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Fundamentos Matematicos en la Arquitectura

Convocatoria ordinaria de febrero

13 de febrero de 2012

1. Clasificar y calcular los elementos relevantes de las siguiente conica:

−2x2 + 4xy + y2 + 6√

5x− 12 = 0.

2. Calcular la distancia entre las rectas:

R1 := x =y

2=

z

3y R2 :=

x− 1−1

= y − 4 = z + 1.

3. Dada la curvaR(t) = (t, cos(t), et), t ∈ [0, 2].

a) Calcular los vectores tangente, normal y binormal unitarios.

b) Determinar la curvatura y la recta tangente en t = 0

4. a) Obtener la ecuacion del plano tangente a la grafica de z = 4x + y2 en (−1, 3, 5).

b) Usando una simple operacion entre vectores, ¿Como averiguarıas si dos puntos de coordenadas(x0, y0, z0) y (x1, y1, z1) quedan al mismo lado o no del plano Ax + By + Cz + D = 0? Daruna breve explicacion (no mas de 5 lıneas).

c) En una cierta fabrica, la produccion diaria es de Q = 60K1/2L2/3 unidades, donde K designaal capital invertido (en millones de Euros) y L la fuerza laboral (en horas de trabajo). En laactualidad el capital invertido es de 900 millones de euros y se emplean cada dıa 1000 horasde trabajo. Estime la variacion de la produccion que resultara de aumentar la inversion en0,1 millones de euros y en diminuir en 10 el numero de horas de trabajo.

d) Consideremos una caja en el espacio definida por 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 2. Latemperatura en el punto (x, y, z) de la caja viene dada por la funcion

T (x, y, z) = xy + yz + xz.

Si nos situamos en el punto (1, 1, 1). ¿En que sentido nos tendremos que mover para que latemperatura crezca lo mas posible? ¿Cual es la mayor tasa de variacion de la temperatura endicho punto?

5. Se quiere construir cajas con las paredes laterales y el fondo de carton y la tapadera de plastico.Cada cm2 de carton cuesta un centimo y cada cm2 de plastico cuesta tres centimos de euro. Ademaslas cajas deben tener una capacidad de 2000 cm3. Determinar las dimensiones de las cajas paraque el coste sea el menor posible.

6. a) Determine el area del anillo elıptico limitado por 9x2 + y2 = 9 y 9x2 + y2 = 36.

b) Hallar el volumen de la region solida comprendida entre los paraboloides

z = 4− (x2 + y2), z = 4− 4(x2 + y2)

y el plano z = 0.

c) Calcular ∫C

exsen(y)dx + ex cos(y)dy

siendo C el triangulo de vertices (0, 0), (1, 0), (1, 1) recorrido en sentido positivo. Indicacion:utilizar el teorema de Green.