“Año de la Diversificación Productiva y el Fortalecimiento de la Educación”

1. INTRODUCCIÓN

La teoría  de   colas es  el   estudio  matemático  de   las colas o   líneas  de  espera  dentro  de un sistema. Ésta teoría estudia factores como el tiempo de espera medio en las colas o la capacidad de trabajo del sistema sin que llegue a colapsarse. Dentro de las matemáticas, la teoría de colas se engloba en la investigación de operaciones y es un complemento muy importante a la teoría de sistemas y la teoría de control. Se trata así de una teoría que encuentra  aplicación  en una amplia  variedad de situaciones  como  negocios,  comercio, industria, ingenierías, transporte y logística o telecomunicaciones.

ESTRUCTURAS TÍPICAS

Situación Llegadas Cola Mecanismo de Servicio

Aeropuerto. Aviones. Aviones en vuelo. Pista.

Aeropuerto. Pasajeros. Sala de espera. Avión.

Depto. De bomberos.

Alarmas de incendio. Incendios. Depto. De Bomberos.

Compañía telefónica.

Números marcados. Llamadas. Conmutador.

Lavado de carros. Autos. Autos sucios. Mecanismo de lavado.

La corte. Casos. Casos atrasados. Juez.

Panadería. Clientes. Clientes con números. Vendedor.

Carga de camiones. Camiones. Camiones en

espera. Muelle de carga.

Oficina de correos. Cartas. Buzón. Empleados del correo.

Fábrica. Ensamble. Inventario en proceso. Estación de trabajo.

Cartas de negocios.

Notas de dictado.

Cartas para mecanografiar. Secretaria.

Producción. Pedidos. Trabajos. Entrega del producto terminado.

Hospital. Pacientes. Personas Hospital.

enfermas.

2. CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DE LÍNEA DE ESPERA

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

En las formaciones de colas se habla de clientes, tales como máquinas dañadas a la espera de   ser   rehabilitadas.   Los   clientes   pueden   esperar   en   cola   debido   a   que   los  medios existentes sean inadecuados para satisfacer la demanda del servicio; en este caso, la cola tiende a  ser  explosiva,  es  decir,  a  ser  cada vez  más  larga  a medida que transcurre  el tiempo.   Los   clientes   puede  que   esperen   temporalmente,   aunque   las   instalaciones  de servicio   sean   adecuadas,   porque   los   clientes   llegados   anteriormente   están   siendo atendidos.

Las preguntas sobre el sistema de cola de espera se centran en cuatro cantidades:

a) El número de personas en el sistema: el número de personas que están siendo atendidas en el momento, así como aquellas que están esperando servicio.

b) La cantidad de personas en la cola de espera: las personas que están esperando servicio.

c) El   tiempo  de   espera   en   el   sistema:   el   intervalo   entre   el  momento   en  que   el individuo  entra   al   sistema   y   aquel   en  que   sale  del  mismo.  Observe  que   este intervalo incluye el tiempo de servicio.

d) El tiempo de espera en  la cola:  el  tiempo transcurrido desde que uno entra al sistema hasta que se inicia el servicio.

2.1.SUPOSICIONES DEL MODELO BÁSICO2.1.1. Proceso de llegadas: A cada llegada se le denominará un “trabajo”. Debido a que 

el   tiempo   entre   llegadas   (el   tiempo   interarribos)   no   se   conoce   con   certeza, necesitaremos   especificar   una   distribución   de   probabilidades   para   éste.   En   el modelo   básico   se   utiliza   una   distribución   particular,   llamada  distribución exponencial. Esta distribución juega un  papel central en muchos modelos de colas de   espera.   Da   una   representación   razonable   del   proceso   de   llegadas   en   una diversidad de situaciones, y su supuesta propiedad de carencia de memoria hace posible obtener resultados analíticos. La distribución exponencial no es simétrica, un hecho que disgusta a quienes piensan que un “promedio” debe tener tantos valores  por  encima  de   la  media  como por  debajo  de  ella.  Por  ejemplo,   si   los clientes   llegan,  en promedio,  cada 5  minutos  de  acuerdo con una distribución exponencial,   entonces   aproximadamente   2/3   de   ellos   tendrán   tiempos interarribos de menos de 5 minutos, y sólo aproximadamente 1/3 de ellos tendrá tiempos mayores que 5 minutos (pero algunos pueden ser muy largos y por  lo tanto   “sesgan”   el   promedio).   La   distribución   exponencial   sirve   para   describir muchos  servicios   (cajeros  bancarios,  empleados  de  correos).  Aproximadamente 2/3 de los tiempos de servicio quedarán por debajo del tiempo medio (muchas transacciones   cortas   y   rápidas)   y  1/3  de   los  tiempos  de   servicio   quedará  por encima de la media (alguien con la cobranza de su negocio, una persona que envía un paquete fuera del país).

Las palabras entrada de Poisson también son utilizadas para describir el proceso de llegadas, cuando el tiempo entre llegadas (interarribos) tiene una distribución exponencial.   Esto   se   debe   a   la   relación  entre   la  distribución  exponencial   y   la distribución Poisson. En particular, si el tiempo interarribos tiene una distribución exponencial, el número de llegadas en un periodo específico (digamos, tres horas) tiene una distribución Poisson.

Es   necesario   comprender   que   la   distribución   exponencial   queda   totalmente definida con un solo parámetro. Este parámetro, llamado  λ, es la tasa media de llegadas;   esto   es,   cuántos   trabajos   llegan   (en   promedio)   durante   un   periodo específico   de  modo   que   si  λ=0.05   trabajos   por  minuto   esto   implica   que,   en promedio, 5/100 de un trabajo llega cada minuto. Es probablemente más natural pensar en términos de un intervalo mayor. Un enunciado equivalente es que, en promedio,  un trabajo  llega cada 20 minutos.  Utilizando términos más técnicos, decimos que el  tiempo medio   interarribos  es de 20 minutos.  El  tiempo medio interarribos   es   el   tiempo   promedio   entre   dos   llegadas.   Por   lo   tanto,   para   la distribución   exponencial   tiempo   promedio   entre   trabajos   =   tiempo   medio interarribos

2.1.2. Proceso de servicio: En el modelo básico, el tiempo que toma terminar un trabajo (el tiempo de servicio) también es tratado mediante una distribución exponencial. El parámetro para esta distribución exponencial se conoce como μ. Representa la tasa media de servicio en trabajos por minuto. En otras palabras,  μT es el número de trabajos que serían atendidos (en promedio) durante un periodo de T minutos si la máquina estuviera ocupada durante ese tiempo.En el ejemplo siguiente asumiremos que     μ=0.10. Esto implica que en promedio 0.10 del trabajo es efectuado cada minuto. Un enunciado equivalente es que en promedio se completa un trabajo cada 10 minutos.  La media,  o promedio,  del tiempo  de   servicio   (el  tiempo  promedio  para   completar   un   trabajo),   es   1/ μ. Cuando μ, la tasa media de servicio, es 0.10, el tiempo promedio de servicio es 10, dado que 1/μ  =  1/0.10 =  10.

2.1.3. Tamaño de la cola de espera: No hay límite en el número de trabajos que pueden estar en cola de espera. Se dice que la cola de espera es infinita.

2.1.4. Disciplina en las colas de espera: Los trabajos son atendidos de acuerdo con un criterio  de  primer  arribo,  primer   trabajo   atendido;   esto  es,   se  atienden  en  el mismo orden en que llegan a la cola de espera.

2.1.5. Horizonte de tiempo: La operación del  sistema se considera como si  ocurriera continuamente en un horizonte infinito.

2.1.6. Población fuente: Hay una población infinita susceptible de hacer un arribo.

2.2.CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE COLA DE ESPERA

Hay muchos modelos de colas de espera posibles. Por ejemplo, si al  tiempo que existe entre los arribos en el modelo básico se le hubiera dado una distribución diferente (no la exponencial), habríamos tenido un modelo diferente. Para facilitar la comunicación entre aquellos   que   trabajan   con   modelos   de   cola   de   espera,   D.   G.   Kendall   propuso   una clasificación o taxonomía con base en la siguiente notación:

A/B/s,

Donde A =distribución de las llegadas

B =distribución del servicio

s =número de servidores

Se utilizan diferentes letras para designar ciertas distribuciones. Colocadas en la posición A o   B,   indican   la   distribución   de   llegadas   o   de   servicio,   respectivamente.   Las   reglas convencionales siguientes son de uso general:

M = distribución exponencial

D = número determinístico

G = cualquier distribución (general) de tiempos de servicio

GI = cualquier distribución (general) de tiempos de llegada

3. PRINCIPALES MEDIDAS QUE EMPLEA EL MODELO DE COLAS PARA EVALUACION

Los  modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea. Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:

a) Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la colab) Longitud de cola promedioc) Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema (tiempo de espera + 

tiempo de servicio).d) Número de clientes promedio en el sistema.e) Probabilidad de que el servicio se quede vacíof) Factor de utilización del sistemag) Probabilidad de la presencia de un específico número de clientes en el sistema.

Pero   considerando   la   literatura   consultada   nos   centraremos   sobre   todo   en   las siguientes seis medidas:

CARÁCTERÍSTICA SÍMBOLO FÓRMULA

Utilización -λμ

Numero esperado en el sistema Lλμ−λ

Numero esperado en la cola de espera Lqλ2

μ×(μ−λ)

Tiempo de espera promedio(incluyendo tiempo de servicio) W1μ−λ

Tiempo esperado en cola de espera Wqλ

μ×(μ−λ)

Probabilidad de que el sistema este ocupado Po 1− λμ

Es preciso aclarar que estas fórmulas son válidas para el modelo básico M/M/1, de modo que variaran de acuerdo al cambio en la forma de distribución  de las llegadas, servicios y el número de servidores.

4. EVALUACIÓN EN TÉRMINOS DE COSTOSParámetros del costo: Si somos capaces de estimar ciertos costos, podemos elaborar modelos de costo esperado de nuestros sistemas de cola de espera. Consideremos, por   ejemplo,   un  modelo   del   laboratorio   de   hematología   (en   términos   generales, cualquier   cola   de   espera   con   múltiples   servidores   con   tiempos   exponenciales interarribos y de servicio), y suponga que el administrador está dispuesto a especificar dos costos:

Cs  = costo por hora de tener un servidor disponible Cw  = costo por hora de tener a una persona esperando en el sistema (un costo muy “difuso” o cualitativo) 

Con estos costos es posible calcular el costo total asociado con la decisión de utilizar cualquier número específico de servidores. Comenzaremos calculando el costo total de emplear dos servidores para una jornada de ocho horas. Hay dos componentes:

Costo del Servidor = (Cs)(2)(8)

donde Cs es el costo por hora de un servidor, 2 es el número de servidores y 8 es el número de horas que trabaja cada servidor, y

             Costo de espera = (Cw)(L2)(8)

donde L2 es el número de personas en cola de espera cuando hay dos servidores. Este segundo cálculo puede no ser tan obvio, pero la justificación es la misma que para el costo del servidor.Si hay, en promedio, L2  personas esperando cuando el sistema tiene dos servidores, entonces L2 multiplicado por ocho es el número promedio de “horas” de espera. Por lo tanto, (Cw)(L2)(8) es el costo de espera promedio del día de ocho horas.Si quisiéramos calcular el costo total de utilizar cuatro servidores en un día de seis horas, tomaríamos

(Cs)(4)(6) + (Cw)(L4)(6)o

[(Cs(4) (Cw)(L4)]6

El término entre corchetes,  [(Cs)(4)  +  (Cw)(L4)],  entonces,  es el costo total  por hora utilizando cuatro servidores.

Costo total por hora: Ahora definimos

TC(s) = costo total por hora de utilizar s servidores

y podemos ver que

TC(s) = (Cs)(s) +(Cw)(Ls)

5. APLICACIÓN PRÁCTICA

Considere una línea de espera con dos canales con llegadas de poisson y tiempos de servicio exponenciales. La tasa media de llegada es de 14 unidades por hora, y la tasa media de servicio es d 10 unidades por hora para cada canal.a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema?b) ¿Cuál es la cantidad de unidades promedio en el sistema?c) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera una unidad por servicio?d) ¿Cuál es el tiempo promedio que una unidad está en el sistema?e) ¿Cuál es la probabilidad de tener que esperar por el servicio?

Solución:

λ = 14 unidades/hora

μ = 10 unidades/hora

k = 2

a)P0=

1

∑n=0

k−1 ( λμ )n

n!+( λμ )

k

k !×( k ×μ

(k ×μ−λ ) )P0=

1

( 1410

)0

0 !+( 1410

)1

1 !+( 1410

)2

2!×( 2×10

(2×10−14))

P0=0.1764

b)

c)

d)

e)