SOLUCIONARIO DE LA OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004-II FASE

1. A una fiesta asistieron 153 personas. En un momento determinado 17 damas y 22 caballeros no bailaban y el resto bailaban en parejas formadas por una dama y un caballero. ¿Cuántas damas asistieron a la fiesta?Solución:

Datos Planteo y operación

Respuesta

Total asistentes: 153 No bailan: 22 caballe ros y 17 damasBailan: x damas y x caballeros

22+17 + x + x = 15339 + 2x = 153X = 57Total damas: los que bailan + lo que no bailan = 57 + 17

Asistieron a la fiesta 74 damas

6. Una caja cúbica sin tapa de 4 cm X 4cm X 4cm contiene 64 pequeños cubos que llenan la caja exactamente. ¿Cuántos cubos tocan alguna cara lateral o el fondo de la caja? Solución:

Datos Planteo y operación

Respuesta

Observemos cuidadosamente la figura:

Nos damos cuenta que los únicos cubitos que no tocan ninguna pared lateral ni el fondo son los doce que están en la parte central de la figura

Tocan alguna cara lateral o el fondo de la caja : 64 – 12 = 52Cubitos.

2. Cada día del mes de agosto, un alumno comió de postre, durante el almuerzo, una naranja, una manzana o ambas frutas. Si comió naranjas 25 días y manzana 18 días, ¿Cuántos días comió amabas frutas?Solución:

Datos Planteo y operación

Respuesta

Total 31 días

25 –x + x + 18 – x = 31

43 – x = 31x- 12

Ambas frutas comió 12 días

7. Un agricultor cosecha cierto número de plantas de lechuga y solicita a cuatro de sus trabajadores que las cuenten: El 1º las agrupó de 11 en 11 pero le faltó uno, el 2º de 13 en 13 y le sobraron doce, el tercero de 7 en 7 pero le faltó uno, el cuarto les agrupó de 12 en 12, pero no le faltó ni sobró. ¿Cuántas plantas de lechuga tiene exactamente el agricultor, sabiendo que son menos de 8000? Solución: Sea x la cantidad de plantas de lechuga X = 1001k – 1 = 12k , asignandoEl 1º contó 11k – 1 valores a k = 5 .resulta: El 2º contó 13k – 1 X = 5004El 3º contó 7k – 1 Respuesta: Hay 5004 plantasEl 4º contó 12 k Entonces X = mcm de (11;13 y 7) -1 = 1001k - 1

3. El producto de las tres cifras de un número es 126 y la suma de sus dos últimas cifras es 11. ¿Cuál es la cifra de las centenas de dicho número? Solución:

Datos Planteo y operación RespuestaSea el número de tres cifras: abc , donde a.b.c=126 yb + c = 11cifra de centenas es a

a b c7 2 9

3 84 75 6

De acuerdo a la tabla y por tanteo, a es 7 y b y c son 2 y 9

La cifra de las centenas es 7

8.Un estudiante leyó un número telefónico de 7 dígitos escrito en la forma siguiente: abc defg y pensó que se trataba de una resta, la efectuó y obtuvo -95; sabiendo que todos los dígitos del número telefónico son distintosHalla el menor valor posible del número abcSolución: Según los datos se tiene:abc - defg = - 95 . O sea 9bc + 95 Ahora buscamos números 10 fgdiferentes que cumplan con la suma, siendo b=4 y c= 2 Respuesta: El menor valor posible de abc = 942

4. En una división, sin considerar decimales, el divisor es 15, el cociente es 10 unidades mayor que el divisor y el residuo es 5. Calcula en cuanto aumenta el cociente si aumentamos 20 unidades al dividendo y luego lo duplicamos, y este nuevo dividendo lo dividimos entre el mismo divisor. Solución:

Datos Planteo y operación

Respuesta

d= 15Q = 15 + 10 = 25r = 5D d 255

D = 15 (25) +5 = 380Si aumentamos 20 y duplicamos el dividendo ahora es 800800 d 535

El cociente aumentó en 53 – 25 = 28 unidades.

9. Sean p y q números primos distintos mayores que 1 y menores que 100, tales que : p+6, p+10, q+4, q+10 y p+q+1 son todos números primos. Calcular el mayor valor que pueda tomar p+q . Solución:

Nºprimos

p+6 p+10 q+4 q+10 P+q+1

p (3k+1)+6

(3k+1)+10

q 3k+4 3k+10 (3k+1)+3k+1

Los primos menores que 100 son: 2;3;5;7;11;13,17;19;23;29;31;37;41;43,47;53;59;61;67;71;73;79;83;89 y 97. De donde p= 97 y q= 3 (mayor valor posible)Respuesta: p+q = 100

5. Sean C y D dos dígitos tales que4 se cumpla la siguiente

igualdad: 0,3̂C= D11

, hallar CD .

Solución:

Datos Planteo y operación

Respuesta

0,3̂C= D11

,

3C99

= D11

3C = 9D

3C = 9D30 + C = 9DPor tanteo:C = 6 y D = 4

El número es 64

10. Se tiene 12 números enteros positivos y distintos que satisfacen la siguiente condición: Si calculas todas las diferencias positivas posibles, tomando los números de 2 en 2, se forma un conjunto de 20 enteros positivos consecutivos. Calcula la diferencia entre el mayor y el menor valor de los 12 números. Solución:Sean 12 números enteros positivos y distintos, en forma ordenada: 0<a1<a2<a3<a4<a5<a6<a7<a8<a9<a10<a11<a12

Debemos hallar a12-a1, ordenando consecutivamente sería: a1 - a1+1; a1 + 2 ; …..a1+18; a1+19 y tomando de 2 en 2 hallamos la diferencia: a12- a11 ≥ D (diferencia mínima) a11- a10 ≥ D : : : : a2 - a1 ≥ D a12 - a1 ≥10D O sea: a1+19 - a1 = 19 . Luego 19 ≥10D , donde D=1Respuesta: El mayor de las diferencias es 20

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