1.3 Numeros Complejos

7/23/2019 1.3 Numeros Complejos

1/9

IInnggeenniieerraaIInndduussttrriiaall MMooddaalliiddaaddAAbbiieerrttaayyaaDDiissttaanncciiaa

IInnssttiittuuttooTTeeccnnoollggiiccooddeeMMiinnaattiittllnn 1

INSTITUTO TECNOLGICO DE

MINATITLNDivisin de Estudios a Distancia

MATERIA: Introduccin a las Matemticas

UNIDAD: 1. Naturaleza de los nmeros

SUBTEMA: 1.3 Nmeros complejos

INTRODUCCIN

El trmino nmero complejo describe la suma de un nmero real y un nmeroimaginario (que es un mltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Losnmeros complejos se utilizan en todos los campos de las matemticas, en muchos de lafsica (y notoriamente en la mecnica cuntica) y en ingeniera, especialmente en laelectrnica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondaselectromagnticas y la corriente elctrica.

Los nmeros complejos son la herramienta de trabajo del lgebra ordinaria, llamadalgebra de los nmeros complejos, as como de ramas de las matemticas puras y aplicadascomo variable compleja, aerodinmica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.

DESARROLLO

El trmino nmero complejo describe la suma de un nmero real y un nmeroimaginario (que es un mltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Losnmeros complejos se utilizan en todos los campos de las matemticas. Los nmeros

complejos son una extensin de los nmeros reales, cumplindose que CR . Enmatemticas, los nmeros constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntosdel plano: el plano complejo.


2/9



En el plano de la figura anterior el eje de las x (abscisas) es suplido por eje de losnmeros reales y el eje de las y (ordenadas) por el eje de los nmeros imaginarios, de talforma que un nmero imaginario tiene 2 partes:

El trmino principal de la parte imaginaria es el trmino i, llamado unidad imaginaria,dicho trmino equivale a:

1i

Por lo que despejando el -1 queda:

12 i

Cuando un nmero complejo solo contiene la parte imaginaria se dice que se tiene unnmero imaginario puro. Se conocen dos formas bsicas para representar un nmerocomplejo:

biaz

ba

),(

EJEMPLO

El nmero complejo (3,4) tambin puede representarse como z = 3 + 4i, yrepresentarse en el plano:

Par ordenadoForma Binomica


3/9



1.3.1 Operaciones con nmeros complejos

Suma o adicin

Si se tienen los nmeros complejos z1= a + bi y z2= c + di; entonces, (a + bi) + (c +

di) = (a + c) + (b + d )i , puesto que a,b,c, d son todos nmeros reales.

Ejemplo

Sumar los nmeros z1= 3 +2i y z2= 4 i. Se debe sumar la parte real de uno con ladel otro, as mismo con las partes imaginarias:

i

i

i

7

4

23

De la misma forma ocurre si estuvieran en forma de pares ordenados:(3,2) + (4,-1) = (7,1)

Resta o sustraccin

Usando los nmeros complejos z1= a + bi y z2= c + di; entonces, z1 - z2=(a +bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d )i.

Ejemplo

Se tienen los nmeros z1= 4 + 5i y z2= 5 - 3i:

i

i

i

31

4

23

+

-


4/9



En forma de pares ordenados:

(3,2) + (4,-1) = (3-4,2-(-1)) = (-1,3)

Multiplicacin

Si se tienen los nmeros complejos z1= a + bi y z2= c + di; entonces, z1z2= (a + bi) (c+ di) = ac + adi + bci + bdi2= (ac - bd ) + (ad + bc)i, puesto que a,b,c, d son todos nmerosreales.

Ejemplo

Se tienen los nmeros z1 = (3+ 2i) y z2= (4 - i)

z1z2= (3+ 2i)(4 - i) = 12 - 3i + 8i - 2i2= (12 + 2) + (-3+ 8)i = 14 + 5i

En forma de pares ordenados:

z1z2= (3, 2)(4 ,- 1) = [(3)(4)-(2)(-1),(3)(-1)+(2)(4)]= 14 + 5i

Conjugado de un nmero complejo

Si z = x + yi es un nmero complejo llamaremos conjugado del nmero z, al nmero

z = x - yi , es decir, al nmero complejo que tiene la misma parte real que z pero la parteimaginaria de signo opuesto.

Ejemplo

Si z = 3+ 2i , entonces z = 3 - 2i y si z = 3 - 2i , entonces z = 3+ 2i .

Divisin

Si se tienen los nmeros complejos z1= a + bi y z2= c + di; entonces, la divisin denmeros complejos se realiza mediante la multiplicacin y divisin por el conjugado deldenominador:

2

2

22

2

1

z

iadbcbdac

dc

iadbcbdac

dic

dic

dic

bia

dic

bia

z

z

Ejemplo

Dados los nmeros z1= 23i y z2= -1 +2i


5/9



iz

z

ii

i

i

i

i

i

i

z

z

5

1

5

8

5

4362

21

22132312

21

21

21

32

21

32

2

1

22

2

1

Modulo y argumento de un numero complejo

Sea z = (a,b) = a + bi un nmero complejo cualquiera. Llamaremos mdulo delnmero complejo z:

z = 22 ba

El mdulo se interpreta como la distancia al origen del nmero z . Por otra parte,llamaremos argumento del nmero complejo z = a + bi , al ngulo comprendido entre el eje x

y el radio vector que determina a z . El argumento de z se denota por arg(z) y se calcula

mediante la expresin:

a

baz tanarg

Modulo y argumento de un numero complejo

Ejemplo

Calcular el modulo y el argumento del numero complejo z1= 5 -2i

385.525 22 z

19.3388.21

5

2tan)arg( az


6/9



Races Complejas

Si el discriminante de la ecuacin ax2 + bx + c = 0 es negativo, debe sustituirse elsigno negativo por i2y de esa forma se obtienen las races complejas de la ecuacin.

Ejemplo

Resolver la ecuacin x2- 2x + 6 = 0

Aplicando la frmula de la ecuacin cuadrtica:

2

202

2

2442

20

61422 2

x

iii

x 512

522

2

202

2

202 2

Entonces para el polinomio de segundo orden existen 2 races:

ix 511 y ix 512

FORMA TRIGONOMETRICA O POLAR DE UN NMERO COMPLEJO

La forma trigonomtrica de un nmero complejo se establece observando el tringuloamarillo de la Figura 3:

Forma trigonometrica de un nmero complejo

De esta grafica se obtuvo:

z = 22 ba


7/9



a

baz tanarg

Adems puede deducirse:

cosryr

yCos

rsenyrySen

Al sustituir en la forma binomica

isenrirsenryixyxz coscos,

O abreviando

rcisz

Ejemplo

Calcular la formula trigonomtrica del numero complejo z1= 7 -3i

615.737 22 z

8.33619.23

7

3tan)arg( az

Sustituyendo

8.336615.78.3368.336cos615.7 cisisenz

Multiplicacin de nmeros complejos en su forma trigonomtrica

Sean u = r cisy v = s cis, entonces u v = (rs)cis (+ ) . En otros trminos:

isenrsuv cos o

cisrsuv

Comprobando:

scisrcisuv


8/9



cisrsisenrs

isensensensenrs

isensenisenisenrs

isenisenrs

ciscisrs

cos

coscoscoscos

coscoscoscos

coscos

2

Ejemplo

Sea 302cisu y 205cisv al multiplicar:

.

5010

5050cos10

20302030cos25

cisuv

isenuv

isenuv

Potencia de un numero complejo y la formula de Moivre

insennrncisrz nnn cos

De forma que cuando r = 1

insennisen n coscos Esta es la ecuacin llamada formula de Moivre

Ejemplo

Elevar el numero z1= 5 cis 53 al cubo

159125533533cos5331 cisisenz

FORMA EXPONENCIAL DE UN NMERO COMPLEJO

Para esta forma se utiliza la llamada formula de Euler:

isenei cos

De la forma trigonometrica se tiene:

isenrz cos

Al sustituir la formula de Eulerqueda:


9/9



irez

A la cual se le llama forma exponencial.

Ejemplo

Transformar el numero complejo z1= 5

3i a su forma exponencial

22 35 r 03.32996.305

3tan

a

De modo que su forma exponencial es:

iez 03.3291 34

Multiplicacin y divisin de nmeros complejos en su forma exponencial

Sean

i

reu yi

sev

iii erssereuv

i

i

i

es

r

se

re

v

u

Ejemplo

Sea 302cisu y 205cisv multiplicar y dividir en su forma exponencial:

5020302030 102552 iiii eeeeuv

102030

20

30

5

2

5

2

5

2 iii

i

eee

e

v

u

REFERENCIAS

[1] Algebra; Baldor, Aurelio; 1997; Publicaciones Cultural.[2] Algebra para universitarios; Alvarado Garca, Rodolfo; 2001; Editorial Esfinge.[3] Aritmtica y algebra; Sada Garca, Mara Teresa; 2001; Ediciones DGTI.[4] Algebra; Acosta Snchez, Raymundo; 2006; Ediciones DGTI.

Documents

1.3 Numeros Complejos