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La estructura que proponemos está destinada a sustentar un graderío para un campo de fútbol y consta de los siguientes elementos estructurales. (Fig . 1). al 16 lajas de hormigón, separadas 8,40 m. entre ejes,
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CALCULO DE UNAESTRUCTURA POR METOOOS
FOTOELASTICOS.
Dirigido porFELlX ESCRIG. Dr. Arquitecto.
Realizado porIGNACIO CAPITAN CARMONAPUBLlO FDEZ. DE HEREDIA MONTEROUBALDO GARCIA TORRENTEFRANCISCO MADRID FERNANDEZEstudiantes de sexto curso de Arquitectura .
Efectos de la marquesina, debidos a pesopropio, viento y nieve en su combinaciónmás desfavorable.
P1=151'3Ton
P2 = 182'7 Ton
05
2 6.5
175
FIG. 2
Q p111 I 11 111 1 1 11 11 I 1 I
I /I ./ JII .A"II // I1/ ..... I
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1 6.5 ! 6.5 9.5
7
10
1. DEFINICION DEL PROBLEMA.
La estructura que proponemos está destinada a sustentar un graderío para un campode fútbol y consta de los siguientes elementos estructurales. (Fig. 1).
al 16 lajas de hormigón, separadas 8,40 m.entre ejes, cuyo análisis y cálculo es el
objetivo de este trabajo. Dichas lajas secomponen de dos elementos, uno triangular y otro trapezoidal con una perforación,separadas por un pasadizo de acceso.
Nuestro análisis, en este caso, se reduciráal cálculo de la pieza trapezoidal perforada.
b) Escaleras de acceso en hormigón.
e) Pasarelas de distribución en hormigón.
d) Gradas formadas por vigas cajón prefabricadas.
el Cercha para la marquesina que transmiteacc iones importantes sobre la estructura acalcular.
f) Arriostramientos transversales.
2. PLANTEAMIENTO DE CALCULO.
A efectos del cálculo que sigue, las acciones consideradas serán las representadas enla f ig . 2 .
Concargas y sobrecargas del graderío.
q=9'6T/m
3. METODO DE CALCULO.
Puesto que estamos en un caso de tensión plana la integración de la función deAiry con las cond iciones de contorno quetenemos proporciona la solución completa.Pero el método es inviable en un caso complejo como el nuestro y debemos buscar procedimientos alternativos.
30
31
FIG.4
:A(po lariz .)1'.q¡
'.\
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Al introducir un material fotoelástico tensionado desviaremos el plano inicial 1 en losplanos perpendiculares 2 según a 1 y a 2que, al llegar al «analizador», tendrán unacomponente en su dirección de polarización,tal como indica 3, igual y de sentido contrario.
En este caso también se habrá producidola extinción de la luz (Fig. 4).
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II
J ~ .lQWc(3U\Il( ! A seI\c( C01t(
Pero el efecto fotoelástico no se reduce aesto. La velocidad con que la luz atraviesa uncuerpo depende de sus características y desu estado tensional. Así las componentes según los planos de las direcciones principalessufrirán un retraso relativo d(vl - v2) donded es la longitud de onda de la luz en el interior del material descargado y vl y v2 sus
Optamos por el método fotoelástico pormedio del análisis de un modelo reducidoconstruído con materiales transparentes.
En lo que sigue vamos a tratar de los fundamentos y la aplicación de este método alcálculo de nuestra estructura.
4 . DESCRIPCION DEL METODO
Como es bien conocido, el método fotoelástico aprovecha la propiedad que tienen losmateriales transparentes para descomponerun haz de luz polarizada en un plano arbitrario en dos planos perpendiculares, según lasdirecciones en cada punto de las tensionesprincipales del material atravesado.
Luz polarizada es aquella que contiene lamayor parte de las ondas luminosas vibrandoen un plano determinado.
Imaginemos un dispositivo como el «A»de la fig. 3 que deje pasar únicamente la luzdel foco luminoso en planos paralelos a larendija (plano del polarizador). En la prácticaesto se consigue mediente láminas de «Polaroid» sobre un .mecanismo que nos permitagirarlas en la dirección prevista.
Si a este dispositivo «A» le añadimos otro«8» (analizador), formado también por unalámina de Polaroid pero con el plano de polarización cruzado perpendicularmente habremos conseguido la extinción total de la luz.
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velocidades según las direcciones principales. Puesto que (v1 - v2) es proporcional a(o 1 - o 2) el retraso b será
b=Cd(01- o2) (1)
C es constante para cada material a determinada temperatura y se llama «coeficienteoptico de tensión».
Las componentes de estos planos de tensión que recogemos en el analizador no seanularán en general y nos interesa conocerpara qué casos particulares ésto ocurre.
Veamos paso a paso el proceso.
La onda inicial polarizada en el plano OPpuede definirse por Up = a cos w t
donde Up es el desplazamiento de la onda enun tiempo t y w = 2rrvo/"A o. con vo v ): ovelocidad y longitud de onda de la luz en elaire.
Al entrar en el modelo la luz se descompone .en las direcciones 01 y.02 y .las expresiones de los desplazamientos son:
U 1 = a cos a: . COS W t
U2 = a sen a: . cOSW t
Al abandonar el modelo. de espesor h,puesto que las direcciones 1 y 2 están sometidas a distinta tensión también influ irán distintamente en la velocidad de propagación.
U'1 = a coscecos cc [t - h/v 1]
U:z = a sena:cos w [t - h/v2]
Las componentes de estas ondas paralelas al analizador serán,UA =- U1 sen o: +U2 cos cc
UA =-a sena:coscx:[cos w (t-h/v1)
- cos w (t - h/v2)]
que, mediante transformaciones trigonométricas, puede ponerse en la forma
UA = a sen 2a: sen w (h/2v1 - h/2v2)
senw(t-h/2v1-h/2v2)
El factor sen w (t - h/2v1 - h/2 v2)representa una función armónica del tiempocuya amplitud es
a sen 2 ex: sen w (h/2v1 - h/2v2)
Así podemos ver que hay dos condicionespara la extinción de la luz emergente.
a) Puntos de donde ex = O ó rr /2, es decirdonde o 1 y o 2 están alineadas con los
planos del polarizador y analizador o viceversa.
Al lugar geométrico de estos puntos lollamamos «lsoclina» correspondiente a unadeterminada inclinación de las tensionespr incipales. precisamente la que coincidecon la definida por el polarizador y analizador.
b] Puntos en donde
2(rrVo/"Ao)(h/2v1 - h/2v2) = O ó irr
(i = 1,2... . )
o lo que es lo mismo
(n h/"A oHvo/v1 - vo/v2) = O ó in
(i = 1,2, ... )
así definimos ve/vi. vO/v2 como índicesde refracción 111, Jl2' h (Jl1 - Jl2) es ladiferencia ti de las longitudes de onda entre las dos componentes de la vibración.Luego b = O ó i ~ o (i = 1, 2, . . . )
La extinción ocurre cuando
ti = Cd (0 1 -a 2 ) = O ó i Xo (i=1,2... . )
según (1)
f (a 1 - a 2) = O ó i ' (i = 1,2• .. . )
donde f es la «constante óptica de esfuerzos» f = Cd/X o
A las líneas que unan puntos de
f(01- o2)=0,1.2, . ..
se las llama «isocromas» de orden O, 1, 2,respectivamente y es evidente que cada unade estas líneas une puntos en que la diferencia de tensiones principales tiene valores O.1/f, 2/f.. .
Estas líneas son independientes de la posición que tengan el polarizador y analizadorcruzados perpendicularmente, lo cual noshace pensar que, si consiguiéramos hacergirar este dispositivo a gran velocidad, podrjarnos hacer desaparecer las «isoclinas» ydejar vistas exclusivamente las «isocrornas»,Al mecanismo que las elimina se le llama de«luz polarizada circulan) y en la práctica seconsigue mediante un procedimiento mássencillo que el descrito.
Consiste éste en situar a la salida del polarizador y a la entrada del analizador sendoscristales polarizadores con su plano de polarización inclinado 45° con respecto a los anteriores. A estos cristales se les llama «encuarto de onda» y tienen la misión de alabear
33
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FIG.5
en espiral el plano de polarización, como indica la fig. 5, imprimiéndole un poso de hél ice en un periodo completo. En este caso yano existe un plano definido de po larización yla condición «a» que vimos para que se pro dujera exti nción, ya no se da. Todos los pun tos en que se produce oscurecimiento sondebidos a la condición «b» y pertenecen alíneas isocromas. Esto puede demostrarseanalíticamente aunque en este trabajo noprofundizamos en ello.
El método fotoelástico proporciona puestanto las direcciones principales en cadapunto de un modelo transparente cargado.
En la práctica se presentan complicaciones para la determinación del valor «i» o número de franja y la identificación de cadadirección principal. Pero esto forma parte deuna técnica que tiene solución a ello.
En la bibliografía se indican los mejorestextos que pueden consultarse para profundizar en el tema.
5. ANALlSIS DIMENSIONAL.Como es necesario trabajar a escala redu
cida habrá que establecer unas relacionesentre los parámetros del prototipo con losdel modelo, llamadas factores de escala.
Los cambios de escala afectarán a laslongitudes, a las solicitaciones y a las características del material. Para cada una de ellasdeterminaremos el correspondiente factor deescala , conocida su expresión dimensional.- En cuanto a longitudes
Lp = AL Lm- En cuanto a fuerzas
Fp=AFFm
34
- En cuanto a tensiones, como su 'expresióndimensional es ¿¡ = [F L-2] el factor de escala será op = A F t.. f ¿¡ m
Fp' Lp' ¿¡ p son magnitudes de fuerza longitud y tensión en el prototipo.
y Fm, Lm, ¿¡ m magnitudes equivalentesen el modelo.
Es de observar que las características adimensionales del material, como por ejemplo,el módulo de Poisson, no son susceptibles decambiar de escala. Por tanto introducen unerror que, en este caso, no es considerable.
La escala de longitudes puede ser diferente en las tres componentes espaciales.Nosotros las hemos elegido iguales en el plano del modelo y, distinta para el espesor.Pero nuestro objetivo es el cálculo de tensiones y según vimos en el apartado anterior elespesor no tiene influencia en el cálculofotoelástico. Igualmente sucede con todoslos restantes parámetros como puede ser elMódulo de Elastic idad.
Nuestros factores de escala son:AF = 4350'6
t.. L = 9 6 '4
6. CONSTRUCCION DEL MODELO.Para nuestro trabajo el modelo debe ser
transparente y con buenas propiedades fotoelásticas, fundamentalmente un alto coeficiente óptico de tensiones. Ello nos dará unagran cantidad de líneas isocromáticas en beneficio de la precisión de cálculo. El MakroIon (de la gama de los policarbonatos) es unmaterial excelente y, cortado cuidadosamente, no tiene tensiones residuales.
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176 cm
20cm
tensiones indeseables la forma de corte serála indicada en la fig. 6 Y nuestra zona de análisis es la cuadriculada.
Las cargas puntuales las aplicamos conunos .cables ligados a tensores y se controlanmediante unos dinamómetros intercalados.
En la fig . 7 se ve la disposición de conjunto.
Para el cálculo de las isocromas utilizaremos el montaje descrito con el modelo deMakrolon. Para el cálculo de las isoclinas conel modelo de Plexiglás.
FIG.6
Como vimos al hablar de los fundamentosde la fotoelasticidad, las líneas isocromas seobtienen directamente con luz polarizada circular, pero las isoclinas aparecen mezcladascon las anteriores en luz polarizada plana.
Una solución para obtenerlas independientemente es utilizar un material con bajocoeficiente óptico, tanto que no llegue a dibujar isocromas, y trabajar con luz polarizadaplana. El vidrio o el Plexiglas cumplen estapropiedad.
Para evitar que los elementos de unión almarco de carga int roduzcan en el modelo
..
El Polariscopio utilizado es el Tiedemannde 0 460 mm. del Instituto Tecnológico deCiencias de la Construcción de la Un iversidad de Sevilla.
7. DETERMINACION DE LASISOCLlNAS.
Montado el modelo de Plexiglás cargadoentre el polarizador y el analizador cruzadosperpendicularmente aparecerán sobre élunas áreas oscuras, lugar geométrico de lospuntos del modelo en que las direcciones delas tensiones principales coinciden con las delos cristales analizador y polarizador (isoclinas).
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1
3
2
4
36
5
FIG.81 ISOCLlNAS a 0°2 ISOCLlNAS a 18°3 ISOCLlNAS a 36°4 ISOCLlNAS a 54°5 ISOCLlNAS a 72°
Girando simultáneamente éstos conseguiremos las direcciones principales en todos los puntos del modelo. (Fig. 8).
Las líneas tangentes a las direccionesprincipales nos darán las líneas isostáticas.(Fig.9).
Los puntos en que coinciden todas lasisoclinas son singulares y tienen indeterminadas sus direcciones principales.
-
FIG.9 LINEAS ISOSTATICAS y DIRECCIONES PRINCIPALES.
8. CALCULO DE LAS ISO CROMAS.
Obtenidas de la forma descrita las curvasisoclinas que nos proporcionan las direcciones principales, se trata ahora de conocer elvalor de la diferencia de dichas tensionesa 1 - a 2 en cada punto.
Para ello , repetimos el ensayo con el modelo de -Makrolon bajo jas mismas solicita- ,ciones que en el caso anterior. Al ser atravesado el modelo por luz polarizada circularveremos en él una serie de líneas que determinan el lugar geométrico de puntos que t ienen la misma diferencia de tensiones principales. Con el uso de la luz polarizada circulareliminamos del modelo las líneas isoclinas.
El campo de giro, de los cristales en«cuarto de onda» varía entre 0° y 45°. Paraun desfase de 45°, obtenemos la máximadistorsión circular, y aparecen las llamadas líneas de orden de franja entero (O, 1, 2 . . .-1, -2, .. . l.
El problema fundamental estriba en conocer qué valor concreto corresponde a cadacurva. Para ello nos valemos de los puntossingulares, ya detectados en el modelo dePlexiglás, y que son aquellos en los que ( a 1 - a 2) = O. Por lo tanto, aquella curva quecontenga alguno de estos puntos singularestendrá el orden de franja cero, siendo enton-
ces los adyacentes de orden 1 y -1 respectivamente.
Serán de orden positivo aquellas que, girando los cristales un pequeño angulo, adoptan posiciones cada vez más lejanas del ceroy viceversa para las de orden negativo. Quesea así o al contrario, dependerá del signodel coeficiente óptico del material empleado.En nuestro caso es corno ,s,e,~~ [ndicado,
Analogamente reconoceríamos las de orden, 2, -2, 3, -3 , etc.
Para saber si dos líneas son del mismoorden basta con girar en cualqu ier sentido elcristal de cuarto de onda. Líneas que lleguena tener puntos comunes son del mismoorden.
A continuación, si colocamos el cristal decuarto de onda en la posición relativa 22,5°aparecen las líneas de orden medio: 0:5,1,5,2,5, . . . -0,5, -1,5, -2,5, ... etc.
Con nuevas posiciones obtenemos líneasde orden intermedio hasta cubrir con unamalla suficientemente densa el modelo. (Fig.10 y 11 l.
Como el número de orden de franja esproporcional a la diferencia de tensionesprincipales el valor de ésta se obtendrá multiplicando el número de orden por una constante del material F, llamada «valor unitariode franja» .
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3 4
38
FIGURA 10
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FIG. 11 LINEAS ISOCROMAS.
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no es posible determinar a 1 y a 2 por separado . Necesitamos otra ecuación que nos losrelacione en cada punto.
9. CALCULO DE LA SUMA DE TENSIONES PRINCIPALES.
En teoría de la elasticidad, de las ecuaciones de equilibrio de las tensiones y de las decompatibilidad de las deformaciones obtenemos la ecuación de compatibilidad en ten-
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Esta constante es conocida para cadamaterial pero es más conveniente obtenerlamediante el calibrado de una probeta cortada de la misma plancha que el modelo. Parasu calibrado la sometemos a unos esfuerzosque generen un campo tensional conocido.Comparando las isocromas en algún puntode la probeta con la diferencia de tensionesprincipales, conocidas en él, obtenemos elfactor de proporcionalidad F.
En nuestro caso, para el Makrolon, obtuvimos f = 10 Kp/cm 2 . (Fig. 12
Con las operaciones precobtenido la dirección de las tpales en cada punto del modcia entre sus valores. Con s
_15
FIG.12
DIFERENCIA DE TENSIONES PRINCIPALES
39
Si conocemos los valores de u 1 + o 2 enél podremos integrar la anterior ecuación ydeterminar u 1 + u 2 en cualquier punto delmodelo.
sión plana
(a2/ax2+a2/ay2) (ul +(2)=0
siempre que sólo actúen fuerzas en el contorno.
En modelos complejos con complicadascondiciones de carga la integración analíticaes inabordable y debemos utilizar métodossimplificados (iterativos, gráficos o analógicos).
Se demuestra que una aproximación iterativa válida es suponer que el valor(ul + (2)0=So es
So",,1/4(S~ +S2+S3+S4),para pequeños valores de h.
Para empezar la iteración, conociendo losvalores del contorno,
So ",,1/4(SA+Sa+ SC+ S o )
y así sucesivamente en puntos intermedios.(Fig.13).
FIG.14
Ii¡ahI
B .__..QQ---J9-®-1t
eh :1e
A
El orden de las isocromas e isopacas(líneas de igual suma de tensiones principales) es el mismo en estos puntos.
En puntos del contorno cargados. (Fig.15).
(01 +(2)=(01 - (2)+ 2 a2y o 2 = Pcos ex
( a 1 + a 2) =( a 1 - a 2) + 2 Pcos ex
o
A
2
3 o 1
~
e
FIG.13
En el caso de contornos irregulares. (Fig.14).
So = 1/(l/ac + l/bd)[SA/l (a-e) +
+ Sa/b(b+d) + SC/c(c+a) SD/d(d+b)]
Sabemos que en cualquier punto la sumade tensiones en dos direcciones perpendiculares es un invariente. Por tanto
(ox+ Uy)=(ol + (2)
En puntos del contorno descargados a 2 == O Y por tanto
°1 =(01- u2)=(ul +(2)
Por aplicación de estos procedimientosobtenemos el valor de la suma de tensionesprincipales en cada uno de los puntos de unamalla regular. (Fig. 16).
10. CALCULO DE LAS TENSIONESPRINCIPALES.
Obtenidos los valores a 1 - a 2 y a 1 + u 2en cada punto, es fácil determinar por separado el valor de a 1 y a 2·
En la fig. 17 se reflejan estos valores y elángulo que forman con el sistema de ejesconsiderado.
40
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Este es el último paso a realizar en el pre-sente ejercicio. Para poder armar la pieza - 'H'~-_"''T'5_'"'""'''T_-''
bastaría únicamente traducir estos resulta- _ 'H Z./-::,. .5. 8
dos obtenidos sobre el modelo mediante los .•.•ycoeficientes F y L del apartado 5 para así - ~ .z/' _... . .•.# . 1.0' . ' .7L
conocer los valores de las tensiones en la _ ~ . oz/
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FIG.16
SUMA DE TENSIONESPRINCIPALES
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BIBLlOGRAFIA
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Photoelasticity I & 11Wiley 1941, 47
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KUSKE & ROBERTSON
Photoelastic Stress AnalyWiley 1974
FIG.17
VALORES DE TENSIONESY ANGULOS
41