10 Trigonometría 11Und. 1 Introducción a la Trigonometría

1.1.2. Ángulo Trigonométrico

1.1.2A. DefiniciónEl ángulo trigonométrico es la figura formada por dos rayos geométricos, de origen común, que

se genera por la rotación de uno de ellos, llamado rayo generador, alrededor de su origen, llamadovértice del ángulo trigonométrico, desde una posición inicial, llamada lado inicial, hasta una posi-ción final, llamada lado final.

El ángulo trigonométrico se distingue, además, delángulo geométrico en que éste se toma siempre en valoresabsolutos y limitados, mientras que aquél puede ser po-sitivo o negativo y de valores sin límite.

Ejemplo.- Las figuras que se muestran al lado son dosángulos trigonométricos.

Obsérvese que cada figura incluye una flecha curvaque señala la forma en que se realizó la rotación delrayo generador. Cada ángulo trigonométrico es deno-tado por una letra o que además indica su medida.

1.1.2B. Sentido de rotaciónEl sentido de rotación se define como la forma en que se produce la rotación del rayo genera-

dor del ángulo respecto de un observador.

El sentido de rotación de un rayo generador puede ser: horario o antihorario, esto es, en el mismosentido del movimiento de las manecillas de un reloj o en sentido contrario, respectivamente. En elprimer caso la medida de un ángulo es positiva y en el segundo es negativa.

Ejemplo.- Los ángulos trigonométricos y del ejemplo anterior son (+) y (-) respectivamente.

1.1.3. Ángulos Trigonométricos Básicos

ÁNGULO DEFINICIÓN EJEMPLIFICACIÓN

Es el ángulo trigonométrico en el que, luego de la rota-ción, coinciden por primera vez el lado inicial (i) con ellado final (f). Se denota por: 1v.

Es el ángulo trigonométrico en el que el rayo no haexperimentado rotación alguna. Se denota por: 0v.

Es el ángulo trigonométrico cuya medida es la mitad delángulo de una vuelta. Se denota por: 1/2v.

Es el ángulo cuya medida es la cuarta parte del ángulode una vuelta. Se denota por: 1/4v.Según esta definición: 1v = 4 ángulos rectos.

1.1.1. La Trigonometría

No es posible fijar de una manera precisa el origen de la Matemática, sólo se puede afirmar quese remonta a tiempos muy antiguos y menos aún podríamos señalar el instante en que aparecióla Trigonometría.

Podemos conceptuar la Trigonometría como aquella parte de la matemática elemental que seocupa del estudio de las relaciones métricas de los ángulos y lados de todo triángulo con laayuda de las llamadas funciones trigonométricas. Se dice también y con justicia que:

La Trigonometría es la ciencia del cálculo indirecto

En la actualidad la Trigonometría no puede encasillarse en una definición ni en un únicocampo de acción puesto que en estos tiempos ella interviene en toda clase de materias, tales comoen: Topografía, Astronomía, Geometría Analítica, Física, y en general no hay parte de la matemá-tica y de las otras ciencias que no demanden un conocimiento previo de la Trigonometría engeneral.

La palabra «TRIGONOMETRÍA» proviene de las raíces griegas:

TRI ... tres

GONO ... ángulo

METRON ... medida

Etimológicamente hablando, la Trigonometría se definiría como «la ciencia del estudio de lamedida de los tres ángulos que representan a un triángulo»

En todas las torres de control de aeropuertosgeneralmente existen 2 radares para controlar eltráfico aéreo.

El radar primario detecta todo objeto voladoren el aire y lo refleja en la pantalla de barrido (verimagen). El secundario detecta la señal de untransmisor instalado en la cabina del avión.

En ambos casos los aparatos utilizan los pul-sos electromagnéticos lanzados al espacio comorayos giratorios, descritos por medio del concep-to de ángulo trigonométrico.

13Und. 1 Introducción a la Trigonometría12 Trigonometría

1.1.5. Suma de Ángulos

La suma de dos o más ángulos trigonométricos de un mismo sentido se define como otroángulo trigonométrico cuyo valor se obtiene mediante la suma algebraica de las medidas dedichos ángulos.

Debe quedar claro que para realizar la suma de ángulos trigonométricos éstos deben tener elmismo sentido. La suma puede hacerse considerando ángulos en sentido horario o antihorario.

Ejemplo.- Determinemos la suma de los siguientes ángulos trigonométricos:

< > x =

Obsérvese que ha sido necesario cambiar el sentido del ángulo , por otro -, de este modo lostres ángulos tienen sentidos iguales. Sin embargo, también pudo cambiarse el sentido de y .

1.1.6. Sistemas de Medida Angular

1.1.6A. DefiniciónUn sistema de medida angular se define como el conjunto de unidades establecidas para

medir ángulos.

Existen tres sistemas llamados: Sexagesimal (Inglés); Centesimal (Francés) y Radial o Circular (In-ternacional), los cuales se han definido en base a una división particular de la circunferencia.

1.1.6B. Sistema sexagesimalEs el sistema cuya unidad de medida es el grado sexagesimal (1º), definida como la abertura

equivalente a 1/360 de una vuelta o circunferencia.

A continuación se muestran todos los submúltiplos del grado sexagesimal y sus equivalencias:

De este cuadro se puede reconocer que: 1’’ < 1’ < 1° < 1 v

Observaciones:

1ra. De acuerdo con la definición de ángulo trigonométrico, su medida puede tener un valorilimitado, es decir, no tiene límite numérico lo cual se explica por que el rayo que define laposición del lado final puede haber rotado tanto como se desee y en cualquiera de los dossentidos.

Ejemplo.- Dibujemos dos ángulos trigonométricos de más de una vuelta.

O O

2da. A diferencia del ángulo geométrico, que por definición tiene una medida que no puede ser 0°ó 180°, el ángulo trigonométrico sí puede tomar estas y otras medidas.

Ejemplo.- Dibujemos un ángulo nulo y un ángulo llano.

3ra. Las unidades de medida del ángulo trigonométrico se definirán más adelante aunque esobvio que entre ellas están los grados sexagesimales (°) indicados en el ejemplo anterior.

1.1.4. Cambio de Signo

Se define como el proceso mediante el cual un ángulo trigonométrico invierte el sentido derotación del rayo generador, de modo que su lado final, se intercambia por el lado inicial yviceversa, cambiando de este modo el signo de su valor.

Ejemplo.- En cada uno de los siguientes casos se da un ángulo trigonométrico y de lo que se trataes cambiar su signo original.

Primer caso Segundo caso

En el 1er caso es positivo, entonces - es negativo.

En el 2do caso es negativo y - es positivo.

Estos ejemplos nos muestran que si un ángulo trigonométrico es positivo, al cambiar el senti-do de rotación del rayo generador, se transforma en negativo y viceversa.

15Und. 1 Introducción a la Trigonometría14 Trigonometría

Ejemplo.- Determinemos a cuántos (s) equivalen 45g .

Lo que haremos es calcular a cuántos (m) equivalen los grados dados, a continuación calculare-mos a cuántos ( s) equivale el resultado obtenido. Veamos:

a) 45g = 45(100m) 45g = 4 500m

b) 4500m = 4500 (100 s) 4500m = 450 000 s

Observación.- Resulta claro que: g1 1 1 1º400 360v v

1.1.6D. Sistema radial

Es el sistema que tiene por unidad al radián, denotado por rad.

En términos geométricos diremos que 1 rad, es la medida de un ángulo central que subtiendeun arco de igual longitud que el radio de la circunferencia.

Para efectos de comparación con los otros sistemas de medidas angulares diremos que elradián es la medida del ángulo central que subtiende un arco equivalente a una vuelta divididapor 2.

12

v

= 1 rad 1v = 2 raddonde: 3,1416

Ejemplo 1.- Determinemos a cuántos (º) equivale 1 rad.

Lo que haremos es comparar grados sexagesimales y radianes con aquello que les es común: lavuelta. Así tenemos que:

2 rad = 1 v, y 1 v = 360º

Luego, por la ley transitiva de la igualdad, se tiene:

2 rad = 360º 360º1 2rad 1 57,296ºrad

Ejemplo 2.- Determinemos a cuántos (g) equivale 1 rad.

Procediendo de manera análoga al ejemplo anterior, tenemos que:

2 rad = 1 v, y 1v = 400g

2 rad = 400g 4001 2g

rad g1 63,662rad

Si la medida de un ángulo contiene a grados, b minutos y c segundos sexagesimales, estos seanotan así:

aº + b' + c'' º = aº b’c’’

donde: b y c son menores que 60.

Ejemplo 1.- Determinemos a cuántos (‘’) equivalen 32°.

Lo que haremos es calcular a cuántos (‘) equivalen los grados dados y luego establecer a cuántos(‘’) equivale el resultado obtenido. Veamos:

a) 32° = 32(60‘) 32° = 1 920’

b) 1920’ = 1920(60’’) 1920’ = 115 200’’

Ejemplo 2.- Expresemos 12,26° en (°), (‘) y (’’).

En primer lugar separaremos la parte entera de la parte decimal: 12,26° = 12° + 0,26°

Ahora transformamos la parte decimal a (‘): 12,26° = 12° + 0,26°· 60'1º = 12°15,6’

Finalmente transformamos la parte decimal que queda en (‘’):

12°15,6’ = 12° 15’ + 0,6’· 60''1' = 12°15’ 36’’

1.1.6C. Sistema centesimalEs el sistema cuya unidad de medida es el grado centesimal (1g), definida como la medida del

ángulo central que subtiende un arco equivalente a 1/400 de una vuelta o circunferencia.

A continuación se muestran todos los submúltiplos del grado centesimal y sus equivalencias:

De este cuadro se puede reconocer que las unidades verifican la siguiente relación:

1s < 1m < 1g < 1 v

Si la medida de un ángulo contiene x grados, y minutos y z segundos centesimales, estos seanotan así:

xg + ym + zs = xg ym zs

donde y y z son menores que 100.

17Und. 1 Introducción a la Trigonometría16 Trigonometría

1.1.7C. Conversión entre grados sexagesimales y radianesComo: 1v = 360º = 2 rad 180º = rad

1 = 180º

rad = 180º

rad Factores de conversión

El primer factor 180º rad

, se emplea para convertir (rad) a (º).

El segundo factor 180º

rad , se emplea para convertir (º) a (rad).

1.1.7D. Conversión entre grados centesimales y radianesComo: 1v = 400g = 2 rad 200g = rad

g

g2001

200rad

rad

Factores de conversión

El primer factor g200

rad , se emplea para convertir (rad) a (g).

El segundo factor g

200rad , se emplea para convertir (g) a (rad).

1.1.7E. Tabla de Conversión entre (º) y rad

1.1.8. Transformaciones Condicionadas

1.1.8A. Transformaciones condicionadasLlamamos transformaciones condicionadas a un grupo importante de casos de conversión en

los que la medida de un ángulo en un sistema está relacionada de un modo específico con sumedida en otro sistema.

Para la resolución de este tipo de casos es importante identificar nuevas formas de relaciónentre las medidas S, C y R de un mismo ángulo. La clave de este proceso consiste en expresar lamedida de un ángulo trigonométrico en los tres sistemas mediante un mismo parámetro.

1.1.7. Conversión de Unidades Angulares

1.1.7A. Fórmula general de conversiónLlamamos así a la relación matemática mediante la cual la medida de un ángulo, expresada

en uno de los sistemas, puede expresarse en cualquier otro sistema.

Si Sº; Cg y R rad representan la medida de un ángulo expresada en cada uno en los tressistemas, entonces se debe cumplir que:

Sº = Cg = R rad

Si convertimos S y C a radianes, aplicando los factores de conversión, tendremos:

gg

Sº C R180º 200radrad rad

Simplificando se obtiene: S C R180 200 (**)

En esta fórmula se debe tener en cuenta que:

S = Número de grados sexagesimales.

C = Número de grados centesimales.

R = Número de radianes.

Ejemplo.- Convirtamos 45° al sistema centesimal y sistema radial.

Dado que S = 45 reemplazando en (**):

45 50180 20045 C R 180 200 45180 4

C C

R R

45º 50 4g rad

1.1.7B. Conversión entre grados sexagesimales y grados centesimales

Como: 1v = 360º = 400g 9º = 10g

g

g9º 101 9º10

Factores de conversión

El primer factor g9º

10, se emplea para convertir (g) a (º).

El segundo factor g10

9º , se emplea para convertir (º) a (g).

18 Trigonometría 19Und. 1 Introducción a la Trigonometría

01.- Dados los siguientes ángulos trigonométricos, com-pletar el siguiente cuadro, donde: LI (lado inicial), LF(lado final), S (sentido), SA (sentido antihorario) y SH(sentido horario):

02.- Anotar, al lado de cada ángulo trigonométrico, sucorrespondiente medida en términos de vueltas, sien-do «i» el lado inicial y «f» el lado final:

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

03.- Determina el valor de en cada uno de los casosmostrados:

i. ii.

iii. iv.

04.- Convierte los ángulos , y , en ángulos positi-vos, si no lo son, y escribe su suma:

a. .............................

b. .............................

c. .............................

d. .............................

e. .............................

La expresión obtenida para la fórmula general es una proporción de razón «k», cuyo valordependerá de la medida del ángulo dado, luego:

S C R= =180 200 k . . . (*)

De esta igualdad resultan las siguientes relaciones notables que serán empleadas en los ejer-cicios condicionales:

S = 180 k C = 200 k R = k (I)

Si (*) lo multiplicamos por 20, obtenemos: S C 20R= = 209 10 k

Haciendo 20k = r, y despejando resulta:

S = 9 r C = 10 r R = 20r (II)

Donde r es una nueva constante de proporcionalidad.

Ejemplo.- La medida de un ángulo verifica: 2S + C = 140, determinemos su valor en radianes.

Reconociendo que S y C representan la medida del mismo ángulo, y tratándose de una relacióncondicionada entre estas medidas, aplicamos la relación (I):

2(180k) + 200k = 140 560k = 140 k = 1/4

Y como: R = k R = /4

1.1.8B. Cambio de variable para submúltiplosSi S y C son los valores de la medida de un ángulo en (°) y (g) respectivamente, entonces dichas

medidas expresadas en minutos y segundos en los sistemas sexagesimal y centesimal,correspondientemente, son:

Número de minutos sexagesimales = 60 S ; Número de segundos sexagesimales = 3 600 S

Número de minutos centesimales = 100 C ; Número de segundos centesimales = 10 000 C

Ejemplo.- Sabiendo que a y b son los minutos sexagesimales y centesimales, respectivamente, queposee un ángulo, se pide calcular su medida en radianes, sabiendo además que:

6812 25a b

Debemos reconocer que: a = 60S, y, b = 100C. Luego, al reemplazar en la condición, se tiene:

60 100 6812 25S C 5S + 4C = 68

Como se hizo en el ejercicio anterior, aplicamos la relación condicionada entre estas medidasdada en (I):

5 (180 k) + 4(200 k) = 68 1700 k = 68 k = 1/25

Y como: R = k R = /25

20 Trigonometría 21Und. 1 Introducción a la Trigonometría

Prob. 01

Obtener el valor de «x».

Cambiamos el sentido de giro a los ángulosnegativos:

En el gráfico observamos que:

- = -x +

x = +

Prob. 02

Según la figura mostrada, calcula «x»

Cambiamos el sentido de giro a .

Los dos ángulos deben sumar 360º, así:

x – 90° + (-) = 360°

x = 450º +

Prob. 03

En el gráfico mostrado, calcula «x»

Observa que «x» es positivo, cambiamos el sen-tido de giro a «».

Observa que «-» es mayor que 360°, luego secumple que:

- = 360° + x

x = -360 –

05.- Convierte a grados, minutos y segundos sexagesi-males cada una de las siguientes medidas:

a. 12,74° = ..................................

b. 35,56° = ..................................

c. 45,45° = ..................................

06.- Convierte a grados sexagesimales cada una delas siguientes medidas:

a. 10°28’2’’ = ..................................

b. 52°8’20’’ = ..................................

c. 45°45’45’’ = ..................................

07.- Convierte a grados, minutos y segundos centesi-males cada una de las siguientes medidas:

a. 58,25g = ..................................

b. 85,45g = ..................................

c. 85,25g = ..................................

08.- Convierte a grados centesimales cada una de lassiguientes medidas:

a. 20g48m20s = ..................................

b. 50g25m80s = ..................................

c. 64g70m75s = ..................................

09.- Completar cada uno de los siguientes cuadros:

a.

b.

10.- Expresar cada medida en grados, minutos y se-gundos centesimales:

11.- Expresar cada medida en grados, minutos y se-gundos sexagesimales:

12.- Sabiendo que la medida de un ángulo expresadaen los tres sistemas es S, C y R, respectivamente, sepide determinar la medida del ángulo en radianes, sa-biendo que ésta verifica las siguientes condiciones:

a. S + C = 38 ............................

b. 2S – C = 24 ............................

c. 3S + 2C = 21 ............................

d. 4S – 3C = 60 ............................

e. 3C 2S 304 ............................

13.- Visualiza cada gráfico, analiza las condiciones ydetermina el valor de «x».

a.

b.

c.

22 Trigonometría 23Und. 1 Introducción a la Trigonometría

Nuestra estrategia consistirá en orientar todoslos ángulos en un mismo sentido, en nuestrocaso el sentido antihorario.

Luego: mAOC =

x + + (-) = 1 vuelta . . . (1)

Además: = 1 vuelta + . . . (2)

Sumando la ecuaciones (1) y (2), obtenemos:

x + – = 2 vueltas +

De donde: x = 2 vueltas +–= 2(2) + –

x = 4–

Prob. 08

Encuentra la medida del ángulo BOC, denotadapor mBOC, en radianes.

Dando el sentido positivo a los ángulos, se tiene:

(20 – x)° + (-x – 40)° = 180°

-2x – 20 = 180

-2x = 200

x = -100

Finalmente: mBOC = - (x + 40)°

mBOC = - (-100 + 40)°

mBOC = 60º

mBOC = 60°· 180

rad

mBOC = 3 rad

Prob. 09

Del gráfico mostrado, calcula 10x – 9y

Cambiamos el sentido de giro al ángulo yg.

Los tres ángulos suman 360°, así:

2º ( ) 360º3gx y rad

Convertimos todos a grados sexagesimales:

g

g9º 2 180ºº 360º310

x y rad rad

Reduciendo resulta:

9 ºº 120º 360º10

yx

10 º 9 º 240º10x y

Finalmente: 10x – 9y = 2400

Prob. 10

Determina el valor de yx , sabiendo que:4xº = y g. Además se sabe que éstos son como semuestra en la figura:

Prob. 04

Calcula el valor de «x», si: L1|| L2 .

Observa que y son negativos y x es positivo,le cambiamos de sentido a y , así:

Como L1 y L2 son paralelos entonces se cumpli-rá que:

- = - + x

x = –

Prob. 05

De la figura, calcula «x».

Si hacemos que los ángulos tengan el sentido,antihorario sus medidas son: (x – 5°) y -(5° – x).Por tratarse de dos ángulos complementarios,la suma de sus medidas es 90°, luego:

-(5° – x) + (x – 5°) = 90°

+x – 5° + x – 5° = 90°

2x – 10° = 90°

2x = 100°

x = 50º

Prob. 06

Del gráfico mostrado, calcular «x».

Orientamos el ángulo al sentido antihorario,resultando:

– – x = 180º

-x = 180º – +

x = – – 180º

Prob. 07

Calcular «x», si: y son datos.

24 Trigonometría 25Und. 1 Introducción a la Trigonometría

Prob. 14

Expresa /64 rad en grados, minutos y segundossexagesimales.

Convertimos 64 rad al sistema sexagesimal, así:

64 rad = 64

180 64

rad = 1645

A continuación dividimos como sigue:

60'13º 780'1º 60''12' 720''1'

Así, se verifica que: 64 rad = 2º48'45"

Prob. 15

Determina el menor de dos ángulos en grados se-xagesimales, tales que uno de ellos sea seis vecesel complemento del otro y este último los 2/3 delsuplemento del primero.

Sean y los ángulos, luego se cumple:

= 6· C() = 6(90° – )

+ 6 = 540°

= 32

S() 3 = 2(180° – )

3 + 2 = 360°

6 + 4 = 720°

Resolviendo como sigue, tendremos:

5406 72046

3 = 180°

= 60° = 80°

Finalmente, el menor ángulo mide: 60°

Prob. 16

Las medidas de tres ángulos están en progresiónaritmética cuya razón es 20°. Si los dos ángulosmayores son complementarios, evalúa el triple dela suma de los tres ángulos en el sistema centesimal.

Sean: x, x + 20º, x + 40º los ángulos dados enprogresión aritmética. Luego por condición delproblema los ángulos de mayor medida debenser complementarios, por lo tanto:

(x + 20º) + (x + 40º) = 90°

2x + 60° = 90°

x = 15°

Luego la suma pedida es:3x + 60º = 3(15º) + 60º = 105°

Y su triple convertido al sistema centesimal:

3(105º)· g10

9Finalmente el resultado es: 350g

Prob. 17

Del triángulo mostrado, calcular «x».

Los ángulos agudos A y C son complemen-tarios, es decir:

A + C = 90º 10 xg + 6xº = 90º

Convertimos a (º): 10 xg· g9º

10 + 6xº = 90º

Simplificando obtenemos:

9xº + 6xº = 90º 15xº = 90º

x = 6

Cambiando el sentido del ángulo BOC, paraluego sumarlo con el ángulo AOB, tendremos:

x° + yg = 180° . . . (1)

Pero por condición: 4x° = yg . . . (2)

Reemplazando (2) en (1), tendremos:

x° + 4x° = 180° 5x° = 180° x = 36

Sustituyendo en (2): 4(36)º = y g · g9º

10 y = 160

Finalmente : yx = 16036 = 196

yx = 14

Prob. 11

La suma de dos ángulos es 56° y la diferencia delos mismos es 60g. Encontrar la medida del menorde dichos ángulos en radiantes.

Sean y los ángulos, luego de las condicio-nes dadas se puede plantear que:

+ = 56° – = 60 g

Puesto que la medida del ángulo se pide enradianes, convertimos estos valores a radianes,así tendremos:

56°· º180rad = 45

14 rad y 60g· g200rad = 10

3 rad

Estas mismas condiciones quedan así:

+ = 4514 rad – = 10

3 rad

De donde deducimos que es el menor tal que:

2 =

103

4514 rad2 =

902728 rad

= 180 rad

Prob. 12Se tienen tres ángulos tales que si los sumamos dedos en dos se obtiene respectivamente: 50°, 80g y/6 rad. Calcular el menor de los ángulos en gra-dos sexagesimales.

Del enunciado, se plantea:

x + y = 50° ; x + z = 80g ; y + z = 6 rad

A continuación convertimos cada uno de losvalores dados al sistema sexagesimal, así:

80g· g9

10

= 72° 6 rad = 6

180 = 30°

De donde: x + y = 50º . . . (1)

x + z = 72° . . . (2) ; y + z = 30° . . . (3)

Sumando miembro a miembro:

2(x + y + z) = 152° x + y + z = 76° . . . (4)

Finalmente, reemplazamos (1) en (4):

z + 50° = 76° z = 26°

En (2) resulta: x = 46° en (1) resulta: y = 4°

El menor mide 4º

Prob. 13

Haciendo conversiones, simplifica:

o o

o

x4x rad 19x5 5E2,79x

Para simplificar convertimos al S.S:

5x rad . rad

180 = (36x)°

Entonces, nos quedará:

E =

)79,2(

)19()36(54

x

xxx

=

)79,2()8,55(

xx

Simplificando: E = 20

26 Trigonometría 27Und. 1 Introducción a la Trigonometría

Reemplazamos: S = 180 k ; C = 200 k ; R = k

180 k + 200 k + k = 383,1416

380 k + k = 380 + 3,1416 k (380 + ) = 380 +

k = 1

Nos piden calcular «R»:R = k R = (1) R =

Prob. 22

Las medidas sexagesimal (S), centesimal (C) y ra-dial (R) de un ángulo verifican:

R C SR C S

Calcular la medida de dicho ángulo en radianes.

Por aritmética, sabemos que en una proporciónse verifica que:

Si: ab = m

n

a ba b =

m nm n

En el problema:

RR = SC

SC

)(R)(R)(R)(R

= S)(CS)(CS)(CS)(C

2R2 = S2

C2

R = C 10S 9

kk

Se obtiene: R = 9

10 R = 10 9

La medida radial del ángulo es 109 rad

Prob. 23

La suma del doble del número de grados sexagesi-males con el número de grados centesimales de unángulo es igual a 140. Determinar la medida ra-dial de dicho ángulo.

Del enunciado podemos plantear que:2S + C = 140 . . . ()

Donde: S = 180k C = 200 k R = k

Reemplazando en () tendremos:

2(180 k) + (200 k) = 140

560 k = 140 k = 41

Luego: R = k =

41

R = 4

La medida radial del ángulo es 4 rad

Prob. 24

La medida de un ángulo en grados sexagesimalesy centesimales es: a2 – 3a – 10 y a2 – 2a – 4,respectivamente. Determinar la medida de este án-gulo en el sistema radial.

Del enunciado se sabe que:

S = a2 – 3a – 10 C = a2 – 2a – 4

Además:

kk

S 9 S C 9 10C 10

Reemplazamos: 91032 aa = 10

422 aa

Efectuando: 10 (a2 – 3a – 10) = 9(a2 – 2a – 4)

a2 – 12a – 64 = 0 (a – 16) (a + 4) = 0a -16

a = 16 ó a = -4a +4

Luego el ángulo mide:

S = 162 – 3(16) – 10 S = 198

S = (-4)2 – 3(-4) – 10 S = 18

Los que expresados en radianes son:

180198 rad = 10

11 rad ó 18018 rad = 10

rad

Prob. 18

Los ángulos de un triángulo están en progresióngeométrica cuya razón es 3. Calcular la medidadel mayor ángulo en radianes.

Sea ABC un triángulo cuyos ángulos están enprogresión geométrica de razón 3:

En todo triángulo se cumple:

A + B + C = 180º

+ 3 + 9 = 180º 13 = rad

= /13 rad

El mayor ángulo del triángulo es C, luego:

C = 9 C = 9/13 rad

Prob. 19Si los ángulos de un triángulo ABC miden:

A = 3n° , B = g20 n9 , C = n

36 rad ;

determinar el valor de: B + C – A

Expresando los ángulos en grados sexagesima-les, tendremos:

B = g20

9n

· g

9º10

B = 2n°

C = 36n rad · rad

º180 C = 5n°

A continuación, se sabe que: A + B + C = 180°

3nº + 2nº + 5nº = 180º 10nº = 180º

n = 18

De donde: B + C – A = 2n° + 5n° – 3n° B + C – A = 4n° B + C – A = 4(18)°

B + C – A = 72º

Prob. 20

El número de grados sexagesimales de un ciertoángulo y los 2/3 del número de grados centesimalesde otro, están en la relación de 9 a 10. Calcula lamedida de los ángulos, sabiendo además que sonsuplementarios.

Como los ángulos son suplementarios enton-ces podemos dibujarlos así:

Por condición del problema se tiene que:

32 = 10

9

23 =

109

53 . . . (1)

Del gráfico obtenemos la siguiente relación:

º g = 180º º + g · 9º10g = 180º

+ 109 = 180 . . . (2)

Reemplazamos (1) en (2): 53 + 10

9 = 180

= 120

En (1): = 72

Los ángulos serán: º = 72º y g = 120g <> 108º

Finalmente los ángulos miden 108° y 72°

Prob. 21

Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo,calcular el número de radianes de dicho ángulo sise cumple que: S + C + R = 383,1416

29Und. 1 Introducción a la Trigonometría28 Trigonometría

Por teoría de conversiones se sabe que:

x = número de (º) = 9r

y = número de (g) = 10r

Nos piden calcular: 9 x = 9 9r . . . (1)

Partimos de la ecuación dada:

xy = yy (9r)10r = (10 r)9r

(9r)10 = (10r)9 910· r10 = 109· r9 9

10109

r

En (1): 9

9 910

10 109 9 99r

Prob. 29

Simplificar: 5a 10bM b , donde:

a: # de segundos sexagesimales de un ángulo.

b: # de minutos centesimales del mismo ángulo.

Sea «S» el valor de la medida del ángulo en (º),entonces si «a» es su medida en (''), se verifica:

a" · "60031

= S° a = 3 600 S

Igualmente, si C es el valor de la medida delángulo en (g), entonces si «b» es su medida en(m), se verifica:

bm · g

m1

100 = Cg

b = 100C

Luego reemplazando los equivalentes de a y ben «M», tendremos:

M = 5(3600S) 10(100C)100 C = 180S 10C C

M = 180

CS – 10 pero: S = 9r C = 10r

9M 180 1010rr

M = 180

109 – 10 = 162 – 10

M = 152

Prob. 30

Siendo «a» y «b» los números de minutos sexa-gesimales y centesimales contenidos en un án-gulo, determine la medida radial de dicho án-gulo, si se cumple que:

a12 + b

25 = 68

Si «S» y «C» son los valores de las medidas deun ángulo en (º) y (g) respectivamente, enton-ces dichas medidas en (') y (m) están dadas por«a» y «b» tales que:

a = 60 S y b = 100 C

Luego reemplazando en la condición dada:

12S60 + 25

C100 = 68

5S + 4C = 68 . . . (1)

Pero: S = 180 k C = 200 k . . . (2)

Reemplazamos (2) en (1) y obtenemos:

5(180k) + 4(200k) = 68

900k + 800k = 68

1700k = 68 k = 125

Pero: R = k R = 25 rad

La medida radial es 25 rad

Prob. 25Siete veces el número que expresa la medida de unángulo en grados centesimales menos cinco vecesel número que expresa la medida de ese ángulo engrados sexagesimales es a una vez el número degrados sexagesimales del mismo como 25 veces elnúmero que expresa su medida en radianes es a3. Evaluar dicho ángulo en radianes.

Del enunciado deducimos que:

7C 5SS

= 25R3 . . . ()

A continuación reemplazamos los equivalen-tes de C y S en términos de k en (), obteniendo:

kkk

180)5(180)7(200

= 3R25

kk

180500 = 3

R25

1850 = 3

R25

R = 186 R = 3

La medida del ángulo en radianes es 3 rad

Prob. 26

Los números que representan la medida de un án-gulo en los sistemas sexagesimal y centesimal cum-plen la relación:

C S 3C 2S10 3SC

Determinar el número de radianes de dicho ángu-lo en el sentido horario.

Utilizando: C = 10 k y S = 9 k

En la condición:

3 10 2 910 910 3 10 9

k kk kk k

Simplificando, resulta:

k2 = 49 k = 2

3

Sabemos que: 20kR como: 2 horario3k

30R

Finalmente el ángulo en el sentido horariomedirá: -/30 rad

Prob. 27

Calcular la medida radial de un ángulo, donde lasuma y la diferencia de sus medidas centesimal ysexagesimal son las dimensiones de un rectángu-lo cuya área es 76 m2.

Del enunciado del problema, tenemos:

largo = C + S y ancho = C – S

Recordando que:

Arectángulo = largo · ancho

Reemplazando: 76 = (C + S) C – S) . . . ()

Pero por otra parte sabemos que:

S = 180 k C = 200 k

En (), se obtiene: 76 = 380 k· 20 k

76 = 7600 k2

k2 = 1001

k = 101

Asimismo: R = k R =

La medida radial es /10 rad

Prob. 28

Un ángulo trigonométrico positivo mide xº y yg.Calcular el valor de 9 x cuando xy = yx

30 Trigonometría 31Und. 1 Introducción a la Trigonometría

09.- De la figura, calcula «a»:A) 2B) 4C) 6D) 8E) 10

10.- A partir del gráfico, evalúa: 3 5ba

A) 30B) 10/3C) 3/10D) 3/5E) 5/3

11.- Si se cumple que: (a + b)2 = 4ab,

calcula el valor de: M = 'bab'a)(

2

A) 11 B) 21 C) 31 D) 41 E) 45

12.- Dado: 48π rad < > A° xy '; calcula: A + + x – y.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

13.- La suma de dos ángulo es 63° y su diferencia es3/20 rad, calcula la medida del ángulo menor enradianes.A) /5 B) /10 C) /20 D) /5 E) /40

14.- Dados los ángulos a° y bg , la diferencia numé-rica de estas medidas, respectivamente es 15. Si lasuma de estos ángulos es 129°, indica las medidasde dichos ángulos respectivamente.A) 65°; 75g B) 75°; 60g C) 60°; 75g

D) 65°; 70g E) 70°; 65g

15.- Se crea un nuevo sistema de medición angular,cuya unidad (1x) es la séptima parte del ángulo demedia vuelta, simplificar:

x

x

7 30º3H7 258 4

g rad

A) 1/2 B) 3/2 C) 2 D) 1 E) 3

16.- La suma de los números que representan el su-plemento de un ángulo en grados centesimales y elcomplemento del ángulo en grados sexagesimaleses igual a 5. Determina la medida radial del ángulo.

A) 3/4 B) 3/5 C) 3/7D) 3/10 E) 3/8

17.- Tres ángulos están en progresión aritmética ylos dos menores son complementarios. Si la razónde la progresión es 18°, calcula la suma de los tresen el sistema centesimal.A) 100 B) 120 C) 140D) 160 E) 180

18.- Del gráfico adjunto, calcula el valor de «».

A) 30B) 60C) 45D) 37E) 53

19.- Del gráfico adjunto, calcula el valor de «».

A) 2/3

B) 7/12C) 5/6

D) 3/5E) 4/5

20.- Calcula la medida radial de uno de los ánguloscongruentes de un triángulo isósceles si el ángulo

desigual mide: og m

m3 10 2º10'

10 '10

A) /3 B) 2 /5 C) 5 /12D) 4 /9 E) 9 /20

21.- Siendo S, C y R los números convencionales deun ángulo, calcula «R» que satisface la igualdad:

3S + 2C = 94A) B) C)

D) E) /2

01.- Indica la relación correcta de los ángulos mos-trados.

A)

B)

C)

D)

E)

02.- Del gráfico mostrado, calcula «x»

A) +

B) -–

C) –

D) –

E) 2 –

03.- Del gráfico mostrado determina «x»

A) 360º – –

B) 360º + –

C) 360º + –

D) – 360º –

E) – 360º –

04.- Evalúa «x» de la figura.

A) 0,5

B) 1

C) 1,5

D) 2

E) 2,5

05.- De la figura, determina mAOC, si es obtuso.

A) 130° B) 135º C) 140°

D) 145° E) 150°

06.- De la figura, calcula la medida del ángulo COB.

A) 48°

B) 56°

C) 78°

D) 89°

E) 99°

07.- Determina el valor de «x», en términos de «».

A) -480º –

B) 480º +

C) 480º –

D) – 480º

E) -240º +

08.- Del gráfico mostrado, calcula «x»:

A) 25

B) -25

C) 27

D) -27

E) -36

32 Trigonometría

22.- Siendo S, C y R los números convencionales deun ángulo, calcula «R «que satisface la igualdad:

4S + 80 R = 20

A) /40 B) C) D) 5/13 E) 10/13

23.- Siendo S, C y R los números convencionales de

un ángulo, calcula: P = 200RπSπC20R

A) B) C) D) E)

24.- Calcula un ángulo expresado en radianes quecumple la siguiente condición:

S = ax2 + 7 ; C = ax2 + 12

A) 3π B) 4

π C) 5π D) 6

π E) 7π

25.- Calcula la medida de un ángulo en el sistemainternacional, si se cumple que:

3

S18

+

3

C20

+

3

10Rπ

= 9

1

A) 10π B) 10

3π C) 5π D) 5

2π E) 6π

26.- La suma de los recíprocos de los números degrados sexagesimales y centesimales que un ángu-lo tiene por medida, da 19/180. Calcula el número deradianes que tiene el ángulo.A) /5 B) /6 C) /8D) /9 E) /10

27.- Siendo C y S los números que representan lamedida de un mismo ángulo en los sistemassexagesimal y centesimal y que cumplen:

1/S = 1/C + 1/C2 + 1/C3 + . . .Determinar la medida de dicho ángulo en radianes.A) /20 B) /10 C) /5D) /4 E) /328.- Si S, C y R son los números que representan lamedida de un ángulo en los sistemas sexagesimal,centesimal y radial respectivamente, tal que:

S2 – πSR80 – 2π

800 1 R2 = 227 C

Calcular el número de radianes (R) de dicho ángulo.

A) 3π B) 4

π C) 5π D) 6

π E) 8

29.- Un ángulo mide a minutos sexagesimales pero en

segundos centesimales mide b. Calcula el valor de: 3 5ba

A) B) 310 C) 3 D) 10

3 E) 30

30.- Calcular: 500

xzyx 2

, siendo:

x : número de segundos centesimales de un ángulo.y : número de segundos sexagesimales del mismo

ánguloz : número de minutos centesimales del ángulo.A) B) 170 C) 171 D) 172 E) 173

31.- Si: o

0a b < > g)0(2aa , calcula (a + b)° enradianes.A) /10 B) /12 C) /15 D) /18 E) /20

32.- Se tiene 2 ángulos, tales que el número de gra-dos centesimales de uno de ellos es igual al númerode grados sexagesimales del otro, y la diferencia delnúmero de grados centesimales de este último y elprimero es 19, determina la diferencia de los núme-ros de radianes de estos ángulos.A) 19 /200 B) 17/200 C) 13 /200D) 11 /200 E) 9 /200

01A

09B

17E

25B

02C

10C

18A

26E

03B

11C

19E

27A

04D

12B

20E

28D

05D

13B

21D

29D

06E

14B

22D

30C

07A

15D

23B

31E

08D

16A

24B

32A