Cálculo Diferencial e

Integral de Funciones de

más de una Variable

APUNTES Y EJERCICIOS

Divergencia, Rotor e Integrales Curvilíneas

Universidad Tecnológica de Chile

SEDE CALAMA

Guía de Apuntes y Ejercicios

Funciones de más de una Variable Página 1

DIVERGENCIA, ROTOR E INTEGRALES CURVILÍNEAS

Rotor: Se entiende por rotor al operador vectorial que muestra la

tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

También se define como la circulación del vector sobre un camino

cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando

el área tiende a cero, es decir:

.

Las propiedades más destacadas del rotor de un campo son:

Si el campo escalar tiene derivadas parciales continuas de segundo orden

entonces el .

Si es un campo vectorial conservativo entonces

Si el campo vectorial es una función definida sobre todo cuyas

componentes tienen derivadas parciales continuas y el , entonces es un

campo vectorial conservativo.

Ejemplo: Si , calcular el rotor en B.

Solución: Se reemplazan los valores,

, luego se calcula

el determinante aplicando la derivada de las funciones y se obtiene el vector resultante,

, entonces el rotor

es:

Divergencia: La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo

entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen .

Si el volumen elegido solamente contiene fuentes o sumideros de un

campo, entonces su divergencia es siempre distinta de cero. La

divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar,

que se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen

conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero, y viene dada

por:

.

La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo,

quiere decir que el campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una

fuente o manantial. Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto del

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Funciones de más de una Variable Página 2

interior del volumen, por lo que constituiría un sumidero. Si la divergencia fuese cero el

campo neto (diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería nulo.

Ejemplo: Si , calcular la divergencia en B.

Solución: Se tiene que

, luego se calcula la

derivada de las funciones y se obtiene el escalar resultante, .

Integrales Curvilíneas o Integral de Línea: Una integral de línea es semejante a una

integral sencilla, excepto que en vez de integrar sobre un intervalo , se integra

sobre una curva . Consideremos una curva definida por un segmento recto o una

porción de curva en el espacio que une los puntos y .

Sea una función vectorial: qu en todo punto de una región

en torno a C. Denotemos por , entonces . La integral

curvilínea se define como:

.

Las integrales de línea son de capital importancia en matemática pura y aplicada, y

también en física: se presentan al estudiar el trabajo, la

energía potencial, el flujo de calor, el cambio en la

entropía, la circulación de un fluido, y otras muchas

cuestiones que involucran el comportamiento de un campo

escalar o vectorial a lo largo de una curva.

Ejemplo: Calcular el trebajo realizado por una fuerza

al mover una partícula desde el origen hasta : a) a lo largo de la recta

; b) a lo largo de la curva ; c) a lo largo de segmentos rectos de a

, a y y .

Solución: Calcular primero

a) A lo largo de la recta , . La integral a calcular se convierte en:

.

b) A lo largo de la curva dada, , para

hasta , entonces:

.

c) Desde hasta ,

Desde hasta ,

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Funciones de más de una Variable Página 3

Desde hasta ,

EJERCICIOS

1. Calcular el rotor del campo vectorial en el punto indicado:

a)

b)

c)

d)

2. Calcular el rotor del campo vectorial :

a)

b)

c)

d)

3. Calcular la divergencia del campo vectorial :

a)

b)

c)

d)

4. Calcular la divergencia del campo vectorial en el punto indicado:

a)

b)

c)

d)

5. Calcular el trabajo realizado por la fuerza dada al desplazar una partícula desde el

origen hasta a lo largo de (1) la recta ; (2) la curva

; (3) los segmentos rectos de a , a y y :

a)

b)

c)

6. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas al mover un objeto a lo largo

de la trayectoria que se especifica:

a)

b)