12 Área de figuras planas - ceahformacion.esceahformacion.es/data/documents/E1_MA_U12_Area-de-figuras-planas_SOL.pdf · Unidad 12 | Área de figuras planas 19 Parque natural de la

18 Unidad 12 | Área de figuras planas

12 Área de figuras planas

Una pista de baloncesto es un rectángulo de 15 m de ancho por 28 m de largo. Hay marcadas varias zonas, como el área restringida cerca de cada canasta o el área de lanzamiento de tres puntos, con unas medidas exactamente establecidas. Sin un poco de geometría, este deporte sería muy diferente.

12.1. ¿Qué formas geométricas puedes distinguir sobre la pista?

Semicircunferencias, rectángulos, circunferencias.

12.2. Calcula la superficie de la pista de baloncesto. ¿Cuál es la superficie aproximada de la zona de tres segundos? ¿Y la del semicírculo de tiros libres?

La superficie de la pista es de 420 m2. La zona de 3 s mide unos 25 m2. El semicírculo mide unos 5 m2.

12.3. El baloncesto, el rugby, el tenis, el balonmano y el voleibol son algunos de los deportes que se practican en terrenos de juego rectangulares. Ordénalos según su área.

Rugby = 6.900 m2; balonmano = 800 m2; baloncesto = 420 m2; tenis = 196 m2; voleibol = 162 m2

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

12.1. Observa las siguientes imágenes y piensa en la medida real de los objetos.

1. Indica qué par de medidas del perímetro y la superficie se aproxima más a las correspondientes a cada objeto.

A B C D E F G

Perímetro 4,60 m 17 cm 7 cm 30 cm 12 m 160 cm 50 cm

Superficie 1,2 m2 4 cm2 4 cm2 55 cm2 8 m2 1.600 cm2 32 cm2

Naipe: D. Moneda: C. Tablero: F. Colchoneta: A

Unidad 12 | Área de figuras planas 19

Parque natural de la Garrotxa

2. Para cada uno de los objetos, piensa en otro que tenga una superficie similar.

Naipe: tarjeta de crédito. Moneda: tapón de una botella. Tablero: asiento de una silla. Colchoneta: suelo de una bañera.

12.2. El mapa muestra el parque natural de la zona volcánica de la Garrotxa. Las líneas de la cuadrícula están separadas, en realidad, por una distancia de 2 km. Por tanto, cada cuadrado equivale a 4 km2.

1. Estima el perímetro del parque.

Unos 54 km

2. Estima el área del parque. Puedes hacer esta estimación sumando el número de cuadrados totalmente contenidos en el parque y la mitad de los que tienen una parte dentro del parque. ¿Cuál de estos valores se aproxima más a tu estimación?

a) Es inferior a 120 km2.

b) Está comprendida entre 120 y 160 km2.

c) Está comprendida entre 160 y 200 km2.

d) Es superior a los 200 km2.

El área del parque es de unos 124 km2, por lo que se aproxima más el apartado b.

3. La comarca de la Garrotxa tiene una superficie de 734,2 km2. ¿Qué porcentaje de la superficie de la comarca representa aproximadamente el parque?

124

734,2· 100 = 17%


b)a)

ACTIVIDADES

12.1. ¿Cuánto mide el perímetro de un cuadrado de 8 cm de lado? ¿Y el de un pentágono regular de 3 cm de lado?

32 cm y 15 cm, respectivamente

12.2. Utilizando como unidad de medida la figura cuadrada del tangram, calcula el área de cada una de las otras piezas.

Triángulo pequeño: 0,5 u2

Triángulo mediano: 1 u2

Triángulo grande: 2 u2

Romboide: 1 u2

12.3. Descompón cada figura en las piezas del tangram.

La superficie de las dos figuras es la misma. Razona cuál tiene un perímetro mayor.

La a, porque la figura está menos concentrada, o lo que es lo mismo, las piezas están más repartidas aunque ocupen la misma área.

12.4. Para cubrir la habitación de la figura han cortado baldosas y no se ha desaprovechado ningún trozo. ¿Cuántas baldosas enteras han sido necesarias?

92 baldosas


d)c)b)a)

a) b) c) d)21 cm

11 c

m

9 cm

15 cm

6 dm

7 dm

11 cm14 cm

9 m

m

10 mm6 cm 5 mm

12.5. Esta parcela se ha tasado en 300.000 €.

¿Qué precio tendrán estas parcelas si el precio por metro cuadrado es idéntico?

a) 200.000 € b) 400.000 € c) 200.000 € d) 150.000 €

12.6. (TIC) El perímetro de un cuadrado es de 82 cm. ¿Cuál es su área?

Cada uno de los lados del cuadrado mide 82 : 4 = 20,5 cm.

A = 420,25 cm2

12.7. (TIC) La base de un romboide mide 32 cm, y su altura, 4 dm. ¿Qué área tiene?

A = 32 · 40 = 1.280 cm2

12.8. (TIC) Calcula el área de cada trapecio.

a) (21 15) · 9

2

+= 162 cm2 b)

(11 6) · 14

2

+= 119 cm2

c) (7 6) · 1,1

2

+= 7,15 dm2 d)

(9 5) · 10

2

+= 70 mm2

12.9. (TIC) Las diagonales de un rombo miden 28 cm y 31,5 cm, respectivamente. Calcula el área del rombo.

A = 28 · 31,5

2= 441 cm2

12.10. Un rectángulo y un romboide tienen la misma área. ¿Cuál de los dos paralelogramos tiene un perímetro mayor?

Como la distancia más corta entre dos rectas paralelas se obtiene por la perpendicular a ambas, el romboide tendrá un perímetro mayor, pues sus bases están unidas a través de lados oblicuos y no perpendiculares, como en el rectángulo.


10,9

7 m

8,23

m

4 m

5,5 m

12,80 m

23,77 m

9 cm13 cm 4 cm

6 cm

a) b)

5 cm

4 cm

5 cm

4 cm

5 cm

4 cm

12.11. Observa esta pista de tenis.

a) Las líneas se marcan con una cinta adhesiva. ¿Cuántos metros de cinta se necesitan?

Nota: La red no se marca.

b) Se quiere pintar el terreno de juego con una pintura azul que tiene un rendimiento de 5 m2 por litro. ¿Qué cantidad de pintura se necesita?

c) A 4 m de cada uno de los laterales de la pista y a 5,5 m de las líneas de fondo se quiere delimitar en forma rectangular el terreno con una tela metálica de 4,5 m de altura. Calcula cuántos metros cuadrados de la misma se necesitarán.

a) 23,77 · 2 + 8,23 · 2 + 12,80 = 76,8 m

b) A = 23,77 · 10,97 = 260,7569 m2

260,7569 : 5 = 52,15138 L se necesitan.

c) Largo = 23,77 + 5,5 · 2 = 34,77 m

Ancho = 10,97 + 4 · 2 = 18,97 m

A = 2 · 34,77 · 4,5 + 2 · 18,97 · 4,5 = 483,66 m2 de tela metálica.

12.12. (TIC) Dibuja tres triángulos: uno acutángulo, uno rectángulo y uno obtusángulo. Cada triángulo debe tener 5 cm de base y 4 cm de altura. ¿Cuál es el área de cada triángulo?

A = 10 cm2 en todos los casos.

12.13. (TIC) Calcula el área de estos triángulos.

a) 9 · 13

2= 58,5 cm2

b) 6 · 4

2= 12 cm2


A

B

C

2800 mm2

14 cm

4 cm

12.14. (TIC) Calcula el área del triángulo de dos maneras: primero, tomando como base el lado AC, y después, tomando como base el lado BC. Comprueba que el resultado es el mismo en los dos casos.

A = 2,5 · 1,85

2= 2,31 cm2; A =

4,2 · 1,1

2= 2,31 cm2

12.15. (TIC) Dibuja un triángulo de 2.800 mm2 de área.

12.16. (TIC) Los lados de un triángulo rectángulo miden 15, 36 y 39 cm. Calcula el área.

15 · 36

2= 270 cm2

12.17. Dos triángulos tienen la misma área. La base y la altura de uno miden, respectivamente, 14 cm y 9 cm. Si la base del otro mide 28 cm, ¿cuál es su altura?

4,5 cm

12.18. Dibuja tres triángulos: uno acutángulo, uno rectángulo y uno obtusángulo. Traza en cada triángulo sus tres alturas. ¿Qué diferencias encuentras en cada caso?

El punto de corte de las alturas, es decir, el ortocentro, en el caso del acutángulo está en el interior; en el rectángulo, en el vértice del ángulo recto, y en el obtusángulo está en el exterior.

12.19. Dibuja un triángulo escaleno. Recorta, en cartulina o en papel de color, triángulos iguales que este hasta tener 12. Empareja los triángulos que has recortado uniéndolos de manera que coincidan en cada caso un lado y dos vértices.

a) ¿Cuántos paralelogramos diferentes se pueden obtener?

b) ¿Qué otros polígonos se obtienen?

a) 3 paralelogramos distintos

b) Trapezoides en general y triángulos si el inicial era rectángulo.


35,5 cm

41 cm

3,44 cm

5 cm3,40 cm

3,53 cm

3,40 cm

4,10 cm

a) b) c)

12.20. Calcula el área de la zona blanca de la señal de circulación.

35,5 · 41

2= 727,75 cm2

12.21. Este edificio es de planta triangular. Cada uno de los lados mide 180 m, y cada altura es de aproximadamente 156 m. Calcula el perímetro y la superficie de la planta del edificio.

P = 540 m. A = 180·156

2= 14.040 m2

12.22. Para observar la relación entre un triángulo y un romboide, haz lo siguiente:

– Dibuja un triángulo cualquiera y llama A, B y C a sus vértices.

– A continuación, dibuja una recta paralela al lado AB que pase por C, y una recta paralela a AC que pase por B.

– Llama D al punto de intersección de las dos rectas que has trazado.

a) Has obtenido el cuadrilátero ABCD. ¿De qué tipo es?

b) ¿Qué relación hay entre el área de este cuadrilátero y el área del triángulo ABC?

a) Un paralelogramo. En general, romboide, pero puede ser un cuadrado, un rombo o un rectángulo en casos particulares.

b) Es el doble que la de ABC.

12.23. Actividad interactiva.

12.24. (TIC) Calcula el perímetro y el área de estos polígonos regulares.

a) P = 25 cm. A = 25 · 3,44

2= 43 cm2

b) P = 23,8 cm. A = 23,8 · 3,53

2= 42,007 cm2

c) P = 27,2 cm. A = 27,2 · 4,1

2= 55,76 cm2


7,06 cm

3 cm

2,7 cm

1,2 cm

1,7 cm

2,5 cm

0,8 cm

3,4 cm

12.25. (TIC) Tenemos un decágono regular. Trazando los radios lo hemos dividido en triángulos iguales de 2 cm de base y 3,08 cm de altura. Calcula su área.

2 · 3,0810 ·

2= 30,8 cm2

12.26. (TIC) Dibuja el polígono en tu cuaderno. Divídelo en triángulos y toma las medidas necesarias para calcular el área.

A = 3,4 · 0,8 2,7 · 1,7 2,5 · 1,2

2 2 2+ + = 5,155 cm2

12.27. Un polígono regular mide 280,8 cm2 de área y 62,4 cm de perímetro. ¿Cuál de estos valores puede tomar la apotema?

a) 5 cm b) 25 cm c) 19 cm d) 9 cm

280,8 = 62,4 ·

2

a → a = 9 cm

12.28. El dibujo muestra una parte de un polígono regular.

Calcula el perímetro y el área de este polígono.

P = 3 · 16 = 48 cm. A =

3 · 7,06

16 ·2

= 169,44 cm2

12.29. Tenemos un suelo rectangular de 85 m de largo por 4 m de ancho. Queremos pavimentarlo con baldosas en forma de hexágono regular de 15 cm de lado y 13 cm de apotema. Calcula:

a) La superficie de una baldosa.

b) La cantidad de baldosas que necesitamos aproximadamente para cubrir el suelo.

a) 90 · 13

2= 585 cm2

b) (85 · 4) : 0,0585 = 5.811,96. Necesitaremos 5.812 baldosas.


12.30. Calcula el área de un círculo de 12,5 cm de radio.

490,625 cm2

12.31. Calcula el área de un círculo de 28 cm de diámetro.

615,44 cm2

12.32. Ordena las figuras de menor a mayor área sabiendo que tienen el mismo radio.

● Hexágono regular ● Círculo

● Pentágono regular ● Decágono regular

● Cuadrado ● Octógono regular

Cuadrado, pentágono regular, hexágono regular, octógono regular, decágono regular, círculo

12.33. La longitud de una circunferencia es de 148 mm.

a) Calcula su diámetro.

b) Halla el área del círculo correspondiente. Expresa el resultado en milímetros cuadrados y en centímetros cuadrados.

a) 47,13 mm

b) r = 23,565 mm. A = 1.743,67 mm2 = 17,4367 cm2

1.I.

12.34. Relaciona cada radio con la longitud de la circunferencia correspondiente y el área de su círculo.

Radio L. circunferencia Á. círculo

40 mm ● ● 0,88 m ● ● 0,06 m2

0,11 m ● ● 1,57 dm ● ● 0,50 dm2

14 cm ● ● 6,91 dm ● ● 19,63 cm2

25 mm ● ● 2,51 dm ● ● 3,80 dm2

12.35. El radio del círculo A es el triple que el radio del círculo B. ¿Cuántas veces más grande es el área del círculo A con respecto a la del círculo B?

9 veces

12.36. Calcula la diferencia entre el área de un círculo de 1 m de radio y el área de un cuadrado inscrito en este círculo.

Diagonal del cuadrado = 2 m; 4 = l2 + l2 → l = 1,414 m

3,14 – 2 = 1,14 m2


6 cm

4 cm

35 cm

25 cm

7 € 11 €

12.37. Calcula el área de la zona coloreada.

Explica por escrito cómo lo has hecho.

Calculamos el área del cuadrado completo y le quitamos el círculo interior y las esquinas, que forman a su vez otro círculo.

36 – 3,14 · 22 – 3,14 = 20,3 cm2

12.38. Los antiguos babilonios usaban 31

8 como aproximación del número π. Calcula el área de un

círculo de 10 m de diámetro de dos formas:

– Con la aproximación de los babilonios redondeada a las milésimas.

– Con el valor que conocemos.

Razona las diferencias.

Aproximación babilónica: 31

8 · 25 = 78,125 m2 Valor de π: 3,14 · 25 = 78,5 m2

Las diferencias radican en la aproximación de π por 3,125. Aunque nosotros hemos utilizado una aproximación de π de dos cifras, las centésimas se aproximan mejor que con el número mixto.

12.39. Un agricultor quiere construir un depósito cilíndrico de 7 m de radio. ¿Qué superficie de su campo cubrirá el depósito?

3,14 · 49 = 153,86 m2

12.40. Las dos pizzas tienen el mismo grosor y la misma calidad. ¿Cuál sale mejor de precio?

Pizza pequeña: A = 3,14 · 12,52 = 490,625 cm2. Precio por cm2: 0,01427 €/cm2

Pizza grande: A = 3,14 · 17,52 = 961,625 cm2. Precio por cm2: 0,01144 €/cm2

Sale más rentable la grande.

12.41. Actividad interactiva.

12.42. Hemos construido un triángulo de lados 5 cm, 6 cm y 7 cm. Construye otro triángulo de lados diferentes que tenga los mismos ángulos.

Deben ser semejantes; por tanto, puede ser uno de lados 10 cm, 12 cm y 14 cm, por ejemplo.


12.43. (TIC) Los pares de triángulos siguientes son semejantes. Calcula la razón de semejanza para cada par y los valores de los lados desconocidos.

a) T1: 2, 4, 5, T2: 6, x, y b) T1: 3, 3, 3, T2: x, y, 24 c) T1: x, 9, 5, T2: 9, y, 15

a) r = 3, x = 12, y = 15 b) r = 8, x = y = 24 c) r = 3, x = 3, y = 27

12.44. Construye un pentágono semejante al de la figura, con razón de semejanza 3.

12.45. (TIC) La razón de las áreas de dos rombos semejantes es 36. El lado del rombo pequeño mide 5 cm. ¿Cuánto mide el lado del rombo grande?

La razón de semejanza será 6, y, por tanto, el lado del rombo grande será de 30 cm.

12.46. Dados dos cuadrados, Diego dice que la razón de semejanza entre ellos es 5, mientras que

Marta dice que es 1

5. ¿Alguno de los dos está equivocado? Razona la respuesta.

Los dos tienen razón: Diego considera la razón pasando del cuadrado pequeño al grande, y Marta, al revés.

12.47. Dibuja dos circunferencias, una de radio 2 cm y otra de radio 8 cm.

a) Calcula el perímetro y el área.

b) ¿Cuál es la razón entre los perímetros? ¿Y entre las áreas?

c) Carlos dice que dos círculos cualesquiera son siempre semejantes. ¿Es correcta esta afirmación? Razona la respuesta.

a)

8 cm2 cm


a) b)

Circunferencia pequeña: P = 12,56 cm A = 12,56 cm2

Circunferencia grande: P = 50,24 cm A = 200,96 cm2

b) La razón entre los perímetros es 50,24

12,56= 4.

La razón entre las áreas es 200,96

12,56= 16.

La razón de semejanza entre los perímetros coincide con la razón entre los radios, y la razón entre las áreas es el cuadrado de la de los radios.

c) Sí, es correcta, pues todas tienen la misma forma aunque tengan diferentes tamaños.

12.48. Hemos enmarcado una acuarela de 80 cm por 120 cm con un marco de 8 cm de anchura constante.

a) ¿Cuáles son las dimensiones del marco exterior?

b) ¿Cuál es la razón de semejanza entre el perímetro exterior del marco y el perímetro de la acuarela?

a) 96 cm por 136 cm

b) r = 464 : 400 = 1,16

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN Y APLICACIÓN

12.49. Perímetros y áreas

Tomamos como unidad de área el cuadrado rojo, y como unidad de longitud, su lado. ¿Qué perímetro y qué área tiene cada figura?

a) P = 24 u A = 20 u2

b) P = 26 u A = 17 u2


1 dm21 cm2

1 mm2

12.50. Repaso de unidades de superficie

Dibuja en tu cuaderno 1 mm2, 1 cm2 y 1 dm2. ¿Cuántos milímetros cuadrados contiene un centímetro cuadrado? ¿Y un decímetro cuadrado?

1 cm2 = 100 mm2; 1 dm2 = 10.000 mm2

12.51. Cambios de unidad

Expresa estas superficies en metros cuadrados.

a) 230 cm2 b) 8 dam2 c) 100 dm2 d) 85.000 mm2 e) 10.000 cm2 f) 0,4 km2

a) 0,023 b) 800 c) 1 d) 0,085 e) 1 f) 400.000

12.52. Fracciones de la unidad

Tomamos como unidad de superficie el primer cuadrado. Expresa con un número decimal la superficie de color de los otros cuadrados.

De izquierda a derecha y empezando por arriba:

a) 0,5 u2 b) 0,125 u2 c) 0,25 u2 d) 0,25 u2

e) 0,75 u2 f) 0,5 u2 g) 0,625 u2


75 mm

120�

50 mm

12.53. *Triangulación de polígonos

¿Qué polígonos puedes dividir en triángulos trazando sus diagonales desde cualquier vértice?

¿Qué particularidad tienen estos polígonos?

El segundo y el cuarto, que son convexos.

12.54. Descomposición en figuras iguales

Considera esta figura en forma de T. La queremos dividir en cuatro partes de modo que todas tengan la misma área y forma. ¿Cómo puede hacerse?

12.55. (TIC) Cuadrados y rectángulos

a) Halla el área de un cuadrado de 14,7 cm de lado. Expresa el resultado en decímetros cuadrados.

b) ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado que tiene un área de 196 cm2?

c) El perímetro de un rectángulo es de 345 cm, y uno de los lados mide 78 cm. ¿Qué área tiene este rectángulo?

a) 216,09 cm2 = 2,1609 dm2

b) l = 14 cm. P = 56 cm

c) 345 – 2 · 78 = 189 cm los dos lados desconocidos. A = 94,5 · 78 = 7.371 cm2

12.56. Romboide y rectángulo

Dibuja en tu cuaderno este romboide con las medidas indicadas. A continuación, transfórmalo en un rectángulo que tenga la misma área.

75 mm

120º

50 mm


12.57. (TIC) *Problemas

a) Calcula el área que pueden cubrir todas las hojas de este libro, sin contar las tapas.

b) Calcula la diferencia de precio del metro cuadrado de los dos tejidos.

Pieza Largo Ancho Precio

A 4 m 1,40 m 18 €

B 7,5m 1,25 m 22,80 €

c) Un tablero de ajedrez mide 40 cm de lado. Alrededor de las casillas tiene un borde de 2 cm de anchura que completa el cuadrado. Calcula el área de cada una de las 64 casillas.

a) Hay 304 páginas, por lo que hay 152 hojas, cuya medida es de 22 cm de ancho y 30,1 cm de largo. El área total es de 152 · 22 · 30,1 = 100.654,4 cm2 = 10,06544 m2.

b) A:

18

4 · 1,4= 3,21 €/m2; B:

22,8

7,5 · 1,25= 2,43 €/m2. El m2 de A es 0,78 € más caro que el de B.

c) (40 – 4) : 8 = 4,5 cm de lado cada casilla. A = 20,25 cm2

12.58. Dibujo de rombos y romboides

a) Dibuja un romboide de 28 cm2 de área.

b) Dibuja un rombo cuya diagonal mayor mide 8 cm, y de 24 cm2 de área.

a)

b)

7 cm

4 cm

6 cm

8 cm


a) b) c)

7

33

3

3 3 3 4

A

B C E

D F

5,5 cm

14 cm

18 cm

12.59. Las alturas de un paralelogramo

Encuentra las dos alturas de estas figuras.

12.60. (TIC) Composiciones de paralelogramos

Halla el área de cada una de las figuras sabiendo que las medidas están expresadas en centímetros.

a) 9 · 5 = 45 cm2

b) 6 · 7 · 4

2= 84 cm2

12.61. (TIC) Área del trapecio y del paralelogramo

Los trapecios ABCD y DCEF son iguales. Halla el área del paralelogramo ABEF y del trapecio ABCD.

AABCD = ADCEF = (14 18) · 5,5

2

+= 88 cm2. AABEF = 2 · 88 = 176 cm2

a) b) c)


40 cm

25 cm

21,2 cm15 cm

65 mm

45 mm

49 mm

33 cm

25 cm

17 c

m

23 cm

6 cm

5 cm

5 mm

5 mm

a) b)

12.62. (TIC) Área y perímetro del trapecio

a) La altura de un trapecio es de 120,5 cm. La base mayor mide 908 mm, y la base menor es 1,7 dm más corta. Calcula su área en metros cuadrados.

b) Halla el área y el perímetro de este trapecio.

c) Calcula el área de este trapecio.

a) (0,738 0,908) · 1,205

2

+= 0,991715 m2

b) P = 101,2 cm. A = 487,5 cm2

c) 2.695 mm2

12.63. Relación entre áreas y lados

a) Un cuadrado Q tiene un área de 20 cm2. El área de otro cuadrado Q' es de 2.000 cm2. ¿Cuántas veces son más grandes los lados de Q' que los de Q? Razona la respuesta.

b) ¿Cuántas veces está contenido un cuadrado de 7,5 cm de lado en otro de 15 cm de lado?

a) 10 veces más grande, pues su área es 100 veces mayor.

b) 4 veces

12.64. (TIC) Área de triángulos

Calcula el área de los siguientes triángulos.

a) 195,5 cm2 b) 412,5 cm2

12.65. Cálculo mental

Calcula mentalmente el área de las zonas coloreadas.

a) 60 cm2 b) 12 · 25 = 300 mm2


20 cm

32 c

m

47 c

m

10 cm

7 dm

15 dm

8 d

m16 d

m

a) b)

12.66. (TIC) Perímetros y áreas

Completa la tabla en tu cuaderno y observa el crecimiento del perímetro y del área de un polígono regular de 5 cm de lado al aumentar el número de lados.

Polígono Lado Apotema Perímetro Área

Pentágono 5 cm 3,44 cm 25 cm 43 cm2

Hexágono 5 cm 4,33 cm 30 cm 64,95 cm2

Heptágono 5 cm 5,19 cm 35 cm 90,825 cm2

Octógono 5 cm 6,04 cm 40 cm 120,8 cm2

¿Cómo es el crecimiento del área comparado con el crecimiento del perímetro?

Es mucho más rápido el crecimiento del área que el del perímetro.

12.67. Área del cuadrado

a) Clara dice que la fórmula del área de un polígono regular sirve para calcular el área de un cuadrado. ¿Es cierto? Razona la respuesta.

b) ¿Cuánto mide la apotema de un cuadrado de 15 cm de lado?

a) Sí, considerando, en este caso particular, que la apotema es la mitad del lado.

b) 7,5 cm

12.68. (TIC) Descomposición de polígonos irregulares

Descompón estos polígonos como creas conveniente para calcular su área.

a) Atrapecio + Atriángulo = (30 20) · 15 32 · 30

2 2

+ + = 855 cm2

b) Atrapecio + Arectángulo =

(16 8) · 8

8 · 72

+ + = 152 dm2

12.69. (TIC) Circunferencia y círculo

Completa en tu cuaderno esta tabla.

Radio Diámetro Longitud de la circunferencia

Área del círculo

12 cm 24 cm 75,36 cm 452,16 cm2

1 m 2 m 6,28 m 3,14 m2

0,5 dm 1 dm 3,14 dm 0,785 dm2


12 cm

12 cm

24 cm

24 cm

12 cm

17 cm

17 cm

12.70. (TIC) Problemas

a) En un taller han recibido el encargo de fabricar 4.500 piezas circulares de plancha de latón de 1 mm de grosor. El metro cuadrado de plancha de este latón pesa 8,5 kg. ¿Cuánto pesarán todas las piezas encargadas si son de 15 cm de diámetro?

b) Un pastel circular de 20 cm de diámetro pesa 700 g. ¿Cuánto debe pesar aproximadamente un pastel de la misma masa y del mismo grosor, pero de 40 cm de diámetro?

a) A = 176,625 cm2. AT = 79,48125 m2 → 675,59 kg pesará.

b) Debe pesar 4 veces más, es decir, 2.800 g.

12.71. (TIC) Figuras formadas por círculos y polígonos

Calcula el área de las siguientes figuras.

a) 2 · 3,14 · 8,52 + 17 · 17 = 742,73 cm2 b) 3 · 12 · 12 + 23,14 · 12

4= 545,04 cm2

12.72. (TIC) La herramienta de medición de áreas

– Dibuja un triángulo cualquiera y llama A, B y C a sus vértices. Utiliza la herramienta “Área“ que encontrarás en el menú asociado al botón para obtener el área de este triángulo.

– Dibuja una recta paralela al lado AB que pase por C, y una recta paralela a AC que pase por B. Llama D al punto de intersección de las dos paralelas que hemos dibujado. ¿Qué tipo de polígono es el que tiene por vértices los puntos A, B, C y D?

– Utiliza la herramienta “Área“ para obtener la superficie del paralelogramo ABCD. ¿Qué observas?

ABCD es un paralelogramo (romboide).

El área del paralelogramo es el doble que la del triángulo.

12.73. (TIC) Triángulos con igual base y altura

– Traza dos rectas paralelas y a continuación dibuja un triángulo que tenga dos de sus vértice (A y B) sobre una de ellas, y el otro vértice (C) sobre la otra.

– Utiliza la herramienta “Área“ para obtener la superficie de este triángulo.

– Dibuja otros triángulos con un vértice en la recta donde está C, y de base AB.

a) ¿Qué sucede con el área de estos triángulos?


b) ¿Cómo son la base y la altura de todos estos triángulos? ¿Qué conclusión podemos extraer?

a) Todos los triángulos tienen la misma área.

b) Tienen todos la misma base y la misma altura, por lo que cualquier triángulo que podamos trazar de esta manera tendrá la misma área.

12.74. (TIC) Círculo y polígonos regulares

Traza un círculo con el radio que quieras. A continuación, dibuja tres polígonos regulares inscritos en este círculo, uno de 10 lados, otro de 20 y otro de 30. Completa la siguiente tabla en tu cuaderno.

a) ¿Cómo evoluciona el área del polígono regular al aumentar el número de lados?

b) ¿Podrías decir aproximadamente cuál será el área de un polígono regular de 100 lados inscrito en este círculo? ¿Por qué?

Los resultados se han obtenido a partir de un círculo de radio 5 cm.

a) El área del polígono regular va creciendo según va aumentando el número de lados.

b) Será aproximadamente de 78,54 cm2, pues se ajustará muy bien al círculo, por lo que sus áreas serán prácticamente iguales.

12.75. Estimación de áreas

Una tarjeta de crédito tiene 46,44 cm2 de área. Agrupa los objetos según estas categorías:

A) Menos de 25 cm2.

B) Más de 25 cm2 y menos de 250 cm2.

C) Más de 250 cm2.

a) Ordenador portátil b) Cromo c) Postal

d) Billete de 50 € e) Mesa de pupitre f) Reloj de pulsera

g) Tapa de un yogur h) Tableta de chocolate i) Cubierta de este libro

Categoría A: f, g

Categoría B: b, c, d, h

Categoría C: a, e, i

Área

Círculo 78,54 cm2

Polígono de 10 lados 73,47 cm2




25 cm

25 cm

70 cm

4,10 m

3 m

12.76. Estimación de áreas

Ordena de mayor a menor según el área.

a) Sábana b) Plaza de aparcamiento

c) Bufanda d) Mesa de pimpón

e) Tu aula f) Tela de un paraguas

Aula, plaza de aparcamiento, sábana, mesa de pimpón, tela de un paraguas, bufanda.

12.77. Superficies y baldosas

Una caja contiene 20 baldosas como la del dibujo.

a) ¿Qué superficie puede cubrir? Exprésalo en metros cuadrados.

b) ¿Cuántas baldosas como estas se necesitan para cubrir 1 m2?

c) El metro cuadrado de este tipo de baldosas se vende a 23 €. Calcula el precio de cuatro cajas.

a) 20 · 25 · 25 = 1,25 m2 b) 20 : 1,25 = 16 baldosas c) 4 · 1,25 = 5 m2 → 115 €

12.78. Parqué

Eduardo quiere poner parqué en su habitación, que mide 4,10 m de largo por 3 m de ancho.

a) ¿Cuántos metros cuadrados de parqué necesita?

b) Las piezas de madera que usará miden 140 cm de largo por 20 cm de ancho. Quiere disponerlas como en el dibujo. ¿Deberá cortar las piezas a lo largo? ¿Y a lo ancho? ¿Crees que hace una buena disposición? Razónalo.

c) Si las piezas que utiliza se venden en paquetes de 8, ¿cuántos paquetes deberá comprar?

a) 12,3 m2

b) El largo lo tiene que cortar en ambas disposiciones; en cambio, el ancho puede no cortarlo si las dispone como en el dibujo, por lo que es una buena disposición.

c) Cada paquete proporciona parqué para 8 · 140 · 20 = 22.400 cm2 = 2,24 m2, por lo que necesitará comprar 6 paquetes. (12,3 : 2,24 = 5,49)


120

cm

60 cm30,8 cm

128 cm

64 cm

55,4 cm

64 cm

120

cm

120

cm

30 cm 60 cm

2 x4 x

Grosor: 0,8 cmGrosor: 2 cm

56 cm

30 c

m

Grosor: 2 cm

12.79. Estanterías

Miguel ha hecho una estantería de tres estantes para su habitación. Para hacerla ha comprado la madera cortada en piezas.

Le han cobrado la madera de 2 cm de grosor a 18 € el metro cuadrado, y la de 0,8 cm de grosor, a 11 €.

a) Calcula la superficie utilizada de cada tipo de madera.

b) Calcula cuánto le ha costado toda la madera.

a) Madera de 2 cm de grosor: 4 · (56 · 30) + 2 · (120 · 30) = 13.920 cm2 = 1,392 m2

Madera de 0,8 cm de grosor: 120 · 60 = 7.200 cm2 = 0,72 m2

b) 1,392 · 18 + 0,72 · 11 = 32,98 €

12.80. Problema

Estas son las medidas de una mesa escolar.

1. ¿Qué polígono forman estas mesas al juntar dos por el lado más grande? Haz el dibujo correspondiente.

Un hexágono

2. Calcula la superficie de madera que se necesita para fabricar la parte superior de cada mesa. Calcula cuántas veces es más grande esta superficie que la de tu pupitre.

A = (128 64) · 55,4

2

+ = 5.318,4 cm2. Actividad individual.

64 cm

55,4 cm

128 cm


1:150

1:150

3. Si se disponen convenientemente, con tres de estas mesas se puede formar un triángulo equilátero. Dibuja cómo.

12.81. El teatro romano

En un teatro romano, la parte correspondiente a las gradas se construía siguiendo un trazado semicircular. El teatro romano de Mérida (Badajoz), uno de los que mejor se conservan, tenía capacidad para 5.800 personas aproximadamente. El diámetro de este teatro es de 96 m.

1. Calcula la superficie ocupada por el semicírculo donde se encuentran las gradas del teatro.

A = 23,14 · 48

2= 3.617 m2

2. Los romanos contaban que cada metro de grada podía ser ocupado por dos espectadores. Calcula cuántos espectadores podían sentarse en la última grada. Debes descontar 13 m por el espacio ocupado por las escalas de acceso.

L = 2 · 3.14 · 48

2= 150,72 m. Descontando las escalas, tendremos 137,72 m; por tanto, multiplicando

por 2, obtendremos 275,44, es decir, 275 espectadores.

12.82. Superficies y viviendas

1. Observa este plano de un piso.

Dibuja en tu cuaderno el contorno y la división que harías en otros polígonos más sencillos para calcular el área.


Superficie construida y superficie útil

En una vivienda, la superficie construida es la que ocupa la vivienda contando paredes, columnas, etc.; mientras que la superficie útil es la que queda disponible en el interior de la vivienda.

2. Completa las tablas en tu cuaderno con las superficies útiles de cada habitación.

3. Lee el texto y contesta.

a) Calcula la superficie construida y la superficie útil total.

b) ¿Cuántos metros cuadrados es mayor la superficie construida que la superficie útil?

c) El precio de venta de esta vivienda fue de 400.000 €. Calcula el precio por metro cuadrado de superficie útil.

a) La superficie construida es de 89,1 m2, y la útil, de 80,41 m2.

b) 8,69 m2

c) 4.974,51 €/m2

4. En los pisos que se construyen actualmente, la tendencia es hacer un salón grande, de manera que la superficie de este represente una parte importante de la superficie total. ¿Cuál es la fracción de la superficie útil del piso anterior que corresponde al salón? Expresa el valor en forma de porcentaje.

27,56 : 80,41 · 100 = 34%

Estancia Superf.

Pasillo 4,88 m2

Aseo 3,22 m2

Lavadero 1,32 m2

Recibidor 2,72 m2

Dormitorio mediano 10,87 m2

Estancia Superf.

Salón 27,56 m2

Dormitorio pequeño 8,43 m2

Cocina 5,70 m2

Dormitorio con baño 15,71 m2


83,3 m

113,3 m

133,3 m

15 m15 m

83,3

m

113,

3 m

133,

3 m

15 m

15 m

73,3

m

73,3 m

133,3 m

113,

3 m

16 m

A B

16 m 16 m16 m

83,3

m

PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

12.83. El Ensanche

El barrio del Ensanche de Barcelona, diseñado por Ildefons Cerdà (1815-1876), está formado por calles horizontales y perpendiculares. El croquis muestra las dimensiones de las manzanas actuales del Ensanche.

1. Halla la superficie de una manzana de casas. Para ello, calcula el área de un cuadrado cuyo lado sea la anchura de la manzana, y descuenta las superficies de cuatro triángulos, uno por chaflán.

113,32 – 4 · 15 · 15

2= 12.386,89 m2

2. El Ensanche actual no coincide exactamente con el que Cerdà había proyectado. Cerdà quería destinar la mayor parte del octógono hoy construido a zona verde. Los dibujos corresponden a dos tipos de manzanas de casas originales.

a) Calcula la superficie construida en cada uno de estos dos tipos de manzanas.

b) ¿Qué tanto por ciento del octógono representa en cada modelo la superficie construida?


Ildefons Cerdà y el Ensanche

Para establecer las medidas de las casas y las calles, Cerdà

utilizó como valor de referencia la raíz de 2 ( 2 = 1,41).

Cerdà fijó la anchura de un piso en 5 veces 2 , y la

profundidad, en 10 veces 2 .

La anchura de una manzana la fijó en 80 veces 2 ,y la parte frontal de una manzana, eliminados los dos chaflanes, en 60

veces 2 .

Los edificios tenían cinco plantas, y la altura de cada planta era de 3,85 m. La altura de los edificios era de 20 m.

La anchura de las calles también era de 20 m, con 5 m a cada lado de acera para los peatones.

138,4 m103,8 m

c) ¿Cuál es la diferencia entre los tantos por ciento de superficie construida actualmente y la inicialmente proyectada en el modelo B?

a) A: (113,3 – 16)2 – 16·16

2= 9.339,29 m2 B: 113,3 · (113,3 – 32) = 9.211,29 m2

Superficie construida A: 3.047,6 m2 Superficie construida B: 3.175,6 m2

b) A: 24,6% B: 25,64%

c) Superficie construida actualmente: 12.386,89 – 73,32 = 7.014 m2, que representa un 56,62%, a diferencia del 25,64% del modelo B.

3. Lee este texto.

a) Los valores definitivos son aproximaciones para facilitar las operaciones. Compara la media de la anchura y la parte frontal de una manzana de casas del texto con las del esquema.

b) ¿Cuál era la superficie de los pisos planificados por Cerdà? ¿Y cuál era la separación entre plantas?

c) Diseña una manzana de casas y sus calles de manera semejante a como lo hizo Cerdà.

Utiliza como valor de referencia la raíz de 3 ( 3 = 1,73), en lugar de la raíz de 2. Marca las

medidas en un esquema.

a) Anchura = 80 2 = 113,13708… (esquema, 113,3); frontal = 60 2 = 84,85281… (esquema, 83,3)

b) 5 2 · 10 2 = 100 m2 es la superficie de un piso.

(20 – 5 · 3,85) : 4 = 0,1875 m de separación

c) La anchura de la manzana es de 80 3 = 138,4 m, y su parte frontal mide 60 3 = 103,8 m.


6 cm

10 cm

8 cm

5 cm

60 m

m

5 cm

6 cm

8 cm

5 cm

24 dm

58 dm

48 dm

26 dm

AUTOEVALUACIÓN

12.1. Un cuadrado tiene un perímetro de 48 cm. ¿Cuál es su área?

Lado = 12 cm. Área = 144 cm2

12.2. Si un rectángulo tiene un área de 72 cm2, y uno de los lados mide 8 cm, ¿cuántos centímetros mide el otro lado?

9 cm

12.3. El área de un romboide es de 72 cm2. La base mide 18 cm. ¿Cuánto mide la altura?

a) 2 cm b) 3 cm c) 4 cm d) 5 cm

4 cm

12.4. Si la base y la altura de un rombo miden, respectivamente, 8 y 6 cm, ¿cuánto mide su área?

48 cm2

12.5. Las diagonales de un rombo miden 4 y 7 cm. ¿Cuánto mide su área?

14 cm2

12.6. ¿Cuáles de estos polígonos tienen un área de 30 cm2? (Los dibujos no están hechos a escala.)

El rectángulo y el romboide

12.7. Calcula el área de este trapecio.

(58 48) · 24

2

+= 1.272 dm2

12.8. El lado de un octógono mide 6 cm, y su apotema, 7,2 cm. Calcula su área.

48 · 7,2

2= 172,8 cm2

12.9. El diámetro de un círculo mide 140 mm. Calcula su área. Exprésala en centímetros cuadrados.

A = 153,86 cm2

12.10. Explica por escrito cómo se calcula el área de un polígono irregular.

Debemos descomponerlo en polígonos cuyas áreas sepamos calcular; por ejemplo, triángulos o cuadriláteros.


12.11. Razona si son ciertas o falsas estas afirmaciones.

a) Dos trapecios de igual altura solo tienen la misma área si las bases de uno y otro son iguales.

b) Si el perímetro de un cuadrado A es el doble que el de un cuadrado B, el área de A es el cuádruple que la de B.

c) El área de un círculo de 10 cm de radio es el doble que la de uno de 10 cm de diámetro.

d) El área de un rombo es mayor que la de un cuadrado si tienen igual la longitud del lado.

a) No, basta que la suma de sus bases coincida, no tienen por qué ser iguales.

b) Verdadera

c) Falsa: 100 2· · 25π ≠ π

d) Falsa, es mayor la del cuadrado, pues su altura es mayor que la del rombo.

APRENDE A PENSAR… CON MATEMÁTICAS

Misterio o error matemático

Observa la primera figura. Si la descomponemos tal como muestra el dibujo, y recortamos las piezas para disponerlas como en la segunda figura, perdemos un cuadrado. ¿Cómo te lo explicas?

Las descomposiciones no son exactamente iguales. La zona verde no tiene la misma superficie, pues los cortes no están realizados exactamente a la misma altura de cada uno de los cuadrados, y lo mismo ocurre con la zona naranja. En esas pequeñas diferencias en los cortes se pierde el cuadrado que buscamos.

El rectángulo

Un rectángulo de 4 por 9 se puede transformar en un cuadrado descomponiéndolo en dos piezas y juntándolas. ¿Cómo se han de colocar estas piezas?


1 2 3 4

¿Qué mes era?

Hace cierto tiempo fui a comer a casa de mi tía María. Recuerdo que el día 1 de aquel mes era domingo, y que el último día del mes también fue domingo. Pero ¿era el mes de enero? ¿O era el mes de febrero? ¿O bien el mes de marzo? No logro recordarlo. ¿Puedes ayudarme a averiguarlo?

Era un mes de febrero, y además, bisiesto.

MATEMÁTICAS Y SOCIEDAD

CONSTRUCCIÓN DE UN ARCO OJIVAL

Los centros de los arcos de circunferencia se establecen en el segmento de la base del arco, a la misma distancia del centro del segmento. Cada arco tiene el mismo radio.

1. Dibuja un arco ojival en tu cuaderno.

CONSTRUCCIÓN DE UN ARCO CARPANEL

Se dibuja un segmento horizontal, y con centro en los extremos, se trazan dos circunferencias cuyo radio es la mitad que el segmento. A continuación se dibuja un triángulo equilátero que tiene como lado el segmento original, y con el vértice opuesto hacia abajo. Sobre este vértice se traza una circunferencia cuyo radio es el triple del radio de las circunferencias pequeñas.

O’ O”A B

O

60°


a) b) c)

1. Dibuja un arco carpanel en tu cuaderno.

LOS PUENTES

Hay muchos tipos de puentes. Una gran parte de ellos se sostienen mediante arcos.

1. Indica en cada caso qué tipo de arco forma el puente.

a) Arco de medio punto b) Arco ojival c) Arco parabólico

Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Miguel Ángel Ingelmo, Yolanda Zárate, M.ª Ángeles Anaya, Rafaela Arévalo, José Luis González, Rafael A. Martínez Edición: Pedro Machín, Eva Béjar Corrección: Ricardo Ramírez Ilustración: R. Aranda, Modesto Arregui, IDEM, Félix Moreno, A. Muñoz, José Santos Fotografía: Javier Calbet, Sonsoles Prada, Fidel Puerta, Sergio Cuesta, Yolanda Álvarez, José Manuel Navia / Archivo SM; Olimpia Torres; Norbert Tomàs; Luis Castelo; Javier Jaime; Montse Fontich; Oliver Boé; Peter Rey; Almudena Esteban; Pedro Carrión; Kevin Peterson; Andrew Ward; Doug Menuez; Nick Koudis; Ryan McVay; Nancy R. Cohen; John Wang; Robert Glusic. Martial Colomb, Russell Illig, Edmond van Hoorick, Hisham F. Ibrahim, PHOTOLINK, STOCK-TREK / PHOTODISC; Gerard Launet / PHOTOALTO; SUPERSTOCK / AGE PHOTOSTOCK; CORBIS / CORDON PRESS; LAIF / LATINSTOCK; CONTACTO; ÍNDEX; PAISAJES ESPAÑOLES; PRISMA; cmcd; DIGITAL VISION; SPAINSTOCK; BARRES FOTONATURA; JOHN FOX IMAGES; GETTY IMAGES; ITSTOCK; CARTESIA; PHOVOIR; Editorial Alpina; Instituto Geogáfico Nacional Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain

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