190.105.160.51190.105.160.51/~material/analisisIII/Material/Teoria/Teoria 2014.pdf˝ndice general 1. Series de Fourier 9 1.1. Introducción: Series de Potencias . . . . . . . .

Teoría de Variable Compleja y Transformaciones

Federico D Kovac

12 de agosto de 2014

2

Índice general

1. Series de Fourier 91.1. Introducción: Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Series de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3. Funciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4. Aproximación por medio de polinomios trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . 211.5. Convergencia puntual de series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6. Orden de los coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.7. Derivación e integración de series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.8. Expansiones de medio rango, efectos de la simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.9. Series armónicas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.10. Separación de variables, ecuación del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.11. Ecuación de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2. Transformada de Laplace 572.1. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2. Funciones definidas con integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3. Funciones de orden exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.4. Transformada de derivadas e integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.5. Función de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.6. Derivación e integración de transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.7. Funciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.8. Valor inicial y final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.9. Convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.10. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.11. Tabla de transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3. Funciones de variable compleja 873.1. Algebra y topología en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.1.1. Algebra en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1.2. Representación polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.1.3. Topología en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.1.4. Comentario argumental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.2. Funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.3. Funciones analíticas, ecuaciones de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 933.4. Ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . 993.5. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3

4 ÍNDICE GENERAL

3.5.1. La función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.5.2. Función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.5.3. Potencia general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.5.4. Funciones trigonométricas e hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4. Mapeos en C 1074.1. El plano complejo extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.2. Representación geométrica de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.3. Mapeo conforme, curvas en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.4. Transformaciones biunívocas de C∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.5. Transformaciones fraccionarias lineales o de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.6. Círculos generalizados en C∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.7. Puntos fijos de una transformación de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.8. Orientación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.9. Distribución estacionaria de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5. Integrales en C 1415.1. Integrales en el campo complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.2. El campo de Poyla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.3. Teoremas de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.4. Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.5. Fórmula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.6. Módulo Máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6. Sucesiones y series en C 1636.1. Sucesiones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.2. Series complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.3. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.4. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7. Desarrollos en serie de potencias - Residuos 1837.1. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.2. Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1867.3. Singularidades aisladas - Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.4. Ceros de una función analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977.5. Índice de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

7.5.1. Raíces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2037.5.2. Ceros y polos de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8. Transformadas Complejas 2078.1. Serie de Fourier compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2078.2. Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2108.3. Integral de Fourier de seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2138.4. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2148.5. Calculo de transformadas usando residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2188.6. Transformada de Laplace Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2238.7. Fórmula de inversión compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

ÍNDICE GENERAL 5

8.8. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

6 ÍNDICE GENERAL

Prefacio

Este protolibro tiene sus orígenes, como tantos, en las notas de clase de la asignatura Análi-sis Matemático III. Si bien no contiene absolutamente nada nuevo, tiene lo necesario para laasignatura en cuestión, de manera autocontenido, y sobre todo, con los temas tratados como ami me gusta, teniendo en cuenta las circunstancias y la audiencia. Como regla general, se haevitado llamar “demostración”a una cosa que no lo es, es decir, cuando un resultado no se puededemostrar rigurosamente, sencillamente se pone una idea que lo hace creíble, o sencillamentese lo enuncia sin demostración. A diferencia de muchos libros de variable compleja, los temasfueron tratados haciendo uso de los resultados de cálculo vectorial, lo que propende al uso deconocimientos previamente adquiridos.

7

8 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Series de Fourier

En esta sección vamos a trabajar con funciones de variable e imagen real, o sea f (t) , conf : R → R. Más adelante extenderemos los resultados para funciones de imagen compleja, esdecir, para funciones f : R→ C.

Si tenemos una función f : R → R que sea lo suficientemente derivable, se sabe de AnálisisI que podemos aproximar f localmente usando polinomios de Taylor, pero dicha aproximacióntiene muchas limitaciones: necesita que la función tenga derivadas (mientras más derivadastenga, más posibilidad de que la aproximación sea buena), y da una aproximación local, o seabuena cerca de un punto prefijado. Vamos a ver acá otra forma de hacer esto.

1.1. Introducción: Series de Potencias

Estas son una clase particularmente importante de series de funciones:

Definición 1.1 Una serie de la forma∞∑n=0

an (t− a)n = a0 + a1 (t− a) + a2 (t− a)2 + · · ·

se la llama serie de potencias centrada en a.

Ejemplo 1.2 1.∞∑n=0

tn

n!es una serie de potencias centrada en cero, con an =

1

n!∀ n ∈

N ∪ {0}.

2.∞∑n=1

(−1)n (t− 1)n es una serie de potencias centrada en 1, con an = (−1)n ∀ n ∈ N

(a0 = 0).

9

10 Series de Fourier

Un grupo especialmente importante de series de potencias son las de la forma

∞∑n=0

f (n) (a)

n!(t− a)n

donde f es alguna función que tiene derivadas de todos los órdenes en a; esta serie recibe elnombre de series de taylor para f en a. Esta definición deriva de la de polinomio de Taylor:

si f (a) , f ′ (a) , f′′

(a) , ..., f (N) (a) existen todas, luego PN,a (t) =

N∑n=0

f (n) (a)

n!(t− a)n es el

polinomio de Taylor de grado N para f en a. Se pone RN,a (t) = f (t) − PN,a (t) (el resto), deforma tal que

f (t) = PN,a (t) +RN,a (t) =N∑n=0

f (n) (a)

n!(t− a)n +RN,a (t) .

De esta expresión se deduce inmediatamente que la serie∞∑n=0

f (n) (a)

n!(t− a)n converge a f (t)

si y solo sí RN,a (t) −→N→∞

0. Notar que PN,a (t) = SN (t), la N -ésima suma parcial de la serie de

Taylor.

Ejemplo 1.3 Vamos a encontrar la serie de Taylor para f (t) =1

talrededor de t = 1. Tenemos:

f(1) = 1

f ′ (t) = − 1

t2−→ f ′ (1) = −1

f′′

(t) =2

t3−→ f

′′(1) = 2

f′′′

(t) = − 6

t4−→ f

′′′(1) = −6

f iv (t) =24

t5−→ f iv (1) = 24

en general

f (n) (t) = (−1)nn!

tn+1−→ f (n) (1) = (−1)n n! para n ∈ N.

luego la serie buscada es:

∞∑n=0

(−1)n n!

n!(t− 1)n =

∞∑n=0

(−1)n (t− 1)n .

Esta cuenta no demuestra que dicha serie sea convergente, y menos que converja a f(t), peropodemos ver esto usando la serie geométrica:

1

t=

1

1− (1− t) =∞∑n=0

(1− t)n =

∞∑n=0

(−1)n (t− 1)n ,

donde la segunda iguandad vale si |t− 1| < 1 (y la serie diverge para |t− 1| > 1).

Series de Fourier 11

La siguiente proposición, de demostración inmediata si se dispone de la Regla de L’Hopital,nos dice cuan bien aproxima el polinomio de Taylor de una función en un entorno del centro a:

Proposición 1.4 Si f : (a− ε, a+ ε)→ R tiene n derivadas en a, entonces

lımt→a

f (t)− Pn,a (t)

(t− a)n= a

Demostración. Ejercicio, aplicar la regla de L’Hopital n veces.

A esta altura conocemos dos fórmulas explícitas para el resto:

Proposición 1.5 Si f : (a− ε, a+ ε)→ R y I es el intervalo de extremos a y t, entonces:

1. Si f (n+1) existe en I, entonces

Rn,a (t) =f (n+1) (ξ)

(n+ 1)!(t− a)n+1 para algún ξ ∈ I.

2. Si f (n+1) es integrable en I, entonces

Rn,a (t) =

∫ t

a

f (n+1) (u)

n!(t− u)n du.

Ejemplo 1.6 Dada f (t) = cos (t) y a = 0, f tiene derivadas de todos los órdenes en a. Calcu-lando obtenemos

f(0) = 1

f ′ (t) = − sin (t) −→ f ′ (0) = 0

f′′

(t) = − cos (t) −→ f′′

(0) = −1

f′′′

(t) = sin (t) −→ f′′′

(1) = 0

A partir de la cuarta derivada, los resultados se repiten de manera cíclica, por lo que resultaque la serie de Taylor para cos (t) en cero es

1− t2

2+t4

4!− t6

6!+ · · ·+ (−1)n

t2n

(2n)!+R2n,o(t)

(notar que todas las potencias de t que aparecen son pares). Como∣∣f (n+1) (ξ)

∣∣ ≤ 1 ∀ n, ξ, setiene que

|Rn,0 (t)| ≤ tn+1

(n+ 1)!−→n−→∞

0 (ejercicio).

Entonces, hemos probado que

cos (t) =∞∑n=0

(−1)nt2n

(2n)!para todo t ∈ R.


De manera absolutamente análoga se puede ver que

sin (t) =

∞∑n=0

(−1)nt2n+1

(2n+ 1)!para todo t ∈ R,

y

exp (t) =∞∑n=0

tn

n!para todo t ∈ R.

Al comenzar el estudio de series, nos concentramos en la convergencia o no de las mismas.Cuando se trabaja con serie de potencias, o en general con series de términos variables, el focodebe ponerse en cuales son los valores que puede tomar la variable t para que la serie resultantesea convergente. Para cada valor de t en el que la serie de potencias converge, la serie representael número que es la suma de la serie. Por tanto, una serie de potencias en t define una funciónque tiene como dominio todos los valores de t para los cuales la serie de potencia converge.

Teorema 1.7 Si la serie de potencias∞∑n=0

an (t− a)n converge en t = t0, entonces converge

absolutamente ∀ t tal que |t− a| < |t0 − a|. Es decir, si r = |t0 − a| entonces la serie convergeabsolutamente ∀ t ∈ (a− r, a+ r).

Demostración. Puesto que la serie∞∑n=0

an (t0 − a)n converge, la condición del resto nos dice

quelımn→∞

an (t0 − a)n = 0,

y entonces ∃ M tal que|an (t0 − a)n| ≤M ∀ n. Si tomamos t tal que |t− a| < r, tendremos

|an (t− a)n| = |anrn|(|t− a|r

)n≤M

∣∣∣∣ t− ar∣∣∣∣n .

Puesto que la serie∞∑n=0

∣∣∣∣ t− ar∣∣∣∣n

converge (por ser geométrica de razón menor que 1), por comparación concluimos que∞∑n=0

an (t0 − a)n

converge absolutamente.El resultado anterior nos permite definir el concepto de radio de convergencia de una

serie de potencias: consideremos la serie∞∑n=0

an (t− a)n, que siempre converge (a cero) cuando

t = a. Llamemos R0 = 0, y exploremos dos posibilidades:

1. Si existe t0 tal que |t0 − a| > R0 y tal que la serie∑∞

n=0 an (t0 − a)n sea convergente,llamemos R1 = |t0 − a| (notar R1 > R0). En tal caso la Proposición anterior nos dice quela serie converge absolutamente ∀ t ∈ (a−R1, a+R1).


2. Si no existe t0 tal que |t0 − a| > R0 y la serie∑∞

n=0 an (t0 − a)n sea convergente, llamamosR = R0 = 0, y la serie converge solo en t = a.

En el caso 1., seguimos iterativamente de la siguiente manera:

1. Si existe t1 tal que |t1 − a| > R1 y tal que la serie∑∞

n=0 an (t1 − a)n sea convergente,llamemos R2 = |t1 − a| (notar R2 > R1). En tal caso la Proposición anterior nos dice quela serie converge absolutamente ∀ t ∈ (a−R2, a+R2).

2. Si no existe t1 tal que |t1 − a| > R1 y la serie∑∞

n=0 an (t1 − a)n sea convergente, lla-mamos R = R1, y la serie converge absolutamente ∀ t ∈ (a−R, a+R) y diverge ∀ t ∈{t : |t− a| > R}.

Este proceso iterativo nos permite construir una sucesión creciente {Rn}∞n=0 cuyo límite(≤ ∞) se llama el radio de convergencia de la serie de potencias, y por su construcción tienela propiedad de que la serie converge absolutamente ∀ t ∈ (a−R, a+R) = {t : |t− a| < R} ydiverge ∀ t ∈ {t : |t− a| > R}. No sabemos que pasa en {t : |t− a| = R}, es decir, en t = a±R.

Ejemplo 1.8 Determine los valores de t para los cuales la serie de potencias es convergente:

∞∑n=0

(−1)n+1 2n

n3ntn

Si expresamos la serie dada de la forma∑∞

n=0 tn, entonces

tn = (−1)n+1 2ntn

n3ny tn+1 = (−1)n+2 2n+1tn+1

(n+ 1) 3n+1

de modo que

lımn→+∞

∣∣∣∣ tn+1

tn

∣∣∣∣ = lımn→+∞

∣∣∣∣ 2n+1tn+1

(n+ 1) 3n+1

n3n

2ntn

∣∣∣∣= lım

n→+∞2

3|t| n

n+ 1

=2

3|t|

Por tanto la serie de potencias es absolutamente convergente cuando 23 |t| < 1 o, equivalente-

mente, cuando |t| < 32 . La serie es divergente cuando

23 |t| > 1 o, equivalentemente, cuando

|t| > 32 . Es decir, el radio de convergencia de esta serie es R = 3

2 . Cuando23 |t| = 1 (es decir

cuando t = ±23), el criterio del cociente no da información. Cuando t = 3

2 , la serie de potenciasdada se convierte en la serie armónica alternante

1

1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · ·+ (−1)n+1 1

n+ · · ·

la cuál es convergente. Cuando t = −32 se tiene

−1

1− 1

2− 1

3− 1

4− · · · − 1

n− · · ·


la cual es (un multiplo de) la serie armónica, que es divergente. Por tanto, se concluye que laserie de potencia dada es absolutamente convergente cuando

−3

2< t <

3

2

y es condicionalmete convergente cuando

t =3

2.

Sit ≤ −3

2ó t >

3

2,

la serie es divergente.

1.2. Series de funciones reales

De la misma forma que pensamos en sucesiones de números reales {xn}n∈N , donde teníamosun número real para cada natural n, podemos pensar en una sucesión de funciones {fn}n∈N,donde cada fn (t) es una función real definida en cierto dominio (o sea, tenemos una función devariable para cada número natural n). Por ejemplo si llamamos

fn (t) =1

n2cos(nt),

entonces {fn}n∈N es una sucesión de funciones reales, cada una de las funciones de la sucesiónesta definida en todo R, y la n-ésima función de la sucesión es nt.

Supongamos que tenemos una sucesión de funciones {fn}n∈N , y tomemos un número t fijoque esté en el dominio de todas las funciones fn, entonces {fn (t)}n∈N es una sucesión de númerosreales, así que tiene sentido plantear la serie

f1 (t) + f2 (t) + f3 (t) + · · · =∞∑n=1

fn (t) .

Para decidir si una serie de este tipo converge, se puede aplicar cualquiera de los criterios vistos,pues se trata de una serie normal de números reales. Pero estamos interesados en ver el problemadesde otro punto de vista: dada una sucesión de funciones {fn}n∈N , queremos encontrar losnúmeros reales t para los cuales la serie numérica

∑∞n=1 fn (t) es convergente (si es que hay

alguno). Suponiendo que la serie∑∞

n=1 fn (t) converge para todo t de cierto conjunto I ⊆ R,llamamos

S (t) = lımN→∞

N∑n=1

fn (t) =

∞∑n=1

fn (t) ,

y esto define una nueva función S (t) en I (la función que asigna a cada t de I el valor de laserie numérica

∑∞n=1 fn (t)). Este hecho se suele denotar omitiendo la variable:

S = lımN→∞

N∑n=1

fn =∞∑n=1

fn,


y se dice que la serie de funciones∑∞

n=1 fn converge a la función S. La definición de convergenciaqueda así:

Definición 1.9 Dada una sucesión de funciones {fn}n∈N , diremos que∑∞

n=1 fn converge en unconjunto I si

∑∞n=1 fn (t) converge para todo t ∈ I (notar que, necesariamente I ⊆ Dom (fn) ∀ n,

es decir, los puntos donde la serie converge son, necesariamente, puntos del dominio de las fun-ciones fn). Análogamente, diremos que la serie

∑∞n=1 fn converge absolutamente en I si la serie∑∞

n=1 |fn (t)| converge para todo t ∈ I (o sea si la serie∑∞

n=1 fn (t) converge absolutamente paratodo t ∈ I).

La región de convergencia de la serie∑∞

n=1 fn es el conjunto{t ∈ R :

∞∑n=1

fn (t) converge

},

es decir, el mayor conjunto donde la serie converge.

Ejemplo 1.10 Tomar fn (t) = tn, con n ∈ N (es decir, f1 (t) = t, f2 (t) = t2, f3 (t) = t3, etc.),y queremos ver para qué valores de t podemos calcular

f1 (t) + f2 (t) + f3 (t) + · · ·

(notar que cada función fn está definida en todo R). Llamando Sn (t) = f1 (t) + f2 (t) + f3 (t) +· · ·+ fn (t) y haciendo la misma cuenta que para la serie geométrica, concluimos que para t 6= 1vale

Sn (t) =t− tn+1

1− t .

Entonces, para t con |t| < 1 tenemos que

∞∑n=1

fn (t) = lımn→∞

Sn (t) =t

1− t ,

y para t con |t| ≥ 1 la serie no converge pues los términos no tienden a cero. Es decir, la serie∑∞n=1 fn converge en el conjunto I = {t : |t| < 1} .

Los criterios usuales para series numéricas quedan ahora así:

Si∑∞

n=1 fn y∑∞

n=1 gn son series de funciones,∑∞

n=1 fn converge a f en If ⊆ R, y∑∞n=1 gn converge a g en Ig ⊆ R, y α es un número real, entonces la serie de funciones∑∞n=1 (αfn + gn) converge a la función αf + g en If ∩ Ig.

Si∑∞

n=1 fn converge en I ⊆ R entonces

lımn→∞

fn (t) = 0 ∀ t ∈ I.

La serie∑∞

n=1 fn converge en I si y solo si la serie RN =∑∞

n=N+1 fn converge en I paratodo N, y en tal caso

lımN→∞

RN (t) = 0 ∀ t ∈ I.


Si∑∞

n=1 fn converge absolutamente en I ⊆ R, entonces converge en I (es decir, si∑∞

n=1 |fn (t)|converge para todo t en I entonces

∑∞n=1 fn (t) converge para todo t en I).

Si |hn (t)| ≤ |fn (t)| ∀ t ∈ I y∑∞

n=1 |fn| converge en I, entonces∑∞

n=1 |hn| converge en I(y entonces

∑∞n=1 hn converge en I).

Si {fn}n∈N es una sucesión con fn (t) 6= 0 ∀ t ∈ I y ∀n ≥ N (donde N es algún natural) y

lımn→∞

∣∣∣∣fn+1 (t)

fn (t)

∣∣∣∣ = lt,

entonces la serie∑∞

n=1 fn converge absolutamente en I si lt < 1 ∀ t ∈ I, (y diverge paralos valores de t tales que lt > 1).

Si {fn}n∈N es una sucesión ylımn→∞

n√|fn (t)| = lt,


n=1 fn converge absolutamente en I si lt < 1 ∀ t ∈ I, (y diverge paralos valores de t tales que lt > 1).

Ejemplo 1.11 Tomemos

fn (t) =

(t

t+ 1

)n(o sea que cada fn está definida en R−{−1}), buscamos la región de convergencia de

∑∞n=1 fn.

Por el ejemplo anterior, sabemos que necesitamos∣∣∣∣( t

t+ 1

)∣∣∣∣ < 1,

y entonces ∣∣∣∣( t

t+ 1

)∣∣∣∣ < 1⇐⇒ |t| < |t+ 1| ⇐⇒ t2 < (t+ 1)2 ⇐⇒

⇐⇒ t2 < t2 + 2t+ 1⇐⇒ −1

2< t,

es decir, la serie converge en el intervalo(−1

2 ,∞).

En general, uno pretende que la función definida por una serie de funciones convergentestenga las mismas propiedades de suavidad que las funciones sumadas. Esto en general no es así,pero tenemos los siguientes resultados:

Teorema 1.12 Si {fn}n∈N es una sucesión de funciones continuas en [a, b] y {Mn}n∈N esuna sucesión de números reales positivos tales que

1. para cada n ∈ N, vale que |fn (t)| ≤Mn ∀ t ∈ [a, b], y

2. la serie∑∞

n=1Mn converge.


Entonces la serie∑∞

n=1 fn converge absolutamente a una función continua S(t), y∫ d

cS (t) dt =

∞∑n=1

∫ d

cfn (t) dt ∀ [c, d] ⊆ [a, b] .

Demostración. Primero notar que por comparación la serie∑∞

n=1 fn(t) converge (absoluta-mente) para todo t ∈ [a, b]. Llamemos S(t) =

∑∞n=1 fn(t). Además,

|RN (t)| =∣∣∣∣∣∞∑

n=N+1

fn(t)

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

n=N+1

|fn(t)| ≤∞∑

n=N+1

Mn −→N→∞

0,

y entonces dado ε > 0 puedo encontrar n0 ∈ N tal que

|Rn0 (t)| < ε

3∀ t ∈ [a, b]

Doy un t0 fijo en [a, b], quiero ver que puedo hacer |S (t)− S (t0)| chico tomando t suficien-temente próximo a t0, es decir, doy ε > 0 y quiero ver que hay un δ > 0 tal que

|S (t)− S (t0)| < ε si |t− t0| < δ.

Llamemos Sn (t) =∑n

j=1 fj (t) , entonces

|S (t)− S (t0)| = |S (t)− Sn0 (t) + Sn0 (t)− Sn0 (t0) + Sn0 (t0)− S (t0)| ≤≤ |S (t)− Sn0 (t)|+ |Sn0 (t)− Sn0 (t0)|+ |Sn0 (t0)− S (t0)| == |Rn0 (t)|+ |Sn0 (t)− Sn0 (t0)|+ |Rn0 (t0)| << 2

ε

3+ |Sn0 (t)− Sn0 (t0)| . (1.1)

Ahora tomo δ tal que|Sn0 (t)− Sn0 (t0)| < ε

3si |t− t0| < δ (1.2)

(que existe pues la función Sn0 (t) es continua en t0 pues es la suma de n0 funciones continuas).Combinando (1.2) con (1.1), vemos que tal δ es el que estábamos buscando.

En cuanto a la integral, queremos ver que la serie numérica∑∞

n=1

∫ dc fn (t) dt converge al

número∫ dc S (t) dt. Razonando como arriba, dado ε > 0 existe N ∈ N tal que |Rn (t)| ≤ ε

b−apara todo t ∈ [a, b] si n ≥ N . Entonces∣∣∣∣∣∣∫ d

cS (t) dt−

n∑j=1

∫ d

cfj (t) dt

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∫ d

c

S (t)−n∑j=1

fj (t)

dt

∣∣∣∣∣∣ ≤∫ d

c

∣∣∣∣∣∣S (t)−

n∑j=1

fj (t)

∣∣∣∣∣∣ dt =

=

∫ d

c|Rn (t)| dt ≤ ε

b− a (d− c) < ε ∀ n ≥ N ,

que es lo que queríamos probar.

Ejemplo 1.13 Considerar la serie∞∑n=1

cos (nt)

n2.


Puesto que∣∣∣ cos(nt)

n2

∣∣∣ ≤ 1n2 para todo t ∈ R, y

∑∞n=1

1n2 convege, concluimos que dicha serie

converge a una función continua S(t) en R. Además,∫ π

0

∞∑n=1

cos (nt)

n2dt =

∞∑n=1

∫ π

0

cos (nt)

n2dt = 0.

8 6 4 2 2 4 6 8

1

t

S

Notar que, a partir de la gráfica de S, no es obvio que la integral valga cero. Más adelanteencontraremos una fórmula para S en términos de funciones elementales.

Teorema 1.14 Si {fn}n∈N es una sucesión de funciones con derivada continua en [a, b] talesque

∑∞n=1 fn(t) converge en [a, b] a S(t), y {Mn}n∈N es una sucesión de números reales positivos

tales que

1. para cada n ∈ N, vale que |f ′n (t)| ≤Mn ∀ t ∈ [a, b], y

2. la serie∑∞

n=1Mn converge.

Entonces S(t) tiene derivada continua

S′ (t) =

∞∑n=1

f ′n (t) dt.

Demostración. Llamemos g (t) =∑∞

n=1 f′n (t) , quiero ver que S es derivable y que S′ (t) =

g (t) ∀ t ∈ (a, b) . Por el Teorema Fundamental del Cálculo,

fn (t)− fn (a) =

∫ t

af ′n (x) dx,

Aplicando el Teorema anterior, vemos que∫ t

ag (x) dx =

∫ t

a

∞∑n=1

f ′n (x) dx =∞∑n=1

[∫ t

af ′n (x) dx

]=∞∑n=1

[fn (t)− fn (a)] =

=

∞∑n=1

fn (t)−∞∑n=1

fn (a) = S (t)− S (a) .

Pero sabemos del Teorema anterior que g es continua, por lo que el Teorema Fundamental delCálculo nos dice que

d

dt

[∫ t

ag (x) dx

]= g (t) ,

que comparando con la igualdad anterior nos permite deducir que S es derivable y S′ (t) = g (t).Que S′ es continua se deduce del Teorema anterior.


Ejemplo 1.15 (Aplicación a Series de Potencias) Vamos a extender los resultados del Teo-rema 1.7. Si

S(t) =∞∑n=0

an (t− a)n ,

es una serie de potencias que converge en t0, tomemos cualquier 0 < r < |t0 − a|, y M talque |an (t0 − a)n| ≤M (que existe por la convertencia en t0). Entonces para todo t ∈ (a−r, a+r)se tiene

|an (t− a)n| ≤ |an (t0 − a)n| rn

|t0 − a|n≤M rn

|t0 − a|n= Mn,

y ∣∣∣nan (t− a)n−1∣∣∣ ≤ |nan (t0 − a)n| rn−1

|t0 − a|n≤M nrn−1

|t0 − a|n= Mn.

Estas dos cotas (que valen para todo t ∈ (a− r, a+ r)) implican (aplicando los Teoremas 1.12 y1.14) que S(t) se puede integrar término a término, y una primitiva de S(t) es∫ t

aS(x)dx =

∞∑n=0

an

∫ t

a(x− a)n dx =

∞∑n=0

ann+ 1

(t− a)n , (1.3)

y además es derivable en (a− r, a+ r) y

S′(t) =∞∑n=0

d

dtan (t− a)n =

∞∑n=1

nan (t− a)n−1 . (1.4)

Eligiendo convenientemente t0 y r, se puede ver que las tres series de potencias tienen elmismo radio de convergencia, y que las fórmulas (1.3) y (1.4) valen en toda la región de con-vergencia.

Dicho corto: las series de potencias se pueden integrar y derivar término a término. Se dejacomo ejercicio aplicar esto a las series de Taylor encontradas, y utilizar el mismo para encontrarla serie de Taylor de otras funciones (por ejemplo, la de ln integrando la serie de 1/t).

1.3. Funciones periódicas

Haremos acá un reconto de las propiedades que necesitamos de las funciones de variable realperiódicas.

Definición 1.16 Una función f : R → R (ó f : R → C) se dice periódica de período T sif (t) = f (t+ T ) para todo t ∈ R. Cuando existe un menor T positivo con esta propiedad se lollama período fundamental de f.

Por ejemplo, la función cos (t) es periódica de período 2kπ, k ∈ N, y su período fundamentales 2π; por lo tanto si n ∈ N y p > 0, la función

f (t) = cos

(nπt

p

)


es periódica de período 2pkn , y su período fundamental es

2pn . En particular, cualquiera sea el

número n, f tiene período 2p. Las funciones constantes son periódicas con cualquier período, yno tienen período fundamental.

Si f tiene período T entonces f tiene período kT para cualquier k ∈ N (ejercicio), y lasfunciones periódicas de período T quedan absolutamente determinadas por su valor en cualquierintervalo de la forma [a, a+T ), pues si conozco a f en un intervalo así y quiero saber cuanto valef (t) para cierto t, basta con buscar k ∈ Z tal que t+ kT ∈ [a, a+ T ). De esta forma se puedeconstruir funciones periódicas a partir de funciones definidas en algún intervalo: si conozco fen [a, b) y digo que f tiene período T = b − a, entonces tengo definida en todo R una funciónperiódica de período T. En particular, se usa mucho tener una función definida en un intervalosimétrico [−p, p) y periódica de período 2p.

T

a b0a T¡

T

a ba¡a T¡2

Si sumamos funciones de período T obtenemos una nueva función que también tiene períodoT (ojo, no estamos hablando del período fundamental, solo de algún período), y también sitenemos una sucesión de funciones {fn}n∈N todas de período T y la serie

∑∞n=1 fn converge,

entonces converge a una función de período T. Así, la función

SN (t) =a0

2+

N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)

es periódica de período 2p pues es suma de funciones de período 2p (se puede verificarfácilmente, además, que SN (t) = SN (t+ 2p)), y si la serie

a0

2+

∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)

converge, entonces converge a una función de período 2p.Si f es periódica de período T, e integrable (en el sentido de Riemann), entonces para todo

a ∈ R se tiene que ∫ T

0f (t) dt =

∫ a+T

af (t) dt,

es decir que cada vez que integro sobre un intervalo de longitud T obtengo el mismo resultado.Esto puede verse fácilmente de manera gráfica, “recortando” el área bajo f en [a, a + T ) y


reacomodándola para que quede como el área bajo f en [0.T )

a a T+0 T

1.4. Aproximación por medio de polinomios trigonométricos

Sabemos que podemos aproximar ciertas funciones f (t) con polinomios p (t) usando Taylor(Análisis I). Lo que se le pide a la función es que tenga suficientes derivadas en un entorno de unpunto t0, y el criterio de aproximación que se toma es hacer la desviación máxima |f (t)− p (t)| lomás chica posible en cierto intervalo [a, b] que contiene t0 (es decir, p (t) aproxima “bien”a f (t)en [a, b] si la diferencia máxima entre sus gráficas es “pequeña”). Al usar Taylor, construimosun polinomio de grado n,

pn (t) =

n∑j=0

f (j) (t0)

j!(t− t0)j ,

y para mejorar la aproximación debíamos aumentar n, y para que la aproximación sea tan buenacomo queramos necesitamos que f tenga derivadas de todos los órdenes en t0 y además que elresto f (t)−

n∑j=0

f (j) (t0)

j!(t− t0)j

tienda a cero cuando n tiende a infinito para todo t de [a, b] , lo cual no ocurre siempre.

t0

f( )t

p( )t

Ahora vamos a tratar de aproximar funciones f (t) periódicas de período 2p, y para esousaremos polinomios trigonométricos de grado N y período 2p, que son funciones de laforma

SN (t) =a0

2+

N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

),


donde p es un número real fijo y a0, a1, ..., aN , b1, ..., bN son números (reales o complejos, dependi-endo de que f ser real o compleja) que elegiremos para satisfacer cierto criterio de aproximación.Notar que cada término de SN (t) es una función periódica de período 2p, por lo tanto SN (t) esuna función periódica de período 2p. Entonces SN va a ser bueno para aproximar funciones deperíodo 2p, o lo que es lo mismo, funciones definidas en algún intervalo de longitud 2p (pues sitengo una función definida en un intervalo de longitud 2p puedo construir una función periódicade período 2p definiendo f (t) = f (t+ 2p) para todo t real, y viceversa). De acá en adelanteasumimos eso: vamos a trabajar con funciones definidas en un intervalo de longitud 2p yextendidas periódicamente a todo R.

En cuanto al criterio para aproximar, vamos a usar el que se llama de la media cuadráticamínima, y para motivar este criterio vamos a suponer que f : R→R. Si, con la notación quetraemos, llamamos

δN (t) = f (t)− SN (t) ,

entonces el criterio usado con polinomios de Taylor era hacer chico |δN (t)| , y si miramos lasgráficas abajo, con ese criterio, 1 es mejor aproximación de f que 2

1

p0 p0

2f( )t

f( )t

pp

Pero el área que queda entre f y 1 en el intervalo [−p, p] es más grande que la que quedaentre 2 y f, y ese es otro criterio que podríamos usar para decir que una función aproxima a f.Como dicha área es ∫ p

−p|δN (t)| dt,

deberíamos elegir los coeficientes (reales, pues f lo es) a0, a1, ..., aN , b1, ..., bN de SN para hacer∫ p−p |δN (t)| dt lo más chico posible. Pero esto presenta complicaciones teóricas y tiene algunosresultados indeseables, así que vamos a tomar como criterio de elección de los coeficientes deSN , minimizar ∫ p

−p|δN (t)|2 dt

con la esperanza de que sea más o menos lo mismo (notar que en este caso δN (t)2 = |δN (t)|2pues todas las cantidades involucradas son reales).

Nota importante 1.17 Puesto que estas operaciones involucran la integración de funciones,de acá en adelante asumiremos que las funciones involucradas son acotadas e integrables en elsentido de Riemann. Se puede extender la teoría a funciones no acotadas (cuya integral impropiaen el intervalo [−p, p] converge), pero dicha generalidad escapa al alcance de estas notas.


Definición 1.18 Si f (t) , g1 (t) y g2 (t) son funciones (de imagen real o compleja) acotadas eintegrables en [a, b] , diremos que g1 aproxima mejor a f que g2 en [a, b] en el sentido de la mediacuadrática si ∫ b

a|f (t)− g1 (t)|2 dt ≤

∫ b

a|f (t)− g2 (t)|2 dt.

Seguimos ahora con el problema de encontrar los coeficientes a0, a1, ..., aN , b1, ..., bN de SN , esdecir, tomemos una f : [−p, p]→ R y busquemos los números reales a0, a1, ..., aN , b1, ..., bN de SNde forma tal que SN aproxime lo mejor posible a f en el sentido de la media cuadrática en [−p, p].Como todas las cantidades involucradas son reales, tenemos que elegir a0, a1, ..., aN , b1, ..., bN demodo que

IN =

∫ p

−pδN (t)2 dt =

∫ p

−p

(f (t)−

[a0

2+

N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)])2

dt (1.5)

sea lo más chico posible, es decir, podemos pensar IN (a0, a1, ..., aN , b1, ..., bN ) como una funciónde 2N + 1 variables, y tenemos que minimizarla. Para hacer esto, calcularemos IN (por másdoloroso que sea), y luego derivaremos, con la esperanza de encontrar un punto crítico que seamínimo. Para ello vamos a utilizar las siguientes relaciones: se tiene que∫ p

−pcos

(nπt

p

)cos

(kπt

p

)dt =

{p si n = k0 si n 6= k

,∫ p

−psin

(nπt

p

)sin

(kπt

p

)dt =

{p si n = k0 si n 6= k

, (1.6)∫ p

−pcos

(nπt

p

)sin

(kπt

p

)dt = 0 ∀ k, n,

y ∫ p

−pcos

(nπt

p

)dt =

∫ p

−psin

(nπt

p

)dt = 0. (1.7)

Desarrollando el integrando en (1.5) queda

(f (t)−

[a0

2+

N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)])2

= f (t)2 − a0f (t)− 2

N∑n=1

[an cos

(nπt

p

)f (t) + bn sin

(nπt

p

)f (t)

]+ (1.8)

+

(a0

2+

N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

))2

Integrando el último término de (1.8) y usando (1.7) obtenemos


∫ p

−p

(a0

2+

[N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)])2

dt =

=

∫ p

−p

a20

4dt+ a0

N∑n=1

an

∫ p

−pcos

(nπt

p

)dt︸︷︷︸

0

+ bn

∫ p

−psin

(nπt

p

)dt︸︷︷︸

0

+

+

∫ p

−p

[N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)]2

dt

= pa2

0

2+ p

N∑n=1

[a2n + b2n

],

donde esta última igualdad vale pues cuando hacemos[N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)]2

obtenemos la suma de todas las combinaciones del tipo

an cos

(nπt

p

)am cos

(mπt

p

), an cos

(nπt

p

)bm sin

(mπt

p

), y bn sin

(nπt

p

)bm sin

(mπt

p

),

con 1 ≤ n, m ≤ N , así que cuando integramos (usando las relaciones (1.6)) resultan distinto decero únicamente los términos con solo cosenos o solo senos y con m = n, y en tal caso la integralvale p multiplicado por el cuadrado del respectivo coeficiente.

Finalmente, integrando los otros dos términos de (1.8) obtenemos

IN =

∫ p

−pf (t)2 dt− a0

∫ p

−pf (t) dt− 2

N∑n=1

[an

∫ p

−pcos

(nπt

p

)f (t) dt+ bn

∫ p

−psin

(nπt

p

)f (t) dt

]+

+pa2

0

2+ p

N∑n=1

[a2n + b2n

]. (1.9)

(notar que es una forma cuadrática en a0, a1, ..., aN , b1, ..., bN ).Derivando, obtenemos que

∂IN∂a0

= −∫ p

−pf (t) dt+ pa0,

∂IN∂ak

= −2

∫ p

−pcos

(kπt

p

)f (t) dt+ 2pak, (1.10)

∂IN∂bk

= −2

∫ p

−psin

(kπt

p

)f (t) dt+ 2pbk,


que al igualarlas a cero nos dice que deberíamos tomar

a0 =1

p

∫ p

−pf (t) dt

ak =1

p

∫ p

−pf (t) cos

(kπt

p

)dt para k ≥ 1

bk =1

p

∫ p

−pf (t) sin

(kπt

p

)dt para k ≥ 1.

Pero derivando de nuevo en (1.10) obtenemos

∂2IN∂a2

0

= p,∂2IN∂a2

k

=∂2IN∂b2k

= 2p para k ≥ 1,

y como todas las derivadas cruzadas dan cero, resulta que la matriz Hessiana de IN es la matrizdiagonal

p 0 · · · · · · 00 2p 0 0...

. . ....

.... . .

...0 · · · · · · 0 2p

,

de donde concluimos que efectivamente obtenemos un mínimo eligiendo los coeficientes de esaforma.

El trabajo hecho hasta ahora nos permite decir como debemos elegir los coeficientes de SNpara obtener la mejor aproximación de f en el sentido de la media cuadrática, pero todavía nosabemos cómo de buena es esa aproximación (aunque sea la mejor puede ser malísima), así quepor ahora no tenemos teoremas pero sí una definición:

Definición 1.19 Si f es una función periódica de período 2p, acotada e integrable en el intervalo[−p, p] (en el sentido de Riemann), definimos sus coeficientes de Fourier por

an,f =1

p

∫ p

−pf (t) cos

(nπt

p

)dt y bn,f =

1

p

∫ p

−pf (t) sin

(nπt

p

)dt,

y el polinomio trigonométrico

SNf (t) =a0,f

2+

N∑n=1

an,f cos

(nπt

p

)+ bn,f sin

(nπt

p

)formado usando los coeficientes de Fourier de f se llama la aproximación N -ésima de Fourierde f (los subíndices que indican la función entorpecen extremadamente la notación, por lo cualno los utilizaremos salvo que sea estrictamente necesario).

Seguimos la cuenta: evaluando IN en a0,f , a1,f , ..., aN,f , b1,f , ..., bN,f (ver 1.9) y teniendoen cuenta la definición anterior, obtenemos

IN,f = IN (a0,f , a1,f , ..., aN,f , b1,f , ..., bN,f ) =

∫ p

−pf (t)2 dt− p

(a2

0,f

2+

N∑n=1

[a2n,f + b2n,f

]),

de donde podemos sacar las siguientes conclusiones:


1. Puesto que(a2

0,f

2 +∑N

n=1

[a2n,f + b2n,f

])crece cuando N crece (pues sumo más términos

positivos), la aproximación mejora cuando N crece, pues

0 ≤ IN,f =

∫ p

−pf (t)2 dt− p

(a2

0,f

2+

N∑n=1

[a2n,f + b2n,f

]).

2. La seriea2

0,f

2+

∞∑n=1

[a2n,f + b2n,f

]converge pues es creciente (es decir, mientras más grande N más grande es la suma) ypara todo N vale que

a20,f

2+

N∑n=1

[a2n,f + b2n,f

]≤ 1

p

∫ p

−pf (t)2 dt

es decir, es acotada. Esto dice que[a2n,f + b2n,f

]−→n→∞

0, y entonces a2n,f −→n→∞ 0 y

b2n,f −→n→∞ 0, y entonces an,f −→n→∞

0 y bn,f −→n→∞

0.

Después de todo este trabajo hemos demostrado el siguiente teorema:

Teorema 1.20 Sea f : R → R una función periódica de período 2p, acotada e integrable enel sentido de Riemann en [−p, p], y llamemos

SN (t) =a0

2+

N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

).

Entonces la mejor aproximación de f por SN en el sentido de la media cuadrática se obtiene alelegir

an =1

p

∫ p

−pf (t) cos

(nπt

p

)dt, n ∈ N∪{0} , y bn =

1

p

∫ p

−pf (t) sin

(nπt

p

)dt, n ∈ N

(es decir, los coeficientes de Fourier de f). Con esta elección, la aproximación mejora a medida

que N crece, y la serie∑∞

n=1

[|an|2 + |bn|2

]converge, resultando

a20

2+

N∑n=1

[a2n + b2n

]≤ 1

p

∫ p

−pf (t)2 dt.

Además,

lımn→∞

∫ p

−pf (t) cos

(nπt

p

)dt = lım

n→∞

∫ p

−pf (t) sin

(nπt

p

)dt = 0.


Se puede ver que más que lo que dice el teorema es cierto: en 1896 el matemático Liapunoffdemostró que lımN→∞ IN = 0, de donde se deduce que vale la igualdad

a20

2+

∞∑n=1

[a2n + b2n

]=

1

p

∫ p

−pf (t)2 dt

para cualquier función acotada (e incluso para funciones no acotadas pero tales que la inte-gral impropia

∫ p−p |f (t)|2 dt sea convergente). Esta igualdad se llama igualdad de Parceval y la

desigualdad del teorema se llama desigualdad de Bessel.

Nota importante 1.21 Cuando uno examina con cuidado lo hecho, se da cuenta de que loscoeficientes de Fourier no dependen del grado de la aproximación N . Esto es muy importanteporque significa que si uno no está conforme con la aproximación lograda con cierta cantidad detérminos, entonces puedo agregar términos sin tener que recalcular los primeros coeficientes. Esdecir, si para cierto problema usamos la 3ra aproximación de Fourier y no estamos conformescon los resultados, para usar la 4ta sólo necesitamos calcular dos nuevos coeficientes: a4 y b4.

Ejemplo 1.22

1. Tomemos f (t) = |t| en el intervalo [−π, π] (es decir, estamos pensando en la funciónperiódica de período 2π que coincide con |t| en el intervalo [−π, π]). Los coeficientes deFourier son

an =1

π

∫ π

−π|t| cos (nt) dt y bn =

1

π

∫ π

−π|t| sin (nt) dt,

y como la función |t| sin (nt) es impar, resulta que todas las integrales que definen bn soncero, es decir, bn = 0 ∀n, y si n 6= 0 queda

an =1

π

∫ π

−π|t| cos (nt) dt =

2

π

∫ π

0t cos (nt) dt =

2

π

[t sin (nt)

n

]t=πt=0

− 2

π

∫ π

0

sin (nt)

ndt =

= − 2

π

[−cos (nt)

n2

]t=πt=0

=2

πn2[cos (nπ)− 1] =

{0 si n es par−4πn2 si n es impar

.

Por otro lado,

a0 =2

π

∫ π

0tdt =

2

π

[t2

2

]t=πt=0

= π,

y entonces la aproximación N -ésima para N impar de f queda

SNf (t) =π

2− 4

πcos (t)− 4

π9cos (3t)− · · · − 4

πN2cos (Nt) ,

y si N es par queda SNf (t) = SN−1f (t) . Además,∫ π−π |t| dt = π2 = π

(π2

2 +∑∞

n=116

π2(2n−1)4

),

donde el último igual vale por Parseval.

S0

1

2

3

1 2 33 2 1 0

1

2

3 S3

1 2 33 2 1 0

1

2

3 S1

1 2 33 2 1 0


En el segundo gráfico se puede ver cuál será el aporte del tercer término en S3.

2. Tomemos la función de período 2 tal que

f (t) =

{0 si − 1 ≤ t < 0t2 si 0 ≤ t < 1

,

entonces los coeficientes de Fourier de f son: para n ≥ 1

an =

∫ 1

−1f (t) cos (nπt) dt =

∫ 0

−1f (t) cos (nπt) dt+

∫ 1

0f (t) cos (nπt) dt

=

∫ 1

0t2 cos (nπt) dt =

[t2 sin (nπt)

nπ− 2 sin (nπt)

n3π3+

2t cos (nπt)

n2π2

]t=1

t=0

=2 cos (nπ)

n2π2= (−1)n

2

n2π2,

y

a0 =

∫ 1

−1f (t) dt =

∫ 1

0t2dt =

1

3

y por último

bn =

∫ 1

−1f (t) sin (nπt) dt =

∫ 0

−1f (t) sin (nπt) dt+

∫ 1

0f (t) sin (nπt) dt =

=

∫ 1

0t2 sin (nπt) dt =

[− t

2 cos (nπt)

nπ+

2 cos (nπt)

n3π3+

2t sin (nπt)

n2π2

]t=1

t=0

=

= −cos (nπ)

nπ+

2 cos (nπ)

n3π3− 2

n3π3=

(−1)n+1

nπ+

2 (−1)n

n3π3− 2

n3π3=

=

{ −1nπ si n es par

1nπ −

4n3π3 si n es impar

.

Así la sexta aproximación de Fourier de f es

S6f (t) =1

6− 2

π2cos (πt) +

(1

π− 4

π3

)sin (πt) +

1

2π2cos (2πt)− 1

2πsin (2πt)−

− 2

9π2cos (3πt) +

(1

3π− 4

27π3

)sin (3πt) .

0.5 10

0.5

1

1 0.5 0.5 10

0.5

1

1 0.5 0.5 10

0.5

1

1 0.5

S1S2 S3

Puede verse claramente, además, que la función anterior era más fácil de aproximar, ya quesumando menos términos conseguíamos algo más parecido a f .


1.5. Convergencia puntual de series de Fourier

Hasta ahora no hemos dicho nada cuanto se parece puntualmente f a su N -ésima aproxi-mación de Fourier, es decir no sabemos que relación hay, para cada t, entre f (t) y SN (t) , ytampoco sabemos que pasa con SN (t) cuando N tiende a infinito. Para estudiar eso, introduci-mos la siguiente definición:

Definición 1.23 Si f (t) es una función periódica de período 2p e integrable en el intervalo[−p, p], la serie de Fourier de f es

a0

2+

∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)donde los coeficientes {an}n∈N∪{0} y {bn}n∈N son los coeficientes de Fourier de f (ver definición1.19). A veces denotaremos

f ∼ a0

2+

∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)para indicar cuál es la serie de Fourier de f . Notar que no sabemos si dicha serie converge paraalgún valor de t, pero si tenemos f en las condiciones de la definición podemos construirla.

Por supuesto que nos gustaría mucho que la serie de Fourier de f converja a f, lo cuallamentablemente no ocurre. Pero tenemos el siguiente teorema, que demostró Dirichlet en 1829(este es el primer resultado de convergencia puntual de series de Fourier).

Teorema 1.24 (Dirichlet) Si f (t) es una función real de período 2p (definida en todo R),acotada en [−p, p] , con un número finito de discontinuidades en [−p, p] y con un número finitode máximos y mínimos (extremos locales) en [−p, p] , entonces la serie de Fourier de f convergepara todo t al valor 1

2 [f (t+) + f (t−)] , es decir,

a0

2+∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)=

1

2

[f(t+)

+ f(t−)].

Entendamos qué pide el teorema y qué da: las condiciones pedidas a f (además de serperiódica de período 2p) se llaman las condiciones de Dirichlet en [−p, p] . Analicemos quepiden estas condiciones: primero, con extremos locales nos referimos a puntos t0 tales que f(t0) ≤f(t) para todo t próximo a t0 (o ≥ en lugar de ≤). Que tenga un número finito de máximos ymínimos en [−p, p] nos asegura que f no oscila demasiado, por ejemplos la función periódica deperíodo 2 tal que

f (t) =

{t sin (1/t) si 0 < |t| < 1

0 si t = 0


no cumple con esa condición (graficar f y ver!). Que tenga un número finito de discontinuidadesen [−p, p] está claro que significa, y por ejemplo la función de período 2

f (t) =

{0 si t ∈ Q1 si t ∈ R−Q

no cumple con esa condición. Las tres condiciones juntas (que pide Dirichlet) dicen algo muyimportante: que el intervalo [−p, p] se puede dividir de forma tal que la gráfica de f en cadasubintervalo es la de una función creciente o decreciente, y además, por ser acotada, los límites

f(t+0)

= lımt→t+0

f (t) y f(t−0)

= lımt→t−0

f (t)

existen para todo t0 en [−p, p] . Para convencerse de eso, marcar en [−p, p] primero todas lasdiscontinuidades, y después estudiar en cada subintervalo una función continua con finitos ex-tremos locales (y a la hora de graficar recordar que f es acotada). Notar que si f es continua ent entonces f (t) = f (t+) = f (t−) , y si f es discontinua en t entonces debe tener un salto en t(o una discontinuidad evitable, ya que por las características de f , sabemos que existen límiteslaterales en las discontinuidades), y entonces 1

2 [f (t+) + f (t−)] es el promedio del valor de f enel salto; es decir

1

2

[f(t+)

+ f(t−)]

=

{f (t) si f es continua en t

promedio del salto si f no es continua en t.

Notar, por último, que en estas condiciones sabemos que f es integrable en [−p, p] .En cuanto a lo que el teorema da, nos asegura que la serie de Fourier de f converge para

todo t, pero no necesariamente a f, pues tenemos que

a0

2+∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)=

1

2

[f(t+)

+ f(t−)],

es decir que la serie de Fourier de f converge a f (t) en los t’s donde f es continua, y al promediodel salto en los t’s donde f es discontinua. O sea, para insistir y que quede bien claro, la igualdad

f (t) =a0

2+∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)vale solo para los valores de t donde f es continua. El hecho de que la serie de Fourier de f noconverge a f en las discontinuidades de f es absolutamente razonable: notar que si tomamosto ∈ [−p, p] y fabricamos una nueva función

g (t) =

{f (t) si t 6= t0

f (t0)− 7 si t = t0,

entonces f y g tienen la misma serie de Fourier (y dicha serie no puede converger en t0 a f (t0)y a g (t0)).


Demostración. Veremos una idea de la demostración, para una función ligeramente mejor queDirichlet en [−p, p]: le pediremos además que tenga derivadas laterales en todos los puntos.Tomamos t fijo

SNf(t) =a0

2+

N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)=

=1

2

1

p

∫ p

−pf (x) dx+

N∑n=1

1

p

∫ p

−pf (x) cos

(nπx

p

)dx cos

(nπt

p

)+

1

p

∫ p

−pf (x) sin

(nπx

p

)dx sin

(nπt

p

)

=1

p

∫ p

−pf (x)

[1

2+

N∑n=1

cos

(nπx

p

)cos

(nπt

p

)+ sin

(nπx

p

)sin

(nπt

p

)]dx

=1

p

∫ p

−pf (x)

[1

2+

N∑n=1

cos

(nπ

p(t− x)

)]dx

Llamemos

DN (t) =1

2+

N∑n=1

cos

(nπ

pt

)Usando

sin((n+ 1

2

)u)− sin

((n− 1

2

)u)

= sin (nu) cos(

12u)

+ cos (nu) sin(

12u)−

− sin (nu) cos(−1

2 u)− cos (nu) sin

(−12 u)

= 2 cos (nu) sin(

12u)

se ve que

DN (t) =1

2+

N∑n=1

cos

(nπ

pt

)=

sin((N + 1

2

)πtp

)2 sin

(12πtp

) .

La función DN (t) satisface:

i)1

p

∫ p

−pDN (t)dt = 1, ii) DN es par, iii) tiene período 2p

Usando estas últimas dos propiedades se ve que

SNf(t) =1

p

∫ p

−pf (x+ t)DN (x)dx

y entonces

SNf(t)− 1

2f(t+)− 1

2f(t−) =

1

p

∫ 0

−p[f (x+ t)−f(t−)]DN (x)dx+

1

p

∫ p

0[f (x+ t)−f(t+)]DN (x)dx,

veamos que cada uno de ellos tiende a cero, veamos una (la otra es igual):

1

p

∫ p

0[f (x+ t)− f(t+)]DN (x)dx =

1

p

∫ p

0[f (x+ t)− f(t+)]

sin((N + 1

2

)πxp

)2 sin

(πx2p

) dx =

=1

p

∫ p

0g1(x) sin

(Nπx

p

)dx+

1

p

∫ p

0g2(x) cos

(Nπx

p

)dx = bg1

N + ag2

N


donde g1 y g2 son las funciones de período 2p tales que

g1(x) =

[f (x+ t)− f(t+)]

cos(πx2p

)2 sin

(πx2p

) −p < x < 0

πp f′(0+) x = 0

0 0 < x < p

g2(x) =

{12 [f (x+ t)− f(t+)] −p < x < 0

0 0 ≤ x < p

Puesto que g1 y g2 son integrables (acotadas) en [−p, p], sus coeficientes de Fourier tienden acero, con lo cual concluye la demostración.

Ejemplo 1.25 Si consideramos la función de período 2 tal que

f (t) =

{0 si − 1 ≤ t < 0t2 si 0 ≤ t < 1

(del ejemplo anterior), entonces el teorema nos dice que su serie de Fourier converge a la funcióng (t) de período 2 tal que

g (t) =

1/2 t = −10 si − 1 < t < 0t2 si 0 ≤ t < 1

,

Nota 1.26 (comparativa) Con Fourier, si tenemos una función Dirichlet en [−p, p] y contin-ua (y periódica de período 2p), entonces usando aproximaciones N -ésimas de Fourier podemos,valga la redundancia, aproximar f tanto como queramos, a diferencia de lo que ocurría conpolinomios de Taylor que pedía que f tenga derivadas de todos los ordenes. De todos modos,volvemos a recalcar que las series y polinomios de Fourier solo sirven para funciones periódicas,por ejemplo no sirven para la función f (x) = ex, y Taylor con esta hace un trabajo maravilloso.

Nota 1.27 (y ejercicio)

1. Si f y g son periódicas de período 2p e integrables en [−p, p], y sus series de Fourier son

f ∼ a0,f

2+

∞∑n=1

an,f cos

(nπt

p

)+ bn,f sin

(nπt

p

)y

g ∼ a0,g

2+∞∑n=1

an,g cos

(nπt

p

)+ bn,g sin

(nπt

p

),


entonces para cualquier número real α, la serie de Fourier de la función αf + g es

αf + g ∼ αa0,f + a0,g

2+∞∑n=1

[αan,f + an,g] cos

(nπt

p

)+ [αbn,f + bn,g] sin

(nπt

p

).

2. Si f es periódica de período 2p e integrable en [−p, p] , y f ∼ a0,f

2 +∑∞

n=1 an,f cos(nπtp

)+

bn,f sin(nπtp

)(o sea el miembro de la derecha es la serie de Fourier de f), y α ∈ R,

entonces la función g (t) = f (αt) es periódica de período 2p/α e integrable en [−p/α, p/α] ,y

g ∼ a0,f

2+∞∑n=1

an,f cos

(nπαt

p

)+ bn,f sin

(nπαt

p

)(es decir tiene los mismos coeficientes que f).

3. Si f es periódica de período 2p e integrable en [−p, p] , y f ∼ a0,f

2 +∑∞

n=1 an,f cos(nπtp

)+

bn,f sin(nπtp

), y α ∈ R, entonces la función g (t) = f (t− α) es periódica de período 2p e

integrable en [−p, p] , y sus coeficientes de Fourier son

an,g = an,f cos

(nπα

p

)− bn,f sin

(nπα

p

), y

bn,g = an,f sin

(nπα

p

)+ bn,f cos

(nπα

p

).

4. Si p (t) es un polinomio trigonométrico, entonces él es su serie de Fourier.

Unicidad y espectro: una pregunta un poco adelantada es: si f y g son periódicas deperíodo 2p y tienen los mismos coeficientes de Fourier, ¿tiene que valer f (t) = g (t) ∀ t?Esta pregunta no es tan fácil de contestar, pero si es fácil cuando nos restringimos a funcionescomo las del teorema de Dirichlet: en ese caso, f y g deben ser iguales, salvo posiblemente enlas discontinuidades de ambas pues si {x1, ..., xn} son las discontinuidades de f en [−p, p] y{y1, ..., ym} son las de g, como f y g tienen la misma serie de Fourier y tal serie converge a f yg donde son continuas, tendremos que para todo t ∈ [−p, p]− {x1, ..., xn, y1, ..., ym} vale

f (t) =a0

2+

∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn

(nπt

p

)︸︷︷︸

serie de Fourier de f y g

= g (t) .

Esto es muy importante porque nos dice que una función (periódica de período 2p y Dirichleten [−p, p]) está unívocamente determinada por sus coeficientes de Fourier (salvo en las discon-tinuidades), es decir, si quiero transportar información puedo calcular los coeficientes de Fourierde f, tirar f y quedarme con los coeficientes, tranquilo de que f es la única función con dichoscoeficientes y de que puedo recuperarla cuando quiera (de nuevo, salvo por las discontinuidades).Por razones físicas al conjunto de todos los coeficientes de Fourier se llaman el espectro de f , ya la cantidad p

(|a0|2

2 +∑∞

n=1

[|an|2 + |bn|2

])(que es igual a

∫ p−p |f (t)|2 dt) la energía (espectral)

total.


1.6. Orden de los coeficientes de Fourier

Sabemos que los coeficientes de Fourier {an, bn} de una función (razonable) satisfacen

an −→n→∞

0 y bn −→n→∞

0,

pero no sabemos cuan rápido lo hacen. Para poder medir “velocidad”de convergencia tenemosque fijar parámetros, y lo hacemos de la siguiente manera: vamos a usar para comparar lassucesiones {1/n}n∈N ,

{1/n2

}n∈N ,

{1/n3

}n∈N , etc., teniendo en cuenta que, por ejemplo, la

segunda converge más rápido a cero que la primera, en el sentido de que

1/n2

1/n−→n→∞

0.

En general, si tenemos {1/nm}n∈N y{

1/nk}n∈N entonces la primera decrece más rápido que la

segunda si m > k.

Nota(ción) 1.28 Si f (t) es periódica de período 2p y continua, puede pasar que f ′(t) exista entodo (−p, p) salvo en finitos puntos {t1, ..., tn}. En este caso, denotaremos por f ′ a tal función(periódica de período 2p), dejándola sin definir en los puntos que no exista (que serán infinitosen R). Esto no tendrá importancia pues estamos interesados en los coeficientes de Fourier def ′, y las integrales no se dan cuenta si f ′ no está definida en una cantidad finita de puntos.En algunos casos, cuando queramos remarcar esta situación, diremos que f ′ existe en casi todopunto. Así, por ejemplo, la función de período 2 tal que f (t) = |t| si t ∈ [−1, 1) tiene derivadaperiódica de período 2 y

f ′ (t) =

{−1 si − 1 < t < 01 si 0 < t < 1

,

y f ′ no está definida en los t ∈ Z.

1 2 33 2 1 0

1f t( ) f t

0( )

1 2 33 2 1 0

1

En las condiciones anteriores, o sea si f es continua 2p-periódica y f ′ existe en casi todopunto, si además f ′ es integrable en [−p, p] , vale que∫ p

−pf ′(t)dt = f (p)− f (−p) .

Se suele poner f (p−)− f (−p+) en lugar de f (p)− f (−p) cuando no se sabe que f sea continuaen p y/o −p.

Vamos a ver un lema técnico para calcular integrales:


Lema 1.29 (teorema del valor medio para integrales) Si f : [a, b] → R es monótona en[a, b] (es decir, creciente o decreciente) y g es integrable en el sentido de Riemann en [a, b] ,entonces existe ξ ∈ (a, b) tal que∫ b

af (t) g (t) dt = f (a)

∫ ξ

ag (t) dt+ f (b)

∫ b

ξg (t) dt.

Demostración. La omitimos, es un resultado clásico aunque no inmediato.

Tomemos ahora una función 2p-periódica y Dirichlet en [−p, p] . Como f tiene una cantidadfinita de máximos y mínimos en [−p, p] podemos dividir dicho intervalo en una cantidad finitade subintervalos de forma tal que f sea monótona en cada uno de ellos. Consecuentemente,

an =1

p

∫ p

−pf (t) cos

(nπt

p

)dt

puede expresarse como una suma finita de integrales del tipo

1

p

∫ b

af (t) cos

(nπt

p

)dt

con f monótona en [a, b]. Aplicándole el lema anterior a esta integral tenemos que∫ b

af (t) cos

(nπt

p

)dt = f (a)

∫ ξ

acos

(nπt

p

)dt+ f (b)

∫ b

ξcos

(nπt

p

)dt =

=pf (a)

nπ

[sin

(nπξ

p

)− sin

(nπa

p

)]+pf (b)

nπ

[sin

(nπb

p

)− sin

(nπξ

p

)].

Ahora, como f es acotada existe M tal que |f (t)| ≤ M para todo t, y entonces acotando lasuma anterior queda ∣∣∣∣∫ b

af (t) cos

(nπt

p

)dt

∣∣∣∣ ≤ 4pM

nπ.

Por último, como el coeficiente era una suma finita de integrales de este tipo, concluimos queexiste una constante c (que no depende de n) tal que

|an| ≤c

n∀ n ∈ N.

Análogamente, se prueba que en estas condiciones existe una constante c tal que

|bn| ≤c

n∀ n ∈ N.

Supongamos ahora que f es 2p-periódica, continua y Dirichlet en [−p, p] , y que existe f ′ encasi todo punto y es Dirichlet en [−p, p] , entonces calculamos los coeficientes de Fourier de fintegrando por partes (notar que f ′ resulta acotada e integrable por ser Dirichlet):

an =1

p

∫ p

−pf (t) cos

(nπt

p

)dt =

[p

nπf (t) sin

(nπt

p

)]p−p− p

nπp

∫ p

−pf ′ (t) sin

(nπt

p

)dt =

= 0−( p

nπ

) 1

p

∫ p

−pf ′ (t) sin

(nπt

p

)dt (1.11)


pues sin (−nπ) = sin (nπ) = 0.Pero

1

p

∫ p

−pf ′ (t) sin

(nπt

p

)dt = b′n = coeficiente de f ′,

y como f ′ está dentro del razonamiento anterior, sabemos que existe c tal que∣∣a′n∣∣ ≤ c

ny

∣∣b′n∣∣ ≤ c

n∀ n ∈ N

(estamos denotando con ′ los coeficientes de f ′), así que tomando módulo arriba queda

|an| =∣∣∣( p

nπb′n

)∣∣∣ ≤ pc

π

1

n2.

Análogamente, usando que f es continua y que f (p) = f (−p), se ve que existe una constante ctal que

|bn| ≤c

n2∀ n ∈ N.

Motivados por todo este cuenterio, ponemos la siguiente definición:

Definición 1.30 Si {cn}n∈N es una sucesión que converge a cero, diremos que es de orden 1/nk

si existe una constante M tal que

|cn| ≤M1

nk

para todo n. Otra forma de decir esto es que {cn}n∈N decrece al menos como (la sucesión){1/nk

}n∈N .

Esta no es la definición de orden más precisa ni la forma de determinar velocidad de conver-gencia más ajustada (por ejemplo, ¿por qué quedarnos con k natural en lugar de usar cualquierotro exponente?) pero alcanza para lo que nosotros queremos establecer.

Ejemplo 1.31 Si

cn =

{4πn2 si n es par0 si n es impar

,

entonces {cn}n∈N es de orden 1/n2 pero no de orden 1/n3.

Para seguir con el razonamiento que traíamos, vamos a poner todo en un teorema:

Teorema 1.32 Sea f (t) una función de período 2p, entonces:

1. Si f es Dirichlet en [−p, p] , entonces sus coeficientes de Fourier son ambos de orden(al menos) 1/n (es decir, existe M tal que |an| ≤ M/n y |bn| ≤ M/n ∀n). Si f tienediscontinuidades no evitables (es decir, saltos por ser f Dirichlet), entonces sus coeficientesde Fourier no pueden decrecer ambos más rápido que 1/n (decrecer más rápido en el sentidode la demostración, ver).


2. Si f es Dirichlet en [−p, p] y continua, y existe f ′ en casi todo punto y es Dirichlet en[−p, p] , entonces los coeficientes de Fourier de f son ambos de orden (al menos) 1/n2 (esdecir, existe M tal que |an| ≤ M/n2 y |bn| ≤ M/n2 ∀n). Si f ′ tiene discontinuidades,entonces los coeficientes de Fourier de f no pueden decrecer ambos más rápido que 1/n2.

3. En general, si f es Dirichlet en [−p, p] y continua, y f ′, f ′′, ..., f (k) existen todas, sonDirichlet en [−p, p] y continuas, y f (k+1) existe en casi todo punto y es Dirichlet en [−p, p] ,entonces sus coeficientes de Fourier son ambos de orden (al menos) 1/nk+2 (es decir, existeM tal que |an| ≤M/nk+2 y |bn| ≤M/nk+2 ∀n). Si f (k+1) tiene discontinuidades, entonceslos coeficientes de Fourier de f no pueden decrecer ambos más rápido que 1/nk+2.

Demostración.

1. Que los coeficientes de Fourier de f decrecen al menos como 1/n ya lo probamos, veamosque no pueden decrecer más rápido ambos: para eso, supongamos que si, o sea que existeM y α > 0 tal que

|an| ≤M

n1+αy |bn| ≤

M

n1+α∀ n ∈ N.

Llamo

g (t) =a0

2+∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)(el miembro de la derecha es la serie de Fourier de f, que converge para todo t pero nonecesariamente a f), entonces∣∣∣∣an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)∣∣∣∣ ≤ 2M

n1+α∀ t ∈ R,

y como la serie∞∑n=1

2M

n1+α= 2M

∞∑n=1

1

n1+α

converge (pues∫∞

1

(1/t1+α

)dt = 1/α, es decir, la integral converge), el Teorema 1.12 me

dice que g es continua en R. Pero f (t) = g (t) en todos los t′s donde f es continua, yesto quiere decir que f es continua o tiene discontinuidades evitables (pensar), lo cualcontradice nuestras hipótesis.

2. Que los coeficientes de Fourier de f decrecen al menos como 1/n2 ya lo probamos, veamosque no pueden decrecer más rápido ambos: para eso, supongamos que si, o sea que existeM y α > 0 tal que

|an| ≤M

n2+αy |bn| ≤

M

n2+α∀ n ∈ N.

Como f es continua, tenemos que

f (t) =a0

2+∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

),


y si miro la serie derivada término a término, tenemos que

∞∑n=1

(an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

))′=∞∑n=1

−nπanp

sin

(nπt

p

)+nπanp

cos

(nπt

p

),

(1.12)y ∣∣∣∣−nπanp

sin

(nπt

p

)+nπanp

cos

(nπt

p

)∣∣∣∣ ≤ 2nπ

p

M

n2+α=

2πM

p

1

n1+α∀ t ∈ R,


2πM

p

1

n1+α=

2πM

p

∞∑n=1

1

n1+α

converge, el Teorema 1.14 nos dice que f tiene derivada continua, lo cual contradice nues-tras hipótesis.

3. Se prueba usando inducción en n y los dos puntos anteriores.

Nota 1.33 (sutil) Fijarse que en el enunciado de (1) dice “Si f tiene discontinuidades noevitables”, en cambio en (2) dice “Si f ′ tiene discontinuidades”, esto es porque hay un teoremaque dice que las funciones derivadas no pueden tener discontinuidades evitables, ver Spivak pag.262.

Ejemplo 1.34

1. Si f (t) es la función de período 2π tal que f (t) = |t| si t ∈ [−π, π), ya calculamos suscoeficientes de Fourier y nos dio bn = 0 ∀n, a0 = π, y

an =

{ −4πn2 si n es impar0 si n es par

,

es decir que son de orden 1/n2 pero no más, y eso es porque f es continua pero f ′ esdiscontinua.

2. Si f es tal que sus coeficientes de Fourier son

an =−7

πn3y bn =

n√n10 + 1

,

entonces |an| = 7πn3 , y n

2√n10≤ |bn| ≤ n√

n10, de donde se deduce que ambos son de orden

1/n3 y no más, es decir que f tiene derivada continua y derivada segunda discontinua.


1.7. Derivación e integración de series de Fourier

Toda la sección anterior, además de ser útil para “saber”cuantos términos debemos usar paraobtener una “buena”aproximación, nos permite sospechar que va a pasar cuando integremos y/oderivemos una serie de Fourier. De Análisis I, uno sabe que en general al integrar una funciónobtenemos una función “mejor”, y que al derivarla obtenemos una función “peor”(por ejemplo,en cuanto a cuantas derivadas tiene). Esta situación también se observa en las series de Fourier:supongamos que tenemos una función 2p-periódica y Dirichlet en [−p, p] , y construimos su seriede Fourier

f ∼ a0

2+∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

).

Si derivamos término a término, obtenemos la serie trigonométrica

∞∑n=1

(−nπanp

)sin

(nπt

p

)+nπbnp

cos

(nπt

p

),

cuyos coeficientes decrecen más lentamente, y por lo tanto la serie converge “peor” (si es queconverge). Por otro lado, si integramos término a término obtenemos∫ t

0

a0

2dx+

∞∑n=1

an

∫ t

0cos

(nπx

p

)dx+ bn

∫ t

0sin

(nπx

p

)dx =

=a0

2t+

∞∑n=1

anp

nπsin

(nπt

p

)− bnp

nπ

(cos

(nπ

t

p

)− 1

)

=a0

2t+

p

π

∞∑n=1

bnn

+

∞∑n=1

anp

nπsin

(nπt

p

)− bnp

nπcos

(nπt

p

),

que es una serie (no trigonométrica, salvo que a0 = 0) que converge “mejor”(y efectivamente,converge). Más aún, con f como tomamos nosotros, se puede ver que esta serie converge auna función continua en R, pues los coeficientes {an, bn}n∈N , son de orden 1/n2. Para estudiarformalmente esto, comenzamos con un resultado ya probado :

Lema 1.35 Sea f : R→ R una función de período 2p,continua, Dirichlet en [−p, p], y existe f ′en casi todo punto y es Dirichlet en [−p, p] . Entonces los coeficientes de Fourier de f y los def ′ se relacionan de la siguiente manera:

an,f ′ =nπ

pbn,f y bn,f ′ = −nπ

pan,f

Demostración. La segunda igualdad fue probada en el desarrollo de (1.11), cuando estudiábamosel orden de los coeficientes. La otra se demuestra de manera absolutamente análoga (ejercicio).

Esta sencilla observación nos permite probar el siguiente teorema:


Teorema 1.36 Sea f : R → R una función periódica de período 2p, continua, Dirichlet en[−p, p], y tal que existe f ′ en casi todo punto y es Dirichlet en [−p, p]. Entonces la serie deFourier de f ′ se puede encontrar derivando término a término la serie de Fourier de f ; másprecisamente,

f ′ ∼∞∑n=1

d

dt

[an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)].

donde {a0, an, bn}n∈N son los coeficientes de Fourier de f .

Demostración. Primero, notar que

a0,f ′ =1

p

∫ p

−pf ′(t)dt =

1

p(f(p)− f(−p)) = 0

(pues f es continua). Derivando término a término la serie de Fourier de f obtenemos

∞∑n=1

(−nπanp

)sin

(nπt

p

)+nπbnp

cos

(nπt

p

),

y teniendo en cuenta el calculo anterior y el Lema 1.35, esta es la serie de Fourier de f ′.Notar que en la demostración anterior, no hemos apelado a ningún resultado de convergencia

que nos permita derivar término a término. Directamente lo hemos hecho, y luego constatamosque el resultado obtenido es un objeto conocido (la serie de Fourier de f ′). En particular, esosignifica que en nuestras hipótesis dicha serie converge para todo t.

La situación con respecto a integrar presenta la siguiente singularidad: si f es una funciónperiódica, no es cierto que una primitiva de f también lo sea, de hecho, ni siquiera es cierto quef tenga primitivas periódicas.

Observación 1.37 1. Si f : R→R es una función integrable de período 2p, a ∈ R, y defin-imos F (t) =

∫ ta f , entonces g es periódica de período 2p si y sólo si

∫ p−p f = 0, pues para

todo t ∈ R vale

F (t+ 2p)− F (t) =

∫ t+2p

0f −

∫ t

0f =

∫ t+2p

tf =

∫ p

−pf .

Es decir, F es periódica si y sólo si a0,f = 0 (el coeficiente de Fourier constate de f).

2. En las condiciones del punto anterior, si h = f − 12a0,f entonces f y h tienen los mismos

coeficientes de Fourier, salvo posiblemente por a0,h, que vale cero. Es decir,

a0,h = 0, an,h = an,f , bn,h = bn,f ∀ n ∈ N.

Esto se deduce inmediatamente de (1.7).

Teorema 1.38 Sea f (t) una función periódica de período 2p, y Dirichlet en [−p, p], y de-notemos {a0, an, bn}n∈N sus coeficientes de Fourier. Entonces la integral de f se puede calcularintegrando término a término su serie de Fourier; más precisamente,∫ t

af (x) dx =

∫ t

a

a0

2dx+

∞∑n=1

∫ t

a

[an cos

(nπx

p

)+ bn sin

(nπx

p

)]dx.


En particular, el miembro de la derecha es la serie de Fourier de la función F (t) =∫ ta f (x) dx,

cuando esta es periódica (sii a0 = 0 según la observación anterior).

Demostración. Primero supongamos que a0 = 0 y definamos F (t) =∫ t

0 f (es decir, suponemosa = 0). Entonces F es periódica de período 2p, continua, y F ′ = f en todos los puntos dondef es continua (es decir, salvo finitos puntos en ). Eso me dice además que F es Dirichlet en[−p, p]: acotada pues es continua y periódica, y con una cantidad finita de extremos locales en[−p, p] ya que dichos extremos pueden estar en puntos donde F ′ no existe (finitos en [−p, p]) odonde f = 0, y estos últimos también son finitos en [−p, p] ya que f es Dirichlet en [−p, p] (noes intención poner tanto énfasis en este hecho tampoco). Con todo esto, el teorema anterior nosdice que

an,F = − p

nπbn y bn,F =

p

nπan, n ∈ N,

de donde podemos concluir (por el teorema de Dirichlet, 1.24) que

F (t) =a0,F

2+

∞∑n=1

(− p

nπbn

)cos

(nπ

t

p

)+

p

nπan sin

(nπt

p

), (1.13)

en particular la serie converge para todo t, y 0 = F (0) =a0,F

2 −pπ

∑∞n=1

bnn (notar que esta serie

converge pues los coeficientes bn son de orden 1/n). Es decir,

a0,F

2=p

π

∞∑n=1

bnn

(1.14)

Por otro lado, si integramos término a término la serie de Fourier de f y usando (1.14) y(1.13) en ese orden, obtenemos

∞∑n=1

∫ t

0

[an cos

(nπx

p

)+ bn sin

(nπx

p

)]dx =

∞∑n=1

anp

nπsin

(nπt

p

)− bnp

nπ

(cos

(nπ

t

p

)− 1

)=

=∞∑n=1

anp

nπsin

(nπt

p

)− bnp

nπcos

(nπ

t

p

)+a0,F

2=

= F (t) .

Si a0 6= 0, aplicamos lo hecho a la función h (t) = f (t) − a02 , y utilizando la observación 1

concluimos que∫ t

0

(f (x)− a0

2

)dx =

∞∑n=1

∫ t

0

[an cos

(nπx

p

)+ bn sin

(nπx

p

)]dx,

es decir ∫ t

0f (x) dx =

a0

2t+

∞∑n=1

∫ t

0

[an cos

(nπx

p

)+ bn sin

(nπx

p

)]dx.

Por último, si a 6= 0, usar que ∫ t

af =

∫ t

0f −

∫ a

0f ,

y que lo hecho nos dice que esas dos integrales se pueden calcular término a término.


Ejemplo 1.39 Tomemos la función de período 2π tal que f (t) = t si t ∈ [−π, π),

¼ 2¼ 3¼3¼ 2¼ ¼ 0

¼

f t( )

¼

entonces los coeficientes de Fourier de f son

an =1

π

∫ π

−πt cos (nt) dt = 0 ∀ n

pues es la integral de una función impar en el intervalo [−π, π] , y

bn =1

π

∫ π

−πt sin (nt) dt = − 2

ncos (nπ) = (−1)n+1 2

n.

Los coeficientes son de orden 1/n por ser f discontinua, la serie de Fourier de f es

f ∼ 2∞∑n=1

(−1)n+1 1

nsin (nt) = 2

[sin (t)− 1

2sin (2t) +

1

3sin (3t)− · · ·

],

y converge a la función

g (t) =

{f (t) si (2n− 1)π < t < (2n+ 1)π para algún entero n

0 si t = (2n− 1)π para algún entero n.

La función

h (t) =

∫ t

0f (x) dx

es periódica de período 2p pues∫ p−p f = 0, y para t ∈ [−π, π] vale

h (t) =

∫ t

0f (x) dx =

∫ t

0xdx =

t2

2.


Además el teorema anterior nos dice que

h (t) = 2∞∑n=1

(−1)n+1 1

n

∫ t

0sin (nx) dx = 2

∞∑n=1

(−1)n1

n2cos (nt) + 2

∞∑n=1

(−1)n+1 1

n2=

= 2

∞∑n=1

(−1)n+1 1

n2+

∞∑n=1

(−1)n2

n2cos (nt) ,

de donde concluimos que esta última es la serie de Fourier de h, y por lo tanto

2

∞∑n=1

(−1)n+1

n2=

1

2π

∫ π

−πh (t) dt =

1

2π

∫ π

−π

t2

2dt =

π2

6,

es decir, la serie de Fourier de h es

π2

6+∞∑n=1

(−1)n2

n2cos (nt) ,

lo cual es coherente con nuestros conocimientos, pues esa es la serie de Fourier de una funciónpar, continua y con derivada discontinua.

Finalmente, si derivamos término a término la serie de f, obtenemos

2 [cos (t)− cos (2t) + cos (3t)− · · · ] ,

que diverge para todo t (notar, sin embargo, que f ′ es periódica (de período 2π, pues es ciertoque f ′(t) = f ′(t + 2π)), es decir este es un caso donde la serie de Fourier de la derivada nopuede calcularse derivando la serie de f, y esto no contradice el teorema, porque el problemaestá en que f no es continua.

1.8. Expansiones de medio rango, efectos de la simetría

Hemos visto en algunos ejemplos, que cuando una función es par su serie de Fourier no tienesenos, y cuando es impar no tiene cosenos; en está sección vamos a ver que efectos tienen algunassimetrías en los coeficientes de Fourier.

Lema 1.40 Si f es una función integrable de período 2p entonces sus coeficientes de Fourierquedan determinados de la siguiente manera:

1. Si f es par, entonces para todo n vale

an =2

p

∫ p

0f (t) cos

(nπt

p

)dt y bn = 0.

2. Si f es impar, entonces para todo n vale

an = 0 y bn =2

p

∫ p

0f (t) sin

(nπt

p

)dt.


Demostración. Ejercicio muy simple.

La principal utilidad del lema anterior no es solo ahorrarse calcular algunos coeficientes queobviamente eran cero (y cuyo cálculo innecesario es una frecuente fuente de errores), sino quenos permite, en algunas circunstancias, encontrar desarrollos de Fourier que contengas solo senoso solo cosenos. El caso típico es el siguiente: supongamos que tenemos una función f definidasolo en el intervalo [0, p), y queremos lograr la igualdad

f (t) =

∞∑n=1

bn sin

(nπt

p

)para todo t ∈ [0, p), o para la mayor cantidad de t′s posibles (por ejemplo difícilmente logremosigualdad en los t′s donde f es discontinua). Entonces hacemos lo siguiente: definimos f (t) =−f (−t) para t ∈ (−p, 0) (recordar que comenzamos con f solamente definida en [0, p)), y asíextendida, f es impar en [−p, p), y ahora definimos f en todo R para que sea periódica deperíodo 2p, es decir ponemos f (t) = f (t+ 2p) ∀ t ∈ R.

p0p0 2p¡p¡2p¡3p 3p

Así, hemos construido una función periódica de período 2p e impar, que coincide con mi funciónoriginal en el intervalo [0, p), por lo tanto su serie de Fourier tendrá solo senos, y si por ejemplo,tenemos f continua en (0, p) , habremos conseguido

f (t) =

∞∑n=1

bn sin

(nπt

p

)∀ t ∈ (0, p) .

Además, notar que en realidad la extensión de f la hacemos virtualmente, es decir, no necesi-tamos calcular explícitamente cuanto vale f en todo t, porque para calcular los coeficientes bnnecesitamos conocer f solo en el intervalo (0, p) , según el lema anterior.

Ejemplo 1.41 Queremos encontrar una serie de Fourier que converge a la función f (t) = t2

en el intervalo (0, 1) y que contenga solo senos, entonces el razonamiento anterior nos dice quedebemos tomar

bn = 2

∫ 1

0t2 sin (nπt) dt = −2

(−1)n

nπ+ 4

(−1)n

n3π3− 4

n3π3,

y con eso nomás estamos seguros de que

t2 =∞∑n=1

[−2

(−1)n

nπ+ 4

(−1)n

n3π3− 4

n3π3

]sin (nπt) ∀ t ∈ (0, 1) .


1 0.5 0.5 1

1

1

0.5 1

0.5

1

Lo que estamos haciendo, en el fondo, es calcular la serie de Fourier de la función de período2 tal que

f (t) =

{−t2 si − 1 ≤ t < 0t2 si 0 ≤ t < 1

.

Exactamente de la misma manera procedemos si tenemos una función sólo definida en [0, p)y queremos encontrar una serie de Fourier que contenga solo cosenos y que converge a f (parala mayor cantidad posible de t′s): en este caso deberíamos definir f (t) = f (−t) para t ∈ [−p, 0)(de forma que quede par en el intervalo [−p, p] , y después extender f de período 2p a todo R.

p0 p0 2p¡p¡2p¡3p 3p

De nuevo, esta función será periódica de período 2p y par, por lo que su serie de Fourier tendrásolo cosenos, en particular si f es continua en (0, p) entonces tendremos

f (t) =a0

2+

∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)∀ t ∈ (0, p)

con

an =2

p

∫ p

0f (t) cos

(nπt

p

)dt,

es decir que no necesitamos calcular explícitamente la extensión de f, pues para calcular loscoeficientes solo necesito saber como es f en el intervalo [0, p)

Ejemplo 1.42 Si, como en el ejemplo anterior, queremos encontrar una serie de Fourier queconverge a f (t) = t2 para todo t ∈ (0, 1) pero que contenga solo cosenos, tenemos que tomar

an = 2

∫ 1

0t2 cos (nπt) dt = 4

(−1)n

n2π2para n ≥ 1, y a0 = 2

∫ 1

0t2dt =

2

3,


y con eso estamos seguros de que

t2 =1

3+∞∑n=1

4(−1)n

n2π2cos (nπt) ∀ t ∈ (0, 1) .

1 1

0.5

1

0.5 1

0.5

1

Notar, que a diferencia del ejemplo anterior, acá nos quedaron coeficientes de orden 1/n2, y estose debe a que la función extendida de forma par resulta continua con derivada discontinua enR.

Una simetría muy usada es la “impar de media onda”o simetría T, que se define así:

Definición 1.43 Si f es una función de período 2p, diremos que f tiene simetría impar demedia onda (o simetría T) si

f (t) = −f (t+ p) ∀ t ∈ R.

Notar que esta simetría depende del período de la función.

Una forma de ver que significa gráficamente esto es la siguiente: si en la definición no estuvierael signo −, estaríamos pidiendo que f tenga período p, por lo tanto una forma de detectar estetipo de simetría es graficar la función en el intervalo [−p, p), y luego reflejar con respecto al ejet en el intervalo (0, p) . Si el resultado obtenido es la misma gráfica que en el intervalo (−p, 0)tendremos simetría T

p

0 2p

¡p

¡2p¡3p

3p

0¡p

Lema 1.44 Si f es una función de período 2p e integrable en [−p, p] y con simetría T, y{an}∞n=0 , {bn}

∞n=1 son los coeficientes de Fourier de f, entonces a0 = a2n = b2n = 0 para todo

n ≥ 1 (es decir, los coeficientes con subíndice par son todos nulos).


Demostración. usando la simetría y haciendo el cambio de variables u = t+ p tenemos que

a2n =1

p

∫ p

−pf (t) cos

(2nπt

p

)dt =

1

p

∫ 0

−pf (t) cos

(2nπt

p

)dt+

1

p

∫ p

0f (t) cos

(2nπt

p

)dt =

=1

p

∫ 0

−p[−f (t+ p)] cos

(2nπt

p

)dt+

1

p

∫ p

0f (t) cos

(2nπt

p

)dt =

=−1

p

∫ p

0f (u) cos

(2nπ (u− p)

p

)du+

1

p

∫ p

0f (t) cos

(2nπt

p

)dt =

=−1

p

∫ p

0f (u) cos

(2nπu

p

)du+

1

p

∫ p

0f (t) cos

(2nπt

p

)dt = 0.

De manera análoga se ve que los otros coeficientes son cero.

Se puede ver que (en cierta medida) la recíproca del lema anterior es verdad: si los coeficientesde subíndice par son nulos, entonces f tiene simetría T pues (si por ejemplo, f es continua)

f (t+ p) =

∞∑n=1

a2n−1 cos

((2n− 1)π (t+ p)

p

)+ b2n−1 sin

((2n− 1)π (t+ p)

p

)=

=∞∑n=1

a2n−1 cos

((2n− 1)πt

p+ 2nπ − π

)+ b2n−1 sin

((2n− 1)πt

p+ 2nπ − π

)=

=∞∑n=1

a2n−1 (−1) cos

((2n− 1)πt

p

)+ b2n−1 (−1) sin

((2n− 1)πt

p

)= −f (t) .

Para convertir esto en una demostración rigurosa habría que ver si toleramos en la definición desimetría T que la igualdad valga en “casi todo punto”(expresión cuyo significado se explica en6,5).

Combinando esta simetría con paridad e imparidad, podemos en algunas ocasiones, ahor-rarnos el cálculo de muchos coeficientes de Fourier. Considerar por ejemplo la función de período2π tal que f (t) = |t| − π

2 en el intervalo [−π, π] (ver Ejemplo 1.22): esta función es par y tienesimetría T, por lo cual sabemos que sus coeficientes de Fourier serán

a2n = 0 ∀n ∈ N ∪ {0} , y bn = 0 ∀n.

1.9. Series armónicas de Fourier

Cuando tenemos una función real f , se suele escribir su serie de Fourier de otra manera, queclarifica la forma en que se usan las funciones trigonométricas para reconstruir f a partir decoeficientes. Esto no es más que aplicar un poco de álgebra: si f es periódica de período 2p yDirichlet en [−p, p] , construimos su serie de Fourier

f ∼ a0

2+∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

).


Llamemos An =√a2n + b2n, entonces como para cada n, An = 0 si y solo si an y bn son ambos

cero, podemos sacar de la serie los términos para los cuales An = 0, y queda

f ∼ a0

2+

∑n tq An 6=0

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)=

=a0

2+

∑n tq An 6=0

An

[anAn

cos

(nπt

p

)+bnAn

sin

(nπt

p

)].

Puesto que el número complejo anAn

+ i bnAn tiene módulo 1, existe un único θn ∈ [−π, π) tal que

anAn

+ ibnAn

= cos (θn) + i sin (θn)

(es, casualmente, el argumento principal del número), y entonces la serie de Fourier de f queda

f ∼ a0

2+

∑n tq An 6=0

An

[cos (θn) cos

(nπt

p

)+ sin (θn) sin

(nπt

p

)]=

=a0

2+

∑n tq An 6=0

An cos

(nπt

p− θn

)

=a0

2+∑n=1

An cos

(nπt

p− θn

),

este último igual vale pues si agregamos los términos donde An = 0 en realidad no agregamosnada (los ponemos para que la serie quede expresada más linda). Esa última serie se llama la

serie armónica de cosenos de f, el n-ésimo armónico de f es cos(nπtp − θn

), la amplitud

de tal armónico es An, y θn es el ángulo de fase.Esta forma de escribir la serie de Fourier de una función es muy usada porque permite “leer”

datos de la función directamente: nos dice que f “se puede expresar” superponiendo onditas:la de menor frecuencia se llama el armónico fundamental, y todas las siguientes tienen porfrecuencia un múltiplo entero de la frecuencia fundamental, An nos dice “cuánto” hay del n-ésimo armónico, y el ángulo θn nos indica cuándo el n-ésimo armónico alcanza su máximo: si espositivo el armónico está en retraso, y si es negativo está en adelanto.

Nota 1.45 Por supuesto que la forma en que escribamos la serie de Fourier no va a cam-biar los hechos: los teoremas de convergencia siguen siendo los mismos (hay que leerlos concuidado), pero todo tiene traducción obvia. Además notar que la energía espectral pasa a ser

p(a2

02 +

∑∞n=1A

2n

), y {An}n∈N es de orden 1/nk si y solo si ambos coeficientes {an}n∈N y

{bn}n∈N son de orden 1/nk. Por último, notar que si conocemos la serie armónica de cosenos deuna función, entonces procediendo al revés de como hicimos recién podemos construir la seriede Fourier de f .

Nota 1.46 (otra) Podemos usar senos en lugar de cosenos y construir la serie armónica desenos. Nosotros que ya tenemos construida la de cosenos seguimos desde esa: con la mismanotación, llamemos γn = θn − π/2, entonces (puesto que cos (t) = sin

(t+ π

2

))

cos

(nπt

p− θn

)= sin

(nπt

p− θn +

π

2

)= sin

(nπt

p− γn

),


por lo que la serie de f queda

f ∼ a0

2+

∞∑n=1

An sin

(nπt

p− γn

),

que es la serie armónica de senos de f .

1.10. Separación de variables, ecuación del calor

Queremos resolver el siguiente problema de condiciones iniciales: dados a un número real yh (x) una función definida en el intervalo [0, p] con h (0) = h (p) = 0, queremos encontrar unafunción u (x, t) definida en [0, p]× [0,∞) tal que cumpla

i) a2 ∂2

∂x2u (x, t) =

∂

∂tu (x, t)

ii) u (0, t) = u (p, t) = 0 (1.15)

iii) u (x, 0) = h (x) ∀x ∈ [0, p]

La ecuación (1.15i) se llama ecuación del calor, y el sistema (1.15) es un modelo matemáticode la siguiente situación: imaginemos que tenemos un alambre delgado de longitud p con losextremos a cero grado, y además que el único traspaso de calor es a lo largo del alambre, deforma tal que los extremos están siempre a cero grado. Podemos imaginar el alambre como elsegmento de recta [0, p] . Supongamos además que la temperatura en el instante t = 0 en elpunto x es h (x) , entonces la función u (x, t) que da la temperatura en cada punto x del alambreen cada instante t ≥ 0 debe satisfacer (1.15), donde a2 es una constante que depende de laconductividad del alambre.

El método estándar para resolver el sistema (1.15) es el de separación de variables: despuésde mucho buscar soluciones de la ecuación (1.15i) y de no encontrarlas (el lector desconfiadodebería tratar de encontrar una solución sin seguir leyendo), y ya sin nada que perder, se nosocurre buscar soluciones que sean de la forma

u (x, t) = H (x)G (t) ,

es decir, nos preguntamos cómo será una función que sea un producto como arriba y queademás cumpla (1.15i). Derivando obtenemos

∂

∂xu (x, t) =

∂

∂xH (x)G (t) = H ′ (x)G (t) ,

∂2

∂x2H (x)G (t) = H ′′ (x)G (t) ,

y∂

∂tH (x)G (t) = H (x)G′ (t) ,

por lo que la ecuación (1.15i) queda

a2H ′′ (x)G (t) = H (x)G′ (t) ,


o lo que es lo mismo,

a2H′′ (x)

H (x)=G′ (t)

G (t)∀ (x, t) ∈ (0, p)× (0,∞) (1.16)

Como el miembro de la izquierda de (1.16) depende solo de x, y el de la derecha depende solode t, concluimos que deben ser constantes (si, por ejemplo, G′ (t0) /G (t0) 6= G′ (t1) /G (t1) parat0 6= t1, no podría valer (1.16) pues en la izquierda tengo un valor fijo, salvo que mueva x).Entonces, existe algún valor λ (del cual no conocemos nada) tal que

a2H′′ (x)

H (x)=G′ (t)

G (t)= λ ∀ (x, t) ∈ (0, p)× (0,∞) ,

es decir,a2H ′′ (x) = λH (x) ∀ x ∈ (0, p) , (1.17)

yG′ (t) = λG (t) ∀ t ∈ (0,∞) , (1.18)

que son ecuaciones que sabemos resolver. Las condiciones (1.15ii) y (1.15iii) se transforman en

i) H (0) = H (p) = 0, y (1.19)

ii) H (x)G (0) = h (x)

respectivamente (nota: en este punto es un error muy grosero pensar que se podría tomarH (x) = 1

G(0)h (x)). Comencemos con (1.17): puesto que el polinomio P (x) = x2 − λa2 tiene

raíces ±√λ/a (pensamos a > 0, esto no saca generalidad pues hemos puesto a2 porque la

constate de conductividad es positiva), (1.17) tiene solución

H (x) =

αex√λ/a + βe−x

√λ/a si λ > 0

α+ xβ si λ = 0

α cos(x√−λ/a

)+ β sin

(x√−λ/a

)si λ < 0

donde α y β son constantes reales. Veamos si alguna de estas soluciones nos sirve, comenzandocon (38i): si λ > 0 entonces H (x) = αex

√λ/a + βe−x

√λ/a, y H (0) = α + β = 0 ⇐⇒ α = −β,

entonces H (x) = αex√λ/a − αe−x

√λ/a, y H (p) = αep

√λ/a − αe−p

√λ/a = 2α sinh

(p√λ/a

)=

0⇐⇒ α = 0 (pues p√λ > 0), con lo que nos quedaría H (x) = 0 ∀x, y por lo tanto esta solución

no nos sirve (nos diría que u (x, t) = 0 ∀ (x, t) así que no podríamos lograr (1.15iii) para ningunatemperatura inicial distinta de cero).

De manera análoga se descarta la posibilidad λ = 0, porque si H (x) = α + xβ, la únicaforma de poder cumplir (1.19i) es con α = β = 0. Analicemos entonces λ < 0: en tal casosería H (x) = α cos

(x√−λ/a

)+ β sin

(x√−λ/a

), y H (0) = α = 0 ⇐⇒ α = 0, entonces

H (x) = β sin(x√−λ/a

), y H (p) = β sin

(p√−λ/a

)= 0 ⇐⇒ p

√−λ/a = nπ, con n ∈ N (pues

p√−λ/a > 0) con lo que nos quedaría

−λ =

(anπ

p

)2


(es decir, esos son los únicos valores de λ que pueden llegar a ser útiles), y

H (x) = β sin

(nπx

p

).

Recapitulemos lo hecho hasta ahora: proponemos un producto H (x)G (t) como solución de(1.15i) y vemos que entonces que se deben cumplir las ecuaciones (1.17) y (1.18), donde λ esun valor real desconocido. Al resolver (1.17) y teniendo en cuenta que H debe cumplir (1.19i),

concluimos que los únicos valores que puede tomar λ son −λn =(anπp

)2, n ∈ N, y para cada

uno de esos valores tenemos una solución de (1.17), que es

Hn (x) = βn sin

(nπx

p

),

con βn una constante real.Seguimos: para cada uno de los λn aceptables, (1.18) tiene solución

Gn (t) = γneλnt = γne

−(anπ

p

)2t,

donde γn es una constante real, así que terminando, concluimos que si tenemos una solución de(1.15i) y (1.15ii) de la forma H (x)G (t) , entonces u (x, t) debe ser alguna de

un (x, t) = Hn (x)Gn (t) = βn sin

(nπx

p

)γne

−(anπ

p

)2t

= cn sin

(nπx

p

)e−(anπ

p

)2t,

donde n ∈ N y cn es una constante real. Pero derivando y chequeando directamente se ve quecada un es efectivamente solución de (1.15i) y (1.15ii), con lo que tenemos el siguiente lemita:

Lemita: u (x, t) = H (x)G (t) es solución de (1.15i) y (1.15ii) si y solo si existe n ∈ N ycn ∈ R tales que u (x, t) es

cn sin

(nπx

p

)e−(anπ

p

)2t.

Volvamos a (1.15): nos falta agregar la condición (1.15iii), y para eso vamos a notar losiguiente: si fuera

h (x) = 34 sin

(9πx

p

),

entonces la función

34 sin

(9πx

p

)e−(

9aπp

)2t

es solución de (1.15) (pues sabemos que es solución de (1.15i) y (1.15ii), y justo al poner t = 0

nos queda h (x)). En general (para cada n ∈ N fijo), un (x, 0) = cn sin(nπxp

), y por lo tanto

un (x, t) es solución de i) a2 ∂2

∂x2u (x, t) = ∂∂tu (x, t)

ii) u (0, t) = u (p, t) = 0

iii) u (x, 0) = cn sin(nπxp

)∀x ∈ [0, p]


Pero además nos damos cuenta del siguiente hecho: si u (x, t) y v (x, t) son ambas solucionesde (1.15i) y (1.15ii) entonces

u (x, t) + v (x, t)

también es solución de (1.15i) y (1.15ii) (ejercicio, verificarlo, esto es gracias a que en (1.15ii)se pide que sea igual a cero y no otra constante), por lo tanto podemos construir soluciones de(1.15i) y (1.15ii) sumado las soluciones un que construimos hace un rato. Y así, si nos dan

h (x) = 34 sin

(9πx

p

)+ 9 sin

(34πx

p

)+ 349 sin

(934πx

p

),

entonces la función

34 sin

(9πx

p

)e−(a9πp

)2t+ 9 sin

(34πx

p

)e−(a34πp

)2t+ 349 sin

(934πx

p

)e−(a934πp

)2t

es solución de (1.15) (pues sabemos que es solución de (1.15i) y (1.15ii), y justo al poner t = 0

nos queda h (x)). En general,∑N

n=0 un (x, 0) =∑N

n=0 cn sin(nπxp

), y por lo tanto la función∑N

n=0 un (x, t) es solución dei) a2 ∂2

∂x2u (x, t) = ∂∂tu (x, t)

ii) u (0, t) = u (p, t) = 0

iii) u (x, 0) =∑N

n=0 cn sin(nπxp

)∀x ∈ [0, p]

es decir, hemos resuelto (1.15) para el caso particular donde h (x) es de la forma

h (x) =N∑n=1

cn sin

(nπx

p

), (1.20)

y la solución esN∑n=1

cn sin

(nπx

p

)e−(anπp

)2t. (1.21)

Pero al ver esto nos damos cuenta del siguiente hecho: h (0) = h (p) = 0, así que si extiendoh al intervalo [−p, p] de forma que sea impar y luego periódica de período 2p, entonces la seriede Fourier de h converge a h, es decir, podemos poner

h (x) =∞∑n=1

Bn,h sin

(nπx

p

)∀ x ∈ [0, p]

donde {Bn,h}n∈N son los coeficientes del desarrollo de senos de Fourier de h (comparar con(1.21)). Así, si en lugar de considerar una suma finita como en (1.21) consideramos la serie delas un y elegimos cn = Bn,h , entonces la función

∞∑n=1

Bn,h sin

(nπx

p

)e−(anπp

)2t


satisface (1.15iii), y es obvio que satisface (1.15ii), pero el problema es que no sabemos quecumpla (1.15i) porque no es una suma finita. Pero para terminar, si supiéramos que podemosderivar dentro de la serie (respecto de x dos veces y respecto de t una ves) listo, porque quedaría

a2∂2u

∂x2= a2 ∂

2

∂x2

∞∑n=1

un = a2∞∑n=1

∂2un∂x2

=

∞∑n=1

a2∂2un∂x2

c/un cumple (1.15)↓=

∞∑n=1

∂un∂t

=∂u

∂t.

Se ve en el práctico que si existe M tal que |an| ≤ M ∀n, entonces se puede, por lo tantohemos probado el siguiente teorema:

Teorema 1.47 Si h (x) es una función Dirichlet en [0, p] con h (0) = h (p) = 0 y {Bn,h}n∈Nson los coeficientes de Fourier de la serie de senos de h (i.e. extender h impar al [−p, p]),entonces la función

∞∑n=1

Bn,h sin

(nπx

p

)e−(anπp

)2t

está definida en [0, p]× [0,∞) y es solución de (1.15).

Nota importante 1.48 Ninguna de las funciones un (x, t) consideradas en el desarrollo ante-

rior es solución de (1.15), salvo que h (x) sea de la forma cn sin(nπxp

).

Ejemplo 1.49 Queremos encontrar una función u (x, t) definida en [0, 2]× [0,∞) y que cumpla

i) 4∂2

∂x2u (x, t) =

∂

∂tu (x, t)

ii) u (0, t) = u (2, t) = 0

iii) u (x, 0) = h (x) ∀x ∈ [0, 2]

donde h (x) =

{x si 0 ≤ x < 1

2− x si 1 ≤ x ≤ 2. Para eso, lo primero que tenemos que hacer, según el

teorema anterior, es encontrar la serie de Fourier de senos de h. Tenemos

Bn,h =

∫ 2

0h (x) sin

(nπx2

)dx =

∫ 1

0x sin

(nπx2

)dx+

∫ 2

1(2− x) sin

(nπx2

)dx =

=−2

n2π2

[−2 sin

(nπ2

)+ nπ cos

(nπ2

)]+

2

n2π2

[nπ cos

(nπ2

)+ 2 sin

(nπ2

)]=

=8

n2π2sin(nπ

2

).

Entonces, inmediatamente y sin más trámites, el teorema anterior nos dice que

u (x, t) =

∞∑n=1

8

n2π2sin(nπ

2

)sin(nπx

2

)e−(nπ)2t

=8

π2

∞∑n=1

(−1)n+1

(2n− 1)2 sin

((2n− 1)πx

2

)e−(2n−1)2π2t.


31

x

2

y

1

1

z

0.5

2

1.11. Ecuación de Ondas

Una vez entendido por completo el razonamiento hecho para resolver la ecuación del calor,nos metemos con la de ondas, pero más rápido.

El problema es más o menos así: si fijamos los extremos de una cuerda de longitud p, y ledamos posición inicial y velocidad inicial a cada punto de la cuerda, entonces la función y (x, t)que da la posición de cada punto x de la cuerda en el instante t > 0 debe cumplir la ecuación

a2 ∂2y

∂x2=∂2y

∂t2,

donde estamos pensando a la cuerda como el segmento [0, p]. Entonces, el problema de condi-ciones iniciales queda así: encontrar una función y (x, t) que satisfaga

i) a2 ∂2

∂x2y (x, t) =

∂2

∂t2y (x, t) (1.22)

ii) y (0, t) = y (p, t) = 0 (cuerda fija en los extremos)

iii) y (x, 0) = f (x) ∀x ∈ [0, p] (posición inicial de cada punto)

iv)∂y

∂t(x, 0) = g (x) ∀x ∈ [0, p] (velocidad inicial de cada punto)

Proponemos y (x, t) = H (x)G (t) , y derivando comprobamos que (1.22i) se transforman en

H ′′ (x)

H (x)=

G′′ (t)

a2G (t)∀ (x, t) ∈ (0, p)× (0,∞)

Entonces, existe algún valor λ (del cual no conocemos nada) tal que

H ′′ (x)

H (x)=

G′′ (t)

a2G (t)= λ ∀ (x, t) ∈ (0, p)× (0,∞) ,

es decir,H ′′ (x) = λH (x) ∀ x ∈ (0, p) , (1.23)


yG′′

(t) = a2λG (t) ∀ t ∈ (0,∞) , (1.24)

que son ecuaciones que sabemos resolver. Además la condición (1.22ii) se transforma en

H (0) = H (p) = 0. (1.25)

La ecuación (1.23) tiene solución

H (x) =

αex√λ + βe−x

√λ si λ > 0

α+ xβ si λ = 0

α cos(x√−λ)

+ β sin(x√−λ)

si λ < 0

donde α y β son constantes reales, y cuando le imponemos (1.25) resulta que debe ser

λ = −(nπ

p

)2

, n ∈ N,

(es decir, λ < 0) y α = 0, y entonces para cada natural n tengo una solución

Hn (x) = βn sin

(nπx

p

).

La correspondiente Gn (t) se obtiene resolviendo (1.24) para cada λn = −(nπp

)2, y queda

Gn (t) = γn cos

(anπt

p

)+ δn sin

(anπt

p

),

donde γny δn son constantes reales. Multiplicando y unificando las constantes nos queda, en fin,que para cada natural n tenemos una solución de (1.22i y ii)

yn (x, t) = sin

(nπx

p

)[cn cos

(anπt

p

)+ dn sin

(anπt

p

)],

donde cn y dn son constantes reales.De nuevo, observamos que si u y v son solución de (1.22i y ii) entonces u+ v también lo es,

lo cual nos lleva a suponer que, bajo condiciones adecuadas de convergencia, la función

y (x, t) =∞∑n=1

sin

(nπx

p

)[cn cos

(anπt

p

)+ dn sin

(anπt

p

)]será solución de (1.22i y ii) ((1.22ii) es inmediato, y para (1.22i) lo que necesitamos es poderderivar término a término dos veces respecto de x y dos veces respecto de t).

La condición (1.22iii) en esta función queda

y (x, 0) =

∞∑n=1

cn sin

(nπx

p

)= f (x) ∀x ∈ [0, p] ,

y esta igualdad se consigue eligiendo

cn =2

p

∫ p

0f (t) sin

(nπt

p

)dt,


o sea escribiendo f como un desarrollo de senos (y suponiendo que la extensión impar de f seacontinua). Por último, (suponiendo que pueda derivar término a término)

∂y

∂ty (x, t) =

∂y

∂t

∞∑n=1

sin

(nπx

p

)[cn cos

(anπt

p

)+ dn sin

(anπt

p

)]=

∞∑n=1

sin

(nπx

p

)[cn−anπp

sin

(anπt

p

)+ dn

anπ

pcos

(anπt

p

)],

por lo que la condición (1.22iv) queda

∞∑n=1

[dnanπ

p

]sin

(nπx

p

)= g (x) ∀x ∈ [0, p]

y esta igualdad se consigue eligiendo

dnanπ

p=

2

p

∫ p

0g (t) sin

(nπt

p

)dt,

o sea escribiendo g como un desarrollo de senos (y suponiendo que la extensión impar de f seacontinua), es decir, debemos poner

dn =2

anπ

∫ p

0g (t) sin

(nπt

p

)dt.

Completando los detalles técnicos (que está en el práctico), queda probado el siguiente:

Teorema 1.50 Si f (x) y g (x) son dos funciones definidas en [0, p] tales que: f (0) = f (p) =g (0) = g (p) = 0, la extensión impar de f tiene derivada segunda continua, y la extensión imparde g tiene derivada continua. Entonces definiendo

cn =2

p

∫ p

0f (t) sin

(nπt

p

)dt y dn =

2

anπ

∫ p

0g (t) sin

(nπt

p

)dt,

resulta que la función

y (x, t) =∞∑n=1

sin

(nπx

p

)[cn cos

(anπt

p

)+ dn sin

(anπt

p

)]es solución del problema de condiciones iniciales (1.22).

Capítulo 2

Transformada de Laplace

2.1. Integrales impropias

Vamos a repasar las cosas aprendidas en Análisis I sobre integrales impropias. Por ahorapensaremos en una función de variable e imagen real, es decir, f : [a, b]→ R.

Cuando se define ∫ b

af (t) dt

se asume que f es acotada en el intervalo (a, b) y que tanto a como b son finitos. Si algunode estos requisitos (o ambos) fallan, tenemos que darle una nueva interpretación al símbolo∫ ba f (t) dt, y en tal caso se lo llama integral impropia.

Veamos primero el caso en que uno de los límites es infinito: si b =∞, entonces se define∫ ∞a

f (t) dt = lımb→∞

∫ b

af (t) dt

cuando tal límite existe (estamos asumiendo que f es integrable en [a, b] para todo b <∞). Eneste caso, se suele decir que la integral impropia

∫∞a f (t) dt converge, mientras que si el límite

no existe se dice que la integral diverge. Acá se hace el mismo abuso del castellano que cuandohablamos de convergencia y divergencia de series, ya que en el mejor de los casos

∫∞a f (t) dt es

un número, y por lo tanto no puede “converger”o “diverger”. Lo correcto sería decir “la funciónf en integrable en (a,∞)”.

Ejemplo 2.1 1. La integral impropia∫∞

1 t−pdt converge si p > 1 y diverge si p ≤ 1 pues∫ b

1t−pdt =

{ 11−p

(b1−p − 1

)si p 6= 1

ln (b) si p = 1,

57

58 Transformada de Laplace

de donde concluimos que lımb→∞∫ b

1 t−pdt =

{ −11−p si p > 1

no existe si p ≤ 1.

2. La integral impropia∫∞

0 cos (t) dt diverge pues∫ b

0cos (t) dt = sin (b) ,

y lımb→∞ sin (b) no existe.

De manera análoga se define integrales impropias de la forma∫ b−∞ f (t) dt, y si tenemos una

función definida en todo R y las integrales∫∞c f (t) dt y

∫ c−∞ f (t) dt convergen ambas para algún

c, entonces se define ∫ ∞−∞

f (t) dt =

∫ ∞c

f (t) dt+

∫ c

−∞f (t) dt.

Ejemplo 2.2 La integral∫∞−∞ e

−a|t|dt converge solo si a > 0 pues en tal caso si b > 0 entonces∫ b

0e−a|t|dt =

∫ b

0e−atdt =

−1

a

(e−ab − 1

)−→b→∞

1

a,

y si c < 0 entonces ∫ 0

ce−a|t|dt =

∫ 0

ceatdt =

1

a(1− eac) −→

c→−∞1

a,

de donde concluimos que ∫ ∞−∞

e−a|t|dt =2

a.

Además, claramente la integral∫∞

0 e−a|t|dt diverge si a ≤ 0. Notar además que la integral∫∞−∞ e

−atdt diverge cualquiera sea el valor de a.

Al igual que para series, diremos que la integral∫∞a f (t) dt converge absolutamente si la

integral∫∞a |f (t)| dt converge (y la misma definición para

∫∞−∞ f (t) dt). Tenemos las siguientes

propiedades:

1. Si c es un número y las integrales∫∞a f (t) dt y

∫∞a g (t) dt convergen ambas, entonces∫∞

a (cf (t) + g (t)) dt converge y∫ ∞a

cf (t) + g (t) dt = c

∫ ∞a

f (t) dt+

∫ ∞a

g (t) dt.

2. Si f (t) ≥ 0 para todo t ≥ a, entonces la integral∫∞a f (t) dt converge o el conjunto

{∫ ba f (t) dt : b > a} no es acotado, y en tal caso se pone

∫∞a f (t) dt =∞.

3. Si 0 ≤ g (t) ≤ f (t) para todo t ≥ a, entonces si la integral∫∞a f (t) dt converge podemos

decir que la integral∫∞a g (t) dt converge, y si

∫∞a g (t) dt diverge podemos decir

∫∞a f (t) dt

diverge.

Transformada de Laplace 59

4. Si la integral∫∞a f (t) dt converge absolutamente, entonces converge, y

∣∣∫∞a f (t) dt

∣∣ ≤∫∞a |f (t)| dt.

5. La integral∫∞a f (t) dt converge si y solo si

∫∞r f (t) dt converge para todo r > a, y

lımr→∞∫∞r f (t) dt = 0.

Estas propiedades se demuestran más o menos así: la primera es porque el límite de la sumaes la suma de los límites y la propiedad vale si en lugar de∞ ponemos un número b. La segundaes un poco más complicada pero en realidad debería ser intuitivamente comprensible: si unafunción (real) F (t) es creciente en (a,∞) entonces si es acotada el lımt→∞ F (t) existe, y si no esacotada lımt→∞ F (t) =∞. Aplicar eso a la función (real creciente) F (t) =

∫ ta f (x) dx. Para la

tercera, aplicar el mismo hecho a las funciones crecientes G (t) =∫ ta g (x) dx y F (t) =

∫ ta f (x) dx

y compararlas. Para, (4) es una aplicación de (3) a las funciones g (t) = f (t) + |f (t)| y 2 |f (t)| ,y un poco de álgebra. Por último, (5) resulta de∫ b

af (t) dt =

∫ r

af (t) dt+

∫ b

rf (t) dt

tomando lımb→∞ primero, y lımr→∞ después. Notar la absoluta analogía con las propiedades deseries.

Veamos ahora un poco las integrales impropias con intervalo finito pero función no acotada:si f no es acotada en a, se define∫ b

af (t) dt = lım

ε→0+

∫ b

a+εf (t) dt

cuando tal límite existe (notar que lo que hacemos es integrar f en intervalitos más chicos que[a, b] , y por eso necesitamos que ε tienda a cero por valores positivos). En tal caso, diremosque la integral impropia converge, mientras que si el límite no existe diremos que la integralimpropia diverge.

Ejemplo 2.3 la integral impropia∫ b

0 t−pdt converge si p < 1 y diverge si p ≥ 1 pues∫ b

εt−pdt =

{ 11−p

(b1−p − ε1−p) si p 6= 1

ln (b)− ln (ε) si p = 1,

de donde concluimos que

lımε→0+

∫ b

εt−pdt =

{b1−p

1−p si p < 1

no existe si p ≥ 1.

La definición en este tipo de integrales impropias se extiende a todos los casos de maneraobvia. Por ejemplo, si f no es acotada en b entonces∫ b

af (t) dt = lım

ε→0+

∫ b−ε

af (t) dt


cuando tal límite existe; si f no es acotada en a y en b entonces∫ b

af (t) dt = lım

ε→0+

∫ c

a+εf (t) dt+ lım

ε→0+

∫ b−ε

cf (t) dt

cuando ambos límites existen para algún c en el intervalo (a, b) (notar que son dos límites

separados, no dice lımε→0+

(∫ ca+ε f (t) dt+

∫ b−εc f (t) dt

)), y si f no es acotada en algún punto

c de (a, b) entonces ∫ b

af (t) dt = lım

ε→0+

∫ c−ε

af (t) dt+ lım

ε→0+

∫ b

c+εf (t) dt

cuando ambos límites existen. Tenemos propiedades análogas a las anteriores, las enunciamospara el caso en que f no es acotada en a:

1. Diremos que la integral∫ ba f (t) dt converge absolutamente si la integral

∫ ba |f (t)| dt con-

verge.

2. Si c es un número y las integrales∫ ba f (t) dt y

∫ ba g (t) dt convergen ambas, entonces∫ b

a (cf (t) + g (t)) dt converge y∫ b

a(cf (t) + g (t)) dt = c

∫ b

af (t) dt+

∫ b

ag (t) dt.

3. Si 0 ≤ g (t) ≤ f (t) para todo t ≥ a, entonces si la integral∫ ba f (t) dt converge podemos

decir que la integral∫ ba g (t) dt converge, y si

∫ ba g (t) dt diverge podemos decir

∫ ba f (t) dt

diverge.

4. Si la integral∫ ba f (t) dt converge absolutamente, entonces converge.

Por último, nos quedan las integrales impropias donde tenemos ambos problemas juntos: nila función a integrar es acotada ni el intervalo es finito. Un ejemplo típico de esto es tomar unafunción que no es acotada en a y plantear∫ ∞

af (t) dt.

Vamos a decir que esta integral impropia converge cuando para algún c > a las integrales∫ c

af (t) dt y

∫ ∞c

f (t) dt

convergen ambas, y en tal caso∫∞a f (t) dt =

∫ ca f (t) dt+

∫∞c f (t) dt (es decir, la dividimos en dos

integrales, y nos queda cada una con un problema). De nuevo, tenemos las mismas propiedadesque ya no vamos a enunciar.


2.2. Funciones definidas con integrales impropias

Cuando comenzamos con Fourier, vimos la idea de definir funciones usando integrales (fun-ciones de muchas variables, integrando respecto de algunas). Ahora vamos a definir funcionesusando integrales impropias: por ejemplo si g (x, t) es una función definida en [a, b]× [c,∞) talque para cada x fijo la integral impropia∫ ∞

cg (x, t) dt

converge, entonces eso define en [a, b] una nueva función, que le asigna a cada x el valor∫∞c g (x, t) dt.La región de convergencia de la integral impropia

∫∞c g (x, t) dt es el conjunto{

x ∈ R :

∫ ∞c

g (x, t) dt converge},

es decir, el mayor conjunto donde la integral impropia converge.

Ejemplo 2.4 Si g (x, t) = e−t cos (xt) , entonces la función

F (x) =

∫ ∞0

e−t cos (xt) dt

está definida en todo R, pues para todo x vale que∣∣e−t cos (xt)

∣∣ ≤ e−t, y la integral∫∞

0 e−tdtconverge. En este caso se puede calcular F explícitamente:∫ b

0e−t cos (xt) dt =

[− 1

1 + x2e−t cosxt+

x

1 + x2e−t sinxt

]t=bt=0

= − 1

1 + x2e−b cosxb+

x

1 + x2e−b sinxb+

1

1 + x2−→b→∞

1

1 + x2.

Además se puede calcular explícitamente F ′(x), y verificar que queda

F ′(x) =

∫ ∞0

∂

∂x

[e−t cos (xt)

]dt =

∫ ∞0−te−t sin (xt) dt.

Una de las funciones más célebres definidas usando integrales impropias es sin duda la funciónΓ. Para x > 0 se pone

Γ (x) =

∫ ∞0

tx−1e−tdt.

Veamos primero que, efectivamente, esa integral impropia converge para todo x > 0: escribimos

Γ (x) =

∫ ∞0

tx−1e−tdt =

∫ 1

0tx−1e−tdt+

∫ ∞1

tx−1e−tdt = I1 (x) + I2 (x) .

I1 (x) es integral impropia solo si 0 < x < 1, pero tomemos un x así fijo, entonces∣∣tx−1e−t∣∣ ≤ tx−1 ∀ t > 0,


y como ∫ 1

0tx−1dt =

[tx

x

]t=1

t=o

=1

x,

concluimos por comparación que I1 (x) converge. Veamos ahora I2 (x): como (para cada x > 0fijo)

lımt→∞

∣∣t2tx−1e−t∣∣ = lım

t→∞tx+1e−t = 0

(¿por qué?) tenemos que existe N > 0 tal que∣∣t2tx−1e−t

∣∣ ≤ 1 ∀ t ≥ N, y entonces∣∣tx−1e−t∣∣ ≤ 1

t2∀ t ≥ N,

de donde se deduce que la integral ∫ ∞N

tx−1e−tdt

converge (pues∫∞N

(1t

)2dt converge), y entonces I2 (x) converge pues I2 (x) =

∫ N1 tx−1e−tdt +∫∞

N tx−1e−tdt. Es decir, acabamos de probar que Γ (x) está definida para todo x > 0.

Nota 2.5 La integral que define Γ diverge para todo x ≤ 0, por lo tanto no se puede usar paradefinir Γ en dichos valores.

Seguimos estudiando Γ: integrando por partes, vemos que

Γ (x+ 1) =

∫ ∞0

txe−tdt = −txe−t∣∣∣t=∞t=0

+

∫ ∞0

xtx−1e−tdt = 0 + xΓ (x) ,

es decirΓ (x+ 1) = xΓ (x) ∀ x > 0.

Además Γ (1) =∫∞

0 e−tdt = −e−t∣∣∣t=∞t=0

= 1, y entonces

Γ (1) = 1

Γ (2) = 1Γ (1) = 1

Γ (3) = 2Γ (2) = 2

Γ (4) = 3Γ (3) = 6, etc.

En general, quedaΓ (n+ 1) = n! ∀ n ∈ N,

es decir, la función Γ es una función continua que interpola los valores de n! pues cada ves quex ∈ N se tiene que Γ (x+ 1) = x!.

Otra cosa interesante es la siguiente: la relación

Γ (x) =Γ (x+ 1)

x

vale para todo x > 0, pero en el miembro de la derecha puedo poner x′s del intervalo (−1, 0) , asíque defino de esa forma Γ en tal intervalo. Y ahora sigo, y puedo definir Γ en R−{0,−1,−2,−3, ...} .


Por último, calculemos Γ (1/2): haciendo el cambio de variables

t = y1/x, dt =1

xy

1x−1dy,

queda

Γ (x) =

∫ ∞0

tx−1e−tdt =

∫ ∞0

y(x−1)/xe−(y1/x) 1

xy

1x−1dy =

1

x

∫ ∞0

e−(y1/x)dy,

y por lo tanto

Γ

(1

2

)= 2

∫ ∞0

e−y2dy = 2

√π

2=√π.

0 1 2 3 4 55 4 3 2 1

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

¡ x( )

x

2.3. Funciones de orden exponencial

Definición 2.6 para una función f : [0,∞) → R y para s ∈ R, se define la transformada deLaplace de f como

L (f) (s) =

∫ ∞0

f (t) e−stdt (2.1)

cada vez que la integral impropia converge.

Es difícil explicar la razón de esta definición en este contexto, pero resulta una variante deuna versión “continua”de las series de Fourier (la transformada de Fourier). La transformadaL (f) de una función f es una nueva función (de s), cuyo dominio dependerá, en general, de f .De esta manera, se puede pensar en L como un operador que transforma una función f(t) en unanueva función L (f) (s). Si F (s) es una función tal que F (s) = L (f) (s) , entonces diremos quef es la transformada de Laplace inversa de F, y denotaremos este hecho por f (t) = L−1 (F ) (t).


Una condición necesaria para que la integral (2.1) exista es que la función f sea integrableen todo intervalo de la forma [0, b] (con b > 0), y eso lo aseguraremos tomando la siguientecondición de continuidad:

Definición 2.7 Una funcion f : [a, b] → R es continua por tramos si existe una particióna = t0 < t1 < · · · < tn = b de [a, b] tal que f es continua en cada intervalo [tj , tj+1] (límiteslaterales en los bordes).

Una funcion f : [0,∞) → R es continua por tramos si es continua por tramos en todointervalo de la forma [0, b].

En lo que sigue de esta sección, trabajaremos exclusivamente con funciones continuas portramos en [0,∞).

Ejemplo 2.8 Si f (t) = e−at, entonces para s > −a tenemos

L (f) (s) =

∫ ∞0

e−ate−stdt =

∫ ∞0

e−(s+a)tdt = −[e−(s+a)t

s+ a

]t=∞t=0

=1

s+ a.

Puesto que para s ≤ −a la integral diverge, tenemos que el dominio de L (f) (s) es el intervalo(−a,∞), y en tal intervalo vale L (f) (s) = 1

s+a (ojo, no confundir a L (f) (s) con 1s+a : el dominio

de la última función incluye estrictamente al de la primera). Con la notación de arriba, en estecaso tendríamos que

e−at = L−1

(1

s+ a

)(t) .

eat

a

s a+1

Nota 2.9 Puesto que para calcular la transformada de Laplace solo necesitamos una funcióndefinida en [0,∞), pero esto suele ser una limitación a la hora de realizar otros procedimientos,se suele pensar que las funciones involucradas valen 0 en (−∞, 0) . De aquí en más tomaremosesa convención.

Lo siguiente que haremos es fijar condiciones para existencia de la transformada de Laplace.En eso, la siguiente definición es central

Definición 2.10 Si f : [0,∞) → R es una función y existen constantes reales α, M y T talesque |f (t)| ≤ Meαt ∀ t ≥ T, entonces f se dice de orden exponencial con exponente α. Paraescribir menos, denotaremos esto por OE (α).


Esta propiedad nos dice que f “no crece más rápido que una exponencial”. Notar que enla definición no se hace hincapié en encontrar las constantes más chicas con esa propiedad. Porejemplo, la función f (t) = t10 es de orden exponencial con exponente 1, pues como lımt→∞

t10

et =

0 se tiene que ∃ T ≥ 0 tal que∣∣∣ t10

et

∣∣∣ ≤ 1 si t ≥ T, y entonces t10 ≤ et si t ≥ T (una mejora leve deeste razonamiento muestra que cualquier polinomio es de orden exponencial con exponente α,cualquiera sea α > 0, ejercicio). Por otro lado la función f (t) = e(t

2) no es de orden exponencial

( e(t2) ≤ Meαt es equivalente a t2 − αt ≤ ln (M) , la cual no es válida en ningún intervalo del

tipo [T,∞).Si tenemos |f (t)| ≤ Meαt ∀ t ≥ T y además sabemos que f es acotada en [0, T ] , entonces

se puede ver (ejercicio) que existe M tal que |f (t)| ≤ Meαt ∀ t ≥ 0. En particular esto escierto cuando f es continua por tramos en [0,∞). Puesto que nosotros vamos a trabajar entoda esta sección con funciones continuas por tramos en [0,∞), tomaremos esto como funciónde orden exponencial (de hecho, la razón por la cual no se define así directamente es para evitardisidencias con la mayoría de los textos que tratan el tema).

Ejemplo 2.11

1. Los polinomios p (t) =∑N

n=0 antn son funciones de OE (α) para cualquier α > 0.

2. Las funciones acotadas son de OE (α) para cualquier α > 0, en particular las funcionesperiódicas acotadas en un período lo son.

3. Si f es de OE (α) y β > α, entonces f es de OE (β).

4. Si f y g son de OE (α), entonces f + g es de OE (α) y fg es de OE (2α).

5. Si f es de OE (α) y continua por tramos en [0,∞), y g (t) =∫ t

0 f (x) dx, entonces g es de

OE (β) , con β =

{max (α, 0) si α 6= 0

cualquiera > 0 si α = 0(es decir, si α = 0 entonces g es de

OE (ε) ∀ ε > 0).

6. Si f es derivable y de OE (α) entonces f ′ puede no serlo, por ejemplo considerar la función

f (t) = sin(et

2).

7. Si f (t) es derivable y f ′ (t) es continua por tramos y de OE (α) , entonces f es de OE (β) ,con β como en el punto (5). Ojo: esa fórmula no da el mínimo β, da uno con el cualfunciona. La función e−3t es OE (−3) y su primitiva −1

3 e−3t también.

La definición de función de orden exponencial está hecha a medida de la transformada deLaplace, para asegurar la existencia de la misma y sus buenas propiedades, según el siguienteteorema fundamental:


Teorema 2.12 Si f es continua por tramos en [0,∞) y de orden exponencial, con |f (t)| ≤Meαt ∀ t ≥ 0, entonces la transformada de Laplace de f, L (f) (s) existe para todo s > α, esuna función continua en el intervalo (α,∞) , y

|L (f) (s)| ≤ M

s− α .

Demostración. Puesto que |f (t)| ≤Meαt, entonces∣∣f (t) e−st

∣∣ ≤Meαte−st = Me−(s−α)t ∀ t ≥0. Como la función Me−(s−α)t es integrable en (0,∞) si y solo si s > α, concluimos que, paratodo s > α, la función f (t) e−st es absolutamente integrable en (0,∞) , y

|L (f) (s)| =

∣∣∣∣∫ ∞0

f (t) e−stdt

∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞0

∣∣f (t) e−st∣∣ dt ≤

≤∫ ∞

0Me−(s−α)tdt = −Me−(s−α)t

s− α

∣∣∣t=∞t=0

=M

s− α .

Vemos que L (f) (s) es continua: tomamos s0 ∈ (α,∞) , y (para tomar lıms→s0) consideremoslos valores de s > α+s0

2 . Por el Teorema del Valor Medio sabemos que existe ξ(t) en el intervalode extremos s y s0 (que depende de t) tal que

(e−st − e−s0t) = −te−ξ(t)t(s− s0)

Entonces

|L (f) (s)− L (f) (s0)| =

∣∣∣∣∫ ∞0

f (t) (e−st − e−s0t)dt∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ ∞0

f (t) (−t)e−ξ(t)t(s− s0)dt

∣∣∣∣ ≤≤

∫ ∞0

∣∣∣f (t) (−t)e−ξ(t)t(s− s0)∣∣∣ dt ≤ ∫ ∞

0Meαtte

−(α+s0

2

)t(s− s0)dt =

= M(s− s0)L (t)

(s0 − α

2

)= M(s− s0)

4

(s0 − α)2 ,

de donde resulta quelıms→s0

L (f) (s) = L (f) (s0) .

(el cálculo de L (t) (s) está en el próximo ejemplo).

Es importante destacar que las hipótesis que se piden en el teorema son suficientes perono necesarias, es decir, existen funciones que no cumplen tales hipótesis y sin embargo tienentransformada de Laplace. De cualquier manera, dentro de las hipótesis puestas entran la mayoríade los casos que se presentan en el uso de la transformada. Otra cosa: la desigualdad que incluyeel teorema dice que la transformada de Laplace decrece cuando s → ∞ “al menos tan rápido”como 1/s. Esta última afirmación debe tomarse en el mismo sentido que cuando hablamos de lavelocidad con la que decrecen los coeficientes de Fourier de una función.

Ejemplo 2.13


1. Si f (t) = 1 ∀ t ≥ 0, entonces para s > 0 se tiene que

L (f) (s) =

∫ ∞0

f (t) e−stdt =

∫ ∞0

e−stdt = −[e−st

s

]t=∞t=0

=1

s,

y la integral diverge si s ≤ 0.

2. Si f (t) = ta ∀ t ≥ 0, donde a > −1, entonces haciendo el cambio de variables x = st, paras > 0, queda

L (f) (s) =

∫ ∞0

tae−stdt =

∫ ∞0

(xs

)ae−x

dx

s=

1

sa+1

∫ ∞0

xae−xdx =Γ (a+ 1)

sa+1,

y la integral diverge si s ≤ 0. En particular, se tiene que ∀ n ∈ N,

L (tn) (s) =n!

sn+1∀ s > 0.

Para −1 < a < 0 esto da un ejemplo de función que no es acotada pero tiene transformadade Laplace.

3. Si f (t) = sin (ωt) ∀ t ≥ 0, entonces para s > 0 queda

L (f) (s) =

∫ ∞0

sin (ωt) e−stdt = −e−st (ω cosωt+ s sinωt)

s2 + ω2

∣∣∣t=∞t=0

=ω

s2 + ω2

A continuación veremos las propiedades de la transformada de Laplace

Proposición 2.14 (linealidad) El operador L es lineal en el siguiente sentido: si f, g sonfunciones tales que L (f) (s) y L (g) (s) existen ambas para s ≥ s0, entonces para todo númeroreal a vale que L (af + g) (s) = aL (f) (s) + L (g) (s) ∀ s ≥ s0.

Demostración.

L (af + g) (s) =

∫ ∞0

(af + g) (t) e−stdt = a

∫ ∞0

f (t) e−stdt+

∫ ∞0

g (t) e−stdt

= aL (f) (s) + L (g) (s) ,

donde el segundo igual vale pues ambas integrales convergen para s ≥ s0.

Ejemplo 2.15 Combinando la propiedad anterior con uno de los ejemplos, concluimos que sep (t) =

∑Nn=0 ant

n (un polinomio de grado N), entonces

L (p) (s) = L(

N∑n=0

antn

)(s) =

N∑n=0

anL (tn) (s) =

N∑n=0

ann!

sn+1.


2.4. Transformada de derivadas e integrales

Proposición 2.16 (Transformada de la derivada) Si f es continua en [0,∞) y de OE (α) ,y existe f ′ en “casi todo punto” (ver Notación 1.28) y es continua por tramos en [0,∞) y deOE (α) , entonces

L(f ′)

(s) = sL (f) (s)− f (0) ∀ s > α.

Demostración. En estas hipótesis podemos usar integración por partes; entonces para s > αse tiene que

L(f ′)

(s) =

∫ ∞0

f ′ (t) e−stdt = f (t) e−st∣∣∣t=∞t=0−∫ ∞

0f (t) (−s) e−stdt.

Por ser f continua en [0,∞) resulta f (t) e−st∣∣∣t=0

= f (0) , y por ser de OE (α) y s > α tenemos

que f (t) e−st∣∣∣t=∞= 0, y entonces queda

L(f ′)

(s) = −f (0) + sL (f) (s) .

Nota 2.17 Es común encontrar en la propiedad anterior, f (0) reemplazado por f (0+) , que espor definición lımt→0+ f (t) El significado es el mismo que le damos nosotros, ya que al pedirque f sea continua en [0,∞), nos estamos refiriendo de manera tácita a un límite lateral en 0.Utilizando tal notación , podemos pedir f continua en (0,∞) , y (conservando las otras hipótesis)tendríamos como conclusión que L (f ′) (s) = sL (f) (s)− f (0+).

Corolario 2.18 Si f, f ′, f ′′, · · ·, f (n−1) son continuas en [0,∞) y de OE (α) , y existe f (n) en“casi todo punto”y es continua por tramos en [0,∞) y de OE (α) , entonces

L(f (n)

)(s) = snL (f) (s)− sn−1f (0)− sn−2f ′ (0)− · · · − sf (n−2) (0)− f (n−1) (0) ∀ s > α.

Demostración. veamos el caso n = 2

L(f ′′)

(s) = L((f ′)′)

(s) = sL(f ′)

(s)− f ′ (0) = s (sL (f) (s)− f (0))− f ′ (0)

= s2L (f) (s)− sf (0)− f ′ (0) ;

el caso general se sigue por inducción en n.

Ejemplo 2.19 Si f (t) = sin (ωt) , entonces f ′ (t) = ω cos (ωt) , y f (0) = 0, y entonces

L (cos (ωt)) (s) =1

ωL(f ′)

(s) =1

ωs

ω

s2 + ω2=

s

s2 + ω2.


La propiedad anterior es una de las más importantes para el uso que nosotros le vamos adar a la transformada de Laplace: la resolución y estudio de sistemas modelados con ecuacionesdiferenciales, fundamentalmente por ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Veamos elsiguiente ejemplo: tenemos el problema de condiciones iniciales{

x′′ + bx′ + cx = f (t)x (0) = x0, x′ (0) = y0

.

Asumiendo que se dan las condiciones necesarias, tomando transformada de Laplace queda

L(x′′ + bx′ + cx

)= L (f) ,

y usando el Corolario anterior y las condiciones iniciales, resulta

s2L (x) (s)− sx0 − y0 + b (sL (x) (s)− x0) + cL (x) (s) = L (f) (s)

De esa ecuación puede despejarse L (x) (s) , y queda

L (x) (s) =L (f) (s) + sx0 + y0 + bx0

s2 + bs+ c.

Lo notable de esto es que el miembro de la derecha es conocido, por lo cual sin resolver laecuación, sabemos exactamente cuanto vale la transformada de Laplace de la solución (la únicasolución que satisface las condiciones iniciales). De aquí siguen dos alternativas posibles: en-contrar x “invirtiendo” el operador L, o sin encontrar x, deducir sus propiedades a partir desu transformada de Laplace. Ambos caminos son muy usados, y ambos dependen de un hechofundamental: la transformada de Laplace de una función la determina por completo, según elsiguiente teorema:

Teorema 2.20 (Lerch) Si f y g son funciones continuas por tramos en [0,∞) y de OE (α),y L (f) (s) = L (g) (s) ∀ s ≥ s0, entonces f (t) = g (t) ∀ t > 0, salvo posiblemente en los puntosdonde f y/o g sean discontinuas.

Demostración. Escapa al alcance de este curso, se puede ver una en Kreider, Kuller, Ostberg,Perkins “Introducción al Análisis Lineal”.

El teorema anterior nos permite hablar del operador L−1 que mencionamos más arriba. Siφ (s) es una función definida en el intervalo (α,∞) y sabemos que φ (s) = L (f) (s) , entonces,salvo posiblemente por valores puntuales, f es la única función (continua por tramos en [0,∞) ydeOE) con esa propiedad, y se pone f (t) = L−1 (φ) (t). El único camino que tenemos (por ahora)para invertir la transformada de Laplace es por verificación directa, tanto en transformada defunciones específicas como en las propiedades del operador L. De aquí en adelante enunciaremoscada propiedad del operador L con la correspondiente equivalente para L−1.

Ejemplo 2.21


1. La linealidad del operador L implica la linealidad del operador L−1, cuando se restringeel dominio de L de forma tal que sea invertible. Es decir, si φj (s) = L (fj) (s) ∀ s > α,entonces L−1 (aφ1 + φ2) = aL−1 (φ1) + L−1 (φ2).

2. L−1(

1s

)= 1. En rigor, deberíamos poner “si φ es una función cuyo dominio es el intervalo

(0,∞) y en dicho dominio φ (s) = 1s , entonces L

−1 (φ) (t) = 1 ∀ t ≥ 0”, pero semejantesconsideraciones no aportan demasiado y complican enormemente nuestra tarea.

3. L−1(∑N

n=0ansn+1

)=∑N

n=0ann!L

−1(

n!sn+1

)(t) =

∑Nn=0

ann! t

n.

4. L−1(

ωs2+ω2

)= sin (ωt).

5. Supongamos que f es continua en [0,∞), de OE (α), y que f ′ existe en “casi todo punto”,es continua por tramos en [0,∞) y de OE (α) . Entonces si φ (s) = L (f) (s) , luego

L−1 (sφ (s)− f (0)) = f ′.

Esto tiene poca utilidad práctica (para invertir sφ (s)) ya que las hipótesis en general sonimposibles de verificar (ver Proposición 2.47 para el cálculo de f (0)). Lo que suele hacerse(si se tiene f = L−1 (φ) y f (0)) y se quiere invertir sφ (s) − f (0) es calcular f ′, y luegocalcular L (f ′) (s) y ver si efectivamente da sφ (s). Debido a que en la mayoría de lasaplicaciones la variable t representa al tiempo y la variable s a la frecuencia, este ejemplosuele leerse como “multiplicar en frecuencia por s es lo mismo que derivar en t”.

Proposición 2.22 (Transformada de la Integral) Si f es continua por tramos en [0,∞) yde OE (α) , entonces

L(∫ t

0f (r) dr

)(s) =

1

sL (f) (s) ∀ s > β, donde β =

{max (α, 0) si α 6= 0

cualquiera > 0 α = 0.

Esta propiedad suele leerse como “dividir en frecuencia es lo mismo que multiplicar en tiempo”

Demostración. Primero, notar que la función g (t) =∫ t

0 f (r) dr es continua y de OE (β) , porlo cual tiene sentido calcular su transformada de Laplace. Además g′ (t) = f (t) en casi todopunto, y g (0) = 0, por lo cual la Proposición 2.4 nos dice que

L(g′)

(s) = sL (g) (s) ∀ s > β,

de donde se sigue inmediatamente la propiedad.

Corolario 2.23 En las hipótesis de la propiedad anterior, si φ (s) = L (f) (s) , entonces

L−1

(1

sφ (s)

)(t) =

∫ t

0f (r) dr.

Demostración. Aplicar L−1 a la Proposición 2.22.

Ejemplo 2.24 puesto que L (sin (ωt)) (s) = ωs2+ω2 , entonces

L−1

(1

s

ω

s2 + ω2

)(t) =

∫ t

0sin (ωr) dr =

1

ω(1− cos (ωt))


2.5. Función de Heaviside

Se llama así a la función escalón unitario

u (t) =

{0 si t < 01 si t ≥ 0

,

y se denota ua (t) = u (t− a). Si bien no es una limitación, en general se utiliza a > 0.

0 0 a

u t( ) u t( )a

Esta función es muy útil cuando se trabaja con trasformada de Laplace, pues nos da unanotación sencilla para “pensar”que las funciones con las que trabajamos están definidas comocero en el intervalo (−∞, 0): basta con tomar f (t)u (t) en lugar de f (t) (recordar el comentariohecho al calcular L−1

(1s

), que según nuestra convención da u y no 1). Por ejemplo, cuando

calculamos L (tn), lo correcto hubiera sido poner L (u (t) tn) (s) = n!sn+1 ∀ s > 0. Pero más allá

de las formalidades, tiene muchas otras virtudes porque puede usarse como un “interruptor”queenciende cierta señal en un instante a: puesto que

f (t)ua (t) =

{0 si t < a

f (t) si t ≥ a ,

resulta que si quiero escribir que a una señal g (t) se le agrega otra señal f (t) en el instante a, laseñal resultante será g (t) + f (t)ua (t). Esto es particularmente útil en el modelado de sistemasdonde diferentes fuerzas actúan en diferentes instantes de tiempo.

Otro uso frecuente de la función ua es para desplazar funciones en su variable: la funciónf (t− a)ua (t) tiene la misma gráfica que f (t)u (t) pero con el cero en a

0 a0

f t( ) f t a( )u t( )a

Ejemplo 2.25 Cuando uno quiere “filtrar” una señal f (t) y dejarla solo para cierto intervalode tiempo [a, b), como

ua (t)− ub (t) =

0 si t < a1 si a ≤ t < b0 si t ≥ b

,


la señal filtrada queda f (t) [ua (t)− ub (t)].

0 a b

1

0 a b

1

u t( )a u t( )b u t( )a u t( )b

f t( )

f t( )( )

Proposición 2.26 (Corrimiento en frecuencia) Si f es continua por tramos en [0,∞) y deOE (α) , entonces

L(eatf (t)

)(s) = L (f) (s− a) ∀ s > α+ a.

Demostración.

L(eatf (t)

)(s) =

∫ ∞0

f (t) eate−stdt =

∫ ∞0

f (t) e−(s−a)tdt = L (f) (s− a) .


L−1 (φ (s− a)) (t) = eatf (t) .

Ejemplo 2.28 1. Si φ (s) = 6(s+4)4 , entonces como L

(t3)

(s) = 6s4, resulta φ (s) = L

(t3)

(s+ 4) ,

y entonces

L−1

(6

(s+ 4)4

)= e−4tt3.

2. Puesto que L (cos (2t)) (s) = ss2+4

, se tiene que

L−1

(s− 8

(s− 8)2 + 4

)= e8t cos (2t) .

Proposición 2.29 (Cambio de escala) Si f es continua por tramos en [0,∞) y de OE (α) ,y c > 0, entonces

L (f (ct)) (s) =1

cL (f)

(sc

)∀ s > cα.

Demostración. Haciendo el cambio de variables x = ct queda

L (f (ct)) (s) =

∫ ∞0

f (ct) e−stdt =

∫ ∞0

f (x) e−sxcdx

c=

1

cL (f) (s/c) .



L−1 (φ (s/c)) (t) = cf (ct) .

Proposición 2.31 (Corrimiento en tiempo) Si f es continua por tramos en [0,∞) y deOE (α) , y a ≥ 0, entonces

L (f (t− a)ua (t)) (s) = e−asL (f) (s) ∀ s > α.

Demostración. haciendo el cambio de variables x = t− a queda

L (f (t− a)ua (t)) (s) =

∫ ∞0

f (t− a)ua (t) e−stdt =

∫ ∞a

f (t− a) e−stdt

=

∫ ∞0

f (x) e−s(x+a)dx = e−asL (f) (s) .

Nota importante 2.32 El resultado anterior no es válido si a < 0, probar por ejemplo conla función f (t) = t + 3 y a = −3. El problema en realidad viene de que cuando uno dice“f (t) = t + 3” tiende a olvidar que en realidad queremos decir f (t) = (t+ 3)u (t). Otro temadelicado con la propiedad anterior, es que es muy común confundir f (t) con f (t− a) , y lapropiedad anterior no dice que L (f (t)ua (t)) (s) = e−asL (f) (s) , y en general esa igualdad noes cierta. Si tenemos que calcular L (f (t)ua (t)) (s) para cierta función f, lo que se suele hacer esllamar g (t− a) = f (t) , es decir, construyo una nueva función que vale g (t) = f (t+ a) ∀ t ≥ 0(¡y cero para t < 0!), y entonces

L (f (t)ua (t)) (s) = L (g (t− a)ua (t)) (s) = e−asL (g) (s)

(como calcular L (g) es otra cuestión, que se resuelve caso por caso).

Ejemplo 2.33 Para calcular L(t2u3 (t)

)(s) , hacemos g (t− 3) = t2, es decir, g (t) = (t+ 3)2 ,

y entonces

L(t2u3 (t)

)(s) = e−3sL

((t+ 3)2

)(s) = e−3sL

((t2 + 6t+ 9

))(s) =

= e−3s[L(t2)

(s) + L (6t) (s) + L (9) (s)]

= e−3s

[2

s3+

6

s2+

9

s

].


L−1(e−asφ (s)

)(t) = f (t− a)ua (t) .


2.6. Derivación e integración de transformadas

En esta sección vamos a aplicar los resultados que vimos en la sección 2.2, para obtenerresultados (en principio sorprendentes) sobre la suavidad de la transformada de Laplace.

Proposición 2.35 (Derivación de la transformada) Si f es continua por tramos en [0,∞)y de OE (α) , entonces L (f) (s) es derivable en (α,∞) y

d

dsL (f) (s) = −L (tf (t)) (s) ∀ s > α.

Demostración. Queremos ver que

lımh→0

(L (f) (s+ h)− L (f) (s)

h+ L (tf (t)) (s)

)= 0.

Tomemos s > α (fijo) y consideremos los valores de h ∈(− s−α

2 , s−α2

)(para tomar lımh→0).

Utilizando un Polinomio de Taylor de grado 1 y la fórmula de Lagrange del resto vemos queexiste ξ(t) en el intervalo de extremos 0 y h tal que

e−ht = 1− ht+(ht)2

2e−ξ(t)t,

en particular ∣∣∣∣e−ht − 1 + ht

h

∣∣∣∣ ≤ |h| t22e(

s−α2 )t.

Entonces∣∣∣∣L (f) (s+ h)− L (f) (s)

h+ L (tf (t)) (s)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫ ∞

0f (t)

(e−(s+h)t − e−st + hte−st

h

)dt

∣∣∣∣∣ ≤≤∫ ∞

0Meαte−st

|h| t22

e(s−α

2 )tdt =M |h|

2

∫ ∞0

t2e−( s−α2 )tdt =

=M |h|

2L(t2)(s− α

2

)=M |h|

22

8

(s− α)3 −→h→00.

Observación 2.36 Es muy importante notar que lo que estamos probando es que la Regla deLeibnitz (para derivar funciones definidas mediante una integral) vale en este caso, y

d

dsL (f) (s) =

d

ds

∫ ∞0

f(t)e−stdt =d

ds

∫ ∞0

∂

∂sf(t)e−stdt;

es decir, podemos derivar dentro de la integral. Esto además ayuda a recordar la fórmula.


L−1(φ′ (s)

)(t) = −tf (t) .


Corolario 2.38 (otro más) Si f es continua por tramos en [0,∞) y de OE (α) , entoncesL (f) (s) tiene derivadas de todos los órdenes en (α,∞) y ∀ n ∈ N vale que

dn

dsnL (f) (s) = (−1)n L (tnf (t)) (s) ∀ s > α.

Demostración. Por inducción en n, usando la Proposición 2.35. Lo notable de esto es que valebajo las mismas hipótesis para f, es decir, no importa si nuestra función es discontinua o si tieneinfinitas derivadas, siempre su transformada de Laplace tiene infinitas derivadas.

Corolario 2.39 (del Otro Corolario) En las hipótesis de la propiedad anterior, si φ (s) =L (f) (s) , entonces

L−1(φ(n) (s)

)(t) = (−t)n f (t) .

Ejemplo 2.40 Supongamos que queremos encontrar f y sabemos que L (f) (s) = ln(s+1s−1

).

Como

d

dsln

(s+ 1

s− 1

)=s− 1

s+ 1

((s− 1)− (s+ 1)

(s− 1)2

)=

1

s+ 1− 1

s− 1= L

(e−t − et

)(s) ,

y teniendo en cuenta que

L−1

(d

dsln

(s+ 1

s− 1

))(t) = −tf (t) ,

resulta−tf (t) = e−t − et,

es decir, f (t) = 2t sinh (t).

Proposición 2.41 (Integración de la transformada) Si f es continua por tramos en [0,∞)

y de OE (α) , y lımt→0+f(t)t existe, entonces L (f) (s) es integrable en (α,∞) , y∫ ∞sL (f) (r) dr = L

(f (t)

t

)∀ s > α.

Demostración. Primero notar que el enunciado dice que la integral impropia converge. Ennuestras hipótesis, la función g (t) = f(t)

t es continua por tramos en [0,∞) y de OE (α) (ejercicio),y entonces la Proposición 2.35 nos dice que

L (f) (s) = L (tg (t)) = − d

dsL (g) (s) ∀ s > α.


Integrando, y teniendo en cuenta que L (g) (s) decrece como 1/s cuando s→∞, queda∫ ∞sL (f) (r) dr = −

∫ ∞s

d

dsL (g) (r) dr = − [L (g) (r)]r=∞r=s

= − lımr→∞

L (g) (r) + L (g) (s) = L (g) (s) = L(f (t)

t

)(s) ,

o sea listo.Notar que la hipótesis sobre lımt→0+ f (t) /t implica que f (0+) = 0, y entonces dicho límite

vale f ′ (0+). Por lo tanto, la hipótesis es equivalente a pedir que exista f ′ (0+) (que es, por ahí,más fácil de entender).


L−1

(∫ ∞s

φ (r) dr

)(t) =

f (t)

t.

Ejemplo 2.43 Si f (t) = sin(ωt)t , entonces

L (f) (s) =

∫ ∞sL (sin (ωt)) (r) dr =

∫ ∞s

ω

r2 + ω2dr =

[arctan

( rω

)]r=∞r=s

=π

2− arctan

( sω

).

2.7. Funciones periódicas

En esta sección vamos a usar funciones periódicas (como cuando vimos series de Fourier),pero teniendo presente que pensamos a las funciones como cero en el intervalo (−∞, 0) . Conesta convención, una función f (t) será periódica de período T si f (t+ T ) = f (t) ∀ t ≥ 0,y nos referiremos a este hecho como “f es periódica en [0,∞)”. En general resulta que f esperiódica de período T en [0,∞) si y solo si f (t) = g (t)u (t) , con g periódica de período T.Notar que si f es periódica en [0,∞) de período T, y es continua por tramos en [0, T ], entoncesf es continua por tramos en [0,∞) y de OE (0) (ejercicio).

Proposición 2.44 (Transformada de funciones periódicas) Si f es periódica en [0,∞) deperíodo T, y es continua por tramos en [0, T ], entonces

L (f) (s) =1

1− e−sT∫ T

0f (t) e−stdt ∀ s > 0.

Demostración. Si f tiene período T , entonces

f (t) = [u (t)− uT (t)] f (t) + uT (t) f (t) = [u (t)− uT (t)] f (t) + uT (t) f (t− T )

(graficar y verificar!), entonces usando la Proposición 2.31 tenemos

L (f) (s) =

∫ T

0f (t) e−stdt+ L (uT (t) f (t− T )) (s) =

∫ T

0f (t) e−stdt+ e−sTL (f) (s) ,


es decir, listo.

Ejemplo 2.45 Para calcular la transformada de Laplace de la función de período 2 tal quef (t) = t2 en el intervalo [0, 2), hacemos∫ 2

0t2e−stdt =

[−s

2t2e−st + 2ste−st + 2e−st

s3

]t=2

t=0

=2

s3− 2e−2s 2s2 + 2s+ 1

s3,

de donde

L (f) (s) =1

1− e−2s

(2

s3− 2e−2s 2s2 + 2s+ 1

s3

).

Para utilizar la propiedad anterior se suele usar la función de Heaviside, de la siguiente forma:si tenemos f (t) definida en [0,∞) y queremos la transformada de Laplace de la función g (t)que es periódica de período T y coincide con f en el intervalo [0, T ), entonces∫ T

0g (t) e−stdt =

∫ T

0f (t) e−stdt =

∫ T

0[1− uT (t)] f (t) e−stdt

=

∫ ∞0

[1− uT (t)] f (t) e−stdt = L (f) (s)− L (uT f) (s) ,

y queda

L (g) (s) =L (f) (s)− L (uT f) (s)

1− e−sT ,

es decir, en lugar de calcular una integral necesitamos dos transformadas de Laplace.

Ejemplo 2.46 Para calcular la transformada de Laplace de la función de período 2 tal quef (t) = t2 en el intervalo [0, 2) con este método, primero notar que

L(t2u2 (t)

)(s) = L

((t− 2 + 2)2 u2 (t)

)(s)

= L(

(t− 2)2 u2 (t))

(s) + L (4 (t− 2)u2 (t)) (s) + L (4u2 (t)) (s)

=2

s3e−2s +

4

s2e−2s +

4

se−2s,

y entonces

L (f) (s) =1

1− e−2s

[2

s3−(

2

s3e−2s +

4

s2e−2s +

4

se−2s

)].

2.8. Valor inicial y final

Las siguientes dos propiedades nos permiten conocer, en determinadas circunstancias, el valorlímite de f en 0 y en ∞, a partir de su transformada de Laplace. Es decir, podemos estudiar elcomportamiento de f en los bordes del intervalo (0,∞) sin tener explícitamente a la función f .Ambas propiedades son consecuencias inmediatas de la Proposición 2.4.


Proposición 2.47 (Teorema del valor inicial) Si f es continua en [0,∞) y de OE (α) , yexiste f ′ en “casi todo punto”es continua por tramos en [0,∞) y de OE (α) , entonces

lıms→∞

sL (f) (s) = lımt→0+

f (t) .

Demostración. Notar que la propiedad dice que, bajo las hipótesis pedidas, ambos límitesexisten y son iguales. Las hipótesis pedidas son exactamente las mismas que las de la Proposición2.4, y están puestas pues dicha propiedad es lo único que necesitamos: puesto que

L(f ′)

(s) = sL (f) (s)− f(0+)∀ s > α,

y teniendo en cuenta, que según el Teorema 2.12,

lıms→∞

L(f ′)

(s) = 0,

tomando límite queda demostrada la propiedad.

Corolario 2.48 En las hipótesis de la propiedad anterior, si φ (s) = L (f) (s) y c = lıms→∞ sφ (s),entonces

L−1 (sφ (s)− c) (t) = f ′ (t) .

(ver el punto 5 del Ejemplo 2.21).

Ejemplo 2.49

1. Si

L (f) (s) =s+ 3

2s2 + 2s+ 1,

entonces

f(0+)

= lıms→∞

ss+ 3

2s2 + 2s+ 1=

1

2.

2. Si f (t) = cos (ωt) entonces L (f) (s) = ss2+ω2 , entonces

lıms→∞

ss

s2 + ω2= 1, y entonces L−1

(s

s2 + ω2− 1

)(t) = f ′ (t) = −ω sin (ωt) .

Nota 2.50 En general se aplica el Teorema 2.47 sin poder verificar las hipótesis, ya que no sedispone de la función y no tenemos ningún resultado que nos de condiciones de suavidad para fa partir de su transformada de Laplace, L (f). Sin embargo, utilizando el método de fraccionesparciales, se puede ver que si L (f) (s) = p(s)

q(s) , con p y q polinomios y el grado de p menor o queel grado de q, entonces f está dentro de las hipótesis (ejercicio).

Proposición 2.51 (Teorema del valor final) Si f es continua en [0,∞) y de OE, y existef ′ en “casi todo punto”es continua por tramos en [0,∞) y de OE (α) con α < 0, entonces

lıms→0

sL (f) (s) = lımt→∞

f (t) .


Demostración. Notar que acá necesitamos que f ′ sea de OE con exponente negativo. En estascondiciones, el primer teorema nos asegura que L (f ′) (s) está bien definida y es continua en unentorno de s = 0, y entonces (usando la Proposición 2.4)

L(f ′)

(0) = lıms→0L(f ′)

(s) = lıms→0

[sL (f) (s)− f

(0+)]

= lıms→0

sL (f) (s)− f(0+).

Finalmente notar que también

L(f ′)

(0) =

∫ ∞0

f ′ (t) dt = lımt→∞

f (t)− f(0+).

Igualando las expresiones obtenemos el resultado.

2.9. Convolución

En muchas aplicaciones de la transformada de Laplace aparece la necesidad de trabajar conproductos del tipo L (f) (s)L (g) (s) (por ejemplo cuando se busca la función de transferencia,ver Sección 2.10). Por lo tanto es natural preguntarse qué ocurre cuando intentamos hacer latransformada inversa del producto. Es fácil de verificar que, en general, no es cierto que la inversadel producto sea el producto de las inversas, por ejemplo

L(t2)

(s) =2

s3y L

(t4)

(s) =24

s5,

y entonces no se verifica que

L−1(t2t2

)= L−1

(t2)L−1

(t2).

La respuesta está en la siguiente definición:

Definición 2.52 Para f, g funciones continuas por tramos en [0,∞) se pone

(f ∗ g) (t) =

∫ t

0f (r) g (t− r) dr

la convolución de f con g.

La integral que define f ∗ g existe para todo t > 0 por ser la función h (r) = f (r) g (t− r)continua por tramos en [0, t] (ejercicio), por lo tanto f ∗ g es una nueva función definida en[0,∞). Esta nueva operación puede ser pensada como un “producto”definido en el conjunto delas funciones continuas por tramos en [0,∞), de la misma forma que tenemos el producto usualen R. En general, no es fácil ver “que pasa”cuando uno hace la convolución de dos funcionescualquiera, en el sentido de que es difícil predecir como será (que aspecto tendrá) la funciónf ∗ g a partir del aspecto de f y g. En el contexto en el que estamos (funciones definidas en[0,∞)), uno de los casos más fácil de entender es cuando uno piensa en g como una “campana”asimétrica hacia t = 0 y de área 1 (ver dibujo): en tal caso, fijado t, el valor de (f ∗ g) (t) será un


promedio ponderado de los valores de f (x), con 0 < x < t, con mayor peso a los valores cercanosa t. Es por eso que, en general, (f ∗ g) será una función más suave que f , pero “parecida” af (mientras más concentrada hacia x = 0 sea la campana de g, más parecida será (f ∗ g) a f,hasta llegar al extremo cuando g es la función impulso o δ de Dirac).

( )( )xf g*

f( )x

0 t x

g( )t x

0

g( )x

x

area 1

El producto de convolución tiene las siguientes propiedades: si f, g, h son funciones continuaspor tramos en [0,∞), y a un número real, entonces:

1. f ∗ g = g ∗ f (conmutatividad)

2. (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) (asociatividad)

3. f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h) (distribución respecto a la suma)

4. (af) ∗ g = a (f ∗ g) = f ∗ (ag) .

Estas propiedades se demuestran muy fácilmente, solo la segunda requiere un más de trabajo.Por supuesto que lo que nos interesa a nosotros es la siguiente:

Proposición 2.53 (Convolución) Si f y g son continuas por tramos en [0,∞) y de OE (α) ,entonces (f ∗ g) es continua en [0,∞), de OE (α+ ε) ∀ ε > 0, y

L (f ∗ g) (s) = L (f) (s)L (g) (s) ∀ s > α.

Demostración. Primero veamos que (f ∗ g) es de OE (α+ ε) ∀ ε > 0: por hipótesis sabemosque existe M > 0 tal que |f (t)| ≤Meαt y |g (t)| ≤Meαt ∀ t ≥ 0, y entonces

|(f ∗ g) (t)| =∣∣∣∣∫ t

0f (r) g (t− r) dr

∣∣∣∣ ≤ ∫ t

0|f (r) g (t− r)| dr ≤

∫ t

0MeαrMeα(t−r)dr = M2teαt.

puesto que para todo ε > 0 vale que t ≤ 1εeεt ∀ t ≥ 0 (ejercicio), se tiene que

|(f ∗ g) (t)| ≤M2e(α+ε)t.

Eso implica que tenemos definida L (f ∗ g) (s) ∀ s > α + ε cualquiera sea ε > 0, y por lo tanto∀ s > α.

En cuanto a la continuidad el tema es más complicado, acá va una idea (que se puedeformalizar como ejercicio): tomo t0 ∈ [0,∞) y 0 < h < 1 (la razón de tan extraña elección se


verá abajo), entonces

(f ∗ g) (t0 + h)− (f ∗ g) (t0) =

∫ t0+h

0f (r) g (t0 + h− r) dr −

∫ t0

0f (r) g (t0 − r) dr

=

∫ t0

0f (r) g (t0 + h− r) dr +

∫ t0+h

t0

f (r) g (t0 + h− r) dr −∫ t0

0f (r) g (t0 − r) dr

=

∫ t0

0f (r) [g (t0 + h− r)− g (t0 − r)] dr +

∫ t0+h

t0

f (r) g (t0 + h− r) dr

= I1 (h) + I2 (h) .

Como h < 1 y usando que f es acotada en [t0, t0 + h] y que g es acotada en [0, 1] , se ve fácilmenteque

lımh→0+

I2 (h) = 0.

Para I1 (h) , haciendo el cambio de variables x = t0 − r queda

I1 (h) =

∫ t0

0f (r) [g (x+ h)− g (x)] dr.

Acá el análisis se complica: para ver que eso tiende a cero necesitamos usar la noción de con-tinuidad absoluta (fuera del alcance de este curso) y que g tiene finitas discontinuidades en elintervalo [0, t0 + 1] , pero debería quedar claro que

lımh→0+

[g (x+ h)− g (x)] = 0 ∀ x donde g es continua,

y eso hacer creíble quelımh→0+

I1 (h) = 0.

Argumentos similares muestran que

lımh→0−

I1 (h) = lımh→0−

I2 (h) = 0,

y por lo tanto (f ∗ g) es continua en t0.Por último,

L (f ∗ g) (s) =

∫ ∞0

(f ∗ g) (t) e−stdt =

∫ ∞0

(∫ t

0f (r) g (t− r) dr

)e−stdt

=

∫ ∞0

∫ t

0f (r) g (t− r) e−stdrdt,

invirtiendo el orden en las integrales (lo cual es lícito, por Fubini, en nuestras hipótesis) queda

L (f ∗ g) (s) =

∫ ∞0

∫ ∞r

f (r) g (t− r) e−stdtdr =

∫ ∞0

f (r)

∫ ∞r

g (t− r) e−stdtdr.

Finalmente, haciendo el cambio de variables x = t− r en la integral de adentro queda

L (f ∗ g) (s) =

∫ ∞0

f (r)

∫ ∞0

g (x) e−s(x+r)dxdr =

∫ ∞0

f (r) e−sr(∫ ∞

0g (x) e−sxdx

)dr

=

∫ ∞0

f (r) e−sr (L (g) (s)) dr = L (g) (s)

(∫ ∞0

f (r) e−srdr

)= L (g) (s)L (f) (s) .


Corolario 2.54 En las hipótesis de la propiedad anterior, si φ (s) = L (f) (s) y η (s) = L (g) (s) ,entonces

L−1 (φη) (t) = (f ∗ g) (t) .

2.10. Estabilidad

Una de las aplicaciones más importantes del teorema anterior el la que se da en Teoría deControl para determinar la estabilidad o no de un sistema físico. Un sistema físico en general secaracteriza por aceptar entradas (fuerza, voltaje, presión, corriente, etc.) y producir una salidaen respuesta a esa entrada. En general caracterizamos las entradas y las salidas con funcionesreales f (t) , t ≥ 0 (pensando que la variable t representa al tiempo).

Definición 2.55 Un sistema es lineal si la respuesta se comporta de manera lineal con respectoa la entrada, es decir, si y1 es la respuesta a la entrada x1 y y2 a la entrada x2, entonces larespuesta a la entrada ax1 + bx2 será ay1 + by2. Un sistema es invariante en el tiempo si elefecto de correr en el tiempo la entrada produce el mismo corrimiento en la salida, es decir,si y1 (t) es la respuesta a la entrada x1 (t) entonces la respuesta a la entrada y1 (t− t0) seráx1 (t− t0). La función de transferencia G (s) de un sistema lineal e invariante en el tiempo sedefine como la relación entre las transformadas de Laplace de la salida y la entrada, suponiendoque las condiciones iniciales son todas cero. Es decir,

G (s) =L (xo) (s)

L (xi) (s).

Se puede ver que para tales sistemas (lineales invariantes en el tiempo) dicha definición esbuena, es decir, no depende de la entrada que elijamos para calcularla. La función de transferenciacaracteriza por completo al sistema físico. Para representar un sistema se utilizan bloques queidentifican la entrada y la salida, y la función de transferencia que lo caracteriza, como elsiguiente:

Gxi xo

Para fijar ideas veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.56 Si tenemos un sistema masa-resorte forzado y amortiguado como muestra eldibujo, entonces la ecuación que describe el sistema es

{mx′′ + vx′ + kx = f (t)x (0) = x0, y (0) = y0

,

x

m

0

f t( )

v

k


donde m es la masa, v el coeficiente de rozamiento, k la constante elástica del resorte, f lafuerza aplicada al resorte (la entrada al sistema), y x la posición de la masa en cada instantede tiempo t ≥ 0 (la respuesta del sistema a la entrada, o sea la salida). Aquí x0 e y0 son lascondiciones iniciales (posición y velocidad respectivamente). Tomando transformada de Laplacequeda

ms2L (x) (s)− sx0 − y0 + vsL (x) (s)− x0 + kL (x) (s) = L (f) (s) .

Asumiendo que las condiciones iniciales son nulas (x0 = y0 = 0) y despejando obtenemos

L (x) (s)

L (f) (s)=

1

ms2 + vs+ k,

es decir, la función

G (s) =1

ms2 + vs+ k

es la función de transferencia de tal sistema. Notar que en la función aparecen todos los parámet-ros del sistema, y que no depende ni de la entrada ni de la salida.

Para el estudio de sistemas lineales invariantes en el tiempo se utiliza lo que se llama “álgebrade bloques”, que permite obtener la función de transferencia de un sistema que consiste devarios subsistemas interconectados de diferente manera, y de los cuales conocemos su funciónde transferencia. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos:

1. Si tenemos dos sistemas interconectados como sugiere el dibujo

G Hxi xoxp

(la entrada al segundo sistema es la salida del primero), con funciones de transferencia Hy G respectivamente, entonces

G (s) =L (xp) (s)

L (xi) (s)y H (s) =

L (xo) (s)

L (xp) (s),

de dondeL (xo) (s)

L (xi) (s)=L (xp) (s)

L (xi) (s)· L (xo) (s)

L (xp) (s)= G (s)H (s) ,

es decir, la función de transferencia es el producto de las funciones de transferencias dec/u de los sistemas.


G

H

xi xo

xg

xh


(hay una entrada a dos subsistemas y la salida del sistema es la suma de ambas salidas),con funciones de transferencia H y G respectivamente, entonces

G (s) =L (xh) (s)

L (xi) (s)y H (s) =

L (xg) (s)

L (xi) (s),

puesto que xo = xh + xg, resulta L (xo) = L (xh) + L (xg) , y entonces

L (xo) (s)

L (xi) (s)=L (xh) (s) + L (xg) (s)

L (xi) (s)= G (s) +H (s) ,

es decir, la función de transferencia es la suma de las funciones de transferencias de c/ude los sistemas.


G

H

xi xfxi xo

xoxf

(hay una entrada a un sistema, la salida del mismo entra a otro, que produce una salidaque realimenta al primero), entonces

G (s) =L (xo) (s)

L (xi) (s)− L (xf ) (s)y H (s) =

L (xf ) (s)

L (xo) (s),

entonces, despejando L (xf ) en ambas ecuaciones obtenemos

L (xi) (s)− 1

G (s)L (xo) (s) = L (xf ) (s) y H (s)L (xo) (s) = L (xf ) (s) ,

igualando y despejando llegamos a

L (xo) (s)

L (xi) (s)=

L (xo) (s)

H (s)L (xo) (s) + 1G(s)L (xo) (s)

=G (s)

G (s)H (s) + 1,

que es la función de transferencia de un sistema a lazo cerrado.

Definición: Un sistema se dice estable si la respuesta a toda entrada acotada es acotada, yasintóticamente estable si la respuesta a toda entrada acotada tiende a cero cuando el tiempotiene a infinito.

En el último capítulo veremos condiciones sobre la función transferencia para que un sistemasea estable.


2.11. Tabla de transformadas

Potencias

f (t) F (s) = L(f) (s)

11

s

t1

s2

tnn!

sn+1, n entero positivo

f (t) F (s) = L(f) (s)

t−1/2

√π

s

t1/2√π

2s3/2

tαΓ (α+ 1)

sα+1, α > −1

Funciones trigonométricas

f (t) F (s) = L(f) (s)

sin ktk

s2 + k2

cos kts

s2 + k2

sin2 kt2k2

s (s2 + 4k2)

cos2 kts2 + 2k2

s (s2 + 4k2)

t sin kt2ks

(s2 + k2)2

t cos kts2 − k2

(s2 + k2)2

2 (1− cos kt)

tlns2 + k2

s2

sin at

tarctan

(as

)

f (t) F (s) = L(f) (s)

sin kt+ kt cos kt2ks2

(s2 + k2)2

sin kt− kt cos kt2k3

(s2 − k2)2

1− cos ktk2

s (s2 + k2)

kt− sin ktk3

s2 (s2 + k2)a sin bt− b sin at

ab (a2 − b2)

1

(s2 + a2) (s2 + b2)cos bt− cos at

a2 − b2s

(s2 + a2) (s2 + b2)sin at cos bt

t12 arctan a+b

s + 12 arctan a−b

s

Funciones Hiperbolicas

f (t) F (s) = L(f) (s)

sinh ktk

s2 − k2

cosh kts

s2 − k2

sinh2 kt2k2

s (s2 − 4k2)

cosh2 kts2 − 2k2

s (s2 − 4k2)

f (t) F (s) = L(f) (s)

t sinh kt2ks

(s2 − k2)2

t cosh kts2 + k2

(s2 − k2)2

2 (1− cosh kt)

tlns2 − k2

s2

Funciones exponenciales


f (t) F (s) = L(f) (s)

eat1

s− ateat

1

(s− a)2

tneatn!

(s− a)n+1 , n entero positivo

ebt − eatt

ln s−as−b

f (t) F (s) = L(f) (s)

1√πte−a

2/4t e−a√s

√s

a

2√πt3

e−a2/4t e−a

√s

eat − ebta− b

1

(s− a) (s− b)aeat − bebta− b

s

(s− a) (s− b)

Funciones exponenciales, hipoerbólicas y trigonométricas

f (t) F (s) = L(f) (s)

eat sin ktk

(s− a)2 + k2

eat cos kts− a

(s− a)2 + k2

eat sinh ktk

(s− a)2 − k2

eat cosh kts− a

(s− a)2 − k2

f (t) F (s) = L{f} (s)

sin kt sinh kt2k2s

s2 + 4k4

sin kt cosh ktk(s2 + 2k2

)s4 + 4k4

cos kt sinh ktk(s2 − 2k2

)s4 + 4k4

cos kt cosh kts3

s4 + 4k4

Funciones de Bessel

f (t) F (s) = L(f) (s)

J0 (kt)1√

s2 + k2

Delta de Dirac δ (t)

f (t) F (s) = L(f) (s)

δ (t) 1δ (t− t0) e−st0

Función de Heaviside u (t)

f (t) F (s) = L(f) (s)

f (t− a)u (t− a) e−asF (s)

u (t− a)e−as

s

Propiedades generales

f (t) F (s) = L(f) (s)

eatf (t) F (s− a)f (t− a)u (t− a) e−asF (s)

f (n) (t) snF (s)− s(n−1)f (0)− ...− f (n−1) (0)

tnf (t) (−1)n dn

dsnF (s)∫ t0 f (τ) g (t− τ) dτ F (s)G (s)

Capítulo 3

Funciones de variable compleja

Vamos a trabajar con los ya conocidos números complejos C. Mucho del material de estaprimera parte se verá muy rápido y sin mucho cuidado, por ser solo un repaso de conocimientosadquiridos en materias anteriores

3.1. Algebra y topología en C

3.1.1. Algebra en CComo conjunto C = R2 = {(x, y) tq: x ∈ R, y ∈ R} , con las siguientes operaciones:

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) = suma, y

(a, b) (c, d) = (ac− bd, ad+ bc) = producto.

Lo nuevo acá con respecto a R2 es el producto, que transforma la modesta estructura de espaciovectorial de R2 en estructura de cuerpo, es decir:

La suma es asociativa

La suma es conmutativa.

(0, 0) el único número complejo tal que (a, b) + (0, 0) = (a, b) para todo número complejo(a, b) (neutro aditivo).

Para todo complejo (a, b) , (−a,−b) el único número complejo tal que (a, b) + (−a,−b) =(0, 0) (inverso aditivo).

El producto es asociativo.

87

88 Funciones de variable compleja

El producto es conmutativo.

(1, 0) el único número complejo tal que (a, b) (1, 0) = (a, b) para todo número complejo(a, b) (neutro multiplicativo).

Si (a, b) 6= (0, 0) , entonces 1(a,b) =

(a

a2+b2, −ba2+b2

)es el único número complejo tal que

(a, b) .(

aa2+b2

, −ba2+b2

)= (1, 0) (inverso multiplicativo).

La multiplicación se distribuye con la suma.

Se denota (a, 0) = a; esta notación es buena porque respeta la suma y el producto: (a, 0) +(b, 0) = (a+ b, 0) , y (a, 0) (b, 0) = (ab, 0) , es decir, cuando opero con pares que tienen cero enla 2da coordenada puedo hacer las operaciones como si fueran números reales (no es lo mismosi intercambiamos las coordenadas en el razonamiento anterior: (0, 1) (0, 1) = (−1, 0)). Estopermite ver a los números reales “metidos”en los complejos, pensando cada a real como (a, 0) .También se denota i = (0, 1) , de modo que (a, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1) = a+ ib, y así no se usamás la notación de par ordenado. Notar que ii = i2 = −1, y que (a, o) (0, b) = (0, ab), es decir,a (ib) = i (ab).

Nota importante 3.1 el cuerpo C no es ordenado, es decir, no se puede extender a C el orden≤ que uno conoce en R (ni definir en C ningún orden con las propiedades del orden de R), porlo tanto cada ves que se vea un signo ≤, en sus extremos deberán aparecer números reales.

Si z = a+ ib, entonces se pone:

Re (z) = a, Im (z) = b (parte real e imaginaria de z)

z = a− ib, el conjugado de z

|z| =√a2 + b2, el módulo de z (el mismo módulo de Análisis II, o sea |(a, b)|, o sea es un

número real que mide distancias).

Notar que zz = |z|2 , en particular si z 6= 0 entonces 1z = z

|z|2 .

Algunas propiedades básicas son:

Re (z) = 12 (z + z) , Im (z) = 1

2i (z − z)

(z + w) = z + w, zw = z w

|zw| = |z| |w| , |z/w| = |z| / |w| , |z| = |z|

|z + w| ≤ |z|+ |w| (desigualdad triangular)

− |z| ≤ Re (z) ≤ |z| , − |z| ≤ Im (z) ≤ |z| .

Funciones de variable compleja 89

3.1.2. Representación polarEsto es darle al plano complejo las coordenadas polares conocidas de Análisis II, es decir

(x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r (cos θ + i sin θ) , con la notación compleja. Claramente, |z| = r, y θse llama el argumento de z y se denota arg (z) . Si cambio θ por θ + 2kπ, con k un entero,me sigue dando el mismo número complejo, o sea el argumento de un número complejo no estaunívocamente determinado, lo que si es cierto es que para todo número complejo z 6= 0 hay unúnico θ con −π < θ ≤ π tal que z = r (cos θ + i sin θ) , y ese de llama el argumento principalde z.

Para escribir menos, se denota

cos θ + i sin θ = cis (θ) .

Si z1 = r1cis (θ1) y z2 = r2cis (θ2) , usando la regla de la suma del coseno y del seno se veque z1z2 = r1r2cis (θ1 + θ2) , es decir, arg (z1z2) = arg (z1) + arg (z2) (ejercicio: ¿que funciónreal f (x) tiene la propiedad de que f (xy) = f (x) + f (y)?). Multiplicando muchos z′s, tenemosz1...zn = r1...rncis (θ1 + · · ·+ θn) , en particular z...z︸︷︷︸

n

= zn = rncis (nθ) . Esto es muy útil

para encontrar raíces n-ésimas: si n es un natural y w un complejo, una raíz n-ésima de w es unnúmero complejo z tal que zn = w. Si z = rcis (θ) y w = |w| cis (α) , igualando las expresionesqueda

zn = rncis (nθ) = |w| cis (w) , ⇒{rn = |w|nθ = α+ 2kπ, k ∈ Z , ⇒

{r = n

√|w|

θ = αn + 2k

n π, k ∈ Z,

lo cual significa que tenemos n raíces complejas distintas:

z = n√|w|cis

(α

n+

2k

nπ

), con k = 0, 1, ..., (n− 1)

(pues cuando k = n estoy de nuevo en la raíz de argumento α/n).

3.1.3. Topología en CEsa palabra se refiere a la calificación de los subconjuntos del plano en abiertos, cerrados,

conexos, etc., que son cosas estudiadas y usadas en Análisis II, lo único que cambia ligeramentees la notación, porque ahora en lugar de usar pares ordenados (a, b) , usamos a+ ib. Para haceruna refrescada de memoria, vamos a hacer una lista de las más importantes. Con z0 vamos adenotar un número complejo, y con S un subconjunto de C.

Un entorno de z0 es Bε (z0) = {z ∈ C tq: |z − z0| < ε} , donde ε es un número realpositivo (esto es, una bola de radio ε alrededor de z0)1

z0 se dice interior de S si hay algún entorno de z0 todo metido en S.

z0 se dice punto frontera de S si todo entorno de z0 contiene puntos de S y puntos queno están en S (notar que no importa si z0 está en S o no).

1En R2 en Análisis II poníamos{(x, y) tq:

√(x− x0)

2 + (y − y0)2 < ε

}


La clausura de S es el conjunto formado por S y todos los puntos frontera de S.

S se dice abierto si todos sus puntos son interiores, y cerrado si contiene todos suspuntos frontera.

S se dice conexo si todo par de puntos en S se pueden unir con una línea poligonal en S.

S se dice simplemente conexo si toda curva cerrada en S contiene en su interior sólopuntos de S (o si el complemento es conexo).

S se dice acotado si existe algún número M > 0 tal que S ⊆ {z ∈ C tq: |z| ≤M}.

S se dice compacto si es cerrado y acotado.

3.1.4. Comentario argumentalEn muchos libros sobre números complejos se encuentra la expresión “si z = x+ iy entonces

arg (z) = arctan (y/x)”, pero en general no se explica que es arctan, y merece cierto cuidado: latangente de un ángulo θ con −π/2 < θ < π/2 se define como tan (θ) = y

x (ver dibujo), resultandotan (θ) > 0 si (x, y) esta en el primer cuadrante, y tan (θ) < 0 si está en el cuarto cuadrante.

z

0

y

xµ

0 x

µ

zy ¼

12

¼¡12

Después se extiende a todo R por periodicidad, o sea como una función periódica de períodoπ. Por lo tanto, si (x, y) esta en el segundo cuadrante (o sea si x < 0, y > 0), o sea si π/2 < θ < π,tan (θ) = tan (θ − π) = y/x (!), y símil para el tercer cuadrante, resultando tan (θ) = y/x paratodo θ donde está definida, o sea para todo x 6= 0 (todo esto se podría hacer con más cuidadodiciendo que tan está definida si x > 0, y luego hacer el cambio de cuadrante de forma de quex quede positivo, pero no es el punto).

x

y

¡y

¼¡12

0 ¼12

¼ ¼32

2¼ ¼52

¼¡¼¡32¡xµ¡¼

µ


Entonces, el problema no está en el y/x que aparece en todas las explicaciones dibujadoinvariablemente en el primer cuadrante, sino en lo ambiguo de la expresión arctan (¿es unainversa de tan?, ¿es la inversa de la rama central de tan?), que cambia según donde esté el punto(x, y) y según que argumento estemos usando. Por ejemplo, si (x, y) está en el segundo cuadrantey estamos usando el argumento principal entonces arctan será una inversa de tan en el intervalo(0, π) (y entonces nuestra calculadora no nos servirá para calcular el argumento de z = x+ iy).

0

¼

3.2. Funciones de variable compleja

Así se llama a las funciones con dominio e imagen en C. De nuevo, como C=R2, tenemos deAnálisis II muchas funciones f : D ⊆ R2 → R2, como por ejemplo

f (x, y) =(x2 − y2, 2xy

),

nada más que ahora vamos a usar la notación compleja. Así, si z = x+ iy, la función de arribaqueda

f (z) = f (x, y) = x2 − y2 + i2xy = (x+ iy)2 = z2.

Es decir, una función compleja es una regla que asigna a cada número complejo z de un conjuntoD, otro número complejo que se denota f (z) . Notar que dice regla y no fórmula: la

f (z) =

{z si |z| ≤ 1z2 si |z| > 1

es una función. Al conjunto D de arriba se lo llama el dominio de la función, y cuando nose especifica se toma como dominio al mayor conjunto donde la regla tiene sentido. Como todafunción compleja f tiene su imagen en R2, resulta que f tiene dos coordenadas; usualmente sedenota

f (z) = u (z) + iv (z) ,

donde u : D ⊆ C→R es la parte real de f , y v : D ⊆ C→R es la parte imaginaria.

Ejemplo 3.2 f (z) = zz+1 , es una función compleja cuyo dominio es C−{±1}. Para encontrar

la parte real e imaginaria de f la escribimos en coordenadas:

f (z) =z

z + 1=

z(z + 1)

(z + 1) (z + 1)=

(x+ iy) (x− iy + 1)

(x+ iy + 1) (x− iy + 1)=

=x (x+ 1) + y2 + iy (x+ 1)− xy

(x+ 1)2 + y2=x2 + x+ y2 + iy

(x+ 1)2 + y2,


o sea

f (x, y) =x2 + x+ y2

(x+ 1)2 + y2+ i

y

(x+ 1)2 + y2.

Todas las nociones límite, de continuidad, derivadas parciales, etc. de Análisis II se puedenaplicar acá, pues si tenemos una función de variable compleja f (z) , entonces tenemos unafunción f (x, y) = (u (x, y) , v (x, y)) , y tiene perfecto sentido hablar de ux, por ejemplo.

Veamos cómo quedan las nociones de límite y continuidad con esta nueva notación: si f (z)es una función compleja definida en un conjunto abierto D ⊆ C, z0 ∈ D, y w0 ∈ C, entoncesdiremos que

lımz→z0

f (z) = w0 si ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que |f (z)− w0| < ε si |z − z0| < δ.

Dicho en criollo, si para cada bolita (de radio ε) centrada en w0 que yo ponga, hay una bolita (deradio δ) centrada en z0 que f “lleva”adentro de la primer bolita. Dicho más en criollo, cuandola variable z está cerca de z0, la imagen f (z) está cerca de w0. De nuevo, todas las nociones delímite de Análisis II se aplican.

Ejemplo 3.3 Si f (x+ iy) = x2 sin (y) + i(x2 − y2

)e−y, entonces lım

z→1+if (z) = sin (1) .

Proposición 3.4 Sean f, g funciones complejas definidas en un entorno de z0, entonces:

1. lımz→z0

(f + g) (z) = lımz→z0

f (z) + lımz→z0

g (z).

2. lımz→z0

(fg) (z) = lımz→z0

f (z) lımz→z0

g (z).

3. lımz→z0

(f/g) (z) = lımz→z0

f (z) / lımz→z0

g (z), siempre que lımz→z0

g (z) 6= 0.

4. lımz→z0

f (z) = w0 = x0 + iy0 si y solo si lımz→z0

Re f (z) = x0 y lımz→z0

Im g (z) = y0.

5. Si lımz→z0

f (z) existe, entonces lımz→z0

|f (z)| =∣∣∣∣ lımz→z0

f (z)

∣∣∣∣.Demostración. Ejercicio, es un corolario de las propiedades del límite en Análisis I y II. Lasprimeras tres afirmaciones deben ser entendidas así: si dos de los tres límites que aparecenexisten, entonces existe el tercero y vale al igualdad.

Definición 3.5 Si f es una función compleja, diremos que f es continua en z0 si esta definidaen un entorno de z0 y lım

z→z0f (z) = f (z0) . Si f es continua en todos los puntos de un conjunto

D, diremos que f es continua en D (notar que necesariamente D es abierto).

Teorema 3.6 Sean f, g funciones complejas continuas definidas en D, entonces:

1. f + g, fg, f − g, son continuas en D, y f/g es continua en todos los puntos de D dondeg no se anula.


2. Si h : R ⊆ C→ D es una función continua entonces f(h(z)) es continua en R.

3. Si f = u+ iv, entonces f es continua si y solo si u, v : R2 → R son ambas continuas.

4. Si f (z0) 6= 0 para algún z0 ∈ D, entonces existe un entorno B de z0 en D tal que f (z) 6= 0para todo z ∈ B.

5. Si K ⊆ D es un conjunto compacto entonces existe z0 tal que |f (z)| ≤ |f (z0)| para todoz ∈ K, en particular, |f | es acotada en K.

Demostración. Para 1 y 2 ver la carpeta de Análisis I. El punto 3. es “un campo vectorial escontinuo si y solo su sus funciones coordenadas lo son”, y los puntos 4. y 5. son aplicaciones deresultados de Análisis II al campo escalar continuo |f |.

Ejemplo 3.7 La función f(z) = 1/z es continua en C− {0} pues si z = x+ iy entonces

1

z=

x− iy(x+ iy)(x− iy)

=x

x2 + y2+ i

−yx2 + y2

,

y claramente las funciones coordenadas son continuas en R2 − {0}.

3.3. Funciones analíticas, ecuaciones de Cauchy-Riemann

La novedad en C (con respecto al R2 de Análisis II) es que acá podemos dividir. En Análisis II,si teníamos una f (x, y) entonces calculábamos sus derivadas parciales, derivadas direccionales,diferenciales, etc., pero nunca derivada porque la expresión

f ((x, y) + (∆x,∆y))− f (x, y)

(∆x,∆y)

no tenía sentido. Acá sí:

Definición 3.8 Sea f (z) una función definida en un abierto D ⊆ C, y z0 ∈ D. La derivadade f en z0 es

df

dz(z0) = f ′(z0) = lım

∆z→0

f (z0 + ∆z)− f (z0)

∆z,

siempre que tal límite exista. En estas condiciones, diremos que f es derivable en z0. Si f esderivable en todos los puntos de D diremos que f es derivable en D; en tal caso, f ′ es una nuevafunción compleja definida en todo D.

Notar que el límite de la expresión de arriba es un límite del tipo de los de Análisis II, es decir∆z = (∆x,∆y) ∈ R2, y hacemos (∆x,∆y)→ (0, 0) ; lo que es nuevo es que estamos dividiendopor ∆z (y se pide D abierto para poder tomar dicho límite). Otra expresión para la derivada def en z0 es

lımz→z0

f (z)− f (z0)

z − z0,

que se obtiene de la anterior cambiando ∆z por z − z0.


Ejemplo 3.9 f (z) = z2,

f ′(z) = lım∆z→0

(z + ∆z)2 − z2

∆z= lım

∆z→0

z2 + 2z∆z + (∆z)2 − z2

∆z= lım

∆z→0(2z + ∆z) = 2z.

Como primer resultado análogo a la teoría de variable real tenemos el siguiente:

Teorema 3.10 Si f es derivable en z0 entonces es continua en z0.

Demostración. Que f sea continua es que lımz→z0

f (z) = f (z0) , que es lo mismo que

lımz→z0

(f (z)− f (z0)) = 0

Pero

lımz→z0

(f (z)− f (z0)) = lımz→z0

[f (z)− f (z0)

z − z0(z − z0)

]= f ′(z0)0 = 0, listo.

No todas las funciones continuas son derivables, por ejemplo la función f (z) = z es continuaen todo C y no es derivable en ningún punto.

En el siguiente teorema recopilamos más propiedades análogas a la teoría de variable real:

Teorema 3.11 Sean f, g funciones complejas derivables en z0, entonces:

1. f + g es derivable en z0 y (f + g)′ (z0) = f ′(z0) + g′(z0).

2. fg es derivable en z0 y (fg)′ (z0) = f ′(z0)g (z0) + f (z0) g′(z0).

3. Si g(z0) 6= 0 entonces f/g es derivable en z0 y (f/g)′ (z0) = f ′(z0)g(z0)−f(z0)g′(z0)g(z0)2 .

4. Si h es una función compleja derivable en f (z0) entonces (h ◦ f) es derivable en z0 y(h ◦ f)′ (z0) = h′(f (z0))f ′(z0).

5. La derivada de las funciones constantes es cero.

6. La derivada de zn es nzn−1, con n ∈ N.

Demostración. Ejercicio, ver la carpeta de Análisis I y copiar, todas las demostraciones hechasahí deberían funcionar por tener C las mismas propiedades de cuerpo que R. Hay otro caminopara hacerlo, que se verá más adelante (reduciendo las propiedades a parte real e imaginaria).

El hecho de que una función compleja sea derivable es muy fuerte, es decir, le estamospidiendo a la función que cumpla algo medio difícil de cumplir porque el límite de la definiciónde derivada debe existir (como todo límite) haciendo ∆z → 0 “por todos los caminos”. Vamosa usar esto para encontrar condiciones para que una función sea derivable.

Para esto, tomamos una función f = u+ iv que sea derivable en z = x+ iy, entonces

f ′(z) = lım∆z→0

f (z + ∆z)− f (z)

∆z= lım

(∆x,∆y)→(0,0)

f ((x, y) + (∆x,∆y))− f (x, y)

∆x+ i∆y=

= lım(∆x,∆y)→(0,0)

u (x+ ∆x, y + ∆y)− u (x, y) + i [v (x+ ∆x, y + ∆y)− v (x, y)]

∆x+ i∆y.


Ahora, haciendo ∆z real, o sea haciendo ∆y = 0 (o sea haciendo que ∆z tienda a cero por eleje x del plano), queda

f ′(z) = lım∆x→0

u (x+ ∆x, y)− u (x, y) + i [v (x+ ∆x, y)− v (x, y)]

∆x=

= lım∆x→0

[u (x+ ∆x, y)− u (x, y)

∆x+ i

v (x+ ∆x, y)− v (x, y)

∆x

]=

= ux (x, y) + ivx (x, y) .

Por otro lado, haciendo ∆z imaginario puro (o sea ∆x = 0) queda

f ′(z) = lım∆y→0

u (x, y + ∆y)− u (x, y) + i [v (x, y + ∆y)− v (x, y)]

i∆y=

= lım∆x→0

[u (x, y + ∆y)− u (x, y)

i∆x+ i

v (x, y + ∆y)− v (x, y)

i∆y

]=

=1

iuy (x, y) + vy (x, y) = vy (x, y)− iuy (x, y) .

Es decir, hemos obtenido dos expresiones para f ′(z), que obviamente deben ser iguales. Estolleva a concluir que

ux (x, y) + ivx (x, y) = vy (x, y)− iuy (x, y)

o lo que es lo mismo,

ux = vy

uy = −vxEstas son ecuaciones muy famosas e importantes, y se llamas las ecuaciones de Cauchy-Riemann (C-R para nosotros, de ahora en más). Con las cuentas de arriba hemos probado elsiguiente teorema:

Teorema 3.12 Si la función f = u + iv es derivable en z, entonces u y v tienen derivadasparciales en z, y cumplen las ecuaciones de C-R en z.

Seguimos avanzando en la misma dirección: veremos que además u y v son diferenciables.

f ′ (z) ∆z = [ux (z) ∆x− vx (z) ∆y] + i [ux (z) ∆y + vx (z) ∆x] =

= [ux (z) ∆x+ vy (z) ∆y] + i [uy (z) ∆y + vx (z) ∆x] =

= [∇u (z) · (∆x,∆y)] + i [∇v (z) · (∆x,∆y)]

y entonces

0 = lım∆z→0

f(z+∆z)−f(z)−f ′(z)∆z∆z =

= lım∆z→0

[u(z+∆z)−u(z)−[∇u(z)·(∆x,∆y)]

∆z + iv(z+∆z)−v(z)−[∇v(z)·(∆x,∆y)]∆z

]=

= lım(∆x,∆y)→(0,0)

[u(z+∆z)−u(z)−[∇u(z)·(∆x,∆y)]

|∆z| + iv(z+∆z)−v(z)−[∇v(z)·(∆x,∆y)]|∆z|

] |∆z|∆z

= lım(∆x,∆y)→(0,0)

[A (∆z) + iB (∆z)]|∆z|∆z

,


(donde hemos renombrado los términos con A y B). Como∣∣∣ |∆z|∆z

∣∣∣ = 1, eso implica que

lım(∆x,∆y)→(0,0)

[A (∆z) + iB (∆z)] = 0,

por lo tanto cada coordenada tiene límite cero, es decir, u y v son diferenciables en z.La recíproca sale leyendo al revés: supongamos que u y v son dos funciones diferenciables

(cualquiera) y que cumplen las ecuaciones entonces si llamo f = u+ iv, w = ux+ ivx, luego (conla misma notación)

lım(∆x,∆y)→(0,0)

[A (∆z) + iB (∆z)] = 0,

y entonces (leyendo toda la cuenta al revés) llegamos a

0 = lım∆z→0

f (z + ∆z)− f (z)− w∆z

∆z,

es decir, f es derivable y z y f ′(z) = w. Hemos probado el siguiente teorema:

Teorema 3.13 f : Dab → C una función, f = u + iv, entonces f es derivable en z ∈ D siy solo si u y v son diferenciables en z, y cumplen las ecuaciones de Cauchy Riemann en z.Además, en tal caso se tiene que

f ′ =∂u

∂x+ i

∂v

∂x=∂v

∂y− i∂u

∂y.

Ejemplo 3.14 1. f (z) = f (x+ iy) = ex cos y+ iex sin y = u (x, y) + iv (x, y) es una funcióncompleja definida en todo el plano complejo, las funciones coordenadas tienen derivadasparciales continuas en todo el plano, y

ux (x, y) = ex cos y, vy (x, y) = ex cos y,

uy (x, y) = −ex sin y, vx (x, y) = ex sin y,

es decir se cumplen las ecuaciones de C-R, o sea f es una función derivable en todo elplano.

2. f (z) = f (x+ iy) = x + ia, con a un número real fijo, no es derivable en ningún punto,ejercicio.

En variable compleja no nos interesan las funciones que sean derivables en un punto, sinolas que son derivables en conjuntos abiertos. Hemos llegado a un punto muy interesante de lamateria, donde vamos a formular una definición muy importante y que nos va a acompañar porel resto de estas notas:

Definición 3.15 Si f (z) es una función compleja derivable en un conjunto abierto D diremosque f es analítica en D (o sea las funciones son analíticas en conjuntos abiertos). La expresión“f es analítica en z0”significará que f está definida y es derivable en todo un entorno de z0.

El siguiente es una reformulación del teorema anterior:


Teorema 3.16 f : Dab → C una función, f = u+ iv, entonces f es analítica en D si y solosi u y v son diferenciable en D y cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en D. Además,en tal caso, se tiene que

f ′ =∂u

∂x+ i

∂v

∂x=∂v

∂y− i∂u

∂y.

Ejemplo 3.17 1. f (z) = z2 es analítica en todo C.

2. f (z) = ex (cos y + i sin y) es analítica en todo C.

3. f (z) = 1z es analítica en C− {0} .

4. f (z) = z no es analítica en ningún abierto de C.

Un poco más adelante (Teorema 5.28) veremos que si f es analítica en D entonces f ′ tambiénes analítica en D, y por lo tanto f ′′ también, etc. Es decir, una función compleja que tiene deriva-da (en algún abierto), tiene necesariamente derivadas de todos los órdenes en dicho abierto, yentonces sus funciones coordenadas tienen derivadas parciales de todos los órdenes, en partic-ular, derivadas parciales continuas. Una forma de ver esta última afirmación es la siguiente: sif = u + iv entonces f ′ = ux + ivx = uy − ivy, por lo tanto, si existe f ′′ entonces ux, vx, uy, yvy son todas diferenciables, en particular continuas, y entonces u, v son funciones diferenciablescon derivadas parciales continuas. Siguiendo con el mismo razonamiento, llegamos a que u y vtienen infinitas derivadas continuas. Antes de seguir derivando, una definición:

Definición 3.18 Una función ϕ : D ⊆ R2 → R definida y con derivadas parciales segundascontinuas en un abierto D se dice armónica si satisface la ecuación de Laplace

∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂2y= 0.

Si f = u + iv es analítica en D, ya anticipamos arriba que f tiene derivadas de todos losordenes, entonces las funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas de todos losordenes. Con esto, podemos seguir derivando las ecuaciones de C-R para obtener:

Teorema 3.19 Las partes real e imaginaria de un función analítica son armónicas.

Demostración. Si f = u+ iv es analítica, entonces

ux = vy

uy = −vx

Derivando la 1er ecuación respecto de x y la segunda respecto de y, obtenemos

uxx = vxy

uyy = −vyx

Pero como las derivadas parciales segundas son continuas, entonces vxy = vyx, y entonces uxx =−uyy. De manera análoga se ve que v es armónica.


Una pregunta que uno se hace inmediatamente es: si u y v son funciones armónicas, ¿esf = u+ iv analítica?. La respuesta de esta es bien fácil, y es no, por ejemplo tomar u (x, y) = x,v (x, y) = 3. La segunda pregunta es: si tengo una función u (x, y) armónica en un abierto D,¿existe alguna función armónica v en D tal que la función f = u + iv sea analítica en D?.

En algunos casos no (por ejemplo u (x, y) = ln(√

x2 + y2)en C−{0} , como veremos más

adelante), pero en otros casos si. Cuando tal v existe se llama una armónica conjugada deu. Notar que no hay una única armónica conjugada: si v es armónica conjugada de u entoncesv + c también lo es, donde c es un número complejo cualquiera. Tenemos el siguiente resultado(parcial, ver Corolario 5.25 ) sobre existencia de funciones armónicas conjugadas:

Teorema 3.20 Sea D = C ó D = bola centrada en (0, 0), y u una función armónica en D,entonces u tiene una armónica conjugada en D.

Demostración. Proponemos como v a la función

v (x, y) =

∫ y

0ux (x, t) dt+ ϕ (x) ,

donde ϕ es una función real de variable real desconocida, que vamos a elegir para que u y vcumplan las ecuaciones de C-R. Calculamos vx (usando la regla de Leibnitz), y usamos que u esarmónica:

vx (x, y) =

∫ y

0uxx (x, t) dt+ ϕ′ (x) =

∫ y

0−uyy (x, t) dt+ ϕ′ (x) =

= −uy (x, t)∣∣∣t=yt=0

+ ϕ′ (x) = −uy (x, y) + uy (x, 0) + ϕ′ (x) ,

como queremos vx = −uy, elegimos ϕ′ (x) = −uy (x, 0) , es decir,

ϕ (x) = −∫ x

0uy (t, 0) dt,

y es fácil verificar que la función

v (x, y) =

∫ y

0ux (x, t) dt−

∫ x

0uy (t, 0) dt

satisface vy = ux, o sea listo.Como una herramienta práctica, terminamos la sección con el siguiente:

Teorema 3.21 (Regla de L’Hospital) Si f, g son funciones derivables en z0, f (z0) = g (z0) =0, y g′ (z0) 6= 0, y existe

lımz→z0

f ′ (z)

g′ (z),

entonces

lımz→z0

f (z)

g (z)= lım

z→z0

f ′ (z)

g′ (z).


Demostración.

lımz→z0

f (z)

g (z)= lım

z→z0

f (z)− f (z0)

g (z)− g (z0)= lım

z→z0

[f (z)− f (z0)] / (z − z0)

[g (z)− g (z0)] / (z − z0)=

=lımz→z0 [f (z)− f (z0)] / (z − z0)

lımz→z0 [g (z)− g (z0)] / (z − z0)=f ′ (z0)

g′ (z0)= lım

z→z0

f ′ (z)

g′ (z),

donde el último igual vale pues f ′ y g′ son continuas en z0 (según lo anticipado son analíticasen z0).

3.4. Ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares

Muchas funciones complejas quedan más lindas cuando se expresa la variable en coordenadaspolares. Por ejemplo, vimos que todo número complejo z = rcis (θ) tiene n raíces n-ésimas. Sifijamos el argumento principal, entonces una de esas raíces es la función

f (z) = n√rcis

(θ

n

),

pero no sabemos si es analítica o no. Para contestar este tipo de preguntas vamos a ver comoquedan las ecuaciones de C-R expresadas en coordenadas polares. Si f (x+ iy) = u (x, y) +iv (x, y) es analítica, x = r cos θ, y = r sin θ, entonces por la regla de la cadena de Análisis IItenemos

ur = uxxr + uyyr = ux cos θ + uy sin θ

uθ = uxxθ + uyyθ = −uxr sin θ + uyr cos θ.

Análogamente, y usando C-R obtenemos

vr = vx cos θ + vy sin θ = −uy cos θ + ux sin θ

vθ = −vxr sin θ + vyr cos θ = uyr sin θ + uxr cos θ.

Comparando estas ecuaciones con las de arriba obtenemos

ur =1

rvθ

1

ruθ = −vr

que son las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares. ¿Donde valen lascuentas hechas? Necesitamos que la transformación de coordenadas T (r, θ) = (r cos θ, r sin θ) seacontinuamente diferenciable e invertible, lo cual se logra tomando 0 < r < ∞ y θ en cualquierintervalo abierto de amplitud menor o igual a 2π. En el fondo lo que estamos haciendo eslo siguiente: si fp = up + ivp es nuestra función en coordenadas polares, entonces fp (r, θ) =f (T (r, θ)) . Diferenciando y aplicando la regla de la cadena se obtiene

dfp (r, θ) = df (x, y) dT (r, θ) ,


o sea (ur uθvr vθ

)=

(ux uyvx vy

)(cos θ −r sin θsin θ r cos θ

),

y lo que hicimos fue despejar ur, uθ, vr, vθ. Análogamente (invirtiendo la matriz de dT ) se ve quesi fp cumple las ecuaciones de C-R en coordenadas polares entonces ux, uy, vx, vy (existen, soncontinuas y ) cumplen las ecuaciones de C-R “usuales”. Más explícitamente (y manteniendo lanotación): las relaciones u = up

(T−1

)y v = vp

(T−1

)muestras que si up y vp son diferenciables

como función de (r, θ) en (r0, θ0), entonces u y v son diferenciables en r0cis (θ0), y si up y vpcumplen C-R en polares en (r0, θ0), entonces u y v cumplen C-R en r0cis (θ0). Todo lo hechonos permite expresar cierto teorema anterior en coordenadas polares:

Teorema 3.22 Si f (z) es una función tal que f (rcis (θ)) = u (r, θ) + iv (r, θ) , (r, θ) ∈ Dab ⊆R2. Entonces f es derivable en z0 = r0cis (θ0) si y solo si u y v son diferenciables en (r0, θ0)(como funciones de r y θ) y cumplen las ecuaciones de C-R en coordenadas polares

ur =1

rvθ y

1

ruθ = −vr

en (r0, θ0) (notar que el dominio de f es {z ∈ C : z = rcis (θ) , con (r, θ) ∈ D}; la hipótesis Dabierto es fundamental).

Ejemplo 3.23 Si f (rcis (θ)) = ln (r) + iθ = u (r, θ) + iv (r, θ), con (r, θ) ∈ (0,∞)× (−π, π) (esdecir, si z = rcis (θ) entonces z ∈ C−{x ∈ R : x ≤ 0}, y f (z) = ln (|z|) + iθ (z) , donde θ (z) esel argumento principal de z). Es inmediato que u y v son diferenciables en (0,∞)× (−π, π) , y

ur (r, θ) =1

r, vθ (r, θ) = 1,

uθ (r, θ) = vr (r, θ) = 0,

con lo cual podemos decir que f es analítica en C− {x ∈ R : x ≤ 0}. Sin embargo, notar que eldominio de f es (se puede extender hasta) C − {0} (tomando (r, θ) ∈ (0,∞) × (−π, π]), perof no es ni siquiera continua en los puntos de la forma z = rcis (π), pues como v debe asignarel argumento principal a cada número complejo, al movernos ligeramente hacia abajo desde unpunto de la forma rcis (π), los valores de v “saltan”violentamente de π a −π.

Ejemplo 3.24 Consideremos la función f (rcis (θ)) = n√rcis

(θn

), con (r, θ) ∈ (0,∞)× (−π, π)

(es decir, si z = rcis (θ) entonces z ∈ C − {x ∈ R : x ≤ 0}), de la cual estuvimos hablando alcomienzo de esta sección. Expresada como suma de parte real e imaginaria queda

f (rcis (θ)) = n√r cos (θ/n) + i n n

√r sin (θ/n) = u (r, θ) + iv (r, θ) .

Claramente u y v son diferenciables en (0,∞)× (−π, π), y

ur (r, θ) =1

nr

1n−1 cos

(θ

n

)=

1

n

1

rr

1n cos

(θ

n

)uθ (r, θ) = −r

1n sin

(θ

n

)1

n

vr (r, θ) =1

nr

1n−1 sin

(θ

n

)=

1

n

1

rr

1n sin

(θ

n

)vθ (r, θ) = r

1n cos

(θ

n

)1

n


que satisfacen las ecuaciones de C-R en coordenadas polares en (0,∞)×(−π, π), es decir, nuestrafunción es analítica en C− {x ∈ R : x ≤ 0} (todavía no sabemos cual es su derivada).

Notar que el dominio de f es C (basta con tomar (r, θ) ∈ [0,∞)× (−π, π]), pero f no es nisiquiera continua en {x ∈ R : x ≤ 0}.

Observación 3.25 No hay que confundir el hecho de que cada número distinto de cero tienen raíces n-ésimas con una función raíz, n-ésima. Por ejemplo g (z) =

√|z|cis

(α(z)

2

), α (z) =

argumento de z en [0, 2π), es una función tal que g2 (z) = z, y discontinua en {z : Re (z) > 0}(pero analítica en el resto del plano), y g (z) =

√|z|cis

(θ2

), θ ∈ [−π, π) es una función tal que

g2 (z) = z discontinua en {z : Re (z) < 0} . Es decir, no esperar n funciones analíticas definidasen C−{0} que nos de c/u de las n raíces n-ésimas de cada número complejo.

3.5. Funciones elementales

En esta sección estudiaremos la extención al plano complejo de las funciones trascendentes.

3.5.1. La función exponencialUna de las virtudes de la pocas funciones analíticas que conocemos es que siguen teniendo

muchas propiedades que tienen sus equivalentes reales. Por ejemplo, la función

f (z) = z2

extiende a la función real f (x) = x2 (extiende en el sentido de que si en la de arriba ponemosun complejo z con parte imaginaria nula nos da lo mismo que en la de abajo), es derivable, ysu derivada es la función f ′(z) = 2z (igual que su contraparte real). Queremos definir ahora lafunción exponencial exp (z) de la misma manera, o sea de modo que extienda la conocida ex ytenga sus propiedades. Específicamente, queremos que

(a) exp (z) sea analítica y que su derivada sea ella misma, o sea ddz exp (z) = exp (z) .

(b) exp (z) debe ser exactamente ex cuando Im (z) = 0.

Pongamos exp (z) = u + iv, y tratemos de encontrar u y v. De cierto teorema anterior(Teorema 3.16) sabemos que

d

dzexp (z) = ux + ivx,

así que para satisfacer (a) debemos tener ux + ivx = u+ iv, o sea

ux = u, (3.1)

yvx = v (3.2)

La ecuación (3.1) implica que u (x, y) = φ (y) ex (resolviendo para cada y fijo), donde φ tienederivada de todos los ordenes (esto pues queremos exp (z) analítica y ya hemos anticipado que


las funciones analíticas tienen infinitas derivadas). Usando (3.2) y que u y v deben satisfacerC-R, concluimos que

uy (x, y) = −v (x, y) , (3.3)

Puesto que u es armónica concluimos

uxx = φ (y) ex = −uyy = −φ′′ (y) ex, es decir φ (y) + φ′′ (y) = 0.

Resolviendo la ecuación diferencial queda

φ (y) = A cos y +B sin y,

y entonces usando (3.3) tenemos que

u (x, y) = ex (A cos y +B sin y) , v (x, y) = ex (A sin y −B cos y) ,

o seaexp (z) = ex (A cos y +B sin y) + iex (A sin y −B cos y) .

Por último, haciendo y = 0, y usando la condición (b) llegamos a

ex = ex (A− iB) , ⇒ (A− iB) = 1, ⇒ A = 1, B = 0,

o sea,exp (z) = ex (cos y + i sin y) = excis (y) (!!)

.

Definición 3.26 Para todo número complejo z = x+iy, se define la exponencial compleja como

exp (z) = excis (y) = eRe(z)cis (Im (z)) = ez.

Queda como ejercicio verificar que esta función, así definida, cumple las condiciones (a) y (b)(Notar que no sabemos eso, que supusimos que cumplir eso para ver como debía ser). La notaciónez se utiliza en correspondencia con el caso real.

La función exponencial tiene las siguientes propiedades:

1. |ez| = |excis (y)| = ex = eRe(z); esto implica que ez 6= 0 para todo z ∈ C.

2. arg (ez) = arg (excis (y)) = y = Im (z) .

3. ez es periódica de período 2πi: ez+2πi = ex+iy+2πi = excis (y + 2π) = excis (y) = ez.

4. Como eiθ = cis (θ) , todo número complejo z = rcis (θ) es z = reiθ, y esa es la notaciónque vamos a usar de ahora en más.

5. ez+w = e(x+iy)+(a+ib) = e(x+a)+i(y+b) = e(x+a)ei(y+b) = exeaeiyeib = ezew, donde la tercerigualdad vales pues cis(y + b) = cis(y)cis(b).


3.5.2. Función logaritmoAhora que tenemos ez queremos una función que invierta su acción, o sea que si

z = ew, (3.4)

el logaritmo de z debería ser w (eso equivale a “despejar” la w de la ecuación 3.4). Notar quenecesariamente z debe ser distinto de cero.

Pongamos w = x+ iy y z = reiθ, y busquemos w: la ecuación (3.4) queda

reiθ = ex+iy = exeiy,

y este último es un número complejo expresado en coordenadas polares. Igualando el módulo yel argumento queda

r = ex y θ = y + 2kπ, con k ∈ Z,

y entonces

x = ln (r) = ln |z| y y = θ + 2kπ = arg (z) , con k ∈ Z,

o seaw = ln |z|+ i arg (z)

(con arg (z) estamos denotando todos los argumentos de z). Es decir, hay infinitos w quecumplen la ecuación (4), o sea todo número complejo no nulo tiene infinitos logaritmos. Sifijamos un argumento, o sea si fijamos una banda de ancho 2π, todo complejo no nulo tieneun único logaritmo cuya parte imaginaria está en esa banda. Cuando el argumento fijado es elprincipal, la función que se obtiene se denota log (z) = ln |z|+iθ (z) y se llama la rama principaldel logaritmo (θ (z) acá esta denotando el argumento principal de z). Otra función logaritmoL (z) se obtiene fijando el argumento en el intervalo [0, 2π), y es una función definitivamentedistinta de log pues log (−2i) = ln (2) − i1

2π y L (−2i) = ln (2) + i32π, y ambas son funciones

logaritmo en el sentido de que elog(−2i) = eL(−2i) = −2i.

Definición 3.27 Sea D ⊆ C un conjunto abierto y f : D → C una función continua talque ef(z) = z ∀ z ∈ D, entonces f se llama una rama del logaritmo en D (notar quenecesariamente 0 /∈ D).

La rama principal del logaritmo es una rama del logaritmo en C−{x ∈ R tq: x ≤ 0} pueses continua en tal conjunto (ejercicio) y elog(z) = z para todo z en ese conjunto. Lo que nosabemos es si es analítica, eso lo contesta el siguiente teorema:

Teorema 3.28 Las ramas del logaritmo son analíticas, más aún, si f : D → C es una ramadel logaritmo, entonces f ′(z) = 1

z para todo z en D.

Demostración. Tomamos z0 fijo en D y ∆z 6= 0 chico de modo que z0 + ∆z esté incluido enD (se puede porque D es abierto). Como

ef(z0+∆z) = z0 + ∆z y ef(z0) = z0,


tenemos que f (z0 + ∆z) 6= f (z0) (¿por qué?), y entonces se puede dividir por f (z0 + ∆z) −f (z0) . Entonces

1 =z0 + ∆z − z0

∆z=ef(z0+∆z) − ef(z0)

∆z=

ef(z0+∆z) − ef(z0)

f (z0 + ∆z)− f (z0)

f (z0 + ∆z)− f (z0)

∆z. (3.5)

Como f es continua,lım

∆z→0f (z0 + ∆z) = f (z0) ,

y entonces

lım∆z→0

ef(z0+∆z) − ef(z0)

f (z0 + ∆z)− f (z0)= lım

w→f(z0)

ew − ef(z0)

w − f (z0)=

d

dzez∣∣∣∣f(z0)

= ef(z0) = z0.

Como además lım∆z→0

1 = 1, tenemos que dos de los factores de (3.5) tiene límite y tal límite es

no nulo (recordar que dijimos que 0 /∈ D), por lo tanto tomando lım∆z→0 en (3.5) queda

1 = z0 lım∆z→0

f (z0 + ∆z)− f (z0)

∆z= z0f

′(z0),

es decir f ′(z0) = 1/z0, listo.

Ejercicio 3.29 Verificar que la rama principal del logaritmo es analítica en C−{x ∈ R : x ≤ 0}usando las ecuaciones de C-R en coordenadas polares.

Observación 3.30 Si L (z) = ln (|z|) + iα (z) es una rama del logaritmo en algún abierto D(donde α (z) es un argumento de z), entonces es continua y por lo tanto la función α (z) loes. Si θ (z) es el argumento principal de z, entonces α (z) = θ (z) + 2k (z)π (donde k (z) es unentero que depende de z). Pero entonces k (z) = (α (z)− θ (z)) /2π es una función continua yque toma valores enteros, y por lo tanto es constante sobre conexos (pensar!). En particular,es constante en D si este es conexo.

3.5.3. Potencia generalAhora que tenemos exponencial y ramas del logaritmo, podemos definir potencias complejas

en general. Si z 6= 0 y c es un número complejo, definimos

zc = ecLn(z),

donde Ln es alguna rama del logaritmo en algún abierto D. O sea que en general parece que vaa haber muchas zc (como por ejemplo había muchas raíces n-ésimas). Cuando tomamos la ramaprincipal del logaritmo, nos queda la función f (z) = ec log(z), que se llama la rama principalde zc.

Esta nueva definición nos trae algunos problemas, por ejemplo nosotros ya teníamos definidozn cuando n era un número natural, y había un solo zn, veamos qué pasa con esta nuevadefinición: pongamos z = reiθ con θ el argumento principal, entonces

znnueva def

↓= enLn(z) = en(ln(r)+i arg(z)) = en(ln(r)+iθ+i2kπ) = en ln(r)einθ

1︷︸︸︷ei2nkπ = rneinθ

vieja def↓= zn,


es decir, por más que usemos cualquier rama del logaritmo siempre nos da nuestro viejo zn (alo largo del razonamiento anterior y de los siguientes, k denotará un entero que depende de larama del logaritmo que tomemos).

Una situación análoga se da cuando c = −n con n ∈ N: la misma cuenta de arriba muestraque

z−n = r−ne−inθ

cualquiera sea la rama del logaritmo que usemos. Como zn = rneiθ se tiene que znz−n =rneiθr−ne−inθ = 1, es decir que z−n debe ser el único inverso multiplicativo de zn, es decirz−n = 1/zn (ojo, no teníamos definido de ninguna manera la cantidad z−n).

Por último, veamos qué pasa cuando c = 1n con n ∈ N: nos gustaría que z

1/n sea una raízn-ésima de z, o sea en este caso la nueva definición debería darnos n valores distintos. La cuentade arriba con 1/n en lugar de n es

z1/nnueva def

↓= e

1nLn(z) = e

1n

(ln(r)+i arg(z)) = e1n

(ln(r)+iθ+i2kπ) = eln(r)/nei(θ+2kπ)/n = n√rcis(θ + 2kπ

n

),

es decir, nos da las n raíces n-ésimas de z.

Todavía no hemos dicho nada sobre la derivabilidad de las ramas de zc (en realidad yahabíamos visto que las funciones “raíces n-ésimas”son analíticas con C-R en polares): sea Lnuna rama del logaritmo en D, entonces sabemos que dLn

dz (z) = 1z , así que usando la regla de la

cadena tenemos

d

dz

(ecLn(z)

)= ecLn(z) c

z= ecLn(z)cz−1 = ecLn(z)ce−Ln(z) = ce(c−1)Ln(z)

pues vimos que para calcular z−1 se puede usar cualquier rama del logaritmo. Entonces quedoque si tenemos una rama de zc, su derivada es czc−1, donde la potencia zc−1 es la misma ramade la potencia de zc.

3.5.4. Funciones trigonométricas e hiperbólicasTomemos y un número real. A partir de las expresiones

eiy = cos (y) + i sin (y) ,

e−iy = cos (−y) + i sin (−y) = cos (y)− i sin (y) ,

se despeja

cos (y) =eiy + e−iy

2, y

sin (y) =eiy − e−iy

2i.

Teniendo en cuenta que las expresiones de la derecha tienen sentido si cambio y por un númerocomplejo z, y las ganas de extender funciones que tenemos, vamos a definir

cos (z) =eiz + e−iz

2, y sin (z) =

eiz − e−iz2i

∀ z ∈ C.


La cuenta hecha arriba muestra que estas definiciones extienden nuestras viejas y conocidasfunciones trigonométricas reales. También definimos

tan (z) =sin (z)

cos (z), sec (z) =

1

cos (z)

donde cos (z) no se anule, y

cosh (z) =ez + e−z

2, sinh (z) =

ez − e−z2

.

Todas estas funciones complejas extienden a sus contrapartes reales conocidas (extiendeen el sentido de que si pongo un complejo z con parte imaginaria nula en las expresiones, elresultado es el mismo que se obtiene al usar las funciones de variable real). Tenemos las siguientespropiedades:

1. Como ez es analítica en todo C, sin, cos, sinh, y cosh también lo son, y tan y sec sonanalíticas donde cos (z) 6= 0. Encontremos esos puntos: cos (z) = 0 ⇐⇒ eiz + e−iz =0⇐⇒ eiz = −e−iz, multiplicando ambos lados de esta última igualdad por eiz obtenemoscos (z) = 0⇐⇒ e2iz = −1. Si z = x+ iy, esto es

−1 = e2i(x+iy) = e−2yei2x.

Como |−1| = 1 y arg (−1) = π + 2kπ, de la igualdad de arriba se deduce que

2y = 0 y 2x = π + 2kπ,

o seay = 0 y x =

π

2+ kπ,

es decir que los ceros de cos son los puntos de la forma z = π2 + kπ + 0i, donde k es un

número entero, es decir que los ceros de la función compleja cos (z) son los mismos númerosreales que anulan la función real coseno.

2. cos′ (z) = − sin (z) y sin′(z) = cos (z) , estas dos fórmulas se obtienen sencillamentederivando la definición (ejercicio).

3. cos (z) es una función par (cos (z) = cos (−z) ∀ z) y sin (z) es impar, y ambas son periódicasde período 2π (ejercicio).

4. Valen las fórmulas de la suma para el seno y el coseno:

cos (z + w) = cos (z) cos (w)− sin (z) sin (w) ,

sin (z + w) = cos (z) sin (w) + cos (w) sin (z) ,

se ve fácilmente usando la definición (ejercicio).

5. sin2 (z) + cos2 (z) = 1 ∀ z ∈ C, pero sin (z) y cos (z) NO son funciones acotadas en C, esdecir, no existe ningún número M tal que |cos (z)| ≤ M ∀ z ∈ C, y lo mismo pasa consin (z), pues por ejemplo si y es un número real entonces

cos (iy) =eiiy + e−iiy

2=e−y + ey

2= cosh (y) −→

y→∞∞.

Capítulo 4

Mapeos en C

En este capítulo vamos a pensar a las funciones de variable compleja como transformacioneso mapeos de C en C, y vamos a estudiar sus propiedades de esta manera.

4.1. El plano complejo extendido

Cuando trabajamos con números reales, usamos el símbolo ∞ para indicar un objeto (noun número) que es más grande que cualquier número real, y análogamente el símbolo −∞para indicar un objeto que es más chico que cualquier número. Así, la expresión lımx→∞ f (x)significa (informalmente) ver como se comporta f cuando x se hace más y más grande, laexpresión lımx→a f (x) = −∞ significa que f (x) se hace más chico que cualquier número realcuando x se acerca a a, etc., y uno podía imaginarse a ∞ al fondo a la derecha de la recta real,y −∞ al fondo a la izquierda. El problema en C es que tenemos muchas direcciones a partirdel origen (no dos como en R), por lo cual no tiene sentido hablar de ∞ o −∞, pero aún asínecesitamos algún objeto para estudiar “agrandamientos”. Por ejemplo, si z = reiθ entonces1/z = z−1 = 1

re−iθ, entonces uno ve que cuando z → 0 (esto es, cuando r → 0 variando θ de

cualquier manera) 1/z se aleja del origen (tiene módulo 1/r) pero en cualquier dirección. Lasolución de este problema es dictatorial, y consiste en poner un solo objeto que llamaremos ∞,y que servirá para medir alejamientos ilimitados desde el origen. Al agregarle al plano C estenuevo objeto obtenemos lo que se llama el plano complejo extendido que se denota a vecespor C∞. Valen, por definición, las siguientes reglas algebraicas: para todo z ∈ C,

z +∞ =∞+ z =∞.

z/∞ = 0 (notar que aquí z no es ∞ pues z ∈ C).

z · ∞ =∞ · z =∞, si z 6= 0.

107

108 Mapeos en C

z/0 =∞, si z 6= 0.

No tienen sentido expresiones del tipo∞+∞ (mucho menos∞−∞), ni∞/∞ (de hecho,tienen sentido las únicas que pueden obtenerse de manera natural como un proceso delímite).

La forma de visualizar a ∞ es con la famosa esfera de Riemann, con las proyeccionesestereográficas: pensemos a C ⊆ R3 como el plano (x, y) , y dibujemos la esfera de radio 1centrada en el origen. Si trazamos una recta entre el punto N = (1, 0, 0) (en R3) y un punto zdel plano, entonces esa recta corta la esfera en exactamente un punto. Asociando ese punto dela esfera a z, tenemos una correspondencia 1 a 1 entre cada punto del plano y cada punto de laesfera sin N. Notar que al círculo de radio 1 centrado en 0 en C le toca el ecuador de la esfera,a un círculo de radio grande centrado en 0 en C le toca un trópico del polo norte y a un círculode radio chico centrado en 0 en C le toca un trópico del polo sur.

0

N

z

Además (dibujarlo) a cualquier recta por el origen en C le toca un meridiano. Esta identi-ficación nos permite pensar que N = ∞, pues las cosas lejanas al origen en C están cerca deN en la esfera. Así, los entornos de ∞ serán “círculos”abiertos centrados en N en la esfera, esdecir conjuntos de la forma {z ∈ C: |z| > M} vistos en C, y con esto la expresión

lımz→∞

f (z) = `

significará que∀ ε > 0 ∃M > 0 tal que |f (z)− `| < ε si |z| > M,

y la expresiónlımz→z0

f (z) =∞

significará que∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que |f (z)| > M si |z − z0| < δ.

Por último, la expresiónlımz→∞

f (z) =∞

significará que∀M > 0 ∃ R > 0 tal que |f (z)| > M si |z| > R.

Por último, una función f : C∞ → C∞ se dice continua si

lımz→w

f (z) = f (w) ∀ w ∈ C∞.

Ejercicio 4.1 Comparar con las definiciones de límite anteriores y escribir en criollo que sig-nifica cada una. Ver además que lımz→z0 f (z) =∞ si y solo si lımz→z0 1/f (z) = 0.

Mapeos en C 109

4.2. Representación geométrica de funciones complejas

Puesto que las funciones complejas son f : R2 → R2, para poder hacer su gráfica (de maneraanáloga a lo que usualmente se hace para funciones f : R2 → R2) necesitaríamos 4 coordenadasperpendiculares, y solamente tenemos 3 (pues vivimos en un mundo tridimensional). Por estarazón (y por otras) se acostumbra a pensar a las funciones complejas como transformaciones omapeos de un plano complejo en otro, y se estudia como las diferentes funciones “‘transforman”diferentes conjuntos del plano. Una notación que se usa mucho es la siguiente: si tenemos unafunción f : C→C, se pone w = f (z) y se piensa el dominio de f en un plano que se llama“plano z”(pues la variable de f es z) y a la imagen en otro plano que se llama “plano w”(estoes absolutamente análogo a lo que se hace en variable real cuando se llama “eje x”y “eje y”a los ejes coordenados del plano). Esta notación facilita muchas explicaciones, por ejemplo laafirmación “f lleva rectas del plano z en círculos del plano w”significa que la imagen por f decualquier recta es un círculo. Veamos algunos casos para ejemplificar:

Si f (z) = z + z0, con z0 = a + ib, entonces f traslada los puntos según el vector (a, b) ∈R2, pues la suma en C corresponde a la suma usual de R2: si z = x + iy entonces z +z0 = (x+ a, y + b) . Así que la transformación z → z + z0 lo único que hace es trasladarconjuntos.

A

B

C

0 0plano z plano w

w = z+ z0

D

A0C 0

D 0B 0

z0

Esta transformación es inyectiva (es decir, dos puntos distintos tienen imágenes distintas)y sobre (es decir, todo punto del plano w es imagen de un punto del plano z).

f (z) = z2 es más difícil que la anterior. Para comenzar a estudiarla vamos a expresarlaen coordenadas polares: si z = reiθ entonces z2 = r2ei2θ, entonces el módulo queda alcuadrado y el ángulo se multiplica por 2. Así, esta transformación lleva la semirrectadesde el origen

{reiθ0 : r > 0

}sobre otra semirrecta desde el origen

{rei2θ0 : r > 0

}

0 0 0plano w

z

µ

z2

2µ

µ2µ

plano z

w = z2

(cuando decimos sobre queremos enfatizar que la imagen no solo cae sobre la semirrec-ta sino que la cubre totalmente, o sea que todo punto de

{rei2θ0 : r > 0

}es imagen

110 Mapeos en C

de algún punto de{reiθ0 : r > 0

}por la transformación w = z2), el arco de círculo{

reiθ : θ0 < θ < θ1

}sobre el arco de círculo

{r2eiθ : 2θ0 < θ < 2θ1

}, y el sector angular{

reiθ : a < r < b, θ0 < θ < θ1

}sobre el sector angular

{reiθ : a2 < r < b2, 2θ0 < θ < 2θ1

}.

Notar que en este caso, la transformación no es inyectiva pero si sobre

plano wplano z

rr

2

00

w = z2

µ1

µ2

2µ2

2µ1

Veamos como se transforman rectas paralelas a los ejes coordenados: si z = x + iy en-tonces z2 = x2 − y2 + i2xy, y si c 6= 0 la recta {z = x+ iy : x = c} se transforma en{w = u+ iv : u = c2 − y2, v = 2cy

}. Eliminando el parámetro y (que por cierto, toma

todos los valores reales) obtenemos u = c2 − v2

4c2, o sea que la imagen es una parábo-

la con las ramas hacia el eje u negativo y que corta el eje u en el punto c2 (la formade ver que la imagen es toda la parábola es mover el parámetro y en la imagen y asíver que v toma todos los valores reales). Análogamente, si k 6= 0, la imagen de la recta{z = x+ iy : y = k} es

{w = u+ iv : u = x2 − k2, v = 2xk

}, y eliminando el parámetro x

queda u = v2

4k2 −k2, o sea una parábola con las ramas hacia el eje u positivo y que corta eleje u en −k2. Si tomamos dos rectas {z = x+ iy : x = cj} , j = 1, 2, y dos rectas verticales{z = x+ iy : y = kj} , j = 1, 2, se puede ver que el pequeño rectángulo que encierran semapea sobre la región que encierran las cuatro parábolas imagen, por ejemplo, viendo adonde se mapea cada pequeño segmento del cubo.

0

0

w = z2

plano z

plano wc2c1

k2

k1 c2c1k2 k12 2 22

w = z2

f (z) = eiθ0z, con θ0 ∈ R. Esta transformación rota conjuntos en un ángulo θ0, pues siz = reiθ entonces f (z) = eiθ0reiθ = rei(θ+θ0), es decir no se altera el módulo y se suma un

Mapeos en C 111

ángulo fijo al argumento. Esta transformación es inyectiva y sobre.

0

A

B

C

0

lz

0

e ziµ0

plano wplano z

e ziµ0

µ

µ + µ0

A0C 0

B 0

l

w =

µ0

f (z) = r0z, con r0 > 0. Esta transformación “agranda”los conjuntos cuando r > 1 y los“encoge”cuando r < 1, pues si z = reiθ entonces f (z) = r0re

iθ, es decir no se modifica elargumento y se multiplica el módulo. Es una transformación inyectiva y sobre.

0

z

caso < 10

z

r0 z

r0 caso 1>r0

r0 z

f (z) = z0z, con z0 ∈ C. Esta transformación es una combinación de las dos anteriores yse estudia de esa manera, descomponiendo z0 = r0e

iθ0 , y entonces rota los conjuntos enun ángulo θ0 y los agranda o encoge, dependiendo de como sea r0. Es una transformacióninyectiva y sobre.

f (z) = 1/z. Escribiendo z = reiθ se tiene que 1z = 1

re−iθ, es decir, el módulo me queda 1

r yel argumento −θ. Así, f lleva un círculo de radio R centrado en el origen en un circulo deradio 1/R centrado en el origen, los puntos del 1er cuadrante caen siempre en el 4to (símillos del 2do en el 3ro), los puntos de {z : |z| < 1} en {z : |z| > 1} , etc. Es una transformacióninyectiva pero no sobre, pues ningún número complejo satisface 1

z = 0.

µ

0

z

z

0

0

1/

1/

1

1

1

11/z

1/

w = 1/z

plano z

plano w

µ1

µ2r2

r1

r2

r1

µ1

µ2z ¡µ

plano z

112 Mapeos en C

f (z) =√z, donde

√· denota la rama principal de la raíz cuadrada. Si z = reiθ entonces√

z =√reiθ/2, es decir, se divide el argumento por 2 y se radica el módulo. El problema

con esta función es que hay que tener un ojo bárbaro con el argumento: como tomamosel argumento principal (−π < θ ≤ π), una pequeña región angular que incluya puntosdel eje real negativo será transformada en dos pequeñas regiones, una en el 1er cuadrantee incluyendo un pequeño segmento del eje y, y otra en el 4to cuadrante, que no incluyeningún punto del eje y. Esta transformación no es sobre (transforma todo el plano en unsemiplano más un semieje) y es inyectiva.

µ

µ/2

w =

0

0 0

z

z√

z√

plano z plano w

f (z) = ez. Si z = x+ iy entonces ez = exeiy, entonces ex es el módulo e y el argumento deez (es decir que nos conviene dibujar en coordenadas cartesianas el dominio y en polares laimagen). Así, la recta {z : Re (z) = c} se transforma sobre

{z : z = eceiy, y ∈ R

}, es decir,

un círculo de radio ec (pero notar que no es inyectiva, sino que la imagen de cualquiersegmento {z : Re (z) = c, a < Im (z) ≤ a+ 2π} es todo el círculo). Análogamente, la recta{z : Im (z) = k} se transforma sobre

{z : z = exeik, x ∈ R

}, es decir una semirrecta desde

el origen con argumento constante k. Si tomamos dos rectas {z = x+ iy : x = cj} , j =1, 2, y dos rectas verticales {z = x+ iy : y = kj} , j = 1, 2, se puede ver que el pequeñorectángulo que encierran se mapea sobre el sector angular que queda entre los dos círculosy los dos radios. Por último, notar que la transformación se “repite”, es decir, si D ⊆ Cy D′ = {z + 2πi : z ∈ D} entonces ambos conjuntos son mapeados a la misma imagen, ycualquier banda {z : a < Im (z) ≤ a+ 2π} es mapeada de manera inyectiva sobre C−{0} .

plano z

c2c1

k2

k1

w =

A0

B 0 k2

k1

c1e

ez

c2e

0

A

B0

plano w

f (z) = log (z) (la rama principal del logaritmo). En este caso es más fácil expresarel dominio en coordenadas polares y la imagen en coordenadas cartesianas, ya que siz = reiθ entonces log (z) = ln (r) + iθ. Así, el círculo {z : |z| = R} se mapea sobre{z : z = ln (R) + iθ, −π < θ ≤ π} , es decir un segmento vertical de longitud 2π y parte real

Mapeos en C 113

constante igual a ln (R) , y la semirrecta {z : arg (z) = θ0} sobre {z : z = ln (r) + iθ0, 0 < r} ,o sea la recta {z : Im (z) = θ0} . Una propiedad muy útil es que log mapea el semi-plano {z : Im (z) ≥ 0} en la franja {z : 0 ≤ Im (z) ≤ π} . Con esta transformación tam-bién tenemos que tener cuidado con los argumentos (como con

√·): log lleva el eje re-

al negativo en la recta {z : Im (z) = π} , y el semiplano {z : Re (z) < 0} en las franjas{z : π2 < Im (z) ≤ π

}∪{z : −π < Im (z) < −π

2

}

B

A

00 ln( )

log(z)

µ1

µ0

µ1

µ0

plano z plano w

r0

r1

r0 r1

A0

B 0

¼¡

¼

4.3. Mapeo conforme, curvas en C

En los ejemplos anteriores no hemos usado ningún conocimiento sobre analiticidad paraestudiar las funciones analíticas como mapeos, solo usamos su definición e hicimos cuentas.Ahora bien, el estudio detallado de los ejemplos muestra lo siguiente: en algunos casos, lasfunciones llevan curvas que se cortan en cierto ángulo en curvas que se cortan en el mismoángulo (f (z) = z + b, f (z) = ez) y en otros casos no (f (z) = z2, tomando dos rectas por elorigen). Vamos a ver bajo qué condiciones podemos asegurar que los ángulos se preservan, ypara eso hace falta otro repasín de Análisis II:

Definición 4.2 Una función γ : [a, b] → R2(= C), γ (t) = (x (t) , y (t)) = x (t) + iy (t) es uncamino en C. La imagen C de γ se llama una curva en C, y decimos que γ parametrizala curva C. Notar que no consideramos curvas sin parametrización. Los puntos γ (a) y γ (b) sellaman los extremos de la curva

Observación 4.3 Valen todas las cosas de Análisis II, por ejemplo (enunciadas en términosdel camino γ):

1. γ es continuo sii las funciones coordenadas Re (γ) = x (t) , Im (γ) = y (t) lo son.

2. γ es derivable sii sus funciones coordenadas lo son, y en tal caso γ′(t) = (x′(t), y′(t)) =x′(t) + iy′(t).

114 Mapeos en C

3. γ es continuo por tramos si existe una partición a = t0 < t1 < · · · < tn = b de [a, b] talque γ es continuo en cada intervalo [tj , tj+1] (límites laterales en los bordes).

4. γ es cerrado si es continua y γ(a) = γ(b), y cerrado simple si además es inyectiva en [a, b).

5. γ es suave si γ′ es continuo, y suave por tramos si es continuo y γ′ es continuo por tramos.

6. Si γ′(t) 6= 0 entonces es un vector tangente a C en γ (t) .

7. Cada curva C parametrizada admite dos orientaciones. Si γ : [a, b]→ R2(= C) parametrizaC, entonces γ− (a+ b− t) parametriza C en el sentido opuesto.

En condiciones generales, los resultados que estableceremos no dependen de la parame-trización γ de una curva, aunque si en algunos casos, de la orientación que esta le da (esdecir, la función que parametriza la curva per se no es importante, más allá de la orientaciónque le dé). Por esta razón, muchas veces nos referiremos de manera indistinta a una curva oa su parametrización. Por ejemplo, hablaremos del tangente a C (en lugar del tangente a γ), odiremos que C es cerrada simple (refiriendonos a que tiene una parametrización γ que lo es).

Ejemplo 4.4

1. γ (t) = eit, t ∈ [0, 2π] en un camino que parametriza el círculo unitario centrado en elorigen desde 1 y hasta 1, recorrido en sentido antihorario.

2. γ (t) = e2πit, t ∈ [0, 1] es lo mismo que 1.

3. γ (t) = e2it, t ∈ [0, 2π] es lo mismo que 1, recorrido dos veces.

Lo que tenemos de nuevo acá es que podemos multiplicar y dividir curvas, y componer confunciones analíticas.

Lema 4.5 Si γ (t) y β (t) son caminos suaves por tramos definidos en [a, b] , y z0 ∈ C, entonces(donde existan las derivadas):

1. ddt (γ + β) = γ′ + β′.

2. ddt (γβ) = γ′β + γβ′ (Observar que incluye el caso cγ, con c ∈ C).

3. ddt (γ/β) = γ′β−γβ′

β2 , para todo t donde β (t) 6= 0.

4. Si f (z) es analítica en D y γ (t) ∈ D ∀ t, entonces η (t) = f (γ (t)) es un camino yη′(t) = f ′(γ (t))γ′(t) (Notar que se usan dos conceptos de derivada: el de γ y el de f comofunción de variable compleja).

5. Si ϕ (t) es una función derivable, ϕ : [c, d]→ [a, b] , entonces (γ ◦ ϕ) (t) es un camino conla misma imagen que γ, y (γ ◦ ϕ)′ (t) = γ′(ϕ (t))ϕ′(t) (lo interesante de esto es que ϕ (t)es un número real y ϕ′(t) es una derivada real; ϕ suele llamarse reparametrización).

Mapeos en C 115

Demostración.

1. Análisis II.

2. Descomponemos en parte real e imaginaria: si γ (t) = x (t) + iy (t) y β (t) = a (t) + ib (t)entonces γβ = xa− yb+ i [xb+ ya], y

(γβ)′ = x′a+ xa′ −(y′b+ yb′

)+ i[x′b+ xb′ + y′a+ ya′

]= x′a− y′b+ i

[x′b+ y′a

]+ xa′ − yb′ + i

[xb′ + ya′

]=

(x′ + iy′

)(a+ ib) + (x+ iy)

(a′ + ib′

)= γ′β + γβ′

3. Como (2), ejercicio.

4. Si f (z) = u (x, y)+iv (x, y) y γ (t) = x (t)+iy (t) , entonces η (t) = f (γ (t)) = u (x (t) , y (t))+iv (x (t) , y (t)) . Para derivar, usamos la regla de la cadena de Análisis II (escribiendo comopar ordenado en lugar de notación compleja, de ser necesario para refrescar la memoria):

η′ = uxx′ + uyy

′ + i[vxx′ + vyy

′]= (ux + ivx)x′ + (uy + ivy)y

′

= (ux + ivx)x′ + (−vx + iux)y′

= (ux + ivx)x′ + (ivx + ux)iy′

= (ux + ivx) (x′ + iy′) = f ′(γ)γ′,

donde hemos usado C-R en la tercer igualdad, sacado factor común i en la cuarta, yusado que f es analítica en la quinta (y por lo tanto su derivada se puede calcular comof ′ = ux + ivx).

5. Esta también es de Análisis II, lo que estamos haciendo es multiplicar el número real ϕ′

por el número complejo γ′ (en Análisis II era el producto de un escalar por un vector): siγ (t) = x (t) + iy (t) entonces γ (ϕ (t)) = x (ϕ (t)) + iy (ϕ (t)) , y

d

dtγ (ϕ (t)) = x′ (ϕ (t))ϕ′(t) + iy′(ϕ (t))ϕ′(t)

= γ′(t)ϕ′(t).

Ejemplo 4.6 Sea β (t) = ewt, con w un número complejo, entonces γ es la composición de lafunción f (z) = ez con el camino γ (t) = tw. Puesto que γ′(t) = w (derivando coordenada acoordenada), usando el lema anterior tenemos que β′(t) = wewt.

Supongamos que C es una curva parametrizada por un camino suave γ : [a, b] → C, conγ′(t0) 6= 0 para algún t0 ∈ (a, b) , entonces C tiene vector tangente γ′(t0) en z0 = γ (t0) ,y el ángulo que forma dicho vector con la horizontal es θ0 = arg (γ′(t0)) (con arg estamos

116 Mapeos en C

suponiendo que hemos fijado algún intervalo de la forma (ω0, ω0 + 2π], por ejemplo puede ser larama principal). Supongamos que f (z) es una función analítica en C (o sea en un abierto quecontiene a C) y que f ′ (z0) 6= 0, entonces f transforma C en otra curva Γ parametrizada por elcamino suave β (t) = f (γ (t)) , y por el lema de recién tenemos que el vector tangente a β en t0es

β′(t0) = f ′ (z0) γ′(t0)

y entonces el ángulo que forma dicho vector con la horizontal es

φ0 = arg(β′(t0)

)= arg

(f ′ (z0) γ′(t0)

)= arg

(f ′ (z0)

)+ arg

(γ′(t0)

)= arg

(f ′ (z0)

)+ θ0

es decir, el mismo ángulo que formaba el tangente a C más ψ0 = arg (f ′ (z0)) .

w = f(z)

0

C

0plano z plano w

µ0

° t ( )00

z0

z0

00

f( )

¯ t( )00

¡Á0

Definición 4.7 Si C1 y C2 son dos curvas que se cortan en z0, definimos el ángulo en que secortan las curvas como el ángulo que forman sus respectivos vectores tangentes en z0 (asumiendoque las curvas tengan vector tangente en z0). Notar que si γ1 y γ2 parametrizan a C1 y C2 yγ1 (t0) = γ2 (t0) = z0, entonces dicho ángulo es arg (γ′2 (t0))− arg (γ′1 (t0)) (hacer un dibujo!).

Tomemos ahora dos curvas C1 y C2 que se corten en z0, llamemos θ1 y θ2 el ángulo queforman los respectivos vectores tangentes en z0 con la horizontal, llamemos Γ1 y Γ2 las curvasimágenes de C1 y C2 por f, y φ1 y φ2 el ángulo que forman los respectivos vectores tangentesen f (z0) con la horizontal. Lo hecho recién dice que

φ1 = θ1 + ψ0 y φ2 = θ2 + ψ0

y entoncesφ2 − φ1 = θ2 − θ1

es decir, el ángulo que forman las curvas C1 y C2 en z0 es el mismo (en magnitud y sentido) queel ángulo en que se cortan Γ1 y Γ2 en f (z0)

0 0

C

plano z

z0 1

C2

µ1µ2¡

z0f( )

plano w

¡1

¡2

¡Á2 Á1

w = f(z)

Mapeos en C 117

A este tipo de suceso lo llamaremos conservar ángulos. Las funciones (o transformaciones) deR2 en R2 que conservan ángulos (en sentido y magnitud) se llaman funciones (o transformaciones)conformes; nosotros hemos probado el siguiente teorema:

Teorema 4.8 Si f : D → C es analítica (D abierto en C), entonces f es conforme en todoslos puntos donde f ′(z) 6= 0.

Ejemplo 4.9 f (z) = ez es un mapeo conforme en todo C, ya que su derivada no se anula enningún punto.

0 10 e

¼/2

w = ez

plano z

C1

C2¼/4

¼/2

¼/4

¡2

¡1

plano w

¼/4

Con estos conocimientos, veamos como se comporta geométricamente una función analítica(al menos en un punto donde su derivada no se anula). Si f es analítica en un abierto D, yz0 ∈ D, vamos a ver el efecto de esta función sobre un círculo chico centrado en z0 contenido enD: los ángulos entre líneas radiales se conservan, pero la longitud de las líneas no. Pero como∣∣f ′ (z0)

∣∣ = lımz→z0

|f (z)− f (z0)||z − z0|

entonces para z muy próximo a z0 (o sea si tomamos un circulito muy chiquito) tenemos que

|f (z)− f (z0)| '∣∣f ′ (z0)

∣∣ |z − z0|

(el simbolito ' significa en este caso “muy parecido”), es decir, las líneas radiales (de ecuación|z − z0| = cte) están todas sujetas al mismo cambio de escala |f ′ (z0)| . Dicho de otra manera,círculos chicos alrededor de z0 se transforman sobre casi círculos alrededor de f (z0), con cambiode escala |f ′ (z0)| (es decir, f funciona como un “ampligiro” a nivel infinitesimal: un giro deamplitud θ0 = arg(f ′(z0)) y una amplificación en un factor de |f ′ (z0)|.

z

f z( )

z0f( )

µ

µ

z0

µ0

118 Mapeos en C

Observación 4.10 Si f es analítica y f ′ (z0) 6= 0, entonces f es invertible en un entorno de z0

pues si f = u+ iv, la miro como f : R2 → R2 con u y v con derivadas parciales continuas (puesf es analítica) y la matriz jacobiana de f es

Mf =

(ux uyvx vy

)C-R=

(ux uy−uy ux

)y el determinante jacobiano es, entonces, (ux)2 + (vx)2 . Como f ′ = ux + vx entonces |f ′(z0)|2 =ux (z0)2 + vx (z0)2 6= 0, entonces la matriz Mf (z0) es invertible, y entonces el teorema de lafunción inversa dice que f es invertible en un entorno de z0. Esta situación es local, considerarpor ejemplo f (z) = ez, que es conforme en todo C y no tiene una inversa global.

Dada la importancia que tiene determinar si f ′(z) = 0 ó f ′(z) 6= 0, vale la pena el siguienteteorema (además es una belleza de teorema):

Teorema 4.11 Si f es analítica en un abierto conexo D, entonces cualquiera de las siguientesafirmaciones implica que f es constante en D:

1. f ′(z) = 0 ∀ z ∈ D.

2. Re (f (z)) es constante en D.

3. Im (f (z)) es constante en D.

4. |f (z)| es constante en D.

5. arg (f (z)) es constante en D.

Demostración. Pongamos f = u+ iv.

1. Como f ′(z) = ux (z) + ivx (z) = 0 ∀ z ∈ D, tenemos que ux (z) = vx (z) = 0 ∀ z ∈ D.Análogamente, como f ′(z) = vy (z)− iuy (z) = 0 ∀ z ∈ D, tenemos que uy (z) = vy (z) =0 ∀ z ∈ D, es decir,

ux (z) = vx (z) = uy (z) = vy (z) = 0 ∀z ∈ D.

Utilizando notación vectorial para el gradiente, esto se traduce en

∇u = ∇v = 0 ∀z ∈ D,

de donde resultan u, v (y por tanto f) constantes en D (notar que estamos usando que Des conexo).

2. Si u es constante entonces ux (z) = uy (z) = 0 ∀ z ∈ D, y por C-R tenemos que vx (z) =0 ∀ z ∈ D. Entonces f ′(z) = ux (z) + ivx (z) = 0 ∀ z ∈ D, y la parte (1) dice que f esconstante en D.

3. Símil que (2), ejercicio.

Mapeos en C 119

4. Si |f | es constante entonces |f |2 es constante, es decir u2 +v2 es constante en D. Derivandoy usando C-R tenemos

2uux + 2vvx = 0

2uuy + 2vvy = −2uvx + 2vux = 0

es decir (u vv −u

)(uxvx

)=

(00

)Si u2 + v2 6= 0, este sistema tiene solución única ux = vx = 0, es decir f ′ = 0, y entonces fes constante en D por (1); si u2 + v2 = 0 quiere decir que |f | = 0, y entonces f = 0 en D.

5. Si arg (f (z)) = θ0 ∀ z ∈ D, entonces f (z) = |f (z)| eiθ0 ∀ z ∈ D (lo que estamos haciendoes poner f (z) en coordenadas polares). Llamemos g (z) = e−iθ0f (z) , entonces g es analíticaen D (es una constante por f), y Im (g (z)) = 0 ∀ z ∈ D (pues g = |f |), entonces g esconstante en D (por (3)), o sea f es constante en D.

Observación 4.12 Mirando los puntos 2 a 5 del resultado anterior, notamos lo siguiente: sihubiera un punto z0 ∈ D tal que f ′ (z0) 6= 0, entonces f sería conforme en z0. ConsiderandoC1 = {t+ z0 : 0 < t < ε} y C2 = {it+ z0 : 0 < t < ε} dos curvas perpendiculares en D (tomarε pequeño), verificar que en los casos 2, 3, 4 y 5 las imágenes no pueden ser perpendiculares enf (z0) (ejercicio). En general, y con argumentos similares, se puede probar que si f (D) ⊆ C (unconjunto “flaco”) entonces f debe ser constante.

4.4. Transformaciones biunívocas de C∞

Vamos a ver algunas propiedades geométricas de C∞ que son intuitivas pero difíciles deformalizar.

Teorema 4.13 (de la curva de Jordan) Toda curva cerrada simple divide el plano comple-jo extendido en dos regiones abiertas, una es acotada y simplemente conexa y la otra contienea ∞, siendo la curva la frontera de ambas regiones.

La región que contiene a ∞ se llama exterior de la curva, y la otra se llama interior. Otroteorema de similares característica es el siguiente:

Observación 4.14 Una curva cerrada en C∞ es una función continua γ : [a, b]→ C∞ continuay tal que γ (a) = γ (b). En particular, las rectas son curvas cerradas simples en C∞.

120 Mapeos en C

Teorema 4.15 Si C es una curva cerrada simple en C∞, y β : [a, b] → C∞ es un caminocontinuo con β (a) en el interior de C y β (b) en el exterior de C, entonces β corta a C, es decir,existe c ∈ [a, b] tal que β (c) ∈ C.

CInteriorde C

Exterior de C

C

¯ a( )

¯(b)

¯ c( )

Supongamos que T : C∞ → C∞ es una función (un mapeo) continuo, inyectivo y sobre, esdecir

T (z1) = T (z2)⇒ z1 = z2 y ∀ w ∈ C∞ ∃ z ∈ C∞ tal que T (z) = w

Dicho en criollo, T lleva puntos distintos en puntos distintos y T lleva todo C∞ sobre todoC∞. A este tipo de mapeo se lo llama transformaciones biunívocas de C∞. En general, unaT : D1 → D2 se llama biunívoca de D1 en D2 si es biyectiva. A continuación se desarrollaránalgunos resultados sobre transformaciones biunívocas en C∞; todos ellos pueden extenderse demanera más o menos obvia y elemental a diferente tipos de regiones.

Ejemplo 4.16 1. T (z) = ez no es biunívoca de C∞, pues no es inyectiva (e0 = e2πi) nisobre (ez 6= 0 ∀ z).

2. T (z) = 1z es una transformación biunívoca de C∞, si definimos T (0) =∞ y T (∞) = 0.

Tomemos una transformación biunívoca T, y una curva cerrada simple en C en el plano z.T mapea C sobre una curva cerrada simple Γ en el plano w, pues si γ : [a, b] → C parametrizaC entonces γ (a) = γ (b) , y esos son los dos únicos puntos donde la curva se corta, por lotanto T (γ (t)) parametriza en el plano w la imagen Γ de C por T, y es una curva cerradasimple pues T (γ (a)) = T (γ (b)) , y como T es inyectiva no hay más puntos z1, z2 en C conT (γ (z1)) = T (γ (z2)).

CT(z)

¡

Si T lleva un punto z0 del interior de C en un punto w0 = T (z0) del interior de Γ, entoncesT debe llevar todo el interior de C sobre todo el interior de Γ pues: si z1 esta en el interiorde C y w1 = T (z1) no esta en el interior de Γ, tomo una curva continua en el interior de C queuna z0 con z1 (Jordan dice que puedo pues el interior es conexo), entonces su imagen por T esuna curva continua en el plano w con un extremo en el interior de Γ y el otro en el exterior, y

Mapeos en C 121

entonces debe cortar Γ, y esto es imposible pues los únicos puntos que lleva T sobre Γ son losde C. Todo eso dice que T lleva el interior de C en el interior de Γ, pero además debe cubrirlotodo pues todos los puntos del plano w son alcanzados, y por el mismo razonamiento de recién,ningún punto del exterior de C puede caer en el interior de Γ.

De manera absolutamente análoga, si Si T lleva un punto z0 del exterior de C en un puntow0 = T (z0) del interior de Γ, entonces T debe llevar todo el exterior de C sobre todo elinterior de Γ.

C

z0

z1

T(z)¡

w0 T( )z0=

w1 T( )z1=

4.5. Transformaciones fraccionarias lineales o de Möbius

Así se llaman a las funciones del tipo

T (z) =az + b

cz + d,

donde a, b, c, d son números complejos con ad − bc 6= 0. T esta definida en C−{−dc

}, y es

analítica en dicho conjunto, con

T ′(z) =a (cz + d)− c (az + b)

(cz + d)2 =acz + ad− caz − cb

(cz + d)2 =ad− cb

(cz + d)2 .

Como ad− cb 6= 0 tenemos que además T es conforme en C−{−dc

}, pues T ′(z) 6= 0 ∀ z (notar

que de no haber pedido ad− cb 6= 0 tendríamos T ′(z) = 0 ∀ z, y entonces T sería constante).Como

lımz→−d

c

T (z) =∞,

se define T(−dc

)=∞, y como

lımz→∞

T (z) =a

c,

se define T (∞) = ac . Además T es invertible pues si

w =az + b

cz + d

entonces se puede despejar w:

w (cz + d) = az + b

wcz + wd = az + b

wcz − az = b− wd(cw − a) z = b− wd

z =b− wdcw − a

122 Mapeos en C

(o sea si w = T (z) , necesariamente z = b−wdcw−a). Teniendo en cuenta que

lımw→∞

b− wdcw − a = −d

c, y lım

w→ac

b− wdcw − a =∞

concluimos que T es inyectiva y sobre en C∞, es decir, es una transformación biunívoca de C∞.Notar que todo lo hecho vale para el caso particular c = 0, pues en tal caso a 6= 0 y d 6= 0(¿por que?), por lo cual queda (según nuestra convención) −dc = a

c =∞, y entonces T (∞) =∞.Hemos demostrado el siguiente teorema:

Teorema 4.17 Las transformaciones de Möbius son biunívocas de C∞ sobre C∞, es decir, si

T (z) =az + b

cz + dcon ad− cb 6= 0,

entonces T : C∞ → C∞ es continua, inyectiva y sobre, y es analítica y conforme en C−{−d

c

}.

La inversa de T es

T−1 (z) =−dz + b

cz − a ,

Notar que la inversa de una transformación de Möbius también es una transformación deMöbius, y por lo tanto el teorema anterior también vale para ella.

Otra propiedad importante es que la composición de transformaciones de Möbius da comoresultado otra transformación de Möbius: si T (z) = az+b

cz+d con ad − bc 6= 0, y S (z) = αz+βγz+δ con

αδ − γβ 6= 0, entonces

T (S (z)) =aS (z) + b

cS (z) + d=aαz+βγz+δ + b

cαz+βγz+δ + d=

a(αz+β)+b(γz+δ)γz+δ

c(αz+β)+d(γz+δ)γz+δ

=a (αz + β) + b (γz + δ)

c (αz + β) + d (γz + δ)=

(aα+ bγ) z + (aβ + bδ)

(cα+ dγ) z + (cβ + dδ),

con

(aα+ bγ) (cβ + dδ)− (aβ + bδ) (cα+ dγ) =

=︷︸︸︷aαcβ+aαdδ + bγcβ + bγdδ︸︷︷︸− ︷︸︸︷aβcα−aβdγ − bδcα− bδdγ︸︷︷︸

= aαdδ + bγcβ − aβdγ − bδcα =

(ad− cb) (δα− γβ) 6= 0

pues ambos factores son distintos de cero.

Hay transformaciones de Möbius que son particularmente sencillas y tienen nombre:

Si T (z) = z + b, con b ∈ C, entonces T se llama traslación.

si T (z) = bz, con b ∈ C, entonces T se llama dilatación.

si T (z) = 1/z, entonces T se llama inversión.

Mapeos en C 123

si T (z) = eiθz, con θ ∈ R, entonces T se llama rotación.

Notar que toda transformación de Möbius puede escribirse como composición de traslaciones,dilataciones e inversiones; para ver esto supongamos que T (z) = az+b

cz+d y dividamos en dos casos:Si c = 0 (entonces d 6= 0 y),

T (z) =a

dz +

b

d,

entonces T es la composición de la dilatación D (z) = adz y la traslación M (z) = z + b

d , o sea

T (z) = M (D (z)) .

Dicho de otra forma, si w = T (z) , entonces w es el resultado de la siguiente cadena de trans-formaciones: w1 = a

dz, w = w1 + bd .

Si c 6= 0, el cociente

az + b | cz + d

−az − adc

ac

b− adc

revela que

az + b =a

c(cz + d) +

(b− ad

c

),

es deciraz + b

cz + d=a

c+

(bc− ad

c

)1

(cz + d)

o sea que si

T1 (z) = cz = dilatación,

T2 (z) = z + d = traslación,

T3 (z) = 1/z = inversión,

T4 (z) =

(bc− ad

c

)z = dilatación,

T5 (z) = z +a

c= translación,

entoncesT (z) = T5 (T4 (T3 (T2 (T1 (z)))))

Dicho de otra forma, si w = T (z) , entonces w es el resultado de la siguiente cadena de trans-formaciones: w1 = cz, w2 = w1 + d, w3 = 1/w2, w4 =

(bc−adc

)w3, w = w4 + a

c . Pongamostodo lo hecho en un teorema:

Teorema 4.18 La composición de dos transformaciones de Möbius da como resultado otrastransformación de Möbius, y toda transformación de Möbius puede escribirse como composiciónde traslaciones, dilataciones e inversiones.

124 Mapeos en C

Ejemplo 4.19 Si T (z) = z−1z+1 , entonces T (1) = 0, T (−1) =∞, y T (∞) = 1 (ojo con estas dos

últimas, no poner ∞−1∞+1 , calcular lımz→∞

z−1z+1 , pues la expresión

∞−1∞+1 no tiene ningún sentido).

La inversa de T se calcula así: si

w =z − 1

z + 1

entonces

w (z + 1) = z − 1,

wz + w = z − 1,

w + 1 = z − wzw + 1

1− w = z.

Notar que la elección w =∞ lleva a z = −1. Por último, descompongamos T como composiciónde transformaciones simples:

z − 1

z + 1=z + 1− 2

z + 1= 1− 2

z + 1,

o sea T es el resultado de la cadena

w1 = z + 1

w2 = 1/w1

w3 = −2w2

w = w3 + 1.

Este tipo de descomposición suele ser útil para ver cómo transforma T algunos conjuntos delplano z, por ejemplo si C es el círculo de radio 1 centrado en −1, entonces aplicarle la transfor-mación T a C es lo mismo que aplicarle la transformación w1 a C, al resultado aplicarle w2, alresultado w3, y por último a ese resultado aplicarle w; en este caso queda así: w1 transforma Cen el círculo de radio 1 centrado en 0, w2 transforma dicho círculo en él mismo, w3 transformael resultado en el círculo de radio 2 centrado en 0, y w transforma ese resultado en el círculo deradio 2 centrado en 1. Puesto que T (−1) =∞, tenemos que T lleva todo el interior de C sobretodo el exterior de la curva T (C) , por ser T una transformación biunívoca de C∞.

112 2

12 1 2

12 1 20

0

12 1 20

12 1 20 3

w= z+ 1

w

=1/w w

=

2ww =

w+

1

0

1

1

2

2

3

3

Mapeos en C 125

4.6. Círculos generalizados en C∞

Ahora queremos estudiar como mapea una transformación de Möbius círculos y rectas, ypara eso nos hace falta encontrar una buena forma de expresar círculos y rectas en C:

La ecuación

a(x2 + y2

)+ bx+ cy + d = 0, con (4.1)

a, b, c, d ∈ R, b2 + c2 > 4ad (4.2)

describe la totalidad de círculos y rectas de R2 (eso es, dado un círculo o una recta Γ enR2, existen constantes a, b, c, d en las condiciones de (4.2) tal que Γ tiene ecuación (4.1)pues:

• Una recta en R2 es {(x, y) : xn+ ym = k} con n,m, k números reales con (n,m) 6=(0, 0) (Análisis II), entonces tomar a = 0, b = n, c = m, y d = −k.• Un círculo en R2 es

{(x, y) : (x− x0)2 + (y − y0)2 = r2

}con r > 0, y (x− x0)2 +

(y − y0)2 = r2 es

x2 − 2xx0 + x20 + y2 − 2yy0 + y2

0 − r2 = 0

x2 + y2 + (−2x0)x+ (−2y0) y + x20 + y2

0 − r2 = 0,

tomar a = 1, b = −2x0, c = −2y0, d = x20 + y2

0 − r2, y la condición (4.2) se cumplepues b2+c2

4a2 − da = r2 > 0.

Recíprocamente, si a = 0 la ecuación (4.1) describe una recta en R2, y si a 6= 0 describeun círculo pues

a(x2 + y2

)+ bx+ cy + d = 0

x2 + y2 +b

ax+

c

ay +

d

a= 0(

x+b

2a

)2

+(y +

c

2a

)2+d

a− b2

4a2− c2

4a2= 0,

que es la ecuación de un círculo de centro(−b

2a ,−c2a

)y radio

√b2

4a2 + c2

4a2 − da (que es may-

or que cero por (4.2)). Notar que además vimos que una curva de ecuación (4.1) concondiciones (4.2) es un círculo sii a 6= 0, y pasa por (0, 0) sii d = 0.

La forma compleja de la ecuación (4.1) con condición (4.2) es

αzz + βz + βz + δ = 0, con α, δ ∈ R, β ∈ C, y |β|2 > αδ (4.3)

pues poniendo x = z+z2 , y = z−z

2i en (4.1) queda

a |z|2 + b

(z + z

2

)+ c

(z − z

2i

)+ d = 0

azz +b

2z +

b

2z − i c

2z + i

c

2z + d = 0

azz +

(b

2+ i

c

2

)z +

(b

2− i c

2

)z + d = 0,

126 Mapeos en C

tomar α = a, δ = d, y β =(b2 + i c2

). Recíprocamente, toda ecuación de la forma (4.3) queda de

la forma (4.1) con condición (4.2) cuando se cambia z por x+ iy (ejercicio), es decir que:

Lema 4.20 Γ es un círculo o una recta en C si y solo si existen α, δ ∈ R, β ∈ C con |β|2 > αδtal que Γ tiene ecuación

αzz + βz + βz + δ = 0,

resultando Γ una recta sii α = 0, y un círculo de radio(|β|2α2 − δ

α

)sii α 6= 0. Además Γ pasa por

el origen sii δ = 0.

Nota 4.21 Se suele pensar a las rectas en C como círculos de radio ∞, esto es coherente puesla ecuación (4.3) es la de una recta si y solo si α = 0, y es la de un círculo de radio

(|β|2α2 − δ

α

),

que tiende a ∞ cuando α tiende a cero. Además si uno sube a la esfera de Riemann, una rectaen C da un círculo que pasa por el polo norte, y por eso se dice que las rectas son los únicoscírculos que pasan por ∞. Es por todo esto que a los círculos y rectas en C se los llama círculosgeneralizados (cg) en C∞. Se puede ver (ejercicio, buscar una demostración) que tres puntosdistintos en C∞ determinan un único circulo generalizado que los contiene.

Teorema 4.22 La imagen de un círculo generalizado Γ de C∞ por una transformación deMöbius es otro círculo generalizado Γ1 de C∞.

Demostración. Vamos a ver que el teorema es cierto para las transformaciones elementales; elcaso general se sigue inmediatamente del hecho de que toda transformación de Möbius se escribecomo composición de transformaciones elementales. Tomo Γ un cg; por el lemita anterior se queexisten α, δ ∈ R, β ∈ C con |β|2 > αδ tal que Γ tiene ecuación αzz + βz + βz + δ = 0

Caso T (z) = bz, con b ∈ C, b 6= 0 (T dilatación).

w = bz ⇐⇒ z =w

b∀w, z ∈ C∞,

entonces z satisface (4.3) sii

α(wb

)(wb

)+ β

(wb

)+ β

(wb

)+ δ = 0⇐⇒

α

|b|2|w|2 +

β

bw +

β

bw + δ = 0⇐⇒

α1ww + β1w + β1w + δ1 = 0, (4.4)

donde α1 = α|b|2 , β1 = β

b, y δ1 = δ, y

|β1|2 = |β|2

|b|2

α1δ1 = αδ|b|2

⇒ |β1|2 > α1δ1

Mapeos en C 127

o sea que z cumple (4.3) si y solo si w = bz cumple (4.4), es decir que

z ∈ Γ⇐⇒ w ∈ Γ1,

donde Γ1 es el cg de ecuación (4.4). Con respecto al punto ∞, solo está en Γ si y solo si esuna recta, o sea si y solo si α = 0, si y solo si α1 = 0, es decir si y solo si Γ1 es una recta,y T (∞) =∞.

Caso T (z) = z + b (T traslación).Este es bastante intuitivo, se hace como el anterior si Γ es una recta (i.e si α = 0), peroen el caso de que Γ sea un círculo conviene usar la ecuación clásica |z − z0| = r; ejercicio.

Caso T (z) = 1/z (T inversión).

w =1

z⇐⇒ z =

1

w,

entonces un z 6= 0 satisface (4.3) (i.e está en Γ) sii

α

(1

w

)(1

w

)+ β

(1

w

)+ β

(1

w

)+ δ = 0⇐⇒

α

ww+β

w+β

w+ δ = 0⇐⇒

α+ βw + βw + δww = 0⇐⇒δ1 + β1w + β1w + α1ww = 0, (4.5)

donde α1 = δ, β1 = β, y δ1 = α, y

|β1|2 = |β|2α1δ1 = αδ

}⇒ |β1|2 > α1δ1

o sea que z cumple (4.3) si y solo si w = 1/z cumple (4.5), es decir que

si z 6= 0, z ∈ Γ⇐⇒ w ∈ Γ1, (4.6)

donde Γ1 es el cg de ecuación (4.5). Ahora T (0) = ∞ y T (∞) = 0; entonces 0 ∈ Γ siiδ = 0 sii α1 = 0 sii ∞ ∈ Γ1 (o sea sii Γ1 es recta), y ∞ ∈ Γ sii α = 0 sii δ1 = 0 sii 0 ∈ Γ1.Todo esto junto con (4.6) nos permite deducir que

∀ z, w ∈ C∞, z ∈ Γ⇐⇒ w ∈ Γ1.

Notar que de la ecuación (4.5) que cumple w = 1z suponiendo que z cumpla (4.3), se deduce

que la inversión lleva:

Rectas que pasan por el origen sobre rectas que pasan por el origen.

Rectas que no pasan por el origen en círculos que pasan por el origen.

128 Mapeos en C

Círculos que pasan por el origen sobre rectas que no pasan por el origen.

Círculos que no pasan por el origen sobre círculos que no pasan por el origen.

Ejemplo 4.23 tomemos T (z) = 1/z, y C1 = {z : Im (z) = 0} . Como C1 es una recta que pasapor el origen, T la lleva a una recta que pasa por el origen, y como T (1) = 1, T (−1) = −1,debe llevarla en la misma recta pues C1 es la única recta que pasa por el origen y contiene lospuntos 1 y −1.

0 01 1

w = 1/z

plano z plano w

C1 T( )C1

Si C2 = {z : |z − i| = 1} , como C2 es un círculo que pasa por el origen, entonces T lo lleva sobreuna recta que no pasa por el origen, y como

T (1 + i) =1

1 + i=

1− i2

=1

2− i1

2, y T (−1 + i) =

1

−1 + i=−1− i

2= −1

2− i1

2,

concluimos que T (C2) ={w : Im (w) = −1

2

}, pues esa es la única recta que contiene a

(12 − i

12

)y(

12 − i

12

).

0

0i

2i

/2i

plano z plano w

w = 1/z

C1

C2T( )C1

T( )C2

Por último, si C3 = {z : Im (z) = 1} , como C3 es una recta que no pasa por el origen, T lo llevasobre un círculo que pasa por el origen, puesto que ya conocemos T (1 + i) y T (−1 + i) , resultaT (C3) =

{w :∣∣w − i

2

∣∣ = 12

}pues este es el único círculo que contiene los puntos

(12 − i

12

), 0, y(

12 − i

12

)(Notar los ángulos en que se cortan C2 y C3 y el ángulo en que se cortan sus respectivas

imágenes por T ). Además, puesto que T es una transformación biunívoca de C∞, podemos decirque T lleva el disco {z : |z − i| ≤ 1} sobre el semiplano

{w : Im (w) ≤ 1

2

}.

0

0i

2i

/2i

plano zplano w

w = 1/z

C1

C2

T( )C1

T( )C2

T( )C3

i

C3

Mapeos en C 129

Ejemplo 4.24 Queremos encontrar una transformación de Möbius T (z) = az+bcz+d que lleve el

disco {z : |z| ≤ 1} sobre el semiplano {w : Im (w) ≥ 0} .

0

i

11

1 20plano z plano w

T(z)

Lo que vamos a hacer es tratar de llevar el círculo {z : |z| = 1} sobre la recta {w : Im (w) = 0}(sabemos que siempre la imagen de un círculo será un cg, pero no sabemos si podemos elegira, b, c y d para que sea justo la recta que queremos). Como tres puntos determinan todo cg deC∞, elijo tres puntos del círculo y los mando sobre la recta: quiero

T (−1) = 0, T (−i) = 1, y T (1) = 2, (4.7)

o sea−a+ b

−c+ d= 0,

−ai+ b

−ci+ d= 1, y

a+ b

c+ d= 2,

que es lo mismo que

−a+ b = 0, −ai+ b = −ci+ d, y a+ b = 2c+ 2d,

es decir que tengo 3 ecuaciones y 4 incógnitas, vamos a tratar de despejar en función de a: laprimera ecuación nos dice que

b = a,

y usando esto en la tercer ecuación concluimos que a = c+ d. Haciendo lo mismo en la segundaqueda a− ia = d− ic, y restando estas dos últimas tenemos que ia = (1 + i) c, y entonces

c =(1 + i)

2a,

y entonces

d = a− c = a(1− (1 + i)

2) = a

(1− i)2

.

Puesto que ya tengo b, c y d en función de a, ponemos a = 1 y queda

T (z) =z + 1

(1+i)2 z + (1−i)

2

=2z + 2

(1 + i) z + (1− i) .

Se puede verificar fácilmente que dicha T satisface (4.7), y por lo tanto debe llevar todo el círculo{z : |z| = 1} sobre toda la recta {w : Im (w) = 0} , pero además

T (0) =2

1− i = 1 + i,

130 Mapeos en C

que está en el semiplano {w : Im (w) ≥ 0} , y como T es una transformación biunívoca de C∞,debe llevar todo el disco {z : |z| ≤ 1} (que contiene a 0) sobre todo el semiplano {z : Im |z| ≥ 0}.

0

i

11

10plano z plano w

T(z)

i

4.7. Puntos fijos de una transformación de Möbius

El último ejemplo resulta inspirador, y nos preguntamos cuando podemos hacer esto, esdecir, elegir dos regiones del plano y encontrar una transformación de Möbius que lleve una enla otra.

Definición 4.25 z0 es punto fijo de una función f si f (z0) = z0.

Lema 4.26 Si T es una transformación de Möbius entonces T tiene a los más dos puntos fijosen C, salvo que sea T (z) = z (en ese caso T se llama identidad). Dicho de otra forma, si unatransformación de Möbius tiene tres puntos fijos entonces debe ser la identidad.

Demostración. Buscar los puntos fijos de T (z) = az+bcz+d es buscar los números complejos z que

satisfacen la ecuaciónaz + b

cz + d= z.

Puesto que z es un número complejo podemos asumir que cz+ d 6= 0, y entonces la ecuación dearriba es equivalente a

az + b = z (cz + d) ,

o seacz2 + (d− a) z − b = 0.

Esta última ecuación tiene (a lo más) dos soluciones si c 6= 0, una si c = 0 y (d− a) 6= 0, yninguna si c = 0, (d− a) = 0, y b 6= 0. Por último, todo z es solución de la ecuación si c = 0,(d− a) = 0, y b = 0, o sea si d = a y b = c = 0, o sea si T (z) = z.

Nota 4.27 en la demostración anterior en los casos con c = 0 encontramos a lo más un puntofijo (salvo que T sea la identidad), pero también ∞ es punto fijo de T si c = 0, o sea que T tienea los más dos puntos fijos en C∞. Puesto que si c 6= 0 entonces ∞ no es punto fijo de T, en ellema anterior se puede cambiar C por C∞.

Mapeos en C 131

Ahora veremos que dados z1, z2, z3 tres puntos distintos de C∞, y w1, w2, w3 otros tres puntosdistintos de C∞, existe una única transformación de Möbius M (z) tal que

M (z1) = w1, M (z2) = w2, y M (z3) = w3.

Pongamos

T (z) =

z−z1z−z3

z2−z3z2−z1 si z1, z2, z3 ∈ C

z2−z3z−z3 si z1 =∞z−z1z−z3 si z2 =∞z−z1z2−z1 si z3 =∞

Así definida, T satisface

T (z1) = 0, T (z2) = 1, y T (z3) =∞.

Definamos de manera análoga S (w) cambiando las z’s por w’s en la definición anterior, de formatal que S satisfaga

S (w1) = 0, S (w2) = 1, y S (w3) =∞(usamos la letra w porque queremos pensar T como una transformación del plano z en el plano wy S una transformación del plano w en el plano z). Pero S es de Möbius y entonces es invertible,es decir existe la transformación S−1, que es de Möbius, y S−1 (S (w)) = w ∀w ∈ C∞, enparticular

S−1 (0) = w1, S−1 (1) = w2, y S−1 (∞) = w3.

Pero entonces la composición S−1 (T (z)) es de Möbius y

S−1 (T (z1)) = w1, S−1 (T (z2)) = w2, y S−1 (T (z3)) = w3,

es decir que M = S−1 ◦ T es la transformación que buscamos.Veamos que M es única: si H (z) es otra transformación de Möbius con

H (z1) = w1, H (z2) = w2, y H (z3) = w3,

entonces la inversa de H, que es de Möbius, satisface

H−1 (w1) = z1, H−1 (w2) = z2, y H−1 (w3) = z3,

y entonces la transformación de Möbius H−1 (M (z)) satisface

H−1 (M (z1)) = z1, H−1 (M (z2)) = z2, y H−1 (M (z3)) = z3,

o sea que tiene tres puntos fijos, y entonces H−1 (M (z)) = z, o sea M (z) = H (z) ∀ z. Hemosprobado el siguiente:

Lema 4.28 Dados z1, z2, z3 tres puntos distintos de C∞, y w1, w2, w3 otros tres puntos distintosde C∞, existe una única transformación de Möbius M (z) tal que

M (z1) = w1, M (z2) = w2, y M (z3) = w3.

132 Mapeos en C

Nota 4.29 Lo bueno es que en la demostración del lema tenemos un método para encontrara w = M (z): hallar T (z) , luego S (w) y resulta w = S−1 (T (z)) ; tomando S en la igualdadanterior, resulta S (w) = T (z) , y entonces podemos encontrar w despejando de esa igualdad, porejemplo si z1, z2, z3, w1, w2, w3 son todos puntos de C (o sea ninguno es ∞) w sale de despejar

w − w1

w − w3

w2 − w3

w2 − w1=z − z1

z − z3

z2 − z3

z2 − z1

Nota 4.30 Juntando todo lo que hemos hecho hasta ahora, podemos concluir que dado un cg Cen el plano (extendido) z y otro Γ en el plano (extendido) w, existe siempre una transformaciónde Möbius (no necesariamente única) que lleva C sobre Γ.

Ejemplo 4.31 queremos encontrar una transformación de Möbius que lleve el semiplano{z : Re (z) ≥ 0} sobre el disco {w : |w| ≤ 1} de forma tal que el eje {z : Re (z) = 0} llegue sobreel círculo {w : |w| = 1} .

Elegimos tres puntos del eje {z : Re (z) = 0}:

0,−i,∞,

elegimos tres puntos del círculo {w : |w| = 1}:

−1,−i, 1,

y ahora construimos T tal que

T (0) = −1, T (−i) = −i, y T (∞) = 1. (4.8)

Si T (z) = az+bcz+d , entonces

T (0) =b

d= −1⇒ b = −d,

T (∞) =a

c= 1⇒ a = c,

T (i) =ai+ b

ci+ d= i⇒ ai+ b = −c+ id.

Poniendo las dos primeras en la tercera concluimos que

ai− d = −a+ id⇐⇒ a (1 + i) = d (1 + i)⇐⇒ a = d;

esto junto con la primera nos permite concluir que

b = −a, c = a, y d = a,

poniendo a = 1 tenemos que

T (z) =z − 1

z + 1.

Es inmediato que esta T satisface (4.8), entonces debe llevar la recta {z : Re (z) = 0} sobre elcírculo {w : |w| = 1} , y como además T (1) = 0, debe llevar todo {z : Re (z) ≥ 0} sobre todo eldisco {w : |w| ≤ 1} , o sea listo. Notar que nosotros no hicimos ningún esfuerzo en particularpara que T (1) = 0, y si T (1) hubiera caído fuera de {w : |w| ≤ 1} entonces T no nos hubieraservido. En este caso se hubiera podido arreglar fácil, tomado 1/T (z) (why?), pero tenemos quehacer algo para dejar de depender de nuestra suerte.

Mapeos en C 133

4.8. Orientación

En los últimos ejemplos hemos estado llevando “un lado”de una curva sobre otro de la curvaimagen, (los lados son el exterior y el interior si nuestras curvas son cg en C∞), basados en elhecho de que las transformaciones de Möbius son biunívocas de C∞. El método era llevar lacurva sobre la curva, y el resto venía solo, salvo que no podíamos asegurar de antemano quelado iba a caer sobre que lado. Vamos a ver (de manera un poco informal) como hacer paraasegurarnos antes de encontrar T, qué lado caerá sobre qué lado.

Supongamos que T : C → C es conforme y biunívoca, y tomemos una curva suave cerradasimple C. Parametricemos C por γ : [a, b] → C con γ′(t) 6= 0 ∀ t, de forma tal de recorrerla ensentido antihorario (esta expresión es fácil de entender siendo C una curva cerrada simple), asíel interior de C queda “a la izquierda”de C, y tomemos un punto z0 = γ (t0) en C. LlamemosΓ a la imagen de C por T, entonces Γ es una curva cerrada simple parametrizada por T (γ (t)) .Si γ′(t0) = x0 + iy0 = (x0, y0) (vector tangente a C en z0), entonces el vector iγ′(t0) = ix0 −y0 = (−y0, x0) es una rotación de π/2 en sentido antihorario del vector γ′(t0), y entonces esperpendicular a γ′(t0) y apunta hacia el interior de C.

¼/2

C

T(z)¡

z0° t ( )00

00

Sea r (t) = (t− t0) (−y0 + ix0) + z0 = recta perpendicular a γ′(t0), con r (t0) = z0 y r′(t0) =(−y0 + ix0) = (−y0, x0) ; r (t) corta C en un ángulo de π/2, entonces T (r (t)) parametriza unacurva que debe cortar Γ en un ángulo rotado en π/2 en sentido antihorario de el tangente a Γen T (z0) (por ser T conforme en z0)

r t( )

¼/2

T(z)

z0° t ( )00

00

C

¡

T( )z0

T( )r t( )

Supongamos por ejemplo, que dada γ (t), resulta que T (γ (t)) recorre Γ en sentido antihorario(notar que, una vez dada γ, esto sólo depende de T ), luego T (r (t)) va del exterior al interior deΓ. Para valores de t próximos a t0 pero mayores que t0, r (t) está en el interior de C, y T (r (t))está en el interior de Γ, y entonces T debe llevar todo el interior de C sobre todo el interior de

134 Mapeos en C

Γ (por ser T biunívoca)

¼/2

r t( )

¼/2

T(z)

z0° t ( )00

00

C

¡

T( )z0

T( )r t( )

De manera absolutamente análoga se ve que si T (γ (t)) recorre Γ en sentido horario en-tonces T debe llevar todo el interior de C sobre todo el exterior de Γ (ejercicio). ¿Cómo seusa esto? Supongamos que quiero encontrar una transformación de Möbius que lleve el discoD = {z : |z − a| ≤ r} sobre el disco ∆ = {w : |w − α| ≤ ρ} , entonces elijo z0, z1, y z2 en ∂D demodo que si camino de z0 a z2 pasando por z1 vaya en sentido antihorario, hago lo mismo conw0, w1, y w2 en ∂∆,

aD

@D0

0z1

z2 z3

w1

w2

w3

T(z)

®

@¢

¢

y construyo la transformación de Möbius T tal que

T (z0) = w0, T (z1) = w1, y T (z3) = w3,

entonces si γ (t) parametriza ∂D en sentido antihorario, necesariamente T (γ (t)) parametriza∂∆ en sentido antihorario (si γ (t0) = z0, γ (t1) = z1, γ (t2) = z2, con t0 < t1 < t2, entoncesT (γ (t0)) = w0, T (γ (t1)) = w1, T (γ (t2)) = w2, con t0 < t1 < t2), y entonces T debe llevar elinterior de ∂D sobre el interior de ∂∆.

Ejemplo 4.32 Queremos encontrar una transformación de Möbius que lleve el disco{z : |z − (2 + i2)| ≤ 1} sobre el semiplano

{z : Im (z) ≤ −1

2 Re (z)− 1}. Vamos a construir T

de forma tal que lleve

1 + i2 2 + i 3 + i2T � ↓ ↓ ↓

−i −2 ∞

Mapeos en C 135

Si T (z) = az+bcz+d , entonces

T (1 + i2) =a (1 + i2) + b

c (1 + i2) + d= −i⇒ a (1 + i2) + b = −ic (1 + i2)− id,

T (2 + i) =a (2 + i) + b

c (2 + i) + d= −2⇒ a (2 + i) + b = −2c (2 + i)− 2d,

T (3 + i2) =a (3 + 2i) + b

c (3 + 2i) + d=∞⇒ c (3 + 2i) + d = 0⇒ d = −c (3 + 2i)

Como d nos quedó en función de c, vamos a poner también a y b: reemplazando en las dosprimeras ecuaciones queda

a (1 + i2) + b = −ic (1 + i2) + ic (3 + 2i) = 2ic,

a (2 + i) + b = −2c (2 + i) + 2c (3 + 2i) = 2c+ 2ic,

restando ambas obtenemos

a (−1 + i) = −2c⇒ a = c (1 + i) , y entonces

b = 2ic− a (1 + i2) = 2ic− c (1 + i) (1 + i2) = c (1− i) .

Tomando c = 1 queda

T (z) =(1 + i) z + (1− i)z − (3 + 2i)

.

4.9. Distribución estacionaria de temperatura

El problema de distribución estacionaria de temperatura es un caso particular de un marcomuchísimo más general, conocido como “problemas tipo Dirichlet”. Sucintamente, se trata delo siguiente: Dado un abierto D cuya frontera ∂D es “razonable”, se busca una función u :D = (D ∪ ∂D) → R, continua en D y de clase C2 en D (es decir, con derivadas parcialessegundas continuas), tal que sea armónica en D (∆u = uxx + uyy = 0), y que tome ciertosvalores predeterminados en la frontera ∂D.

Mas específicamente, dado D un abierto conexo en C, ϕ : ∂D → R una función (razonable),se busca u (x, y) tal que

i) u ∈ C(D)∩ C2 (D)

ii) ∆u = 0 en Diii) u|∂D = ϕ en ∂Div) u es acotada,

donde la condición iv) tiene sentido para dominios no acotados. Se puede probar, de nuevo, encondiciones razonables sobre el borde de D y la función ϕ, que dicho problema de condicionesiniciales tiene solución única.

Por otro lado, consideremos el problema de determinar la temperatura de un cuerpo plano(de grosor despreciable). Buscamos una función T (t, x, y) que nos de la temperatura de la placaen el punto (x, y) en el instante t. Fourier probó, basado en principios y suposiciones físicas quetal T debe satisfacer la siguiente ecuación, conocida como la ecuación del calor:

136 Mapeos en C

∂T

∂t= α2

(∂2T

∂x2+∂2T

∂y2

)donde a es una constante positiva que depende de la conductividad del material del cuerpo.Hechas las presunciones físicas necesarias para que el modelo sea válido (placa de materialhomogéneo, aislación del medio, etc.), se busca la función T (t, x, y) que da la temperatura deuna placa en cada instante t en la posición (x, y) . Dicha función obviamente es única, y susvalores dependen de la temperatura en el borde de la placa, en el instante t = 0. Concretamente,si tenemos una placa con forma D y borde en ∂D, y le damos temperatura inicial ϕ a cadapunto del borde, la función que da la temperatura en cada instante de tiempo en cada punto dela placa es la (única) solución del problema de valores iniciales

i) ∂T∂t = α2

(∂2T∂x2 + ∂2T

∂y2

)t > 0, (x, y) ∈ D

ii) T |∂D (x, y) = ϕ (x, y) (x, y) ∈ ∂Diii) T es acotada.

Cuando, por circunstancias específicas, se sabe que dicha temperatura no depende del tiempo(= estacionario), el problema se reduce a uno del tipo Dirichlet, donde básicamente buscamosfunciones armónicas en ciertas regiones, y con valores prefijados en el borde de la región. A estetipo de problemas se los denomina distribución estacionaria de temperatura. Como las funcionesanalíticas son una fuente de funciones armónicas, su uso aparece como adecuado para resolveralgunos de estos problemas.

A continuación daremos un ejemplo, donde se desarrolla una metodología general que sepuede adaptar fácilmente a muchas otras situaciones.

Imaginemos que tenemos un cable conductor de 2mm de diámetro rodeado por un aislantede 100mm de diámetro, que la temperatura de (la superficie del) conductor se encuentra a 700

y que la capa exterior del aislante se mantiene a 80, tal como sugiere el siguiente dibujo:

1 50

8o

70o

i) T ∈ C

(D)∩ C2 (D)

ii) Txx + Tyy = 0 (x, y) ∈ D

iii) T |∂D =

{70 (x, y) ∈ C1

8 (x, y) ∈ C2

Aquí D = {z ∈ C : 1 < |z| < 50} , y ∂D =C1 ∪ C2, donde C1 = {z ∈ C : |z| = 1} yC2 = {z ∈ C : |z| = 50} (se sacó la condiciónde solución acotada pues el dominio lo es).

Imaginemos por un momento que construimos una función analítica f que lleve D en (nonecesariamente sobre) la franja {z : 8 ≤ Re (z) ≤ 70} y de forma tal que f (C1) ⊆ {z : Re (z) = 70}y f (C2) ⊆ {z : Re (z) = 8} . De lograr eso, tendríamos resuelto el problema, ya que la función

T (x, y) = Re f (x, y)

Mapeos en C 137

cumple las tres propiedades: es armónica (por ser la parte real de una función analítica), ycumple inmediatamente las condiciones de borde (por ejemplo: como i ∈ C1, entonces f (i) ∈{z : Re (z) = 70}, y por lo tanto Re (f (i)) = 70). En este caso la construcción explicita de f esparticularmente sencilla: basta con tomar

f (z) =−62

ln (50)log (z) + 70

1 50

8o

70o

0

¼

¼

ln(50)

0

ln(50)

0

ln(50)log( )z

62¼ln(50)

x

con lo cual la función temperatura queda

T (x, y) =−62

ln (50)log(√

x2 + y2)

+ 70.

En este procedimiento se decidió acomodar las cosas para utilizar la parte real de una funciónanalítica, pero por supuesto que resulta exactamente lo mismo utilizar la parte imaginaria.

¿Cuándo funciona este método? cuando se trata de una región plana D cuya frontera esla unión de dos curvas ∂D = C1 ∪ C2, y la temperatura en cada una de ellas es constante,t1 < t2 respectivamente (siempre alguna es menor, suponemos que t1). En esas condiciones, siencontramos una función f analítica en D tal que

f (D) ⊆ {z ∈ C : t1 < Re (z) < t2}f (C1) ⊆ {z : Re (z) = t1} y f (C2) ⊆ {z : Re (z) = t2} ,

luego T (x, y) = Re (f (x+ iy)) será la solución que estamos buscando (hacer un dibujo y ver-ificar!). Exactamente de la misma manera funciona (para el mismo problema) si encontramosuna función g analítica en D y tal que

g (D) ⊆ {z ∈ C : t1 < Im (z) < t2}f (C1) ⊆ {z : Im (z) = t1} y f (C2) ⊆ {z : Im (z) = t2} ,

pero en dichas condiciones la función T (x, y) = Im (g (x+ iy)) será la solución (notar que,independientemente del camino que elijamos nosotros para encontrar la solución, esta es única).

138 Mapeos en C

A continuación resolveremos, a modo de ejemplo, el siguiente problema de distribución esta-cionaria de temperatura con dominio no acotado: consideremos una placa semifinita, que paranosotros será el semiplano D = {z : Im (z) ≥ 0} , de la cual sabemos que tiene distribución esta-cionaria, y que la temperatura en el borde entre −1 y 1 vale 10o, y la temperatura en el resto delborde vale 0o. Buscamos una T (x, y) definida y continua en {z : Im (z) ≥ 0} , con derivadas se-gundas continuas en {z : Im (z) > 0} , (que tome valores reales, pues representa la temperatura),tal que

Txx (x, y) + Tyy (x, y) = 0 ∀ (x, y) con x ∈ R, y > 0T (x, 0) = 10 si − 1 < x < 1T (x, 0) = 0 si x < −1 ó x > 1T (x, y) debe ser acotada

11 0

Notar que necesariamente en los puntos (−1, 0) y (1, 0) nuestra función T no va a estardefinida; además la primer condición junto con la continuidad de las derivadas segundas pedidas,dice que T es armónica. Siguiendo una estrategia parecida al ejemplo anterior, trataremos deconstruir una función analítica f (z) que lleve D en la franja {z : 0 ≤ Im (z) ≤ 10} de forma talque f (x+ 0i) = 0 si |x| < 1, y f (x+ 0i) = 10i si |x| > 1. Tendremos resuelto el problematomando T (x, y) = Im (f (x+ iy)) pues:

0

10

11 0

A

BB

f(z)

A0

B 0

T es armónica en {z : Im (z) > 0} pues es la parte imaginaria de una función analítica (!).

T (x, 0) = Im (f (x, 0)) =

{10 si − 1 < x < 10 si x < −1 ó x > 1

T es acotada pues 0 ≤ T (x, y) ≤ 10.

Para encontrar f, usamos nuestros conocimientos sobre transformaciones de Möbius y laspropiedades de log (z) (la rama principal): esta última mapea el semiplano {z : Im (z) ≥ 0} enla franja {z : 0 ≤ Im (z) ≤ π} , llevando el semieje real positivo sobre el eje real, y el semieje realnegativo sobre el eje {z : Im (z) = π} . Por eso, compondremos primero con la transformación

Mapeos en C 139

de Möbius que lleva {z : −1 < Re (z) < 1, Im (z) = 0} sobre el semieje real negativo (y entoncesnecesariamente lleva {z : Re (z) < −1, Im (z) = 0}∪{z : Re (z) > 1, Im (z) = 0} sobre el semiejereal positivo) dejando el semiplano superior en el semiplano superior, y listo!

11 0

0

π

log( )z¼

La fórmula específica para dicha transformación de Möbius es

z − 1

z + 1,

por lo tanto f (z) = 10π log

(z−1z+1

), y la función que buscamos es

T (x, y) =10

πIm

(log

(z − 1

z + 1

))=

10

πarg

(z − 1

z + 1

), con z = x+ iy.

Busquemos específicamente T, para estudiar algunas otras propiedades:

z − 1

z + 1=

(z − 1) (z + 1)

(z + 1) (z + 1)=zz + (z − z)− 1

|z + 1|2=x2 + y2 + i2y − 1

(x+ 1)2 + y2=

x2 + y2 − 1

(x+ 1)2 + y2+i

2y

(x+ 1)2 + y2,

y entonces

T (x, y) =10

πarctan

(2y

x2 + y2 − 1

),

donde arctan (·) es la rama de la arcotangente que toma valores en [0, π] (ver sección 1.11).La función obtenida parece no definida en el arco de círculo

{x2 + y2 = 1, y > 0

}, pero si

x2o + y2

o = 1, con yo > 0, entonces

lım(x,y)→(xo,yo)

10

πarctan

(2y

x2 + y2 − 1

)= lım

t→±∞

10

πarctan (t) =

10

π

π

2= 5

(esto por la rama de la tangente que estamos usando). Además, si −1 < xo < 1 y hacemos(x, y)→ (xo, 0

+) (o sea que (x, y) tienda a (xo, 0) desde el semiplano superior) tenemos que

2y

x2 + y2 − 1→ 0−

140 Mapeos en C

(es decir se acerca a 0 por valores negativos), pues cuando y esta suficientemente cerca de 0 y xde xo se tiene que x2 + y2 < 1 (y y > 0). Entonces,

lım(x,y)→(xo,0+)

T (x, y) = lımt→0−

10

πarctan (t) =

10

ππ = 10,

y de manera análoga se ve que si |xo| > 1 entonces

lım(x,y)→(xo,0+)

T (x, y) = lımt→0+

10

πarctan (t) = 0,

es decir que se cumplen las condiciones de borde.

0 11

( , )x y

x0

arctan( )t

t

¼

¼/2

Veamos como son las isotermas, o sea las líneas que tienen igual temperatura:

T (x, y) = c⇐⇒ 10

πarctan

(2y

x2 + y2 − 1

)= c⇐⇒ 2y

x2 + y2 − 1= tan

(πc10

)⇐⇒ 2y = tan

(πc10

) (x2 + y2 − 1

)⇐⇒ x2 + y2 − 1− 2y

tan (πc/10)= 0

⇐⇒ x2 +

(y − 1

tan (πc/10)

)2

− 1−(

1

tan (πc/10)

)2

= 0,

es decir las isotermas son círculos de centro(

0, 1tan(πc/10)

)y radio

√1 +

(1

tan(πc/10)

)2. Notar que

por la rama de la tangente que estamos usando, necesitamos 0 ≤ πc10 ≤ π, es decir que los únicos

valores que puede tomar c son 0 ≤ c ≤ 10. Además los círculos siempre pasan por (±1, 0) , y si

0 < c < 5 entonces el centro(

0, 1tan(πc/10)

)está en el semiplano superior, y si no en el inferior.

21012

1

c < 5

c = 5

c > 5

Capítulo 5

Integrales en C

En este capítulo estudiaremos la clase de integral compleja más usual, que es la integralde línea. Más que usarla directamente en aplicaciones, lo que nosotros vamos a hacer es usarlacomo herramienta teórica para demostrar importantes hechos sobre las funciones de variablecompleja.

5.1. Integrales en el campo complejo

Comenzaremos definiendo la integral de una función de variable real pero imagen complejade la manera obvia (que es, integrando su parte real e imaginaria) para luego definir las integralesde línea. Teniendo en cuenta que este capítulo contiene muchos resultados teóricos que no sonsencillos para interpretar intuitivamente, trataremos de pasarlo de la forma más clara y concisa,ejemplificando en cada caso para que se entienda qué estamos haciendo.

Definición 5.1 Si γ (t) = x (t) + iy (t) es un camino continuo por tramos definido en [a, b] ,pondremos ∫ b

aγ (t) dt =

∫ b

ax (t) dt+ i

∫ b

ay (t) dt,

es decir que∫ ba γ (t) dt es un número complejo con

Re

(∫ b

aγ (t) dt

)=

∫ b

ax (t) dt y Im

(∫ b

aγ (t) dt

)=

∫ b

ay (t) dt.

Proposición 5.2 Si γ (t) , β (t) son caminos continuos por tramos en [a, b] , z0 es un númerocomplejo y c es tal que a < c < b, entonces

141

142 Integrales en C

1.∫ ba γ (t) dt =

∫ ca γ (t) dt+

∫ bc γ (t) dt.

2.∫ ba (z0γ (t) + β (t)) dt = z0

∫ ba γ (t) dt+

∫ ba β (t) dt.

3.∫ ba γ (t) dt = −

∫ ab γ (t) dt.

4. Si Γ (t) es suave por tramos en (c, d) ⊆ [a, b] y Γ′(t) = γ (t) ∀ t ∈ (c, d) (salvo posiblementeen los valores donde Γ no es derivable), entonces

∫ dc γ (t) dt = Γ (d)− Γ (c) .

Demostración. Ejercicio, descomponer en parte real e imaginaria, como dice la definición. Parael último punto, notar que bajo esas hipótesis vale (una generalización del) teorema fundamentaldel cálculo.

Ejemplo 5.3 Queremos calcular∫ π

0 eitdt. Como sabemos que ddt

(eit

i

)= eit, la cuarta propiedad

anterior nos dice que ∫ π

0eitdt =

(eiπ

i

)−(ei0

i

)=−2

i= 2i.

Nota importante 5.4 La mayoría de los resultados (e incluso algunas definiciones) de es-ta sección se enunciarán para caminos (curvas) continuos por tramos o [resp., suaves portramos], pero se demostrará solo el caso continuo [resp., suave]. La demostración del caso gen-eral surge invariablemente de dividir el intervalo de parmetrización en subintervalos donde elcamino (curva) es efectivamente continuo [resp. suave].

Proposición 5.5 Si γ : [a, b]→ C es continua por tramos, entonces∣∣∣∣∫ b

aγ (t) dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a|γ (t)| dt.

Demostración. Escribimos el número complejo∫ ba γ (t) dt en coordenadas polares:∫ b

aγ (t) dt = r0e

iθ0 ,

donde r0 =∣∣∣∫ ba γ (t) dt

∣∣∣. Entonces tenemos que demostrar que r0 ≤∫ ba |γ (t)| dt. Pero

r0 = e−iθ0

∫ b

aγ (t) dt =

∫ b

ae−iθ0γ (t) dt;

tomando parte real y usando la definición queda

r0 = Re (r0) = Re

(∫ b

ae−iθ0γ (t) dt

) def.↓=

∫ b

aRe(e−iθ0γ (t)

)dt

Análsis I↓≤

∫ b

a

∣∣∣e−iθ0γ (t)∣∣∣ dt =

=

∫ b

a|γ (t)| dt,

listo.

Integrales en C 143

A continuación daremos la definición de integral de una función de variable compleja, quede alguna manera puede sorprender: a diferencia de lo hecho cuando definimos derivada (quecopiamos directamente lo hecho en Análisis I), acá la definición es más parecida a las integralesde línea usadas en Análisis II.

Definición 5.6 Si γ : [a, b] → C ⊆ C es un camino suave por tramos, y f (z) es continua enC, (es decir que f (γ (t)) es continua por tramos), entonces se pone∫

γf (z) dz =

∫ b

af (γ (t)) γ′(t)dt,

que es la integral de línea de f sobre γ (tiene muchos nombres: integral de camino de f sobre γ,integral de f a lo largo de C, integral de f sobre C, etc.).

Ejemplo 5.7 Si γ (t) = eit, t ∈ [0, 2π] , entonces C es el círculo unitario centrado en 0 recorridoen sentido antihorario y para calcular

∫γ

1zdz hacemos∫

γ

1

zdz =

∫ 2π

0

1

eitieitdt = 2πi.

Una notación que se usa mucho en matemática aplicada, y que es la que seguiremos nosotros,es la siguiente: si γ : [a, b] → C ⊆ C es un camino suave por tramos que parametriza la curvaC, y f (z) es continua en C, se pone∫

γf (z) dz =

∫Cf (z) dz,

es decir, se piensa la integral sobre la imagen y no sobre el camino. Esto trae el problema deque la misma curva C puede tener más de una parametrización, y en tal caso la notación∫

Cf (z) dz

podría significar muchos valores distintos (de hecho, la dirección en que recorremos la curvaes fundamental). Como para nosotros una curva C es la imagen de un camino γ, cada ves quetrabajemos con una curva se entenderá que tenemos una parametrización dada, que nos indicará,por ejemplo, los puntos inicial y final de C, y el sentido en el que se recorre (la orientación). Lasintegrales de línea son, en cierta medida, independientes de la parametrización que usemos: siγ : [a, b]→ C es un camino suave por tramos que parametriza C y τ : [c, d]→ [a, b] es biyeccióncreciente con derivada continua, entonces la función β (t) = γ (τ (t)) parametriza C en [c, d],mantiene la orientación (punto inicial y final), y se puede ver fácilmente que∫

γf (z) dz =

∫βf (z) dz,

es decir, este tipo de cambio de parametrización no afecta el valor de la integral. Por otrolado, si τ : [c, d] → [a, b] es biyección decreciente con derivada continua, entonces la función

144 Integrales en C

β (t) = γ (τ (t)) parametriza C en [c, d], invierte la orientación (invierte punto inicial y final), yse puede ver fácilmente que ∫

γf (z) dz = −

∫βf (z) dz,

es decir, este tipo de cambio de parametrización que invierte la orientación sólo cambia el signode la integral. Por lo expuesto al comienzo de este capítulo, no profundizaremos más sobre estacuestión.

Ejemplo 5.8 Si C es el segmento de recta que va desde z0 hasta z1 y queremos calcular∫C dz,

entonces parametrizamos C por medio de γ (t) = z0 + t (z1 − z0) , t ∈ [0, 1] , y∫Cdz =

∫ 1

0(z1 − z0) dt = (z1 − z0) .

Proposición 5.9 Si f (z) , g (z) son funciones continuas y C, C1 y C2 son curvas suaves portramos, entonces

1.∫C (z0f (z) + g (z)) dz = z0

∫C f (z) dz +

∫C g (z) dz.

2. Si −C es la curva C recorrida en sentido inverso, entonces∫−C f (z) dz = −

∫C f (z) dz.

3. Si C = C1⊕C2, es decir si la curva C consiste en recorrer primero la curva C1 y luego lacurva C2, entonces

∫C f (z) dz =

∫C1f (z) dz +

∫C2f (z) dz.

4. Si |f (z)| ≤M ∀ z ∈ C, entonces∣∣∫C f (z) dz

∣∣ ≤M` (C) , donde ` (C) = largo de la curvaC.(1)

Demostración. Las tres primeras son inmediatas de las definiciones y propiedades anterioresy quedan como ejercicio. Para la cuarta, tomamos una parametrización γ : [a, b] → C de C,entonces ∣∣∣∣∫

Cf (z) dz

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ b

af (γ (t)) γ′(t)dt

∣∣∣∣ ,teniendo en cuenta que esta es una integral del tipo de la Proposición anterior, resulta∣∣∣∣∫

Cf (z) dz

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

∣∣f (γ (t)) γ′(t)∣∣ dt ≤M ∫ b

a

∣∣γ′(t)∣∣ dt = M` (C) .

Definición 5.10 Si f : D → C es una función de variable compleja, entonces diremos que F (z)es una primitiva de f en D si ocurre que F es derivable en D y F ′(z) = f (z) para todo z ∈ D.

1Si C está parametrizada por el camino suave por trozos γ : [a, b]→ C, entonces ` (C) =∫ ba|γ′(t)| dt

Integrales en C 145

Teorema 5.11 Si f (z) es una función continua en un abierto D y tiene una primitiva F (z)en D (o sea si F ′(z) = f (z) ∀ z ∈ D), entonces para todo camino suave por tramos γ : [a, b]→ Dse tiene que ∫

γf (z) dz = F (γ (b))− F (γ (a)) ,

es decir, la integral no depende del camino γ sino de los puntos inicial y final γ (a) y γ (b) . Enparticular si C es una curva cerrada se tiene que

∫C f (z) dz = 0.

Demostración. Hemos visto ya que

d

dt(F ◦ γ) (t) = F ′ (γ (t)) γ′(t) = f (γ (t)) γ′(t),

y entonces ∫γf (z) dz =

∫ b

af (γ (t)) γ′(t)dt = F (γ (b))− F (γ (a)) .

Corolario 5.12 No existe una rama del logaritmo en C−{0}.

Demostración. De existir, tendríamos que∫|w|=1

1

zdz = 0.

5.2. El campo de Poyla

En esta sección veremos brevemente la relación entre las integrales de línea compleja y susprimas, las integrales de línea de campos vectoriales. El vinculo se realiza a través del siguientecampo vectorial:

Definición 5.13 Si f : Dab ⊆ C → C es una función y f = u + iv (partes real e imaginaria,respectivamente), se define el Campo de Poyla de f por

~Ff = (u,−v) .

En rigor dicho campo no es más que f , pero se ha puesto particular énfasis en la notaciónvectorial (típica del Cálculo de Varias Variables) por la estrecha relación que existe entre estecampo, las integrales vectoriales, y las integrales complejas.

Teniendo en cuenta que rot(~Ff

)= −vx − uy y que div

(~Ff

)= ux − vy, resulta de manera

inmediata el siguiente resultado:

146 Integrales en C

Proposición 5.14 Si f : Dab ⊆ C→C es una función, f = u+ iv, y ~Ff es su campo de Poyla,

entonces f es analítica en D si y solo si el campo de Poyla es diferenciable, y rot(~Ff

)=

div(~Ff

)= 0. Es decir, si las funciones coordenadas son diferenciables, la función es analítica

si y solo si su campo de Poyla es irrotacional e incompresible.

Demostración. Es exactamente el Teorema 3.16 con una notación diferente.

El resultado anterior, aunque simple, deja de manifiesto la profunda conexión existente entreambas teorías, hecho fundamental si se tiene en cuenta la importancia de los campos irrota-cionales e incompresibles en diferentes áreas (teóricas y aplicadas). A continuación veremos elrol que juega este campo en la teoría de integrales. Para ello necesitamos una serie de resultadosy notaciones propias del Cálculo Vectorial, que enunciaremos brevemente

1. γ : [a, b] → C ⊆ R2 es un camino suave por tramos que parametriza la curva C, γ (t) =(x (t) , y (t)) (ver la Definición 4.2 y la Observación que le sigue); es regular si su derivada nose anula (donde existe). Cada curva admite dos orientaciones, y γ (a+ b− t) parametrizaC (en el mismo intervalo) con la orientación opuesta. ~F : Dab ⊆ R2 → R2 es un campovectorial, ~F = (P,Q) , y f : Dab ⊆ R2 → R es un campo escalar. Mantendremos estanotación para los siguientes puntos.

2. El rotor de ~F es rot(~F)

=(∂Q∂x −

∂P∂y

), y la divergencia de ~F es div

(~F)

=(∂P∂x + ∂Q

∂y

).

El gradiente es 5f =(∂f∂x ,

∂f∂y

)(en todos los casos asumimos que existen las derivadas

necesarias).

3. Si γ es regular, γ′ (t) es un vector tangente a C en γ (t) (cuando no es nulo). En tal caso,~T = γ′

‖γ′‖ = 1‖γ′‖ (x′, y′) es el vector tangente unitario, y ~n = −i~T = 1

‖γ′‖ (y′,−x′) es elnormal unitario exterior a C.

4. Si γ : [a, b] → C ⊆ R2 parametriza la curva C, entonces∫C fds =

∫ ba f (γ (t)) ‖γ′ (t)‖ dt

es la integral de línea del campo escalar f a lo largo de γ. En circunstancias razonables,no depende de la parametrización (ni siquiera de la orientación). También suele denotarse∫γ fds.

5. Si γ : [a, b]→ C ⊆ R2 parametriza la curva C, entonces∫C~F · d~r =

∫ ba~F (γ (t)) · γ′ (t) dt =∫ b

a [P (x (t) , y (t))x′ (t) +Q (x (t) , y (t)) y′ (t)] dt es la integral de línea del campo vectorial~F . Otras notaciones son:

∫γ~F · d~r,

∮C Pdx + Qdy,

∮γ Pdx + Qdy, etc. En circunstancias

muy generales no depende de la parametrización más que por la orientación que ésta le daa la curva. El cambio en la orientación de la parametrización se refleja únicamente en elcambio del signo del resultado de la integral. En cualquier caso, la orientación debe estarclaramente explicitada.

6.∫C~F ·d~r =

∫C

(~F · ~T

)ds. Esto da una relación entre integral de campo vectorial e integral

de campo escalar.

Integrales en C 147

7. Si C es cerrada, entonces∫c

(~F · ~T

)ds mide la circulación a lo largo de C,

∫c

(~F · ~n

)ds

el flujo saliente a través de C, y se denota∫c

(~F · ~T

)ds = Circ

(~F ,C

)y∫c

(~F · ~n

)ds =

Flux(~F ,C

).

8. Si C es una curva suave por tramos y cerrada simple, recorrida en sentido antihorario, y~F un campo con derivadas parciales continuas sobre C y su interior D, entonces valen lossiguientes:

Teorema de Green: ∫∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dA=

∮CPdx+Qdy

o bien ∫∫Drot(~F)dA =

∮C

~F · d~r =

∫C

(~F · ~T

)ds = Circ

(~F ,C

)Teorema de la divergencia:∫∫

D

(∂P

∂x+∂Q

∂y

)dA=

∮CPdy −Qdx

o bien ∫∫D

div(~F)dA =

∮C

(~F · ~n

)ds = Flux

(~F ,C

)Notar que el teorema de la divergencia, es meramente aplicar el teorema de Green al campo(−Q,P ).

Nota importante 5.15 Cuando pedimos que una función f sea “derivable en C y su interior”significa que existe un conjunto abierto que incluye a C y su interior donde la función f esderivable (lo mismo aplica para continua, Ck, o cualquiera de esas propiedades que se definenpuntualmente cuando la función esta definida en un entorno del punto. Esto aplica a los puntosanteriores y a todos los resultados del resto del apunte.

Si γ : [a, b]→ C ⊆ C es un camino suave por tramos que parametriza C, y f (z) es continuaen C, entonces poniendo f = u + iv (parte real e imaginaria) y γ (t) = x (t) + iy (t) resulta(suprimiendo algunas variables para facilitar la lectura)∫

Cf (z) dz =

∫ b

af (γ (t)) γ′ (t) dt =

∫ b

a(u (γ) + iv (γ))

(x′ + iy′

)dt

=

∫ b

a

(u (γ)x′ − v (γ) y′

)dt+ i

∫ b

a

(u (γ) y′ + iv (γ)x′

)dt

=

∫C

(udx− vdy) + i

∫C

(udy + vdx) (5.1)

Esta representación resulta de por si útil, y para recordarla se puede utilizar la siguienteregla nemotécnica ∫

Cf (z) dz =

∫C

(u+ iv) (dx+ idy) .

148 Integrales en C

Cuando traducimos la representación anterior utilizando el campo de Poyla, resulta∫Cf (z) dz =

∫C

(~Ff · ~T

)ds+ i

∫C

(~Ff · ~n

)ds,

De nuevo, esto muestra la estrecha relación entre las integrales de línea complejas y las vectori-ales. Si la curva C es cerrada, resulta∫

Cf (z) dz = Circ

(~F ,C

)+ iF lux

(~F ,C

). (5.2)

Esto tendrá gran relevancia en las secciones siguientes. Muchos resultados que dependen deintegración compleja tienen su contraparte vectorial, expresada a través del campo de Poyla.Nosotros trataremos de elegir uno y otro, según cual parezca más conveniente en cada caso.

5.3. Teoremas de Cauchy

En esta sección veremos un montón de resultados, que en el fondo son todos equivalentes.Todas las curvas que aparecen se suponen suaves por tramos, salvo especificación contraria.

Teorema 5.16 (de Cauchy) Si D es unabierto simplemente conexo en C, f (z) esanalítica en D y C es una curva cerrada sim-ple contenida en D, entonces∫

Cf (z) dz = 0.

D

C

Demostración. Supongamos, a los fines de allanar la demostración, que f ′ es continua (lademostración sin esta hipótesis adicional es muy complicada y no vale la pena meterse en eso).

Llamemos ~Ff al campo de Poyla de f ; como f es analítica en D resulta rot(~Ff

)= div

(~Ff

)= 0

(proposición 5.14). La demostración se termina aplicando (5.2) y los Teoremas de Green y de ladivergencia a C y Int(C).

Otra forma de enunciar el teorema de Cauchy (absolutamente equivalente) es la siguiente:

Si C es una curva cerrada simple y f es analítica sobre C y su interior, entonces∫Cf (z) dz = 0.

Nota 5.17 El teorema anterior vale si C no es simple: si C se corta a sí misma un número finitode veces entonces para verlo basta con partir C en suma de curvas cerradas simples (ejercicio),

Integrales en C 149

si C se corta a sí misma un número infinito de veces, es más difícil verlo.

C

D

C1

C2

C3

Corolario 5.18 Si R es una región cuya frontera ∂R consta de dos curvas cerradas simples(∂R)1 y (∂R)2, la segunda en el interior de la primera y recorridas en sentido inverso, y f (z)es una función analítica en un abierto D que contiene a R ∪ ∂R, entonces∫

(∂R)1

f (z) dz = −∫

(∂R)2

f (z) dz.

Como consecuencia, ∫∂Rf (z) dz = 0.

Demostración. Podríamos apelar (como en la demostración de Cauchy) a un resultado equiv-alente para campos vectoriales, pero procederemos de forma constructiva. Dividamos a R comosugiere el dibujo, y llamemos C1 y C2 a las fronteras de cada pedazo de R:

DT1

T2

T3

T4

S1

S2

S3S4

R

de modo que C1 = T1 ⊕ T2 ⊕ T3 ⊕ T4 y C2 = S1 ⊕ S2 ⊕ S3 ⊕ S4 con las orientaciones dibujadas.Cauchy dice que ∫

C1

f (z) dz =

∫C2

f (z) dz = 0,

y entonces

0 =

∫T1

f (z) dz +

∫T2

f (z) dz +

∫T3

f (z) dz +

∫T4

f (z) dz +

+

∫S1

f (z) dz +

∫S2

f (z) dz +

∫S3

f (z) dz +

∫S4

f (z) dz,

pero teniendo en cuenta que∫T2

f (z) dz +

∫S4

f (z) dz =

∫T4

f (z) dz +

∫S2

f (z) dz = 0,

150 Integrales en C

resulta que

0 =

∫T1

f (z) dz +

∫T3

f (z) dz +

∫S1

f (z) dz +

∫S3

f (z) dz,

o sea

0 =

∫∂Rf (z) dz.

Otra forma equivalente de enunciar el teorema anterior es la siguiente:

Si C1 y C2 son curvas cerradas simples, con C2 contenida en el interior de C1

y f es analítica sobre C1, C2 y la región delimitada por ellas ( Int (C1) ∩Ext (C2)),entonces ∫

C1

f (z) dz =

∫C2

f (z) dz,

donde ambas curvas tienen la misma orientación.

A la orientación que le hemos dado a ∂R se llama orientación positiva. Notar que en elcorolario anterior, D no necesita ser simplemente conexo, o sea que por ejemplo se aplica aD = C−{0} , R = {z : 1 < |z| < 2} , y f (z) = 1/z. Además el corolario anterior se puedegeneralizar para regiones “con muchos huecos”, o sea regiones cuya frontera es una curva cerradasimple C y curvas cerradas simples C1, ..., Cn en el interior de C, que no se cortan entre ellas ysus interiores tienen intersección vacía.

CC1

C2

C3

Cn

Si le damos a C, C1, ..., Cn la orientación que sugiere el dibujo (orientación positiva), entoncesel teorema dice ∫

Cf (z) dz +

n∑j=1

∫Cj

f (z) dz = 0.

Corolario 5.19 (principio de deformación de la trayectoria) Si C1 y C2 son dos curvascerradas simples recorridas en el mismo sentido, y f (z) es una función analítica en un abiertoD que contiene a C1, C2 y la región (Int (C1) ∪ Int (C2)) − (Int (C1) ∩ Int (C2)) (ver dibujo),entonces ∫

C1

f (z) dz =

∫C2

f (z) dz.

Integrales en C 151

Demostración.

C1

C2

C1

C2

Si las curvas no se cortan entonces este resultado es como el corolario 5.18 si una esta en elinterior de la otra, o las integrales son cero si no se cortan, por el teorema de Cauchy. Paracurvas que se cortan una cantidad finita de veces, la región en cuestión es la que determinanlas dos curvas, y la demostración es igual que el corolario anterior, usando la nota siguiente alTeorema de Cauchy.

El nombre del Corolario anterior viene de lo siguiente: la hipótesis se puede interpretar comoque podemos “desformar”continuamente la curva C1 hasta transformarla en C2 sin salirme dela región donde f es analítica.

Ejemplo 5.20 1. Si C es la frontera del anillo {z : 1 ≤ |z| ≤ 2} orientada positivamente,entonces

∫C

1zdz = 0 pues f (z) = 1/z es analítica en C−{0}.

2. Sea C es una curva cerrada simple recorrida en sentido antihorario y z0 es un punto enel interior de C, queremos calcular

∫C (z − z0)m dz, con m un entero. Llamemos γ (t) =

eit+z0, con t ∈ [0, 2π] (o sea γ parametriza un círculo de radio 1 centrado en z0), entoncesusando el principio de deformación de la trayectoria, tenemos que

∫C

(z − z0)m dz =

∫γ

(z − z0)m dz

def.↓=

∫ 2π

0

(eit + z0 − z0

)mieitdt =

∫ 2π

0i(eit)m+1

dt =

=

∫ 2π

0ieit(m+1)dt =

2πi si m = −1

1m+1e

it(m+1)∣∣∣2π0

= 0 si m 6= −1.

z0

Otro concepto estrechamente relacionado con el teorema de Cauchy es la noción de integralindependiente del camino:

Definición 5.21 Si f : Dab ⊆ C → C es una función continua, decimos que f tiene integralindependiente del camino en D si cualquier integral de línea de f sobre una curva en D no

152 Integrales en C

depende de la parametrización de esta sino de los extremos de la misma. Más explícitamente, siC1 y C2 son dos curvas en D con igual comienzo y fin, entonces∫

C1

f (z) dz =

∫C2

f (z) dz

Esta definición es absolutamente equivalente a pedir que∫Cf (z) dz = 0

para toda curva cerrada simple C en D, según dice el próximo Corolario:

Corolario 5.22 (Independencia del Camino) Si D es un abierto simplemente conexo, f (z)es analítica en D, entonces f tiene integral independiente del camino en D.

Demostración. Tomemos C1, C2 son dos curvas incluidas en D que van desde z0 hasta z1. SiC1 y C2 no se cortan, entonces la curva C1⊕−C2 es cerrada simple, por lo que Cauchy dice que∫

C1⊕−C2

f (z) dz = 0,

de donde se deduce, usando las propiedades vistas, que∫C1f (z) dz =

∫C2f (z) dz. Si C1 y C2 se

cortan, usar la nota que sigue al teorema de Cauchy.

D

C1

C2z0

z1

Otra forma de enunciar el teorema anterior es la siguiente:

Si para toda curva cerrada simple C en D, f es analítica sobre C y su interior,entonces f tiene integral independiente del camino en D.

Nota(ción) 5.23 En las condiciones del corolario anterior, se suele denotar∫ z1z0f (z) dz a la

integral de f sobre cualquier camino suave por tramos que va desde z0 hasta z1. Notar que fuerade este contexto específico, la expresión

∫ z1z0f (z) dz no tiene ningún sentido en variable compleja.

5.4. Primitivas

Ya definimos lo que es una primitiva de una función compleja, ahora veremos una forma deencontrar primitivas de funciones dadas.

Integrales en C 153

Teorema 5.24 (de existencia de primitivas) Sea f (z) una función continua en un abier-to D, z0 ∈ D, y supongamos que f tiene integral independiente del camino en D. Entonces lafunción

F (z) =

∫ z

z0

f (w) dw

es analítica en D y satisface F ′(z) = f (z) ∀ z ∈ D.

Demostración. Hacemos la demostración solo para el caso D conexo (pero se puede ver quevale sin pedir esta hipótesis). Tomamos un z ∈ D fijo, quiero ver que F ′(z) = f(z), o sea que

lım∆z→0

F (z + ∆z)− F (z)

∆z= f (z) ,

que es lo mismo que ver que

lım∆z→0

∣∣∣∣F (z + ∆z)− F (z)

∆z− f (z)

∣∣∣∣ = 0,

y para poder ver que este límite vale cero vamos a escribir F (z+∆z)−F (z)∆z y f (z) de otra manera.

Tomo r > 0 tal que el disco {w : |w − z| < r} este incluido en D.

D

z z+¢z0

Entonces para todo ∆z con 0 < |∆z| < r es

F (z + ∆z)− F (z)

∆z=

1

∆z

(∫ z+∆z

z0

f (w) dw −∫ z

z0

f (w) dw

)=

1

∆z

(∫ z

z0

f (w) dw +

∫ z+∆z

zf (w) dw −

∫ z

z0

f (w) dw

)=

1

∆z

∫ z+∆z

zf (w) dw.

Por otro lado, como∫ z+∆zz dw = ∆z (lo vimos en el Ejemplo 5.8,) notar que puedo calcular

dicha integral por cualquier camino que va de z a z + ∆z), entonces

f (z) = f (z)

(1

∆z

∫ z+∆z

zdw

)=

1

∆z

∫ z+∆z

zf (z) dw

(recordar que z está fijo). Entonces

F (z + ∆z)− F (z)

∆z− f (z) =

1

∆z

∫ z+∆z

zf (w) dw − 1

∆z

∫ z+∆z

zf (z) dw

=1

∆z

∫ z+∆z

z(f (w)− f (z)) dw,

154 Integrales en C

y como el largo del segmento que va de z a z + ∆z es |∆z| y la última integral la puedo hacersobre cualquier camino, resulta∣∣∣∣F (z + ∆z)− F (z)

∆z− f (z)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1

∆z

∫ z+∆z

z(f (w)− f (z)) dw

∣∣∣∣ ≤ 1

|∆z|M (∆z) |∆z| = M (∆z) ,

donde

M (∆z) = max {|f (z)− f (w)| con w en el segmento que va de z a z + ∆z} .

Ahora, esta claro que M (∆z) −→∆z→0

0 pues f es continua (si ∆z → 0 y w está en el segmento

que va de z a z + ∆z entonces necesariamente f (w)→ f (z)), es decir que

lım∆z→0

∣∣∣∣F (z + ∆z)− F (z)

∆z− f (z)

∣∣∣∣ = 0,

listo.

Como corolario de este teorema podemos mejorar la versión que tenemos del teorema paraencontrar armónicas conjugadas:

Corolario 5.25 Si u (x, y) es una función armónica (real) definida en un abierto simplementeconexo D, y z0 ∈ D, entonces la integral de línea (de Análisis II)

v (z) =

∫ z

z0

uxdy − uydx

es independiente del camino, y define una función armónica conjugada de u en D.

Demostración. Llamemos g (z) = ux (z)− iuy (z) , entonces g está definida en D y es analíticaen D, pues si ponemos g = U + iV queda U = ux, V = −uy, y entonces U y V tienen derivadasparciales continuas (pues u es armónica) y

Ux = uxx, Vy = −uyy = uxx (pues u es armónica), y

Uy = uyx, Vx = −uxy = −uyx.

Además, el corolario 5.22 nos dice que f tiene integral independiente del camino en D, por lotanto, podemos encontrar una primitiva G de g integrando como en el teorema anterior. Si Czes cualquier camino que va desde z0 hasta z, y usando la representación (5.1) queda

G (z) =

∫Cz

g (w) dw =

∫Cz

Udx− V dy + i

∫Cz

Udy + V dx =

=

∫Cz

uxdx+ uydy + i

∫Cz

uxdy − uydx =

∫Cz

∇u · d~r + iv (z) =

u (z)− u (z0) + iv (z) .

Como G es una función analítica (es derivable y su derivada es g) entonces G (z) − u (z0) esanalítica en D, y su parte imaginaria es v (z).

Sintetizamos en el siguiente teorema algunos resultados equivalentes probados en las seccionesanteriores:

Integrales en C 155

Teorema 5.26 Si f : Dab ⊆ C→ C es una función continua, entonces son equivalentes:

1. Existe F tal que F ′ = f en D.

2.∫C f (z) dz = 0 para toda curva cerrada simple en D.

3. f tiene integral independiente del camino en D.

Cualquiera de ellas implica que f es analítica en D, y recíprocamente, si f es analítica enD y D es simplemente conexo, entonces todas son verdaderas.

Demostración. Hicimos (1)⇒ (2)⇒ (3)⇒ (1), que (1)⇒ f analítica es por que las funcionesanalíticas tienen infinitas derivadas (en la próxima sección), y la recíproca para D simplementeconexo es el Teorema de Cauchy.

Sin la hipótesis de simplemente conexo la recíproca enunciada es falso: pensar en la funciónf (z) = 1/z en C− {0}. La implicación (2)⇒ f analítica se llama Teorema de Morera.

5.5. Fórmula integral de Cauchy

En esta sección veremos otro importante resultado teórico y sus consecuencias.

Teorema 5.27 (fórmula integral de Cauchy) Si f (z) es analítica en un abierto simple-mente conexo D, C es una curva cerrada simple en D y z0 es un punto en el interior de C,entonces

f (z0) =1

2πi

∫C

f (z)

(z − z0)dz,

donde C se recorre en sentido antihorario.

Otra forma equivalente de enunciar este teorema es:

Si C es una curva cerrada simple recorrida en sentido antihorario, y f es unafunción analítica sobre C y su interior, entonces para todo z0 en el interior de C setiene que

f (z0) =1

2πi

∫C

f (z)

(z − z0)dz.

Demostración. Como f (z) = f (z0) + f (z)− f (z0) , tenemos que

1

2πi

∫C

f (z)

(z − z0)dz =

1

2πi

∫C

f (z0)

(z − z0)dz +

1

2πi

∫C

f (z)− f (z0)

(z − z0)dz

=f (z0)

2πi

∫C

1

(z − z0)dz +

1

2πi

∫C

f (z)− f (z0)

(z − z0)dz,

y como∫C

1(z−z0)dz = 2πi (ver Ejemplo 1), el teorema quedará demostrado si probamos que∫

C

f (z)− f (z0)

(z − z0)dz = 0.

156 Integrales en C

Tomemos r0 lo suficientemente pequeño como para que el entorno {z : |z − z0| < r0} este incluidoen el interior de C (existe pues Jordan dice que el interior de C es abierto), entonces si Cr es uncírculo de radio r centrado en z0 con r < r0, un corolario del teorema de Cauchy nos dice que∫

C

f (z)− f (z0)

(z − z0)dz =

∫Cr

f (z)− f (z0)

(z − z0)dz, (5.3)

donde Cr se recorre en sentido antihorario (esto es porquef(z)−f(z0)

(z−z0) es analítico en D − {z0} ,que es un abierto que contiene la región cuya frontera es C ∪ Cr).

C

D

Cz0

rCr

LlamemosM (r) = max

z∈Cr|f (z)− f (z0)|

(o sea M (r) es el máximo valor que toma la función |f (z)− f (z0)| cuando z se mueve por Cr),entonces ∣∣∣∣f (z)− f (z0)

(z − z0)

∣∣∣∣ ≤ M (r)

r∀ z ∈ Cr.

Combinado esto con (5.3), y usando las propiedades de acotación y que ` (Cr) = 2πr, queda∣∣∣∣∫C

f (z)− f (z0)

(z − z0)dz

∣∣∣∣︸︷︷︸número fijo

=

∣∣∣∣∫Cr

f (z)− f (z0)

(z − z0)dz

∣∣∣∣ ≤ M (r)

r2πr = 2πM (r)︸︷︷︸

depende de r

,

es decir, el número que queremos probar es cero, es más chico que M (r) cualquiera sea r < r0.Por último, notar que haciendo r → 0 puedo hacer M (r) tan próximo a 0 como quiera, pues fes analítica en (un entorno de) z0 y por lo tanto continua en z0.

Una de las consecuencias importante de la fórmula integral de Cauchy es el siguiente teorema:

Teorema 5.28 Si f es analítica en un abierto D entonces tiene derivadas de todos los órdenesen D, es decir, f (n) (z) existe y es analítica en D para todo n ∈ N. Además,

f (n) (z0) =n!

2πi

∫C

f (z)

(z − z0)n+1dz ∀ z0 ∈ D y ∀n ∈ N,

donde C es cualquier curva cerrada simple en D que contenga z0 en su interior, y tal que f seaanalítica en todo el interior de C.

Integrales en C 157

Este teorema es muy importante porque dice que si uno tiene una función f : D → Cderivable (con D abierto en C), entonces la puedo derivar tantas veces como quiera, lo cual esbastante distinto a lo que pasaba en R.Idea de la demostración. Hay que aplicar inducción en n. Para n = 1, tomamos C como enel enunciado, y entonces aplicando la fórmula integral de Cauchy se llega a

f (z0 + ∆z)− f (z0)

∆z=

1

∆z

(1

2πi

∫C

f (z)

(z − z0 −∆z)dz − 1

2πi

∫C

f (z)

(z − z0)dz

)=

1

2πi

∫C

f (z)

(z − z0 −∆z) (z − z0)dz,

de donde resulta

f (z0 + ∆z)− f (z0)

∆z− 1

2πi

∫C

f (z)

(z − z0)2dz =1

2πi

∫C

f (z) ∆z

(z − z0 −∆z) (z − z0)2dz −→∆z→00;

para ver esto (que tiende a 0) se procede como en la demostración anterior. El caso general sesigue por inducción, planteando

f (n+1) (z0) = lım∆z→0

1

∆z

(n!

2πi

∫C

f (z)

(z − z0 −∆z)n+1dz −n!

2πi

∫C

f (z)

(z − z0)n+1dz

),

en donde estoy asumiendo que la fórmula vale para n.

Corolario 5.29 Si f (z) es analítica en un abierto D que incluye la bola {z : |z − z0| ≤ r} , y|f (z)| ≤M ∀ z ∈ {z : |z − z0| = r} , entonces∣∣∣f (n) (z0)

∣∣∣ ≤ n!M

rn.

Demostración. Si Cr = {z : |z − z0| = r} , usando el teorema anterior y acotación, y puestoque |z − z0| = r si z ∈ Cr, tenemos que∣∣∣f (n) (z0)

∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ n!

2πi

∫Cr

f (z)

(z − z0)n+1dz

∣∣∣∣ ≤ n!

2π

M

rn+1` (Cr) =

n!

2π

M

rn+12πr.

Corolario 5.30 (del corolario, teorema de Liuville) Si f (z) es analítica en todo C y |f |es acotada, entonces f es constante.

Demostración. Sabemos que hay un número positivoM tal que |f (z)| ≤M ∀ z ∈ C. Tomemosz0 ∈ C, entonces como {z : |z − z0| ≤ r} ⊆ C ∀ r > 0, el corolario anterior dice que∣∣f ′ (z0)

∣∣ ≤ M

r∀ r > 0,

y por lo tanto f ′ (z0) = 0, como esto vale ∀ z0 ∈ C, tenemos que f es constante.Seguimos con un clásico de esta sección, que no falta en prácticamente ningún libro del tema:

Corolario 5.31 (Teorema Fundamental del Álgebra) Supongamos que p (z) es un poli-nomio. Si p (z) no es constante, entonces tiene raíces en C.

158 Integrales en C

Demostración. Supongamos que p (z) no tiene raíces en C, entonces la función f (z) = 1p(z) es

analítica en C. Además,

lımz→∞

p (z) =∞, y entonces lımz→∞

f (z) = 0.

Eso implica que f es acotada en C (pues por ser continua lo es en toda bola cerrada), y entoncesdebería ser constante en C, con lo que resultaría p (z) constante en C, lo cual es absurdo.

Ejemplo 5.32 1. Queremos acotar∫C

sin(z)z dz, donde C es el círculo {z : |z| = 2} . Como

la cota depende del largo de C y no de la dirección en que C se recorre, no hace faltaespecificar la orientación de C. Ahora, sin (z) = 1

2i

(eiz − e−iz

), entonces

|sin (z)| ≤ 1

2

(∣∣eiz∣∣+∣∣e−iz∣∣) ,

y si z = x+ iy, queda∣∣eiz∣∣ =

∣∣eix−y∣∣ = e−y, y análogamente∣∣e−iz∣∣ = ey, o sea

|sin (z)| ≤ 1

2

(ey + e−y

)= cosh (y) .

Si z ∈ C entonces y ∈ [−2, 2] , tenemos que

|sin (z)||z| ≤ cosh (2)

2∀ z ∈ C,

por lo tanto ∣∣∣∣∫C

sin (z)

zdz

∣∣∣∣ ≤ cosh (2)

22π2 = 2π cosh (2) .

2. Queremos calcular∫ iπ

0 ezdz. Notar que esa expresión tiene sentido pues ez es analíticaen todo el plano complejo, y por lo tanto la integral no depende del camino sino de losextremos. Puesto que (ez)′ = ez, resulta∫ iπ

0ezdz = eiπ − e0 = −2.

3. Para calcular∫C

zz2+2

dz, donde C es el círculo {z : |z| = 1} recorrido en sentido antiho-rario, no hay que hacer ninguna cuenta: puesto que la función

f (z) =z

z2 + 2

es analítica en D = {z : |z| < 2} , que es un abierto simplemente conexo que contiene C,Cauchy dice que tal integral vale 0.

4. Para calcular∫C

cos(z)z dz, donde C es el círculo {z : |z| = 1} recorrido en sentido antiho-

rario, se puede usar la fórmula integral de Cauchy: tomando f (z) = cos (z) y revisando elteorema, concluimos que

cos (0) =1

2πi

∫C

cos (z)

zdz, o sea

∫C

cos (z)

zdz = 2πi.

Integrales en C 159

5.6. Módulo Máximo

Otra importante consecuencia de la fórmula integral de Cauchy es que nos permite ver queuna función analítica no puede tener máximo, en módulo, en ningún abierto. Para ver esto,comenzamos con un lema:

Lema 5.33 Si f (z) es una función analítica en el entorno B = {z : |z − z0| < ε} , y |f (z0)| ≥|f (z)| para todo z ∈ B, entonces f es constante en B.

Demostración. Tomemos w ∈ B y llamemos ρ = |w − z0| y Cρ al círculo {z : |z − z0| = ρ}recorrido en sentido antihorario (notar que Cρ ⊆ B). Parametrizamos Cρ por medio de γ (t) =z0 + ρeit, con t ∈ [0, 2π] ,

B

w

½ "z0

entonces usando la fórmula integral de Cauchy y la definición de integral, tenemos que

f (z0) =1

2πi

∫Cρ

f (z)

z − z0dz =

1

2πi

∫ 2π

0

f(z0 + ρeit

)z0 + ρeit − z0

iρeitdt =1

2π

∫ 2π

0f(z0 + ρeit

)dt,

y entonces

|f (z0)| =∣∣∣∣ 1

2π

∫ 2π

0f(z0 + ρeit

)dt

∣∣∣∣ ≤ 1

2π

∫ 2π

0

∣∣f (z0 + ρeit)∣∣ dt ≤ 1

2π

∫ 2π

0|f (z0)| dt = |f (z0)| ,

donde hemos usado propiedades de las integrales de funciones complejas de variable real en laprimer desigualdad y que |f (z0)| ≥ |f (z)| para todo z ∈ Cρ en la segunda. Esta última cadenade desigualdades nos permite deducir que

1

2π

∫ 2π

0

∣∣f (z0 + ρeit)∣∣ dt =

1

2π

∫ 2π

0|f (z0)| dt,

y entonces1

2π

∫ 2π

0

(|f (z0)| −

∣∣f (z0 + ρeit)∣∣) dt = 0.

Pero el integrando de esa integral es una función continua (de t) y positiva, por lo tanto debeser

|f (z0)| −∣∣f (z0 + ρeit

)∣∣ = 0 ∀ t ∈ [0, 2π] ,

en particular, |f (w)| = |f (z0)| . Como este razonamiento vale para cualquier w de B, concluimosque

|f (w)| = |f (z0)| ∀ w ∈ B,

160 Integrales en C

es decir que f tiene módulo constante en B, y por lo tanto debe ser constante en B según ciertoteorema que vimos.

Con este lema, podemos demostrar el teorema principal de esta sección:

Teorema 5.34 (del Módulo Máximo) Si f (z) es una función analítica en un abierto conexoD, entonces |f (z)| no puede alcanzar un valor máximo en D, salvo que f sea constante en D.Dicho de otra forma, si f no es constante en D entonces no existe en D ningún punto z0 quesatisfaga |f (z)| ≤ |f (z0)| ∀ z ∈ D.

Demostración. Supongamos que existe z0 ∈ D tal que |f (z)| ≤ |f (z0)| ∀ z ∈ D. Voy amostrar que en tal caso f es constante en D. Tomo w ∈ D cualquiera, y como D es conexoexiste una poligonal C que une z0 con w. Llamemos d a la mínima distancia entre C y ∂D (otomamos d cualquier número positivo si D = C, d es siempre positivo pero no vamos a demostrareso acá, lo vamos a aceptar). Formemos ahora una sucesión finita de números z1, z2, ..., zn en C,de forma tal que zn = w y

|zj − zj−1| < d ∀ j = 1, 2, ..., n,

y construyamos entornos B0, ..., Bn, donde Bj = {z : |z − zj | < d} .

D

z2z3

zn

z4

z0z1

B0B1

B2Bn

Notar que cada Bj ⊆ D, y de esta forma el centro de la bola Bj pertenece también a la bolaBj−1.

La demostración termina aplicando el lema anterior a cada bola: como |f (z0)| ≥ |f (z)| ∀ z ∈B0 el lema anterior nos dice que f es constante en dicha bola, en particular f (z1) = f (z0) . Peroentonces |f (z1)| ≥ |f (z)| ∀ z ∈ D, en particular |f (z1)| ≥ |f (z)| ∀ z ∈ B1, y de nuevo ellema anterior nos dice que f debe ser constante en B1, en particular f (z2) = f (z0) . Repitiendoeste razonamiento n-veces concluimos que f (zn) = f (z0) , o sea f (w) = f (z0) . Como esto valepara todo w de D, listo.

Si una función es analítica en el interior de un conjunto conexo, cerrado y acotado R, ycontinua en todo R, entonces la función real y continua |f (z)| debe alcanzar un máximo en R(Análisis II, función continua sobre compacto), es decir, debe existir z0 en R tal que

|f (z)| ≤ |f (z0)| ∀ z ∈ R.

Si f es constante, tendremos que |f (z)| = |f (z0)| ∀ z ∈ R, pero si f no es constante, el teoremaanterior nos dice que

|f (z)| < |f (z0)| ∀ z perteneciente al interior de R,

es decir que vale el siguiente:

Integrales en C 161

Corolario 5.35 Si f es una función continua en un conjunto conexo, cerrado y acotado R, yanalítica en el interior R, entonces el máximo de |f (z)| se alcanza siempre en un punto de lafrontera de R y nunca en un punto del interior.

Para terminar, un teorema muy útil que se llama principio del máximo para funcionesarmónicas, que es el que permite asegurar la unicidad de solución en los problemas de tipoDirichlet(2):

Teorema 5.36 Si u (x, y) es una función armónica en un abierto conexo D de C, entonces uno puede alcanzar un valor máximo en D, salvo que sea constante en D.

Demostración. Primero supongamos D es una bola. En tal caso, sabemos que existe unaarmónica conjugada de u, que llamamos v. Así, la función g (z) = u (x, y) + iv (x, y) en analíticaen D, y por lo tanto también lo es

f (z) = eg(z).

Pero |f (z)| = eu(z), por lo tanto si u (z0) es máximo en D tendremos que |f (z0)| es máximo enD, y por lo tanto f es constante en D, según el teorema anterior. Entonces eu(z) es constanteen D, lo que nos dice que u (z) es constante en D.

Para el caso general, se procede como en la demostración del Teorema del Módulo Máximo.

Junto con el teorema anterior, tenemos el respectivo corolario:

Corolario 5.37 Si u (x, y) es una función real continua en un conjunto conexo, cerrado y aco-tado R, y armónica en el interior R, entonces el máximo de u (x, y) se alcanza siempre en unpunto de la frontera de R y nunca en un punto del interior.

2Con problema tipo Dirichlet nos referimos al siguiente: dado un abierto D de C, y una función real f definidaen ∂D, hay que encontrar una función armónica T en D, continua en D ∪ ∂D y con T (z) = f (z) ∀ z ∈ D.

162 Integrales en C

Capítulo 6

Sucesiones y series en C

Todo el trabajo de este capítulo esta destinada a mostrar que tiene sentido sumar infinitasfunciones de variable compleja. En gran medida es un “copy/paste” de la versión real, y estáhecho de esa forma para enfatizar las similitudes entre los dos casos. Las diferencias importantesaparecen al final del capítulo.

6.1. Sucesiones complejas

Definición 6.1 Si a cada número natural n se le asigna un número complejo zn, decimos queestos números z1, z2, z3, ..., zn, ... forman una sucesión infinita que se denota {zn}∞n=1 ó {zn}n∈N ó{z1, z2, z3, ...} . A los números z1, z2, z3, ... se los llama términos de la sucesión.

Ejemplo 6.2 1 + i, 12 + i, 1

3 + i, 14 + i, ... es una sucesión. Otra forma de denotar la misma

sucesión es {zn}n∈N , con zn = 1n + i.

Diremos que la sucesión {zn}n∈N converge a un número c ∈ C si para todo ε > 0 existeN > 0 tal que |zn − c| < ε si n > N. Dicho en lenguaje llano, la sucesión converge a c sipara todo entorno de c hay un N (que depende del entorno que elija) tal que todos los zn consubíndice mayor que N están el entorno.

B

c"

z2

z3

zn

z4

z1

163

164 Sucesiones y series en C

Esta situación se denota por

lımn→∞

zn = c ó zn −→n→∞

c.

Notar que lımn→∞ zn = c si y solo si lımn→∞ |zn − c| = 0 (ejercicio), y por lo tanto para estu-diar sucesiones complejas basta estudiar las reales. Además notar que si una sucesión convergeentonces el límite es único, es decir, no pueden existir dos valores distintos c1 y c2 tales quezn −→

n→∞c1 y zn −→

n→∞c2 (ejercicio).

Proposición 6.3 Si {zn}n∈N y {wn}n∈N son sucesiones complejas tales que lımn→∞ zn = c ylımn→∞wn = d, entonces:

1. {zn}n∈N es acotada, es decir, existe M > 0 tal que |xn| ≤M ∀ n ∈ N.

2. lımn→∞ (αzn + wn) = αc+ d.

3. lımn→∞ (znwn) = cd

4. Si d 6= 0 entonces wn 6= 0 para n suficientemente grande, y lımn→∞znwn

= cd .

5. Si zn = xn + iyn y c = a + ib, entonces lımn→∞ zn = c si y solo si lımn→∞ xn = a ylımn→∞ yn = b.

6. lımn→∞ zn+1 = c, en general, para cualquier número natural k se tiene que lımn→∞ zn+k =c.

Demostración.

1. Existe N ∈ N tal que |zn − c| ≤ 1 si n ≥ N, y entonces |zn| ≤ 1 + |c| si n ≥ N. TomandoM = max {|z1| , ..., |zN | , 1 + |c|} tenemos |zn| ≤M ∀ n ∈ N.

2. Doy ε > 0; notar que el único caso interesante es α 6= 0. Por definición de límite se que

∃ N1 tal que |zn − c| <ε

2αsi n > N1, y ∃ N2 tal que |wn − c| <

ε

2si n > N2.

Tomemos N = max (N1, N2) , entonces si n > N valen las dos desigualdades de arriba, y

|(αzn + wn)− (αc+ d)| = |(αzn − αc) + (wn − d)| ≤≤ |(αzn − αc)|+ |(wn − d)| < α

ε

2α+ε

2= ε.

3. Exactamente igual al caso real.

4. Símil al anterior.

5. Usando que

|xn − a| = |Re (zn − c)| ≤ |(zn − c)| , y |yn − b| = |Im (zn − c)| ≤ |(zn − c)| ,

concluimos inmediatamente que si lımn→∞ zn = c entonces lımn→∞ xn = a y lımn→∞ yn =b. Recíprocamente, notar que

|(zn − c)| = |xn + iyn − a− ib| ≤ |xn − a|+ |iyn − ib| = |xn − a|+ |yn − b| ,

y ahí se ve que si lımn→∞ xn = a y lımn→∞ yn = b, entonces lımn→∞ zn = c.

Sucesiones y series en C 165

6. Ejercicio de notación.

Ejemplo 6.4 La sucesión{

1 + i, 1 + i2 , 1 + i

3 , 1 + i4 , 1 + i

5 , ...}, o sea la sucesión {zn}n∈N con

zn = 1 + in , converge a 1 pues

|zn − 1| =∣∣∣∣1 +

i

n− 1

∣∣∣∣ =1

n−→n→∞

0.

Notar que Re (zn) = 1 y Im (zn) = 1n , por lo tanto

Re (zn) −→n→∞

1 y Im (zn) −→n→∞

0.

Nota 6.5 Comenzar desde n = 1 es por costumbre, se puede comenzar desde cualquier natural,o incluso desde un entero negativo. En muchos casos usaremos sucesiones así: {z0, z1, z2, ...} .

Cuando los términos de una sucesión compleja se hacen arbitrariamente grandes en módulo,diremos que la sucesión tiene límite infinito. Es decir:

lımn→∞

zn =∞ si ∀ R > 0 ∃N > 0 tal que |zn − c| > R si n > N .

Notar que una sucesión puede ser no acotada y sin embargo no tener límite infinito, por ejemplola sucesión zn = n (1 + (−1)n).

6.2. Series complejas

Si z1, z2, z3, ... es una sucesión compleja, podemos intentar calcular la suma z1 + z2 + z3 +· · · .Para poder sumar infinitos términos, lo que vamos a hacer es primero sumar n (una cantidadfinita), llamar

sn = z1 + z2 + z3 + · · ·+ zn,

y luego hacerlımn→∞

sn.

Notar que esto es razonable pues si existe algo que pueda llamarse “la suma infinita”z1 + z2 +z3 + · · · , entonces los números sn deberían aproximarse, a medida que n crece, a dicha sumatanto como queramos.

Definición 6.6 Una sucesión {zn}n∈N se dice sumable si la sucesión {sn}n∈N , (con sn = z1 +z2 + z3 + · · ·+ zn), es convergente. En tal caso se denota

lımn→∞

sn =∞∑j=1

zj = lımn→∞

n∑j=1

zj .


La definición anterior es para echar un poco de luz a la terminología popular: una sumainfinita

∑∞j=1 zj se llama en general serie infinita, destacando la conexión de la palabra serie

con la sucesión {zn}n∈N . La afirmación de que la sucesión {zn}n∈N es sumable (o no) se sustituyeusualmente por la afirmación de que la serie

∑∞j=1 zj converge (o no). Esa terminología es

confusa, porque en el mejor de los casos,∑∞

j=1 zj es un número complejo (y entonces nopuede “converger”), o es nada si la sucesión {zn}n∈N no es sumable. De todos modos, como esbuena costumbre hablar el mismo lenguaje que habla la gente del lugar donde uno vive, vamosa adoptar la terminología popular. Otro complemento de esta terminología es la divergencia:cuando una serie no converge se dice que diverge.

Otra cosa: la suma puede comenzar desde cualquier número, o sea tiene perfecto sentido∑∞j=8 zj y significa lımn→∞ sn donde sn = z8 + z9 + z10 + · · ·+ zn (obviamente debemos tomar

n ≥ 8 en este caso). Usualmente comenzaremos nuestras sumas con 0 ó 1, pero no hay ningunarestricción al respecto.

Ejemplo 6.7 Si tomamos wo un número complejo distinto de 1, llamo zn = wno para n =0, 1, 2, 3, ... (o sea tengo la sucesión {zn}n∈N∪{0} con zn = wno ). Entonces

sn = 1 + wo + w2o + · · ·+ wno , y entonces

wosn = wo + w2o + w3

o + · · ·+ wn+1o ,

restando esas dos igualdades y despejando sn, obtenemos que

sn =1− wn+1

o

1− wo(esta operación es legítima pues pedimos wo 6= 1). Si |wo| < 1, entonces wno −→n→∞ 0 (ejercicio),

por lo tanto

lımn→∞

sn =1

1− wo,

y si |wo| > 1 entonces wno −→n→∞∞ (ejercicio) por lo que la sucesión {sn}n∈N no converge. Por lotanto tenemos que la sucesión {zn}n∈N∪{0} es sumable si |wo| < 1 y no es sumable si |wo| > 1.Dicho de otra forma, la serie

∞∑n=0

wno

converge a 11−wo si |wo| < 1 y no converge si |wo| > 1. Por ejemplo,

∞∑n=0

(i

2

)n=

1

1− i2

=4

5+

2

5i,

y∞∑n=0

(3i)n

no converge.A esta serie se la llama serie geométrica de razón wo.


Proposición 6.8 Tomemos {zn}n∈N y {wn}n∈N dos sucesiones, y c ∈ C, entonces:

1. si {zn}n∈N y {wn}n∈N son sumables entonces {czn + wn}n∈N es una sucesión sumable y∑∞n=1 (czn + wn) = c

∑∞n=1 zn +

∑∞n=1wn.

2. si zn = xn+iyn, entonces {zn}n∈N es sumable si y solo si {xn}n∈N y {yn}n∈N son sumables,y en tal caso

∑∞n=1 zn =

∑∞n=1 xn + i

∑∞n=1 yn.

Demostración. Ejercicio, aplicar las propiedades de sucesiones a las sumas parciales

sn = z1 + · · ·+ zn y rn = w1 + · · ·+ wn.

Notar que (2) es un caso particular de (1).

Proposición 6.9 (criterio del resto) La serie∑∞

n=1 zn converge si y solo si la serie rN =∑∞n=N+1 zn converge para todo N ∈ N ∪ {0}, y en tal caso lımN→∞ rN = 0.

Demostración. La primera afirnación (cuya “vuelta”es trivial) resulta de la siguiente igualdad:

m∑n=1

zn =N∑n=1

zn +m∑

n=N+1

zj .

Para determinar la convergencia de cualquiera de las dos series debemos tomar lımm→∞, perotenemos dos sucesiones de sumas parciales (en m) que difieren en una constante (

∑Nn=1 zn), y

por lo tanto una tiene límite si y solo si la otra lo tiene, y en tal caso (tomando límite) queda∞∑n=1

zn = sN + rN , es decir rN =∞∑n=1

zn − sN ,

de donde se deduce que lımn→∞ rN = 0.

El siguiente criterio elemental nos permite detectar algunas sucesiones no sumables:

Proposición 6.10 (Condición del Resto) Si una sucesión {zn}n∈N es sumable, entonces

lımn→∞

zn = 0,

es decir, para que la serie∑∞

n=1 zn sea convergente es indispensable que los términos tiendan acero.

Demostración. Sisn = z1 + · · ·+ zn

entonceslımn→∞

sn = c, y también lımn→∞

sn+1 = c,

de donde se concluye que

lımn→∞

(sn+1 − sn) = 0, o sea listo.


Ejemplo 6.11 El lema anterior nos permite terminar nuestros conocimientos sobre series ge-ométricas (no sabíamos que pasaba si |wo| = 1): la serie

∞∑n=0

wno

converge si y solo si |wo| < 1.

A continiuación, a modo de referencia, enunciamos los cinco resultados sobre series de térmi-nos reales que usaremos: los cuatro primeros se refieren a la convergencia de series de términospositivos, y el último una forma de abordar el problema de convergencia, reduciendolo (cuandoes posible) a un problema de convergencia de una serie de términos positivos.

Proposición 6.12 (Criterio de Comparación) Si {tn}n∈N y {rn}n∈N son sucesiones de númerosreales positivos tal que 0 ≤ tn ≤ rn ∀ n ∈ N, entonces

Corolario 6.13 1. Si la serie∑∞

n=1 rn converge entonces la serie∑∞

n=1 tn converge.

2. Si la serie∑∞

n=1 tn diverge entonces la serie∑∞

n=1 rn diverge.

Proposición 6.14 (Criterio de la integral) Si ϕ : [1,∞) → [0,∞) es una función decre-ciente y tn = ϕ(n), entonces la serie

∑∞n=1 tn converge si y solo si

∫∞1 ϕ converge.

Proposición 6.15 (Criterio del Cociente) Supongamos que tn > 0 ∀n ≥ N (donde N esalgún natural) y

lımn→∞

tn+1

tn= `

(o sea suponemos que el límite existe y vale `). Entonces la serie∞∑n=1

tn converge si ` < 1 y

diverge si ` > 1.

Proposición 6.16 (Criterio de la raíz) Tomemos {tn}n∈N una sucesión tal que tn ≥ 0 ∀n ≥N (donde N es algún natural), y tal que

lımn→∞

n√tn = `

(o sea suponemos que el límite existe y vale `). Entonces la serie∑∞

n=1 tn converge si ` < 1 ydiverge si ` > 1.

Teorema 6.17 (Convergencia absoluta ⇒ convergencia) Si∑∞

n=1 |tn| converge, entonces∑∞n=1 tn converge y ∣∣∣∣∣

∞∑n=1

tn

∣∣∣∣∣ ≤∞∑n=1

|tn|

Una de las nociones mas importantes en el estudio de series complejas (y la razón parainsistir con las series de términos positivos) es la de convergencia absoluta:


Definición 6.18 Una sucesión {zn}n∈N se llama absolutamente sumable si la sucesión {|zn|}n∈Nes sumable. Dicho de otra forma, la serie

∑∞n=1 zn se llama absolutamente convergente si la serie∑∞

n=1 |zn| es convergente (notar que nada se dice de la convergencia de∑∞

n=1 zn propiamentedicha).

Ejemplo 6.19 Según lo visto en Análisis I, la sucesión{

(−1)n+1

n

}n∈N

es sumable pero no ab-

solutamente sumable, o sea la serie

1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · ·

converge, pero la serie

1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · ·

no converge.

El ejemplo anterior es el de un caso muy indeseable, donde la primera serie converge poruna cuestión de cancelación: notar que el hecho de que la segunda serie no converja significa quelas sumas parciales se hacen arbitrariamente grandes (pues estamos intentando sumar muchosnúmeros positivos), fenómeno que desaparece con los signos menos de la primer serie. Nosotrosvamos a trabajar con series absolutamente convergentes, cuyo comportamiento es mucho másbenigno, según el siguiente:

Teorema 6.20 Si una serie es absolutamente convergente entonces es convergente (dichode otra forma, si la sucesión {|zn|}n∈N es sumable entonces la sucesión {zn}n∈N es sumable).Además en tal caso se tiene que ∣∣∣∣∣

∞∑n=1

zn

∣∣∣∣∣ ≤∞∑n=1

|zn|

Demostración. Pongamos zn = xn + iyn. Como |xn| ≤ |zn| , la convergencia de∑∞

n=1 |zn|implica la convergencia de

∑∞n=1 |xn| , y esta a su vez implica la convergencia de

∑∞n=1 xn. De

manera análoga se ve que∑∞

n=1 yn converge, y finalmente tenemos que

∞∑n=1

zn =

( ∞∑n=1

xn

)+ i

( ∞∑n=1

yn

).

Para la última afirmación del teorema, notar que∣∣∣∣∣N∑n=1

zn

∣∣∣∣∣ ≤N∑n=1

|zn|

y hacer N →∞.El resultado anterior nos marca, de alguna manera, el camino a seguir: puesto que existen

muchos criterios para decidir si una serie de términos positivos converge, cuando se nos presenta


el problema de determinar la convergencia de una serie siempre, como primer paso, intentamosver si converge absolutamente.

Para terminar, mencionamos el siguiente hecho que marca la tremenda diferencia entre seriesabsolutamente convergentes y no: si

∑∞n=1 zn converge absolutamente, y {wn}n∈N es una reor-

denación de {zn}n∈N (o sea los mismos números pero en otro orden), entonces la serie∑∞

n=1wnconverge y

∞∑n=1

zn =∞∑n=1

wn

(es decir que en este caso la suma infinita es conmutativa). Por otro lado, si∑∞

n=1 rn es unaserie de términos reales que converge pero no converge absolutamente, entonces para todo a realexiste una reordenación de {rn}n∈N cuya serie converge a a (hay extensiones parciales de estehecho a series complejas convergentes pero no absolutamente convergentes, pensar alguna).

Ejemplo 6.21 1. La serie∞∑n=1

n+ i

2nn

converge pues

n

√∣∣∣∣n+ i

2nn

∣∣∣∣ =1

2n

√∣∣∣∣n+ i

n

∣∣∣∣ ≤ 1

2n

√∣∣∣∣n+ in

n

∣∣∣∣ =n√

2

2≤√

2

2< 1,

donde el último ≤ vale para todo n ≥ 2.

2. La serie∞∑n=1

(n− in+ i

)no converge pues ∣∣∣∣n− in+ i

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣n+ i

n+ i

∣∣∣∣ = 1,

y entonces los términos no tienden a cero.

6.3. Series de funciones

De la misma forma que pensamos en sucesiones de números complejos {zn}n∈N , dondeteníamos un número complejo para cada natural n, podemos pensar en una sucesión de funciones{fn}n∈N, donde cada fn (z) es una función compleja definida en cierto dominio (o sea, tenemosuna función compleja para cada número natural n). Por ejemplo si llamamos

fn (z) = nz,

entonces {fn}n∈N es una sucesión de funciones complejas, cada una de las funciones de la sucesiónesta definida en todo C, y la n-ésima función de la sucesión es nz.


Supongamos que tenemos una sucesión de funciones {fn}n∈N , y tomemos un número z fijoque esté en el dominio de todas las funciones fn, entonces {fn (z)}n∈N es una sucesión de númeroscomplejos, así que tiene sentido plantear la serie

f1 (z) + f2 (z) + f3 (z) + · · · =∞∑n=1

fn (z) .

Para decidir si una serie de este tipo converge, se puede aplicar cualquiera de los criteriosvistos, pues se trata de una serie normal de números complejos. Pero estamos interesados enver el problema desde otro punto de vista: dada una sucesión de funciones {fn}n∈N , queremosencontrar los números complejos z para los cuales la serie numérica

∑∞n=1 fn (z) es convergente

(si es que hay alguno). Suponiendo que la serie∑∞

n=1 fn (z) converge para todo z de ciertoconjunto D, llamamos

S (z) = lımN→∞

N∑n=1

fn (z) =

∞∑n=1

fn (z) ,

y esto define una nueva función, S (z) , en D (la función que asigna a cada z de D el valor de laserie numérica

∑∞n=1 fn (z)). Este hecho se suele denotar omitiendo la variable:

S = lımN→∞

N∑n=1

fn =∞∑n=1

fn,

y se dice que la serie de funciones∑∞

n=1 fn converge a la función S. La definición de convergenciaqueda así:

Definición 6.22 Sea {fn}∞n=1 una sucesión de funciones complejas definidas en D ⊆ C. Laserie de funciones

∑∞n=1 fn converge a la función S en D si para todo z en D es cierto que,

dado ε > 0 existe N > 0 tal que

∣∣∣∣∣∣n∑j=1

fj (z)− S (z)

∣∣∣∣∣∣ < ε si n ≥ N

(por supuesto que en general, N dependerá no solo de ε sino también de z).

Ejemplo 6.23 Tomar fn (z) = zn, con n ∈ N (es decir, f1 (z) = z, f2 (z) = z2, f3 (z) = z3,etc.), y queremos ver para que valores de z podemos calcular

f1 (z) + f2 (z) + f3 (z) + · · ·

(notar que cada función fn está definida en todo C). Llamando Sn (z) = f1 (z)+f2 (z)+f3 (z)+· · · fn (z) y haciendo la misma cuenta que para la serie geométrica, concluimos que para z 6= 1vale

Sn (z) =z − zn+1

1− z .

Entonces, para z con |z| < 1 tenemos que

∞∑n=1

fn (z) = lımn→∞

Sn (z) =z

1− z ,


y para z con |z| ≥ 1 la serie no converge pues los términos no tienden a cero. Es decir, la serie∑∞n=1 fn converge en la región D = {z : |z| < 1} .

Definición 6.24 Dada una sucesión de funciones fn : D ⊆ C → C diremos que∑∞

n=1 fn con-verge en un conjunto D si

∑∞n=1 fn (z) converge para todo z ∈ D (notar que, necesariamente

D ⊆ Dom (fn) ∀ n, es decir, los puntos donde la serie converge son, necesariamente, puntosdel dominio de las funciones fn). Análogamente, diremos que la serie

∑∞n=1 fn converge absolu-

tamente en D si la serie∑∞

n=1 |fn (z)| converge para todo z ∈ D (o sea si la serie∑∞

n=1 fn (z)converge absolutamente para todo z ∈ D).

Definición 6.25 La región de convergencia de la serie∑∞

n=1 fn es el conjunto{z ∈ C :

∞∑n=1

fn (z) converge

},

es decir, el mayor conjunto donde la serie converge.

Los criterios enunciados para series numéricas quedan ahora así:

Si∑∞

n=1 fn y∑∞

n=1 gn son series de funciones,∑∞

n=1 fn converge a f en Df ⊆ C, y∑∞n=1 gn converge a g en Dg ⊆ C, y α es un número complejo, entonces la serie de

funciones∑∞

n=1 (αfn + gn) converge a la función αf + g en Df ∩Dg.

Si fn = un + ivn y f = u+ iv, entonces∑∞

n=1 fn converge a f en Df si y solo si∑∞

n=1 unconverge a u en Df y

∑∞n=1 vn converge a v en Df .

La serie∑∞

n=1 fn converge en D si y solo si la serie RN =∑∞

n=N+1 fn converge en D paratodo N, y en tal caso

lımN→∞

RN (z) = 0 ∀ z ∈ D.

Si∑∞

n=1 fn converge en D ⊆ C entonces

lımn→∞

fn (z) = 0 ∀ z ∈ D.

Si∑∞

n=1 fn converge absolutamente en D ⊆ C entonces converge en D (es decir, si∑∞n=1 |fn (z)| converge para todo z en D entonces

∑∞n=1 fn (z) converge para todo z en

D).

Si |hn (z)| ≤ |fn (z)| ∀ z ∈ D y∑∞

n=1 |fn| converge en D, entonces∑∞

n=1 |hn| converge enD (y entonces

∑∞n=1 hn converge en D).

Si {fn}n∈N es una sucesión con fn (z) 6= 0 ∀ z ∈ D y ∀n ≥ N (donde N es algún natural)y para todo z ∈ D existe qz < 1 tal que

lımn→∞

∣∣∣∣fn+1 (z)

fn (z)

∣∣∣∣ = lz,


n=1 fn converge absolutamente en D si lz < 1 ∀ z ∈ D (y diverge paralos valores de z tales que lz > 1).


Si {fn}n∈N es una sucesión ylımn→∞

n√|fn (z)| = lz,


n=1 fn converge absolutamente en D si lz < 1 ∀ z ∈ D (y diverge paralos valores de z tales que lz > 1).

Ejemplo 6.26 Tomemos

fn (z) =

(z

z + 1

)n(o sea que cada fn está definida en C−{−1}), buscamos la región de convergencia de

∑∞n=1 fn.

Por el ejemplo anterior, sabemos que necesitamos∣∣∣∣( z

z + 1

)∣∣∣∣ < 1,

y si ponemos z = x+ iy, entonces∣∣∣∣( z

z + 1

)∣∣∣∣ < 1⇐⇒ |z| < |z + 1| ⇐⇒ |z|2 < |z + 1|2 ⇐⇒

x2 + y2 < (x+ 1)2 + y2 ⇐⇒ x2 < x2 + 2x+ 1⇐⇒ −1

2< x,

es decir, la serie converge en el semiplano{z : Re (z) > −1

2

}.

Al igual que lo hecho en el caso de series de funciones de variable real, al considerar unaserie de funciones

∑∞n=1 fn queremos que se porte como una suma finita. Es decir: si {fn}n∈N

es una sucesión de funciones continuas en D y la serie∑∞

n=1 fn converge en D, ¿será cierto quela función

∑∞n=1 fn (z) es continua en D?. ¿Y si las fn son analíticas?. A continuación vamos a

contestar esas preguntas. Los resultados que se obtienen son mejores aún que en el caso real, ymarcan la diferencia entre series de funciones de variable real y las de variable compleja.

Teorema 6.27 Si {fn}n∈N es una sucesión de funciones continuas en un abierto D ⊆ C yexiste una sucesión de números {Mn}n∈N tales que

1. para cada n ∈ N, vale que |fn (z)| ≤Mn ∀ z ∈ D, y

2. la serie∑∞

n=1Mn converge.


n=1 fn converge absolutamente en D a una función continua S(z).Además, ∫

CS (z) dz =

∞∑n=1

∫Cfn (z) dz

para toda curva suave C ⊆ D.


Demostración. Primero notar que por comparación la serie∑∞

n=1 fn(z) converge (absoluta-mente) para todo z ∈ D. Llamemos S(z) =

∑∞n=1 fn(z). Además, para todo z ∈ D vale que

|RN (z)| =∣∣∣∣∣∞∑n=1

fn(z)−N∑n=1

fn(z)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∞∑

n=N+1

fn(z)

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

n=N+1

|fn(z)| ≤∞∑

n=N+1

Mn −→N→∞

0

(por ser el resto de una serie convergente), y entonces dado ε > 0 puedo encontrar n0 ∈ N talque

|Rn0 (z)| < ε

3∀ z ∈ D

Doy un z0 fijo en D, quiero ver que puedo hacer |S (z)− S (z0)| chico tomando z suficiente-mente próximo a z0, es decir, doy ε > 0 y quiero ver que hay un δ > 0 tal que

|S (z)− S (z0)| < ε si |z − z0| < δ.

Llamemos Sn (z) =∑n

j=1 fj (z) , entonces

|S (z)− S (z0)| = |S (z)− Sn0 (z) + Sn0 (z)− Sn0 (z0) + Sn0 (z0)− S (z0)| ≤≤ |S (z)− Sn0 (z)|+ |Sn0 (z)− Sn0 (z0)|+ |Sn0 (z0)− S (z0)| == |Rn0 (z)|+ |Sn0 (z)− Sn0 (z0)|+ |Rn0 (z0)| << 2

ε

3+ |Sn0 (z)− Sn0 (z0)| . (6.1)

Ahora tomo δ tal que|Sn0 (z)− Sn0 (z0)| < ε

3si |z − z0| < δ (6.2)

(que existe pues la función Sn0 (z) es continua en z0 pues es la suma de n0 funciones continuas).Combinando (6.1) con (6.2), vemos que tal δ es el que estábamos buscando.

En cuanto a la parte de integrar término a término: notar que el enunciado dice que la serienumérica ∞∑

n=1

∫Cfn (z) dz

converge, y que converge al número complejo∫C S (z) dz (bien definido pues S es continua en

C).Por definición de convergencia de una serie numérica, queremos ver que∣∣∣∣∣

∫CS (z) dz −

N∑n=1

∫Cfn (z) dz

∣∣∣∣∣ −→N→∞0

Llamemos ` a la longitud de C; como la suma de las integrales es la integral de la suma, queda∣∣∣∣∣∫CS (z) dz −

N∑n=1

∫Cfn (z) dz

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫CS (z) dz −

∫C

(N∑n=1

fn (z)

)dz

∣∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∣∫C

(S (z)−

N∑n=1

fn (z)

)dz

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫CRN (z) dz

∣∣∣∣ ≤≤ `

( ∞∑n=N+1

Mn

)−→N→∞

0,


donde el último ≤ vale pues |RN (z)| ≤∑∞

n=N+1Mn para todo z ∈ C (en realidad sabemos quedicha desigualdad vale en todo D).

Observación 6.28 Con la notación del teorema anterior, si de antemano sabemos que S escontinua en C, para integrar término a término sobre C sólo necesitamos la hípotesis (1) en C,es decir,

1. para cada n ∈ N, vale que |fn (z)| ≤Mn ∀ z ∈ C, y

2. la serie∑∞

n=1Mn converge.

La hipótesis (1) en todo D se usa solo para ver que S es continua.

Teorema 6.29 Si {fn}n∈N es una sucesión de funciones analíticas en un abierto D y existeuna sucesión de números {Mn}n∈N tales que

1. para cada n ∈ N, vale que |fn (z)| ≤Mn ∀ z ∈ D, y

2. la serie∑∞

n=1Mn converge.


n=1 fn converge absolutamente en D a una función analítica S (z) , y

S′(z) =∞∑n=1

f ′n (z) ∀ z ∈ D.

Demostración. Para ver que f es analítica en D basta con demostrar que f es analítica en cadabola B contenida en D, y para eso vamos a usar el Teorema 5.26. Como cada fn es analítica enB, el Teorema de Cauchy dice que∫

Cfn (z) dz = 0 ∀ n ∈ N

para toda curva cerrada en C ⊆ B, y entonces el Teorema 6.27 nos dice que∫CS (z) dz = 0,

de donde concluimos (usando el Teorema 5.26) que S (z) es analítica en B.Veamos que se puede derivar término a término: tomemos z0 en D y calculemos S′(z0). Tomo

r > 0 tal que la bola Br = {z : |z − z0| ≤ r} este en D (que existe pues D es abierto), y llamoCr = {z : |z − z0| = r} , recorrida en sentido antihorario.

D

rCr

z0


Para todo z ∈ D vale que

S (z)

(z − z0)2 =1

(z − z0)2

∞∑n=1

fn (z) =∞∑n=1

fn (z)

(z − z0)2 ,

y para todo n ∈ N vale que ∣∣∣∣ fn (z)

(z − z0)2

∣∣∣∣ ≤ Mn

r2para todo z ∈ Cr.

Entonces el Teorema 6.27 (y la Observación que le sigue), y la Fórmula Integral de Cauchy(aplicada dos veces) implican que

S′(z0) =1

2πi

∫Cr

S (z)

(z − z0)2dz =

∞∑n=1

1

2πi

∫Cr

fn (z)

(z − z0)2dz =

∞∑n=1

f ′n (z0) .

Nota importante 6.30 Este Teorema marca una diferencia importante entre la teoría de vari-able compleja y la teoría de variable real: notar que su homólogo real (el Teorema 1.14) pidecondiciones sobre las derivadas f ′n, y este no.

Ejemplo 6.31 Consideremos la serie∞∑n=1

enz

Si R = {z : |Re (z)| < −1}, entonces

|enz| = enx ≤ e−n ∀ z ∈ R,

y como la serie∑∞

n=1 e−n converge, podemos concluir que S(z) =

∑∞n=1 e

nz es una funciónanalítica en R, y además

S′(z) =

∞∑n=1

nenz.

6.4. Series de potencias

En esta sección vamos a estudiar un caso particular de series de funciones, que es cuandola sucesión de funciones a sumar es particularmente sencilla, más concretamente, sumaremossucesiones {fn}n∈N∪{0} donde fn (z) = an (z − a)n (un monomio de grado n, creo que le dicen).

Definición 6.32 Una serie de la forma

a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + a3 (z − a)3 + a4 (z − a)4 + · · ·

donde a y a0, a1, ... son números complejos, se llama una serie de potencias centrada en a (ouna serie de potencias “en a”). Es decir, una serie de potencias en a es una serie

∑∞n=0 fn,

donde fn (z) = an (z − a)n .


Ejemplo 6.33 1. La serie geométrica∑∞

n=0 zn es una serie de potencias centrada en 0,

donde todos los coeficientes an valen 1. Notar que vimos que la región de convergencia dedicha serie era el disco {z : |z| < 1} .

2. La serie ∞∑n=1

(−1)n+1 (z − 1)n

n

es una serie de potencias centrada en 0 (veremos que converge en {z : |z − 1| < 1} alog (z)).

La región de convergencia de una serie de funciones puede tener muchas formas, pero laregión de convergencia de una serie de potencias es siempre un disco, según puede deducirse delsiguiente teorema:

Teorema 6.34 Si la serie de potencias∞∑n=0

an (z − a)n

converge para z = z0 entonces converge absolutamente para todo z con |z − a| < |z0 − a| .

Demostración. Puesto que la serie∞∑n=0

an (z0 − a)n converge, la Condición del Resto nos dice

quelımn→∞

an (z0 − a)n = 0,

y entonces ∃M tal que|an (z0 − a)n| ≤M ∀ n. Si tomamos z tal que |z − a| < |z0 − a|, tendremos

|an (z − a)n| = |anrn|(|z − a||z0 − a|

)n≤M

∣∣∣∣ z − az0 − a

∣∣∣∣n .Puesto que la serie

∞∑n=0

∣∣∣∣ z − az0 − a

∣∣∣∣n

converge (por ser geométrica de razón menor que 1), por comparación concluimos que∞∑n=0

an (z0 − a)n

converge absolutamente.El resultado anterior nos permite definir el concepto de radio de convergencia de una

serie de potencias: consideremos la serie∞∑n=0

an (z − a)n, que siempre converge (a cero) cuando

z = a. Llamemos R0 = 0, y exploremos dos posibilidades:

1. Si existe z0 tal que |z0 − a| > R0 y tal que la serie∑∞

n=0 an (z0 − a)n sea convergente,llamemos R1 = |z0 − a| (notar R1 > R0). En tal caso el Teorema anterior nos dice que laserie converge absolutamente ∀ z ∈ {z : |z − a| < R1}.


2. Si no existe z0 tal que |z0 − a| > R0 y la serie∑∞

n=0 an (z0 − a)n sea convergente, llamamosR = R0 = 0, y la serie converge solo en z = a.

En el caso 1., seguimos iterativamente de la siguiente manera:

1. Si existe z1 tal que |z1 − a| > R1 y tal que la serie∑∞

n=0 an (z1 − a)n sea convergente,llamemos R2 = |z1 − a| (notar R2 > R1). En tal caso el Teorema anterior nos dice que laserie converge absolutamente ∀ z ∈ {z : |z − a| < R2}.

2. Si no existe z1 tal que |z1 − a| > R1 y la serie∑∞

n=0 an (z1 − a)n sea convergente, lla-mamos R = R1, y la serie converge absolutamente ∀ z ∈ {z : |z − a| < R} y diverge∀ z ∈ {z : |z − a| > R}.

Este proceso iterativo nos permite construir una sucesión creciente {Rn}∞n=0 cuyo límite(≤ ∞) se llama el radio de convergencia de la serie de potencias:

Definición 6.35 El radio de convergencia de la serie∑∞

n=0 an (z0 − a)n es un número R ∈[0,∞] con la siguiente propiedad: la serie converge absolutamente ∀ z ∈ {z : |z − a| < R} ydiverge ∀ z ∈ {z : |z − a| > R}. No sabemos que pasa en {z : |z − a| = R}.

Nota 6.36 El radio de convergencia puede ser infinito (cuando la serie converge en todo elplano complejo), y puede ser cero (cuando la serie converge solo en un punto). Las series

∞∑n=0

zn

n!y

∞∑n=0

n!zn

son ejemplos de esta situación, ya que la primera converge para todo z, y la segunda sólo paraz = 0.

Veremos ahora un par de métodos para encontrar el radio de convergencia a partir de loscoeficientes an de una serie de potencias

∑∞n=0 an (z − a)n .

Proposición 6.37 Considerar la serie de potencias∑∞

n=0 an (z − a)n . Si el límite

lımn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣existe y vale L, entonces el radio de convergencia de la serie es R = 1/L.

Demostración. Tomemos z fijo y distinto de a, entonces con nuestras hipótesis tenemos que

lımn→∞

∣∣∣∣∣an+1 (z − a)n+1

an (z − a)n

∣∣∣∣∣ = lımn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ |(z − a)| = L |(z − a)| ,

por lo cual el corolario del criterio del cociente nos dice que la serie va a converger si L |(z − a)| <1, es decir si |(z − a)| < 1/L, y va a diverger si L |(z − a)| > 1, o sea si |(z − a)| > 1/L, es decirque el mayor disco abierto donde la serie converge es

{z : |z − a| < 1/L} ,

es decir el radio de convergencia es 1/L.


Proposición 6.38 Considerar la serie de potencias∑∞

n=0 an (z − a)n . Si el límite

lımn→∞

n√|an|

existe y vale L, entonces el radio de convergencia de la serie es R = 1/L.

Demostración. Tomemos z fijo y distinto de a, entonces con nuestras hipótesis tenemos que

lımn→∞

n

√|an (z − a)n| = lım

n→∞|(z − a)| n

√|an| = |(z − a)|L,

por lo cual el corolario del criterio de la raíz nos dice que la serie va a converger si L |(z − a)| < 1,es decir si |(z − a)| < 1/L, y va a diverger si L |(z − a)| > 1, o sea si |(z − a)| > 1/L, es decirque el mayor disco abierto donde la serie converge es

{z : |z − a| < 1/L} ,

es decir el radio de convergencia es 1/L.

Los resultados más importantes tienen que ver con derivadas e integrales de series de poten-cias. Notar que si la serie

∑∞n=0 an (z − a)n tiene radio de convergencia R, entonces la función

compleja

S (z) =∞∑n=0

an (z − a)n

está definida en el disco abierto D = {z : |z − a| < R} , y si r < R entonces

1. |an (z − a)n| ≤ |an| rn para todo z ∈ Br(a)

2.∑∞

n=0 |an| rn converge (pues la serie converge absolutamenten en z = a+ r),

y entonces puedo derivar e integrar término a término en Br(a) (usando los Teoremas 6.29y 6.27, y que cada fn (z) = an (z − a)n es analítica en C). Pero como r es cualquiera menor queR, resulta que puedo derivar e integrar término a término en todo D (¡pensar!). Entonces

S′ (z) =∞∑n=1

nan (z − a)n−1 ,

y puedo encontrar una primitiva de S (z) enD integrando (como en el Teorema de las Primitivas)término a término, es decir, una primitiva de S (z) en D es∫ z

aS (w) dw =

∫ z

a

( ∞∑n=0

an (w − a)n)dw =

∞∑n=0

(∫ z

aan (w − a)n dw

)=∞∑n=0

ann+ 1

(z − a)n+1

(el último igual vale pues ann+1 (z − a)n+1 es una primitiva de an (z − a)n en D, recordar lo que

significa la notación de integral usada arriba).Ahora, el teorema que nos permite derivar término a término nos asegura que la serie que

define S′(z) converge (por lo menos) en la misma región donde converge la serie que define S (z) ,y por lo tanto el radio de convergencia de la serie

∞∑n=1

nan (z − a)n−1 (6.3)


debe ser por lo menos R, y exactamente lo mismo se aplica a la serie

∞∑n=0

ann+ 1

(z − a)n+1 . (6.4)

Esto implica que el radio de convergencia de la serie (6.3) debe ser exactamente R, pues sifuera mayor que R, integrando concluiríamos que la serie

∞∑n=0

an (z − a)n

tiene radio de convergencia mayor que R. Un razonamiento análogo se aplica para concluir quela serie (6.4) debe tener radio de convergencia R, o sea tenemos el siguiente teorema:

Teorema 6.39 Si la serie de potencias∑∞

n=0 an (z − a)n tiene radio de convergencia R, en-tonces la función

S (z) =

∞∑n=0

an (z − a)n

que define en el disco abierto D = {z : |z − a| < R} es analítica en D, y las derivadas (resp. inte-grales) de S se obtienen derivando (resp. integrando) término a término, y las series resultantestienen el mismo radio de convergencia R.

El teorema anterior es muy importante porque, a partir de él, hemos creado una cantidadinmensa de funciones analíticas: cada serie de potencias con radio de convergencia mayor quecero nos da una. Veremos pronto que, en algún sentido, son las únicas funciones analíticas enabiertos simplemente conexos.

Ejemplo 6.40 Puesto que la serie∑∞

n=0 (−1)n+1 z2n

(2n)! tiene radio de convergencia infinito (ver-ificar!), me define una función analítica en todo el plano, y puedo derivar e integrar término atérmino, obteniendo

d

dz

( ∞∑n=0

(−1)n+1 z2n

(2n)!

)=

∞∑n=0

d

dz(−1)n+1 z2n

(2n)!=

∞∑n=1

(−1)n+1 2nz2n−1

(2n)!=

∞∑n=1

(−1)n+1 z2n−1

(2n− 1)!,

y ∫ z

0

( ∞∑n=0

(−1)n+1 w2n

(2n)!

)dw =

∞∑n=0

∫ z

0(−1)n+1 w2n

(2n)!dw =

∞∑n=0

(−1)n+1 z2n+1

(2n+ 1)!

=∞∑n=1

(−1)nz2n−1

(2n− 1)!= −

∞∑n=1

(−1)n+1 z2n−1

(2n− 1)!,

es decir, la derivada y la integral de la serie son iguales, salvo por el signo (!) ¿Qué función queUd. conozca tiene esa propiedad?


Para terminar, un teorema que caracteriza a las series de potencias en términos de suscoeficientes: si tengo dos series de potencias

∑∞n=0 an (z − a)n y

∑∞n=0 bn (z − a)n que convergen

ambas en cierto disco D = {z : |z − a| < r} (no estoy pidiendo que tengan el mismo radio deconvergencia), y sé que an = bn para todo n, entonces está claro que las dos series son iguales.La pregunta obvia es si la recíproca es cierta: supongamos que

∞∑n=0

an (z − a)n =

∞∑n=0

bn (z − a)n ∀ z ∈ D,

¿será cierto que an = bn ∀n?, ¿o se podrán elegir los coeficientes an y bn distintos pero de formatal que cuando uno hace la suma infinita de igual? La respuesta es:

Teorema 6.41 Si dos series de potencias∑∞

n=0 an (z − a)n y∑∞

n=0 bn (z − a)n convergen am-bas en D = {z : |z − a| < r} y

∞∑n=0

an (z − a)n =∞∑n=0

bn (z − a)n ∀ z ∈ D,

entonces an = bn ∀n.

Demostración. Llamemos f (z) =∑∞

n=0 an (z − a)n y g (z) =∑∞

n=0 bn (z − a)n , ambas fun-ciones analíticas en D. Puesto que f (a) = g (a) , tenemos que a0 = b0. Derivando tenemosque

f ′(z) =∞∑n=1

nan (z − a)n−1 y g′(z) =∞∑n=1

nbn (z − a)n−1 ,

y además sabemos que f ′ = g′, en particular f ′(a) = g′(a), es decir a1 = b1. Siguiendo el mismoprocedimiento y usando inducción en n concluimos que an = bn ∀n.


Capítulo 7

Desarrollos en serie de potencias -Residuos

Existen dos tipos particularmente sencillos de funciones analíticas: los polinomios

p (z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn,

y las funciones racionales

r (z) =p (z)

q (z),

donde p y q son polinomios sin raíces comunes. Los polinomios son analíticos en todo el planocomplejo, en particular en cualquier bola {z : |z − a| < R} , mientras que las funciones racionalesson analíticas en todo el plano complejo menos las raíces a1, ..., am del polinomio divisor, enparticular en cualquier anillo de la forma {z : r < |z − a| < R} que no contenga ninguna de lasraíces a1, ..., am. En esta sección veremos que en cierto sentido, estas son casi las únicas funcionesanalíticas.

7.1. Teorema de Taylor

Caracterizaremos con el siguiente teorema a las funciones analíticas en bolas:

Teorema 7.1 (Taylor) Si f (z) es una función analítica en un abierto D y la bola B =

183

184 Desarrollos en serie de potencias - Residuos

{z : |z − a| ≤ R} está contenida en D, entonces para todo z con |z − a| < R vale que

f (z) = f (a) + f ′(a) (z − a) +f ′′(a)

2!(z − a)2 +

f ′′′(a)

3!(z − a)3 + · · ·

=

∞∑n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n ,

y la serie converge absolutamente a f.Además el desarrollo es único en el siguiente sentido: si f (z) =

∑∞n=0 an (z − a)n para todo

z en un entorno de a, entonces

an =f (n)(a)

n!∀ n.

Demostración. Tomo z tal que |z − a| < R fijo, y llamo CR = {w : |w − a| = R} ,

C w

z

aR

D

Puesto que

w − z = w − a+ a− z = (w − a)

(1− z − a

w − a

),

usando la serie geométrica obtenemos que en para todo w ∈ CR vale que

1

w − z =1

(w − a)

1(1− z−a

w−a

) =1

(w − a)

∞∑n=0

(z − aw − a

)n.

Multiplicando por f (w) /2πi queda

f (w)

2πi (w − z) =∞∑n=0

f (w)

2πi (w − a)n+1 (z − a)n ,

es decir, la serie∑∞

n=0f(w)

2πi(w−a)n+1 (z − a)n converge la función S (w) = f(w)2πi(w−z) para todo

w ∈ CR. Integrando sobre CR en sentido antihorario y aplicando la Fórmula integral de Cauchy(dos veces) obtenemos

f(z) =1

2πi

∫CR

f (w)

(w − z)dw =1

2πi

∫CR

∞∑n=0

f (w)

(w − a)n+1 (z − a)n dw =

=∞∑n=0

(1

2πi

∫CR

f (w)

(w − a)n+1 (z − a)n dw

)=

∞∑n=0

(1

2πi

∫CR

f (w)

(w − a)n+1dw

)(z − a)n =

=∞∑n=0

f (n) (a)

n!(z − a)n .

Desarrollos en serie de potencias - Residuos 185

Nos falta justificar la integración término a término: puesto que f es analítica en D, es continuaen D, y por lo tanto existe M tal que

|f (w)| ≤M ∀w ∈ CR,

y entonces∣∣∣∣ f (w)

2πi (w − a)n+1 (z − a)n∣∣∣∣ ≤ M

2π |(w − a)|

∣∣∣∣( z − aw − a

)n∣∣∣∣ ≤ M

2πR

∣∣∣∣(z − aR

)n∣∣∣∣ ∀w ∈ CR,


M

2πR

∣∣∣∣(z − aR

)n∣∣∣∣converge, la integración término a término queda justificada por el Teorema 6.27 (y la Obser-vación que le sigue).

La convergencia absoluta se sigue de la definición de radio de convergencia, y la unicidad deldesarrollo del Teorema 6.41.

Nota 7.2 el teorema anterior nos dice que toda función analítica en una bola de centro a puedeexpresarse como una serie de potencias centrada en a. Esta serie se llama el desarrollo deTaylor de f en a, o desarrollo de f en serie de potencias centrada en a. Cuando a = 0 se suelellamar desarrollo de McLaurin.

En la demostración anterior, se deduce que el radio de convergencia de la serie de Taylor def en a es la distancia desde a hasta el punto más próximo del plano complejo donde f deja deser analítica, siendo ∞ si f es analítica en todo C.

Ejemplo 7.3

1. Tomemos f (z) = ez, como f es analítica en todo C, el teorema anterior nos dice que laserie de Taylor de f centrada en cualquier punto va a converger en todo C. Como

ez = f (z) = f ′ (z) = f ′′ (z) = · · · = f (n) (z) ∀ n,

tenemos quef (n) (0) = 1 ∀ n,

y entonces queda

ez =

∞∑n=0

zn

n!∀ z ∈ C.

De manera análoga al punto anterior, se obtiene

sin (z) =

∞∑n=0

(−1)nz2n+1

(2n+ 1)!∀ z ∈ C,

y derivando,

cos (z) =∞∑n=0

(−1)nz2n

2n!∀ z ∈ C.

(ejercicio, dar los detalles).


2. Si f (z) = 11+z2 , y queremos encontrar la serie de f centrada en a = 0, primero notamos

que f deja de ser analítica en ±i, por lo tanto dicha serie va a tener radio de convergencia1. Pero si |z| < 1, entonces usando la serie geométrica concluimos que

1

1 + z2=

1

1− (−z2)=∞∑n=0

(−z2

)n=∞∑n=0

(−1)n z2n

(pues |z| < 1⇐⇒∣∣z2∣∣ < 1), es decir que para todo z con |z| < 1 vale

f (z) =∞∑n=0

(−1)n z2n,

entonces por unicidad esa debe ser la serie de Taylor de f centrada en 0. Además como elcoeficiente de la potencia n-ésima de la serie de Taylor es

an =f (n) (0)

n!,

el desarrollo anterior nos permite concluir que f (n) (0) = 0 para todo n impar (ejercicio).

7.2. Series de Laurent

En esta sección caracterizaremos las funciones analíticas en anillos. Para hacerlo, resultaconveniente (para simplificar la notación) utilizar series “dobles”: si tenemos una sucesión de laforma {fn}n∈Z , es decir

..., f−3 (z) , f−2 (z) , f−1 (z) , f0 (z) , f1 (z) , f2 (z) , f3 (z) , ...

queremos darle sentido a la expresión∑∞

n=−∞ fn(es decir, queremos “sumar” todas esas fun-ciones). Esto lo haremos de la siguiente manera: transformamos la sucesión {fn}n∈Z en dossucesiones, {fn}n∈N∪{0} y

{f(−n)

}n∈N , y sumamos ambas.

Definición 7.4 diremos que la serie (doble)∑∞

n=−∞ fn converge [resp, absolutamente]en D silas series ∞∑

n=1

f−n (z) y∞∑n=0

fn (z)

convergen ambas [resp, absolutamente] en D.

Un ejemplo típico de estas series dobles se da cuando fn (z) = an (z − a)n , y la región típicade convergencia de estas series es un anillo: la serie

∑∞n=0 an (z − a)n es una serie de potencias

(y por lo tanto converge en una región del tipo {z : |z − a| < R}, y la serie∑∞

n=1 a(−n) (z − a)−n

es una serie de potencias negativas y, de manera análoga a lo hecho para series de potencias, sepuede ver que converge en una región del tipo {z : |z − a| > r} (ejercicio). Entonces, ambasconvergen en {z : r < |z − a| < R}.

Caracterizaremos con el siguiente teorema a las funciones analíticas en anillos:


Teorema 7.5 (Laurent) Si f (z) es una función analítica en un abierto D que contiene elanillo A = {z : r ≤ |z − a| ≤ R}, entonces para todo z con r < |z − a| < R vale que

f (z) =∞∑

n=−∞an (z − a)n ,

donde

an =1

2πi

∫C

f (w)

(w − a)n+1dw

con C cualquier curva cerrada simple en A que encierre a a recorrida en sentido antihorario, yla serie converge absolutamente a f en cualquier anillo centrado en a de radio interior mayorque r y radio exterior menor que R.

Además el desarrollo es único en el siguiente sentido: si f (z) =∑∞

n=−∞ cn (z − a)n paratodo z en un anillo que contiene A, entonces

cn = an ∀ n ∈ Z.

Demostración. tomemos z con r < |z − a| < R fijo, y llamemos Cr = {z : |z − a| = r} recorridoen sentido antihorario, y símil CR. Dividiendo A (con una recta que pase por a pero no por z)como muestra el dibujo, obtenemos dos curvas cerradas simples que llamamos T1⊕S1⊕T2⊕S2

y T3 ⊕ S3 ⊕ T4 ⊕ S4.

D

a a

a

zCr

CR T1

T2

T3

T4S1

S2

S3S4

Necesariamente una de estas dos curvas encierra z, supongamos que la primera, y en tal caso lafórmula integral de Cauchy nos dice que

f (z) =1

2πi

∫T1⊕S1⊕T2⊕S2

f (w)

(w − z)dw

(pues f (w) es analítica en una región simplemente conexa que contiene T1⊕ S1⊕ T2⊕ S2), y elteorema de Cauchy dice que

0 =1

2πi

∫T3⊕S3⊕T4⊕S4

f (w)

(w − z)dw

(pues la función g (w) = f(w)(w−z) es analítica en una región simplemente conexa que contiene

T3⊕S3⊕T4⊕S4). Sumando estas dos igualdades y teniendo en cuenta que S1 = −S3, S2 = −S4,CR = T1 ⊕ T3, y −Cr = T2 ⊕ T4, resulta

f (z) =1

2πi

∫CR

f (w)

(w − z)dw −1

2πi

∫Cr

f (w)

(w − z)dw. (7.1)


Desde acá la demostración sigue como en el Teorema de Taylor. La primera integral de (7.1) setrata exactamente igual: si w ∈ CR entonces |w − a| = R, y como |z − a| < R tenemos

1

w − z =1

w − a1(

1− z−aw−a

) =1

w − a

∞∑n=0

(z − aw − a

)n,

entoncesf (w)

2πi (w − z) =

∞∑n=0

1

2πi

f (w)

(w − a)n+1 (z − a)n

e integrando queda

1

2πi

∫CR

f (w)

(w − z)dw =

∫CR

∞∑n=0

1

2πi

f (w)

(w − a)n+1 (z − a)n dw =

=∞∑n=0

[1

2πi

∫CR

f (w)

(w − a)n+1dw

](z − a)n ,

donde el último paso es lícito porque se cumplen las hipótesis del Teorema 6.27 (y la Observaciónque le sigue), ya que si tomamos M tal que

|f (w)| ≤M ∀w ∈ CR

resulta ∣∣∣∣ 1

2πi

f (w)

(w − a)n+1 (z − a)n∣∣∣∣ ≤ M

2πR

(|z − a|R

)n.

Por último, si C es una curva como pide el enunciado, el principio de deformación de la trayectorianos dice que ∫

CR

f (w)

(w − a)n+1dw =

∫C

f (w)

(w − a)n+1dw n = 0, 1, 2, ...,

por lo que finalmente queda

1

2πi

∫CR

f (w)

(w − z)dw =

∞∑n=0

[1

2πi

∫C

f (w)

(w − a)n+1dw

](z − a)n (7.2)

Para la segunda integral de (7.1) hacemos así: si w ∈ Cr entonces |w − a| = r, y como |z − a| > rtenemos

−1

w − z =−1

w − a+ a− z =1

z − a+ a− w =1

(z − a)(

1− w−az−a

) =1

(z − a)

∞∑n=0

(w − az − a

)n

pues∣∣∣w−az−a

∣∣∣ < 1. Multiplicando por f (w) /2πi queda

−f (w)

2πi (w − z) =∞∑n=0

1

2πif (w) (w − a)n

1

(z − a)n+1 ,


e integrando, usando exactamente los mismos argumentos concluimos que

1

2πi

∫Cr

−f (w)

(w − z)dw =

∫Cr

∞∑n=0

1

2πif (w) (w − a)n

1

(z − a)n+1dw

=

∞∑n=0

[1

2πi

∫Cr

f (w) (w − a)n dw

]1

(z − a)n+1

=∞∑n=1

[1

2πi

∫Cr

f (w) (w − a)n−1 dw

]1

(z − a)n

=

∞∑n=1

[1

2πi

∫Cr

f (w)

(w − a)−n+1dw

](z − a)−n

=

−∞∑n=−1

[1

2πi

∫Cr

f (w)

(w − a)n+1dw

](z − a)n

Por último, si C es una curva como pide el enunciado, el principio de deformación de la trayectorianos dice que ∫

Cr

f (w)

(w − a)n+1dw =

∫C

f (w)

(w − a)n+1dw n = −1,−2,−3, ...,

por lo que finalmente queda

1

2πi

∫Cr

−f (w)

(w − z)dw =

−∞∑n=−1

[1

2πi

∫C

f (w)

(w − a)n+1dw

](z − a)n (7.3)

Combinando (24) con (25) y (26) obtenemos

f (z) =∞∑n=0

[1

2πi

∫C

f (w)

(w − a)n+1dw

](z − a)n +

−∞∑n=−1

[1

2πi

∫C

f (w)

(w − a)n+1dw

](z − a)n

=

∞∑n=−∞

[1

2πi

∫C

f (w)

(w − a)n+1dw

](z − a)n ,

que es exactamente lo que queríamos.En cuanto a la unicidad del desarrollo se obtiene así: si

f (z) =∞∑

n=−∞cn (z − a)n ,

tomamos una curva C como la del enunciado y un k ∈ Z fijo. Argumentos absolutamenteanálogos a los utilizados nos permiten ver que la integración término a término sobre C es lícita,con lo cual obtenemos

1

2πi

∫C

f (w)

(w − a)k+1dw =

1

2πi

∫C

1

(w − a)k+1

[ ∞∑n=−∞

cn (w − a)n]dw

=1

2πi

∫C

∞∑n=−∞

cn (w − a)n (w − a)−k−1 dw

=

∞∑n=−∞

cn1

2πi

∫C

(w − a)n−k−1 dw;


pero según vimos en un ejemplo,

1

2πi

∫C

(w − a)n−k−1 dw =

{1 si n− k − 1 = −10 si n− k − 1 6= −1

es decir, la serie de arriba tiene un único término distinto de cero, y es cuando n = k, y queda

1

2πi

∫C

f (w)

(w − a)k+1dw = ck.

Nota 7.6 El teorema anterior nos dice que toda función analítica en un anillo

A = {z : r < |z − a| < R}

puede expresarse como una serie de potencias (negativas y positivas) de (z − a) . Esta serie sellama el desarrollo de Laurent de f en A. Revisando la demostración anterior, se deduceque la mayor región de convergencia del desarrollo de Laurent de f en A es el mayor anilloque contiene a A donde f es analítica. Además, está mal reemplazar las integrales que dan loscoeficientes de la serie por f (n) (a) /n! pues esto no tiene sentido si n < 0, y puede no tenerloaunque n sea positivo, pues no sabemos que f sea derivable en a

Nota 7.7 (Otra) Los desarrollos de Laurent incluyen a los de Taylor, es decir, si f es analíticaen un abierto que contiene el disco {z : |z − a| ≤ R} entonces en particular f es analítica en unabierto que contiene al anillo {z : r < |z − a| < R} (para cualquier r < R), y el desarrollo deLaurent de f en dicho anillo, será necesariamente el desarrollo de Taylor de f en a (notar queen tal caso, la segunda integral de (7.1) es cero). Esto se deduce por la unicidad del desarrollode Laurent (pues todo desarrollo de Taylor es un desarrollo de Laurent), pero además notar queen estas hipótesis (f analítica en un entorno de a) se tiene

1

2πi

∫C

f (w)

(w − a)n+1dw =

{0 si n < 0

f (n) (a) /n! si n ≥ 0

donde C es cualquier curva cerrada simple en {z : |z − a| < R} tal que el punto a está en suinterior, recorrida en sentido antihorario.

Ejemplo 7.8 1. Si tomamos f (z) = 1z(z+2) y queremos hallar su desarrollo de Laurent en

el anillo A = {z : 2 < |z|} , hacemos lo siguiente: como 2/ |z| < 1, tenemos

f (z) =1

z (z + 2)=

1

z

1

z (1 + 2/z)=

1

z2

1

(1− (−2/z))=

1

z2

∞∑n=0

(−2

z

)n=∞∑n=0

(−2)n(

1

zn+2

),

y esta debe ser la serie de Laurent de f en A por unicidad.


2. Tenemos

f (z) =ez

z (z + i) (z − 1)

y queremos saber cuantos desarrollos de Laurent centrados en 1 tiene f. Primero notarque f es analítica en todo el plano salvo en los puntos 0, 1, y −i, y si llamamos

A1 = {z : 0 < |z − 1| < 1} , A2 ={z : 1 < |z − 1| <

√2}, A3 =

{z :√

2 < |z − 1|},

entonces cualquier anillo centrado en 1 donde f sea analítica estará contenido en algunode estos. Por lo tanto, f tiene tres desarrollos de Laurent distintos centrados en 1.

7.3. Singularidades aisladas - Residuos

Si f (z) es una función compleja que no es derivable en a, pero es analítica en un en-torno de a, entonces diremos que a es una singularidad aislada de f . En general, dada unafunción f se llama singularidad de f a todo punto donde f no es analítica. Por ejemplo lafunción f (z) = e1/z tiene una singularidad aislada en 0, y todos los puntos de la semirrec-ta {z : Re (z) ≤ 0, Im (z) = 0} son singularidades (no aisladas) de la función f (z) = log (z) .También la función f (z) = 1/ sin (1/z) tiene una singularidad no aislada en z = 0.

Si a es una singularidad aislada de f, entonces f es analítica en un entorno de la forma{z : 0 < |z − a| < ε} para algún ε > 0, y entonces tiene un desarrollo de Laurent centrado en ay válido en dicho entorno. Si tal desarrollo tiene una cantidad infinita de potencias negativas de(z − a) diremos que a es una singularidad esencial, si no tiene potencias negativas diremos quea es una singularidad evitable, y si tiene finitas potencias negativas y −m es el menor exponentedel desarrollo, diremos que a es un polo de orden m. Para aclarar tenemos el siguiente cuadro:

polo de orden m serie I↗

a singularidad → aislada → esencial serie II↓ ↘no

aisladaevitable serie III

Ia−m

(z − a)m+

a−m+1

(z − a)m−1 + · · ·+ a−2

(z − a)2 +a−1

(z − a)+ a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + · · ·

II · · ·+ a−n(z − a)n

+a−n+1

(z − a)n−1 + · · ·+ a−2

(z − a)2 +a−1

(z − a)+ a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + · · ·

III a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + a3 (z − a)3 + · · ·

Ejemplo 7.9 1. Puesto que para todo número complejo w vale que

ew = 1 + w +w2

2!+w3

3!+w4

4!+ · · · ,


tenemos que para todo z 6= 0 vale que

e1/z = 1 + (1/z) +(1/z)2

2!+

(1/z)3

3!+

(1/z)4

4!+ · · · = 1 +

1

z+

1

2!

1

z2+

1

3!

1

z3+

1

4!

1

z4+ · · · ,

y entonces por unicidad ese debe ser el desarrollo de Laurent de f (z) = e1/z en {z : 0 < |z|} ,es decir que f tiene una singularidad esencial en 0, pues 0 es singularidad aislada de fy el desarrollo de Laurent válido en cualquier anillo de la forma {z : 0 < |z| < ε} tieneinfinitas potencias negativas de z.

2. Como para todo z 6= 0 vale que

sin (z)

z= 1− z2

3!+z4

5!− z6

7!+ · · ·

(ejercicio), entonces la función f (z) = sin (z) /z tiene una singularidad evitable en 0, pues0 es singularidad aislada de f y el desarrollo de Laurent válido en cualquier anillo de laforma {z : 0 < |z| < ε} no tiene potencias negativas de z.

3. Como para todo z 6= 0 vale que

cos (z)

z=

1

z− z

2!+z3

4!− z5

6!+ · · ·

(ejercicio), entonces la función f (z) = cos (z) /z tiene un polo de orden 1 en 0, pues 0 essingularidad aislada de f y el desarrollo de Laurent válido en cualquier anillo de la forma{z : 0 < |z| < ε} tiene una potencias negativas de z.

Nota 7.10 Si a es singularidad evitable de f , entonces f se puede extender analíticamente aa, es decir, esté definido f (a) o no, podemos cambiarlo de modo que la función resultante seaanalítica en todo un entorno de a. Esto es porque si

f (z) = a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + a3 (z − a)3 + · · · ,

desarrollo de Laurent de f válido para todo z con 0 < |z − a| < r, entonces el miembro de laderecha es una función analítica en toda la bola {z : |z − a| < r} (pues es una serie de potenciasque converge en dicha bola), y es igual a f en toda la bola menos (posiblemente) en a. Ahora,el miembro de la derecha vale a0 cuando z = a, así que si definimos f (a) = a0 nos queda que fes analítica en toda la bola. Esto se puede hacer en el ejemplo anterior, definiendo

f (z) =

{sin(z)z si z 6= 01 si z = 0

.

Si a es una singularidad aislada de una función f, entonces existe algún r > 0 tal que lafunción es analítica en {z : 0 < |z − a| < r} , y por lo tanto tiene un desarrollo de Laurent queconverge en dicha región. Usando esto definimos:


Definición 7.11 Si a es una singularidad aislada de f (z) y∑∞

n=−∞ an (z − a)n es el desarrollode Laurent de f válido en {z : 0 < |z − a| < r} , entonces el número complejo a−1 se llama elresiduo de f en a y se denota Res (f, a) .

Ejemplo 7.12 Según las series de Laurent calculadas en el ejemplo anterior, tenemos queRes

(e1/z, 0

)= 1, Res

(sin(z)z , 0

)= 0, y Res

(cos(z)z , 0

)= 1.

Una de las cosas que decía el teorema de Laurent, es que si f es analítica en una regiónque contiene el anillo A = {z : 0 < |z − a| ≤ r} , y C es una curva cerrada simple en A quecontiene en su interior al punto a recorrida en sentido antihorario, entonces para todo z con0 < |z − a| < r vale que

f (z) =∞∑

n=−∞an (z − a)n , con an =

1

2πi

∫C

f (w)

(w − a)n+1dw,

en particular,

a−1 =1

2πi

∫Cf (w) dw,

y por lo tanto puedo usar esto al revés: en lugar de usar la fórmula de los coeficientes paraencontrar la serie de Laurent de f (cosa que, de hecho, nunca se hace), voy a usar la serie deLaurent (particularmente el coeficiente a−1 para calcular integrales), pues tenemos∫

Cf (w) dw = 2πiRes (f, a) .

Este resultado sencillo (para curvas simples que encierran una singularidad de f), se extiendede la siguiente manera:

Teorema 7.13 (de los residuos) Si f (z) es una función analítica en un abierto implementeconexo D salvo por singularidades aisladas z1, z2, ..., zp, y C es una curva cerrada simple en Dque contiene en su interior a tales singularidades recorrida en sentido antihorario, entonces∫

Cf (z) dz = 2πi [Res (f, z1) + · · ·+Res (f, zp)]

Otra forma equivalente de enunciar este teorema es la siguiente:

Si C es una curva cerrada simple recorrida en sentido antihorario, y f (z) es unafunción analítica sobre C y su interior, salvo por singularidades aisladas z1, z2, ..., zp,todas en el interior de C, entonces∫

Cf (z) dz = 2πi [Res (f, z1) + · · ·+Res (f, zp)] .

Demostración. Como tenemos finitas singularidades (p en total) podemos centrar en c/u deellas círculos C1, ..., Cp de diámetro lo suficientemente chico para que no se corten mutuamente,


que Cj encierre solo a la singularidad zj , (j = 1, ..., p), y que la curva C1⊕ · · · ⊕Cp y su interioresté contenido en el interior de C (ver dibujo).

C

Dzp

z2z3

z1

Si pensamos todos los círculos Cj (j = 1, ..., p) recorridos en sentido horario, el teorema deCauchy (generalizado para regiones no simplemente conexas) nos dice que∫

C⊕C1⊕···⊕Cpf (z) dz = 0

pues f es analítica en un abierto que contiene la región interior a C y exterior a todas las curvasC1, ..., Cp. Entonces

1

2πi

∫Cf (z) dz =

1

2πi

∫−C1

f (z) dz + · · ·+ 1

2πi

∫−Cp

f (z) dz,

y según nuestro análisis previo al teorema,

1

2πi

∫−Cj

f (z) dz = Res (f, zj) ∀ j = 1, ..., p,

o sea listo.

Ejemplo 7.14 Tomemos f (z) = −3z+4z(z−1)(z−2) y C el círculo {z : |z| = 3/2} recorrido en sentido

antihorario. f tiene tres singularidades aisladas, 0, 1 y 2, pero solo 0 y 1 están en el interior deC. Escribiendo f como fracciones simples queda

f (z) =2

z− 1

z − 1− 1

z − 2,

y eso implica queRes (f, 0) = 2 y Res (f, 1) = −1,

pues por ejemplo,

f (z) =2

z+

(−1

z − 1+−1

z − 2

)=

2

z+ g (z) ,

con g (z) analítica en (el entorno de 0) {z : |z| < 1} . Por lo tanto, para todo z ∈ {z : |z| < 1}vale que

g (z) =∞∑n=0

anzn,


y entonces para todo z con 0 < |z| < 1 vale

f (z) =2

z+∞∑n=0

anzn,

y ese debe ser entonces el desarrollo de Laurent de f en el anillo {z : 0 < |z| < 1} , de dondese ve claramente que Res (f, 0) = 2. De manera análoga se ve que Res (f, 1) = −1, ejercicio, yentonces el teorema de los residuos me dice que∫

Cf (z) dz = 2πi [2− 1] = 2πi.

Nos hace falta un buen método para calcular residuos, y eso vamos a buscar ahora. Notarque si f (z) tiene un polo de orden uno en a, entonces para todo z 6= a en un entorno de a valeque

f (z) =a−1

(z − a)+ a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + a3 (z − a)3 + · · · ,

y entonces

(z − a) f (z) = a−1 + a0 (z − a) + a1 (z − a)2 + a2 (z − a)3 + a3 (z − a)4 + · · · , (7.4)

de donde resultaRes (f, a) = lım

z→a(z − a) f (z)

(notar que eso es exactamente el miembro de la derecha de (7.4) valuado en z = a, pero nopodemos valuar el miembro de la izquierda en z = a pues no sabemos ni siquiera que f (z) estedefinida en z = a).

Si f (z) tiene un polo de orden dos en a, entonces para todo z 6= a en un entorno de a valeque

f (z) =a−2

(z − a)2 +a−1

(z − a)+ a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + a3 (z − a)3 + · · · ,

entonces

(z − a)2 f (z) = a−2 + a−1 (z − a) + a0 (z − a)2 + a1 (z − a)3 + a2 (z − a)4 + a3 (z − a)5 + · · · ,

y entonces

d

dz

[(z − a)2 f (z)

]= a−1 + 2a0 (z − a) + 3a1 (z − a)2 + 4a2 (z − a)34 + 5a3 (z − a)4 + · · · ,

pues las series de potencias se pueden derivar término a término. Tomado límite queda

Res (f, a) = lımz→a

d

dz

[(z − a)2 f (z)

].

Además, notar quelımz→a

(z − a) f (z) =∞.

Aplicando el mismo razonamiento al caso genérico de un polo de orden m, se obtiene el siguienteteorema:


Teorema 7.15 Si f (z) tiene un polo de orden m en a, entonces

Res (f, a) =1

(m− 1)!lımz→a

dm−1

dzm−1[(z − a)m f (z)] ,

y para todo n < m se tiene que

lımz→a

dn−1

dzn−1[(z − a)n f (z)] =∞.

Ejemplo 7.16 1. Si f (z) = z2−2sin(z) , entonces z = 0 es singularidad aislada, y como

lımz→0

z

(z2 − 2

)sin (z)

=

(lımz→0

z

sin (z)

)(lımz→0

(z2 − 2

))= −2,

entonces Res (f, 0) = −2. Si C es el círculo centrado en 0 y de radio 2 recorrido en sentidoantihorario, se tiene que ∫

C

z2 − 2

sin (z)dz = −4πi.

2. Tomemos f (z) = 1+z1−cos(z) . Puesto que cos (0) = 1 y cos (z) 6= 1 para todo z 6= 0 en un

entorno de 0, tenemos que f tiene una singularidad aislada en 0. Para tratar de encontrarque tipo de singularidad es, procedemos de la siguiente manera: como

cos (z) = 1− z2

2+z4

24− z6

720+ · · · ,

entonces

1− cos (z) =z2

2− z4

24+

z6

720− · · · = z2

[1

2− z2

24+

z4

720− · · ·

]︸︷︷︸

g(z)

= z2g (z) ,

donde g (z) es una función analítica en un entorno de 0 con g (0) = 1/2 (¿por que?).Entonces

f (z) =1

z2

1 + z

g (z)=

1

z2h (z) ,

con h (z) analítica en un entorno de 0 y h (0) 6= 0 (mas precisamente, h (0) = 2), de dondese deduce que f tiene un polo de orden 2 en 0. Para calcular Res (f, 0) , derivamos

d

dz

[z2 1 + z

1− cos (z)

]=

2z (1 + z) + z2

1− cos z− z2 (1 + z)

(1− cos z)2 sin z =2z + 3z2

1− cos z− z2 + z3

(1− cos z)2 sin z

y ahora, usando L’Hospital calculamos el límite y obtenemos

Res (f, 0) = lımz→0

[2z (1 + z) + z2

1− cos z− z2 (1 + z)

(1− cos z)2 sin z

]= 2.


7.4. Ceros de una función analítica

Primero estableceremos un par de resultados que apuntan a demostrar que los puntos dondeuna función analítica se anula son aislados.

Proposición 7.17 Si f es analítica en B = {z : |z − a| < R} y f (a) = 0, entonces f (z) = 0∀ z ∈ B, o existe r > 0 tal que f (z) 6= 0 para todo z con 0 < |z − a| < r.

Demostración. Como f (a) = 0, Taylor me dice que

f (z) =∞∑n=1

an (z − a)n ∀ z ∈ B.

Si f (z) = 0 ∀ z ∈ B, no hay nada que probar. Si no, alguno de los coeficientes an debe serdistinto de cero. Si an0 es el primer coeficiente distinto de cero, entonces

f (z) = (z − a)n0

∞∑n=n0

an (z − a)n−n0 = (z − a)n0 g (z) ,

donde g (z) =∑∞

n=n0an (z − a)n−n0 es analítica en B (es una serie de potencias) y g (a) 6= 0

(g (a) = an0). Puesto que g es continua, existe r > 0 tal que g (z) 6= 0 para todo z con 0 <|z − a| < r, y entonces f (z) 6= 0 para tales valores de z.

Definición 7.18 Si f es analítica en B = {z : |z − a| < R}, f (a) = 0 pero f no es idéntica-mente cero en B, en la demostración anterior vimos que existen n0 ∈ N y g (z) función analíticaen un entorno de a tal que

f (z) = (z − z0)n0 g (z) ,

con g (a) 6= 0. En tal caso, diremos que a es un cero de multiplicidad n0 de f (en completaanalogía con la multiplicidad de las raíces de un polinomio).

Teorema 7.19 Si D ⊆ C es un abierto conexo, f es analítica en D y f (a) = 0 para ciertoa ∈ D. Entonces f (z) = 0 ∀ z ∈ D, o existe r > 0 tal que f (z) 6= 0 para todo z con 0 < |z − a| <r. Es decir, los ceros de f son aislados, salvo que f sea idénticamente cero.

Demostración. Seguiremos la misma idea que en la demostración del Teorema del MóduloMáximo (Teorema 5.34). Supongamos que no existe r > 0 tal que f (z) 6= 0 para todo z con0 < |z − a| < r, voy a mostrar que en tal caso f (z) = 0 ∀ z ∈ D. Tomo z ∈ D cualquiera, ycomo D es conexo existe una poligonal C que une a con z. Llamemos d a la mínima distanciaentre C y ∂D (o tomamos d cualquier número positivo si D = C, d es siempre positivo pero novamos a demostrar eso acá, lo vamos a aceptar). Formemos ahora una sucesión finita de númerosz1, z2, ..., zn en C, de forma tal que a = z0, z = zn y

|zj − zj−1| < d ∀ j = 1, 2, ..., n,


y construyamos entornos B0, ..., Bn, donde Bj = {z : |z − zj | < d}.

D

z2z3

zn

z4

az1

B0B1

B2Bn

Notar que cada Bj ⊆ D, y de esta forma el centro de la bola Bj pertenece también a la bolaBj−1.

La demostración termina aplicando la proposición anterior a cada bola: como no existe r > 0tal que f (z) 6= 0 para todo z con 0 < |z − a| < r, entonces f (z) = 0 ∀ z ∈ B0. Pero comoz1 ∈ B0, se tiene que no existe r > 0 tal que f (z) 6= 0 para todo z con 0 < |z − z1| < r, y entonces(de nuevo, por la proposición anterior) f (z) = 0 ∀ z ∈ B1. Repitiendo este razonamiento n-vecesconcluimos que f (zn) = 0, que es lo que queríamos demostrar.

Corolario 7.20 Si D ⊆ C es un abierto conexo, f y g son funciones analíticas en D y f (a) =g (a) para cierto a ∈ D. Entonces f (z) = g (z) ∀ z ∈ D, o existe r > 0 tal que f (z) 6= g (z) paratodo z con 0 < |z − a| < r.

Demostración. Aplicar el teorema anterior a la función f − g.

A continuación veremos como calculando ciertas integrales podemos contar los ceros y lospolos de una función analítica.

Si f tiene un cero de multiplicidad m en a, entonces sabemos que hay una función analíticag (z) con g (a) 6= 0 tal que

f (z) = (z − a)m g (z)

para todo z en un entorno de a. Derivando esa expresión obtenemos

f ′(z) = m (z − a)m−1 g (z) + (z − a)m g′ (z) ,

y entonces

f ′(z)

f (z)=m (z − a)m−1 g (z) + (z − a)m g′ (z)

(z − a)m g (z)=

m

(z − a)+g′ (z)

g (z)

(notar que esa expresión tiene sentido pues sabemos que f (z) 6= 0 en un entorno de a, salvopor z = a). Además, la función g′ (z) /g (z) es analítica en un entorno de a (why?), por lo quela igualdad de arriba nos dice que la función f ′(z)/f (z) tiene un polo simple en a, y que

Res(f ′/f, a

)= m.


Análogamente, si f tiene un polo de orden n en a, Laurent dice que para z 6= a en un entornode a,

f (z) =a−n

(z − a)n+

a−n+1

(z − a)n−1 + · · ·+ a−1

(z − a)+ a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + · · · =

=

(a−n + a−n+1 (z − a) + · · ·+ a−1 (z − a)n−1 + a0 (z − a)n + a1 (z − a)n+1 + · · ·

)(z − a)n

=

=1

(z − a)nh (z) ,

con h (z) analítica en un entorno de a, y h (a) 6= 0. Derivando la última expresión obtenemos

f ′(z) =−n

(z − a)n+1h (z) +1

(z − a)nh′ (z) ,

y entoncesf ′(z)

f (z)=−n

(z − a)+h′(z)

h (z)

con h′(z)/h (z) analítica en un entorno de a. Entonces la función f ′(z)/f (z) tiene un polo simpleen a y

Res(f ′/f, a

)= −n.

Con estas cuentas hechas, tenemos casi probado el siguiente teorema:

Teorema 7.21 Si f es una función analítica en un abierto simplemente conexo D salvo porpolos p1, ..., pk de orden n1, ..., nk respectivamente, todos los ceros de f en D son z1, ..., zj demultiplicidad m1, ...,mj respectivamente, y C es una curva cerrada simple en D que contiene ensu interior a p1, ..., pk, z1, ..., zj , entonces

1

2πi

∫C

f ′(z)

f (z)dz = (m1 + · ·+mj)− (n1 + · · ·+ nk) ,

donde C se recorre en sentido antihorario.

Demostración. Aplicar el teorema del residuo a la función f ′(z)/f (z).

C

D

p1

p2p3

pn

z2

z3 zkz1

Una forma equivalente de enunciar ese teorema es la siguiente:


Si C es una curva cerrada simple recorrida en sentido antihorario, y f es unafunción analítica sobre C y su interior, salvo por polos p1, ..., pk, de orden n1, ..., nkrespectivamente, todos en el interior de C, y todos los ceros de f en el interior deC son z1, ..., zj de multiplicidad m1, ...,mj respectivamente, entonces

1

2πi

∫C

f ′(z)

f (z)dz = (m1 + · · ·+mj)− (n1 + · · ·+ nk) .

7.5. Índice de una curva

En esta sección veremos de manera algo informal e intuitiva, como ciertas integrales de línea“cuentan”las vueltas que dan alrededor de un punto. ínÍ

Imaginemos que tenemos una curva C como muestra el siguiente dibujo, parametrizada porγ : [a, b]→ C:

°( )t1

°( )t2

°( )t3

°( )a° b( )

Escribamos γ (t) en “coordenadas polares”, con el argumento variando continuamente (notarque γ (t) 6= 0 ∀ t), es decir,

γ (t) = ρ (t) eiφ(t)

con φ (t) continua en [a, b] (no fijamos una rama del argumento, lo dejamos crecer y decrecercontinuamente a medida que t se mueve; no es nada nuevo, pensar en eit). Puede verse queφ (b)−φ (a) nos dará la variación total del argumento (seguir el dibujo!). En la curva graficada,φ (t1) = φ (a) + 2π, y el argumento sigue variando continuamente hasta φ (b) . Además φ (t2) +2π = φ (t3) = φ (b) .

Si suponemos además que ρ y φ son suaves por tramos, entonces

1

i

∫γ

dz

z=

1

i

∫γ

γ′(t)

γ (t)dt =

1

i

∫ b

a

ρ′(t)eiφ(t) + iρ (t) eiφ(t)φ′(t)

ρ (t) eiφ(t)dt =

=1

i

∫ b

a

ρ′(t)

ρ (t)dt+

∫ b

aφ′(t)dt = −i ln

(ρ (b)

ρ (a)

)+ [φ (b)− φ (a)] .

De esta expresión pueden sacarse varias conclusiones:


i) La variación total del argumento es Re(

1i

∫γdzz

), teniendo en cuenta incluso el signo: si

el resultado es negativo es porque me estoy moviendo en sentido horario.

ii) Si |γ (a)| = |γ (b)| , entonces la variación total del argumento es 1i

∫γdzz , en particular

1

2πi

∫γ

dz

z

mide las (fracciones de) vueltas que γ da alrededor de cero, en donde el signo nos indicasi son vueltas en sentido horario (negativo) o antihorario (positivo). En particular, si γ escerrada, esta integral cuenta la cantidad de vueltas que da alrededor de 0.

Esto se puede usar para contar las vueltas que da cualquier curva cerrada alrededor decualquier punto z0 (no necesariamente cero). Si tengo una curva cualquiera C parametrizadapor γ (t) que no pase por z0 (para que tenga sentido contar vueltas alrededor de z0), basta conaplicar lo hecho a β (t) = γ (t) − z0 (hacer un dibujo, β parametriza la curva C − z0), y en talcaso el número de vueltas lo cuenta

1

2πi

∫β

dz

z,

que es exactamente igual a1

2πi

∫C

dz

z − z0

(ejercicio).

Una aplicación particularmente impresionante de estos hechos, es cuando tenemos un caminoγ : [a, b]→ C y una función f analítica en la curva que parametriza γ, y tal que f (γ (t)) 6= 0 ∀t ∈ [a, b] . Si llamamos Γ (t) = f (γ (t)) , entonces Γ es un camino que no pasa por cero, y

Variación total delargumento de Γ

= Re

(1

i

∫Γ

dz

z

)= Re

(1

i

∫ b

a

f ′ (γ (t)) γ′(t)

f (γ (t))dt

)= Re

(1

i

∫γ

f ′ (z)

f (z)dz

).

Uniendo esto con el último teorema de la sección anterior, obtenemos el siguiente:

Teorema 7.22 Si f es una función analítica en un abierto simplemente conexo D salvo porpolos p1, ..., pk de orden n1, ..., nk respectivamente, todos los ceros de f en D son z1, ..., zj demultiplicidad m1, ...,mj respectivamente, y C es una curva cerrada simple en D que contiene ensu interior a p1, ..., pk, z1, ..., zj , entonces el número de vueltas que da la curva f (C) alrededorde 0 es

(m1 + · · ·+mj)− (n1 + · · ·+ nk) .

Una forma equivalente de enunciar ese teorema es la siguiente:

Si C es una curva cerrada simple recorrida en sentido antihorario, y f es unafunción analítica sobre C y su interior, salvo por polos p1, ..., pk, de orden n1, ..., nkrespectivamente, todos en el interior de C, y todos los ceros de f en el interior deC son z1, ..., zj de multiplicidad m1, ...,mj respectivamente, entonces el número devueltas que da la curva f (C) alrededor de 0 es

(m1 + · · ·+mj)− (n1 + · · ·+ nk) .


El teorema anterior es particularmente útil cuando uno sabe que la función en cuestión notiene (por ejemplo) polos, pues nos da un procedimiento gráfico para encontrar los ceros de lafunción en cierta región cuyo borde es una curva C: basta con graficar f (C) y contar!. Esto seusa particularmente en un criterio conocido como “criterio de estabilidad de Nyquist”.

Ejemplo 7.23 Llamemos Cr al círculo centrado en 0 de radio r. La función f (z) = z3 lleva aCr sobre Cr3 recorrido tres veces en el mismo sentido que recorremos Cr. Eso es porque f tieneun cero de multiplicidad 3 en 0. Análogamente, g (z) = z−3 lleva Cr sobre Cr3 recorrido tresveces en el sentido opuesto al que recorremos Cr. Eso es porque g tiene un polo de orden 3 en 0.

Ejemplo 7.24 En la gráfica siguiente se muestran cuatro curvas rectangulares y sus respectivasimágenes por la función

f (z) = 1 +6

(z + 1) (z + 2),

incluyendo la orientación (la flecha que indica la orientación además indica la concordanciaentre segmento de dominio y de imagen). Las gráficas fueron generadas por computadora. Notarque f tiene dos polos simples en z = −1 y z = −2, y dos ceros de multiplicidad uno en −3

2±i√

232 .

Además f es conforme en C−{−1,−2,−3

2

}, lo cual permite apreciar la imagen de los vértices

de los rectángulos.


Hay muchas variantes y situaciones en las que se usa el teorema anterior. A continuaciónvamos a exponer dos, sin poner demasiado énfasis en los detalles formales, y teniendo bienpresente que se trata de un método gráfico.

7.5.1. Raíces de polinomiosSupongamos que

p (z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn

con an 6= 0, y que queremos saber cuantas raíces con parte real positiva tiene p (z).

Para R > 0, consideremos la curva cer-rada simple ΓR que consiste en el segmentodesde iR hasta −iR, seguida del semicírculode radio R y centro 0 en el semiplano derecho.Si tomamos R lo suficientemente grande, to-das las raíces de p (z) con parte real positivaestán en el interior de ΓR.

iR

¡iR

0 R

¡R

Para saber cuantas hay, tengo que graficar la curva p (ΓR) y contar cuantas vueltas daalrededor del origen. El trabajo se reduce considerablemente si pensamos en R→∞ : la imagende la parte circular de ΓR tiende a infinito, y su contribución en la variación total de argumentopuede calcularse así: sobre dicho semicírculo debemos graficar

p(Reiθ

), con − π

2≤ θ ≤ π

2.


Pero

p(Reiθ

)= a0 + a1Re

iθ + a2R2ei2θ + · · ·+ anR

neinθ

= Rn

(a0

Rn+a1e

iθ

Rn−1+ · · ·+ an−1e

i(n−1)θ

R+ ane

inθ

),

y como multiplicar por Rn no cambia el argumento, basta con saber la variación total delargumento de

a0

Rn+a1e

iθ

Rn−1+ · · ·+ an−1e

i(n−1)θ

R+ ane

inθ

cuando θ se mueve de −π2 hasta

π2 . Al hacer R→∞, los términos

a0

Rn+a1e

iθ

Rn−1+ · · ·+ an−1e

i(n−1)θ

R

se hacen arbitrariamente chicos, por lo cual, en el límite, la variación total es igual a la de aneinθ,que claramente es

nπ

2−(−nπ

2

)= nπ.

Consecuentemente, basta con graficar p (z) con z moviéndose hacia abajo por el eje imaginario(situación que llamaremos “desde i∞ hasta −i∞”), medir la variación total de argumento en laimagen, y a eso sumarle nπ. Dividiendo esto por 2π obtenemos el número de vueltas alrededordel origen.

El trabajo se simplifica más aún cuando p (z) tiene coeficientes reales, pues en tal casop (z) = p (z), es decir, la gráfica es simétrica respecto el eje x.

El método explicado no funciona si p tiene ceros sobre el eje imaginario, situación que seevidencia cuando la gráfica de p (it) , t ∈ R, pasa por el origen.

Ejemplo 7.25 Si p (z) = z3 + z2 + 4z + 1, entonces p (it) = −it3 − t2 + 4it + 1, es decir, lacurva que queremos graficar tiene las siguientes ecuaciones paramétricas

u = 1− t2, v = 4t− t3.

La inspección de la gráfica revela que elargumento varia de 3π

2 en i∞ hasta −3π2 en

−i∞ (el argumento en ±i∞ puede calcularsehaciendo v/u y luego t→ ±∞, para verificarque tenemos asíntotas verticales), es decir,una variación neta de

−3π

2− 3π

2= −3π.

Cuando a esto le sumamos 3π (correspondi-ente a la sección circular, según lo recien-temente expuesto), nos da cero, es decir, lagráfica no da vueltas alrededor del origen, yentonces p (z) no tiene raíces con parte realpositiva.

p i( )¡ 1

p( 1)¡

p(1)

p(0)

p i( )1


Si p (z) = z3 + z2 + z + 4, entoncesp (it) = −it3 − t2 + it + 4. En este caso (ha-ciendo un análisis como en el caso anterior),la inspección de la gráfica revela que el argu-mento varía de −π

2 en i∞ hasta π2 en −i∞,

es decir, una variación neta total de π. A es-to debemos sumarle 3π, lo que indica que lagráfica da dos vueltas alrededor del origen, esdecir, el polinomio tiene dos raíces con partereal positiva.

p( )i1

p( )¡ 1i

p( 2)¡i

p( 2)i

p(0)

7.5.2. Ceros y polos de funciones racionalesSupongamos que

f (z) = 1 +p (z)

q (z),

con p y q polinomios, p de grado menor que q, y queremos estudiar los ceros y polos de f en elsemiplano derecho. Como hay una cantidad finita de ellos, podemos hacer lo mismo que hicimospara contar las raíces de polinomios, es decir, considerar la misma curva ΓR. Si tomamos Rsuficientemente grande y graficamos f (ΓR), entonces el número de vueltas que dé alrededor delorigen (teniendo en cuenta el signo) nos dará M − N, donde M es el número de ceros de f(contados con multiplicidad) y N es el número de polos de f (contados teniendo en cuenta suorden).

Puesto que

lımz→∞

f (z) = 1,

la imagen de la sección semicircular de ΓR (para R suficientemente grande) es una curva muypróxima a 1, por lo tanto para saber cuantas vueltas al origen da f (ΓR) , basta con graficarf (z) con z variando de iR hasta −iR y contar. Lo que se hace en la práctica, para no tener quedecidir que valor de R es suficientemente grande, es graficar f (z) con z variando de i∞ hasta−i∞ y contar.

El método explicado no funciona si f tiene ceros y/o polos sobre el eje imaginario, situaciónque se evidencia cuando la gráfica de p (it) , t ∈ R, pasa por el origen o se hace infinita.

Ejemplo 7.26 Tomemos f (z) = 1+ 6(z+1)(z+2) (esta función la usamos en un ejemplo anterior).

La gráfica de f (z) con z variando desde i∞ hasta −i∞ revela que f tiene la misma cantidadde ceros que de polos en el semiplano derecho. Como evidentemente f no tiene polos en dicho


semiplano, tampoco puede tener ceros.

1

Si g (z) = 1 + 6(z−1)(z+2) , entonces la gráfica de g (z) con z variando de i∞ hasta −i∞ da una

vuelta alrededor de cero en sentido antihorario. Eso revela que g tiene en el semiplano derechoun polo más que ceros. Como g tiene claramente un polo en dicho semiplano, se desprende queg no tiene ceros en el. Se puede calcular directamente y verificar que los ceros de g son estánen −1

2 ± i√

152 .

1

Capítulo 8

Transformadas Complejas

8.1. Serie de Fourier compleja

Empezaremos encontrando los coeficientes de Fourier para una función f : R→ C (periódica,de período 2p) con el mismo criterio que en el caso real: minimizar la media cuadrática. Paraello, utilizaremos polinomios trigonométricos

SN (t) =a0

2+

∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

)

donde los coeficientes a0, a1, ..., aN , b1, ..., bN son números complejos (y toda la notación previaal teorema 1.20)

Recordemos (ver Definición 5.1) que si f : [a, b] → C y f = f1 + if2, con fj : [a, b] → R(j = 1, 2, parte real e imaginaria de f), con f1 y f2 acotadas e integrables (en el sentido deRiemann) en [a, b], entonces se define∫ b

af =

∫ b

af1 + i

∫ b

af2 ,

y se tiene que∣∣∣∫ ba f ∣∣∣ ≤ ∫ ba |f |.

Tomemos una función f : R→ C periódica de período 2p e integrable en [−p, p] , y descom-pongamos f en su parte real e imaginaria, f = f1 + if2, con fj : R → R (j = 1, 2), y lo mismohagamos con SN = SN,1 + iSN,2 (escribiendo an = an,1 + ian,2 parte real e imaginaria, y símil

207

208 Transformadas Complejas

para bn). Entonces, queremos minimizar IN , donde

IN =

∫ p

−p|f (t)− SN (t)|2 dt =

∫ p

−p

([f1 (t)− SN,1 (t)]2 + [f2 (t)− SN,2 (t)]2

)dt

=

∫ p

−p[f1 (t)− SN,1 (t)]2 dt+

∫ p

−p[f2 (t)− SN,2 (t)]2 dt = IN,1 + IN,2

y entonces para minimizar IN debemos minimizar IN,1 y IN,2 (ejercicio: verificar cuidadosamenteesa afirmación). El caso real, ya resuelto, nos dice que debemos tomar como coeficientes de SN,ja

an,j =1

p

∫ p

−pfj (t) cos

(nπt

p

)dt, n = 0, 1, 2, 3, ...

bn,j =1

p

∫ p

−pfj (t) sin

(nπt

p

)dt, n = 1, 2, 3, ...

(omitimos los subíndices “f”en los coeficientes para no sobrecargar más la notación). Con esto,resulta

SN (t) = Sn,1 (t) + iSn,2 (t)

=a0,1

2+

N∑n=1

an,1 cos

(nπt

p

)+ bn,1 sin

(nπt

p

)+

+i

[a0,2

2+

N∑n=1

an,2 cos

(nπt

p

)+ bn,2 sin

(nπt

p

)]

=a0,1 + ia0,2

2+

N∑n=1

[[an,1 + ian,2] cos

(nπt

p

)+ [bn,1 + ibn,2] sin

(nπt

p

)]

=a0

2+

N∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

),

donde

an = an,1 + ian,2 =1

p

∫ p

−pf1 (t) cos

(nπt

p

)dt+ i

1

p

∫ p

−pf2 (t) cos

(nπt

p

)dt

=1

p

∫ p

−p[f1 (t) + if2 (t)] cos

(nπt

p

)dt =

1

p

∫ p

−pf (t) cos

(nπt

p

)dt,

y análogamente

bn =1

p

∫ p

−pf (t) sin

(nπt

p

)dt,

es decir, la misma definición que en el caso real.Además, una vez elegidos los coeficientes como los coeficientes de Fourier de f, queda

IN,1 =

∫ p

−pf1 (t)2 dt− p

(a2

0,1

2+

N∑n=1

[a2n,1 + b2n,1

]),

Transformadas Complejas 209

y

IN,2 =

∫ p

−pf2 (t)2 dt− p

(a2

0,2

2+

N∑n=1

[a2n,2 + b2n,2

]),

así que sumando queda

IN = IN,1 + IN,2

=

∫ p

−pf1 (t)2 dt− p

(a2

0,1

2+

N∑n=1

[a2n,1 + b2n,1

])+

∫ p

−pf2 (t)2 dt− p

(a2

0,2

2+

N∑n=1

[a2n,2 + b2n,2

])

=

∫ p

−pf1 (t)2 dt+

∫ p

−pf2 (t)2 dt− p

(a2

0,1

2+a2

0,2

2+

N∑n=1

[a2n,1 + b2n,1 + a2

n,2 + b2n,2])

=

∫ p

−p|f (t)|2 dt− p

(|a0|2

2+

N∑n=1

[|an|2 + |bn|2

]),

de donde se pueden sacar las mismas conclusiones que sacamos cuando f tenía imagen real.Esta afirmación no solo aplica al teorema 1.20, sino a todos los resultados posteriores, conve-nientemente leídos: el teorema de Dirichlet de convergencia puntual, la unicidad y orden de loscoeficientes, la derivación e integración de series de Fourier, los efectos de la simetría, etc.

Sin embargo, cuando se trabaja con números complejos es habitual utilizar una formulacióndistinta (aunque absolutamente equivalente) a la usada hasta ahora. Si f : R→C es periódicade período 2p, construimos su serie de Fourier

f ∼ a0

2+

∞∑n=1

an cos

(nπt

p

)+ bn sin

(nπt

p

).

Comocos (y) =

1

2

(eiy + e−iy

)y sin (y) =

1

2i

(eiy − e−iy

),

reemplazando queda

f ∼ a0

2+∞∑n=1

an2

(einπtp + e

−inπtp

)+bn2i

(einπtp − e−i

nπtp

)=

=a0

2+∞∑n=1

(an2

+bn2i

)einπtp +

(an2− bn

2i

)e−inπt

p =

=a0

2+

∞∑n=1

(an − ibn

2

)einπtp +

(an + ibn

2

)e−inπt

p .

Si llamamos

c0 =a0

2

cn =

(an − ibn

2

)para n ≥ 1

c−n =

(an + ibn

2

)para n ≥ 1,


es decir, creamos una sucesión doble {cn}n∈Z, entonces la serie de arriba queda

f ∼ c0 +∞∑n=1

cneinπtp +

∞∑n=1

c−ne−inπt

p = c0 +

∞∑n=1

cneinπtp +

∞∑n=1

c−nei−nπt

p =

∞∑n=−∞

cneinπtp ,

donde la serie doble converge pues ambas series convergen. Esta última serie se llama la seriecompleja de Fourier de f. Veamos como se calculan los coeficientes cn: para n ≥ 1 es

cn =

(an − ibn

2

)=

1

2

[1

p

∫ p

−pf (t) cos

(nπt

p

)dt− i1

p

∫ p

−pf (t) sin

(nπt

p

)dt

]=

=1

2p

∫ p

−pf (t)

[cos

(nπt

p

)− i sin

(nπt

p

)]dt =

1

2p

∫ p

−pf (t) e

−inπtp dt,

y para n ≤ −1 queda

cn =

(a−n + ib−n

2

)=

1

2

[1

p

∫ p

−pf (t) cos

(−nπtp

)dt+ i

1

p

∫ p

−pf (t) sin

(−nπtp

)dt

]=

=1

2p

∫ p

−pf (t)

[cos

(nπt

p

)− i sin

(nπt

p

)]dt =

1

2p

∫ p

−pf (t) e

−inπtp dt,

y para n = 0,

c0 =a0

2=

1

2p

∫ p

−pf (t) dt,

es decir, vale que

cn =1

2p

∫ p

−pf (t) e

−inπtp dt ∀ n ∈ Z.

De nuevo, notar que la forma de escribir la serie no cambia sus propiedades: los coeficientes{cn}n∈Z son de orden 1/nk si y solo si ambos coeficientes {an}n∈N y {bn}n∈N son de orden 1/nk,

la amplitud del n-ésimo armónico es |cn|+ |c−n| , la energía (espectral) es 2p∑∞

n=−∞ |cn|2, etc.

8.2. Integral de Fourier

Las series de Fourier resultan muy buenas cuando trabajamos con funciones periódicas, peroson absolutamente inútiles en otro caso. Como existen funciones no periódicas, vamos a tratarde acomodar lo que sabemos de series de Fourier para este caso. En esta sección vamos a utilizarintegrales impropias de funciones f : R→ C. En tal caso, se integran las partes real e imaginariade f por separado, es decir, si f = f1 + if2 con f1 y f2 reales, entonces∫ ∞

−∞f (t) dt =

∫ ∞−∞

f1 (t) dt+ i

∫ ∞−∞

f2 (t) dt,

cuando estas dos últimas integrales convergen. El resultado que más vamos a usar al respectoes el siguiente: si f : R → C es tal que

∫∞−∞ |f (t)| dt converge, entonces

∫∞−∞ f (t) dt converge

(es decir, si h es absolutamente integrable, entonces es integrable), resultando∣∣∣∫∞−∞ f (t) dt

∣∣∣ ≤∫∞−∞ |f (t)| dt.


Tomemos una función f : R→R (la pensamos con imagen real para fijar ideas, en realidadtodo lo que vamos a hacer sirve para f : R→C) tal que

1. f es Dirichlet en todo intervalo [a, b] ⊆ R, y

2. La integral impropia∫∞−∞ |f (t)| dt converge (i.e. la integral

∫∞−∞ f (t) dt converge absolu-

tamente).

Con f, construimos la siguiente función fp de período 2p: fp (t) = f (t) si −p ≤ t < p, yfp (t) = fp (t+ 2p) ∀ t ∈ R (es decir, cortamos f en el intervalo [−p, p] y repetimos ese pedazo).Claramente, fp es periódica de período 2p, Dirichlet en [−p, p] , continua donde f es continua,salvo posiblemente en los valores de la forma t = (2n+ 1) p, n ∈ Z, y además

lımp→∞

fp (t) = f (t) ∀ t ∈ R.

p0 2p¡p¡2p¡3p 3p

p0 2p¡p¡2p

0 x

f( )t

f ( )tp

f ( )tp

(en el dibujo se puede ver a f y a fp para dos valores distintos de p). Entonces fp tiene serie deFourier compleja

fp ∼∞∑

n=−∞cne

inπpt

con

cn =1

2p

∫ p

−pfp (x) e

−inπpxdx =

1

2p

∫ p

−pf (x) e

−inπpxdx =

(1

2π

∫ p

−pf (x) e

−inπpxdx

)π

p

(usamos la variable x pues en los siguientes pasos aparece t como variable independiente).Denotemos

wn =nπ

p= frecuencia del n-ésimo armónico,


entonces la diferencia de frecuencia entre dos armónicos consecutivos es

wn+1 − wn =(n+ 1)π

p− nπ

p=π

p= ∆w,

que no depende de n, y la serie de fp queda

fp (t) ∼∞∑

n=−∞

(1

2π

∫ p

−pf (x) e−iwnxdx

)eiwnt∆w.

Llamemos, para w real,

Cp (w) =1

2π

∫ p

−pf (x) e−iwxdx y Fp (w) = Cp (w) eiwt,

y entonces la serie de Fourier de fp queda

fp ∼∞∑

n=−∞Fp (wn) ∆w,

donde wn es el extremo derecho del intervalo [wn−1, wn] . Notar que dichos intervalos cubrentodo R, y que ∆w → 0 cuando p → ∞, y que la suma anterior es una suma de Riemann de laintegral de Fp en todo R.

Por otro lado, notar que∣∣f (t) e−iwt

∣∣ = |f (t)| y por lo tanto la integral impropia

lımp→∞

1

2π

∫ p

−pf (x) e−iwxdx =

1

2π

∫ ∞−∞

f (x) e−iwxdx = C (w)

converge absolutamente, y entonces también existe

lımp→∞

Fp (w) = lımp→∞

Cp (w) eiwt = C (w) eiwt = F (w) .

Todo esto sugiere que

∞∑n=−∞

Fp (wn) ∆w −→p→∞

∫ ∞−∞

F (w) dw

(el problema que tenemos con la suma de Riemann es que la función sobre la cual calculo lasuma cambia cuando p→∞). Para finalizar, si tomamos un t donde f sea continua y luego unp > t, tenemos que

fp (t) =

∞∑n=−∞

Fp (wn) ∆w

(pues fp es continua en t), así que haciendo p→∞ quedaría

f (t) =

∫ ∞−∞

F (w) dw =

∫ ∞−∞

C (w) eiwtdw =

∫ ∞−∞

[1

2π

∫ ∞−∞

f (x) e−iwxdx

]eiwtdw.

Todo el razonamiento anterior hace creíble el siguiente teorema:


Teorema 8.1 Si f es una función real definida en R, Dirichlet en todo intervalo [a, b] y talque la integral

∫∞−∞ |f (t)| dt converge, entonces la integral

∫ ∞−∞

[1

2π

∫ ∞−∞

f (x) e−iwxdx

]eiwtdw

vale exactamente f (t) en los t′s donde f es continua, y 12 [f (t+) + f (t−)] en los t′s donde f es

discontinua. Si f es (de imagen) compleja y sus partes real e imaginaria cumplen ambas con lashipótesis anteriores, entonces se obtiene la misma conclusión sobre f . La integral anterior suelellamarse la integral compleja de Fourier de f .

Ejemplo 8.2 queremos encontrar la integral de Fourier de la función

f (t) =

{0 si t < 0

e−at si t ≥ 0,

donde a > 0. Entonces

C (w) =1

2π

∫ ∞−∞

f (t) e−iwtdt =1

2π

∫ ∞0

e−ate−iwtdt =1

2π

∫ ∞0

e−(iw+a)tdt =

=1

2πlımr→∞

∫ r

0e−(iw+a)tdt =

1

2πlımr→∞

[−e−(iw+a)t

(iw + a)

]t=rt=o

=1

2πlımr→∞

[−e−(iw+a)r

(iw + a)+

1

(iw + a)

]=

1

2π (iw + a)pues a > 0.

Entonces el teorema anterior dice que para todo t 6= 0 vale

f (t) =

∫ ∞−∞

1

2π (iw + a)eiwtdw.

8.3. Integral de Fourier de seno y coseno

De la misma forma que podemos expresar una serie de Fourier usando exponenciales com-plejas o senos y cosenos, podemos expresar la integral de Fourier. Nosotros comenzamos con laintegral de Fourier usando exponencial, ahora pasaremos esta a una forma con senos y cosenos.Para mayor claridad, vamos a suponer que f : R→R, es decir que f es real (este es en realidadel único caso de interés).

Entonces, cuando tomamos f en las hipótesis del teorema anterior, resulta que en todos los


t′s donde f es continua

f (t) =

∫ ∞−∞

[1

2π

∫ ∞−∞

f (x) e−iwxdx

]eiwtdw =

1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f (x) e−iwxeiwtdxdw

=1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f (x) eiw(t−x)dxdw

=1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f (x) [cos (w (t− x)) + i sin (w (t− x))] dxdw

=1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f (x) cos (w (t− x)) dxdw +i

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f (x) sin (w (t− x)) dxdw.

Puesto que f es real, concluimos que necesariamente

1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f (x) i sin (w (t− x)) dxdw = 0,

de donde queda

f (t) =1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f (x) cos (w (t− x)) dx︸︷︷︸función par de w

dw =1

π

∫ ∞0

∫ ∞−∞

f (x) cos (w (t− x)) dxdw =

=1

π

∫ ∞0

∫ ∞−∞

f (x) [cos (wt) cos (−wx)− sin (wt) sin (−wx)] dxdw =

=1

π

∫ ∞0

∫ ∞−∞

f (x) [cos (wt) cos (wx) + sin (wt) sin (wx)] dxdw =

=1

π

∫ ∞0

∫ ∞−∞

f (x) cos (wt) cos (wx) dxdw +1

π

∫ ∞0

∫ ∞−∞

f (x) sin (wt) sin (wx) dxdw =

=1

π

∫ ∞0

[∫ ∞−∞

f (x) cos (wx) dx

]cos (wt) dw +

1

π

∫ ∞0

[∫ ∞−∞

f (x) sin (wx) dx

]sin (wt) dw.

Si llamamos

A (w) =

[∫ ∞−∞

f (x) cos (wx) dx

]y B (w) =

[∫ ∞−∞

f (x) sin (wx) dx

]queda

f (t) =1

π

∫ ∞0

A (w) cos (wt) dw +1

π

∫ ∞0

B (w) sin (wt) dw,

que es la forma trigonométrica de la integral de Fourier. Notar las absolutas analogías con la seriede Fourier (como se transforma la integral doble en una integral con un solo extremo infinito,como se construyen A (w) y B (w) y como se reconstruye f a partir de ellos, etc.

8.4. Transformada de Fourier

Un análisis cuidadoso de lo hecho revela que tomamos una función f (t) , con ella construimosuna nueva función que llamamos C (w) , y con esta función podíamos recuperar f a través


de cierta integral. La constante 1/2π que aparecía en C (w) quedó ahí de manera natural, alintroducir las integrales de Fourier a partir de las series de Fourier. De aquí en adelante usaremosla siguiente notación: si f (t) es una función absolutamente integrable en R (es decir,

∫∞−∞ |f (t)| dt

converge), la transformada de Fourier de f es

f (w) =

∫ ∞−∞

f (t) e−iwtdt = F (f) (w)

Notar que f es una función de w, definida en R, y de imagen compleja. La importancia de estanotación radica en el hecho de pensar en F como un operador que “transforma”una función enotra, es decir, F es una función definida en un conjunto de funciones (que incluye las funcionesabsolutamente integrables en R), y cuya imagen es también un conjunto de funciones. Cuandohablamos de la transformada de Fourier, nos referimos al operador F , cuando hablamos de latransformada de Fourier de la función f, nos referimos a la función (de variable real) f (w). Elteorema anterior dice que bajo condiciones adecuadas,

f (t) =1

2π

∫ ∞−∞

f (w) eiwtdw.

Esta operación, que lleva f de vuelta a f, se llama la transformada inversa de Fourier, y suele

denotarse por f = F−1(f)(o de forma más general, si tengo g (w) y sé que F (f) = g, entonces

se pone f = F−1 (g).

Ejemplo 8.3

1. La transformada de Fourier de la función

f (t) =

{0 si t < 0

e−at si t ≥ 0, (a > 0)

es f (w) = 1a+iw .

2. Si

f (t) =

{1 si |t| ≤ a0 si |t| > a

, (a > 0)

entonces

f (w) =

∫ ∞−∞

f (t) e−iwtdt =

∫ a

−ae−iwtdt = −

[e−iwt

iw

]t=at=−a

= −eiwa − e−iwa

iw= 2

sin (wa)

w.

Nota importante 8.4 como es posible recuperar la función a partir de su transformada deFourier (al menos en cierta medida), entonces dos funciones con la misma transformada deFourier deben ser esencialmente iguales. En efecto, de manera análoga a lo que teníamos paraseries de Fourier, si f y g son funciones absolutamente integrables en R y Dirichlet en todointervalo de R, y f = g, entonces f (t) = g (t) en “casi todo punto”(concretamente, la igualdad


puede dejar de valer solo en las discontinuidades de ambas funciones). Para ver esto solo hayque notar que si f y g son continuas en cierto t, entonces

f (t) =1

2π

∫ ∞−∞

f (w) eiwtdw =1

2π

∫ ∞−∞

g (w) eiwtdw = g (t) .

A continuación vamos a dar una lista con las propiedades más usadas de la transformada deFourier. Para todas ellas asumimos que las funciones involucradas son absolutamente integralesen R y Dirichlet en todo intervalo de R.

1. F es un operador lineal, es decir, F (af + g) = aF (f) + F (g) para f, g funciones y a unnúmero real:

F (af + g) (w) =

∫ ∞−∞

a (f + g) (t) e−iwtdt =

∫ ∞−∞

(af (t) + g (t)) e−iwtdt =

= a

∫ ∞−∞

f (t) e−iwtdt+

∫ ∞−∞

g (t) e−iwtdt = aF (f) (w) + F (g) (w) .

La linealidad del operador F implica la linealidad del operador F−1, cuando se restringeel dominio de F de forma tal que sea invertible.

2. La función f es continua en R: primero notar que∣∣e−iwt − e−iw0t

∣∣ =∣∣∣∫ ww0−ite−iytdy

∣∣∣ ≤|t(w − w0)| para todo t ∈ R. Fijemos ε > 0. Como

∫∞−∞ |f (t)| dt converge, existe R tal que∫ ∞

R|f (t)| dt < ε

8y

∫ −R−∞|f (t)| dt < ε

8

Hagamos|(w − w0)| < ε

2R∫∞−∞ |f (t)| dt

,

queremos ver que esto basta para hacer∣∣∣f (w)− f (w0)

∣∣∣ < ε. Escribimos

f (w)− f (w0) =

∫ ∞−∞

f (t) (e−iwt − e−iw0t)dt =

=

∫ R

−Rf (t) (e−iwt−e−iw0t)dt+

∫ −R−∞

f (t) (e−iwt−e−iw0t)dt+

∫ ∞R

f (t) (e−iwt−e−iw0t)dt.

y miramos su módulo dividido en dos términos:∣∣∣∣∫ −R−∞

f (t) (e−iwt − e−iw0t)dt+

∫ ∞R

f (t) (e−iwt − e−iw0t)dt

∣∣∣∣ ≤ 2

∫ −R−∞|f (t)| dt+2

∫ ∞R|f (t)| dt < ε

2,

y∣∣∣∣∫ R

−Rf (t) (e−iwt − e−iw0t)dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ R

−R

∣∣f (t) (e−iwt − e−iw0t)∣∣ dt ≤ ∫ R

−R|f (t)| |t(w − w0)| dt ≤

≤ R |(w − w0)|∫ R

−R|f (t)| dt ≤ R |(w − w0)|

∫ ∞−∞|f (t)| dt < ε

2.


3. La transformada de Fourier es antisimétrica, es decir, F(f)

(t) = 2πf (−t) ∀ t donde fes continua: para cada f, f es una nueva función definida en R, por lo cual tiene sentido(al menos, en principio) intentar calcular su transformada de Fourier. El teorema anteriordice que, para cada t ∈ R donde f es continua,

f (t) =1

2π

∫ ∞−∞

f (w) eiwtdw =1

2π

∫ ∞−∞

f (w) e−iw(−t)dw =1

2πF(f)

(−t) .

Notar que la cadena de igualdades implica que la segunda integral converge para todo

t ∈ R, y por lo tanto define bien a F(f)

(−t).

4. Cambio de escala en f . Si a > 0 entonces F (f (at)) (w) = 1aF (f)

(wa

): haciendo el cambio

de variables x = at resulta

F (f (at)) =

∫ ∞−∞

f (at) e−iwtdt =

∫ ∞−∞

f (x) e−iwxadx

a=

1

aF (f)

(wa

).

(ejercicio: ¿qué pasa si no pedimos a > 0?)

5. Corrimiento en f. Si t0 ∈ R, entonces F (f (t− t0)) (w) = e−iwt0F (f) (w): haciendo elcambio de variables x = t− t0 resulta

F (f (t− t0)) (w) =

∫ ∞−∞

f (t− t0) e−iwtdt =

∫ ∞−∞

f (x) e−iw(x+t0)dx

= e−iwt0∫ ∞−∞

f (x) e−iwxdx = e−iwt0F (f) (w) .

6. Corrimiento en frecuencia. Si w0 ∈ R entonces F(eiw0tf (t)

)(w) = F (f) (w − w0):

F(eiw0tf (t)

)(w) =

∫ ∞−∞

eiw0tf (t) e−iwtdt =

∫ ∞−∞

f (t) e−i(w−w0)tdt = F (f) (w − w0) .

7. Modulación. F (f (t) cos (w0t)) (w) = 12 [F (f) (w − w0) + F (f) (w + w0)]:

F (f (t) cos (w0t)) (w) =

∫ ∞−∞

f (t) cos (w0t) e−iwtdt =

∫ ∞−∞

f (t)

(eiw0t + e−iw0t

2

)e−iwtdt

=1

2

∫ ∞−∞

f (t) eiw0te−iwtdt+1

2

∫ ∞−∞

f (t) e−iw0te−iwtdt.

Las siguientes dos propiedades requieren hipótesis adicionales a las que hemos supuesto,de entrada, que teníamos:

8. Transformada de la derivada: Si f es continua y absolutamente integrable en R, tienederivada f ′ en “casi todo punto” (ver series de Fourier para ver que significa esto), y f ′

es absolutamente integrable en R y Dirichlet en cada intervalo de R, y lımt→±∞ f (t) = 0,entonces F (f ′) (w) = iwF (f) (w). Para verlo aplicamos integración por partes:

F(f ′)

(w) =

∫ ∞−∞

f ′ (t) e−iwtdt = lımN→∞

∫ N

−Nf ′ (t) e−iwtdt

= lımN→∞

[f (t) e−iwt

]t=Nt=−N − lım

N→∞

∫ N

−Nf (t) (−iw) e−iwtdt

= 0 + iw

∫ ∞−∞

f (t) e−iwtdt = iwF (f) (w) .


Esta propiedad, con las hipótesis adecuadas, se generaliza a

F(f (n)

)(w) = (iw)nF (f) (w) ∀ n ∈ N.

9. Derivación de la transformada: si tf (t) es absolutamente integrable en R, entonces f esderivable y d

dw f (w) = F (−itf (t)) (w). Para verlo se procede de manera análoga a lo hechocon la Transformada de Laplace, usando las ideas del punto (2). Haciendo esto, se ve queel siguiente procedimiento es válido:

d

dwf (w) =

d

dw

(∫ ∞−∞

f (t) e−iwtdt

)=

∫ ∞−∞

∂

∂w

(f (t) e−iwt

)dt =

=

∫ ∞−∞−itf (t) e−iwtdt = F (−itf (t)) (w) .

Esta propiedad, con las hipótesis adecuadas, se generaliza a

dn

dwnf (w) = (−i)nF (tnf (t)) (w)

8.5. Calculo de transformadas usando residuos

Los residuos son muy útiles para calcular cierto tipo de integrales impropias. Veamos elsiguiente ejemplo: supongamos que f (z) es analítica en el semiplano {z : Im (z) ≥ 0} salvopor singularidades aisladas z1, ..., zn en dicho semiplano, ninguna con parte imaginaria nula. SeaR tal que |zj | ≤ R ∀ j = 1, ..., n y consideremos la curva cerrada simple CR formada por elsegmento de recta real [−R,R] y la mitad superior ΓR del círculo |z| = R, recorrida en sentidoantihorario.

¡R

RR

z1

z2

z3

z4

zn

Según el teorema de residuos tenemos que∫CR

f (z) dz = 2πin∑j=1

Res (f, zj) ,

es decir, ∫[−R,R]

f (z) dz +

∫ΓR

f (z) dz = 2πi

n∑j=1

Res (f, zj) ∀ R ≥ R0.


Parametrizando el segmento [−R,R] por medio de γ (t) = t, t ∈ [−R,R] , y despejando de laigualdad anterior, vemos que∫ R

−Rf (t) dt = 2πi

n∑j=1

Res (f, zj)−∫

ΓR

f (z) dz ∀ R ≥ R0.

Nosotros estamos interesados en∫ ∞−∞

f (t) dt = lımR→∞

∫ R

−Rf (t) dt,

y la igualdad anterior nos sugiere que si pedimos condiciones sobre f como para que

lımR→∞

∫ΓR

f (z) dz = 0,

podremos afirmar que ∫ ∞−∞

f (t) dt = 2πin∑j=1

Res (f, zj)

ya que la suma de residuos no depende de R. Una forma de asegurar esto es la siguiente: siponemos

Mf (R) = max{|f (z)| : z ∈ ΓR},entonces ∣∣∣∣∫

ΓR

f (z) dz.

∣∣∣∣ ≤ πRMf (R) ,

de donde se deduce inmediatamente el siguiente teorema:

Teorema 8.5 si f (z) es una función analítica en el semiplano {z : Im (z) ≥ 0} salvo porsingularidades aisladas z1, ..., zn (en dicho semiplano), ninguna con parte imaginaria nula, y talque lımR→∞RMf (R) = 0. Entonces∫ ∞

−∞f (t) dt = 2πi

n∑j=1

Res (f, zj) .

Notar que la condición “lımR→∞RMf (R) = 0”nos dice, grosso modo, que f debe decreceren infinito más rápido que la función 1/R.

Ejemplo 8.6 tomemos f (z) = 11+z2 , entonces f tiene polos simples en ±i, y como

∣∣z2 + 1∣∣ ≥∣∣z2

∣∣− 1 (al menos para z : |z| ≥ 2), entonces Mf (R) ≤ 1R2−1

y

0 ≤ lımR→∞

RMf (R) ≤ lımR→∞

R

R2 − 1= 0.

AdemásRes (f, i) = lım

z→i(z − i) 1

1 + z2= lım

z→i

1

z + i=

1

2i,

y el teorema anterior dice que ∫ ∞−∞

1

1 + t2dt = 2πi

1

2i= π.

Este ejemplo no es interesante por si, solo ilustra la forma en que se usa el teorema.


Si denotamos ΓR = {z : |z| = R, Im (z) ≤ 0} y Mf (R) = max{|f (z)| : z ∈ ΓR}, de maneraanáloga se prueba (ejercicio) el siguiente:

Teorema 8.7 si f (z) es una función analítica en el semiplano {z : Im (z) ≤ 0} salvo porsingularidades aisladas z1, ..., zm (en dicho semiplano), ninguna con parte imaginaria nula, y talque lımR→∞RMf (R) = 0. Entonces∫ ∞

−∞f (t) dt = −2πi

m∑j=1

Res (f, zj) .

El signo menos que lo diferencia del teorema anterior viene de que, al considerar la curvaadecuada (el segmento [−R,R] seguida del semicírculo ΓR en sentido antihorario), la integralsobre el eje real queda con los extremos invertidos.

Nuestro interés esta en usar esta técnica para calcular transformadas de Fourier, es decir,aplicarla a las funciones del tipo f (z) e−iωz. Supongamos que quiero calcular f (ω) donde f (t)es una función que es la restricción a R de una función analítica en el semiplano {z : Im (z) ≥ 0}salvo por singularidades aisladas z1, ..., zn en dicho semiplano, ninguna con parte imaginarianula. Primero notar que las singularidades de la función f (z) e−iωz son exactamente las mismasque las de f . Tomemos ω ≤ 0 y z = x+ iy con y ≥ 0, entonces∣∣e−iωz∣∣ =

∣∣∣e−iω(x+iy)∣∣∣ = eωy ≤ 1,

y entonces0 ≤ max{

∣∣f (z) e−iωz∣∣ : z ∈ ΓR} ≤ max{|f (z)| : z ∈ ΓR}.

Entonces si f es tal que (con la notación de antes) lımR→∞RMf (R) = 0, resulta que

f (ω) =

∫ ∞−∞

f (t) e−iωtdt = 2πin∑j=1

Res(f (z) e−iωz, zj

)∀ ω ≤ 0.

De manera absolutamente análoga se ve que si f (t) es una función que es la restricción a R deuna función analítica en el semiplano {z : Im (z) ≤ 0} salvo por singularidades aisladas z1, ..., zmen dicho semiplano, ninguna con parte imaginaria nula, y lımR→∞RMf (R) = 0, entonces

f (ω) =

∫ ∞−∞

f (t) e−iωtdt = 2πin∑j=1


)∀ ω ≥ 0.

Ejemplo 8.8 Consideremos la función f (t) = 11+t2

, t ∈ R, que es la restricción a R de lafunción f (z) = 1

1+z2 , z ∈ C − {±i}. Por las consideraciones hechas en el ejemplo anterior,resulta

f (ω) = 2πiRes

(e−iωz

1 + z2, i

)= 2πi

eω

2i∀ ω ≤ 0,

y

f (ω) = −2πiRes

(e−iωz

1 + z2,−i)

= −2πie−ω

−2i∀ ω ≥ 0,

es decirf (ω) = πe−|ω| ∀ ω ∈ R.


Estos resultados se pueden mejorar, ya que las condiciones sobre decrecimiento de la funciónson innecesariamente restrictivas: notar que cuando pedimos ω ≤ 0 utilizamos que (en dichocaso, para y ≥ 0),

∣∣e−iωz∣∣ ≤ 1. Esta cota no puede mejorarse, pero el procedimiento general si,estudiando cuidadosamente la integral ∫

ΓR

f (z) e−iωzdz.

Parametricemos ΓR por medio de γR (t) = Reit, t ∈ [0, π] , de forma tal que γ′ (t) = iReit, y∫ΓR

f (z) e−iωzdz =

∫ π

0f(Reit

)e−iωRe

itiReitdt.

Como ∣∣∣e−iωReit∣∣∣ =∣∣∣e−iωR(cos t+i sin t)

∣∣∣ = eωR sin t

resulta ∣∣∣f (Reit) e−iωReitiReit∣∣∣ ≤ RMf (R) eωR sin t ∀ t ∈ [0, π]

(seguimos usando la misma notación para Mf (R)), y entonces∣∣∣∣∫ΓR

f (z) e−iωzdz

∣∣∣∣ ≤ ∫ π

0RMf (R) eωR sin tdt = RMf (R)

∫ π

0eωR sin tdt.

Estudiemos esta última integral: usando que

sin (t)

t≥ 2

π∀ t ∈

[0,π

2

](ejercicio),

resulta que para ω < 0 (¡importante!)

ωR sin (t) ≤ 2ωRt

π∀ t ∈

[0,π

2

],

y entonces

0 ≤∫ π

0eωR sin tdt = 2

∫ π/2

0eωR sin tdt ≤ 2

∫ π/2

0e

2ωRtπ dt = 2

[ π

2ωRe

2ωRtπ

]t=π/2t=0

=π

ωR

[eωR − 1

],

en donde en la primer igualdad hemos usado que la función eωR sin t es simétrica en [0, π] respectodel eje t = π/2 (por la simetría de la función sin t).

1

¼

e!R sin( )t

Usando que ω < 0, queda

0 ≤∫ π

0eωR sin tdt ≤ π

−ωR[1− eωR

]≤ π

|ω|R,


y entonces (juntando con lo hecho arriba)∣∣∣∣∫ΓR

f (z) e−iωzdz

∣∣∣∣ ≤ RMf (R)π

|ω|R =π

|ω|Mf (R) .

Esta desigualdad, aplicada a los métodos del comienzo de esta sección, implica de manerainmediata el siguiente teorema:

Teorema 8.9

1. Si f (t) , t ∈ R, es una función que es la restricción a R de una función f (z) , z ∈ C, quees analítica en el semiplano {z : Im (z) ≥ 0} salvo por singularidades aisladas z1, ..., zn endicho semiplano, ninguna con parte imaginaria nula, y lımR→∞Mf (R) = 0, entonces

f (ω) = 2πin∑j=1


)∀ ω < 0.

2. Si f (t) , t ∈ R, es una función que es la restricción a R de una función f (z) , z ∈ C, quees analítica en el semiplano {z : Im (z) ≤ 0} salvo por singularidades aisladas z1, ..., zm endicho semiplano, ninguna con parte imaginaria nula, y lımR→∞ Mf (R) = 0, entonces

f (ω) = −2πim∑j=1


)∀ ω > 0.

Dos comentarios (relacionados): primero, notar que hemos perdido el caso ω = 0. Eso no seríauna limitación muy severa si pudiéramos asegurar que f es continua en ω = 0, lo cual ocurre sif es absolutamente integrable en R. Lo segundo, todas las integrales en el intervalo (−∞,∞) deesta sección se tomaron como límite de integrar en el intervalo (−R,R) , lo cual no coincide connuestra definición (que era integrar, de manera independiente, en los intervalos (−∞, 0) y (0,∞) ,y sumar), y no es lo mismo. A este tipo de integral se lo suele llamar el valor principal (o valorprincipal de Cauchy), y lo que si es cierto es que si f es absolutamente integrable en R, entoncesel valor principal da lo mismo que la integral. De cualquier manera, se usa el valor principal enlugar de integrar en cada intervalo y sumar cuando este último procedimiento no funciona. Enresumen, tenemos dos pequeños problemas que se solucionan si f es absolutamente integrableen R. Desafortunadamente, los casos más interesantes de aplicación del teorema anterior vienede cuando f no es absolutamente integrable, pues en general si f es absolutamente integrableen R, decrece lo suficientemente rápido como para poder aplicar las fórmulas anteriores a esteteorema para calcular f .

Ejemplo 8.10 tomar f (t) = t1+t2

, que es la restricción a R de la función f (z) = z1+z2 analítica

en C− {±i}. El teorema anterior dice que

f (ω) = 2πiRes

(ze−iωz

1 + z2, i

)= 2πi lım

z→i

(ze−iωz

z + i

)= 2πi

ieω

2i= iπeω ∀ ω < 0,


y

f (ω) = −2πiRes

(ze−iωz

1 + z2,−i)

= −2πi lımz→−i

(ze−iωz

z − i

)= −2πi

−ie−ω−2i

= −iπe−ω ∀ ω > 0,

donde se ve claramente que f (ω) no es continua en 0. Notar que f no es integrable ni en (0,∞)ni en (−∞, 0) , pero ∫ R

−Rf (t) dt = 0 ∀ R > 0,

por lo que se define f (0) = 0.

8.6. Transformada de Laplace Compleja

Vamos a extender nuestra teoría de Transformada de Laplace al campo complejo, es decir,dejando que la variable s de L (f) (s) sea un número complejo, s = x + iy. La definición esexactamente la misma, recordando (una vez mas) que cuando integramos una función de variablereal e imagen imaginaria, se deben integrar ambas partes por separado. Es decir, si h (t) =h1 (t) + ih2 (t) con h1, h2 reales, entonces∫ ∞

0h (t) dt =

∫ ∞0

h1 (t) dt+ i

∫ ∞0

h2 (t) dt,

cuando estas dos últimas integrales convergen. El resultado que más vamos a usar al respectoes el siguiente: si h : [0,∞)→ C es tal que

∫∞0 |h (t)| dt converge, entonces

∫∞0 h (t) dt converge

(es decir, si h es absolutamente integrable, entonces es integrable), resultando∣∣∫∞

0 h (t) dt∣∣ ≤∫∞

0 |h (t)| dt.

Definición 8.11 para una función f : [0,∞) → R y para s ∈ C, se define la transformada deLaplace de f como

L (f) (s) =

∫ ∞0

f (t) e−stdt

cada ves que la integral impropia converge.

Tenemos el siguiente resultado fundamental:

Teorema 8.12 Si f es continua por tramos en [0,∞) y de OE (α), con |f (t)| ≤Meαt ∀ t ≥ 0,entonces la transformada de Laplace de f, L (f) (s) , existe en todo el semiplano {s ∈ C : Re (s) >α}, es una función analítica y sus derivadas satisfacen

dnL (f) (s)

dsn= L ((−t)n f (t)) (s) .

Además

|L (f) (s)| ≤ M

Re (s)− α .


Demostración. Si s = x+ iy, entonces∣∣f (t) e−st∣∣ =

∣∣∣f (t) e−(x+iy)t∣∣∣ =

∣∣f (t) e−xte−iyt∣∣ =

∣∣f (t) e−xt∣∣ ≤ ∣∣Meαte−xt

∣∣ ∀ t ≥ 0.

Puesto que la integral∫∞

0 Meαte−xtdt converge ∀ x > α, tenemos que f (t) e−st es absolutamenteintegrable en [0,∞) siempre que Re (s) > α, y por lo tanto tenemos definida L (f) (s) en dichosemiplano, y

|L (f) (s)| =

∣∣∣∣∫ ∞0

f (t) e−stdt

∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞0

∣∣f (t) e−st∣∣ dt

≤∫ ∞

0Me−(x−α)tdt =

[−Me−(x−α)t

x− α

]t=∞t=0

=M

x− α =M

Re (s)− α .

Veamos ahora que L (f) (s) es analítica, con Cauchy Riemann:

L (f) (s) =

∫ ∞0

f (t) e−stdt =

∫ ∞0

f (t) e−xt [cos (yt)− i sin (yt)] dt

=

∫ ∞0

f (t) e−xt cos (yt) dt+ i

∫ ∞0−f (t) e−xt sin (yt) dt = u (x, y) + iv (x, y) .

Usando la Proposición 2.35 (derivada de la transformada) es inmediato que

∂u

∂x(x, y) =

∫ ∞0

∂

∂x

(f (t) cos (yt) e−xt

)dt =

∫ ∞0−tf (t) e−xt cos (yt) dt,

pues como consideramos y fijo, en realidad estamos derivando la transformada de la funciónf (t) cos (yt). Análogamente,

∂v

∂x(x, y) =

∫ ∞0−f (t)

∂

∂x

(e−xt sin (yt)

)dt =

∫ ∞0

tf (t) e−xt sin (yt) dt.

Calcular las derivadas respecto de y requiere más trabajo: queremos ver que se puede derivardentro de la integral, por ejemplo queremos ver que

∂u

∂y(x, y) =

∫ ∞0

∂

∂y

(f (t) e−xt cos (yt)

)dt = −

∫ ∞0

tf (t) e−xt sin (yt) dt

Llamemos

gt(y) = cos(yt)

de forma queg′t(y) = −t sin(yt), g′′t (y) = −t2 cos(yt)

Buscando el polinomio de Taylor de grado 1 y su resto, obtenemos

gt(y + h) = gt(y) + g′t(y)h+1

2g′′t (ξt)h

2

con ξt en el intervalo de extremos y y y + h; en particular

gt(y + h)− gt(y)− g′t(y)h

h=

1

2g′′t (ξt)h


de donde ∣∣∣∣gt(y + h)− gt(y)− g′t(y)h

h

∣∣∣∣ ≤ 1

2t2 |h|

Finalmente:∣∣∣∣u(x, y + h)− u(x, y)

h−∫ ∞

0

∂

∂y

(f (t) e−xtgt(y)

)dt

∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣1h[∫ ∞

0f (t) e−xtgt(y + h)dt−

∫ ∞0

f (t) e−xtgt(y)dt

]−∫ ∞

0

∂

∂y

(f (t) e−xtgt(y)

)dt

∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∫ ∞0

f (t) e−xt(gt(y + h)− gt(y)

h− g′t(y)

)dt

∣∣∣∣ =

≤∫ ∞

0

∣∣∣∣f (t) e−xt(gt(y + h)− gt(y)

h− g′t(y)

)∣∣∣∣ dt ≤≤∫ ∞

0

∣∣∣∣f (t) e−xt1

2t2h

∣∣∣∣ dt =1

2|h|∫ ∞

0

∣∣f (t) e−xtt2∣∣ dt −→

h→00.

Con cambios mínimos (tomando gt(y) = − sin(yt)) se ve que

∂v

∂y(x, y) =

∫ ∞0

∂

∂y

(−f (t) e−xt sin (yt)

)dt =

∫ ∞0−tf (t) e−xt cos (yt) dt,

de donde se deduce queux = vy y uy = −vx.

Utilizando las mismas técnicas que en el Teorema 2.12, se ve que, además, todas las derivadasparciales son continuas, por lo cual Cauchy-Riemann dice que L (f) (s) es analítica en el semi-plano {s : Re (s) > α} y

dL (f) (s)

ds= ux (s) + ivx (s) =

∫ ∞0−tf (t) e−xt cos (yt) dt+ i

∫ ∞0

tf (t) e−xt sin (yt) dt

=

∫ ∞0−tf (t) e−xt [cos (yt)− i sin (yt)] dt

=

∫ ∞0−tf (t) e−xte−iytdt =

∫ ∞0−tf (t) e−stdt = L (−tf (t)) (s) .

La fórmula de la derivada n-ésima se sigue por inducción.

La primera preocupación seria que aparece después de probar semejante teorema, es: ¿quepasa con las propiedades que tengo probadas en el caso variable real? ¿siguen valiendo? Y encaso de que si, ¿voy a tener que probar todas las propiedades de nuevo? ¿Es cierto que paras ∈ C vale que L (t) (s) = 1

s2? Responder todas estas preguntas se nos hace fácil gracias al

Corolario 7.4. Con el siguiente ejemplo vamos a ver el procedimiento general a utilizar: sabemosque si f (t) = sin (ωt) ∀ t ≥ 0, entonces L (f) (s) es una función analítica en el semiplanoP = {s : Re (s) > 0} (esto se ve fácilmente utilizando el teorema anterior). Además la funciónφ (s) = ω

s2+ω2 también es analítica en dicho semiplano,

L (f) (s) =ω

s2 + ω2∀ s ∈ R, s > 0.


Es decir, L (f) (s) y φ (s) son dos funciones analíticas en P que son iguales en el semieje realpositivo, y entonces eñ Corolario 7.4 nos dice que deben ser iguales para todo s en P . Es decir,

L (sin (ωt)) (s) =ω

s2 + ω2∀ s ∈ C, Re (s) > 0.

Podríamos haber calculado nuevamente la integral que define la transformada de sin (ωt) , pero laintención es no repetir ningún calculo ya hecho. De la misma forma, consideremos la propiedad2: Si f es continua en [0,∞) y de OE (α) , y existe f ′ en “casi todo punto” es continua portramos en [0,∞) y de OE (α) , entonces

L(f ′)

(s) = sL (f) (s)− f (0) ∀ s > α.

Pero en estas hipótesis el teorema anterior dice que tanto L (f ′) (s) como L (f) (s) son analíticasen el semiplano {s : Re (s) > α}, y por lo tanto L (f ′) (s) y sL (f) (s)− f (0) son dos funcionesanalíticas en dicho semiplano, y que son iguales ∀ s ∈ R, s > α, y entonces el citado corolariodice que

L(f ′)

(s) = sL (f) (s)− f (0) ∀ s ∈ C tal que Re (s) > α.

Con ese procedimiento podemos generalizar a variable complejas todas las propiedades vistas,salvo la propiedad de la Proposición 2.41, ya que no tenemos definido que significa el símbolointegral

∫∞s cuando s es complejo. El Teorema del Valor Inicial (Proposición 2.47) requiere un

cambio menor, y la conclusión resulta

lımRe(s)→∞

sL (f) (s) = f(0+).

8.7. Fórmula de inversión compleja

La extensión de nuestra definición de transformada de Laplace al plano complejo nos permitellegar a una fórmula directa, del tipo de la que teníamos para la transformada de Fourier, parael operador L−1.

Definición 8.13 Para f (z) analítica en un semiplano P = {z : Re (z) > α}, y para a > α, sepone ∫ a+id

a+icf (z) dz

para la integral de línea de f sobre el segmento {a+ iy, y ∈ [c, d]}, y∫ a+i∞

a−i∞f (z) dz = lım

c→∞

∫ a+ic

a−icf (z) dz

cada vez que dicho límite existe.

Notar que la definición es la de una integral de línea, donde se da de manera específica lacurva sobre la cual se integra. Sin embargo, la notación es consistente con la utilizada cuando


estudiamos independencia del camino, ya que en nuestras hipótesis podríamos cambiar el seg-mento de recta por cualquier otra curva (con el mismo punto inicial y final), siempre que talcurva esté en el semiplano donde f es analítica.

El siguiente razonamiento heurístico nos llevará a la fórmula de inversión: tomemos f :[0,∞) → R Dirichlet en todo intervalo I ⊆ [0,∞) (ojo, no pedimos continua por tramos comosiempre) y de OE (α) , y definamos la siguiente función

g (t) =

{0 si t < 0

e−atf (t) si t ≥ 0,

donde a > α es un número fijo. Puesto que g es absolutamente integrable en R y Dirichlet entodo intervalo I ⊆ R, el teorema de Fourier nos dice que

g (t) =1

2π

∫ ∞−∞

g (ω) eiωtdω

al menos ∀ t donde f es continua. Pero

g (ω) =

∫ ∞−∞

g (t) e−iωtdt =

∫ ∞0

e−atf (t) e−iωtdt =

∫ ∞0

f (t) e−(a+iω)tdt = L (f) (a+ iω) ,

de donde resulta

g (t) =1

2π

∫ ∞−∞L (f) (a+ iω) eiωtdω.

Comparando con la definición de g vemos que

f (t) =eat

2π

∫ ∞−∞L (f) (a+ iω) eiωtdω =

1

2π

∫ ∞−∞L (f) (a+ iω) e(a+iω)tdω

=1

2πlımc→∞

∫ c

−cL (f) (a+ iω) e(a+iω)tdω.

Ahora, pensando en la función φ (z) = L (f) (z) ezt, que es analítica en el semiplano {z :Re (z) > α}, y en la curva γ (ω) = a+ iω (ω ∈ R) , queda∫ a+ic

a−icφ (z) dz =

∫γφ (z) dz =

∫ c

−cφ (γ (ω)) γ′ (ω) dω

=

∫ c

−ciL (f) (a+ iω) e(a+iω)tdω,

y entonces

f (t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞L (f) (z) eztdz,

que es la que se llama la fórmula de inversión compleja de la transformada de Laplace. Hemosprobado el siguiente:

Teorema 8.14 Si f : [0,∞) → R es Dirichlet en todo intervalo I ⊆ [0,∞) y de OE (α) ,entonces para todo a > α vale

f (t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞L (f) (z) eztdz ∀ t donde f es continua.


Nota 8.15 (sobre el teorema anterior)

1. Escribiendo el razonamiento hecho con cuidado se puede ver que la integral en cuestiónconverge a f (t) en los t′s donde f es continua, al promedio del salto donde f es discontinua,a 1

2f (0+) en t = 0, y a cero para todo t < 0.

2. Nuestro teorema tiene la falencia de que sólo nos permite hallar f a partir de su transfor-mada de Laplace, pero no nos permite encontrar una f (t) cuya transformada de Laplacesea una función φ (s) dada. Es decir, podemos aplicar la fórmula a φ (s) sólo si previa-mente sabemos que φ es una transformada de una función f que sea Dirichlet en todoI ⊆ [0,∞) y de orden exponencial. De cualquier manera, la metodología a aplicar, enprincipio, es usar la fórmula de inversión compleja para invertir cualquier función (quepueda ser una transformada), y si quedan dudas, calcular la transformada de Laplace dela función obtenida para verificar.

3. Se puede ver (por ejemplo en Churchill “Operational Mathematics”) que si φ (s) es unafunción analítica en un semiplano {z : Re (z) ≥ α} y existe k > 1 tal que |φ (s)| ≤ 1/

∣∣sk∣∣para todo s en dicho semiplano, entonces existe una función f : [0,∞)→ R continua y deOE (α) tal que φ es su transformada de Laplace, y

f (t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞φ (z) eztdz ∀ t ∈ [0,∞).

Es decir, en principio sólo bajo estas hipótesis podemos decir que dicha integral convergey define bien una función de t.

Una de las mejores cosas de la fórmula de inversión compleja es que la integral involucradatiene toda la pinta de integral que se puede calcular utilizando residuos, como hicimos paracalcular la trasformada de Fourier. Notar que en las condiciones del teorema anterior, la funciónL (f) (z) ezt tiene todas sus singularidades (aisladas o no) en el semiplano {z : Re (z) ≤ α}. Valeel siguiente:

Teorema 8.16 Si f : [0,∞) → R es Dirichlet en todo intervalo I ⊆ [0,∞) y de OE (α) ,y φ (s) = L (f) (s) es una función analítica en C salvo por singularidades aisladas {z1, ..., zn},todas ellas con parte real menor que a ∈ R, y si existen constantes M y R0 tales que

|sφ (s)| ≤M ∀ s : |s| ≥ R0 y Re (s) ≤ a,

entonces

f (t) =

n∑j=1

Res(φ (z) ezt, zj

)∀ t ∈ [0,∞).

Demostración. Consideremos la curva cerrada simple CR formada por el segmento de recta[a− iR, a+ iR] seguida del semicírculo CR (a) = {z : |z − a| = R y Re (s) ≤ a}, recorrida en


sentido antihorario.

C aR( )

a0z1

z2

z3

z4

zn

iR

iR

Si tomamos R tal que |zj − a| < R ∀ j = 1, ..., n, el teorema de los residuos nos dice que

1

2πi

∫ a+iR

a−iRφ (z) eztdz =

n∑j=1

Res(φ (z) ezt, zj

)− 1

2πi

∫CR(a)

φ (z) eztdz.

Puesto que la fórmula de inversión compleja nos dice que

f (t) = lımR→∞

1

2πi

∫ a+iR

a−iRφ (z) eztdz,

basta con ver que en nuestras hipótesis,

lımR→∞

1

2πi

∫CR(a)

φ (z) eztdz = 0.

Parametrizamos CR (a) por γ (θ) = a + Reiθ, θ ∈[π2 ,

3π2

], entonces puesto que para R ≥ 2 |a|

se tiene que

2∣∣∣a+Reiθ

∣∣∣ ≥ 2(∣∣∣Reiθ∣∣∣− |a|) ≥ 2

R

2=∣∣∣Reiθ∣∣∣ ,

entonces∣∣∣∣∣∫CR(a)

φ (z) eztdz

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫ 3π/2

π/2φ(a+Reiθ

)e(a+Reiθ)tiReiθdθ

∣∣∣∣∣ ≤≤

∫ 3π/2

π/2

∣∣∣φ(a+Reiθ)∣∣∣ ∣∣∣Reiθ∣∣∣ eatetR cos θdz ≤

≤ eat∫ 3π/2

π/2

∣∣∣φ(a+Reiθ)∣∣∣ 2 ∣∣∣a+Reiθ

∣∣∣ etR cos θdθ ≤ eat2M∫ 3π/2

π/2etR cos θdθ.

Para esta última integral, notar que si hacemos el cambio ω = θ + π2 y usando una cuenta ya

hecha (y que t > 0), queda

0 ≤∫ 3π/2

π/2etR cos θdθ =

∫ π

0etR cos(ω−π2 )dω =

∫ π

0e−tR sin(ω)dω = 2

∫ π/2

0e−tR sin(ω)dω,


y como t > 0, entonces −tR sin (ω) ≤ −tR2ω/π ∀ ω ∈[0, π2

], y entonces

0 ≤∫ 3π/2

π/2etR cos θdθ ≤ 2

∫ π/2

0e−tR2ω/πdω = π

1− e−tRtR

≤ π

tR.

Finalmente, podemos decir que para R suficientemente grande, se tiene que∣∣∣∣∣∫CR(a)

φ (z) eztdz

∣∣∣∣∣ ≤ eat2M π

tR,

lo cual termina la demostración.

Ejemplo 8.17 Supongamos que queremos calcular

L−1

(1

(s+ a)2 + b2

).

Como la función φ (s) = 1(s+a)2+b2

tiene dos polos simples en −a± ib, calculamos

Res

(ezt

(z + a)2 + b2,−a+ ib

)= lım

z→−a+ib

ezt

(z + a+ ib)=

e(−a+ib)t

(−a+ ib+ a+ ib)=e−ateibt

2ib,

y

Res

(ezt

(z + a)2 + b2,−a− ib

)= lım

z→−a−ib

ezt

(z + a− ib) =e(−aib)t

(−a− ib+ a− ib) =e−ate−ibt

−2ib,

y entonces

L−1

(1

(s+ a)2 + b2

)=e−ateibt

2ib+e−ate−ibt

−2ib=e−at

(eibt − e−ibt

)2ib

=e−at sin (bt)

b.

Nota 8.18 Es muy importante notar que el teorema anterior no se puede usar para invertirtrastornadas de la forma φ (s) = e−bs P (s)

Q(s) con b > 0 y P, Q polinomios, pues no hay forma delograr una cota del tipo

|sφ (s)| ≤M ∀ s : |s| ≥ R0 y Re (s) ≤ a.

De cualquier manera, esto no es una limitación pues se usa para invertir la función P (s) /Q (s) ,y el factor e−bs implica un corrimiento en la variable t.

Nota 8.19 (fuera de lugar) Si f (z) es una función analítica en C salvo por singularidadesaisladas, y f tiene la propiedad de que f (z) = f (z) para todo z en su dominio, entonces ρ es


singularidad de f si y solo si ρ lo es (pues f (z) = f (z), y recordar que, en general, si g esanalítica también lo es la función g (z) en el dominio adecuado), y

Res (f, ρ) = Res (f, ρ),

pues si Cw = w + εeit, t ∈ [0, 2π] , entonces para ε suficientemente chico se tiene que

Res (f, ρ) =1

2πi

∫Cρ

f (z) dz =1

2πi

∫ 2π

0f(ρ+ εeit

)εieitdz =

=1

2πi

∫ 2π

0f(ρ+ εe−it

)εieitdt =

1

2πi

∫ 2π

0f (ρ+ εe−it)ε (−i) e−itdt =

=1

2πi

∫ 2π

0f (ρ+ εe−it) ε (−i) e−itdt =

1

2πi

∫C−ρ

f (z) dz =

=−1

2πi

∫Cρ

f (z) dz =1

2πi

∫Cρ

f (z) dz = Res (f, ρ).

El teorema anterior es especialmente adecuado para caracterizar el comportamiento de lasfunciones cuya transformada de Laplace es de la forma φ (s) = P (s)

Q(s) , donde P, Q son polinomioscon coeficientes reales y el grado de Q es mayor que el grado de P y sin raíces comunes. Notarque en estas condiciones, φ está dentro de las hipótesis del teorema, y las singularidades deφ (z) ezt son exactamente las raíces de Q. Necesitamos calcular

Res(φ (z) ezt, ρ

)para toda raíz ρ de Q. Si ρ es una raíz de Q de multiplicidad N, entonces ρ es un polo de φ (z) ezt

de orden N. Entonces se puede poner Q (z) = Q (z) (z − ρ)N donde Q es un polinomio sin raícescomunes con P, y Q (ρ) 6= 0 (notar que no sabemos que Q (z) sea un polinomio con coeficientesreales, este será el caso únicamente si ρ es una raíz real).

Res(φ (z) ezt, ρ

)= lım

z→ρ1

(N − 1)!

dN−1

dzN−1

[(z − ρ)N

P (z)

Q (z)ezt]

= lımz→ρ

1

(N − 1)!

dN−1

dzN−1

[P (z)

Q (z)ezt],

usando la regla de derivación de Leibnitz (o como se llame la generalización de la derivada delproducto) queda

dN−1

dzN−1

[P (z)

Q (z)ezt]

=N−1∑j=0

(N − 1

j

)[dN−1−j

dzN−1−jP (z)

Q (z)

] [dj

dzjezt]

=

N−1∑j=0

(N − 1

j

)(P

Q

)(N−1−j)(z) tjezt


y entonces

Res(φ (z) ezt, ρ

)=

1

(N − 1)!

dN−1

dzN−1

[P (z)

Q (z)ezt]z=ρ

=1

(N − 1)!

N−1∑j=0

(N − 1

j

)(P

Q

)(N−1−j)(ρ) tjeρt

=eρt

(N − 1)!

N−1∑j=0

(N − 1

j

)(P

Q

)(N−1−j)(ρ) tj ,

con(PQ

)(ρ) 6= 0 (es decir, aparece en la fórmula efectivamente un factor tN−1, cuando j = N−1

en la sumatoria). Es decir,Res

(φ (z) ezt, ρ

)= eρtp (t) ,

donde p (t) es un polinomio de grado N − 1 (y coeficientes no necesariamente reales). Y ahoradistinguimos dos casos:

Caso 1 Si ρ es real, entonces Q (z) es un polinomio con coeficientes reales, y por lo tanto P/Q(y la derivada de cualquier orden de ella) es una función racional con coeficientes reales.Consecuentemente p (t) es un polinomio con coeficientes reales, y

eρtp (t)

es una función de variable e imagen real.

Caso 2 Si ρ = a + ib con b 6= 0, como Q tiene coeficientes reales, resulta que ρ = a − ib tambiénes raíz de Q. Además, puesto que P también tiene coeficientes reales, se tiene que

φ (z) ezt =P (z)

Q (z)ezt =

P (z)

Q (z)ezt =

(P (z)

Q (z)ezt),

con lo cual la nota anterior nos dice que

Res(φ (z) ezt, ρ

)= Res (φ (z) ezt, ρ),

y entonces,Res

(φ (z) ezt, ρ

)+Res

(φ (z) ezt, ρ

)= 2 Re

[eρtp (t)

].

Si ponemos p (t) = p1 (t) + ip2 (t) con p1 y p2 polinomios reales, al menos uno de ellos esde grado N − 1 y

Res(φ (z) ezt, ρ

)+Res

(φ (z) ezt, ρ

)= 2 Re

[eat (cos bt+ i sin bt) (p1 (t) + ip2 (t))

]= 2eat (p1 (t) cos bt− p2 (t) sin bt) .

En síntesis: si φ (s) = P (s)Q(s) , donde P, Q son polinomios con coeficientes reales y el grado de

Q es mayor que el grado de P y sin raíces comunes, entonces al usar la fórmula

L−1 (φ) (t) =∑

ρ:Q(ρ)=0

Res

(P (z)

Q (z)ezt, ρ

)


una raíz ρ = a+ ib de Q de multiplicidad N aporta en la misma términos que son de la forma

eatN−1∑j=0

[cjt

j cos (bt) + djtj sin (bt)

], cj , dj ∈ R, cN−1 6= 0 y/o dN−1 6= 0,

de donde se puede concluir el siguiente:

Teorema 8.20 si φ (s) = P (s)Q(s) , donde P, Q son polinomios con coeficientes reales y el grado

de Q es mayor que el grado de P y sin raíces comunes, entonces L−1 (φ) (t) es acotada si ysolo si Q no tiene raíces con parte real positiva, y todas sus raíces con parte real nula son demultiplicidad uno. Además

lımt→∞L−1 (φ) (t) = 0

si y solo si Q todas las raíces de Q tienen parte real negativa.

8.8. Estabilidad

Una de las aplicaciones más importantes del teorema anterior el la que se da en Teoría deControl para determinar la estabilidad o no de un sistema físico. Un sistema físico en general secaracteriza por aceptar entradas (fuerza, voltaje, presión, corriente, etc.) y producir una salidaen respuesta a esa entrada. En general caracterizamos las entradas y las salidas con funcionesreales f (t) , t ≥ 0 (pensando que la variable t representa al tiempo).

Definición 8.21 Un sistema es lineal si la respuesta se comporta de manera lineal con respectoa la entrada, es decir, si y1 es la respuesta a la entrada x1 y y2 a la entrada x2, entonces larespuesta a la entrada ax1 + bx2 será ay1 + by2. Un sistema es invariante en el tiempo si elefecto de correr en el tiempo la entrada produce el mismo corrimiento en la salida, es decir,si y1 (t) es la respuesta a la entrada x1 (t) entonces la respuesta a la entrada y1 (t− t0) seráx1 (t− t0). La función de transferencia G (s) de un sistema lineal e invariante en el tiempo sedefine como la relación entre las transformadas de Laplace de la salida y la entrada, suponiendoque las condiciones iniciales son todas cero. Es decir,

G (s) =L (xo) (s)

L (xi) (s).

Se puede ver que para tales sistemas (lineales invariantes en el tiempo) dicha definición esbuena, es decir, no depende de la entrada que elijamos para calcularla. La función de transferenciacaracteriza por completo al sistema físico. Para representar un sistema se utilizan bloques queidentifican la entrada y la salida, y la función de transferencia que lo caracteriza, como elsiguiente:

Gxi xo

Para fijar ideas veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 8.22 Si tenemos un sistema masa-resorte forzado y amortiguado como muestra eldibujo, entonces la ecuación que describe el sistema es


{mx′′ + vx′ + kx = f (t)x (0) = x0, y (0) = y0

,

x

m

0

f t( )

v

k

donde m es la masa, v el coeficiente de rozamiento, k la constante elástica del resorte, f lafuerza aplicada al resorte (la entrada al sistema), y x la posición de la masa en cada instantede tiempo t ≥ 0 (la respuesta del sistema a la entrada, o sea la salida). Aquí x0 e y0 son lascondiciones iniciales (posición y velocidad respectivamente). Tomando transformada de Laplacequeda

ms2L (x) (s)− sx0 − y0 + vsL (x) (s)− x0 + kL (x) (s) = L (f) (s) .

Asumiendo que las condiciones iniciales son nulas (x0 = y0 = 0) y despejando obtenemos

L (x) (s)

L (f) (s)=

1

ms2 + vs+ k,

es decir, la función

G (s) =1

ms2 + vs+ k

es la función de transferencia de tal sistema. Notar que en la función aparecen todos los parámet-ros del sistema, y que no depende ni de la entrada ni de la salida.

Para el estudio de sistemas lineales invariantes en el tiempo se utiliza lo que se llama “álgebrade bloques”, que permite obtener la función de transferencia de un sistema que consiste devarios subsistemas interconectados de diferente manera, y de los cuales conocemos su funciónde transferencia. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos:


G Hxi xoxp

(la entrada al segundo sistema es la salida del primero), con funciones de transferencia Hy G respectivamente, entonces

G (s) =L (xp) (s)

L (xi) (s)y H (s) =

L (xo) (s)

L (xp) (s),

de dondeL (xo) (s)

L (xi) (s)=L (xp) (s)

L (xi) (s)· L (xo) (s)

L (xp) (s)= G (s)H (s) ,

es decir, la función de transferencia es el producto de las funciones de transferencias dec/u de los sistemas.



G

H

xi xo

xg

xh

(hay una entrada a dos subsistemas y la salida del sistema es la suma de ambas salidas),con funciones de transferencia H y G respectivamente, entonces

G (s) =L (xh) (s)

L (xi) (s)y H (s) =

L (xg) (s)

L (xi) (s),

puesto que xo = xh + xg, resulta L (xo) = L (xh) + L (xg) , y entonces

L (xo) (s)

L (xi) (s)=L (xh) (s) + L (xg) (s)

L (xi) (s)= G (s) +H (s) ,

es decir, la función de transferencia es la suma de las funciones de transferencias de c/ude los sistemas.


G

H

xi xfxi xo

xoxf

(hay una entrada a un sistema, la salida del mismo entra a otro, que produce una salidaque realimenta al primero), entonces

G (s) =L (xo) (s)

L (xi) (s)− L (xf ) (s)y H (s) =

L (xf ) (s)

L (xo) (s),

entonces, despejando L (xf ) en ambas ecuaciones obtenemos

L (xi) (s)− 1

G (s)L (xo) (s) = L (xf ) (s) y H (s)L (xo) (s) = L (xf ) (s) ,

igualando y despejando llegamos a

L (xo) (s)

L (xi) (s)=

L (xo) (s)

H (s)L (xo) (s) + 1G(s)L (xo) (s)

=G (s)

G (s)H (s) + 1,

que es la función de transferencia de un sistema a lazo cerrado.

Definición: Un sistema se dice estable si la respuesta a toda entrada acotada es acotada, yasintóticamente estable si la respuesta a toda entrada acotada tiende a cero cuando el tiempotiene a infinito.


El siguiente es un razonamiento ampliamente aplicado y aceptado en Teoría de Control. Alfinal de la sección anterior vimos que la ubicación de los polos de la transformada de Laplace deuna función está relacionada con que la función sea acotada o no. Si un sistema tiene funciónde transferencia G (s) , entonces la relación entre la transformada de Laplace de la entrada y lasalida es

L (xo) (s) = L (xi) (s)G (s)

Si la función de entrada xi (t) es acotada, entonces su transformada de Laplace es una funciónanalítica en el semiplano {z : Re (z) > 0}, y por lo tanto no tiene polos con parte real positiva.Para que xo (t) sea acotada necesitamos que su transformada de Laplace tampoco tenga poloscon parte real positiva, y la ecuación anterior nos dice que los polos de L (xo) (s) son exactamentelos polos de L (xi) (s)G (s) , y por lo tanto los polos con parte real positiva de L (xo) (s) sonexactamente los polos con parte real positiva de G (s) . Los polos con parte real nula son unproblema ya que si G (s) y L (xi) (s) tienen ambas un polo de orden 1 en ib, entonces L (xo) (s)tiene un polo de orden 2 en ib, y por lo tanto xo no es acotada. Esto nos lleva al siguiente criteriogeneral:

Criterio: un sistema lineal invariante en el tiempo es estable si y solo si todos los polos desu función transferencia tienen parte real negativa.

El único problema del razonamiento anterior es que, debido a la naturaleza del último teoremade la sección anterior, se aplica solo a sistemas cuya función de transferencia sea una funciónracional, y para entradas cuya transformada de Laplace es una función racional. Si sabemosque la función de transferencia es una función racional, de todos modos no podemos asegurarque la respuesta a toda entrada acotada es acotada, pero si que la respuesta a toda entradaacotada cuya transformada de Laplace es racional es acotada. Esto no es una limitación , ya queel criterio se usa en control y ya, pero yo no encontré ningún libro que lo tenga y no me sale. ¿Ycomo determinamos si tengo polos con parte real positiva? Pues bien, los polos son los ceros deun polinomio, y ya vimos como encontrarlos cuando estudiamos ceros de funciones analíticas.

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190.105.160.51190.105.160.51/~material/analisisIII/Material/Teoria/Teoria 2014.pdf˝ndice general 1. Series de Fourier 9 1.1. Introducción: Series de Potencias . . . . . . . .