IFD Maldonado Curso: Matemática I Año 2013

Repartido práctico nº3. Tema: Divisibilidad

Departamento de Matemática. Prof. G. Velázquez y L. Medina.

Ejercicio 1 Completa los siguientes esquemas de división entera, con todas las opciones posibles:

i) 4

37

r

d ii)

19

5

r

D iii)

q

d

4

58

Ejercicio 2

Sabiendo que q

a

3

8, completa las siguientes divisiones:

i) 82+a

ii) 85+a

iii) 82a

iv) 894 +a

Ejercicio 3 Algunos pares de números tienen la propiedad de que la suma de los divisores de cada uno de ellos, excluyendo los propios números, es el otro número. A estos números se les llama números amigos. Comprueba que los números 1184 y 1210 son amigos. Ejercicio 4 Determina las cifras x e y para que el número…

a) 2xy31 sea divisible por 9. b)123xy sea divisible por 35 c) 28x75y sea divisible por 33.

Ejercicio 5 Investiga la validez de las siguientes proposiciones. En caso de encontrar que la misma es falsa, bastará encontrar un contraejemplo para demostrar su falsedad. En caso de encontrarla verdadera, debes fundamentar su validez.

a) La suma de dos números impares es un número par. b) La suma de tres números pares consecutivos es un múltiplo de 6. c) La suma de dos números impares consecutivos es un múltiplo de cuatro. d) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es siempre un

número par. e) Todos los números naturales que divididos entre 7 dan resto igual al

cociente, son múltiplos de 8.

f) Todo número de la forma baba es múltiplo de 101. g) Todos los números terminados en 3 son múltiplos de 3.

h) Todo número de la forma )(5 abccba + es múltiplo de 3. Ejercicio 6 Halla el menor número de 4 cifras que dividido por 4, 7 y 11 da de resto 3. Ejercicio 7 Encuentra el mayor número natural que al emplearlo como divisor de 247, 367 y 427 origina en todos los casos resto 7. Ejercicio 8 Halla la descomposición en factores primos de los números: 773, 60434 y 18000000. Determina a partir de esta descomposición factorial el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de estos tres números. Calcula también el número de divisores de cada uno de estos números.

IFD Maldonado Curso: Matemática I Año 2013

Repartido práctico nº3. Tema: Divisibilidad

Departamento de Matemática. Prof. G. Velázquez y L. Medina.

Ejercicio 7 Sólo hay un número con un único divisor: el 1. Los números primos tienen sólo dos divisores. ¿Cómo será la descomposición en factores primos de los números que tienen exactamente tres divisores? ¿y de los que tienen cuatro, cinco o seis divisores, respectivamente? ¿Tienen alguna característica común los números que tienen un número impar de divisores? Ejercicio 8 Calcula mediante el algoritmo de Euclides, el MCD de los siguientes números:

i) (1386,1276) ii) (26400,2178) iii) (161914,110331) Ejercicio 9 Hallar a y b sabiendo que a + b = 2154 y los cocientes obtenidos al dividir a entre b empleando el algoritmo de Euclides son : 2 , 3 , 4 , 5 y 3 respectivamente. Ejercicio 10 Hallar a, b, 1r , 2r , 3r teniendo como datos que el máximo común divisor entre a y b es

6, y además el algoritmo de Euclides correspondiente es el siguiente:

0

6321

321

321

rrr

rrrba

Ejercicio 11 Hallar a, b, 1r , 2r , 3r teniendo como datos que a-b=124 y el algoritmo de Euclides

correspondiente es el siguiente:

0

31021

321

321

rrr

rrrba

Ejercicio 12 Un faro emite señales diferentes: la primera cada 16s, la segunda cada 45s y la tercera cada 2m 30s. Estas señales se emiten simultáneamente en un cierto instante. ¿Qué intervalo de tiempo pasará hasta que se vuelvan a emitir simultáneamente? Ejercicio 13 Dos cuerpos de ejército tienen 12028 y 12772 hombres, respectivamente. ¿Cuál es el mayor número de hombres que puede tener un regimiento si cada cuerpo de ejército tiene que ser dividido en regimientos de igual tamaño? Ejercicio 14 En el contorno de un campo trapezoidal cuyos lados miden 72, 96, 120 y 132 m., respectivamente, se han plantado árboles igualmente espaciados. Calcula el número de árboles plantados, sabiendo que hay uno en cada vértice y que la distancia entre dos consecutivos es la máxima posible. Ejercicio 15 Elige un número cualquiera. Si inviertes el orden de sus cifras y restas el menor del mayor, observarás que se obtiene un número que es múltiplo de 9. Demuestra esta propiedad para números de 2, 3 y 4 cifras. Ejercicio 16 El número de páginas de un libro es mayor que 400 y menor que 500. Si se cuentan de 2 en 2, sobra una; de 3 en 3 sobran dos; de 5 en 5 sobran cuatro y de 7 en 7 sobran seis. ¿Cuántas páginas tiene el libro?