12_Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico INSTRUCTOR.pdf

Sentido Numéricoy Pensamiento Algebraico

Curso de Actualización

Guía del Instructor

Alianza por la Calidad de la Educación

DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN CONTINUA DE MAESTROS EN SERVICIO

Sentido Numéricoy Pensamiento Algebraico

Curso de Actualización


Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico

La Guía del Instructor del Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico fue elaborado por la Sociedad Matemática Mexicana y la Universidad de Sonora en colaboración con la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio, de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública.

Coordinación

Sociedad Matemática MexicanaUniversidad de Sonora

Autores

M. en C. Martha Cristina Villalva GutiérrezM. en C. Ana Guadalupe del Castillo BojórquezM. en C. Maricela Armenta Castro

Este programa es de carácter público, no es patrocinado ni promovido por partido político alguno y sus recursos provienen de los impuestos que pagan los contribuyentes. Está prohibido el uso de este programa con fines políticos, electorales, de lucro y otros distintos a los establecidos. Quien haga uso indebido de los recursos de este programa deberá ser denunciado y sancionado de acuerdo con la ley aplicable y ante la autoridad competente.

D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2008Argentina 28, colonia Centro,06020, México, D.F.ISBN En trámite



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PresentaciónEste material se ha elaborado tomando como base el Folleto de Actividades para el Participante. A diferencia de aquél, en éste se incluyen los propósitos y descripción de cada una de las actividades. Además, se insertan a lo largo de dicho folleto, en recuadros como éste, una serie de notas informativas, recomendaciones, reflexiones y observaciones esperando sirvan de apoyo para organizar y conducir las acciones frente al grupo.

De esta manera, estimado instructor(a), usted tendrá a la vista el material que estarán trabajando los participantes conjuntamente con nuestros comentarios. Por supuesto, al mantener el mismo formato, podrá dar respuesta con antelación a cada uno de los cuestionamientos y preparar una adecuada planeación para la conducción de cada una de las sesiones.

Este curso, denominado Sentido Numérico y Pensamiento Algebraicotrata dos grandes rama de las matemáticas cuyos elementos fundamentales forman parte del currículo escolar básico, la Áritmética y el Álgebra. .

En los Programas de Estudio de la Educación Secundaria (p.27) se plantea que: “La idea central de este eje en el nivel secundario es que los alumnos desarrollen una forma de pensamiento que les permita construir modelos matemáticos para resolver situaciones problemáticas en diversos contextos, operar con dichos modelos e interpretar los resultados obtenidos para contestar las preguntas que se hayan planteado inicialmente.”

Por tanto, hemos considerado la necesidad de promover experiencias entre los profesores con aquello que podría perfilar al álgebra en este nivel como una forma de pensamiento que conlleva –en su caso óptimo- a una forma especial de actuar frente a una situación problemática mediante ciertas estrategias que se adoptan como recursos en la búsqueda de las respuestas que satisfagan sus requerimientos.

A este fin, hemos elegido y organizado un cierto número de actividades para los profesores participantes cuya pretensión es lograr un acercamiento inicial a aquello que podríamos llamar pensamiento algebraico. Dada la limitación del tiempo de que disponemos, resulta imposible abordar todos los temas propuestos en el programa de estudio de este nivel, por lo tanto, dejamos en sus manos, estimado instructor(a), las iniciativas convenientes para que, en forma paralela al desarrollo de las actividades aquí propuestas, su discusión y reflexión, inviten a los participantes a compartir cómo fomentar este tipo de habilidades en el salón de clase.

Igualmente, en el folleto de los participantes se incluyen, en los anexos, cuatro documentos como lecturas de apoyo. Las dos primeras son notas cortas que bien se pueden revisar en el transcurso de la primera actividad, pues pudieran ayudar a refrescar la terminología usada en esta propuesta de trabajo y en los actuales documentos del currículo de matemáticas para la escuela secundaria.

La tercera lectura es una traducción no publicada del primer capítulo del libro Fostering Algebraic Thinking de Mark Driscoll (1999) en el que se presenta una visión para cultivar hábitos propios del pensamiento algebraico. Nos ha parecido conveniente proporcionar esta lectura, pues además de la visión, se plantean estrategias específicas para fomentar habilidades de esta manera de pensar. Sugerimos que su lectura se deje como tarea independiente entre la primera y segunda sesión.

La cuarta lectura es también una traducción del artículo Concepciones del álgebra escolar y uso de variables de Zelman Usiskin (1988) en el que se describe con suficiente claridad la concepción que puede tenerse del álgebra de acuerdo al uso que se da a las literales: como números generalizados, como incógnitas y como variables. Se recomienda su lectura independiente después de la segunda sesión en la que justamente se hace una relación puntual de estos usos en las diversas actividades planteadas.


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Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico

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Propósitos del Curso

Propósito general del curso Introducir al profesorado del Nivel Medio Básico de Educación al tipo de herramientas de las que podría disponer para promover en sus estudiantes un tipo especial de pensamiento, el algebraico.

Propósitos específicosEncontrar significaciones algebraicas a procesos aritméticos Promover rasgos de pensamiento algebraico en propiedades de los números y sus operaciones Reconocer que existen diferentes concepciones del álgebra Encontrar, describir, explicar y predecir resultados usando patrones. Describir y representar a través de figuras, esquemas, gráficas, ecuaciones o palabras. Interpretar y bosquejar conclusiones a partir de gráficas, tablas y expresiones simbólicas. Reflexionar sobre diversas estrategias de resolución a planteamientos algebraicos que modelan situaciones de la vida cotidiana. Reconocer -o adaptar- en los materiales de trabajo disponibles para el trabajo en el aula, actividades apropiadas para lograr objetivos como los anteriores.



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Contenido del Curso Los contenidos del Curso Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico están distribuidos en cuatro sesiones:

Sesión 1 De la Aritmética al Álgebra (10 horas) o S1A1 El Borrego Erick o S1A2 De Fracciones a Decimales o S1A3 De Decimales a Fracciones o S1A4 Operaciones Decimales o S1A5 Otra Interpretación para Fracciones o S1A6 Un Personaje llamado Cuadratín

Sesión 2 Reconocimiento de Patrones (10 horas) o S2A1 Abstraer desde los Cálculos o S2A2 Doblando Papel o S2A3 La Torre de Números o S2A4 Genealogía de las Abejas o S2A5 Las Manzanas de Oro o S2A6 Nuestros Materiales de Trabajo

Sesión 3 Estrategias de Resolución de Ecuaciones (10 horas) o S3A1 Igualdad y Equivalencia o S3A2 Ir y Regresar o S3A3 Cuadráticas y “cambio de variable” o S3A4 ¿Cuál agencia contratar? o S3A5 ¿Cuál es la solución? o S3A6 Nuestros Materiales de Trabajo

Sesión 4 Un Acercamiento al Estudio de la Variación (10 horas) o S4A1 Aquiles y la Tortuga o S4A2 La fuga de agua o S4A3 La Inscripción o S4A4 Diferencias entre niveles de Agua o S4A5 Los Siete Carros, Análisis de un tipo de velocidad a partir de gráficas o S4A6 Pendiente o S4A7 Descripción gráfica de situaciones de la vida real o S4A8 Llenado de botellas o S4A9 Nuestros Materiales de Trabajo


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Criterios de Evaluación

Asistencia puntual y regular (no menos del 80%) a las sesiones del curso y participación activa en ellas;

Realización de tareas entre sesiones, lo que incluye tanto lecturas asignadas para su análisis como el completar actividades iniciadas en las sesiones, entre otras;

Exposición de al menos uno de los análisis llevados a cabo en sus materiales de trabajo.

Presentación de un escrito a manera de ensayo que incluya una reflexión sobre los puntos que se exponen en el último cuadro de comentarios de la Actividad 9 de la Sesión 4.

Metodología

El acercamiento a través de experiencias, al que hacemos mención en la presentación, tiene que ver con el aspecto metodológico que profesamos en esta postura, razón por la que las actividades previstas en el curso tienen como centro las acciones de los participantes guiadas por las situaciones planteadas en su folleto.

Se ha pensado en una organización del grupo en pequeños equipos en donde su función como, instructor(a) se enfoque a guiar las actividades de estudio que los participantes deberán realizar, así como intervenir eventualmente para darle forma a la socialización de los resultados que tal estudio por equipos logre producir. En este sentido, es importante señalar el énfasis que deberá ponerse a la reflexión sobre el papel primordial que en esas producciones tuvieron: “las formas de pensar” (cómo interpretaron, de qué se valieron, qué estrategias utilizaron, qué papel jugaron las representaciones, cómo validaron, etc.)

Se ha previsto que las actividades del folleto de los participantes sean atendidas en forma presencial en sesiones de trabajo con duración de 10 horas. Las lecturas de apoyo se proponen como tareas independientes para ser luego discutidas según convenga en las sesiones presenciales. Igualmente se ha dispuesto un sitio web en el que, usted instructor(a), contará con una serie de servicios académicos con el propósito de que le sirvan de apoyo para el desarrollo satisfactorio de sus acciones docentes.



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Presentación del Folleto de Actividades

Este folleto de actividades tiene como propósito concretar mediante retos,

problemas y situaciones sobre búsquedas de patrones, interpretaciones gráficas,

modelos simbólicos, esquemas analógicos, etc., aquellos elementos que en la

actualidad se consideran como manifestaciones del pensamiento algebraico –

aquel que incorpora como hábitos analíticos de la mente, entre otros, habilidades

para la solución de problemas, habilidades para abstraer, representar, procesar,

comunicar y habilidades para razonar. Estos elementos, al ser parte de una

manera de pensar, incorporan un dominio matemático mucho más amplio; no se

puede dejar de lado el sentido numérico que se ha cultivado a través del estudio

de la aritmética pues es éste precisamente el recurso donde habrán de apoyarse

las habilidades algebraicas que ahora se pretenden desarrollar.

El enfoque tradicional y rígido asume un único punto de vista sobre lo que es el

álgebra, la ve únicamente como una generalización de la aritmética en un lenguaje

que permite manipular símbolos según ciertas reglas prescritas y encontrar valores

desconocidos para literales como “x” o “y”. Este enfoque ha quedado atrás. Ahora

se nos pide tener en cuenta que las herramientas del pensamiento matemático son

principalmente hábitos de la mente, que incluyen las habilidades mencionadas en

el párrafo anterior. Igualmente se nos pide considerar que el sentido que tengan los

diversos “objetos aritméticos y algebraicos” (números, símbolos, reglas,

operaciones) para cada estudiante es fundamental, pues constituye el dominio de

contenidos sobre los que habrán de desarrollarse dichas habilidades del

pensamiento.

Tanto el sentido que puedan tener las operaciones aritméticas y algebraicas

cuando están vinculadas a procesos y contextos significativos, como los diversos

Tiempo estimado: 1 hora

Recomendación: Se sugiere que la siguiente presentación, disponible en el Folleto de Actividades para el Participante, forme parte del discurso inicial del instructor, para el cual se estima una duración máxima de 20 minutos (independientemente del tiempo que se invierta en la organización inicial del grupo).


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procesos de búsqueda, abstracción, representación, solución de los modelos

encontrados, validación de las soluciones y las argumentaciones sobre su

pertinencia, constituyen las componentes que, como profesores, habremos de

impulsar desde el salón de clases.

Por tanto, hemos considerado que a través de estas actividades se pondrán en

juego experiencias –a manera de un primer acercamiento- con aquello que podría

perfilar el estudio del álgebra, y su vinculación con procesos aritméticos, en el nivel

medio básico de acuerdo al enfoque curricular propuesto en la actualidad. Es decir,

las actividades que aquí se presentan, al llevarse a cabo entre colegas, en un

ambiente participativo y de colaboración, buscan propiciar reflexiones sobre los

procesos implicados en su desarrollo, tanto para identificar los contenidos

aritméticos, algebraicos y las habilidades del pensamiento que se ponen en juego,

como las estrategias utilizadas para su promoción.

Adicionalmente, y no de menos importancia, se contempla la necesidad de discutir

en el grupo las propuestas de los materiales de trabajo para el aula y valorar si

incorporan las actuales visiones didácticas de las matemáticas que buscan, como

lo hemos mencionado, habilitar a los estudiantes con herramientas de pensamiento

e ideas propias útiles a largo plazo y en diversos contextos, más que armarlos con

definiciones y algoritmos cuya utilidad y duración se restringe al salón de clase y

hasta que pasan los exámenes.

Las actividades se abordan a través de observaciones, diagramas, utilización de

objetos manipulables, y eventualmente, uso de software y calculadora.



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Sesión 1

Sesión 1 De la Aritmética al Álgebra

PresentaciónPara abrir las actividades del Curso de Aritmética y Álgebra y, en particular, esta primera Sesión, hemos seleccionado el Problema del Borrego Erick como la Actividad 1. Pensamos que los procesos involucrados en su solución permiten inicialmente una reflexión conjunta sobre el sentido de las operaciones aritméticas requeridas. Este sentido numérico cobra vida a través de la simulación de la situación mediante objetos manipulables. Posteriormente, una vez que la respuesta numérica es satisfactoria, se propone un proceso de análisis de la situación: este proceso, que consiste en organizar adecuadamente la información de casos particulares para lograr construir reglas que den respuestas a situaciones generales y luego a extensiones de las mismas, representa justamente “un modo de pensar”, particularmente el que es catalogado por varios expertos como característico del “pensamiento algebraico” y, por supuesto, involucra el uso o desarrollo de habilidades propias de él.

Las siguientes cinco actividades giran alrededor de las fracciones y su representación decimal.

Se seleccionó este tema aritmético pues dada la diversidad de significaciones que tienen las fracciones, proporciona un amplio campo para iniciar las reflexiones acerca de lo que significan a su vez las representaciones numéricas, sus operaciones y las relaciones que existen entre este “sentido numérico” y un tipo de pensamiento matemático –el algebraico- que se explora a través de la identificación de patrones y su representación, así como la expresión de propiedades de las operaciones que permiten validar los algoritmos propuestos en este sistema numérico –los racionales.

Es claro que en un periodo de tiempo tan limitado, si bien no es posible realizar un estudio amplio de las fracciones, sus representaciones, sus relaciones, sus validaciones, sus alcances, el dominio de las técnicas algorítmicas, etc., se tiene a favor el hecho de que esta exploración tiene fines didácticos. Así, se busca que los participantes retomen o verifiquen su propio conocimiento sobre estos asuntos con la finalidad de que el proceso de estudio llevado a cabo para ello, les permita “refrescar” sus propias experiencias de aprendizaje, resaltando aquellos momentos que tienen que ver con la búsqueda de estrategias para enfrentar las tareas propuestas, el tipo de argumentos utilizados para sostenerlas o rechazarlas, las formas de verificación realizadas, etc., para dar pie a los momentos de análisis sobre el tipo de materiales didácticos con los que cuentan (libros de texto, manipulables, software, materiales “en línea”, etc.) en los que se discutirá su pertinencia, alcance y eficacia.


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S1 Actividad 1 El borrego Erick

1. El borrego Erick está al final de una fila de borregos esperando para ser trasquilado. Hay 50 borregos delante de él. Pero como es un borrego impaciente, cada vez que se toma un borrego del frente para trasquilarlo, Erick se escabulle de la línea dos lugares hacia delante, salvo cuando queda un sólo borrego delante de él. En ese caso él se escabulle sólo un lugar hacia delante y queda al frente de la fila. ¿Cuántos borregos serán trasquilados antes que Erick? Intente dar una respuesta mentalmente.

Tiempo estimado: 2 horas 30 minutos

Materiales: Granos de frijol o garbanzo, o pequeños objetos manipulables (más de 50 unidades).

Recomendación: Una vez que el participante responda, de manera intuitiva, el cuestionamiento anterior, se sugiere realizar una simulación, utilizando algún material manipulable que represente a los borregos en la fila (bolitas de papel, garbanzos, frijoles, etc.), distinguiendo de alguna forma, al borrego Erick. Dicha simulación puede servir para verificar la validez de lasrespuestas dadas, así como para asegurar que se ha comprendido el planteamiento del problema.

Propósito y descripción: Como se dijo antes, se ha seleccionado este problema con la finalidad de que los participantes tengan oportunidad de dar respuesta a una situación relativamente sencilla y luego “extender”, mediante un análisis guiado, esa respuesta particular a una general. La construcción de reglas que permiten dar respuesta a las diversas situaciones generales que plantea el problema, tienen la particularidad de que no siempre es posible expresarlas como fórmulas, sino que involucran descripciones verbales. De esta manera, los participantes tendrán oportunidad de experimentar que no siempre un proceso y resultado algebraico implica necesariamente simbología constreñida al uso de literales.

Observación: Es conveniente hacer énfasis en que la descripción, la explicación y el uso de patrones para hacer predicciones están entre las habilidades más importantes en matemáticas. Estas habilidades son las que permiten no sólo poner orden, dar significado y lograr entendimiento sobre una situación que al principio tenía la apariencia de ser solamente una colección de hechos particulares, sino también darle sentido a su posible generalización y extensión.



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a. Una versión más sencilla del problema de Erick, es considerar una fila de borregos más corta.

Si hay tres borregos antes que Erick,

sólo un borrego es trasquilado antes que él.

Si hay seis borregos antes que Erick,

sólo dos borregos son trasquilados antes que él.

b. Utilice monedas, frijoles, o algún otro material manipulable para simular la situación y complete la siguiente tabla.

Número de borregos Número de borregos trasquilados antes que

Lo más importante ahora, será ver si la técnica de simulación, que pudiera dar respuesta satisfactoria a la pregunta original, resulta potente como para dar respuesta inmediata a una pregunta del estilo ¿y si fueran 987 borregos los que están antes de Erick? Independientemente de las respuestas, la intención de la pregunta será resaltar la necesidad de analizar más detenidamente la situación para llegar a tener a la mano un recurso que permita dar respuesta directa no sólo a una situación particular, sino a una generalizada que contemple cualquier número de borregos formados antes que Erick. Para ello se proponen los incisos del “a” al “e”.


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delante de Erick Erick

4

5

6

7

8

9

10

11

c. Utilice la tabla anterior para predecir cuántos borregos serán trasquilados antes de Erick si hay 50 en línea delante de él.

d. Describa las estrategias que utilizó para dar respuesta al punto anterior.

e. ¿Cómo podría predecir la respuesta para cualquier número de borregos en la línea?



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f. ¿Su método para predecir es "algebraico"? ¿Por qué sí o por qué no?

g. Ahora complete la siguiente tabla. ¿Se puede completar de una sola manera? Explique.

Número de borregos delante de Erick

Número de borregos trasquilados antes que

Erick

37

296

1,000

7,695

13

21

h. Erick se vuelve más y más impaciente. Explore cómo cambia la regla si Erick se pasa tres borregos a la vez. Recuerde que Erick llegará al frente de la fila, aunque en el último brinco, pase menos de tres borregos.

Ahora se pretende que los profesores verifiquen la potencia de su regla, no solo para hacer cálculos directos, sino también para analizar procesos inversos. Así mismo, se da lugar a reflexiones sobre la naturaleza de las soluciones (en el proceso inverso se tiene más de una respuesta correcta).

En los incisos –del “h” al “m”– se exploran las formas en que inciden, sobre la regla antes encontrada, otras variantes en la situación original. Es importante enfatizar que una misma situación puede enriquecerse, explorando diferentes variantes de la misma, y promover generalizaciones sobre generalizaciones. No se trata de “complicar” la situación para hacerla más “difícil”, sino para dar oportunidad de poner en juego las habilidades que permiten modelar mediante los cambios adecuados de la regla, las variantes de la situación.

Con la siguiente pregunta se da pie a una discusión fundamental: Se trata de que los participantes reflexionen sobre la regla encontrada para dar respuesta a esta interrogante general, que aunque no esté expresada mediante una fórmula explicita con notación simbólica, su carácter general, es una manifestación de habilidades propias del pensamiento algebraico.


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i. ¿Y qué pasa si se pasa 4 borregos a la vez?

j. ¿Y 10 borregos a la vez?

k. Si conoce el número de borregos delante de Erick y cuántos pasa cada vez ¿puede predecir el número de borregos que serán trasquilados antes de Erick? Describa cómo lo hace.

l. ¿Qué sucede si Erick pasa primero dos borregos y luego el trasquilador toma un borrego del frente de la línea? ¿Esto cambia su regla? ¿Si es así, cómo?



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m. El granjero emplea otro trasquilador de modo que los dos borregos del frente de la línea son trasquilados al mismo tiempo. Explore lo que hace esto a su regla.

n. Hay varias maneras de representar una situación problémica: una regla escrita, en palabras o símbolos; una gráfica, una ecuación, o una tabla. ¿Qué tipo de representaciones utilizó para el problema de Erick? ¿Por qué eligió esas representaciones?

2. El Problema de la Oveja Erick es uno de los que se reporta internacionalmente en varios artículos que discuten precisamente el tema de los componentes de pensamiento algebraico y su desarrollo en el ámbito escolar. Comente con sus compañeros de equipo cuáles de esas componentes identifican en todo el proceso de solución que han llevado a cabo.

Ahora, se propone que se exprese en el grupo lo que cada quién considera propiamente una habilidad del pensamiento algebraico. Debemos señalar que no se trata en este momento de determinar formalmente en qué consisten esas habilidades y cuáles son, puesto que aún no se ha proporcionado material de lectura o información al respecto. Sin embargo es de esperarse que de las referencias dadas en los textos, en los programas y en los materiales de apoyo con los que los participantes cuentan, se tenga al momento un significado personal tanto para el término “habilidad” como para “pensamiento algebraico”. Justamente, a lo largo del curso, se pretende que esos significados se vayan refinando.

En el siguiente inciso, se da pie a otra discusión fundamental: Reflexionar sobre el tipo de representaciones utilizadas en todo el proceso llevado a cabo.


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S1 Actividad 2

De Fracciones a Decimales

El asesor mostrará al grupo una serie de fracciones sencillas. Usted solamente tiene que fijarse en ellas y predecir si la representación decimal que le corresponde a cada una es finita o no.

1. Una fracción unitaria es una fracción cuyo numerador es 1. En la siguiente tabla se enlistan las representaciones decimales para algunas fracciones unitarias; llene las casillas que faltan.

Recomendación: Muestre fracciones como 101

71

51

31

21 ,,,, . Explore si en el grupo se tiene una manera de “justificar”

la predicción para cualquier caso, o si se debe a que estas fracciones “ya se conocen”. No se trata de que usted proporcione la regla y su justificación, sino que provoque el interés para seguir las indicaciones de las cuestiones que siguen en esta actividad con el fin de que se genere, a través de la observación de lo que sucede, tanto algunas reglas como su correspondiente justificación.

Tiempo estimado: 2 horas

Propósitos y Descripción

En esta actividad 2 y en la siguiente -actividad 3-, se aprovecha este tema de fracciones y su relación con los números decimales para descubrir y establecer patrones. Los retos se fincan esencialmente en el descubrimiento de un patrón, su expresión y su verificación.

Particularmente se recurre a la caracterización de fracciones cuyo denominador es –o no es– una potencia de 10 a través de las factorizaciones primas de sus denominadores, con el fin de identificar las relaciones que existen entre éstas y las expansiones finitas e infinitas periódicas de los números decimales que representan. Se resaltan solamente las significaciones de las fracciones en estos procesos como partes de un todo y como división.

Se espera que cada participante –trabajando individualmente o en equipo–, al hacer las operaciones que le parezcan convenientes, las organice en las tablas que se proporcionan. Esta sistematización de operaciones y resultados resulta ser un apoyo excepcional para provocar la percepción y reflexión necesarias que conduzcan a descubrir el patrón aritmético involucrado. Cuando esto se logra, las operaciones de cálculo se simplifican y se hace posible expresar, mediante simbología más compacta, el patrón descubierto. En cada caso, es indispensable solicitar al grupo las justificaciones o comprobaciones de la extensión y generalidad de las expresiones obtenidas.

Materiales: Calculadora científica.

Observación: En las tablas propuestas en los puntos del 1 al 3, se da oportunidad de explorar fracciones unitarias cuyo denominador sólo contiene potencias específicas de 2. El análisis numérico finalmente concluye en una expresión para un término que contiene una enésima potencia de 2. El interés localizado estará en la respuesta que den al cuestionamiento del punto 4 puesto que se trata de expresar la expansión decimal de un número generalizado.



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Fracción DenominadorFactorización

Prima

Número de lugares

decimales

Representación

Decimal

1/2 2 21 1 0.5

1/4 4 22 2 0.25

1/8 8 23 3 0.125

1/16

2. ¿Encuentra usted alguna relación entre estas representaciones decimales y las potencias de cinco?

Comente con sus compañeros.

3. Complete la tabla que sigue (fracciones unitarias cuyos denominadores son potencias de dos) para verificar o rechazar su conjetura:


Prima

Número de lugares

decimales

Representación

Decimal

1/2 2 21 1 0.5

1/4 4 22 2 0.25

1/8 8 23 3 0.125

Recomendación: Permita que algunos participantes expresen en voz alta esta relación. Posiblemente todos la vean y sean capaces de expresarla con suficiente claridad, tomando en cuenta el papel de los ceros utilizados para “completar” el número de lugares decimales, que se presentan en los dos últimos renglones de la tabla. Es importante asegurarse que puedan expresar la relación verbalmente, pues ello favorecerá que más adelante logren expresarla en forma escrita para el caso general.


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1/16 16

1/32 32

1/64 64

1/1024 1024

1/2n 2n

4. Explique cómo encontró la expresión decimal para 1/2n

5. Ahora complete la tabla que muestra fracciones unitarias cuyos denominadores son potencias de cinco y observe igualmente el patrón que siguen sus representaciones decimales:

Recomendación: Note que la expresión final en el último renglón puede escribirse de diferentes maneras mezclando notación simbólica con una descripción, como por ejemplo: “0. ••••5n (con suficientes ceros antes de la potencia para completar n lugares decimales significativos)” . Permítales que discutan entre ellos cómo la expresaron y cuáles se pueden aceptar como correctas independientemente de lo “compacto” de cada expresión. Luego podrán seleccionar entre las expresiones correctas, aquella que les resulte de mayor claridad.



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6. Registre cómo encontrar la representación decimal de 1/5n

7. Ahora que ya tiene los registros en las tablas anteriores, complete la siguiente tabla para ver qué sucede cuando se combinan las potencias de 2 y de 5:


Prima

Número de lugares

decimales

Representación

Decimal

1/5 5 51 1

1/25 25 52 2

1/125 125 53 3

1/625 625

1/3125 3,125

1/15625 15,625

1/5n 5n


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8. Comente sus resultados y registre sus observaciones:


Prima

Número de lugares

decimales

Representación

Decimal

1/10 10 21 51

1/20 20 22 51

1/50 50 21 52

1/200 200

1/500 500

1/4000 4000

mn 521

2n 5m 2n 5m

Recomendación: Note que la expresión simbólica pedida para el último renglón puede resultar igualmente diversa en notación. Permítales expresarla libremente y compartirla. Luego puede usted sugerir formas más compactas para esas expresiones, por ejemplo, al “mayor entre n ó m” como Máx(m,n) . Igualmente “Si m mayor que n” como “Si m>n”, etc. De tal modo que si después de tomar acuerdo sobre lo que se debe decir, todos puedan darle ese sentido a una expresión como:

(10-m)(2m-n), para m>n

(10-n)(5n-m), para n>m

Observación: Si en la secuencia anterior la discusión se centró en los resultados y la notación para el caso general, ahora se intenta que compartan entre ellos, primero en pequeños equipos y luego en el grupo, una reflexión sobre el proceso llevado a cabo, es decir, poner atención a la regularidad advertida y cómo a partir de casos particulares se puede conjeturar la forma general obtenida

Todas las fracciones que se han revisado hasta ahora se convierten en decimales finitos; esto es, sus representaciones decimales equivalentes tienen un número finito de lugares decimales. Otra manera de describir esto es que si usamos la división para convertir la fracción a decimal, llegará el momento en el que el residuo será cero



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9. ¿Cree usted que las fracciones cuyos denominadores tienen como factores únicamente potencias de 2 y/o 5 se pueden representar siempre mediante expansiones decimales finitas? ¿por qué sí o por qué no? Comente en el grupo sus respuestas.

Vamos ahora a investigar un poco sobre lo que pasa con las fracciones unitarias cuyos denominadores tienen otros factores primos además de potencias de 2 ó 5.

10. Llene la siguiente tabla para fracciones unitarias con denominadores primosmenores que 20 (¿por qué solamente los primos?). Asegúrese de que en su calculadora aparecen todos los dígitos que corresponden a las expansiones finitas, o bien, el período completo de aquellas que no lo son.

Recomendación: Si se dispone de una computadora y equipo de proyección, es conveniente usar la calculadora incluida en los accesorios de Windows. La calculadora, en su modo científico, puede desplegar un gran número de cifras decimales. Igualmente, se puede recomendar a los participantes, el uso del software gratuito Wincalc para que lo exploren por su cuenta (disponible en http://math.exeter.edu/rparris/).

Observación: Éste es el momento para predecir cuándo una fracción tiene en su representación decimal, una expansión finita y discutir su justificación. Deberá tomarse en cuenta que dicha predicción es válida cuando la fracción está expresada en forma reducida, es decir, cuando el numerador y el denominador son primos relativos. Es conveniente que la restricción para la validez de la regla se genere en el grupo, mostrando una fracción no reducida cuyo denominador contenga factores diferentes de 2 ó 5 (ejemplo 15

9 ).

Recomendación: Explore, si fuera necesario, qué tan claro queda para todos lo que significa la reducción de fracciones mediante la factorización prima, y sobre todo, asegúrese de la claridad con la que logran expresar la justificación buscada, es decir, dé oportunidad a que expresen oralmente una y otra vez lo que han encontrado.


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Revise los siguientes tres puntos para “curiosear” un poco más por su cuenta:

11. Note que el número de dígitos del período de 1/7 es seis, o sea, uno menos que el denominador. ¿Por qué el período de esta fracción no puede tener más de seis dígitos?

12. ¿Las expansiones para los denominadores 17 y 19 siguen el mismo patrón que el período del denominador 7?

13. Describa el comportamiento de los períodos correspondientes a las fracciones 1/11 y 1/13

Fracción DenominadorNúmero de Dígitos del

Período

Representación

Decimal

1/2 2 finito

1/3 3 1

1/5 5 finito

1/7 7 6

1/11 11

1/13 13

1/17 17

1/19 19



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....Y si tiene más curiosidad por verificar lo que hasta ahora ha observado, fíjese en la siguiente tabla, exprese –o discuta con alguien tan curioso como usted- lo que nota en las expansiones, y después llene los espacios vacíos:

Finalmente...

¿Puede predecir –sin hacer el cálculo- cuántos dígitos tendrá el período de la representación decimal correspondiente a 1/47?

S1 Actividad 3

Fracción Denominador Número de Dígitos del

Período

Representación

Decimal

1/23 23 0.0434782608695652173913...

1/29 29 0.0344827586206896551724137931...

1/31 31 0.032258064516129...

1/37 37

1/41 41

1/43 43 0.023255813953488372093...

Recomendación: Estime el tiempo que le queda para el desarrollo de las otras actividades. Si fuera necesario, la revisión de las siguientes cuestiones pudiera dejarse como tarea independiente para quien le interese el tema.


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Secundaria


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De Decimales a Fracciones

¿Por qué es deseable convertir fracciones a decimales y decimales a fracciones? Se podría responder que algunas veces los cálculos mentales son más fáciles con unos que con otros. Por ejemplo, parece ser más fácil multiplicar por ¾ que por 0.75 . Por otra parte es más fácil dividir entre 2 que multiplicar por 0.5. ¿Usted qué piensa?

En la actividad anterior, usted estableció que para cada número racional es posible determinar su representación decimal, y además es también posible predecir si ésta será finita o infinita-periódica.

1. Ahora estamos en la situación inversa: Si usted tiene un decimal a la vista ¿siempre será posible expresarlo como fracción? Argumente su respuesta y comenten en grupo.

Revise la definición de número racional1

2. Exprese en forma de fracción los siguientes números decimales: a. 0.125 __________ b. 0.5436 _________ c. 0.001__________ d. 2.08 ___________

Entonces, si la expansión decimal es finita, ¿cómo se expresa en forma de fracción?

1 Definición: Número Racional es aquel que puede ser expresado como fracción de números enteros y cuyo denominador es diferente de cero.

Recomendación: Puede solicitarles a los profesores más ejemplos sobre cálculo mental, en el que una u otra representación sea la más adecuada.

Tiempo estimado: 1 hora 30 minutos



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Secundaria

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Y si la representación decimal tiene una expansión periódica infinita... ¿Cree usted que tendrá una representación correspondiente en forma de fracción? _________ ¿por qué?

3. ¿Puede usted expresar en forma de fracción los siguientes números decimales?

a. 0.125125... _____________

b. 0.54365436... _____________

c. 0.2363636... ______________

Trate de expresar el procedimiento a seguir – y el argumento que lo justifica– en cada uno de los casos anteriores.

Decimales

Recomendación: Dé oportunidad de argumentar oralmente a quienes no haya notado participativos.

Observación: Es de esperarse que no todos conozcan el procedimiento adecuado para la conversión pedida. Puede usted pedir la participación de quien lo sepa – o hacerlo usted mismo – pero asegurándose de preguntar a todo el grupo, en cada paso, qué es lo que lo justifica. Es importante también enfatizar que es parte de las operaciones que se incluyen como objeto de aprendizaje en el programa para secundaria.

Z N

Q’QR

Estos NO pueden ser expresados como fracciones de enteros: son IRRACIONALES

R

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Y si la representación decimal tiene una expansión periódica infinita... ¿Cree usted que tendrá una representación correspondiente en forma de fracción? _________ ¿por qué?

3. ¿Puede usted expresar en forma de fracción los siguientes números decimales?

a. 0.125125... _____________

b. 0.54365436... _____________

c. 0.2363636... ______________

Trate de expresar el procedimiento a seguir – y el argumento que lo justifica– en cada uno de los casos anteriores.

Decimales

Recomendación: Dé oportunidad de argumentar oralmente a quienes no haya notado participativos.

Observación: Es de esperarse que no todos conozcan el procedimiento adecuado para la conversión pedida. Puede usted pedir la participación de quien lo sepa – o hacerlo usted mismo – pero asegurándose de preguntar a todo el grupo, en cada paso, qué es lo que lo justifica. Es importante también enfatizar que es parte de las operaciones que se incluyen como objeto de aprendizaje en el programa para secundaria.

Z N

Q’QR

Estos NO pueden ser expresados como fracciones de enteros: son IRRACIONALES

R


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Actividad 4 Significado de los procesos de

multiplicación y división con decimales

Tiempo estimado: 15 minutos la actividad más otros 10 o 15

minutos la reflexión sugerida.

Propósitos y Descripción La finalidad de esta actividad se expresa en el primer párrafo. Se cuestiona por qué se “recorre” el punto decimal tanto en la multiplicación como en la división con números decimales. La justificación para ello hace uso de lo revisado en las actividades anteriores y se expone permitiendo cierta interacción guiada del participante.

Recomendación: Permita que trabajen individualmente y luego comenten en equipo sus resultados. Posiblemente sea conveniente pedir a algún equipo escribir sus desarrollos en el pizarrón

Observación: Se puede considerar que es un momento adecuado para traer a discusión la relación que encuentran entre los números decimales con expansión finita o infinita periódica, y los racionales.

Por otra parte, se puede generar la discusión sobre la existencia de números con expansión decimal infinita no periódica, con preguntas como: ¿Conocen números cuya expansión decimal sea de un tipo distinto a los que se han revisado hasta ahora? ¿Es posible expresar éstos como fracciones de números enteros? ¿Saben cómo se llaman estos números? Pudiera ser útil sintetizar finalmente las ideas valiéndose de diagramas como los siguientes:

Expansión Infinita Expansión Finita

Periódica No Periódica

DECIMALES



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Lo que hemos visto en las primeras actividades de esta sesión, nos permiten dar significado a los decimales con expansión finita como fracciones cuyo denominador es alguna potencia de 10. Con esto en mente podemos dar sentido a algunas cuestiones que surgen cuando multiplicamos o dividimos este tipo de decimales, por ejemplo:

¿Por qué al multiplicar decimales, para establecer el lugar del punto decimal en el producto lo que hacemos es sumar el número de dígitos que tiene la parte no entera de ambos factores?

Para multiplicar 03.02.0 lo que comúnmente hacemos –más o menos–, es efectuar la operación como 632 y luego vemos que como hay 1 dígito no entero en el primer factor y 2 en el segundo, decimos que debe haber 1+2 =3 lugares decimales en el resultado (la expansión no entera debe ser de 3 dígitos). O sea, el resultado es 0.006

En el desarrollo que se presenta enseguida, llene los espacios que hacen falta al efectuar la misma operación mediante las fracciones correspondientes (con denominadores expresados como potencias de 10) para que justifique el procedimiento común antes descrito:

.........0106103102....3

....203.02.0 ...............

¿Por qué recorremos los puntos decimales cuando dividimos? Al dividir 05.05.2 lo que hacemos es recorrer el punto decimal dos lugares a la derecha, que es el número de dígitos no enteros que tiene el divisor. Visualizar la razón para esto requiere que recurramos al sentido de “división” que le damos a las fracciones. Es decir, podemos escribir esta división como la fracción 05.0

5.2 .

Al hacerlo, nos damos cuenta que para encontrar ahora algún sentido a esta expresión, requerimos que al menos el denominador sea entero... Llene los espacios en el desarrollo siguiente:

5005.05.2

05.05.2

Reflexión sugerida: Para cada una de las actividades 2, 3 y 4 en las que claramente se están trabajando propiedades de los números racionales ¿pueden estar presentes elementos propios del pensamiento algebraico? Si es así señale en dónde y argumente por qué.

Recomendación: Permítales revisar sus procesos anteriores y discutir en equipo lo que piensan. Luego dé oportunidad para que expresen en el grupo sus conclusiones.


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Secundaria


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S1 Actividad 5

Otra Interpretación para las Fracciones

De acuerdo a lo que hemos visto en las actividades anteriores, un significado que le hemos dado a las fracciones tiene que ver con situaciones en las que el numerador indica el número de partes que se tomará de aquéllas en las que el que se han dividido el o los enteros, lo cual está a su vez indicado por el denominador; por ejemplo, 4

3 lo interpretamos como tres partes de un entero que

está partido en cuartos, o bien si tenemos 45 es que estamos tomando 5 partes

de enteros divididos en cuartos. También hemos pensado en ellas como la indicación de dividir el numerador entre el denominador para determinar la representación decimal correspondiente.

1. ¿Cree usted que una expresión como las anteriores, por ejemplo, 45

pueda representar alguna otra relación entre los números enteros 5 y 4?

2. ¿Cómo decide usted en cuál de las carteras de huevos que se muestran hay más huevos de cáscara obscura?

Recomendación: Se sugiere que deje a los participantes contestar libremente y que expresen sus respuestas sin que usted dictamine sobre ellas. Seguramente la mayoría sí tiene a la mano la significación como razón, sin embargo, invítelos a contestar en equipo los cuestionamientos de esta actividad para ratificar – o, en dado caso, refutar – sus concepciones iniciales.

Propósito y Descripción: Con esta actividad se pretende traer a discusión el significado de fracción como razón. Se aborda haciendo uso del contexto de comparación de cantidades, en especial de las comparaciones absolutas y relativas. Se presenta luego una situación en la que se experimenta cómo incide esta significación de razón en el algoritmo para la operación “suma”.


En los siguientes puntos, 2, 3 y 4, se presentan situaciones en que las respuestas, aparentemente contradictorias, pueden ser válidas según se le dé significado a “más”: comparación absoluta o comparación relativa.



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3. ¿Puede determinar cuál de las rampas tiene más inclinación (más elevación)? ¿de qué manera?

4. Un bebé y un adulto aumentan dos kilos de peso en un mes ¿En qué sentido razonamos cuando decimos que ambos aumentaron lo mismo y qué tipo de razonamiento es el que nos indica que el bebé tuvo másaumento de peso?

5. Describa el tipo de situaciones en las que la palabra “más” tiene un significado absoluto frente a situaciones en las que su significado es relativo:

A

710

B


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6. ¿Qué papel juegan las expresiones escritas como fracciones en estos casos de comparación entre cantidades?

7. ¿Piensa usted que las reglas para las operaciones elementales entre fracciones que hemos revisado hasta ahora sigan funcionando para el significado de “razón”? Explore un poco con la siguiente situación:

Isabel tiene tres pelotas rojas y cuatro blancas, por lo que la razón de rojas a blancas es 4

3 (tres a cuatro). Si Alex le da a Isabel otra pelota roja y dos

blancas (una razón de 21 ) ¿cuál es la nueva razón de pelotas rojas a

blancas que tiene Isabel?

Comente con sus compañeros lo que observa como resultado.

Una confirmación de que las sumas entre razones se efectúan de numerador a numerador y denominador a denominador la escuchamos seguido en el ambiente beisbolero:

Si en un juego un bateador “pega” dos hits en tres turnos al bat y en un segundo juego batea un hit en cuatro turnos, en total lleva tres hits en siete turnos.

Exprese mediante razones esta situación _____________________



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(Extra: ¿Cuál es el porcentaje de bateo de este jugador?)

S1 Actividad 6

Un personaje llamado “Cuadratín”

Las Escalas constituyen otro contexto en el que podemos explorar los problemas

asociados con la comparación relativa. Las escalas son usadas en el diseño

gráfico, en la cartografía, en la construcción y en muchas áreas más del

conocimiento. De hecho, si en alguna ocasión se ha visto en la necesidad de usar

el doble de porciones previstas en una receta de cocina o ha construido el modelo

de un aeroplano, entonces ha utilizado las escalas.

En esta actividad se comparan los efectos resultantes de una comparación relativa

y absoluta sobre una figura o fotografía. Piense acerca de lo que podría ocurrir a

un dibujo si cada línea fuera disminuida a la mitad de su longitud. ¿Aun sería

reconocible la misma apariencia de su forma? ¿Qué podría pasar si disminuye

cada línea en una longitud fija, digamos media unidad más corta? Se trata pues de

Materiales: Papel milimétrico (al menos dos hojas por participante)


Propósito y Descripción: El propósito de esta Actividad es hacer uso de la razón en el contexto de las escalas geométricas, para luego determinarla como característica necesaria de la relación proporcional entre magnitudes. Se exploran las representaciones analíticas, tabulares y gráficas de este tipo de relación proporcional frente a la de tipo absoluto.


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Secundaria


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que usted explore los efectos que provocan estos cambios sobre la cara de un

personaje llamado “Cuadratín”.

1. Reproduzca la imagen de Cuadratín sobre una hoja de papel milimétrico

tomando como unidad un centímetro, a continuación dibuje la cara de

Cuadratín de tal manera que cada línea en su segundo dibujo tenga la mitad

de la longitud de la correspondiente línea en su dibujo original. En un tercer

dibujo, reproduzca la cara de Cuadratín de manera que cada línea en su

dibujo tenga una longitud disminuida en una unidad respecto a la

correspondiente línea en el dibujo original.

2. Compare la cara de Cuadratín antes y después de haber multiplicado cada

longitud de la cara original por un medio. ¿Podría usted afirmar que es “el

mismo”? es decir, ¿Usted reconocería a Cuadratín en la figura que ha hecho?

¿qué es lo que hace que podamos tener tal re-conocimiento? Argumente.



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Secundaria

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3. Compare “antes” y “después” de haber disminuido media unidad a cada

longitud de la cara de Cuadratín. ¿Podría usted afirmar que es “el mismo”? es

decir, ¿Usted reconocería a Cuadratín en la figura que ha hecho? ¿Qué es lo

que ha ocurrido? Argumente.

4. En el contexto de las situaciones descritas en los Puntos 2 y 3, ¿cuál es una

comparación relativa y cuál es una comparación absoluta? Argumente.

5. ¿Cuadratín resulta reconocible después de una comparación absoluta?

6. ¿Cuadratín resulta reconocible después de una comparación relativa?

7. Explique sus respuestas.

Observación: Los puntos que siguen, al hacer uso de diferentes representaciones analítica, gráfica y tabular , tanto de la relación absoluta como de la relativa, permiten distinguir lo que en cada una de esas representaciones determina sus características fundamentales. Así, en este análisis propuesto al participante, se hace uso de una potente “herramienta del pensamiento matemático” que en la actualidad se sugiere esté siempre presente en el estudio de los objetos matemáticos: las múltiples representaciones.

Observación: Se espera que se apoyen en lo que respondieron anteriormente, en la Actividad 5, punto 5.


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Análisis de resultados

Tratemos de generalizar nuestros resultados acerca de las dos formas de crear a

Cuadratín.

8. Sea P una regla de correspondencia que toma una entrada 1x (la longitud de

un segmento de línea) y como salida 1y la longitud del segmento como se

describe en el Punto 1. Escriba una fórmula para P

P : __________________________________

9. Sea A una regla de correspondencia como la anterior, pero cada salida se

determina como se describe en el Punto 2. Escriba una fórmula para A

A : ________________________

10. Grafique las relaciones que creó en los en los Puntos 8 y 9. Describa cualquier

similitud o diferencia entre las gráficas.



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Gráfica de P Gráfica de A

Descripción de similitudes y diferencias:

11. Vea las gráficas creadas en el Punto 10. ¿Cuáles son las características de

una gráfica que representa una relación proporcional?

12. Si usted tabula los valores de entrada y salida en cada tipo de relación, ¿qué

característica determina la tabulación que corresponde a la relación

proporcional?

Relación Proporcional Relación Aditiva

Entrada Salida Entrada Salida

00


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13. A continuación aparece una tabla en la que se describe cómo disminuye mi

“saldo” cuando pido Kilos de azúcar en la "tienda de raya":

Relación

Kilos Saldo

1 -8 2 -16 3 -24 4 -32

En ella se observa que, mientras los "Kilos" se incrementan, mi "saldo" disminuye (se incrementa en forma negativa), la cuestión es: ¿Se trata de una variación directamente proporcional?

Recomendación: Finalmente, si el tiempo lo permite, puede llevarse a cabo una actividad similar a la Actividad 6 de la Sesión 2.

Observación: Este cuestionamiento se ha introducido con la finalidad de que haya material para discutir el caso de una constante de proporcionalidad negativa. Es claro que todos los ejemplos y ejercicios referidos en los libros de texto aparecen solamente los casos en que la razón es positiva, y para ello se pueden encontrar argumentos tanto históricos como curriculares. Sin embargo, pensamos que didácticamente, en este nivel de secundaria, hay que ir más allá de la significación verbal “cuando una cantidad crece, la otra también”, puesto que más adelante, entre las dificultades que esta concepción ocasiona, se encuentra casi de inmediato que al presentar de manera similar a la relación de proporcionalidad inversa (“cuando una cantidad crece la otra disminuye”), un caso como el que enseguida se presenta suele clasificarse como tal.



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Sesión 2

S2 Actividad 1 Abstraer desde los cálculos

Materiales: Calculadora. Se recomienda el uso de hoja electrónica.


En esta actividad se utiliza el reconocimiento de patrones para establecer una conjetura, formularla tanto en lenguaje natural, como simbólico y, finalmente, verificar su validez. Es importante enfatizar que, al representar la conjetura en forma simbólica, se concibe a la literal como un número generalizado. De este modo, cobra sentido la concepción del álgebra como una generalización de la aritmética.


Sesión 2 Reconocimiento de Patrones

PresentaciónEl propósito de esta sesión es que los participantes exploren diferentes situaciones en las que cobran sentido los distintos usos de las literales: como número generalizado para representar las propiedades de las operaciones aritméticas; como incógnita en su uso en ecuaciones, y como variable, en el establecimiento de la relación entre dos cantidades. De este modo, se recorren varias concepciones del álgebra como aritmética generalizada, como un medio para resolver problemas y como el estudio de relaciones entre cantidades.

El reconocimiento de patrones juega un papel central como estrategia para promover el surgimiento y desarrollo del pensamiento algebraico, el cual involucra habilidades de razonamiento, de representación y de resolución de problemas, asociadas a estas distintas concepciones.

La sesión está estructurada en seis actividades mediante las cuales se espera que los participantes, en un primer momento, tengan la posibilidad de enfrentar las situaciones planteadas para luego pasar a una fase de discusión acerca de las ideas algebraicas involucradas, las estrategias utilizadas para abordar la situación, las habilidades a desarrollar, su posible adecuación para el trabajo con sus alumnos, así como dificultades u obstáculos previsibles en su desarrollo.

La calculadora, como recurso para agilizar los cálculos, permite concentrarse en el análisis de las situaciones. Las actividades pueden complementarse incorporando el uso de la hoja electrónica, ya que la programación requerida por el software provoca la necesidad de establecer la regla general y, de este modo, dar lugar a la discusión acerca de los procedimientos de prueba, sobre qué significa demostrar, etc.

Además de las actividades propuestas y las posibles ampliaciones a partir de las características particulares del grupo, se cierra esta sesión con una revisión de los libros de texto, con la finalidad de que los profesores identifiquen algunas situaciones vinculadas a este tipo de procesos que influyen en el desarrollo de habilidades propias del pensamiento algebraico.


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Secundaria


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1. Observe las siguientes operaciones:

a. 4 x 4 = 16 y 3 x 5 = 15

b. 5 x 5 = 25 y 4 x 6 = 24

c. 8 x 8 = 64 y 7 x 9 = 63

2. ¿Qué tienen en común estas operaciones?

3. Produzca algunos ejemplos adicionales de la “misma clase”.

4. Sin hacer los cálculos directamente, conteste lo siguiente:

a. Si 256 x 256 = 65,536, ¿cuál es el producto de 255 x 257?

b. Si 16x16 = 256; encuentre dos números que multiplicados den

255.

5. Utilice la calculadora, o cálculos directos para verificar su respuesta a

las preguntas 4a y 4b.

Recomendación: En este momento se puede iniciar con el uso de una hoja electrónica.



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6. ¿Puede encontrar una regla general que se aplique a todos los

ejercicios anteriores? Primero descríbala con palabras y, después,

trate de expresarla simbólicamente.

7. Demuestre que la regla es siempre cierta.

S2 Actividad 2

Doblando papel

Materiales: Al menos dos tiras de papel de aluminio de 60 cm de largo por 5 cm de ancho, aproximadamente.

Recomendación: Se espera que los participantes hagan uso aquí de manipulaciones algebraicas, en donde la literal se concibe como un número generalizado. Sin embargo, es muy probable que este número generalizado se interprete solamente como número natural. Por lo tanto se recomienda hacer preguntas sobre el ámbito de validez de dicha regla, cuestionando sobre lo que pasa con números negativos, racionales, etc.

Observación: Es muy importante que usted promueva en el grupo el uso del lenguaje natural para describir la regla, pues es una forma de representación que los profesores no utilizan, y se van directamente a la expresión simbólica, la cual es una síntesis final de un significado que tuvo que haberse generado con anterioridad.

Se debe hacer énfasis en que formular la regla general con palabras, es una manifestación del desarrollo de habilidades propias del pensamiento algebraico, y que por sí misma, es válida como una representación de la generalidad buscada.



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40

1. Utilice las tiras de papel que le entregará el asesor. Doble una tira a la mitad y luego extiéndala. Conteste lo siguiente:

a. ¿Cuántas partes se observan en la tira desdoblada?

b. ¿Cuántas líneas se observan a lo largo de la tira desdoblada?

2. Vuelva a doblar la tira a la mitad. Ahora, repita la operación de modo que haya realizado dos dobleces sobre la tira. Al desdoblar completamente la tira observará algo como lo representado en la siguiente figura.



3. Repita el proceso y complete la siguiente tabla: Etapa de doblado

Partes que se observan en la tira desdoblada

Líneas que se observan en la tira desdoblada

1

2

3

4

5

10


En esta actividad se utiliza el reconocimiento de patrones para hacer emerger el concepto de variable en el establecimiento de una relación entre dos cantidades. Aunque en la actividad, la literal se concibe como número generalizado, como incógnita al abordar problemas inversos, y como variable, el énfasis se pone sobre esta última.

Para apoyar el desarrollo de la actividad, se utiliza material manipulable con la finalidad de simular la situación planteada para hacerla más accesible, así como para mostrar al participante formas alternativas de trabajo en el aula, en las cuales la construcción del modelo matemático es el producto de un proceso donde la fase de trabajo con material concreto es un referente inmediato.



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41

a. Si se observan 128 partes en la tira desdoblada. ¿Cuántas veces se ha doblado la tira?

b. ¿En cuántas partes está dividida una tira en la que se observan 255 líneas?

c. ¿Es posible encontrar un patrón aquí?

¿Cuántas partes se ven en la tira cuando la misma se ha doblado n veces?

¿Cuántas líneas se ven en la tira cuando la misma se ha doblado n veces?

d. ¿Es posible observar 100 líneas en una tira suficientemente larga, sí o no y por qué?

Observación: De nuevo se trabaja con la relación encontrada, pero en sentido inverso. Es fundamental, que los participantes expresen y compartan con el grupo las estrategias utilizadas para dar respuesta a esta interrogante e identificar las ideas algebraicas utilizadas para argumentar a favor de su validez.

Observación: En este momento se pide se haga explícita la relación entre las variables, y se expresen en forma simbólica. La literal n puede dejar de verse como un número generalizado, para concebirse como variable.

Observación: En las dos preguntas anteriores, se maneja la relación encontrada entre dos cantidades, pero en sentido inverso, lo cual es una componente importante del pensamiento algebraico. Asimismo, será importante hacer notar que el planteamiento en este sentido inverso, no siempre tiene solución.

Observación: Es muy probable que los participantes utilicen las tiras de papel aluminio para completar los primeros renglones de la tabla, pero después tendrán que poner en juego sus habilidades algebraicas, por las limitantes del material manipulable. Es muy importante estar pendientes del momento en que éstas aparecen y promover una reflexión sobre las mismas. Aquí, las variables no aparecen representadas simbólicamente, pero emergen al establecer relaciones entre dos cantidades.


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4. Tome una nueva tira y dóblela en tres partes iguales:



5. Vuelva a doblar la tira en tres partes iguales y sin desdoblarla, doble la tira a la mitad. Al desdoblar completamente la tira observará algo como lo representado en la siguiente figura.



6. Repita el proceso (doblar en tres partes iguales y luego, sin desdoblar, doblar a la mitad) y complete la siguiente tabla:

Etapa de doblado

Partes que se observan en la tira desdoblada

Líneas que se observan en la tira desdoblada

Observación: Se repite la secuencia anterior, pero se agrega un elemento para hacer la situación un poco más compleja: los dobleces se hacen alternadamente en tres y dos partes. Los componentes del pensamiento algebraico que se ponen en juego para abordar cada una de las situaciones propuestas son más sofisticados y cobran mayor fuerza e importancia. Es preciso estar pendiente e identificar los momentos en los que éstos aparecen y promover la reflexión sobre su pertinencia.



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1

2

3

4

5

10

a. Si se observan 108 partes en la tira desdoblada. ¿Cuántas veces se ha doblado la tira?

b. ¿Es posible encontrar un patrón aquí?

¿Cuántas partes se ven en la tira cuando se ha doblado k veces?

¿Cuántas líneas se ven en la tira cuando se ha doblado k veces?

c. ¿Es posible observar 200 líneas en una tira suficientemente larga, sí o no y por qué?


4�

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S2 Actividad 3

La torre de números

1. Hay siete filas en la torre representada arriba. ¿Cuántos bloques hay en la séptima fila?

2. Suponga que desea construir una torre con 25 filas usando el mismo diseño. Describa cómo podría calcular cuántos bloques se necesitarían para la vigésima quinta fila (más larga). Puede auxiliarse con la siguiente tabla.

Número de filas

Número de bloques en la fila más larga (Contando)

Número de bloques en la fila más larga (Haciendo

operaciones)123


En esta actividad se refuerza lo que se ha venido trabajando en las dos actividades anteriores. Se utiliza, de nuevo, el reconocimiento de patrones para hacer emerger el concepto de variable en el establecimiento de una relación entre dos cantidades. Se busca expresar algebraicamente, ya sea de manera simbólica o utilizando el lenguaje natural, la relación encontrada, así como su inversa. La literal aparece de nuevo como número generalizado, como incógnita al abordar problemas inversos, y como variable, dando sentido a las concepciones del álgebra, anteriormente revisadas.


1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

4 5

5

5

5

5 6

6 67



4�

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45678925

3. Una torre muy grande fue construida usando el mismo diseño. La fila más larga tenía 299 ladrillos en ella. ¿Cuántas filas de ladrillos tiene la torre?

4. ¿Si alguien le dijo cuántas filas de ladrillos estaban en una torre, cómo podría con su figura obtener el número de ladrillos en la fila más larga?

5. ¿Si alguien le dijo cuántos ladrillos estaban en la fila más larga de una torre, cómo podría obtener cuántas filas habrían?

Observación: En la tabla del punto anterior se considera el número de filas primero para calcular el número de ladrillos. En esta pregunta se considera el problema inverso, por lo que la variable del punto anterior, en este nuevo planteamiento se concibe como incógnita.

Observación: Se considera la relación inversa a la del punto 4, tomando como variable independiente el número de ladrillos en la fila más larga, y como variable dependiente el número de filas de ladrillos.

Observación: Se considera la relación entre dos cantidades, tomando como variable independiente el número de filas de ladrillos, y como variable dependiente el número de ladrillos en la fila más larga. Recuerde que la relación puede expresarse tanto en lenguaje natural como en lenguaje simbólico.


4�

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46

S2 Actividad 4

Genealogía de las abejas

1. Nuestros ascendientes directos son nuestros padres. Nuestros ascendientes, dos generaciones atrás, son nuestros abuelos. Si quisiéramos contar nuestros ascendientes por cada generación anterior, podríamos formar una tabla como la siguiente.Complete la tabla:

Generaciónpresente

Número de ascendientes

unageneración

atrás


dosgeneraciones

atrás


tresgeneraciones

atrás


cuatrogeneraciones

atrás1 2 4

a. ¿Identifica un patrón aquí?

b. Si sabemos que el número de ascendientes diez generaciones atrás es 1024, ¿cuál es el número de ascendientes once generaciones atrás?

Materiales: Hoja electrónica (opcional).

Observación: Probablemente los participantes identifiquen el patrón que nos lleva a la representación explícita de la relación entre las dos cantidades. Las siguientes preguntas tienen el propósito de que se identifique el patrón que lleva a establecer una relación de recursividad.


En esta actividad se utiliza, de nuevo, el reconocimiento de patrones para establecer una relación entre dos cantidades, pero se introduce una variante: dependiendo del patrón identificado esta relación puede ser explícita o puede ser recursiva.




4�

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c. ¿Cómo encontramos el número de ascendientes quince generaciones atrás, dado que conocemos el número de ascendientes catorce generaciones atrás?

d. ¿Cómo encontramos el número de ascendientes n generaciones atrás, dado que conocemos el número de ascendientes n-1 generaciones atrás? Describa con palabras y represente simbólicamente considerando nx y 1nx como el número de ascendientes n generaciones atrás y n-1 generaciones atrás, respectivamente.

e. ¿Cómo podemos calcular el número de ascendientes nueve generaciones atrás directamente, es decir, sin considerar el número de ascendientes ocho generaciones atrás?

f. ¿Cómo podemos calcular el número de ascendientes n generaciones atrás directamente, es decir, sin considerar el número de ascendientes n-1 generaciones atrás?

Observación: En la situación siguiente, el patrón identificado servirá para establecer una relación recursiva entre cantidades, la cual representarán simbólicamente utilizando literales con subíndice.

Cabe aclarar que la relación explícita no es simple y se requiere de conocimientos avanzados de ecuaciones en diferencias para llegar a ella. Por tal motivo, se presenta al final.

Recomendación: Se sugiere estar pendiente del uso que hacen los participantes de las variables con subíndice, pues suele haber confusión en la interpretación. Deberá aclararse el significado de los subíndices n y n-1.Recomendación: Puede iniciarse aquí, el uso de una hoja electrónica, para analizar más ampliamente la situación, utilizando los distintos patrones identificados.

Observación: En las dos siguientes preguntas, se promueve la identificación del patrón útil para el establecimiento de una relación explícita entre las dos variables.


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2. Estudiar el número de ascendientes de las abejas es muy diferente. Las abejas masculinas provienen de huevos no fertilizados y por lo tanto tienen mamá pero no papá. Las abejas hembras salen de huevos fertilizados.

Con esta información complete la siguiente tabla:

a. ¿Identifica un patrón aquí?

b. ¿Cuántos ascendientes tiene una abeja masculina en la décimo segunda generación atrás?

c. ¿Cuántos de éstos son machos?

d. Generalice hacia cualquier generación hacia atrás (Sugerencia: Utilice los hallazgos del inciso d anterior.)

e. Para encontrar el número de ascendientes n generaciones atrás, la fórmula directa es complicada en este caso, y está dada por:

Generaciónpresente

Abejamasculina


unageneración

atrás


dosgeneraciones

atrás


tresgeneraciones

atrás


cuatrogeneraciones

atrás


cincogeneraciones

atrás1 1 2



�1

Secundaria

49

52

512

5111 nn

nX

S2 Actividad 5

Las manzanas de oro

Un príncipe colectó una canasta de manzanas de oro en el huerto encantado. Camino a su casa fue detenido por el gigante que custodiaba el huerto. El gigante le pidió en pago la mitad de las manzanas más otras dos. El príncipe le dio las manzanas y se fue. Más adelante, lo detuvo un segundo gigante guardián. Éste le demandó el pago de la mitad de las manzanas que el príncipe tenía, más otras dos. El príncipe se las pagó y se fue de nuevo. Antes de salir del huerto encantado, un tercer gigante lo detuvo y le pidió la mitad de las manzanas que le quedaban más otras dos. El príncipe le pagó y tristemente se fue a casa. Le habían quedado solamente dos manzanas.1. ¿Cuántas manzanas había recogido en un principio?


En esta actividad se promueve el uso de distintas estrategias para la solución de un problema. Una vez resuelto el planteamiento original, el reconocimiento de patrones entra en juego, cuando se proponen variantes del problema, para hacerlo general.

Materiales: Hoja electrónica (opcional).

Recomendación: Puede utilizarse una hoja electrónica para explorar, tanto la relación recursiva, como la explícita, y comparar ambos modelos.



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2. ¿Qué pasa si le quedaron 4? ¿Con cuántas empezó?

3. ¿Y si le quedaron 6?

4. ¿Y si le quedaron k manzanas?

Recomendación: Como se mencionó con anterioridad, se puede utilizar una hoja electrónica para explorar la relación inversa, tomando como variable independiente el número final de manzanas, y como variable dependiente, el número inicial de manzanas. Compare las restricciones sobre el dominio, en esta nueva relación.

Observación: Los siguientes cuestionamientos tienen el propósito de identificar un patrón para establecer una relación entre dos cantidades: el número inicial y final de manzanas.

Recomendación: Se puede utilizar una hoja electrónica para explorar la relación directa, tomando como variable independiente el número inicial de manzanas, y como variable dependiente, el número final de manzanas. En este caso, será importante discutir sobre el dominio de la relación, de modo que la variable dependiente tome sólo valores enteros no negativos. Posteriormente, habrá que explorar la relación inversa, la cual se pide en el punto 4

Observación: Algunos participantes iniciarán planteando expresiones anidadas para resolver el problema. Esto ocurre de manera natural, cuando la ecuación utilizada se desprende partiendo del inicio de la situación y trabajando haciaadelante. De este modo, es relativamente sencillo, generar la ecuación; sin embargo, la expresión resultante es compleja y de laboriosa resolución. Otros, a partir del número de manzanas que le quedaron al príncipe, trabajarán el proceso inverso al planteado en el problema, es decir, trabajarán hacia atrás. Es necesario promover la reflexión sobre estas y otras posibles estrategias, y hacer notar cuáles son manifestación de una forma de pensar que denominamos algebraica.

Se deberá poner atención en el hecho de que cualquier respuesta al problema presentado deberá verificarse. Esta acción está considerada como una habilidad propia del pensamiento matemático en general.



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5. Discuta las estrategias de resolución utilizadas en este problema.

S2 Actividad 6

Nuestros materiales de trabajo

En esta actividad se propone que realicen, en equipos integrados por los compañeros que trabajen en el mismo grado escolar, el análisis de algunas situaciones que se proponen en su libro de texto. Primeramente deben seleccionar las situaciones correspondientes al grado en el que desempeñan su trabajo, de acuerdo a un tema de su interés que esté relacionado con el sentido numérico o el pensamiento algebraico.Con el propósito de que esta actividad se desarrolle de acuerdo a lo antes declarado es necesario que ustedes tengan disponibles, además de su libro de texto, los Planes y Programas de Matemáticas. Con base en el Programa, seleccionen una lección de su Libro de Texto de Matemáticas del grado en el que trabajan, relacionada con los temas mencionados y analícenla de acuerdo a lo siguiente:

a) Nombre de la lección:

b) Grado:

c) Contenidos que se tratan en la lección:

d) Habilidades que, en su opinión, se pueden desarrollar:


En esta actividad se promueve el uso de los distintos materiales con que cuentan los participantes para el desarrollo de sus actividades en el aula. Los participantes revisarán sus libros de texto, ficheros, Planes y Programas de Matemáticas, con la finalidad de que identifiquen algunas situaciones vinculadas a los tipos de procesos estudiados en esta sesión y que influyen en el desarrollo de habilidades propias del pensamiento algebraico.

Los Ficheros y Planes y Programas de Matemáticas están disponibles en la dirección electrónica http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/recdidactico.html.

Materiales: Libro de Texto, Ficheros, Planes y Programas de Matemáticas.



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e) Grado de dificultad que, en su opinión, presenta la lección (analicen las actividades y expliquen).

f) ¿Qué modificaciones o variantes propondrían ustedes a esta lección para enriquecerla?

g) Relacionen la actividad seleccionada con otras actividades que traten el mismo tema en su Libro de Texto.

Recomendación: Se sugiere se formen pequeños grupos, con profesores que imparten esta asignatura en el mismo grado, para que al finalizar la actividad se hagan presentaciones frente al grupo para compartir los análisis realizados. Dado que una actividad similar a ésta se promueve en cada una de las siguientes sesiones, no es necesario que todos los equipos hagan su presentación en este momento si el tiempo no es suficiente, sino que puede dárseles la oportunidad en la actividad correspondiente de las sesiones restantes.



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Sesión 3

S3 Actividad 1 Igualdad y Equivalencia


En esta actividad se pretende discriminar, entre varias expresiones algebraicas, aquellas que representan una ecuación, y darle un significado a su solución. Posteriormente, establecer la analogía entre la igualdad expresada en una ecuación con el equilibrio presente en una balanza de dos platillos.

Tiempo Estimado: 1 hora 30 minutos

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Sesión 3 Estrategias de Resolución de Ecuaciones

PresentaciónPensar al álgebra como un medio para resolver problemas cobra significado en la medida en que se reflexiona sobre los recursos y estrategias propias del pensamiento algebraico así como de las argumentaciones (propiedades) que las sustentan. El propósito de esta sesión es, precisamente, entrar en la discusión sobre situaciones en donde la literal, en su carácter de incógnita, aparece como un recurso que hace operativa la situación y ayuda a obtener una respuesta verificable. Estas estrategias se convierten en un objeto de reflexión durante el desarrollo de las actividades que conforman esta sesión.

Esta sesión está estructurada en seis actividades. Al igual que en la sesión anterior, se espera que los participantes, en un primer momento, tengan la posibilidad de enfrentar las situaciones planteadas, ya sea individualmente o en pequeños equipos, para luego pasar a una fase de discusión acerca de las ideas algebraicas involucradas, las estrategias utilizadas, las habilidades a desarrollar, su posible adecuación para el trabajo con sus alumnos, así como dificultades u obstáculos previsibles en su desarrollo.

Igualmente, las actividades pueden realizarse incorporando el uso de la hoja electrónica o calculadora. También se sugiere el uso de software de graficación (por ejemplo, WinPlot, disponible en http://math.exeter.edu/rparris/), para apoyar la exploración de las expresiones y analizar alternativas y significados en la resolución de ecuaciones.

La revisión de los materiales y otros recursos didácticos disponibles para los participantes, se incluye en la actividad de cierre de esta sesión.


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1. Observe las siguientes expresiones. Cada una de ellas tiene un enunciado que involucra cantidades. En cada caso, diga si el enunciado es siempre verdadero; es verdadero sólo en algunos casos, o nunca verdadero. Justifique su respuesta

a. 5+3=8

b. 2+14=12

c. 3+y =5

d. x+3=y

e. 3x=2x+x

f. 3x=3x+1

2. ¿Cuáles de las expresiones del punto anterior son ecuaciones?

3. Encuentre la solución de las ecuaciones del punto anterior.

4. Una balanza es un buen modelo visual para representar la equivalencia de cantidades. La siguiente figura muestra una balanza de dos bandejas con

Recomendación: En este es conveniente abrir la discusión sobre el significado de solución de una ecuación, más allá del que comúnmente se contempla, es decir, como el valor que satisface la igualdad. Se pretende, entre otras cosas, que se determine al dar solución a una ecuación, si existe o no, si ésta es única o si tiene más de una solución.

Observación: Comúnmente se asocia el término “ecuación” a igualdades que involucran literales, independientemente de la relación en que éstas aparezcan en la expresión. En la primera parte de la actividad se pretende que se distinga una ecuación de entre una serie de igualdades que incluyen identidades, ecuaciones y expresiones donde la igualdad no es válida.



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dos pesas a la izquierda y una a la derecha, así si los pesos de la izquierda son 10 y 21 y el de la derecha es 31, la balanza estará equilibrada.

5. Tomando como base las dos primeras balanzas de la figura siguiente, dibuje la figura que equilibrará la tercera balanza, partiendo de que en las tres balanzas, figuras iguales tienen el mismo peso.

6. ¿Cuál o cuáles serán las formas para equilibrar la balanza D, si se supone que formas iguales tienen igual peso?

Recomendación: En todos los casos promueva la resolución sin que se recurra al planteamiento de ecuaciones. Promueva que se establezcan las equivalencias utilizando siempre las figuras. Consideramos que es muy importante que los participantes tengan esta experiencia en el modelo analógico para que luego puedan hacer uso de las estrategias correspondientes en la resolución de ecuaciones. Además por la amplia posibilidad de la actividad para su incorporación al salón de clase.

Observación: Como se dijo antes, se busca utilizar la analogía entre el signo igual en una ecuación y el equilibrio en una balanza de dos platillos. Se trata también de aprovechar este modelo visual que simula la situación, como recurso para la construcción de los múltiples significados que se dan en el proceso de resolución de ecuaciones de primer grado.


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7. ¿Cuál podría ser una solución para la balanza D, suponiendo que formas iguales tienen igual peso?

Nota: Las formas en este problema no necesariamente tienen el mismo peso que las formas del problema anterior.

Observación: Enseguida se trata de extender la situación, es decir, a partir de las igualdades, en el caso que corresponda, usar el equilibrio en la balanza para verificar su validez. En el caso de las ecuaciones, usar el modelo para dar solución y discutir acerca de cómo quedarían representados los distintos tipos de solución.



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8. Para cada una de las siguientes expresiones (son las del problema uno) dibuje una balanza que la represente. ¿Cómo podría usar la balanza para decidir cuándo una expresión es verdadera o falsa?

a. 5+3=8

b. 2+14=12

c. 3+y =5

d. x+3=y

e. 3x=2x+x

f. 3x=3x+1

S3 Actividad 2 Ir y Regresar

1. El costo total de un servicio es de $154,500.00. En el momento en que se va a efectuar el pago, el cliente solicita una factura con el IVA desglosado, ¿qué proceso haría usted para calcular el monto original del servicio y el correspondiente al IVA? ¿Qué estrategia utilizó y cómo puede asegurar la validez de su resultado?



Se pretende que los participantes analicen situaciones que le dan sentido y significado a recursos algebraicos como el planteamiento de ecuaciones, las estrategias de resolución y la validación de resultados tanto del modelo como de la situación.

A diferencia de la actividad anterior, en la que el significado buscado se refería al proceso matemático mismo de resolución de ecuaciones, en esta actividad, el significado que se pretende construir está asociado al carácter de uso cotidiano del modelo matemático involucrado, ecuaciones de primer grado con una incógnita. La actividad combina este uso cotidiano a partir de problemas verbales, juegos y en la expresión que generaliza un patrón.


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2. Realicen por parejas el siguiente algoritmo: Elijan un número (Entrada) DuplíquenloSumen dos al resultado Dividan el resultado por dos Resten 7 del resultado obtenido Multipliquen el resultado por 4 (Salida)

3. En relación con el algoritmo anterior responda a los siguiente:

a. Si la entrada es 9, ¿Cuál es la salida?

b. Si la entrada es 10, ¿Cuál es la salida?

c. Si la entrada es n, ¿Cuál es la salida?

d. Si la salida es 28, ¿Cuál fue la entrada?

e. Si la salida es 32, ¿Cuál fue la entrada?

Recomendación: Puede iniciar la actividad solicitando se resuelva el problema 1, en binas. Es probable que algunos participantes propongan como solución 154,500*85%, o el equivalente considerando el IVA vigente. Para este tipo de respuesta, en lugar de rechazarla, se sugiere solicitar que se verifique su validez, utilizando el planteamiento inverso del problema. En general, todas las respuestas deberán ser verificadas de esta manera.

Observación: En el siguiente punto, mediante un juego común entre niños y adolescentes, se trata de explotar los procesos inversos a través de las operaciones que permiten “ir y regresar” entre datos de entrada y de salida. Se parte de un número dado, la entrada, para mediante ciertas reglas del juego (operaciones) se produzca una salida, esto es, otro número.

En este caso, la literal primero toma un sentido de número generalizado, al cual se le aplican transformaciones mediante una regla establecida, mientras que en el proceso inverso en el que se pide encontrar el número inicial del proceso, la literalse convierte en incógnita.



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f. ¿Qué entrada produce una salida de 36?

4. ¿Qué estrategias uso para resolver las preguntas planteadas del inciso d al f?

5. Describa cómo funciona el algoritmo inverso al algoritmo anterior, es decir, el algoritmo que a partir de un resultado, regresa al dato inicial.

6. Mediante la aplicación sucesiva del primer algoritmo y su inverso se llega hacia algo y luego se regresa. Esto es, si se aplica a un número el algoritmo original y luego al resultado se le aplica el algoritmo inverso, ¿se regresa al número original? Verifíquelo

7. Ahora, tome en cuenta la siguiente situación: En el patrón que se muestra enseguida, uno de los pasos requiere 112 “palillos”. ¿De cuál etapa se trata ?

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3

Recomendación: Promueva la verificación solicitada con número negativos, fraccionarios, etc.

Recomendación: Solicite que describan verbalmente el proceso, para ligar la tarea al siguiente punto.


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8. Complete el camino “de ida” y “de regreso” de la ecuación 86

4234 n ,

en el siguiente diagrama:

Observación: Mediante un diagrama se establecerán las relaciones inversas en una ecuación particular, se trata de utilizar este tipo de recursos para mantener visualmente estas relaciones y utilizarlas para la resolución de la ecuación propuesta. Esta es una estrategia útil, sin embargo, habrá que cuestionar su posible extensión a otras situaciones. Esto último entra en juego en el cierre de la actividad.

Por 4

Por 2

Menos 4

Por 3

Entre 6

8



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9. Resuelva los siguientes problemas usando el camino “de regreso”.

a. 2032/5 b

b. 142/)1(7 n

c. Después de restar tres a un número, multiplicarlo por 8 y dividirlo entre tres se obtiene como resultado 16. ¿Cuál es el número?

10. Dado un número se le resta 10, el número que le queda lo eleva al cuadrado. Si al final obtiene como resultado 64, ¿puede usted encontrar de manera certera el número original?, ¿por qué si o por qué no?

11. Proponga una ecuación que no pueda ser resuelta con esta estrategia de “regresar”.


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S3 Actividad 3

Cambio de Variable

1. Resuelva la siguiente ecuación:

2. Intente una forma alternativa de resolver la ecuación. Discútala con sus compañeros.

Recomendación: Para esta ecuación racional, permita que los participantes pongan en juego las estrategias convencionales de resolución. Puede pedir que la resuelvan frente al grupo.

Materiales: Calculadora, Hoja Electrónica (opcional), Software de graficación (opcional)


Mediante esta actividad se busca que los participantes exploren distintas estrategias de resolución, usando los recursos que ya conocen para la resolución de primer grado, otro tipo de ecuaciones como cuadráticas, racionales, etc. y pongan a prueba su alcance o generalidad.

Tiempo Estimado: 2 horas

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3. Analice cada una de las alternativas de solución, en términos de las ventajas y desventajas que ofrece cada una de ellas.

4. Construya otra ecuación que pueda ser abordada mediante las estrategias antes propuestas y resuélvala.

Observación: Una de las alternativas exploradas al final de la parte dos, se refiere al carácter de extender las relaciones para el planteamiento de nuevas igualdades que involucran la misma expresión en lado izquierdo de ellas.

Observación: Otras alternativas de resolución pueden presentarse apoyándose en una hoja electrónica o en algún software de graficación. En ambos casos, la literal cobra un sentido distinto, el de una variable cuyo dominio habrá que restringir dado que se trata de una expresión racional. De esta manera se podrán obtener una gran cantidad de valores para esa variable y seleccionar el que corresponda a la solución.

Observación: Las habilidades del pensamiento algebraico se ponen ahora en juego al promover la construcción de ecuaciones “similares” a la antes estudiada, con la finalidad de poner a prueba las estrategias y recursos de resolución antes explorados. En este caso, el proceso inverso, en el sentido de regresar desde la solución al planteamiento de una o varias ecuaciones aparece cuando éstas se generan.

Observación: Esta segunda tarea tiene como propósito que los participantes experimenten, inicialmente, una alternativa algebraica de resolución de la ecuación antes planteada, a partir de lo que ya se ha venido trabajando, es decir, la resolución de ecuaciones de primer grado.

Por ejemplo, si la expresión que involucra la fracción se “ve” como la incógnita buscada, en la resolución se considerarían las operaciones involucradas, esto es, se vería, en primer término que, si 42y , entonces, 6y ,

es decir 612

24

x. Se repite el proceso, considerando ahora al denominador como la incógnita buscada, esto es

624

z, por tanto 4z . Aquí aparece la ecuación cuadrática al retomar la expresión para z, 412x . Al seguir

con la misma estrategia, se tomaría a 2x como la nueva incógnita, por lo tanto, la expresión quedaría 41w y

consecuentemente 5w . Finalmente se obtiene que 52x . Al llegar a esta expresión habrá que retomar el significado construido de la raíz cuadrada de un número.

Esta estrategia de “pensar como un todo” a la expresión en que aparece la incógnita y darle a su vez a ésta el significado de una nueva incógnita, es una manifestación del pensamiento algebraico que identificamos como “cambio de variable”, esto es, aquí la expresión misma se ve como una nueva variable en la que se pueden establecer las relaciones numéricas y algebraicas ya conocidas y que se utilizan para encontrar la solución.


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5. ¿Es posible generar un patrón que permita construir ecuaciones que respondan a los tratamientos antes estudiados? Explique.

S3 Actividad 4

¿Cuál agencia contratar?


Tiempo Estimado: 2 horas

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En esta actividad y en la siguiente se abordan los sistemas de ecuaciones lineales mediante el planteamiento de situaciones en un contexto cotidiano que le dan sentido a esta herramienta matemática. Se pretende que los participantes valoren la importancia del uso de distintos recursos de representación para la construcción de significados, particularmente el de solución de un sistema de ecuaciones lineales.



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En el pueblo de Ixtlán del Río, Nayarit, existen solamente dos agencias de renta de automóviles, las cuales rentan autos del mismo tipo. La compañía Vochito Rent a Car cobra $400 más $1.00 por kilómetro; por su parte, Vochomóvil Rent a Car cobra $200 más $2.00 por kilómetro. Cada una de las agencias está repartiendo volantes por las calles de la ciudad, buscando aumentar sus ingresos.

Los volantes que reparten los empleados de Vochito son como se muestra a continuación:

Por su parte, Vochomóvil Rent a Car, también elaboró propaganda, la cual dice lo siguiente:

Como podemos observar en la propaganda, cada una de las agencias se declara como la más conveniente para el consumidor, por ser la más barata.

La agencia de renta de automóviles más económica del mercado, Vochomóvil Rent a Car, le ofrece los precios más económicos que podrá usted encontrar * .

Con Vochomóvil, sus amigos de siempre,

“Su bolsillo está protegido” * Si encuentra el mismo servicio más barato, le le devolvemos su dinero.

Vochito Rent a Car, la agencia de renta de automóviles más barata del mercado * .

Acérquese, con Vochito obtendrá

“Muchos kilómetros, pocos pesos” * Si nos demuestra lo contrario, le devolvemos su dinero.


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a) Inocencio Pérez, vecino de esa población, debe trasladarse urgentemente al pueblo de Huajicori, por lo que decide rentar un carro. Es la primera ocasión en la que viajará a esa población, así es que no sabe la distancia que hay entre las dos comunidades.

Para tomar la decisión de con cuál de las agencias contratar el servicio, hace algunos cálculos, organizando su información mediante tablas, las cuales reproducimos a continuación, pidiéndote que llenes los espacios en blanco.

Núm. de kilómetros

10 15 20 28 45 100

Costo del servicio en Vochito

Costo en Vochomóvil

b) De acuerdo con los resultados que obtuvo, ¿cuál de las agencias escogió Inocencio?

b) Al llegar a Huajicori, Inocencio acude a entregar el carro a la sucursal de la agencia en ese lugar, después de lo cual, al cruzar la calle, se encuentra con su amigo Felipe Buenrostro, quien casualmente acababa de hacer el mismo recorrido, rentando en la agencia Vochito Rent a Car. Al comparar lo que habían pagado, el rostro de Inocencio mostraba una gran molestia: su boleta indicaba que había pagado $694.00 y la de Felipe $647.00. ¿Qué distancia existe entre Huajicori e Ixtlán del Río?

d) ¿Qué argumentos podremos dar a Inocencio para que consiga que la compañía con la que rentó el carro le regrese su dinero? Intente hacer un análisis completo de la situación, incluyendo argumentos de carácter numérico, gráfico y algebraico.

Observación: Enseguida se busca establecer la relación entre las variables que entran en juego en la situación planteada, “número de kilómetros recorridos” y “costos total en cada una de las compañías”, utilizando distintos recursos de representación.

Observación: En esta primera parte de la actividad, se promueve el uso de la representación tabular con la finalidad de que se exploren algunos casos particulares, para luego pasar a una fase de discusión en la que se analicen las circunstancias bajo las cuales este recurso tabular puede apoyar de manera eficiente la toma de decisiones.



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Argumentos numéricos Núm. de km. 247 Vochito 647 Vochomóvil 694

Argumentos gráficos

Argumentos algebraicos

e) De acuerdo con los datos de la tabla que hizo Inocencio, y con la información posterior que obtuvo, hay ciertos recorridos que son más baratos en una compañía que en la otra. ¿Cuáles son éstos?

f) ¿Hay alguna distancia para la que el pago a las agencias coincida? Argumenta tu respuesta numérica, gráfica y algebraicamente

S3 Actividad 5

¿Cuál es la solución?

Observación: Enseguida se tratará de hacer un análisis global de la situación. Es decir, estudiar comparativamente el comportamiento de las variables en cuestión, para, en el siguiente inciso, concentrarse en el punto de coincidencia.


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1. El propietario de un restaurante planea utilizar x mesas para cuatro personas, y mesas para 6 personas y z mesas para 8 personas, para un total de 20 mesas. En plena ocupación, se sientan en las mesas 108 clientes. Si sólo se utilizan la mitad de las mesas x, la mitad de las mesas yy un cuarto de las mesas z sólo se sientan 46 clientes. Obtener x, y y z.

2. Un granjero gasta $1000 en comprar 100 animales de tres tipos diferentes. Cada vaca le cuesta $20, cada cerdo $12 y cada oveja $8. Si sabemos que el granjero compró al menos 10 animales de cada tipo ¿Cuántos animales compró?

3. El doctor le prescribe a un paciente 5 unidades de vitamina A, 13 unidades de vitamina B y 23 unidades de vitamina C, cada día. Existen en el mercado tres marcas diferentes de vitaminas y el número de unidades por pastilla, de cada una de ellas, se muestra a continuación:

Observación: En este caso, se aborda una situación cuyo planteamiento conduce a un sistema de ecuaciones lineales con dos ecuaciones y tres incógnitas y su resolución está condicionada por la relación establecida en el enunciado “se sabe que compró al menos 10 animales de cada tipo”. Se busca explotar, en este caso, que habiendo una infinidad de soluciones al sistema, el contexto en que se plantea la situación las restringe sólo a cuatro.

Recomendación: El planteamiento de esta situación conduce a un sistema de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas. Es probable que algunos participantes no hayan abordado la resolución de sistemas de este tamaño, por tanto se sugiere dar oportunidad a que se exploren alternativas, como por ejemplo la búsqueda de una respuesta por ensayo y error, mismo que puede servir para asegurarse de que se entiende la situación abordada.

Este es un problema de solución única y puede ser resuelto utilizando eliminación de variables (por ejemplo, con el método de suma o resta).



La presente actividad tiene como propósito que los participantes reflexionen sobre las estrategias de resolución en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales con más de dos incógnitas, los tipos de solución y la importancia de su validación en el contexto de la situación.



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Marca Vitaminas A B C

1 1 2 4 2 1 1 3 3 0 1 1

a) Encontrar todas las combinaciones de pastillas que proporcionan la cantidad exacta de vitaminas requeridas (no se permite dividir las pastillas)

b) Encontrar el tratamiento más barato si las marcas 1,2, y 3 cuestan $30.00, $20.00 y $50.00, respectivamente.

S3 Actividad 6

Nuestros materiales de trabajo

En esta actividad se propone que realicen, en equipos integrados por los compañeros que trabajen en el mismo grado escolar, el análisis de algunas situaciones que se proponen en su libro de texto. Primeramente deben seleccionar las situaciones correspondientes al grado en el que desempeñan su trabajo, de

Observación: En esta situación, a diferencia de las dos anteriores, la información se presenta en una tabla. El inciso b) tiene la finalidad de analizar las combinaciones ya encontradas para ser relacionadas con respecto a la variable “costo total por combinación” y así poder tomar la decisión conveniente.


En esta actividad, similar a la actividad de cierre de la Sesión 2, se promueve el uso de los distintos materiales con que cuentan los participantes para el desarrollo de sus actividades en el aula. Los participantes revisarán sus libros de texto, ficheros, Planes y Programas de Matemáticas, con la finalidad de que identifiquen algunas situaciones vinculadas a los tipos de procesos estudiados en esta sesión y que influyen en el desarrollo de habilidades propias del pensamiento algebraico.

Materiales: Libro de Texto, Ficheros, Planes y Programas de Matemáticas.



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acuerdo a un tema de su interés que esté relacionado con el sentido numérico o el pensamiento algebraico.

Con el propósito de que esta actividad se desarrolle de acuerdo a lo antes declarado es necesario que ustedes tengan disponibles, además de su libro de texto, los Planes y Programas de estudio de Matemáticas.

Con base en el Programa de estudio, seleccionen una lección de su Libro de Texto de Matemáticas del grado en el que trabajan, relacionada con los temas mencionados y analícenla de acuerdo a lo siguiente:

a) Nombre de la lección:

b) Grado:

c) Contenidos que se tratan en la lección:

d) Habilidades que, en su opinión, se pueden desarrollar:

e) Grado de dificultad que, en su opinión, presenta la lección (analicen las actividades y expliquen)

f) ¿Qué modificaciones o variantes propondrían ustedes a esta lección para enriquecerla?

g) Relacionen la actividad seleccionada con otras actividades que traten el mismo tema en su Libro de Texto.

Recomendación: Se sugiere se formen pequeños grupos, con profesores que imparten esta asignatura en el mismo grado, para que al finalizar la actividad se hagan presentaciones frente al grupo para compartir los análisis realizados. Dado que una actividad similar a ésta se promueve en la siguiente y última sesión, sería conveniente ver este ejercicio como una preparación para la presentación final.



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Sesión 4

Sesión 4 Un Acercamiento al Estudio de la Variación

PresentaciónEn esta última sesión del Curso Aritmética y Álgebra se presenta un acercamiento al estudio de la variación. En las primeras cinco actividades se tratará de analizar, resolver y reflexionar planteamientos en los que es necesario identificar lo que cambia y lo que permanece constante en situaciones de variación uniforme. Se requiere describir y modelar las relaciones de cambio que se presentan entre dos variables, y analizar esas relaciones existentes mediante su conveniente representación en gráficas, tablas y fórmulas. Es decir, se trata de encontrar el sentido de cómo un cambio en una cantidad provoca cambio en la otra, cuando se logran integrar los elementos de ese significado en cada una de las diversas representaciones utilizadas.

La actividad seis se dedica particularmente a estudiar la pendiente de la recta que representa a una función lineal. Este elemento en todos los casos anteriores jugó el papel de “razón de variación”, y al permanecer constante, le imprimió el carácter de “uniforme” a esa variación.

Las actividades 7 y 8 hacen énfasis en la representación gráfica y descriptiva de distintos tipos de variación. Nos ha parecido importante prescindir de las tabulaciones y las reglas para representar estas variaciones, con el fin de ejercitar el acercamiento global a diversos tipos de variación dados en contextos de la vida real; puesto que es común que los recursos más utilizados por los profesores, al utilizar gráficas para representar la relación entre las variables, éstas se vean como el resultado de “valores puntuales” obtenidos a partir de una regla o una tabla.

Finalmente, en la actividad 9 se plantea, como en sesiones anteriores, la selección y el análisis de una actividad relacionada a este tema en los materiales de trabajo de los participantes. Al ser la última actividad de todo el Curso se hacen algunas recomendaciones generales de reflexión para que usted, estimado instructor, las promueva en el grupo.


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S4 Actividad 1 Aquiles y la Tortuga

Las razones se usan con mucha frecuencia para describir la relación entre la variación de la distancia y la del tiempo. En este caso vamos a explorar lo que sucede si esa razón permanece constante

1. Supongamos que Aquiles corre a una razón constante de 16 Km por hora.

Observación: Para obtener la representación gráfica de la situación en los puntos 1 y 2, se solicita que ésta se haga mediante un software graficador. Puede ser útil para el caso, una hoja electrónica o el WinPlot que ya antes ha sido referenciado. Si por alguna razón no se dispone de medios, usted puede hacer los trazos en el pizarrón sin usar puntos aislados obtenidos de una tabulación, sino refiriéndose al punto de salida y a un punto determinado de llegada después de cierto tiempo, atendiendo a la razón distancia/ tiempo. Lo que importa destacar aquí es la percepción gráfica de estas situaciones en las que claramente la razón de cambio (velocidad) permanece constante.


En esta actividad se pretende hacer un análisis de lo que sucede al asignar velocidades específicas tanto a Aquiles como a la tortuga. Al comparar los modelos matemáticos utilizados para cada personaje, se logra precisar el momento en donde Aquiles alcanza a la tortuga. La importancia en cada punto radica en dar un significado adecuado a los diversos elementos de cada representación, y en especial, a las razones que se establecen para representar, correspondientemente, las velocidades de Aquiles y de la tortuga: ya que son constantes durante todo el recorrido hecho por ambos personajes, se trata de determinar con toda claridad la implicación que tiene este hecho en cada una de las distintas representaciones que corresponden al modelo matemático utilizado.

Se explotan los personajes utilizados por el sabio Zenón de Elea (490-485 a C ) en el planteamiento de su famosa paradoja de Aquiles y la Tortuga en la que el filósofo muestra, mediante una lógica impecable, “la imposibilidad de llegar a su destino” –partiendo del supuesto que el espacio y el tiempo son INFINITAMENTE DIVISIBLES y el MOVIMIENTO ES CONTINUO Y UNIFORME. Esta paradoja se suele presentar como sigue: Aquiles, el héroe griego más rápido que la tradición recuerda, jamás podrá alcanzar a una tortuga, el más lento de los animales. Pues si la tortuga parte con ventaja, cuando Aquiles llegue al punto de donde la tortuga partió, ésta ya se habrá movido hacia otro punto recorriendo una distancia; y cuando Aquiles llegue a este segundo punto, la tortuga, a su vez, se habrá movido a otro, recorriendo por tanto otra distancia, y así ‘ad infinitum’ (para mayor información puede visitar http://www.scb-icf.net/nodus/022ParadoxesZenon.htm ).




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Escriba una fórmula para describir la relación entre la distancia que cubre Aquiles y el tiempo que ha corrido.

¿Qué tan lejos estará Aquiles después de haber corrido 1.5 horas?

Si usted grafica la relación entre la distancia que cubre Aquiles y el tiempo que ha corrido, ¿cómo luciría la gráfica?

Ingrese su fórmula en algún software graficador y observe la gráfica, ¿es la gráfica que usted esperaba? Explique su respuesta.

2. Aquiles va a jugar una carrera contra una tortuga que se mueve a solo 0.5 kilómetros por hora. Para hacer justa la carrera, Aquiles concede le concede a la tortuga una ventaja de 20 kilómetros.

Escriba una fórmula que describa la relación entre la distancia recorrida y el tiempo que ha caminado la tortuga.

Ingrese la fórmula de la tortuga en el graficador.

¿Qué tanto tiempo le tomará a Aquiles alcanzar a la tortuga?

3. En el mismo sistema de coordenadas muestre las correlaciones distancia tiempo tanto de Aquiles como de la tortuga.

Observación: Justamente en este punto se solicita se realice el análisis gráfico del momento donde Aquiles alcanza a la tortuga. Además se pide a los participantes que retomen el significado de variación proporcional en este contexto de variación uniforme. Se sugiere que el lenguaje utilizado involucre siempre los componentes de la física que intervienen como variables y constantes en los modelos matemáticos que se construyeron.


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¿Qué significan físicamente para Aquiles y la tortuga las coordenadas del punto en el que se cruzan ambas líneas rectas?

¿Cuál de las dos gráficas lineales representa una variación proporcional? Argumente su respuesta.

4. Supóngase que dos personas viajaron una distancia de 100 kilómetros a la misma velocidad, partiendo del mismo punto y hacia el mismo lugar. La primera persona tenía una ventaja de 25 kilómetros cuando la segunda persona inició el viaje.

a) ¿Cuándo esperaría usted que se encontraran?, ¿cuándo se encuentran, ¿cuál de los dos está más lejos de donde salieron?

b) En las gráficas de distancia respecto al tiempo, ¿dónde es posible leer esto?



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Observación: Se sugiere provocar la discusión argumentada al preguntar sobre si se dará o no el punto de encuentro, dado que las personas recorren la misma distancia a la misma velocidad pero una con ventaja de 25 km sobre la otra. Es una ocasión ideal para contrastar la solución que cada quién da al modelo matemático gráfico y la interpretación que tiene para la situación real. Por otra parte, este punto intenta concretar, en el contexto de variación uniforme, lo que en la sesión anterior se planteó como una situación que daría lugar a un sistema de ecuaciones lineales sin solución.

Puede suceder que algunos argumenten que no se van a encontrar porque una llega más lejos que la otra, otros tal vez digan que sí se encuentran porque llegan al mismo lugar aunque una antes que la otra. Lo importante es hacer notar que las gráficas lineales no se cruzarán, independientemente de la forma en que interpreten, en el contexto, la ventaja de una sobre la otra.

A continuación reproducimos las representaciones gráficas que pudieran presentarse como modelo de la ventaja:


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S4 Actividad 2 La fuga de agua

Una llave gotea agua a un recipiente a razón de 2 gotas cada 3 segundos. Un centímetro cúbico de agua contiene 20 gotas. ¿Qué tanta agua se desperdicia por la fuga en el transcurso del tiempo?

1. Represente en una tabla la información proporcionada en el párrafo anterior.

2. Represente con una gráfica la información proporcionada en el párrafo de arriba.


Propósitos y descripción

En esta actividad se presenta una de situación de la vida real que corresponde a un proceso de variación uniforme. Se plantean varias tareas consistentes en emplear inicialmente diversos recursos como tablas y gráficas para luego generar una fórmula general.

Se hacen cuestionamientos minuciosos para llevar a cabo las tareas antes mencionadas. Estas cuestiones incorporan necesidades propias de las unidades de medida en este contexto: se deberán utilizar equivalencias para medir el tiempo o el volumen de agua.

Se sugiere dejar a los participantes integrarse en pequeños equipos para que entre ellos vayan comentando sus respuestas. Al finalizar, es importante que ante el grupo los equipos resuman el resultado de su análisis dando respuestas a preguntas generales como: ¿De qué tipo de variación se trata? ¿Qué la caracteriza como tal? ¿Hay alguna representación del proceso que consideren más importante que las demás? etc.

Nota: Las actividades 2, 3 y 4 están tomadas de Jiménez, J. R. 2006. Folleto de actividades del curso Pensamiento Variacional. Impresión para publicación restringida. SEC Sonora.



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03. La fuga de agua de la llave, ¿ocurre de manera uniforme, o lo hace de algún

otro modo? Argumente su respuesta.

4. ¿Qué tanta agua se fuga de la llave después de: un minuto? ________ una hora? __________

un día? ________ una semana? _________ un mes? _________

¿Cómo obtuvo las respuestas anteriores?, las respuestas anteriores ¿están representados en la tabla? y ¿en la gráfica? En caso de que no lo estén, represéntelos adecuadamente

Observación: Es posible que para dar respuesta a las preguntas anteriores, cuyas lecturas directas ya no se encuentran en la tabla o en la gráfica, los participantes utilicen diversas estrategias, incluyendo una regla de tres, dando por sentado que se trata de una variación proporcional. Como se dijo en un principio, habrá que cuidar las equivalencias entre las unidades. Lo ideal sería que vieran a la razón de la fuga como el factor multiplicativo que relaciona las variables. De cualquier manera, si en este momento se plantean solamente las relaciones numéricas para encontrar un valor desconocido, se pueden considerar aceptables, ya que es hasta el punto 7 en donde se les requerirá que todos estos cálculos particulares los expresen mediante una fórmula general que represente globalmente el proceso de esta variación.


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5. ¿En cuánto tiempo como máximo deberá ser reparada la fuga si se desea que se desperdicien menos de: 20 litros? __________ 150 litros? __________ 1000 litros? __________ 1 m³? ___________

¿Cómo lo supo? Explique su procedimiento y argumente su respuesta.

6. ¿Cuánto tiempo lleva la fuga si se sabe que se han desperdiciado ya no menos de:80 litros? _________ 500 litros? ___________ 6000 litros? _________ 2 m³? ___________ ¿Cómo lo supo? Explique su procedimiento y argumente su respuesta.

7. ¿Podría representar mediante una fórmula la cantidad de agua que se desperdicia por la fuga en el transcurso del tiempo? ¿Cuál es la fórmula? ¿Cómo la obtuvo?

Recomendación: En este punto se plantea el proceso inverso. Para conocer el valor de la variable de interés las estrategias pueden ser diversas, por lo que es entonces recomendable que se expresen ante el grupo las respuestas dadas a esta última pregunta del punto 5.

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¿De qué modo podría usted verificar si esta fórmula es correcta?

S4 Actividad 3 La Inscripción

De acuerdo con datos oficiales, desde 1984 se ha estado observando un descenso en la inscripción de alumnos en la Carrera de Ingeniería Industrial y de Sistemas. La Tabla siguiente muestra datos relativos a la inscripción anual de alumnos.

Inscripción de alumnos en IIS

Año, A Número de alumnos

inscritos, N

Observación: Se inicia con una tabla que describe la situación para algunos casos particulares y se solicita la gráfica correspondiente. Enseguida se hacen cuestionamientos que requieren cálculos simples inducidos por el comportamiento observado en dicha tabla. No tiene complicación, es simplemente el escenario para que se observe “el ritmo constante en el descenso” de la inscripción.



En esta situación de nuevo se analiza un fenómeno de variación uniforme, pero su característica es que la razón de cambio es negativa. Descubrir esta relación y expresarla correctamente en diversas representaciones constituye el propósito central de esta actividad. La construcción final de una fórmula como modelo que “generaliza” el fenómeno, se solicita después de realizar varias tareas parecidas a las de la actividad anterior, pero que por la naturaleza de esta variación, requerirá de ligeros cambios en la ejecución de las estrategias puestas en juego.

Observación: Tal como se ha estado trabajando a lo largo de todas las sesiones, proporcionar una fórmula que describa el proceso global de esta variación, consiste en establecer una “generalización” del modelo matemático que describe el fenómeno. Es conveniente recordar que no siempre es posible expresar dicha generalización a través de una fórmula. Justamente, las particularidades de la situación aquí analizada sí permiten establecerla.


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1984 852

1986 812

1988 772

1990 732

1992 692

1994 652

1996 612

1998 572

2000 532

8. Represente mediante una gráfica la información proporcionada en la Tabla de arriba.

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9. ¿Cuántos alumnos se inscribieron en Ingeniería Industrial y de Sistemas en:

2001? __________ 2002? _________ Explique cómo lo averiguó

Observación: Es posible que los participantes grafiquen una línea recta por no percatarse de la naturaleza de las variables. Se sugiere que no se hagan correcciones aún, sino que al finalizar la actividad, al hacer explícita la naturaleza discreta de la variable dependiente, como se solicita en el punto 14, se regrese a esta gráfica y se hagan las correcciones pertinentes.



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Represente estos datos en la gráfica. 10. ¿Qué entiende por ritmo constante en el descenso de la matrícula?

11. ¿Cuántos alumnos se inscribieron en Ingeniería Industrial y de Sistemas en:

1983? __________ 1982? _________

1980? __________ 1975? _________

Represente estos datos en la gráfica.

12. ¿Cuántos alumnos habrá que esperar que se inscriban en Ingeniería Industrial y de Sistemas

el año próximo? _____ dentro de cinco años? _____dentro de diez años? _____

Represente estos datos en la gráfica.

13. ¿Puede representar mediante una fórmula la relación entre el año y el número de estudiantes inscritos en la Carrera de Ingeniería Industrial y de Sistemas? ¿Cuál es la fórmula?

14. ¿Qué diferencia cualitativa encuentra usted en el tipo de variables que intervienen en esta situación respecto a las presentadas anteriormente? ¿Qué puede decir respecto a la gráfica que originan?

Observación: De nuevo, como resultado de las tareas anteriores, se solicita una fórmula que describa el proceso global de esta variación. Será conveniente, después de atender la pregunta que sigue, que para esta fórmula, se establezcan las restricciones convenientes dada la naturaleza de las variables involucradas.

Observación: Es importante dar lugar a que se expresen los participantes ante el grupo. Es posible que el lenguaje no sea el más adecuado en términos técnicos, sin embargo lo que interesa es el sentido de esta variación: Si en este momento tan sólo se dice algo semejante a: “va disminuyendo lo mismo cada año”, sería suficiente.


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S4 Actividad 4 Diferencias entre niveles de Agua

Un recipiente para almacenar agua tiene forma de cilindro con 50 cm de radio de la base y 2 m de altura. El recipiente, que inicialmente está vacío, se empieza a llenar de agua a través de una llave que se encuentra colocada en la parte superior y que surte al depósito a razón de 30 litros por minuto. Como resultado, la altura del nivel del agua en el recipiente se irá incrementando conforme el depósito se vaya llenando a medida que transcurre el tiempo.

Altura que alcanza el nivel del agua en el recipiente conforme transcurre el tiempo, durante el proceso de llenado del depósito.

Tiempo t,min

Altura h,m

0 05 0.191 10 0.382 15 0.573 20 0.764 25 0.955 30 1.146 35 1.337 40 1.528 45 1.719 50 1.910

1. En la plantilla siguiente, dibuje la gráfica que corresponde a la relación entre la altura h y el tiempo t expresada por la tabulación anterior.



De nuevo se analiza un fenómeno de variación uniforme, pero el propósito es ahora, después de tener una fórmula que modele la situación, introducir el análisis particular de los datos que se generan, y determinar, no solamente la razón de cambio entre las variables, sino la comparación, a través de una razón, entre las diferencias (incrementos) de valores de

cada una de ellas. Esto es, se analizará finalmente cómo es t

h en este caso de variación uniforme. Es conveniente

que luego se discuta la extensión de este resultado a la variación uniforme en general.



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2. Determine una fórmula que permita expresar la altura h (en m) del nivel del agua en el depósito durante el proceso de llenado conforme transcurre el tiempo t (en min) y establezca las restricciones en el dominio que la hacen verdadera.

3. Como en las actividades anteriores, mediante estas representaciones podemos dar respuesta a una cantidad de preguntas relacionadas condiferentes alturas del agua (niveles) en distintos momentos. Ahora analizaremos más detalladamente ciertos datos de la tabulación con el fin de estudiar las particularidades que esta representación nos proporciona sobre este tipo de variación. Para ello llene la siguiente tabla:

Tiempot,

min

Altura h,m

Diferenciade tiempos

t

Diferenciade alturas

h th

0 0 5 0.191 10 0.382 15 0.573 20 0.764 25 0.955 30 1.146 35 1.337 40 1.528 45 1.719 50 1.910


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4. ¿Con qué cosas se relaciona el número 0.0382 que aparece en este problema? ¿Qué interpretaciones se le pueden dar:

en el problema?

en la gráfica?

en la fórmula?

en la tabla?

5. ¿Con qué cosas se relaciona el número 4.52 que aparece en este problema? ¿Qué interpretaciones se le pueden dar:

en el problema?

en la gráfica?

en la fórmula?

en la tabla?

S4 Actividad 5

Los Siete Carros

Análisis de un tipo de velocidad a partir de gráficas

Recomendación: Será necesario el proceso inverso para determinar el papel que juega el número propuesto. Dado que este número no aparece explícitamente en las tareas antes solicitadas, se deja al ingenio de los participantes el conjeturar lo que puede indicar. Sugerimos no proporcionar “pistas”.




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En esta actividad, daremos una mirada más cercana a las gráficas para caracterizar, en este tipo particular de representación, las relaciones entre la distancia y el tiempo, y entre la inclinación y la velocidad.

Suponga que siete automóviles están cerca de una intersección de calles. Las gráficas siguientes muestran las distancias entre los carros y la intersección a la que se aproximan conforme pasa el tiempo. Estudie estas gráficas cuidadosamente y entonces trate de responder las siguientes preguntas.

1. ¿Qué característica común tiene la velocidad de los siete carros durante los primeros 11 segundos? ¿Cómo nombra usted este tipo de variación? Comente en equipo y luego compartan con el grupo sus respuestas.

2. ¿En qué dirección se está moviendo cada automóvil con relación a la intersección?


En esta actividad se proponen tareas que requieren de mucha apreciación visual. Su propósito está descrito en la presentación de la situación. Es una actividad ágil que se presta a la comunicación grupal, pues es en la relación entre la representación gráfica y verbal de las posibles situaciones reales del movimiento de cada carro, lo que se utiliza como herramienta principal para promover un significado más sólido de la variación uniforme y caracterizar el tipo de velocidad que le corresponde: velocidad constante.


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3. Compare las velocidades de los carros. ¿Cómo están relacionadas sus velocidades con la inclinación de las líneas?

4. ¿Para alguno de los automóviles ocurre que la distancia varía de manera directamente proporcional?, es decir, ¿para alguno de los automóviles ocurre que la relación entre la distancia y el tiempo es proporcional? Justifique su respuesta.

5. ¿Alguno de los automóviles se detuvo durante el viaje?, si así fue, ¿cuál de ellos?

6. Elija uno de los siete carros y use su imaginación para describir su viaje en el auto. Piense en sus observaciones como un pasajero o conductor en este automóvil, y proporcione los detalles relevantes de su viaje en esos quince segundos. Incluya dónde y cuándo empezó el viaje y lo que vio que estaba ocurriendo en derredor suyo – en frente del carro, a los lados y a través del espejo retrovisor.

Recomendación: Sugiérales que sean creativos. Si el grupo está trabajando en pequeños equipos, asigne un carro a cada uno y dé suficiente tiempo para que hagan un relato de no menos de 10 renglones. Luego pida a cada equipo que un representante pase a leerlo.

Observación: En este punto 3 se esperan respuestas precisas y argumentadas. Es muy importante asegurar que se tenga un significado apropiado sobre la velocidad cuando la gráfica es una línea horizontal o cuando es decreciente

Recomendación: Pídales que de nuevo observen con cuidado la descripción gráfica del desplazamiento de cada carro en función del tiempo. Aunque ya se han hecho varias gráficas de la variación uniforme, deberá usted asegurarse que no se confunda la representación gráfica de la variación con la trayectoria de los carros. Por ello sugerimos que para responder a esta pregunta haga usted participar a todo el grupo haciendo preguntas específicas sobre cada uno de los carros.



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S4 Actividad 6

Pendiente

El concepto de pendiente es sumamente importante en matemáticas, y en esta breve actividad exploraremos lo que sabemos de ella.

1. Tómese un minuto para pensar acerca de qué es lo que realmente sabe usted de la pendiente. ¿Qué significa? ¿Dónde se usa?

2. Usted pudiera estar familiarizado con la idea de pendiente como una medida de la inclinación. La fórmula para la pendiente usualmente es descrita como

xencambioyencambiopendiente

Recomendación: Pida a los participantes que compartan las fórmulas que ellos conocen para el cálculo de la pendiente, así como la simbología que emplean.


En esta actividad se explora el concepto de pendiente de una recta y se relaciona con el concepto de rapidez de variación, uniforme y no uniforme. El énfasis se hace para el caso de la función lineal, la cual ya se ha establecido como modelo de la variación uniforme en las actividades anteriores. Particularmente, se analiza la forma como se presenta el valor de la pendiente a través de las diversas representaciones de las funciones lineales.



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3. ¿Cómo definiría usted la pendiente de una línea que representa una variación uniforme en términos de la relación que existe entre las variaciones vertical y horizontal que registran respectivamente las variables al pasar de un valor a otro cualquiera?.

4. Alternativamente, una forma útil de pensar en la pendiente es: “la magnitud del cambio de la variable dependiente para cada incremento de una unidad en la variable independiente”. En otras palabras, conforme x cambia unaunidad, preguntarnos ¿qué tanto cambia y ? Comente por qué es válida y en qué consiste la utilidad de esta forma de ver la pendiente.

5. ¿Qué pasa cuando usted trata de encontrar la razón del desplazamiento vertical al horizontal para el caso de una línea curva?

6. El dibujo enseguida muestra un cable anclado a una pared. Estime la razón del desplazamiento vertical al horizontal para cada pareja de puntos P y Q, P y R, Q y R.



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Describa lo que ocurre globalmente y en cada tramo en particular.

7. Finalmente, ¿Cómo puede usted precisar el valor de la pendiente de una función lineal en el caso en que ésta se le represente mediante:

a) una regla de forma cerrada?

b) una regla recursiva?

c) una descripción de la situación que se modela?

d) una tabla?

e) una gráfica?

Puntos

Diferenciahorizontal

h

Diferenciavertical

v hv

P - Q Q - R P - R

Recomendación: Se puede hacer una exploración con una función lineal en particular, para luego pasar al caso general. También es posible utilizar applets interactivos para hacer una exploración dinámica.


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S4 Actividad 7 Descripción gráfica de situaciones de la vida real

Intentaremos a continuación identificar algunas gráficas que correspondan a las descripciones dadas. Elija la mejor gráfica que represente a cada una de las situaciones descritas abajo. Escriba en cada eje la variable correspondiente.

a. Realmente disfruto de la leche fría o de la leche caliente, pero detesto la leche tibia. ________

Observación.

Los participantes, trabajando en equipos pequeños, elegirán la gráfica que mejor represente la situación descrita. Es importante compartir de manera grupal los resultados, ya que es posible que más de una gráfica represente adecuadamente una misma situación, dependiendo de la variable que se seleccione para cada eje, y su forma de medirla. Los participantes deberán hacer una descripción completa y clara de las convenciones utilizadas.

Propósitos y descripción.

En esta actividad se pretende que los participantes relacionen algunas situaciones de la vida real, con una descripción en lenguaje natural y una representación gráfica. En la primera parte de la actividad se muestran varias gráficas sin ejes graduados, las cuales deberán interpretarse cualitativamente y de manera global, para posteriormente relacionarse con las situaciones descritas. En la segunda parte de la actividad, los participantes deberán hacer una descripción detallada de la situación dada y construir las gráficas.




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b. Los precios ahora se están incrementando más lentamente que en cualquier momento durante los cinco años pasados. ___________

c. Entre más pequeñas son las cajas, más cajas podemos cargar en la camioneta. ________

d. Al finalizar el concierto, hubo un silencio abrumador. Entonces una persona en la audiencia comenzó a aplaudir. Gradualmente, los que estaban alrededor se le unieron, y de pronto, todos aplaudían y animaban a la orquesta. ___________

e. Si el precio de entrada al cine es demasiado bajo, entonces los dueños perderán el dinero. Por otra parte, si la admisión es demasiado alta, entonces pocas personas asistirán, y los dueños perderán de nuevo. Así, una sala de cine debe mantener un precio moderado para que sea rentable. ___________

En las siguientes situaciones cotidianas, diga qué sucede. Explique cada situación cuidadosamente en palabras, y después bosqueje la gráfica que representa la situación lo mejor posible.

a. ¿Cómo depende el costo de una bolsa de papas fritas de su peso?

b. ¿Cómo depende el tiempo de una carrera de la distancia recorrida?

c. ¿Cómo varía la velocidad de un niño cuando se pasea en un columpio?

Observación: En la siguiente parte de la actividad, cuide que los participantes escriban detalladamente la descripción de la situación ya que, generalmente, se van directo a la elaboración de la gráfica. Deberá hacerse énfasis en que tanto la descripción en lenguaje natural, como la gráfica, son representaciones valiosas para la construcción de significados en torno a un problema o situación dada.


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d. ¿Cómo varía la velocidad de una pelota mientras rebota en el piso?

Observación: Se espera que a lo largo de la presente actividad y la siguiente, los profesores logren dar sentido a expresiones como “crece cada vez más rápidamente”, “decrece cada vez más lentamente”, “crece a ritmo constante”, etc. y las relacionen con la concavidad de la curva en una representación gráfica. De manera concreta, se espera se hagan las siguientes asociaciones:

x

y

x

y

crece cada vez más rápidamente decrece cada vez más rápidamente

x

y

x

y

crece cada vez más lentamente decrece cada vez más lentamente

x

y

x

y

crece a ritmo constante decrece a ritmo constante



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S4 Actividad 8 Llenado de Botellas

¿Ha observado alguna vez que cuando se están llenando botellas mediante un flujo de agua constante, al llegar casi al tope, súbitamente el agua se empieza a derramar? ¿Por qué sucede esto?

1. Imagine que cada una de las seis botellas que se muestran abajo, se llena manteniendo un flujo constante. Para cada botella, elija la gráfica adecuada que relacione la altura del agua con el volumen del agua que se ha vertido.

Materiales: Botellas de diferentes formas (opcional).

Recomendación: Se sugiere llevar a la sesión con los participantes, algunas botellas con formas variadas y, de ser posible, llenarlas mediante un flujo constante, para tener una experiencia concreta sobre la variación de la altura del agua durante el llenado de la botella. De este modo, se espera que cobren más sentido expresiones relacionadas con la rapidez de variación, como las presentadas en el último cuadro de comentarios de la actividad anterior.


En esta actividad se analizan diferentes tipos de variación en el contexto del llenado de botellas y se representan gráficamente, de forma cualitativa y globalmente.



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2. Para las gráficas que quedan sin seleccionar, muestre como sería la botella que se llena.

3. Bosqueje la gráfica para siguiente secuencia de botellas

Observación: En algunos casos será necesario ajustar las gráficas, ya sea agregando a ésta, segmentos de recta o de curva, para establecer la relación con la botella correspondiente. Se puede aprovechar esta situación, pidiendo a los participantes, que establezcan las características de estos segmentos. Para ello, los participantes deberán primeramente establecer las variables que serán medidas en cada uno de los ejes.



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4. Usando estos bosquejos, explique por qué el llenado de una botella con lados rectos e inclinados no da una recta como gráfica.

5. ¿Es posible que dos botellas distintas produzcan la misma gráfica de la relación altura-volumen? En caso afirmativo bosquéjelas.

S4 Actividad 9 Nuestros materiales de trabajo

En esta actividad se propone que realicen, como en las sesiones anteriores, el análisis de alguna situación de variación que se propone en su libro de texto.Con el propósito de que esta actividad se desarrolle de acuerdo a lo antes declarado es necesario que ustedes tengan disponibles, además de su libro de texto, los Planes y Programas de estudio de Matemáticas.

Con base en el Programa de estudio, seleccionen una lección de su Libro de Texto de Matemáticas del grado en el que trabajan, relacionada con el tema de variación y analícenla conforme a lo siguiente:

Recomendación: Revise las gráficas que aparecen en el último cuadro de comentarios de la actividad anterior.


Al igual que en las sesiones anteriores, se solicitará el análisis de una lección sobre el tema de variación de acuerdo a los criterios indicados. Se espera que puedan comentarlos ante el grupo. Sin embargo, no podemos perder de vista que al ser ésta la última sesión, habrá que insistir en que se promuevan reflexiones generales encaminadas a cumplir el objetivo general planteado por el curso.



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h) Nombre de la lección:

i) Grado:

j) Contenidos que se tratan en la lección:

k) Habilidades que, en su opinión, se pueden desarrollar:

l) Grado de dificultad que, en su opinión, presenta la lección (analicen las actividades y expliquen)

m) ¿Qué modificaciones o variantes propondrían ustedes a esta lección para enriquecerla?

n) Relacionen la actividad seleccionada con otras actividades que traten el mismo tema en su Libro de Texto.

Al concluir las actividades del presente curso con esta actividad, esperamos que se promueva una reflexión grupal acerca de:

¿Qué relación encuentran entre las actividades propuestas a lo largo del módulo y las que han localizado en sus materiales de trabajo?

¿Qué habilidades propias del pensamiento algebraico se promovieron a lo largo de las actividades?

Se espera que los participantes puedan expresar algo como la observación, el descubrimiento de patrones en diferentes contextos (numéricos, gráficos, etc.), la generalización de ellos a través de expresiones, tanto en lenguaje natural como simbólico o combinado, validación y extensión. De la misma manera, se espera puedan mencionar el papel que juegan la construcción y uso de diferentes representaciones.

¿Qué significa pensar algebraicamente?

¿Qué es el Álgebra? ¿Qué relación tiene con la Aritmética?

¿Qué implicaciones tienen estas concepciones en la enseñanza de la Aritmética y el Álgebra en este nivel educativo?

Se espera que los participantes, al dar respuesta a las preguntas anteriores, manifiesten que han enriquecido su concepción del Álgebra y la Aritmética más allá de la manipulación de símbolos y reglas de operación. Igualmente, se espera que después de haber desarrollado las actividades (en las que se usan profusamente distintas representaciones, en donde se le da diferente significado a las literales, en donde se identifican patrones y se generaliza y verifica su validez, así como su alcance y extensión, etc.), y reflexionado sobre las lecturas propuestas, los participantes puedan expresar particularidades o ejemplos sobre lo que significa pensar algebraicamente y las formas en que eso se puede promover en el aula.



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12_Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico INSTRUCTOR.pdf