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1.4 Forma polar y Exponencial de un número complejo. RADIANES. Forma polar de los Números Complejos. En la gráfica que está enseguida se tiene: y
La forma rectangular (binómica) de un número complejo es: , pero ( ) x ( ) Gráfica 1: Representación de la forma polar de un número complejo.
Donde ( ) es la forma polar de un número complejo. En la expresión anterior representa la longitud, la cual es siempre positiva y se conoce como módulo o valor absoluto del número complejo.
Con el teorema de Pitágoras se obtiene | | √
El ángulo se denomina amplitud o argumento, su valor se debe dar siempre en relación a las 3 de la tarde en un reloj y se debe leer en el sentido contrario de las manecillas del reloj. Para determinar el ángulo se usa en la ecuación de un ángulo denominado Para obtenerlo
| |
| | | |
el valor absoluto de sin el término , | | es el valor absoluto de . El ángulo está entre los valores de y para los cuatro cuadrantes. El ángulo inicia como ya se indicó en el eje x del lado positivo con el valor ó en radianes. La segunda ecuación establece la relación entre y . Esta ecuación depende de en que cuadrante está Veamos las gráficas de ángulos en los cuatro cuadrantes. Las puntas de flecha de los ángulos y indican el sentido de los mismos. (a) (b) (c) (d)
Gráfica 2. Muestra los ángulos y , así como la relación entre ellos en cada cuadrante. (a) Primer cuadrante, (b) segundo cuadrante, (c) tercer cuadrante, (d) cuarto cuadrante.
Para la segunda ecuación que relaciona a y se tiene la siguiente tabla.
Signo de Signo de Cuadrante ecuación ángulo
Primero ( a ) o (0 a ⁄ )
Segundo ( a ) o ( ⁄ a )
Tercero ( a ) ( ⁄ )
Cuarto ( a ) ( ⁄ )
Tabla 1. Cuadrantes del círculo. Demos ejemplos de argumentos en los diferentes cuadrantes en forma positiva y negativa, primero en grados y luego en radianes. Primero , Segundo , Tercero , Cuarto .
Encuentre el lector los ángulos anteriores en hoja cuadriculada con ayuda de un transportador de preferencia de . Los números complejos no se pueden sumar o restar en forma polar, por lo que en este caso se deben pasar de forma polar a forma binómica. Vamos a ver como pasar un número complejo de forma binómica a forma polar. Serán cuatro ejemplos, uno por cada cuadrante. Luego habrá ejemplos, que coincidan con los ejes x, o y, después veremos ejemplos de números complejos que pasan de forma polar a forma binómica. Forma binómica (rectangular) a forma polar.
NOTA: Solo se resuelve en grados y radianes el ejercicio 1.
1. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del número complejo:
Como primer paso se hace la gráfica para saber en que cuadrante
está.
( ) | |
| |
( )
| |
| |
Como está en el primer cuadrante (ver la tabla 1)
( ) | |
| |
( )
| |
| |
Observe que el valor está en radianes pero no contiene a . Para introducir a , se multiplicará y dividirá por el número , pero sólo se resolverá la división en la calculadora, por lo que el valor de que está multiplicando sólo se escribirá en el numerador.
Podemos ver que es exacto, esto es debido a que no se redondeó el valor Como está en el primer cuadrante (ver la tabla 1) .
Calculemos el módulo o valor absoluto:
√ √ √ √ √( )( ) √ √ √
Como ( ) se tiene que
√ ( ) √ (
)
√ ( ) √ (
)
2. Encontremos la forma polar en radianes del número complejo:
√
( )
| |
| √ | ( )
| |
| √ |
Observe que el valor está en radianes pero no contiene a . Para introducir a , se multiplicará y dividirá por el número , pero sólo se resolverá la división en la calculadora, por lo que el valor de que está multiplicando sólo se escribirá en el numerador.
en el tercer cuadrante (ver la tabla 1).
CONVERSIÓN DE RADIANES A GRADOS .
En el caso de que se quiera obtener en grados a partir de en radianes, se usa .
(
)(
) (
) (
) ( )
Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto:
√(
√ )
(
)
√
( )
√
√
√
( )
√
(
) (
)
3. Encontremos la forma polar en radianes del número complejo.
está en el eje x (en el número 3 de un reloj), para este caso la amplitud es:
(
) (
)
Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto:
√ √ √
Como ( ) se tiene que:
( ) ( )
4. Encontremos la forma polar en radianes del número complejo:
está en el eje x (en el número 9 de un reloj), para este caso la amplitud es:
(
) (
) ( )
Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto:
√ √( ) √
Como ( ) se tiene que:
( ) ( )
Forma polar a forma binómica (rectangular). Para escribir un número complejo en forma binómica (rectangular) a partir de la forma polar, solo es necesario calcular el coseno y el seno del argumento y multiplicarlo por el módulo . Resolver en grados y en radianes los ejercicios siguientes:
Encontremos la forma binómica del número complejo:
( )
Al calcular la calculadora debe estar en DEG (D).
( ) ( ) (√( ) )
(√
) (√
) (
√
√
) (
√
) √
Observe que no es un valor exacto, para tratar de hacerlo un valor exacto se elevó al cuadrado y sacó raíz cuadrada al número , pero solo se desarrolló el cuadrado con
la calculadora y entonces se escribió √ que es un valor exacto.
( ) √
Calculemos en radianes a partir de en grados, es con .
( ) (
) (
) ( )
(
)
( )
(
) ( ) (√( ) )
(√
) (√
) (
√
√
) (
√
)
(
) √
(
)
Encontremos la forma binómica del número complejo: (
) Al calcular la calculadora debe estar en DEG (D).
( ) ( )
( )
Los valores y no son exactos, y no es posible hacerlos exactos elevando al cuadrado o al cubo, por lo que se dejan con todas sus cifras significativas en los cálculos y solo al último se redondean a 5 cifras significativas. Calculemos en radianes a partir de en grados es con .
( ) (
) (
) ( )
(
)
(
) ( )
(
) ( )
(
)
Encontremos la forma binómica del número complejo: (
) ( ) Al calcular la calculadora debe estar en DEG (D).
( ) ( )
Al calcular cambiar la calculadora a RAD (R).
( ) ( ) Encontremos la forma binómica del número complejo:
(
) ( ) (
) ( )
Al calcular la calculadora debe estar en DEG (D).
(
) ( ) (
) ( )
Al calcular cambiar la calculadora a RAD (R).
(
) ( ) (
) ( )
Encontremos la forma binómica del número complejo:
( )
Al calcular la calculadora debe estar en DEG (D).
( ) ( ) ( √( ) )
(
√ ) (
√
) (
√
√ ) (
√
) √
Observe que no es un valor exacto, para tratar de hacerlo un valor exacto se elevó al cuadrado y sacó raíz cuadrada al número , pero solo se desarrolló el cuadrado con
la calculadora y entonces se escribió √ que es un valor exacto.
( ) √
Calculemos en radianes a partir de en grados, es con .
( ) (
) (
) ( )
( ) (
)
(
)
( )
(
) ( ) ( √( ) )
(
√ ) (
√
) (
√
√ ) (
√
) √
(
) √
Encontremos la forma binómica del número complejo:
√ ( )
Al calcular la calculadora debe estar en DEG (D).
√ ( ) √ ( )
√ ( √( ) √( ) ) √ ( √ √ )
√ ( √
√
) √ ( √
√
) √ ( √
√
)
√ ( √
√ √
√ ) √ (
√
√
)
√ √
√ √
√
√
√
√
Observe que no es un valor exacto, para tratar de hacerlo un valor exacto se elevó al cuadrado y sacó raíz cuadrada al número , pero solo se desarrolló el
cuadrado con la calculadora y entonces se escribió √ que es un valor exacto.
√ ( )
Calculemos en radianes a partir de en grados, es con .
( ) (
) (
) ( )
√ ( ) √ (
)
( )
√ (
) √ ( )
√ ( √( ) √( ) ) √ ( √ √ )
√ ( √
√
) √ ( √
√
) √ ( √
√
)
√ ( √
√ √
√ ) √ (
√
√
)
√
√
Encontremos la forma binómica del número complejo: (
) Al calcular la calculadora debe estar en DEG (D).
( ) ( ) ( √( ) )
( ) (
√ ) (
√
) (
√
√ )
(
√
) √
( ) √
Calculemos en radianes a partir de en grados, es con .
( ) (
) (
) ( )
( ) (
)
(
) ( ) ( √( ) )
(
√ ) (
√
) (
√
√ ) (
√
) √
(
) √
Encontremos la forma binómica del número complejo: (
) Al calcular la calculadora debe estar en DEG (D).
( ) ( )
( )
Calculemos en radianes a partir de en grados, es con .
( ) (
) (
) ( )
( ) (
)
(
) ( )
(
)
Ya sabemos pasar de forma binómica a forma polar y viceversa. Se mencionó que los números complejos no se pueden sumar ni restar en forma polar, en este caso se pasan de forma polar a forma binómica, se realiza la suma y se regresan a forma polar. Suma y resta de números complejos en forma polar
(
) (
)
Iniciamos pasando a forma binómica cada uno de los números complejos.
(
) ( )
( √( ) √( ) ) ( √ √ )
( √
√
) ( √
√
) ( √
√
) (
√
√ √
√ )
( √
√
) √ √
(
) ( ) ( √( ) )
( √
) ( √
) (
√
√
) (
√
) √
( √ √ ) ( √ ) ( √ √ ) ( √ )
Los números complejos estaban en forma polar, pasar el resultado a forma binómica. Al hacer la
gráfica.
( )
| |
| |
( ) Expresemos el argumento en radianes.
Como está en el tercer cuadrante (ver la tabla 1)
Calculemos el módulo o valor absoluto:
√ √( ) ( )
√ √
Como ( ) se tiene que
( )
( )
Multiplicación de números complejos en forma polar. La multiplicación de números complejos en forma polar es relativamente sencilla. Los módulos se multiplican y los argumentos se suman.
[ ( )][ ( )] [ ( ))][ ( )] Veamos algunas multiplicaciones. Se tiene que
√ ( ) √ (
)
( ) (
)
Vamos a multiplicar primero en grados y luego en radianes.
[ √ ( )][ ( )]
( √ )( )[ ( ) ( )]
√ ( ) √ ( )
[ √ (
)] [ (
)]
( √ )( ) [ (
) (
)]
Vamos a resolver paso a paso la suma de fracciones, usted resuelva con su calculadora.
(
) (
)
√ (
) √ (
)
, se tiene que
( ) ( )
( ) (
)
Vamos a resolver primero en grados y luego en radianes.
[ ( )][ ( )]
( )( )[ ( ) ( )]
( ) ( )
[ ( )] [ (
)]
( )( ) [ (
) (
)] (
)
(
) (
)
División de números complejos en forma polar. La división de números complejos en forma polar es relativamente sencilla. Los módulos se dividen y los argumentos se restan.
( )
( ) [ ( ) ( )]
Resolvamos algunas divisiones
Se tiene que
√ ( ) √ (
)
( ) (
)
Vamos a resolver primero en grados y luego en radianes.
√ ( )
( ) √
[ ( ) ( )]
√ [ ( ) ( )]
NOTA: En el caso de argumentos negativos se deben expresar en forma positiva para lo cual les
sumamos un múltiplo de hasta que se vuelva positivo ( )
√ ( )
√ ( )
√ (
)
(
)
√
[ (
) (
)]
Vamos a resolver paso a paso la resta en radianes
(
) (
)
√ [ (
) (
)]
NOTA: En el caso de argumentos negativos se deben expresar en forma positiva para lo cual les
sumamos un múltiplo de hasta que se vuelva positivo ( ) La suma paso a paso
es:
(
) (
)
√ [ (
) (
)]
√ [ (
)]
Se tiene que
( ) ( )
( ) (
)
Vamos a resolver primero en grados y luego en radianes.
( )
( )
[ ( ) ( )]
[ ( ) ( )]
NOTA: En el caso de argumentos negativos se deben expresar en forma positiva para lo cual les
sumamos un múltiplo de hasta que se vuelva positivo ( )
( )
( )
( )
(
)
[ (
) (
)]
[ (
) (
)]
NOTA: En el caso de argumentos negativos se deben expresar en forma positiva para lo cual les
sumamos un múltiplo de hasta que se vuelva positivo ( ) La suma paso a paso
es:
(
) (
)
(
)
( )
Forma Exponencial de un número complejo.
Se tiene que ¿Qué pasa
con ?
Sabemos que como conocemos el valor de , pero con tenemos el
problema de la , ya que no sabemos cuánto vale porque ( )
ó también ( ) .
La fórmula de Euler nos dice que el desarrollo de ( ), de acuerdo con esto
un número complejo se podrá escribir con la notación de Euler como
( ), donde ( )
La ecuación es la forma Exponencial de los números complejos.
Los números complejos no se pueden sumar o restar en forma Exponencial, por lo que en este
caso primero se pasan a forma Polar, luego se pasan a forma rectangular, se hace la suma o resta y
se regresa el resultado primero a forma Polar y luego a forma Exponencial.
Pasar de forma Exponencial a forma Polar es muy sencillo ya que
( )
( )
18. Determinemos a partir de la forma exponencial, la forma polar en grados y radianes de
( )
( ) (
) ( )(
)
(
)
Determinemos a partir de la forma polar, la forma exponencial en grados y radianes de
√ ( ) √
√ ( ) √ √
( ) (
) ( )(
)
√ [
] √
√
Suma y resta en forma Exponencial
Ya se mencionó que los números complejos no se pueden sumar o restar en forma
Exponencial. En este caso se pasan a forma Polar, luego a forma rectangular, se hace la operación
de suma o resta y luego se pasa el resultado a forma polar y finalmente a forma Exponencial.
Vamos a resolver una suma y una resta de números complejos en forma Exponencial.
Suma en forma Exponencial
.
(
)
(
)
Para sumar debemos pasar a forma binómica.
(
) [( ) ]
( √( )
) ( √
) [( √
)
] [(
√
√ )
]
[( √
)
] √
(
) [( ) ( ) ]
[(
) √( ) ] [(
) √ ] [(
) √
]
[(
)
√
√ ] [(
)
√
] √
( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ )
( √ ) ( √ )
NOTA IMPORTANTE: Si se pide la suma de dos números complejos y uno está en forma
binómica, entonces no es necesario cambiar el resultado.
está en el tercer cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) en radianes
| |
| | ( )
| |
| |
no se deben redondear las cifras en cálculos intermedios. Como está en el tercer cuadrante (ver la tabla 1), .
(
)
Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto:
√( ) ( ) √ √
√ √ √ √
Como ( ) se tiene que:
√ (
) √
√
Multiplicación de números complejos en forma Exponencial La multiplicación de números complejos en forma Exponencial es relativamente sencilla. Los módulos se multiplican y los argumentos se suman.
( )(
) [ ( )]
Multipliquemos
√ √
( √ ) ( √
) ( )(√ √ )
( ) √
√
√ √
( )(√ √ )
( ) √
√
División de números complejos en forma Exponencial La división de números complejos en forma Exponencial es relativamente sencilla. Los módulos se dividen y los argumentos se restan
[ ( )]
√
√
√
√
( √
√ ) [
( )]
√
√ (
)
√
√
