14. Electricidad - Departamento de Ciencias · como muchos de los manejados en el laboratorio en el que el generador es una simple pila ... durante el desarrollo de las mismas

14. Electricidad

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14 Electricidad

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• Adquirir unos conocimientos básicos sobre la historia de la electricidad y de los conocimientosque las personas hemos tenido sobre los fenómenos eléctricos.

• Saber calcular la fuerza de atracción o de repulsión entre cargas eléctricas.

• Comprender cuál es la relación entre la intensidad del campo eléctrico y la fuerza ejercida sobre una partícula cargada introducida en dicho campo.

• Aprender a resolver problemas con circuitos eléctricos teniendo en cuenta la ley de Ohm y la ley de la conservación de la energía.

• Ser conscientes de la importancia de la electricidad en nuestros días. Verdaderamentepodríamos decir que sin la electricidad nuestro mundo sería muy diferente.

• Saber cuáles son las magnitudes de las que depende el consumo energético de un aparato eléctrico.

OBJETIVOS

• La electricidad en la Antigüedad y en la Edad Media. La electricidad moderna.

• La carga eléctrica. La carga es una propiedad de las partículas. Electrización.

• Fuerzas entre cargas eléctricas: ley de Coulomb. Constantes y unidades.

• Intercambio de cargas eléctricas en la Tierra.

• Aplicación de la ley de Coulomb a cuerpos extensos.

• Comparación entre la fuerza electrostática y la fuerza de gravedad.

• Campo y potencial eléctricos. El campo eléctrico. Representación de campos eléctricos.

• La energía potencial electrostática. Potencial electrostático.

• La corriente eléctrica y la ley de Ohm.

• La intensidad de corriente. La ley de Ohm.

• La resistencia eléctrica. Resistividad. Conductores, semiconductores y aislantes.

• Circuitos eléctricos.

• Transformaciones energéticas en un circuito. Efecto Joule.

• La pila voltaica. Generadores. Las pilas.

• Generadores y fuerza electromotriz.

• Ley de Ohm generalizada.

CONCEPTOS

CONTENIDOS

La última unidad del libro se dedica al estudio de los fenómenos eléctricos. Dada su situación, resultará más fácil aplicar los conceptos que los alumnos han adquirido sobre la teoría cinética de la materia o la conservación de la energía. No debemos entender el estudio de la electricidad como algo alejado de estos dos aspectos fundamentales de la física.

PRESENTACIÓN

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PROGRAMACIÓN DE AULA14 14

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1. Calcular la fuerza de atracción o de repulsión entre cargas eléctricas.

2. Dibujar las líneas de fuerza del campo eléctrico creado por una o varias cargas.

3. Calcular la intensidad del campo eléctrico o el potencial eléctrico debidos a la presencia de una o varias cargas eléctricas del mismo tipo o de tipos distintos.

4. Aplicar la teoría cinética y la ley de la conservación de la energía para explicar algunos de los fenómenos observados en los circuitos eléctricos.

5. Resolver problemas con circuitos en los que aparecen varias resistencias y/o generadoresacoplados en serie o en paralelo.

6. Tomar medidas en circuitos eléctricos con la ayuda de un polímetro.

7. Identificar algunos materiales buenos conductores de la corriente eléctrica.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Educación para la salud

El manejo de aparatos eléctricos debe ser llevado a cabo teniendo en cuenta una serie de normas, tal y como se cita en esta unidad. Los alumnos jóvenes son valientes, pero hay que resaltar que no hay que confundir valentía con idiotez. Los circuitos eléctricos son peligrosos (salvo aquelloscomo muchos de los manejados en el laboratorio en el que el generador es una simple pila de unos pocos voltios), por lo que debemos desconectar la corriente antes de realizar manipulaciones en un aparato o en las instalaciones.

Es importante no cometer imprudencias y evitar que otros las cometan, señalizando adecuadamente los peligros.

EDUCACIÓN EN VALORES

• Resolver problemas numéricos relacionados con las fuerzas eléctricas, el campo eléctrico o el potencial eléctrico.

• Analizar experiencias y obtener conclusiones a partir de los fenómenos observados durante el desarrollo de las mismas.

• Elaborar esquemas de circuitos eléctricos empleando la simbología de manera correcta.

• Resolver problemas sobre circuitos eléctricos a partir de un esquema de los mismos.

• Dibujar las líneas que describen los campos eléctricos.

• Utilizar esquemas a la hora de resolver problemas donde es necesario aplicar la ley de Coulomb.

• Utilizar adecuadamente algunos aparatos de medida relacionados con la electricidad:amperímetro, voltímetro, óhmetro y polímetro.

• Fomentar hábitos de ahorro de la energía eléctrica.

• Valorar adecuadamente la importancia de los avances producidos en el campo de la electricidad.

• Valorar el trabajo de todos los científicos que han hecho posible que dispongamos en la actualidad de un conocimiento tan completo sobre los fenómenos eléctricos.

• Adoptar hábitos seguros a la hora de manipular aparatos eléctricos.

PROCEDIMIENTOS,DESTREZAS Y HABILIDADES

ACTITUDES

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PROBLEMAS RESUELTOS

CARGAS, CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICOS14

Planteamiento y resolución

a) El potencial eléctrico es un escalar y, como tal, su valor es aditivo. Si los signos de las dos cargas son iguales, el potencial eléctrico que generan tiene también igual signo y es imposible que su suma se cancele. Si las cargastienen diferentes signos generan potenciales con diferentes signo, y al sumarse pueden generar puntos depotencial cero. El signo relativo de las cargas debe ser, por tanto, opuesto. Además, como el valor absoluto de las cargas coincide, la simetría del sistema es un argumento para concluir que el punto buscado es el origen.

Para un punto entre las cargas, situado a distancia x (cm) de la carga positiva, el potencial es:

y es igual a cero si:

El punto entre las cargas opuestas de potencial cero está entre ellas y a 3 cm de la carga positiva (y de lanegativa). Coincide, por tanto, con el origen de coordenadas.

b) El campo eléctrico es un vector y ha de sumarse vectorialmente. Si las cargas tienen diferente signo el campoeléctrico generado por cada carga en un punto localizado entre ellas tiene igual sentido y su suma vectorial no se anula. Y a ambos lados el campo eléctrico generado por la carga más cercana tiene módulo mayor que el generado por la carga, de igual valor absoluto, más lejana y, aunque tengan sentidos opuestos, tampoco se pueden cancelar.

Si las cargas tienen igual signo, a ambos lados de las cargas el campo eléctrico generado por cada carga tieneigual sentido y su suma vectorial no se anula. Un argumento de simetría ayuda a concluir que en este caso elcampo se anula entre las cargas iguales y a igual distancia de ellas: el origen.

En efecto, el campo en un punto entre las cargas, situado a distancia x (cm) de la carga de la izquierda es:

E� i� (−i�) i� (−i�) = 0 →

→

El punto coincide, por tanto, con el origen de coordenadas.

1 1

62 2x xx x x=

−− =

( )→ →(6 ) = 3 cm2 2

+ ⋅+ ⋅

−

−

9 102 10

69

6

2

( )

( )x= ⋅ ⋅

+ ⋅ −

9 102 109

6

2

( )

x+ ⋅

−+K

Q

x( )6 2= ⋅ +K

Q

x 2

1 1

66

x xx x x=

−− = =→ → 3 cm

V KQ

xK

Q

x x= ⋅ + ⋅

−= ⋅ ⋅

+ ⋅+ ⋅ ⋅

− ⋅+ −−

69 10

2 109 10

296

9( ) ( 110

6

6−

−)

x

Dos cargas de 2 μC se sitúan en el eje horizontal a ambos lados del origen y a igual distancia de 3 cm.

a) ¿Cómo debe ser el signo relativo de las cargas para que haya un punto en el eje con potencial eléctrico cero? ¿Cuál es ese punto?

b) ¿Cómo debe ser el signo relativo de las cargas para que haya un punto en el eje con campo eléctrico nulo? ¿Cuál es ese punto?

PROBLEMA RESUELTO 1

Calcula la fuerza resultante que ejercen dos cargas situadas positivas de 1 μC situadasen los puntos (−1 , −1) y (3 , 2) sobre una cargade −3 μC localizada en (3 , −1).

Sol.: −16,875 i�+ 30 j� .

Calcula:

a) La expresión del campo eléctrico que genera una carga de 1 μC situada

en el origen de coordenadas en un punto (x , 0) del eje horizontal positivo.

b) El potencial eléctrico en ese punto.

Dos cargas negativas están separadas 5 cm y el valor de una de ellas es −9 μC. ¿Cuál es el valor de la otra carga si genera el equilibriode fuerzas sobre otra de 3 μC situada entre las dos y a 2 cm de ella?

Sol.: −4 μC.

3

2

1

ACTIVIDADES

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PROBLEMAS RESUELTOS

CIRCUITOS14


a) La resistencia equivalente al sistema es:

→ Requiv. = 1,56 Ω

b) y c) Como la intensidad de corriente que atraviesa la asociación de resistencias es I = 0,5 A, se tiene que:

VC − VA = I · Requiv. = 0,5 A ⋅ 1,56 Ω = 0,78 V

Esta ΔV es la que hay entre los extremos de R3, y la intensidad que pasa por ella es, por tanto:

La intensidad de corriente que pasa por la otra rama es la diferencia entre la intensidad total y la intensidad que atraviesa la tercera resistencia, 0,11 A.

Aunque la intensidad de corriente 0,11 A atraviesa las dos resistencias en serie de la primera rama, la diferenciade potencial en esa rama se reparte entre los extremos A y B de la primera resistencia y los extremos B y C de la segunda resistencia en la rama en la que están las dos resistencias en serie. Además:

VB − VA = I1 · R1 = 3 A ⋅ 0,11 Ω = 0,33 V; VC − VB = I2 · R2 = 4 A ⋅ 0,11 Ω = 0,44 V

Se verifica, en efecto que VC − VA = (VC − VB) + (VB − VA).

d) La cantidad de energía que se transforma en calor es, para cada resistencia:

E1 = I12 ⋅ R1 ⋅ t = 0,112 A2 ⋅ 3 Ω ⋅ 5 s = 0,1815 J

E2 = I22 ⋅ R2 ⋅ t = 0,112 A2 ⋅ 4 Ω ⋅ 5 s = 0,242 J

E3 = I32 ⋅ R3 ⋅ t = 0,392 A2 ⋅ 2 Ω ⋅ 5 s = 1,521 J

IV V

R3

3 20 39=

−= =C A 0,78 V

AΩ

,

IV V

R=

−C A

equiv.

→

1 1 1 1 1

3 4

1

21 2 3R R R R Requiv. equiv.

=+

+ =+

+( ) ( )

→Ω Ω

Una asociación de resistencias en serie R1 = 3 Ωy R2 = 4 Ωse conecta en paralelo a otra resistencia R3 = 2 Ω en un circuito con I = 0,5 A.

a) ¿Cuál es el valor de la resistencia equivalente?

b) ¿Cuál es la diferencia de potencial en los extremos de cada resistencia?

c) ¿Qué intensidad de corriente atraviesa cada resistencia?

d) ¿Cuál es el valor de la energía que cada resistencia disipa en forma de calor en cinco segundos?

Un aparato con r = 50 Ω se conecta a una fuenteque genera un potencial fijo de 12 V. Cuenta conun fusible que se funde cuando I > 0,2 A. ¿Cuál esel valor mínimo de la resistencia que hay queconectar en serie al aparato para que funcione?

Sol.: 10 Ω.

Se quiere construir un solenoide enrollando un cable de cobre alrededor de un cilindro de porexpán de 4 cm de diámetro de manera que R > 0,5 Ω. ¿Cuál es el número máximo devueltas si la sección del cable es de 0,9 mm2? ρCu = 1,67 ⋅ 10−8 Ω⋅ m.

Sol.: 107 vueltas.

Dos bombillas R1 = 5 Ωy R2 = 1,25 Ω asociadasen paralelo, están conectadas en serie a unatercera bombilla R2 = 1 Ω en un circuitoeléctrico en el que un generador mantienepotencial constante de15 V. ¿Cuánto aumentala intensidad de corriente de la tercerabombilla si se produce un cortocircuito que puentea la asociación en paralelo?

Sol.: La intensidad se dobla: pasa de 7,5 A a 15 A.

Calcula la resistencia equivalente a estaasociación de resistencias en serie y paralelo.

Sol.: 1,75 Ω.

4

3

2

1

PROBLEMA RESUELTO 2

ACTIVIDADES

B3 Ω 4 Ω

CA

2 Ω

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PROBLEMAS RESUELTOS

LEY DE OHM GENERALIZADA14


a) Calculamos la intensidad de corriente mediante la ley de Ohm generalizada:

b) La tensión en bornes del generador es igual a la fuerza electromotriz de este menos la caída de tensiónproducida en la resistencia interna:

En cambio, la tensión en bornes del motor es igual a su fuerza contraelectromotriz más la caída de tensiónproducida en la resistencia interna:

c) El rendimiento en el generador es el cociente entre la energía real suministrada y la energía teórica si la resistencia interna hubiera sido nula, lo que equivale al cociente entre el voltaje en bornes del generador y su fuerza electromotriz:

El rendimiento en el motor es el cociente entre la energía que aprovecha y la energía que recibe, lo que equivale al cociente entre su fuerza contraelectromotriz y el voltaje en sus bornes:

d) El calor generado en la resistencia mediante efecto Joule se obtiene mediante la expresión:Q R I t= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =0 24 0 24 5 31 600 6919 22 2 2, , , ,Ω A s cal

RendimientoV

= ⋅ = ⋅ =ε'

Mot

V

V100

30

3155100 951

,, %

RendimientoV

= ⋅ = ⋅ =Gen V

Vε100

46 9

50100 93 8

,, %

V r IMot V A 31,55 V= + = + ⋅ =ε' ' · , ,30 0 5 3 1Ω

V r IGen V A 46,9 V= − ⋅ = − ⋅ =ε 50 3 1 1, Ω

IR r r

=−

+ +=

−+ +

=ε ε'

'

50 30

5 1 0 53 1

V VA

( , ),

Ω

Un motor de 50 V de fuerza electromotriz y 1 Ω de resistencia interna proporciona la corriente para el funcionamiento de un motor de 30 V de fuerza contraelectromotriz y 0,5 Ω de resistencia interna.Si la resistencia externa del circuito es de 5 Ω, calcula:

a) La intensidad de la corriente que circula.

b) La tensión en bornes del generador y en bornes del motor.

c) El rendimiento del generador y del motor.

d) La cantidad de calor generado en la resistencia exterior en 10 minutos de funcionamiento.

PROBLEMA RESUELTO 3

Un generador de 40 V de fuerza electromotriz y resistencia interna de 2 Ω está conectado a un motor de 25 V de fuerzacontraelectromotriz y 1 Ω de resistenciainterna. Calcula:

a) La resistencia exterior que debemos poneren el circuito para que la intensidad que recorre el circuito sea de dos amperios.

b) La potencia útil del generador.

Sol.: a) R = 4,5 Ω; b) Pútil (gen) = 144 W.

En los bornes de un motor atravesado por una intensidad de corriente de 2 A existe

una diferencia de potencial de 30 V y sabemosque el rendimiento de dicho motor es de un 75 %. Calcula su fuerza contraelectromotriz y su resistencia interna.

Sol.: ε' = 22,5 V; r = 3,75 Ω.

Tres resistencias de 1, 2 y 3 Ω respectivamenteestán conectadas entre sí en paralelo y en seriecon un generador de 15 V y 2 Ω de resistenciainterna. Calcula la intensidad de corriente queatraviesa cada una de las resistencias.

Sol.: I1= 2,95 A; I2 = 1,96 A; I3 = 0,98 A.

3

2

1

ACTIVIDADES

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1. Atraviesa el tapón de corcho de la botella con el alambre.

2. En el lado exterior gira el alambre a modo de cáncamo.

3. Raspa con un cuchillo el anillo de alambre que has formado por si está barnizado.

4. En el lado interior moldea el cable para hacer un anzuelo.

5. Sobre este anzuelo coloca, en equilibrio, una pequeña tira de pan de oro y cierra la botella.

6. Ahora frota con la pieza de lana (o la piel de gato) la varilla y después apoya la varillasobre el alambre de tu electroscopio. ¿Qué ocurre?

En efecto, al frotar la varilla con la piel de gato se acumula carga en la varilla que pasa al alambre del electroscopio, y de ahí al pan de oro. La repulsión electrostática de las cargasque se distribuyen en el pan de oro compensan, y superan, el peso, y los extremos se elevan.

PROCEDIMIENTO

EXPERIENCIA EN EL AULA

ELECTRICIDAD141. Construcción de un electroscopio

Material

• Una botella de cristal con tapón de corch0.

• Un trozo de alambre.

• Pan de oro; en su defecto, papel de plata.

• Tela de lana (o piel de gato).

• Varilla de vidrio (o un bolígrafo).

• Dos parejas de resistenciasiguales entre sí.

• Hielo.

Objetivo

Construir un electroscopio.

1. Monta dos circuitos iguales con resistencias R1 y R2 asociadas en serie en ambos circuitos.

2. En uno de los circuitos cubre la resistencia R1 con hielo. Después de unos minutos compara, poniendo la mano sobreellas, la resistencia R2 de ambos circuitos, ¿cuál está más caliente?

En efecto, la resistividad de un material disminuye con la temperatura, y al enfriar la primera resistencia disminuye su valor. Entonces, la intensidad que recorre el circuito aumenta y, por tanto, el calor dispersado por la segunda resistencia (I2 ⋅ R2 ⋅ t) aumenta también.

PROCEDIMIENTO

2. Conductividad y resistencias

Material

• Generador de tensión o pilas.

• Cables.

Objetivo

Observar cómo la resistividadde una resistencia varía con la temperatura.

R1

R1

R2

R2

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Suma las diferencias de potencial obtenidas para cada resistencia en serie. ¿Coincide con la diferencia de potencial medida para la asociación de resistencias?

Suma las intensidades de corriente para cada resistencia en paralelo. ¿Coincide con la intensidad de corriente medida para la asociación de resistencias?

Cuando el multímetro se conecta para medir diferencias de potencial, ¿cómo debe ser su resistencia interna para que no altere la medida, grande o pequeña? Razona la respuesta.

Cuando el multímetro se conecta para medir intensidad de corriente, ¿cómo debe de ser su resistencia interna para que no altere la medida, grande o pequeña? Razona la respuesta.

4

3

2

1

CUESTIONES

1. Monta un circuito con las dos resistencias asociadas en serie.

2. Coloca los bornes del multímetro para medir la diferencia de potencial entre los extremos de cada resistencia y mide también la diferencia de potencial en los extremos de la asociación de resistencias. Es muy importante que recuerdes que el multímetro se conecta EN PARALELO cuando se mide diferencia de potencial.

3. Monta un circuito con las dos resistencias asociadas en paralelo.

4. Coloca los bornes del multímetro para medir la intensidad de corriente que atraviesa cada resistencia y mide también la intensidad de corriente que atraviesa el circuito. Es muy importante que recuerdes que el multímetro se conecta EN SERIE cuando se mide intensidad de corriente.

PROCEDIMIENTO

EXPERIENCIA DE LABORATORIO

ELECTRICIDAD14Asociaciones en serie y en paralelo

Objetivo

Comprobar cómo se distribuye la tensión en una asociación en serie y cómo se distribuye la intensidad de corriente en una asociación en paralelo.

Material

• Un generador de tensión.

• Cables.

• Dos resistencias.

• Un multímetro.

R1

V

A

AA

V V

R2

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APLICACIONES

ELECTRICIDAD14

Calcula la intensidad de corriente que atraviesa a una persona «muy conductora» afectada por una corriente de 230 V. ¿Es peligrosa esta situación?

Calcula la intensidad de corriente que atraviesa a una persona «poco conductora» afectada por una corriente de 230 V. ¿Qué efecto sufre?

2

1

CUESTIONES

¿Es la electricidad un riesgo para la salud?La electricidad puede ser peligrosa para el cuerpo humano y provocar múltiples acci-dentes, en algunos casos mortales. El factor que determina el riesgo sobre el hombrees la intensidad de corriente y, cuando la corriente es alterna, también la frecuencia.

Los efectos que generan las diferentes intensidades de corriente se tabulan según:

Estos valores son aproximados: la trayectoria que sigue la corriente en el cuerpo oel tiempo de exposición a la corriente son factores que influyen en los efectos. Sonespecialmente peligrosas las situaciones en las que los órganos vitales, como el co-razón o el encéfalo, están en la trayectoria de la corriente; y las situaciones en lasque la resistencia de la piel (que es la parte del cuerpo que más resistencia oponeal paso de la corriente) es baja porque es delgada y está mojada.

La resistencia que opone el cuerpo humano al paso de la corriente eléctrica tam-bién depende de cada persona. El factor más importante es el órgano de la piel: sila piel es gruesa ofrece mayor resistencia que si es fina o está mojada. Pero tam-bién es importante el estado de ánimo, pues una situación de estrés o una actitudnerviosa reduce la resistencia. Los umbrales entre los que se mueve la resistenciadel cuerpo son 1000 Ω para los cuerpos con baja resistencia y 10 000 Ω para loscuerpos que ofrecen mucha resistencia al paso de la corriente eléctrica. Lo habituales que el valor sea 3000 Ω.

Un interruptor diferencial es un dispo-sitivo que se coloca en las instalacioneseléctricas con el fin de cortar la corrien-te cuando se produce una pérdida deintensidad de corriente en un circuito.Es un sistema muy eficiente de seguri-dad en los hogares porque evita la ex-posición prolongada a la corriente eléc-trica cuando un cuerpo humano seintroduce como elemento en el circui-to (un niño que introduce los dedos uobjetos punzantes en un enchufe, unadulto manipula un aparato eléctricomal aislado...).

El interruptor diferencial está forma-do por dos bobinas (hélices de hiloconductor) iguales y paralelas sobreuna barra imantada.

Cuando el circuito funciona correcta-mente las bobinas actúan como unelectroimán y generan campos mag-néticos iguales y opuestos sobre labarra, que no se mueve.

Pero cuando se produce una caída enla intensidad de corriente en el sistemaeléctrico, la intensidad de corriente quevuelve es menor y los campos magné-ticos que generan las bobinas son di-ferentes. La barra imantada se mueve,desplaza los interruptores y se cortael circuito.

En las instalaciones domésticas se co-locan interruptores diferenciales dealta sensibilidad que actúan cuandola caída en la intensidad de corrien-te es de 30 mA, asegurando la integri-dad física del ciudadano ante un ca-lambrazo.

Interruptor diferencial (plomos)CIENCIA Y TÉCNICA

I1

I2

Car

gaInterruptorBobina

Bobina Interruptor diferencial.

Barraimantada

Interruptor

Intensidad Consecuencias

I < 1 mA Imperceptible.

2 mA ≤ I <3 mA Hormigueo.

3 mA ≤ I <10 mA Contracción involuntaria.

10 mA ≤ I <50 mALos músculos implicados en la respiración sufren calambres.

Riesgo de muerte por asfixia.

50 mA ≤ I <500 mAFibrilación ventricular (contracciones frecuentes e irregulares del corazón).

I >500 mAQuemaduras internas.

Riesgo de muerte por parálisis de centros nerviosos.

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CURIOSIDADES Y ANÉCDOTAS

ELECTRICIDAD14

¿Cuál es el valor de la siguiente resistencia?

Describe las bandas de colores que aparecen sobre una resistencia de una resistencia (990,0 ± 9,9) kΩ.2

1

CUESTIONES

James Clerk Maxwell (1831-1879) na-ció en Edimburgo, Escocia, en una fa-milia de clase media. Comenzó sus es-tudios universitarios en la Universidadde Edimburgo y continuó en Cambrid-ge hasta su graduación. Fue profesorde Filosofía Natural en el Mariscal Co-llege de Aberdenn y en el King’s Colle-ge de Londres.

Fue Maxwell quien desarrollo la teoríacinética de los gases y la física estadís-tica con Boltzmann; y relacionó la tem-peratura de un cuerpo con la energíacinética de sus moléculas.

Pero la aportación más conocida deMaxwell son sus leyes electromagné-ticas en las que probó que electricidady magnetismo son dos manifestacio-nes de un mismo fenómeno físico.

∇�⋅ E�=

∇�⋅ E�= 0

∇�⋅ B�= 0

∇�⋅ B�= μ J�+ εμ∂E

∂t

ρε

James Clerk MaxwellHISTORIA DE LA CIENCIA

Códigos de colores y resistenciasEl tamaño de las resistencias de los circuitos es muy pequeño y apenas hay sitiopara escribir sus valores en ellas. Sin embargo, los ohmios que resisten cada unason decisivos para el funcionamiento de los aparatos eléctricos, y los técnicos quelas sustituyen cuando no funcionan lo hacen por otras de igual valor.

Para distinguir el valor de una resistencia se ha creado un código de colores que se dibuja como anillos alrededor de ellas.

El código consiste en tres bandas que indican, respectivamente, dos cifras signifi-cativas de la resistencia y el orden de magnitud. Y una cuarta banda, ligeramenteapartada de las otras, que indica el margen de error en la magnitud.

A veces, cuando se necesita mayor precisión, se imprimen cinco bandas y las tresprimeras corresponden a cifras significativas.

Así, una resistencia con una primera banda verde, una segunda marrón, una ter-cera naranja y una última banda verde es una resistencia con 5 y 1 como cifrassignificativas, 3 como orden de magnitud y representa un factor multiplicador de 103 = 1000; y un error del 0,5 %, es decir (51 000 ± 255) Ω.

Color Valor banda Orden de magnitud Valor como tolerancia

Negro 0 0

Marrón 1 1 ±1 % (F)

Rojo 2 2 ±2 % (G)

Naranja 3 3

Amarillo 4 4

Verde 5 5 ±0,5 %

Azul 6 6 ±0,25 %

Violeta 7 7 ±0,10 %

Gris 8 8 ±0,05 %

Blanco 9 9

Oro ±5 % (J)

Plata ±10 % (K)

(Ninguna) ±20% (M)

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BANCO DE DATOS

ELECTRICIDAD14Variación de la resistividad con la temperatura

Efectos de la corriente eléctrica en el ser humano

La resistividad de un material depende, en general, de la temperatura. En muchos casos, la variación sigue la siguienteexpresión, válida para un tango de temperaturas no demasiado amplio:

ρ ρ α( ) ( )T T= ⋅ + ⋅0 1

Sustancia Resistividad, ρ (Ω⋅ m, a 20 °C)Coeficiente de temperatura de la resistividad,

α(°C−1) [en torno a 20 °C]

Plata 1,55 ⋅ 10−8 0,0038

Cobre 1,70 ⋅ 10−8 0,0039

Bronce 1,8 ⋅ 10−8 - 5,6 ⋅ 10−8 ≈0,0010

Oro 2,22 ⋅ 10−8 0,0034

Aluminio 2,82 ⋅ 10−8 0,0039

Magnesio 4,5 ⋅ 10−8 0,00425

Wolframio 5,65 ⋅ 10−8 0,0045

Níquel 6,40 ⋅ 10−8 0,0060

Latón 7 ⋅ 10−8 - 9 ⋅ 10−8 0,0020

Hierro 8,90 ⋅ 10−8 0,0050

Cinc 9,3 ⋅ 10−8 0,0038

Platino 10,60 ⋅ 10−8 0,0039

Estaño 11,50 ⋅ 10−8 0,0044

Plomo 22 ⋅ 10−8 0,0043

Manganina 43 ⋅ 10−8 0,00000

Constantán 50 ⋅ 10−8 0,0001

Grafito 60 ⋅ 10−8 −0,0005

Acero 72 ⋅ 10−8 0,0050

Mercurio 95 ⋅ 10−8 0,00088

Nicromo 100 ⋅ 10−8 0,0004

Intensidad Efectos en el organismo

0 - 0,05 mA Umbral de percepción se sitúa en torno a 0,05 mA.

0,05 - 10 mA Percepción de calambre. Se aprecian movimientos musculares.

10 - 25 mAAgarrotamiento de miembros. Dificultad para soltar los objetos. Contracción muscular. La presión arterial aumenta y la respiración se dificulta.

25 - 40 mAIrregularidad en el ritmo cardiaco. Se producen quemaduras. Si el tiempo de exposición supera los 4 s se produce asfixia.

40 - 100 mAIrregularidad acusada en el ritmo cardiaco. Se producen quemaduras más intensas. Si el tiempo de exposición supera los 4 s se produce asfixia.

1 000 mAFibrilación y parada cardiaca. Las quemaduras ocasionadas son muy graves y el riesgo de muerte es considerable.

1 - 5 A Quemaduras muy graves. La parada cardiaca ocasionada conlleva un alto riesgo de muerte.

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LEY DE COULOMB14 AMPLIACIÓN sin soluciones

NOMBRE: CURSO: FECHA:

FICHA 1

¿Cuál es la constante dieléctrica relativa de un medio en el que 2 cargas de 5 μC separadas una distancia de un metro, se repelen con una fuerza de 0,1 N?

SOLUCIÓN

1

1. EJERCICIO RESUELTO

Tenemos dos cargas iguales y positivas de 1 μC cada una situadas en los puntos (0 , 2) y (1 , 0).¿Cuál es la fuerza que ejercen sobre otra carga idéntica a las anteriores y situada en el origen de coordenadas?

SOLUCIÓN

La fuerza que ejerce la carga situada en el eje de ordenadas sobre el origen es vertical y está dirigida hacia abajo:

F�1 (−i�) (−i�) j�N

La fuerza que ejerce la carga situada en el eje de abscisas sobre el origen es horizontal, dirigida hacia la izquierda:

F�2 (−i�) (−i�) j�N

La fuerza resultante de la suma vectorial de estas fuerzas es:

F�= F�1 + F�2 = −9 ⋅ 10−3 j� N− 2,25 ⋅ 10−3 j�N

Que forma un ángulo con el eje horizontal positivo:

Y su módulo resulta:

⏐F�⏐ = − ⋅ + − ⋅ = ⋅− − −( , ) ( ) ,2 25 10 9 10 9 3 103 2 3 2 3 N

α =− ⋅

− ⋅=

−

−arc tg

,2 25 10

9 10194 2

3

3° '

= − ⋅ −9 10 3= ⋅⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅− −

9 101 10 1 10

19

6 6

2

N m

C

C C

m

2

2= ⋅

⋅K

q q

d2

22

= − ⋅ −2 25 10 3,= ⋅⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅− −

9 101 10 1 10

29

6 6

2

N m

C

C C

m

2

2 2= ⋅

⋅K

q q

d1

12

+1 μC

+1 μC

F�2

F�1

F�

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AMPLIACIÓN sin soluciones

LEY DE COULOMB14 FICHA 1

Tenemos tres cargas A, B y C cuyos valores son de 2 μC, −3 μC y 4 μC, respectivamente. Están alineadasocupando B la posición intermedia. La separación entre A y B es de 30 cm, mientras que la separación entre B y C es de 40 cm. Calcula la fuerza que sufre la carga B debido a la presencia de las cargas A y C.

SOLUCIÓN

¿A qué distancia deben estar dos cargas iguales de 3 μC cada una para que entre ellas se produzca una repulsión de 0,1 N?

SOLUCIÓN

¿Con qué fuerza se repelen dos protones de un núcleo atómico si cada uno de ellos tiene una carga de 1,6 ⋅ 10−19 C y la distancia que los separa es de 10−15 m?

Un cuerpo de masa 1 g y con carga eléctrica levita sobre otro cuerpo situado a 1 cm de distancia por debajodel primero. Si este segundo cuerpo tiene una carga de 2 μC, calcula el valor de la carga del primero.

SOLUCIÓN

4

3

2

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AMPLIACIÓN sin solucionesFICHA 2

CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICOS142. EJERCICIO RESUELTO

SOLUCIÓN

a) La intensidad de campo eléctrico en un punto es la fuerza que sentiríauna carga positiva de 1 C colocada en ese punto. El campo eléctricoque generan varias cargas es la suma vectorial del campo eléctrico quegenera cada una de las cargas.

La carga Q1 genera sobre el origen de coordenadas un campo eléctricohorizontal y de sentido negativo igual a:

E�1 u�10 (−i�) →

→ E�1 = −4,5 ⋅ 103 i�(N/C)

La carga Q2 genera sobre el origen de coordenadas un campo eléctrico vertical y de sentido positivo igual a:

E�2 u�2 (−j�) = 3 ⋅ 103 j�N/C

El campo eléctrico en el origen es:

E�= E�1 + E�2 = −4,5 ⋅ 103 i�+ 3 ⋅ 103 j�

Es un vector de módulo:

⏐E�⏐

Y forma un ángulo α con el sentido positivo horizontal:

b) El potencial eléctrico que generan varias carga es la suma escalar de los potenciales que generan cada una de las cargas.

El potencial en el origen debido a la primera carga es:

El potencial en el origen debido a la segunda carga es:

El potencial eléctrico en el origen, que es la suma de los potenciales que generan las dos cargas, es cero:

V1 + V2 = 9 ⋅ 103 V − 9 ⋅ 103 V = 0

V KQ

d2

2

2

96

39 103 10

39 10= ⋅ = ⋅

⋅⋅

− ⋅= − ⋅

−N m

C

C

mV

2

2

V KQ

d1

1

1

96

39 102 10

29 10= ⋅ = ⋅

⋅⋅

⋅= ⋅

−N m

C

C

mV

2

2

α =−

=arc tg,

3

4 5146 19° '

= − ⋅ + ⋅ = ⋅( , ) ( ) ,4 5 10 3 10 5 41 103 3 2 9 N/C

= ⋅⋅

⋅− ⋅ −

9 103 10

39

6

2

N m

C

C

m

2

2 2=

Q

d2

22

= ⋅⋅

⋅⋅ −

9 102 10

29

6

2

N m

C

C

m

2

2 2= ⋅K

Q

d1

12

Una carga Q1 = 2 μC está situada en el punto de coordenadas (2 , 0) m. Otra carga Q2 = −3 μC está situada en el punto (0 , 3) m. Calcula:

a) La intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas.

b) El potencial eléctrico en el origen de coordenadas.

−3 μC

2 μC

e�2

e�1

Q�1

Q�2

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CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICOS14 FICHA 2

Dos cargas Q1 y Q2 están separadas una distancia de 2 m. Si Q1 = 2 μC y Q2 = −3 μC.

SOLUCIÓN

a) Calcula el punto de la recta que pasa por las cargas donde se anula el campo eléctrico.

b) Calcula el punto de la recta que pasa por las cargas donde se anula el potencial eléctrico.

5

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CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICOS14Seis cargas están situadas en los vértices de un hexágono regular de lado 2 cm centrado en el origen de coordenadas. El valor absoluto de todas las cargas es de 3 mC, pero las tres de la izquierda son negativas, mientras que las tres de la derecha son positivas.

SOLUCIÓN

a) Calcula la intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas.

b) Calcula el potencial eléctrico en el origen de coordenadas.

Los puntos A, B, C y D forman los vértices de un cuadrado de lado 5 cm. Una carga de 6 mC está situada en cada uno de los puntos A y B.

SOLUCIÓN

a) Calcula el trabajo que debemos realizar si queremos trasladar una carga de 2 μC desde el punto C hasta el punto D.

7

6

continúa ��

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b) ¿Qué energía potencial tiene la carga de 2 mC en cada uno de los puntos C y D?

En el punto de coordenadas (−3 , 0) m hay una carga de −2 μC. Una segunda carga de 3 μC está situada en el punto (2 , 0) y una tercera carga de valor desconocido está situada en el punto (4 , 0) m.

SOLUCIÓN

a) Calcula el valor de la carga desconocida si el potencial eléctrico en el origen de coordenadas es nulo.

b) Calcula la intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas.

8

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CORRIENTE Y LEY DE OHM143. EJERCICIO RESUELTO

Una corriente de 10 mA llega a una asociación de dosresistencias de 0,1 y 0,3 Ω, respectivamente, que estánunidas en paralelo entre sí y en serie con otra de 0,2 Ω.Calcula:a) La diferencia de potencial entre los extremos

de cada resistencia.b) La intensidad de corriente que circula por cada

resistencia.

SOLUCIÓN

a) El sistema de resistencias lo forman dos resistencias R1 = 0,1 Ω y R2 = 0,2 Ω asociadas en paralelo, y una tercera resistencia R3 = 0,2 Ω asociada en serie a las otras dos.

La resistencia equivalente a la asociación en paralelo de las resistencias de 0,1 y 0,3 Ω verifica:

Requiv. = 0,075 Ω

Como esta asociación está conectada en serie con la tercera resistencia, la resistencia del sistema es:

R = Requiv. + R3 = 0,075 Ω + 0,2 Ω = 0,275 Ω

La intensidad de corriente que llega al sistema es de 10 mA. La Ley de Ohm permite calcular la diferencia de potencial entre los puntos A y C:

→ VC − VA = I ⋅ R = 10 ⋅ 10−3 A ⋅ 0,275 Ω = 2,75 ⋅ 10−3 V

Esta diferencia de potencial se reparte entre los extremos A y B y los extremos B y C:

VC − VA = (VC − VB) + (VB − VA)

La diferencia de potencial entre los extremos de las dos resistencias que están en paralelo es:

VB − VA = I ⋅ Requiv. = 10 ⋅ 10−3 A ⋅ 0,075 Ω = 7,5 ⋅ 10−4 V

La diferencia de potencial en los extremos de la tercera resistencia es:

VC − VA = (VC − VB) + (VB − VA) → 2,75 ⋅ 10−3 V = (VC − VB) + 7,5 ⋅ 10−4 V →→ (VC − VB) = 2, 75 ⋅ 10−3 V − 0,75 ⋅ 10−3 V = 2 ⋅ 10−3 V

Y coincide con el resultado calculado por la ley de Ohm:

VC − VB = I ⋅ R3 = 10 ⋅ 10−3 A ⋅ 0,2 Ω = 2 ⋅ 10−3 V

b) Cuando la corriente llega a la bifurcación de las resistencias en paralelo se reparte entre las dos ramas verificando siempre la ley de Ohm:

La suma de las intensidades de cada rama es la intensidad de corriente que atraviesa el sistema de resistencias:

I = I1 + I2 = 7,5 mA + 2,5 mA = 10 mA

La intensidad de corriente que pasa por la tercera resistencia, asociada en serie a las otras dos, coincide con la intensidad de corriente total 10 mA.

IV V

R2

2

437 5 10

0 32 5 10=

−=

⋅= ⋅ =

−−B A V

A 2,5 mA,

,,

Ω

IV V

R1

1

437 5 10

0 17 5 10=

−=

⋅= ⋅ =

−−B A V

A 7,5 mA,

,,

Ω

IV V

R=

−C A

1 1 1 1 1

0 1

1

0 31 2R R R Requiv. equiv.

= + = +→ →, ,Ω Ω

A B C

R1 = 0,1 Ω

R2 = 0,3 Ω

R3 = 0,2 Ω

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CORRIENTE Y LEY DE OHM14 FICHA 3

La resistividad del cobre a 20 °C es de 1,67 ⋅ 10−8 Ω⋅ m.

SOLUCIÓN

a) ¿Cuál es la longitud de un cable de dicho material de 0,5 Ω de resistencia y 0,01 cm2 de sección?

b) La resistividad del cobre aumenta de manera lineal según la expresión ρ = ρ20 ⋅ [1 + α⋅ (t −20 °C)],siendo αuna constante dependiente del material llamada coeficiente de temperatura. Para el cobre α = 3,9 ⋅ 10−3 °C−1. Calcula la resistencia de un cable con la longitud y sección del cable del apartado anterior cuando su temperatura pase de 20 a 50 °C.

Tenemos una asociación de resistencias en paralelo con tres ramas. En la rama superior hay una resistencia de 0,2 Ωunida en serie con una resistencia de 0,3 Ω. En la rama del medio solo hay una resistencia de 0,5 Ω. En la rama inferior hay una resistencia de 0,1 Ωunida a otra resistencia de valor desconocido. Si a dicha asociación de resistencias llega una corriente de 1,8 A y el voltaje entre sus extremos es de 0,2 V, calcula el valor de la resistencia desconocida.

SOLUCIÓN

10

9

R1 = 0,2 Ω R2 = 0,3 Ω

R3 = 0,5 Ω

R4 = 0,1 Ω R5

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CORRIENTE Y LEY DE OHM14NOMBRE: CURSO: FECHA:

Dos bombillas están asociadas en serie. La intensidad de corriente que circula por ellas es de 0,5 A. El sistema está sometido a una diferencia de potencial en los extremos de 7 V. La primera bombilla tiene una resistencia de 10 Ω.

SOLUCIÓN

a) ¿Cuál es el voltaje al que está sometida la segunda bombilla?

b) ¿Cuál es la resistencia de la segunda bombilla?

Cuatro resistencias de 1, 2, 3 y 4 Ωestán conectadas en paralelo.Por la de 2 Ωcircula una corriente de 3 mA.

SOLUCIÓN

a) ¿Cuál es la intensidad de corriente en las otras resistencias?

b) Si mantenemos la tensión suministrada pero eliminamos la resistencia de 4 Ω, ¿cuál sería ahora la intensidad en las otras resistencias?

12

11

10 Ω

A B C

R1 = 1 Ω

R2 = 2 Ω

R3 = 3 Ω

R4 = 4 Ω

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AMPLIACIÓN con soluciones


¿Cuál es la constante dieléctrica relativa de un medio en el que 2 cargas de 5 μC separadas una distancia de un metro, se repelen con una fuerza de 0,1 N?

SOLUCIÓN

La fuerza electrostática entre dos cargas en un medio se puede expresar en términos de la constante dieléctrica ε del medio según:

F� u�r

Pero es habitual utilizar la constante dieléctrica relativa, εr, a la constante en el vacío, ε0.

F� u�r u�r u�r u�r

Es decir:

F� u�r

Si en el medio hay dos cargas de 5 μC separadas una distancia de 1 m y se repelen con una fuerza de 0,1 N, el módulo de la expresión anterior refleja que:

La constante dieléctrica relativa del medio es 2,27.

0 11

9 105 10 5 10

19

6 6

2, N

N m

C

C C

mr

2

2 2 r= ⋅ ⋅⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅− −

εε→ == 2 27,

= ⋅⋅1

2εr

Kq q

d⋅ ⋅

'

= ⋅ ⋅⋅1

2εr

Kq q

d

'= ⋅ ⋅⋅1 1

4 02ε πεr

q q

d

'= ⋅ ⋅

⋅εε πε0

02

1

4

q q

d

'= ⋅

⋅1

4 2πεq q

d

'

= ⋅⋅1

4 2πεq q

d

'

1


Tenemos dos cargas iguales y positivas de 1 μC cada una situadas en los puntos (0 , 2) y (1 , 0).¿Cuál es la fuerza que ejercen sobre otra carga idéntica a las anteriores y situada en el origen de coordenadas?

SOLUCIÓN

La fuerza que ejerce la carga situada en el eje de ordenadas sobre el origen es vertical y está dirigida hacia abajo:

F�1 (−j�) (−j�) j� N

La fuerza que ejerce la carga situada en el eje de abscisas sobre el origen es horizontal, dirigida hacia la izquierda:

F�2 (−i�) (−i�) j� N


F�= F�1 + F�2 = −9 ⋅ 10−3 j� N− 2,25 ⋅ 10−3 j� N

Que forma un ángulo α con el eje horizontal positivo:


⏐F�⏐ = − ⋅ + − ⋅ = ⋅− − −( , ) ( ) ,2 25 10 9 10 9 3 103 2 3 2 3 N

α =− ⋅

− ⋅=

−

−arc tg

,2 25 10

9 10194 2

3

3° '

= − ⋅ −9 10 3= ⋅⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅− −

9 101 10 1 10

19

6 6

2

N m

C

C C

m

2

2= ⋅

⋅K

q q

d2

22

= − ⋅ −2 25 10 3,= ⋅⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅− −

9 101 10 1 10

29

6 6

2

N m

C

C C

m

2

2 2= ⋅

⋅K

q q

d1

12

+1 μC

+1 μC

F�2

F�1

F�

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Tenemos tres cargas A, B y C cuyos valores son de 2 μC, −3 μC y 4 μC, respectivamente. Están alineadasocupando B la posición intermedia. La separación entre A y B es de 30 cm, mientras que la separación entre B y C es de 40 cm. Calcula la fuerza que sufre la carga B debido a la presencia de las cargas A y C.

SOLUCIÓN

Las cargas A, B y C se distribuyen en el espacio según el dibujo.Como la carga B tiene signo contrario a las cargas A y C, las fuerzas que ejercen estas sobre aquella son atractivas.

La fuerza que ejerce la carga A sobre B es una fuerza de atracción, y su sentido es negativo:

F�A u�AB i�= −0,6 i�N

La fuerza que ejerce la carga C sobre B también es atractiva:

F�C u�CB (−i�) = 0,675 i�N → u�CB = −i�

La fuerza resultante que actúa sobre la carga B es la suma vectorial de las fuerzas que ejercen sobre ella las cargas:

F�= F�A + F�B = −0,6 i�N + 0,675 i�N = 0,075 i�N

que tiene módulo 0,075 N y sentido hacia la carga C.

¿A qué distancia deben estar dos cargas iguales de 3 μC cada una para que entre ellas se produzca una repulsión de 0,1 N?

SOLUCIÓNPara que dos cargas de 3 μC se repelan con una fuerza de 0,1 N por efecto de las fuerzas electrostáticas deben estarseparadas una distancia d de manera que:

F� u�r

El módulo de la expresión anterior permite calcular la distancia según:

¿Con qué fuerza se repelen dos protones de un núcleo atómico si cada uno de ellos tiene una carga de 1,6 ⋅ 10−19 C y la distancia que los separa es de 10−15 m?

Para dos protones de un núcleo atómico que estén a distancia de 1 ⋅ 10−15 metros:

F� u�r u�r = 230,4 u�r N

Así, se repelen mutuamente con una fuerza repulsiva de módulo 230,4 N.

Un cuerpo de masa 1 g y con carga eléctrica levita sobre otro cuerpo situado a 1 cm de distancia por debajodel primero. Si este segundo cuerpo tiene una carga de 2 μC, calcula el valor de la carga del primero.

SOLUCIÓNPara que el cuerpo mantenga su posición de equilibrio en el aire las fuerzas gravitatoria y electrostática tienen que ser de la misma dirección e intensidad y de sentidos contrarios. La fuerza gravitatoria tiene dirección y sentidovertical y hacia abajo. Por tanto, la fuerza electrostática tiene que ser vertical y hacia arriba, así que las cargaseléctricas tiene que ser de igual signo.

En el equilibrio los módulos de las fuerzas han de ser iguales:

→ q = 5,4 ⋅ 10−11 C

La carga del cuerpo que está en el aire debe ser de valor 5,4 ⋅ 10−11 μC y de igual signo que la carga del segundo cuerpo.

mg Kq q

d

q= ⋅

⋅→ ⋅ = ⋅

⋅⋅

⋅'2

90 001 9 8 9 102

, ,kg N/kgN m

C

2

2

⋅⋅ −10

0 01

6

2

C

m2,

4

= ⋅⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅

− −

−9 10

1 6 10 1 6 10

1 109

19 19

15

N m

C

C C2

2

, ,

( )22 m2= ⋅

⋅K

q q

d

'2

0 1 9 103 10 3 10

0 996 6

2, ,N

N m

C

C Cm

2

2= ⋅

⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅=

− −

dd→

= ⋅⋅

Kq q

d

'2

3

= ⋅⋅

⋅⋅ ⋅ − ⋅− −

9 104 10 3 10

0 49

6 6

2

N m

C

C C

m

2

2 2

( )

,= ⋅

⋅K

q q

dC B

AB2

= ⋅⋅

⋅⋅ ⋅ − ⋅− −

9 102 10 3 10

0 39

6 6

2

N m

C

C C

m

2

2 2

( )

,= ⋅

⋅K

q q

dA B

AB2

2

4 μC2 μC −3 μC

u�ABu�CB

F�CF�A

CA

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SOLUCIÓN

a) La intensidad de campo eléctrico en un punto es la fuerza que sentiríauna carga positiva de 1 C colocada en ese punto. El campo eléctricoque generan varias cargas es la suma vectorial del campo eléctrico quegenera cada una de las cargas.

La carga Q1 genera sobre el origen de coordenadas un campo eléctricohorizontal y de sentido negativo igual a:

E�1 u�10 (−i�) →

→ E�1 = −4,5 ⋅ 103 i�(N/C)

La carga Q2 genera sobre el origen de coordenadas un campo eléctrico vertical y de sentido positivo igual a:

E�2 u�2 (−j�) = 3 ⋅ 103 j�N/C


E�= E�1 + E�2 = −4,5 ⋅ 103 i�+ 3 ⋅ 103 j�

Es un vector de módulo:

⏐E�⏐

Y forma un ángulo α con el sentido positivo horizontal:

b) El potencial eléctrico que generan varias carga es la suma escalar de los potenciales que generan cada una de las cargas.

El potencial en el origen debido a la primera carga es:

El potencial en el origen debido a la segunda carga es:

El potencial eléctrico en el origen, que es la suma de los potenciales que generan las dos cargas, es cero:

V1 + V2 = 9 ⋅ 103 V − 9 ⋅ 103 V = 0

V KQ

d2

2

2

96

39 103 10

39 10= ⋅ = ⋅

⋅⋅

− ⋅= − ⋅

−N m

C

C

mV

2

2

V KQ

d1

1

1

96

39 102 10

29 10= ⋅ = ⋅

⋅⋅

⋅= ⋅

−N m

C

C

mV

2

2

α =−

=arc tg,

3

4 5146 19° '

= − ⋅ + ⋅ = ⋅( , ) ( ) ,4 5 10 3 10 5 41 103 3 2 9 N/C

= ⋅⋅

⋅− ⋅ −

9 103 10

39

6

2

N m

C

C

m

2

2 2=

Q

d2

22

= ⋅⋅

⋅⋅ −

9 102 10

29

6

2

N m

C

C

m

2

2 2= ⋅K

Q

d1

12

Una carga Q1 = 2 μC está situada en el punto de coordenadas (2 , 0) m. Otra carga Q2 = −3 μC está situada en el punto (0 , 3) m. Calcula:


b) El potencial eléctrico en el origen de coordenadas.

−3 μC

2 μC

E�2

E�1

Q�1

Q�2

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Dos cargas Q1 y Q2 están separadas una distancia de 2 m. Si Q1 = 2 μC y Q2 = −3 μC.

SOLUCIÓN

a) Calcula el punto de la recta que pasa por las cargas donde se anula el campo eléctrico.

La carga Q1 es positiva, de manera que el campo eléctrico que genera tiene sentido negativo a la izquierda de lacarga, y positivo a la derecha. La carga Q2 es negativa, de manera que el campo eléctrico a la izquierda es positivo,y a la derecha, negativo. Existe, por tanto, la posibilidad de que el campo se anule a la izquierda y a la derecha delas cargas.

El primer punto en el que el campo, vectorial, se anula tiene que estar situado a la izquierda de la primera carga y a una distancia x de ella. En ese punto los sentidos de los campos que generan cada carga son opuestos y los módulos iguales:

→ ⏐Q1⏐⋅ (x+2)2 = ⏐Q2⏐⋅ x2 → 2 ⋅ 10−6 ⋅ (x + 2)2 = 3 ⋅ 10−6 x2 → x2 − 8 x − 8 = 0

De las dos soluciones solo tiene sentido la positiva:

x = 8,9 m

El segundo punto en el que el campo se podría anular está situado a la derecha de la segunda carga y a una distancia y de ella. La carga de la izquierda es menor en valor absoluto y está a mayor distancia; el campo que genera a la derecha de la segunda carga será siempre de módulo menor que el que genera la segunda carga. Por tanto, en esa semirrecta el campo no se anula.

El único punto donde se anula el campo es 8,9 m a la izquierda de la primera carga.

b) Calcula el punto de la recta que pasa por las cargas donde se anula el potencial eléctrico.

El potencial eléctrico en un punto situado a la izquierda de la primera carga a distancia x es la suma del potencial que genera cada carga:

Para que el potencial en ese punto se anule debe ocurrir que:

→ Q1 ⋅ (x+2) = −Q2 ⋅ x → 2 ⋅ 10−6 ⋅ (x + 2) = 3 ⋅ 10−6 x →

→ x = 4 m

El potencial eléctrico en un punto situado entre las dos cargas y a distancia y de la primera es:

Para que el potencial en ese punto se anule debe ocurrir que:

→ Q1 ⋅ (2 − y) = −Q2 ⋅ y → 2 ⋅ 10−6 ⋅ (2 − y) = 3 ⋅ 10−6 y →

→ y = 0,8 m

A la derecha de la segunda carga el potencial no se anula porque la carga positiva es menor que la negativa y está mas lejos.

En resumen, el potencial eléctrico en este sistema se anula a la izquierda de la primera carga en un punto situado a 4 m de ella, y entre las cargas en un punto que dista 0,8 m de la carga de la izquierda.

Q

y

Q

y1 2

2= −

−

V V V KQ

yK

Q

y= + = ⋅ + ⋅

−1 2

1 2

2

Q

x

Q

x1 2

2= −

+

V V V KQ

xK

Q

x= + = +

+1 2

1 2

2

KQ

xK

Q

x⋅ = ⋅

+⏐ ⏐ ⏐ ⏐1

2

2

22( )

5

−3 μC2 μC

Q 1 Q 2

E�1 E�2 E�1

E�1

E�2 E�2

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Seis cargas están situadas en los vértices de un hexágono regular de lado 2 cm centrado en el origen de coordenadas. El valor absoluto de todas las cargas es de 3 mC, pero las tres de la izquierda son negativas, mientras que las tres de la derecha son positivas.

SOLUCIÓN

a) Calcula la intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas.

El módulo del campo eléctrico generado por cada una de las cargas de igual valor absoluto, 3 ⋅ 10−3 C, y a la misma distancia, 0,02 m, del origen es:

⏐E�1⏐

La dirección y el sentido de cada fuerza es la indicada en el dibujo. El campo eléctrico resultante es la suma vectorial de las camposgenerados por cada una de las seis cargas. La componente vertical del campo creado por la carga positiva del primer cuadrante se compensa con la componente vertical de la carga del cuartocuadrante. Y la componente vertical del campo creado por la carganegativa del segundo cuadrante se compensa con la componentevertical de la carga negativa del tercer cuadrante. Por tanto, el campoeléctrico resultante tiene solo componente horizontal.

El campo creado por las dos cargas que están en el eje horizontal es igual en módulo, dirección y sentido. Las componentes horizontales de las cuatro cargas que no están en el eje también son iguales en módulo y signo. Por tanto:

E�= 2 ⋅ K ⋅ (−i�) + 4 ⋅ K ⋅ ⋅ cos 60° (−i�) →

→ E�= (−2 ⋅ 1,35 ⋅ 109 − 4 ⋅ 1,35 ⋅ 109 ⋅ 0,5) i�= −5,4 ⋅ 109 i�

El campo en el origen tiene módulo 5,4 ⋅ 109 N/C, dirección horizontal y sentido negativo.

b) Calcula el potencial eléctrico en el origen de coordenadas.

El potencial eléctrico en el origen es la suma de los potenciales creados por cada carga. Como las cargas son idénticas en valor absoluto, están a la misma distancia del origen, y la mitad de ellas son positivas, y la otra mitad, negativas, la suma es cero.

Los puntos A, B, C y D forman los vértices de un cuadrado de lado 5 cm. Una carga de 6 mC está situada en cada uno de los puntos A y B.

SOLUCIÓN

a) Calcula el trabajo que debemos realizar si queremos trasladar una carga de 2 μC desde el punto C hasta el punto D.

La simetría del problema sugiere que el trabajo es cero. En efecto, como el campo eléctrico es conservativo, el trabajo que se necesita para trasladar una carga Q = 0,002 C entre dos puntos de igual potencial eléctrico es nulo.

En el punto C el potencial eléctrico es la suma de los potenciales creados por las cargas QA y QB

de 0,006 C cada una que están situadas a = 0,07 m y 0,05 m, respectivamente:

V V V KQ

dK

Q

dC A B

A

A

B

B

2

2

N m

C

C= + = ⋅ + ⋅ = ⋅

⋅⋅

⋅ −

9 106 10

09

3

,, ,,

079 10

6 10

0 053 08 109

38

m

N m

C

C

mV

2

2+ ⋅

⋅⋅

⋅= ⋅

−

0 05 2, ⋅( )

7

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

Q

d2

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

Q

d2

⎛⎝⎜⎜⎜

= ⋅ = ⋅⋅

⋅⋅

= ⋅−

KQ

d2

93

99 103 10

0 02135 10

N m

C

C

mN/

2

2 2,, CC

6

continúa ��

−3 μC

−3 μC

−3 μC

+3 μC

+3 μC

+3 μC

60°

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En el punto D el potencial eléctrico es la suma de los potenciales creados por las cargas QA y QB

de 0,006 C cada una que están situadas a 0,05 m y = 0,05 m, respectivamente:

El trabajo que realiza el campo es:

W = −Q ⋅ ΔV = −Q ⋅ (VD − VC) = 0

El que realizamos nosotros será igual y de signo opuesto; y, por tanto, cero también.

b) ¿Qué energía potencial tiene la carga de 2 mC en cada uno de los puntos C y D?

La energía potencial que tiene la carga Q = 0,002 C en el punto C se calcula a través del potencial eléctrico:

EC = Q ⋅ VC = 2 ⋅ 10−3 C ⋅ 3,08 ⋅ 108 V = 6,16 ⋅ 105 J

En el punto D la energía potencial de la carga es la misma que en el C, porque tiene el mismo valor del potencial eléctrico.

En el punto de coordenadas (−3 , 0) m hay una carga de −2 μC. Una segunda carga de 3 μC está situada en el punto (2 , 0) y una tercera carga de valor desconocido está situada en el punto (4 , 0) m.

SOLUCIÓN

a) Calcula el valor de la carga desconocida si el potencial eléctrico en el origen de coordenadas es nulo.

El potencial en el origen que genera la primera carga es:

Q1 → (−3 , 0)

El potencial en el origen que genera la segunda carga es:

Q2 → (2 , 0)

Como queremos que el potencial en el origen sea cero, la tercera carga crea un potencial igual a:

0 = V1 + V2 + V3 → 0 = −6 ⋅ 103 V + 1,35 ⋅ 104 V + V3 → V3 = 7,5 ⋅ 103 V

De donde se deduce que:

Q3 = 3,33 ⋅ 10−6 C

La carga desconocida es Q3 = 3,33 ⋅ 10−6 C.

b) Calcula la intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas.

La carga Q1 crea en el origen de coordenadas un campo eléctrico horizontal y de sentido negativo igual a:

E�1 u�10 i�= −2 ⋅ 103 i�N/C


E�2 = K · u�20 (−i�) = −6,75 ⋅ 103 i�N/C


E�3 = K · u�30 (−i�) = −1,87 ⋅ 103 i�N/C

El campo eléctrico en el origen es la suma vectorial del que crea cada carga:

E�= E�1 + E�2 + E�3 = −2 ⋅ 103 i�− 6,75 ⋅ 103 i�−1,87 ⋅ 103 i�= −1,06 ⋅ 104 i�

Tiene dirección horizontal y sentido negativo, y su módulo es 1,06 ⋅ 104 N/C.

= ⋅⋅

⋅⋅ −

9 103 33 10

49

6

2

N m

C

C

m

2

2 2

,Q

d3

22

= ⋅⋅

⋅⋅ −

9 103 10

29

6

2

N m

C

C

m

2

2 2

Q

d2

22

= ⋅⋅

⋅− ⋅ −

9 102 10

39

6

2

N m

C

C

m

2

2 2= ⋅K

Q

d1

12

V KQ

d

Q3

3

3

3 9 37 5 10 9 104

= ⋅ ⋅ = ⋅⋅

⋅→ →, VN m

C m

2

2

V KQ

d2

2

2

96

49 103 10

2135 10= ⋅ = ⋅

⋅⋅

⋅= ⋅

−N m

C

C

mV

2

2,

V KQ

d1

1

1

96

39 102 10

36 10= ⋅ = ⋅

⋅⋅

− ⋅= − ⋅

−N m

C

C

mV

2

2

8

V V V KQ

dK

Q

dD A B

A

A

B

B

= + = ⋅ + ⋅ = ⋅⋅

⋅⋅ −

9 106 10

09

2

3N m

C

C2

,, ,,

059 10

6 10

0 073 08 109

2

38

m

N m

C

C

mV

2

+ ⋅⋅

⋅⋅

= ⋅−

0 05 2, ⋅( )

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Una corriente de 10 mA llega a una asociación de dosresistencias de 0,1 y 0,3 Ω, respectivamente, que estánunidas en paralelo entre sí y en serie con otra de 0,2 Ω.Calcula:a) La diferencia de potencial entre los extremos

de cada resistencia.b) La intensidad de corriente que circula por cada

resistencia.

SOLUCIÓN

a) El sistema de resistencias lo forman dos resistencias R1 = 0,1 Ω y R2 = 0,2 Ω asociadas en paralelo, y una tercera resistencia R3 = 0,2 Ω asociada en serie a las otras dos.

La resistencia equivalente a la asociación en paralelo de las resistencias de 0,1 y 0,3 Ω verifica:

Requiv. = 0,075 Ω

Como esta asociación está conectada en serie con la tercera resistencia, la resistencia del sistema es:

R = Requiv. + R3 = 0,075 Ω + 0,2 Ω = 0,275 Ω

La intensidad de corriente que llega al sistema es de 10 mA. La ley de Ohm permite calcular la diferencia de potencial entre los puntos A y C:

→ VC − VA = I ⋅ R = 10 ⋅ 10−3 A ⋅ 0,275 Ω = 2,75 ⋅ 10−3 V

Esta diferencia de potencial se reparte entre los extremos A y B y los extremos B y C:

VC − VA = (VC − VB) + (VB − VA)

La diferencia de potencial entre los extremos de las dos resistencias que están en paralelo es:

VB − VA = I ⋅ Requiv. = 10 ⋅ 10−3 A ⋅ 0,075 Ω = 7,5 ⋅ 10−4 V

La diferencia de potencial en los extremos de la tercera resistencia es:

VC − VA = (VC − VB) + (VB − VA) → 2,75 ⋅ 10−3 V = (VC − VB) + 7,5 ⋅ 10−4 V →→ (VC − VB) = 2, 75 ⋅ 10−3 V − 0,75 ⋅ 10−3 V = 2 ⋅ 10−3 V

Y coincide con el resultado calculado por la ley de Ohm:

VC − VB = I ⋅ R3 = 10 ⋅ 10−3 A ⋅ 0,2 Ω = 2 ⋅ 10−3 V

b) Cuando la corriente llega a la bifurcación de las resistencias en paralelo se reparte entre las dos ramas verificando siempre la ley de Ohm:

La suma de las intensidades de cada rama es la intensidad de corriente que atraviesa el sistema de resistencias:

I = I1 + I2 = 7,5 mA + 2,5 mA = 10 mA

La intensidad de corriente que pasa por la tercera resistencia, asociada en serie a las otras dos, coincide con la intensidad de corriente total 10 mA.

IV V

R2

2

437 5 10

0 32 5 10=

−=

⋅= ⋅ =

−−B A V

A 2,5 mA,

,,

Ω

IV V

R1

1

437 5 10

0 17 5 10=

−=

⋅= ⋅ =

−−B A V

A 7,5 mA,

,,

Ω

IV V

R=

−C A

1 1 1 1 1

0 1

1

0 31 2R R R Requiv. equiv.

= + = +→ →, ,Ω Ω

A B C

R1 = 0,1 Ω

R2 = 0,3 Ω

R3 = 0,2 Ω

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La resistividad del cobre a 20 °C es de 1,67 ⋅ 10−8 Ω⋅ m.

SOLUCIÓN

a) ¿Cuál es la longitud de un cable de dicho material de 0,5 Ωde resistencia y 0,01 cm2 de sección?

La resistencia que un material ofrece al paso de la corriente eléctrica por él es mayor cuanto mayor sea su longitud y menor sea su sección. Para el cable de cobre a 20 °C de sección 1 ⋅ 10−6 m2 se tiene:

La longitud del cable de cobre es 29,9 m.

b) La resistividad del cobre aumenta de manera lineal según la expresión ρ = ρ20 ⋅ [1 + α⋅ (t −20 °C)],siendo αuna constante dependiente del material llamada coeficiente de temperatura. Para el cobre α = 3,9 ⋅ 10−3 °C−1. Calcula la resistencia de un cable con la longitud y sección del cable del apartado anterior cuando su temperatura pase de 20 a 50 °C.

La resistividad del cobre varía al cambiar su temperatura según la expresión:

ρ = ρ20 ⋅ [1 + α (t − 20)] = 1,67 ⋅ 10−8 Ω ⋅ m ⋅ [1 + 3,9 ⋅ 10−3 °C−1 ⋅ (50 − 20 °C)] = 1,87 ⋅ 10−8 Ω ⋅ m

Por tanto, la resistencia del cable de cobre a 50 °C de temperatura es:

Tenemos una asociación de resistencias en paralelo con tres ramas. En la rama superior hay una resistencia de 0,2 Ωunida en serie con una resistencia de 0,3 Ω. En la rama del medio solo hay una resistencia de 0,5 Ω. En la rama inferior hay una resistencia de 0,1 Ωunida a otra resistencia de valor desconocido. Si a dicha asociación de resistencias llega una corriente de 1,8 A y el voltaje entre sus extremos es de 0,2 V, calcula el valor de la resistencia desconocida.

SOLUCIÓN

La resistencia equivalente R a la asociación de resistencias descrita debe cumplir la ley de Ohm, luego:

La asociación de resistencias tiene tres ramas en paralelo. En la primera de las ramas hay dos resistencias R1 y R2

conectadas en serie. Su suma indica la resistencia de la rama:

R1 + R2 = 0,2 Ω + 0,3 Ω = 0,5 Ω

En la segunda de las ramas hay una resistencia de R3 = 0,5 Ω. Y en la tercera rama hay dos resistencias R4 y R5

conectadas en serie:

R4 + R5 = 0,1 Ω + R5

Se cumple:

La resistencia desconocida es de 0,1 Ω.

→ →51

0 10 1

5

5=+

=,

,R

R Ω

1 1 1 1 1

111

1

0 5

1

0 5

1

01 2 3 4 5R R R R R R=

++ +

+= + +→

, , , ,Ω Ω Ω 11 5Ω + R→

IV

RR

V

I= = = =

Δ ΔΩ→ 0 2

180 11

,

,,

V

A

10

RL

s= = ⋅ ⋅ ⋅

⋅=−

−ρ 187 10

29 9

1 100 568

6,

,,Ω Ωm

m

m2

RL

s

LL= = ⋅ ⋅ ⋅

⋅=−

−ρ → →0 5 1 67 10

1 1029 98

6, , ,Ω Ω m

mm

2

9

R1 = 0,2 Ω R2 = 0,3 Ω

R3 = 0,5 Ω

R4 = 0,1 Ω R5

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Dos bombillas están asociadas en serie. La intensidad de corriente que circula por ellas es de 0,5 A. El sistema está sometido a una diferencia de potencial en los extremos de 7 V. La primera bombilla tiene una resistencia de 10 Ω.

SOLUCIÓN

a) ¿Cuál es el voltaje al que está sometida la segunda bombilla?

La diferencia de potencial en un sistema de resistencias asociadas en serie es aditiva, es decir:

VC − VA = (VC − VB) + (VB − VA)

La diferencia de potencial para la primera bombilla verifica la ley de Ohm y es:

VB − VA = I ⋅ R1 = 0,5 A ⋅ 10 Ω = 5 V

El voltaje al que está sometido la segunda bombilla es:

VC − VA = (VC − VB) + (VB − VA) → 7 V = (VC − VB) + 5 V → VC − VB = 2 V

b) ¿Cuál es la resistencia de la segunda bombilla?

Conocida la diferencia de potencial y la intensidad de corriente que atraviesa la segunda bombilla es sencillocalcular su resistencia:

Cuatro resistencias de 1, 2, 3 y 4 Ωestán conectadas en paralelo.Por la de 2 Ωcircula una corriente de 3 mA.

SOLUCIÓN

a) ¿Cuál es la intensidad de corriente en las otras resistencias?

Conocida el valor de la segunda resistencia y la intensidad de corriente que circula por ella podemos calcular la diferencia de potencial en sus extremos:

ΔV = I ⋅ R2 = 3 A ⋅ 2 Ω = 6 V

Y como todas las resistencias están conectadas en paralelo, esa diferencia de potencial es la misma para todas las resistencias del sistema. Así, por cada resistencia pasa una intensidad de corriente diferente e iguales a:

La intensidad total del sistema es la suma de las intensidades de corriente que circulan por cada una de las ramas:

I = I1 + I2 + I3 + I4 = 6 A + 3 A + 2 A + 1,5 A = 12,5 A

b) Si mantenemos la tensión suministrada pero eliminamos la resistencia de 4 Ω¿cuál sería ahora la intensidad en las otras resistencias?

Si se mantiene la tensión pero se cambian las resistencias del sistema la intensidad de corriente varía de manera que se verifique la ley de Ohm para la resistencia equivalente del sistema.

La resistencia equivalente de un conjunto de resistencias conectadas en paralelo verifica:

La intensidad total de corriente es: IV

R= = =

ΔΩ

6

1095 5

VA

,,

1 1 1 1 1

1

1

2

1

3

11

12109

1 2 3

1

R R R RR= + + = + + = =−

Ω Ω ΩΩ Ω→ ,

IV

RI

V

RI

V

R1

1

3

3

4

4

6

16

6

32

6

4= = = = = = = =

ΔΩ

ΔΩ

ΔVA;

VA;

V

ΩΩ= 15, A

IV

R2

2

=Δ →

12

IV V

RR

V V

I=

−=

−= =C B C B V

A2

22

0 54→

,Ω

11




10 Ω

A B C

R1 = 1 Ω

R2 = 2 Ω

R3 = 3 Ω

R4 = 4 Ω

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PRUEBA DE EVALUACIÓN 1

Tres cargas A, B , y C de −3 , 2 y 5 C están situadas en los puntos (−3 , 0), (0 , 0) y (0 , 2).

a) Calcula la intensidad de la fuerza que sufre la carga B debido a la presencia de A y C.

b) ¿Dónde habría que situar una cuarta carga positiva de 4 C para que la resultante de las fuerzas que actúa sobre B fuera nula?

En el punto de coordenadas (2 , 2) se encuentra situada una carga Q1 de 3 C. En el punto (2 , 0) hay otra carga Q2 de −5 C. Calcula:


b) La energía potencial que adquiere una carga de 2 μC al situarla en el origen de coordenadas.

En una cierta región del plano existe un campo eléctrico uniforme horizontal de 15 ⋅ 10−15 N/C. ¿Qué velocidad adquiere un electrón situado inicialmente en reposo en esa región, al cabo de 3 s?

Datos: carga del electrón = 1,6 ⋅ 10−19 C; masa del electrón = 9,1 ⋅ 10−31 kg.

Dos resistencias de 4 y 6 Ωestán unidas en serie entre sí y a una asociación de 3 resistencias de 2, 3 y 4 Ωunidas en paralelo. Si la intensidad que recorre la de 2 Ωes de 0,2 A, calcula:

a) La intensidad que circula por cada resistencia.

b) El voltaje entre los extremos de cada resistencia.

Un generador suministra una corriente de 4 A a un motor de 15 V de fuerza contraelectromotriz y 1 Ωde resistencia interna. Si la resistencia exterior del circuito es de 4 Ω, calcula:

a) La tensión en bornes del generador.

b) El rendimiento del motor.

c) El calor generado por efecto Joule en la resistencia exterior en una hora.

5

4

3

2

1


PRUEBAS DE EVALUACIÓN

ELECTRICIDAD14

R3 = 2 Ω

R4 = 3 Ω

R5 = 4 Ω

R1 = 4 Ω

D

C

B

A

CBA

R2 = 6 Ω

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PRUEBA DE EVALUACIÓN 1: SOLUCIONES

a) La fuerza que produce la carga negativa A sobre la carga positiva Bsituada en el origen es atractiva, horizontal y hacia la izquierda:

F�A i� i�= −6 ⋅ 109 i� N

La fuerza que ejerce la carga positiva C sobre la carga positiva Bsituada en el origen es repulsiva, vertical y hacia abajo:

F�C (−j�) (−j�) = −2,25 ⋅ 1010 j� N


F�= F�A + F�C = −6 ⋅ 109 i�+ 2,25 ⋅ 1010 j�N

que forma un ángulo con el eje horizontal positivo:


⏐F�⏐

b) Hay que situar la cuarta carga positiva en la dirección de la fuerza resultante ya calculada, y en el tercer cuadrantepara que su fuerza repulsiva compense esta resultante.

La distancia al origen debe ser tal que el módulo de la fuerza que ejerce sobre la carga B coincida con el módulode la resultante:

⏐F�⏐ → dD = 0,57 m

Las coordenadas del punto en el que hay que situar la carga positiva D son:

(dD ⋅ cos (255° 4') , dD ⋅ sen (255° 4’)) = (−0,15 , −0,55)

a) La carga Q1 positiva, de 3 C y situada a una distancia:

en una dirección que forma un ángulo de 225° con el eje positivo horizontal,genera sobre el origen de coordenadas un campo eléctrico igual a:

E�1 = K ⋅ (sen 225° i�+ cos 225° j�) →

→ E�1 ⋅ (−0,71 i�− 0,71 j�) =

= −2,4 ⋅ 109 i�+ −2,4 ⋅ 109 j�N/C

La carga Q2 negativa genera sobre el origen de coordenadas un campoeléctrico vertical y de sentido positivo igual a:

E�2 (−i�) (−i�) = 1,125 ⋅ 1010 i�N/C


E�= E�1 + E�2 = (−2,4 ⋅ 109 i�− 2,4 ⋅ 109 j�) + 11,25 ⋅ 109 i�= 8,85 ⋅ 109 i�− 2,4 ⋅ 109 j�N/C

Que es un vector de módulo:

⏐E�⏐Y forma un ángulo α con el sentido positivo horizontal:

α =−

= −arc tg,

,

2 4

8 8515 10° '

= + ⋅ + − ⋅ = ⋅( , ) ( , ) ,8 85 10 2 4 10 9 17 109 2 9 2 9 N/C

= ⋅⋅

⋅−

9 102

92

2

N m

C

( 5) C

m2 2=

Q

d2

22

= ⋅⋅

⋅9 103

2 839

2

2

N m

C

C

m2 2,

Q

d1

12

d12 22 2 2 83= + = , m

2

= ⋅⋅

⋅ = ⋅⋅

⋅⋅

Kq q

d dD B

D2

D

NN m

C

C C2

9 92

223 3 10 9 10

4 2→ ,

= − ⋅ + − ⋅ = ⋅( ) ( , ) ,6 10 22 5 10 23 3 109 2 9 2 9 N

α =− ⋅

− ⋅=arc tg

22 5 10

6 10255 4

9

9

,° '

= ⋅ ⋅⋅

9 105 2

29

2

N m

C

C C

m

2

2 2

⋅= ⋅

⋅K

q q

dC B

C2

= ⋅ ⋅− ⋅

9 103 2

39

2

N m

C

C C

m

2

2 2

⋅ ( )= ⋅

⋅K

q q

dA B

A2

1


C

A B

F�A

F� F�C

E�1

E�2

E�

Q1 = 3 C

Q2 = −5 C


ELECTRICIDAD14833501 _ 0609-0640.qxd 5/8/08 13:00 Página 639

640 � GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �� GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

PRUEBA DE EVALUACIÓN 1: SOLUCIONES (continuación)

b) La energía potencial que adquiere una carga de 2 C situada en el origen es el producto de la carga por el potencial eléctrico en ese punto. Y el potencial eléctrico en ese punto es la suma de los potenciales creados por cada carga en el origen.

La primera carga genera un potencial en el origen igual a:

La segunda carga genera un potencial en el origen igual a:

El potencial en el origen es, por tanto:

V = V1 + V2 = 9,54 ⋅ 109 V − 2,25 ⋅ 1010 V = −1,30 ⋅ 1010 V

Y la energía potencial de la carga de 2 C es:

E = Q ⋅ V = 2 C ⋅ (−12,96 ⋅ 109 V) = −2,6 ⋅ 1010 J

Un campo eléctrico constante produce una fuerza constante sobre el electrón: F�= q ⋅ E�

Y esta fuerza constante induce una aceleración constante sobre el electrón. La segunda ley de Newton asegura que: F�= m ⋅ a�. Por tanto: q ⋅ E�= m ⋅ a�

Los módulos de los vectores que intervienen en la igualdad anterior han de ser iguales, luego:

1,6 ⋅ 10−19 C ⋅ 15 ⋅ 10−15 N/C = 9,1 ⋅ 10−31 kg ⋅ a → a = 2,64 ⋅ 10−3 m/s2

El movimiento que describe un electrón inicialmente en reposo cuando se le aplica una fuerza constante esrectilíneo uniformemente acelerado. La velocidad al cabo de 3 s es:

vF = v0 + a ⋅ t = 0 + 2,64 ⋅ 10−3 m/s2 ⋅ 3 s = 7,92 ⋅ 10−3 m/s

a) La diferencia de potencial en los extremos de la resistencia R3 = 2 Ω conocida la intensidad de corriente I3 = 0,2 A que la atraviesa se calcula mediante la ley de Ohm: VD − VC = I ⋅ R3 = 0,2 A ⋅ 2 Ω = 0,4 V.

Esta diferencia de potencial es la misma para las tres resistencias asociadas en paralelo R3 = 2 Ω, R4 = 3 Ω y R5 = 4 Ω.

b) Sin embargo, la intensidad que pasa por cada resistencia de la asociación en paralelo es diferente:

Y la intensidad que atraviesa el circuito es la suma de la que atraviesa cada rama de la asociación en paralelo:I = I3 + I4 + I5

La ley de Ohm establece que la diferencia de potencial entre las resistencias conectadas en serie es:VC − VB = I ⋅ R2 = 0,43 A ⋅ 6 Ω = 2,58 VVB − VA = I ⋅ R1 = 0,43 A ⋅ 4 Ω = 1,72 V

a) La ley de Ohm generalizada permite calcular la intensidad en un circuito con generador y motor es:

La tensión en bornes del generador es igual a su fuerza electromotriz menos la caída de tensión debida a su resistencia interna. Despejando de la ley de Ohm generalizada:

r' ⋅ I + R ⋅ I + ε' = ε − r ⋅ I = VG → VG = 1 Ω ⋅ 4 A + 4 Ω ⋅ 4 A + 15 V = 35 V

b) El rendimiento del motor se calcula dividiendo su potencia útil entre la potencia teórica, lo que equivale a dividir su fuerza contraelectromotriz entre la tensión en sus bornes:

c) El calor generado por efecto Joule en una hora es:Q = R ⋅ I2 ⋅ t = 4 Ω ⋅ 42 ⋅ A2 ⋅ 3600 s = 230 400 J

RendimientoV

VM M

=⋅⋅

= =+ ⋅

=+

ε ε εε

' ' '

' '

I

V I V r I

15

15 11 4

15

1978 95

Ω ⋅= =

A, %

Ir r R

=−

+ +ε ε'

'

5

IV V

RI

V V

R4

4

5

5

0 4

30 13

0 4

40=

−= = =

−= =D C D CV

A;V,

,,

Ω Ω,,1 A

4

3

V KQ

d2

2

2

92

109 105

22 25 10= ⋅ = ⋅

⋅⋅

−= − ⋅

N m

C

( ) C

mV

2,

V KQ

d1

1

1

92

99 103

2 839 54 10= ⋅ = ⋅

⋅⋅ = ⋅

N m

C

C

mV

2 ,,


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14. Electricidad - Departamento de Ciencias · como muchos de los manejados en el laboratorio en el que el generador es una simple pila ... durante el desarrollo de las mismas