
d =
/ 1 -
/1 o /a
d
=
/1 0 - /1 /a
I t o l > t / 2 n-1
t« > ta n -1
to < ta n -1
H
1 :
/1 f 1 o
H 1 :/1 > /10
H ,:/1 < /10
x - /1 0
lo
=
s
{r
H o :/1 = /10
a 2
desconocida
d = 1 /1 -
f 1 o l
a
d
=
/ 1 - /1o /a
d = / 1 0 - /1 /a
Z o > Z a /2
z ,
> z;
z <
z
H1 : /1
f 1 o
H 1 :/1 > /1 0
H,:/1</1 o
X -/ 10
Z o =---
aj..[r;
H o :/1 = /1 0
a 2
conocida
Criterio de
rechazo
Hipótesis
alternativa
Parámetro de
la curva CO
Hipótesis
Estadística de pruebaipótesis nula
Tabla 8 Resumen de procedimientos de pruebas de hipótesis en medias y varianzas
7
PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 57/65
a ¿Hay alguna evidencia de que el tiempo de
almacenamiento medio es mayor o igual
que 125días?
b
Si es importante detectar una razón
la
de
1.0 con probabilidad de 0.90 ¿el tamaño
de la muestra es suficiente?
128 días
163
159
134
108 días
134
124
116
11 13
El tiempo que se puede almacenar una pelícu-
la fotográfica es de interés para el fabricante.
Éste observa los siguientes datos para ocho
unidades elegidas al azar de la producción ac-
tual. Suponga que el tiempo de almacenamien-
to se distribuye normalmente.
Pruebe la hipótesis de que la desviación lateral
media de estos proyectiles de mortero es cero.
Suponga que la desviación lateral se distribuye
normalmente.
Etapa
Desviación Etapa Desviación
11.28
6
9.48
2 10.42 7 6.25
3
8.51 8 10.11
4 1.95
8.65
5 6.47
10 0.68
11 12
Un fabricante de propulsores está investigando
la desviación lateral en yardas de cierto tipo de
proyectil de mortero. Se han observado los si-
guientes datos.
11 11
Considere los datos de octanaje de gasolina
que se presentaron en el ejercicio 10 47.Al fa-
bricante le gustaría detectar que la fórmula 2
produce un octanaje más alto que la fórmula 1.
Cree y pruebe una hipótesis apropiada em-
pleando 0.05.
11 1
Considere los datos del ejercicio 10 46. Prue-
be
H o :
contra
H
112 empleando
5
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
11 9
Considere los datos del ejercicio 10 45.Pruebe
la hipótesis de que ambas máquinas llenan has-
ta el mismo volumen. Emplee 0.10.
8 El departamento de revelado fotográfico de
una tienda departamental está considerando
reemplazar su máquina procesadora actual. El
tiempo que necesita la máquina para completar
el procesamiento de un rollo de película es im-
portante. Por ello se selecciona una muestra
aleatoria de 12 rollos de 24 exposiciones a co-
lor para su procesamientoen la máquina actual.
El tiempo de procesamientopromedio es de 8.1
minutos conuna desviaciónestándarde 1.4mi-
nutos en la muestra. Se seleccionauna muestra
aleatoria de 10rollos del mismo tipo de pelícu-
la para probarlos en la máquina nueva. El tiem-
po de procesamiento promedio en este caso es
de 7.3 minutos con una desviación estándar de
0.9 minutos en la muestra. La tienda departa-
mental no comprará la máquina nueva a me-
nos que su tiempo de procesamiento sea menor
en 2 minutos en comparación con la máquina
actual. Con base en esta información ¿deberá
comprarse la máquina nueva?
e
¿Cuál es la capacidad de la prueba en
a
para una diferenciaverdaderaentre las me-
dias de 0.075?
b
Suponiendo tamaños de muestra iguales
¿qué tamaño de muestra se utilizaría pa-
ra asegurar que 0.05 si la diferencia
en medias reales es 0.075? Suponga que
0.05.
¿Piensa usted que los ingenieros están en
lo correcto? Utilice 0.05.
Máquina 1
Máquina 2
16.03
16.01 16.02 16.03
16.04
15.96 15.97
16.04
16.05
15.98
15.96 16.02
16.05
16.02 16.01
16.01
16.02
15.99 15.99
16.00
sin importar que éste sea o no 16.0 onzas. Se
toma una muestra aleatoria de la salida de ca-
da máquina.
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 58/65
e) Encuentre la potencia de la prueba en la
parte a si el rendimiento medio del proce
so 1 es 5 mayor que el del proceso 2.
a
¿Hay alguna razón para creer que el pro
ceso 1 tiene un rendimiento medio mayor?
Use
0.01. Suponga que ambas varian
zas son iguales.
Suponiendo que para adoptar el proceso 1
debe producirse un rendimiento al menos
5 mayor que el del proceso 2, ¿cuáles
son sus recomendaciones?
24.2 26.6 25.7 24.8 25.9 26.5
2 21.0 22.1 21.8 20.9 22.4 22.0
Rendimiento ( )
roceso
11-19 Se están investigando dos métodos para produ
cir gasolina a partir de petróleo crudo. Se su
pone que el rendimiento de ambos procesos se
distribuye normalmente. Los siguientes datos
de rendimiento se han obtenido en la planta pi
loto.
11-18 Un ingeniero desea probar la hipótesis de que el
punto de fusión de una aleación es 1000
o c
Si
el punto de fusión real difiere del hipotético en
más de 20
C, el ingeniero debe cambiar la com
posición de la aleación. Si suponemos que el
punto de fusión es una variable aleatoria que
se distribuye normalmente, a
0.05, 0.10 y
5 10 C, ¿cuántas observaciones deben efec
tuarse?
11-17 Suponga que debe probarse la hipótesis
o l ~
15,
l < 15,
donde se sabe que 52
2.5. Si
0.05 y la me
dia real es 12, ¿qué tamaño de muestra es nece
sario para asegurar un error de tipo II de 5 ?
e) Para 8/ 5
2.0, ¿cuál es la potencia de la
prueba anterior?
a En su opinión, ¿la proporción real de re
baba es menor que 7.5 ?
Si es importante detectar una razón de
5
1.5 con probabilidad de por lo me
nos 0.90, ¿cuál es el tamaño de muestra
mínimo que puede utilizarse?
7.32
8.81
8.56
7.46
5.51
6.49
6.46
5.37
11-16 Se desea probar si el porcentaje de rebaba pro
ducida en una operación de acabado metálico
es menor que 7.5 . Se eligieron varios días al
azar y se calcularon los siguientes porcentajes
de rebaba.
Suponiendo que las horas de trabajo se distri
buyen normalmente, ¿existe alguna evidencia
para concluir que la media del número de horas
de trabajo perdidas es mayor que ocho horas?
8.8 8.8
12.5
12.2
5.4 13.3
12.8 6.9
9.1
2.2
14.7
11-15 Un artículo del
Journal of onstruction ngi-
neering and Management
(1999, pág. 39) pre
senta algunos datos acerca del número de
horas de trabajo perdidas por día en un pro
yecto de construcción, a causa de incidentes
relacionados con el clima. En un periodo de
11 días de trabajo se registraron las siguientes
horas de trabajo perdidas.
¿Hay alguna evidencia de que el contenido
medio de titanio sea mayor que 9.5 ?
8.0 7.7
9.9 11.6
9.9 14.6
11-14 El contenido de titanio en una aleación se está
estudiando con la esperanza de incrementar fi
nalmente la resistencia a la tensión. Un análisis
de seis calentamientos recientes elegidos al azar
produce los siguientes contenidos de titanio.
8 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 59/65
e) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para
detectar una diferencia real entre las me-
dias de 5 con probabilidad de al menos
0.80 si se sabe al inicio del experimento
que una estimación aproximada de la va-
rianza común es 150?
11 23
Suponga que dos muestras aleatorias se extraen
de poblaciones normales con varianzas iguales.
Los datos de la muestra producen Xl 20.0,
nI
10,
L xli
Xl
1480,
x
15.8,
n2
10
Y L X2i
X Z
1425.
a Pruebe la hipótesis de que las dos medias
son iguales. Emplee 0.01.
Encuentre la probabilidad de que la hipó-
tesis nula en a se rechazará si la diferen-
cia real entre las medias es 10.
11 22 Un nuevo dispositivo de filtrado se instala en
unaunidadquímica.Antes de su instalación,una
muestra aleatoria produce la siguiente informa-
ción acerca del porcentaje de impurezas: =
12.5,
101.17
nI
8. Después de la insta-
lación, unamuestra aleatoriaproduce z
10.2,
si= 94.73 nz
9.
a
¿Es posible concluir que las dos varianzas
son iguales?
b ¿El dispositivo de filtrado ha reducido en
forma significativa el porcentaje de impu-
rezas?
a
Pruebe la hipótesis de que las varianzas
son iguales. Use 0.05.
b
Empleando los resultados de
a
pruebe la
hipótesis de que los tiempos medios de
quemado son iguales.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
9
Tipo 1 Tipo 2
63
82
64 56
81 68 72 63
57 59
83 74
66 75
59
82
82 73 65 82
11 21
Los siguientes. son tiempos de quemado en
minutos) de señales luminosas de dos tipos di-
ferentes.
Suponiendo que las varianzas son iguales,
realice una prueba de hipótesis para determi-
nar si existe una diferencia significativa entre
los datos de campo el modelo simulado. Use
a=0.05.
Campo
Modelo
53.33 57.14 47.40 58.20
53.33 57.14 49.80 59.00
53.33
61.54
51.90 60.10
55.17
61.54 52.20 63.40
55.17 61.54 54.50 65.80
55.17 69.57 55.70 71.30
57.14
69.57
56.70 75.40
11 2
Un artículo que apareció en el Proceedings of
the 1998 WinterSimulation Conference 1998
pág. 1079),analizael conceptode validaciónpa-
ra los modelosde simulaciónde tránsito.El pro-
pósito establecido para este estudio consiste
en diseñar
modificar los servicios avenidas
dispositivos de control) para optimizar la efi-
ciencia
seguridad del flujo de tránsito. Parte
del estudio compara las velocidades observa-
das en diferentes intersecciones,
simula la ve-
locidad mediante un modelo que se está
probando. El objetivo es determinar si
mo-
delo de simulación es representativo de la ve-
locidad real observada. Se reúnen datos de
campo en una ubicación particular,
después
se implementa el modelo de simulación. Se
miden 14 velocidades pies/s) en una ubica-
ción particular,
se simulan usando el modelo
propuesto. Los datos son:
d ¿Qué tamaño de muestra se requiere para
la prueba en la parte a a fin de asegurar
que la hipótesis nula se rechazará con pro-
babilidad 0.90 si el rendimiento medio del
proceso 1 excede el rendimiento medio
del proceso 2 en 5 ?
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 60/65
a Pruebe la hipótesis de que j 0.5. Em
plee
0.05.
Si el valor real de
j
1.0 ¿cuál es la pro
babilidad de que la hipótesis en
sea re
chazada?
4.76
5.54
5.44
4.61
5.65
5.55
5.35
5.35
5.34
5.00
5.07
5.25
11 29
El fabricante de una fuente de poder está inte
resado en la variabilidad del voltaje de salida.
Ha probado 12 unidades elegidas al azar con
los siguientes resultados:
28 Se supone que la desviación estándar de las
mediciones que realiza un termopar especial
es 0.005 grados. Si la desviación estándar es
tan grande corno 0.010 desearnos detectarla
con probabilidad de por menos 0.90. Em
plee
0.01. ¿Qué tamaño de muestra debe
emplearse? Si se emplea este tamaño de mues
tra y la desviación estándar s
0.007 ¿cuál es
su conclusión empleando 0.01?Construya
un intervalo de confianza superior a 95 para
la varianza real.
b
Calcule un intervalo de confianza de 99
para la varianza real.
¿Cuál es la potencia de la prueba si la des
viación estándar real es igual a O 00004?
d ¿Cuál es el tamaño de muestra que puede
utilizarse para detectar una desviación es
tándar real de 0.00004 con una probabili
dad de por lo menos 0.95? Emplee
0.01.
11 27 Un fabricante de instrumentos de medición de
precisión afirma que la desviación estándar
del instrumento es 0.00002 pulg. Un analista
que desconoce esta afirmación utiliza el ins
trumento ocho veces y obtiene una desviación
estándar de la muestra de 0.00005 pulg.
Al emplear 0.01 ¿s e justifica la afir
mación?
16.630 gramos
16.631
16.624
16.622
16.626
16.628gramos
16.622
16.627
16.623
16.618
26 Una compañía química produce cierta droga
cuyo peso tiene una desviación estándar de 4
miligramos. Se ha propuesto un nuevo método
de producción de esta droga aunque están in
volucrados costos adicionales. La administra
ción autorizará el cambio en la técnica de
producción sólo si la desviación estándar del
peso en el nuevo proceso es menor que 4 mili
gramos. Si la desviación estándar del peso en
el nuevo proceso es tan pequeña corno 3 mili
gramos a la compañía le gustaría cambiar los
métodos de producción con una probabilidad
de por lo menos 0.90. Suponiendo que el peso
se distribuye normalmente y que 0.05
¿cuántas observaciones deben efectuarse?
Suponga que los investigadoreseligen n
10 Y
obtienen los siguientes datos. ¿Es ésta una bue
na elección para n ¿Cuál debe ser la decisión?
25 Considere los datos del ejercicio 10-57. Supo
niendo que j I j ª pruebe la hipótesis de que
el diámetro medio de las barras producidas en
los dos tipos diferentes de máquinas no difie
re. Emplee 0.05.
d Encuentre la potencia de la prueba en si
la varianza de una población es cuatro ve
ces la de la otra.
Pruebe la hipótesis de que las varianzas de
dos distribuciones son iguales. Emplee
0.05.
24 Considere los datos del ejercicio 10-56.
Pruebe la hipótesis de que las medias de
las dos distribuciones normales son igua
les. Emplee 0.05 Ysuponga que
ji
j~ .
b ¿Qué tamaño de muestra se requiere para
detectar una diferencia entre las medias de
2.0 con probabilidad de por lo menos
0.85?
38 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 61/65
11 35 Un diseñador de aviones tiene evidencia teóri
ca de que la pintura del avión reduce la veloci
dad del mismo a una potencia especificada y
según la colocación del alerón. Para probarlo,
prueba seis aviones consecutivos de la línea de
ensamble antes y después de pintarlos. Los re
sultados se muestran a continuación:
Realice una prueba de hipótesis apropiada pa
ra determinar si existe una diferencia significa
tiva en el ritmo cardiaco debido al tipo de
equipo usado.
Persona
A
B
1
162
161
2
163
187
3
140 199
4
191 206
5
160 161
6
158 160
7 155 162
11 34 Dos tipos de equipo de ejercicio, A y B, para
personas minusválidas, se usan con frecuencia
para determinar el efecto en el ritmo cardiaco
de un tipo particular de ejercicio en latidos por
minuto . Han participado siete personas en un
estudio para determinar si los dos tipos de
equipo tienen el mismo efecto en el ritmo car
diaco. Los resultados se presentan en la tabla a
continuación:
Pruebe la hipótesis de que las dos bolas produ
cen la misma medición de dureza esperada.
Emplee 0.05.
Bola 75 46 57 43 58 32 61 56 34 65
Bola
52 41 43 47 32 49 52 44 57 60
11 33 En una prueba de dureza, una bola de acero se
presiona contra el material que se está proban
do a una carga estándar.Luego se mide el diá
metro de la hendidura, el cual se relaciona con
la dureza. Se dispone de dos tipos debolas, y su
desempeño se compara en 10especímenes. Ca
da espécimen se prueba dos veces, una vez con
cada bola. Los resultados son los siguientes:
PRUEBASDEHIPÓTESIS 8
b
Pruebe la hipótesis de que las dos máqui
nas producen piezas con el mismo peso
medio. Use
=
0.05.
Pruebe la hipótesis de que las varianzas de
las dos máquinas son iguales. Emplee
0.05.
n 30
=0.907
s~
9.65
ni = 25
X
=
0.984
s i = 13.46
Máquina 2
áquina 1
32
Dos máquinas producen piezas metálicas. In
teresa la varianza del peso de estas piezas. Se
han recopilado los siguientes datos.
¿Hay alguna evidencia para concluir que la
varianza de la población 1 es mayor que la va
rianza de la población2?Use
=0.01. Encuen
tre la probabilidad de detectar
ji j~
4.0.
Muestra 1 Muestra 2
4.34 1.87
5.00 2.00
4.97
2.00
4.25 l.85
5.55 2.11
6.55 2.31
6.37 2.28
5.55 2.07
3.76 l.76
1.91
2.00
1 31 Considere las dos muestras siguientes, extraí
das de dos poblaciones normales.
11 3
En relación con los datos del ejercicio 11-7,
pruebe la hipótesis de que las dos varianzas
son iguales, empleando 0.01. ¿El resulta
do de esta prueba influye en la manera en la
que se conduciría una prueba respecto de las
medias? ¿Qué tamaño de muestra es necesario
para detectar jt j~= 2.5, con probabilidad de
por lo menos 0.90?
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 62/65
11 43 Suponga que deseamos probar la hipótesis
d
Ho: 11¡ Il z
contra
H ¡: Il z
don e JI
y
j2
se conocen. El tamaño de muestra total N es fi
jo, pero la distribución de las observaciones
para las dos poblaciones, tales que
nI
n2
N
se hará con base en costos. Si los costos del
muestreo para las poblaciones 1
y
2 son
el y
11 42 Dos tipos diferentes demáquinas de moldeopor
inyección se utilizan para formar partes plásti
cas. Una parte se considera defectuosa si tiene
un encogimiento excesivo o si se decolora. Se
seleccionan dos muestras aleatorias, cada una
de tamaño 500. Se encontraron 32 partes de
fectuosas en la muestra de la máquina 1, en
tanto que se encontraron 21 partes defectuosas
en la muestra de la máquina 2. ¿Es razonable
concluir que ambas máquinas producen la mis
ma fracción de partes defectuosas?
11 41
Mediante el empleo de los datos del ejercicio
10-71, ¿es razonable concluir que la línea de
producción 2 produce una fracción más alta
de producto defectuoso que la línea 1?Use
0.01.
11 40 Considere el estudio de los miembros del sin
dicato descrito en el ejercicio 10-70.Pruebe la
hipótesis de que la proporción de los hombres
que pertenecen al sindicato no difiere de la
proporción de las mujeres que pertenecen al
mismo. Use
0.05.
11 39
Suponga que deseamos probar la hipótesis
Ho: Il z
contra la alternativa H
Ilz
donde ambas varianzas jj
y
j~se conocen. Se
tomó un total de
n¡ n2 N
observaciones.
Cómo deben distribuirse estas observaciones
en las dos poblaciones para maximizar la pro
babilidad de que
H o
se rechazará si
HI
es real
Y I1 ¡-I l z=O O .
11 38
Considere los datos del ejercicio 10-68.Pruebe
la hipótesis de que la fracción de calculadoras
defectuosas producidas es 2.5 por ciento.
11 37 Considere los datos del ejercicio 10-66.Pruebe
la hipótesis de que la tasa de no asegurados es
de 10 .Use
a= 5
Realice una prueba de hipótesis para determi
nar si el preajustado aumenta significativa
mente la vida a la fatiga del material dental.
Use
a= 1
Diente Diente no
Par preajustado preajustado
1 3.813
2.706
2 4.025 2.364
3 3.042 2.773
4 3.831
2.558
5 3.320 2.430
6
3.080
2.616
7 2.498 2.765
8
2.417
2.486
9 2.462
2.688
10
2.236 2.700
3.932 2.810
11 36 En un artículo del International Journal of Fa-
tigue
(1998, pág. 537), se analiza el doblamien
to por resistencia a la fatiga de un material
dental cuando se usa un proceso d e pretensado
o preajustado El preajustado de un material
dental se obtiene cuando se aplica después se
elimina una sola sobrecarga al elemento de la
máquina. Para determinar las diferencias signi
ficativas en la resistencia a la fatiga debida al
preajustado, se formaronparejas de datos de la
fatiga. Se formaron parejas de un diente prea
justado
y
uno no preajustado , ambos con el
mismo material. Se formaron 11 parejas
y
se
midió la vida a la fatiga en cada uno. (La res
puesta final de interés es ln[vida a la fatiga
10-3].)
¿Los datos respaldan la teoría del diseñador?
Use
a= 5
Velocidad máxima (mph)
Avión Pintado No pintado
1 286 289
2 285 286
3
279 283
4 283
288
5 281
283
6
286
289
382 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 63/65
11 50 El tiempo de ciclo de una máquina automática
se ha observado registrado.
¿Este generador está trabajando en forma apro-
piada?
967 1008 975 1022 1003 989 1001 981 1043 1011
3 4 5 6 7 8 9
11 49 Un generador de números seudoaleatorios se
diseña de manera que los enteros Oal 9 tengan
igual probabilidad de ocurrencia Los primeros
10 000 números son:
¿La suposición de una distribución de Poisson
es apropiada como modelo de probabilidad pa-
ra este proceso?
Número de Número de obleas
defectos
con defectos
4
1
13
2
34
3
56
4
70
5
70
6
58
7 42
8 25
9 15
10
9
3
12
11 48 Los defectos sobre las superficies de obleas en
la fabricación de circuitos integrados son ine-
vitables. En un proceso particular se reúnen los
siguientes datos:
b Grafique los datos en un papel de probabi-
lidad normal. ¿Se justifica una suposición
de normalidad?
a ¿Es razonable concluir que estos datos pro-
vienen de una distribución normal? Use una
prueba de bondad de ajuste la ji cuadra-
da.
PRUEBASDEHIPÓTESIS
6
11
16
28
19
0 10
11 15
16 20
21 25
26 30
31 35
36 40
41 45
Veces observadas
Número de
defectos por día
47 El número de unidades defectuosas encontra-
das cada día por un probador funcional de cir-
cuitos en un proceso de ensamble de tarjetas
de circuitería se muestra a continuación:
46 Deduzca una expresión similar a la ecuación
11 20 para el error
correspondiente a la prue-
ba de igualdad de las varianzas de dos distribu-
ciones normales. Suponga que se especifica la
alternativa bilateraL
45 Deduzca una expresión similar a la ecuación
11 20 para el error correspondiente a la prue-
ba en la varianza de una distribución normal.
Suponga que se especifica la alternativa bilate-
raL
donde
11 [
es el tiempo de absorción medio del
producto del competidor lz es el tiempo de
absorción medio del nuevo producto Supo-
niendo que se conocen las varianzas J Y y J~
sugiera un procedimiento para probar esta hi-
pótesis.
H o : 11 [ = 2 lz
H [: 111 2 lz
44 El fabricante de una nueva pastilla analgésica
desearía demostrar que su producto actúa dos
veces más rápido que el de su competidor. Es-
pecíficamente le gustaría probar
c: respectivamente encuentre los tamaños de
muestra de costo mínimo que proporcionan una
varianza especificada para la diferencia de las
medias muestrales.
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 64/65
11-56 Se está realizando un estudio de las fallas de
un componente electrónico. Hay cuatro tipos
de fallas posibles y dos posiciones de montaje
para el dispositivo. Se tomaron los siguientes
datos:
Desviación lateral
Alcance yardas Izquierda
Normal Derecha
0-1,999
14
8
2,000 - 5,999
9 4
6,000 - 11,999
8 17
11-55 Un experimento con casquillos de artillería
produjo los siguientes datos acerca de las ca
racterísticas de las desviaciones laterales y al
cances. ¿Concluiría usted que la desviación y
el alcance son independientes?
¿Se relacionan las calificaciones en estadística
e investigación de operaciones?
Calificación de investigación
Calificación
de operaciones
de estadística
Otra
25 6 17 13
17
16
15
6
18
4 18
10
Otra
10 8
11 20
11-54 Las calificaciones en un curso de estadística y
en un curso de investigación de operaciones se
tomaron en forma simultánea, y fueron las si
guientes entre un grupo de estudiantes.
Pruebe la hipótesis de que los llamados pacien
tes quirúrgicos o clínicos son independientes
de que tengan o no seguro médico.
52
43
46
36
Sí
No
Clínicouirúrgicoeguro médico
Tipo de paciente
11-53 Los pacientes de un hospital se clasifican co
mo quirúrgicos o clínicos. Se lleva un registro
del número de veces que los pacientes requie
ren servicios de enfermería durante la noche y
de si tienen o no seguro médico. Los datos son
los siguientes:
Pruebe la hipótesis de que las interrupciones
son independientes del turno.
Máquinas
Turno
4 20 12 6
2
9
4
15 17 6
11-52 Una compañía opera cuatro máquinas en tres
turnos diarios. A partir de los registros de pro
ducción, se recopilan los siguientes datos res
pecto del número de interrupciones:
226.161pc
211.141pc
202.20
203.62
219.54 188.12
193.73 224.39
208.15 221.31
195.45 204.55
193.71 202.21
200.81
201.63
11-51 Un embotellador de refrescos está estudiando
la resistencia a la presión interna de botellas
no retornables de un litro. Se prueba una
muestra aleatoria de 16botellas y se obtiene la
resistencia a la presión. Los datos se muestran
enseguida. Grafique estos datos en papel de
probabilidad normal.
¿Es razonable concluir que la resistencia a la
presión se distribuye normalmente?
¿La distribución normal es un modelo de
probabilidadrazonableparael ciclode tiem
po? Emplee la prueba de bondad de ajuste
de la ji cuadrada.
b
Grafique los datos en papel de probabili
dad normal. ¿Parece razonable la suposi
ción de normalidad?
8 PROB BILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí
8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis
http://slidepdf.com/reader/full/11-pruebas-de-hipotesis 65/65
Enuncie claramente la hipótesis que se es
tá probando. ¿Está usted probando homo
geneidad o independencia?
e ¿Este procedimiento es equivalente al pro
cedimiento de prueba utilizado en el ejer
cicio 11-42?
11-60 Considere el proceso de moldeo por inyección
descrito en el ejercicio 11-42.
a Establezca este problema como una tabla
de contingencia de 2 x 2 y efectúe el aná
lisis estadístico indicado.
Condición
Política Subestándar Estándar Moderna
Agresiva 24 52 58
Neutral 15 73 86
No agresiva 17 80 36
11-59 Un artículo del Joumal 01Marketing Research
1970, pág. 36 , informa de un estudio de la re
lación entre las condiciones de las instalacio
nes en gasolinerías y la agresividad de su
política de venta de gasolina. Se investigó una
muestra de 441 gasolinerías con los resultados
obtenidos, mismos que se muestran a contin
uación. ¿Hay evidencia de que la estrategia re
lativa al precio de la gasolina y las condiciones
de la instalación sean independientes?
PRUE S DE HIPÓTESIS
8
Telar
B
185 16
12
2 190
24
21
3
170
35
16
Número de piezas de tela en
la clasificación de la misma
11-58 Una tela se agrupa en tres clasificaciones: A B
Y Los resultados siguientes se obtuvieron de
cinco telares. ¿La clasificación de la tela es in
dependiente del telar?
Pruebe la hipótesis de que la actividad física es
independiente del estatus socioeconómico.
245
409
297
216
226
114
Bajo
Medio
Alto
Inactiva
Activa
status socioeconómico
Actividad física
11-57 Un artículo de Research in Nursing and Health
1999, pág. 263 , resume los datos reunidos en
un estudio previo Research in Nursing and
Health 1998, pág. 285 sobre la relación entre
la actividad física y el estatus socioeconómico
de 1507 mujeres caucásicas. En la siguiente ta
bla se presentan los datos obtenidos.
¿Concluiría usted que el tipo de falla es inde
pendiente de la posición de montaje?
Tipo de falla
Posición de
montaje B
1 22 46 18 9
2 4 17 6 12