1era-presentacion-calculo3-casanova.docx

7/25/2019 1era-presentacion-calculo3-casanova.docx

1/24

TEMA:

INTEGRALES DE LNEA INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA

DOCENTE:Alcntara Ortiz, Delia Antonieta

ALUMNOS:

Arteaa Ca!rera, Eric"#

Ca$ano%a Mari&a$, e'(ar# D)az *+i$e, Mario#

-era$ Al%ara'o, Dante# Ta$illa a.a., Dori$#

CICLO:

2015-1

CA/AMARCAYO E 0120Ca3a4arca, 05 'e A!ril 'el 0126

NDICE

CURSO: CALCULO III


2/24

IINTEGRALES DE LINEA UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTENDICE................................................................................................................1

INTRODUCCION.................................................................................................. 2

OBJETIVOS.......................................................................................................... 3

INTEGRALES DE LNEA INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA.......................4

I. DEFINICIONES:.............................................................................................4

A. CAMPO VECTORIAL...................................................................................4B. CURVAS PARAMETRICAS............................................................................5

C. INTEGRAL DE LNEA..................................................................................5

TEOREMA: Evala!"#$ %& $a "$'&()al %& l*$&a !+,+ "$'&()al %&-$"%a.......5

D. INTEGRAL DE LNEA DE UN CAMPO VECTORIAL........................................

E. INTEGRAL DE LNEA EN FORMA DIFERENCIAL...........................................

II. PROPIEDADES..............................................................................................

A. INDEPENDENCIA DE LA TRA/ECTORIA.......................................................

1. T&+)&,a 0$%a,&$'al %& la "$'&()al& %& l*$&a...................................

2. T&+)&,a: I$%&&$%&$!"a %& la ')a&!'+)"a !a,+ v&!'+)"al&!+$&)va'"v+...............................................................................................

3. T&+)&,a: C+$%"!"+$& &"val&$'&.......................................................

B. CONSERVACION DE LA ENERGIA...............................................................

III. EJERCICIOS................................................................................................6

A. EJERCICIOS RESUELTOS.............................................................................6

B. PROBLEMAS DE APLICACI7N...................................................................15

C. PROBLEMAS PROPUESTOS:.....................................................................28

IV. CONCLUSIONES........................................................................................21

V. BIBLIOGRAFA.............................................................................................22

1 CALCULO - III


3/24

IINTEGRALES DE LINEA UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

INTRODUCCION

Para nuestro trabajo, vamos a considerar la integral de lnea de campos vectoriales, y

una de sus propiedades como es: independencia de la trayectoria.

Las integrales de lnea surgen a principios del siglo ! para solucionar problemas

"sicos relacionados con el "lujo de "luidos, "uer#a, electricidad y magnetismo.

Las integrales de lnea son de capital importancia en matem$tica pura y aplicada, y

tambi%n en "sica: se presentan al estudiar el trabajo, la energa potencial, el "lujo de

calor, el cambio en la entropa, la circulaci&n de un "luido, y otras cuestiones 'ue

involucran el comportamiento de un campo escalar o vectorial a lo largo de una curva.

La integral de lnea independiente de su trayectoria viene a ser una curva regular

parte por parte con e(tremos ) y * se le llama a veces trayectoria de ) a *. a

continuaci&n se obtienen condiciones bajo las cuales una integral de lnea es

independiente de la trayectoria en una regi&n, en el sentido de 'ue si ) y * son

puntos arbitrarios, entonces se obtiene el mismo valorpara todas las trayectorias de )a * en esa regi&n.

2 CALCULO - III
http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml


4/24


O7/ETI8OS

)prender y comprender la teora de integrales.

)plicar "ormulas y de"iniciones

+esolver ejercicios aplicando "ormulas.

)prender c&mo encontrar una parametri#aci&n continua por secciones,

escribir y evaluar una integral de lnea.

)prender c&mo usar el teorema "undamental de las integrales de lnea.

3 CALCULO - III


5/24


INTEGRALES DE LNEA INDEPENDIENTE DE LATRAYECTORIA

DEFINICIONES:

Para comprender y utili#ar las integrales de lnea inicialmente de"iniremos algunos

t%rminos:

A# CAMPO 8ECTORIAL

Las "unciones vectoriales 'ue asignan un vector a un punto en el plano o a un

punto en el espacio son llamadas campos vectoriales.

n ca4o %ectorial $o!re +na rei9n lana R es una "unci&n 'ueasigna un vector (,y a cada punto en +.

n ca4o %ectorial $o!re +na rei9n $oli'a * en el e$acio es una"unci&n 'ue asigna un vector (,y,# a cada punto en /.

)un'ue un campo vectorial est$ constituido por in"initos vectores, se puede

obtener una idea apro(imada de su estructura dibujando varios vectores

representativos (,y, cuyos puntos iniciales son (,y.

l gradiente es un ejemplo de un campo vectorial.

7# CUR8AS PARAMETRICAS

na parametri#aci&n de una curva es una "unci&n vectorial

c :IR Rn

on la propiedad 'ue al variar el par$metro t 9! su imagen c t va describiendo

los puntos de .

na interpretaci&n "sica abitual es pensar 'ue el par$metro t representa al

tiempo y 'ue ct

!ndica en 'u% posici&n del plano o del espacio se encuentra una partcula en el

instante t.

C# INTEGRAL DE LNEA

4 CALCULO - III


6/24


3i f esta de"inida en una regi&n 'ue contiene una curva suave de la longitud

"inita, entonces la integral de lnea de f a lo largo de est$ dada por:

cf(x , y ) s = lim

0i=1

n

f(xi , y i) siPlano

c

f(x , y , z) s = lim0

i=1

n

f(xi , y i , zi) siEspacio

La llamada integral de lnea es la 'ue se integra sobre una curva .

4+6): valuaci&n de una integral de lnea como integral de"inida.

3ea f continua en una regi&n 'ue contiene una curva suave . si c est$ dada

por rt7 (ti 8ytj, donde a t b, entonces:

x (t) , y (t)[x (t)]2+ [y (t)]

2

f

c

f(x , y ) s =a

b

3i est$ dada por rt 7 (ti 8 ytj 8 #t9, donde a t b ,entonces:

x ( t) , y (t) , z (t)[x (t) ]2+[y (t) ]

2+[z (t)]

2

f

c

f(x , y , z ) s =a

b

D# INTEGRAL DE LNEA DE UN CAMPO 8ECTORIAL

3ea un campo vectorial continuo de"inido sobre una curva suave dada por rt,

a t b. la integral de lnea de sobre est$ dada por:

5 CALCULO - III


7/24


c

F . dr=c

F .Tds=a

b

F(x (t), y (t) , z ( t)). r ( t) dt .

E# INTEGRAL DE LNEA EN ORMA DIERENCIAL

La integral de lnea tambi%n la podemos usar con la siguiente notaciones es un

campo vectorial de la "orma (,y 7 6i 8 ;j , y est$ dada por rt 7 (ti 8 ytj ,

entonces . dr se escribe a menudo como 6 d( 8 ; dy

c

F . dr=c

F .dr

dtdt

a

b

(Mi+Nj ) . (x ( t) i+y ( t)j ) dt

a

b

(Mdxdt+Ndydt)dt

b

(M dx+N dy )

)l momento de omitir los par%ntesis podemos obtener una "orma di"erencial de

tres variables.

c

M dx+N dy+P dz

II# PROPIEDADES

A# INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA

1. 4eorema "undamental de las integrales de lnea.

3ea una curva suave a tro#os contenida en una regi&n abierta + y dada por rt

7 (ti 8 ytj, a t b.

3i (,y 7 6i 8;j es conservativo en + , y 6 y ; son continuas en +, entonces,

CALCULO - III


8/24

IINTEGRALES DE LINEA UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTEF . dr=

c

f .dr= f(x (b ) , y (b ))f(x (a ) , y (a ))

c


9/24

IINTEGRALES DE LINEA UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE3uponga 'ue un objeto de mama m se mueve a lo largo de una curva suave

dada por:

r= r ( t)=x (t) i+y (t)j+z (t) ! , a t b

*ajo la in"luencia de una "uer#a conservativa r 7

f( r ) . la fisicanos "ns"#atr"s $"c$osac"rca del objeto en el instante t.

F(r (t))=%a ( t)=%(t) (segunda ley de Newton).

E=1

2%r ( t) 2 (E="n"r&iacin"tica) .

EP=f(r) EP ; &$&)(*a +'&$!"al


10/24


+=c cc MdxMdxMdx21

x , f1(x )x , f2(x )M()dx

M()dx+a

b

a

b

a

b

[M(x , f1(x ))M(x , f2 (x ))] dx

Por otro lado,

R

' M' y

d(=a

b

f1 (x)

f2 (x)' M

' y dxdy

a

b

M(x , y) ]f1 (x )f2(x)

dx

a

b

[M(x , f1(x ))M(x , f2 (x ))] dx

Por consiguiente,

c

M dx=R

' M' y

d(

De manera similar, se pueden usar&1 (y ) y &2(y ) para demostrar 'ue

c

N dy=R

' N' x

d(

3umando las integrales

c

M dx

6 CALCULO - III


11/24


c

N dy ,

3e llega a la conclusi&n establecida en el teorema.

III# E/ERCICIOS

A# E/ERCICIOS RESUELTOS

1. Evala)

4:x

2

9+

y2

4=1 en R

2

Solucin: Para allar una parametri#aci&n de esta elipse notemos 'ue su

ecuaci&n se puede escribir en la "orma.

(x2

3)+(y2

2)=1

Lo 'ue signi"ica 'ue un punto (, y 9?si y solo si(x

3,

y

2)

9=. Pero en

tal caso

x

3=cos t "

y

2=s"nt

Para unt[0, 2].

18 CALCULO - III


12/24



13/24


r ( t)=1

2(sin t)

2+(cos t)2+(1)2=1

3e sigue 'ue la masa del resorte es

Masa=

c(1+z )ds=

0

6*

(1+

t

2 ) t

[ t+ t2

22 ]06*

6*(1+3 *2 )144.47

La masa del resorte es apro(imadamente 1??.?A

?. valuaci&n de una integral de lnea en di"erencial

valuar

c

ydx+x2dy


14/24


4

1

(4x+3x22x3 ) x

13

[(1+4 t+t2 )3

2 ]0

2

[2x

2

+x

3

x4

2 ]4

1

=

69

2

5. )plicaci&n del teorema "undamental de las integrales de lnea

valuar

c

F . r ,donde es una curva suave a tro#os desde -1,? asta 1,2 y

F(x , y)=2xyi+(x2y)j como se muestra en la "ig.

Sol+ci9n:se sabe 'ue es la gradiente de ", donde

f(x , y )=x2yy

2

2+-

Por consiguiente, es conservativo, y por el teorema "undamental de las

integrales de lnea, se sigue 'ue

c

F . r = f(1,2)f(1,4 )

[12 (2 )22

2][ (1 )2 (4 )42

2] 4

;&tese 'ue no es necesario incluir una constante 9 como parte de ", ya 'uese c$nsela por sustracci&n.

13 CALCULO - III


15/24

IINTEGRALES DE LINEA UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTEC. valuaci&n de una integral de lnea

valuar

c

F . r, donde

F(x , y )= (y3+1)i+(3x y2+1) j

3abiendo 'ue es conservativo, se resuelve de la siguiente manera. omo el

valor de la integral de lnea es independiente de la trayectoria, se puede

reempla#ar la trayectoria semicircular con una trayectoria m$s simple.

3up&ngase 'ue se utili#a la trayectoria rectilnea2 desde 0,0 asta

2,0. ntonces, r ( t)=t i


16/24

IINTEGRALES DE LINEA UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE' N

' x=x s"ny=

' M

' y

Por tanto, es conservativo. 3i " es una "unci&n potencial de , entonces

fx (x , y , z )=cosy

f y (x , y , z )=

s"n y

f z(x , y , z)=2

!ntegrando con respecto a (,y,# por separado, se obtiene:

fx (x , y , z )=/ fx (x , y , z) dx=/

cosydx=cosy+& (y , z )

f y (x , y , z )=/ fy (x , y , z ) dy=s"ny dy=cosy+$ (x , z )

fz (x , y , z)=/ fz(x , y , z )dz=/2dz=2z+!(x , y )

Comparando estas tres versiones de f(x , y , z ) , se concluye que

f(x , y , z )=cosy+2z+!

As, el trabajo realizado por F a lo largo de cualquier curva C desde (0,

*

2 ,1) hasta (1,* ,3) es

0=c

F . dr

[cosy+2z ](0,*2 ,1)(1, * ,3)

(+6 )(0+2 )4

=. >alla) &l ?)&a ,&%"a$'& $a "$'&()al %& l*$&a.

Usar una integral de lnea para hallar el rea dela elipse

x2

a2

y2

b2=1

15 CALCULO - III


17/24


Sol+ci9n: tili#ando la "igura, a la trayectoria elptica se le puede inducir una

orientaci&n en sentido contrario a las manecillas del reloj aciendo

x=acost y y=bs"nt , 0t t

Por tanto, el $rea es

(=1

2

c

x dyydx=1

20

2*

[(acos t) (b cost) dt (bs"nt) (as"nt) dt]

ab

2

0

2*

(cos2t+s"n2t) dt

ab

2 [ t]

0

2*

* ab

7# PRO7LEMAS DE APLICACI;N

1. Problema ;D 01:

n alambre toma la "orma de un semicrculo x2+y2=1,y 10 , y es m$s

grueso cerca de la base 'ue cerca de la parte superior. alcule el centro

de masa del alambre si la densidad lineal en cual'uier punto es

proporcional a su distancia desde la recta y=1

Sol+ci9n: use la parametri#aci&n x=cost , y=s"n t ,0t * , y

determine 'ue ds7dt. La densidad lineal es

(x , y )=!(1y )

1 CALCULO - III


18/24



19/24

IINTEGRALES DE LINEA UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTELas "ormulas siguientes establecen 'ue las integrales de lnea con

respecto ax y a y tambi%n se pueden evaluar e(presando todo en t%rminos

de t:x=x (t) , y=y (t), dx=x (t)dt ,dy=y (t)dt .

c

f(x , y )dx=a

b

f(x (t) , y (t))x (t) t

c

f(x , y )dy=a

b

f(x( t) , y (t))y (t) t

) menudo sucede 'ue las integrales de lnea con respecto a x y a y se

presentan juntas. uando esto sucede, se acostumbra abreviarlas

escribiendo

c

P(x , y )dx+c

4(x , y )dy=c

P(x , y )dx+c

4(x , y )dy

na representaci&n vectorial del segmento rectilneo 'ue inicia en r0 y

termina en r1 se de"ine con

r ( t)=(1t)r0+tr10 t 1

2. Problema ;D 02:

alcule el trabajo 'ue reali#a el campo gravitacional

F(x )=%M56 6

3

)l mover una partcula de masa m desde el punto =, ?,12 asta el punto

2, 2,0 a lo largo de la curva uni"orme por segmentos.

Sol+ci9n: se sabe 'ue es un campo vectorial conservativo y, de eco,F= f , donde

f(x , y , z )= %M5

x2+y2+z2

Por lo tanto, seg>n el teorema 2, el trabajo reali#ado es

0=c

F . dr=c

f .dr

f(2,2,0 ) f(3,4,12 )

1= CALCULO - III


20/24


%M5

22+22

%M5

32+42+122=%M5(

1

22

1

13)

=. Problema ;D 0=:

3i F(x , y )=(yi+xj)/ (x2+y2) , demuestre 'ue

c

F . dr=2* para

toda trayectoria simple, cerrada, orientada positivamente y 'ue encierra el

origen.

Sol+ci9n: como es una trayectoria cerrada arbitraria 'ue encierra el

origen, es di"cil calcular en "orma directa la integral dada.


21/24


)ora calcule con "acilidad esta >ltima integral usando la parametri#aci&n

de"inida por r ( t)=a cos ti+as"ntj, 0 2 * . Por lo tanto,

c

F . dr=c

F . dr=0

2*

F( r (t)) .r ( t)dt

0

2*(as"nt)(as"nt)+(acos t)(acos t)

a2cos

2t+a2 s"n2t

dt=0

2*

dt=2 *

Aplicando el teorema de Green tenemos: suponga 'ue es un campo

vectorial sobre una regi&n < abierta simplemente cone(a, 'ue P y /

tienen derivadas parciales continuas de primer orden y 'ue

' P' y

=' 4' x

"n todala r"&ion 7

3i es cual'uier trayectoria simple cerrada en < y + es la regi&n 'ue

encierra , entonces el teorema de Hreen da

F . dr=c

P dx+4 dy=R

(' 4

' x=

' P

' y)

?. Problema ;D 0?:

n alambre delgado tiene la "orma de media circun"erencia de radio a. la

densidad lineal de masa en un punto P es directamente proporcional a la

distancia de P a la recta 'ue pasa por los e(tremos del alambre. alcular

la masa del alambre.

Sol+ci9n: introducimos un sistema de coordenadas de manera 'ue la

"orma del alambre coincida con la mitad superior de la

ircun"erencia de radio a con centro en el origenI tiene las ecuaciones

param%tricasx=acos t , y=as"nt)0t *

28 CALCULO - III


22/24


Por ip&tesis, la densidad lineal de masa en P(,y est$ dada por

8(x , y )=!y , para alguna constante 9. la masa del alambre es

%=c (!y ) s =0

*

(!as"nt)a2 s"n2t+a2 cos2t t

0

*

!a(s"nt)a dt=!a2 cos t

0*=2!a2

n las aplicaciones relacionadas con el trabajo, aparecen integrales de

lnea combinadas en la "orma

c

M(x , y ) x +c

N(x , y ) y


23/24


na piedra de 1 libra atada al e(tremo de una cuerda de dos pies se ace girar

ori#ontalmente con un e(tremo "ijo. +eali#a una revoluci&n por segundo. @allar

el trabajo reali#ado por la "uer#a 'ue mantiene a la piedra en una trayectoria

circular usar "uer#a7 masa aceleraci&n centrpeta.

?. 4rabajo:

Para tener un medio de escape para los trabajadores en una arriesgada tarea a

50 metros sobre nivel del suelo, se instala un tobog$n de cable. orre desde su

posici&n asta un punto a 50 metros d la base de la instalaci&n donde se

locali#an los trabajadores. mostrar 'ue el trabajo reali#ado por el campo de

"uer#a gravitatorio para 'ue un ombre de 150 libras recorra la longitud del cable

es el mismo en cada una de las trayectorias.

a= ti+(50t)j

!= r (t)=ti+ 1

50(50t)2 j

5. nerga potencial y cin%tica:

La energa cin%tica de un objeto 'ue se mueve a trav%s de un campo de "uer#as

conservativo disminuye a una velocidad o ritmo de 10 unidades por minuto. Ja

'u% ritmo cambia su energa potencialK

C. 4rabajo:

tili#ar el teorema de Hreen para calcular el trabajo reali#ado por la "uer#a

sobre una partcula 'ue se mueve, en sentido contrario a las manecillas del reloj

por la trayectoria cerrada .

F(x , y )=xyi+ (x+y )j

:x2+y2=4

22 CALCULO - III


24/24


I8# CONCLUSIONES

)prendimos y comprendimos la teora de integrales.

)plicamos "ormulas y de"iniciones

8# 7I7LIOGRAA

alculo octava edici&n: +on Larson, +obert @ostetler y *ruce dards.

Documents

1era-presentacion-calculo3-casanova.docx