CIRCUNFERENCIA

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)

Nivelacin de Matemticas Ciclo 2005 2

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)

Nivelacin de Matemticas Ciclo 2005 2

CIRCUNFERENCIA

1. Definiciones

Circunferencia, es la curva plana en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo llamado centro de la circunferencia.

Crculo, es la superficie plana limitada por una circunferencia.

2. Elementos

Cualquier segmento que pasa por el centro y cuyos extremos estn en la circunferencia se denomina _____________ .

Un __________ es un segmento que va desde el centro hasta la circunferencia.

Una __________ es cualquier segmento cuyos extremos estn en la circunferencia.

Un _____________ de circunferencia es la parte de esta, delimitada por dos puntos.

Un __________ __________ es un ngulo cuyo vrtice es el centro y cuyos lados son dos radios.

3. Medida de un arco de circunferencia

Un arco de circunferencia se mide en grados:

4. Propiedades importantes

Longitud de una circunferencia y longitud de un arco de circunferencia

Comprueba:

Mida con un centmetro la circunferencia de cualquier objeto y su respectivo dimetro, comprobar que el cociente de estas dos cantidades es:___________.

La longitud de la circunferencia se denota por C y es proporcional a su dimetro, es decir, es igual al producto del dimetro por la constante ( (3,14159).

Un arco de circunferencia se mide en grados. La medida del arco correspondiente a una circunferencia es 360( y el correspondiente a una semicircunferencia es 180(.

La longitud de un arco de circunferencia ser proporcional a la fraccin de circunferencia que representa dicho arco.

Para calcular la longitud de un arco de circunferencia, basta con aplicar una regla de tres simple:

ngulo centralLongitud de arco

360(2(R

((x

Ejemplo:

Para una circunferencia de 5cm de radio, calcule la longitud de un arco de 30.

REA DE UN CRCULO Y REA DE UN SECTOR CIRCULAR

El rea de un crculo se denota por A y es proporcional al cuadrado de su radio.

A = ( R2

El rea de un sector circular se denota por AS. AS =

Ejemplos de clase:

1. Se tiene una circunferencia de 5cm de radio; calcule la longitud de un arco de 30.

2. Se tiene un crculo de 24m de radio; calcule el rea de un sector circular de 72.

3. Se tiene una circunferencia de 18m de radio; calcule la longitud de un arco de 265.

4. Se tiene un crculo de 93,1cm de radio; calcule el rea de un sector circular de 81.

5. Un sector circular con un rea de 1 472 m2 tiene un ngulo central de 49; calcule el radio.

6. Determine el nmero de vueltas que recorre una de las ruedas de una bicicleta, en una pista horizontal, al desplazarse 11m. El radio de la rueda es de 25cm.

7. Calcule el permetro de un sector circular de 6cm de radio y 3 cm2 de rea.

8. Un atleta debe recorrer 1 200m en una pista circular de 15m de radio. Cul es el menor nmero de vueltas que debe dar a la pista para cumplir con su meta?

Una tangente a una circunferencia es una recta que toca a la circunferencia en uno y slo un punto.

Propiedad de las tangentes

Un polgono inscrito es un polgono tal que todos sus lados son cuerdas de una circunferencia. Una circunferencia circunscrita es una circunferencia que pasa por todos los vrtices de un polgono.

As, en la siguiente figura, los tringulos ABD, BCD y el cuadriltero ABCD son polgonos inscritos en la circunferencia. La circunferencia es una circunferencia circunscrita sobre el cuadriltero.

Un polgono circunscrito es un polgono tal que todos sus lados son tangentes a una circunferencia. Una circunferencia inscrita es aquella que es tangente a todos los lados de un polgono.

As, el tringulo ABC es un polgono circunscrito a la circunferencia. La circunferencia es una circunferencia inscrita en el tringulo ABC.

Ejercicios

1) Si son tangentes, siendo A, B y C los puntos de tangencia, se sabe que . Calcule la medida del segmento

2) En la siguiente figura, P es el punto de tangencia, calcule la longitud del segmento PB.

3) En la figura mostrada , calcule la distancia entre los puntos A y B.

4) Los lados de un tringulo ABC son tangentes a la circunferencia inscrita en los puntos P, Q y S respectivamente, y miden 13cm, 14cm y 15cm respectivamente. Calcule la longitud del segmento .

5) En un tringulo ABC se inscribe una circunferencia, siendo H el punto de tangencia en el lado . Calcule la longitud del segmento sabiendo que el lado mide 10cm y el permetro del tringulo es 42cm.

6) Se tiene un cuadriltero circunscrito a una circunferencia. Si tres de sus lados consecutivos miden 5cm, 6cm y 11cm, calcule el permetro del cuadriltero.

7) La figura muestra dos circunferencias tangente exteriores. Si y son los centros de las circunferencias, y la tangente comn interior corta a la tangente comn exterior en P, calcule la medida del ngulo .

Circunferencias tangentes exteriores

8) y son los centros de dos circunferencias tangentes exteriores. La tangente comn interior corta a la tangente comn exterior en el punto P, siendo A y B los puntos de tangencia de la tangente comn exterior con las circunferencias, y T el punto de tangencia de la tangente comn interior con las circunferencias. Calcule la medida del ngulo ATB.

9) En el tringulo rectngulo ABC, recto en B, son tangentes. Si mide 6cm, mide 8cm y mide 10cm. calcule la longitud del radio (r).

10) En un tringulo rectngulo ABC de altura (B = 90), calcule la suma de los radios de las circunferencias inscritas al tringulo ABC y a los tringulos parciales obtenidos al trazar la altura.

Respuestas1. 10cm

2. 1

3. 10

4. 7cm

5. 11cm

6. 32cm

7. 90

8. 90

9. 2cm

10. h

Distintas estructuras de ruedas

La rueda, considerada uno de los inventos ms importantes de la historia, tiene ms de 5 000 aos de antigedad, y desde su nacimiento ha sido crucial para los dispositivos mecnicos. Las ruedas que vemos aqu son relativamente complejas en comparacin con los primeros modelos.

Los primeros rodamientos, que hacen que las ruedas giren con ms suavidad, aparecieron alrededor de 100 a.C. Las primeras ruedas eran discos macizos; despus surgi el diseo de radios, resistente y ms ligero.

Girscopo

Este girscopo est diseado de forma que el volante y el eje puedan apuntar en cualquier direccin. Los girscopos son tiles en navegacin porque poseen rigidez espacial: un girscopo en rotacin montado en un vehculo siempre apunta en la misma direccin, por lo que permite determinar la orientacin sin recurrir a referencias visuales, no siempre disponibles (de noche o con niebla, por ejemplo).

EMBED Word.Picture.8

La razn entre la longitud de la circunferencia y su dimetro es una constante, representada por la letra griega ( (pi). ( es una de las constantes matemticas ms importantes y juega un papel fundamental en muchos clculos y demostraciones en matemticas, fsica y otras ciencias, as como en ingeniera. ( es aproximadamente 3,141592.

El matemtico griego Arqumedes encontr que el valor de ( estaba entre 3 EMBED Equation.3 y 3 EMBED Equation.3 .

Arqumedes (287-212 a.c.)

Toda recta tangente a una circunferencia, es perpendicular al radio en el punto de tangencia. En la figura, m es tangente, luego: m EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

2. Un dimetro perpendicular a una cuerda de una circunferencia, biseca a la cuerda y a los arcos que subtiende.

3.Si se trazan dos cuerdas paralelas EMBED Equation.3 y EMBED Equation.3 , los arcos GB y EF son congruentes.

4.Dos cuerdas de una circunferencia, que equidistan del centro, son congruentes.

Polgono circunscrito

Circunferencia inscrita

Polgonos inscritos

Circunferencia circunscrita

D

B

A

Tangente comn exterior

Tangente comn interior

P

C

A

P

B

Los segmentos tangentes a un crculo desde un punto exterior son congruentes.

A

C

B

P

3

12

2

4

A

B

C

D

C

B

A

r

A

B

C

D

Puede plantear alguna conclusin?

P

C

B

A

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

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CIRCUNFERENCIA

PAGE _CIRCUNFERENCIA.

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