136232969 Metodo General Para Determinar La Rigidez Lateral de Un Portico Sismica

1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEPIURA

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA

Realizado por:

Ing° Carlos Silva Castillo

Tema:

MÉTODO GENERAL PARA DETERMINAR LA RIGIDEZLATERAL DE UN PÓRTICO RECTANGULAR

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2

ÍNDICE

Resumen 01

Parte I. Discusión del método. Cálculos y deducciones 01

1 Preliminares 01

2 Coeficientes de rigidez 05

3 Matriz de rigidez 06

4 Condensación de la matriz de rigidez 06

5 Casos particulares 09

5.1 Pórtico simétrico con columnas de igual altura 09

5.2 Pórtico simétrico de la misma sección transversal:

6 Estudio de los casos extremos 11

6.1 Valor mínimo 11

6.2 Valor máximo 12

Parte II. Algunas Aplicaciones 13

Parte II. Conclusiones y recomendaciones 16

Parte III. Bibliografía 17

Anexos 18


3

MÉTODO GENERAL PARA DETERMINAR LA RIGIDEZLATERAL DE UN PÓRTICO RECTANGULAR

Resumen

Dos fueron las razones que impulsaron la elaboración del presente trabajo. Primero, tiene porfinalidad desarrollar un método general que permita determinar la rigidez lateral de un pórticorectangular que trabaja dentro del rango elástico y que se supone axialmente rígido, que sea delmaterial que fuese (concreto armado, acero, madera, etc.) siempre y cuando el pórtico en cuestión estéhecho de un mismo material. La importancia de conocer o calcular la rigidez lateral, estriba en queprácticamente todos los parámetros dinámicos del pórtico (tal como la frecuencia natural devibración, por ejemplo) dependen de este valor. Segundo, la información existente en el medio sepresenta, casi siempre, en otros idiomas que no sea el español, lo que hace tedioso el estudio para unalumno que, además de la Dinámica de Estructuras, tiene que estudiar el idioma Inglés ya que lainformación brindada en nuestro idioma materno no siempre está completa o se da de una manerasesgada e incompleta. Para su deducción se ha empleado el método de la condensación estática de lamatriz de rigidez, se deducen y estudian varios casos particulares, terminando con algunos ejemplosprácticos donde se ilustran el poder del método obtenido.

Parte I: Discusión del Método. Cálculos y deducciones

1 Preliminares:

Se hace necesario conocer, para ensamblar la matriz de rigidez, los coeficientes de rigidez paraun miembro sea este una viga o columna sometido a diferentes efectos tales como la flexión o el corte.Es posible aplicar los diversos métodos del Análisis Estructural y demostrar que en tales circunstanciasse tienen los siguientes resultados:

Fig N° 01: Coeficientes de rigidez

Usando este resultado elemental, estamos en la capacidad de formar la matriz de rigidez parael pórtico mostrado:


4

Fig N° 02: Pórtico empotrado en sus bases y con características generales

Donde:

H = Altura de la columna de la izquierdah = Altura de la columna de la derechaL = Longitud de la vigaE = Módulo de elasticidad (se supone que todo el pórtico es del mismo material)Ic1 = Momento de inercia de la columna de la izquierdaIc2 = Momento de inercia de la columna de la derechaIv = Momento de inercia de la viga

El sistema tiene tres grados de libertad (en el futuro, GDL) tal como de muestra en la figurasiguiente:

Fig N° 03: Grados de libertad del pórtico suponiéndolo rígido axialmente


5

2 Coeficientes de rigidez:

Dado que el sistema tiene 3 GDL, la matriz de rigidez será de 3 3 y para obtener cadacolumna de dicha matriz, por definición de coeficiente de rigidez, se dan desplazamientos o rotacionesunitarias según la dirección del GDL empleándose en cada caso los resultados de la Fig. N° 01.

Para determinar la primera columna de la matriz de rigidez, se realiza un desplazamientounitario a lo largo del GDL x1, manteniéndose los otros GDL nulos. O sea 1 2 31 y 0x x x ,obteniéndose:

Fig N° 04: Coeficientes de rigidez cuando 1 2 31 y 0x x x

Para determinar la segunda columna de la matriz de rigidez, se realiza una rotación unitaria alo largo del GDL x2, manteniéndose los otros GDL nulos. O sea 2 1 31 y 0x x x ,obteniéndose:



6

Para determinar la tercera columna de la matriz de rigidez, se realiza una rotación unitaria alo largo del GDL x3, manteniéndose los otros GDL nulos. O sea 3 1 21 y 0x x x ,obteniéndose:


3 Matriz de rigidez:

Habiendo calculado los coeficientes de rigidez, estamos en condiciones de formar la matriz derigidez del pórtico, obteniendo al ensamblar:

1 2 1 23 3 2 2

1 12

2 22

6 612

6 24

6 24

Ic Ic EIc EIcE

H h H h

EIc Ic Iv EIvK E

H H L L

EIc IcEIv IvE

h L h L

(1.1)

4 Condensación de la matriz de rigidez:

El término condensación se refiere a la disminución en tamaño de un sistema de ecuacionespor la eliminación de determinados GDL. Físicamente equivale a sustituir todo el pórtico por unsistema cuyo modelo matemático está dado por una masa puntual y un resorte de rigidez k*(condensada de la matriz). Para determinar una expresión general de condensación de la matriz derigidez para una fuerza lateral, como se supone que el trabajo del pórtico es bajo el rango elástico, esaplicable la Ley de Hooke:

K F (1.2)


7

Donde:

K = Matriz de rigidez = Matriz de desplazamientos F = Matriz de fuerzas

La matriz columna de fuerzas tiene sólo un elemento no nulo que es el primero+ ya que sólo seestá suponiendo un comportamiento lateral del pórtico, esto es a la largo del GDL x1. Debido a esto lasotras dos componentes son nulas (o sea, las que se ubicarían a lo largo de los GDL x2 y x3) ya que nohay fuerzas en dichas direcciones. Representando la ecuación (1.2) en su forma particionada, seobtiene:

0aa ab a

ba bb b

k k f

k k

(1.3)

Desarrollando el producto matricial, obtenemos el sistema:

aa a ab bk k f (1.4)

0ba a bb bk k (1.5)

Despejando b de la ecuación (1.5):

1

b bb ba ak k (1.6)

Reemplazando en (1.4) y factorizando a :

1

aa ab bb ba ak k k k f (1.7)

Definiendo la expresión entre paréntesis como matriz condensada k* , y arreglando para quetenga el aspecto de la ley de Hooke:

* ak f (1.8)

De donde, por definición de matriz condensada:

1* aa ab bb bak k k k k

(1.9)


8

Fig N° 07: Interpretación física de la condensación de la matriz de rigidez

Condensando la matriz de rigidez del pórtico dada por la ecuación (1.1):

1

1 12

1 2 1 23 3 2 2

222

2 646 6

* 1262

4

Ic Iv EIv EIcEH L LIc Ic EIc EIc Hk E

EIcH h H h IcEIv IvE

hL h L

(1.10)

Llevando a cabo las operaciones matemáticas y simplificando algebraicamente:

3 2 4 4 2 2 2 2 2 22 1 1 1 2 1 1

3 3 2 21 2 1 2

12 ( ) (3 ) 3 4 3 4*

3 4 4

E H LIc HIv LIc h Ic Iv HIv LIc hIc H Iv HLIc Iv h hH H h L Ick

h H hHIv LIv hIc HIc L Ic Ic

(1.11)

Dividiendo a numerador y denominador entre Iv tenemos:

23 2 4 4 2 2 2 21 1

2 1 1 2 1

3 3 2 1 21 2

12 ( ) (3 ) 3 4 3 4

*3 4 4

Ic IcE H LIc H L h Ic HIv LIc hIc H Iv HLIc h hH H h L

Iv Ivk

Ic Ich H hHIv L hIc HIc L

Iv

(1.12)

Esta expresión es precisamente la que andamos buscando, es aquella que nos da el valor de larigidez lateral del pórtico en estudio. Observamos su aspecto exterior complicado y de forma pocoagradable para su memorización, razón por la cual se prefiere en un ejercicio práctico comenzar porla formación y ensamblaje de la matriz de rigidez y luego llevar a cabo el cálculo de su condensada,antes que usar una fórmula general de muy complicado aspecto. Pero veamos algunos casosparticulares en que esta expresión adopta formas más manejables y simples. En lo que sigue, siempreque se hable de rigidez del pórtico se refiere al valor que se obtiene al condensar la matriz de rigidez,por lo simplemente hablaremos de rigidez. O sea *k k


9

5 Casos particulares:

5.1 Pórtico simétrico con columnas de igual altura:

Para el caso en que las dos columnas del pórtico tienen la misma altura, teniendo cada unadiferente sección transversal, esto es si = ℎ, reemplazando en (1.6) se obtiene:

Fig N° 08: Pórtico simétrico, con columnas de diferente momento de inercia

23 2 4 4 3 2 21 1

2 1 1 2 1

6 2 2 1 21 2

12 ( ) (3 ) 3 11

3 4 4

Ic IcE h LIc h L h Ic hIv LIc hIc h Iv h LIc h L

Iv Ivk

Ic Ich h Iv hL Ic Ic L

Iv

(1.13)

Podemos observar que aún conserva su aspecto poco amigable aunque sólo un pocosimplificada.

5.2 Pórtico simétrico con columnas de igual altura y de la misma sección transversal:

Además de la condición = ℎ, debe cumplirse que 1 2Ic Ic Ic . Imponiendo esta condiciónen (1.7), obtenemos:

Fig N° 09: Pórtico simétrico, con columnas de igual momento de inercia


10

3

12 6

3 2

IcEIc h L

Ivk

Ich h L

Iv

(1.14)

Dividiendo a numerador y denominador entre L y reordenado, se tiene:

3

612

3 2

h IcEIc L Ivk

h IchL Iv

(1.15)

Para simplificar la ecuación anterior y hacerla más manejable, introducimos los siguientes

parámetros Ic

Iv y h

jL , la ecuación anterior queda:

3

12 6

3 2

EIc jk

h j

(1.16)

Llamando 6

3 2

j

j

, estudiemos la variación de como función de los parámetros y

j , se obtiene el gráfico siguiente para diferentes valores del parámetro j :

Fig N° 10: Variación del parámetro


11

Analizando este gráfico llegamos a determinar los valores extremos que puede tomar esteparámetro , el mínimo valor es 0.5 y el máximo es 2

0.5 2 (1.17)

Este resultado es muy importante, quiere decir que el valor de la rigidez lateral de un pórticosimétrico rectangular que tiene idénticas secciones transversales en las columnas, está limitado entredos extremos. De la ecuación (1.16) y de la definición del parámetro :

3

12EIck

h (1.18)

Introduciendo los valores extremos que puede tomar el parámetro y que se resumen en laecuación (1.17), obtenemos finalmente los valores extremos de la rigidez:

3 36 24

EIc EIck

h h (1.19)

6 Estudio de los casos extremos:

6.1 Valor mínimo

m n 36í

EIck

h (1.20)

Matemáticamente hablando, se tiene este valor ante dos posibilidades:

a. 0j que ocurre, a su vez, cuando la altura del pórtico es nula ( 0h ) o despreciable encomparación con la longitud de la viga ( L )

b. que solamente puede ocurrir si el momento de inercia de la viga es nula o despreciable( 0Iv ). Esto quiere decir, cuando la viga no tiene rigidez alguna. Formalmente hablando,este se da cuando la rigidez de la viga ( EIv ) es cero o despreciable ( 0EIv )

Se podría haber llegado más rápidamente a este resultado analizando el pórtico en estudio para elcaso en que la viga carece de rigidez ( 0EIv ), como se puede observar en la siguiente Fig N° 11. Eneste caso, la rigidez lateral está dada por la suma de rigideces de columnas en ausencia de viga:

3 33 6

columnas

EIv EIvk

h h (1.21)


12

Fig N° 11: Caso del pórtico con viga de rigidez despreciable

6.2 Valor máximo

m 324áx

EIck

h (1.22)

Matemáticamente hablando, se tiene este valor ante dos posibilidades:

a. j que ocurre, a su vez, cuando la altura del pórtico es infinita ( h ) o muy grande encomparación con la longitud de la viga ( 0L )

b. 0 que solamente puede ocurrir si el momento de inercia de la viga es infinita o muygrande en comparación con el de las columnas ( Iv ). Esto quiere decir, cuando la viga escompletamente rígida. Formalmente hablando, este se da cuando la rigidez de la viga ( EIv ) esmuy grande o infinita1 ( EIv ). Es posible que también se halla llegado a este resultadocuando el momento de inercia de las columnas es nula o despreciable ( 0EIc ), pero porobvias razones de estabilidad y seguridad estructural es absurdo que se tenga una columnacarente de rigidez ¡Pues el pórtico se desploma!

Se podría haber llegado más rápidamente a este resultado analizando el pórtico en estudio para elcaso en que la viga se puede suponer como completamente rígida ( EIv ), como se puede observaren la siguiente Fig N° 12. En este caso, la rigidez lateral está dada por la suma de rigideces decolumnas:

3 312 24

columnas

EIv EIvk

h h (1.23)

1 Esto es lógico por cuanto la rigidez de un elemento no sólo está dada por la forma de la sección transversal sinotambién por su módulo de elasticidad. Pensemos en dos barras de las mismas dimensiones pero una de plásticoy la otra de acero. Tienen el mismo momento de inercia, pero diferente módulo de elasticidad, razón por la cualmás rígida será la barra de acero que la de plástico, ya que tiene mayor valor del módulo de elasticidad.


13

Fig N° 12: Caso del pórtico con viga completamente rígida

Parte II: Algunas aplicaciones

Ejemplo 01:

Determinar la rigidez lateral del siguiente pórtico de concreto armado con 2' 210 /cf kg cm

las dimensiones de los elementos son Col 1 = 0.40m0.40m, Col 2 = 0.35m0.35m y viga =0.30m0.60m.

La manipulación matemática se detalla en la siguiente hoja de cálculo, usando la Ec. (1.12):


14

Ejemplo 02:

Determinar la frecuencia natural de vibración para un pórtico de concreto armado con2' 280 /cf kg f cm las dimensiones de los elementos son Col 1 = 0.50m0.45m, Col 2 =

0.45m0.40m y viga = 0.30m0.50m. Se puede suponer una masa distribuida uniformemente en eltecho de 25 t/m, despreciar la masa del pórtico.

La manipulación matemática se detalla en la siguiente hoja de cálculo, usando la Ec. (1.13):

Calculamos la masa como una cantidad puntual:

25 4.20 105 105000m t kg

Finalmente hallamos la frecuencia natural de vibración:

23447.6815 /0.1812 rad/

105000

k kg ss

m kg


15

Ejemplo 03:

Hallar una expresión general que permita determinar la rigidez lateral de un pórticorectangular simétrico, donde tanto la viga como las columnas tienen el mismo momento de inercia I;además, la longitud de la viga es el doble del valor para la altura de las columnas.

Este ejemplo se resuelve aplicando directamente la Ec. (1.16), donde los valores de los

parámetros ahí encontrados son 1Ic I

Iv I y 1

2 2

h hj

L h . Reemplazando estos resultados en la

citada ecuación:

3 3

16 112 962

1 73 2 12

EI EIk

h h

Ejemplo 04:

Hallar el gráfico tridimensional de la variación del parámetro en función de y j. O sea,

graficar la función 6

3 2

j

j


16

Parte III: Conclusiones y recomendaciones

1. El conocimiento del parámetro llamado rigidez lateral es fundamental para la determinaciónde muchos parámetros mecánicos de un pórtico, sin cuyo valor nada podría hacerse paracalcular el periodo de vibración, por ejemplo.

2. Se ha desarrollado un método general para determinar la rigidez lateral de un pórticorectangular axialmente rígido y que trabaja en el rango elástico, empleando fórmulas ymétodos algebraicos en vez de métodos matriciales, pero deducidos de éstos,fundamentalmente del método estático de condensación de la matriz de rigidez.

3. Los ejemplos resueltos en este trabajo empleando las fórmulas algebraicas obtenidas para elcálculo de la rigidez lateral de un pórtico rectangular, han sido verificados empleando lossoftwares Mathematica® y la hoja de cálculo Excel®. Los resultados de dichas verificaciones seadjuntan en el anexo correspondiente.

4. Los ejemplos planteados y resueltos, tuvieron (dentro de la precisión de los cálculos y delprograma usado) los mismos resultados, quedando verificado que los métodos algebraicos ydeducidos en este trabajo son fiables y seguros.


17

Parte IV: Bibliografía

1.0 PAZ, Mario – LEIGH, William.“STRUCTURAL DYNAMICS – Theory and Computation – Updated with SAP2000”KLUGER ACADEMIC PUBLISHERSPrinted in the United States of America – 2004 – 844 pp

2.0 ZALKA, Karoly A.“GLOBAL STRUCTURAL ANALYSIS OF BUILDINGS”E & FN SPONLondon – 2000 – 334 pp

3.0 CHOPRA, Anil K.“DYNAMICS OF STRUCTURES - Theory and Aplications to Earthquake Engineering”PRENTICE HALLPrinted in the United States of America – 1995 – 730 pp


In[4]:= K 12 G Ic1 H3 Ic2 h3 6 G Ic1 H2 6 G Ic2 h2

6 G Ic1 H2 4 G Ic1 H Iv L 2 G Iv L6 G Ic2 h2 2 G Iv L 4 G Ic2 h Iv L

Out[4]= 12 G Ic1

H3Ic2

h3,6 G Ic1

H2,6 G Ic2

h2,6 G Ic1

H2, 4 G

Ic1

HIv

L,2 G Iv

L, 6 G Ic2

h2,2 G Iv

L, 4 G

Ic2

hIv

L

In[5]:= G 15 000 210Out[5]= 15000 210

In[14]:= Ic1 40 403 12

Out[14]=640000

3

In[15]:= Ic2 35 353 12

Out[15]=1500625

12

In[16]:= Iv 30 603 12Out[16]= 540000

In[17]:= H 420Out[17]= 420

In[18]:= h 310Out[18]= 310

In[19]:= L 515Out[19]= 515

In[20]:= K

Out[20]= 117152040625 10

21

4379277,

16000000 10

21

7,112546875 210

961,

16000000 10

21

7,

202000000000 10

21

103,3240000000 210

103,

112546875 210

961,3240000000 210

103,278162187500 210

3193


In[21]:= 12 G Ic1 H3 Ic2 h3 6 G Ic1 H2 6 G Ic2 h2 .

Inverse 4 G Ic1 H Iv L 2 G Iv L2 G Iv L 4 G Ic2 h Iv L . 6 G Ic1 H2

6 G Ic2 h2

In[22]:= 215 247 461 950 557 846 875 1021

8 645 537 871 461 967

28 967 052 932 409 375 1052

117 626 365 598 122 In[24]:= N215 247 461 950 557 846 875 10

21

8 645 537 871 461 967

28 967 052 932 409 375 1052

117 626 365 598 122 Out[24]= 15396.2

2 Untitled-1


In[4]:= K 12 G Ic1 H3 Ic2 h3 6 G Ic1 H2 6 G Ic2 h2

6 G Ic1 H2 4 G Ic1 H Iv L 2 G Iv L6 G Ic2 h2 2 G Iv L 4 G Ic2 h Iv L

Out[4]= 12 G Ic1

H3Ic2

h3,6 G Ic1

H2,6 G Ic2

h2,6 G Ic1

H2, 4 G

Ic1

HIv

L,2 G Iv

L, 6 G Ic2

h2,2 G Iv

L, 4 G

Ic2

hIv

L

In[25]:= G 15 000 280Out[25]= 30000 70

In[26]:= Ic1 50 453 12

Out[26]=759375

2

In[27]:= Ic2 45 403 12Out[27]= 240000

In[28]:= Iv 30 503 12Out[28]= 312500

In[29]:= H 325Out[29]= 325

In[30]:= h 325Out[30]= 325

In[31]:= L 420Out[31]= 420

In[32]:= K

Out[32]= 14277600 70

2197,109350000 70

169,69120000 70

169,

109350000 70

169,

20882500000 10

7

13, 312500000

10

7,

69120000 70

169, 312500000

10

7,

16189000000 10

7

13


In[33]:= 12 G Ic1 H3 Ic2 h3 6 G Ic1 H2 6 G Ic2 h2 .

Inverse 4 G Ic1 H Iv L 2 G Iv L2 G Iv L 4 G Ic2 h Iv L . 6 G Ic1 H2

6 G Ic2 h2

Out[33]= 791359496773200 70

188392976291

In[34]:= N791 359 496 773 200 70188 392 976 291

Out[34]= 35144.6

2 Untitled-1


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