GEOMETRÍA

Oscar Chapital Colchado

Boleta: AL12506877

Autorreflexiones

1. Sean dos rectas en R1 y R2 en un plano P paralel as. Demostrar que existen dos planos que contienen a las rectas que n o son paralelos.

R: Por definición se tiene que una recta es una sucesión infinita de puntos , situados en una misma dirección y por otra parte la definición de plano es como aquello formado mediante dos rectas que se cortan; mediante tres puntos no alineados y mediante una recta y un punto que no se pertenezcan.

2. Observa con detalle la siguiente figura: Si él á ngulo α mide 6.39º, cuanto miden los ángulos β, δ ε.

R: Si se toma en cuenta que el ángulo <α=< ε, por alternos internos entonces < ε= 56.39°, por lo tanto <α= 56.39°. Ahora la suma de <β + <α = 180°, por lo que son suplementarios; entonces se tiene que:

<β + 56.39° = 180°

<β =- 56.39° +180°

<β = 123.61°

Ahora tenemos que <β = <γ por alternos internos entonces <γ = 123.61°. Ahora la suma de <α+< ε+<β + <γ = 360°.

3. Sea un cuadrado. Demostrar que si se traza un di ámetro en el cuadrado, este divide al mismo en dos triángulos isósceles.

R: Por definición un diámetro es un segmento de recta que intercepta a dos puntos distintos y pasa por el centro. Ahora dado que en el problema se define a un cuadrado, todos sus lados son iguales; sin embargo, la diagonal en el cuadrado divide a este en dos triángulos, donde el lado K=H y J=W el diámetro Z es común a ambos triángulos que por teorema de Pitágoras es Z2 = K2 + H2 y Z2 = J2 + W2 por

lo tanto Z = √K� + H� y Z = �J� + W� por lo que el lado Z es diferente a los lados K, H, J y W; ahora por definición de triángulos isósceles que tienen dos lados iguales, por lo que queda demostrado que los triángulos lados KHZ y JWZ son isósceles.

4. Sea un triángulo cuya bisectriz es al mismo tiempo su altura. Demostrar que este triángulo es isósceles.

R: Si se tiene que la bisectriz de un triángulo es su altura, entonces corta al triángulo por su parte más alta y a la mitad del segmento C, esto significa que el

lado A=B, por definición del triángulo isósceles se demuestra que el triangulo es de este tipo.

5. Sea un triángulo y extendemos uno de los lados m ás allá de uno de sus vértices. Demostrar que el ángulo exterior de esta recta extendida es suplementario al ángulo al cual es adyacente y que la suma de los otros dos ángulos internos opuestos es equivalente a este áng ulo externo.

R: Sea un triangulo equilátero, esto significa que sus ángulos internos son igual a 60° cada uno <α= 60°, <β=60° y <γ=60°. Ahora la suma de <α +< ε=180°; ahora si

60° +< ε=180°

< ε=180°- 60°

< ε=120°

Ahora dado a que <α= <β=<γ entonces < ε = <ϻ=<θ por lo que queda demostrado.

6. Sea C una circunferencia en el plano P. Dados lo s puntos A y B sobre la circunferencia con el punto O forman un triángulo. Demostrar que los radios OA y OB sumados son mayores o iguales que la cuerda cuyos límites son los puntos A y B.

R: Si tomamos en cuenta que el diámetro es igual a la suma de dos radios entonces tenemos que D=2r y se tiene que r1+r2 = D y por definición se sabe que el diámetro es el segmento de mayor longitud que cualquier cuerda o recta que se encuentre en la circunferencia, por lo que queda demostrado la proposición.

7. Sea un triángulo cuyos vértices son A, B y C. De mostrar que la suma de los ángulos internos del triángulo suman dos rectos .

R: Por definición la suma de los ángulos internos de un triángulo suman 180° que equivale a la suma de dos ángulos rectos de 90°.

8. Sea un polígono regular. Demostrar que los ángul os externos a sus vértices son congruentes.

Un polígono regular se define como un polígono equilátero y equiángulo a la vez supongamos que tenemos un pentágono cuya suma de ángulos interiores es de 540°; dado por la definición cada uno de sus ángulos interiores es de 108°; ahora si extendemos la línea se forman ángulos suplementarios, por lo tanto si

<α +< ε=180° entonces 108°+< ε=180°;

< ε=180°- 108°

< ε=72°

Y esto se aplica a los demás casos por definición por lo que queda demostrado.

9. Determina el polígono regular cuyos ángulos inte rnos son de 60º.

R: Dada la definición de polígono regular se tiene que si cada uno de sus ángulos mide 60° y la suma es de 180° por definición se trata de un triángulo equilátero.

10. Hallar la suma de los ángulos interiores del po lígono regular de cinco lados.

R: Se tiene que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180° por definición; por otra parte la suma de los ángulos de un cuadrado es de 360° y esto es porque cada uno de sus ángulos es de 90° (por lo que se puede apreciar hay un aumento de 180° por cada lado que se agregue) así tenemos que para un polígono regular de cinco lados, la suma de sus ángulos interiores será de 540° por lo que queda demostrado.