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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRINGULOS.
CONGRUENCIA DE TRINGULOS.
Un tringulo es congruente con otro, o igual a otro, si tiene
todos sus lados y ngulos respectivamente iguales a los lados y
ngulos del otro. Para saber si dos tringulos son iguales no es
necesario comprobar la igualdad de sus lados y ngulos uno a uno,
sino que se puede aplicar uno de los tres siguientes criterios:
1er. criterio. Si dos lados de un tringulo y al ngulo que forman
son iguales respectivamente a los de un segundo tringulo, ambos son
congruentes o iguales.
Se cumple que los segmentos AC = PR y AB = PQ y los ngulos A =
P, por lo tanto ( ) el tringulo ABC = PQR. 2. Criterio. Si dos
tringulos tienen sus tres lados respectivamente iguales, son
tringulos congruentes o iguales.
Se cumple que los segmentos AC = PR , AB = PQ y BC = QR , por lo
tanto ( ) el tringulo ABC = PQR. 3er. Criterio. Dos tringulos que
tienen un lado y dos ngulos iguales son tringulos congruentes o
iguales.
Se cumple que los segmentos AC = PR , los ngulos A = P y C = R,
por lo tanto ( ) el tringulo ABC = PQR.
A
B
C P
Q
R
Q
P R
B
A C
A
B
C P
Q
R
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SEMEJANZA DE TRINGULOS.
Se dice que dos figuras geomtricas que presentan la misma forma
son semejantes. El smbolo utilizado para indicar una semejanza
es
Tratndose de tringulos, se dice que de los siguientes
criterios.
1er. Criterio. Si dos tringulos tienen dos ngulos
respectivamente iguales, son tringulos semejantes.
Los ngulos A = P y el
2. Criterio. Si dos tringulos tienen sus tres lados
correspondientes proporcionales, son tringulos semejantes.
Los segmentos:
PRAC
=
24
=2 PQAB
=
5.13
=2
4
36
A
B
66.4
56.8 56.8 A
B
C P
SEMEJANZA DE TRINGULOS.
Se dice que dos figuras geomtricas que presentan la misma forma
son semejantes. El smbolo utilizado para indicar una semejanza es
.
Figura de autos semejantes Tratndose de tringulos, se dice que
dos tringulos son semejantes si cumplen con alguno
. Si dos tringulos tienen dos ngulos respectivamente iguales,
son tringulos
el C = R el tringulo ABC
. Si dos tringulos tienen sus tres lados correspondientes
proporcionales, son
=2 QRBC
=
36
=2 el tringulo ABC
1.5
2
3
C P
Q
R
56.8 56.8
66.4
P
Q
R
Se dice que dos figuras geomtricas que presentan la misma forma
son semejantes. El
semejantes si cumplen con alguno
. Si dos tringulos tienen dos ngulos respectivamente iguales,
son tringulos
PQR.
. Si dos tringulos tienen sus tres lados correspondientes
proporcionales, son
PQR.
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3er. Criterio. Si dos tringulos tienen un ngulo igual y los
lados que lo forman son proporcionales, son tringulos
semejantes.
Los segmentos:
PRAC
=
105
= 0.5 PQAB
=
63
= 0.5 y A = P el tringulo ABC PQR.
Ejemplos resueltos de tringulos semejantes. 1. En la siguiente
figura determinar el valor del segmento BC
.
El tringulo ABC ADE, ya que sus E = C y D = B, cumplindose el
primer criterio de semejanza.
AEAC
=
DEBC
sustituyendo valores tenemos
que:
220
=
3BC
BC = ( )( )2
320
BC = ( )260
BC = 30
2. En la siguiente figura determinar el valor del segmento
AB
El tringulo ABC ADE, ya que sus D = B y E = C, cumplindose el
primer criterio de semejanza.
AEAC
=
ADAB
sustituyendo valores tenemos
que:
1016
=
12AB
AB = ( )( )10
1216
AB = 10192
AB = 19.2
3
6
105
3030A
B
CP
Q
R
A
B
C
D
E2 18
3
A
B
C
D
E10 6
12
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3. En la siguiente figura determinar el valor de x.
El tringulo ABC BDE, ya que sus D = A y E = C, cumplindose el
primer criterio de semejanza.
DEAC
=
BEBC
sustituyendo valores tenemos
que:
1216
=
8BC
BC = ( )( )12
816
BC = 12128
BC = 10.66
Como BC = 10.66 , entonces x = BC - BE x= 10.66 - 8 x= 2.66
4. En la siguiente figura determinar el valor de x.
El tringulo ABC BDE, ya que sus D = A y E = C, cumplindose el
primer criterio de semejanza.
BDAB
=
DEAC
sustituyendo valores tenemos
que:
610
=
15AC
AC = ( )( )61510
AC = X= 6
150 X= 25
5. En la siguiente figura determinar el valor de x.
El tringulo ABC ADE, ya que el A tiene el mismo valor para los
dos tringulos y los lados que lo forman son proporcionales,
cumplindose el tercer criterio de semejanza.
ADAC
=
DEBC
sustituyendo valores tenemos
que:
X10
=
28
x= ( )( )
8210
x= 820
x= 2.5
A
B
C
D E
8
X
16
12
A
B
C
D E
X
154
6
A
B
CD
E2
8
10X
