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1. Escalares, vectores y el álgebra vectorial
2. Funciones vectoriales de varias variables
3. Diferenciación parcial
4. El gradiente, la divergencia y el rotacional
5. Integración múltiple
6. Integral de línea
7. Integral de superficie
8. El teorema de la divergencia
9. El teorema de Stokes
10. Otros teoremas integrales
1) Funciones vectoriales de una variable real
:
2) Campos escalares
:
3) Campos vectoriales
:
n
n
n m
V R R t r t
R R x x
F R R x F x
: nR R
:
A cada elemento de ,
es decir, a cada vector,
se le asocia un número real,
n
n
R R
R
x x
3
0
:
Se define la derivada parcial de respecto
a , como
, , , , , ,limh
D R R
x
x y z x h y z x y z
x h
3
0
:
Se define la derivada parcial de respecto a , como
, , , , , ,limh
D R R
x
x y z x h y z x y z
x h
Es decir, es como la derivada "normal" tomando
a las variables independientes y como
constantes
y z
3:
Las derivadas respecto a las otras variables independientes,
y , se definen exactamente igual, cambiando los roles de
manera evidente.
D R R
y z
0
, , , , , ,limh
x y z x y h z x y z
y h
0
, , , , , ,limh
x y z x y z h x y z
z h
3 2 2 2: , ,R R x y z x y z
3 2 2 2: ,
, ,2
,R R x y z x y
x y
z
zx
x
3 2 2 2: ,
, ,
,
, ,2
2
R R x y z x y
x y zy
y
z
x y zx
x
3 2 2 2
, ,2
: , ,
, ,2
, ,2
R R x y z x y z
x y
x y zz
z
zx
xx y z
yy
3 2 2 2: , ,
, ,2
, ,2
, ,2
R R x y z x y z
x y zx
xx y z
yy
x y zz
z
3 2: , , sin expR R x y z xy x y z z
3 2: , , sin ex
, ,sin os
p
c
R R x y
x y zy x xy
z xy x z z
xx
y
3 2
, ,sin 2
: , , sin exp
, ,sin cos
R R x y z xy x y z z
x y zy x xy x
x y z
y
x
x x yz
3 2
2, ,e
:
x
, , sin exp
, ,sin cos
, ,sin 2
px y z
y zz
R R x y z xy x y z z
x y zy x xy x
xx y z
x x yzy
3 2
2
: , , sin exp
, ,sin cos
, ,sin 2
, ,exp
R R x y z xy x y z z
x y zy x xy x
xx y z
x x yzy
x y zy z
z
:f D R R
0
00
0
limx x
f x f xdfx x
dx x x
0x
f x
x
0 tandf
x xdx
2 2
Intersección con un p
Intersección con un pl
:
ano
l
,
ano
D R R z x
x
y xy
y
2 2
2
: ,
a) =
D R R z x y xy
x z y
2 2: ,
b) =
D R R z x y xy
y z x
:f D R R
0
00
0
limx x
f x f xdfx x
dx x x
0x
f x
x
0 tandf
x xdx
3
0
Nos indica el cambio
:
, , , , , ,lim
de la función en la dirección
del eje correspondiente.
Es la pendiente de la tangen
¿Qué significado físico tiene una derivada parcia
te
?
e
l
d l
h
D R R
x y z x h y z x y z
x h
a curva proyectada
sobre el plano correspondiente.
: n mF R R
:
A cada elemento de ,
es decir, a cada vector,
se le asocia un vector de ,
n m
n
m
F R R
R
R
x F x
1 2
:
, ,...,
Cada una de las componentes del campo vectorial
es una función de .
Es decir, cada una de las componentes del campo
vectorial es un campo escalar.
: 1,...
n m
m
n
ni
F R R
F x F x F x F x
F x R R
F x R R i
,m
2 2: ,F R R x F x x y y x
x Y x+y y-x0 0 0 01 0 1 -10 1 1 11 1 2 0-1 -1 -2 0-1 1 0 21 -1 0 -22 0 2 -23 -1 2 -4
2 2: ,F R R x F x x y y x
(x,y) F(x,y)
(0,0) (0,0)
(1,0) (1,-1)
(0,1) (1,1)
(1,1) (2,0)
(-1,-1) (-2,0)
(-1,1) (0,2)
(1,-1) (0,-2)
(2,0) (2,-2)
(3,-1) (2,-4)
2 2: ,F R R x F x x y y x
3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2: ; , ,
y x zF R R F x
x y z x y z x y z
1 2: , ,...,
: 1,...,
Derivadas parciales de un campo vectorial:
; 1,2,..., , 1,2,...,
n mm
ni
i
j
F R R F x F x F x F x
F x R R i m
F xj n i m
x
1) Funciones vectoriales de una variable real
:
2) Campos escalares
:
3) Campos vectoriales
:
n
n
n m
V R R t r t
R R x x
F R R x F x
1 2
Sea :
un campo escalar diferenciable,
el
:
definido como
,
c
gradiente de
ampo vectorial
,...,
se llama
n
n n
n
D R R
R R
x x x xx x x
2 2 31: ,
6R R x y x y
1/ 3
2 2
2 3 2
3
1
1: ,
6
66x y a y
R R x y x y
a x
2
2 31, , , ,
6 3 2
x yx y x y x y
x y
2
2 31, , , ,
6 3 2
x yx y x y x y
x y
2 3
2
1,
6
, ,3 2
0.0,0.7 0.057
0.0,0.7 0.000,0.245
x y x y
x yx y
2 3
2
1,
6
, ,3 2
1, 1 0
1 11, 1 ,
3 2
x y x y
x yx y
2 2 2 3
2 2 2
, , ; :
Las curvas de nivel están dadas por la ecuación:
constante
es decir, son esferas con centro en el origen y
radio igual a constante
x y z x y z R R
x y z
2 2 2, , , , , , 2 , ,x y z x y z x y z x y zx y z
Sea : un campo escalar diferenciable.
En todos los puntos en los cuales 0,
el vector apunta en la dirección de mayor
crecimiento de .
El número es la razón máxima de
crecimiento.
nD R R
x
x
x
El gradiente es perpendicular a
las superficies y curvas de nivel
Las superficies y curvas de nivel son en las que el campo
escalar no cambia, en las que el campo escalar se
mantiene constante, por lo tanto es lógico que el
gradiente, que indica la dirección de mayor crecimiento de
la función, sea perpendicular a ellas
2
2 31, , , ,
6 3 2
x yx y x y x y
x y
El gradiente es ortogonal a las superficies (ó líneas) equipotenciales
, sin( )cosx y x y y
•El campo escalar está en blanco y negro, representando el negro valores mayores.•El gradiente está representado por las flechas azules. El gradiente apunta en la dirección de mayor crecimiento del campo escalar
1
campo escalar
S
divergencia de
ea :
un campo vectorial diferenciable,
el
:
definido como
se llama
n n
n
ni
i i
F D R R
F R R
F
FF
x
3 3
2 2
2 2
Sea : un campo vectorial diferenciable,
definido como
, , , ,2
2 2
, , 2
F D R R
F x y z xz y x y
F xz y x y z yx y z
F x y z z y
1
:
Como veremos más adelante, la divergencia nos
indica cuáles son las fuentes y los sumideros de
las lineas del campo vectorial.
Donde la divergencia es diferente de cero, se
tien
nn n i
i i
FF D R R F
x
e una fuente o un sumidero del campo,
según el signo.
3 3
3 3
Sea : un campo vectorial diferenciable,
el
:
definido como
ro
c
ˆˆ ˆ
se
ampo vecto
llama tacional de
ial
r
x y z
F D R R
F R R
i j k
Fx y z
F F F
F
OJO: En inglés se llama“CURL”Equivale a “chinitos”, “rulitos”
3 3
2 2
2
2 2
Sea : un campo vectorial diferenciable,
definido como
, , , ,2
ˆˆ ˆ
2 , 4 ,0
2
F D R R
F x y z xz y x y
i j k
F x x xyx y z
xz y x y
3 3
ˆˆ ˆ
:
El rotacional de un campo vectorial nos dice
"que tantas vueltas" dan las líneas de campo.
Si el rotacional es cero, entonces la líneas de
campo no pueden "cerrarse"
x y z
i j k
F D R R Fx y z
F F F
