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Mg. Samuel Oporto Díaz Lima, 16 mayo del 2005

Sistemas Difusos

INTELIGENCIA ARTIFICIAL Y SISTEMAS EXPERTOS

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Tabla de Contenido

• Introducción 3• Lógica Difusa 9• Conjuntos Difusos 17• Operaciones con Conjuntos Difusos

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INTRODUCCIÓN

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Introducción

Probabilidad.• Es una propiedad física de los objetos, determina la

posibilidad de que cierto evento puede ocurrir.• Se calcula y verifica por experimentación.

Incertidumbre.• Se relaciona a la información (falta de información).• Cuando no se sabe cuando puede ocurrir cierto evento.• No se conoce una teoría que explique el fenómeno.

Imprecisión (ambigüedad).• Es una característica del lenguaje de comunicación

humano.

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Probabilidad

Rango de valores [0,1]

Ejemplos:• P (X = cara) = 0.5

• P (X = hombre) = 0.5

• P (X = ROJO) = 2/7

P(X=x)

XROJO AZUL VERDE

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Incertidumbre• ¿Cuándo va ha suceder un terremoto?• ¿Aprobaré el curso?• Si tiro la moneda, ¿sale cara o sello?• ¿La respuesta a la pregunta es V o F?

• A medida que se dispone de más información la incertidumbre se puede reducir.

• La ausencia de incertidumbre es tener información total.

• Se trabaja con niveles de creencias.

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Incertidumbre• Se trabaja con niveles de creencias.• Rango de valores [0,1]

• ¿Cuándo va ha suceder un terremoto?Silencio sísmico

• ¿Aprobaré el curso?¿Estudiaste?, ¿le dedicaste tiempo?, ¿hiciste tus trabajos?

• Si tiro la moneda, ¿saldrá cara o sello?¿la moneda está sesgada?

• ¿Cuál es la respuesta para una pregunta con V o F?Si sabes, responde. Si no sabes, cualquiera es buena respuesta.

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Ambigüedad

Es una característica del lenguaje humano.

Ejemplos:• Si estudias bastante entonces obtendrás buenas notas.• Examen fácil• Examen difícil• Profesor buena gente• Profesor mala gente• Si el profesor es buena gente entonces el examen será fácil• Si el profesor es mala gente entonces el examen será difícil

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LÓGICA DIFUSA

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Lógica Difusa

• La lógica difusa es una extensión de la convencional (Booleana) para manejar el concepto de verdad parcial.

• La verdad parcial se presenta cuando los valores de verdad se encuentran entre “absolutamente cierto” y “absolutamente falso”

F

V

F

V

Lógica booleana Lógica difusa

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Conjuntos Difusos y Lógica Difusa• La palabra fuzzy viene del ingles fuzz (tamo, pelusa,

vello) y se traduce por difuso o borroso.• Lotfi A. Zadeh: Es el padre de toda esta teoría (Zadeh,

1965).• Importancia: En la actualidad es un campo de

investigación muy importante, tanto por sus implicaciones matemáticas o teóricas como por sus aplicaciones prácticas.

• Revistas Int.: Fuzzy Sets and Systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems...

• Congresos: FUZZ-IEEE, IPMU, EUSFLAT, ESTYLF...• Bibliografía Gral.: (Kruse, 1994), (McNeill, 1994),

(Mohammd, 1993), (Pedrycz, 1998)...

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Conjuntos Difusos y Lógica Difusa• Problemas Básicos subyacentes:

– Conceptos SIN definición clara: Muchos conceptos que manejamos los humanos a menudo, no tienen una definición clara: ¿Qué es una persona alta? ¿A partir de qué edad una persona deja de ser joven?

– La lógica clásica o bivaluada es demasiado restrictiva: Una afirmación puede no ser ni VERDAD (true) ni FALSA (false).

• “Yo leeré El Quijote”: ¿En qué medida es cierto? Depende de quien lo diga y...

• “Él es bueno en Física”: ¿Es bueno, muy bueno o un poco mejor que regular?

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Ejemplo 1

Defina los siguientes conceptos:• Algunas mujeres jóvenes son inteligentes

• Algunos hombres maduros son responsables.

• Sígueme de cerca.

• El carro está limpio.

• Otros ejemplos . . . . . . .

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¿Cuándo usar la tecnología fuzzy o difusa?

(Sur, Omron, 1997)• En procesos complejos, si no existe un modelo de

solución sencillo.• En procesos no lineales.• Cuando haya que introducir la experiencia de un

operador “experto” que se base en conceptos imprecisos obtenidos de su experiencia.

• Cuando ciertas partes del sistema a controlar son desconocidas y no pueden medirse de forma fiable (con errores posibles).

• Cuando el ajuste de una variable puede producir el desajuste de otras.

• En general, cuando se quieran representar y operar con conceptos que tengan imprecisión o incertidumbre (como en las Bases de Datos Difusas).

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¿Cuándo no usar la lógica difusa?

• Si puedes resolver el problema con otra técnica más sencilla.

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Aplicaciones(Sur, Omron, 1997; Zimmermann, 1993):• Control de sistemas: Control de tráfico, control de

vehículos (helicópteros...), control de compuertas en plantas hidroeléctricas, centrales térmicas, control en máquinas lavadoras, control de metros (mejora de su conducción, precisión en las paradas y ahorro de energía), ascensores...

• Predicción y optimización: Predicción de terremotos, optimizar horarios...

• Reconocimiento de patrones y Visión por ordenador: Seguimiento de objetos con cámara, reconocimiento de escritura manuscrita, reconocimiento de objetos, compensación de vibraciones en la cámara

• Sistemas de información o conocimiento: Bases de datos, sistemas expertos

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CONJUNTOS DIFUSOS

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Conceptos sobre Conjuntos Difusos• Surgieron como una nueva forma de representar la

imprecisión y la incertidumbre.

• Herramientas que usa: Matemáticas, Probabilidad, Estadística, Filosofía, Psicología...

• Es un puente entre dos tipos de computaciones:– C. Numérica: Usada en aplicaciones científicas, por

ejemplo.– C. Simbólica: Usada en todos los campos de la

Inteligencia Artificial.

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Conjuntos Clásicos (crisp)• El conjunto universal U (Universo de discurso) contiene

todos los elementos de cada contexto ó aplicación en particular.

• Los conjuntos clásicos se pueden definir de las siguientes maneras:– Método de Lista (Finito) (extensión)

– Método de Regla A = {X ε U / x cumple ciertas condiciones} (comprensión)

– Método de membresía (comprensión)

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Conjuntos Clásicos (crisp)• Surgen de forma natural, por la necesidad del ser

humano de clasificar objetos y conceptos.• Conjunto de Frutas: Manzana|Frutas, Lechuga|Frutas...• Función de pertenencia A(x), x ε X:

– X es el Universo de Discurso.– Restricción de la Función A: X {0,1}

• Conjunto Vacío Φ(x)=0, ε X• Conjunto Universo U(x)=1, ε X

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Conjuntos Clásicos• Conjunto de Frutas: Manzana|Frutas, Lechuga|Frutas...

0

1

ManzanasFrutas que no son manzanas

0

1

lechugasFrutas que no son lechugas

Grado de pertenencia o función de membresía

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Conjuntos Difusos (fuzzy):• Relajan la restricción, A: X [0,1]

• Un conjunto difuso en el universo U se caracteriza por la función de membresía A(x) que toma el intervalo [0,1], a diferencia de los conjuntos clásicos que toman el valor de cero o uno {0, 1}

• El conjunto difuso A se puede representar por• A = { (x, μA (x)) / x ε U}

• Donde μA(x) es el grado de pertenencia.

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Conjuntos Difusos (fuzzy):

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Conjuntos Difusos

• Un conjunto difuso puede ser alternativamente denota como:

• X es discreto

• A es continuo

• Notar que la sumatoria y la integral representan la unión de los grados de membresía y / no significa división.

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Ejemplo 2

Sea el conjunto difuso joven.

3015 20 25 5035 40 45

A = {10/1, 15/1, 20/1, 25/0.75, 30/0.25, 35/0 }

A = {(10,1), (15,1), (20,1), (25,0.75), (30,0.25), (35,0) }

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Ejemplo 2

Sea el conjunto difuso joven.

3015 20 25 5035 40 45

A = {10/1, 15/1, 20/0.80, 25/0.60, 30/0.40, 35/0.20, 40/0.0 }

A = {(10,1), (15,1), (20,0.80), (25,0.60), (30,0.40), (35,0.20), (40,0.0) }

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Ejemplo 3• Supongamos que se desea definir lo rápido que es un

carro.

• Aunque se puede utilizar la velocidad limite como referencia, pocos carros alcanzan su velocidad límite en alguna ocasión, de modo que una referencia mejor puede ser utilizar la aceleración de 0 a 100 Km/hora.

• Podría afirmarse entonces que cualquier carro con una aceleración de 0 a 100 km/h. en menos de 8 segundos, es rápido y los demás son lentos.

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Ejemplo 3

La escala vertical representa la opinión de los especialistas sobre lo que es rápido. El valor 1 significa que el 100 % opina que una aceleración por debajo de los 8 segundos supone un carro rápido. El 0 indica que por encima de los 8 segundos de aceleración, nadie cree que un carro sea rápido

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Pero desde luego, raramente existe un consenso de este tipo. En la vida real, la opinión de los especialistas diferirá, por lo que una curva más real es la que se representa en la siguiente figura.

En ella se muestra que sólo el 50 % de los especialistas considerará que un tiempo por debajo de los 8 segundos es rápido. En cualquier caso, él numero entre 0 y 1 da un valor que indica rapidez de un carro, medida en una cierta escala. Los factores de certidumbre pueden emplearse también para representar conceptos como: grande, verdadero, rico, pecaminoso. etc. Este método de representar la información imprecisa es útil para algunos tipos de problemas. Permite asignar valoresnuméricos a conocimientos cuya validez se desconoce.

0 8

1

3030 /69/69

Problema

• Grafique el conjunto difuso cerca de 50 años

30 7050 30 7050

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OPERACIONES SOBRE CONJUNTOS DIFUSOS

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Operaciones

• Con conjuntos difusos se pueden realizar operaciones básicas tales como:

NOT Complemento AND Intercepción OR Unión

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Operadores Difusos

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Ejemplo 4• Sea los conjuntos A y B, como se representan mediante

las siguientes funciones de membresía

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NOT• El operador OR se puede implementar asignando:

1 – valor de función de membresía.

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AND• El operador AND se puede implementar asignando el

mínimo valor de cada función de membresía.

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OR• El operador OR se puede implementar asignando el

máximo valor de cada función de membresía.

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Ejemplo 5

Sean los conjuntos difusos:• A = {0.1/1, 0.2/2, 0.3/3, 0.5/4, 0.3/5, 0.2/6, 0.1/7}• B = {0.4/1, 0.2/2, 0.1/3, 0.9/4, 0.7/5, 0.1/6, 0.5/7}

Calcular: _ _

A U B, A ∩ B, A y B

• A U B = {0.4/1, 0.2/2, 0.3/3, 0.9/4, 0.7/5, 0.2/6, 0.5/7}• A ∩ B = {0.1/1, 0.2/2, 0.1/3, 0.5/4, 0.3/5, 0.1/6, 0.1/7}• A = {0.9/1, 0.8/2, 0.7/3, 0.5/4, 0.7/5, 0.8/6, 0.9/7}• B = {0.6/1, 0.8/2, 0.9/3, 0.5/4, 0.3/5, 0.9/6, 0.5/7}

_

_

3939 /69/69

Ejemplo 5

Para los conjuntos definidos, calcular:• (A U B) ∩ (A U B)• (A ∩ B) U (A ∩ B)

_ _

__

4040 /69/69

PREGUNTAS