1º BLOQUE 4, GUÍA DE EJERCICIOS

4.1Plantear y resolver

problemas que impliquen la utilización de números

con signo.A los Matemáticos de la antigüedad les tocó solamente conocer los NÚMEROS POSITIVOS.

Si en una recta horizontal, señalamos el punto CERO, llámese origen, y a la derecha y a la izquierda del CERO se señalan puntos que representan UNA UNIDAD; se puede convenir en que

los puntos que están A LA DERECHA DEL CERO, representan NÚMEROS POSITIVOS y los puntos señalados A LA IZQUIERDA DEL CERO, representarán NUMEROS NEGATIVOS.

NÚMEROS CON SIGNO

CONVENIO: Se fijan primero los números positivos en una dirección y los negativos en la dirección opuesta, para expresar la temperatura de un lugar determinado.

Identifiquen cada uno de los dibujos, y escríbanle a la derecha, el signo + ó - que indique la localización más alta o más baja, según el orden que le corresponda de acuerdo al nivel del mar.

114- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6

BLO

QU

E 4

-

Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de los números

Se puede restar a un minuendo menor un sustraendo mayor, ejemplo: 8 - 15 = - 7

Brahmagupta y Bháskara fueron dos Matemáticos Hindúes que en el siglo VI usaron los números negativos de manera práctica.

Los Matemáticos de la Edad Media y del Renacimiento trataron de evitar hasta donde fuera posible el uso de los números negativos.

Isaac Newton comprendió la verdadera naturaleza de los números negativos.

Harriot introdujo los signos + y - para determinar con precisión los números positivos y negativos.

La importancia de los números positivos y negativos (con signo) se comprende mejor cuando los usamos para representar el resultado de medir magnitudes cuyas cantidades se pueden tomar en sentidos opuestos (relativas).

Ubica en las siguientes líneas las fechas y contesta lo que se te pide.

A) En el 2 006 celebramos el bicentenario del natalicio de Don Benito Pablo Juárez García. ................................. ¿En qué año nació? _______________

B) Francisco Villa, Revolucionario asesinado en Hidalgo del Parral, Chih., el año 1 923, a la edad de 45 años. ........ ¿En qué año nació? _______________

C) En el año de 1 492, Cristóbal Colón descubre América.¿Qué aniversario celebramos? _______

D) El inicio de la Revolución Mexicana, fué en el año de 1 910. ¿Qué aniversario celebramos? _______

E) Marco Tulio Cicerón, orador y escritor Romano, muere a la edad de 49 años en el año 43 después de Cristo.

¿En qué año nació? _______________

F) César Augusto, primer emperador romano, nació en el año 63 antes de Cristo y murió en el año 14, después de Cristo.

¿De qué edad muere? _____________

G) Virgilio, poeta latino, nace en el año 70 antes de Cristo y vivió 51 años. ¿Qué año murió? _________________

BLO

QU

E 4

115

1 700 1 720 1 740 1 760 1 780 1 800 1 820 1 840 1 860 1 880 1 900 1 920 1 940 1 960 1 980 2 000 2 020

1 900 1 910 1 920 1 930 1 940 1 950 1 960 1 970 1 980 1 990 2 000 2 010

1 450 1 500 1 550 1 600 1 650 1 700 1 750 1 800 1 850 1 900 1 950 2 000 2 050

Antes de Cristo Después de Cristo- 50 - 40 - 30 - 20 - 10 0 10 20 30 40 50

- 70 - 60 - 50 - 40 - 30 - 20 - 10 0 10 20 30 Antes de Cristo Después de Cristo

- 90 - 80 - 70 - 60 - 50 - 40 - 30 - 20 - 10 0 10 Antes de Cristo Después de Cristo


1 900 1 910 1 920 1 930 1 940 1 950 1 960 1 970 1 980 1 990 2 000 2 010

Representa numéricamente las cantidades de las siguientes expresiones, según sean POSITIVAS o NEGATIVAS.

- Pedro debe ciento treinta pesos - $ 130.00

- Recibí cuatrocientos cincuenta pesos ochenta centavos de salario. ____________

- Vivió cincuenta y ocho años antes de Cristo. ____________

- Temprano, el termómetro marca dos grados bajo cero. ____________

- El avión vuela a once mil quinientos metros sobre el nivel del mar. ____________

- Un poste tiene enterrados dos y medio metros. ____________

- Movimiento de cincuenta metros hacia la izquierda. ____________

- Por la tarde, el termómetro marca dos grados bajo cero. ____________

- Un submarino se sumerge a ciento cincuenta metros. ____________

- Un poste sobresale del suelo nueve punto seis metros. ____________

Resuelve los siguientes problemas y ubícalos en cada recta numérica.

116

BLO

QU

E 4

1. Camino 50 m a la derecha del punto A y recorro 25 m en la misma dirección. ¿A qué distancia estoy del punto A?

2. Un móvil recorre a la derecha del punto B y luego retrocede . ¿A qué distancia se encuentra de B?

3. Sócrates, filósofo griego nació en el año 470 a. C. y, Aristóteles, nació en el año 384 a. C. ¿Cuántos años transcurrieron desde que nació Sócrates, hasta que nació Aristóteles?

4. En una cuenta bancaria hay depositados $ 2 389.00, si se efectúa un retiro de $ 567.80, ¿cuál es el estado actual de la cuenta?

5. Usted tiene $ 1 270.50 y paga $ 1 015.70, ¿cuánto le queda?

6.- Pedro llega a la cooperativa de la escuela y pide le den mercancía que hace una cuenta de $ 12.65, ¿cuánto le falta para pagar, si sólo trae en su haber $ 5.70?

m4325m

2148


Completa los números faltantes en la siguiente recta.

1.- EL CERO es la representación de AUSENCIA DE CANTIDAD.2.- Toda cantidad POSITIVA es mayor que CERO.3.- Toda cantidad NEGATIVA es menor que CERO.4.- Toda cantidad situada a la derecha en al recta, es mayor que

otra situada a la izquierda de la misma recta.

De acuerdo a los números situados en la siguiente recta, forma todas la proposiciones verdaderas, partiendo de los ejemplos dados.

117

BLO

QU

E 4

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

0

Escribe el signo > ( mayor que ), < ( menor que ) ó = ( igual ), según corresponda.

+ 3 0 - 1 0 + 8 + 3 - 12 0

- 7 - 3 + 6 0 - 5 0 - 9 - 5

Compara los siguientes números escribiendo >, = ó <.

25 18 - 5 - 3 7 + 2 - 8 12

35 + 49 - 4 - 9 0 - 14 - 1.2 + 0.8

73 + 98 - 86 0 - 12 - 12

12 - 3 0 - 35 - 3x - 9x 13 - 8

- 9 15 12.5 9.72 - 5y - 2y

- 6 18 - 14 - 23 - 0.5 - 0.5

4w 5w t - t - 3f - 5f

119

65

−−

63

87

21

32

−

21

32

−−

ORDEN EN LA

RECTA NUMÉRICA


- Son números SIMÉTRICOS, aquellos que tienen el mismo VALOR ABSOLUTO pero que se diferencian en el SIGNO.

- Si un número es positivo, su simétrico deberá ser negativo y viceversa.- Se llama simétrico, porque al representarlos en la recta numérica LA DISTANCIA DE CADA

NÚMERO AL CERO ES LA MISMA "SIMETRÍA".

NÚMEROS SIMÉTRICOS, INVERSOS ADITIVOS

118

BLO

QU

E 4

- 4 es simétrico de + 4

EJEMPLO:

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO


- 4

+ 4

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6

VALOR ABSOLUTO es el número que representa la cantidad sin

tomar en cuenta su signo.

"Valor absoluto de |- 15| ó |+ 15|" es15

NÚMERO VALOR ABSOLUTO

+ 7 ó - 7 7

+ 5 5

- 0.5 0.5

- m m

1 1 3 3

75

Escribe el número simétrico de:

5 _______ - 0.9 _______ _______ 5.9 _______ - a ______ - 1 _______

- 2 _______ 16 _______ 235 _______ - 8.5 _______ ______ - 4y _______

_______ - 11 _______ 20.0 _______ 9.0 _______ - b ______ - 3.4 _______

32

−

71

83

−

21

−43

−

Escribe el VALOR ABSOLUTO de las siguientes cantidades:

l + 16 l ______ l - 1978 l ______ l + 5 l ______ l - 8 I ______ l 4y l ______ l - 96 l ______ l + 2003 l ______ l - 16 l ______ l 13 l ______ l - 3 a l ______ ______ l - 1994 l ______ l - 63 l ______ l - 49 l ______ ______ l 0 l ______ ______ l 18 l ______ l -18 l ______ l 6.9 l ______

POTENCIACIÓN y RADICACIÓN

¿Son iguales los factores en cada una de las multiplicaciones anteriores? _______

La multiplicación 3 x 3, también se puede representar: 3², donde el 2 es el exponente que nos indica el número de veces que vamos a tomar como factor el 3.3² se lee: tres al cuadrado. El 3 se llama base y el 2 exponente.

¿Cómo podemos representar con exponente las otras dos multiplicaciones?

6 x 6 = ______ 50 x 50 = ______

A la operación 3² se le llama POTENCIACIÓN. La POTENCIACIÓN es una operación que consiste en multiplicar factores iguales, tantas veces como lo indica el exponente.

Para encontrar lo que mide el área de un cuadrado, se utiliza la fórmula: A = L x LPara esto, tú sabes lo que es un cuadrado y puedes contestar lo siguiente:

¿Son iguales los lados de un cuadrado? ______ Al multiplicar LADO por LADO del cuadrado:

¿Serán iguales los factores de la multiplicación? ______

¿Cuál es el área de cada uno de los siguientes cuadrados?

119

Área de color verde = __________ Área de color azúl = ___________

PROBLEMAS:

1.- ¿Cuál es el área de color verde y azúl en las siguientes figuras?

6 cm

32 cm 29 cm

25 cm

BLO

QU

E 4

4.2Resolver problemas que impliquen el cálculo de la

raíz cuadrada y la potencia de exponente natural de

números naturales y decimales.

___ x ___ = ___ ___ x ___ = ___ ___ x ___ = ___

3

6

50 mm

Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones

A

C

B

Completa la siguiente tabla.

BASE EXPONENTE POTENCIACIÓN POTENCIA

20 2 20²

25²

50 2

100 2

900

De acuerdo a la siguiente figura, contesta las preguntas que se hacen, considerando que A, B, y C, son cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo.

4.- ¿Cuánto mide el área de A más el área de B? _________________

5.- ¿Qué observas con las áreas de A y B juntas, si las comparas con el área de C?

__________________________________________________________________________

1.- ¿Cuánto mide el área del cuadrado A, si uno de sus lados mide 6 unidades?

6² = ___ x ___ = ____

2.- ¿Cuánto mide el área del cuadrado B, si su lado es igual a 8 unidades?

___ = ___ x ___ = ____

3.- ¿Cuánto mide el área del cuadrado C, si su lado es igual a 10 unidades?

___ = ___ x ___ = ____

Realiza las siguientes operaciones con potenciaciones.

1) 23² = _________________ 6) 70² = __________________

2) 1² = _________________ 7) 21² = __________________

3) 135² = _________________ 8) 24² - 22² = __________________

4) 0² = _________________ 9) 5² x 6² = __________________

5) 40² = _________________ 10) 17² + 19² = __________________

11) 18² = _________________ 12) 12² + 15² = __________________

Expresa la POTENCIA de los siguientes números como multiplicación de factores iguales.

1² = 1 x 1 6² = 6 x 6 11² = ______ 16² = ______

2² = ______ 7² = ______ 12² = ______ 17² = ______

Expresa como POTENCIA las siguientes multiplicaciones de factores iguales.

4 x 4 = 4² 9 x 9 = 9² 14 x 14 x 14 = ______ 19 x 19 x 19 x 19 = ______

5 x 5 = ______ 10 x 10 = ______ 15 x 15 x 15 = ______ 20 x 20 = ______

120

BLO

QU

E 4


3.- Pedro quiere tapizar una pared de su recámara, que tiene forma cuadrada. Si la pared mide 4 metros por lado y cada m² de tapiz cuesta $ 43.50 ¿Cuánto gastará en papel?

5.- Para cubrir un piso de forma cuadrada, se

usan 27 mosáicos por cada lado. ¿Cuántos mosáicos se usarán en todo el piso?

4.- Se compran 75 relojes en una tienda de descuento. Sabiendo que el número de relojes comprados es igual al del precio de un reloj. ¿Cuánto cuesta el total de relojes?

6.- Un terreno de forma cuadrada, mide 24

metros por lado; y, otro terreno con la misma forma, mide 30 metros por lado. ¿Cuánto mide el área de los dos terrenos juntos?

7.- El parque que está frente a la escuela, va a ser remodelado con juegos, areneros y áreas verdes. Se van a instalar cinco áreas verdes cuadradas de 5, 8, 10, 12 y 15 metros de lado cada una. ¿Cuántos metros cuadrados de pasto se necesitarán?

9.- El ring de lucha libre de forma cuadrada,

será protegido con plástico mientras no se utilice. Si cada lado mide 5.8 metros, ¿cuántos metros cuadrados de plástico se deberán comprar ?

8.- Un repartidor de jugos maneja el producto en cajas cuadradas, a cada caja le caben hileras de 8 jugos en la presentación de 355 ml y 6 en la de 500 ml. ¿Cuántos jugos reparte diariamente en 20 cajas, si 8 son de 355 ml ?

10.- Una huerta de forma cuadrada, tiene s e m b r a d a s u á r e a c o n á r b o l e s equidistantes. Si cada lado del sembrado tiene 23 árboles, ¿cuál será el total de árboles de la huerta?

121

1.- Para nuestra escuela llegó una dotación de diccionarios en seis cajas que a su vez contenían seis cajas más pequeñas, cada caja pequeña contenía seis paquetes que a su vez contenían seis diccionarios cada uno. ¿Qué cantidad de diccionarios llegaron a la escuela?

2.- En la cooperativa escolar el repartidor de jugos lleva 8 cajas, cada caja trae 8 paquetes y cada paquete tiene 8 jugos de diferente sabor. ¿Qué cantidad de jugos entregó en repartidor en la cooperativa?

PROBLEMAS.

BLO

QU

E 4Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones

LA RAÍZ CUADRADAFormando cuadrados con puntos por lado.

con un con dos con tres con cuatro con cinco con seis con siete punto puntos puntos puntos puntos puntos puntos

El total de puntos de que está formado cada cuadrado es:cuadrado de 1 punto está formado por 1 punto cuadrado de 2 puntos está formado por 4 puntoscuadrado de 3 puntos está formado por 9 puntos cuadrado de 4 puntos está formado por 16 puntoscuadrado de 5 puntos está formado por 25 puntos cuadrado de 6 puntos está formado por 36 puntoscuadrado de 7 puntos está formado por 49 puntos

Por lo anterior podemos afirmar que:El cuadrado de 1 es 1 La raíz cuadrada de 1 es 1El cuadrado de 2 es 4 La raíz cuadrada de 4 es 2El cuadrado de 3 es 9 La raíz cuadrada de 9 es 3El cuadrado de 4 es 16 La raíz cuadrada de 16 es 4El cuadrado de 5 es 25 La raíz cuadrada de 25 es 5El cuadrado de 6 es 36 La raíz cuadrada de 36 es 6El cuadrado de 7 es 49 La raíz cuadrada de 49 es 7

Si observamos la raíz cuadrada de 45 no corresponde a un número entero, pero podemos decir que aproximadamente es entre 6 y 7.

La raíz cuadrada de 30 no corresponde a un número entero, pero podemos decir que aproximadamente es entre 5 y 6.

122

BLO

QU

E 4

La RAÍZ CUADRADA es una operación INVERSA de ELEVAR AL CUADRADO un número.

5² = 5 x 5 = 25 Entonces: Porque 9 x 9 = 81

El índice de la raíz cuadrada, por convención, no se escribe.

¿Cuánto será y por qué?

Porque ________ = ____ Porque ________ = ____

Porque ________ = ____ Porque ________ = ____

Porque ________ = ____ Porque ________ = ____

Porque ________ = ____ Porque ________ = ____

Fíjate cómo en la última operación, es muy difícil calcular mentalmente la raíz cuadrada del número 4 096.

525 =

9812 =

_____1

_____100

_____36

_____49

=

=

=

=

_____4096

_____256

_____4

_____64

=

=

=

=

25 u²

5 u

5 u


Encuentra la raíz cuadrada de los siguientes números.

PROBLEMAS: 1.- Escribe lo que mide cada uno de los lados de los cuadrados y de los rectángulos que forman

las siguientes figuras, considerando la medida que se da, de sus áreas. Empieza por los cuadrados.

36 u² 48 u²

48 u² 64 u²

2.- ¿Cuál es la suma de la raíz cuadrada de 25, con la raíz cuadrada de 100? _______________

P a r a c a l c u l a r l a r a í z cuadrada del número 4 096 podemos hacer lo siguiente:

3969)123969)118100)106400)9

1369)81156)75329)62500)5

625)4256)3900)2225)1

123

BLO

QU

E 4

07

1.- Separamos de derecha a izquierda el número en cifras de dos en dos. Nos queda: 40,96

2.- Encontramos la raíz cuadrada más próxima del 40 sin pasarse; raíz cuadrada de 40 es aproximadamente 6 y escribimos el 6. Decimos 6 x 6 es igual a 36; 36 para completar 40 es igual a 4 y escribimos el 4.

3.- Bajamos el 96 que junto con el 4 se forma el número 496.

4.- El 6 obtenido se multiplica por 2, y escribimos 12 abajo del 6.

5.- Para encontrar el siguiente número del resultado, y como ese número se bajara y se colocará junto al 12 se formará el ciento veintitantos, cuantos ciento veintitantos caben en el número 496.

6.- Encontramos que 4 veces el ciento veintitantos puede formar el 496, mismo que anotamos tanto en el resultado como a la derecha del 12 formando los números 64 y 124.

7.- Multiplicamos enseguida 4 x 124 = 496, cantidad que se resta al 496 formado anteriormente, quedando como residuo cero.

15 u² 9 u²

25 u² 15 u²


0964964

12436649604

−

−

,

3.- Un terreno cuadrado tiene una área de 484 m². ¿Cuánto mide por cada lado? ____________

4.- ¿Cuánto suman los tres lados del TRIÁNGULO que forma parte de la siguiente figura; considerando que las figuras que están dibujadas en cada uno de sus lados son cuadrados?

Perímetro del triángulo A = ________ Perímetro del triángulo B = __________

5.- Se quiere comprar cierto número de libros en $ 1 024.00. Si sabemos que el número de libros es igual al del precio de un libro.

a) ¿Cuántos libros se comprarán? _____________

b) ¿Cuánto costará cada libro? . . . _____________

6.- El Profesor Raymundo, presentó a sus alumnos las figuras a continuación. ¿Cuáles son los dos cuadrados, cuyos lados tienen la misma medida?

________________

7.- En un salón de clase, se va a instalar duela laminada de forma cuadrada de 0.5 m por cada lado. Si el área del piso del salón es de 36 m², ¿cuántas piezas de duela se van a utilizar? Si alrededor del salón se va a instalar una senefa, ¿cuántos metros de senefa se tienen que comprar? Varias soluciones para la senefa.

8.- El terreno de la escuela es de forma cuadrada y mide 7 225 m². Si el maestro de educación física organiza la carrera de aniversario alrededor de la escuela por categorías.

124

BLO

QU

E 4

La primer carrera que es de media vuelta, ¿cuántos metros deberán correr? ...................... _________

La segunda carrera es de una vuelta, ¿cuántos metros deberán correr? ................... _________

La tercera carrera es de cinco vueltas, ¿cuántos metros deberán correr? .................. _________

25 cm²

9 cm²

16 cm²

A

Figura A Figura B Figura C Figura D

4 064 m² 1 144 m² 1 035 m² 3 136 m²


625 cm²49 cm²

576 cm²

B

El MÉTODO BABILÓNICO es un procedimiento por medio del cual, se resuelven raíces cuadradas siendo su resultado aproximado. No es necesario que se aprenda a resolver la raíz de esa manera, lo recomendable es que las raíces cuadradas se encuentran de la manera que resulte más fácil.

Sin embargo, veamos un ejemplo de cómo los BABILONIOS hace ya muchos, pero muchos años, encontraban aproximada la raíz cuadrada de un número.

Tomemos como ejemplo la raíz cuadrada de 62, que en tu calculadora es igual a 7.874.

Al último observarás que el resultado es aproximado

PRIMERO. ¿Cuál es la raíz cuadrada que más se aproxima a 62? Es el 7

A partir de allí, sólo vamos formando rectángulos consecutivos, hasta llegar al que más se parezca a un cuadrado. El 7 que es el número aproximado que se encontró, es considerado la medida de un lado del rectángulo.

62 =

MÉTODO BABILÓNICOPara resolver raíces cuadradas

1.- La superficie de la cubierta cuadrada de una mesa, mide 8 100 cm². ¿Cuánto mide uno de sus lados?

2.- Un terreno mide 185 m de largo, por 50 m de ancho. Si lo queremos cambiar por uno de forma cuadrada y de la misma área. ¿Cuánto deberá medir por lado el nuevo terreno?

R = _______________ R = _______________

Operaciones

Operaciones

125

BLO

QU

E 4

627

8 88 8 7

215 8

27 9 62

7 97 84=

+= = =.

. ..

..62 7

8.8

62

7.9

62 7.84

7.84

Dividimos 62 entre 7 pa ra encon t ra r la medida del otro lado del rectángulo.

Sumamos los dos l a d o s d e l rec tángu lo y lo d iv id imos en t re dos, para encontrar un lado nuevo de otro rectángulo.

Volvemos a dividir el 62 entre el nuevo lado del rectángulo para encontrar la medida del otro lado q u e e s y a m á s parecida al cuadrado.

Se considera al 7 . 8 4 l a r a í z c u a d r a d a aproximada de 62.

62 7 84= .

Resuelve los siguientes problemas:

8 100 cm²


5.- Un terreno cuadrado mide 529 m² de área. Si se quiere cercar construyendo una barda que tiene un costo de $ 150.00 cada metro lineal que se construye, ¿cuánto mide por lado el terreno? y ¿cuánto se paga por el total de la barda?

6.- El terreno de una explanada de forma cuadrada mide 192 m² de área. ¿Cuál será la medida de una nueva área, si cada lado se aumenta en 12 metros?

7.- Cierto número de libros se compraron en $ 2,304.00. Si e l número de l ibros comprados es igual al precio de cada libro, ¿cuántos libros se compraron? y ¿cuánto costó cada libro?

8.- Se compraron cierto número de sillas por la cantidad de $ 3,969.00. Si sabemos que el número de sillas compradas es igual al precio de cada silla, ¿cuántas sillas se han comprado? y ¿cuánto cuesta cada silla?

3.- El terreno de una explanada de forma cuadrada mide 169 m² de área, ¿cuál será la medida de una nueva área si cada lado es aumentado en cinco metros?

Operaciones

?

?

4.- Un espectacular del polo norte, mide 96 metros de largo por 24 metros de ancho. Si lo queremos cambiar por otro de forma cuadrada y de la misma área, ¿cuánto deberá medir cada lado del espectacular?

24 m

96 m

9.- Hallar la medida de los lados de un techo de forma cuadrada, de una fábrica que mide de área 4,225 metros cuadrados.

10.- Si sabemos que el área pavimentada de un estacionamiento es cuadrada de 256 m², ¿cuál será su nueva área si se duplican sus lados? y ¿cuál sera su nueva área si cada lado se reduce a la mitad?

126

BLO

QU

E 4


12.- Se compraron cierto número de camisas en $ 6,400.00. Si el número de camisas compradas es igual al precio de cada camisa. ¿Cuánto cuesta cada pantalón, si se compraran la mitad que de camisas, con una misma cantidad?

11.- La sala de una casa tiene un área de 20.25 m² y se amplía un metro más de cada lado, debido a que los nuevos muebles no caben. ¿Cuál es el costo de ampliación, si cada nuevo metro cuadrado cuesta $ 1 250.00?

13.- Un mantel de forma cuadrada, hecho en México, tiene un área de 144 cm² y otro de or igen españo l pero de f orma rectangular, mide de largo 15 cm por 9 cm de ancho, ¿cuál mantel tiene mayor costo, si se venden según los cm²?

14.- Un número de cuadernos tiene un costo de $ 225.00. El costo de cada cuaderno, es igual al total comprado de ellos. ¿Qué ganancia se obtuvo, si cada cuaderno se vendió $ 3.00 más del precio de compra?

15.- Con un alambre flexible, se desea formar un marco de un cuadrado que tiene un área de 144 cm², ¿cuál deberá ser la longitud que tenga dicho alambre?

16.- Se desea construir un tubo con una lámina cuadrada de 256 m², ¿cuál será la medida del radio del tubo y cuál será su altura?

17.- Las cajas de pizza, tienen una base cuadrada. Si la capacidad de la caja es de 2 700 cm³ y la altura de dicha caja es de 3 cm, encontrar los lados de la base.

18.- Para alfombrar un piso de forma cuadrada, se tiene un rollo de alfombra que tiene un ancho de 2 m y una longitud de 8 m. ¿Qué cortes harás para usar totalmente la alfombra disponible? ¿Qué medidas tiene el piso?

127

BLO

QU

E 4Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones

¿Que operación aritmética realizaste con los números de la columna de los metros cúbicos, con los de la columna de las horas?

_______________

Asígnale a cada columna una l i tera l cualquiera y expresa la ecuación que resulta

_______________

1.- Considerando la misma capacidad de vaciado, elabora una tabla para albercas con capacidades de 375 m³, 225 m³, 525 m³, 450 m³, etc.

m³ 300 150

Horas 8 7 6 5 4 3 2 1

¿De cuántos m³ es la alberca que se vacía en 10 horas? _________ ¿en 14 horas? _________

Después de 4 horas de vaciado, ¿cuántos metros cúbicos vacía cada alberca? . . _________

¿Cuántos metros cúbicos tarda en vaciar cada alberca, cada hora? . . . . . . . . . . . _________

375m³ Horas

225m³ Horas

128

BLO

QU

E 4

m³ 525

Horas

m³ 450

Horas

4.3Analizar en situaciones

problemáticas la presencia de cantidades relacionadas y representar esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica. En

particular la expresión de la relación y = kx, asociando

los significados de las variables con las cantidades

que intervienen en dicha relación.

RELACIÓN FUNCIONAL

Trata de expresar algebraicamente la relación entre dos cantidades que varían.EJEMPLO. Una alberca tiene una capacidad de 300 m³ de agua y tiene un sistema para vaciarla en 8 horas.

Con los datos anteriores completa la tabla de la derecha y contesta lo que se te pide.

a).- Cuanto m³ le quedan después de 6 horas ..... ___________

b).- Cuantos m³ ha vaciado en tres horas ............ ___________

Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las literales

129

BLO

QU

E 4

4.- Doña Conchita tiene 63 años de edad y su esposo, Don Manuel, es cinco años mayor que ella.

Si tienen 38 años de casados, ¿Qué edad tenían cada uno, cuando se casaron?

______________ _____________

¿Que edad tenía de Don Manuel hace 5 años?

___________

Si su hija Tere tiene 29 años, ¿cuál era la edad de Doña Conchita y Don Manuel, cuando ella nació? ______________ _____________

Conchita Manuel

2.- Karla y Andrea, ahorran en su trabajo cada quincena; si Karla ahorra cincuenta pesos y Andrea veinte más que Karla:

Elabora una tabla que presente el ahorro a partir de la primer quincena y hasta la quincena 10.

Expresa algebraicamente la relación entre las dos cantidades.

__________________________________

Si continúan ahorrando, de la misma forma, por dos años, ¿cuánto será lo que ahorró Karla? _________________ y ¿lo que ahorró Andrea? ________________

Cuando Karla tiene ahorrado $ 1 500.00, ¿qué cantidad lleva ahorrada Andrea? ____________

Al terminar los dos años de ahorro, ¿cuánto ahorró más Andrea que Karla? ....... ____________

3.- Dos automóviles viajan a la misma velocidad. El vehículo A, sale de un punto que dista 80 Km de donde sale el vehículo B. Elabora una tabla que señale a qué distancia se encuentra el vehículo B, cuando A lleva recorridos 70 Km ________

120 Km ____________, 135 Km __________,

250 Km ____________ y 450 Km __________

A B

70

120

135

250

450


Qna. Karla Andrea123456789

10

5.- El sueldo de Luis que trabaja en una maquila es de $ 645.00 por semana armando 100 piezas automotrices. Por cada pieza adicional que elabora durante la semana recibe una compensación de $ 16.00.

130

BLO

QU

E 4

6.- Las 8 cajas con libros para el grupo de primero pesan 320 Kg y, están acomodadas en una pick up para llevarlas a la escuela.

Elabora una tabla, con el peso que deberá cargar la pick up, si le agregamos 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 cajas con libros para segundo y tercero, cuyo peso es igual a las de primero.

¿Qué peso cargará la pick up, si le agregamos

6 cajas ___________, 8 cajas ___________,

10 cajas ___________, 12 cajas ___________,

14 cajas ___________, 16 cajas ___________

7.- Para realizar un experimento químico se tiene un depósito con 100 ml de una sustancia a la que cada minuto hay que agregarle 25 ml de otra. El experimento queda terminado cuando se completa el depósito con 900 ml de las dos sustancias.

Elabora una tabla, que indique el sueldo que recibe por semana, considerando que elaboró de 1 a 10 piezas adicionales.

Expresa algebraicamente la relación entre las dos cantidades.

_____________________

Elabora una tabla que represente lo anterior.

Asigna literales a cada cantidad de la tabla y expresa, algebraicamente, la relación.

¿Qué cantidad tiene el recipiente después de 6 minutos?_______

¿Cuándo el recipiente ha sido llenado con 400 ml, ¿cuántos minutos han transcurrido? .............................................. _______

¿Cuántos minutos tarda en completarse el experimento? _______


Sueldo Piezas $ 645 100

123456789

10

Kilos Cajas320

2468

10121416

min ml1 25

50

1256 150

25011 275

325350

15 375

min ml17 425

475

21 525550

600

26 650675700

750775800

8.- Una compañía constructora compra rollos de tela blanca para impermeabilizar las casas. Con cada paquete de 4 rollos logra cubrir 50 m².

¿Qué cantidad de rollos de tela se requieren para impermeabilizar casas de:

175 m² __________, 250 m² __________,

400 m² __________, 425 m² __________,

475 m² __________, 740 m² __________

Expresa algebraicamente la relación entre las cantidades anteriores: ___________________________________

9.- Para preparar sandwiches, de un paquete se elaboran 12.

¿Cuántos paquetes se necesitan comprar, si el grupo es de 40 alumnos y, se necesitan dos por cada uno? _____________________

¿Cuántos paquetes, si se les considera tres por persona? _____________________

¿Cuántos paquetes se necesi tan para la cooperativa, si de los 1350 alumnos de la escuela, el 20 % compran sandwich? _______

Expresa algebraicamente la relación entre las cantidades anteriores: _____________________

1 rollo2 rollos3 rollos4 rollos 50 m²10 rollos15 rollos20 rollos25 rollos30 rollos35 rollos40 rollos50 rollos60 rollos

131

BLO

QU

E 410.- Una caja contiene cuatro piezas de cerámica que miden 0.5 m por 0.5 m cada una. Si con una caja se logra cubrir un metro cuadrado,

¿cuántas piezas de cerámica, de esa medida, se requieren para cubrir:

30 m² ____________, 42.5 m² _________,

64 m² ____________, 75.75 m² _________,

93.25 m² __________, 98 m² _________?

¿Cuántas cajas se necesitan para cubrir 386 m²? ____________________

Con 329 piezas de cerámica, ¿qué superficie se logra cubrir? ____________________

1 caja 4 piezas 2 cajas 3 cajas 4 cajas 10 cajas15 cajas20 cajas25 cajas30 cajas45 cajas60 cajas80 cajas100 cajas

1 paquete 12 sandwiches2 paquetes 24 sandwiches3 paquetes4 paquetes 48 sandwiches

60 sandwiches15 paquetes 72 sandwiches20 paquetes

108 sandwiches 35 paquetes 120 sandwiches


132

BLO

QU

E 4

11.- Un objeto cae libremente 9.8 m cada segundo. Si tarda 8 segundos en tocar piso.

a) Elabora una tabla que represente desde que altura cae el objeto y, la altura que tiene cada segundo.

b) Expresa con palabras, la regla para obtener lo anterior.

____________________________________

c) Expresa algebraicamente, la fórmula encontrada.

d) ¿ Cuántos metros ha caído en tres segundos? ___________

e) ¿Cuántos metros ha caído en cinco segundos? ___________

f) Si tardó 8 segundos en tocar piso, ¿cuantos segundos tardó su caída? ___________

12.- El costo de una llamada a teléfono celular es de $ 2.03 cada minuto.

Elabora una tabla para considerar el costo de una llamada de 1 a 10 minutos.

¿Cuál será el costo de 5 llamadas a celular, si el tiempo fué de 2, 4, 5, 8, y 10 minutos? ___________

¿Cuántos minutos están cargados en un recibo telefónico que tiene $ 249.69 de llamadas a celular?

___________

13.- El curso para maestros de Matemáticas, está videograbado en cartuchos de 40 min de duración, cada uno.

Elabora una tabla con los datos anteriores.

¿Qué cantidad de tiempo esta videograbado en 3 videos? ___________

¿Qué cantidad de tiempo esta videograbado en 5 videos? ___________

Si el curso completo lo conforman 12 videos, ¿Cuántos minutos dura

la videograbación del curso? ___________

En 8 videos ¿Cuánto tiempo se ha videograbado? ___________

MATEMÁTICAS

CURSO


metros segundos 12345678

Llamada Minutos 123456789

10

FIGURAS PLANAS

CÍRCULO

En los muchos aprendizajes que has logrado durante tus años de educación, sabes cómo trazar un círculo.

I. Si conoces dos puntos cualquiera, ¿cuántos círculos puedes trazar que pasen por esos dos puntos?

II. ¿Cuántos círculos puedes trazar, cuyos límites pasen por esos dos puntos?

III. Como ya identificaste los límites del círculo, dibuja uno que pase por tres puntos que elijan tú y tus compañeros de equipo.

IV. En el círculo inferior, traza distintas figuras que pasen sus vértices por los límites, utilizando diferente color para cada una de ellas. ¿Cuántas podrás dibujar?

4.4Construir círculos a partir de

diferentes datos o que cumplan condiciones dadas.

133

BLO

QU

E 4Forma, espacio y medida Formas geométricas

VI. En el círculo inferior, traza distintas líneas rectas que vayan de uno a otro puntos del límite del círculo.

De las líneas dibujadas, ¿encuentras alguna que tenga el mayor tamaño? ______

¿Consulta qué nombre recíbe esta línea?

____________________

Todas las demás líneas ¿qué nombre tienen?

____________________

Investiga, ¿cuál es el nombre de líneas más importantes en un círculo?

________________ ________________

________________ ________________

________________ ________________

El perímetro del círculo tiene un nombre especial, ¿cuál es? ____________________

VII. En el País existen varias monedas en circulación. Busca, entre Tú y Tus compañeros de grupo, las monedas que circulan en México y encuentra las medidas de los diámetros de cada una. Observa si alguna o algunas de la figuras geométricas que conoces, se encuentran dibujadas en el interior de ellas.

VIII. En la parte inferior, se encuentran tres círculos, reunidos en equipo hagan lo que se pide:a) En el primero, traza su diámetro y una cuerda que a su vez sea el diámetro de otro círculo.

Coloreen las distintas áreas que se forman entre los círculos.b) En el segundo, traza su diámetro y dos cuerdas que sean el diámetro de dos círculos

diferentes. Coloreen las áreas que resulten al cruzarse los círculos.c) En el tercero, traza un círculo en cada una de las cuerdas que se les señalan. Coloreen a

su gusto, la figura que les resulte.

134

BLO

QU

E 4

Forma, espacio y medida Formas geométricas

Veamos si estás correcto.CIRCUNFERENCIA. Es el conjunto de todos los

puntos del plano que están a una distancia CONSTANTE de un punto fijo llamado centro.

CÍRCULO: Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y los interiores de la figura. Es la superficie total contenida en el interior de la circunferencia.

SECANTE: Es una recta que corta la circunferencia en dos puntos distintos.

DIÁMETRO: El diámetro, es la mayor de las cuerdas de la circunferencia que pasa por el centro.

CUERDA: Es el segmento determinado por dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.

RADIO: Es el segmento de recta que parte del centro, a un punto cualquiera de la circunferencia.

TANGENTE: Es una recta que toca a la circunferencia en un solo punto.

RO = SO = PO = RADIOS

1.- ______________________________

2.- ______________________________

3.- ______________________________

4.- ______________________________

5.- ______________________________

1

2

5

3

4

Los círculos que dibujaron cada uno de los otros equipos, ¿son iguales a los de Ustedes? _____

¿Por qué? ___________________________________________________________________

Obtén una conclusión, ya que observaste el trabajo de todos tus compañeros del grupo.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

El círculo y la circunferencia, ¿son figuras geométricas diferentes? ______ ¿Por qué? _______

__________________________________________________________________________

RAD

IO

TAN

GEN

TECUERDASECANTE

DIÁMETRO

Escribe el nombre de la recta o segmento.

135

BLO

QU

E 4

RECTAS Y SEGMENTOS EN EL CÍRCULO SEGMENTOS: RECTAS: RADIO, DIÁMETRO y CUERDA SECANTE y TANGENTE

S

R

P

O

Forma, espacio y medida Formas geométricas

JUSTIFICACIÓN DE FÓRMULAS

En los lugares que nos desenvolvemos, desde hace muchos años existen una variedad de formas de transporte terrestre que tienen como un componente indispensable la rueda. En equipo con tus compañeros, mencionen algunos medios de transporte terrestre que conozcan.

_________________ _________________ _________________ _________________

_________________ _________________ _________________ _________________

A esos medios de transporte que escribieron, encuéntrenles dónde utilizan la rueda como apoyo para poder funcionar.

_________________ _________________ _________________ _________________

_________________ _________________ _________________ _________________

Utilizando como herramientas un trozo de cordón largo o una medida flexible, hagamos algunas mediciones.

¿?

Arquímedes287 - 212 a. C.

4.5Determinar el número π como la razón entre la

longitud de la circunferencia y el diámetro. Justificar y

usar la fórmula para el cálculo de la longitud de la

circunferencia.

136

Estatura

Esta

tura

BLO

QU

E 4

1.- En una de las ruedas que tengas a tu disposición (bicicletas, carros, pick up, volantes, engranes, platos, etc.), vamos midiendo.a) Ubíquense con la rueda a medir.b) En la rueda, pongan un punto de referencia para iniciar las medidas (punto para inflar u

otro que elijan).c) Por la parte externa de la rueda, obtengan la medida que hay desde el punto de partida

hasta volver a él.d) Tomar una segunda medida, desde el punto de partida, pasando por el centro de la rueda

y llegando hasta el otro extremo de la misma y, por último.e) Efectúa la división, hasta con 3 decimales, entre la primera medida y la segunda.

Primera medida = ______________ División

Segunda medida = ______________

Resultado de la división = ______________

2.- Repitiendo el proceso que se indicó, realiza una segunda medición en otra rueda.




Forma, espacio y medida Medida

3.- Realiza una tercera medición en otra rueda.




4.- Realiza otras mediciones más en otras ruedas y observa con atención, el resultado de dividir la primera medida entre la segunda. ¿Qué observas en todos los resultados?

__________________________________________________________________________

¿Los resultados se asemejan a algún valor que conociste en la primaria? _______________

Si te respuesta es sí, ¿cómo le llamabas a ese valor? .................................... _______________

En equipo.La primera medida realizada recibe un nombre especial en matemáticas: _______________

La segunda medida realizada recibe un nombre especial en matemáticas: _______________

¿Qué fórmulas conoces que toman en cuenta las respuestas anteriores? Escríbelas:

___________________ y ____________________

OTRA COSA ...

Ahora que ya aprendimos cómo obtener el perímetro o longitud de una circunferencia conociendo su diámetro, vamos recordando cómo conocer el espacio que abarca dicha "rueda" en su interior.

Observando cada una de las figuras, acuerda con tus compañeros de equipo, las respuestas correctas.

a) Teniendo en cuenta el número de lados de cada polígono, anota en la línea inferior de la figura, el orden secuenciado, según el número de lados.

b) A medida que crece el número de lados del polígono, ¿como es su área, comparada con el área del círculo? ________________

137

BLO

QU

E 4Forma, espacio y medida Medida

c) ¿En cuál de los polígonos, la diferencia de áreas es mayor? ______________________

d) ¿Cuántos lados tiene el polígono cuya área está más cercana al área del círculo? ______

e) Considerando la cuadrícula como una guía para identificar la unidad de un área, ¿cuál polígono tiene un área más cercana a la del círculo? ______________________

f) Iniciando en el polígono de 5 lados, porque ya conoces el área del triángulo y del cuadrado, localiza el centro de cada círculo y partiendo de él, traza líneas que vayan a cada uno de los vértices. ¿Qué figuras se forman en el interior? _______________, ¿cómo son dichas figuras? _______________, ¿cuántas figuras se forman en cada polígono analizado? ............................................................... ______________________

Veamos un EJEMPLO:

- Escogiendo un polígono de 9 lados, formamos 9 triángulos isósceles iguales.

- Si conocemos que el área de un triángulo es

- Considerando la base como el lado del polígono. Base = L

- Tomando la altura como el apotema. Altura = a

- Nos queda la fórmula para cada triángulo,

- El área total del polígono de 9 lados será:

g) Recuerda que para obtener el área de cualquier polígono, en la primaria usabamos una fórmula donde se toma en cuenta, tanto el perímetro, como el "apotema". ¿Cuál era?

________________

h) El perímetro del polígono de más número de lados que podamos construir en el interior de un círculo, se asemejaría a la longitud de la circunferencia; por lo cual, el perímetro será igual a ____________________; también, el valor de la apotema crece y se acerca al valor del ____________________

2AlturaBaseA ×

=

2aLA ×

=

2aLA

2aL

2aL

2aL

2aL

2aL

2aL

2aL

2aL

2aLA

9t

t

×=

×+

×+

×+

×+

×+

×+

×+

×+

×=

1.- Si conoces que la llanta de un vehículo tiene un radio de 35 cm, ¿cuánto medirá la longitud del piso de la llanta?

2.- Si conoces que el diámetro de un plato de vajilla mide 16.5 cm, ¿cuánto medirá la longitud de una cinta que adorne su derredor?

138

BLO

QU

E 4

2rA2

rr2A

r2Pcomo2

PrA

π

ππ

=

=

=

=i) Como ya aprendimos que el perímetro de una circunferencia se

obtiene de multiplicar el valor de π por el valor del diámetro. Concluímos:

Con lo aprendido para obtener el perímetro y área del CIRCULO, resuelvan los siguientes PROBLEMAS:


7.- Un neumático de una super máquina, tiene un diámetro que mide 5.5 veces el de un auto normal. Si la longitud del piso de la llanta de la máquina es de 12.5664 metros, ¿cuál será la medida del radio de la llanta del carro normal?

8.- Al comparar los diámetros de dos volantes de autos diferentes, se encuentra que uno mide 15 in (pulgadas), mientras que el otro mide 12 in. ¿Qué relación (razón) hay entre las medidas de los diámetros y, entre las longitudes de las circunferencias de los volantes?

3.- Para poner un listón a una pelota de regalo, se requiere, como mínimo 80 cm. Encuentra la longitud del diámetro de la pelota.

4.- Los cinturones que usamos en la cintura tienen un número que indica la talla. Si escojes en el grupo un cinturón cualquiera, ¿qué circunferencia cubrirá?

5.- Las llantas de un automóvil tienen un diámetro de 40 cm. Hallar el número de vueltas que da cada llanta, cuando el auto recorra 100 metros.

6.- Tres engranes cuyos diámetros son 10, 15 y 20 cm, sucesivamente; ¿cuántas vueltas tiene que dar cada uno, para encontrarse de nuevo en el mismo punto cuando iniciaron su giro?

9.- La decoración de un plato de ornato de 15 cm de radio, se cobra a $ 2.50 pesos el cm². Encuentra el costo del plato decorado.

10.- La tapa y base de un tambo cilíndrico de 90 cm de alto, tiene un diámetro de 60 cm. Investiga la cantidad de material necesario para lograr su construcción.

139

BLO

QU


Hace tiempo nos damos cuenta que vivimos en el planeta TIERRA y poco sabemos de él y, mucho menos, de los otros planetas que componen el Sistema Solar. Aprendamos un poco de ellos, aplicando lo que aprendimos sobre el PERÍMETRO y el ÁREA del CÍRCULO.

Trabajando en equipo, encuentren la longitud del mayor anillo y la superficie del mayor círculo, en cada uno de los planetas del sistema.

Usando las fórmulas de PERÍMETRO y ÁREA del Círculo, resuelvan los problemas que se les presentan a continuación.

2rADr2P πππ ===

1.- Tomando la medida de una tapa de un recipiente de leche o de jugo, mídele el diámetro y la altura y encuentra la cantidad de material que se usó para construírlo.

2.- El empaque de una manguera tiene un diámetro exterior de 2.5 cm y uno interior de 1.5 cm. Encuentra la superficie que protege el empaque.

4.6Resolver problemas

que impliquen calcular el área y el

perímetro del círculo.

140

BLO

QU

E 4

ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR

MAYOR ANILLO MAYOR CÍRCULO

Mercurio 4 878 Km

Venus 12 104 Km

Tierra 12 765 Km

Marte 6 794 Km

Júpiter 142 792 Km

Saturno 120 000 Km

Urano 52 400 Km

Neptuno 50 450 Km

Plutón 2 400 Km

ECUADORPLANETA DIÁMETRO

El 24 de agosto de 2006. la U.A.I., determina que Plutón no debe ser considerado un planeta.


3.- Un vaso de vidrio, tiene un radio de 3.5 cm en su base circular y una altura de 20 cm. ¿Cuál fue la cantidad de lámina de vidrio utilizada para producirlo?

4.- Una tuerca de seis caras laterales, tiene una medida de 1 cm en cada una de ellas. Encuentra la longitud de la circunferencia que pasa por todas sus esquinas.

5.- Una mesa con base de prisma rectangular, t iene una superf icie circular con un diámetro de 1.5 m. Encontrar la cantidad de madera usada en su superficie si tiene un espesor de 3 cm.

6.- Al construir un portavaso de forma cuadrada con lados de 12 cm, encontrar la superficie sobrante, para soportar un vaso que tiene un radio de 5 cm.

7.- Un anillo matrimonial tiene 2.25 cm en su circunferencia exterior y 1.9 cm en la interior. ¿De qué grosor es el anillo?

8.- Una loseta rectangular de 22 por 18 cm, tiene un dibujo de un círculo con radio igual a 7 cm. Encuentra la superficie libre, del área del círculo.

9.- Se necesita forrar con tela, 5 botones para cada uno de los 6 uniformes de la escolta escolar. Si cada botón tiene un diámetro de 2 cm, ¿cuál será la mínima cantidad de tela necesaria para lograr el forrado?

10.- Se debe construir una caja cilíndrica donde pueda guardarse una jarra que tiene una máxima circunferencia de 62.8318 cm. Encuentra la longitud del radio mínimo que debe tener la caja en su base.

141

BLO

QU


1

0.5

0.75

3.5

11.- Una mesa con tapa circular de vidrio biselado, tiene un radio de 70 cm. Si el precio del vidrio es de $ 525.00 pesos por metro cuadrado, ¿cuál será el costo de la tapa?

12.- La llanta de un carro tiene un diámetro de 50 cm. Si el radio de la tapa del rin es de 15 cm, ¿cuál será e l ancho de la superficie de hule que se ve? ¿cuál es la longitud de la circunferencia de la llanta y cuál la de la tapa?

13.- La claraboya del camarote de un barco, tiene una tapa cuyo diámetro es de 40 cm. Si el aro soporte de ensamble tiene un ancho de 12 cm, ¿cuál es la longitud de su circunferencia y su superficie metálica?

14.- A una pieza metálica, de forma circular, con un radio de 15 in, se le realizan 4 orificios circulares de 5 in de diámetro. Encuentra la cantidad de superf icie desperdiciada.

15.- Una lámpara de mano tiene en su re f le c t o r d e lu z u n d iá me t ro d e 3 pulgadas. Si al estar a una distancia de 5 metros de la pared, genera un haz de luz de 3.5 metros de diámetro, ¿qué área está iluminando?

16.- La tapadera de un frasco de mermelada tiene un radio de 2.5 in y una altura de 0.5 in, calcular el material de toda la tapa.

17.- Un mantel circular de 3.5 m de diámetro, cubre una mesa que tiene un radio de 65 cm. Encuentra el área colgante del mantel.

18.- Con guía de tu Maestro, encuentra la cantidad de material del tornillo, tomando en cuenta las medidas en centímetros.

142

BLO

QU

E 4


GRÁFICAS

Encuentra las coordenadas de cada uno de los puntos que están localizados en el plano cartesiano.

A ( , ) E ( , ) H ( , )

B ( , ) F ( , ) I ( , )

C ( , ) G ( , ) J ( , )

D ( , )

Localiza ocho de las coordenadas que se encuentren formando parte del papalote trazado en el plano cartesiano de la derecha y escríbelas enseguida.

A (___ , ___), B (___ , ___), C (___ , ___),

D (___ , ___), E (___ , ___), F (___ , ___),

G (___ , ___), H (___ ,___)

El siguiente mapa de la República Mexicana está trazado sobre un plano cartesiano. Identifica las coordenadas donde se localizan cada uno de los lugares que están señalados en el País.

A ( , ) Baja Calif. Norte B ( , ) ColimaC ( , ) ChihuahuaD ( , ) DurangoE ( , ) Golfo de MéxicoF ( , ) MichoacánG ( , ) OaxacaH ( , ) PueblaI ( , ) VeracruzJ ( , ) YucatánK ( , ) Nuevo León

A

C

D

4.7Explicar las características

de una gráfica que represente una relación de

proporcionalidad en el plano cartesiano.

143

BLO

QU

E 4

x

y

CAB

E

DF

I

GH

J

x

y

A

B

C

D

E

F

H

G

Manejo de la información Representación de la información

144

COORDENADAS CARTESIANAS

Vamos a trazar un plano cartesiano usando dos rectas, de tal manera, que se intersecten formando un ángulo de 90°.

Para localizar puntos en un plano se tiene el PLANO CARTESIANO o COORDENADAS CARTESIANAS .Se le llaman cartesianas en honor del matemático francés Renato Descartes.

Para señalar las coordenadas de un punto, se escribe la letra mayúscula que lo representa seguido de un par ordenado, donde su primer elemento es la abscisa y su segundo elemento es la ordenada del punto. Ejemplo:

A ( x , y ) El punto A tiene "x" de abscisa y "y" de ordenada.B ( 5 , - 3 ) El punto B tiene 5 de abscisa y - 3 de ordenada.C (- 4 , - 6 ) El punto C tiene - 4 de abscisa y - 6 de ordenada.

CASOS ESPECIALES:1.- Cuando la ordenada es igual a cero.

A ( 5 , 0 ) B (- 2 , 0 )

Dichas coordenadas determinan un punto que se encuentra situado en el eje de las "x"

C ( 0 , - 2 ) D ( 0 , 3 )

Dichas coordenadas determinan un punto que se encuentra situado en el eje de las ordenadas.

3.- Cuando la abscisa es igual que la ordenada.

E ( 2 , 2 ) F ( 4 , 4 )

4.- Cuando la abscisa y la ordenada tienen el mismo valor absoluto, pero signo contrario.

G ( - 3 , 3 ) H ( 3 , - 3 )

Al eje horizontal se le llama eje de las "x" o eje de las abscisas.

Al eje vertical se le llama eje de las "y" o eje de las ordenadas.

A la pareja de números ( x , y ) se les llama coordenadas.

Al primer elemento del par ordenado asociado a un punto se le llama ABSCISA y al segundo elemento ORDENADO.

BLO

QU

E 4

--

III

II I

IV

Primer cuadrante Segundo cuadrante

Tercer cuadrante Cuarto cuadrante

+

+

--6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x x

y

y

-1-2-3-4-5-6

6

4321

5

C

ABx

y

DE

FG

H

x

y


145

En evento deportivo de triathlón de la sierra se inscribieron 4 equipos. En la prueba de ciclismo, la duración de la competencia a campo traviesa, fue de 5 horas en un recorrido de 50 km. En las siguientes gráf icas, podemos observar el desempeño de cada equipo. Analízalas y contesta las preguntas:

a) En la primera hora de competencia, ¿qué equipo iba ganando?

............................................................................................................... __________________

b) ¿En qué momento de la competencia, todos los equipos estaban en la misma posición?

.............................................................................................................. __________________

c) ¿Qué equipo mantuvo constante el avance con el tiempo de competencia?

............................................................................................................. __________________

d) ¿En qué orden quedaron los equipos? ................................................ ____ ____ ____ ____

BLO

QU

E 4

EQUIPO 1

05

10152025303540455055

Horas

kiló

met

ros

1 2 3 4 5Horas

kiló

met

ros

EQUIPO 2

05

10152025303540455055

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

EQUIPO 3

05

10152025303540455055

Horas

kiló

met

ros

Horas

kiló

met

ros

05

10152025303540455055

EQUIPO 4

1 2 3 4 5


146

a) Si la velocidad de Antonio hubiera sido mayor, ¿qué diferencia habría tenido la gráfica respecto a ésta ?

......................................................................................... _____________________________b) ¿Podría cortar la recta el eje vertical, en un punto diferente al origen? ¿Por qué?

......................................................................................... _____________________________ c) Si la velocidad de Antonio no hubiera sido constante, ¿cómo se reflejaría este hecho en la

gráfica? ......................................................................................... _____________________________

2.- Luis realizó una caminata en las calles de su colonia. Para ello, se registraron en la tabla que se muestra, los tiempos y las distancias recorridas, faltando algunos datos. Complétalos y represéntalos en la gráfica.

a) Si la velocidad de Luis, hubiera sido mayor, ¿qué diferencia habría tenido la gráfica respecto a ésta?

....................................................................................... __________________________

b) Si la velocidad de Luis, no hubiera sido constante, ¿cómo se reflejaría en la gráfica?

....................................................................................... __________________________

c) ¿A qué velocidad se desplazó Luis? ¿Qué expresión algebraica representa este problema?

........................................................................................ __________________________

Tomando en cuenta los datos del problema, completa la tabla y representa dichos datos en la gráfica.

1.- Antonio viaja en su automóvil a una velocidad constante de 100 km/hora.

a) ¿Cuál es la distancia que recorrió a los 20 minutos? ........................... ____________

b) ¿Cuál es la distancia que recorrió a los 30 minutos? ........................... ____________

x = minutos y = kilómetros

x

y

minutos

kilómetros

x 15 30 45 90

y 100

BLO

QU

E 4

Tiempo (h) 0.25 1 1.75 3 4

Distancia (km) 16

RELACIONES DEPROPORCIONALIDAD

Tiempo (h)

Distancia (km

)


147

3.- Para fabricar dos camisas, se necesitan 5 metros de tela. ¿Cuánta tela se necesita para fabricar 1, 2, 3, 4, y 5 camisas? Calcula la constante de proporcionalidad y representa en la gráfica los resultados.

4.- Si cada día un artesano fabrica dos vasijas de barro manua lmente , ca lcu la la producción que tendrá en los siete primeros días. Calcula la constante de proporcionalidad y represéntalo en la gráfica.

5.- Un generador de corriente eléctrica, a base de gasolina, consume 45 litros diarios. Si se ha utilizado durante los 7 días de la semana, calcula la cantidad de litros que lleva consumidos durante cada día de la se mana . Ca lcu la la cons tan te de proporcionalidad.

6.- Una velocista recorre 180 km en 3 horas. Cuáles son las distancias recorridas en 1, 2, 4 y 5 horas, si conserva una velocidad constante. Calcula el valor de la constante de proporcionalidad y represéntalo en la gráfica.

BLO

QU

E 4

Tela

Cam

isas

Días

Vasijas

Horas

Distancia

Días

Gasolina

7.- Acompané a mi amigo a comprar dos kilos de azúcar en la tienda de la esquina, los cuales le costaron $ 18.00. En mi casa, me han pedido que vaya a comprar azúcar, por una cantidad de 5 kilos, ¿cuánto me costarán?

Azúcar

Pesos


8.- ¿Cuál de las siguientes relaciones son directamente proporcionales?

a) El peso de una reja de tomates y su precio ..................................................

b) El número de páginas de un libro y su precio ....................................................

c) El número de páginas de un libro y el tiempo tardado en leerlo .......................

d) La longitud de la circunferencia y su radio ......................................................

e) El volumen de agua y su peso ..............f) El área de un cuadrado y la longitud de

su lado..................................................g) El peso de un bebé y su edad ..............

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9.- Un automóvil tarda dos horas en llegar de Chihuahua a Parral cuya distancia entre ellas es de 230 km. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas, a esa misma velocidad?

12.- Si una persona recorre 20 km en 40 minutos usando una bicicleta, ¿cuánto recorrerá en una hora?

14.- Un paquete de chicles cuesta $ 8.50, ¿cuánto cuestan 3 paquetes? y ¿cuántos paquetes te puedes comprar con $ 50.00?

13.- Si un Euro vale 166 386 pesetas, ¿cuánto valen 5 Euros? y ¿cuántos Euros nos darán con 1 500 pesetas?

15.- Un obrero recibe por 3 horas de trabajo, 27 dólares. ¿Cuánto recibirá en una semana, si ha trabajado 8 horas diarias?

11.- Si un día tiene 24 horas, ¿cuántas horas habrá de lunes a viernes?

Siguiendo en la misma forma de solución, en cada problema construyan una gráfica que represente los datos trabajados y el resultado obtenido.

BLO

QU

E 4

10.- Si un refresco de medio litro cuesta $ 4.50, ¿cuánto cuesta una caja que contiene 24 refrescos?


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1º BLOQUE 4, GUÍA DE EJERCICIOS