15 Esta Di Sticas

15. Estadsticas Cunticas

229

15. LAS ESTADSTICAS CUNTICAS

El lmite clsicoHemos visto en el Captulo 13 que cuando las funciones de onda de dos partculas idnticas nose solapan, stas se comportan como partculas clsicas, esto es distinguibles. Esto ocurre porquelos efectos cunticos de la indistinguibilidad se ponen de manifiesto solamente cuando hay sola-pamiento entre las funciones de onda. Consideremos entonces un sistema de n partculas que nointeractan entre s y que ocupan un volumen V, y supongamos que estn en equilibrio trmico auna temperatura T. De acuerdo con el Teorema de Equiparticin de la Mecnica Estadstica cl-sica1, la energa cintica media de traslacin de cada partcula de masa m es entonces

= 32 kT (15.1)

donde k es la constante de Boltzmann, y el valor medio del impulso de una partcula es

p m mkT= =2 3 (15.2)

Luego su longitud de onda de Broglie, que da la medida de la extensin espacial del paquete deondas que la describe, vale

B = =h

p

h

mkT3(15.3)

Por otra parte, la distancia media l entre las partculas est dada por

l = ( / ) /V n 1 3 (15.4)

Por lo tanto, las partculas se podrn considerar distinguibles si se cumple que

B


230

pZ

eikTi=

1tr

/ (15.7)

donde Ztr es la funcin de particin traslacional

Z e i kT

itr =

/ (15.8)

que para una partcula clsica2 est dada por

ZV

hmkTtr = 3

3 22( ) / (15.9)

Si nuestro sistema consta de n partculas el nmero de ocupacin medio ni de cada estado i es

n npnh

V mkTei i

kTi= = 3

3 22( ) //

(15.10)

Por lo tanto, la condicin (15.6) implica que

ni


231

fluctan, pero en general dichas fluctuaciones son despreciables para un sistema macroscpico.El sistema se describe entonces en trminos de T, V y del potencial qumico .Usando la notacin = 1/ kT , la distribucin de probabilidad correctamente normalizada de en-contrar el sistema en un estado con n partculas cuya energa es En r, est dada por

pe

n r

n En r

,

( ),=

Z(15.12)

donde Z es la gran funcin de particin del sistema, dada por

Z Z ( , , ) ( ),

,T V e n E

n r

n r (15.13)

A partir de Z se pueden obtener todas las propiedades termodinmicas del sistema. Considera-remos solamente un gas perfecto cuntico, es decir un sistema de partculas sin interacciones.En este caso el estado del sistema est especificado por los nmeros de ocupacin

n n1 2, , (15.14)

de los estados de partcula individual 1 2( ), ( ),. Los ni son enteros no negativos tales que

n nii = (15.15)

Vamos a suponer que los estados i estn ordenados por energa creciente4, esto es

1 2 i (15.16)

Por lo tanto

Z Z= =+ + + +

e n n n nn n

ii

[ ( ) ( )]

, ,

1 2 1 1 2 2

1 2

(15.17)

donde hemos escrito

Zin

n

e i i

i

= ( ) (15.18)

y la sumatoria en Zi se extiende a todos los valores posibles de ni . Aqu vemos la ventaja departir de la distribucin de Gibbs, pues en el ensemble gran cannico los ni no estn restringidospor la condicin (15.15), y eso permite factorizar Z, porque la distribucin estadstica para cadaestado de una partcula, dada por la (15.18), no depende de lo que ocurre con los dems estados5.Esta simplificacin tiene su precio, sin embargo: tuvimos que introducir el potencial qumico,que no conocemos de antemano y que hay que determinar a posteriori imponiendo la condicin

4 En general debido a la degeneracin de los niveles de energa hay muchos trminos iguales en la sucesin (15.15).5 Este problema no existe en la estadstica de Maxwell-Boltzmann pues al no considerar las correlaciones entre las

partculas, la funcin de particin del ensemble cannico se factoriza sin dificultad.


232

n nii = (15.19)

es decir, la condicin (15.15), pero restringida a los valores medios.

Las distribuciones de Bose-Einstein y de Fermi-DiracLas frmulas anteriores valen tanto para sistemas de Bosones como de Fermiones. En lo que si-gue vamos a indicar con B las frmulas que valen para los Bosones y con F las que correspon-den a Fermiones. En un sistema de Bosones ni puede tomar cualquier valor entero positivo apartir de 0. Por lo tanto, sumando la serie geomtrica que resulta de (15.18) obtenemos

Zi ien

i=

=

1

10 1 2 ( ) ( , , , ) B (15.20)

En un sistema de Fermiones ni toma solamente los valores 0 y 1 y la (15.18) se reduce a

Zi ie ni= + =1 0 1 ( ) ( , ) F (15.21)

La probabilidad que el nmero de ocupacin del estado i tenga el valor ni est dada por

p ne

i i

ni i( )

( )=

Zi(15.22)

y entonces el nmero de ocupacin medio del estado i est dado por

n n p n kTi i i in

i

T Vi

= =

( )

ln

,todo

Z (15.23)

Usando la (15.20) y la (15.23) se obtiene la distribucin de Bose-Einstein para los Bosones:

nei i

=

11 ( )

B (15.24)

donde el potencial qumico se determina pidiendo que

n neii i i

= =

1

1 ( )B (15.25)

En la (15.25) pusimos n n= dado que las fluctuaciones se pueden suponer despreciables.Del mismo modo usando la (15.21) y la (15.23) se obtiene para Fermiones la distribucin deFermi-Dirac:

nei i

=+

1

1 ( )F (15.26)

y el potencial qumico se encuentra a partir de la condicin


233

ne ii

=+

1 1 ( ) F (15.27)

A continuacin vamos a estudiar el significado de estos resultados.

El gas perfecto de BosonesDe acuerdo con los resultados anteriores tenemos que para un gas de Bosones

ne

nei ii i

=

=

1

1

1

1 ( ) ( ), (15.28)

Puesto que ni 0 siempre, se debe cumplir que i > para todo i. Por otra parte, el estado dems baja energa de una partcula libre tiene 1 0= . Por lo tanto el potencial qumico de un gasde Bosones es siempre negativo.

La temperatura de degeneracinIntroduciendo la densidad de estados por unidad de intervalo de energa f ( ) , la sumatoria de lasegunda de las (15.28) se puede escribir como una integral

1

1 12

21

0

2

3 2 1 2

0e

f d

eV

m

h

d

eii

( ) ( )/ /

( )( )

=

=

(15.29)

donde usamos la expresin (9.19) de f ( ) , que se dedujo contando los estados estacionarios deuna partcula libre de masa m que se mueve en una caja de volumen V, y hemos supuestoBosones de spin nulo (si s 0 hay que multiplicar (15.29) por 2 1s + ). Tenemos por lo tanto

n

V

m

h

d

e=

22

12

3 2 1 2

0

/ /

( ) (15.30)

Como el miembro izquierdo de la (15.30) no depende de T, ( , )n T debe ser tal que la integralen (15.30) sea independiente de T. Supongamos variar la temperatura del gas, con n V/ cons-tante. Es evidente que a medida que T disminuye, | | debe disminuir, hasta llegar a = 0 parauna temperatura mnima Tc determinada por la condicin

n

V

m

h

d

e kTc=

22

12

3 2 1 2

0

/ /

/ (15.31)

Tc se denomina temperatura de degeneracin, o de condensacin, por motivos que veremos enbreve. Para evaluar la integral hacemos el cambio de variable = kT zc y queda

n

V

mkT

h

z dz

ec

z=

2 2

12

3 2 1 2

0

/ /(15.32)

De tablas se encuentra que


234

21

3 2 2 612391 2

0

z dzez

/( / ) .

=

(15.33)

donde con ( )q indicamos la funcin Zeta de Riemann, definida por

( ) , Re( )qk

qq

k

= >=

1 1

1

(15.34)

Resulta entonces que

Tmk

nh

Vc=

12 3 2

3 2 3

( / )

/

(15.35)

De la (15.35) obtenemos que

nh

V mkTc

3

3 2

3 2

33 2

23

7 92( )

( / ) ./

/

=

(15.36)

Comparando (15.36) con la condicin de validez (15.6) de la estadstica clsica vemos que laanulacin de del gas de Bosones a la temperatura Tc es un fenmeno netamente cuntico.

La condensacin de Bose-EinsteinPuesto que < 0 siempre, parecera que no se puede enfriar a densidad constante un gas de Bo-sones hasta T Tc , lo que no es cierto pues la ec. (15.29) se cumple para T Tc> pero no paraT Tc . El origen del problema es que en la (15.29) reemplazamos la suma discreta sobre los es-tados de una sola partcula por una integral. A medida que la temperatura del gas disminuye y seacerca a Tc el nmero de ocupacin del estado 1, cuya energa es nula, comienza a aumentarrpidamente. Pero precisamente este estado no est tomado en cuenta en la (15.29) porque al re-emplazar la suma por una integral, el factor 1 2/ del integrando hace que se le asigne un pesonulo. Para temperaturas ms altas, eso no trae aparejado un error significativo. Pero cuando latemperatura es muy baja no se puede omitir 1: lo correcto es conservar explcitamente su con-tribucin, y reemplazar los dems trminos por la integral6. En lugar de (15.30) escribiremos

ne

Vm

h

d

e=

+

1

12

212

3 2 1 2

0

/ /( ) (15.37)

En esta ecuacin

ne1

11

=

(15.38)

es el nmero de partculas en el estado 1, con energa nula y cantidad de movimiento nulo, y

6 Se puede mostrar que siempre que n sea muy grande es suficiente tratar de manera especial solamente el primer

trmino de la suma, y reemplazar todos los dems por la integral.


235

n Vm

h

d

e >

=

0 2

3 2 1 2

0

2 21

/ /

( ) (15.39)

es el nmero de partculas cuya energa y cantidad de movimiento no son nulos. Para T Tc> ,tendremos que n n1 0 con buena aproximacin y se obtiene

n Vm

h

d

eV

mkT

h

z dz

ez

>

=

0 2

3 2 1 2

0

2

3 2 1 2

0

22

12 2

1

/ / / /(15.40)

Dividiendo la (15.40) por la (15.32) obtenemos entonces una sencilla frmula que nos da la frac-cin de partculas cuya energa y cantidad de movimiento no son nulos:

n

n

T

TT T

cc

> =

la fraccin de partculas en el estado fun-damental 1 es despreciable. Cuando T Tc< , n n1 / crece rpidamente al disminuir T y tiende a1 para T 0 . Estas partculas tienen energa nula y cantidad de movimiento nulo. Luego nocontribuyen a la presin7, y tampoco a la viscosidad del gas. El fenmeno de concentracin delas partculas en el estado fundamental se llama condensacin de Bose-Einstein. Un gas deBosones se dice degenerado8 cuando presenta condensacin de Bose-Einstein.Un gas de Bosones degenerado tiene cierta analoga con un vapor clsico en equilibrio con sulquido (de all el trmino condensacin). Por ejemplo, se puede ver que cuando T Tc< la pre-sin de un gas de Bosones depende solamente de T y es independiente del volumen, de manerasemejante a lo que ocurre en el equilibrio lquido-vapor. Se debe notar, sin embargo, que en lacondensacin de Bose-Einstein no hay una separacin de fases en el espacio. Pero se puede in-terpretar que hay una separacin de fases en el espacio de los impulsos, pues las partculas conenerga y cantidad de movimiento nulas (la fase condensada) y las partculas con energa ycantidad de movimiento no nulas (la fase vapor) tienen propiedades muy diferentes.

7 En el cero absoluto la presin del gas de Bosones es nula. Tambin es nula le entropa, de acuerdo con la Tercera

Ley de la Termodinmica.8 El trmino degenerado se usa aqu en un sentido diferente del que tiene cuando se habla de la degeneracin de

un nivel.


236

1TsTc

1

n1 sn

Fig. 15.1. Condensacin de Bose-Einstein: cuando T Tc< la fraccin de partculas en elestado fundamental crece rpidamente al disminuir T, y tiende a 1 para T 0 .

Potencial qumico de un gas de BosonesPara calcular las propiedades del gas de Bosones es preciso conocer el potencial qumico. Paraello hay que resolver para ( , )n T la ec. (15.37), que con el cambio z = se escribe como

ne

VmkT

h

z dz

ez=

+

1

12

212

3 2 1 2

0

/ /

(15.43)

La integral en (15.43) es un caso particular de las integrales de la forma general

z dz

t eq t q

q

z q

= >1

1

01

0m m ( )Li ( ) , Re( ) (15.44)

Aqu Li ( )q t es la funcin polilogartmica, definida por la serie

Li ( )qk

qk

tt

k=

=

1

(15.45)

Algunas propiedades tiles de Li ( )q t son:

Li ( ) ( ) ( ) , Li ( ) O( ) , Li ( )Li ( )

q q qqq q t t t

d

dtt

t

t1 1 2 1= > = + = (15.46)

Notar que Li ( )q t diverge en t = 1 para q 1.Volviendo al clculo de , vemos que la (15.43) se convierte en


237

ne

VmkT

he=

+

11

22

3 2

3 2

/

/Li ( ) (15.47)

la cual, recordando que

23 22

3 2

mkT

h

n

Vc

=

/

( / )(15.48)

se escribe finalmente como

13 2

11

13 2

3 21= +

=

n

n

T

T

en

ec

//Li ( )

( / ),

(15.49)

Para un sistema macroscpico n es un nmero enormemente grande (del orden del nmero deAvogadro), de modo que n n1 / es despreciable frente a la unidad, para todo T Tc ; por lo tanto,tenemos que, con buena aproximacin

13 2

3 23 2=

>T

T

eT T

cc

//Li ( )

( / )( )

(15.50)

Invirtiendo esta relacin obtenemos finalmente el potencial qumico (Fig. 15.2). Se puede ver(no damos aqu los detalles) que en el intervalo 0 < T Tc, es negativo y no se anula nunca(salvo para T = 0); su valor absoluto es muy pequeo, siendo del orden de kT n/ .

1 2 3 4TsTc

0

1

2

3

4

PskTc

Fig. 15.2. Potencial qumico de un gas de Bosones no interactuantes. Con la lnea de trazosse muestra el valor clsico de , dado por la ec. (15.51).


238

El lmite e


239

Por lo tanto para determinar cV tenemos que calcular primero la energa interna del gas, dadapor

E ne

f d

eV

m

h

d

ei ii

i

ii

= =

=

( ) ( )/ /

( )( )

1 12

21

0

2

3 2 3 2

0

(15.53)

Haciendo el cambio de variable = z y usando la (15.35) y la (15.44) resulta

EnkT T

Te

c=

32 3 2

3 2

5 2

( / )Li ( )

/

/ (15.54)

Aqu conviene considerar por separado los casos T Tc< y T Tc .Cuando T Tc< , podemos suponer que 0 y por lo tanto Li ( ) Li ( ) ( / )/ /5 2 5 2 1 5 2e = . Re-sulta entonces que

E nkT

TT T

cc= el calor especfico del gas de Bosones esmayor que el valor clsico, y aumenta al disminuir T hasta alcanzar en Tc el mximo dadopor la ec. (15.60). Al disminuir la temperatura por debajo de Tc , el calor especfico del gasdegenerado disminuye rpidamente con T. En T Tc= la derivada /c TV es discontinua.

Es interesante comparar las propiedades que acabamos de estudiar con el comportamiento del4He lquido a bajas temperaturas. Como el 4He tiene spin cero cumple la estadstica de Bose-Einstein y por ser un gas inerte, las fuerzas interatmicas son las de van der Waals, que son muydbiles. Por ese motivo el helio se lica a una temperatura muy baja (el punto normal de ebulli-cin del 4He es de 4.2 K), y slo se solidifica bajo presiones muy grandes. Al enfriar el 4He l-quido en contacto con su vapor, sus propiedades cambian bruscamente a T = 2 17. K. ParaT > 2 17. K se comporta como un lquido normal, llamado helio I. Para T < 2 17. K presentapropiedades muy llamativas, por ejemplo fluye por capilares muy finos como si no tuviese vis-cosidad. Esta forma se llama helio II, y sus caractersticas se describen por medio del modelo dedos fluidos, que trata el helio II como una mezcla de un fluido normal y otro superfluido, sin in-teraccin viscosa entre s. El fluido normal tiene todas las propiedades familiares de los fluidos.El superfluido, en cambio, tiene caractersticas muy curiosas: su entropa es nula, y no tiene vis-cosidad. El hecho que en un gas de Bosones degenerado hay dos clases de partculas cuyo com-portamiento es muy diferente sugiere que las propiedades del helio II se relacionan con el fe-nmeno de la degeneracin. Hay muchas analogas entre el helio II y el gas de Bosones degene-rado, adems de las que vamos a comentar. En la transicin helio I-helio II se observa un com-portamiento anormal del calor especfico (Fig. 15.5). Como la curva experimental recuerda laletra griega (lambda), el paso de helio I a helio II se denomina transicin , y la temperaturade transicin se llama punto . La semejanza entre las Fig. 15.4 y 15.5 llev a London9 a inter-

9 Fritz Wolfgang London y Walter Heitler desarrollaron en 1927 el primer tratamiento cuntico de la molcula de

hidrgeno. F. London y su hermano Heinz formularon en 1935 le teora fenomenolgica de la superconductividad,

un fenmeno estrechamente relacionado con la superfluidez.


241

pretar que la transicin del 4He es una manifestacin de la condensacin de Bose-Einstein.Usando la ec. (15.35) calcul la temperatura de condensacin de un gas perfecto de tomos dehelio, para una densidad igual a la del helio I en el punto experimental. Con V n/ .= 27 6cm3/mol obtuvo Tc = 3 13. K, lo cual no est demasiado lejos del valor medido T = 2 17. K.

1.6 2.0 2.4 2.8T (K)

0.0

1.0

2.0

3.0

c (cal/g K)

Fig. 15.5. Comportamiento del calor especfico del 4He, tal como resulta de las medicio-nes. Se puede apreciar la transicin a T = 2 17. K.

Hay diferencias importantes entre el comportamiento del helio II y el gas de Bosones. Entre ellasse cuenta que la dependencia en la presin de la temperatura de transicin es distinta. Adems,las mediciones ms precisas muestran que en el punto , cV no se mantiene acotado como ocu-rre para el gas de Bosones, sino que tiene un infinito logartmico. Si embargo estas diferenciasno deben sorprender, pues la teora que hemos desarrollado corresponde a un gas perfecto, y nose puede aplicar tal cual al helio lquido, en el cual hay interacciones interatmicas, que (evi-dentemente) no se pueden ignorar. Por consiguiente es razonable concluir que la transicin del4He es lo anlogo para un lquido de la condensacin de Bose-Einstein de un gas perfecto. Estaconclusin se refuerza si se tiene en cuenta que el 3He, cuyos tomos tienen spin 1/2 y por lotanto son Fermiones, no presenta transicin10 en el punto del 4He.La superconductividad (que no tratamos por razones de espacio) es un fenmeno anlogo a lasuperfluidez. Segn la teora BCS (formulada en 1957 por John Bardeen, Leon N. Cooper yJohn R. Schrieffer), a temperaturas muy bajas los electrones de conduccin se agrupan de a pa-res (pares de Cooper) formando una suerte de cuasimolcula. Como los pares se comportancomo Bosones, se pueden condensar y esto explica las propiedades de los superconductores.

10 Para el 3He, la superfluidez se observa a temperaturas inferiores a 3103 K. Esto se debe a que a esas

temperaturas tan bajas los tomos del 3He se unen formando pares, de igual modo que los electrones en un

superconductor. Los pares tienen spin entero y por lo tanto obedecen a la estadstica de Bose-Einstein. Tan pronto

se forman los pares, stos sufren una condensacin, y por lo tanto todo lo dicho para el 4He se aplica tambin al 3He

cuando ste se encuentra a temperaturas para las cuales se han formado los pares.


242

Durante muchos aos se careci de evidencia directa de la existencia de la condensacin deBose-Einstein, aunque se crea que ocurra en el helio lquido. La situacin cambi en 1995cuando Michael H. Anderson, Jason Enscher, Michael Matthews, Carl Wieman y Eric Cornell,observaron la condensacin de Bose-Einstein en un gas de 87Rb con una densidad de 2.51018

tomos/m3, enfriado por debajo de 0.17106 K. El gas estaba confinado por un campo magn-tico, y para detectar la condensacin se desconectaba dicho campo y poco despus se registrabala densidad espacial de las partculas. Aquellas cuya velocidad es apreciable se alejan rpida-mente de la regin de confinamiento, pero los tomos del condensado, cuya cantidad de movi-miento es nula, permanecen en dicha regin. Si hay muchas partculas en ese estado, se esperabaver un pico de la densidad en la regin donde el gas haba estado confinado. Esto fue efectiva-mente observado, pero slo si la temperatura est por debajo de Tc . Al enfriar el gas por debajode Tc se encuentra que el pico se refuerza, tal como est previsto por la teora. Ese mismo ao,en forma independiente, Wolfgang Ketterle y sus colaboradores realizaron experimentos simila-res pero algo ms sofisticados con tomos de sodio y de litio, y tambin observaron la condensa-cin de Bose-Einstein. Por estos trabajos Cornell, Ketterle y Wieman fueron galardonados con elPremio Nobel para la Fsica en 2001.

El gas de fotones y la radiacin de cuerpo negroVamos a estudiar ahora la radiacin de cuerpo negro, considerndola como un gas perfecto defotones en equilibrio trmico. De acuerdo con la hiptesis de Einstein (ver el Captulo 4) vamosa suponer que los fotones son partculas de masa nula y energa dada por la ec. (4.16), esto es

i ih= (15.61)

Como los fotones tienen spin 1, son Bosones y corresponde aplicar la estadstica de Bose-Einstein. Al usar la distribucin (15.24) hay que tener en cuenta que los fotones pueden ser emi-tidos y absorbidos por las paredes de la cavidad (este es el mecanismo que garantiza el equilibriode la radiacin de cuerpo negro a T y V fijos), y entonces n no est determinado a priori, a dife-rencia del gas de Bosones que tratamos antes. En este caso n est determinado por la condicinde equilibrio a T y V fijos11. Esto implica que el potencial qumico del gas de fotones es idnti-camente nulo. En efecto, para todo cambio espontneo T y V fijos se cumple

F 0 (15.62)

donde F es la funcin de Helmholtz. Luego en el equilibrio F es mnimo, lo que lleva a la condi-cin necesaria ( / ) , F n T V = 0 . De aqu se obtiene entonces

= =

F

n T V,0 (15.63)

Teniendo en cuenta este hecho la distribucin (15.24) queda de la forma

nei i

=

1

1fotones (15.64)

11 ver el Captulo 8 de Termodinmica e Introduccin a la Mecnica Estadstica.


243

A partir de la (15.64) es muy sencillo deducir la distribucin espectral de Planck. En efecto, re-cordemos que la densidad de estados por unidad de intervalo de frecuencia es (ec. (4.1)):

NV

c( ) = 8 3

2 (15.65)

Por lo tanto la densidad de energa u T( , ) (energa por unidad de volumen en el intervalo defrecuencia entre y + d ) est dada por

u T V N n( , ) ( ) ( ) = 1 (15.66)

Sustituyendo (15.63) y (15.64) en (15.66) se obtiene la distribucin espectral de Planck (ec.(4.12)).

u Tc

h

eh kT( , ) /

=

81

2

3 (15.66)

Es fcil verificar que el mximo de u T( , ) ocurre para

= =mkT

h2 82144. (15.67)

La (15.67) expresa la Ley de desplazamiento de Wien, que fue obtenida originalmente en laforma m T~ en base a un argumento puramente termodinmico.Integrando la (15.66) sobre todas las frecuencias obtenemos la densidad de energa radiante

E

Vu T d

h

c ed

k

c hT

h kT= =

=

( , ) /

03

3

0

5 4

3 348

1815

(15.68)

La (15.68) es la Ley de Stefan-Boltzmann12 E V c T/ ( / )= 4 4 , y podemos entonces expresar laconstante de Stefan-Boltzmann como

= 215

5 4

2 3k

c h(15.69)

Es oportuno comentar brevemente el significado fsico de la distribucin (15.64) para aclararalgunos aspectos de la radiacin mencionados en captulos anteriores. La Fig. 15.6 muestra ladistribucin de Planck (15.66) y la Fig. 15.7 los nmeros de ocupacin medios (ec. (15.64)) pormedio de curvas universales, obtenidas adimensionalizado le energa de los fotones con el factorkT y u T( , ) con el factor T3 , donde = 60 4h k c/ . Para comparar, mostramos tambin enesas figuras la posicin de m , y los resultados de la teora clsica de Rayleigh-Jeans (lneas detrazos) y de la frmula emprica de Wien mencionada en el Captulo 4 (lneas de puntos).Por de pronto, comparando las Figs. 15.3 y 15.7 vemos que el comportamiento de n es anlogoal de un gas de Bosones a T Tc= (pues en ambos casos = 0). Por lo tanto, cualquiera sea sutemperatura, el gas de fotones se comporta de manera semejante a un gas de Bosones a T Tc= .

12 Ver el Captulo 15 de Termodinmica e Introduccin a la Mecnica Estadstica.


244

1 2 3 4 5 6hQ skT

1

2

usDT 3

Fig. 15.6. La distribucin de Planck. Representamos tambin la distribucin de Rayleigh-Jeans (lnea de trazos), que reproduce para bajas frecuencias el resultado de Planck, y ladistribucin de Wien (lnea de puntos), que tiene el comportamiento correcto para frecuen-cias altas.

1 2 3 4 5 6hQ skT

0.001

0.01

0.1

1

10

100

n

Fig. 15.7. Nmero medio de ocupacin de los estados de fotones para la radiacin decuerpo negro. Las lneas de trazos y puntos corresponden a las frmulas de Rayleigh-Jeansy de Wien, respectivamente.

Comparando las Figs. 15.6 y 15.7 notamos que el mbito de validez de la frmula de Wien co-rresponde al rango de frecuencias para el cual n


245

cumplen la condicin (15.11) y entonces se comportan como partculas clsicas (esto es, distin-guibles). En efecto, la frmula de Wien no es otra cosa que la distribucin clsica para un sis-tema de partculas de masa nula y energa = h . Este rango, que podramos llamar entoncesde partcula clsica, abarca las frecuencias mayores que 2kT h/ y comprende un 80% de laenerga radiante total. Para comprender lo que esto implica daremos algunos valores. La radia-cin electromagntica que proviene de casi todas las fuentes naturales es de origen trmico13 ysu distribucin espectral es, grosso modo, del mismo tipo que la del cuerpo negro. La luz solarcorresponde a 5700 K, y todos los fotones de longitud de onda ms corta que la del cercano in-frarrojo estn en el rango > 2kT h/ ; para una temperatura de 300K, lo estn todos los fotonesde longitud de onda menor que unos 25 m. Por lo tanto, del infrarrojo en adelante, los fotonesprovenientes de fuentes naturales se comportan como partculas clsicas, y se describen me-diante paquetes o trenes de ondas que no se solapan; se trata entonces de radiacin incohe-rente14. En estas condiciones los fenmenos de interferencia y difraccin a que dan lugar se de-ben al comportamiento de cada fotn individual (cuyo paquete de ondas, por ejemplo, al pasarpor las rendijas del experimento de Young interfiere consigo mismo). Asimismo, estos fotonesinteractan con la materia de a uno por vez, como vimos en el Captulo 4 al tratar el efecto fo-toelctrico, el efecto Compton y otros fenmenos.En cambio la Ley de Rayleigh-Jeans vale para frecuencias bajas, para las cuales n >> 1. En esterango el conjunto de los fotones que ocupan cada estado de energa i ih= est descripto porun paquete de ondas que es una superposicin coherente de los paquetes de onda individuales.Por este motivo, cuando n es muy grande los campos elctricos y magnticos del conjunto tie-nen las propiedades de una onda clsica, caracterizada por la fase, adems de la frecuencia y laamplitud. Puesto que en este dominio los cuantos interactan con la materia en conjuntos cohe-rentes, es decir colectivamente y no individualmente, la nocin misma de fotn pierde significa-cin. De hecho, en este rgimen los fotones son inobservables. El rango de onda clsica15 abarcalas frecuencias por debajo de 0 01. /kT h y comprende menos del 3% de la energa radiante to-tal. Para 5700 K corresponde a >0.025 cm y para 300K, >0.5 cm.Los dos comportamientos que se acaban de comentar representan los casos extremos de altas ybajas frecuencias. La radiacin trmica de frecuencias intermedias ( 0 01 2. / /kT h kT h<


246

que cada modo normal del campo de radiacin est cuantificado, de modo que su energa tomasolamente los valores discretos 0 2, , ,h h , ahora estamos considerando la radiacin como unsistema de partculas idnticas (los cuantos del campo, es decir los fotones), cada una de lascuales tiene una energa h .

La emisin y absorcin de fotonesLa naturaleza Bosnica de los fotones tiene importantes consecuencias sobre los fenmenos deinteraccin entre la radiacin y la materia. Si bien para el estudio detallado de estos procesoshace falta la Electrodinmica Cuntica (EDC), que no vamos a tratar en estas notas, es posiblededucir algunos aspectos fundamentales de la interaccin radiacin-materia en base a argumen-tos sencillos, sin necesidad de invocar la EDC. Eso es lo que vamos a hacer aqu.

Emisin y absorcin de fotones y la distribucin de PlanckNuestra deduccin de la estadstica (15.64) del gas de fotones se bas en la distribucin de Bose-Einstein, que se obtiene de la Mecnica Estadstica considerando la distribucin gran cannicade un sistema de Bosones en equilibrio a temperatura y volumen fijos, con el requerimiento adi-cional que el potencial qumico del gas de fotones es nulo (porque la emisin y absorcin de fo-tones por la materia determina el nmero total de fotones de la cavidad, de modo que ste noest determinado a priori). Vamos a mostrar ahora que se puede llegar a la (15.64) directamente,considerando explcitamente los procesos de emisin y absorcin.

ea

eb eb

ea

hi = eb ea hi = eb ea

absorcin emisin

Fig. 15.8. Dos estados estacionarios particulares a y b de un tomo. En la transicina b el tomo absorbe un fotn de energa = = h e eb a . Viceversa, en la transicinb a el tomo emite un fotn de la misma energa.

Sean dos estados estacionarios particulares a y b de un tomo de las paredes de la cavidad,de energas16 ea y eb , con e ea b< (Fig. 15.8). Entonces, en la transicin a b el tomo ab-sorbe un fotn de energa

= = h e eb a (15.70) 16 Aqu a y b indican el conjunto de los nmeros cunticos que identifican el estado. Para cada nivel de energa hay,

en general, varios estados degenerados, pero nosotros estamos considerando ahora uno entre ellos en particular.


247

viceversa, en la transicin b a el tomo emite un fotn de la misma energa. Ahora bien, haymuchos estados fotnicos i con energa (su nmero est dado por la (15.65)), que describenlas diferentes direcciones de propagacin y polarizacin del mismo. Nosotros estamos interesa-dos ahora en uno slo de ellos, correspondiente a una particular direccin de propagacin y unapolarizacin determinada, que designaremos con k . Consideremos entonces una transicina b en la cual el tomo que inicialmente est en el estado a absorbe un fotn en el estadok . La probabilidad Pa b que en la unidad de tiempo ocurra esta transicin est dada por

P p Ta b a a n b nk k = , , 1 (15.71)

Aqu p e Zaea= / es la probabilidad que el tomo est en el estado a , y

Ta n b n b n k a nk k k k, , int,| ( , ) | =1 12 h (15.72)

es la probabilidad de transicin por unidad de tiempo desde el estado inicial a nk al estadofinal b nk 1 del sistema (tomo + radiacin

17) y hint,k es el trmino del Hamiltoniano que des-cribe la interaccin del tomo con el fotn k . Del mismo modo, la probabilidad Pb a que en launidad de tiempo el tomo que se encuentra en el estado b emita un fotn en el estado k es

P p Tb a b b n a nk k += , , 1 (15.73)

donde p e Zbeb= / es la probabilidad que el tomo est en el estado b , y

Tb n a n a n k b nk k k k, , int,| ( , ) | + +=1 12 h (15.74)

es la probabilidad de transicin del estado inicial b nk al estado final a nk +1.No conocemos hint,k , pero claramente, es razonable suponer que debe ser de la forma

hint, int, int, k k k k kh a h a= + (15.75)

donde ak y ak son los operadores de creacin y de aniquilacin de un fotn en el estado k , cu-

yos elementos de matriz (ecs. (14.32) y (14.35)) son, respectivamente

( , ) ( , ) ,a a n a a nknn

n k n k knn

n k n kkk

k k k

k

k k

+= = = = +1 1

11 y (15.76)

y h kint, y su conjugado Hermitiano h kint, son operadores18 que actan sobre las funciones de

onda del tomo. La forma exacta de h kint, y h kint, depende de las variables dinmicas que des-

criben las cargas y corrientes elctricas atmicas y de la funcin de onda k del fotn que des-cribe los campos electromagnticos asociados con el mismo; veremos que para nuestros fines nohace falta conocerla en detalle. Sustituyendo entonces (15.75) y (15.76) en (15.72) resulta

T h a n ha n b n b k a n k n k b k ak k k k, , int, int,| ( , ) | ( , ) | | ( , ) | = =12

12 2 (15.77)

17 En la designacin de damos por sobreentendidos los nmeros de ocupacin que no cambian en la transicin.18 Estos operadores describen la interaccin de las cargas y corrientes atmicas con el campo electromagntico del

fotn.


248

Haciendo las mismas sustituciones en (15.74) y observando que

| ( , ) | | ( , ) | | ( , ) |int,

int, int, a k b k a b b k ah h h2 2 2= = (15.78)

obtenemos

T h a n hb n a n a k b n k n k b k ak k k k, , int,

int,| ( , ) | | ( , ) | ( ) | ( , ) | + += = +12

12 21 (15.79)

Se puede notar que las (15.77) y (15.79) implican que las probabilidades de transicin por uni-dad de tiempo de un proceso y su inverso son iguales, es decir

T Ta n b n b n a nk k k k, , , , =1 1 (15.80)

lo cual significa que en los procesos de emisin y absorcin se cumple el principio del balancedetallado que mencionamos en el Captulo 14. Esto es consecuencia de la Hermiticidad de hint,k ,que se advierte en la (15.75). La presencia de los factores nk y nk +1 en (15.77) y (15.79) sedebe a la naturaleza Bosnica del fotn.Ahora bien, si la radiacin est en equilibrio trmico a la temperatura T se debe cumplir queP Pa b b a = . Resulta por lo tanto que

n e nk kk = +1 (15.81)

Es importante observar que puesto que Pa b y Pb a contienen ambos el factor ( , ) |int, b k ah 2,ste se cancela al imponer la condicin P Pa b b a = , lo cual implica que el mismo resultado(15.81) se obtiene al considerar las transiciones entre cualquier par de los estados atmicos de-generados de energas ea y eb que llevan a la emisin y absorcin de un fotn k .De la (15.81) obtenemos de inmediato

nek k

=

1

1(15.82)

que es la (15.64). Vemos por lo tanto que la distribucin de Planck es una consecuencia de treshechos: (a) que la dinmica de los procesos de emisin y absorcin de fotones cumple con elprincipio del balance detallado, (b) que los fotones son Bosones y (c) que hay equilibrio trmico.La fsica de la interaccin entre tomos y fotones: emisin espontnea y estimuladaImaginemos un tomo que est efectuando una transicin del estado a al estado b en la cualabsorbe un fotn k de frecuencia = ( ) /e e hb a (o viceversa, una transicin del estado b alestado a en la cual emite un fotn de esa frecuencia). En un instante dado durante la transicinsu estado est descripto por una funcin de onda de la forma

( ) ( ) ( )/ /t c t e c t ea a ie t b b ie ta b= + h h (15.83)

donde c ta( ) y c tb( ) son ciertos coeficientes que dependen del tiempo (no nos interesa por elmomento la normalizacin de ). La densidad de probabilidad es entonces proporcional a

| ( ) | | ( ) | | | | ( ) | | | Re[ ( ) ( ) ]* * ( ) / t c t c t c t c t ea a b b a b a b i e e tb a2 2 2 2 2 2= + + h (15.84)


249

y como se ve tiene una parte que oscila con la frecuencia = ( ) /e e hb a . Del mismo modo, sise calcula la corriente de probabilidad, se encuentra que contiene una parte que oscila con lamisma frecuencia . Puesto que la densidad de probabilidad y la corriente de probabilidad estnrelacionadas con las distribuciones espaciales de carga y corriente elctrica del tomo, vemosque el estado describe distribuciones de cargas y corrientes que oscilan con la misma frecuen-cia que lo hacen los campos electromagnticos del fotn que est siendo absorbido (o emitido).Esta observacin sugiere que el fenmeno de absorcin (o de emisin) de radiacin por parte deun tomo es anlogo al aumento (o disminucin) de la energa de un oscilador que est siendoforzado a oscilar por una fuerza aplicada, en resonancia con su frecuencia natural. Que el oscila-dor gane o pierda energa en este proceso, depende de la fase relativa entre sus oscilaciones y lasde la fuerza excitadora. Esta es la imagen clsica de la absorcin y emisin de radiacin porparte de un tomo. De acuerdo con esta imagen es natural pensar que tanto la absorcin como laemisin de radiacin son procesos estimulados (o inducidos) por la presencia del campo de ra-diacin de la frecuencia que corresponde a la transicin, y que su probabilidad debe ser propor-cional a la intensidad del mismo.Por otra parte los resultados anteriores (15.77) y (15.79) nos muestran que las probabilidades detransicin por unidad de tiempo para la absorcin y emisin de un fotn k estn dadas por

T n h

T n ha n b n k b k a

b n a n k b k a

k k

k k

, , int,

, , int,

| ( , ) |

( ) | ( , ) |

+

=

= +1

2

121

absorcin

emisin(15.85)

Observemos que la intensidad del campo de radiacin de frecuencia (y direccin de propaga-cin y polarizacin correspondientes a k ) es proporcional a la energa del mismo, esto es, an hk . Vemos por lo tanto que la tasa de absorcin es efectivamente proporcional a la intensidaddel campo, tal como esperbamos. No ocurre lo mismo con la emisin, cuya tasa resulta propor-cional a nk +1, lo que implica que el tomo puede emitir un fotn an cuando la energa delcampo de radiacin de frecuencia es nula. Este es un resultado puramente cuntico, que pro-viene del principio de incerteza, que prohibe que el campo electromagntico sea estrictamentenulo19. Debido a ello, en ausencia de fotones el campo tiene igualmente fluctuaciones, y son es-tas fluctuaciones las que provocan la emisin del tomo cuando nk = 0 .Es lgico entonces escribir Tb n a nk k, , +1 como la suma de dos contribuciones: la que se debe a laemisin espontnea provocada por las fluctuaciones de vaco del campo electromagntico y laemisin estimulada por los fotones k presentes, esto es

T T T

T h

T n h

b n a n b n a ne

b n a ni

b n a ne

b k a

b n a ni

k b k a

k k k k k k

k k

k k

, , , , , ,

, , int,

, , int,

| ( , ) |

| ( , ) |

+ + +

+

+

= +

=

=

1 1 1

12

12

emisin espontnea

emisin estimulada

(15.85)

19 Sin entrar en detalles, al tratar en forma cuntica el campo electromagntico, de acuerdo con los lineamientos

expuestos en el Captulo 14, se deben interpretar las ecuaciones de Maxwell como las ecuaciones de los operadores

del campo. De resultas de ello las componentes de los campos E y B son operadores que satisfacen ciertas

relaciones de conmutacin, las cuales tienen como consecuencia (entre otras) que en el estado de vaco los campos

elctrico y magntico no son estrictamente nulos sino que fluctan.


250

Por otra parte, como es obvio, la absorcin es siempre estimulada.Tal como vimos anteriormente, el grueso del espectro de la radiacin que proviene de fuentesnaturales es incoherente pues corresponde a nmeros de ocupacin nk


251

fotones provenientes de distintos tomos tienen energas que difieren en cantidades del orden deei . Las integrales en (15.87) se tienen que extender entonces sobre un intervalo de energas delfotn del orden de e alrededor de . Esto da lugar a un perfil de lnea de ancho no nulo, des-cripto por una funcin f ( ) cuya forma precisa depende los procesos que determinan la vidamedia del nivel. La funcin f ( ) tiene un mximo en = =0 / h y tiende rpidamente a ceroal crecer | | 0 ; es habitual normalizarla de modo que

f d( ) 0

1 = (15.88)

Para tratar estos problemas es til emplear los coeficientes de Einstein, que se relacionan con TAy TE , y que se pueden determinar a partir de magnitudes fcilmente medibles. As, escribiremosque la probabilidad que en ausencia de radiacin el tomo que est en un estado del nivel ebemita espontneamente un fotn de frecuencia comprendida entre y + d est dada por

A f db a ( ) (15.89)

donde Ab a es el coeficiente de Einstein de emisin espontnea, y representa la probabilidadque en la unidad de tiempo el tomo efecte espontneamente la transicin b a , cualquierasea la frecuencia del fotn emitido.Supongamos ahora que el tomo est en presencia de radiacin, cuya densidad espectral deenerga es u( ) . La presencia del campo de radiacin cambia la situacin anterior de dos mane-ras: (a) si el tomo est en el nivel eb la probabilidad de la transicin b a cambia; (b) si eltomo est en el estado ea se torna posible la transicin a b por absorcin de un fotn. Puestoque ambos efectos se deben al campo es lgico suponer que en el primer caso la probabilidad deemitir un fotn de frecuencia entre y + d sea ahora

[ ( ) ( ) ( )]A f B u f db a b a + (15.90)

y en el segundo caso, la probabilidad de absorcin sea

B u f da b ( ) ( ) (15.91)

Las nuevas funciones f ( ) y f ( ) tienen sus mximos en = =0 / h , tienden rpidamentea cero al crecer | | 0 y estn normalizadas del mismo modo que f ( ) . A priori, las tres fun-ciones f, f y f pueden ser diferentes, pero hay por lo menos un caso, aqul en que el tomoforma parte de un sistema en equilibrio termodinmico, en que f f f= = y por ese motivo desupone que son siempre idnticas. Las cantidades Bb a y Ba b son, respectivamente, los coe-ficientes de Einstein de emisin estimulada y de absorcin. Los coeficientes de Einstein sonconstantes caractersticas de los niveles a y b, y se pueden calcular tericamente en trminos delos elementos de matriz de h kint, usando las expresiones (15.87), o en su defecto se pueden de-terminar experimentalmente.Es fcil mostrar que entre los tres coeficientes de Einstein deben existir dos relaciones20, y porese motivo una vez que se conoce uno de ellos se pueden calcular de inmediato los otros dos. En

20 Estas relaciones son consecuencia del principio del balance detallado y de la naturaleza Bosnica de los fotones.


252

efecto, consideremos la radiacin en una cavidad y los tomos de sus paredes, en equilibrio ter-modinmico a la temperatura T. La relacin entre el nmero de tomos en niveles a y b est dadapor la distribucin de Boltzmann

N

N

g

ge

g

geb

a

b

a

e e b

a

b a= = ( ) (15.92)

El nmero de tomos que en la unidad de tiempo efectan la transicin b a (por emisintanto espontnea como estimulada, y suponiendo f f= ) resulta ser

N A B u f d N A B ub b a b a b b a b a[ ( )] ( ) [ ( )]

+ = + 0

0 (15.93)

dado que u( ) vara muy lentamente con . Del mismo modo, el nmero de tomos que en launidad de tiempo efectan la transicin a b (suponiendo f f= ) es

N B u f d N B ua a b a a b

=( ) ( ) ( ) 0

0 (15.94)

En el equilibrio termodinmico estos nmeros deben ser iguales entre s, de modo que

N

N

B u

A B ub

a

a b

b a b a=

+

( )( )

0

0(15.95)

Usando la (15.92) y omitiendo el subndice 0, obtenemos

g

ge

B u

A B ub

a

a b

b a b a

=

+

( )

( )(15.96)

La densidad espectral de energa radiante u T( , ) est dada por la (15.66) y entonces tenemos

g

ge

Bh

c

e A Bh

c

b

a

a b

b a b a

= +

8

18

3

3

3

3( )(15.97)

Esta ecuacin vale para toda T; en particular, para T se tiene que e 1 y e 1 ypor lo tanto se debe tener que

g B g Bb b a a a b = (15.98)

Sustituyendo este resultado en la (15.97) se obtiene una identidad si

A Bh

cb a b a =

8 33

(15.99)

Las relaciones (15.98) y (15.99) son las relaciones buscadas. Las obtuvimos para el caso delequilibrio termodinmico, pero puesto que se trata de relaciones entre constantes valen siempre.


253

Relacin entre los coeficientes de Einstein y las magnitudes macroscpicasLa variacin de la intensidad de un haz de radiacin de frecuencia que atraviesa un espesor dxde un medio en el cual no tienen lugar procesos de emisin o de difusin es, por definicin

dI u dx( ) ( ) = (15.100)

donde es el coeficiente de absorcin. La contribucin del haz a la densidad de energa radianteest dada por 4 I c( ) / , luego la variacin de u( ) en el lapso dt dx c= / que emplea el haz enatravesar el espesor dx es

du u cdt( ) ( ) = (15.100)

Por otra parte, si la atenuacin se debe a las transiciones a b de los tomos que se encuentranen el nivel ea, usando la definicin (15.91) del coeficiente de Einstein Ba b , se debe tener que

du h N B u cdta a b( ) ( ) = (15.101)

puesto que cada transicin sustrae del haz un fotn de energa h . Comparando (15.100) con(15.101) se obtiene la siguiente relacin entre y Ba b :

= h

cN Ba a b (15.102)

En nuestro argumento no tomamos en cuenta, sin embargo, que el haz de radiacin estimula laemisin de los tomos del nivel eb, que se manifiesta como una absorcin negativa. Luego paraobtener el verdadero coeficiente de absorcin tenemos que restar del miembro derecho de la(15.102) la cantidad h N B cb b a / . Por lo tanto el coeficiente de absorcin correcto es

= =

=

hc

N B N Bh

cN B

N

N

B

B

h

cN B

g

g

N

Na a b b b a a a bb

a

b a

a ba a b

a

b

b

a( ) 1 1 (15.103)

donde usamos la relacin (15.98). Si los tomos estn en equilibrio termodinmico a la tempe-ratura T obtenemos entonces

= hc

N B ea a bh kT( )/1 (15.104)

De momento que hemos incluido la emisin estimulada en el coeficiente de absorcin, la emisi-vidad j est dada solamente por la emisin espontnea. Por lo tanto

j N A hb b a= 1

4 (15.105)

de donde resulta, recordando las relaciones entre los coeficientes de Einstein, la Ley deKirchhoff-Planck:

j h

c eB T

h kT=

=

2 1

1

3

2 / ( ) (15.106)


254

Si se ignora la emisin inducida, es decir, si se usa la expresin (15.102) del coeficiente de ab-sorcin en lugar de la (15.104), se obtiene en lugar de la (15.106) la expresin

j h

ce B T h kTh kT

= = >>

2 32

/ ( ) ( ) (15.107)

que es una aproximacin de la Ley de Kirchhoff-Planck que vale para h kT >> , es decir en ellmite en que los fotones se comportan como partculas clsicas.En el lmite opuesto, cuando h kT


255

se pueda satisfacer la condicin (15.110). Dicho en pocas palabras, la poblacin del nivel de msalta energa ( eb) debe ser significativamente mayor que la que correspondera al equilibrio, cir-cunstancia que en la jerga se denomina inversin de poblaciones. Hay diferentes tcnicas22 paraconseguir este resultado, que no vamos a comentar porque el lector interesado las puede estudiaren la literatura especializada. Aqu nos limitaremos a describir brevemente las peculiares carac-tersticas de la luz laser y algunos interesantes y novedosos fenmenos a que da lugar, debido alos cuales el laser es un frtil campo de investigacin sea pura como aplicada, adems de tenernumerosas aplicaciones (que es imposible tratar en el breve espacio de estas notas).El elemento esencial de todo laser es el medio activo, que puede ser slido, lquido o gaseoso,donde se produce la inversin de poblaciones de los niveles de inters mediante una tcnicaoportuna (descargas elctricas, bombeo ptico, reacciones qumicas, etc.). El funcionamiento dellaser puede ser tanto continuo (como el familiar laser de He-Ne) como pulsado. En ambos casosel medio activo tiene que estar colocado dentro de un resonador ptico (esencialmente uninterfermetro de Fabry-Prot) que selecciona una particular direccin, de modo que los fotonesemitidos en esa direccin atraviesan el medio activo muchas veces estimulando la emisin dems fotones en cada pasada. De esa forma la poblacin de un particular estado fotnico k setorna muy numerosa, y parte de la misma sale del dispositivo como un haz coherente (pues todoslos fotones, que ocupan el mismo estado, estn en fase entre si) y perfectamente colimado. Paramuchas aplicaciones este haz es suficiente. Si se necesitan haces de mayor intensidad, se em-plean dispositivos ms complejos que consisten de cadenas cuyo eslabn primario es el laserque acabamos de describir (que se llama oscilador) el cual genera un haz que luego pasa sucesi-vamente por una serie de amplificadores, que son unidades cada una de las cuales contiene elmedio activo, pero que a diferencia del oscilador no poseen resonador ptico. Como el nombrelo indica la funcin de estas unidades es amplificar el haz que sale del oscilador hasta alcanzar laintensidad que se desea.La radiacin laser tiene caractersticas diferentes de la radiacin que proviene de las fuentes na-turales (trmicas). Puesto que los fotones estn en el mismo estado, son coherentes (mientras quelos que provienen de fuentes trmicas son mayormente incoherentes). Esto hace que se com-porten como una onda electromagntica clsica (dado que nk >> 1) lo que permite, entre otrascosas, observar con suma facilidad los fenmenos de interferencia y difraccin, que normal-mente no se ponen en evidencia con la luz ordinaria a menos de tomar los particulares recaudosdescriptos en los textos de ptica a fin de evitar los efectos de la falta de coherencia de los foto-nes. La otra consecuencia de la coherencia es que los fotones de un rayo laser pueden interactuarcolectivamente (y no slo individualmente, como ocurre con la luz ordinaria) con la materia.Esto da lugar a fenmenos no lineales peculiares cuando la intensidad del haz laser es muygrande.Sin entrar en detalles, se puede decir que no hay lmite (salvo en lo que se refiere al costo) a lapotencia mxima del laser, y que enfocando el haz que produce es posible alcanzar enormesdensidades de energa, imposibles de obtener con fuentes trmicas. Por ejemplo, con un laser

22 Si bien la emisin estimulada fue reconocida por Einstein en su famoso trabajo de 1917, tuvieron que pasar cuatro

dcadas antes que Charles Townes, A. I. Schawlow, Nikolay Basov y Aleksandr Prokhorov demostraran la

posibilidad de construir un laser ptico y que en 1960 Theodore Maiman desarrollara el primer laser de rub. Desde

entonces el progreso fue vertiginoso, y hoy existe una gran variedad de laser que se emplean en las ms variadas

aplicaciones, en las que se aprovecha la altsima colimacin, la coherencia y la gran potencia de la radiacin laser.


256

pulsado de vidrio-Nd, que emite luz de = 1 06. m, se han obtenido intensidades de 1018W/cm2 en el foco23. Una sencilla cuenta muestra que esta intensidad corresponde a tener unadensidad de energa de 200 eV/3 (1 3 es el orden de magnitud del volumen de un tomo), queimplica campos elctricos del orden de 1012 V/m.Sin necesidad de llegar a valores tan extremos, la interaccin luz laser-materia con haces de granintensidad se caracteriza porque se tiene siempre un gran nmero de fotones coherentes que inte-ractan simultneamente24 sobre cada tomo iluminado por el haz. Ocurren entonces una varie-dad de fenmenos no lineales que no se observan con la luz ordinaria. Algunos de ellos han en-contrado importantes aplicaciones. Mencionaremos aqu el efecto fotoelctrico multifotnico, laexcitacin multifotnica y la ionizacin multifotnica de niveles atmicos.En el efecto fotoelctrico producido con luz ordinaria (incoherente) cada fotoelectrn absorbe unnico fotn y se cumple la relacin de Einstein (4.18) entre la frecuencia de la radiacin y laenerga cintica Kmax de los fotoelectrones

K h wmax = 0 (15.112)

donde w0 es la funcin trabajo, que es una caracterstica del metal empleado como fotoctodo.Si < =0 0w h/ , los fotones no tienen energa suficiente para extraer fotoelectrones y no hayefecto fotoelctrico, por grande que sea la intensidad (o sea el flujo de fotones) del haz de luz.Pero cuando los fotones son coherentes, y si la intensidad del haz es suficiente, se puede produ-cir el efecto fotoelctrico multifotnico, en el cual cada fotoelectrn absorbe simultneamentecierto nmero N de fotones. En este caso, la (15.112) se debe modificar, y se tiene que

K h wmax = N 0 (15.113)

y entonces la frecuencia mnima necesaria no es 0 sino 0 0 0N N N= =/ /w h . Si el haz esmuy intenso, N puede ser un nmero muy grande, y entonces el efecto fotoelctrico ocurre para(casi) cualquier frecuencia, tal como sera de acuerdo con la teora ondulatoria clsica del campoelectromagntico.En la excitacin multifotnica se provoca una transicin atmica desde un nivel ea a un nivel ebde mayor energa usando fotones cuya energa es una fraccin (la mitad, un tercio, ) de la di-ferencia = e eb a (Fig. 15.9a). En efecto, si N fotones idnticos (en el caso de la absorcin N -fotnica) cada uno de los cuales tiene la energa h N N= / llegan al tomo dentro de un inter-valo de tiempo suficientemente breve, el tomo responde como si fuesen un nico fotn de lafrecuencia correcta = =/ h N N y puede absorberlos, realizando la transicin e ea b . Setrata de un proceso no lineal, y por lo tanto depende de la intensidad del haz laser. Si el nivel ebpertenece al continuo (Fig. 15.9b), el proceso se denomina ionizacin multifotnica. Adems delinters puramente cientfico que presentan estos procesos, la excitacin multifotnica tiene hoyuna importante aplicacin, la microscopa por fluorescencia multifotnica, que permite obtenerimgenes tridimensionales de muy alta resolucin. 23 Segn la ley de Stefan-Boltzmann la radiancia de un cuerpo negro a la temperatura de la superficie del Sol (5700

K) es de 6103 W/cm2. Para alcanzar una intensidad de 1018 W/cm2 (pero distribuida en todo el espectro) con una

fuente trmica, se precisa T > 2107 K. Tan slo una mnima fraccin de la misma se encontrara en el intervalo de

frecuencias correspondiente al entorno de = 1.06 m.24 Puesto que estos fotones son coherentes, se pueden describir por medio de un campo electromagntico clsico.


257

eb

ea

(b)

hiN = (eb ea)/Nea

eb

hiN = (eb ea)/N

(a)Fig. 15.9. Procesos no lineales en la interaccin entre la luz laser y los tomos: (a) excita-cin multifotnica; (b) ionizacin multifotnica.

El gas perfecto de FermionesDe acuerdo con las ecs. (15.26) y (15.27), en un gas de Fermiones que no interactan se tiene

ne

nei ii i

=+

=+

11

1

1 ( ) ( ), (15.113)

Introduciendo la densidad de estados por unidad de intervalo de energa f ( ) , la sumatoria de lasegunda de las (15.113) se puede escribir como una integral

ne

sf d

es V

m

h

d

eii=

+= +

+

= + +

1 1 2 1 1 2 1 22

10

2

3 2 1 2

0

( ) ( )/ /

( )( )( ) ( ) (15.114)

donde s es el spin, y usamos la expresin (9.19) de f ( ) , que se dedujo considerando los estadosestacionarios de una partcula libre de masa m que se mueve en una caja de volumen V. El factor2 1s + en (15.114) tiene en cuenta los diferentes estados de spin de las partculas. En lo sucesivovamos a suponer que s = 1 2/ . Haciendo el cambio de variable z = , la (15.114) se escribecomo

n VmkT

h

z dz

eV

mkT

he

z dz

e ez z=

+

= +

42

14

22

3 2 1 2

0

2

3 2 1 2

0

/ / / /(15.115)

Esta es entonces la ecuacin que determina el potencial qumico , que como se ve, es funcinde T, V y n.

La energa de Fermi y las propiedades del gas de Fermiones en el cero absolutoLlamaremos energa de Fermi, por definicin, a

F T V n= =( , , )0 (15.116)


258

Vamos a ver ahora que F debe ser positivo. En efecto, si se tuviera F < 0 , en el lmite T 0tendramos que F , y puesto que

z dz

e ez e dz

zz

1 2

0

1 2

02

//

+

=

(15.117)

se tendra que en ese lmite el miembro derecho de la (15.115) se anulara, lo que es absurdopues implicara n = 0 . Por lo tanto debe ser F > 0 . Tenemos entonces que para T = 0 los n-meros de ocupacin medios de los estados valen

ne

Tii F

i Fi F=

+=

=1

1

1

00

( ) ( )

si

si(15.118)

Este resultado tiene una clara interpretacin: cuando T = 0 el gas de Fermiones est en el estadode mnima energa, en el cual las partculas ocupan los n estados i de menor energa, pues elprincipio de exclusin no permite que haya ms de una partcula en cada estado (las diferentesorientaciones del spin estn tenidas en cuenta por el factor 2 1s + en la (15.114)). Estos estadosson aquellos cuya energa es menor que F , que es la energa del nivel ms alto ocupado paraT = 0 . Esto permite determinar F , pues para T = 0 la (15.114) (con s = 1 2/ ) se reduce a

n Vm

hd V

m

hT

F

F=

=

=4

2 83

202

3 21 2

02

3 23 2

//

// ( ) (15.119)

de donde obtenemos

F

h

m

n

V=

2 2 3

23

8

/

(15.120)

De la (15.120) se ve que la energa de Fermi es inversamente proporcional a la masa de las part-culas, y proporcional a la potencia 3/2 de su concentracin media n V/ .La temperatura de Fermi se define por medio de F FkT y vale

Th

mk

n

VF=

2 2 3

23

8

/

(15.121)

y la velocidad de Fermi se define por medio de v mF F 2 / . En la Tabla 15.1 damos los valo-res de F , TF y vF para los electrones de conduccin de algunos metales.Es fcil calcular el valor de la energa interna del gas de Fermiones en el cero absoluto:

E n Vm

hd n E Ti i

iF

F

= = = = =2 4

2 35

02

3 23 2

00

// ( ) (15.122)

Se puede mostrar (no lo haremos aqu) que la entropa del gas de Fermiones es nula en el ceroabsoluto, de acuerdo con la Tercera Ley de la Termodinmica. Usando la relacin de Euler25

25 Ver el Captulo 8 de Termodinmica e Introduccin a la Mecnica Estadstica.


259

E TS pV n= + (15.123)

es fcil calcular que en el cero absoluto la presin vale

p pn

VTF F= = =

25

0 ( ) (15.124)

Por lo tanto un gas de Fermiones tiene una presin no nula en el cero absoluto.

Tabla 15.1: Valores de F , TF y vF para los electrones de conduccin de algunos metales.

Elemento n V/ (1022 cm3) F (eV) TF (104 K) vF (10

8 cm/s)

Li 4.60 4.7 5.5 1.30K 1.34 2.1 2.4 0.85Cu 8.50 7.0 8.2 1.56Au 5.90 5.5 6.4 1.39

El potencial qumico del gas de FermionesPara calcular el potencial qumico conviene expresar el nmero de partculas en funcin de latemperatura de Fermi. De la (15.121) obtenemos que

n VmkT

hF=

83

22

3 2 / (15.125)

Introduciendo esta expresin en la (15.115) y usando la (15.44) obtenemos entonces

13

4

3 2

3 2=

TT

eF

/

/Li ( ) (15.126)

Invirtiendo esta relacin se llega al resultado buscado, que se muestra en la Fig. 15.10, dondetambin representamos el valor clsico de , que se obtiene en el lmite e


260

el potencial qumico tiende a clsico (ya para T TF> 2 la diferencia es muy pe-quea).

1 2 3TsTF

5

4

3

2

1

0

1

PsHF

Fig. 15.10. Potencial qumico de un gas de Fermiones no interactuantes. Con la lnea detrazos se muestra el valor clsico de , dado por la ec. (15.127).

Los nmeros medios de ocupacinEs interesante calcular los nmeros medios de ocupacin, dados por la primera de las (15.113).La Fig. 15.11 muestra n( ) para diferentes temperaturas del gas. El grfico es semilogartmicopues as se aprecian mejor los apartamientos desde la distribucin clsica de Maxwell-Boltzmann, que se representa por medio de rectas de pendiente 1/ kT . Se puede observar que amedida que se eleva la temperatura a partir de T = 0 K, las partculas que estaban ocupando losestados de energa ms alta, prxima a la energa de Fermi, se excitan y pasan desde los estadoscon < a estados con > . Para T TF> ), el sistema no es de-generado puesto que los nmeros medios de ocupacin de los estados son mucho menores que launidad, y en ese caso el principio de exclusin tiene poco efecto en la prctica. El gas se com-porta entonces como un gas clsico. La transicin entre el gas completamente degenerado enT = 0 y el gas clsico para T TF>> es continua, pero la descripcin matemtica del gas en esterango de temperaturas es complicada.


261

1 2 3HsHF

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

3.0

2.01.5

1.0

0.50.1

0.01

n

Fig. 15.11. Nmero de ocupacin medio en funcin de la energa del estado para un gas deFermiones. Las curvas corresponden a T TF/ . , . , . , , . ,= 0 01 0 1 0 5 1 1 5 2 3y . La lnea hori-zontal de trazos corresponde a n( ) / = = 1 2 . Se puede observar que las curvas paraT TF/ . ,= 1 5 2 3y son casi rectas, lo que indica que el comportamiento del gas es clsico,como es de esperar porque n( )


262

~ Li ( ) Li ( )Li ( )

/

//

/c R

T

Te

e

eV F=

98

52

32

3 2

5 23 2

2

1 2

(15.133)

En la Fig. 15.12 se puede apreciar el comportamiento del calor especfico.

1 2TsTF

0.5

1.0

1.5

cV sRa

Fig. 15.12. Calor especfico molar a volumen constante de un gas de Fermiones. Se ve quecV es siempre menor que el valor clsico 3 2R / (representado por la lnea de trazos) y paraT TF< disminuye rpidamente con T. Para T TF


263

Por otra parte

fV

hmF F( ) ( )

/ / = 4 233 2 1 2 (15.137)

Dividiendo esta ecuacin por la (15.119) resulta entonces

n

n

T

TF

exc 32

(15.138)

de manera que la fraccin de partculas que es excitada es del orden de T TF/ . Puesto que cadauna de ellas se lleva una energa del orden de kT, tenemos que

E T E kT n nT

TT TF

FF( ) ( ) + = +


264

degeneracin de los infinitos niveles que consisten en que el electrn est ligado en un particularnivel a un determinado ion de la red. Si el cristal no es infinito y consiste de N iones, entoncescada banda no es continua, sino que consiste de un conjunto de N niveles discretos, muyprximos entre s.Lo anterior tiene una importante consecuencia en lo referente a la conductividad elctrica delcristal. En efecto, para que la aplicacin de un campo elctrico externo de intensidad moderadaproduzca una corriente, es preciso que se pueda producir un movimiento neto de los electrones.Si todos los N niveles de una banda estn ocupados, esto no es posible, pues los estados corres-pondientes a todos los valores de k estn ocupados y no hay forma de que tenga lugar un flujoneto de electrones. Este es el caso de todas las bandas que se originan a partir de los nivelesatmicos internos. La nica banda que puede dar lugar a conduccin de la electricidad es enton-ces la banda de valencia que surge a partir de los niveles atmicos ms externos de los tomos, ylas propiedades elctricas del cristal dependen esencialmente de dos circunstancias: (1) cuntoselectrones de valencia tiene cada tomo y (2) cun separada en energa se encuentra la banda devalencia de la banda inmediatamente superior (originada a partir del primer nivel excitadoatmico). Se pueden dar dos situaciones: (a) que la banda de valencia est parcialmente llena,(b) que la banda de valencia est completamente llena. En el primer caso, el cristal es un con-ductor, pues la aplicacin de un campo elctrico an de muy baja intensidad puede excitar algu-nos electrones a estados vacos de la banda, de modo tal que haya un flujo neto de electrones;esto es lo que ocurre con los elementos de valencia impar. En el segundo caso, que ocurre paralos elementos de valencia par, si la separacin en energa de la banda inmediatamente superiores considerable, el cristal es un aislante, pues la aplicacin de un campo elctrico moderado noproduce corriente; esto sucede hasta que el campo es tan intenso que puede causar que algunoselectrones pasen a la banda de energa ms alta, que est vaca, en tal caso se produce la ruptura(o breakdown) del aislante. Pero si la banda inmediatamente superior est muy prxima enenerga, si bien el cristal es aislante a T = 0 , cuando la temperatura aumenta algunos electronesde la banda de valencia pueden pasar a la banda superior si kT , donde es la separacinen energa de las bandas; entonces el cristal puede conducir la electricidad. Este es el caso de lossemiconductores. Finalmente, si la banda de valencia est llena pero hay una superposicin par-cial con la banda inmediatamente superior, el cristal es conductor; este es el caso de algunosmetales bivalentes.Volviendo ahora a los metales, un electrn de conduccin en un cristal perfecto a 0 K no estlocalizado, sino que se propaga libremente. Slo las imperfecciones de la red (debidas a la pre-sencia de impurezas, los defectos de la red y las vibraciones de los iones) perturban la propaga-cin de los electrones. Adems el fondo de carga positiva debido a los iones compensa en pro-medio las cargas de los electrones, y las interacciones residuales entre ellos tienen escasa im-portancia. Esto ltimo es una consecuencia del principio de exclusin. En efecto, consideremosuna colisin entre dos electrones que estn inicialmente en los estados k y k , y que despusde la misma estn en los estados k y k . Esta colisin puede ocurrir solamente si los esta-dos k y k no estn ocupados, pues en el caso contrario este proceso est prohibido por elprincipio de Pauli. Por otra parte, la mayora de los estados finales k y k que son energti-camente posibles estn ocupados. Por lo tanto estos procesos no ocurren y por este motivo esrazonable pensar que en primera aproximacin los electrones de conduccin se comporten comosi fuesen libres.


265

Esta es la justificacin del modelo de electrn libre, que trata los electrones de conduccin de unmetal como un gas perfecto de Fermiones, ignorando su interaccin con los iones positivos de lared, y las interacciones entre los electrones mismos. Pese a su simplicidad este modelo es muytil pues explica en forma cualitativa muchas caractersticas de los metales.El modelo de electrn libre de los metales fue desarrollado originalmente por Paul Drude (1900)y Hendrik Antoon Lorentz (1905) usando la estadstica clsica de Maxwell-Boltzmann. Se pudoas deducir la ley de Wiedemann-Franz (que da la dependencia con T del cociente entre las con-ductividades trmica y elctrica), pero esto se debe a una coincidencia fortuita. Desde el inicio lateora de Drude enfrent un grave problema, pues tratados en forma clsica los electrones libresaportaran a la capacidad calorfica del metal una cantidad 32 k por electrn, que se tendra quesumar a la capacidad calorfica debida a las vibraciones de la red cristalina. De resultas de esto, ala temperatura ambiente se debera tener ( / )c RV = +3 3 2 para un metal monovalente (con unsolo electrn de conduccin por tomo). Sin embargo los metales cumplen muy bien la Ley deDulong y Petit, esto es c RV = 3 .La Mecnica Cuntica permite resolver esta dificultad. En efecto, lo correcto es tratar los elec-trones como Fermiones, lo cual fue hecho por primera vez por Sommerfeld en 1928. De la Tabla15.1 vemos que la temperatura de Fermi de los metales es de ms de 104 K. Por lo tanto, a tem-peraturas inferiores a la temperatura de fusin, se tiene que T TF


266

vh

pe= =

B33

(15.142)

donde B es la longitud de onda de Broglie. Si tenemos n electrones no podrn ocupar un volu-men menor que V nve= /2 (dividimos por 2 pues dos electrones con spin opuesto pueden ocuparel mismo lugar) y entonces la energa cintica debe ser mayor que

p

m

h

m

n

Ve e

2 2 2 3

2 2 2=

/

(15.143)

Por otra parte la concentracin de los electrones es n V Z d/ /= 3 donde d es la distancia entre losncleos y Z su carga. Por lo tanto la energa cintica tpica de un electrn es

p

m

Z

m de e

2 1 3 2 2 2 3

222

=/ / h (15.144)

el valor tpico de la energa potencial es 2 2Ze d/ . Por lo tanto el valor absoluto de la energapotencial es menor que la energa cintica si

2 22

1 3 2 2 2 3

2

22 3 2 1 3

0

/ // / h Z

m d

Ze

dd Z a

e> < o sea si (15.145)

donde a m ee02 2= h / es el radio de Bohr. Cuando esta desigualdad se satisface (a menos de un

factor numrico del orden de la unidad) los electrones no pueden quedar ligados a los ncleos. Apartir de la misma podemos estimar qu densidad debe tener la estrella para que los electronesqueden libres. Sea m la masa de la estrella por electrn. Puesto que al ionizarse cada tomoproduce Z electrones, la masa de la estrella por ncleo es Zm ; por lo tanto la densidad tiene quecumplir (a menos de un factor numrico del orden de la unidad) la desigualdad

= > Zmd

Z m

a3

2

03 (15.146)

Para enanas blancas constituidas por helio Z = 2, luego = = m m2 3 345 10 24H . g y por lotanto la densidad tiene que ser mayor que 100 g/cm3.Las consideraciones anteriores presuponen que los electrones no son relativsticos, y para queesta sea una aproximacin razonable se debe cumplir que v cF


267

p GM RG = 2 4/ (15.147)

donde G = 6 673 10 8 2. /dy cm g es la constante universal de la gravitacin y es un factornumrico del orden de la unidad. La estabilidad mecnica requiere que esta presin sea equili-brada por la presin del gas de electrones, dada por la ec. (15.124). El nmero de electrones esn M m= / ( m es la masa de la estrella por electrn) y V R= 4 33 / . Por lo tanto

pM

m m RF e=

=

h2 5 3

5 3 5

8

5

1 315

34

/

/

/

, (15.148)

La condicin de equilibrio p pF G+ = 0 requiere entonces que

M RGm me

1 32

5 3/

/ ,= =

h (15.149)

Un clculo preciso muestra que 4 5. . La (15.149) muestra que R M~ /1 3 , y que es muchomenor que el radio de una estrella normal de la misma masa, de aqu la denominacin de enanaque se da a estas estrellas.La ley R M~ /1 3 se cumple mientras la densidad de equilibrio sea tal que los electrones no seanrelativsticos. Pero ~ ~MR M3 2, y por lo tanto si la masa es muy grande, al contraerse la es-trella los electrones se tornan relativsticos, lo cual invalida nuestro anterior clculo del radio deequilibrio. Veamos qu sucede entonces, para lo cual conviene considerar el lmite ultrarelati-vstico en el cual p m m ce e

2 2/ >> , y por lo tanto la energa cintica est dada por

= + ( ) /p c m c m c cpe e2 2 2 4 1 2 2 (15.150)

y no por la expresin clsica p me2 2/ . En este caso no podemos usar la expresin (9.19) de la

densidad de estados por unidad de intervalo de energa, y es preciso calcular nuevamente f ( )teniendo en cuanta que = cp . Por medio de un razonamiento anlogo al que nos permiti obte-ner la (9.19) es fcil verificar (lo dejamos como ejercicio para el lector) que ahora se obtiene lasiguiente expresin de la densidad de estados por unidad de intervalo de energa:

fV

h c( ) = 8 3 3

2 (15.151)

Usando la (15.151) resulta

F

hcn

V=

38

1 3/

(15.152)

La energa cintica total es entonces

E n F=34

(15.153)

La presin se puede calcular a partir de la (15.123) y resulta


268

pE

V

n

V F= =13

14

(15.154)

Para el caso de la estrella obtenemos

phc

R

M

m=

=

4

4 3

2

4 3

29

32

/ /

, (15.155)

Vemos entonces que cuando los electrones son ultrarelativsticos, la situacin es completamentediferente al caso no relativstico, pues ahora la presin del gas de electrones es proporcional aR4 , igual que la presin debida a la gravitacin. La condicin que ambas presiones sean igualesen valor absoluto determina un valor crtico de la masa

Mhc

Gm*

/

/

,=

=

4 3

3 2

(15.156)

tal que si M M< * el equilibrio es posible, pero si M M> * la presin del gas de electrones nopuede nunca equilibrar la presin debida a la gravedad, y la contraccin de la estrella contina.Un clculo exacto permite determinar que = 2 13. . La masa crtica M* se denomina masa deChandrasekhar28, y su valor es de aproximadamente 1.45 masas solares. Toda estrella cuyamasa es menor que la masa de Chandrasekhar termina su existencia como una enana blancaestable, una vez que ha agotado su combustible nuclear29.Si M M> * , cuando la estrella ha agotado el hidrgeno colapsa bajo la accin de la gravedad. Amedida que se produce dicho colapso, la densidad electrnica crece y por lo tanto el potencialqumico de los electrones aumenta. Eventualmente, llega el momento en que se torna posible lareaccin nuclear e p n e

+ + , en la cual un protn captura un electrn para transformarse enun neutrn y se emite un neutrino (esta reaccin es la inversa del decaimiento usual). De re-sultas de esto la estrella se convierte en una estrella de neutrones. La estabilidad de una estrellade neutrones30 se puede estudiar del mismo modo que la de una enana blanca. Mientras la densi-dad no es demasiado elevada, se llega al equilibrio para un radio dado por una ley del tipoR M~ /1 3 , como en el caso de una enana blanca. Pero si la masa es muy grande los neutronesse tornan relativsticos y hay entonces un valor crtico de la masa, ms all del cual no hay equi-librio posible. Los clculos se complican en este caso, pues es preciso usar la Teora General dela Relatividad dado que el campo gravitatorio es muy intenso. No existe certidumbre sobre elvalor crtico de la masa de una estrella de neutrones, pero se cree que es menor que 5, y msprobablemente sea de alrededor de 3 masas solares.Las estrellas cuya masa es demasiado grande como para formar estrellas de neutrones establesno pueden detener el colapso y acaban su existencia como agujeros negros.

28 Subrahmanyan Chandrasekhar, quien determin dicho valor lmite, obtuvo en 1983 el Premio Nobel por haber

formulado la teora de los estadios tardos de la evolucin de estrellas masivas.29 En particular, el Sol se convertir en una enana blanca con un radio de unos 7000 km.30 En el curso del colapso la estrella puede explotar como una supernova, con lo cual pierde una fraccin

importante de su masa; en tal caso el residuo que se convierte en estrella de neutrones tiene una masa mucho menor

de la que inicialmente tena la estrella.

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15 Esta Di Sticas