169022044-Mias-u2-a2-Alve-Ver-Fin

Inducción matemáticaALGEBRA AVANZADA.

UNIDAD 2

MIAS_U2_A2_ALVE

Alejandro Volpi

AL12522284

Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Licenciatura en MatemáticasLunes, 5 de agosto, 2013

1. Demostrar por inducción

Fuente:

Investigación:

Ejercicios

a: 12+ 22

+ 32+ ... + n

2=

nHn+1L Hn+2L6

¬� no se comprueba

12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+n2=

n Hn+1L Hn+2L

6

H*sea n=5*L

12+ 22

+ 32+ 42

+ 52=

5 H5+1L H5+2L

6

1 + 4 + 9 + 16 + 25 =5 H6L H7L

6

55 = 35 H*Falso*L

H*por lo tanto a no pasa la primera fase de la inducción matemática*L

� Suponiendo lo anterior fuese un error, se podría comprobar lo siguiente

H*1a*L

12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+n2=

n Hn+1L H2 n+1L

6

H*Demostraremos que es cierta para n=1*L

n = 1

1 =1 H1+1L H2+1L

6

1 =1 H2L H3L

6

1 = 1

H*Supongamos se cumple para n=k*L

H*Hipotesis de induccion*L

12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+k2=

k Hk+1L H2 k+1L

6

H*Tenemos que demostrar que se cumple para n=k+1, es decir,*L

12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+Hk + 1L2=

Hk+1L HHk+1L+1L H2 Hk+1L+1L

6

12 + 22+ 32

+ 42+ ....+k2

+ Hk + 1L2=

Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6

H*Tenemos que demostrar esto*L

H*Pero*L

12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+k2=

k Hk+1L H2 k+1L

6

H*Por Hiportesis de induccion*L

I12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+k2M + Hk + 1L2=

Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6

I k Hk+1L H2 k+1L

6M + Hk + 1L2

=Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6

I k Hk+1L H2 k+1L

6M +

6 Hk+1L2

6=

Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6

Hk+1L

6Hk H2 k + 1L + 6 Hk + 1LL =

Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6

Hk+1L

6I2 k2

+ k + 6 k + 6M =Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6

Hk+1L

6I2 k2

+ 7 k + 6M =Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6

Hk+1L

6I2 k2

+ 7 k + 6M =Hk+1L I2 k2

+3 k+4 k+6M

6

Hk+1L

6I2 k2

+ 7 k + 6M =Hk+1L I2 k2

+7 k+6M

6

H*con esto concluimos que ambos lados de la igualdad son iguales,

por lo tanto*L

12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+Hk + 1L2=


6

H*concluimos que se cumple*L

12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+n2=

n Hn+1L H2 n+1L

6

Printed by Wolfram Mathematica Student Edition

H*1a*L

12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+n2=

n Hn+1L H2 n+1L

6


n = 1

1 =1 H1+1L H2+1L

6

1 =1 H2L H3L

6

1 = 1



12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+k2=

k Hk+1L H2 k+1L

6


12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+Hk + 1L2=


6

12 + 22+ 32

+ 42+ ....+k2

+ Hk + 1L2=

Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6


H*Pero*L

12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+k2=

k Hk+1L H2 k+1L

6


I12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+k2M + Hk + 1L2=

Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6

I k Hk+1L H2 k+1L

6M + Hk + 1L2


6

I k Hk+1L H2 k+1L

6M +

6 Hk+1L2

6=

Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6

Hk+1L

6Hk H2 k + 1L + 6 Hk + 1LL =

Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6

Hk+1L

6I2 k2

+ k + 6 k + 6M =Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6

Hk+1L

6I2 k2

+ 7 k + 6M =Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6

Hk+1L

6I2 k2

+ 7 k + 6M =Hk+1L I2 k2

+3 k+4 k+6M

6

Hk+1L

6I2 k2

+ 7 k + 6M =Hk+1L I2 k2

+7 k+6M

6


por lo tanto*L

12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+Hk + 1L2=


6


12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+n2=

n Hn+1L H2 n+1L

6

2 MIAS_U2_A2_ALVE (ver_fin).nb


H*1a*L

12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+n2=

n Hn+1L H2 n+1L

6


n = 1

1 =1 H1+1L H2+1L

6

1 =1 H2L H3L

6

1 = 1



12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+k2=

k Hk+1L H2 k+1L

6


12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+Hk + 1L2=


6

12 + 22+ 32

+ 42+ ....+k2

+ Hk + 1L2=

Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6


H*Pero*L

12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+k2=

k Hk+1L H2 k+1L

6


I12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+k2M + Hk + 1L2=

Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6

I k Hk+1L H2 k+1L

6M + Hk + 1L2


6

I k Hk+1L H2 k+1L

6M +

6 Hk+1L2

6=

Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6

Hk+1L

6Hk H2 k + 1L + 6 Hk + 1LL =

Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6

Hk+1L

6I2 k2

+ k + 6 k + 6M =Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6

Hk+1L

6I2 k2

+ 7 k + 6M =Hk+1L Hk+2L H2 k+3L

6

Hk+1L

6I2 k2

+ 7 k + 6M =Hk+1L I2 k2

+3 k+4 k+6M

6

Hk+1L

6I2 k2

+ 7 k + 6M =Hk+1L I2 k2

+7 k+6M

6


por lo tanto*L

12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+Hk + 1L2=


6


12+ 22

+ 32+ 42

+ ....+n2=

n Hn+1L H2 n+1L

6

MIAS_U2_A2_ALVE (ver_fin).nb 3


b: Hn + 1L Hn + 2L Hn + 3L ... ... Hn + nL = 2n H1L H3L H5L ... H2 n - 1L �

H*1b*L

Hn + 1L Hn + 2L Hn + 3L ... ... Hn + nL = 2n H1L H3L H5L ... H2 n - 1L


n = 1

H1 + 1L = 21 H1L2 = 2


H*Hipótesis de inducción*L

Hk + 1L Hk + 2L Hk + 3L ... ... Hk + kL = 2k H1L H3L H5L ... H2 k - 1L


Hk + 1 + 1L Hk + 1 + 2L Hk + 1 + 3L ... ... Hk + 1 + k + 1L = 2k+1 H1L H3L H5L ... H2 Hk + 1L - 1L

H*Resolviendo un poco...*L

Hk + 2L Hk + 3L Hk + 4L ... ... Hk + k + 2L = 2k+1 H1L H3L H5L ... H2 k + 1L

H*Pero se sabe que...*L



H*Multiplicando por ambos lados por Hk+k+1LHk+k+2L*L

Hk + 1L Hk + 2L Hk + 3L ... ... Hk + kL Hk + k + 1L Hk + k + 2L =

2k H1L H3L H5L ... H2 k - 1L Hk + k + 1L Hk + k + 2L

Hk + 2L Hk + 3L ... ... Hk + kL Hk + k + 1L Hk + k + 2L =

2k H1L H3L H5L... H2 k-1L H2 k+1L H2 k+2LHk+1L


2k H1L H3L H5L... H2 k-1L H2 k+1L H2L Hk+1LHk+1L


2k H1L H3L H5L ... H2 k - 1L H2 k + 1L H2L


2k+1 H1L H3L H5L ... H2 k - 1L H2 k + 1L


por lo tanto*L




H*1b*L

Hn + 1L Hn + 2L Hn + 3L ... ... Hn + nL = 2n H1L H3L H5L ... H2 n - 1L


n = 1

H1 + 1L = 21 H1L2 = 2






H*Resolviendo un poco...*L

Hk + 2L Hk + 3L Hk + 4L ... ... Hk + k + 2L = 2k+1 H1L H3L H5L ... H2 k + 1L

H*Pero se sabe que...*L



H*Multiplicando por ambos lados por Hk+k+1LHk+k+2L*L

Hk + 1L Hk + 2L Hk + 3L ... ... Hk + kL Hk + k + 1L Hk + k + 2L =

2k H1L H3L H5L ... H2 k - 1L Hk + k + 1L Hk + k + 2L


2k H1L H3L H5L... H2 k-1L H2 k+1L H2 k+2LHk+1L


2k H1L H3L H5L... H2 k-1L H2 k+1L H2L Hk+1LHk+1L


2k H1L H3L H5L ... H2 k - 1L H2 k + 1L H2L


2k+1 H1L H3L H5L ... H2 k - 1L H2 k + 1L


por lo tanto*L




c: 12- 22

+ 32- 42

+ ....+H-1Ln-1n

2= H-1Ln-1 n Hn+1L

2 �

12- 22

+ 32- 42

+ ....+H-1Ln-1 n2= H-1Ln-1 n Hn+1L

2


n = 1

12= H-1L1-1 1

H1+1L

2

1 = 1

H*Supongamos se cumple para n=k*LH*Hipótesis de induccioón*L

12- 22

+ 32- 42

+ ....+H-1Lk-1 k2= H-1Lk-1 k Hk+1L

2


12- 22

+ 32- 42

+ ....+H-1Lk+1-1 Hk + 1L2= H-1Lk+1-1 Hk+1L Hk+1+1L

2

12- 22

+ 32- 42

+ ....+H-1Lk Hk + 1L2= H-1Lk Hk+1L Hk+2L

2

H*pero tenemos que*L

12- 22

+ 32- 42

+ ....+H-1Lk-1 HkL2+ H-1Lk Hk + 1L2

= H-1Lk Hk+1L Hk+2L2

A12- 22

+ 32- 42

+ ....+H-1Lk-1 HkL2E + H-1Lk Hk + 1L2= H-1Lk Hk+1L Hk+2L

2

BH-1Lk-1 k Hk+1L2

F + H-1Lk Hk + 1L2= H-1Lk Hk+1L Hk+2L

2

BH-1Lk H-1L-1 k Hk+1L2

F +2 H-1Lk Hk+1L2

2= H-1Lk Hk+1L Hk+2L

2

H-1Lk Hk+1L

2AH-1L-1 k + 2 Hk + 1LE = H-1Lk Hk+1L Hk+2L

2

H-1Lk Hk+1L2

AI 1

-1M k + 2 k + 12E = H-1Lk Hk+1L Hk+2L

2

H-1Lk Hk+1L2

@-k + 2 k + 2D = H-1Lk Hk+1L Hk+2L2

H-1Lk Hk+1L2

@k + 2D = H-1Lk Hk+1L Hk+2L2

H*con esto concluímos que ambos lados de la igualdad son iguales,

por lo tanto*L

12- 22

+ 32- 42


2

H*concluímos que se cumple*L

12- 22

+ 32- 42

+ ....+H-1Ln-1 n2= H-1Ln-1 n Hn+1L

2



12- 22

+ 32- 42

+ ....+H-1Ln-1 n2= H-1Ln-1 n Hn+1L

2


n = 1

12= H-1L1-1 1

H1+1L

2

1 = 1

H*Supongamos se cumple para n=k*LH*Hipótesis de induccioón*L

12- 22

+ 32- 42

+ ....+H-1Lk-1 k2= H-1Lk-1 k Hk+1L

2


12- 22

+ 32- 42


2

12- 22

+ 32- 42

+ ....+H-1Lk Hk + 1L2= H-1Lk Hk+1L Hk+2L

2

H*pero tenemos que*L

12- 22

+ 32- 42

+ ....+H-1Lk-1 HkL2+ H-1Lk Hk + 1L2

= H-1Lk Hk+1L Hk+2L2

A12- 22

+ 32- 42

+ ....+H-1Lk-1 HkL2E + H-1Lk Hk + 1L2= H-1Lk Hk+1L Hk+2L

2

BH-1Lk-1 k Hk+1L2

F + H-1Lk Hk + 1L2= H-1Lk Hk+1L Hk+2L

2

BH-1Lk H-1L-1 k Hk+1L2

F +2 H-1Lk Hk+1L2

2= H-1Lk Hk+1L Hk+2L

2

H-1Lk Hk+1L

2AH-1L-1 k + 2 Hk + 1LE = H-1Lk Hk+1L Hk+2L

2

H-1Lk Hk+1L2

AI 1

-1M k + 2 k + 12E = H-1Lk Hk+1L Hk+2L

2

H-1Lk Hk+1L2

@-k + 2 k + 2D = H-1Lk Hk+1L Hk+2L2

H-1Lk Hk+1L2

@k + 2D = H-1Lk Hk+1L Hk+2L2


por lo tanto*L

12- 22

+ 32- 42


2

H*concluímos que se cumple*L

12- 22

+ 32- 42

+ ....+H-1Ln-1 n2= H-1Ln-1 n Hn+1L

2



d: I1 -1

4M I1 -

1

9M ... .. J1 -

1

Hn+1L2N =

n+2

2 n+2 �


n = 1

1 -1

4=

1+2

2+2

4

4-

1

4=

3

4

3

4=

3

4

H*Supongamos se cumple para n=k*LH*Hipótesis de inducción*L

I1 -1

4M I1 -

1

9M ... .. J1 -

1

Hk+1L2N =

k+2

2 k+2


I1 -1

4M I1 -

1

9M ... .. J1 -

1

Hk+1+1L2N =

k+1+2

2 Hk+1L+2

I1 -1

4M I1 -

1

9M ... .. J1 -

1

Hk+2L2N =

k+3

2 k+4

H*Pero tenemos que*L

I1 -1

4M I1 -

1

9M ... .. J1 -

1

Hk+1L2N J1 -

1

Hk+2L2N =

k+3

2 k+4

BI1 -1

4M I1 -

1

9M ... .. J1 -

1

Hk+1L2NF J1 -

1

Hk+2L2N =

k+3

2 k+4

A k+2

2 k+2E J1 -

1

Hk+2L2N =

k+3

2 k+4H*por hipotesis de inducción*L

A k+2

2 k+2E J Hk+2L2

Hk+2L2-

1

Hk+2L2N =

k+3

2 k+4H*pasos algebráicos*L

A k+2

2 k+2E J k2

+4 k+4-1

Hk+2L2N =

k+3

2 k+4H*desarollamos el cuadrado de Hk+2L2

*L

A 1

2 k+2E J k2

+4 k+3

Hk+2LN =

k+3

2 k+4

H*eliminamos k+2 en uno se esta multiplicando y en otro dividiendo*L

A 1

2 k+2E J Hk+3L Hk+1L

Hk+2LN =

k+3

2 k+4H*factorizamos k2

+4k+3=Hk+3LHk+1L *L

B 1

2 Hk+1LF J Hk+3L Hk+1L

Hk+2LN =

k+3

2 k+4

A 1

2E J Hk+3L

Hk+2LN =

k+3

2 k+4

Hk+3L

2 k+4=

k+3

2 k+4


por lo tanto*L

I1 -1

4M I1 -

1

9M ... .. J1 -

1

Hk+1+1L2N =

k+1+2

2 Hk+1L+2H*es verdadero*L


I1 -1

4M I1 -

1

9M ... .. J1 -

1

Hn+1L2N =

n+2

2 n+2




n = 1

1 -1

4=

1+2

2+2

4

4-

1

4=

3

4

3

4=

3

4


I1 -1

4M I1 -

1

9M ... .. J1 -

1

Hk+1L2N =

k+2

2 k+2


I1 -1

4M I1 -

1

9M ... .. J1 -

1

Hk+1+1L2N =

k+1+2

2 Hk+1L+2

I1 -1

4M I1 -

1

9M ... .. J1 -

1

Hk+2L2N =

k+3

2 k+4

H*Pero tenemos que*L

I1 -1

4M I1 -

1

9M ... .. J1 -

1

Hk+1L2N J1 -

1

Hk+2L2N =

k+3

2 k+4

BI1 -1

4M I1 -

1

9M ... .. J1 -

1

Hk+1L2NF J1 -

1

Hk+2L2N =

k+3

2 k+4

A k+2

2 k+2E J1 -

1

Hk+2L2N =

k+3

2 k+4H*por hipotesis de inducción*L

A k+2

2 k+2E J Hk+2L2

Hk+2L2-

1

Hk+2L2N =

k+3

2 k+4H*pasos algebráicos*L

A k+2

2 k+2E J k2

+4 k+4-1

Hk+2L2N =

k+3

2 k+4H*desarollamos el cuadrado de Hk+2L2

*L

A 1

2 k+2E J k2

+4 k+3

Hk+2LN =

k+3

2 k+4

H*eliminamos k+2 en uno se esta multiplicando y en otro dividiendo*L

A 1

2 k+2E J Hk+3L Hk+1L

Hk+2LN =

k+3

2 k+4H*factorizamos k2

+4k+3=Hk+3LHk+1L *L

B 1

2 Hk+1LF J Hk+3L Hk+1L

Hk+2LN =

k+3

2 k+4

A 1

2E J Hk+3L

Hk+2LN =

k+3

2 k+4

Hk+3L

2 k+4=

k+3

2 k+4


por lo tanto*L

I1 -1

4M I1 -

1

9M ... .. J1 -

1

Hk+1+1L2N =

k+1+2

2 Hk+1L+2H*es verdadero*L


I1 -1

4M I1 -

1

9M ... .. J1 -

1

Hn+1L2N =

n+2

2 n+2



e: 12+ 22

+ 32+ ... + n

2=

nHn+1L Hn+2L6

�

I15+ 25

+ 35+ ... .. + n5M + I17

+ 27+ 37

+ ....+n7M = 2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + nL4


I15M + I17M = 2 H1L4

1 + 1 = 2

2 = 2


I15+ 25

+ 35+ ... .. + k5M + I17

+ 27+ 37

+ ....+k7M = 2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + kL4


I15+ 25

+ 35+ ... .. + Hk + 1L5M + I17

+ 27+ 37

+ ....+Hk + 1L7M =

2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + k + Hk + 1LL4

H*realizaremos ciertos pasos algebraicos para llegar a la igualdad*L

I15+ 25

+ 35+ ... .. + k5

+ Hk + 1L5M + I17+ 27

+ 37+ ....+k7

+ Hk + 1L7M =

2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + k + Hk + 1LL4

I15+ 25

+ 35+ ... .. + k5M + I17

+ 27+ 37

+ ....+k7M + IHk + 1L5+ Hk + 1L7M =

2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + k + Hk + 1LL4

I2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + kL4M + Hk + 1L5+ Hk + 1L7

= 2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + k + Hk + 1LL4

2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + kL4+ Hk + 1L4 Ik + 1 + Hk + 1L3M =

2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + k + Hk + 1LL4

H*usaremos el hecho de que*L

1 + 2 + 3 + ... .. + k =k Hk+1L

2

1 + 2 + 3 + ... .. + k + Hk + 1L =Hk+1L Hk+2L

2

H*entonces*L

2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + kL4+ Hk + 1L4 Ik + 1 + Hk + 1L3M =

2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + k + Hk + 1LL4

2 I k Hk+1L

2M

4+ Hk + 1L4 Ik + 1 + Hk + 1L3M = 2 I Hk+1L Hk+2L

2M

4

2 J k4 Hk+1L4

16N + Hk + 1L4 Ik + 1 + Hk + 1L3M = 2

Hk+1L4 Hk+2L

16

4

k4 Hk+1L4

8+ Hk + 1L4 Ik + 1 + Hk + 1L3M =

Hk+1L4 Hk+2L

8

4

Hk+1L4

8Ak4

+ 8 Ik + 1 + Hk + 1L3ME =Hk+1L4

8Hk + 2L4

Ak4+ 8 Ik + 1 + Hk + 1L3ME = Hk + 2L4

Ak4+ 8 Ik + 1 + k3

+ 3 k2+ 3 k + 1ME = Hk + 2L4

Ak4+ 8 Ik3

+ 3 k2+ 4 k + 2ME = Hk + 2L4

Ak4+ 8 k3

+ 24 k2+ 32 k + 16E = Hk + 2L4

Hk + 2L4= Hk + 2L4


por lo tanto*L

I15+ 25

+ 35+ ... .. + Hk + 1L5M + I17

+ 27+ 37

+ ....+Hk + 1L7M =

2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + k + Hk + 1LL4H*es verdadero*L


I15+ 25

+ 35+ ... .. + n5M + I17

+ 27+ 37

+ ....+n7M = 2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + nL4



I15+ 25

+ 35+ ... .. + n5M + I17

+ 27+ 37

+ ....+n7M = 2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + nL4


I15M + I17M = 2 H1L4

1 + 1 = 2

2 = 2


I15+ 25

+ 35+ ... .. + k5M + I17

+ 27+ 37

+ ....+k7M = 2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + kL4


I15+ 25

+ 35+ ... .. + Hk + 1L5M + I17

+ 27+ 37

+ ....+Hk + 1L7M =

2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + k + Hk + 1LL4


I15+ 25

+ 35+ ... .. + k5

+ Hk + 1L5M + I17+ 27

+ 37+ ....+k7

+ Hk + 1L7M =

2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + k + Hk + 1LL4

I15+ 25

+ 35+ ... .. + k5M + I17

+ 27+ 37

+ ....+k7M + IHk + 1L5+ Hk + 1L7M =

2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + k + Hk + 1LL4

I2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + kL4M + Hk + 1L5+ Hk + 1L7

= 2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + k + Hk + 1LL4

2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + kL4+ Hk + 1L4 Ik + 1 + Hk + 1L3M =

2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + k + Hk + 1LL4

H*usaremos el hecho de que*L

1 + 2 + 3 + ... .. + k =k Hk+1L

2

1 + 2 + 3 + ... .. + k + Hk + 1L =Hk+1L Hk+2L

2

H*entonces*L

2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + kL4+ Hk + 1L4 Ik + 1 + Hk + 1L3M =

2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + k + Hk + 1LL4

2 I k Hk+1L

2M

4+ Hk + 1L4 Ik + 1 + Hk + 1L3M = 2 I Hk+1L Hk+2L

2M

4

2 J k4 Hk+1L4

16N + Hk + 1L4 Ik + 1 + Hk + 1L3M = 2

Hk+1L4 Hk+2L

16

4

k4 Hk+1L4

8+ Hk + 1L4 Ik + 1 + Hk + 1L3M =

Hk+1L4 Hk+2L

8

4

Hk+1L4

8Ak4

+ 8 Ik + 1 + Hk + 1L3ME =Hk+1L4

8Hk + 2L4

Ak4+ 8 Ik + 1 + Hk + 1L3ME = Hk + 2L4

Ak4+ 8 Ik + 1 + k3

+ 3 k2+ 3 k + 1ME = Hk + 2L4

Ak4+ 8 Ik3

+ 3 k2+ 4 k + 2ME = Hk + 2L4

Ak4+ 8 k3

+ 24 k2+ 32 k + 16E = Hk + 2L4

Hk + 2L4= Hk + 2L4


por lo tanto*L

I15+ 25

+ 35+ ... .. + Hk + 1L5M + I17

+ 27+ 37

+ ....+Hk + 1L7M =

2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + k + Hk + 1LL4H*es verdadero*L


I15+ 25

+ 35+ ... .. + n5M + I17

+ 27+ 37

+ ....+n7M = 2 H1 + 2 + 3 + 4 + ... .. + nL4



f: 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... ... + n.n != Hn + 1L! - 1 �

1.1! + 2.2! + 3.3! + ... ... + n.n != Hn + 1L! - 1


1.1 != H1 + 1L! - 1

1 = 2 - 1

1 = 1

H*Supongamos se cumple para n=k*LH*Hipotesis de induccion*L

1.1! + 2.2! + 3.3! + ... ... + k.k != Hk + 1L! - 1


1.1! + 2.2! + 3.3! + ... ... + k.k! + Hk + 1L Hk + 1L != Hk + 1 + 1L! - 1

1.1! + 2.2! + 3.3! + ... ... + k.k! + Hk + 1L Hk + 1L != Hk + 2L! - 1


@1.1! + 2.2! + 3.3! + ... ... + k.k!D + Hk + 1L Hk + 1L != Hk + 2L! - 1

@Hk + 1L! - 1D + Hk + 1L Hk + 1L != Hk + 2L! - 1

Hk + 1L! - 1 + Hk + 1L Hk + 1L != Hk + 2L! - 1

Hk + 1L! H1 + Hk + 1LL - 1 = Hk + 2L! - 1

Hk + 1L! Hk + 2L - 1 = Hk + 2L! - 1

H1L H2L H3L ... ... HkL Hk + 1L Hk + 2L - 1 = Hk + 2L! - 1

Hk + 2L! - 1 = Hk + 2L! - 1


por lo tanto*L

1.1! + 2.2! + 3.3! + ... ... + k.k! + Hk + 1L Hk + 1L != Hk + 1 + 1L! - 1

H*es verdadero*L


1.1! + 2.2! + 3.3! + ... ... + n.n != Hn + 1L! - 1



i: a 8n< = 22 n- 1 b = 3 �

a 8n< = 22 n- 1 b = 3

H*Demostracion por inducción*L


n = 1

a 81< = 22 H1L- 1

a 81< = 4 - 1

a 81< = 3

H*a81<=3 es divisible por b*L


a 8k< = 22 k- 1 b = 3 H*donde a8k< lo divide el 3 *L


a 8k + 1< = 22 Hk+1L- 1

a 8k + 1< = 22 k+2- 1

a 8k + 1< = 22 k I22M - 1

a 8k + 1< = 22 k H4L - 1

H*como a8k< es divisible por 3 también lo tiene que ser 4Ha8k<L*L

4 Ha 8k<L = 4 I22 k- 1M

4 Ha 8k<L = 4 I22 kM - 4

4 Ha 8k<L = 22 k+2- 1 - 3

4 Ha 8k<L = I22 Hk+1L- 1M - 3

H*esto implica que*L

a 8k + 1< = 22 Hk+1L- 1 H*lo divide el 3*L



ii: �



iii: a 8n< = n3

+ 5 n b = 6 �

a 8n< = n3+ 5 n b = 6



n = 1

a 81< = 13+ 5 H1L

a 81< = 6

H*a81<=6 es divisible por b*L

H*Supongamos se cumple para n=k*LH*Hipotesis de induccion*L

a 8k< = k3+ 5 k b = 6 H*donde a8k< lo divide el 6 *L


a 8k + 1< = Hk + 1L3+ 5 Hk + 1L

a 8k + 1< = Ik3+ 3 k2

+ 3 k + 1M + 5 k + 5

a 8k + 1< = k3+ 3 k2

+ 3 k + 1 + 5 k + 5

a 8k + 1< = k3+ 5 k + 6 + 3 Ik2

+ kM

a 8k + 1< = Ik3+ 5 kM + 6 + 3 k Hk + 1L

H*pero*L

Ik3+ 5 kM H*lo divide b=6*L

6 H*lo divide b=6*L

3 k Hk + 1L H*lo divide b=6, porque HkL o Hk+1L es un numero pár *L

H*por lo tanto*L

a 8k + 1< H*lo divide el 6*L

H*concluimos que*L

a 8n< = n3+ 5 n b = 6





3: c{1}=1, c{2}=c{1}(3c{1}+2, ... ,c{n+1}=c{n}(3c{n}+2) ¬� no se comprueba

c 81< = 1

c 82< = 5

c 83< = 85

c 84< = 21 845

c 8n + 1< = c 8n< H3 c 8n< + 2L

c 8n< =42n-1

3

H*Si n=2*L

c 82< =422-1

3

c 82< =421

3

c 82< =42

3

c 82< =16

3¹ 5

H*En este ejercicio no se cumple para todo n*L



4:

H*y=cantidad de billetes de $2000, donde y es un entero positivo*L

H*x=cantidad de billetes de $5000, donde x es un entero positivo*L

H*lo que el ejercicio pide es que se cumpla la siguiente ecuacion,

n=1,2,3...*L

H4 + nL H1000L = 5000 x + 2000 y

H*existen x, y enteros positivos que cumple la ecuación*L



n = 1

H4 + 1L H1000L = 5000 x + 2000 y

H5L H1000L = 5000 x + 2000 y

5000 = 5000 x + 2000 y

x = 1

y = 0


H4 + kL H1000L = 5000 x + 2000 y

H*existen x0, y0 enteros positivos que la cumplen, es decir,*LH4 + kL H1000L = 5000 x0 + 2000 y0

H*Tenemos que demostrar que se cumple para n=k+1, es decir,*LH4 + k + 1L H1000L = 5000 x + 2000 y

4000 + Hk + 1L H1000L = 5000 x + 2000 y

4000 + 1000 k + 1000 = 5000 x + 2000 y

1000 H4 + kL + 1000 = 5000 x + 2000 y

5000 x0 + 2000 y0 + 1000 = 5000 x + 2000 y

5000 x0 + 2000 y0 + 1000 - 5000 + 5000 = 5000 x + 2000 y

5000 Hx0 - 1L + 2000 y0 + 1000 + 5000 = 5000 x + 2000 y

5000 Hx0 - 1L + 2000 y0 + 6000 = 5000 x + 2000 y

5000 Hx0 - 1L + 2000 y0 + H2000L 3 = 5000 x + 2000 y

5000 Hx0 - 1L + 2000 Hy0 + 3L = 5000 x + 2000 y

H*concluímos que*Lx = x0 - 1

y = y0 + 3

H*por lo tanto se cumple para k+1*L

H*con esto concluímos que se cumple la ecuación*L

H*n=1,2,3....*L

H4 + nL H1000L =

5000 x + 2000 y H*existen x,y enteros positivos que cumple la ecuacion*L



H*y=cantidad de billetes de $2000, donde y es un entero positivo*L

H*x=cantidad de billetes de $5000, donde x es un entero positivo*L

H*lo que el ejercicio pide es que se cumpla la siguiente ecuacion,

n=1,2,3...*L

H4 + nL H1000L = 5000 x + 2000 y

H*existen x, y enteros positivos que cumple la ecuación*L



n = 1

H4 + 1L H1000L = 5000 x + 2000 y

H5L H1000L = 5000 x + 2000 y

5000 = 5000 x + 2000 y

x = 1

y = 0


H4 + kL H1000L = 5000 x + 2000 y

H*existen x0, y0 enteros positivos que la cumplen, es decir,*LH4 + kL H1000L = 5000 x0 + 2000 y0

H*Tenemos que demostrar que se cumple para n=k+1, es decir,*LH4 + k + 1L H1000L = 5000 x + 2000 y

4000 + Hk + 1L H1000L = 5000 x + 2000 y

4000 + 1000 k + 1000 = 5000 x + 2000 y

1000 H4 + kL + 1000 = 5000 x + 2000 y

5000 x0 + 2000 y0 + 1000 = 5000 x + 2000 y

5000 x0 + 2000 y0 + 1000 - 5000 + 5000 = 5000 x + 2000 y

5000 Hx0 - 1L + 2000 y0 + 1000 + 5000 = 5000 x + 2000 y

5000 Hx0 - 1L + 2000 y0 + 6000 = 5000 x + 2000 y

5000 Hx0 - 1L + 2000 y0 + H2000L 3 = 5000 x + 2000 y

5000 Hx0 - 1L + 2000 Hy0 + 3L = 5000 x + 2000 y

H*concluímos que*Lx = x0 - 1

y = y0 + 3

H*por lo tanto se cumple para k+1*L

H*con esto concluímos que se cumple la ecuación*L

H*n=1,2,3....*L

H4 + nL H1000L =

5000 x + 2000 y H*existen x,y enteros positivos que cumple la ecuacion*L



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