Pontificia Universidad Catolica de ChileFacultad de MatematicasDepartamento de MatematicasPrimer semestre de 2015

MAT1103 ? Algebra y Geometra

Gua N 2

Funciones

1. En el invierno, la compana electrica suministra la fuerza electromotriz a las residen-cias durante un mes por medio de un cargo de $906 mas $10.82 por kilowatt-hora(kwh) para los primeros 400 kwh que se gasten en el mes y $7.09 por kwh que se usansobre los 400 kwh en el mes. Encuentre:

(i) El monto que se gasta al consumir 300 kwh en un mes.

(ii) El monto que se gasta al consumir 700 kwh en un mes.

(iii) El monto C que se gasta al consumir x kwh en un mes, siendo C funcion de x.

2. Dada la funcion real:

f(x) =x2 + x 6x2 9

,

encuentre su dominio y su recorrido. Con respecto a estos, demuestre que f es biyec-cion y encuentre f1.

3. Determine las races de la funcion:

g(x) = x5 + 2x4 3x3 3x2 + 2x+ 1.

4. Si f y g son funciones reales, con dominio R, y ademas f es creciente y x R setiene f(x) g(x), entonces x R se tiene f(f(x)) g(g(x)).

5. Sea f una funcion real (estrictamente) creciente en su dominio. Demuestre que f1

es (estrictamente) creciente.

6. Una motonave, cuya capacidad es de 150 pasajeros, se desea arrendar para una ex-cursion. El precio de un pasaje es de US$ 3000 si van 100 pasajeros, pero la companareduce el precio de cada pasaje en US$ 18 por cada pasaje vendido sobre 100. Cuales el numero de pasajeros que optimiza los ingresos de la compana?

7. Dado un trazo de longitud ` se pide dividirlo en dos partes de modo que la suma delas areas de los cuadrados, que tienen a esos pedazos como respectivos permetros,sea mnima.

8. En un solido formado al unir por sus bases a dos conos rectos congruentes de radiobasal r y altura 2r se pide inscribir un cilindro de area total maxima.

1

9. Determine los coeficientes del trinomio f(x) = ax2 + bx+ c, sabiendo que se anula en

x = 7 y que tiene el valor maximo121

3en x =

10

3.

10. Determine los coeficientes del trinomio f(x) = ax2 + bx+ c sabiendo que se anula en

x = 1 y que tiene el valor mnimo 4920

cuando x = 1, 7.

11. Trace un grafico aproximado de la funcion real definida por

f(x) =24x

9 + x2.

12. Trace un grafico aproximado de la funcion real definida por:

f(x) =x2

x2 9.

13. Trace un grafico aproximado de las funciones reales f(x) = 2x3, f1(x) = 2x3,f2(x) = 2(x 2)3, f3(x) = 2(x+ 2)3, f4(x) = 2x3 + 1, f5(x) = 2x3 1.

14. Demuestre que la funcion real definida por:

f(x) = |x 2z|; z Z(x

[2z 1, 2z + 1

]),

es periodica con perodo 2.

15. Dada la funcion real:

f(x) =

{x si 0 x 1

0.5(x 3) si 1 x 3,

se pide construir su grafico y con ella el grafico de una funcion real f1, con dominio Rsabiendo que para todo x tal que 0 x 3 se tiene f1(x) = f(x) y que f1 es impary periodica con perodo 6.

16. Encontrar el perodo de la funcion f(x) = sen(cos x).

17. ? Sabiendo que la funcion f(x) = senx+ cosx es periodica, demuestre que es unnumero racional.

18. Determinar cuales de las siguientes funciones reales son pares, cuales son impares ycuales no se pueden clasificar en ninguna de estas categoras:

2

(1) f1(x) = x3 x

(2) f2(x) = x2 + 4

(3) f3(x) = x3 x 1

(4) f4(x) =3

(1 x)2 + 3

(1 + x)2

(5) f5(x) = sen2 2x

(6) f6(x) = | x |

(7) f7(x) = 3

cosx

(8) f8(x) = x cosx

(9) f9(x) =2x + 2x

2

(10) f10(x) =2x 2x

2

(11) f11(x) =2x 2x

2x + 2x

(12) f12(x) = 5

secx

19. Hacer ver que la funcion real definida por:

f(x) =

2 si x < 12x3 si 1 x 12 si 1 < x

es monotona no-decreciente.

20. Demuestre que la funcion real definida por

g(x) =

1 si x < 1x si 1 x 11 si x > 1

es monotona no-creciente.

21. Demuestre que la funcion f(x) =x

1 + | x |es (estrictamente) creciente en todo R.

22. Demuestre que la funcion real f(x) =x

1 + x2, es (estrictamente) decreciente en (1,).

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