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一、主要内容框图
二、典型例题
第二章 导数与微分
习 题 课
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运 算 法 则
基本公式导 数
xy
x
0lim
微 分
xydy 高阶导数
关系
)( xodyydxydyydxdy
一、主要内容框图
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二、典型例题例1
).0(),100()2)(1()(
fxxxxxf
求
设
解10
)0()(lim)0(0
xfxff
x
)100()2)(1(lim0
xxxx
!100
解2 ])100()1[()100()1()( xxxxxxf
)100()2)(1()0( f !100
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例2 设 )( xf 在 2x 处连续, 且 ,32)(lim
2
xxf
x
求 .)2(f
解 )2(f )(lim2
xfx
])2(
)()2[(lim2
x
xfxx
0
2)2()(lim)2(
2
x
fxffx
2)(lim
2
xxf
x3
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例3 若 0)1( f 且 )1(f 存在 , 求 .tan)1(
)cos(sinlim2
0 xexxf
xx
解 原式 = 2
2
0
)cos(sinlimx
xxfx
且
联想到凑导数的定义式
2
2
0
)1cossin1(limx
xxfx
1cossin2 xx
1cossin2 xx)1(f
)1(f )211( )1(
21 f
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).(,)2()( xfxxxxf 求设例4
解 先去掉绝对值
,2),2(
20),2(0),2(
)(2
2
2
xxxxxx
xxxxf
0)0()(lim)0(
0
x
fxffx
,0)2(lim2
0
xxx
x
0)0()(lim)0(
0
x
fxffx
,0)2(lim2
0
xxx
x
,0)0()0( ff ;0)0( f
2)2()(lim)2(
2
xfxff
x
2)2(lim
2
2
x
xxx
,4
2)2()(lim)2(
2
xfxff
x
2)2(lim
2
2
x
xxx
,4
),2()2( ff
.2)( 处不可导在 xxf
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.
2,4320,43
0,00,43
)(
2
2
2
xxxxxx
xxxx
xf
解 先去掉绝对值
,2),2(
20),2(0),2(
)(2
2
2
xxxxxx
xxxxf
,0)0()0( ff ;0)0( f
2)2()(lim)2(
2
xfxff
x
2)2(lim
2
2
x
xxx
,4
).(,)2()( xfxxxxf 求设例4
2)2()(lim)2(
2
xfxff
x
2)2(lim
2
2
x
xxx
),2()2( ff
,4
.2)( 处不可导在 xxf
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例5 设 其中 可微 ,
解 y )(sin sin xx ee )(sinsin xx ee
)(sinsin sin xee xx )(cossin xxx eee
) sin(cossin xx exe xx ee cos
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例6 .d),ln(sin2 yxey x 求设
解 ])ln([sin)ln(sin2 xexey xx
])[ln()]ln([cos)ln(sin2 xexexe xxx
)(1)]ln(2sin[
xexe
xe xx
x
)],ln(2sin[1 xexe
e xx
x
.d)]ln(2sin[1dd xxexe
exyy xx
x
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.dd,
)0,0()(
2
2
xy
yxxyxfy yx
求所确定
由方程设函数 例7
解 两边取对数 ,ln1ln1 xy
yx
,lnln xxyy 即
,1ln)1(ln xyy ,1ln1ln
yxy
2)1(ln
1)1(ln)1(ln1
y
yy
xyxy
3
22
)1(ln)1(ln)1(ln
yxy
xxyy
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.,)(sin cos yxxy x 求设例8
解 )(ln yyy
)sinlncos(ln xxxy
)sin
cossinlnsin1()(sin2
cos
xxxx
xxx x
yy
y 1)(ln
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xy
dd
)cos1(sin
tata
txy )
dd(
])sin([])cos1([
ttata
.dd,
)cos1()sin(
2
2
xy
tayttax
求
例9
解 ,cos1
sint
t
)(
)dd(
dd
2
2
txxy
xy t
2)cos1()(sinsin)cos1(cos
ttttt
,
1cos1
t
.)cos1(
12ta
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例10 设由方程
)10(1sin 2
2
2
yytttx
确定函数 ,)( xyy 求
解 方程组两边对 t 求导, 得
tx
dd
t2
tx
dd
yt
ty
cos12
dd
故 xy
dd
)cos1)(1( ytt
22 t
ty
dd
ycosty
dd
0
)1(2 t
ty
dd
tx
dd
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.,114 )(
2
2ny
xxy 求设
例11
解1
344114
2
2
2
2
x
xxxy
)1
11
1(234
xx
,)1(
!)1()1
1( 1)(
n
nn
xn
x ,
)1(!)1()
11( 1
)(
n
nn
xn
x
].)1(
1)1(
1![)1(23
11)(
nn
nn
xxny
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)(tx 22
2
)1(23)1(3
ttatta
.2
1313
2
2
2相应的点处的切线方程在求曲线
t
taty
tatx
例12
解 ),5
12,5
6( aa切点坐标为
,)1(
)1(322
2
tta
)(ty 22
22
)1(23)1(6
ttattat
,)1(
622t
at
)()(
dd
txty
xy ,
12
2tt
,34
dd
2
tx
yk
切线方程为
),5
6(34
512 axay
即 .01234 ayx
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一、求下列函数的导数:
;11arctan)1( 2
2
xxy
);(cos)2( 2 xx eey
);1ln(1)3( 22 xxxxy
);1(1arccos1)4( 2 xx
xy
.1
)5(x
xxy
测 试 题
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二、
.
002
sin123 2
相应的点处的切线方程
在求曲线
tyyt
tte x
三、
).(,0,sin20,
)( xfxaxxxe
xfx
求
.dd),
dd(
dd,
dd,
53
2
2
2
2
5
3
xy
xy
tty
ttyttx求
四、
测 试 题
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五、
.
00,sin
0,1sin)(2
的值,求
可导,在点设
ba
xxxbe
xax
xxfx
六、 设 )( xf 在 1x 处连续, 且 ,31ln)(lim 21
xxxf
x
求 .)1(f
测 试 题
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一、求下列函数的导数:
测 试 题 解 答
4
2(1) ;1
xyx
(2) ( )sin2( );x x x xy e e e e
2(3) 2 1;y x 2 1(4) ;xyx
1(5) ln .1 1 1
xx xyx x x
;11arctan)1( 2
2
xxy
);(cos)2( 2 xx eey
);1ln(1)3( 22 xxxxy
);1(1arccos1)4( 2 xx
xy
.1
)5(x
xxy
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二、
45 5,dy tdt
2
32 20 ,d y t
dt
23 3,dx tdt
4
22
( ) 5 5 5 ( 1),( ) 3 3 3
dy y t t tdx x t t
25 10( ) [ ( 1)] ,3 3
d dy t tdt dx
2
2 2
( ) 10 .( ) 9( 1)
tdy
d y tdxdx x t t
解
.dd),
dd(
dd,
dd,
53
2
2
2
2
5
3
xy
xy
tty
ttyttx求
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三、
6 2,x dxe tdt
6 2 ,x
dx tdt e
sin cos 0,dy dyy t ydt dt
sin ,
1 cosdy ydt t y
0, 0, ,2
t x y
( )( )
dy y tdx x t
sin ,
(6 2)(1 cos )
xe yt t y
0, 0,2
1 ,2t x y
dykdx
所求切线方程为 1 .2 2
y x
解
.
002
sin123 2
相应的点处的切线方程
在求曲线
tyyt
tte x
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四、
0lim ( ) (0) 1,x
f x f
0lim ( ) ,x
f x a
1. 当a≠1时, f (x) 在点x 0不连续, 从而不可导.
1, 0( ) .
2cos , 0
xe xf x
x x
解
1, 0( ) .
2cos , 0
xe xf x
x x
2. 当a 1时,
0
( ) (0)(0) lim0x
f x ffx
0
1lim 2,x
x
e xx
0
( ) (0)(0) lim0x
f x ffx
0
2sin 1lim 2,x
x ax
(0) (0) 2,f f Q(0) 2,f
).(,0,sin20,
)( xfxaxxxe
xfx
求
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五、
解0
lim ( ) ,x
f x a
0
lim ( ) (0) 1,x
f x f
因 f (x) 在点 x 0 可导, 从而连续, 于是 a 1.
0
( ) (0)(0) lim0x
f x ffx
0
( ) (0)(0) lim0x
f x ffx
1 0,b 1.b 由 f(x) 在点 x 0 可导, 得
0
1lim sin 0,x
xx
0
sin 1limx
x
e b xx
1 ,b
.
00,sin
0,1sin)(2
的值,求
可导,在点设
ba
xxxbe
xax
xxfx
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解1
lim[ ( ) ln ] 0x
f x x
(1) 0f
2 2 21 1 1
( ) ln ( ) lnlim lim lim1 1 1x x x
f x x f x xx x x
1 1
1 ( ) 1 lnlim lim2 1 2 1x x
f x xx x
1
1 ( ) 1lim 32 1 2x
f xx
1
( )lim 51x
f xx
0
( ) (1)(1) lim1x
f x ffx
六、 设 )( xf 在 1x 处连续, 且 ,31ln)(lim 21
xxxf
x
求 .)1(f
1
( )lim 51x
f xx