12 Carlos Ochoa

Sistemas Dinamicos Difusos

Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino

Proyecto Curricular de Matematicas

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Semillero LOTO

25 de enero de 2013

Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 1 / 1

Parte I

Desde La Logica


Algo de Historia

Ano 1965, Lotfi A. Zadeh: Primeras ideas de teorıa de conjuntos difusos,

Objetivo: Encontrar en las matematicas modelos apropiados para el

estudio de problemas complejos de control que se presentan en la teorıa de

la informacion;

Resultado: Se supero la rigidez de la teorıa clasica de conjuntos y

clasificando objetos de un universo conocido que responden a una

determinada propiedad de manera que no solo la verifican o no, sino que la

pueden verificar parcialmente.

Consecuencias: Estrecha relacion entre la teorıa de los conjuntos difusos

y la logica multi-valuada.


Algo de Historia




la informacion;








Algo de Historia




la informacion;








Algo de Historia




la informacion;








Desde la logica clasica

Definicion

Principio de Bivalencia: Cada proposicion tiene exactamente uno de los

dos valores de verdad: ⊥ (falso) o > (verdadero) que usualmente se

codifican con 0 y 1 respectivamente.

Definicion

Principio de Composicion, el valor de verdad de cada formula bien formada

compuesta es funcion del valor de verdad de sus componentes.

Conjunto de valores de verdad: {0, 1}



Definicion




Definicion






Definicion




Definicion





Los conectivos clasicos son definidos a partir de la conjuncion, disyuncion

y negacion i. e. se considera el junto con las funciones

mın,max y 1− . . .

La estructura de valores de verdad puede ser un algebra Booleana

B = {B,∧,∨,c , 0, 1},


Los conectivos clasicos son definidos a partir de la conjuncion, disyuncion

y negacion i. e. se considera el junto con las funciones

mın,max y 1− . . .

La estructura de valores de verdad puede ser un algebra Booleana

B = {B,∧,∨,c , 0, 1},


Las funciones de verdad para conjuncion, disjuncion y negacion son

escogidos de acuerdo a

∧,∨,c

respectivamente y

Validez de una formula bien formada H con respecto a una interpretacion

dada significa que H tiene el valor 1 de B en esa interpretacion.

Que Cambia. La logica multi-valuada solamente cambia el principio de

bivalencia;

Se asume que

{0, 1} ⊆ WS . (1)




∧,∨,c

respectivamente y




bivalencia;

Se asume que

{0, 1} ⊆ WS . (1)




∧,∨,c

respectivamente y




bivalencia;

Se asume que

{0, 1} ⊆ WS . (1)


Ejemplo (1.2)

De los Grados de Verdad

No hay restricciones para el conjunto WS de grados de verdad de S ; es

usual tener ademas de (??) la estructura

WS ⊆ [0, 1] ⊆ R, (2)

en este ambiente, algunos ejemplos:

W0 =: { x ∈ Q | 0 ≤ x ≤ 1} o, (3)

W∞ =: { x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}, (4)

Wn =: { k

n − 1| 0 ≤ k ≤ n − 1}, (5)


Conjuncion

(Lukasiewicz y Godel), una conjuncion es la operacion binaria

et1(u, v) =: mın{u, v}, (6)

Ejemplo

la tabla de verdad correspondiente para W4 es

et1 0 13

23 1

0 0 0 0 013 0 1

313

13

23 0 1

323

23

1 0 13

23 1


Conjuncion

(Lukasiewicz y Godel), una conjuncion es la operacion binaria

et1(u, v) =: mın{u, v}, (6)

Ejemplo

la tabla de verdad correspondiente para W4 es

et1 0 13

23 1

0 0 0 0 013 0 1

313

13

23 0 1

323

23

1 0 13

23 1


otro ejemplo procedente de Lukasiewicz es

et2(u, v) =: max{0, u + v − 1}, (7)

Ejemplo

La tabla de verdad correspondiente para W4 es

et2 0 13

23 1

0 0 0 0 013 0 0 0 1

323 0 0 1

323

1 0 13

23 1


otro ejemplo procedente de Lukasiewicz es

et2(u, v) =: max{0, u + v − 1}, (7)

Ejemplo

La tabla de verdad correspondiente para W4 es

et2 0 13

23 1

0 0 0 0 013 0 0 0 1

323 0 0 1

323

1 0 13

23 1


Ejemplo

En tiempos recientes se ha considerado la conjuncion

et3(u, v) =: u · v , (8)

Definicion

Una Operacion binaria t en [0, 1] es una t-norma si

T1. t es asociativa y conmutativa,

T2. t es no creciente en cada argumento,

T3. 1 es elemento neutro para t.

Para todo x ∈ [0, 1], t(x , 0) = 0 pues t(x , 0) = t(0, x) ≤ t(0, 1) = 0.

([0, 1], t) es un monoide.


Ejemplo

En tiempos recientes se ha considerado la conjuncion

et3(u, v) =: u · v , (8)

Definicion

Una Operacion binaria t en [0, 1] es una t-norma si

T1. t es asociativa y conmutativa,

T2. t es no creciente en cada argumento,

T3. 1 es elemento neutro para t.

Para todo x ∈ [0, 1], t(x , 0) = 0 pues t(x , 0) = t(0, x) ≤ t(0, 1) = 0.

([0, 1], t) es un monoide.


Conectivos Negacion

Godel y Lukasiewicz proponen:

non0(x) =

1 si x = 0

0 si x 6= 0,y non1(x) = 1− x ; (9)

Post propone non2 para Wm:

non2(x) =

1 si x = 0

x − 1m−1 si x 6= 0

(10)


Definicion

Una funcion n : [0, 1]→ [0, 1] es una negacion si es no creciente y

n(0) = 1 y n(1) = 0. Una negacion es etricta si es estrictamente

decreciente y continua, es fuerte si es estricta y es una involucion, es decir,

satisface n(n(x)) = x para todo x ∈ [0, 1].

Ası, non2 no es una negacion para m > 2, non0 es una negacion y non1 es

una negacion fuerte. Otro ejemplo de negacion no estricta es

non∗(x) =

1 si x < 1

0 si x = 1,(11)

toda funcion negacion n satisface

non0 ≤ n ≤ non∗


Definicion

Una funcion n : [0, 1]→ [0, 1] es una negacion si es no creciente y

n(0) = 1 y n(1) = 0. Una negacion es etricta si es estrictamente

decreciente y continua, es fuerte si es estricta y es una involucion, es decir,

satisface n(n(x)) = x para todo x ∈ [0, 1].

Ası, non2 no es una negacion para m > 2, non0 es una negacion y non1 es

una negacion fuerte. Otro ejemplo de negacion no estricta es

non∗(x) =

1 si x < 1

0 si x = 1,(11)

toda funcion negacion n satisface

non0 ≤ n ≤ non∗


Un ejemplo de una negacion estricta que no es fuerte es

non3(x) = 1− x2, (12)

un surtidor de negaciones fuertes lo constituye la familia de funciones

nλ(x) =1− x

1 + λx(13)

donde λ > −1.


Un ejemplo de una negacion estricta que no es fuerte es

non3(x) = 1− x2, (12)

un surtidor de negaciones fuertes lo constituye la familia de funciones

nλ(x) =1− x

1 + λx(13)

donde λ > −1.


Teorema

Sean t una t-norma continua y n una negacion estricta, para todo

x ∈ [0, 1] se tiene que t(x ,n(x)) = 0 si y solo si existe un automorfismo φ

del intervalo [0, 1] tal que para todo x , y ∈ [0, 1] es

t(x , y) = φ−1(et2(φ(x), φ(y))) y

n(x) ≤ φ−1(1− φ(x)). (14)

Una situacion tıpica la presentan et2 y non1.


Teorema

Sean t una t-norma continua y n una negacion estricta, para todo

x ∈ [0, 1] se tiene que t(x ,n(x)) = 0 si y solo si existe un automorfismo φ

del intervalo [0, 1] tal que para todo x , y ∈ [0, 1] es

t(x , y) = φ−1(et2(φ(x), φ(y))) y

n(x) ≤ φ−1(1− φ(x)). (14)

Una situacion tıpica la presentan et2 y non1.


Conectivos Disyuncion

Una operacion binaria s en el intervalo [0, 1] es una t-conorma si

S1 Es asociativa y conmutativa,

S2 Es no decreciente en cada argumento,

S3 0 es elememto neutro, es decir; s(x , 0) = x para todo x ∈ [0, 1].

Es claro que para todo x ∈ [0, 1], s(x , 1) = 1 pues

s(x , 1) = s(1, x) ≥ s(0, 1) = 1.

El intervalo [0, 1] con la operacion s es un monoide.


Conectivos Disyuncion

Una operacion binaria s en el intervalo [0, 1] es una t-conorma si

S1 Es asociativa y conmutativa,

S2 Es no decreciente en cada argumento,

S3 0 es elememto neutro, es decir; s(x , 0) = x para todo x ∈ [0, 1].

Es claro que para todo x ∈ [0, 1], s(x , 1) = 1 pues

s(x , 1) = s(1, x) ≥ s(0, 1) = 1.

El intervalo [0, 1] con la operacion s es un monoide.


Teorema

Si n es una negacion fuerte y s y t son dos operaciones binarias

relacionadas por

s(x , y) = n(t(n(x),n(y))), ∀x , y ∈ [0, 1],

entonces t es una t-norma y s es una t-conorma.

Es usual que se considere la negacion fuerte non1; ası, para una t-norma t

se tiene la t-conorma:

st(x , y) = 1− t(1− x , 1− y), ∀x , y ∈ [0, 1], (15)


Teorema

Si n es una negacion fuerte y s y t son dos operaciones binarias

relacionadas por

s(x , y) = n(t(n(x),n(y))), ∀x , y ∈ [0, 1],

entonces t es una t-norma y s es una t-conorma.

Es usual que se considere la negacion fuerte non1; ası, para una t-norma t

se tiene la t-conorma:

st(x , y) = 1− t(1− x , 1− y), ∀x , y ∈ [0, 1], (15)


Se obtener las t-conormas mas populares

vel1(x , y) = max{x , y}, (16)

vel2(x , y) = mın{1, x + y} y (17)

vel3(x , y) = x + y − x · y (18)



vel1(x , y) = max{x , y}, (16)

vel2(x , y) = mın{1, x + y} y (17)

vel3(x , y) = x + y − x · y (18)



vel1(x , y) = max{x , y}, (16)

vel2(x , y) = mın{1, x + y} y (17)

vel3(x , y) = x + y − x · y (18)



vel1(x , y) = max{x , y}, (16)

vel2(x , y) = mın{1, x + y} y (17)

vel3(x , y) = x + y − x · y (18)


Conectivos Implicacion

De Lukasiewicz

seq2(x , y) = mın{1, 1− x + y}, (19)

ahora de Godel,

seq1(x , y) =

1 si x ≤ y ,

y en otro caso.(20)

Como es de esperarse,

seq2(x , y) = vel2(non1(x), y) (21)

= non1(et2(x , non1(y))), (22)



De Lukasiewicz

seq2(x , y) = mın{1, 1− x + y}, (19)

ahora de Godel,

seq1(x , y) =

1 si x ≤ y ,

y en otro caso.(20)


seq2(x , y) = vel2(non1(x), y) (21)

= non1(et2(x , non1(y))), (22)



De Lukasiewicz

seq2(x , y) = mın{1, 1− x + y}, (19)

ahora de Godel,

seq1(x , y) =

1 si x ≤ y ,

y en otro caso.(20)


seq2(x , y) = vel2(non1(x), y) (21)

= non1(et2(x , non1(y))), (22)


vel2 la disyuncion (aritmetica) de Lukasiewicz

et2 la conjuncion (aritmetica) de Lukasiewicz;

. . . pero en lo que concierne a seq1 . . . ???

seq1(x , y) = sup{w | et1(x ,w) ≤ y} (23)

la situacion expuesta en (??) es equivalente a

w ≤ seq1(x , y)⇔ et1(x ,w) ≤ y , (24)

de donde se dice que et1, seq1 forman un par adjunto.





seq1(x , y) = sup{w | et1(x ,w) ≤ y} (23)


w ≤ seq1(x , y)⇔ et1(x ,w) ≤ y , (24)






seq1(x , y) = sup{w | et1(x ,w) ≤ y} (23)


w ≤ seq1(x , y)⇔ et1(x ,w) ≤ y , (24)






seq1(x , y) = sup{w | et1(x ,w) ≤ y} (23)


w ≤ seq1(x , y)⇔ et1(x ,w) ≤ y , (24)



GL-monoides

Generalizando

([0, 1], et1, vel1), enriquecido con (et1, seq1) . . . ;

(L,6) un retıculo infinitamente distributivo y completo, i. e. (L,6) es

parcialmente ordenado,

Para todo A ⊂ L,∨

A y∧

A estan definidos y para todo α ∈ L es(∨A)∧ α =

∨{a ∧ α | a ∈ A} y (25)(∧

A)∨ α =

∧{a ∨ α | a ∈ A}. (26)


GL-monoides

Generalizando





A y∧


∨{a ∧ α | a ∈ A} y (25)(∧

A)∨ α =

∧{a ∨ α | a ∈ A}. (26)


GL-monoides

Generalizando





A y∧


∨{a ∧ α | a ∈ A} y (25)(∧

A)∨ α =

∧{a ∨ α | a ∈ A}. (26)


GL-monoides

Generalizando





A y∧


∨{a ∧ α | a ∈ A} y (25)(∧

A)∨ α =

∧{a ∨ α | a ∈ A}. (26)


GL-monoides

Generalizando





A y∧


∨{a ∧ α | a ∈ A} y (25)(∧

A)∨ α =

∧{a ∨ α | a ∈ A}. (26)


Definicion

Un GL−monoide es un retıculo completo enriquecido con una operacion

binaria ⊗ tal que la tripleta (L,6,⊗) satisface:

(1) ∀α, β, γ ∈ L α 6 β implica α⊗ γ 6 β ⊗ γ;

(2) ⊗ es conmutativa, i.e. ∀α, β ∈ L, α⊗ β = β ⊗ α,

(3) α⊗ (β ⊗ γ) = (α⊗ β)⊗ γ, ∀α, β, γ ∈ L;

(4) (L,6,⊗) es entero, i.e. α⊗> = α, ∀α ∈ L;

(5) α⊗⊥ = ⊥, ∀α ∈ L;

(6) α⊗ (∨

j βj) =∨

j(α⊗ βj), ∀α ∈ L, ∀{βj : j ∈ J} ⊂ L;

(7) (L,6,⊗) is divisible, i.e. α 6 β implica la existencia de γ ∈ L tal

que α = β ⊗ γ.


Definicion





(3) α⊗ (β ⊗ γ) = (α⊗ β)⊗ γ, ∀α, β, γ ∈ L;


(5) α⊗⊥ = ⊥, ∀α ∈ L;

(6) α⊗ (∨

j βj) =∨

j(α⊗ βj), ∀α ∈ L, ∀{βj : j ∈ J} ⊂ L;


que α = β ⊗ γ.


Definicion





(3) α⊗ (β ⊗ γ) = (α⊗ β)⊗ γ, ∀α, β, γ ∈ L;


(5) α⊗⊥ = ⊥, ∀α ∈ L;

(6) α⊗ (∨

j βj) =∨

j(α⊗ βj), ∀α ∈ L,∀{βj : j ∈ J} ⊂ L;


que α = β ⊗ γ.


Definicion





(3) α⊗ (β ⊗ γ) = (α⊗ β)⊗ γ, ∀α, β, γ ∈ L;


(5) α⊗⊥ = ⊥, ∀α ∈ L;

(6) α⊗ (∨

j βj) =∨

j(α⊗ βj), ∀α ∈ L, ∀{βj : j ∈ J} ⊂ L;


que α = β ⊗ γ.


Definicion





(3) α⊗ (β ⊗ γ) = (α⊗ β)⊗ γ, ∀α, β, γ ∈ L;


(5) α⊗⊥ = ⊥, ∀α ∈ L;

(6) α⊗ (∨

j βj) =∨

j(α⊗ βj), ∀α ∈ L,∀{βj : j ∈ J} ⊂ L;


que α = β ⊗ γ.


Definicion





(3) α⊗ (β ⊗ γ) = (α⊗ β)⊗ γ, ∀α, β, γ ∈ L;


(5) α⊗⊥ = ⊥, ∀α ∈ L;

(6) α⊗ (∨

j βj) =∨

j(α⊗ βj), ∀α ∈ L,∀{βj : j ∈ J} ⊂ L;


que α = β ⊗ γ.


Definicion





(3) α⊗ (β ⊗ γ) = (α⊗ β)⊗ γ, ∀α, β, γ ∈ L;


(5) α⊗⊥ = ⊥, ∀α ∈ L;

(6) α⊗ (∨

j βj) =∨

j(α⊗ βj), ∀α ∈ L,∀{βj : j ∈ J} ⊂ L;


que α = β ⊗ γ.


Todo GL−monoide es residuado, i.e. existe 7−→ en L que satisface:

α⊗ β 6 γ ⇐⇒ α 6 (β 7−→ γ) ∀α, β, γ ∈ L. (27)

La implicacion esta dada por:

α 7−→ β =∨{λ ∈ L | α⊗ λ 6 β}, (28)


Todo GL−monoide es residuado, i.e. existe 7−→ en L que satisface:

α⊗ β 6 γ ⇐⇒ α 6 (β 7−→ γ) ∀α, β, γ ∈ L. (27)

La implicacion esta dada por:

α 7−→ β =∨{λ ∈ L | α⊗ λ 6 β}, (28)


Otras propiedades

Teorema

Si L es un GL−monoide, entonces:

(i) α 7−→ β = > ⇐⇒ α 6 β;

(ii) α 7−→ (∧

i βi ) =∧

i (α 7−→ βi );

(iii) (∨

i αi ) 7−→ β =∧

i (αi 7−→ β);

(v) α⊗ (∧

i βi ) =∧

i (α⊗ βi );

(vi) (α 7−→ γ)⊗ (γ 7−→ β) 6 α 7−→ β;

(vii) α⊗ β 6 (α⊗ α) ∨ (β ⊗ β).


Otras propiedades

Teorema


(i) α 7−→ β = > ⇐⇒ α 6 β;

(ii) α 7−→ (∧

i βi ) =∧

i (α 7−→ βi );

(iii) (∨

i αi ) 7−→ β =∧

i (αi 7−→ β);

(v) α⊗ (∧

i βi ) =∧

i (α⊗ βi );

(vi) (α 7−→ γ)⊗ (γ 7−→ β) 6 α 7−→ β;

(vii) α⊗ β 6 (α⊗ α) ∨ (β ⊗ β).


Otras propiedades

Teorema


(i) α 7−→ β = > ⇐⇒ α 6 β;

(ii) α 7−→ (∧

i βi ) =∧

i (α 7−→ βi );

(iii) (∨

i αi ) 7−→ β =∧

i (αi 7−→ β);

(v) α⊗ (∧

i βi ) =∧

i (α⊗ βi );

(vi) (α 7−→ γ)⊗ (γ 7−→ β) 6 α 7−→ β;

(vii) α⊗ β 6 (α⊗ α) ∨ (β ⊗ β).


Otras propiedades

Teorema


(i) α 7−→ β = > ⇐⇒ α 6 β;

(ii) α 7−→ (∧

i βi ) =∧

i (α 7−→ βi );

(iii) (∨

i αi ) 7−→ β =∧

i (αi 7−→ β);

(v) α⊗ (∧

i βi ) =∧

i (α⊗ βi );

(vi) (α 7−→ γ)⊗ (γ 7−→ β) 6 α 7−→ β;

(vii) α⊗ β 6 (α⊗ α) ∨ (β ⊗ β).


Otras propiedades

Teorema


(i) α 7−→ β = > ⇐⇒ α 6 β;

(ii) α 7−→ (∧

i βi ) =∧

i (α 7−→ βi );

(iii) (∨

i αi ) 7−→ β =∧

i (αi 7−→ β);

(v) α⊗ (∧

i βi ) =∧

i (α⊗ βi );

(vi) (α 7−→ γ)⊗ (γ 7−→ β) 6 α 7−→ β;

(vii) α⊗ β 6 (α⊗ α) ∨ (β ⊗ β).


Otras propiedades

Teorema


(i) α 7−→ β = > ⇐⇒ α 6 β;

(ii) α 7−→ (∧

i βi ) =∧

i (α 7−→ βi );

(iii) (∨

i αi ) 7−→ β =∧

i (αi 7−→ β);

(v) α⊗ (∧

i βi ) =∧

i (α⊗ βi );

(vi) (α 7−→ γ)⊗ (γ 7−→ β) 6 α 7−→ β;

(vii) α⊗ β 6 (α⊗ α) ∨ (β ⊗ β).


Ejemplos importantes de GL-monoides son

Definicion

Un algebra de Heyting es un GL-monoide del tipo (L,6,∧,∨,∧), es

decir, en un algebra de Heyting ∧ = ⊗.

Definicion

Un GL-monoide es una MV -algebra si

(α 7−→ ⊥) 7−→ ⊥ = α ∀α ∈ L. (29)

Ası, en una MV -algebra existe una involucion c : L→ L que invierte el

orden y que se define de manera natural como

αc := α 7−→ ⊥ ∀α ∈ L. (30)

Presente la categorıa de los GL-monoides.



Definicion



Definicion


(α 7−→ ⊥) 7−→ ⊥ = α ∀α ∈ L. (29)



αc := α 7−→ ⊥ ∀α ∈ L. (30)




Definicion



Definicion


(α 7−→ ⊥) 7−→ ⊥ = α ∀α ∈ L. (29)



αc := α 7−→ ⊥ ∀α ∈ L. (30)




Definicion



Definicion


(α 7−→ ⊥) 7−→ ⊥ = α ∀α ∈ L. (29)



αc := α 7−→ ⊥ ∀α ∈ L. (30)



Parte II

Conjuntos Difusos


De los Conjuntos Difusos

X 6= ∅ y L un GL-monoide, el conjunto de L-partes de X es

LX := {f | f : X → L}

LX hereda la estructura de GL-monoide;

1 f ≤ g sii f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ X ,

2 (f ⊗ g)(x) = f (x)⊗ g(x),

Los L-conjuntos 1X y 0X definidos por

1X (x) := > y 0X (x) := ⊥

para todo x ∈ X son el maximo y el mınimo en LX respectivamente.




LX := {f | f : X → L}



2 (f ⊗ g)(x) = f (x)⊗ g(x),


1X (x) := > y 0X (x) := ⊥





LX := {f | f : X → L}



2 (f ⊗ g)(x) = f (x)⊗ g(x),


1X (x) := > y 0X (x) := ⊥





LX := {f | f : X → L}



2 (f ⊗ g)(x) = f (x)⊗ g(x),


1X (x) := > y 0X (x) := ⊥



ademas, si X es finito, el cardinal de f es

|f | =∑x∈X

f (x) (31)

y el grado de contenencia de f en g es

S(f , g) =1

|f |(|f | −

∑x∈X

max{0, f (x)− g(x))

(32)

notese que la suma da una medida de aquellos elementos x en donde la

relacion f (x) ≤ g(x) no se satisface; tambien se tiene S(g , f ), se puede

pensar en el grado de coincidencia en [0, 1]-partes, tiene el problema de

evocar la estructura (R,+, ·), esto es, [0, 1] es visto como subconjunto de

los numeros reales.


Parte III

Sistemas Dinamicos Difusos


Espacios Difusos Medibles

Sea X un conjunto no vacıo, I ≡ [0, 1]; para c ∈ I, se define la funcion

c ∈ IX que asigna el valor c a cada x ∈ X , esto es, se trata de la funcion

constante de valor c .

Definicion

Una σ-algebra difusa sobre X es una subfamilia M ⊆ IX que satisface:

A1. 1 ∈M.

A2. λ ∈M⇒ 1− λ ∈M; donde (1− λ) (x) = 1− λ (x) para todo

x ∈ X .

A3. Para toda sucesion {λi}∞i=1 de elementos en M,∨∞i=1 λi = supλi ∈M.

Si M es una σ-algebra difusa sobre X , al par (X ,M) se le denomina

Espacio Difuso Medible.Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 29 / 1

Los espacios difusos medibles se relacionan entre si tal como lo hacen

varias estructuras, esta manera de relacionarse es como sigue:

Definicion

Una transformacion T : (X ,M)→ (Y ,N) se dice Difusa Medible si, para

µ ∈ N,←T (µ) ≡ µ ◦ T ∈M, es decir

←T (N) ⊆M.

En otras palabras, T es difusa medible si el diagrama

X Y

I

-T

@@

@@Rµ◦T

?

µ

conmuta.


Teorema

Sea T : (X ,M)→ (Y ,N) una transformacion difusa medible, µ y µj con

j ∈ N conjuntos difusos en Y . Entonces:

1←T (c) = c

2 1−←T (µ) =

←T (1− µ)

3∨∞

i=1

(←T (µj)

)=←T (∨∞

i=1 (µj))

4∧∞

i=1

(←T (µj)

)=←T (∧∞

i=1 (µj))

5 Si {µj}∞j=1 es una sucesion creciente y lim µj = µ, entonces

lim←T (µj) =

←T (µ)

Ver Demostracion


Teorema

Sea T : (X ,M)→ (Y ,N) una transformacion difusa medible, µ y µj con

j ∈ N conjuntos difusos en Y . Entonces:

1←T (c) = c

2 1−←T (µ) =

←T (1− µ)

3∨∞

i=1

(←T (µj)

)=←T (∨∞

i=1 (µj))

4∧∞

i=1

(←T (µj)

)=←T (∧∞

i=1 (µj))

5 Si {µj}∞j=1 es una sucesion creciente y lim µj = µ, entonces

lim←T (µj) =

←T (µ)

Ver Demostracion


Generacion de σ-algebras difusas mediante la imagen reciproca de las

transformaciones difusas medibles,

Corolario

Sean (X ,M), (Y ,N) espacios difuso medibles, T : X → Y una

transformacion difusa medible, entonces

←T (N) =

{←T (µ) : µ ∈ N

}es una σ-algebra difusa sobre X .

Ver demostracion


Generacion de σ-algebras difusas mediante la imagen reciproca de las

transformaciones difusas medibles,

Corolario

Sean (X ,M), (Y ,N) espacios difuso medibles, T : X → Y una

transformacion difusa medible, entonces

←T (N) =

{←T (µ) : µ ∈ N

}es una σ-algebra difusa sobre X .

Ver demostracion


Definicion

Sea (X ,M) un espacio difuso medible, se dice que m : M→ I es una

medida de probabilidad difusa si:

M1. m (1) = 1, m (0) = 0;

M2. Para λ, µ ∈M,

m (λ ∨ µ) + m (λ ∧ µ) = m (λ) + m (µ) ;

M3. Para cada sucesion {µj}∞j=1 en M tal que lim λj = λ,

m (λ) = sup m (λj).

La tripleta (X ,M,m) recibe el nombre de espacio de probabilidad difusa

medible.


Definicion

Sea (X ,M,m) un espacio de probabilidad difusa medible, se dice que

φ : X → X es una transformacion que preserva medida difusa si para cada

λ ∈M se tiene que←φ (λ) = λ ◦ φ ∈M y m

(←φ (λ)

)= m (λ).

Es decir, si φ preserva medida difusa cuando

X X

I

-φ

@@

@@Rλ◦φ

?λ

A la cuarteta (X ,M,m, φ) se le denomina Sistema Dinamico Difuso


Teorema

Sean (X ,M,m) un espacio de probabilidad difusa medible y φ : X → X

una transformacion difusa medible; si n : M→ I esta definida por

n (µ) = m

(←φ (µ)

), µ ∈M,

entonces n es una medida de probabilidad difusa sobre M,

Ver Demostracion


Teorema

Sean (X ,M,m) un espacio de probabilidad difusa medible y φ : X → X

una transformacion difusa medible; si n : M→ I esta definida por

n (µ) = m

(←φ (µ)

), µ ∈M,

entonces n es una medida de probabilidad difusa sobre M,

Ver Demostracion


Definicion

Sean Φ1 = (X ,M,m, φ), Φ2 = (Y ,N, n, ϕ) Sistemas Dinamicos Difusos.

Si existe ψ∗ : N→M una funcion biyectiva tal que, para µ ∈ N, se

satisface que:

m (ψ∗ (µ)) = n (µ)

m

(←φ (ψ∗ (µ))

)= m

(ψ∗(←ψ (µ)

))Se dice que Φ1 es equivalente a Φ2.

Teorema

La equivalencia entre Sistemas Dinamicos Difusos es una relacion de

equivalencia.

Ver demostracion


Definicion

Sean Φ1 = (X ,M,m, φ), Φ2 = (Y ,N, n, ϕ) Sistemas Dinamicos Difusos.

Si existe ψ∗ : N→M una funcion biyectiva tal que, para µ ∈ N, se

satisface que:

m (ψ∗ (µ)) = n (µ)

m

(←φ (ψ∗ (µ))

)= m

(ψ∗(←ψ (µ)

))Se dice que Φ1 es equivalente a Φ2.

Teorema

La equivalencia entre Sistemas Dinamicos Difusos es una relacion de

equivalencia.

Ver demostracion


Parte IV

Bibliografıa


Jiri Adamek, Horst Herrlich, George Strecker , Abstract

and Concrete Categories, John Wiley & Sons, New York, 1990.

N. Bourbaki, General Topology, Addison-Wesley Publishing,

Massachusetts, 1966

U. Hohle, A. Sostak, Fixed-Basis Fuzzy Topologies In:

Mathematics of Fuzzy Sets: Logic, Topology and Measure Theory,

Kluwer Academic Publisher, Boston, 1999.

Peter T. Johnstone, Stone spaces, Cambridge University Press,

Cambridge, 1982.


W. Kotze, Uniform Spaces In: Mathematics of Fuzzy Sets: Logic,

Topology and Measure Theory, Kluwer Academic Publisher, Boston,

1999.

Liu Ying-Ming, Luo Mao-Kang, Fuzzy Topology, World

Scientific, Singapore ,1997.

S. E. Rodabaugh, Powerset Operator Foundations For Poslat Fuzzy

Set Theories and Topologies, In: Mathematics of Fuzzy Sets: Logic,

Topology and Measure Theory, Kluwer Academic Publisher, Boston,

1999.

Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk, Sheaves in Geometry and

Logic, Springer-Verlag, New York, 1992.


Alexander P. Sostak, Fuzzy functions and an extension of the

category L-Top of Chang-Goguen L-topological spaces, Proceedings

of the Ninth Prague Topological Symposium, Prague, Czech Republic,

2001.

Manuel Suarez M., Topologıa Conjuntista - Una Presentacion

Buleana-Adjunta, Universidad Pedagogica y Tecnologica de Colombia,

Tunja, 1992

Garcıa Marrero y Otros, Topologıa, Alhambra, Madrid, 1975

Adriana Quintero Palomino, Espectros Inverso y Directo en

Sistemas Dinamicos Difusos, Trabajo de Grado, Universidad Distrital

Francisco Jose de Caldas, Bogota, 2012

PRAMILA Srivastava, Mona Khare, Y.K. Srivastava. Fuzzy Dynamical

Systems. Inverse and Direct Spectra. Elsevier Science, Fuzzy Sets and

Systems. 2000.


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