13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores

8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores

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5

Además de estos factores controlables, hay otros más que no pueden controlarse con facilidad una vez que

la máquina inicia la rutina de manufactura; entre éstos se incluyen:

1. El espesor de la tarjeta de circuitería

2. Los tipos de componentes utilizados en la tarjeta

1. Temperatura de la soldadura

2. Temperatura de precalentamiento

3. Velocidad de la banda transportadora

4. Tipo de flujo

5. Gravedad de flujo específica

6. Profundidad de la onda de soldadura

7. Ángulo de la banda transportadora

Un experimento de caracterización. Un ingeniero de desarrollo está trabajando en un nuevo proceso para

soldar componentes electrónicos en tarjetas de circuitería. Específicamente, trabaja con un nuevo tipo de sol-

dadura de flujo que, espera, reducirá el número de puntos de soldadura defectuosos. Una máquina de solda-

dura de flujo precalienta las tarjetas de circuitería y después las pone en contacto con una onda de soldadura

líquida. Esta máquina efectúa todas las conexiones eléctricas y la mayor parte de las mecánicas de los compo-

nentes en la tarjeta de circuitería. Los defectos de soldadura requieren retoque o volver a realizarse, lo que sig-

nifica mayor costo y, a menudo, daña las tarjetas. La máquina de soldadura de flujo tiene diversas variables

que el ingeniero puede controlar. Éstas son

3 E JEM PLO S D E AP L IC AC IO NES D EL D ISE Ñ O E XPE R IM EN TA L

Un experimento no es más que una prueba o una serie de pruebas. Los experimentos se realizan en

todas las disciplinas científicas

de la ingeniería,

son una parte fundamental del proceso de des-

cubrimiento aprendizaje. Las conclusiones que pueden extraerse de un experimento dependerán,

en parte, de cómo se llevó a cabo; por ello, su

is ño

desempeña un papel fundamental en la solu-

ción del problema. Este capítulo presenta útiles técnicas de diseño experimental cuando están invo-

lucrados varios factores.

Diseño de

experimentos con

varios factores

Capítulo



Un experimento de optimización. En un experimento de caracterización nos interesa determinar cuáles fac

tores afectan la respuesta. El siguiente paso lógico consiste en determinar la región en los factores importan

tes que conducen a una respuesta óptima. Por ejemplo, si la respuesta es rendimiento, consideraríamos una

región de rendimiento máximo, y si la respuesta es el costo, consideraríamos una región de costo mínimo.

A modo de ilustración, suponga que el rendimiento de un proceso químico es afectado por la temperatu

ra de operación y el tiempo de reacción. El proceso se está operando a 155°F y 1.7 horas de tiempo de reac

ción, y se presenta un rendimiento de aproximadamente 75 . La figura 13-2muestra una vista de este espacio

tiempo-temperatura. En esta gráfica hemos conectado con líneas los puntos de rendimiento constante. Estas

líneas se llaman contornos en la figura se muestran los contornos para rendimientos de 60, 70, 80, 90 Y95 .

Para localizar el rendimiento óptimo, es necesario diseñar un experimento que varíe al mismo tiempo la pre

sión y la temperatura. Este diseño se ilustra en la figura 13-2. Las respuestas observadas en los cuatro puntos

En esta situación, el ingeniero está interesado en caracterizar la máquina de soldadura de flujo; esto es,

lo que quiere es determinar qué factores tanto controlables como no controlables) afectan la ocurrencia de de

fectos en las tarjetas de circuitería. Para lograrlo, se puede diseñar un experimento que permitirá estimar la

magnitud y dirección de los efectos del factor. En ocasiones llamamos a este tipo de análisis experimentos de

encubrimiento La información de este estudio de caracterización o experimento de encubrimiento puede uti

lizarse para identificar factores críticos, determinar la dirección de ajuste respecto de estos factores para redu

cir el número de defectos,

ayudar en la determinación de cuáles factores deben controlarse cuidadosamente

durante la manufactura para evitar altos niveles de defectos y un funcionamiento errático del proceso.

Figura 13-1 Experimento de la soldadura de flujo.

Z z Zq

Factores no controlables de ruido

Insumo tarjetas Proceso máquina

de soldadura de flujo

de circuitería

Producción

defectos, y

Factores controlables

X x x

Con frecuencia. los factores no controlables se denominan factores de ruido Una representación esque

mática del proceso se muestra en la figura 13-1.

3. La distribución de los componentes en la tarjeta

4. El operador de la máquina

5. Factores ambientales

6. Tasa de producción

426 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARAINGENIERíA



4. Pruebas de confiabilidad

y

vida de servicio

5. Pruebas de funcionamiento

6. Configuración del diseño del producto

7. Determinación de tolerancia de los componentes

Estos ejemplos ilustran sólo dos aplicacionespotenciales de los métodos de diseño experimental.

En el ámbito de la ingeniería, las aplicaciones del diseño de experimentos son numerosas. Algunas

de las posibles áreas de aplicación son:

1. Resolución de problemas en un proceso

2. Desarrollo y optimización de procesos

3. Evaluación de materiales alternativos

del experimento 145°F, 1.2 h , l45°F, 2.2 h , l65°F, 1.2 h y 165°F, 2.2 h indican que debemos movemos

en la dirección general de aumento de temperatura

y

disminución de tiempo de reacción para incrementar el

rendimiento. Unas cuantas ejecuciones adicionales podrían efectuarse en esta dirección para localizar la región

de rendimiento máximo.

Figura 13-2 Gráfica de contornos del rendimiento como una función del tiempo de reacción

y

la

temperatura de reacción, ilustrando un experimento de optimización.

2 5

5

Tiempo h

15

2

Trayectoria que conduce

19

a la región de

rendimiento

más alto

18

~

~

17

Q

Condiciones de

16

operación actuales

15

14

DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES 427



20

4

actor

A

Factor

Tabla 3

Experimento factorial con dos factores

30 10

20.

En algunos experimentos la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la mis-

ma en todos los niveles de los otros factores. Cuando esto ocurre hay una

interacción

entre ellos.

Por ejemplo considere los datos de la tabla 13 2.En el primer nivel del factor

B

el efecto de

es

B

20

40 _ 10

30

10.

Esto es el cambio del nivel 1 al nivel 2 en el factor ocasiona un incremento de 20 unidades

en la respuesta promedio. De modo similar el efecto principal de

B

es

30 40 _ 10 20

20.

Cuando hay varios factores de interés en un experimento debe emplearse un diseño factorial En es-

te tipo de diseño los factores varíanjuntos. Específicamente por experimento factorial entendemos

que en cada ensayo o réplica completos del experimento se investigan todas las combinaciones po-

sibles de los niveles de los factores. Por tanto si hay dos factores y

B

el primero con

niveles y

el segundo b niveles cada réplica contiene todas las ab combinaciones de tratamiento.

El efecto de un factor se define como el cambio producido en respuesta a un cambio en el ni-

vel del factor. Esto se denomina efecto principal porque se refiere a los factores principales en el

estudio. Por ejemplo considere los datos de la tabla 13 1. El efecto principal del factor es la di-

ferencia entre la respuesta promedio en el primer nivel de

y la respuesta promedio en el segun-

do nivel de A o

3 2 EX PE RIM EN TO SFAC TO RIA LES

Los métodos del diseño experimental permiten que estos problemas se resuelvan eficientemen-

te durante las primeras etapas del ciclo del producto. Gracias a ello es posible reducir en forma muy

considerable el costo total del producto y el tiempo de desarrollo.

8

PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA



Figura 3 3 Experimento factorial ninguna interacción.

Factor

A

5

4

B ~ ::

3

3

o

2 :

al

2

/

o

O

y estaríamos tentados a concluir que no hay efecto de Sin embargo cuando examinamos los efec

tos de A en diferentes niveles del factor B vimos que éste no era el caso. El efecto del factor A de

pende de los niveles del factor

B

Por tanto conocer la interacción

AB

es más útil que conocer el

efecto principal. Una interacción significativa puede enmascarar la importancia de los efectos prin

cipales.

El concepto de interacción puede ilustrarse en forma gráfica. En la figura 13-3 se grafican los

datos de la tabla 13-1 contra los niveles de

A

para ambos niveles de

B

Observe que las líneas

BI

y

B

2 son aproximadamente paralelas lo que indica que los factores

A

y

B

no interactúan en forma sig

nificativa. En la figura 13-4 se grafican los datos de la tabla 13-2.En la gráfica resultante las líneas

B

IY

B

no son paralelas señalando la interacción entre los factores

A

y

B

Así las representaciones

gráficas a menudo son útiles en la presentación de los resultados de un experimento.

A =

30 O _ 20

=

O

22

Puesto que el efecto de

A

depende del nivel elegido para el factor

B

hay una interacción entre

AyB

Cuando una interacción es grande los efectos principales correspondientes tienen poca impor

tancia. Por ejemplo empleando los datos de la tabla 13-2 encontramos el efecto principal de

como

A = O- 20 = -20.

y en el segundo nivel del factor

B

el efecto de

A

es

2

O

1

3

Factor A

Factor

B

Tabla 3 2

Experimento factorial con interacción

DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES

9



Figura 13-5 Rendimiento contra tiempo de reacción, con temperatura constante a 155°F

Tiempo (h)

2 5 5 2 5

5

~

e

1::

al

60

i5

1::

al

a •

8

Una alternativa para el diseño factorial que desafortunadamente se emplea en la práctica, con

siste en cambiar los factores uno a la vez en lugar de variarlos en forma simultánea, Para ilustrar es

te procedimiento de un factor a la vez, considere el experimento de optimización descrito en el

ejemplo 13-2.El ingeniero está interesado en encontrar los valores de temperatura y tiempo de reac

ción que maximicen el rendimiento. Suponga que fijamos la temperatura en 15SOP el nivel de ope

ración actual y efectuamos cinco ejecuciones a diferentes niveles de tiempo, digamos 0.5 horas, 1.0

horas, 1.5 horas, 2.0 horas y 2.5 horas. Los resultados de estas series de ejecuciones se muestran en

la figura 13-5. En ella, se indica que el rendimiento máximo se alcanza aproximadamente con un

tiempo de reacción de 1.7horas. Para optimizar la temperatura, el ingeniero fija el tiempo en 1.7 ho

ras el óptimo aparente y efectúa cinco ejecuciones a diferentes temperaturas, por ejemplo 140oP,

150

o

P, 160

o

P, 170

P Y 180°F.Los resultados de este grupo de ejecuciones se grafican en la figura

13-6. El rendimiento máximo ocurre cerca de 155°F.Por tanto, concluiríamos que la ejecución del

proceso a 155°P y 1.7horas constituye el mejor grupo de condiciones de operación, resultando en

un rendimiento de más o menos 75 por ciento.

La figura 13-7 presenta la gráfica de contornos del rendimiento como una función de la tempe

ratura y el tiempo, representando el experimento de un factor a la vez sobre el contorno. Es claro que

Figura 13-4 Experimento factorial, con interacción,

5

1::

4

o

u

3

<.

o

al

2

1

1

O

430 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA



el diseño de un factor a la vez ha fallado aquí en gran medida dado que el nivel de rendimiento óp-

timo real está por lo menos 20 puntos por encima y ocurre en tiempos de reacción mucho menores

y temperaturas más altas La falla en el descubrimiento de tiempos de reacción más cortos es par-

ticularmente importante en virtud de que tendría un impacto muy significativo en el volumen o la

capacidad de producción en la planeación en el costo de manufactura y en la productividad total

Figura 3 7 Experimento de optimización, utilizando el método de un factor a la vez.

Tiempo h

2 5

0

.5

.0 5

E

~

.3

~

al

a.

E

al

1

Figura 3 6

Rendimiento contra temperatura, con tiempo de reacción constante a 1.7 h.

Temperatura O F

8

~

; : : g

~

7

Q

E

6

6

Q

c

5


4



Suponga que los factores A y R son fijos. Esto es, el investigador elige específicamente los niveles

a del factor A y los niveles b del factor B y las deducciones se confinan sólo a estos niveles. En es

te modelo, es usual definir los efectos Ti f3j y (TfJ)ij como desviaciones respecto de la media, de ma

nera que

I t

Ti 0,

I

¡f3j 0, Ii= ¡(TfJ)ij y

I

TfJ)ij O.

Sea Yi .. el total de las observaciones bajo el nivel i-ésimo del factor A Y j el total de las obser

vaciones bajo el nivel j-ésimo del factor R Yij el total de las observaciones en la celda ij-ésima de

la tabla 13-3, y y ... el gran total de todas las observaciones. Defina Yi Y j Yij Y y como el ren

glón, la columna, la celda y los grandes promedios correspondientes. Esto es,

13 3 1 Análisis estadístico del modelo de efectos fijos

donde J es el efecto de la media general, Ti es el efecto del nivel i-ésimo del factor A f3 es el efec

to del nivel j-ésimo del factor B , (T fJ )ij es el efecto de la interacción entre A y R, Y Eijk es una com

ponente de error aleatorio NID O,

0 2

distribución normal e independiente . Estamos interesados en

probar las hipótesis de que no hay efecto significativo del factor

A

no hay efecto significativo del

factor R y no hay interacción significativa AB. Como en los experimentos de un solo factor anali

zados en el capítulo 12, emplearemos el análisis de varianza para probar estas hipótesis. Puesto que

hay dos factores bajo estudio, el procedimiento que se emplea se llama análisis de varianza bidirec

cional.

13-1

i 1, 2, , a

Yijk J t f3 j (TfJ)ij Eijk 1,2, , b

1,2, , n,

El tipo más simple de experimento factorial involucra sólo dos factores, digamos

A

y

B

Haya ni

veles del factor

A

y

b

niveles del factor

B

El factorial de dos factores se muestra en la tabla 13-3.

Observe que hay n réplicas del experimento, y cada una de ellas contiene todas las ab combinacio

nes de tratamiento. La observación en la celda ij-ésima de la réplica k-ésima se denota Yijk Al recopi

lar los datos, las observaciones abn se ejecutarían en orden aleatorio. En consecuencia, como en el

experimento de un solo factor estudiado en el capítulo 12, el factorial de dos factores es un diseño

completamente aleatorio.

Las observaciones pueden describirse mediante l modelo estadístico lineal

3 3 EXPER IM EN TO S FACTO R IALES D E D O S FAC TO R ES

El método de un factor a la vez ha fallado en este caso, porque fue incapaz de detectar la interac

ción entre la temperatura y el tiempo. Los experimentos factoriales son la única forma de detectar in

teracciones. Además, el método de un factor a la vez es ineficiente; requiere más experimentación que

uno factorial y, como acabamos de observar, no ofrece garantía de producir resultados correctos. El

experimento ilustrado en la figura 13-2, con información que señala la región del nivel óptimo, es un

ejemplo simple de experimento factorial.

432 PROB BILID D EST DíSTIC P R INGENIERí



i= l j= l k= l

= l j= l

a b a b n

+

n

5 1 . .

y . y .

y

2

(y .. -

y

2

- - tj.

.J. ... - - -

ijk

lJ.·

j= l

= l

13-3

+ f _ o _ y . Y

(y k _

y ..

)]2

\ Y lJ lJ lJ.

a b

= bn L (5Ii. - Y . .Y an L(5ij. - Y . .Y

a b n

= L L L[ (5Ii. -

Y J

(5 I.j.-

Y J

i= l j= l k= l

a b n

L L L(Yijk -

Y ..

i= l j= l k= l

a suma de cuadrados corregida total puede escribirse como

j 1,2, ... , b,

13-2

1,2, ... ,

a,

j 1,2, ... , b,

i 1, 2, ... ,

a,

b n

Yi..

Yi . . L LYijk

Y i. ..

j= l

k= l

bn

a

n

v¡

Y.j.=LLYijk

Y .j .

i= l k= l

an

n

Yij .

Y ij. =Vijk

Y ij .

n

k= l

a b

n

Y .. .

Y .. .

L LLYijk

Y . . .

i= l

j= l

k= l

abn

Yabl Yab2 ... Yabn

all Ya12 ... Yaln Ya2l Ya22 ... Ya2n

Y211 Y212 ... Y2ln Y22l Y222 ... Y22n

Ylbl Ylb2 Ylbn

Y2bl Y2b2 Y2bn

Y111 Yl12 ... Ylln Y121 Y122 ... Y12n

b

actor A 2

Factor B

Tabla 13-3 Arreglo de datos para un diseño factorial de dos factores




Por tanto, para probar

Ho

(ningún efecto de factor de renglón),

Ho

(ningún efecto

de factor de columna), y Ho

rfJ ij

(ningún efecto de interacción), dividiríamos la media cuadrá

tica correspondiente entre el error cuadrático medio. Cada una de estas razones seguirá una distribu

ción

F

con grados de libertad del numerador iguales al número de grados de libertad para la media

cuadrática del numerador y

aben -

1) grados de libertad del denominador; la región crítica se loca

lizará en la cola superior. El procedimiento de prueba se arregla en una tabla de análisis de varian

za, tal como se muestra en la tabla 13-4.

y

a

b

nLL rfJ t

E MC

AB

E SC

AB a2

__ i = _ l l _ = _ l _

a - l b - 1 a - l b - 1

b

-s»

E MC

B

E SC

B a2

__ 1 = _ 1 _

b b

Hay un total de abn - 1 grados de libertad. Los efectos principales A y B tienen a - 1 Yb - 1

grados de libertad, en tanto que el efecto de interacciónAB tiene a - l b - 1) grados de libertad.

Dentro de cada una de las

ab

celdas de la tabla 13-3, hay

n -

1 grados de libertad entre

n

réplicas, y

las observaciones en la misma celda pueden diferir sólo debidoal error aleatorio. En consecuencia,

hay

aben -

grados de libertad para el error. La razón de cada suma de cuadrados en

el

lado dere

cho de la ecuación 13-4 respecto de sus grados de libertad, es una

media cuadrática.

Suponiendo que los factores

A

y

B

son fijos, los valores esperados de las medias cuadradas son

(13-4)

Por consiguiente, la suma de cuadrados total se divide en una suma de cuadrados debida a ren

glones o factores de

A SCA ,

una suma de cuadrados debida a columnas o factore s de

B SCB ,

una suma de cuadrados debida a la interacción entreA y B

SC

AB , y una suma de cuadrados debida

al error

SCE .

Observe que debe haber al menos dos réplicas para obtener una suma de cuadrados

del error diferente de cero.

La identidad de la suma de cuadrados en la ecuación 13-3puede escribirse simbólicamentecomo

PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARA INGENIERíA



13-8)

C

B

SCsubtotales

SCA SCB·

Esta suma de cuadrados contiene también SCA y SCB Por tanto, el segundo paso consiste en

calcular

SC AB

como

a

b

se

~ ~

Y ij Y

subtotales

~ ~

i=l j=l n abn

Usualmente calculamos las SCAB en dos pasos. Primero, calculamos la suma de cuadrados entre

los totales de la celda ab llamada suma de cuadrados debido a subtotales .

13-7)

b

SC ~

j

Y

B ~

an - abn

j=l

y

13-6)

a

SCA=L~ z

i=l bn abn

Las sumas de cuadrados para los efectos principales son

13-5)

Las fórmulas de cálculo para la suma de cuadrados en la ecuación 13-4 se obtienen con facili

dad. La suma de cuadrados total se calcula a partir de

Fuente de Suma de

Grados de Media

variación cuadrados libertad cuadrática

Tratamientos

SG

a-1

SG

MG

MG

a-1

MGE

Tratamientos B

SGB

b-1

SGB

MGB

MG

B

b-1

MG

E

Interacción SG B

a-1 b-1

SG B

MG

B

MG

B

a - 1 b- 1

MG

E

Error

SGE

ab n- 1

MG SGE

E

ab n-1

Total

SG

T

abn-1

Tabla 3 4 El análisis de la tabla de varianza para la clasificación bidireccional, modelo de efectos fijos


435



12.8 2

15.9 2

15.5 2 89.8 2

= - -- - 4.58 - 4.91= 0.24,

3 18

a b 2 2

se

~~ ij se se

interacción

~ ~

tipos - métodos

n n

i~ j~l

40.2 2

49.6 2 89.8 2

= ---=4.91,

18

b

i

2

se ~ _j_ ~

metodos e:

b

j~ an a n

28.7 2

34.1 2

27.0 2 89.8 2

4 58

6 18

a

2 2

se ~ _. t. ~

tipos ~

i~[ bn abn

_ 2 2 2 89.8 2_

- 4.0 4.5 5.0 - -- - 10.72,

18

a b n y2

se;

L L L Y J k _

._[ ._[ [ abn

~~

Cierta pintura tapaporos para aviones se aplica a superficies de aluminio mediante dos métodos: baño

rocia

do. El propósito del tapaporos es mejorar la adhesión de la pintura. Algunas partes pueden pintarse empleando

cualquier método de aplicación,

y

el departamento de ingeniería está interesado en conocer si tres tapaporos

diferentes tienen distintas propiedades de adhesión. Se llevó a cabo un experimento factorial para investigar

el efecto del tipo de tapaporos y demétodo de aplicación en el nivel de adhesión de la pintura. Se pintan tres

muestras con cada tapaporos empleando cada método de aplicación, se aplica una pintura de acabado y se mi

de la fuerza de adhesión. Los datos del experimento se muestran en la tabla 13-5.Los números encerrados en

círculos en las celdas son los totales

Yij

Las sumas de cuadrados requeridas para efectuar el análisis de va

rianza se calculan del modo siguiente:

l3-9b

o

13-9a

El error de la suma de cuadrados se halla mediante la resta, ya sea

6 PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARA INGENIERíA



Tabla 13 6 Análisis de varianza para el ejemplo 13 3

Fuente de

Suma de

Grados de

Media

variación

cuadrados

libertad

cuadrática

Tipos de tapaporos

4.581 2

2.291

27.86

Métodos de aplicación 4.909

1 4.909

59.70

Interacción

0.241

2

0.121 1.47

Error

0.987

12 0.082

Total 10.718 17

Pruebas en medias individuales Cuando ambos factores son fijos las comparaciones entre

las medias individuales de cualquier factor pueden efectuarse empleando la prueba de Tukey.

Cuando no hay interacción estas comparaciones pueden hacerse empleando ya sea los promedios

El análisis de varianza se resume en la tabla 13 6. Puesto que

O .05 2 1 2

3.89 y

O .05 1 1 2

4.75 conclui-

mos que los efectos principales del tipo de tapaporos y del método de aplicación afectan la fuerza de adhesión.

Además puesto que 1.5

O .05 2 12

no hay señal de interacción entre estos factores.

En la figura 13 8 se muestra una gráfica de los promedios de fuerza de adhesión de la celda Ji contra

los niveles del primer tipo para cada aplicación. La ausencia de interacción es evidente gracias al paralelismo

de las dos líneas. Además puesto que una respuesta con una cifra grande indica una fuerza de adhesión ma-

yor concluimos que el rociado es un mejor método de aplicación y que el tapaporos del tipo 2 es más eficaz.

10.72 4.58 4.91 0.24

0.99.

SC E

SCT SCtipos SCmétodo SCinteracción

y

v¡

Tipo de tapaporos

Método de aplicación

Baño Rociado

¡

4.0 4.5 4.3

@

5.4 4.9 5.6

28.7

5.6 4.9 5.4

5.8 6.1 6.3

@

34.1

3.8 3.7 4.0

@

5.5 5.0 5.0

@

27.0

40.2 49.6

89.8

Y

Tabla 13 5 Datos de la fuerza de adhesión para el ejemplo 13 3




3

2

Tipo de tapaporo

Método de aplicación

Baño Rociado

0.27

0.23 0.03

0.10

0.40 0.30

0.30

0.40 0.10

0.27 0.03

0.23

0.03 0.13 0.17 0.33 0.17 0.17

Tabla 13 7 Residuos para el experimento de la pintura tapaporos para aviones en el ejemplo 13 3

Esto es los residuos son justo la diferencia entre las observaciones y los promedios de celda co

rrespondientes.

La tabla 13-7presenta los residuos para los datos de la pintura tapaporos de aeronaves del ejem

plo 13-3.La gráfica de probabilidad normal de estos residuos se muestra en la figura 13-9.Esta grá

fica tiene colas que no caen exactamente a lo largo de la línea recta que pasa por el centro de la

misma lo que indica algunos problemas potenciales con la suposición de normalidad pero la des

viación respecto de la normalidad no parece considerable. En las figuras 13-10y 13-11 se grafican

Justo como en los experimentos de un solo factor estudiados en el capítulo 12 los residuos de un

experimento factorial desempeñan un papel importante en la evaluación de la suficiencia del mode

lo. Los residuos de un factorial de dos factores son

13 3 2 Verificación de

l

suficiencia

el mo elo

de renglón

i

o los promedios de columna

y

j

Sin embargo cuando la interacción es significativa

las comparaciones entre las medias de un factor digamos

A

pueden ser ocultadas por la interacción

AB.

En este caso podemos aplicar la prueba de Tukey a las medias del factor

A

con el factor

B

fi

jo en un nivel particular.

Figura 13 8 Gráfica de la fuerza de adhesión promedio contra los tipos de tapaporos del ejemplo 13 3.

2 3

TIpo de tapa poro




Figura 13 11

Gráfica de residuos contra el método de aplicación

~ r ~ ~ ~

D S Métododeaplicación

0 .5

0 .5

Figura 13 1

Gráfica de residuos contra el tipo de tapaporos

0~ 4~ ~2~ ~3 ~

Tipode tapaporos

0.5

0.5

Figura 13 9

Gráfica de probabilidad normal de los residuos del ejemplo 13 3

ijk residuo

•

• •

•

1.0

1.0

2. 0

L-::-....:. ---- -:-----~~----._----~ ...__-

0.5 0.3 0.1 0.1 0.3

2. 0. . ~ . ~ . ~ ~1.




13-10)

¡

1, 2, , a

ijk = r¡ j rf3)ij Eijk j = 1,2, , b

k 1,2, , n

Hasta ahora hemos considerado el caso en que y B son factores fijos. Consideraremos ahora la si

tuación en la que los niveles de ambos factores se seleccionan al azar a partir de poblaciones más

grandes de niveles de factor, y deseamos extender nuestras conclusiones a la población muestral de

niveles del factor. Las observaciones se representan por medio del modelo

13 3 4 Modelo de efectos aleatorios

En algunos casos que involucran un experimento factorial de dos factores, podemos tener sólo una ré

plica. Esto es, sólo una observación por celda. En esta situación hay exactamente tantos parámetros

en el modelo del análisis de varianza como observaciones, y los grados de libertad del error son ce

ro. Por consiguiente, es imposible probar hipótesis en tomo a los efectos e interacciones principales,

a menos que se haga una suposición adicional. La suposición usual es ignorar el efecto de interacción

y usar la media cuadrática de interacción como un error medio cuadrático. Por tanto, el análisis es

equivalente al empleado en el diseño de bloque aleatorio. Esta suposición de no interacción puede ser

peligrosa, y el investigador debe examinar cuidadosamente los datos y los residuos como indicadores

de que ahí realmente está presente la interacción. Para más detalles, véase Montgomery 2001 .

13 3 3 Una observación por celda

los residuos contra los niveles de los tipos de tapaporos y los métodos de aplicación, respectivamen

te. Existe cierto indicio de que el tipo 3 de tapaporos produce una variabilidad ligeramente inferior

en la fuerza de adhesión que los otros dos tapaporos. La gráfica de residuos contra valores ajustados

y jk Y¡j en la figura 13-12 no revela patrón inusual ni de diagnóstico.

Figura 3 2 Gráfica de residuos contra los valores predichos Yijk =Yij

0.5

• ••

• •

\

5

6

Yijk

•

•

•

0.5

PROB BILID D EST DíSTIC P R INGENIERí



la cual se distribuye como

Fb-1, a-l) b--l)

Todas éstas son pruebas de una cola superior. Observe que

estas estadísticas de prueba no son las mismas que las utilizadas si ambos factores y son fi

jos. Las medias cuadráticas esperadas se emplean siempre como una guía para probar la construc

ción de la estadística.

13-14

que se distribuye como Fa-1, a-l) b--I) Ypara probar Ho:

<1~

O,la estadística es

1 3 - 1 3

M C

A

M C

puesto que bajo

Ho

tanto el numerador como el denominador de

Fo

tienen esperanza <1

2,

y sólo si

Ho

es falsa E M C A B ) es más grande que E M C E ). La razón Fo se distribuye como F a-l) b--l), ab n-l) De

manera similar, para probar Ho:

<1~

O,usaríamos

1 3 - 1 2

M C A B

M C

E

Observe, a partir de las medias cuadráticas esperadas, que la estadística apropiada para probar

Ho:

<1~/3

O

es

y

1 3 - 1 1

E M C A )

<1

n< 1~/3

b n < 1~,

E M C B )

<1

2 n< 1~/ 3 ancr~ ,

E M C A B )

<1

2 n< 1~/3

y

<1~ , <1~ , <1~ /3

Y

<1

2

se llaman com ponentes de varianza. Las hipótesis que estamos interesados en

probar son Ho:

<1~

O,Ho:

<1~

Oy Ho:

<1~/3

O.Advierta la similitud con el modelo de efectos alea

torios de clasificación unidireccional.

El análisis de varianza básico permanece sin cambio; esto es, SC A SC B , SC A B S C T y SC E se

calculan todos como en el caso d e efectos fijos. Para construir las estadísticas de prueba, debemos

examinar las medias cuadráticas esperadas. Éstas son

V í y

-

ijk -

<1r + <1/3 + <1r/3+ <1,

donde los parámetros Ti j, T{3)ij Y€ijk son variables aleatorias. Específicamente, suponemos que si

Ti es NID O,

<1~),

j es NID O,

<1 )

T{3)ij es NID O,

<1;/3 )

y €ijk es NID O,

.

La varianza de cual

quier observación es




bl 13 8 Análisis de varianza para el ejemplo 13 4

Fuente de

Suma de

Grados de Media

variación

cuadrados libertad

cuadrática

o

Tipos de tapaporos

4 58 2

2 29 19 08

Métodos de aplicación 4 91

4 91 40 92

Interacción

0 24 2

0 12 1 5

Error 0 99 12 0 08

Total 10 72 17

Es evidente que las dos componentes de varianza más grandes son para los tipos de tapaporos ~

=

0.36

y los métodos de aplicación

~ =

0.53 .

~

= 4.91 ~ 0.12 = 0.53.

2

=

0.08,

~f = 0.12; 0.08 = 0.0133,

2.29 - 0.12

=

O 36

6

Suponga que en el ejemplo 13-3, podría emplearse un gran número de pinturas tapaporos y varios métodos de

aplicación. Tres tapaporos, digamos 1,2, y 3, se seleccionaron en forma aleatoria, así como dos métodos de apli

cación. El análisis de varianza, suponiendo el modelo de efectos aleatorios, se muestra en la tabla 13-8.

Observe que las cuatro primeras columnas de la tabla del análisis de varianza son exactamente como en

el ejemplo 13-3. Después de esto, sin embargo, las razones

se calculan de acuerdo con las ecuaciones 13-12

a 13-14. Puesto que o o s 2 12 = 3.89, concluimos que la interacción no es significativa. Además, puesto que

FO O S 2 2

=

19.0 y FO O S 2

=

18.5, concluimos que tanto los tipos como los métodos de aplicación afectan signi

ficativamente la fuerza de adhesión, aunque el tipo de tapaporos es apenas significativo en

=

0.05. Las com

ponentes de varianza pueden estimarse empleando la ecuación 13-15 como sigue:

13-15

2

= MC

2 MCAB MCE

r f 3

n

Las componentes de varianza pueden estimarse igualando las medias cuadráticas esperadas con

sus valores esperados,

y

resolviendo para las componentes de varianza. Lo anterior produce

442 PROBABILIDAD

ESTADíSTICA PARA INGENIERíA



se distribuye como F a-l) b-l), ab n-l)

13-20

se distribuye como

Fb l ab n-l)

Por último, para probar

H o: O ~f3

O,utilizaríamos

13-19

que se distribuye como

Fa-1, a-l) b-l)

Para probar H o : O ~

0, la estadística de prueba es

13-18

En consecuencia, la estadística apropiada para probar

H o : Ti

Oes

y

13-17

MCB) 0 2 a n O ~ ,

E MC

AB) 0 2 n O ~ f3

E MC

A) 0 2

n~JJ+ __

i=_l_,

l

a

b n T

En este modelo, Ti es un efecto fijo definido tal que L~

1 Ti

0, j es un efecto aleatorio, el tér

mino de interacción

TfJ)ij

es un efecto aleatorio y

Eijk

es un error aleatorio NID O,

0 2).

Suele supo

nerse que j es NID O,

O ~

y que los elementos de interacción

TfJ)ij

son variables aleatorias

normales con media cero y varianza [ a - 1)/a] ~JJ No todos los elementos de interacción son n-

dependientes.

Las medias cuadráticas esperadas en este caso son

Suponga ahora que uno de los factores, A, es fijo y el otro, B, es aleatorio. Esto recibe el nombre de

análisis de varianza del

modelo mixto

El modelo lineal es


-r

13 3.5

o elo mixto

13-16

i

1, 2, ,

Yijk u

Ti

~ TfJ)ij Eijk = 1 2

b,

k - 1 2

n



Muchos experimentos involucran más de dos factores. En esta sección presentaremos el caso en el

que haya niveles del factor A b niveles del factor B e niveles del factor

etc., arreglados en un

experimento factorial. En general, habrá abe n observaciones totales, si hay n réplicas del expe

rimento completo.

Por ejemplo, considere el experimento de tres factores, con el modelo básico

3 4 E XP ER IM E NT OS FA CT OR IA LE SG EN ER ALE S

Tabla 13 9 Análisis de varianza para el modelo mixto de dos factores

Fuente de Suma de Grados de Media

Media

variación

cuadrados

libertad cuadrática cuadrática esperada

Renglones

A

SG

a-1

MG

0 2 M~f3 bn LrT/ a-1)

MG

MG

Columnas

B

SG

b-1

MG

0 2 anci

MG

MGE

Interacción

SG

a-1) b-1)

MG

0 2 n~f3

MG

MG

E

Error

SGE

ab n-1)

MGE

0 2

Total

SGT

abn-1

Esteplanteamientogeneralpuedeutilizarsepara estimar las componentesde varianzaen cualquier

modelo mixto. Después de eliminar las medias cuadráticas que contienen factores fijos, permanecerá

siempre un conjunto de ecuaciones que puede resolverse respecto de las componentesde varianza.La

tabla 13-9resume el análisis de varianzapara el modelomixto de dos factores.

13-21)

y

~

Me MeE

u

a n

Las componentes de varianza

j~ j~p

y

j

pueden estimarse eliminando la primera ecuación de

la ecuación 13-17, con lo cual quedan tres ecuaciones con tres incógnitas, cuyas soluciones son




bla 13 10 La tabla de análisis de varianza para el modelo de efectos fijos de tres factores

Fuente de Suma de

Grados de Media Medias cuadráticas

variación cuadrados

libertad cuadrática

esperadas

MeA

ben irf MeA

A

se,

a-1

0 2 __ -

MeE

-1

B

ses

b-1

Mes

aen i 3J

Mes

0 2 __ -

b-1

MeE

Mee

abn in

uc¿

e

se¿

e-1

0 2 __ -

e-1

MeE

se¿

(a-1)(b-1) MeAS

0 2

en i i(rf3)~

MeAS

AB

(a-1)(b-1)

MeE

0 2

bn i i(rnfk

MeAe

Ae

se¿

(a-1)(e-1) MeAC

(a-1)(e-1)

MeE

an i i( 3i1Jk

Mesc

Be

sesc

(b-1)(e-

1)

Mesc

0 2

MeE

b-1)(e-1)

ABe seASC

(a-1)(b-1) (e-1) MeASC

0 2

n i i i( r 3i1~k

MeASC

(a-1)(b-1){e-1)

MeE

Error

se

abc(n-1)

MeE

0 2

Total

se,

aben -1

= j=l k=l =

13-23)

a b e n y~...

S T

L L

L

L y i j k l

aben

Suponiendo que A, By C son fijos, el análisis de varianza semuestra en la tabla 13-10.Observe

debe haber al menos dos réplicas (n ~ 2) para calcular una suma de cuadrados del error. Las

bas de F en los efectos e interacciones principales son resultado directo de las medias cuadráti

as esperadas.

Las fórmulas de cálculo para las sumas de cuadrados de la tabla 13-10 se obtienen fácilmente.

suma de cuadrados total es, usando la obvia notación de puntos ,

13-22)

{

i

1, 2, , a,

j

1,2, ,

b,

r f i>i jk E ijkl

c

1,2, ,

n.




13-31)

C

E

SC

T

SCsubtotales ABC)

La suma de cuadrados del error puede encontrarse sustrayendo la suma de cuadrados para cada

efecto e interacción principal de la suma de cuadrados total, o mediante

13-30b)

SCsubtotales ABC) - SCA - SCB - SCc - SCAB SCAC - SCBC

13-30a)

a b e

2 2

SCABC Yijk ~ SCA - SCB - SCc - SCAB - SCAC - SCBC

1 1

k= 1

n en

J

La suma de cuadrados de interacción de tres factores se calcula a partir de los totales de celda

de tres sentidos

y ijk.

como

SCsubtotaies BC) -

SCB - SCc·

13-29)

b e

2

2

SCBC= L L

Yjk.

_Y_.... _ -SCB-SCC

j=1 k l n en

y

SCsubtotales AC) -

SCA - SCo

13-28)

a e y t

2

SCAC

L L

.as: -

_ _ 2 :: : : : _

SCA - SCc

i l k=1 n en

SCsubtotales AB) -

SCA - SCB

13-27)

a b

2 1

SCAB=LL Yij .. _ .._. -SCA-SCB

i l j=l en en

Para calcular las sumas de cuadrados de interacción de dos factores, son necesarios los totales

. de las celdas A x B A x C y B x C. Puede ser útil descomponer la tabla de datos original en tres ta

blas de dos sentidos con el fin de calcular estos totales. Las sumas de cuadrados son

13-26)

C

- ~ k 1 ...

c ~

k=l n en

13-25)

C

_ ~~.. l...

B~

j l en en

13-24)

a

2 1

SC

_ ~

Y i

A ~

i=l

en en

La suma de cuadrados para los efectos principales se calcula a partir de los totales para los fac

tores A(Y i .) , B ( y j ) YC(y k ) como sigue:




a b

e

n y2

177 2

SCT

LLLll~kl- _ _

2051 - -- 92.9375,

;=1j=1 k=11=1

aben 6

Las sumas de cuadrados se calculan como sigue, empleando las ecuaciones 13-23 a 13-31:

Tabla 13-11 Datos de rugosidad superficial registrados para el ejemplo 13-5

Profundidad de corte 8

0.025 pulgs 0.040 pulgs

Tasa de Ángulo de herramienta

C

Ángulo de herramienta

C

alimentación

A

15°

25°

15°

25°

Y r

9

11

9

10

20 pulgs/min 7

10 11

8

75

@ @

@ @

10 10 12 16

30 pulgs/min 12 13

15 14 102

@ @

@ @

totales

Bx e

y . p (

38

44 47 48

177 y . .. .

totales A x B

totales

A

x

e

Y i j

y ¡ . / (

AlB

0.025 0.040

Ale

15 25

20 37 38

20

36 39

30

57

30

49 53

Y . j . .

82 95

Y . .k.

85

92

Un ingeniero mecánico está estudiando la rugosidad superficial de una pieza producida en una operación de

corte metálico. Son de interés tres factores: la tasa de alimentación A , la profundidad de corte B y el ángu

lo de la herramienta

C .

A cada factor se le han asignado dos niveles,

y

se están ejecutando dos réplicas de di

seño factorial. Los datos codificados se muestran en la tabla 13-11.Los totales de celda de tres sentidos y ijk

están encerrados por un círculo.




177)2

- -- - 45.5625 - 10.5625 - 3.0625 - 7.5625 - 0.0625 - 1.5625

16 .

=

5.0625,

2

16)2 21)2 30)2

b e

SCABC

Yijk. ~ SCA SCB SCc SCAB SCAC SCBC

i l j=l k=l n aben

1.5625

=

38)2

44)2

47)2

48)2 _ 177)2 _ 10.5625 _ 3.0625

16

=

36)2

39)2

49)2

53)2 _ 177)2 _ 45.5625 _ 3.0625

16

a

e 2 2

SCAc

=

Yi.k. ~ SCA SCc

i l k l bn aben

=

7.5625

37)2 38)2 45)2 57)2 177)2

45.5625 - 10.5625

16

2 2

SCAB=LL Yij ~ SCA SCB

i l j=l en aben

85)2

92)2 _ 177)2

3.0625

8 16

e

SCc

L Y..k. _ 2 _ = _

k=l abn aben

= 82)2

95)2 177)2 = 10.5625,

8 16

b 2 2

SC

L . . J : : _ ~

B j=l aen aben

a 2 2

SCA=L~ ~

i l ben aben

2 2 2

75) 102) _ 177) 45.5625,

8 16

PROBABILIDAD

ESTADíSTICAPARAINGENIERíA



El tipo más simple de diseño

2

es el 22, esto es, de dos factores

A

y

B

cada uno en dos niveles. So

lemos considerarlos como los niveles bajo y alto del factor. El diseño 2

2

se muestra en la figura

13 5 1 Diseño 2

2

Ciertos tipos de diseños factoriales son muy útiles. Uno de éstos es un diseño factorial con

facto

res, cada uno en dos niveles. Debido a que cada réplica completa del diseño tiene

k ejecuciones o

combinaciones de tratamiento, el arreglo se llama diseño factorial

k

Estos diseños tienen un análi

sis estadístico sumamente simplificado, y además forman la base de muchos otros diseños útiles.

D IS EÑ O F T OR I L

3 5

Es evidente que los experimentos factoriales con tres o más factores son complicados y requie

ren muchas ejecuciones, en particular si alguno de los factores tiene varios (más de dos) niveles. Es

to nos lleva a considerar una clase de diseños factoriales con todos los factores en dos niveles. Estos

diseños son muy sencillos de establecer y analizar, y, como veremos, es posible reducir en gran me

dida el número de ejecuciones experimentales mediante la técnica de réplica fraccionaria.

Tabla 13-12 Análisis de varianza para e l ejemplo 13-5



Tasade alimentación A

45.5625

1

45.5625 18.69

Profundidad de corte 8) 10.5625 1 10.5625

4 33

Ángulo de herramienta

C

3.0625 1 3.0625

1.26

AB

7.5625 1

7.5625 3.10

AC

0.0625 1

0.0625 0.03

BC

1.5625 1 1.5625

0.64

ABC

5.0625 1 5.0625

2.08

Error

19.5000

8

2.4375

Total 92.9375

15

aSignificativo en 1 .

Significativo en 10 .

El análisis de varianza se resume en la tabla 13-12. La tasa de alimentación tiene un efecto significativo

en el acabado superficial < 0.01), y lo mismo ocurre con la profundidad de corte (0.05 < < 0.10). Existe

cierta evidencia de una ligera interacción entre estos factores, ya que la prueba F para la interacciónAB es ape

nas menor que 10 del valor crítico.

92.9375 - 73.4375

19.5000.

SC

SC

T

SCsubtotales A BC)




De manera similar, el efecto principal de

se encuentra promediando las observaciones en la

parte superior del cuadrado, donde

se encuentra en el nivel alto, y sustrayendo el promedio de las

observaciones en la base del cuadrado, donde está en el nivel bajo:

2n [a

+

a b b

1 ].

13-32

A

a + ab _ b + 1

2n 2n

Por ejemplo, la combinación de tratamiento

a

indica que el factor

A

está en el nivel alto y el fac

tor

B

está en el nivel bajo. La combinación de tratamiento con ambos factores en el nivel bajo se re

presenta por medio de 1 . Esta notación se usa a largo de las series del diseño

2

k• Por ejemplo, la

combinación de tratamiento en un diseño 2

con

y

en el nivel alto

YD en el nivel bajo se

denota mediante

ac

Los efectos de interés en el diseño 22 son los efectos principales

y

Yla interacción de dos

factoresAB Sean 1 , b y ab también una representación de los totales de las n observaciones to

madas en esos puntos del diseño. Es fácil estimar los efectos de estos factores. Para estimar el efec

to principal de

promediaríamos las observaciones en el lado derecho del cuadrado, donde

está

en el nivel alto, y restaríamos del resultado el promedio de las observaciones en el lado izquierdo

del cuadrado, donde

A

está en el nivel bajo, o

igur 13-13 El diseño factorial 2

2.

Alto

+

a

Bajo

- 1

Bajo

-

ab

lto

b

+ ---------___,.

13-13. Observe que el diseño puede presentarse geométricamente como un cuadrado en donde las

2

2

= 4

ejecuciones forman sus esquinas. Se emplea una notación especial para representar las com

binaciones de tratamiento. En general, una combinación de tratamiento se representa por medio de

una serie de letras minúsculas. Si está presente una letra, el factor correspondiente se ejecuta en su

nivel alto en esa combinación de tratamiento; si no hay letra, significa que el factor se está ejecutan

do en su nivel bajo.

450 PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARAINGENIERíA



13-35

e

contraste? .

nI coeficientes de contraste ?

Para obtener las sumas de cuadrados para A B YAB podemos utilizar la ecuación 12-18, que

expresa la relación entre un contraste con un solo grado de libertad y la suma de sus cuadrados:

Tabla 13-13 Signos para los efectos en el diseño 22

Efecto factorial

Combinaciones

de tratamiento

1

+

+

a

+ +

b

+

+

ab

+ +

+

+

En estas ecuaciones, los coeficientes de contraste son siempre +1 o

-1.

Una tabla de signos de

más

y

de menos, como la tabla 13-13, puede utilizarse para determinar el signo en cada combina

ción de tratamiento para un contraste particular. Los encabezados de columna de la tabla 13-13 se

refieren a los efectos principales A y B la interacción AB e 1 que representa el total. Los encabe

zados de renglón son las combinaciones de tratamiento. Observe que los signos en la columna

AB

son el producto de los signos de las columnas

A y B

Para generar un contraste a partir de esta tabla,

se multiplican los signos de la columna apropiada de la tabla 13-13 por las combinaciones de trata

miento listadas en los renglones, y se suma.

Contraste,

a + a b b 1 .

Las cantidades entre corchetes en las ecuaciones 13-32, 13-33 Y 13-34 se llaman contrastes Por

ejemplo, el contraste A es

13-34

AB

ab

+

1 _ a

+

b

2n 2n

Por último, la interacción AB se estima tomando la diferencia en los promedios

de

la diagonal

en la figura 13-13, o

1

2n [b + ab a 1 ].

13-33

a + 1

2n

ah

2n




A =-[a+ab-b- l) ]

2n

= [59.299 + 59.156 - 55.686 - 56.081] = 0.836,

2 4)

B = [b+ ab - a - 1) ]

2n

La tabla 13-14 presenta los resultados de un diseño factorial 2

2

con

n

4 réplicas empleando los factores

A tiempo de deposición

y

B tasa de flujo de arsénico. Los dos niveles del tiempo de deposición son - cor

to y + largo, y los dos niveles de la tasa de flujo de arsénico son - 55 y + 59 . La variable de respues

ta es el espesor de la capa epitaxial jlm . Podemos encontrar las estimaciones de los efectos utilizando las

ecuaciones 13-32, 13-33 13-34 como sigue:

Factores de diseño Espesor J1m)

Combinaciones

de tratamiento

A B AB

Espesor

J - lm

Total Promedio

1)

+

14.037, 14.165, 13.972,

13.907 56.081

14.021

+

14.821, 14.757, 14.843, 14.878 59.299 14.825

b

+

13.880,

13.860,

14.032, 13.914

55.686 13.922

ab

+ + +

14.888, 14.921, 14.415, 14.932 59.156 14.789

Tabla 3 4 El diseño 2

para el experimento del proceso epitaxial

Un artículo publicado en la AT TTechnical Journal marzo/abril, 1986, vol. 65. p. 39) describe la aplicación

de diseños experimentales de dos niveles para la manufactura de circuitos integrados. Una etapa básica de pro

cesamiento en esta industria consiste en poner una capa epitaxial en obleas de silicio pulidas. Las obleas se

montan en un susceptor y se colocan dentro de un recipiente de campana. Se introducen vapores químicos a

través de boquillas cerca de la parte superior del recipiente. El susceptor se rota y se le aplica calor. Estas con

diciones se mantienen hasta que la capa epitaxial es lo suficientemente gruesa.

El análisis de varianza se completa calculando la suma de cuadrados total SC

T

con 4n - 1 gra

dos de libertad) en la forma usual, y obteniendo la suma de cuadrados del error SCE [con 4 n - 1)

grados de libertad] por sustracción.

SCA

[a + ab b 1 ]2

4n

SCB

[b

+

ab a 1)]2

4n

SCAB

[ab + 1) - a b]2

4n

En consecuencia, las sumas de cuadrados para A B YAB son

5 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA



y

3 + ¡x ¡ +

€

Análisis residual

Es fácil obtener los residuos de un diseño

ajustando un modelo de regre

sión a los datos. En el experimento del proceso epitaxial, el modelo de regresión es

El análisis de varianza se resume en la tabla 13-15. En ella se confirman nuestras conclusiones, obtenidas

al

examinar la magnitud

y

la dirección de los efectos;

el

tiempo de deposición afecta el espesor de la capa epi

taxial, y a partir de la dirección de las estimaciones del efecto, sabemos que los tiempos de deposición más

largos conducen a capas epitaxiales más gruesas.

[0.256]2

16

0.0040.

16

0.0181,

[ab+ I -a-b]2

SC

AB

16

16

[-0.538]2

16

2.7956,

[b

+

ab - a -

1 ]2

[6.688]2

SC

Contraste 2

·

[a + ab - b - 1 ]2

16

Las estimaciones numéricas de los efectos indican que el efecto del tiempo de deposición es grande

y

que

tiene una dirección positiva el aumento del tiempo de deposición incrementa el espesor , puesto que cambiar

el tiempo de deposición de bajo a alto modifica el espesor medio de la capa epitaxial en 0.836

ua:

Los efec

tos de la tasa de flujo de arsénico

B

y

de la interacción

AB

aparecen pequeños.

La magnitud de estos efectos puede confirmarse con el análisis de varianza. Las sumas de cuadrados, pa

ra

A, B

Y

AB

se calculan empleando la ecuación 13-35:

[59.156

+

56.081 - 59.299 - 55.686]

0.032.

2 4

1

[55.686

+

59.156 - 59.299 - 56.081]

0.067,

2 4

1

AB

[ab

+

1 -

a - b]

n


5



es

13.880 - 13.971 -0.091,

e

13.860 - 13.971

-0.111,

14.932 - 13.971

0.061,

e

13.914 - 13.971

-0.057,

Es fácil verificar que los valores predichos y los residuos restantes son, para el tiempo de deposi

ción bajo XI = -1 Ytasa alta de flujo de arsénico, = 14.389

+

0.836/2 -1) = 13.971

J m

el 14.037 - 13.971 0.066,

e 14.165 - 13.971 0.194,

e 13.972 - 13.971 0.001,

e 13.907 - 13.971 -0.064.

y

los residuos serían

14.389 + 0.~36 -1 13.971 J m

donde la ordenadaal origen

i o

es el granpromediode las 16observaciones

Y

y la pendiente

i l

es la

mitad de la estimacióndel efectodel tiempo de deposición.La razón de que el coeficientede regresión

sea la mitad de la estimación del efecto, es que los coeficientes de regresión miden el efecto de un

cambio unitario enXl en la media de y y la estimación del efecto sebasa en un cambio de dos unida

des de a

+1).

Este modelo puede utilizarse para obtener los valores predichos en los cuatro puntos del diseño.

Por ejemplo, considere el punto con tiempo de deposición bajo

Xl =

-1 Ytasa de flujo de arsénico

baja. El valor predicho es

14.389

+

0.~36 x

puesto que la única variable activa es el tiempo de deposición, que se representa por Xl Los niveles

bajo y alto del tiempo de deposición están asignados a los valores

Xl

-1 y

Xl +

1 respectivamen

te. El modelo de ajuste es

Fuente de

Suma de

Grados de ,

Media


Fa

A

tiempo de deposición 2.7956

2.7956 134.50

B flujo de arsénico

0.0181

1 0.0181 0.87

AB

0.0040 1

0.0040 0.19

Error

0.2495 12 0.0208

Total

3.0672 15

Tabla 3 5 Análisis de varianza para el experimento del proceso epitaxial

PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARAINGENIERíA



2

•

•

1r-

•

•

•

•

j

Or-

•

•

••

-1 r-

•

•

•

-2

I r

-0.39200 -0.29433 -0.19667 -0.09900 -0.00133 0.09633 0.19400

Residuos

Figura 3 4 Gráfica de probabilidad normal de residuos para el experimento del proceso epitaxial

En la figura 13-14 se muestra una gráfica de probabilidad normal de estos residuos. Esta gráfi

ca indica que un residuo,

l5

-0.392 está fuera de lugar. El examen de las cuatro ejecuciones con

tiempo de deposición alto

y

tasa de flujo de arsénico elevada revela que l a observación

Y 5

14.415

es bastante más pequeña que las otras tres observaciones en esa combinación de tratamiento. Esto

agrega cierta evidencia adicional a la conclusión tentativa de que la observación 15está fuera de lu

gar. Otra posibilidad es que algunas variables del proceso afecten la

v ri bilid d

del espesor de la

capa epitaxial; si pudiéramos descubrir qué variables producen este efecto, podríamos ajustarlas a

niveles que minimizaran la variabilidad. Esto tendría importantes implicaciones en etapas de manu

factura subsecuentes. Las figuras 13-15 y 13-16son gráficas de residuos contra el tiempo de deposi

ción y la tasa de flujo de arsénico, respectivamente.Aparte del residuo inusualmentegrande asociado

con

Y 5

no hay una evidencia contundente de que el tiempo de deposición o la tasa de flujo de arsé

nico afecten la variabilidad del espesor de la capa epitaxial.

el

14.888 - 14.807

0.081,

e¡ 14.921 - 14.807

0.114,

l

14.415 - 14.807

-0.392,

el

14.932- 14.807

0.125.

y

para el tiempo de deposición alto

xl

+1 Yalta tasa de flujo de arsénico,

14.389+ 0.836/2

+1 14.807 us» son

e9

14.821 - 14.807

0.014,

r o

14.757 - 14.807

-0.050,

e¡¡

14.843 - 14.807

0.036,

el 14.878 - 14.807

0.071,

para el tiempo de deposición alto

xl

+

1

y tasa baja de flujo de arsénico, 14.389 + 0.836/2

+1 14.807

ps»

son

DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON V RIOS F CTORES



La figura 13 17 muestra la desviación estándar del espesor de la capa epitaxial en la totalidad

de las cuatro ejecuciones del diseño 22 Estas desviaciones estándar se calcularon empleando los da-

tos en la tabla 13 14 Observe que la desviación estándar de las cuatro observaciones con y en

Figura 3 7

La desviación estándar estimada del espesor de la capa epitaxial en las cuatro

ejecuciones del diseño 2

2•

5

0.051

+

_ 1

5=0.110

-

a

5 = 0.250

ab

0.077

+ b

Figura 3 6 Gráfica de residuos contra la tasa de flujo de arsénico.

0.5 Tasadeflujodearsénico

O~ ~~ _ ~ ~

Baja Alta

+0.5

Figura 3 5 Gráfica de residuos contra el tiempo de deposición.

0.5 Tiempodedeposición

•

O~ ~B~· ~A~lt o ~

ajo

+0.5




be

abe

+1

e

e

b

ab

+1

- 1

1

~

- 1

A

+1

Figura 3 8

El diseño 3.

13-36

A

=-

[a

ab

ae

abe b

e

be 1 ].

Los métodos presentados en la sección anterior para los diseños factoriales con

2 factores cada

uno en dos niveles, pueden extenderse con facilidad a más de dos factores. Por ejemplo, considere

k

3 factores, cada uno en dos niveles. Éste es un diseño factorial 2

3

y tiene ocho combinaciones

de tratamiento. Geométricamente, el diseño es un cubo, como se muestra en la figura 13-18, con las

ocho ejecuciones formando sus esquinas. Este diseño permite estimar tres factores principales

A, B

YC junto con tres interacciones de dos factores

AB, AC

y

BC

Yuna interacción de tres factores

ABC .

Los principales efectos pueden estimarse con facilidad. Recuerde que 1 , a b ab e, ae be y

abe representan el total de todas las n réplicas en cada una de las ocho combinaciones de tratamien

to en el diseño. Respecto del cubo de la figura 13-18, estimaríamos el efecto principal deA prome

diando las cuatro combinaciones de tratamiento en el lado derecho, donde

A

está en el nivel alto, y

sustrayendo de esa cantidad el promedio de las cuatro combinaciones de tratamiento en el lado iz

quierdo del cubo, donde

A

está en el nivel bajo. Esto da como resultado

13 5 2 Diseño para factores

el nivel alto es considerablemente más grande que las desviaciones estándar en cualquiera de los

otros tres puntos de diseño. La mayor parte de esta diferencia es atribuible a la medida de espesor

inusualmente baja asociada con

YlS.

La oesviación estándar de las cuatro observaciones con A y B

en el nivel bajo es también algo más grande que las desviaciones estándar en las dos ejecuciones res

tantes. Esto podría ser una señal de que hay otras variables del proceso no incluidas en este experi

mento que afectan la variabilidad del espesor de la capa epitaxial. Otro experimento para estudiar

esta posibilidad, involucrando otras variables del proceso, podría diseñarse y llevarse a cabo de

hecho, el artículo original muestra que hay dos factores adicionales, no considerados en este ejem

plo, que afectan la variabilidad del proceso .


7



1

=

[abe - be - ae

e -

ab

b

a -

1» .

13-42

1

ABC

=

{[abe - be] - [ae -

e] -

[ab - b]

[a -

1 ]}

El efecto de interacción ABC es la diferencia promedio entre la interacción AB en los dos nive

les de C. Por tanto,

13-41

BC

=

[be

1

abe

a - b -

e -

ab - ae].

13-40

A

C

=

[ae

1

abe

b - a -

e -

ab - be]

Al emplear un planteamiento similar, podemos demostrar que las estimaciones de los efectos de

interacción AC y BC son como sigue:

13-39AB

=

[ab

1 abe

e -

b - a - be - ae].

La interacción AB es exactamente el promedio de estas dos componentes, o

1 1

AB C alta [abe - be] - - [ae - e .

2n 2n

En forma similar, cuando C está en el nivel alto, la interacción

AB

es

AB C baja _1_ [ah b] _1_ [a 1» .

2n 2n

Considere ahora la interacción de dos factores

AB.

Cuando C está en el nivel bajo,

AB

es justo

la diferencia promedio del efecto

A

en los dos niveles de

B

o

13-38

C = [ e ae be abe - a - b - ab - 1 ].

y el efecto de C es la diferencia promedio entre las cuatro combinaciones de tratamiento en la cara

superior del cubo y las cuatro en su base, o

13-37

1

B

[b

ab

be

abe - a -

e -

ae -

1 ],

De manera similar, el efecto de B es la diferencia promedio de las cuatro combinaciones de tra

tamiento en la cara posterior del cubo y las cuatro de la cara anterior, o

8

PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARA INGENIERíA



13-43)

t Contraste

lec o

n2

k

La estimación de cualquier efecto principal o interacción se determina multiplicando las combi

naciones de tratamiento en la primera columna de la tabla por los signos de la columna correspon

diente de interacción o efecto principal, sumando el resultadopara producir un contraste, y dividiendo

luego el contraste entre la mitad del número total de ejecuciones en el experimento. Expresado ma

temáticamente,

2. La suma de los productos de signos en cualesquiera dos columnas es cero; esto es, las co

lumnas de la tabla son ortogonales

3. No hay cambio al multiplicar cualquier columna por la columna ;esto es, es un elemento

identidad

4. El producto de cualesquiera dos columnas produce una columna en la tabla; por ejemplo,

A

x

B

AB

Y

AB

x

ABe

A2B2e

puesto que cualquier columna multiplicada por sí

misma es la columna identidad.

Las cantidades entre corchetes en las ecuaciones 13-36 a 13-42 son contrastes en las ocho com

binaciones de tratamiento. Estos contrastes pueden obtenerse a partir de una tabla de signos de más

y de menos para el diseño 2

3

como la que se muestra en la tabla 13-16. Los signos correspondien

tes a los efectos principales columnas

A B

Y

C)

se obtienen asociando un signo de más con el ni

vel alto del factor y un signo de menos con el nivel bajo. Una vez que se han establecido los signos

para los efectos principales, los signos para las columnas restantes se encuentran multiplicando las

columnas precedentes apropiadas, renglón por renglón. Por ejemplo, los signos de la columnaAB

son el producto de los signos de las columnasA y B

La tabla 13-16 tiene varias propiedades interesantes:

1 Excepto la columna identidad 1 cada columna tiene un número igual de signos de más y de

menos.




Tabla 3 7 Datos de rugosidad superficial para el ejemplo 13-7

Factores de diseño

Combinaciones

Rugosidad

de tratamiento

A B

e

superficial

Totales

1 -1

-1 -1 9, 7

16

a

-1 -1

10, 12 22

b

-1

1

-1

9, 11 20

b 1

1

-1

12,5 27

e

-1 -1

1

11, 10 21

ae

1

-1

1 10, 13 23

be

-1 1 1 10,8 18

be

1 1 1

16,14

30

1.625,

C

0.875,

Es fácil verificar que los otros efectos son

Contrastejj?

S

-

n

k

27 2

45.5625.

2 8

y la suma de cuadrados para A se determina empleando la ecuación 13-44:

A

_1_

[a

+

ab

+

ae

+

abe b e be l ]

4n

1 \

[22 + 27 + 23 + 30 - 20 - 21-18 - 16]

4 2

_ _ 27]

3.375,

8

Considere el experimento de la rugosidad superficial descrito originalmente en el ejemplo 13-5. Éste es un di

seño factorial 23, con los factores tasa de alimentación A , profundidad de corte B , y ángulo de herramien

ta C , con n

2 réplicas. La tabla 13-17 presenta los datos de rugosidad superficial observados.

Los principales efectos pueden estimarse utilizando las ecuaciones 13-36 a 13-42. El efecto de

A

es, por

ejemplo,

13-44

Contrastej

SC -

n

k

La suma de cuadrados para cualquier efecto es




13-45

una estimación de la varianza de la ejecución i-ésima donde

Ji

=

L J= lYij/n

es el ejemplo medio de

as observaciones Las 2

k

estimaciones de varianza pueden combinarse para dar una estimación de

nza general

i=1,2, ... ,2k

Otros métodos para juzgar el significado de los efectos El análisis de varianza es un método

l para determinar cuáles efectos son diferentes de cero. Hay otros dos métodos que son útiles.

el primero, podemos calcular los errores estándar de los efectos y comparar la magnitud de éstos

el resultado. El segundo método utiliza las gráficas de probabilidad normal para evaluar la im

ancia de los efectos.

El error estándar de un efecto se encuentra con facilidad. Si suponemos que hay

réplicas en

una de las

2

k

ejecuciones del diseño, y si

Yil Ya

o o

Y in

son las observaciones en la i-ésima

ución punto de diseño , entonces,

3 8 Análisis de varianza para el experimento de rugosidad superficial



45 5625 45 5625

18 69

1 5625

1 5625 4 33

C

3 625

3 625 1 26

7 5625

7 5625 3 1

C

625 625

3

C

1 5625 1 1 5625

64

C

5 625 1

5 625 2 8

Error

19 5

8

2 4375

Total

92 9375 15

A partir del examen de la magnitud de los efectos, es claro que la tasa de alimentación factorA es do

te, seguido por la profundidad de corte B y la interacción AB, aunque el efecto de interacción es rela

vamente pequeño. El análisis de varianza se resume en la tabla 13-18, y confirma nuestra interpretación de

as estimaciones del efecto.

AB

1.375,

AC

0.125,

BC=-O.625,

ABC

1.125.




A:

3.375 ± 1.56,

B: 1.625 ± 1.56,

e 0.875 ± 1.56,

AB:

1.375 ± 1.56,

Ae:

0.125 ± 1.56,

Be:

-0.625 ± 1.56,

ABe:

1.125 ± 1.56.

En consecuencia, los límites de la desviación estándar en las estimaciones del efecto son

0.78.

Efecto 1 S

n2k-2

¡ r 2.4375

2.23-2

El error estándar estimado de un efecto se encontraría sustituyendo

por su estimación

S

y to

mando la raíz cuadrada de la ecuación 13-46.

Como ejemplo, para el experimento de la rugosidad superficial encontramos que S 2.4375, Y

el error estándar de cada efecto estimado es

13-46

y la varianza de un efecto es

V Contraste n2

k

a

Cada contraste es una combinación lineal de k totales de tratamiento, y cada total consta de n

observaciones. Por tanto,

2 V Contraste .

n2k-l

Contraste

n2k-l

Efecto

donde, obviamente, hemos supuesto varianzas iguales para cada punto diseñado. Ésta es también la

estimación de varianza dada por el error cuadrático medio a partir del procedimiento de análisis de

varianza. Cada estimación del efecto tiene una varianza dada por

6

PRO ILID Dy EST DíSTIC P R INGENIERí



Los valores observados en esta ejecución son

9

y

7,

por lo que los residuos son

9 - 9.25

-0.25

y 7 - 9.25 -2.25. Los residuos para las otras siete ejecuciones se obtienen de manera similar

En la figura

13-19

se muestra una gráfica de probabilidad normal de los residuos Puesto que

éstos caen aproximadamente a lo largo de una línea recta no sospechamos anormalidad alguna de

importancia en los datos y tampoco h y señales de aislamientos severos También sería de utilidad

graficar los residuos contra los valores predichos y contra cada uno de los factores

A B

C

Algoritmo de Yates para

a».

En lugar de emplear la tabla de signos de menos y de más para

obtener los contrastes para las estimaciones del efecto y las sumas de cuadrados puede utilizarse un

simple algoritmo tabular ideado por Yates Para usar el algoritmo de Yates construya una tabla con

las combinaciones de tratamiento y los totales de tratamiento correspondientes registrados en orden

y

11.0625 3.~75) _1) 1.:25 ) -1) 1.~75) -1) -1)

9.25.

y los valores predichos se obtendrían mediante la sustracción de los niveles bajo y alto de A y B en

esta ecuación A modo ilustrativo en la combinación de tratamiento donde A B C están todas en el

nivel bajo el valor predicho es

~-110625 3.375) 1.625) 1.375)

X2

x¡x2

2 2 2

donde Xl representa el factor

A

x2 representa el factor

B

y xlx2 representa la interacción

AB.

Los

coeficientes de regresión i ¡

f i

y

f i

se estiman a través de la mitad de las estimaciones del efecto

correspondiente y

f i o

es el gran promedio Por tanto

Éstos son intervalos de confianza de aproximadamente 95 , y nos indican que los dos efectos

principales

A

y

B

son importantes pero que los otros no lo son dado que los intervalos para todos

los efectos excepto

A

y

B

incluyen el cero

Las gráficas de probabilidad normal también pueden emplearse para juzgar la significación de

los efectos Ilustraremos ese método en la sección siguiente

Proyección de los diseños 2

k•

Cualquier diseño 2

k

se disolverá o proyectará en otro diseño 2

k

con menos variables si uno o más de los factores originales se descarta En ocasiones esto puede

brindar evidencia adicional respecto de los factores restantes Por ejemplo considere el experi-

mento de la rugosidad superficial Puesto que el factor C y todas sus interacciones son insignifi-

cantes podríamos eliminarlo del diseño El resultado es disolver el cubo de la figura

13-18

en un

cuadrado en el plano

A B;

sin embargo cada una de las cuatro ejecuciones en el nuevo diseño tie-

ne cuatro réplicas En general si eliminamos h factores de manera que r k h factores permanez-

can el diseño

2k

original con

n

réplicas se proyectará en un diseño 2

con

n2h

réplicas

Análisis residual. Podemos obtener los residuos de un diseño 2

k

utilizando el método demostra-

do antes para el diseño 22 Como ejemplo considere el experimento de la rugosidad superficial Los

tres efectos más grandes son

A B

la interacción

AB.

El modelo de regresión utilizado para obte-

ner los valores predichos es


6



Tabla 13-19 Algoritmo de Yates para el experimento de rugosidad superficial

Suma de

Estimaciones

Combinaciones

cuadrados

de efectos

de tratamiento Respuesta

[1] [2] [3] Efecto

[3 ] n

[3 ] n

1 16

38

85

177 Total

22 47

92 27 A 45.5625 3.375

20 44 13 13

B

10.5625

1.625

27 48

14 11

AB

7.5625 1.375

e 21

6 9

7

C 3.0625 0.875

e

23 7 4 1 AC 0.0625 0.125

e

18

2 1

-5

BC

1.5625 -0.625

e 30 12 10 9

ABC

5.0625

1.125

estándar

Por orden estándar queremosdecir que los factores deben introducirseuno por uno, combi-

nando cadauno de ellos con todos los niveles superioresdel factor.En consecuencia,para un 22, el or-

den estándar es 1 , a b ab en tanto que para un 23 es 1 , a b ab e, ae be abe y para un 24 es 1 ,

a b ab e, ae be abe d ad bd abd cd aed bed abed Luego se sigue este procedimiento de cuatro

pasos:

1. La columna adyacente se marca como [1]. Se calculan las entradas en la mitad superior de

esta columna, añadiendo las observacionesen pares adyacentes. Se calculan las entradas en la

mitad inferior de esta columna cambiando el signo de la primera entrada en cada par de

las observaciones originales, y sumando los pares adyacentes.

2. La columna adyacente se marca como [2]. Se construye la columna [2] empleando las en-

tradas en la columna [1]. Se sigue el mismo procedimiento empleado para generar la colum-

na [1]. Se continúa este proceso hasta construir k columnas. La columna [k ] contiene los

contrastes designados en los renglones.

3. Se calculan las sumas de cuadrados para los efectos, elevando al cuadrado las entradas de la

columna [k ] y dividiendo entre n2k

4. Se calculan las estimacionesdel efecto, dividiendo las entradas en la columna [k ] entre

n2k l

+2

+1

Z j

-1

-2

-2.2500 -1.5833 -0.9167 -0.2500 0.4167 1.0833 1.7500

Residuos, e¡

Figura 13-19 Gráfica de probabilidad normal de residuos del experimento de rugosidad superficial.




La tabla 13-20presenta los datos de las 16 ejecuciones del diseño 24.La tabla 13-21 es la de los signos

de más y de menos para dicho diseño. Los signos en las columnas de esta tabla pueden emplearse para esti

mar los efectos del factor.A modo ilustrativo, la estimación del factor es

Factor de diseño

A e

Entrehierro Presión

Flujo de CZF6

Potencia

Nivel

cm) mTorr) SCCM)

w

Bajo -)

0.80

450 125 275

Alto + 1.20 550 200 325

Un artículo publicado en

Salid State Technology

Orthogonal Design for Process Optimization and its Appli

cation in Plasma Etching , mayo de 1987, p. 127), describe la aplicación de los diseños factoriales en el desa

rrollo de un proceso de grabado con nitruro en una máquina de plasma de una sola oblea. El proceso emplea

CZF6como gas reactante. Es posible variar el flujo de gas, la potencia aplicada en el cátodo, la presión en la

cámara del reactor, y el espaciamiento entre el ánodo y el cátodo entrehierro). Diversas variables de respues

ta usualmente serían de interés en este proceso, pero en este ejemplo nos concentraremos en la tasa de graba

do del nitruro de silicio.

Emplearemos una sola réplica de un diseño 24para investigar este proceso. Puesto que es improbable que

las interacciones de tres y cuatro factores sean significativas, tentativamente planearemos combinarlas como

una estimación del error. Los niveles del factor usados en el diseño se muestran en seguida:

Cuando aumenta el número de factores en un experimento factorial, lo mismo ocurre con el núme

ro de efectos que pueden estimarse. Por ejemplo, un experimento 2

4

tiene 4 efectos principales, 6 in

teracciones de 2 factores, 4 interacciones de tres factores y una interacción de cuatro factores, en

tanto que un experimento 2

6

tiene 6 efectos principales, 15 interacciones de dos factores, 20 interac

ciones de tres factores, 15 interacciones de cuatro factores, 6 interacciones de cinco factores, y una

interacción de seis factores. En casi todas las situaciones se aplica la dispersión del principio de los

efectos; esto es, los efectos principales y las interacciones de orden menor suelen dominar el siste

ma. Las interacciones de tres omás factores por lo regular son despreciables.Enconsecuencia, cuan

do el númerodefactores es moderadamente grande, digamos

e 4 o 5, una práctica común consiste

en ejecutar únicamente una sola réplica del diseño

k

y después mezclar o combinar las interaccio

nes de orden mayor como una estimación del error.

13-5.3 Réplica simple del diseño k

Considere el experimento de la rugosidad superficial del ejemplo 13-7. Éste es un diseño 23 con 2 répli

cas. El análisis de estos datos mediante el algoritmo de Yates se ilustra en la tabla 13-19 página anterior).

Observe que las sumas de cuadrados calculadas a partir del algoritmo de Yates concuerdan con los resultados

obtenidos previamente en el ejemplo 13-7.




1

[a + ab + ae + abe + ad + abd + aed + abed

1 -

b e d be bd ed bed]

8

1

[669

+

650

+

642

+

635

+

749

+

868

+

860

+

729 550 604 633 601 1037 1052 1075 1063]

8

101 625

Tabla 13 21

Constantes de contraste para el diseño 2

A

C AC

C C O O O O CO

CO CD CO

1

+ + +

+

+ + +

+

+

+

+ + +

+

+ + + + + + +

+ +

+

+ + + +

e

+ +

+ + + +

+

e

+ + + + + + +

e

+ + + + + + +

e

+ + +

+ + +

+

d

+ +

+

+ + + +

d

+ + + + + +

d

+ + + + + + +

d

+ + + + + + +

ed

+ + + + + + +

ed

+ + + + + + +

ed

+

+

+ + + +

+

ed

+ + + + + + + + + + +

+ + + +

PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA

Tabla 13 2 El

diseño 2

4

para el experimento de grabado con nitruro

C

O

Tasa de grabado

Entrehierro Presión Flujo de C

2

F

6

Potencia

Nmin

-1 -1 -1

-1 550

-1

-1

-1

669

-1

1

-1

-1 604

1 1

-1

-1

650

-1 -1 1

-1 633

1

-1

1

-1 642

-1

1

1

-1 601

1

1 1

-1 635

-1

-1 -1 1

1037

1

-1 -1 1

749

-1 1 -1 1052

1

1 -1 868

-1 -1 1 1075

1

-1 860

-1

1 1063

1 1

729



Tabla 3 22

Análisis de varianza para el experimento de grabado con nitruro

Fuente de Suma de

Grados de Media

variación

cuadrados libertad cuadrática

A 41 310 563 41 310 563 20 28

10 563

10 563

1

C

217 563

217 563

1

O

374 850 063

374 850 063

183 99

248 063

248 063

1

AC

2 475 063

2 475 063 1 21

O

94 402 563

99 402 563

48 79

C

7 700 063

7 700 063 3 78

O

1 563 1 563

1

CO

18 063 18 063

1

Error

10 186 815

5

2 037 363

Total 531 420 938

15

Un métodomuy útil en la evaluaciónde la significaciónde los factores en un experimento k con-

siste en construir una gráfica de probabilidad normal de las estimaciones del efecto. Si ninguno de los

efectos es significativo las estimaciones se comportarán como una muestra aleatoria extraída de una

distribución normal con media cero y los efectos graficados se encontrarán aproximadamente a lo

largo de una línea recta. Aquellos efectos que no caigan sobre la línea son factores significativos.

La gráfica de probabilidad normal de las estimaciones del efecto a partir del experimento del

grabado con nitruro se muestra en la figura 13 20. Es claro que los efectos principales deA y D Yla

interacción

AD

son significativos ya que caen lejos de la línea que pasa a través de los otros pun-

tos. El análisis de varianza resumido en la tabla 13 22confirma estos descubrimientos. Observe que

en el análisis de varianza hemos combinado las interacciones de tres y cuatro factores para formar la

media cuadrática del error. Si la gráfica de probabilidad normal hubiera indicado que cualquiera de

estas interacciones era importante no deberían incluirse en el término del error.

101.625

D

306.125

1.625

D

153.625

7.875 D

0.625

7.375

D

4.125

C

24.875

CD

2.125

C

43.875

CD

5.625

C

15.625

CD

25.375

CD

40.125.

En consecuencia incrementar el entrehierro entre el ánodo

el cátodo de 0.80 cm a 1.20cm tiene el efec-

to de reducir la tasa de grabado en 101.625 Á/min.

Es fácil verificar que el conjunto completo de estimaciones del efecto es




101.625~ 306.125 153.625

776.0625-

+ X4 x1x4

2 2 2

Los residuos del experimento pueden obtenerse a partir del modelo de regresión

Figura 13 21 Interacción AD del experimento de grabado con nitruro.

A Entrehierro

Alto

1.20

cmajo

0.80

cm

~Dalto=325W

_-------Dba¡o =275w

1400

c:

1200

~

1000

o

O

800

.o

~

Ol

600

Q

O

c

400

n

c

200

o

Puesto que -101.625, el aumento del entrehierro entre el cátodo el ánodo tiene por efecto

disminuir la tasa de grabado Sin embargo D 306.125,de modo que la aplicación de niveles de

potencia más altos incrementará la tasa de grabado La figura 13-21es una gráfica de la interacción

D

Esta gráfica indica que el efecto de cambiar el ancho de entrehierro en parámetros de potencia

bajos es pequeño pero que al aumentar el entrehierro con parámetros de potencia elevados se redu-

ce en forma considerable la tasa de grabado Se obtienen tasas de grabado altas con parámetros de

potencia altos

y

anchos de entrehierro estrechos

Figura 13 2

Gráfica de probabilidad normal de los efectos del experimento de grabado con nitruro.

u_ ~ ~ _ ~ ~

-153.62 -77.00 -0.37 79.25 152.37 229.80 306.12

Efectos

A

•

+1




menudo es imposible ejecutar una réplica completa de un diseño factorial en condiciones experi

ntales homogéneas. La confusión es una técnica de diseño para ejecutar un experimento factorial

n bloques, donde el tamaño del bloque es más pequeño que el número de combinaciones de trata

iento en una réplica completa. La técnica ocasiona ciertos efectos de interacción que son indistin

uibles de los bloques, o que se confunden con éstos. ilustraremos la confusión en el diseño factorial

k

en 2Pbloques, donde p < k.

Considere un diseño 2

2•

Suponga que cada una de las 2

2

4 combinaciones de tratamiento re

uiere cuatro horas de análisis de laboratorio. Así, se requieren dos días para efectuar el experimen

o. Si los días se consideran como bloques, tendremos que asignar dos de las cuatro combinaciones

e tratamiento a cada día.

3 6 CONFUSiÓN EN ELD ISEÑO

igur 13-22 Gráfica de probabilidad normal de los residuos del experimento de grabado con nitruro.

~

- 7~2~. 5~O- - - - ~~9~. 3~3~- - - ~2~6~. 176- - - - - 73~. 070- - - - 2~O~. 1~6~- - ~4~3. ~33~- - ~6

Residuos, e¡

•

•

•

• •

•

••

•

•

•

•

1

•

2n- - - - - - - - - - - - - . - - - - - - - r - ~- - - - ~1- - - - - - - 1 - - - - - ~

•

Los residuos en las otras tres combinaciones de tratamiento Aalto. D bajo , Abajo, D alto ,

y

alto, D alto se obtienen de manera similar. Una gráfica de probabilidad normal de los residuos

e muestra en la figura 13-22. La gráfica es satisfactoria.

l

550 - 597

--47,

604 - 597 7,

e

=638 597=41

601 - 597

4.

los cuatro residuos en esta combinación de tratamiento son

776.0625 - 101 625 -1 306 125 -1 - 153 625 -1 -1

597,

Por ejemplo, cuando tanto como están en el nivel bajo, el valor predicho es




donde Xi es el nivel del factor i-ésimo que aparece en una combinación de tratamiento y

a;

es el ex

ponente que aparece sobre el factor i-ésimo en el efecto que será confundido. Para el sistema 2

k

te

nemos ya sea

a¡

o 1,Y

Xi

nivel bajo o

x¡

1 nivel alto . Las combinaciones de tratamiento

que producen el mismo valor de

L

módulo 2 se situarán en el mismo bloque. Puesto que los úni

cos valores posibles de L módulo 2 son

y

1, esto asignará las combinaciones de tratamiento 2

k

a

exactamente dos bloques.

13-47

Puesto que las dos combinaciones de tratamiento con el signo de más, ab y

1 ,

están en el blo

que 1 y las dos con el signo de menos,

a

y

b

están en el bloque 2, el efecto de bloque y la interac

ción

AB

son idénticos. Esto es,

AB

se confunde con bloques.

La razón de esto es evidente a partir de la tabla de signos de más y de menos para el diseño 22,

mostrado en la tabla 13-13.En ella vemos que todas las combinaciones de tratamiento que tienen un

más en

AB

se asignan al bloque 1, en tanto que todas las combinaciones de tratamiento que tienen

un signo de menos en AB se asignan al bloque 2.

Este esquema puede utilizarse para confundir cualquier diseño 2 en dos bloques. Como un se

gundo ejemplo, considere un diseño 23 que se ejecuta en dos bloques. Suponga que deseamos con

fundir con bloques la interacción de tres factores

ABe

Tomando en cuenta la tabla de signos de más

y de menos para el diseño 23 tabla 13-16 , asignamos las combinaciones de tratamiento con signo

de menos enABe al bloque 1, y aquellas que tienen signo de más enABe al bloque 2. El diseño re

sultante se presenta en la figura 13-24.

Hay un método más general para construir los bloques; en él se emplea un contraste de defi-

nición por ejemplo

Contraste.j,

ab

+ 1 -

a b.

Observe también que estos contrastes no se ven afectados por los bloques, ya que en cada con

traste hay una combinación de tratamiento más y una menos por cada bloque. Esto es, cualquier di

ferencia entre el bloque 1 y el bloque 2 se cancelará. El contraste para la interacción AB es

Contraste,

=

ab + a b 1 ,

Contrastes = ab + b a 1 .

Considere el diseño que se muestra en la figura 13-23. Observe que el bloque 1 contiene las

combinaciones de tratamiento 1 y ab y que el bloque 2 contiene a y b. Los contrastes para estimar

los efectos principales

A

y

B

son

Figura 13-23 El diseño 22 en dos bloques. Figura 13-24 El diseño 23 en dos bloques; e confundido.

Bloque 1 Bloque 2

Bloque 1 Bloque 2

1

IJ

[TI

ab

be




· 1

b ab

ab2

a

b· ae

abe

b be b

e e

Las combinaciones de tratamiento en el otro bloque o bloques pueden generarse multiplican

o un elemento del nuevo bloque por cada elemento del módulo 2 del bloque principal. En el dise

o 23 con

ABe

confundido, puesto que el bloque principal es 1 ,

ab ae y be

sabemos que

b

está en

otro bloque. Por tanto, los elementos de este segundo bloque son

ab ae

a2be

be

ab be

ab e

ae

ae be

abe

ab

En consecuencia, 1 , ab ac

be se ejecutan en el bloque 1,

a b e

abe se ejecutan en el blo

ue 2. Éste es el mismo diseño que se muestra en la figura 13-24.

Un método corto es útil en la construcción de estos diseños. El bloque que contiene la combina

ón de tratamiento 1 se denomina bloque principal Cualquier elemento [excepto 1 ] en el bloque

incipal puede generarsemultiplicando otros dos elementos en elmódulo 2 del bloque principal. Por

, considere el bloque principal del diseño 2 conABe confundido, el cual se muestra en la

gura 13-24. Observe que

1 :

L

1 0 1 0 1 0 mód 2 ,

a L 1 1 1 0 1 0 1 1 mód 2 ,

b: L

1 0 1 1 1 0 1 1 mód 2 ,

ab: L

1 1 1 1 1 0 2

O

mód 2 ,

e:

L

1 0 1 0 1 1 1 1 mód 2 ,

ae: L

1 1 1 0 1 1 2

O

mód 2 ,

be: L 1 0 1 1 1 1 2 O mód 2 ,

abe: L

1 1 1 1 1 1 3 1 mód 2 .

Para asignar las combinaciones de tratamiento a los dos bloques, las sustituimos en los contras

s de definición como sigue:

Como un ejemplo, considere un diseño 2 conABe confundido con bloques. Aquí xl correspon

aA x2 a B x3 a

a X ¿

l X

1. Por tanto, el contraste de definición para ABe es

DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON V RIOS F CTORES 7



Tabla 13-23 Algoritmo de Yates para e l diseño 2 del ejemplo 13-10

Combinaciones Suma de

Efecto

de tratamiento

Respuesta [1] [2] [3] [4] Efecto

cuadrados estimado

1 3 10 22 48 111 Total

a 7 12 26

63

21

A 27.5625

2.625

5

12 30 4

5

1.5625 0.625

7 14 33 17 -1

0.0625 -0.125

e 6

14

6

4 7

C 3.0625 0.875

ae

6

16 -2

1 -19 AC 22.5625

-2.375

e

8 17

14

-3

C

0.5625

-0.375

e

6

16

3 3

-1

C

0.0625 -0.125

d

4 4

2 4 15

O

14.0625 1.375

d

10 2 2

3

13

O

10.5625 1.625

d

4

2

-3 O 0.5625 -0.375

d

12

-2

-1 -11 7

O

3.0625 0.875

ed

8

6

-2

-1

CO

0.0625 -0.125

ed 9

8

-2 -3 -3

CO

0.5625

-0.375

ed 7 1 2

-3 CD 0.5625

-0.375

ed

9 2 -1 -1

CO

0.0625 -0.125

El análisis del diseño mediante el algoritmo de Yates se muestra en la tabla 13-23. Una gráfica de proba

bilidad normal de los efectos revelaría que A el tipo de blanco , D el alcance hasta el blanco y AD tienen

efectos importantes. Un análisis de varianzade confirmación, usando interaccionesde tres factores como error,

se muestra en la tabla 13-24.

Bloque 1

Bloque 2

1

3

a=7

ab

7

b=5

ae

6

e=6

be

8

d=4

ad abe

6

bd

4

bed

7

ed 8

aed

9

abed

9 abd

12

L Xl + x2 + x3 + x4

El diseño del experimento y los datos resultantes son

Se efectúa un experimento para investigar el efecto de cuatro factores respecto de la distancia de pérdida ter

minal de un misil manual tierra-aire.

Los cuatro factores son el tipo de blanco A , el tipo de aparato guía B , la altitud del blanco

C

el al

cance hasta el blanco

D).

Cada factor puede ejecutarse de manera conveniente en dos niveles,

el sistema de

rastreo óptico permitirá medir la distancia de pérdida terminal hasta la unidad de medición más cercana en

este caso, pies . Se utilizaron dos artilleros diferentes en la prueba de vuelo

puesto que puede haber diferen

cias entre los individuos, se decidió conducir el diseño 2

4

en dos bloques con

ABCD

confundido. Por consi

guiente, el contraste definido es




Este procedimiento general puede extenderse para confundir el diseño en 2Pbloques don-

< k. Se seleccionan efectos a confundir de manera que ninguno de ellos sea una interacción

Bloque 1

Bloque 2 Bloque 3

Bloque 4

L¡

0 L

L¡

1 L

L¡ 0 L

1

L¡

1 L 1

1

e e

e

e

d

d d d

e d e d e d

e d

Es fácil verificar que los cuatro bloques son

L¡ =x¡ x3

L

x3

x4

Es posible confundir el diseño k en cuatro bloques de k- 2 observaciones cada uno En la cons-

cción del diseño se eligen dos efectos para confundir con bloques y obtener sus contrastes de de-

nición Un tercer efecto la interacción generalizada de los dos elegidos inicialmente también se

unde con bloques La interacción generalizada de los dos efectos se encuentra multiplicando

s columnas respectivas

Por ejemplo considere el diseños 24 en cuatro bloques Si

AC

y

BD

se confunden con bloques

interacción generalizada es

AC BD ABCD

El diseño se construye empleando los contrastes

e definición para AC y BD:


la 3 24 Análisis de varianza para el ejemplo 13-10



Bloques

ABCD

0.0625 0.0625 0.06

A

27.5625 27.5625 25.94

B 1.5625 1.5625 1.47

C 3.0625 3.0625 2.88

D

14.0625 14.0625 13.24

AB 0.0625 0.0625 0.06

AC

22.5625 22.5625

21.24

AD

10.5625 10.5625 9.94

BC

0.5625

0.5625 0.53

BD 0.5625

0.5625 0.53

CD

0.0625

0.0625

0.06

Error ABC ABD ACD BCD 4.2500 4 1.0625

Total

84.9375 15



Tabla 13 25

Signos de más y de menos para el diseño factorial

Efecto factorial

Combinaciones

de tratamiento A B

C

AB AC

BC ABC

a

e

e

ae

e

1

Una fracción media del diseño

k

contiene

k l

ejecuciones y suele llamarse diseño factorial fraccio

nario

k •

Como ejemplo, considere el diseño 23-1; esto es, una fracción media del diseño 23. La ta

bla de signos de más y de menos para el diseño 23 se muestra en la tabla 13-25. Suponga que

seleccionamos cuatro combinaciones de tratamiento

b

e, y

be

como nuestra media fracción.

Estas combinaciones de tratamiento se muestran en la mitad superior de la tabla 13-25. Usaremos

13 7 1 Fracción media del diseño

Conforme el número de factores en un diseño 2k aumenta, el número de ejecuciones que se requie

ren aumenta rápidamente. Por ejemplo, un diseño 2 requiere 32 ejecuciones. En este diseño, sólo

cinco grados de libertad corresponden a los efectos principales y 10grados de libertad corresponden

a interacciones de dos factores. Si podemos suponer que ciertas interacciones de orden mayor son

despreciables, es posible usar un diseño factorial fraccionario que involucre un número menor que

el conjunto completo de

2

k ejecuciones para obtener información acerca de los efectos principales y

las interacciones de orden menor. En esta sección, presentaremos la réplica fraccional del diseño

2

k

Para un tratamiento más completo, véase Montgomery 2001, capítulo 8 .

R É PL I F R IO N L D E L D IS EÑO

3 7

generalizada de los otros. Los bloques pueden construirse a partir de los

p

contrastes de definición

L

1

L

2

Lp

asociados con estos efectos. Además, exactamente 2 P

p

1 otros efectos son con

fundidos con bloques, siendo éstos la interacción generalizada de los

p

efectos originalmente elegi

dos. Debe tenerse cuidado de no confundir efectos de interés potencial.

Para mayor información acerca de la confusión, refiérase a Montgomery 2001, capítulo 7 . Es

te libro contiene guías para seleccionar factores que se confundan con bloques, de modo que no se

confundan los efectos principales y las interacciones de orden menor. En particular, el libro contie

ne una tabla de los esquemas de confusión sugeridos con diseños hasta para siete factores y una va

riedad de tamaños de bloque, algunos tan pequeños como dos ejecuciones.

PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA



En consecuencia la combinación lineal de observaciones en la columna por ejemplo

A

es

A

Be. De manera similar B estima B

AC

y

e estima C

AB. Dos o más efectos que tie

n esta propiedad se llaman seudónimos. En nuestro diseño 23 1 A YBC son seudónimos lo mismo

B AC C AB. La generación de seudónimos es resultado directo de la réplica fraccional.

BC

_ _ [a - b - e abe]

2

1

AC = [-a

b -

e

abe]

2

1

AB = [-a - b

e

abe].

También es fácil verificar que las estimaciones de las interacciones de dos factores son

1

A

=

[a - b - e

abe]

2

1

B = [-a

b -

e

abe]

2

1

C = [-a - b

e

abe].

2

la relación de definición para el diseño.

Las combinaciones de tratamiento en los diseños 23-1 producen tres grados de libertad asocia

s con los efectos principales. De la tabla 13-25 obtenemos las estimaciones de los efectos princi

les como

I=ABC

Observe que el diseño 23 1 se forma seleccionando sólo aquellas combinaciones de tratamiento

e producen un signo de más en el efecto ABC. En consecuencia ABC se llama el generador de

ta fracción particular. Además el elemento identidad

también tiene signo de más en las cuatro

ecuciones así que llamamos

e

abe

-

a

b

Notación 2otación 1

nto la notación convencional

a

b e ... como la de signos de más

y

menos para las combinacio

s de tratamiento. La equivalencia entre las dos notaciones es como sigue:

DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON V RIOS F CTORES

7



~ =A -BC

e~ =B-AC

e~= C-AC.

Suponga que en este punto estamos dispuestos a asumir que las interacciones de dos factores son

despreciables. Si lo son, el diseño 23-1 ha producido estimaciones de los tres efectos principales,

YC. Sin embargo, si después de ejecutar la fracción principal dudamos de las interacciones, es po

sible estimarlas ejecutando la fracción alternativa La fracción alternativa produce las siguientes es

timaciones del efecto:

=A BC

eB=B AC

ee= C AB.

Suponga ahora que hubiéramos elegido la otra fracción media, esto es, las combinaciones de tra

tamiento de la tabla 13.25 asociadas con el signo de menos en ABC. La relación de definición para

este diseño es 1= -ABe. Los seudónimos sonA

-BC B -AC YC

-AB. Así que las estimacio

nes deA By C con esta fracción, en realidad estimanA - BC B - AC YC - AB. En la práctica, casi

nunca es importante cuál fracción media seleccionamos. La fracción con el signo de más en la rela

ción de definición suele llamarse fracción principal y la otra fracción se denomina fracción alter-

nativa

Algunas veces utilizamos secuencias de diseños factoriales fraccionarios para estimar efectos.

Por ejemplo, suponga que hemos ejecutado la fracción principal del diseño 23-1. De este diseño te

nemos las siguientes estimaciones de efecto:

ABC ABC2 AB.

y

B B .ABC AB2C AC

puesto que A . 1= A YA2

l. Los seudónimos de B y C son

En muchas situaciones prácticas será posible seleccionar la fracción de manera que los efectos prin

cipales y las interacciones de orden menor de interés serán seudónimos con interacciones de orden

mayor las cuales serán, probablemente, insignificantes .

La estructura de seudónimos para este diseño se determina usando la relación de definición

1= ABe.

La multiplicación de cualquier efecto por la relación de definición produce los seudónimos

para ese efecto. En nuestro ejemplo, el seudónimo deA

7

PROB BILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí



A . 1

A .ABCD,

=A2BCD,

BCD,

Para ilustrar el empleo de una fracción media considere el experimento del grabado con nitruro de silicio des

crito en el ejemplo 13-9. Suponga que decidimos utilizar un diseño

24-1

con

1

ABCD

para investigar los cua

tro factores: entrehierro A , presión B , tasa de flujo de C

2

F

6 C

y el ajuste de potencia D . Este diseño se

onstruirá escribiendo un 2

3

en los factores A, B YC y fijando luego D ABe. El diseño y las tasas de gra

bado resultantes se muestran en la tabla l3-26.

En este diseño los efectos principales se hacen seudónimos con las interacciones de tres factores; observe

ue el seudónimo deA es

Para obtener la fracción alternativa igualaríamos la última columna como C AB.

C=AB

23 1 1 +ABC

completo

Por lo tanto combinando una secuencia de dos diseños factoriales fraccionarios podemos ais

lar tanto los efectos principales como las interacciones de dos factores. Esta propiedad hace que el

diseño factorial fraccionario sea muy útil en los problemas experimentales cuando podemos ejecu

tar secuencias de pequeños experimentos eficientes combinar información a través de varios expe

rimentos y aprovechar el aprendizaje en tomo al proceso con el que estamos experimentando

conforme se avanza.

Un diseño 2k puede construirse escribiendo las combinaciones de tratamiento para un factorial

completo con

k

1 factores y agregando después el factor

k ésimo

al identificar sus niveles de más

y de menos con los signos más y menos de la interacción de orden más alto

ABC·· K

1 . En

consecuencia se obtiene un factorial fraccionario 23-1 al escribir el factorial 22 completo e igualar

después el factor C con la interacción

±AB

De tal modo para obtener la fracción principal utiliza

ríamos C +AB de la manera siguiente:

~ [A

BC - A - BC ]

BC

~[B AC - B -AC ]

AC

~ [C AB - C - AB ] AB

~ A

BC

A - BC A

~ B AC B -AC B

~ C AB C - AB C

i=A

i=B

i C

Efecto i

Si combinamos las estimaciones de las dos fracciones obtenemos lo siguiente:




Combinaciones

Tasade

B

C

D=ABC

de tratamiento

grabado

1 550

d

749

d

1052

650

ed

1075

e

642

e 601

ed 729

bl 13 26 El diseño

24

con relación de definición

1= ABCD

D

ABC

290.50.

y

E

=B ACD=4.00

C

ABD

11.50,

Las otras columnas producen

-127.00.

A

BCD

- -550

749 - 1052

650 - 1075

642 - 601

729

4

Las estimaciones de los efectos principales y sus seudónimos se encuentran utilizando las cuatro colum

nas de signos de la tabla 13-26. Por ejemplo, a partir de la columnaA obtenemos

AC =BD

AD

Be.

Los otros seudónimos son

AB . 1

AB . ABCD

=A2B2CD

=CD.

Las interacciones de dos factores son seudónimos con cada una de las otras. Por ejemplo, el seudónimo

deAB es CD:

B

ACD

C

=ABD

D =ABe.

y de modo similar,

8 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARAINGENIERíA



Resolución del diseño

El concepto de resolución del diseño es una manera útil de catalogar

eños factoriales fraccionarios de acuerdo con los patrones de seudónimo que producen. Los

Proyección del diseño 2k l Si uno o más factores de una fracción media de un 2kpueden eli

minarse, el diseño se proyectará en un diseño factorial completo. Por ejemplo, la figura 13-25pre

senta un diseño 23-1. Observe que este diseño se proyectará en un factorial completo en cualesquiera

dos de los tres factoresoriginales.En consecuencia, sipensamosque cuandomucho dos de los tres fac

tores son importantes, el diseño 2

3

es excelentepara identificarlos.Algunas veces llamamos

experi-

mentos de eliminación a los que sirvenpara identificar relativamentepocos factores significativosentre

un grannúmero de factores. Esta propiedadde proyección es sumamenteútil en la eliminaciónde fac

tores, ya que permite eliminar aquellos que son despreciables, lo que resulta en un experimento más

consistente en los factores activos que quedan.

En el diseño 24--1 empleado en el experimento del grabado con nitruro en el ejemplo 13-11, en

contramos que dos de los cuatro factores By C podrían descartarse. Si eliminamos estos dos fac

tores, las columnas restantes de la tabla 13-26 forman un diseño 22 en los factores

y

D

con dos

plicas. Este diseño se muestra en la figura 13-26.

Gráfica de probabilidad normal y residual La gráfica de probabilidad normal es muy útil en la

aluación de la significación de los efectos de un factorial fraccionario. Esto es particularmentecier

cuandohay muchos efectos por estimar.Los residuospueden obtenerse a partir de un factorial frac

ionario mediante el método del modelo de regresión que se mostró antes. Estos residuos deben

graficarse contra los valores predichos, contra los niveles de los factores, y sobre papel de probabi

lidad normal, como hemos estudiado antes, para evaluar la validez de las suposiciones del modelo

sico y para obtener mayor conocimiento de la situación experimental.

La estimación D es grande; la interpretación más directa de los resultados es que ésta es la interacción

Por consiguiente, los resultados obtenidos del diseño 24 concuerdan con los resultados del factorial com

leto que se analizó en el ejemplo 13-9.

A partir de las columnas AC y AD encontramos

e

= AC

BD = -25.50,

D

=

AD

BC

=

-197.50.

= -10.00.

B

AB + CD

- 550 - 749 - 1052 + 650 + 1075- 642 - 601 + 729

4

Es evidente que

son grandes, si creemos que las interacciones de tres factores son despreciables,

efectos principales A entrehierro

y

D ajuste de potencia afectan de manera significativa la tasa de gra

.

Las interacciones se estiman formando las columnas

AB AC

y

AD

Yagregándolas a la tabla. Los signos

la columna AB son

+, -,

r

+, +, -, -, +,

Yesta columna produce la estimación




diseños de resolución 11I,IV y V son particularmente importantes. Las definiciones de estos térmi

nos

y

un ejemplo de cada uno de ellos se encuentran a continuación,

Diseños de resolución l l Son diseños en los que ningún efecto principal se hace seudóni

mo.con cualquier otro efecto principal, pero los efectos principales se hacen seudónimos

con interacciones de dos factores y las interacciones de dos factores pueden hacerse seu

dónimos entre sí. El diseño 23 - 1 con l

ABC es de resolución 1I1.Solemos emplear un

subíndice de número romano para indicar la resolución del diseño; así, esta fracción media

es un diseño 2fu 1.

2 Diseños de resolución

Son diseños en los que ningún efecto principal es seudónimo con

cualquier otro efecto principal o interacción de dos factores, pero las interacciones de dos fac

tores se hacen seudónimos entre sí. El diseño 2

4 - 1

con

l

ABCD

empleado en el ejemplo

13-11,es de resolución IV 2iv 1 .

igur

13-26 El diseño 2

2

obtenido al eliminar los factores B y

e

del experimento de grabado con nitruro.

A (Entrehierro)

1

550,601 650,642

1 _ ·

1

o (Potencia)

1052,1075 749,729

1~ ~

igur

13-25 Proyección de un diseño

23-1

en tres diseños

2

2.

e

[ ]

a

~ {

f

I abc

A

------ / f --- la

I

I I I

I I I I

I I I I

i

B

8




A

BCE

CDF

ABDEF,

B

ACE

DEF

ABCDF,

ABE

ADF

BCDEF,

D

ACF

BEF

ABCDE,

E ABC BDF ACDEF,

F

ACD

BDE

ABCEF,

Para encontrar el seudónimo de cualquier efecto simplemente se multiplica el efecto por cada

en la relación de definición anterior. La estructura de seudónimo completa se muestra aquí.

1

ABCE

ACDF

BDEF.

Aunque el diseño k es valioso en la reducción del número de ejecuciones que se requieren para

un experimento encontramos con frecuencia que las fracciones más pequeñas brindarán informa-

ción casi igual de útil pero todavía con mayor economía. En general un diseño 2 puede ejecutar-

se en una fracción 1/2Pllamada diseño factorial fraccional

2k p

Por consiguiente una fracción 1/4 se

denomina diseño factorial fraccionario

2k-2,

una fracción 1/8 se llama diseño

2k-3,

etcétera.

Para ilustrar una fracción 1/4 considere un experimento con seis factores y suponga que el in-

geniero está interesado sobre todo en los efectos principales pero también le gustaría obtener algu-

na información acerca de las interacciones de dos factores. Un diseño

26 1

requeriría

32

ejecuciones

y tendría 31 grados de libertad para la estimación de los efectos. Puesto que sólo hay 6 efectos prin-

cipales y 15interacciones de dos factores la fracción media es ineficiente es decir requiere dema-

siadas ejecuciones. Suponga que consideramos una fracción de 1/4 o un diseño 26 2 Este diseño

contiene 16 ejecuciones y con 15 grados de libertad permitirá la estimación de la totalidad de los

6 efectos principales con cierta capacidad para el examen de las interacciones de dos factores. Para

generar este diseño escribiríamos en forma completa un diseño 2

en los factores

B

C Y

D

Ylue-

go agregaríamos dos columnas para

E

y

F

Para encontrar las nuevas columnas seleccionaríamos

los dos

generadores de diseño 1

ABCE ACDF.

ASÍ la columna

E

se encontraría a partir de

E ABC

y la columna

F

sería

F ACD,

de tal manera que las columnas

ABCE

y

ACDF

son igua-

les a la columna identidad. Sin embargo sabemos que el producto de cualesquiera dos columnas en

la tabla de signos de más y de menos para un 2

k

es justamente otra columna de la tabla; en conse-

cuencia el producto de ABCE y ACDF o ABCE ACDF A2BCZDEF

BDEF es también una co-

lumna identidad. Por consiguiente la relación de definición completa para el diseño 26 2 es

13 7 2 Fracciones menores: el factorial fraccionario

2k p

Los diseños de resolución III y IV son particularmente útiles en los experimentos de eliminación

de factores. El diseño de resolución IV brinda muy buena información acerca de los efectos princi-

pales y proporcionará ciertos datos acerca de las interacciones de dos factores.

3. Diseños de resolución V.Son diseños en los que ningún efecto principal o interacción de dos

factores se hace seudónimo con cualquier otro efecto principal o interacción de dos facto-

res pero las interacciones de dos factores se hacen seudónimos con interacciones de tres fac-

tores. Un diseño 2

5 1

con

1

ABCDE

es de resolución V 2~

1 .

DISEÑO DE EXPERIMENTOS ON V RIOS F TORES 8



Tabla 3 27

Construcción del diseño

6

con generadores

I

BCE

e

I

CDF

B

C

O

E BC F CD

1

+ + +

aef

+ +

be

+ +

+

abf

+

+ +

cef

+ +

ac

+ +

+

bcf

+ + + +

abce

+

+

df

+ + +

ade

+ + + +

bdef

+ +

+

abd

+

+

+

cde

+

+

+

+

acdf

+ + +

bcd

+ + +

+ + +

abcdef

Observe que éste es un diseño de resolución IV; los efectos principales se hacen seudónimos con

interacciones de tres o más factores, y las interacciones de dos factores se hacen seudónimos entre

sí. El diseño proporcionaría muy buena información respecto de los efectos principales y brindaría

alguna idea acerca de la intensidad de las interacciones de dos factores. Por ejemplo, si la interac

ción

AD

se muestra significativa, entonces

AD

y/o

CF

son significativas. Si

A

y/o D tienen efectos

significativos principales, pero C y

no, el analista podría razonable y tentativamente atribuir la sig

nificación a la interacción

AD.

La construcción del diseño se muestra en la tabla 13-27.

Los mismos principios pueden aplicarse para obtener fracciones aún más pequeñas. Suponga

que deseamos investigar siete factores en 16ejecuciones. Éste es un diseño 27 3 una fracción 1/8 .

Este diseño se construye escribiendo en forma completa un diseño 24 en los factores

B

C Y

D

Y

AB

CE

BCDF

ADEF,

AC

BE

DF

ABCDEF,

AD CF BCDE ABEl ,

AE

BC

CDEF

ABDF,

AF

CD

BCEF

ABDE,

BD

EF ACDE ABCF,

BF

DE

ABCD

ACEF,

ABF CEF BCD ADF,

CDE ABD AEF CBF.




Este diseño es de resolución III puesto que el efecto principal se hace seudónimo con interac

iones de dos factores. Si suponemos que la totalidad de las interacciones de tres

y

más factores son

preciables los seudónimos de los siete efectos principales son

A

BD

CE

ABCF

BCG

ABCDE

CDF

ACDG

BEF

ABEG

FG

ADEF DEG

ACEFG

ABDFG

BCDEFG

El seudónimo de cualquier efecto principal se encuentra multiplicando ese efecto por cada tér

ino en la relación de definición. Por ejemplo el seudónimo de A es

1

ABD

ACE

BCF

ABCG

BCDE

ACDF

CDG

ABEF

BEG

AFG

DEF

ADEG

CEFG

BDFG

ABCDEFG

La relación de definición completa se encuentra multiplicando los generadores de dos en dos de

es en tres

y

finalmente de cuatro en cuatro produciendo

D =AB E =

AC

F = BC

G = ABCe

abla 3 28

Diseño factorial fraccionario 2~¡¡4

Observe que cualquier efecto principal en este diseño será seudónimo con tres factores e interac

s más altas

y

que las interacciones de dos factores serán seudónimos entre sí. En consecuen

éste es un diseño de resolución IV.

Para siete factores podemos reducir aún más el número de ejecuciones. El diseño 27 4es un ex

rimento de ocho ejecuciones que acomoda siete variables. Ésta es una fracción 1/16

y

se obtiene

cribiendo primero en forma completa un diseño 2

en los factores

A, B

YC

y

formando después

s cuatro nuevas columnas a partir de

1

ABD 1

ACE 1

BCF

e

1

ABCG

El diseño se mues

a en la tabla 13-28.

1

ABCE

BCDF

ACDG

ADEF

BDEG

ABFG

CEFG

ñadiendo después tres nuevas columnas. Son elecciones razonables para los tres generadores re

s 1

ABCE 1

BCDF e 1

ACDG Por tanto las nuevas columnas se forman fijando E

F BCD

YG

ACD

La relación de definición completa se encuentra multiplicando los ge

eradores juntos dos a la vez

y

después tres a la vez lo que da como resultado




Los resultados de Minitab® concuerdan con los dados en la tabla 13-6.

Anal ys i s of

Var i ance f or For ce

Source

DF

SS

MS F

Type

2 4 5811 2 2906 27 86 0 000

Appl i cat 1 4 9089

4 9089

59 70 0 000

Type Appl i cat

2 0 2411 0 1206 1 47 0 269

Er r or 12 0 9867 0 0822

Tot al

17 10 7178

Reconsidere el ejemplo 13-3,que trata de pinturas tapaporos en aeronaves. Los resultados que ofrece

Minitab®respecto del diseño factorial 3 x 3 con tres réplicas son

Resultado en computadora de la muestra para el ejemplo 13-3

Proporcionamoslos resultadosdeMinitab®para algunos de los ejemplospresentadosen este capítulo.

3 8 R ESU LTAD OD E LA M UESTR A EN C O M PU TAD O R A

Este diseño

2

4 se llama factorial fraccionario saturado debido a que se utilizan todos los gra

dos de libertad disponibles para estimar los efectos principales. Es posible combinar secuencias de

estos factoriales fraccionarios de resolución IDpara separar los efectos principales de las interaccio

nes de dos factores. El procedimiento se ilustra en Montgomery 2001, capítulo 8 .

Al construir un diseño factorial fraccionario es importante seleccionar el mejor conjunto de ge

neradores de diseño. Montgomery 2001 presenta una tabla de generadores de diseño óptimos para

diseños

k con hasta 10 factores. Los generadores de dicha tabla producirán diseños de resolución

máxima para cualquier combinación específica de

y

Para más de 10 factores, se recomienda un

diseño de resolución lIT.Estos diseños pueden construirse con el mismo método empleado antes pa

ra el diseño tt Por ejemplo, para investigar hasta 15 factores en 16ejecuciones, escriba en forma

completa un diseño 24 en los factores A B C y D Yluego genere 11nuevas columnas tomando los

productos de las cuatro columnas originales, de dos en dos, de tres en tres y de cuatro en cuatro. El

diseño resultante es un factorial fraccionario 2~ 1l Estos diseños, junto con otros factoriales frac

cionarios útiles, son analizados por Montgomery 2001, capítulo 8 .

4 = A

BD

CE

FG

= B AD CF FG

=

AE

BF

DG

D

=

D

AB

CG

EF

E = E AC BG DF

F =F BC AG DE

= G CD BE AF.




n este capítulo sepresentó el diseño y análisis de experimentos con varios factores en especial con

seños factoriales y factoriales fraccionarios. Se consideraron modelos fijos aleatorios y combina

s. Las pruebas para los efectos y las interacciones principales en estos diseños dependen de si

s factores son fijos o aleatorios.

Se trataron también los diseños factoriales

»

Éstos son diseños muy útiles en los que los

k

fac

res aparecen en dos niveles. Los diseños cuentan con un método bastante simplificado de análisis

ístico. En situaciones donde el diseño no puede ejecutarse en condiciones homogéneas el di

k puede confundirse fácilmente en bloques P Esto requiere que ciertas interacciones se con

dan mediante bloques. El diseño

k

tiende también por sí mismo a la réplica fraccionaria en la

al sólo un subconjunto particular de las combinaciones de tratamiento k se ejecutan. En la répli

fraccionaria cada efecto se hace seudónimo con uno o más de los demás efectos. La idea gene

l es hacer seudónimos los efectos principales y las interacciones de orden menor con interacciones

e orden más alto. Este capítulo analizó los métodos de construcción de diseños factoriales fraccio

k que es una fracción l/2P del diseño k Estos diseños son particularmente útiles en la ex

entación industrial.

R S U N

3 9

Los resultados de Minitab son ligeramente diferentes de los resultados dados en el ejemplo

. Se proporcionanlas pruebas

de los efectos principalesy las interacciones además del análisis

varianza sobre el significado de los efectos principales y las interacciones de dos y tres factores.

s resultados usando la funciónANOVAindican que al menos uno de los efectos principales es sig

mientras que ninguna de las interacciones de dos o tres factores es importante.

rm

Ef f ect Coef SE Coef

T P

onst ant

11. 0625 0. 3903

28. 34 0. 000

3. 3750

1. 6875 0. 3903

4. 32 0. 003

1. 6250

0. 8125 0. 3903

2. 08 0. 071

0. 8750 0. 4375

0. 3903 1. 12 0. 295

B 1. 3750

0. 6875 0. 3903 1. 76 0. 116

C 0. 1250

0. 0625 0. 3903

0. 16

0. 877

C

0. 6250 0. 3125 0. 3903

0. 80

0. 446

C

1. 1250 0. 5625 0. 3903 1. 44 0. 188

nal ysi s of Var i ance

urce DF

Seq SS

Adj SS Adj MS F P

ai n Ef f ect s 3 59. 187

59. 187

19. 729 8. 09 0. 008

Way I nt er acti ons

3

9. 187 9. 187

3. 062

1. 26 0. 352

Way I nt er act i ons 1 5. 062 5. 062 5. 062 2. 08 0. 188

esi dual Er ror

8

19. 500 19. 500 2. 437

ur e Er r or 8 19. 500 19. 500 2. 438

ot al 15 92. 937

considere el ejemplo 13-7 que trata de la rugosidad superficial. Los resultados usando Minitab

ara el diseño 2

3

con dos réplicas son

esultado en computadora de la muestra para el ejemplo 3 7

DISEÑO DE EXPERIMENTOS ON V RIOS F TORES

485



13-6 Una compañía emplea a dos ingenieros para

estudios de tiempos. Su supervisora desea de

terminar si los estándares fijados por ellos se

ven afectados por alguna interacción entre los

ingenieros y los operadores. La supervisora se

lecciona tres operadoras al azar y efectúa un

3 5

Supongaque en el ejercicio 13-4los operadores

se eligieron al azar, pero que sólo había cuatro

máquinas disponibles para la prueba. ¿Afecta

esto el análisis o sus conclusiones?

Pruebe la interacción y los efectos principales

en el nivel de 5 . Estime las componentes de

la varianza.

Operador 1

2 3 4

A 109 110 108 110

110 115 109 116

111

110 111 114

112

111 109 112

C 109

112

114 111

111 115 109

112

Máquina

3 4

Se están estudiando los factores que influyen

en la resistencia al rompimiento de tela. Se eli

gen al azar cuatro máquinas y tres operadores

y se ejecuta un experimento utilizando tela del

mismo pedazo de una yarda. Los resultados

son los siguientes:

13-3 Suponga que en el ejercicio 13-2 los tipos de

pintura fueron efectos fijos. Calcule una esti

mación de intervalo de 95 de la diferencia en

las medias entre las respuestas para la pintura

tipo 1 y la pintura tipo 2.

varios de los que se dispone. El ingeniero reali

za un experimento y obtiene los datos que se

muestran en la tabla anterior.Analice los datos

y formule sus conclusiones. Estime las compo

nentes de la varianza.

20

25

30

74

73 78

64 61

85

50 44 92

92 98 66

86 73 45

68

88 85

Pintura

Tiempo de secado min)

3 2 Un ingeniero sospechaque el acabado superfi

cial de una piezametálica es afectado por el ti

po de pintura utilizado y el tiempo de secado.

Seleccionatres tiemposde secado-20, 25Y30

minutos- y elige al azardos tipos de pinturade

18.75

15

0.170 0.198 0.217

0.185 0.210 0.241

0.110 0.232 0.223

0.178 0.215 0.260

0.210 0.243 0.289

0.250 0.292 0.320

0.212 0.250

0.285

0.238 0.282 0.325

0.267 0.321 0.354

12

3

elocidadde corte

Profundidad de corte

Un artículo publicado en el Joumal Mate-

rialsProcessingTechnology

000,p . 113)pre

senta los resultados de un experimento que

implica la estimación del desgaste de la herra

mienta en la molienda. El objetivo es minimi

zar el desgaste de la herramienta. Dos factores

de interés en el estudio fueron la velocidad de

corte m/min)y la profundidad del corte mm).

Una respuesta de interés es el borde de uso de

la herramienta mm). Se seleccionaron tres ni

veles para cada factor y se realizó un experi

mento factorial con tres réplicas. Analice los

datos y estipule sus conclusiones.

13-1

J R I IO S

3 1

8




13-11 Tomando en cuenta el experimento de la com

badura del ejercicio 13-10,obtenga los residuos

y graffquelos sobre un papel de probabilidad

normal. También grafique los residuos contra

los valores predichos. Comente sobreestas grá

ficas.

-1 -1

-1

1.35

1.40

1 -1 -1 2.15 2.20

-1 1

-1

1.50 1.50

1 1

-1

1.10 1.20

-1

-1

1 0.70 0.70

-1

1.40 1.35

-1

1 1.20 1.35

1

1 1 1.10 1.00

13-10 Un artículo publicado en

Quality Engineering

1999, p. 357 presenta los resultados de un ex

perimentorealizadopara determinar los efectos

de tres factores sobre la combadura en un pro

ceso de modelado por inyección. La combadu

ra se define como la propiedad de no planicie

en el producto fabricado. La compañía que se

analiza en este caso particular fabrica compo

nentes de plástico moldeados para utilizarse en

equipos de televisión, máquinas lavadoras y

automóviles. Los tres factores de interés ca

da uno para dos niveles son temperatura

de derretimiento,

velocidad de inyección

y C proceso de inyección. Se realizó un dise

ño factorial completo 2

3

con réplica. En la tabla

que se muestra a continuación se listan los re

sultados de dos réplicas. Analice los datos de

este experimento.

10 96.6 97.7 99.4

98.4

99.6 100.6

96.0 96.0 99.8 98.6 100.4 100.9

15 98.5 96.0 98.4 97.5 98.7 99.6

97.2 96.9 97.6 98.1 98.0 99.0

20 97.5 95.6 97.4 97.6 97.0 98.5

96.6 96.2 98.1 98.4 97.8 99.8

concentración

de madera dura 400 500 650 400 500 650

Purezaureza

orcentaje de

Tiempo de cocido Tiempo de cocido

de 1.5 horas de 2.0 horas

13-9 Se están investigando los efectos que tienen el

porcentaje de concentraciónde madera dura en

la pulpa cruda, la pureza y el tiempo de cocido

de la pulpa sobre la resistenciadel papel.Anali

ce los datos que semuestran en la siguiente ta

bla, suponiendoque los tres factores son fijos.

13-8 Considere los datos de desgaste de herramien

tas del ejercicio 13-1.Grafique los residuos del

experimento en función de los niveles de la ve

locidad de corte y en función de la profundidad

de corte. Comente sobre las gráficas obtenidas.

¿Cuáles sonlasposibles consecuenciasde la in

formacióncontenidaen las gráficas residuales?

230

235

240

220

225

230

260

240

235

2

290

285

290

300

310

295

280

290

285

2 3ipo de vidrio

Tipo de fósforo


Industrial Quality

Control 1956, p. 5 describe un experimento

para investigarel efectode dos factores tipode

vidrio y tipo de fósforo en la brillantez de un

cinescopio para televisores.La variable de res

puesta medida es la corriente necesaria en mi

croamperes para obtener un nivel de brillantez

específico. Los datos se muestran a continua

ción.Analícelos y formule conclusiones, supo

niendo que ambos factores son fijos.

2

Operador

2 3

2.59 2.38 2.40

2.78 2.49

2.72

2.15 2.85

2.66

2.86 2.72 2.87

Ingeniero

experimento en el que los ingenieros fijan los

tiempos para un mismo trabajo. Se obtienen

los datos que se muestran aquí. Analícelos y

formule conclusiones.




a Estime los efectos y prepare una gráfica

de probabilidad normal con los mismos.

b

Construyauna gráfica de probabilidadnor

mal de los residuosy comente sobre los re

sultados.

1

=42

=40

= 31

d

= 30

= 45 d = 50

= 29

d

= 25

e = 39

e d

=40

e

= 28 e d

= 25

e

=46

e d

= 50

e

= 32

e d

= 23

3 6

Un experimento descrito por M. G. Natrella en

el andbook of xperimental Statistiesdel Na

tional Bureau of Standards Núm. 91, 1963 ,

involucra la prueba con flama de fibras después

de aplicar tratamientos de resistencia al fuego.

Hay cuatro factores: el tipo de fibra

A ,

el tipo

de tratamiento de resistencia al fuego B , la

condición de lavado

e,

el nivel bajo, es sin la

vado, el nivel alto es conun lavado y el méto

do con que se efectúa la prueba por flama D .

Todos los factores se ejecutan en dos niveles, y

la variable de respuesta es la cantidad depulga

das de fibra que se queman en una muestra de

prueba de tamaño estándar.Los datos son:

1 =

700 d = 1000

e

800 de = 1900

900 d = 1100 e = 1200 de = 1500

b = 3400

bd = 3000

be = 3500 bde = 4000

b = 5500 bd = 6100 be = 6200 bde = 6500

e

600

ed

800

ce

600 ed e = 1500

e = 1000 ed = 1100

ee = 1200 ede = 2000

be = 3000 bed = 3300

bee = 3006 bede = 3400

be = 5300 bed = 6000 bee = 5500 bede = 6300

se emplea en un experimento para estudiar la

resistencia del concreto a la compresión. Los

factores sonmezcla A , tiempo B , laboratorio

C , temperatura D y tiempo de secado E .

Analice los datos, suponiendo que las interac

ciones de tres o más factores son despreciables.

Utilice una gráfica de probabilidad normal pa

ra evaluar a estos efectos.

3 5 Los datos que se muestran a continuación re

presentan una sola réplica de un diseño 2

5

que

3 4

Encuentre el error estándar de los efectos para

el experimento del ejercicio 13-12.Empleando

los errores estándar como guía, ¿cuáles facto

res parecen significativos?

3 3Considere el experimento del ejercicio 13-12.

Grafique los residuos contra los niveles de los

factores

A, B,

e y D. Además construya una

gráfica de probabilidad normal de los residuos.

Comente sobre estas gráficas.

Réplica

Combinaciones

de tratamiento

1

1

190 193

174

178

181 185

183 180

e

177 178

e

181 180

e

188 182

e

173 170

d

198 195

d

172 176

d

187 183

d

185 186

e d 199

190

e d

179 175

e d 187 184

e d

180 180

3 2

Se piensa que posiblemente cuatro factores

afectan el sabor de un refresco: el tipo de sabo

rizante A , la proporción entre el jarabe y el

agua B , el nivel de carbonatación C y la

temperatura

D .

Cada factor puede ejecutarse

en dos niveles, produciendo un diseño 2

4.

En

cada ejecucióndeldiseño, sedan muestrasde la

bebida a un grupo de prueba compuesto por 20

personas. Cadauna de ellas asignauna califica

ción de 1 a 10 al refresco. La calificación total

es la variable de respuesta, y el objetivo es en

contrar una fórmula que maximice la califica

ción total. Se ejecutan dos réplicas de este

diseño, y losresultados sepresentana continua

ción.Analice los datos y formule conclusiones.

488 PRO ILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí



13-23 Un artículo publicado en el

Journal of Quality

Teehnology

Vol. 17, 1985, p. 198)describe el

empleo de un factorial fraccionario con réplica

para investigar los efectos de cinco factores en

la altura libre de resortes de hojas utilizados

en una aplicación automotriz. Los factores son

e

Si todos los factores pueden despreciarse,

descompongael diseño

25--1

en un factorial

completo en los factores activos. Comente

sobre el diseño resultante e interprete los

resultados.

b

Calcule los residuos. Construya una gráfi

ca de probabilidad normal de los residuos

y grafique éstos contra los valores ajusta

dos. Comente sobre las gráficas.

a

Elaboreunagráficade probabilidadnormal

de los efectos.¿Cuálesfactores sonactivos?

e

= -0.63

d

= 6.79

a =

2.51

ade

= 6.47

b

= -2.68

bde

= 3.45

abe = 1.66 abd = 5.68

e

= 2.06

ede

= 5.22

aee

= 1.22

aed

= 4.38

bee

= -2.09

bed

= 4.30

abe

= 1.93

abede

= 4.05

13-22

R.

D. Snee Experimentingwith a LargeNum

ber of Variables , en

Experiments in Industry:

Design Analysis and Interpretation of Results

por

R.

D. Snee,

L.

B. Hare y

J.

B. Trout, Edi

tores, ASQC, 1985) describe un experimento

en el que se usó un diseño 2

5-1

con

I =ABCDE

para investigar los efectos de cinco factores en

la coloración de un producto químico. Los fac

tores son solvente/reactivo, B

cataliza

dor/reactivo, C

temperatura, D

pureza del

reactivo y

E =

pH del reactivo. Los resultados

obtenidos son los siguientes:

d

Sugiera un mejor diseño; específicamente,

uno que proporcionaría cierta información

respecto de

todas

las interacciones.

e Comente sobre la eficiencia de este diseño.

Observe que hemos repetido dos veces el

experimento, aunque no tenemos informa

ción relativa a la interacción

B e

a

Analice los datos de este experimento.

b

Grafiquelos residuosenpapel de probabili

dad normal y contra los valores predichos.

Comente sobre las gráficas obtenidas.

Réplica

Réplica 2

Bloque 1

Bloque 2 Bloque 1

Bloque 2

1 = 99

a

= 18

1

= 46

a

= 18

ab

= 52

b

= 51

ab

=-47

b

= 62

ae

= 42

e

= 108

ae

= 22

e

= 104

be

= 95

abe

= 35

be

= 67

abe

= 36

-21 Un artículo publicado en

Industrial and Engi-

neering Chemistry

Factorial Experiments in

Pilot Plant Studies , 1951,p. 1300) informa de

un experimento en el que se investiga el efecto

de la temperatura

A ,

el gasto de gas

B

y la

concentración C en la intensidad de la solu

ción de un producto en una unidad de recircu

lación. Se emplearon dos bloques con

ABC

confundido, y el experimento se repitió dos

veces. Los datos son los siguientes:

3-20 Construya un diseño 2

5

en cuatro bloques. Se

leccione los efectos que se van a confundir, de

manera que se confundan las interaccionesmás

altas posibles con bloques.

-19 Repita el ejercicio 13-18,suponiendoque sere

quierencuatro bloques. Confunda

ABD

y

ABC

yen consecuencia

CD

con bloques.

3-18 Considere los datos de la primera réplica del

ejercicio 13-12. Construya un diseño con dos

bloques de ocho observaciones cada uno, con

ABCD

confundido. Analice los datos.

3-17 Considere los datos de la primera réplica del

ejercicio 13-10. Suponga que no todas estas

observaciones pudieran ejecutarse en las mis

mas condiciones. Establezca un diseño para

ejecutar estas observaciones en dos bloques de

cuatro observaciones, cada una con

ABC

con

furidido.Analice los datos.

e

Construya una tabla de análisis de varian

za, suponiendo que son despreciables las

interacciones de tres y cuatro factores.




En la siguiente tabla se muestran los resultados

usuales de este tipo de experimento:

Ejecución

A B C

Densidad

-1 -1 -1

1 2.001

2 1

-1 -1

-1 2.062

3

-1

1

-1 -1

2.019

4

1

-1

1 2.059

5

-1 -1

1

-1

1.990

6 1

-1 1

1 2.076

7

-1

1 1

1

2.038

8 1 1

-1

2.118

a

¿Cuál es el generador para esta fracción?

b

Analice los datos. ¿Qué factores influyen

en la media de la densidad de volumen?

Nivel bajo Nivel alto

Factor

(-1)

+1

A

Fez03

30

B

ZnO

15

C PbO

2.5

D:

CrZ03

2.5

13-25 Un artículo publicado en Cement and Concre-

te Researeh

(2001, p. 1213) describe un expe

rimento para investigar los efectos de cuatro

óxidos metálicos sobre diferentes propiedades

del cemento. Los cuatro factores se están

ejecutando en dos niveles y una respuesta de

interés es la media de la densidad de volumen

(g/cm ). Los cuatro factores y sus niveles son

a Compruebe que los generadores de diseño

utilizados fueron

= ACE

e

= BDE

b Escriba la relación de definición completa

los seudónimos de este diseño.

e) Estime los efectos principales.

d

Prepare una tabla de análisis de varianza.

Verifiqueque estén disponibles las interac

ciones

AB

y

AD

para usarse como error.

e

Grafique los residuos contra los valores

ajustados. Construya también una gráfica

de probabilidad normal de los residuos.

Comente los resultados.

e

23.2,

ad

16.9,

ed

23.8,

bde

16.8,

ab

15.5,

be

16.2,

aee

23.4,

abede

18.1.


Industrial and Engi-

neering Chemistry

( More on PlanningExperi

mentsto IncreaseResearchEfficiency , 1970,p.

60) utilizaun diseño 25-Zpara investigarel efec

to que tienensobreel rendimientoestos factores:

A =

temperaturade condensación,

B =

cantidad

del material 1, C

volumen del solvente,

tiempode condensacióny

E

cantidaddel ma

terial 2.Los resultadosobtenidosson:

ti

Analice los residuos de este experimento

y comente sus resultados.

e) Calcule el intervalo d e la altura libre para

cada ejecución. ¿Hay alguna señal de que

alguno de estos factores afecte la variabi

lidad de la altura libre?

b

Analice los datos. ¿Qué factores afectan la

altura libre media?

a

¿Cuál es el generador para esta fracción?

Escriba en forma completa la estructura

del seudónimo.

7.78, 7.78,

7.81

8.15,

8.18,

7.88

7.50, 7.56,

7.50

7.59, 7.56,

7.75

7.54, 8.00,

7.88

7.69, 8.09,

8.06

7.56, 7.52,

7.44

7.56, 7.81,

7.69

7.50, 7.25, 7.12

7.88, 7.88,

7.44

7.50,

7.56,

7.50

7.63, 7.75,

7.56

7.32, 7.44,

7.44

7.56, 7.69,

7.62

7.18, 7.18,

725

7.81, 7.50,

7.59

A BCD

A

temperaturadel horno,

B

tiempode calen

tamiento,C tiempode transferencia,

tiem

po de bombeo y

E

temperatura de inmersión

en aceite.Los datos semuestrana continuación.




13-31 Construyaun diseño factorial fraccionario

~t

Escriba en forma completalos seudónimos s u

poniendo que sólo los efectos principales y las

interaccionesde dos factoresson de interés.

13-30 Considere los datos del ejercicio 13-15. Su

ponga que podría ejecutarse sólo una fracción

cuarta del diseño 2

5.

Construya diseño y

analice los datos.

13-29

Suponga que en el ejercicio 13-15 sólo una

fracción media del diseño 2

5

pudiera ejecutar

se. Construya el diseño y efectúe el análisis.

13-28 Suponga que en el ejercicio 13-12 sólo pudie

ra ejecutarse una fracción media del diseño 4

Construyael diseñoy efectúe el análisisestadís

tico; use los datos de la réplica l.

27 Considere el diseño 26-2de la tabla 13-27. Su

ponga que después de análizar los datos origi

nales se encuentra que los factores y

pueden descartarse. ¿Qué tipo de diseño

queda para las variables restantes? Compare

los resultados con el ejercicio

13-26.

¿Puede

explicar por qué son diferentes las respuestas?

-26 Considere el diseño

26-2

de la tabla

13-27.

Su

ponga que después del análisis de los datos

originales encontramos que los factores

y

pueden eliminarse. ¿Qué tipo de diseño

se

deja en las variables restantes?

e Analice los residuos de este experimento

y comente sus hallazgos.




Los efectos principales son significativos, la interacción no es significativa.

13-1. Fuent e

v e

F

e s

2 3178 5

1589 3 15 94

oc

2 271854 135927 13 64

e s D

4 6873

1718 17 95

Er r or 18 179413

9967

T ot al 26

775945

Capítulo 3

12-15. a 20.47,

tI

0.33,

t2

1.73,

t3

2.07. b

tI t2

-1.40.

12 11 n

3.

2-9. a

Fo

2.38. b Ninguno.

12-7. a Fo

4.01. b La media 3 difiere de la media 2. e SSc2

246.33. d 0.88.

12-5. a Fo

2.62. b 21.70,

tI

0.023,

t2

-0.166,

t3

0.029,

t4

0.059.

12-1. a Fo

3.17. 12-3. a Fo

12.73. b La técnica de mezclado 4 e s diferente de 1,2 Y3.

Capítulo

11 59 22.06, se rechaza Ho·

1 57 34.896, se rechaza Ho·

11 47

2.915, no se rechaza

Ho

11-49. 4.724, no se rechaza

Ho~

11 53 0.0331, no se rechaza Ho 11-55. 2.465, no se rechaza Ho

11 37 Zo

1.333, no se rechaza Ho 11-41. Zo

-2.023, no se rechaza Ho·

11 33 o

2.4465, no se rechaza Ho 11-35. o

5.21, se rechaza Ho

11 31 Fo

30.69, se rechaza Ho; 0.65.b 0.58.

1-29. a

x

2.28, se rechaza Ho

d

17.

e 0.30.

1-27. a

x

43.75, se rechaza

Ho

b 0.3078 x 10-4.

11 25 o

0.56, no se rechaza Ho

11 21 Fo

0.8832, no se rechaza Ho 11-23. a Fo

1.07, no se rechaza Ho b 0.15. e 75.

11-19. a o

8.49, se rechaza Ho b o

-2.35, no se rechaza Ho e 1. d 5.

11 13 o

1.842, no se rechaza

Ho

11-15.

o

1.47, no se rechaza

Ho

en 0.05. 11-17. 3.

11-11.Zo

-7.25, se rechaza Ho

1-9. Zo

2.656, se rechaza Ho




Capítulo 14

13 27 2

3

con dos réplicas. 13 29 25 2 diseño. Las estimaciones para A, B YAB son grandes.

13 25 a) D

ABe. b) A es significativo.

3 21 A y son significativos.

13 19 Bloque 1:

1

ab, bcd, acd, Bloque 2: a, b, cd, abcd, Bloque 3: e, abe, bd, ad, Bloque 4: d,

abd, be, ac.

13 17 Bloque 1:

1 ,

ab, ac, be, Bloque 2: a, b, e, abe.

13 15 Los principales efectos A, B, D, E y la interacciónAB son significativos.

La concentración, tiempo, limpieza y la interacción tiempo

limpieza son significativos al

0.05.

RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS

13 3

-23.93 ~

1 1

1 0 ~ 5.15.

13 5

Las conclusiones no cambian.

13 7 Fuent e

VC

Pe MS

F

Vi dr i o 1 1445 1445 273 79

f ó s f o r o 2 933 3 466 7 8 84 4

vi dr i o

f ós f or o 2 133 3 66 7 1 26

318

Er r or 12

63 3 3 52 8

Tot al 17

1615

Principales efectos significativos.

13 9

Fue nt e DF

ss MS

Concent r ac i ón 2 7 763 9 3 88 19 1 62

1

L i mpi ez a 2 19 3739 9 686 9 26 5

Ti empo

1 2 25 2 25 55 4

Conc ent r a ci ón

l i mpi ez a 4

6 91 1

1 5228 4 17

15

Conc ent r a ci ó n

t i empo 2 2 817 1 4 8 2 85 84

L i mpi ez a

t i empo 2 2 195 1 975 3 75

Concent r ac i ón

l i mpi ez a

t i e mpo 4 1 9733 4933 1 35 29

Er r or 18 6 58 365 6

T ot a l

35 66 3 89

Documents

13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores