Matemáticas V

- Ecuación de Bernoulli.

ECUACIÓN DE BERNOULLI

Según el libro de Ecuaciones diferenciales de los autores Rolando Castillo Caballero y Rodrigo Gonzales Rojas.

Las ecuaciones de la forma y '+p (x ) y=q ( x ) yncuando n≠0y n≠1ya que se reduce a la lineal), se conocen con el nombre e ecuaciones diferenciales de Bernoulli. Este tipo de ecuación es muy parecida a la ecuación lineal, siendo el factor yn el que la convierte en una ecuación no lineal.

Ejemplos de la ecuación de Bernoulli

1. y '+ y=x y3, en este ejemplo n=32. y '+3 xy=x √ y , en esta ecuación n=1/23. y '=3 x2 y=x2 y, esta ecuación no es del tipo descrito, ya que n=1 y puede ser

transformada en una lineal de acuerdo con y '+2x2 y=0.

Ahora bien, la ecuación de Bernoulli puede resolverse utilizando los métodos implementados en la ecuación diferencial lineal, a través de un cambio de variable, el cual se explica a continuación.

Sea la ecuación de Bernoulli

y' + p(x) y = q (x) y2

y en la cual se efectúa el cambio de variable dependiente u = y 1+n

Como lo sugiere (2.36) al transformarla en:

y-n y1 + p(x) y1-n = q(x)

Quedando:y-n + p (x) u = q (x)

para continuar es necesario eliminar la expresión los términos y-n y1 para lo cual derivamos la expresión que define el cambio de variable, esto es:dudx

=¿ ddx

(y1-n) = (1-n) y-ndydx

=¿ (1-n) y-n y1

1

1 Rolando Castillo Caballero, Ecuaciones Diferenciales.

Sustituyendo esta última expresión obtenemos finalmente.

1(1−n)

u´+ p (x )u=q(x )

O mejor aunU´ + (1-n) p (x) u = (1 – n) q(x)

Esta ecuación obtenida, después del cambio de variable, es una escuacion diferencial lineal cuya solución se obtiene. Ahora bien, es importante mencionar que la solución obtenida será u = u(x) Esta función no es la que queríamos obtener, sino y= y(x). para lograr esto es necesario usar la definición del cambio de variable, u= y1-n, de la siguiente forma:

Y = u1/1 –n

1.- resolver la ecuación y´+y = x2y2

Esta es una ecuación de bernoulli con n= 2; por tanto, el cambio de variable aplicable es u = y1-2= y-1 sustituyendo según obtenemos la ecuación lineal

u´- 1u = -x2

Que resolviéndola obtenemos:µ= eʃpdx = eʃ-dx= e-x

u (x) = ex[ -ʃ e-xx2dx +c ]= ex[(2+2x+x2)e-x+c)-1

U (x)= x2+2x+2+cex

Ahora bien, la solución buscada es: y (x), y no u(x), por tanto, es necesario utilizar la ecuación que definió el cambio de variable u= y-1cpara encontrar y (x)

y(x) = u-1= (x2+2x+2+cex)-1

La autora Isabel Carmona en su libro de Ecuaciones diferenciales plantea lo siguiente:

La ecuación de Bernoulli es una ecuación de la forma:

y '+f ( x ) y=r ( x ) yn , n≠0,1

Para n= 0, 1 la ecuación es lineal.

Métodos de solución:

a) Convertirla en lineal mediante la sustitución: u= y1−n

b) Sin convertirla en lineal, mediante la sustitución: y=u ( x ) v (x )

Según lo consultado en otro libro, la ecuación de Bernoulli es una ecuación con la forma:

y '+P (x ) y=Q(x ) yn

Si n=1 en dicha ecuación las variables serán separables, asi que nos concentraremos en el caso donde n≠1. La ecuación puede ponerse en la forma:

y−ndy+P y−n+1dx=Qdx

Pero la diferencial de y−n+1 es (1−n ) y−ndy, entonces la ecuación puede ser simplificada escribiendo:

y−n+1=z

De la cual,

(1−n ) y−ndy=z

2

3

2

Earl R. Rainville, Ecuaciones Diferenciales (México: Ed. Prentice Hall, 1998) p. 863 Isabel Carmona Jover, Ecuaciones Diferenciales (México: Addison Wesley Longman, 1992), p. 150.

Así la ecuación en z y x es:

dz+(1−n )Pzdx= (1−n )Qdx

Una ecuación lineal en forma canónica. En consecuencia, cualquier ecuación de Bernoulli puede ser resuelta con la ayuda del cambio de variable anterior (a menos que n=1, que es cuando no se necesita ninguna sustitución)4.

4

Ejemplo 1:

1. Resuelva la ecuación:

− y (6 y2−x−1 )dx+2 xdy=0

Primero agrupamos los términos de acuerdo con las potencias de y escribiendo:

2 xdy− y ( x+1 )dx+6 y3dx=0

Ahora puede verse que tenemos una ecuación de Bernoulli, ya que solo involucra términos que contiene, respectivamente, a dy , y y yn(aquí n=3). Por lo tanto, dividimos todo entre y3, obteniendo:

2 x y−3dy− y−2 ( x+1 )dx=−6 dx

Esta ecuación es lineal en y−2, asi que ponemos y−2=v, lo cual nos da dv=−2 y−3dy, además necesitamos resolver la ecuación:

xdv+v ( x+1 )dx=6dx

O

dv+v (1+x−1 )dx=6 x−1dx

Ya que, exp (x+ ln|x|)=|x|ex es un factor integrante para la ecuación:

x exdv+v ex ( x+1 )dx=6ex dx

Es exacta. Su conjunto solución es:

x vex=6 ex+c

Que junto con v= y−2, nos lleva al resultado final,

y2 (6+c e−x )=x

Ejemplo 2:

2. Resuelva la ecuación:

6 y2dx−x (2x3+ y )dy=0

Esta es una ecuación de Bernoulli con x como la variable dependiente, asi que puede resolverse como el ejemplo anterior. Ese método de solución se deja para los ejercicios.

La ecuación también ser tratada como sigue; observe que si cada miembro es multiplicado por x2, la ecuación se transforma en:

6 y2 x2dx−x3 (2x3+ y )dy=0

En la ecuación, la variable x aparece solo en las combinación de x3 y su diferencial 3 x3dx . De aquí

que una selección razonable de una nueva variable sea w=x3. La ecuación en w y y es:

2 y2dw−w (2w+ y )dy=0

Tenemos entonces una ecuación con coeficientes homogéneos de grado dos en y y w . El nuevo cambio de variable w=zy conduce a la ecuación:

2 ydz−z (2 z−1 )dy=0 , 4dz2 z−1

−2dzz

−dyy

=0.

Por lo tanto,

2 ln|2 z−1|−2 ln|z|−ln|y|=ln|c|,

O

(2 z−1 )2=cy z2 .

Pero z=wy= x

3

y, de modo que las soluciones que buscamos están determinadas por:

(2 x3− y )2=cy x6

Ejemplo 3:

3. Resolver y '+xy=x y−1/2

Sea u= y1−(−1

2)= y3 /2

Entonces y=u2/3 , y '=23u−1/2u '

Sustituyendo:

23u−1 /3u'+xu

23=xu−1/3

u'+ 32xu=3

2x lineal enu

u=e−3x /4 [∫e3 /2∫ xdx( 32 x)dx ]u=e−3/2xdx [∫ e3 x2/4( 32 x )dx]

u=e−3x2

4 (e3 x2

4 +c )u=1+ce−3 x

2 /4

∴ y3 /2=1+c e−3 x2/4

Bibliografía

Zill, Dennis G. (1997). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México: International Thompson Editores.

Carmona Jover, Isabel (1992). Ecuaciones diferenciales. México: Addison Wesley Longman.4

Rainville, Earl D. (1998). Ecuaciones diferenciales. México: Prentice Hall. Rolando Castillo Caballero. Ecuaciones diferenciales