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TECSUP - PFR Matemática Aplicada

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Unidad I

NNÚÚMMEERROOSS CCOOMMPPLLEEJJOOSS 1. INTRODUCCIÓN

En el mundo de las matemáticas se utilizan diferentes grupos de números como son los números naturales, los enteros, los racionales o los reales. Pero algunas ecuaciones algebraicas, concretamente las ecuaciones en las que hay que calcular las raíces cuadradas de números negativos es donde aparecen los números complejos, que nos ayudan a resolverlas. Ejemplo: Al resolver la ecuación x2+1=0; observamos que para encontrar las soluciones tenemos que definir la raíz cuadrada de un número negativo, cuyo resultado no es un número real. Luego al número “j” se le llama la unidad imaginaria 1.1 DEFINICIÓN

Un número complejo z es un par ordenado de números reales x e y, escrito como:

Donde: x se llama la parte real de z : Re(z) = x y se llama la parte imaginaria de z : Im(z) = y

(0;1) se llama la unidad imaginaria y se denota por: j=(0;1)

Ejemplo: z1 = (5;–2) → Re(z1) = 5 , Im(z1) = – 2

z2 = (–32

; 7 ) → Re(z2) = –32

, Im(z2) = 7

)y;x(z =

1j −=

Matemática Aplicada TECSUP - PFR

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1.2 NOTACIÓN

Un número complejo )y;x(z = se escribe comúnmente como:

Ejemplo: z1 = (5;–2) → 2j5z1 −=

z2 = (–32

; 7 ) → 7j32

z2 +−=

1.3 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos se representan mediante vectores. Al extremo del vector se le llama AFIJO. Por ejemplo, el afijo del número complejo 3j2z += es el punto )3;2(

Figura 1.1 Representación de un número complejo

En el eje horizontal representamos la PARTE REAL del número complejo, por eso se le llama EJE REAL. En el eje vertical representamos la PARTE IMAGINARIA del número complejo, por eso se le llama EJE IMAGINARIO. Ejercicio: Representa en el siguiente plano los números:

jyxz += Notación algebraica o binómica

3j2z +=


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a) 2j5z1 += b) 3j4z2 +−= c) 2j3z3 −−= d) 5j1z4 −= e) 4jz5 =

Figura 1.2 Representación de números complejos

1.4 OPUESTO Y CONJUGADO

Dado el número complejo jyxz += , definiremos su opuesto y su conjugado correspondiente.

Opuesto de z jyxz −−=−

Número complejo

jyxz +=

Conjugado de z jyxz* −=


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Ejemplo:

Figura 1.3 Número complejo opuesto y conjugado

Ejercicio: Determine gráficamente el opuesto y conjugado de: a) 5j3z1 −= b) 2j5z2 += c) 2j1z3 −−= d) 3j2z4 +−= e) 5jz5 −=

1.5 LAS POTENCIAS DE J

j1j1 =−= jj).1(j.jj 45 ===

1)1(j 22 −=−= 1)1).(1(j.jj 246 −=−==

jj).1(j.jj 23 −=−== j)j).(1(j.jj 347 −=−==

1)1).(1(j.jj 224 =−−== 1)1).(1(j.jj 448 ===

Tabla 1.1 Potencias de j

4j2z +=

ConjugadoOpuesto

4j2z −−=− 4j2z* −=

Número complejo


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De acuerdo a la tabla anterior se observa que se repiten cada 4. Para hallar nj , basta dividir n entre 4, y el RESTO de la división entera será el nuevo exponente. Al ser el divisor 4, el RESTO sólo puede valer 0, 1, 2 o 3.

Figura 1.4 Potencias de j

Ejemplo: Calcule 323j Efectuamos la división y obtenemos:

Luego: jjj 3323 −==

Ejercicio: Calcule el valor de: a) 189j

b) 134j

c) 275j

d) 1284j

1.6 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

a) Suma y resta La suma y la resta de números complejos se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de los números reales. Sean: 111 jyxz +=

222 jyxz +=

1jj 40 ==

jj1 =

1j2 −=

)yy(jxxzz 212121 +++=+


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Luego: 212121 jyjyxxzz +++=+

212121 jyjyxxzz −+−=−

Ejemplo: Dado 3j2z1 −= y 5j3z2 +−= . Calcule 21 zz + y 21 zz −

2j1zz ]5)3[(j)3(2zz 2121 +−=+⇒+−+−+=+

8j5zz ]5)3[(j)]3(2[zz 2121 −=−⇒−−+−−=−

Ejercicios: Efectúe las siguientes operaciones: a) )3j1()j3( −++ b) )4j6()3j5( +−+− c) )j5,1()4j5,0( −−+− d) )5,0j3,1()4,2j8,3( +−+−

b) Multiplicación de números complejos

La multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que 1j2 −= Sean: 111 jyxz +=

222 jyxz += Luego: )jyx).(jyx(z.z 221121 ++=

Ejemplo: Dado 5j4z1 −= y 3j2z2 += . Calcule 21 z.z

2j23)1012(j)158(]2).5j(3j.4[)]3j).(5j(2.4[)3j2).(5j4(z.z 21

+=−++=

−++−+=+−=

)yy(jxxzz 212121 −+−=−

)yxyx(j)y.yx.x(z.z 1221212121 ++−=


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Ejercicios: Efectúe las siguientes operaciones: a) )3j1).(2j2( +−− b) )6j5).(3j2( −+ c) )5j4).(5j4( −−+ d) )2j1).(2j1( +−−−

c) División de números complejos

Para dividir dos complejos, se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado de éste, así el divisor pasará a ser un número real.

Sean: 111 jyxz +=

222 jyxz +=

Luego: )jyx()jyx(

.)jyx()jyx(

zz

22

22

22

11

2

1

−−

++

=

Ejemplo: Dado 3j5z1 −= y 2j4z2 += . Calcule 2

1

zz

1,1j7,02022

j2014

2022j14

j416j612j10j20

)2j4()2j4(

.)2j4()3j5(

zz

2

2

2

1 −=−=−

=−

+−−=

−−

+−

=

Ejercicios: Efectúe las siguientes operaciones:

a) 2j44j2

−+

b) j34j1

+−

c) j2

j5−−+

d) j

2j4 −

)yx

y.xx.x(j)

yxy.yx.x

(zz

22

22

21122

22

2

2121

2

1

+

−+

+

+=


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1.7 NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

Todo número complejo se representa como un vector; por lo tanto a la longitud del vector se le denomina módulo (r) y al ángulo que forma con el eje real se le llama argumento (α).

Figura 1.5 Representación binómico y polar de un complejo

a) Paso de forma binómico a forma polar

Dado: jyxz +=

Calculamos: 22 yxr += )xy

arctan(=α

°≤α<°− 180180

Ejemplo 1: Convierta el complejo: 3j4z += , a forma polar.

534r 22 =+=

°==α 87,36)43

arctan(

Luego: °= 87,36/5z

αα

z

α

jyxz += Forma

binómico

α= /rz Forma polar


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Ejemplo 2: Convierta el complejo: 2j3z −−= , a forma polar.

61,313)2()3(r 22 ==−+−=

°−=−−

=α 31,146)32

arctan(

Luego: °−= 31,146/61,3z

Ejercicios: Pasa los siguientes números complejos a forma polar a) 2j1 + b) 4j2 +− c) j3 −− d) 4j5 −

b) Paso de forma polar a forma binómico

Dado: α= /rz

Calculamos:

α= cosrx α= rseny

Ejemplo: Convierta el complejo: °= 60/20z , a forma binómico. Calculamos:

1060cos20x =°= 32,1760sen20y =°=

Luego: 32,17j10z +=

Ejercicios: Pasa los siguientes números complejos a forma binómico a) °= 45/15z b) °= 126/24z

z

r

ααcosr

αrsen


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c) °−= 26/80z d) °−= 145/8,64z

1.8 OTRAS FORMAS DE REPRESENTAR A LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Dado el número complejo jyxz += existen dos formas adicionales de representarlo:

Forma

trigonométrica )jsen(cosrz α+α= “α” en grados o en

radianes Forma exponencial α= jrez “α” en radianes

Donde “r” es el módulo y “α” el argumento de dicho número.

Ejemplo: Convierta el complejo: 12j5z += , en forma trigonométrica y exponencial.

13125r 22 =+=

rad176,1180rad

38,6738,67)512

arctan( =°

π×°=°==α

Luego: )38,67jsen38,67(cos13z °+°= {forma trigonométrica}

176,1je13z = {forma exponencial}

Ejercicios Pasa los siguientes números complejos a forma trigonométrica y exponencial. a) 24j7z += b) 8j15z +−= c) 60j30z −−= d) 24j32z −=


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1.9 OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA POLAR

a) Multiplicación En este caso se multiplican los módulos y se suman los argumentos Sean los números complejos: 111 /rz α= y 222 /rz α=

Luego se tiene:

Ejemplo: Calcule el producto del número complejo °= 60/40z por su conjugado. El conjugado de “z” es: °−= 60/40*z Luego: )60()60/(40.40*z.z °−+°= Finalmente: °= 0/1600*z.z

b) División En este caso se dividen los módulos y se restan los argumentos. Sean los números complejos: 111 /rz α= y 222 /rz α= Luego se tiene:

Ejemplo: Calcule el cociente de los números °= 150/5z1 y °= 30/2z2 Efectuamos la operación indicada:

°−°=°°

= 30150/25

30/2150/5

zz

2

1

°= 120/5,2zz

2

1

212121 /r.rz.z α+α=

212

1

2

1 /rr

zz

α−α=


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c) Potencia Como se sabe la potencia es un producto de factores iguales, por lo tanto la regla es la misma que la de multiplicar. El módulo se eleva a la potencia “n” y el argumento se multiplica por la potencia “n”.

Ejemplo: Elevar a la potencia 4 el número °= 60/5,1z

°=°= 240/0625,5)60/5,1(z 44

Nota: Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene la siguiente fórmula llamada Fórmula de Moivre:

que es útil en trigonometría, pues permite hallar cos(nα) y sen(nα) en función de senα y cosα

d) Radicación Al extraer la raíz cuadrada a un número complejo se obtienen dos raíces, si fuera raíz cúbica serían tres raíces y si la raíz fuese de índice “n” se lograrían “n” raíces. Por lo tanto:

Ejemplo: Extraer la raíz cuadrada de 4j3z += En primer lugar, pasamos este número a forma polar

543r 22 =+= °==α 13,53)34

arctan( °= 13,53/5z

5z = 2)360(k13,53 °+°

, k = 0;1

α=α= n/r)/r(z nnn

nn rz = n)360(k °+α

)n(jsen)ncos()jsen(cos n α+α=α+α


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k=0 °= 565,26/236,2z1 k=1 °−=°= 435,153/236,2565,206/236,2z2

1.10 CONCLUSIONES

• Para sumar o restar números complejos lo más cómodo es escribirlos en forma binómico.

• Para multiplicar o dividir números complejos lo más sencillo es escribirlos en forma polar o exponencial.

• Las cuatro formas de escribir un número complejo y su conjugado son:

Forma

binómico Forma polar Forma

exponencial Forma

trigonométrica

jyxz

jyxz* −=

+=

θ−=

θ=

/rz

/rz*

θ−

θ

=

=j*

j

rez

rez )jsen(cosrz

)jsen(cosrz* θ−θ=

θ+θ=

2. PROBLEMAS

1. Expresar cada uno de los números complejos en forma polar:

a) 4j

e15π

b) 32

je5

π−

c) 65

je4

π

−

d) 2j

e2π

−−

e) 67

je10

π−

2. Efectuar la operación que se indica:

a) 4j3z −= . Hallar z.z*

b) °−= 40/10z . Hallar z.z*

c) °= 13,53/20z . Hallar z + z*


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d) 3

je5,2z

π−

= . Hallar z.z*

e) 8j2z += . Hallar z – z*

f) °= 25/95z . Hallar z – z*

3. Hallar las raíces que se indican de los números complejos siguientes:

a) 8j5 +

b) °60-/ 150

c) 3 4j93,6 −

d) 3

23

je27

π

4. Hallar la suma o diferencia de los complejos que se indican:

a) )2j4()13,53/10( ++°

b) )2j8()90/10( −+°

c) )8j2()45/83,2( −−°

d) )135/07,7()5j5( °−+−

e) )42/45,13(6)1j10( °−−++

5. Expresar cada una de las relaciones por un único complejo en forma polar:

a) )3,4j85,0)(10j5,2( +−+

b) )8,4j3,1)(72j72( +−

c) )21/18)(6j2( °+

d) )15/2,0)(45/25)(80/1( °−°−°

e) )1j6,2)(63,1j( +

f) )1j2/()12/88,6( +°


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g) )36,6j36,6/()45j( −−

h) )80/5/()5j5( °+

i) )8j6/(1( +

6. En cada uno de los casos siguientes hallar el valor de la expresión )zz/(zz 2121 + :

a) 5j10z1 += , °= 30/20z2

b) °= 45/5z1 , )70/10z2 °−=

c) 2j6z1 −= , 8j1z2 +=

d) 20z1 = , 40jz2 =


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ANOTACIONES:

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................................................................................................................................

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................................................................................................................................

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