1995 incias...© AcademiaColombianade Ciencias Exactas, Físicasy Naturales Cra. 3A No. 17-34, Piso 3o. -Apartado 44763- Fax (571) 2838552 [email protected] © José

1995

incias

ÍDITORES:îJOSEF. ESCOBAR

JAIME ¡. LESMES

ACADEMIA COLOMBIANA DE CIENCIAS EXACTAS, FISICAS Y NATURALESCOLECCION MEMORIAS No. 7

ACADEMIA COLOMBIANA DE CIENCIAS EXACTAS, FISICAS Y NATURALES

COLECCION MEMORIAS No. 7

MEMORIAS

TERCERA ESCUELA DE VERANO EN

GEOMETRIA DIFERENCIAL,ECUACIONES DIFERENCIALES

PARCIALES Y ANALISIS NUMERICO

1995

Conferencias

Editores:

José F. EscobarDeparlament ofMaihematics

Cornell Universitij

Jaime I. LesmesDeparlamentodeMatemáticas

Universidad de los Andes

Departamento deMatemáticas y EstadísticaUniversidad Nacíohíjí de Colombia

SANTAFE DE BOGOTA, D.C.1996

© Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y NaturalesCra. 3A No. 17-34, Piso 3o. - Apartado 44763- Fax (571) 2838552E.Mail [email protected]

© José F.EscobarJaime Lesmes

Reservados todos "Esto lltoro no sei T^pToduádostoaMtoruaciOTv.

Presidente de la AcademiaDirector de PublicacionesComité EditorialPeríodo 1994 -1996

Luis Eduardo Mora-OsejoSantiago Díaz-PiedrahitaEduardo Brieva BastilloGonzalo Correal UrregoHernando Dueñas JiménezPaulina Muñoz de HoyosGerardo Pérez GómezVíctorSamuel Albis González

O

Esta publicación ha sido realizada con la colaboración financiera deCOLCIENCIAS, entidad cuyo objetivo es impulsar el desarrollo científico ytecnológicode Colombia.

ISBN: 958-9205-24-0ISBN; 958-9205-21-6 (Obra completa)

ClasificaciónDewey; 516.69Materias: 1. GEOMETRIA DIFERENCIAL 2. ECUACIONES DIFERENCIALES

3.ANALISIS NUMERICO. I. Escobar, José F. II, Lesmes, Jaime Y,III.Tit. IV Serie

El levantamiento de textos deestelibro fue realizado con el paquete AMSTEXde la AmericanMathematical Society

Autoedición e Impresión:editora GUADALUPE LTDA.Apartado 29765 - Tel.: 269 07 88, Santa Fe de Bogotá, D.C.Impreso enColombia/Printedin Colombia

CONTENIDO

PresentaciónAgradecimientosCursillistasConferencistasPonentesLista de participantes

Artículos de las Conferencias

Geometría DiferencialJianguo Cao:

Anisoperimetric comparison theorem for PL-manifolds ofnon-positive curvature

José F. Escobar:Negative scalar curvature and totallygeodesic boundary on acompact Riemannian manifold

Alexandre Freire:Weak solutions of the harmonicmap flow and relaled problems

Bruce Solomon:Tantrices de lazos planos proyectivos

Ecuaciones Diferenciales Parciales.Alfonso Castro:

Ecuaciones diferenciales elípticas semilinealesJorge Cossio:

Múltiples soluciones para un problema elíptico semillnealRafael José lório, Jr., Felipe Linares and Márcia A. G. Scialom:

Living under the Sobolev barrier

Pág.

v

vii

ix

xi

xiii

XV

9

15

29

45

53

61

Análisis NuméricoPascal Joly:

A method for solving PDS's by using wavelet packet bases.Pascal Joly and Olivier Perlot:

Polynomial preconditions for the CG method on the CG2 ...AlfredH. Schatz:

Pointwiseerror estimatesand asymptotic error expansióninequalities for the fínite element method on irregular grids ...

Esteban G. Tabak:Un modelo bidimensional para flujos atmosféricos

Pág.

75

83

91

97

I

i

Presentación

La teoría de las ecuaciones en derivadas parciales constituye uno de los dominiosmás amplios y variados de toda la Matemática aictual. Sus vínculos con otrasramas de las matemáticas, así como sus lazos simbióticos con la Física y lasciencias aplicadas son cada vez más estrechos.

Notablemente, desde hace cerca de dos décadas, el campo del Análisis Geométrico ha adquirido un enorme impulso; en él se usan sistemáticamente losmétodos de las ecuaciones diferenciales parciales para la solución de problemasgeométricos y, recíprocamente, las consideraciones geométricas han facilitadoy enriquecido la solución de problemas en ecuaciones diferenciales parciales.

Considerando la existencia en Colombia de grupos de investigación con trabajo activo en problemas tanto de geometría diferencial como de ecuacionesdiferencialesparciales, los vínculos mantenidos por esos grupos con destacadosinvestigadores del exterior y la motivación resultante de la realización en Bogotá del II Coloquio Latinoamericano de Análisis en noviembre de 1992, quecontó con la presencia de algunos matemáticos de primer nivel internacional,se organizó en la Universidad del Valle la "Escuela de Verano en GeometríaDiferencial y Ecuaciones Diferenciales Parciales", que tuvo lugar en junio de1993 en la ciudad de Cali.

En vista del buen resultado de la Elscuela de Verano en Cali, se decidiórealizarotra Escuelade Verano en 1994. Además, teniendo en cuenta el impulsosignificativo alcanzado en nuestro país durante los últimos años por el AnálisisNumérico, estrechamenterelacionado con las ecuaciones diferenciales y con loscampos de aplicación de las matemáticas, se acordó ampliar a esta área elcubrimiento de la segunda Escuela de Verano. Esta última tuvo lugar en laUniversidad Nacional, sede Medellín, en julio y agosto de 1994.

En reunión celebrada al final de la segunda Elscuela, se convino programarla III Escuela de Verano en Geometría Diferencial, Ecuaciones DiferencialesParciales y Análisis Numérico en la Universidad de los Andes a fin de consolidar los logros de las Escuelas anteriores, particularmente el conocimientoy la colaboración entre los grupos que trabajan en temas afines en diferentesuniversidades del país y del extranjero. Así se ha logrado romper la sensaciónde aislamiento que frecuentemente se tiene en nuestro medio. Acordes con este

propósito, los organizadores tuvieron claro desde un principio cuáles deberíanser las lineas directrices del evento, a saber: concentración en las tres áreasobjeto de la E]scuela, procurando que los temas a tratar en geometría diferencial y en análisis numérico estuvieran interrelacionados con las ecuacionesdiferenciales parciales; cursillos (uno en cadaárea) que, a la vez que facilitaranla penetración enel tema, proporcionaran una visión, así fuera introductoria,del carácter de la investigación en el área; conferencias que mostraran progresos y tendencias actuales en los respectivos campos; realización de sesiones decomunicaciones cortas para presentar resultados de trabajos o investigacionesrecientes de los participantes.

Füe así como desde agosto de 1994, los organizadores contactaron cerca de25 especialistas de varios países, para invitarlos a dictar o bien alguno de loscursiUos, o bienuna o dos conferencias. Igualmente, se hizo una convocatoriaa nivd nacional, para propuestas de presentación tanto de conferencias comode comunicaciones, las cuales se someterían a un proceso de selección.

La receptividad a las invitaciones fue bastante alta. Luego de sortear diversos inconvenientes, habituales en esta clase de eventos, especialmente incompatibilidades de fechas, se ofrecieron los tres cursillos, 19conferencias y 14comunicaciones cortas.

Duranteel desarrollo de la Escuelase entregaron a cada uno de los asistentesa los cursillos fotocopias de las notasque losprofesores prepararon. Copias deestas notas se encuentran en la biblioteca del Departamento de Matemáticasde la Universidad de los Andes.

Todos los conferencistas y ponentes fueron invitados a enviar un artículosobre su conferencia o comunicación, para ser sometido a publicación en lasMemorias de la Escuela; la mayoría de ellos respondió positivamente. Losartículos fueron sometidos a arbitraje; agradecemos la colaboración de los colegas que actuaron como jueces.

En este volumen recogemos los artículos de las conferencias. Los artículosde las comunicaciones aparecerán en una publicación aparte.

Sea éste el punto para expresar nuestro sincero agradecimiento a la AcademiaColombiana de Ciencias Ebcactas, Físicas y Naturales, por haber acogido estevolumen en su Colección de Memorias; e igualmente a los conferencistas por elarduo trabajo de escribir sus conferencias para las memorias.

José F. Escobar

Jaime I. Lesmes

Ithaca, NYSantafé de Bogotá,junio de 1996

Agradecimientos

Los organizadores agradecen muy sinceramente a las entidades que hicieronposible la realización de este evento:

NSF (National Science Foundation)COLCIENCIAS (Fondo Colombiano de Investigaciones Científícas)ICFEJS (Instituto Colombiano para el Fomento de la Educación Superior)Universidad de los Andes

Universidad Nacional de Colombia

Universidad del Valle

Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y NaturalesSociedad Colombiana de MatemáticasFundación Suramericana

Fundación MAZDA para el Arte y la CienciaBanco Ganadero

Igualmente, agradecen a las sigmentes entidades, que de alguna manera u otracolaboraron para el éxito de la Escuela:

Grupo K-T-DRA Prentice HallMcGraw HUI Interamericana S.A.

Coca-Cola

Federación Nacional de Cafeteros.

/I

Cursillistas

Mario J. Micallef

1: University of Warwick

Selected Tapies in Minimal Surfaces ("Cátedra Suramericana")

Gustavo Ponce

University of California at Sauita BarbaraSobre el Problema de Valores Iniciales Asociado a la Ecuación de Onda

li

Esteban Tabak

Courant Instituto, NYU

Métx>dos Numéricos para Ecuaciones Hiperbólicas no Lineales

t

Conferencistas

Cao Jianguo

Cornell University, USA

An isoperimetTic comparison theoreTii for Ph-manifolds ofnon-positive curvature

Castro Alfonso

University of North Texas,USAEcuaciones diferenciales elípticas semilineales

Cossio Betancour Jorge IvánUniversidad Nacional de Colombia, Medellín

Múltiples soluciones para un problema elíptico semilineal

Escobar Velásquez José FernandoCornell University, USA

Negativo scalarcurvature and totally geodesic boundary on acompact Riemannian manifold

FREIRE ALEXANDRE

University ofTenessee at Knoxville, USAWeak solutions of the harmonic map fiow and related problems

lóRio Rafael

IMPA, Brasil


JOLY PASCAL

Université de Paris 6, FVance

A method for solving PDS 's by using wavelet packet basesPolynomial preconditions for the CG method on the CG2

Micallef Mario

University of Warwick, UK

Minimal surfaces in fíat tori

xu

PoLLACK Daniel

University of Chicago, USA

The geometry of the spaces of singvlar Yamabe metrics

SCHATZ ALPRED H.

Comell University, USA

An introduction to some problems in the numerical analysis ofparticd differential equations

PointvÁse error estimates and asymptotic error expansiónineqiuúities for the finite element method on irregular grids

ScoTT Simón

Oxford University, UK

Deterrmrumts and functorial QFT

Simón León Standford University, USA

Minimal surfaces

SoLOMON BruceIndiana University, USA

Tantrices de lazos planos proyectivos

Toro TatianaUniversity of Chicago, USA

Medida armónica en dominios de frontera localmente plana

Ponentes

Cruz Sampedro Jaime

Universidad de las Américas, México.

Perturbations of Schrddinger operators uñth Wigner-vonNeumann potentials

Echeverry Luz Myriam

Universidad de los Andes, Bogotá

Elementosfinitos variables en el tiempo de grado superior a uno

Flórez Escobar Whady FelipeUniversidad Pontificia Bolivariana, Medellín

Aplicación de un esquema implícito en diferencias finitas con aceleraciónde Chebyshev, al análisis de transferencia de calor no estacionaria enrecintos con aire acondicionado

Galeano Andratíes Rafael

Universidad de Cartagena, Cartagena

Existencia y unicidad de soluciones clásicaspara la ecuación de Enkogno lineal

Giniatoulline AndreiUniversidad de los Andes, Bogotá

Propiedades comparativas de las soluciones de los sistemas del líquidoestratificado y sistemas del movimiento giratorio del líquido homogéneo

Gómez Jaime EnriqueWESSEX Instituto of Technology, UK

Ecuaciones integrales y el método de elementos de frontera

Marín Ramírez Ana MagnoliaUniversidad del Valle, Cali

Principio del máximo y simetría

MIKHAILOV ILIA D.

Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga

Análisis numérico del espectro de Sturm-Liouville estocástico

Ecuación integral de Dyson para matrices markovianas

Ortiz Ortiz Rubén DaríoUniversidad del Valle, Cali

Hipersuperfides compactas con curvatura media de orden superior constante

Padrón Rodríguez Víctor

Universidad de los Andes, Venezuela

Stable pattems in a model for aggregating popviations

Perdomo Ortiz Oscar Mario

Universidad del Valle, Cali

La aplicación de Gauss de una superficie mínima completa y lagrangianano puede omitir más de cuatro puntos

Rueda Angel DomingoUniversidad del Zulia, Venezuela

The Lewowicz's number for linear diffeoTnorphisms on the toras

Toro José Rafael

Universidadde los Andes, BogotáAnalogías cuánticas en estadísticas de Navier-Stokes

Lista de Participantes

Participantes NacionalesAdarve Delgado Sergio

Universidad de los Andes, Departamento de Matemáticas, A.A. 4976, Bogotá,Colombia

Aduen Muskus Hugo Samuel

Universidad de Córdoba, Departamento de Matemáticas, A.A. 4600, Montería,Colombia

Alvarez Pérez Carlos AbelUniversidad Nacional de Colombia, Departamento de Matemáticas, CiudadUniversitaria, Bogotá, Colombia

Arango Juan H.

Universidad Nacional de Colombia, Departamento de Matemáticas, A.A. 3840,Medellín, Colombia

Arrieta EdgardoUniversidad de los Andes, Facultad de Ingeniería, A.A. 4976, Bogotá, Colombia

Arrieta Vergara Abelardo AntonioUniversidad de Córdoba, Departamento de Matemáticas, A.A. 4600 Montería,Colombia

Arteaga Bejarano José RicardoUniversidad de los Andes, Departamento de Matemáticas, A.A. 4976, Bogotá,Colombia

e-mail: [email protected]

Avilez Ortiz Sergio Miguel


Barrera Durango Havid GermánUniversidad de Córdoba, Departamento de Matemáticas, A.A. 4600, Montería,Colombia

Bogoya López MauricioUniversidad de los Andes, Departamento de Matemáticas, A.A. 4976, Bogotá,Colombia

Caicedo Núñez Andrés Eduardo


e-mail: a-caiced®uniandes.edu.co

Capasso ÍtaloUniversidad de los Andes, Departamento de Matemáticas, A.A. 4976, Bogotá,Colombia

CÁRDENAS POLOCHE FRANQUI SOLISUniversidad Nacional de Colombia, Departamento de Matemáticas, CiudadUniversitaria, Bogotá, Colombia

Cardona Guio AlexanderUniversidad de los Andes, Departamento de Matemáticas, A.A. 4976, Bogotá,Colombia

e-mail: acardona®cdcnet.uniandes.edu..co

Castellanos Ramos Jairo EloyUniversidad Narional de Colombia, Departamento de Matemáticas, A.A. 3840,Medellín, Colombiae-mail: [email protected]

Castro Triana Rafael Antonio

Universidad Industrial de Santander, Departamento de Matemáticas, A.A. 678,Bucaramanga, Colombiae-mail: [email protected]

Cepeda Cuervo Edilberto


Charris Jairo Antonio

Universidad Nacional de Colombia, Departamento de Matemáticas, CiudadUniversitaria, Bogotá, Colombia

Chica Escobar JaimeUniversidad de Antioquia, Departamento de Matemáticas, A.A. 1226, Medellín,Colombia

Cossio Betancur Jorge Iván

Universidad Nacional de Colombia, Departamento de Matemáticas, A.A. 3840,Medellín, Colombiae- mail: jco5sio@medellin .cetcol.net.coDumett Miguel

Universidad Nacional de Colombia, Departamento de Matemáticas, CiudadUniversitaria, Bogotá, Colombiae-mail: mateproí@cdcnet.uniandes.edu.co

Durán Hernando

Universidad de los Andes, Facultad de Ingeniería, A.A. 4976, Bogotá, Colombia

Echeverri Argemiro

Universidad Nacional de Colombia, Departamento de Matemáticas, A.A. 3840,Medellín, Colombiae-mail: [email protected]

Echeverry Luz Myriam

Universidad de los Andes, Departamento de Matemáticas, A.A. 4976, Bogotá,Colombiae-mail: [email protected]

Estrada Bustos HernánUniversidad Nacional de Colombia, Departamento de Física, Ciudad Universitaria, Bogotá, Colombia

Flórez Escobar Whady FelipeUniversidad Pontificia Bolivariana, Departamento de Matemáticas, A.A. 1178,Medellín, Colombiae-mail: [email protected]

Fonseca Buitrago Germán Eduardo

Universidad Nacional de Colombia, Departamento de Matemáticas, CiudadUniversitaria, Bogotá, Colombiae-mail: [email protected]

Galeano Andratíes RafaelUniversidad de Cartagena, Departamento de Matemáticas, A.A. 1382 Cartagena, Colombia

Giniatoulline AndreiUniversidad de los Andes, Departamento de Matemáticas, A.A. 4976, Bogotá,Colombia


Giraldo Montes Luis Eduardo


Giraldo Salazar Hernán Alonso

Universidad de Antioquia, Departamento de Matemáticas, A.A. 1226, Medellín,Colombia

Gómez Capera Augusto AntonioUniversidad Nacional de Colombia, Departamento de Matemáticas, CiudadUniversitaria, Bogotá, Colombia

Gómez Gómez Luis ArbeyUniversidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Departamento de Matemáticas, Carrera 18 Calle 22, Duitama, Boyacá

Hernández Monzón JairoUniversidad del Norte, Departamento de Matemáticas, Km 5. Carretera a Pto.Colombia, Barranquilla, Colombia.

Herrera Gómez Eddy CristóbalUniversidad de Córdoba, Departamento de Matemáticas, A.A. 4600, Montería,Colombia

Herrón Osorio Sigifredo De Jesús


Jara Pinzón Diego


Jaramillo Justinico RodneyUniversidad Nacional de Colombia, Departamento de Matemáticas, A.A. 3840,Medellín, Colombia

Julio Arrieta Carlos Antonio

Universidad Distrital FVancisco José de Caldas, Departamento de Matemáticas,Cr8 40-78 Bogptá, Colombia

Lesmes Camacho Jaime


e-mail: jlesmes®cdcnet.uniandes.edu.co

López Ríos Víctor Ignacio


Marañón Alejandro


Marín Ramírez Ana Magnolia

Universidad del Valle, Departamento de Matemáticas, A.A. 25360 Cali, Colombia

e-mail: ammarin<§lhypatia.univalle.edu.coMarino Von Hildebrand Julián


Mejía Salazar Carlos Enrique

Universidad Nacional de Colombia, Departamento de Matemáticas, A.A. 3840,Medellín, Colombiae-mail: [email protected]

MENDEZ Luis Miguel


MIKHAILOV Ilia D.

Universidad Industrial de Santander, Departamento de Matemáticas, A.A. 678,Bucaramanga, Colombiae-mail: imikhail®uiscol.edu.co

Montes Montes Rodrigo Antonio


Navarro Gutiérrez ManuelUniversidad del Norte, Departamento de Matemáticas, Km5. Carretera a Pto.Colombia, Barranquilla, Colombia.

Niño Rocha Jaime


Ortega Saltarín Luis ÁngelUniversidad Nacional de Colombia, Departamento de Matemáticas, CiudadUniversitaria, Bogotá, Colombia

Ortiz Ortiz Rubén DaríoUniversidad del Valle, Departamentode Matemáticas, A.A. 25360 Cali, Colombia


Ortiz Parsons Ivonne Johanna


Perdomo Ortiz Oscar Mario

Universidad del Valle, Departamento de Matemáticas, A.A. 25360 Cali, Colombia


Pinzón Duran Sofía

Universidad Industrial de Santander, Departamento de Matemáticas, A.A. 678,Bucaramanga, Colombia

Plaza Pérez Amaury Jacob


Puerta Ortiz FernandoUniversidad Nacional de Colombia, Departamento de Matemáticas, A.A. 3840,Medellín, Colombia

Ramírez Martínez Sonia MaritzaUniversidad del Valle, Departamentode Matemáticas, A.A. 25360 Cali, Colombia


Restrepo Quintero Diego AlejandroUniversidad de Antioquia, Departamentode Matemáticas, A.A. 1226, Medellín,Colombiae-mail: [email protected]

Roca Herrera Hegel AntonioUniversidad de Córdoba, Departamento de Matemáticas, A.A. 4600, Montería,Colombia

Roctus Pabón SchweitzerUniversidad Nadonal de Colombia, Departamento de Matemáticas, CiudadUniversitaria, Bogotá, Colombia

Rodríguez José


1

Rodríguez Blanco GuillermoUniversidad de los Andes, Departamento de Matemáticas, A.A, 4976, Bogotá,Colombia


Rodríguez Cárdenas Carlos Wilson


Ruiz Cifuentes Isabel Cristina


Ruiz Vera Jorge Mauricio


Salazar Díaz Olga Patricia


Saldarriaga Ortiz Omar DaríoUniversidad de Antioquia, Departamento de Matemáticas, A.A. 1226, Medellín,Colombia

SÁNCHEZ VÁSQUEZ ALEJANDRAUniversidad Nacional de Colombia, Departamento de Matemáticas, CiudadUniversitaria, Bogotá, Colombia

Sarria Alberto

Universidad de los Andes, Facultad de Ingeniería, A.A. 4976, Bogotá, Colombiae-mail: [email protected]

SoRiANO Méndez Félix HumbertoUniversidad Nacional de Colombia, Departamento de Matemáticas, CiudadUniversitaria, Bogotá, Colombiae-mail: fsoriano®unÍ£mdes.edu.co

Tejada Jiménez Débora MaríaUniversidaxi Nacional de Colombia, Departamento de Matemáticas, A.A. 3840,Medellín, Colombiae-mail: [email protected]

Toro V. Margarita María

Universidad Nadonal de Colombia, Departamento de Matemáticas, A.A. 3840,Medellín, Colombiae-mail: [email protected]

Toro José Rafael

Universidad de los Andes, Facultad de Ingeniería, A.A. 4976, Bogotá, Colombiae-mail: [email protected]

Torres Ardila Fabián

Universidadde los Andes, Departamento de Matemáticas, A.A. 4976, Bogotá,Colombia

e-mail: fatorres©cdcnet.uniandes.edu.co

Velásquez Ossa Raúl EduardoUniversidad de Antioquia, Departamento de Matemáticas, A.A. 1226, Medellín,Colombia

VÉLEZ Juan A.Universidrul de los Andes, Facultad de Ingeniería, A.A. 4976, Bogotá, Colombia

VÉLEZ Ruiz Mario Elkin

Universidadde Antioquia, Departamento de Matemáticas, A.A. 1226, Medellín,Colombiae-maü: [email protected]

Vera Lizcano Juan CarlosUniversidad de los Andes, Departamento de Matemáticas, A.A. 4976, Bogotá,Colombiae-mail: [email protected]

Zapata Yepes Sandra María

Universidad deAntioquia, Departamento de Matemáticas, A.A. 1226, Medellín,Colombia

Zulaca Mario


ZULUAGA Martínez MauricioUniversidad de Antioquia, IJepartamento de Matemáticas, A.A. 1226, Medellín,Colombia

Participantes InternacionsJesAlvarez Samaniego Borys YamilEscuela Politécnica Nacional, Apartado 17-01-2759 Quito, Ecuadore-mail: [email protected]

Cao Jianguo

Cornell University, Department of Mathematics, White Hall, Ithaca, N.Y.14853 U.S.A. e-mail: [email protected]

Castañeda NelsonCornell University, Department of Mathematics, White Hall, Ithaca, N.Y.14853 U.S.A.


Castro Alfonso

University of North Texas, Department of Mathematics, Dentón Texas 76203-5116, U.S.A.

Cruz Sampedro Jaime

Universidad de las Américas, Departamento de Matemáticas, Cholula, Puebla72820, México.e-mail: [email protected]

Escobar Velásquez José FernandoCornell University, Department of Mathematics, White Hall, Ithaca, N.Y.14853 U.S.A.


FREIRE AlEXANDRE

University of Tenessee at Knoxville, Mathematics Department, Knoxville, TN37996-1300, U.S.A.e-mail: [email protected]

García GonzaloCornell University, Department of Mathematics, White Hall, Ithaca, N.Y.14853 U.S.A.


Gómez Jaime EnriqueWESSEX Instituto of Technology, Southampton, UK.e-mail: [email protected]

lÓRio RafaelIMPA, Estrada Dona Castorina 110, Jardim Botánico, 20460 Rio de Janeiro,R.J., Brasile-mail: [email protected] ó [email protected]

JOLY PaSCAL

Université de Paris VI, Laboratoire d'Analyse Numérique, 4 Place Jussieu(75252) Paris (05), FVanciae-mail: joljânn.jussieu.fr

Kong LidongCornell University, Department of Mathematics, White Hall, Ith£u:a, N.Y.14853 U.S.A.


Micallef Mario

University of Warwick, Mathematical Sciences Institute, Coventry (CV47AL),Inglaterrae-mail: [email protected]

Padrón Rodríguez VíctorUniversidad de los Andes, Departamento de Matemáticas, Mérida, Venezuelae-mail: [email protected]

Pinto Fred Carlos

Indiana University, Department of Mathematics, Bloomington, IN 47405-5701,U.S.A.


PoLLACK Daniel

University of Chicago, Department of Mathematics, 5734 S.University Av.,Chicago, ILL 60637 U.S.A.e-mail: [email protected]

PoNCE GustavoUniversity of California at Santa Barbara, Department of Mathematics, SantaBarbara, CA 93106, U.S.A.e-mail: [email protected]

Rueda Angel DomingoUniversidad del Zulia, Departamento de Matemáticas, Macaraibo, Venezuelae-mail: [email protected]

SCHATZ Alfred H.Cornell University, Department of Mathematics, Wliite Hall, Ithaca, N.Y.14853 U.S.A.


ScoTT SimónOxford University, Physics Department, Oxford, OXl 3PU, U.K.e-mail: [email protected]

Simón León

Standford University, Depcu-tment of Mathematics, Stanford, CA 90923 U.S.A.e-mail: [email protected]

SOLOMON Bruce

Indiana University, Department of Mathematics, Bloomington, IN 47405-5701,U.S.A.


1l

Tabak Esteban

Courant Instituto of Mathematical Sciences, New York University, New YorkNY 10012, U.S.A.e-mail: [email protected]

Toro Tatiana

University of Chicago, Department of Mathematics, 5734 S.University Av.,Chicago, ILL 60637 U.S.A.e-mail: [email protected]

Memorias III Escuela de Verano

Geometría Diferencial

Ecuaciones Diferenciales Pairciales

y Análisis Numérico

Universidad de los Andes, 20 a 30 de junio de 1995

páginas 1-7

An isoperimetric compeirisontheorem for PL-manifoldsof non-positive curvature

JlANGUO CaO^


Abstract. In this lecture we report joint work with Professor José Escobar onan optimal isoperimetric comparison theorem for manifolds with non-positivecurvature.

A piecewiseflat manifold M" is said to have non-positive curvature in the senseof Gromov if Ai" satisfies the CAT(O) inequality (see definition below). Thislecture will focus on the following theorem.

Main Theorem. Let M" be a simpiy-connected, complete and piecewise ñatmanifold. Suppose tbat M" has non-positive curvature in the sense of Gromov.Then

voln-i(9n) > c„(voJ„(í2)l^ (1)for any compact domain íl C M" with rectiñable boundary dfl, where

Cn = voJ„_i[5"-Ml)]/{voi„(S"(l)]}^

'Supported in part by NSF grants.

3. JIANGUO CAO

is tile optimal constant in tbe n-dimeasional Euclidean space R".

Our isoperimetric compañson theorem was motivated by the classical isoperi-metric inequalities. One of the classical isoperimetric inequalities says that ifíl C R" is a compact domain with smooth boundary dQ, then

voI„_i(aí2) > C,i [voln(íí)l^

where c„ is as in (1) above.In order to study isoperimetric inequalities more systematically, we introduce

the notion of isoperimetric profile on any given Püemannian manifold.

Defimtion 1. The isoperimetric profile of a Riemannian manifold is thefunction /aí» ^ [0,vol(Af")) —* R defined by

Im^Ív) = inf{vol„_i(afÍ) I Í2 C M" is a compact domain with

smooth boundary 0f2, vol(í2) = u}.

For example, if = R^ is the Euclidean plañe, then it is well-known that

(L(3Í2)]^ > 47r Area(íí), (2)

for any compact domain íí C R^, where L{d^) denotes the length of dVt.Similarly, if = S®(1) is the unit 2-sphere with the constant curvature

K =1, then

[LidQ)f > 47rA(íí) - [A(Q)]2, (3)for íl c 52.

It is interesting to notice that if is the hyperbolic plañe of constantcurvature K = —1, then

[L{díl)f > 47rA(íl) + [A(í2)]2,

for any compact domain íl C ffiP.In summary, we have

y/4Tra — íÍKm^ = +í

V'47ra if Km' = O

%/47ro + if Km' = ~1

(4)

(5)

where is the 2-dimensional simply-connected space of constant curvatureK = O or K = ±1. We have seen by the examples above that

752(01) < 7ji2(o) < 7H2(a) (6)

AN ISOPERIMETRIC COMPARISON THEOREM FOR PL-MANIFOLDS 3

for any a e [0,47rl.We now would like to provide a short proof of (5), where is a simply-

connected surface of constant curvature K.

For the special case K = O, we see that is isometric to the Euclideanplañe R^, since is simply-connected. In this case, any round disc Br ofarea a = satisfies [(9Br)]^ = 47rArea(9íl). Therefore, to verify /R2(a) =•v/Ítto for a € R"^, is equivalent to proving (2) for any compact domain íl withArea(íl) = a in R^.

The verification of (2) goes as follows. For a given compact domain íl withsmooth boundary 5Í1 in R^, we observe that íl must be homeomorphic toa disk D with possibly finitely many smaller disks removed. This is to say,íl = ílo —LIô where fio is homeomorphic to a disk and {Z3fc}{!ô arepossible "holes" inside ílo- Notice that

L{dQ) = L{dQo) + ^L{dDk) > L(aílo)fc=0

and

Area(íl) < Area(íío)

It is sufficient to prove (2) for simply-connected domains ÍIq.Since ílo is homeomorphic to a disk, dílo is homeomorphic to the circle .

Let s be an arc-length parametrization of dílo- After re-choosing the origin ofR^, we may assume that 3ílo has its venter at (0,0). Le.,

(¡Bn,îs)ds = O

Denote the length L(dQo) of Silo by 1. We will use the following fact. If/o f{s) ds = 0 and /(O) = f(l), then

(Hint: f{s) = ZtLi [akOOs{^) + hM^)])-In R^, we have

AR2(a;' -t-y^) = 4.

Henee, it follows that

4Area(ílo) = / A^z{x^+y^)dA = j (grad(.T^-f-y^), ñ) ds,J J dOg

n

JIANGUO CAO

where ñ is the outward unit normal vector along 5íío- Using the Holder in-equality, we further observe that

4Area(íío) =J^{scad(x^ +y^), n) ds = jT (2/ano

< 2 /" \/x^{s) +y^{s) dsJo

< (^J^ [x^{s) +yîs)]dsy •(jí Ids)''

[Lidílo)fTT 7r

ñ) ds

where we used the inequality (*).In order to prove Is'id) = \/47ro — for o € [0,47rj, we use the following

fact.

Pact 1. Let fio be an optimal domaia in a Riewaanian surface withArea(í2o) = o and L(díio) = Then dílo must have constant meancurvatura, (see (5]).

Weshouldpoint out that since is compact, the optimal domain fio alwaysexists. Because S^(l) is rotationally symmetric, all closed curves 0í2o withconstant mean curvatura must be small circles in the unit 2-sphere 5^(1). Itfollows that ísi(a) = L(dQo) = \/4ira — by a direct computation, becausedOo is isometric to a small circle in 52(1).

For the hyperbolic plañe we observe that the group of Móbius transfor-mations ewrts on IRP isometrically. Fix an a € K and take a sequence of domains{íii}î with Area(fii) = o and

L(aíli) —^ 1,32 (a)

Because the isometry group G of acts on IH^ transitively, we may assumethat all elements in {(9íii}~i have a common point po- Therefore, afi» liesin a compact set Sro(Po) around po for every i = 1,... ,00. It follows thatthere exists a subsequence of {aílt}~i such that the subsequence convergesto an optimal boundary domain díio- (Note that each dfii corresponds to aLipschitz map /, : 5^ —» (?íii C Bra(po), and {fi} forms an equicontinuousfamily of Lipschitz maps.) By Fact 1, díio has constant mean curvature inIHF. It now follows that I^{a) = L(aíio) = V'47ra + for a geodesic disk fioof Area(íio) = a.

í»

AN ISOPERIMETRIC COMPARISON THEOREM FOR PL-MANIFOLDS

This completes the proof of (5). It follows immediately that (6) holds forc e |0.47r|

Inspired by inequality (6) above, Gromov and others made the followingconjecture.

Conjecture A. Let M" be a siwply-connected, complete Riemaanian mani-Fold of non-positive curvature Km < 0. Then

/m"(v) > /r"(v)

for any u > 0.

Notice that a compact domain ÍÍ C M"w¡th smooth boundary dfl satisfiesthe sharp Euclidean isoperimetric inequality

voln-i(díi) > c„(vol(íi))' (7)

if and only if/aí"(v) > fRn(v)

holds for V= vol(íi).The two, three and four dimensional cases of Conjecture A were proved by

A. Weil, B. Kleiner and C. Croke respectively.In this lecture, we study a PL versión of Conjecture A. A PL-manifold Ad"

is said to have non-positive curvature in the sense of Cromov if it satisfiesCAT(O), the comparison axiom of Alexandrov-Topogonov.

Definition 2 (Cromov's CAT condition). Let í = A(xo,Xi,X2) be a geodesictriangle in M", and let y be a point on the side of T which has endpoint xiand xj. Choose a comparison triangle T' = A(xó,xi,X2) of the same lengthin R2, and let y' denote the unique point on the linesegment [a:í, X2I such that

, y) = dMîxi, y) for i = 1,2. Then ¿«^(xó , y) = dM" (sô i v)-One can easily construct examples of PL-manifolds with non-positive cur

vature. For instance, let be a 2-dimensional, complete, simply-connected,piecewise flat metricsimplicial manifold. Then satisfies CAT(O) if and onlyif the total angle at each point p € is greater than or equal to 27r.

The following theorem provides a PL versión of a solution to Conjecture A.Theorem A. Let M" be a simply-connected, complete and piecewise ñatmanifold. Suppose M" hasnon-positive curvature in thesense ofGromov (i.e.,M" satisfies the CAT(O) inequality). Then, for any compact domain íl C M"with rectiñable boundary, the inequality

vo}„-i(dQ) > c„ lvol(í2)] "»

holds. Le.,

fM''(v) > /r'»(i') (8)

JIANGUO CAO

for any v > 0.

For a Eiemannian manifold M" that can be approximated by a sequence ofpiecewiseflat manifolds satisfying the CAT(O) inequalitj'. the conclusión of Conjecture A follows immediately from Theorem A.

We conclude this lectura by an outline proof of Theorem A.

The outline of proof of Theorem A

Por any given Vq > O, we would like to consider the derivativa of the isoperi-metric profile /a/» at v = vq if Jm" is a differentiable function of v. In fact,if there exists a compact, optimal domain fio of volume vq and with smallestboundary area vol„_i(5í2o)» then we can estímate

in térras of the raean curvatura of the boundary dOo of the optimal domainfio- More predsely, we have the following well-known fact.

Eact 2 (cf(4, p. 38]). Leí Qq C M" be a compact domará with smooth bound-aiy 0í2o) and vq = vo1{Qq). Suppose that AreaíSfío) = i-e., ÍÍq hasleast boimd^y area among domains with volume vq. Then the fírst varia-tional formulae for volume and area imply that the mean curvatura function ofdSlo (the trace of the second fundamental form) is everywhere equal to someconstant Fkirther,

^ f ^ ,. /M«(no + Au) —/Af>(no)—j—(vo) = lim i ^—-dv A\o- Av

> (9)

In order to prove > /uníf) for all v € K, it suffices to show

(10)

Recall that optimal domains in R" are isometricto round balls. Henee, usingFact 2 we see that

'Vn-1 dv J JdBAO)^^-^ ^

= voln-i(5"-'(l)), (11)

AN ISOPERIMETRIC COMPARISON THEOREM FOR PE-MANIFOLDS 7

where Br(0) is the round ball of radius r in R". Using (10), (11) and Fact 2,we see that it remains to prove

/iJan

l/ifln(p)]"~ dvol„_i > vol„_i(5" ^(1)), (12)

for Í2 C M", where

h-an1

fiann— 1

stands for the averaged mean curvatura.In the special case dimM" = n = 2, the inequality (12) becomes

/Jan

|/isn(p)|ds > 27r. (13)

For any compact, convex domain Í2 in a simply-connected surface of non-positive curvature A" < O, the inequality(13) holds by the Gauss-Bonnet formula. Henee, Theorem A holds for dim M" = 2.

For the higher dimensional cases, we have

Key Proposition (cf. (2|). Leí M" be a simply-connected, complete andpiecewise fíat manifold. Suppose M** satisñes Gromov's CAT(O) condition.Then for any compact, convex domain íí rá M", we have

/Jan

litanr~* dvo]„_i > vol„_i(S" '(1))

where the mean curvature han 's deñned in the sense of Steráer and Federar.

The Key Proposition and the discussion above will iraply Theorem A.

References

(11 F. Almgren, Optimal isoperímetric inegualilies, Bull. Amer. Math. Soc. 13 no. 2 (1985),123-126.

(2) J. Cao and J. F. Escobar, An isoperimetric comparison theorem for PL-manifolds ofnon-positive curuoture, preprint, Cornell University.

[3| C. Croke, A sharp four dimensional isoperimetric ineguality, Comment Math. Helv. 59no. 2 (1984), 187-192.

(4) B. Kleiner, An isoperimetric comparison theorem, Invent. Math. 108 no. 1 (1992), 37-47.(5) R. Osserman, The isoperimetric inequality, Bull. Amer. Math. Soc. 84 no. 6 (1978),

1182-1238.

(6) A. Weil, Sur les surfaces á courbure négative, C. R. Acad. Sci. París Sér I Math. 182(1926), 1069-1071.

JiANCUo Cao

Department of Mathematics

Cornell University

ITHACA, NY 14853USA



Ecuaciones Diferenciales Parciales


Universidad de los Andes. 20 a 30 de junio de 1995

páginas 9-13

Negative scalar curvatura andtotally geodesic boundary on acompact Riemannian manifold

José F. Escobar'

Cornel] University, USA

It is well known that a compact Riemannian manifoldwithout boundaiy anddimensión n > 3 admits a metric with negative scalar curvature (see [Av], |Au],[El]). Therefore there are no topological restrictions for a compact Riemaimianmanifold to admit a metric with negative scalar curvature. There are wellknown topological restrictions on a compact manifold without boundaiy toadmit a metric with positive or zero scalar curvature (see [G]).

In this lecture we address the following question: Does a compact Riemannian manifold with boundary admit a metric with negative scalar curvature?To make our question interesting, one should impose some condition on theboundary. In order to impose an interesting condition we réstate Aubin's the-orem in terms of the Sobolev quotient of a manifold (see deñnition in |Au]):Any compact Riemannian manifold without boimdary admits a metric withnegative Sobolev quotient. We can ask if the same statement holds on mani-folds with boundary where the Sobolev quotient is defined in [Es]. If it doesthen M admits a metric with negative scalar curvature and the boundary isminimal (i.e., has zero mean curvature) (see Lemma 1.1 in [Es]). In this paperwe answer the question in the affirmative. Moreover we construct a metric

'The author holds a Presidential Faculty Fellowship.

10 JOSE F. ESCOBAR

on a compact Riemannian manifold with boundary that has negative scalarcurvature and the boundary is totally geodesic.

Our construction is as follows: Given a Riemannian manifold with boundary (M",go) with n > 3, we first changa the metric 50 to a metric <71 wheredM is totally geodesia. This is done by considering the product metric in aneighborhood of dM. Then we perturb the metric 51 in the interior of M toa metric 52 that has negative Sobolev quotient and then we deform the metric<72 within the conformal class of g2, using the first eigenfunction of the confor-mal Laplacian to get a metric with negative scalar curvature and where dM istotally geodesic.

Our first proposition deals with the construction of the metric <71.

Proposition 1. Leí {M,go) be a compact Híemannian manifold with boundary. Then M admits a metric gi with totaliy geodesic boundary.

Proof. Let t be the disteince to the boundary of dM which is well defined forO< í < e for e small. In the neighborhood of dM, [O, e] x dM we define theproduct metric g^ = -J- gQ where go is the induced Riemannian metric ondM. We extend the metric ge to any metric on M. It is clear that dM istotally geodesic.

To be able to construct the metric gz we need to introduce the Sobolevquotient of a Riemannian manifold with boundary, {M",g), with n > 3. For afunction v? on M we define the Sobolev quotient Q{(p) by

Q('P) -Ei<p)

where

E{ip) = (\V<pf + n-2

4{n —1) R. A<p?) dvo +n-2

LBM

hgip^dag

where dvg and dag are the Riemannian measure on M and on dM induced bythe metric g, Rg is the scalar curvature and hg is the mean curvature of theboimdary with respect to the metric g. The Sobolev quotient Q{M) is definedby ^

Q(M) = inf {Q(v5) IV€ C^(M), on M) . (1)The number Q{M) clearly depends on the metric g, and we will denote itsometimos as Q{M,g). However Proposition 1.1 in [Es] asserts that if gi andp2 are two metrics conformally related then Q{M,gi) = Q{M,g2).

We remark that the functional E((p) is a restricted versión of a more generalfunctional: "The total scalar curvature and total mean curvature", which isdefined by

NEGATIVE SCALAR CURVATURE 11

for g € A4, where A4 is the space of all smooth Riemannian metrics on M.Recall that if g = (see (Es]) then

4(n —1) n+2 where

and

2 ^ ~ whereU'

r _ A " ~ 2 „^90 - ^90 -*So

R9B ~ a-dr).

d n —2.H —h,

9o90-

(3)

(4)

Here is the outward normal derivativo operator calculated with respect tothe metric go. Using formulae (3) and (4), and considering the metric g of theform g = where go is a fixed metric, one fínds after integrating byparts that

T{g) = T(u^go) = B{u). (5)

The next proposition wasprovedforcompactRiemannian manifolds withoutboundary by Avez |Av] and Aubin [Au] (see also [Esj). Our proof follows theargument due to L. Berard Bergery.

Proposition 2, For any compact Riemannian manifold (M",g) tbere existsa metric p2 «"cb that Q(M,g2) < 0.

Proof. Let B be an open ball in M such that B C M. Let 5** x B' be insideB where S is a sphere of dimensión p > 1 and B is a ball of dimensión q>2and p + q = n. Let / > Obe a function defined on B' depending only on thedistance to the origin and identically 1 in a neighborhood of 9B'. Let go bethe standard metric on the sphere of constant sectional curvature and considerthe metric

9f = f~' {f^9o +Sij)where is the Euclideanmetricon B'. The metric fl/ is defined on S** x B'.We define the metric p2 on M bydefining 52 = 9f on x B', g2 = gonM—Band defining arbitrarily the metric g2 on B — x B'. Because the function/ = 1 in a neighborhood on 5B' then the metric x B' does not dependon/ near the boundary of SP x B' and henee the metric 52 defined on M onlydepends on / in the interior of x B'. Thus we find that

n — 2-2 r n-2 f~^)Jm-spxb<i 4(n—l)y5pxB4(n

da,92

^9íd' 9¡ + 9Bo ^

n — 2 / ^9*^9Jqm

where the first and the last integráis do not depend on the function /. Forthe second integral on the right hand side of the last equality we find by direct

12 JOSE F. ESCOBAR

computation that

/ = VoKS^flo) í (r,,JSt'xBi Jbi

p{n -l-p)(n- 1)

Observe that the coefficient of 1V/|^ is negative becaiise 1 < p < n —2. Wemay choose / such that O< Ci < f < C2 and /g, beconics as largaas we want in order to get T{g) < 0. It follows from equation (5) that E{1) <0and henee Q{M,52) < 0.

Remark S. In the proof of Proposition 2 the metric 52 satisfics <72 ^ .9 in aneighborhood of dM. In particular, if dM is totally geodesic with respect tothe metric g, then dM ís totally geodesic with respect to the metric 92-

Now we are ready to prove our main theorem.

Theorem. Let (M",5o) be an n-dintcnsional coinpact Riemannian tnanifoldwitb bouadary with n > 3. Then M admits a Riemannian metric with negativescalar curvature and totally geodesic bouadary.

Proof. Proposition 1 asserts that M admits a metric 91 with totally geodesicboundary. Proposition 2 and Remark 3 implies that we can find a metric92 with negative Sobolev quotient and dM totally geodesic. The conformalLaplacian with respect to the metric 92 is the operator (Lg^, S32) where Lpjand Sgj are defíned in formulae (3) and (4) respectively. Observe that becausedM is totally geodesic, Bg^ = . Let us consider the first eigenvalue Ai(92)and the first eigenfunction tpi of the problem

+ >'i{92)'Pi = 0 on M(6)

= O on dM.

It is well known that <pi > Oon M, so we can consider the Riemannian metric

93 = 'Pi '92- We claim that the metric 93 satisfíes the conditions in ourtheorem. First we show that dM is totally geodesic with respect to the metric93. In order to see that, observe first that dM is umbilic with respect to themetric 92 (because it is totally geodesic). Proposition 1.2 in (Es| asserts thatdM is umbilic with respect to the metric 93. The transformation law (4) andthe boundary condition in (6) imply that dM is minimal with respect to themetric 93, thus dM is totally geodesic with respect to the metric 93.

Tosee that Rg^ < Owe use the transformation formula (3) and equation (6)to fínd that

n — 2 4•fíp3 = Aiv?, " ^

(

4(n —1)

Thus the sign of Rg^ is determined by the sign of Ai. For the metric 92,<5(M,92) < O and henee Ai (92) < 0. Proposition 1.3 in [El] implies thatA] (93) < 0. Thus Rgs < Oand the proof of our theorem is completed.

NEGATIVE SCALAR CURVATURE 13

References

ÍAul T. Aubin. Métriques rtemonnienneí et courbtire, 3. Difiérential Ceom. 4 no. 4 (1970),383-424.

ÍAvi A. Avez. Valeur moyenne du scalaire de courbure sur une variété compacte. Applica-tions relativistes. C. R. Acad. Sci. París Sér I Math. 266 (1963), 5271-5273.

[B] L. Bérard-Bergery, Spectra of Riemannian manifotds, in "Scalar curvature and isome-tr>' groups" (M. Berger, S. Murahami, T. Ochiai, eds.), Kagai, Tokyo, 1983, pp. 9-28.

[El] H. T. Elíasson, On variations of melrtcs, Math. Scand. 29 no. 2 (1971), 317-327.¡Es] J. F. Escobar. The Yamabe problem on manifolds uñth boundary, 3. Diflerential Geom.

35 no. 1 (1992), 21-84.(Gj D. Gromoll, Spaces of nonnegative curvature, Proc. Sympos. Puré Math. 54 no. Part

3: Riemannian Gcometry, (1993), 337-356.

José F. Escobar


CORNELL UNIVERSITY

Ithaca, NY 14853USA

í/ÉL





Universidad de los Andes, 20 a SO de junto de 1995

páginas 15-28

Weak solutions of the harmonicmap flow and related problems.

ALEXANDRE FREIRE

University of Tennessee, USA

§1 Introduction

This paper is an expanded versión of the author's talk at the 3rd SummerSchool in differential geometry, partíal differential equations and numérica]analysis (Bogotá, Colombia, June 1995). Most of the methods described herewere first introduced by F. Hélein, F. Bethuel, S. Müller, L.C. Evans and others.I have included a small number of proofs for completeness, but for most resultsthe reader is referred to the literature.

Our main objects of interest are weak solutions of variational and evolutionproblems for maps u : M —y N, where M is a d-dimensional Riemannianmanifold and N a compact A;-dimensional submanifold of Rp, with the inducedmetric. We denote by A the second fundamental form of N in Rp. We areinterested in the following systems of partial difíerential equations:

1 Weakly harmonic maps

ueH^{M,N)(HM)

—Atí = trMÍAou){du,du)(in the sense of distributions). This is the Euler-Lagrange equation for the

('energy' functional:

= I f \du\^dx.^ JM

15

16 ALEXANDRE FREIRE

2 Harmonio map plow

Ut—Au = ItmÍ-A o u)(du, du)

u(0) = %to€H^{M,N) (given)

u e HHM,N)), Ut € LlJ

(HMF)

This is the gradient flow for the functional Eu- For brevity we shall denote byTi the space defíned by the last two conditions. As is well-known the theoremof Eellsand Sampson guarantees the existence of a smooth solution of (HMF)for all time, converging as í —> oo to a harmonio map from M to N, providedthe sectional curvature of N is non-positive. If no curvature conditions areimposed on the target, in general only weak solutions can be expected (seesection 3).

3 Wave MAPS

' u e H^(M XK; N)

— = tTMA{du,du) —

u(0) - uq: M —* N ?it(0) = uy-.M

(WM)

RP (given).

Here Utt —Au is the wave operator on M x R, and the equation is satisñed inthe distributional sense. For the Cauchy data (iíq,Uy) in (WM) the constraintWi(a;) e Tu„{x)N is assumed. A solution of (WM) is a stationary point for theLagrangian:

C{u) = [Idup - |Uí|2) (kcdt,

with respect to compactly supported variations. When Af is a compact Liegroup, this system has been proposed by physicists (under the ñame 'cr-model')as a model for classical field theories.

In recent years (c. 1988 to the present) it has been observed, starting withthe work of F. Hélein, that for special target spaces N, and for arbitrary tar-gets in an appropriate gauge, the nonlinear term in the above systems has thesame 'div-curl structure' which appears in the theory of concentration com-pactness. This makes it possible to apply methods of classical real analysis (inparticular, 'H} - BMO duality) to derive partial regularity, compactness anduniqueness theorems for weak solutions. In these notes we describe: regularity(d —2) and partial regularity (d > 3) for (HM) (section 2); uniqueness andpartial regularity (d = 2) for (HMF) (section 3); weak compactness for (HM)and (WM) (section 4).

í'-'sfdL

WEAK SOLUTIONS OF THE HARMONIO MAP FLOW 17

§2 Weakly harmonic maps

The study of regularity properties of weakly harmonic maps has a long his-tory (see [17) and [18]). The partial regularity properties of energy minimizers(d > 3) were thoroughly analyzed by Schoen-Uhlenbeck [19] and Giaquinta-Giusti [13] (in d = 2 energy minimizers are smooth by classical work of C.B. Morrey). Given the extensivo literature on singularities of harmonic maps(1980's), the following definitivo theorem in dimensión 2 was somewhat imex-pected (for simplicity assume M compact without boundary).

Theorem 2.1. (Hélein, (15)) Ifd = 2, a weaklybarmonic map u G H^(M; N)is everywbere smooth.

This was first proved for N = S'' [14] then extended to compact homoge-neous targets N [16], then to arbitrary target spaces [15]. Related methods inhigher dimensions led to the following theorem:

Theorem 2.2. (Bethuel, [2]) Leí u G H^{M;N) be a 'stationary' barmonicmap. Tbeu u is smooth in the complement ofa closedsetS C M with Hausdorffdimensión at most d — 2.

This had been proved by L.C. Evans [7j for N = S''. The definition of'stationary' is technical; the key issue is that it implies the following 'mono-tonicity property*. For any xo G M:

rd-2 L (xo)

jduj^dx is non-decreasing in r > 0. (MP)

The proofs make essential use of - BMO duality (0. Fefferman). Tomotivate the introduction of the 'Hardy space' "H}, recall that for 1 < p < oo,elliptic regularity in LP spaces guarantees that if Au = / in R"^,

/glI^JR") «gw¡2,P/loe *

but this fails if p ^ 1 (note A{du.,du) G L' if w € H^). However for thesubspace Ti' C defined below we have (see [6], [20]):

2.1 Definition of Ti'(Let 0 IJR" }

18 ALEXANDRE FREIRE

Definitions. = {f E L^{W^) ( f* E L^(R'')}, endowed with the norm:

ll/lk. = ll/*IU> •

We also consider the space of fimctions of 'bounded mean oscillation':

BMO i sup / \m-frJdy<oo},JBr{x) •'i€R'

r>0

inwhere frx— T dy and -/• denotes 'average valué'. The supremum iJBx(i) J

the defínition is denoted [/leMOsm ('BMO seminorm').

Theorem 2.3. (Fefferman) Tbe dual spaceof7í^(¡R' ) is BMO(R*'), and:

U' f9 dx <cWfW^r (ílsMOsmRrf

(Tbeformal integral on tbe leñ denotes tbe duality pairing.^

These deñnitions may be localized in the standard way (see (20]). Note thatby the Sobolev inequality:

¿í u-h..f <^f m'.

with c independent of r. Thus if / € (íí C R'' open) satisfies themonotonicity property (MP) above in íí, we have / E BMO(ÍÍ). In order toapply this, we need to identify quantities in "H}. The main examples are térros'quadratic in the gradient, with determinant structure'.

Theorem 2.4. Let u,v E ff^(R''). Tben any 'Jacobian minor of order 2':

Mij{du,dv) = Ux.Vxj - UxjVx,

is in

Proo/(adapted from [6]). We prove the equivalent fact: du /\dv E 'H^ÍÍ^CR'').For (p E C~(íí^) as in the defínition of x GR'' and r > O, let


Choose 0<a<2. 0</9<2 such that i- + i = 1+ i. Then — := i - i =^ ct 0 d 0' p d

1 ——• Integration by parts yields:

/ V>r.x(dti Adv)dy = —/ (v —Vr.x) d(pr x^ duJr" J^d

I f i= -{v-vr,x)d<pAdu

- 4(/<c(£^^\dvfy{£jdu\')-

(by the Sobolev-Poincaré inequality). Thus:

supjy^ <Pr.i(du Acíu)| <c{M[|du|°|(z)}'"{M||dtj|''](x)}^

< c{M[|d«p](.T)}^ {M[|duj^(x)}^

(since O < a < 2.0 < /9 < 2), where M|/](x) = sup + j/j is the Hardy-r>0 JBr(x)

Littlewood maximal function (which satisfíes M[f\ < |j/|| a.e.). We conclude:

||duAdv|| , < c||du|| J|dv|| j

Corollary 2.5. Ifw G BMO(R'') ® íí^, u,v E

| ^(duAdu).ra| < 'The following 'localized versión' of Corollary 2.5is useful in the applications.

Lemma 2.6 [2]. Let u,v E {H¿ n L°°)(Bx), w GBM0(B2r). Tben:

I (du Adu). u; <c(with c independent of r).

ftü]L2(Br) ' 'BMOsm(B2r)

As observed previously, if d = 2 //^(Bar) embeds in BM0(B2r), so weobtain:

20 ALEXANDRE FREIRE

Theorem 2.7 (24], [3]. Assume d = 2.(i) Let u,ve n L<=°){Br). Tben duAdve //"(ii) IfMisa closed surface andu,V€ (Hor\L°°)(M), tben duAdv € H '(M).

2.2 Determinant structure.

Thereare other quadratic gradient terms whosecomponents Iiavo l lie structureof 2 X 2 Jacobian minors. It ¡s often easier to exhibit this structure throughthe formalism of exterior difTerential calculus. For example, if /3 G ÍÍ'' (K*^) and6 denotes the (Euclidean) adjoint of the exterior derivativo.

=-Eif " =í<3

SO

cfl j duM.<¡„ =

*<3

also has a structure of a '2 x 2 Jacobian minor'. Thus as in (ii) abovc, we have:

(iü) If Mis a closed surface, u € n L°°)iM), (3 G (//' n thendu-S0eH-^{M).

(It is easy to see that thisstill holds. Also inner products and S are taken withrespect to a Riemannian metric on M.)

In the case N —S'', we have (with u = (u', GK*"', l^l = 1)

trj^,A*(dti,dn) =3

= ^(u'du-' —u^du*) •du^ —^2, '

where íJí^ = u'duJ - u^du' G (we used uUu^ = id|up = O).Now assume M = (inthe general case, harmonic l-forms would enter the

Hodge decomposition below, with nomajor changes in the argument). Noticethat;

SuJij = —u*AvP + vPAu^ = O,

since —Au* = (we assume u is a weak solution of (HM)). Henee (byHodge theory) Wy = 6Bij with Bij e H^ílh. Note that:

~ABij - 2deiAdej e ,

henee Bij G C7®, since d = 2. We have:

-A«* = '^SBij-du^, (HM')

«L

WEAK SOLUTIONS OF THE HARMONIC MAP FLOW 21

where 6Bij • dvP G by theorem 2.7. Henee (by linear elliptic theory)u G and since d = 2, this impliesu GC^ÍM,®*"*"'). FVom thisthe smoothness of u follows from earlier regularity theorems (seee.g., [17]).

To deal with the case of general target spaces N, Hélein makes the followingcrucial observation: we may assume N is parallelizable (otherwise change themetric in a tubular neighborhood to a product metric and take the double ofthe resulting manifold with boundary, obtaining a new parallelizable target Nicontaining N asa totally geodesic submanifold; so u is a harmonic map to Ni).

Thus we have a global orthonormal frameon N. Composingwith u: M —* Nwe obtain k orthonormal vector ñelds ei G éi(x) G a.e. (werefer to this as an orthonormal frame adapted to «). Now let (e») GH^{M,R^)be an arbitrary o.n. frame adapted to u. Defining 6i = (du, Cj) G and(Jij = (dsi, Cj) G we obtain (since —Au(x) G(^«(j.jiV)-'- weakly):

í60i =

dOi = E îj Aoi,(HS)

for i = 1,... , fe. (HS) is sometimes referred to as a 'Hodge system'. Thesecond equation in (HS) may be written as:

dOi = —du A de»,

whose right-hand side has 'determinant structure' (and is in W(M)). To dealwith the first equation, we have to consider 'optimal' frames. Namely, a 'gaugetransformation' g G H^(M,SO(k)) changes the frame Cj to Ci = pyéj, with"connection l-forms' u3ij = (dci, Bj) related to SJij = (dej.ej) by o; = dgg^+gTDg^(as matrices). Consider the variational problem:

mimmize ng) = í geH^{M,SO{k)),Jm

where |w| = Eij The Euler-Lagrange equation is:

Su3ij — O, 1,...,A:.

Thus, taking a minimizer g (easilyseen to exist) weobtain, from Hodge theory(still in the case M —S^):

iOij — 6Bij, Bij G .

The first equation in (HS) may now be written as

60i = -'^{6Bij-du,ej).

22 ALEXANDRE FREIRE

Finally, TOnádering the Hodge decomposition Oí = dai + 60i of Oí we obtain

r-Aoi =

1 —Af3i = —du Adci(HS')

Unfortunately we have not quite succeeded, since (due to the presence ofthe e 's), the ñght-hand side ofthefirst equation isa priori notinTi.^. Nonethe-less, a more delicate argument (using the complex structure of A/) enabledHélein to prove a statement equivalent to the following.

Lemma 2.8. Tbere exist eo > Osuch tbat if ||wijll¿a < ô. (HS) has k lineaxlyindependeat solutions t}i,. .. ,r]k io

We refer to [15] for the conclusión of the proof. The reduction to (HS ) isalso used in the proof of Bethuel's partial regularity result |2], and there thesame problem is circumvented through the use of Morrey-Campanato spaces.

§3 Harmoníc map flowIn this section we outline the proof of imiqueness of weak solutions of theharmonio map flow (HMF) in the class

n = {ueL°°iR+H^{M,N))\ut€

for spherical targets {N= S*®). The equation is;

Ut —Au = ujVup, u: M "x J S''

[ «(-,0) = uo,

where / = [O.Tj is a time interval. We have the following a priori estimates(for smooth solutions)

E{u{t)) + f f \utfdxdt = E{uo), (energy identity)Jo Jm

and its local versión (where E{u{t),B) = ^fg \du^{x,t)dxy.

E(u{t),B¡i) < E{uo,B2r) +

In dimensión two we also have:

WEAK SOLUTIONS OF THE HARMONIO MAP FLOW

Lemma 3.1 [22]. G/ven e > 0. we may fínd Ti,Ri sucb tbat

sup E(uo, B2jí,(x)) < £ and sup E(u(t),BR^(x)) < e,x^M x€M

for all t 6 [O, Ti]. Tbis implies

f f [Vûj^dxdfJo Jm

Informally this me£ins we have a estímate for u providedwecan control'energy concentration'.

This leads one to consider the spaces:

= nnL\\0,T];W^'^{M;N)).In dimensión 2. we have the following global existence theorem for weak solutions:

23

Theorem 3.2 (Struwe) [22]. Leí uq € H^{M,N), where M is a compactsurface witbout boundary. Tbere exists Tq > Oand a solution v 6 no<T<ToI^ôf (HMF). Id addition:

(i) Vis smootb in M x (O, Tq], except forñaitely many poiats (Xj, To);(ii) Ev(t) is fínite for t € [O, Tq], aon-increasÍDg in t;(iii) Vis tbe unique solution of (HMF) in lô<T<To^^ (witb initialdata «o);(iv) z' can be continued to a global weak solution v eTí witb fínite singular

set in M X (O, oo).

The uniqueness statement (iii) can be improved; in fact we have uniquenessof weak solutions in Ti under a mild additional hypothesis.

Theorem 3.3 [9], [10]. Leí M be a compact surface witbout boundary, anda compact submanifold. Let uEH bea solution of (HMF) satisfying

tbe following energy inequality: E(u(t)) is non-increasing in t. Tben for someTi >0, u€ L'»([0.Ti];W2.«/3).Corollary 3.4. If u € Ti is a solution of (HMF) satisfying tbe energyinequality, tben u coincides witb Struwe's solution a.e. (in particular, u basfínite singular set in M x (O, oo)).

For the corollary, observe tbat if u € L''([0,Ti], then

ujdujê L^^Mx [0,Ti]).Then linear parabolic theory implies

ueL'^(\Q,T\,W'^'\M-,N)),that is, u € By (üi) above, u coincides a.e. with Struwe's solution in|0,Ti]. Now we may repeat the argument, starting at Ti.

We remark that the partial regularity result is optimal, sinceexamples showthat (even if uq is smooth) singularities may develop in fínite time (see [4]).

24 ALEXANDRE FREIRE

Proof of theorem (outline).Assume M = S^, N = S^.

The proof consists of two steps. First we irse Hélein's argument to write theequation (HMF) in the form:

fc+i

—A«* = ^2 (HMF')

¿=i

where e Note that by Theorem 2.7, the right-hand side of thisequationis in The second step is a 'perturbation' argument. Givene > O, it is not hard to show (usingthe energy inequality) that for soma Ti > Owehavethe decomposition in M x (O, TiJ:

Pijit) = 0ij + .

where 0ij{t) € with ||Ái(í)||í/' < £ for a.e. í € [O, Ti] and 0ij ewith llÁjlIc» < cEq. Thus we may rewrite the equation above in the form:

u\ -Av^ = 60ij •dui + f- (HMF")

with p e L2(/i,ff-^(M)) (since in dimensión2; welet = [O, Ti]). Now an argument based onthe inverse function theoremand linear parabohc theory shows that (for e > Osmall enough) on the onehand (HMF") has solutions in ¿**(71, and on the other (again for£ > Opiall) that solutions in are unique. The key observation isthat 60ij.duj € ifu€ L^(/i, VF2.4/3) (gi„ce ^ W '% and also60ij •dvP € (by the determinant structure, Theorem 2.7). (Notethat by construction |15/9ij(í)||L» < £ for a.e. t € [0,Ti].) Thus we concludethat thegiven solution u € L*{Ii, W2,4/3j

Remarks on the extensión to general targets (10).The key step is to prove animproved regularity lemma for each fixed time: forsome Ti > O, we have dTi(í) € for a.e. í € [O, Ti], and

l|dtí(í)ll4 < c(1 + |K(í)||2).

In particular du € Ir®([0,Ti], With respect to bíiekground orthonormaltangent brames (2i)*î and normal brames (So)a=fc+i write

Ut-Au = ^^(du-Wia.éi) -Co, (HMF'")


with Uia = (dCi, Ba). Notice that (since 6 L~(/i, L^) and du € L^{Iu L%the right-hand side is in L^{Ii, A perturbation argument as before yieldsu e (we use existence for (HMF'") in anduniqueness in

The proof of 'space regularity' for fíxed time useslemma 2.8 (existence of a^stem of L°° solutions) of Hélein; in an adapted optimal frame, wehave

í dfíi =

with /i = (ut,ei) e L2(/i,I,2). por ||wij||2(t) < £o, we apply Hélein's lemma toconclude Oí 6

Higher-dimensional case.

If d > 3, there are two 'energy monotonicity' conditions which are satisfied bysmooth solutions:

(I) Energy inequality

E(u{t)) + f f \ut^dxds < cE{-uo)Jo Jm

(II) Weighted energy inequalityThe quantity

nR) M«P(y, s) (y, s) dyds= \f M^ JPr(x,t)

is 'essentially non-decreasing' in r (see [23] for the precise statement).Here Pr denotes a 'psu'abolic ball' andp,^ is the backwards heatkernelof M.

Existence of partially regular weak solutions was proved by Chen-Struwe [5].It is not clear which conditions would imply uniqueness; (I) and (H) do notsuffice, by recent work of S. Angenent and T. Ilmanen. However, we have:

Conjecture. Let d > 3. A weak solution of (HMF) in Ti satisfying (I) and(II) is smooth outside of a closed set of Hausdorff dimensión at most d (in theparabohc metric).

For N = S'', this has been proved by Feldman [8].

26 ALEXANDRE FREIRE

§4 Wave maps and weak compactness

In this section we let M = K'' and consider weak solutions on M xwave map problem with valúes in a compact manifoid N'' C M'':

(Utt —Au = tTÂ{du, du) —A(ut, ut)

(u,U{)|t=o = (uo.wi): K**TTV.

of the

(WM)

Olobal aistence of weaksolutions of the Cauchy problem (WM) is still open,except in the cases N = S'' [21] and N = SO{k) [11]. Precisely, we have:

Theorexn 4.1 [11]- Suppose N is a compact semisimple Lie group G and let(tio,ui) e Hl(M;TN). Tbea tbere exista a global weak solution of (WM) ofdass (tbat is, u{t) e H^{M, N) and Ut(t) € L^(M,Rp) locally uniformly iní € R).

The theorems in [21] and [2] are preved by a 'penalty method'. It seemslikely that related arguments can be used to prove global existence in classfor compact homogeneous targets.

While global existence for general targets has not yet been shown, it isoonceivable that a penalty method will still work. What is needed are goodapprcximate solutions' íind a compactness theorem for approximate solutions.In dimensión d= 2, a weak compactness theorem for approximate solutions oftheelliptic problem ('Palais-Smale sequences for the energy') has been prevedby Bethuel [1], It turnsoutthat themethod ofadaptedorthonormal framesandconcentration compactness' arguments can be used to give a simpler proof ofBethud'stheorran, and also to obtain a weak compactness theorem for (WM) whend —2. The only condition needed is uniform boundedness of the 'spacetimeenergy';

E{u{t)) = I f [\dn{t)f +\ut{t)f]dx^ Jm

Theorem 4.2 [12]. Let tí" : R^ x R —» iV be a sequence of smooth mapssatisfying

. tíS-Au" = tr^^(dtí'*,dtí") - A{u^,u' )in tbe distributioa sense, and tbe energy bound:

£?(íí"(í)) < Eo.

Let tí ; R^ XR —» AT be tbe limiting fl^ map (tbat is, tí" —> tí in x R)and (dtí", tí") —' (dtí.tíj) weakly-* in L°°(R,L^(R^))). Then u is a weak wavemap, tbat is, satisñes (WM) in tbe distribution sense.

The outline of proof is as follows:We construct locally an optimal adopted orthonormal frame (e") for tí", in the

WEAK .SOLUTIONS OF THE HARMONIO MAP FLOW 27

elliptic sense in R^ x R (that is, ¿eud = O, where = (def, el>) and fieud— ois the euclidean adjoint of the space-time differential d = (d, —)). As in the

preceding sections, the equation satisBed by tt" may be written in the form:

wr =

The 'Coulomb gauge' condition ¿eudtt'ÍJ ~ ® W^-BMO estimates can becombined to show weak convergence of the term Wy •tf". It is important inthe proof to consider the 'energy concentration set' for given e > 0:

= {(.T,í) e Q[VH >OlimsupE(u"(í);B,.(i) >e|,^ n—♦©© J

where Q C R^ xR is a compact set. Thissetturnsoutto have zero /f^-capacity,so we only need to consider 'test functions' supported away from S^.

In fact one has the following result, which may be of independent interest:

Lemma 4.3. Under tbe bypotbesis oftbe tbeorem, tbe set Se is a unión ofKLipscbitz-1 graphs over the time axis, wbere K —[jE3o/e]-

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Alexandre FreireDepartment of Mathematics

Mathematics Department

KNOXVrLLE, TN 37996-1300

USA





Universidad de ¡os Andes, 20 a 30 de junio de JOOS

páginas 29-43

Tantrices de lazos planos proyectivos

Bruce Solomon

Indiana University, USA

§1 Introducción

Los planos proyectivos sobre R, C, H (los cuaterniones) y O (losoctoniones,o números de Cayley) presentan muchos fenómenos bien interesantes en lageometría diferencial. Aquí me gustaría concentrarme en una clase especialde lazos en los planos proyectivos reales, a los cuales he dado el nombre detantrices — una abreviación de dos palabras inglesas: "tangent indicatrices."El tema análogo en CIP^ (el plano proyectivo complejo) ha sido estudiadodesde el punto de visto de aplicaciones armónicas y superficies minimales porChern & Wolfson [CW], y otros, pero el caso real, aunque muy elemental ydistinto del caso complejo, realmente no habla sido estudiado; lo presentaremosaquí. Tal vez sería provechoso estudiar, en algún futuro, tantrices en los planosproyectivos sobre H y O.1.1 Definición extrínseca. Generalmente, cuando hablamos de un planoproyectivo real, nos referimos a RIP^: el espacio de líneas en R^. Pero aquíquisiera empezar con una situación más familiar: el espacio de líneas orientadas en R® , el cual corresponde isometricamente a , la esfera de radio 1en R^ . Consideremos en ella cualquier lazo regular; o sea, cualquier inmersióna : —* S"^. Para cálculos, será más fácil mirar tal lazo como una aplicación

29

30 BRUCE SOLOMON

que envía un intervalo a con rapidez 1, y que manda ambos puntos terminales suavemente al mismo lugar, así:

. cr:[0,L]^52, , |^| = 1 ,ct(0) = <t(L)

<t(0) = á{L)

Observemos que \&\ = 1 implicaque á también queda en 5"^, y así define imnuevo lazo en al cual llamaremos r, la tantriz de a:

t(s) := &{s)

1.2 Definición intrínseca. Definiendo la tantriz así, sacamos provecho de lainclusión canónica de en . En particular, miramos la velocidad de lacurva (T en como im vector unitario en ; tal vector traza otra curva en

. El empleo de la geometría extrínseca para definir la tantriz también serámuy Util para estudiarla. Pero es importante — para entender qué sería una"tantriz" en losotrosplanos proyectivos, los cuales no se encuentran encajadosnaturalmente en R"—darse cuenta que en realidad, la tantriz pertenece a lageometría prcyectiva intrínseca.

Para ver eso, hay que usar la dualidad entre puntos y líneas que ocurre entodoplano prpyectivo. Por ejemplo, en el plano proyectivode líneas orientadasen R® (es dedr S^), una línea proyectiva es un círculo máximo orientado.Tal círculo conforma la frontera orientada de una semi-esfera, y el "polo" deesa semi-esfera —el punto a distancia 7r/2 de cada punto del círculo — es elpunto dual del círculo, y vice-versa. Usando la métrica canónica en un planoproyectivo, (la cual nos permite decidir si dos líneas son perpendiculares endicho plano), la noción dedualidad nos deja definir intrínsecamente la tantrizde una curva" en cualquier plano proyectivo asi:1.3 Definición. A cada pimto p de una curva a en un plano proyectivo,podemos asociar el puntodualde la línea normal a la línea tangente a o* en p.Al conjimto de todos los puntos obtenidos así es lo que llamamos la temtrizde a.

(La palabra "curva" debe aparecer en comillas arriba porque en general,queremos que refiera a una subvariedad de dimensión 1 sobre el campo apro-priado. Por ejemplo, en CIP^, se necesita trabajar con curvas holomórficas

que del punto de vista real, son superficies de dimensión 2 — para que ladefinición tenga sentido.)

Dejamos al lector verificar que en , el vector velocidad &(t) de unacurva a de rapidez uno indica precisamente el punto dual al círculo máximonormal a O" en el punto o'(í). Es decir, vemos que la definición extrínsecacoincide con la definición intrínseca en el caso de 5^.

Sin embargo, la definición extrínseca hace mucho más elemental analizar lastantrices de . Por ejemplo, tenemos de inmediato lo siguiente:

TANTRICES DE LAZOS PLANOS PROYECTIVOS 31

1.4 Observación. La tantriz de un lazo inmerso en un plano proyectivo siempre da otro lazo inmerso en dicho plano.

Comentario. Estableceremos aquí el resultado en . El caso de RIP^ seguiráde inmediato, gracias a la Proposición 4.4. Aunque el resultado se tiene paralos otros planos también, solo lo citaremos aquí referente a y IRlP®.

Demostración. Una curva en 5" es inmersa si y solosi se le puede parametrízarcon velocidad no nula. Ya que t := &, tenemos que f = ¿r. La desigualdadde Cauchy-Schwarz, con la regla de Leibniz da entonces.

|f| = \<7\ > \a-a\ = |(ó-.cr)'-|á|2| = |0-1| = 1,

porque &-a —5(lo"!^)' = O. Vemos puesquetomar la tantrizdehecho aumentala velocidad. •

La Cuestión. La Observación 1.4 hace muy natural la siguiente prûnta:

Cuales curvas compactas en un plano proyectivo son tantrices deotras curvas compactas?

A pesar de su carácter elemental, el caso más sencillo — el de — nofue resuelto hasta 1991, cuando Joel Wiener descubrió la respuesta por casualidad mientras clasificaba toros planos en (W). Su descubrimiento salióde maquinaría que había construido para estudiar sus toros, y se preguntó enla misma obra si habría un tratamiento elemental. Mientras tanto, sin conocer el trabajo de Wiener, yo había encontrado exactamente tal tratamiento en1992 [S]. Presentaré este tratamiento aquí, y luego algo nuevo: la soprendentegeneralización a RP^.

Empezaremos por investigar por qué no todo lazo en es una tantriz.

§2 Obstáculos

Es fácil ver que no todo círculo inmerso en es una tantriz. Por ejemplo, lasiguiente observación indica un obstáculo:

2.1 Observación. Una tantriz no se puede quedar en una semi-esferaabierta.

Demostración. Sea t := cr la tantriz de un lazo ai [O,L] —• . Entonces

(n, T2, Ta) = (ói, 02. ^3)

como vector en R^ , y tenemos que

f T3(s) ds = f á(s) ds - a{L) —(r(0) = OJo Jo

32 BRUCE SOLOMON

Claramente, no podemos tener r3(s) > O para todo s; por tanto, r no sepuede quedar en la semi-esfera X3 > O. Por cambio ortogonal de coordenaxias,se tiene lo mismo para cualquier semi-esfera abierta. •

Lo de arriba hace obvio que muchos lazos en no son tantrices. ¿Cualespropiedades nos garantizarán que una curva sí lo sea? La clave queda en unaobservación elemental, pero apenas obvia, que presentaremos como la Observación 2.3 abajo. Primero, hay que explicar el concepto de translación paralelaen una sup0*fície.2.2 Translación paralela. Un campo vectorial X tangente a una variedadriemanniana Af a lo largo de ima ciuâ 7 se llama paralelo si y solo si laderivada covariante se anula. Cuando M está inmersa en R" , decirque = O es decir no más de que la componente tangente de la derivadasencilla, ¿X(7(f)),se anula; osea, que ^X{'y{t)) está, normal a. M en 7(4)para todo t.

La definidón arriba implica que transladón paralela preserva la métrica, enel sentido siguiente; el lector lo verificará fácilmente:

Si trasladamos dos vectores paralelmente a lo largo de una curva, suproducto escalar referente a la métrica riemanniana no cambia. Enparticular, translación paralela preserva longitudes, y ángulos entre,vectores.

Podemos ahora presentar la observación que prometimos arriba;quizás Wiener no cayó en cuenta de este hecho.

2.3 Observación. Si r es la tantriz de tr, <t se puede mirar como campovectorial paralelo a lo largo de r.

Demostración. Usaremosdos veces un hecho elemental: El vector normal unitario en cada punto p E S^ es p mismo, mirado como el vector p e R^.Lo usamos primero para notar que cr(s) está tangente a en r(s) porqueel normal allá es T,y c-rsO (r = á, y vimos en la demostración de laObservadón 1.4 que a •á = 0). Por la misma razón, la derivada Jj^(7(t))mendonada arriba aparece aquí como ô'(t(s)) = = &—t , el vectornormal a en r, como queríamos. •

2.4 Estrategia de inversión^ La Observación anterior sugiere un métodopara "invertir" una tantriz; o sea, construir, dado un lazo r inmerso en ,otro lazo o del cual r sea la tantriz. Debemos empezar con im vector unitario tangente a en algún punto de r, y entonces trasladar este vectorparalelmente a lo leu'go de r, produciendo así un campo o" en r. Por fin(aprovechándonos del hecho de que la transladón paralela preserva la longitud), miramos tr como un lazo en S^.2.5 Los dos obstáculos. Puesto que la derivada de este campo tr, por elparalelismo de tr, debe ser normal a 5^, y puesto que el normal a en cadapunto de r será ese mismo punto de r, podemos concluir que la tantriz de

TANTRICES DE LAZOS PLANOS PROYEOTIVOS 33

tr es r, exactamente como queremos. Pero a sabiendas de que todo lazo enno es una tantriz, sabemos que esta construcdón sendlla no puede siempre

fundonar. De hecho, hay los siguientes dos obstáculos:• Inmersión. La curva a asi construida pueda fallar en estar inmersa.

Vimos arriba que la derivada de a será un múltiplo de t ; si el múltiploes O , perdemos la inmersión.

• Holonomía. La curva tr así construida pueda fallar en estar cerrada.En trasladar un vector inicial paralelmente alrededor de r, nada garantiza que volveremos al punto inicial con el mismo vector.

La translación paralela preserva la métrit» (vea §2.2 arriba). Efectúa porlo tanto una isometria lineal entre los plantrs tangentes del punto inidal, y delpunto terminal, de la curva. Si la curva está cerrada, el punto inicial coinddecon el terminal, y la isometria (llamada la transformación de holonomía) queresulta en el plano tangente en ese punto, será una rotadón o una reflexión. Enuna superficie orientable como — la transformación de holonomía tambiénpreserva orientación; por lo tanto debe ser una rotadón por algún ángulo.Nt)s referiremos pues al ángulo de holonomía del lazo; es el ángulo entre lastiirecciónesinicial y terminal de cualquier campo paralelo (y no zero)en el lazo.2.6 Ejemplo. Es fácil dar un ejemplo del primer obstáculo. Sea t(í)el ecuador (eos í, sin í, 0) en . Entonces el campo constante dado por(t(í) = (0,0,1) es un campo tangente a alrededor de t, y siendo constante, es claramente paralelo. Pero como curva en , o" obviamente no estáinmersa.

Por otro lado, el ecuador es una geodésica', es decir, una curva para la cual supropio vector de velocidad está paralelo. Aquí, la velocidades (— sin í, eost, 0),y traza otra vez el ecuador. O sea, con esta escogencia del campo paralelo,vemos que el ecuador sí es una tantriz; su propia tantriz.

Más aún, se sigue de inmediato que para cualquier ángulo —7r/2 < a < 7r/2,el campo a{t) = eosa (— sin t, eosí, 0) -t- sin a (0,0,1) es im campo paralelo alo largo del ecuador, y su traza es un círculo paralelo al ecuador en S^, lacual tiene el ecuador como tantriz. Es decir, nuestra "construcción" produceun intervalo de lazos que tienen el ecuador como tantriz. Veremos que en S^,esta situación es típica.2.7 Ejemplo. El obstáculo de holonomía se puede ver en un famoso experimento fisico: el péndulo de Foucault. En este experimento, se hace oscilarun péndulo pesado, suspendido por una cuerda larga de un punto fijo y altosobre la tierra. El péndulo trata de mantenerse dentro de un plano fijo; perodebido a la rotación de nuestro planeta esférico, generalmente no puede. Seobserva que el plano vertical en el cual oscila el péndulo gira, lentamente conel pasar de tiempo, y su rata de rotación depende en la latitud donde se haceel experimento. Resulta que oscila en la dirección que sigue una translaciónparalela a lo largo de su círculo de latitud.

En particular, después de 24 horas, el sitio del experimento volverá a sulugar original, pero la dirección de oscilación del péndulo — el resultado de

34 BRUCE SOLOMON

transladón paralela alrededor del círculo de latitud — pueda cambiar. Ladiferencia constituye el ángulo de holonomía, y su importancia aquí es clara: siel ángtilo de holonomía no es un múltiplo de , la curva a que construyamospor trasladar un vector unitario a lo largo de nuestro círculo t de latitud nose cerrará. De hecho, para el ecuador (o cualquier círculo máximo), el ángulode holonomía se anula; y como vimos arriba, el ecuador sí es una tantriz. Perotodo círculo de radio O < r < 1 en 5^ tiene ángulo de holonomía dado por2ny/1 —r^ (ejercicio), y por tanto no conforma la tantriz de ningún lazo (locual ya sabíamos por la Observación 2.1, puesto que tal círculo se queda enuna semi-esfera abierta).2.8 Algunos cálculos. Para investigar los obstáculos de inmersión y holonomía, consideremos un campo vectorial unitario o"(í) a lo largo de una curvat(í) de rapidez 1 en . Fijémonos en la función <t> que mide el ángulo entreo"(í) y —r(í) para cada í en el intervalo de parametrización. Dado que r(í)y f'(í) son siempre ortonormales, podemos definir un vector normal canónicoa lo largo de r: u{t) = T(t) x f(t). Usamos aquí la orientabilidad de 5^.Podemos pues caracterizar el ángulo <!> por

a(t) = —cos^(í)f(í) + sin0(í)i^(í)

Ahora esfácil calcular, usando los hechos elementales

... ^ ^ I -12 /\

= 25!''' "f • T = —1

(la demostración de la Observación 1.4 implica la última identidad) que

<7 = (<¿ —Kj)(sin -h COS0I/) + eos <t>T (2.9)

donde Kg da la curvatura geodésica de r, definido así:

Kg := f-u — —f-ú (2.10)

§3 Tantrices en 5^. Conclusiones

La ecuación (2.9) nos dice mucho. En primer lugar, el paralelismo del campocr a lo largo de r requiere que V^cr — la componente de & tangente a—seanule. Estacomponente es (<¿ —«g)(sin <í>f + eos<pu), la cualse anula siy solo si i> = Kg . Tenemos por tanto la siguiente observación:


3.1 Observación. Sea r(í) una curva en de rapidez I. Entonces uncampo vectorial unitario a a lo largo de r estará paralelo sil satisface é = Kg,donde <t>{t) da el ángulo entre a{t) y —f(t).

Note ahora que si r : (O, L] —> S® esta cerrada, y queremos lo mismo dea, es decir, que (t{L) = tr(0), entonces necesitamos que 4>{L) = <^(0), módulo2n. Pero la Observación 3.1 da

(Í){L) —(í>(0) —f ^dt = f Kgdt (3.2)Jo Jo

La última integral se llama la curvatura geodésica total de r (lo escribiremosctg(r) ), y la ecuación (3.2) establece que ctg(T) da su ángulo de holonomía.En consecuencia, deducimos una Proposición que resuelve el problema de holonomía:

3.3 Proposición. La translación paralela de cualquier vector unitario alrededor de un lazo r en produce una curva <r cerrada en S® sil ctg (r) = Omódulo 27r.

Esta proposición produce lazos cerrados, pero generalmente no estarán inmersos; todavía nos toca averiguar si, a lo menos para algún campo unitarioparalelo, obtendremos un lazo inmerso. De nuevo, la ecuación (2.9) resuelvael problema: Para que cr este inmerso, recuerde, necesitamos que á nunca seanule. El paralelismo requiere que la componente tangente sí se anule; queremos pues que la componente normal jamás se anule. Por la ecuación (2.9),esta componente viene dada por (eosó) t , lo cual se anula si y solo si ó asumeimo de los valores , módulo tt . En otras palabras,

3.4 Observación. La curva a C que resulta de la translación paralela deun vector unitario a lo largo de otra curva T C estará inmersa sif el ánguloentre a(t) y —f{t) se queda siempre estrictamente entre —7r/2 y 7r/2.

En particular, la oscilación del ángulo ó — la diferencia entre su máximoy mínimo en r — debe ser menor que tt para que 4> permanezca siempre en(—f, f) . De hecho, esta condición necesaria es también suficiente para garantizar que podemos superar el obstáculo de inmersión. Para ver eso, observemosprimero que la ecuación (3.2) da la diferencia entre (f> en los terminales del arcor([a, 6)) (0<a<b<L) como ctg (t([o, i»])).3.5 Definición. Definimos pues la oscilación de 4> sobre r como el valor absoluto del máximo de todas tales diferencias. Llamando a cualquier tal T((a,b])un sub-arco de r, definamos entonces

ose <pr := sup I ¿g dsj :7es un sub-arco de r|Note que ose <í>t está bien definido a pesar de que la función 4> solamente estádeterminada módulo una constante. De hecho, podemos claramente escoger talconstante, si osc<¡>r < ir , para que <^(í) siempre sequeda en (—|, |). Por lotanto, tenemos la siguiente proposición;

36 BRUCE SOLOMON

3.6 Proposición. Sea t : [a, 6] —» una curva inmersa en . Existe unvector unitario ctq tangente a 5® en T(a) tal que translación paralela de uqa lo largo de t traza una curva a : [o,6] —» inmersa, sii ose <t>r Kx .

Finalmente, combinando las últimas dos proposiciones, entendemos completamente cuales lazos en son tantrices de otros lazos en 5^ :

3.7 Teorema. Un lazo t inmerso en es la tantriz de otro lazo a inmerso

en sii oBc4>r <ir,y ctg(T) = O.

Demostración. Para que a sea inmerso, la Proposición 3.6 requiere queosc(f>r < TT. Para que a sea cerrada, la Proposición 3.3 requiere que ctg(r)sea múltiplo de 27r. Si parametrizamos t sobre el intervalo (O,i], podemosmirar r[0,L] como sub-arco de t, así que |ctg(T)l < osc0r . El Teoremaahora se sigue, puesto que el único múltiplo de 27r menor que tt es 0. •

3.8 Comentario. Bajo los hipótesis del Teorema, es fácil deducir, de hecho,que existe un intervalo de lon^tud tt —ose > O» cada punto del cual corresponde a un lazo a inmerso en que tiene r como su tantriz. Vimoseste fenómeno (con tt —ose= tt en el Ejemplo 2.6). Por otro lado, encontraremos que en iEíff®, habrá solamenteun lazo a que "invierte" al lazo r, siT es homotopicamente ?io-trivial.

Como mencionamos antes, el Teorema 3.7 era desconocido hsista 1991 (WJ.Por otro lado, un corolario del resultado se conocía hace cien años, bajo elnombre "Teorema de Jacobi". Este resultado aparece hoy en día en varioslibros populares de geometría diferencial (Ch], (DoC), [Sp].3.9 Corolario (Teorema de Jacobi). El vector normal principal de un lazo enK® con curvatura k > Otraza una curva cerrada en que, si está encajada,divide en dos pedazos deáreas iguales.

Demostración. Sea 7 un lazoinmerso en R® con rapidez 1. El vector normalprindpal n, y la curvatura k de 7, están definidos por la sencilla relaciónt = Kn, donde t := 7 es el vector velocidadde 7. Vemosde inmediato que ndescribe la tantriz del lazo en trazado por t, y por lo tanto, su curvaturageodésica total se anula, por el Teorema. Más aún, estando encajada en laesfera, n la divide en dos regiones, y conforma la frontera orientada de una deellas, digamos íí. La curvatura de Gauss de se iguala constantemente a 1,asíque podemos calcular el área |íí( de Í2 de la manera siguiente:

|fi| = í KdA = 2n- í Kgds = 2ir-O =Jn Jan 2

por el Teorema de Gauss-Bonnet. •

Se puede decir más acerca de tantrices en . Por ejemplo, un lazo ysu tantriz siempre pertenecen a la misma clase de homotopía regular en ,donde hay dos de tales clases. (Dos curvas inmersas en una variedad son


regularmente honiotopicas si y solo si se pueden deformar la una a la otra porcurvas inmersas.) Referimos al lector al artículo [S] para detalles al respecto.

§4 Taiitrices en RP®

El plano proyectivo RP^ es la variedad de todas las líneaspor el origen en R'.Cada una de estas línea intersecta la esfera en un par de puntos antipodales;podemos pues mirar RP'"^ como cociente de la esfera por él grupo Z2 generadopor la aplicación antipodal: RP^ := • Denotemos por 11 la proyeccióncanónica

n : 5=^ Rp2 n(x) := {±x} (conjunto de dos puntos).

Por insistir que 11 sea una isometria local, determinamos la métrica canónicaen RP' ; localmente, RP^ y son los mismos. Pero al pesar de esta semejanza local, la clasificación de tantrices en RP^ resulta ser bien diferenteque en por razones globales: Rp2 tiene lazos que no son homotopicamentetriviales. Elste fenómeno no ocurre en , y produce resultados soprendentesreferente a las tantrices en RP® .4.1 Clases de lazos en RP^. La relación Rp2 := ¡1.2 implica que elprimer grupo de homotopía de Rp2 es Z2: 7ri(Rp2) = Z2- En particular,RP2 tiene comosu cubierta universal, y enconsecuencia, existe unarelaciónestrechaentre las curvas de las dos superficies. Vemos también que RP^ poseeexactamente dos clases de lazos en el sentido de homotopía; los lazos triviales,y los no-triviales.

Un lazo se llama trivial si y solo si se lo puede deformar continuamente a unlazo constante — un punto — en RP®. La teoría básica del grupo fundamentalnos advierte que los lazos triviales son precisamente los que podemos levantara lazos en :

Se puede levantar cualquier lazo a trivial en RP2 a un lazo cren 52 . O sea, para cada a C Rp2 trivial, existe un lazo ñ Gtal que Yloñ = a.

Los lazos no-triviales, por otro lado, son los que no son homotopicamenteconstante en RP2, y no se pueden levantar a lazos en 5®. No obstante, elhedió de que 7ri(Rp2) = Z2 implica lo siguiente.

Dos veces cualquier lazo no-trivial r conforma un lazo trivial (quedenotaremos por r^) el cual se levanta a un lazo impar ff C .O sea, UoTT = , y TT es invariante bajo la aplicación antipodalde 52.

Más explícitamente, cuando r : [O, L] —> Rp2 es un lazo, t2 : [0,2Ll -denota el lazo definido por

t2(í -i- L) := t(í) siempre que O< í < L

38 BRUCE SOLOMON

y el hedió que tt es impar signífíca que

rT(t + L) = —rr(í) cuando O < t < L.

4.2 Curvatura geodésica en . Como en , la curvatura geodésica llevará un papel muy importante en el análisis de tantriccs en IRIP^ . No obstante,debido a la falta de orientación global en RJP^, una diñcultad surge: No sepuede deñnir de manera canónica el vector normal unitario t/ a lo largo de unacurva. Consecuentemente, la ecuación (2.10) que usamos para definir Kg en

Kg := f-u

es ambigua. Cualquier arco abierto en RP^ (por ejemplo, cualquier lazo menosun solo punto) posede dos campos normales unitarios y continuos — uno elopuesto del otro, pero a diferencia de , RP^ no "prefiere" uno de ellos. Sinembargo, por escoger un tal campo como v, la definición de Kg arriba si nosda una función a lo cual podemos llamar la curvatura geodésica del arco.

Obviamente, el signo de esta fundón Kg en un punto no nos dice nada; lopodemos cambiar simplemente por escoger el normal opuesto. En particular, laintegralde Kg sobre un arco abierto solamente está definida módulo un signo.Quitaremos esta ambigüedad, pues, definiendo la curvatura geodésica totalde un arco 7 abierto en RP' por el valor absoluto de la integral:

ctg(7) := IJ Kgds^ en RP^

Afortunadamente, la oscilación osc<p que definimos en §3.5, claramentesigue teniendo sentido para lazos en RP^, justo como antes; aún para lazosno-triviales, podemos calcular la curvatura geodésica total de cada sub-arcoabierto.

De hecho, puesto que podemos definir un campo normal continuo en un lazor trivial en RP^, podemos definir ctg(r) en tales lazos también. Pero notebien: en un lazo r no-trivial, ctg (t) no se puede definir bien! Claro que porquitar un punto p de tal lazo, obtendremos un arco abierto, y ctg(r —{p}) síestará bien definida. Pero el lector puede verificar que este numero dependeráen el pimto p que se quita.*

En consecuencia, para estudiar un lazo r no-trivial en RP^, levantaremossu doble, a 5^, obteniendo allá un lazo rr impar. Necesitaremos pues elsiguiente lema referente a curvas impares en .

4.3 Lema. La curvatura geodésica kg de una curva impar en es tambiénimpar. O sea, si p pertenece a tal curva, entonces —p también le pertenece, y

kg{—p) = ~bg{p) .

*Por otro lado, al lector tal vez le gustará mostrar el siguiente hecho interesante:sup {ctg(r - {p}) : p € T } = oseÓt

tantrices de lazos planos PROYECTIVOS 39

Demostración. Suponga que 7 : (—e.e) —♦ pareimetriza un pedazo de talcurva cerca de p —7(0). Entonces —7 la parametriza cerca de —p. El resultado ahora se sigue dirertainente de la definición (2.10): /tg := 7-»/. Ebcplid-tamente, en —p, la actíleración de la curva viene dado por (—7)"(0) = —7(0),mientras que . (-7)(0) x(-7)'(0) = 7(0)x7(0) =„(p). Tenemos pue^

P) —{ 7(0)) • '•'(7>) —~' g{p), como queríamos. •

Por fin, podemos pasar al análisis de tantrices en RIP^. Empezemos con laobservación de que la proyección canónica 11: —> RP® "conserva tantrices":

4A Proposición ( FI conserva tantrices). Sean á y f curvas inmersas enSr. Sean <t := fl o ó-, 3- r := n of sus imágenes en RP®. Entonces r será ¡atantriz de a en RP® sii ±f es la tantriz de ñ en S®.

Demostración. La tantriz de tr = n od en RP® es, por la Definición 1.3," elconjunto de puntos duales a ltnea.s normales a a. Para aplictur esta definición,recordemos primero que un punto p € 5® ysuimagen n(p) € RP® representanima línea en R^ la misma línea, con osin orientación respectivamente. Una

^ of-ro lado (es decir, un círculo máximo), y su imagen n(7) €RP^ , representan un conjunto de líneas (orientadas ono, respectivamente): lasque pasan por el origen en algi'm plano de R®. Con esto en mente, es fádlverificar quela proj'ección O : S® —t RP® tiene las tres siguientes propiedades:

• Lineas en é)® (i.e., circuios máximos) corresponden por n olineas en RP®.

Osea, si 7 C S® es un círculo máximo, entonces 11(7) es una línea en RP®,y vice-versa: Si Ac RP® es una línea. 11"^ (A) C 5® conforma un círculomáximo.

El hecho de que FI e.s una isometría local implica de inmediato la segundapropiedad;

• n conserva ángulos — y en particular, ortogonalidad —entrearcos que se intersectan.

Finalmente, puesto que un punto en RP® es dual a una línea si y solo si lalínea y el plano a que corresponden en R^ son ortogonales, tenemos que

• n conserva la relación de dualidad entre un punto y una línea,módulo signo.

Más precisamente, tenemosque cuando p € 5® esdual a uncírculo máximoorientado 7 C 5'®, entonces 11(p) será dual a 0(7) en RP®. El converso, porotro lado, se obtiene módulo signo, lo cual produce la ambigüedad de signo enla frase final de la Proposición: Si p 6 RP® es dual a una línea AC RIP®,entonces O ^(p) contendrá dos puntos antipodales, ±<7, en 5®, solamenteuno de los cuales será dual al círculo máximo 11"'(A) C 5®, dependiendo dela orientación que demos a este círculo.

Vemos pues que O respeta líneas, ortogonalidad, y dualidad —precisamentelos conceptos que caracterizan tantrices. La demostración se sigue ahora deestos hechos; dejamos los detalles al lector. • v

40 BRUCE SOLOMON

La proposición anterior puede sugerir que no encontraremos nada enque no hayamos visto ya en 5® — pero no es así. El caso (ii) del teoremasiguientenos mostrará que loslazosno-trivialesen presentan un fenómenono previsto:

4.5 Teorema. Un lazo r inmerso en será la tantriz de otro lazo en RP^sü

(i) T es bomotopícamente trivial, osc^r < , y ctg (r) = O, o(ii) T es bomotopícamente no-trivial y ose <j>T < tt .

Lo soprendente aquí es que la condición osc<^t < tt basta en el caso no-trivial; a diferencia del caso trivial, no se necesita ninguna otra hipótesis.

Demostración. El caso (i) se sigue de inmediato de la Proposición 4.4, y delhedió de que todo lazo trivial en RP^ se levanta a im lazo en 5^, como sediscutió en §41. Nuestra teoría de tantrices de lazos en 5^ implica entonceseste caso.

Nos toca pues estudiar el caso (ii). Por el resto de la demostración, entonces, T: (O, L] —• denotará im lazo no-trivial, inmerso, y sin perdida degoieralidad, con rapidez 1.

Es fácil establecer la necesidad de la condición osc^r < 7r en caso (ii) delTeorema. Suponga que t conforma la tantriz de algún otro lazo <7 inmersoen RP®. Entonces (r recorrido dos veces) obviamente conforma la tantrizde <7^, y ambos son triviales. Podemos pues levantar y a curvas rry óó en , las cuales serán lazos inmersos: lazos por la trivialidad dey <7^, e inmersos porque y <7^ están inmersos, y IT es una isometríalocal. Más aún, la Proposición 4.4 nos dice que ifr será la tantriz de aá,así pues nuestra conocimiento de tantrices en (Teorema 3.7) implica queosc<j>^ < TT. Puesto que todo sub-arco de r es la imEigen, por II, de un süb-arco de ff, se sigue de inmediato que ose <(>r < ir, y tenemos así la necesidadde esta condidón, como queríamos.

Nos toca luego mostrar la suficiencia de la misma condidón: que siosc(f>T <ir, T da la tantriz de algún otro lazo <7 en RIP^ . Para ver esto, levantamos de nuevo el doble lazo : [0,2L] —* RP^ a un lazo ff en . Comodiscutimos al final de §4.1, fr será impar en — tendremos ff = —rr. Loque queremos deducir de esto es, que ff conforma la tantriz de otro lazo aáimpar en . En tal caso, se proyectará (por II) a un lazo <7^ C RP^quedeberáser dos veces un lazo a C RP^. Tendremos pues por la Proposición4.4 que es la tantriz de a® en RP^, y esto claramente implica que r serála tantriz de a. Así obtendremos la sufidencia que queríamos.

En otras palabras, nos queda ahora dedudr que ff es la tantriz de un lazoimpar en 5^. El Lema 4.3 da el clave: que la curvatura geodésica Kg de ffesimpar. Enprimer lugar, estehedió implica que ff sí es una tantriz, porqueestablece las dos hipótesis del Teorema 3.7 sobre tantrices en . Establece

TANTRICES DE LAZOS PLANOS PROYECTIVOS

que ose <f>^ <tt , porque si escribimos í para f , tenemosJa JfT([a,l^)

Orb-L pa+L \ .b-L. *Ll + lOrb-L ra+L rb—L \1 "7.-. -/ j

— / Kg{s)dsJb-L

Puestoqueo rr((a,6j) o TT{fb—L,a+L\) tiene longitud menor oigual que £1y por tanto se proyecta isometricamente a im sub-arco de t C RP^ Por ^nuestra hipótesis osc^,. < tt implica también que osc^y? < ir.

Aún más fácil, la imparidad de Kg en ff implica que ctg(ff) =0:

j^Kgds = Kg{s)ds -f j Kg{s)d3—f Kg{s)ds H- f kg{s +lj]'ds-

Jo Jo

41

Resulta pues por el Teorema 3.7 que ff será la tantriz de un lazo en 5®—y de hecho de un intervalo abierto de tales lazos, según el Comentario 3.8.Nos queda entonces mostrar que alguno de ellos es impar.

Para hacer eso, consideremos la única antiderivada <f>* de Kg tal que supromedio J~ <j>*ds se anula. E)sto lo podemos lograr sustrayendo derta cons-tante de cualquier antiderivada <t> (existen tales antiderivadas de Kg porqiwctg(TT) = 0). La antiderivada d* será entonces ima función impar en(como Kg ) porque primero,

^ (</•"(«) +<^*(s +L)) = Kg(s) +Kg(s +L) =Oasí que + (í>*{s + L) = c, una constante. Como el promedio de <p' seanula, podemos concluir que c también se anula, porque

1 1 1 1 „

LJo ^ zj + + " l/o = L

yJM, •

42 BRUCE SOLOMON

Luô, note que la imparidad de implica inf *sup<^* —inf = OSC0* = osc4>Tf < 'T1 deducimos pues

Isup <^*1, linf (/•*! < -

= —supd»'. Ya que

(4.6)

Para completar la demostración,' "invertiremos" rr con la siguiente curva55 C S^:

áá{t) := —cos0*(í) (ff)'(í) + .

Aquí ffr(í) := ^(0 ^ el vector normal canónico en Tr(í). Puestoque <¡>*, TT y son periódicos con período 2L, vemos de inmediato queffá es un lazo en . Combinando el estimativo (4.6) con la Observación3.4, vemos que aá está también inmerso en 5^. Y, desde que 0' = Kg a lolargo de ff, la Observación 3.1 nos dice que áá representa un campo paraleloalrededor de fr, así que la tantriz de aá en será rr. Finalmente, puestoque las fimdones sen, <l>*, ff, y por tanto, (ff)', son impares, mientras(el producto cruz de dos (imciones impares) y la función eos son pares, el lectorconfirmará sin problema ahora que ío" es un lazo impar con tantriz igual aff. Como discutimos arriba, esto implicael resultado: aa se proyecta (2 a 1)a un lazo a con tantriz igual a t . •

4.7 Comentarios finales. Note que, sin otra hipótesis, " ose (pr < tt" es unacondición abierta. El Teorema pues implica que una tantriz no-trivial siguesiendo una tantriz cuando la perturbamos un poco. No se tiene eso en , nien el caso trivial en SEP^, porque la hipótesis ctg (r) = O generalmente no seconserva bajo perturbaciones.

Por otro lado, tenemos unicidad del "inverso" de una tantriz no-trivialen IRP®. O sea, cuando r es un lazo no-trivial, y oscí^t < 7r, habrá uno,y solamente un, lazo a C que tiene r como su tantriz. Eso se puedever por la demostradón arriba: Si reemplazamos 4>* allá con cualquier otraantiderivada <^* + C destruimos la imparidad de 55. Por ejemplo, el lectortal vez le gustaría mirar que pasa si tratamos de proyectar el Ejemplo 2.6 aKp2: un medio del ecuador se proyecta a una línea (una curva cerrada) enRp2, pero un semidrculo paralelo al ecuador (con radio r < 1) no se proyectaa una curva cerrada. Compare también esta situación con la que discute elComentario 3.8 en referenda a .Agradecimiento. Por último, quisiera agradecer a los organizadores de laIII Eûela de Verano, y en particular a los profesores José EJscobar y JaimeLesmes, por la invitadón. Agradezco también a Oscar Mario Perdomo y aSonia Ramírez por las correcdones del español de este artículo.

Referencísis

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(CW) S-S. Chern and J. G. Wolfson, Minimát surfaces by movingfrumes, Amer. J. Math.105 no. 1 (1983). 59-83.

(OoC| M. P. DoCarmo, Differential Geomelry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall Inc.,Englewood CU ITs, NJ. 1976.

(GP| V. Guilletnin and A. Pollack. Differential Topotogy, Prentice-Hall Inc., EnglewoodCliñs, NJ. 1974.

[S] B. Solonion. Tanlrtces of Spherical Curves, MAA Monthly 103 no. 1 (Januaiy 1996),32-41.

(Sp) M. Spivak, A Comprehensive Introduction ta Differential Geometry,Volume III, Pubüsh or Pcrish, Boston, MA, 1975.

[VV] J. L. Weiner, Fíat tori in and their Gauss maps, Proc. London Math. Soc. (3) 62no. 1 (1991), 54-76.

Bruce Solomon


Indiana Universitv

Bloomincton, in 47405-5701USA

e-mail; soloroonQucs.indiana.edu





Universidad de los Andes, SO a 30 de junio de 1995

páginas 45-51

Ecuaciones diferenciales

elípticas semilineales

Alfonso Castro^

University of North Texas, USA

Abstract. We discuss the existence of solutions to boundary valué problema.We emphazise the bifurcation aspeets of the set of solutions.

Resumen. Se presentan resultados sobre la existencia de soluciones para problemas de frontera elípticos. Se enfatiza el punto de vista de la bifurcación.

El prototipo de un problema semilineal elíptico es la ecuación

Au + A/(u) = O en íí

í (1)u = O en 5ÍÍ,

donde íí es una región acotada en cuya frontera esunavariedad suave, Aes el operador de Laplace, A>Oy/:R—tRes una función de clase talque /(O) =0. . A

Un caso muy sencillo es cuando /(u) = u, el caso lineal. Este es conocido'como problema de valores propios. En este caso resulta que el conjunto desoluciones de (1) consiste de {(A, 0);A> 0} junto con los valores propios y losvectores propios de —A. Los valores propios, valores de Apara los cuales (1)tiene soluciones distinta de u = O (funciones propias), forman una sucesión

^ Esta investigación ha sido apoyada parcialmente por COLCIENCIAS (contrato No. 168-93).

45

46 ALFONSO CASTRO

Al < A2 < ••• < An... que tiende a infínito. Es decir que podemos visualizardicho conjunto através de la fígura 1.

Al Aa-

Figura 1

Cuando el caso es unidimensional, es decir cuando Í2 esun intervalo, digamosel intervalo [0,1] el conjunto de soluciones de (1) puede ser determinaxio si sesaben algunas propiedades más de f. Porel ejemplo si /'(O) = 1, / es crecientey f es superlineal, es decir si

lim f'{u) = +00|li|—♦00

entonces el conjunto desoluciones correponde a la figura 2.

(2)

ECUACIONES DIFERENCIALES ELIPTICAS SEMILINEALES 47

Figura 2

Por ejemplo de ésta figura se concluye que si / es superlineal entonces paracada A > O el problema (1) tiene infinitas soluciones. Más aún, si

lim f'{u) = f'{oo)luí—00

(3)

entonces las soluciones corresponden a la fígura 3. De esta última figura, porejemplo, se puede concluir que si

/'(O) < Afc < Aj < /'(oo),

entonces la ecuación (1) tiene por lo menos 2{j —k) +1 soluciones. Las figuras2 y 3 persisten aún cuando íí es una bola en y se consideran solamentelas soluciones radiales, solo que además es preciso suponer que / crece de manera subcrítica. Es decir, es preciso suponer que existen constantes A > Oy

P ^ 1|/(u)| < dduj"-»-!). (4)

4S ALFONSO CASTRO

Ai//'oo Aa//'(^)

Afc A

Figuras

Sin embargo si f(u) = (AT > 3) y íí es una región en forma deestrella, por ejemplo ima bola, entonces para cada A la única solución de (1)es tí = 0. Este interesante fenómeno, descubierto por el matemático soviéticoS. I. Pohozaev (véase [11]), motiva muchas preguntas que a las que se las hadedicado una buena cantidad de esfuerzo en los últimos veinte años. En [7]y [12] se demostró que cuando A/(ti) es reemplazado por Atz + |tí|'*''(^~^'tientonces el conjimto de soluciones de (1) también corresponde a la ñgvua 2 siN > 7. Quedó entonces la pregunta: ¿Qué pasa si N E {3,4,5,6}? Aunquesería fádl conjeturtur que la respuesta debería ser lo mismo que para iV > 7, F.Atkinson, H. Brézis and L. Peletier (véase [1]) demostraron que este no es elcaso, y más aún que N = 3 se comporta de manera diferente a iV = 4,5,6. Enefecto se demostró que para TV = 4,5,6 se tiene la gráifica continua de la figura4 mientras que para TV = 3 se tiene la gráfica ptmteada de la misma figura.

ECUACIONES DIFERENCIALES ELIPTICAS SEMIUNEALES 49

ll"IL

•/ ^ i :7^k

Aa-i

Figura 4

Ya que los argumentos de [1] sólo usan d análisis de las soluciones pequeñasy el de las soluciones muy grandes, quedó la pregunta de si para 3 < TV < 6la ecuación (1) tiene un número finito de soluciones. Vale la pena anotar quepara el mismo problema, cuando es reemplazado por un número mayor.

N-2

entonces hay valores de Apara los que el problema(1)tiene infinitas soludonesradiales (véase [2]). Sin embargo en [4] se demostró que para TV = 3,4 paracada A hay solo un número finito de soludones radiales. En [5], [6] ademássedemostró que para TV = 5,6 y A fijo hay una única solución grande. Quedaentonces el problema abierto de si para TV = 5,6 haysólo un número fímto desoludones. De hecho para el caso de las soludones que cambian de signo hcypor hoy se tiene muy poca información.

Hasta ahora nuestra discusión se ha restringido al caso radialmente simétrico.Cuando TV > 1 y la región no es una bola, o un anillo, se tienen aún muchasincógnitas. Se sabe que cerca de los puntos de la forma (Afc//'(0),0) hay soludones no triviales (puntos de bifurcación local). Sin embargo, la forma exactay la propagación de tales conjimtos de soludones es desconoddo. Sabmos sí

50 ALFONSO CASTRO

que las solucionesque se acumulan en (Ai//'(0), 0) forman un continuo no acotado que no se acumula en ningún otro punto de bifurcación local (véase fígura5). Sin embargo, los contraejemplos de Dancer [10] sugieren que hay continuosde bifurcación que unen puntos de bifurcación local.

II«IL

AfcA ./A,

Figura 5

Los continuos de soluciones que provienen de (Ajt//'(O), O), k > 2 corresponden a soluciones que cambian de signo. Entender bien estos últimos continuos es entonces equivalente a entender las soluciones de (1) que cambiande signo. A este respecto, por ejemplo, se plantea la siguiente problemática.Con hipótesis adicionales, si / es ^perlineal entonces (1) tiene una soluciónque cambia de signo si A/'(0) < Ai (véase [3]). Aunque creemos que estassoluciones deben ser parte del continuo que se bifurca (A2//'(0),0), esto no seha demostrado a la fecha. Responder esta pregunta seguramente ayudará ademostrEn" que en realidad, en el caso superlineal, el problema (1) debe tenerdos soluciones que cambian de signo exactamente una vez.

Referencias

[1] F. Atkinson, H. Brézis & L. Peletier, Solutions d'éguationa elliptiques avec exposant de

ECUACIONES DIFERENCIALES ELIPTICAS SEMILINEALES 51

Sobolev critique que changent de signe, C. R. Acad. Sd. París Sér. I Math 306 (1988),711-714.

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Alfonso Castro

Departmbnt of Mathematics

University of North TexasDentón, TX 76203-5116

USA

e-matl: [email protected]



Ecuaciones Diferenciaies Parciales

y Análisis Numárico

Universidad de los Andes, SO a SO de junio de 1995

páginas 53-59

Múltiples soluciones para unproblema elíptico semilineal

Jorge Cossio'

Universidad Nacional, Colombia

Abstract. We prove that a semilinear elliptic boundary valué problem has atleast four solutions when the range of the derivative of the nonlinearity includesat least the ñrst two eigenvalues. Extensiva use is made of the global bifurcationtheorem, bifurcation from infinity, and bifurcation from simple eigenvalues.

Resumen. Se demuestra que un problema eb'pticosemilinealcon condidán defrontera de Dirichlet tiene al menos cuatro soluciones cuando el rtpigo de laderivada de la no linealidad incluye al menos loa dos primeros valores propios.En la demostración se usan, de manera esencial, los teoremas de bifurcaciónglobal, de bifurcación en el infínito y de bifurcación en un valor propio simple.

§1 Introducción

En este artículo se estudia la existencia de múltiplessoluciones para elproblemaelíptico semilineal

Au + fiu) =0 en íí(1)

u = O en dí2,(' Elsta investigación ha sido apoyada parcialmente por COLCIBNCIAS (contratoNo.

168-93)

53

54 JORGE COSSIO

donde íí es una región acotada en R" cuya frontera es una variedad suave, A esel operador de Laplacey /: R ^ R es una función de clase tal que /(0) = O,Xf{x) > OVa: € R —{0} y

/'(oo) := lim|u —oo

f(u)U

La existencia de soluciones al problema (1) ha sido ampliamente estudiadapor muchos autores (ver [1], [2], [3], (4], [5j, [6], (9), (10], jll]). A. Castroy J. Cossio en [3] estudian la existencia de soluciones en el caso radialmentesimétrico cuando el rango de la derivada de la no linealidad incluye al menoslos primeros j valores propios y Í2 es la bola unitaria en R"; allí se empleantécnicas de teoría de bifurcación y se utiliza el hecho de que la ecuación (1)en el caso radialmente simétrico se reduce a una ecuación diferencial ordinaria.

Los mismos autores estudian el problema (1) en [4], cuando Í2 es un dominioacotado en R'', el rango de la derivada de la no linealidad incluye al menos losdos primeros valores propios y la derivada de la no linealidad está acotada; allíse utilizan técnicas variadonales y teoría de grado para demostrar la existenciade soluciones. Sea Ai < A2 < A3 < •• • < Afe < ... la sucesión de valorespropios de (—A) con condición de frontera de Dirichlet. El objetivo principalde este artículo es demostrar el siguiente teorema.

Teorema. Si O< /'(O) < Ai, A2 < /'(oo), A2 es un valor propio de multipíici-dad impary /'(oo) < Aj (donde Xj es el siguiente valor propio distinto de X2)entonces el problema (1) tiene al menos cuatro soluciones.

A diferencia del teorema principal de [4], el teorema anterior no depende delacotamiento global de la derivada de la no linealidad. El teorema se demuestrautilizando solamente técnicas de teoría de bifurcación; en la prueba se hace usointensivodel teorema de bifurcación global (ver [12]), del teorema de bifurcaciónen el infínito (ver [12]) y del teorema de bifurcación de un valor propio simple(ver [7]).

§2 Demostración del teorema

Presentamos a continuación las ideas centrales de la demostración del teorema.

Los detalles de la prueba se encuentran en [8]. Consideremos el problema másgeneral

Au + Xf(u) =0 en íí(2)

1/ = O en 3Q,{donde A € R es un parámetro. Sea E el espacio de Banach de funcionesen (íí) que satisfacen u = Oen Síí. Sea J la clausura en R x E del conjunto desoluciones no triviales del problema (2). Como Ai es un valor propio simple de

-A, (-^ . 0) y ' °°) puntos de bifurcación de (2) (ver [7] y[12]).

MULTIPLES SOLUCIONES PARA UN PROBLEMA ELÍPTICO SEMILINEAL 55

Denotemos por (respectivamente, Pj ) la componente conexade solucionesno triviales de (2) que se bifurca de (j7^ >0) YQue contiene elementos dela forma (A, r<pi + i/'(r)) con r > O (respectivamente, con r < 0), donde ¡pies la función propia correspondiente al primer valor propio Ai. Denotemospor GJ (respectivamente G^) la componente conexa de.soluciones no triviales

de (2) que se bifurca de ( , 00) y que contiene elementos de la formaf (00) '

(A, Tipx + t/'(r)) con r > O(respectivamente, con r < 0). Utilizando el principiodel máximo de Hopf y el teorema de la vecindad regular, se demuestra elsiguiente lema que nos permitirá estudiar las ramas de soluciones del problema

(2)-Lema.

du(a) Si (A, u) E entonces u>Oenííy — <Oen dSl.

£(b) Si (A,u) € Fi entonces u<0 en Í2y — >Oen dSi.OT)

Como A2 es un valor propio de multiplicidad impar, ( , , 00)

punto de bifurcación de (2). Denotemos por GJ la componente conexa desoluciones no triviales de (2) que se bifurca de (—Í2_ ^©o). Para demostrar

/'(oo) 'el teorema, probaremos que los conjuntos Fi", F^ y G2 contienen cadaunouna solución al problema (1). Estas 3 soluciones junto con la solución tnvialnos proporcionan el resultado. Probemos que FJ" = Gj". En efecto, por elteorema global de bifurcación (ver [12]) Fj" contiene un punto de la forma

, 0) donde p ^ Xi y fi es un valor propio de —A o Fj" es no acotada.Supongamos que FJ" contiene un punto de la forma »0) donde X\y p es un valor propio de —A. Usando argumentos de Lyapunov-Schmidt sedemuestra que si (A, u) 6 Fj" y (A, u) pertenece a una vecindad de (suficientemente pequeña, entonces u es una función oscilatoria en íí, lo cuales una contradicción, ya que por el lema anterior ti > O en íí siempre que(A, ti) € F^. Luego Fj" es no acotada en R x E. Sea {(A„,tin)} unasucesiónen FJ" tal que ll(A„,tin)]l¡j,,£ —» oo. No es diñ'cil danostrar que el conjunto{A„} es acotado en R, más precisamente.

es un

< A„ < ¿ia

O < A„ < — Vn E N, donde a es una constante positiva.

Tenemos entonces una sucesión {(A„.ti„)} de soluciones del problema (2) tal

que sup A„ < 00 y lim l]ii„ll - 00. Sea t;„ = rr—• Por el Teorema deJi—oo IJunllArzelá-Ascoli podemos encontrar una subsucesión {(A„,t»„)} tal que A„ —• AyVn V. Como (A„, ti„) es una solución de (2) entonces

Atin + An/(tin) =0 en íí.

58

Si hacemos ti

JORGE COSSIO

entonces (l,ti) € G^- De donde se concluye que

contiene otra solución al problema (1). Lo cual concluye la demostración delteorema. •

Nota. En la prueba del teorema anterior se obtiene una descripción de los dosposibles diagramas de bifurcación del problema (2), los cuales se muestran enlas ñguras 1 y 2.

(11

[2]

[3]

[4]

¡•ico) J'ico)

Figura 2; Diagrama de bifurcación para el problema (2).

Referencias

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MULTIPLES SOLUCIONES PARA UN PROBLEMA ELÍPTICO SEMILINEAL 59

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Jorge Cossio

Departamento de MatemáticasUniversidad Nacional

Apartado Aéreo 3840, MedellInColombia

1.1^

n- 'W

. «.I i*.

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Universidad de los Andes, SO a 30 de junio de 1995

pajinos 61—73


Rafael José Iório, Jr.Felipe Linares

IMPA, Brazil

Márcia a. G. Scialom

IMECC, Brazil

§1 Introduction

The purpose of this article is to apply some "oíd" methods to some "new"problems. By "oíd" wemean methods that were developed and used during theseventies and eighties and that work rather well "under the Sobolev Barrier .A little more precisely, we want to use these methods to solve the CauchyProblem

dtu = F{t, u) ^ X

u(0) = tpe Y (1-1)

in certain cases of interest which will shortly be described. Here X and Yare Baneich Spaces and F : (0,To] x y —• ^ is continuous with respect to therelevant topologies (this requirement can be weakened; see for instance [ll])-In practice one often takes X and Y to be L^-based Sobolev Spaces, which wedefine below for completeness' sake. What we mean by working "under theSobolev Barrier" is taking s large enough so that one can make sense of the

62 JOSE lORIO, FELIPE LINARES & MARCIA A. G. SCIALOM

nonlinearity rather easily tising Sobolev's Lemma. For the Korteweg - de Vriesequation (KdV)

dtU + UUx + Uxxx = 0 (1-2)

the Sobolev Barrier is s = 3/2, for if s > 3/2, uUx is a continucus function ofthe space variable x € R.

Before proceeding it is worthwhile explaining what we mean by a solutionof (1.1) and define the Sobolev Spaces as promised. We will say that (1.1) islocaJly well-posed if the following conditions are satisfied:

(i) Existence: there exist a T" > O and a function u € C((0,T|,y) satisfy-ing the differential equation in (1.1), with the time derivative computedwith respect to the norm of X and such that tí(0) = Note that we haveincluded here the persistence property, that is, u(t) G Y for all t in the in-terval [O, T], This is a non-trivial requirement: there are counterexamplesshowing that it may not hold (see for example (7]).Uniqueness: there is at most one solution to the problem at hand.Continuous dependence: the map <}> —* u{t) is continucus with respectto the appropriate topologies. More precisely, if 0 in Y, then forany T' 6 [0,r), u„, the solution corresponding to 0„, can be extended (ifnecessary) to [O, T'] for all n sufficiently large and

(ii)(iii)

lim sup ||tin(í) -w(í)llrn—co (0,7"]

0. (1.3)

Establishing the continuous dependence is often the most diíficult part ofthe proof of local well-posedness for the Cauchy Problem (1.1) and we willnot discuss its details in order to keep this paper reasonably short. It shouldbe noted however, that all the Cauchy Problems considerad below share thisproperty and that the proofe can be found in the references mentioned in thetext. If any one ofthe above properties fail, we say that (1.1) is ill-posed.

Lets 6 R. The Sobolev Space i/''(R") is the set ofall tempered distributionssuch that (1 -1- 1^1®)"/^/ € Í.®(R") where / denotes the Fourier Transform of/. It is easy to see that they are all Hilbert spaces with respect to the innerproduct

U\9)e -La»(i+mv(o?(í)dí (1.4)

and that if s > r then /f®(R") C /f(R") where the inclusión is continuous anddense. In particular, if s > Owe are dealing with functions. As s increasesthings get better and better: if A; > Ois an integer, / G /f''(R") if and onlyif 5"/ G for all multi-indexes a such that |a| < k. Moreover, accordingto Sobolev's Lemma, if / G íf''(R") with s > n/2, then / G Coo(R"), the setof all continuous functions that tend to zero at infinity. In this case //"(R*^)is a Banach Algebra with respect to the usual multiplication of functions. Inparticular,

II/5IU < C^WfWs llfflU- (1.5)

L

LIVING UNDER THE SOBOLEV BARRIER 63

where C„ is a constant depending only on s and n. The reason why 3/2 is theSobolev Barrier for KdV can now be easily understood. We have.

F(U) = UUa: G /f^R) CCoo(R), 5 > 3/2. (1.6)

In 1983, T. Kato preved that under the condition described by (1-6), theCauchy Problem for KdV is locally well-posed. Actually, he considered a moregeneral equation, and was also able to establish global well-posedness (i.e., (i),(ii), and (iii) in the definition of local well-posedness hold for all T > 0) íRcase 5 > 2 (see [10]). It should be remarked that global well-posedness withs > 3 was obtained in the mid-seventies in {5] and (41- The step from s > 3 tos > 3/2 is, however, a very difficult one. The "Sobolev Barrier" for KdV wasfirst broken by Kato [10], in a weak sense, and then completely, in a remarkableseries of papers by C. Kenig, G. Ponceand L. Vega (see for instance [12], [13],[14], where large classes of equations are treated). Their best result in the caseof KdV is local well-posedness in /í^(R) with s > —3/4 (the Dirac 6 functioncan be taken as initial condition! Seealso [17]). One should also mention thework of J. Bourgain [6] where global well-posedness of KdVin L^(R) obtainedfor the first time.

Let US now plunge once again into the depths below the Sobolev Barrieranddescribe a "new" problem to whicli we will apply our "oíd" methods. We areinterested in solving the KdV equation with bore-like data, that is

dtU + UUx + Ra = O

where g is bore-like, i.e., g satisfies

(1) g{x) —> C ± as X

(2) g' G H^R) s>0

(3) g-C+E L2([0, oo)), g-C.e L2((_oo,0]).

±oc

u(0) = g (1.7)

(1.8)

Note that the first two conditions imply that 5 is a bounded function. Infact all we need to know about g in this article is that g € Í.°°(R) and that (2)holds. The real reason for introducing conditions (1) —(3) is that they modelcertain travelling waves that occur in natura. Such a wave is formed when alarge river, like the Amazon, flows into the sea at times of exceptionally hightide. The wave moves upstream two or three times as fast as the normal tidalcurrent, with a shape which corresponda roughly to the one described by theabove conditions. For more information on bores we refer the reader to [3].

The problem with bores is that || g ]|o = 00, and Sobolev Space methods,in principie, cannot be applied. Not all is lost however: the following simpleLemma comes to the rescue.

64 JOSÉ lÓRIO, FELIPE LINARES S¿ MÁRCIA A. G. SCIALOM

Lemma 1. Leí g saíisfy conditions (1) and (2). Tben for each 6 € (O, oo)tbere exists a t/;® € Í?°°(IR) sucb tbat ip'g € /í°°(K) and <l>o = g —M>e €s > 0. Moreover

\\9-M\o < y/ê-'/^\\g'\\o

WeWs < í?(5.«)ll5'l|o. (1.9)

Fiaally, ifg satisBes (3) tben ipg a/so bas tbis property and lima;_±oo = C±.

Proof. Deñne t¡)e = Kg*g where Keix) = (47r0)~^/êxp(—(xp/40) is the heatkernel. The result then follows easily taking the Fourier transform of rl}g. •

Now, let B be fixed, write i¡) = i¡jg for simplidty, and let ta = « — Then tíis a solution of (1.7) with tí(0) = 5 if and only if ta satisfíes

dtW + WWx + Wxxx + (t¡'w)x + = o

«*(0) = 9-^ = <P-

This is the problem that we will study. Observe that the PDE in (1.10) isvery mudi like KdV. It has two extra terms, one which is linear in ta with asmooth x-dependent coefficient while the other dees not depend on ta and israthersmooth. Forthese reasons it is to be expected that (1-10) can be treatedmuch in the same way as KdV. This ís true up to a point. If we are below the"Sobolev Barrier", we canemploy parabolic regularization and the Bona-Smithapproximation technique (see [7j and (5]) to show that (1.10) is locally well-posed (alternatively one can apply Kato's quasi-Iinear theory or the Kato-Laiversión ofGalerkin's method; see [llj, [10] and the references therein). Oncethis has been established, the a priori estimates which are necessary to proveglobal existence can be obtained from the conserved quantities associated tothe KdV equation (see Section 3). On the other hand it does not seem possibleto extend the well-posedness results to larger spEices using the Kenig, Ponceand Vega techniques sincerp is merely a bounded fiinction and does not belongtoL^.

Before we proceed, it should be remarked that the theory that is establishedbelow generalizes the results obtained by Bona, Rajophadye and Schonbekin [3]. In this work they proved that (1.7) has a unique solution u such thatu(t) —V € C((0,T],/f®(R)) with s > 3, and some ^ G C°°(R) satisfyingg—ip e In order to accomplish their ends, they considered the Cauchyproblem

dtu + uux + Ux

«(0) = g (1.11)


where u > O.and regularized it adding the term eUxxtt£ > O- Thus they areable to rely on the theory of the regularized long wave equation (a.k.a. BBMwhich stands for Benjamín, Bona and Mahoney; see [1]).

Note that besides the non-linear and dispersiva effects, (1.11) also featuresa dissipative term which does not occur in (1.7). However as will be clear fromwhat follows, our method can easily accommodate such a term.

The remainder of this work is organizad as follows: in sections 2 and 3 wediscuss local and global existence for (1.7) while in section 4 we make remarksabout some other interesting problems to which the "oíd" methods can beapplied quite successfully.

§2 Local existence in //'(R), s > 3/2In order to solve (1.10), locallyin time, wewill useparabolic regularization, i.e.,we will introduce am artificial viscosity, solve the regularized problem and thentake limits as the viscosity tends to zero. A little more precisely, we considerthe Cauchy Problem

dtw = Qf^w —WWx —{iptü)x —(V^'+ ^")

m(0) = 0e^«(R) (2.1)

where p > Oand = pOl - .Using the venerable Method of Variation of Parameters we cam show that

(2.1) is equivalent to the integral equation

Mt) = £E^(t-t%i)w(t'))x+{v)Wx)(t')+{iPip'+tp"')]dt' (2.2)This equivalence is in fact rigorous in view of the following Lemma which

asserts that t —* the semigroup generated by is infinitely smoothmg.

Lemma 2. Let /x > O, A> 0, r € i?. Tben i € [0,00) Ey,{t) = exp(íQ^)defines a contractioa semigroup in //"(R) and satisBes

(2.3)

for all f G //"(R) where Kx is a constant tbat depends only on A. Moreover,the map t G (0,00) —* B,^{t)f is contínuous witb respect to the topology of

and is the unique solution of

u G C([0,oo),/r(fí))

9tv = Q^v

v{0) = /.

(2.4)

66 JOSÉ lÓRIO, FELIPE LINARES & MÁRCIA A. G. SCIALOM

Finally, if/i = O, í € [O,oo) —» jEb(í) = exp(—í^) can be extended as anunitary group to tbe whole real Une.

Proof. The proofconsistsin a simplecomputation using the Fourier Transform.See Lemma 1.1 of [7]. •

Introducing the complete metric space

Üs{T) = {í; eC([0,T),iy,(R) I||v(í) - E^{t)<í>\\ <MVí€10,T|} (2.5)and the mapping

(>It;)(í) = (2.6)

and combining these defínitions with Lemma 2, it is not diñicult to show that

Proposition 3. Let fi > O be 6xed and € /í®(M), s > 1/2. Then tbereexists aTs = Ts{s, ||0||s,/x) > O, and a unique solution € C'dO, Ta], Ií"{R))of (2.1), sucb tbat e C((0,rd, ír~(R)), wbere = nreRÍí'"(K)endow&l witb its usual Ftécbet topology.

Proof. The proof is standard and will only be briefly outlined. The details canbe found in [8] and [7] for example. Existence and uniqueness in Í2s(r) is aroutine application of Banach's Fixed Point Theorem. It is then easy to es-tablish uniqueness in C([0, Ta], i/®(R)). The fact that € C((0, Ta],follows &om an easy bootstrapping argument. •

The next step is take the limit as i 0. The main difRculty is the fact thatTg —♦ O as ^ J. 0. One must therefore show that all solutions can be extendedto a time interval independent of p. Once this is done, arguments which are,by now, standard show that (see for instance [9], [7])

Theorem 4. Let <(> € ¿/^"(R), s > 3/2. Then tbere exists aT —T{s, l|0||a) anda uniquew 6 C([0,Tg], íí''(R)) satisfying (1.10), and tberefore u = w + 4> is tbeunique solution o/(1.7).

We will now indícate how to prove that there exists an existence intervalindependent of p. Since w^{t) E H°°{R) for all t E (O, Tg(s, ||<^(|s,/i)| (seeProposition 3), we may safely differentiate |ltn^(í)||8 with respect to t to get

^ílbfWllg = 2iw]dtw)a (2.7)Takingthe PDE in (2.1) into (2.7), we obtain a sum of inner products which

we proceed to estímate. Since dx is antisymmetric and we are dealing with realvalued functions (this last fact is used in the second equality below), we have

-{w ] -pWa;x)a = -p]]Wx]]a < O

'{toltVxxx^s — ( I dx^x )« O. (2.8)


Next, (w Iiipw)x)3 = -{Wx]rínü)s = -((^)i | V')s = (^ I^')s. so

¡(tü I(^«;)x)| < I IIí&'IIl»» IHI? (2-9)Moreover it is easy to see that

|(n; I + ^"')g| < ||^0' + ^"'|| ||«;||g. (2-10)

Finally in order to deal with the nonlinear term, we employ the followinginequality due to Kato (see Lemma A.5 in the Appendix of (10])

|(/l//x)8| < CaUfa (2-11)with / 6 íí®(R) real valued and s > 3/2 (and this is sharp!). It foUows that

Defining p(í) by

dtp = C{s,ij;)ip^^^ + p+

PÍO) = 110112

it follows at once that 1110/4(^)112 —Pi^) whenever both sides are defined. Sincep{t) does not depend on p, it follows that all solutions canbe extended to someinterval [O, Tj with T < T*, where T* is the blow up time for p{t).

It should beremarked that theproof of local existence sketched above worksequally well in case the nonlinearity uux¡s replaced byvFux, p = 2,3,4,..., orevenby a{u)ux where o satisñes the assumptions ofthe local existence theoremof jlOj.

§3 Global existence: the miracle of the L® norm

In order to prove global existence we need to obttdn o priori estimates thatimply that the solutions of the PDE under study do not blow up in finite time.To accomplish this end one needs additional information about the equationat hand. In our case we will employ the Hatniltonian Structure associated tothe KdV equation. Note that KdV can be written in the form •

dtu = -dx (y +dlv^ = -dg,4»3(a)

*3(ií) = [(5»w)^ ~t] (3.1)


where 0' denotes the Gateuax derivative of the real-valued functional ©. It isnot difficultto verify directly that $3(u) is conserved by the KdV flow. In factthere are infinitely many sudi quantities ([15], [18]). The first four are 4>3(w)and

í>i(n) = I udx

^2(tí) = I u^dx

^4(«) = jT - luidxuf + (3.2)

Note that one can, in principie, obtain a pñori estimates for l|n||jj, H^xuIIqand |lû]|(j from $2i ^3 and í>4 respectively. The remaining conserved quantities will providesimilar estimates for the higher order derivatives (see [5] and[4]). Moreover it can be shown that all these quantities are in involution, i.e..

($;.(n) 1dM{u)) = O (3.3)

for all "reasonable" functions v and all positivo integers j,k. Now, we lookat (1.10) as a perturbation of KdV, that is, we rewrite this Cauchy Problem as

dtw = —dx^3Íw) —{iím))x —(^V*' +

íü(0) = 4> (3.4)

andtry to get a priori estimates for the solutions studying how 4»^ (tü(í)) varíeswith respect to time. And here we have the miracle of the norm! Combin-ing (3.3) and the Chain Rule we get

"^tllMOIIo = iw\dtw)o= («•2(«') I = -(«^ Ii^w)x + + i>"\ (3.5)

from which it foUows easily that

dt I IKOllo ,ip)t] (3.7)

LIVINC UNDER THE SOBOLEV BARRIER 69

for all í € [o, oo). This estímate shows that the normofw{t) cannot blow upin fínite time. But why is this a miracle? Considerthe caseofthe modified KdVequation, namely dtu + vrux + tiixx = O

ií(0) = g

Defining w = u —ip, one can proceed as befóte to obtain

dtU = —{w^Wx + Wxxx + '2'ipWx + + ilf'")

w{0) = (P =z g -ip (3.9)

Multipiying this equation by w ánd integrating with respect over the real lineone obtains a formula for dt Ijif(í)]]^. All terms in this expression can be easilyestimated by quantities of the form C((p,ip) (11«;[1q + (|w|(o), except for

f {2ipw^Wx ip'w^) dx = ^ í íp'w^ dx (3.10)Jr 3 Jjt

which obviously cannot. The same kind of difficulty occurs for higher powers.The frustrating thing is that all derivativescan be estimated in terms ofthe Lnorm so that if one could get an o priori estímate for the l? norm one wouldbe done.

Finally we would like to give the reader a taste of what is involved in theestimation of the higher order derivatives in the caseof (1.10) oncethe normhas been taken care of. Note that combining (3.1), (3.3) and the Chain Rulewe obtain

5t4>3(w) = ($3(11;) 1dtw)

= —(*3(«') I{il^w)x + ipip' + tlf'" —f^^)o • (3-11)It is not difficult to check that the part of the above inner product that doesnot contain ¡x can be estimated by a quantity of the form

c(^,^) [IKIIg + IKIir + IKIIo] •The tricky part is to handle the inner product containing the second derivative.This is how it goes:

-m(4>3(w) i I

= m[-||5HIo +< M[-||a2íü||o + |HL«ll^«Hlo]< nC(T,4>,'>P)[-\\^wf^ + |K||o||5>||o]

(3.12)

(3.8)


in any fixed (but arbitrary) interval [O, T), where we have vised the inequality

IHIí,« < 2|l«;||olKllo < \H\l + ll^^xllo,and the fact that we have already controlled the norm. Since

f{y) = -y^ +ay < |for all y £ R where a is a real constant we arrive at an estímate of the form

—/i{$3(u;) I y.Cy{T,4>,'4')\\Wx\\Q. (3.12)

Combining these estimates with the definition of 4>3, we obtain

ll^^xllo = ^3{w) + I w^dxJa

< ^3{<¡>) + [ \w\^dxJa

+c t (iK(í')llo +IK(í')lir +ll«'x(í')llo)rfí'•Jo ^ (3.13)

where C = C{T, fj., 4>, tp) is continuous with respect to /i up to /lí = 0. Finally,it is not difBcult to chedc that

/ d<C{T, fi, (p, t/>) llíüa:Ja

These results combined with GronwaH's Inequality imply that

Ihxllo <

with F(T, ¡j., (p, ip) continuous with respect to /i up to = 0. A similar argumentinvolving <>4 shows that the second derivative does not blow up in fínite time.In view of the local results described in the previous section it follows that (1.7)is globally well-posed in /Í^(K). Combining this with Lemma A.5 of [10] andGronwall's Inequality we obtain global well-posedness in /í®(lR) for all s > 2.More precisely,

Theorem 5. Leí 2. Tben there exists a unique

w € (:7([0,oo),/í''(R))nL«'([0,oo),/í«(R)) (3.14)

satisíying (1.10) where the time derivative is computed with respect to thetopology oí H*~^(Sí). Therefore u = w + (p is the unique global solution of

LIVING UNDER THE SOBOLEV BARRJER 71

(1.7). Moreover, the solution depends continuously on the initial data in thesense that if 0„ —* O

ni™ = O (3.15)

where is the uniqueglobal solution correônding to <p„.

A complete proof of this result, along the lines described above, can befound in [8]. It should be noted that instead of using Lemma A.5 of [10] onecould proceed as in [5], i.e., use the remaíning conserved quantities to obtain apriori bounds for all the higher order derivatives, thusestablishing global well-posedness in //'^(R), fe = 3,4,..., and then using non-linear interpolation tohandlethe non-integer valúes ofs. Thissecond method yields sharp^ estimatesfor the norms of the solution since the use ofGronwall's Inequalities leadsexponential estimates for these norms while the conservation laws, due to theirpolynomial nature, imply that the norms inquestion grow at most polynomiallyas í —» 00. On the other hand, useofKato'sresult provides a far shorter proofof global well-posedness.

§4 Some fínal remarks

In this section we will describe very briefly some other recent applications ofthe methods described above. First of all, as shown in [8], similar results holdfor the Benjamin-Ono equation with bore-like initial data,

dtu + uux + <ruxx = O

u(0) = g (4.1)

In fact, the only difference is that the time derivative iscomputed in íf"~^(R)instead of ®(R), since tr, the Hilbert transform, is unitary in ír*(R) forall r £ R. The global well-posedness of the Cauchy Problem assodated to thefollowing generalization of the Kuramoto-Sivashinsky equation

—(vx) + Svxxx 4" 0{^xx 4" í'iTxx) — o

«(0)= h (4.2)

was established in [2] with h £ íí®(R),s > 2, 5 € R, /? > Oand 6^ + 5Í O(since otherwise the solutions of the resulting equation may develop shocks).Due to a happy accident however, one is able to break the Sobolev Barrier inthis case. Note that if w = then

dtw -f wwx 4- Swxxx 4- P{wxx 4- Wxixi) = O

íi;(0) = h! (4.3)


and the PDE in (4.3) is a perturbation of KdV. It is then possible to combinethe globaltheory obtained nsing the methods described in the previous sectionswith the resulta established by Kenig, Ponce and Vega (see [12] and [13]) toextend well-posedness to ií*(R),s > 1.

Systems of equations can also be treated: in [16] J. Angulo Pava used para-bolicregularization to establish the local well-posedness of the Cauchy Problem

dtu + dxV + udxU = O

dtv — + d'u + dx{uv) = O

n(x,0) = <p,v{x,0) = •>!} (4.4)

with Xe R, t > Oand (<^,^) € ií^(R) x /í^~^(R), s > 3/2. Global existence ismore difficult than in the preceding cases because the only "good" conservedquantity known is

Hu,v) = i / (u^ + +u^v +(ux)' ) dx (4.5)^ Js.

nd there is an obvious gap between the local theory and the o priori estimatesobtainable from (4.5). However, it is possible to combine the local resulta withKenig, Ponce and Vega type tedmiques and stability theory to prove thatthere is an orbitally stable solitary wave solution and that (4.4) is globallywell-posed in H^{R) x L^{R) if the initial condition is sufficiently cióseto the travelling wave in an appropriate sense.

Acknowledgements

Oneofthe authors (R. J. lorio,Jr.) would liketo thank everyoneinvolvedinthe Escuela de Verano for their kind hospitality. Special thanks go to ProfessorsJosé Escobar and Jaime Lesmes for their warmth and generosity, and for makingthe author's stay a most pleasant one.

References

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José lóRio, Jr.IMPA

Estrada Dona Castorina 110, Jardim Botánico20460 Rio de Janeiro, R.J.

Brasil

e-mail; rafael®impa.br

Felipe Linares

IMPA

Estrada Dona Castorina 110, Jardim Botánico20460 Rio de Janeiro, R.J.

Brasil

e-mail: linares®impa.br

MÁRCIA A. G. Scialom

IMECC/UNICAMP, Campiñas, Brazile-mail: scialom®ime.unicamp.br





Universidad de los Andes, SO a SO de jvnio de 1995

pdginas 75-82

A method for solving PDE'sby using wavelet packet bases

PasoAL Joly

Université de Faxis VI, Prance

§1 Introduction

There are phenomena which are particularly difficult to simúlate in numericalcomputation, such as singularities and sharp transitions in solutions of partialdifferential equations. For example, in fluid dynamics thereareshock waves incompressible gas flows, or vortex sheets in incompressible gas flows. Becausethey occur in small regions of the domain, which are not precisdydelimited, it isvery difficult to get accurate apprcodmations of them. The recent developmentof adaptive numerical methods devoted to this purpose, shows the interest ofnumerical analysts for such problems. Most of these methods use a sequaiceof nested grids that are progressively fíner, where the current resolution of thenumerical solution is not sufficient. The main difliculty of such methods isto find stable and accurate approximations of the differential operator at theinterface between grids of diflierent sizes.

Many authors have shown that the multiresolution structure of waveletorthonormal bases is a simple and eflective framework for spatial and temporal adaptive algorithms (see V. Perrier & C. Basdevant [13], J. Liandrat &P. Tchamitdiian [10], E. Bacry, S. Mallat & G. Papanicolaou [2j). This paperis an introduction to the general framework of multiresolution analysis, and toits use in numerical simulation.

75

76 PASCAL JOLY

The outiine of this paper is as follows: Section 2 is an introduction to multi-resolution analysis, Section 3 presenta the wavelet packet bases, and in Section 4we briefly discuss some numerical results.

§2 Multiresolutíon analysis

2.1 Definition.

Mnltiresolution analysis of LîTl) was introduced by S. Mallat (11| and Y.Meyer [12]. Any element f of is approximated at the resolution 2^by the projection of / on a subspace Vj of the mnltiresolution analysis. Thesequence of subspaces {Vj}j^z is defined by the following relations

(1) = {0} C Y,C = LHm(2) f(x) eVj ^ f{2x) € Vj+i(3) there exists a fiinction g in Ví), such that {g(x —A:)}fcez is a

Riesz basis of Vq.

2.2 The scaling function.Then we may introduce the scaling function ip by the relation

lei

and defíne the functions ^ by

ifÍ{x) = x-k), VxeR, Vj,fcez

The functions {<p^}fcez generate closed subspaces Vj C Z>^(]R), and it ispossible to show that

(4) CVj+i <1^ 3mo € C~(R) 27r-periodic such as<p{2tj) = mo(íi;)^(a;)

(5) Hj^zVj = {0}(6) Ujez ^ i® dense in L^(R) |^(0)| = j/ ip{x) dx\ = 1

Twosuccessive scales of approximation are related by

^(2íj) = Tno(ü;)^(a;),

so

= ( n "ío(2-''a;) ) tp{2-û}),A:=l,r»

and because ^(0) = 1, and ^ is a regular function,

= n "ío(2"'°w).A;=l,oo

Thus 771o is sufficient to deñne ip, and thus the complete mnltiresolution analysis.

SOLVING PDE'S BY USING WAVELET PACKET BASES 77

2.3 The wavelet function.Suppose now that we know a frmction ttio (or a scaling function tp). Define thefunction 77ii by

mi(u;) = r7io(tJ-P 7r) e~*" = y^(—1)* fti-fc e~**^.Jk€Z

In signal theory, 77io is a filter, and mi is the conjúgate filter.Again we introduce the function ip by

i>{u) = mo(ü;/2) 0(w/2),

and the functions by

= 2^/^ xP(V x-k), Vx€R, Vj,ke1.

These functions {ipl}kGZ generate closed subspaces Wj C ¿^(R)> and becausethe matrix

MH = i )Ymoíw + Tr) mi(ü> + 7r)y

is unitary for all e [0,2 tf], the subspace Wj is the orthonormal complementof Vj in Vj+i-

Vj®Wj = VS+i.tp is then the wavelet function, and the Wj are the wavelet subspaces.

2.4 The periodic case.Multiresolution analysis is also available in a bounded domain. Y. Meyer [12]hasdefined the multiresolution analysis ofL^(R/S) by chan^ng thedefinitionof the functions and

VX€ [0,1] (^(x) = 2^/^îp{2^(x +z)-k) j>0, 0<k<2i>s€Z

Vx€[0,l] ^(x) = j>o, 0<k<2KsCZ

The subspaces V^- and Wj generated by the functions ^ and define themultiresolution analysis of L^T), where T is the torus R/Z; LîT) is a set ofperiodic functions (with period 1). It is alsopossible to dealwith non-periodicfunctions, but for this we would need to modify the present basis functions.In the following, we are only concerned with periodic functions. In whidicase, we consider a subspace Vp C L^{T) of dimensión 2P, and the assodatedmultiresolution analysis:

Vp = Vi) ® ÍYo © lYi © •. • © Wp-i.

78 PASCAL JOLY

2.5 The Mallat transform.

From a practical point of view, it is important to compute the componentsof the projection of any element / of L^{T) in the susbpaces Vj and Wj atminimal cost. These components are computed by the Mallat transform in thefollowing way: suppose we know the components of Pj+\f 6 ^^4.1, thenfrom the relation

Vj+-, = Vj®Wj,

we get

Pj+\f = /j• + Pjf,

withV-i v-i

Pií^Vi = Pifew, = E4^.-fc=0fc=0

However,

= 53 = Pjf + Pjf-fc=0

Using the orthonormality of the wavelet bases, we can write

2J»_i

4 = E 4"^^ -2k) O< fc < 2^í=0

2í-»->-1

dfc = E 4^^ Gj+Ál - 2fc) O< fe < 2î=0

with

Pj+i{n) = f (pÍ,' ^{x)<p'Q{x)dx , Cj+i(n) = f (pÍ+^{x)ip¿{x)dx.Jo Jo

With this transformation, the knowledge of the 2-'"''' coefficients c^"*"^ issufficient to compute the 2-' coeffícients cj. and the 2^ coefficients

The inverse computation is also available by the formula:

2>+'-l

Pjîfix) = e: = Pjf(x)+Pjf(x)k=0

2^-1 2'-l

SO

= E 4'4(®) + Eí=0 1=0

2'-l 2'-l

4""' = E 4^0+1 (fc - 20 + E 4<?j+i(fc - 21)1=01=0

SOLVING PDE'S BY USING WAVELET PACKET BASES 79

2.6 Bxamples of wavelet functions.There are many various wavelet functions, such as the Haar wavelets, the fastdecreasing Meyer wavelets, the compact supported Daubechieswavelets[5], andthe Battle-Lemarié wavelets [3], (9) using spline functions. In the following, weshall use the Battle-Lemarié wavelets associated with a spline frmction of ordCT4 (see (3] and [4]).

§3 The wavelet packet basis

In order to generalizo the wavelet basis frame, we define

(poi(^) = = mo(^)(p(^) and î(u;) = ^(w) =and then, for all integer n € N,

02n{o}) = "lo(^) ^n(^) and ip2n+l{<^) =Thus if TI = eo -h 2€i + 2^63 + ••• + 2í-'ej_i, with Cj G{0,1},

^ k=j+i

Then we cali the subspaces Wj wavelet packets, where the Wj are generatedby the functions

(x) = 2^/2 ip„ (2j (x + z)-k) VX€ [0,1],£€Z

for O< n < 2P J, 0 < fe < 2^, O< j < p. So we obtain a general subspacedecomposition:

At any level j of the multiresolution analysis (O < j < p), there are 2^'^subspaces Wj, each one of dimensión 2^ (O < 1 < 2''"' —1), the p waveletsubspaces Wj (0 < j < p) corresponding to the Wj_j.

One of the advantages of the wavelet packet basis is in the number of sig-nifícant components required to represent some data in finite dimensión. Thisis because we can choose a basis that fits well to these data, without any lossof information. For example, if we want to compute the wavelet coefficientsof the function sin Sttx in a multiresolution analysis of dimensión 2^® = 1024,we would need 872 coefficients using the wavelet basis instead of 23 using thewavelet packet basis (i.e., 23 coefficients whose absolute valué is greater than10-1°).

PASCAL JOLY

§4 Solving partial diíFerential equations

Wavelet theory has been used for a long time in signal and image coding.More recently, some people liave been interested in solving partial diíTerentialequations (Amaratunga ¿ Williams [l], |14], Glowinski et al. [6|, Joly. Maday &Perrier [8|). Our aim is to use wavelets and wavelet packet bases te approxiraatethe solutions of partial diíTerential equations. We choose as a model problem,the ID Burgers' equation

^ ^dt ^ 2 dx ^ dx"^

with periodic boundary conditions ?i(0, í) = u(l,f) V£ e (O, T], and initialcondition u(2,0) = 5in27rx Vi e (0,1). The numérica! study of this equationmay be considered a first step towards the simulation of turbulent flow.

WavM¡9 psekata/Afta/nis: tíma O-OOOO

•BaHBiiiüiimaHMnMHHnaHU

Figure 1: Initial Data: u(i,0) =sin27ri

The first results are very promising: we obtaiii very accurate approximations.Moreover the wavelet packet approximation is very interesting, because thenumber of coefiicients it requires is at most half of the number needed for thefull wavelet approximation. For more details on this simulation, see Joly{7|.

SOLVING PDE'S BY USING WAVELET PACKET BASES

§5 Conclusions

Multiresolution analysis appears to be a very interesting way to provide accurate approximate solutions of partial differential equations, because the recentdevelopment of algorithms devoted to this purpose shows the interest of nu-merical analysts for s*ich problcms. S

paekéti / PotítofhFfaîfñey Áfíéíyjm: ama l.OOOO

II lililí! I

Figure 2: Solution at time t = l.OOOO

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PascaL Joly

Université París IV

Laboratoire d'Analyse Numérique4 Place Jussieu

(75252) París (05)France

e-mail: jolyQann.jussieu.fr

I

i..





Universidad de ¡os Andes, SO a 30 de junio de 1995

páginas 83-90

Polynomial preconditions forthe CG method on the CM2

Pascal Joly & Olivier Perlot

Université Paxis 6, FVance

§1 Introduction

This paper is concerned with the implementation ofparallel iterativa methodsfor solving large sparse symmetricpositiva defínite linear i^stems arising fivnifinite difference methods, Ax = 6, on ah SIMD computar, the CM-2. Sped-fically, we are interested in the Conjúgate Gradient (CG) method introducedby Hestenes and Stiefel [8). This method is a popular and effective linearsystems solver, notably when combinad with a preconditioner; one attractivepossibility considerad by many authors ([1], [6], {9] and {13j), is polynomialpreconditioning. Its main advantageis its suitability for vector and/or parallelcomputers, when the matrix by vector product is parallelizable. Whenever Ahas a regular sparsity structure (multidiagonal), poljmomial preconditioning iseffective on parallel machines.

The outline of this paper is as follows: Section 2 describes the linear systems we are solving, Section 3 presents the main characteristics of the CM-2computar, Section 4 is devoted to polynomial preconditioners and in Section5,we present some numerical results.

83

84 PASCAL JOLY & OLIVIER PERLOT

§2 Description of model problems

We consider linear systems of equations that arise from the approximation ofthe solution of the problem:

—div(AV«) = /, in Í2 =J0,1 ( x JO, 1[,

"U = o-The first problem is the Poisson problem, A= 1.

The second problem is

A = 1000 iní2 = )5,flx]0,l[,A = 1 elsewhere.

Por both problema weuse a standard five-point scheme on an uniform mesh{h = l/(n + 1)), and thus we obtain a linear system

Ax = b (1)

The matrix A is a symmetric positiva definite matrix of order n^, and is apentadiagonal matrix with a natural ordering of the unknowns. If the matrixis stored by diagonals, then the matrix by vector product can be performedmparallel. To solve (1) we use thePreconditioned Conjúgate Gradient (PCG)method ofConcus, Golub and O'Leary (4).

§3 The Connectíon-MachineThe Connection Machine is amassively parallel local memory SIMD (Single In-struction stream Múltiple Data stream) supercomputer. In fact, all processing

ements (PE3s, single bitprocessor) can execute immediately thesame instruc-tions on local different data. Ifthey need other data from other PEs, they usea commumcation network (ahypercube network links sets ofprocessors). Butt ese communications are not very fast. Moreover the CM-2 being a syndiro-nous supercomputer, the PEs must execute the same instruction (on differentdata) or nothing at the same time. Then the prográmming is sequential withvectors andsjmchronous data transfers between processors. Thussome instruc-tions are well suited tothe CM-2; saxpy, multidiagonal matrix vector product,etc. .... Therefore we are trying to use these kernels as frequently as possibleto optimizo the computing time. Then the CG with Diagonal preconditionerseems well-suited to the CM-2's ardiitecture o priori, but all the same we willavoid point remrsions like ICCG methods. The CM-2 consists at most of 65536PEs (2048 Weitek chips), and it operates under the control of a host computer(aSUN workstation in general), and the peak Mñops rate with 65536 processorsis about 30 Gñops.

Actually all tests have been performed in single precisión on 8192 PEs ofthe CM-2 with the CM-FORTRAN language, and without any CM ScientificSoftware Librarles.

{

POLYNOMIAL PRECONDmONS 85

§4 Polynomial preconditioners

The principie of polynomial preconditioning consistsin finding a preconditionierM so that;

m-M Pk{A)A

where Pk is a polynomial, of degree less or equal to k (we denote the poly-nomials with some capital letter when th^r are applied to matrices, and withthe corresponding lower case letter when they are applied to scalars). Thisidea may seem, at the same time, natural and strange. Natural, because fromthe Cayley-Hamilton theorem, the inverse A~^ can be expressed as a polynomial in A, but strange because CG generates an optimal polynomial (see[8]) and, in that respect, the CG polynomial after m(k-1-1) iterations with nopreconditioner is better than the polynomial generated by m iterationswith apolynomial preconditioner of degree k.

In this section we review several choices for Pfc. PkiA) should be in somesense an approximation of A~^. Of course there are severíü ways of doingthis.As proved by Ashby et al. in [2], there is no single best polynomial, thechoicedepends on the eigenvalue distribution of A, which is seldom known a prioTÍ

One of the most important practical issues for using pol3niomial preconditioners is the estimation of smallest and largest eigenvalues ofA (denoted aand b). For the model Poisson problem, we take its well-known eigenvaluesa = 8sin^(7r/2(n + 1)) and b= 8sin^(7rn/2(n + 1)), which are not in fect theoptimum valúes (see [2] and [13]). However, these eigenvalues are unknownin realistic applications. Then for solving the second problan with the moreelabórate polynomial preconditioners, we propose toscale sjonmetrically Atohave a unit diagonal. Instead of solving (1) we solve

D = Ap = D-ift, and X = (2)

We know that the eigenvalues ofA are in theset ]0,2[, thus to solve (2) wechoose 5 = 2. After an important numerical study onthe behaviour ofpolyntvmial preconditioners in relation to the estimationof o, wechoose o = 0.2510for this problem. This valué is not for thisproblem theoptimum smallest eigenvalue, but it is sufficiently representativa of the polynomial preconditionersnumerical effectiveness.

4.1 Diagonal preconditioner.The simplest approximation M of A we consider is the dií^hal matrix

M = diag(A).


4.2 Tûncated Neumann's series.

The second approximation, proposed by Dubois, Greenbaum and Rodriguein [5], is basedon Neumann'sseries. Wedenote A = D—L—l!^ by D = diag(v4),with L strictly lower triangular. If /I is a positive defínite matrix, then

A"* =

Moreover, if A is diagonally dominant then the spectral radius

and the Neumann's seríes for the inverse of / — L'^)D~ cxjnverges.We denote by NEUMl the following preconditioner:

M-^ = D-^ + D-^(L + L'^)D-\

and by NEUM3:

= D-^ + + + D-^L + L'^)D-HL+ L'^)D-^

Acxording to Ashby [1], NEUM2 is worse than NEUMl.

4.3 Polynomials minimizing a generalization of thecondition number.The previous preconditioner is very easy to use, as there are no parameters toestimate. Unfortunately it may yield a poor preconditioner in relation to theconvergence rate (see numerical results). Therefore we have to consider moreelabórate polynomial preconditioners. In this section, we are interested inpolynomials minimizing an upper bound ofthe condition number; the minmaxpolynomial.

Let (a, 6] bea setcontaining the eigenvalues ofA, O^ (a, 6], and let

Qk = {polynomials Qk of degree < fc (<7fe(A) >OVA e [a, 6], and <7^(0) = 0}Weare looking for q € Qfc+i minimizing;

maxAe|a,b| g(A)minA€[a,6|g(A) •

Let fi(X) = 2—^ ^— be the linear mapping taking [o, 6] into (—1,+1].Then the solution is given, for example by Johnson, Michelh and Paúl in [9],as:

Tfe+i (//(A))9fc+i(A) — 1 —

Tk+i (m(0))'

POLYNOMIAL PRECONDITIONS 87

Tk being the Chebyshev polynomial of the first kind of order k. Then weobtainPk by:

Pk{X) = i Ti _Al, Tk^,(^{0))J-

Now, to evalúate z = Pfc(A)r = want to conserve both thesparsity of A and also the effective matrix by vector product. Moreover, thecomputation of Oj should stay simple and fast. Thus we use first a simpleHórner's scheine, which is given as follows:

2fc = Qfcr,

Zi = Oíir + Azj+i,

Then z = zq = Pfc(A)r.{ z = fc-l,... ,0

4.4 Least squares polynomials.As an alternative cholee, we consider poljmomials minimizing some quadraticnorm of the residual polynomial [9]

rb

(l-Ap(A))2a;(A)dA,/Ja

where ^(A) is a weight frmction able to emphasize the portion of the spectrumwhich is the most important. In practice, we take a Jacobi wei^t fiinction:

a;(Q,;0,A) = (6-Ar(A-o)^.We denote by 5í(A) the associated orthonormal polynomials. The solution ofthis problem is: ,

fc+i

Pfc(A) = X^6ií¿(A),j=o

with

bj =sj{0)

and _ ^j(O) ~ ^j(^)

Now we would like tocompute pfc(A) = XlS The Sj are orthonormal with respect to o;. Then they satisfy a three-term recursion:

with

«i+i(A) = ajKA)sj(A) - 7j_iSj_i(A), forj>l.

C being a constant.Specifically, we have studied two kinds ofJacobi polynomials; the Chebyshev

polynomials {a = 0 = ~5)» the Liendre polynomials {a = 0 = 0).

88 PASCAL JOLY ii OLIVIER PERLOT

§5 Numerical results on CM-2

In this section, we give results of numerical experiments in ordcr to point outsome additional facts about polynomial preconditioning on massively parallelcomputers. The PCG algorithms stopped as soon as tlie approximate residualTj = b—Axj —Tj-i —on-iApi-i, satisfíed ((rj|| < e||ro||, where t = 10~®. Westudy the number of iterations, the Mflops rate and the computing time as afunction of the polynomial degree. At first we test the model Poisson problemwith a 512 X 512 mesh.

The first results concern the number of iterations of the PCG with these pre-conditioners (in fact, table 1 shows the degree which minimizes the computingtime for all preconditioners).

Preconditioner Optimaldegree

Number of

iterations

Total

time (s)Mflops

DIAG 0 1521 70.5 124.5

NEÜMl 1 761 54.1 114.4

• NEUM3 3 537 58.1 119.0

MINMAX 12 109 36.8 164.4

MCARRE 16 100 45.4 171.6

LEG 10 163 49.6 174.4

Table 1:

CM-2'S OPTIMAL RESULTS ON PROBLEM 1 WITH A 512x512 MESH.

The convergence rate of the polynomial preconditioners is always betterthan those of the diagonal preconditioner, but does depend on the cholee ofthe polynomial. For example, the decrease in the number of iterations usingtruncated Neumann's series is not sufficient to allow degrees greater than 3,because of the cost of the polynomial computation. The three-term recursionevaluations are very stable and actually competitive. In fact, we can even usemuch higher degrees (500) with the algorithms MINMAX, MCARRE and LEG.

It has sometimes been claimed that the diagonal preconditioner can deliverthe smallest computing times on massively parallel supercomputers. Table 1proves that the polynomial preconditioners are better massively parallel preconditioners for this problem; with the optimum degree of MINMAX (12), thetime required to solve the problem with the diagonal preconditioner has beennearly cut in half.

Some algorithms have a better MFlops rate than others, because at eachiteration they compute more operations without communication between pro-cessors. The polynomial preconditioners are very massively parallel, becausethey have a very high parallelism degree, 89.5% with MINMAX and its optimumdegree (12), or 98.5% with a higher degree (100).

POLYNOMIAL PRECONDinONS 89

Now. we are intercsted in solving an ill-conditioned linear system; the discreto versión of the second problem with a 256 x 256 mesh. The eigenvalues ofthe matrix A are not explicitly known for this problem, so we have symmetri-cally scaled the inatrix A in order to have a imit diagonal, and then we solve(2) instead of (1).

Preconditioner Optimaldegree

Number of

iterations

Total

time (s)Mñops

DIAG 0 7368 129.0 82.3

NEUMl 1 3792 108.5 71.0

NEUM3 3 3238 126-3 82.4

MINMAX 31 223 52.9 142.7

MCARRE 70 108 56.4 , 153.4

NORM 90 87 56.6 147.4

Table 2:

CM-2'S OPTIMAL RESULTS ON PROBLEM 2 WITH A ^6x 256 MESH.

Table 2 confirms that the diagonal preconditioner is no longer the best massively parallel preconditioner for these kinds of problems. The CM-2 achievesfewer Mflops than for problem 1, only because the mesh is smaller. Neverthe-less, we keep a good degree of parallelism, 93% with MCARRE and polynomialdegree 100.

Finally, MINMAX, MCARRE and NORM are some of the very efficient preconditioners on massively parallel supercomputers like the CM-2.

§6 Conclusions

We have reviewed some techniques for an efficient use of PCG on massively parallel supercomputers. The main conclusión of this paper is that the polynomialpreconditioners associated with a fast matrix by vector productcan run muchfaster than the simpler but more easily parallelizable diagonal preconditioner.

Thus, for an efiicient use of PCG on massively parallel supercomputers,we propose to use the MINMAX or NORM preconditioners. MINMAX givesthe better results of these preconditioners, but it needs an estimation of themínimum eigenvalue a O, whereas NORM is independent of the eigenvalues.

The problems we propose may seem academic, but the method can handlemore realistic ones, on grids topologically equivalent to 2D-rectangular grids;and it can aiso be used as a linear system solver in a fictitious domain approachfor more general meshes.


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PascaL Joly




e-mail: joly®ann.jussieu.fr

Olivier Perlot




Memorias 111 Escuela de Verano

Geometría Dlferenclsd

Ecuaciones Diferenciaies Parciaies

y Anáilsis Numéric»

Universidad de los Andes, 20 a 30 de junio de 1995

páginas 91-96

Pointwise error estimates andasymptotic error expansión

inequalities for the finite elementmethod on irregular grids

Alpred H. Schatz^


The aim of this lecture is to derive new pointwise error estimates for the finite element method on general quasi—uniform meshes for second order ellipticboundary valué problems in N > 2. In a sense to be discussed below,these estimates represent an improvement on the now standard quasi-optimalLoo estimates. In order to fix the ideas, here we will deal with global estimatesfor a model Neumann problem with smooth solutions. Local estimates, bothinterior and up to the boundary, which are applicable to a variely ofproblemswith both smooth and nonsmooth solutions can also be derived. As a conse-quence of these estimates, some new and usefui inequalities will be given whichare in the form of error expansione. They are valid for large classes of finiteelements on general quasi—uniform meshes in R^ and have application to bothsuperconvergence and extrapolation. Let us begin bygiving a briefdescriptionof some of the main results.

Let íí be a bounded domain in R'' , N >2 with smooth boundary dSl. Let

A(.,„) =/„( E ^ ^c(xH)d. (.)t,J—1 *' .t=l

* Supported in part by the National Science Foundation Grant DMS 9403512

91

92 ALFRED H. SCHATZ

be coercive over W^2(^)> for given / 6 ícf- n € be thesolution of the Neumann problem with homogeneous boundary data definedby

j4(u,z;) = (/,u) = í fjt dx for all v6 tVj (íí). (2)Jíi

It is well known that if / is smooth in Í2 thcn u is also.Now consider the approximation of u tising the finite element method. Let

O < h < 1 be a parameter, r > 2 be an integer and S' (Sl) C bea family of finite element spaces. The precise assumptions on these subspacesare technical, but are satisfied by many types of commonly used finito clements.For the purposes of this lecture they may be thought of as any one of a variety ofspcices of continuous functions, which on each set r of a quasi-uniform partitionof Í2, roughly of size h, contains all polynomials of degree r —1 and fit theboundary exactly. For example r = 2 could correspond to piecewise linear(or bilinear, etc.) functions, and r = 3 to piecewise quadratic functions, etc..Thus they can approximate functions to order /i'" in Loo(í^) and order in

The finite element approximation Uh € S'^(Q) is taken to satisfy

A{uh,ip) = (f,cp) for all ipeSl'{Q)

or, on subtracting (3) from (2),

A{u —Uh,ip) = O for all i/j e ¿"''(fí).

(3)

(4)

Quasi-optimal Loo estimates on general quasi-uniform nicshes for the finiteelement method were first proved by Natterer [3] and Scott ll3j in 1975. Thesewere followed ty many other studies which refined and extended their resultsto more general situations (see for example [4], [5], [7], (8), (9], (10) and [11] toñame a few). These estimates take the form

ll«-•"/»!! i-=o(n)< Ch(4)' (5)

and

ll«-«h||WJoín)

C inf Iu- Xll (6)

In (5), r —1 if r = 2 and r = Oif r > 3. The constants C in (5) and (6) areindependent of u, Uh and h.

The results discussed here start with a slightly different point of view. Theyare based on the fact that part of all of the present proofs of the global Looestimates have much in common with the proofs of local L2 based error estimates, where cutofF functions are rcplaced by weight functions. The proofs ina sense are local in nature. Henee here we shall focus our attention not on the

POINTWISE ERROR ESTIMATES 93

or norm of the error but rather on the error at an. arbitrarybut fixed point x of íl.

In order to derribe our first results we shall need some notation. Fbr eadifixed point .t € íí, real number s and arbitrary y € consider the wei^tfiinction

(7){\x-y\ +h)Notice that if s > Oand |.T —yj = 0{h) then <T%{y) = 0(1). Fbrthermore a%{y)is a decreasing function of |x —yj and (T%{y) —0{h^) when ja; —yj= 0(1). For1 ^ P ^ 00 and fixed x, consider the weighted norms

(8)

and

(9)

Notice that if p = 00 and s == O, these weighted norms satisfy, for continuousti.

(10)

and at points where Vti(x) is continuous

|Víi(x)| < Ijujj < jjujj (11)

Our fir^ result concerns the error of (ti —ti/j)(x) at an arbitrary but fixedpoint X€ Í2, and may be roughlystated as foUows: Let x € Í2 andO< 5 < f~2,then

|(ti-ti,»)(x)| < ijti-tihil < C7/i(lni)^nf |jti-x||í-ooín),z,a \ hJ X€SÍ

(12)

Here s —1 if s = r —2, 5 = 0 ifO<5<r —2, and O is independent of ti, Uhand X.

It is easy to see that (12) is sharper than (5) when r > 3. In Cact dioosing.T e n to be the point where |(ti —Uh)(x)| = jjti —tihj|i,„(n) and using theinequality (11), it follows that (12) implies (5) when O< s < r 2 but notvice versa. The estimate (12) gives new information about the behavior oftheerror at a fixed but arbitrary point x G Í2. Becatise of the w«ghted norms onthe right, it indicates a more localdependence of the errorat x onthe solutionu in a neighborhood of x than is indicated by (5).

Let US briefly discuss the difierences in the proofe of (5) and (12). Thestarting point that can be used for both is the representation

|(u-Ufc)(x)| < |A(ti-x,5®-ff/í)| (13)

94 ALFRED H. SCHATZ

where g® may be thought of as a "smoothed" Green's function with singular-ity at X, G is its ñnite element approximation, and x € S'^(íl) isarbitrary. So the problem reduces to obtaining estimates for 5® —g^. Ananalogous approach heis been usad previously for obtaining pointwise estimatesfor finite difference methods and was also used by Scott (13) in analyzing theñnite element method. The estímate (5) for the Loo norm follows by taking

ll«-Wfc|| ioo(n)

and showing that

< C\W- sup'¡ten

< Ch('"ir (14)

If one thinks of g' as "almost" being in W^(Sl) then (14) is reasonable fromthe point of view of approximation theory, in terms of powers of h. Thistype of estimate is in fact proved in all those papers using this approach. Onthe other hand if one thinks of the Green's function with singularity at x, its"nonsmooth" behavior occurs oniyat x. Away from x it satisfies a homogeneouselliptic equation, and henee not only is it smooth but its derivatives have veryspecial decay properties as a function of inverse powers of the distance to thesingularity. Thus we might hope that away from x, g" may be approximatedto order in W} by using the fact that it is in W[ and then bound the r'-''order derivatives in terms of inverse powers of the distance to x. This in factcan be done and we shall prove the weighted estimate

1\«(15)

where O< s < r - 2 and C is independent of h and x. The estimate (15) is ingeneral stronger than (14). Interior pointwise error estimates for the Green'sfunction for this problem were proved in Schatzand Wahibin [9]. The estimate(12) now follows from (15) and (13) which can be estimated by

There is an analogous result for pointwise error estimates for first derivativeswhich may be roughly stated as follows: Let x € íl and O< s < r —1, then

(16)

Here C > Ois independent of u, Uh, h, and x.In view of our previous discussion it is easily seen that (16) implies (6), for

O< s < r —1 but not vice versa. Henee (16) is sharper than (6) this time for

I

i

POINTWaSE ERROR ESTIMATES95

'• ^ 2, and also because of the weighted norm on the right indicates a far morelocal dependence of derivatives of the erroron ti than is indicated by (6)-

In this direction one consequence of the weighted estimates (12) eod (are estimates that we shall caJl "error expansión inequalities". 'rb®^local dependence of the error on ti. There aremany variations which arederived from (12) and (16). Here we shall present a special case of a generresult. We begin with estimates for (ti—Uh){x).

Suppose r > 3 and tt 6 VV¿''"^(ÍÍ) for some O<s <1, then there existsconstant C independent of ti, Uh, /i and x such that

|(ti - ti,,)(.T)l < C(ln i) ^ |I>''ti(x)| +|a|=r

.)•+ /l2r-3lQ|=2r-3

A ^ 2A corresponding estimate for derivatives is as follows: Supp<^ ^ ofti € 14^^~ (fi), then given O< e < 1there exists a constant Cindep®u, Uh, h and x such that

- Uh)(x)l < |£>V«)I +lc*l=r

2r-3+ h ^|D"ti(x)| + h|ttl=2r-2

^|D®ti(x)| + (17)

,2r-2- .)• (18)

lyitliWe remark that these inequalities may be trivially changed x, tí,the constants C replaced by functions p(x,ti,tifc,/i) > O, which eptiji, and h such that g{x,u,Uh.,h) < Cindependent of x, t^ "5 . g, j^yolve

Notice that all the terms on the right except the last in (17) an these

equations ot tne rorm ' j ^be given in forthcoming papers for different problems. Wit Rimi

derivatives of uatonly one point. We wouldíike to emphasize again__ _ ^ jíiaoiflv ^ ^ ixientsexpansions are valid at any*point of í! and for a large class ofm N > 2 and for equations of the form (1), (2). ^h® jjjj,er

Lin"V, givcii in loixncoming papers lor dmereni prouioura. " . ." gjyjjjwork, a more precise asymptotic expansión has been denv ^ m 1and Rannacher [1] for the special case of Dirichlet's Problem in " • „

- ^ , valid at special points xthe plañe for

—Au = / in íí, ti Oon dQ. Their expansions are valid P ^rid" usin^ Diecewise linear elements. The approach usedon a "two regular grid" using piecewise linear elemcuio. —ri--

not to easily generaliza to more generalthere is entirely different and seemssituations.

We end this lecture by mentioning aconsequence of the estimates (17) and(18). Very roughly stated, this says that ifD°'u{x) = Ofor all jaj = r, thenthe rate of convergence for r > 3 of(ti —Uh)(x) isgreater than h.*", and when

96 ALFRED H. SCHATZ

r > 2 therate of convergence QÍV{u—Uh){x) \s greater thari /i'""'. In a futurepublication we shall use local resulta of this type together with some additionalideas to obtain some new superconvergence and extrapolation resuits for thefinite element method.

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Alfreo H. Schatz

Department of Matkematios

CORNELL UNIVERSITY

ITHACA, NY 148S3

USA





C/muerstdad de los Andes, 20 a 30 de junio de 1995

págmas 97-106

Un modelo bidimensionalpara flujos atmosféricos

Esteban G. Tabak

New York University, USA

Resumen. Se describe un modelo bidimensiona] simplificado para ñujoe cuasi-gcoatroficos, que ha sido propuesto piu-a el estudiodela turbulencia atmosférica,la formación de frentes en la atmósfera y elocéano, y la formación desingularidades en las ecuaciones de Euler tridimensionale.

§1 IntroducciónEl estudio de flujos a gran escala en la atmósfera y el océano iia progresadoenormemente en las últimas décadas, debido fimdameiitalmentea dos factores:el desanollo de computadoras y métodos numéricos que permiten modelar estosflujos en forma razxjnablemente realista; y la aplicación exitosa de métodosde la matemática aplicada, en particular desarrollos asintóticos que permitensimplificar notablemente las ecuaciones que describen estos flujos, mediante el"filtrado" de las frcKuencias altas.

El artículo presente, que so inscribe en esta segunda vertiente, describe unmodelo asintótico simplificado para el estudio de flujos atmosféricos a gran escala en las latitudes medias. Por una coincidencia afortunada, lasecuaciones deeste modelo resultan formalmente análogas a las ecuaciones de Enler tridimensionales, pero en un contexto bidimensional. Esto les brinda un valoradicioned,ya que las convierte en una herramienta iitil para el estudio de las ecuacionesde Euler. Al mismo tiempo, esta coincidencia formal convierte al modeloen un

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ámbito ideal para que matemáticos formados en el estudio de las ecuaciones deEuler descubran las características más notables de los fluidos geofísicos.

Este trabajo se dirige particularmente a aquellos matemáticos, físicos e ingenieros interesados en el estudio de la atmósfera y el océano, pero sin unaformación previa signiñcativa en fluidos rotantes. Por ello, principios funda^mentales, como el balance geostrófico, la preservación de la verticidad potencialy el escalamiento cuasigeostrófico, son tratados con algún detalle. Se ha intentado enfatizar el contenido físico de estos principios, privilegiando derivacionesintuitivamente claras por sobre otras con un contenido más formal.

Tiras esta introducción, se describen los ingredientes más importantes delmodelo, que son también elementos básicos de los flujos geofísicos: el balancegeostrófico, la vorticidad potencial, y el escalamiento cuasigeostrófico. Estoselementos se combinan luego, con el agregado de hipótesis simplificadoras, paradar lugar a un modelo bidimensional. La última sección describe brevemente larelación de este modelo con las ecuaciones de Euler en dos y tres dimensiones.

El modelo descrito fue propuesto por Blumen en [2] para el estudio de laturbulencia atmosférica. En este contexto, el modelo también fue utilizado porPierrehumbert, Held, Swanson y Garner en [10] y [6]. Constantin, Majda yTabak han estudiado su analogía con las ecuaciones de Euler tridimensionalesen [4] y [5], y sussimilitudes y diferencias con Euler bidimensional en [8].

§2 B1 balance geostrófíco

En las latitudes medias, y para flujos atmosféricos en escalas grandes, del ordende miles de kilómetros y varios días, la aceleración de Coriolis, debida a larotación de la Tierra, es muy superior a las otras componentes de la aceleración.Üna forma conveniente de expresar esta diferencia de magnitud es en términosdel número de Rossby

Ue = (1)

/i'

donde U y L son escalas típicas de velocidad y longitud horizontales, y / es eldoble de la componente vertical de la rotación de la Tierra en la latitud considerada. Al reescalar las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimientohorizontal obtenemos, en el límite cuando e tiende a cero, el llamado "balancegeostrófico"

u = -T/'V =

fp(2)

donde uy v son las componentes horizontales de la velocidad, P es la presióny p la densidad del aire. Nótese que (2) representa un balance entre la aceleración de Coriolis y el gradiente de presiones. Este balance tiene importantes

UN MODELO BIDIMENSIONAL PARA FLUJOS ATMOSFÉRICOS 99

consecuencias. Por un lado, nos dice que, en una primera aproximación, ladivergencia Uj. + Vy de las componentes horizontales de la velocidad se anu-

Por otro, nos permite identificar la presión con la función dé corriente 'J'-.TTct-n -- . ... ...Esta identificación es sorprendente, ya que implica que los vientos dominantesson paralelos a las isóbaras, en lugar de tomar la dirección del gradiente d®Cll lUgOl

presiones, intuitiNfamente más plausible.Las ecuaciones en (2) nos permiten calcular las velocidades u y usiCono

cemos la distribución de presiones P(x,y,z). Sin embargOi no hay nada enum CUlUCUgVF, ..w J ---e las que nos indique cómo este campo de presiones evoluciona en el tiempo.

Para encontrar las ecuaciones que rigen dicha evolución, puede realizarse imârrollo formal de las ecuaciones del movimiento en potencias de e, e ir más

ecuaciones que ngen cucna evoiuaon, pucuc

ârrollo formal de las ecuaciones del movimiento en potencias de e, eir mása a del primer orden que hemos considerado hasta ahora. Elste procedimiento.a a el primer orden que hemos considerado hasta ahora. Elste procedimiento,que puede verse, por ejemplo, en Pedlosky [9], da lugar a las denominadasecuîones cuasigeostróficas". En este trabajo, sin embargo, preferimc» dar

una erivación más intuitivadeestas ecuaciones, en términos de ladenominadavorticidad potencial"

§3 La vorticidad potencialEl concepto de vorticidad potencial Q, debido a Ertel, es una gieheralizadóndel de vorticidad, y se define de forma tal que Qse conserve a lo largo de larayTOtoria de una partícula. En este sentido, la vorticidad potencial es ^áloga

a a emperatura potencial 0, que generaliza la temperatura, y es también üñ®constante para cada partícula en flujos adiabáticos.

a conservación de vorticidad potencial está ligada al teorema de Kelvinso re prêi vación dela circulación. Recordemos que lacirculación Fdel campo

e ve ocidades u a lo largo de un circuito cerrado C se define como

= íu-Je

dr(3)

Consideremos ahora un circuito C(f) que se mueva con él fluido, de forma talque conste siempre de las mismas partículas materiales. El teorema de Kdvmnos dice que, tanto para flujos incompresibles como para flujós barotrópicos,en que la presión depende sólo de ladensidad, la circulación Palo largo de talcircuito C(í) es una constante. Es importante notar que el teorema es válidoincluso para flujos no barotrópicos, siempre que la presión sea una función sólode la densidad a lo largo de C. En particular, supongamos que la presióndependa de la densidad y la temperatura potencial:

p = p{p,e) (4)

Consideremos un circuito C trazado sobre una superficie S con temperaturapotencial Oconstante. A lo largode tal circuito, pesfunción sólo, dep. Más aún,como 6 no cambia a lo largo de la trayectoria de una partícula, las partículas

ESTEBAN G.TABAK

de C{t) tendrán siempre el mismo valor de O, y el teorema de Kelvin resultaráválido. Es esta versión "débil" del teorma de Kelvin la que nos interesa.

Recordemos que la vorticidad w es el rotor del campo de velocidades. Porconsiguiente, por el teorema de Stokes, la circulación F de u a lo largo de Ccoincide con la integral del flujo normal de cj a través de cualquier superficieÍ1 que tenga C por perímetro. En particular, como C yace en la superficie S,podemos tomar íí como el interior de C en esta superficie. Con esta elección,el teorema "débil" de Kelvin adopta la expresión

/Jnu)

dS = constante.

donde uin es la componente de la vorticidad perpendicular a la superficie S o, enotros términos, la proyección de la verticidad sobre el gradiente de 9. Por consiguiente, si el área de íí(í) disminuye, debe aumentar proporcionalmente.Nuestro siguiente paso será relacionar esta contracción local de f2(í) con unestiramiento del fluido en la dirección normal a la superficie ,5.

Para ello, consideremos ahora dos superficies muy cercanas, correspondientes a dos valores de 9 muy próximos, y un pequeño segmento de tubo cuyassecciones extremas se encuentren sobre dichas dos superficies. Si el área deestas secciones es Í2, y la distancia entre las superficies As, el volumen deltubo estará dado aproximadamente por V = SlAz, y por lo tanto su masa seráM = pV = pQAz, donde p es la densidad local del fluido. Si movemos el tubocon el fluido, de forma que esté formado siempre por las mismas partículas,su masa no cambiará, y sus secciones extremas seguirán ubicadas sobre superficies con los mismos valores de 9. Por el teorema do Kelvin, Q, variará enforma inversamente proporcional a uin- La distancia entre las superficies Az esinversamente proporcional al gradiente de O, ya que los valores extremos de 6permanecen fijos. Por consiguiente, la masa del tubo estará dada por

M - püAz ~ —p—- = —^— f61w„|V0¡ íü-VO ^ 'y por consiguiente la cantidad

w-Vé)

debe ser una constante para cada partícula:

dQ

donde d/dt denota diferenciación total a lo largo de la trayectoria de unapartícula

d d „S = +

Esta cantidad Q es la denominada "vorticidad potencial".

UN MODELO BIDIMENSIONAL PARA FLUJOS ATMOSFÉRICOS 101

§4 Escalamiento cuasigeostrófico

La preservación de la vorticidad potencial es la restricción adiciona! que estábamos buscando sobre la evolución temporal de un flujo en balance geostrófico.Para entender sus efectos, sin embargo, debemos reescalar las ecuaciones, desarrollando las variables en potencias del número de Rossby e. Los ingredientes básicos de diclio escalamiento, que aquísólo esbozaremos (ver |9! paraun tratamiento más detallado), son la rotación rápida de la Tierra, la casibidimensionalidad de los flujos atmosféricos, y la estratificación vertical de laatmósfera.

De dichos ingredientes se desprende, en primer lugar, que podemos limitarnos a considerar las componentes verticales de los vectores en el numeradorde (7). En particular, la vorticidad oj está dada aproximadamente porla sumade dos veces la componente vertical de la velocidad angular de la Tierra / y lavorticidad vertical relativa

w = {f + eOk, (9)

donde £ es el número de Rossby, y fe es el versor vertical. Para un fluidoestratificado, por otra parte, ladensidad y la temperatura potencial están dadaspor la suma de su valor en equilibrio y una perturbación que depende delmovimiento:

p = p° + sp' (10)9 = 9^+ £0' (11)

Aquí hemos adoptado el mismo e para la estratificación que para la reladónentre vorticidades, de forma que ambos efectos aparezcan en las ecuacionesfinales. Introduciendo (9), (10) y (11) en la definición de vorticidad potencial(7), obtenemos

Q =u • V0 íl -H e/'i +

Tanto ^ como Oy p en (14) pueden expresarse en términos de la función decorriente í». Para Wr, esto es una .consecuencia de la igualdad

^ = Vy-u^ = + yüyy = Aalf, (13)

donde A2 representa el Laplaciano bidimensioiial. Para py la relación conlafunción de corriente surge del balance hidrostático, ya que ambas son proporcionales a la derivada vertical de la presión, y la presión lo es a la función decorriente, debido al balance ôstrófico (2). Si, por simplicidad, consideramosuna situación en la que / es constante, lo que corresponde a no incorporar en

102 ESTEBAN G. TABAK

el modelo la vari£u:ión de la fuerza de Coriolis con la latitud, y adoptamos unaatmósfera estratificada exponencialmente, obtenemos, para la parte variable dela vorticidad potencial, después de reescalar las variables independientes x, yy z, la expresión

Q = Así', (14)

donde A3 representa el Laplaciano tridimensional dxx + dz¿. El principiode conservación de la vorticidad potencial (8) adopta, en este contexto casibidimensional, la forma

Qt + uQx + vQy = O, (15)

donde u = —"íy y v =

§5 Clausura de un modelo bidimensional

Las ecuaciones (14) y (15), con condiciones iniciales y de contorno adecuadas,describen la evolución del campo de velocidades en una escala cuasigeostrófica.En particular, es necesario especificar condiciones de contorno en la superficiede la Tierra z = 0. Para ello, consideremos la'temperatura potencial 9. Comomencionamos en la sección anterior, la temperatura potencÍ£il es proporcionala la derivada vertical de la presión y, por consiguiente, también de la funciónde corriente:

9 = 9: (16)

Por otro lado, para flujos adiabáticos, la temperatura potencial asociada a cadapartícula es una constante del movimiento. De ahí que, en z = O,

9t + u9x + v9y — 0. (17)

Lasecuaciones (16) y (17) actúan como condición de contorno para en z = 0.Notemos que, si la vorticidad potencial se anula inicialmente, lo hará siem

pre, en virtud de (15). Esto sugiere adoptar Q = A39 = Ocomo hipótesis declausura para un modelo simplificado, consistente en las siguientes ecuaciones:

As^ para z > O

9t + V- '4' • V9 O en z = O

^ = 'Í'í en z = O

'Í'í —• O cuando z —♦ 00,

donde V-*- denota el vector

=U')

(18)

En este modelo, las únicas ecuaciones de evolución son las dadas en la frontera z —O, pero éstas involucran derivadas tanto horizontales como verticales

UN MODELO BIDIMENSIONAL PARA IFLDJOS ATMOSFEaUCOS 103

de Para relacionarlas, debemos iccorrir a la«amaón quesaaásfece ^ en dinterior del dominio z > 0. Sinembai^ no resulto necesario para eDo odailarla solución completa en el interior; la transfiannacámi de ^ a 4*2 (de datos deDirichlet a datos de Neumann) puede calcnlarsemediwTiteiaii<q»CTadorBibegalen la frontera. Eln efecto, si ^ satisfece iaecaación deliaptaceî z >41,.decaeen z = 00, y sus valores en z = O están dados prar

(19)

donde a(k,l) es la tranformada de Rwmer de entoncesadmite la representacidn integral

^(x,j/,z) =Jy/ié'+i'sdfcdZ,de donde deducimos que está dada pcn:

4r,(^y,fr) =-J +I%(jb,J)e<f*-+'w)íadL

(30)

(21)

En otras palabras, las fundones y están ¡relaribnadas¡porel operador

cujía rejaresentadón en d espado de EGnnier es

donde |fc| = + l^.Con esta transformadón, la evoluciÓD de lE' y en la z = ®

modelo (18) puede formularse sin zongima referenciaal iateriardddoiiiinio, deforma puramente bidimensional:

donde

9t + u~V9 = (Q,

u =

9 = - (-A) '' 1Í',

donde A rejaresenta el Laplaciano Indimensianal.

(24)

(25)

(26)

104 ESTEBAN G. TABAK

§6 Similaridades con las ecuaciones de Buler en dos ytres dimensiones

Las ecuaciones (24), (25) y (26) del modelo cuasigeostrófico bidimensionalscHi fiarmalmente análogas a las ecuaciones de Euler bidimensionales, escritasen términos de la vorticidad ur.

w + u-Vw = O, (27)

donde

u = (28)

oj = A^. (29)

En (24), la temperaturapotencial 0es análoga a la vorticidad wen (27). Ambasson cantidades escalares asociadas a cada partícula que, al desplazarse, no lohacen oi forma pasiva, sinoque afectan el campode velocidades, representadopor la función de corriente "P. En este sentido, son dos ejemplos de lo que sedenomina "escalares activos" (3j. La diferencia entre ambos está en la formade la relación entre el escalar activo y la función de corriente, que está en uncaso dada por un operador local, el Lapladano, y en el otro por uno no local,su raíz cuadrada.

La analogía entre el modelocuasigeostrófico y las ecuaciones de Euler bidimensionales ha sido explorada raí detalle en (8]. La principal diferencia entreambos modelos surge al considerar el estiramiento de filamentos, que puededescnbirse mediante ecuaciones de evolución para los gradientes de 0 y a», quese obtienen al diferenciar (24) y (25):

= Vê-Vuiit

—V-'-w = V-'-w • Vu.dt

(30)

(31)

Pese a que ambas ecuaciones lucen formalmente idénticas, su diferencia estribaen la expresión de la "matriz de deformación" Vu comofimción de V-'-0 yrespectivamente:

Vu(x) =-PV.j V-Oix -J- y) ®V dy

Vu(x) =^ J ®V(I<^ |y|)dy.

(32)

(33)

UN MODELO BIDIMENSIONAL PARA FLUJOS ATMOSFÉRICOS IOS

La relación entre ambas variables está dada, en el caso cuasigeostrófico, poruna integral singular y, para las ecuaciones de Euler bidimensionales, por unaconvolución con un núcleolocalmente int^rable. Estohace que elestiramientode filamentos tenga una realimentación local no lineal mucho más fuerte en elmodelo cuasigeostrófico. EJs posible, incluso, que este modelo desarrolle singularidades en tiempo finito (ver (4)); las ecuaciones de Euler bidimensionales, encambio, no desarrollan singularidades.

Las ecuaciones (30) y (32) sugieren ima analogía más profunda entre el modelo cuasigeostrófico bidimensional y las ecuaciones de Euler tridimensionales.En efecto, estas últimas suloptan la forma

du}

dT = (34)

donde cj ^ el vector vorticidad, y la relación entre Vtt ywestá dada por unoperador integral singular. Elsta analogía ha sido tratada raí detalle en [5], porlo que rio nos extenderemos aquí sobre ella. Mencionaremos tan sólo que laexistencia de tal analogía da un valor nuevo al modelo cuasigeostrófico, que seconvierte en una herramienta para el estudio de lasecuaciones de Eluler tridimensionales. En particular, seha propuesto en {5j utilizarlas para investigar si1^ ecuaciones de EJuler tridimensionales desarrollan singularidades en tiempo

mto, un problema teórico importante en el estudio de laturbulencia (ver, porejemp o,^ ¡1) y [7]). Curiosamente, las singularidades cotijeturadas para el mod-e o cuasigeostrófico corresponden, en el contexto geoffaico, a la formación defrentes entre masas de aire frío y caliente en laatmósfraa, denominada "firon-togenesis .

§7 AgradecimientosQuisiera agradecer muy especialmente a los organizadores de la Escuela deVerano por laoportunidad de participar en ella. Este trabajo ha sido financiadoparcialmente por el subsidio de la National Science Foundation DMS-9501073.

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Mora-Osejo, L.E. 1987. Estudios morfológicos, autoecológicos ysistemáticosen Angiospermas. 1/16. 196pp,75 figs.Murillo, M.T. &M.A. Harker. 1990. Heléchos yplantas afines de Colombia. 1/16. 326 pp, 145 figs.Lozano Contreras, G. 1994. Las Magnoliaceae del Neotrópico 1/16 148 pp,57 figs.Eslava, J. Aspectos relacionados con laerupción del volcán Nevado del Ruiz. 1/16 174 pp, 46 figs.Rocha Campos Marta. Diversidad en Colombia de los Cangrejos del géneroNeostrengeria. 1/16 IV + 144 pp, 47 figs.Mora-OseJo, L.E.&Sturm Helmut. 1994. Estudios Ecológicos del Páramoydel bosque altoandino. Cordillera Oriental de Colombia. Tomos I y H. 716 pp,190 figs.Díaz,J. M.;Garzón-Ferreira J. &Zea Sven. 1995. Los arrecifes coralinos delaIsla de San Andrés, Colombia: estado actual yperspectivas para su conservación.1/16. 152 pp, 15 figs, 27tablas y 15 láminas acolor.Eslava Ramírez, J.A. 1995. Régimen de la presión atmosférica en Colombia. 1/16. 152 pp, 94 figs, 59 tablas.John Ch. Donato Rondón, Luz Estela González G. & Claudia LilianaRodríguez M. Ecología dedos SistemasAcuáticos dePáramo. 1/16.168 ppt 53figs, 14 tablas, 9 fotografías.Andrade-C. M.G., G. Amat &F. Fernández (Eds.). Insectos de Colombia -EstudiosEscogidos (Próximo enaparecer).

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Lértora Mendoza, C.A. 1995.Fuentes parael estudio de lascienciasexactas enColombia. 1/16.316 pp.

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