19 Desigualdades e Inecuaciones

7/31/2019 19 Desigualdades e Inecuaciones

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L G E B R A

DESIGUALDADES EDESIGUALDADES EINECUACIONESINECUACIONES

DESIGUALDADES

DESIGUALDAD

Es la relacin que establece que dos cantidadestienen diferente valor.

Los signos que se utilizan para designar desigual-dades son:

> se lee: mayor que

< se lee: menor que

se lee: mayor o igual que

se lee: menor o igual que

Toda cantidad positiva a se considera mayor quecero (a > 0) y toda cantidad negativa b es menor

que cero (b < 0).

DEFINICIONES IMPORTANTES

1) Una cantidad a es mayor que otra cantidadb, si la diferencia (a - b) es positiva, es decir:

a > b si a - b > 0

2) Una cantidad a es menor que otra cantidad

b, si la diferencia (a - b) es negativa, es decir:

a < b si a - b < 0

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1 Si a ambos miembros de una desigualdad se sumao se resta una misma cantidad, el sentido de ladesigualdad no se altera.

Sea: a > b

se cumple que : a m > b m

2 Si los dos miembros de una desigualdad se multi-plica o divide por una misma cantidad positiva, elsentido de la desigualdad no vara.

Sea: a > bse cumple que: am > bm

a bo: >

m m

m > 0

3 Si los dos miembros de una desigualdad se multi-plica o divide por una misma cantidad negativa elsentido de la desigualdad se invierte.

Sea: a > b

se cumple: am < bm

a bo: <

m m

m < 0

4 Si se suma miembro a miembro dos o variasdesigualdades del mismo sentido, el resultado esuna desigualdad del mismo sentido.

Sea: a > b, c > d

entonces:

a + c > b + d


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5 Si se multiplica o divide miembro a miembro doso varias desigualdades del mismo sentido, cuyosmiembros son positivos, se obtiene una desigual-dad del mismo sentido.

Sea: a > b, y c > d.

Multiplicando:

ac > bd

Dividiendo:

a b > c d

a > 0, b > 0, c > 0, d > 0

6 Si a ambos miembros de una desigualdad se elevaa una misma potencia impar, el sentido de ladesigualdad no vara.

Sea: a > b

se tiene: a2m+1 > b2m+1

7 Si a ambos miembros de una desigualdad se elevaa una misma potencia par, siendo los dos miem-

bros negativos, se obtiene una desigualdad designo contrario.

Sea: a > b

entonces : a2n < b2n

a < 0, b < 0

8 Si a ambos miembros de una desigualdad se leextrae una misma raz de ndice impar se obtieneuna desigualdad del mismo sentido.

Sea: a > b

entonces:

2m+1 2m+1

a > b

EJERCICIOS SOBRE DESIGUALDADES

___a + b

1.- Demostrar que > ab2Solucin:

Si a b

luego:

(a - b)2 > 0

(si a = b, no se cumple)

efectuando:

a2 - 2ab + b2 > 0

Sumando a ambos miembros 4ab:

a2 - 2ab + 4ab + b2 > 4ab

a2 + 2ab + b2 > 4ab

(a + b)2 > 4ab

si son positivos ambos: ___a + b > 2ab

de donde:___

a + b > ab

2

2.- Demostrar que:

a3 + b3 + c3 > 3abc; a, b, c son positivos.

Solucin:Si a, b, c, son positivos, entonces:

a + b + c > 0 (1)

tambin:

(a - b)2 > 0

luego:

a2 + b2 - 2ab > 0 (2)

adems:(a - c)2 > 0

luego:

a2 + c2 - 2ac > 0 (3)

y:

(b - c)2 > 0

luego:

b2 + c2 - 2ab > 0 (4)

Sumando (2), (3) y (4):

2(a2 + b2 + c2) - 2(ab + ac + bc) > 0


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L G E B R A

a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc > 0 (5)

Multiplicando (1) y (5):

(a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) > 0

El primer miembro es una identidad algebraica,luego:

a3 + b3 + c3 - 3abc > 0

a3 + b3 + c3 > 3abc

3.- Demostrar que: ax + by < 1

Si: a2 + b2 = 1 ; x2 + y2 = 1

Donde a, b, x, y, son diferentes y positivos.

Solucin:

De la condicin del problema se escribe:

(a - x)2 > 0

a2 + x2 > 2ax (1)

(y - b)2 > 0

y2 + b2 > 2yb (2)

Sumando (1) y (2):

a2 + b2 + x2 + y2 > 2(ax + by)

Sustituyendo las condiciones en esta desigualdad:

1 + 1 > 2(ax + by)

ax + by < 1

4.- Demostrar que:

(b + c)(a + c)(a + b) > 8abc

(a,b,c, son positivos)

Solucin:

Siendo a, b, c, nmeros positivos, se tiene:

a2 + b2 > 2ab (1)

c2 + b2 > 2bc (2)

a2 + c2 > 2ac (3)

Multiplicando (1) por c, (2) por a y (3) por b:

a2c + b2c > 2abc (4)

c2a + b2a > 2abc (5)

a2b+ c2b > 2abc (6)

Sumando miembro a miembro (4), (5) y (6):

a2c + b2c + c2a + b2a + a2b + c2b > 6abc

Sumando a ambos miembros 2abc:

(a2c + 2abc + b2c)+(c2a + c2b)+(a2b + ba2) > 8abc

factorizando:

c(a + b)2 + c2(a + b) + ab(a + b) > 8abc

(a + b)(ac + bc + c2 + ab) > 8abc

factorizando en el segundo parntesis:

(a + b) [c(a + c) + b(a + c)] > 8abc

(a + b)(a + c)(b + c) > 8abc

CLASES DE DESIGUALDADES

1.- DESIGUALDADES ABSOLUTAS.- Son aquellasque se verifican para cualquier valor o sistemasde valores, dado a sus letras.

Ejemplo:

(x - 5)2 + 7 > 0

2.- DESIGUALDAD RELATIVA O INECUACIN.-Son aquellas que se verifican para determina-dos valores o sistemas de valores, asignados a

sus letras.Ejemplo:

3x - 7 > 14

slo se satisface para x > 7

INECUACIONES DE PRIMER GRADOCON UNA INCOGNITA

Son aquellas que pueden reducirse a la forma:

ax b > 0

o:ax b < 0


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SOLUCIN A UNA INECUACIN

Es todo valor de la incgnita, o conjunto de valores delas incgnitas, que verifican la desigualdad.

Para expresar convenientemente las soluciones quese obtengan al resolver inecuaciones es necesariodefinir:

INTERVALO ABIERTO.- Es el conjunto de ele-mentos x, limitados en sus extremos por loselementos a y b; donde a < b, para los cualesse cumple que a < x < b. El intervalo abierto sedenota por ( a, b ).

Ejemplo:

Sea el intervalo (2, 5), segn la definicin se debetomar todos los nmeros reales comprendidosentre 2 y 5, a excepecin de stos.

INTERVALO CERRADO.- Es el conjunto de ele-mentos x, limitados en sus extremos por loselementos a y b, donde a < b, para los cualesse cumple que a x b. El intervalo cerrado serepresenta por [a,b].

Ejemplo:

Sea el intervalo [2,7], segn la definicin, los ele-mentos que forman este intervalo, son todos losnmeros comprendidos entre 2 y 7, incluyendostos.

VALOR ABSOLUTO.- El valor absoluto de unnmero real x, representado por | x | , se definepor la siguiente regla:

| x | = x si x > 0

| x | = -x si x < 0

Ejemplo:

i) | 7 | = 7

ii) | -2 | = -(-2) = 2

7 7 7iii) | - | = - (- ) = 5 5 5

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Resolver:

3x 7 x 1 7x - - > + 5 10 20 5 20

Solucin:

Multiplicando por 20:

12x - 14 - x > 4 + 7x

4x > 18

9x > 2

En forma de intervalo ser:

x (9/2, + ), que se lee: x pertenece al inter-valo abierto comprendido entre 9/2 e infinito.

2.- Resolver:

5 2x 7 x 5 2(6x - 2) -

(1 -

) < 4x +

( -

)8 3 3 2 12 3

Solucin:

Realizando transformaciones:

5 7 1(3x - 1) - (3 - 2x) < 4x + (6x - 5)

4 9 18

Multiplicando por 36:

45(3x - 1) - 28(3 - 2x) < 144x + 2(6x - 5)

135x - 45 - 84 + 56x < 144x + 12x - 10

135x + 56x - 144x - 12x < -10 + 84 + 45

35x < 119

119x <

35

17x <

5

En forma de intervalo:

17x ( - , )5

3.- Resolver 23x-5 > 42x-4

Solucin:

Igualando las bases de las potencias: 23x-5 > 24x-8

Si una potencia es mayor que otra, en los expo-nentes tambin deben cumplir esta desigualdad,as:

3x -5 > 4x -8


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transponiendo y operando:

-x > -3

multiplicando por (-1):

x < 3en forma de intervalo:

x ( - ,3 )

4.- Resolver:

5

7

5x + 13 8x + 1

2 43 > 27Solucin:

Transformando, para que tenga la misma base:

5x + 13 8x + 1 10 283 > (33)

5x + 13 24x + 3 10 283 > 3

tambin:

5x + 13 24x + 3 >

10 28

multiplicando por 280:

28(5x + 13) > (24x + 3)10

Operando, simplificando y despejando x:

x < 3,34

en forma de intervalo:

x ( - , 3,34 )

INECUACIONES

SISTEMA DE INECUACIONES

1.- SISTEMA DE INECUACIONES CON UNA

INCOGNITA

Para resolver un sistema de este tipo:

1 Se halla las soluciones de cada inecuacin en

forma separada.

2 Se comparan stas para establecer las solu-ciones comunes a todas las inecuaciones.

3 Se grafica las soluciones en la recta numrica,para facilitar la solucin.

2.- SISTEMAS DE INECUACIONES CON 2 MAS

INCOGNITAS

Para resolver este tipo de sistema, se trata de elimi-nar una incgnita, restando inecuaciones de senti-do contrario, procediendo de esta manera hastaobtener una inecuacin con una sola incgnita.


1.- Resolver:

3x - 5 > 7 (1)

4

x + 3 > x - 9 (2)2

Solucin:

Resolviendo la inecuacin (1), para lo cual semultiplica por 4:

3x - 20 > 28

3x > 48

x > 16

Resolviendo la inecuacin (2), para lo cual semultiplica por 2:

x + 6 > 2x - 18

-x > -24

x < 24

Graficando las soluciones:

- 0 16 24 +

La solucin comn es: 16 < x < 24

escribiendo como intervalo: x (16,24)2.- Resolver el sistema:

x - 22x - 1 > (1)

2

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3x x + 1 - 2 > (2)5 10

2x - 7 3x - 1 > (3)

5 4

Solucin:

Resolviendo cada inecuacin:

(1) 6x - 3 > x - 2

6x - x > 1

1 x >

5

(2) 6x - 20 > x + 1

6x - x > 21

21 x >

5

(3) 8x + 28 > 15x - 5

8x - 15x > -5 - 28

33 x <

7

Graficando:

- 0 1 21 33 + 5 5 7

La solucin es:

21 33 < x < 5 7


21 33x ( , )5 7

3.- Resolver el sistema para valores enteros y posi-tivos:

5x - 3y > 2 (1)

2x + y < 11 (2)

y > 3 (3)

Solucin:

Combinando las inecuaciones (1) y (2):

(1) por 2 : 10x - 6y > 4

(2) por -5: -10x - 5y > -55

Sumando miembro a miembro:

-11y > -51

51y <

11

Combinando este resultado con la inecuacin(3):

513 < y <

11

El nico valor entero y positivo para y com-prendido en este intervalo es y = 4.

Sustituyendo este valor en (1) y (2):

En (1):

5x - 12 > 2

5x > 14

14x >

5

En (2):

2x - 4 < 11

2x < 7

7x <

2

para x se obtiene:

14 7 < x < 5 2

El nico valor entero y positivo para x com-prendido en este intervalo es 3:

x = 3

y = 4


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4.- Resolver para valores enteros y positivos:

x + y + z > 8 (1)

x - y + z < 4 (2)

z - y > 0 (3)

z < 5 (4)

Solucin:

De (3): z > y

Restando (1) - (2) se obtiene:

y > 2 (5)

De (3) y (5) se obtiene:

2 < y < z (6)

De (4) y (6):

2 < y < z < 5 (7)

Luego:

2 < y < 5

Los valores enteros que puede tomar y son:

x = 3

o:y = 4

(1) para y = 4, en (7):

4 < z < 5

No hay valor entero para z.

(2) para y = 3, en (7):

3 < z < 5

El valor entero para z = 4

Sustituyendo estos valores en (1) y (2):

x + 3 + 4 > 8 x > 1

x - 3 + 4 < 4 x < 3

de estas 2 ltimas ecuaciones:

1 < x < 3

El valor entero para x = 2:

x = 2 , y = 3 , z = 4

5.- Un matrimonio dispone de S/.320 para ir al cine

con sus hijos. Si comprasen entradas de S/.50les faltara dinero y si compraran de S/.40 lessobrara dinero. Cuntos son los hijos?

Solucin:

Sea el nmero de hijos x.

En el primer caso gastaran:

50x + 100

por la condicin:50x + 100 > 320

de donde:

22x >

5

En el segundo caso gastaran:

40x + 80

Por la condicin: 40x + 80 < 320

de donde:240

x < 40

x < 6

Luego:22 < x < 65

El valor que debe tomarse para x es un nmero

entero y positivo, ya que representa el nmero dehijos, en este caso:

x = 5

6.- En un gallinero haba cierto nmero de gallinas.Se duplic el nmero y se vendi 27, quedandomenos de 54. Despus se triplic el nmero degallinas que haba al principio y se vendi 78,quedando ms de 39. Cuntas gallinas habanal principio?

Solucin:

Suponiendo que sea x el nmero de gallinasque haba al principio.

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Por datos del problema se puede escribir:

(1) 2x - 27 < 54

2x < 81

x < 40,5

(2) 3x - 78 > 39

3x > 117

x > 39

Luego:

39 < x < 40,5

es decir:

x = 40

Rpta.: inicialmente haba 40 gallinas.

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Reciben este nombres las inecuaciones que, reduci-das, toman la forma:

ax2 + bx + c > 0o:

ax2 + bx + c < 0

Resolver una inecuacin de segundo grado es hallarel intervalo en donde se encuentra la incgnita, demanera tal que se verifique la desigualdad. Se estudiatres casos:

1er. Caso: Cuando la inecuacin es:

ax2 + bx + c > 0

Se factoriza el trinomio. Suponiendo que sepuede factorizar de la siguiente manera:

p(x - r1)(x - r

2) > 0 (1)

siendo p > 0, dividiendo entre p:

(x - r1)(x - r

2) > 0 (2)

Para que se verifique esta desigualdad, es nece-sario que los dos factores sean o ambos positivoso ambos negativos.

Sea (1) : x - r1

> 0 x > r1

x - r2

> 0 x > r2

Sea (2): x - r1

< 0 x < r1

x - r2

< 0 x < r2

Analizando estos dos sistemas se llega a la solu-cin final.

2do. Caso.- Cuando la inecuacin es

ax2 + bx + c < 0 (1)

En forma anloga a la anterior se llega a:

(x - r1)(x - r

2) < 0 (2)

Para que se verifique esta desigualdad de los dosfactores, uno es positivo y el otro negativo, oviceversa:

Sea (1) : x - r1

> 0 x > r1

x - r2

< 0 x < r2

Si: r1 < r2

r1

< x < r2

Sea (2): x - r1

< 0 x < r1

x - r2

> 0 x > r2

Si: r1

< r2

No hay solucin.

3er. Caso.- Cuando la inecuacin es ax2 + bx + c > 0y tiene sus races complejas, solamente se verificapara ese sentido, porque se trata de una desigualdadabsoluta. Vase el Ejercicio 4.


1.- Resolver : x2 - 7x + 12 > 0

Solucin:

Factorizando el trinomio:

(x - 4) (x - 3) > 0


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Estudiando los dos casos:

a) x - 4 > 0 x > 4 x > 4

x - 3 > 0 x > 3

b) x - 4 < 0 x < 4 x < 3

x - 3 < 0 x < 3

La solucin general es:

x > 4o:

x < 3


x (-, 3) (4, )

3.- Resolver: x2 - 9x + 18 < 0

Solucin:

Factorizando el trinomio:

(x - 6) (x - 3) < 0

Analizando los 2 casos:

1) x - 6 > 0 x > 6

} No hay solucincomnx - 3 < 0 x < 32) x - 6 < 0 x < 6

}La solucin es

3 < x < 6x - 3 > 0 x > 3

En forma de intervalo: x (3,6)

3.- Resolver el sistema:

x2 - 12x + 32 > 0 (I)

x2 - 13x + 22 < 0 (II)

Solucin:Resolviendo cada inecuacin separadamente:

(I) (x - 4)(x - 8) > 0

cuya solucin es:

x > 8o:

x < 4

(II) (x - 11)(x - 2) < 0

cuya solucin es:

2 < x < 11

Graficando la solucin obtenida:

- 2 4 8 11 +la solucin comn es:

x (2,4) (8,11)

4.- Resolver x2 + x + 1 > 0

Solucin:

Como no es posible factorizar se plantea:

x2 + x + 1 = 0

donde:

______-1 1 - 4

x = 2

entonces:___ ___

- 1 + 3 i - 1 - 3 ix = y =

2 2

Ntese que las races son complejas luego se tratadel 3er. caso de inecuaciones.

y se puede escribir:

___ ___-1 + 3 i - 1 - 3 i[x -()][x -()] > 02 2

o tambin:

__ __1 3 1 3[(x + ) - i][(x + ) + i] > 02 2 2 2

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efectuando:

2__

21 3(x + ) - ( i) > 02 2

21 3(x + ) + > 02 4

Se observa que cuando las races son complejas,la relacin de mayor es cierta y en el caso con-trario no se cumple.

INECUACIONES IRRACIONALES

Son aquellas en las que las incgnitas se hallan afec-tadas por radicales.


1.- Resolver:_____x - 2 - 3 < 0

Solucin:

Transponiendo:

_____x - 2 - 3 (I)

La expresin subradical debe ser positiva, paraque exista dentro del campor real, sto es:

x - 2 > 0

x > 2 (A)

Elevando al cuadrado (I):

x - 2 < 9

x < 11 (B)

La solucin es:

2 < x < 11o:

x (2,11)

2.- Resolver:___________

2x - 5 > x2 - 2x + 10

Solucin:

Se debe cumplir que:

x2 - 2x + 10 > 0

Elevando al cuadrado la inecuacin original:

4x2 - 20x + 25 > x2 - 2x + 10

3x2 - 18x + 15 > 0

x2 - 6x + 5 > 0factorizando:

(x - 5)(x - 1) > 0

de donde:

x > 5 o x < 1

asi: __________x2 - 2x + 10 > 0

2x - 5 > 0

x > 2,5

Notar que x < 1 no es solucin.

-

-2 2 2,5 3 5 +

La solucin comn es: x > 5 en forma deintervalo:

x (5,+)


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EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar los valores enteros y positivos que satis-

facen la inecuacin.

3

5x + 1 3(x + 1)

2 53 < 9a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 6

2. Hallar el nmero de valores enteros y positivosque verifican:

5 3 2x 4 x 5

(x -

) + - < - (2x - 1) 2 2 3 5 2 6

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Hallar el nmero de valores enteros y positivosque verifican:

__2 332

8x-1> 4x - 4

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2x + 1 2 - x4. Resolver: - > 1

5 3

a) x < 2 b) x > 3 c) x < 3

d) x > 2 e) x < 1

5x - 1 3x - 13 5x + 15. Resolver: - >

4 10 3

a) x > 7 b) x < 7 c) x > 4

d) x < 4 e) x >2

6. Resolver: | 3x - 5 | < 3

2 8 2 5a) x < , > b) x < , >

3 3 3 3

2 8 2 5c) x < - , > d) x < - , >

3 3 3 3

2 11e) x < , >

3 3

1_(x6 - 2x3+ 1) 2 1-x

1 17. Resolver: () < ()2 2a) x > -1 b) x > 1 c) x > 0

d) x < 2 e) x < -2

x28. Resolver: < x + 6x - 2

a) x < - ,2 > b) x < 3 , >

c) x < - ,2 > < 3 , > d) x < - ,3 >

e) x < 2, >

9. Hallar a en |x - a| < b si es equivalente a:2 < x < 4.

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5

10.- Calcular:

|5x - 20| - |3x - 20|E = si x < -3, -2 >

x

a) 2 b) 1 c) 3 d) -2 e) 5

11. Para qu valores de a se verifica la desigualdad:

3a + 101 < < 2

a + 7

3 3a) a < , 4 > b) a < - , 4 >2 2

1 1c) a < , 4 > d) a < - , 4 >

2 2

5e) a < , 4 >

2

12. Para qu valores de m el sistema de ecua-ciones:

9x + 7y > m

3x + 5y < 13

tiene soluciones positivas?


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91 26 26 91a) m < b) m > c) < m <

5 3 3 5

2 9 1 7d) < m < e) < m <

3 7 5 5

13.- Resolver para valores enteros y dar el valor de y:

5x - 3y + 2z > 7

2x + y + z > 14

3y + x < 15

y < 3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14.- Resolver para valores enteros y positivos y darel valor de y:

-x + 2y > 2

x - y > -2

4x + y < 7

a) 1 b) -4 c) 3 d) 5 e) 2

15. Resolver el sistema para valores enteros y posi-tivos y dar el valor de z:

2y < x

4y > 7z

x < 2x + 4

a) 5 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4

16. Se sabe que el cudruplo del nmero de mon-edas que hay dentro de un bolso es tal, que dis-minudo en 5, no puede exceder de 31, y que elquntuplo del mismo nmero de monedasaumentado en 8, no es menor que 52. Cul esdicho nmero?

a) 7 b) 12 c) 10 d) 9 e) 7

17. Un comerciante adquiri un cierto nmero deespecies de las que vendi 70 y le quedaron msde la mitad. Al da siguiente le devolvieron seis,pero logr vender 36, despus de lo cual le

quedan menos de 42. Cuntas especies forma-ban el lote?

a) 140 b) 141 c) 142 d) 143 e) 144

3 518. Si x < , >,

2 2

determinar el menor nmero M tal que:

x + 4

| | < Mx - 41 13 11 12

a) 13 b) c) d) e) 3 3 3 5

19. Para qu valores de a se satisface el sistema dedesigualdes:

x2 + ax - 2- 3 < < 2

x2 - x + 1

a) x < -1,3 > b) x < -1,5 >

c) x < -1,7 > d) x < -1,2 >

e) x < -1,6 >

x2 - 7x + 1020. Resolver: > 0

x2 - 9x + 8

a) x < 2,5 > b) x < 1,8 >

c) x

< -

,1 > d) x

< 8,+

>e) x < 2,8 >

CLAVE DE RESPUESTAS

1) C 2) A 3) C 4) D 5) B

6) A 7) B 8) C 9) B 10) D

11) B 12) C 13) D 14) E 15) C

16) D 17) B 18) C 19) A 20) A

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19 Desigualdades e Inecuaciones