• Las ecuaciones anteriores dan una explicación completa de los procesos físicos que influyen en las condiciones de las capas límite de velocidad y térmica bidimensionales. Pero, normalmente no se necesitan todos sus términos y se trabaja con formas simplificadas de las ecuaciones.

• La situación usual es aquella en la que la capa límite se caracteriza como: incompresible, con propiedades constantes, fuerzas del cuerpo insignificantes (X= Y= 0) y sin generación de energía ( ) .

• Se realiza generalmente lo que se denomina como aproximaciones de capa límite, lo cual tiene en cuenta que los espesores son muy pequeños y se pueden aplicar las siguientes desigualdades:

Aproximaciones y condiciones especiales

x

v

y

v

x

u

y

u

vu

,,Capa límite de velocidad o hidrodinámica

x

T

y

TCapa límite Térmica

La componente de la velocidad en la dirección x es mucho mayor que en la y, por lo cual los gradientes normales a la superficie son mucho más grandes que los gradientes a lo largo de la superficie.

0q

Con las simplificaciones y aproximaciones anteriores, la ecuación de continui-dad global (6.25) y la ecuación de cantidad de movimiento en x se reducen a

0

y

v

x

u(6.54) (6.55)

Además, a partir de un análisis del orden de magnitud que usa las aproximaciones de la capa límite de velocidad, se muestra que la ecuación de cantidad de movimiento en y se reduce a

0y

p (6.56)

Por lo cual la presión en la capa límite depende sólo de x y es igual a la presión en el flujo libre fuera de la capa límite. p(x) dependerá de la forma de la superficie. La ecuación de la energía (6.46) se reduce con las simplificaciones a

2

2

2

y

u

c

v

y

T

y

Tv

x

Tu

p

(6.57)

2

21

y

uv

x

p

y

uv

x

uu

y

uxyyx (6.53)

Los esfuerzos normales de 6.31 y 6.32 son entonces despreciables y el único componente relevante del esfuerzo cortante de la ecuación 6.33 se reduce a

Si examinamos estas últimas ecuaciones, se ve una gran similitud. Si el gradiente de presión de 6.55 y la disipación viscosa de 6.57 son pequeñas, las tres ecuaciones son de la misma forma. Cada ecuación tiene términos de advección en el lado izquierdo y un término de difusión en el lado derecho. Esto describe flujos de convección forzada de baja velocidad, que se usan en muchas aplicaciones de Ingeniería.

Las soluciones de la capa límite implican matemáticas más allá del alcance de este curso, por lo cual nos restringiremos al estudio de flujo paralelo sobre una placa isotérmica. En textos avanzados se pueden encontrar soluciones analíticas y numéricas para problemas más complejos.

Los objetivos de este análisis fueron: (a) poder apreciar los procesos físicos que ocurren dentro de la capa límite,y (b) presentar las ecuaciones que permitirán identificar los parámetros clave de similitud de la capa límite, así como las analogías importante entre cantidad de movimiento y calor.

Se desarrollan resultados útiles adimensionalizando las ecuaciones gobernantes vistas precedentemente.

Similitud en la capa límite – parámetros de similitud

L

xx *

L

yy *

s

s

TT

TTT

*

V

uu *

V

vv *

2*

*2

*

*

*

**

*

**

y

u

LVx

p

y

uv

x

uu

00,

00,**

**

xv

xu V

xuxu

*** ,

2*

*2

*

**

*

**

y

T

LVy

Tv

x

Tu

00,** xT 1,** xT

VL

L Re

Pr

Las ecuaciones de capa límite se normalizan definiendo primero variables independientes adimensionales de las formas

Donde L es una longitud característica y V la velocidad de corriente aguas arriba. Estas ecuaciones se sustituyen en las 6.55 y 6.57 para obtener las formas adimensionales de las ecuaciones de conservación

CAPA ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN ECUACIONES DE FRONTERALIMITE Pared Corriente libre

velocidad

térmica

Grupo adimen-sional de ecuac. de velocidad

Grupo adimen-sional de ecuac. térmica

Nro de Reynolds Nro de Prandtl

2*

V

pp

(6.69) (6.70)

2*

*2

*

*

*

**

*

**

Re

1

y

u

x

p

y

uv

x

uu

L

2*

*2

*

**

*

**

PrRe

1

y

T

y

Tv

x

Tu

L

Incluyendo la ecuación de continuidad adimensionalizada, se tiene al final

0*

*

*

*

y

u

x

u (6.72)

(6.73)

(6.74)

Forma funcional de las soluciones

De las ecuaciones anteriores se ve que se puede disminuir el número de variables para expresar las soluciones, ya que parámetros como , , V y L se pueden incluir en uno sólo. Así se puede pensar en una solución del tipo

*

***

1* ,Re,,

x

pyxfu L

(6.76) Donde p*(x*) depende de la geome-tría de la superficie y se obtiene de manera independiente con las con-diciones de flujo libre.

De 6.15, el esfuerzo cortante en la superficie, y*= 0 , es 0

*

*

0 *

yy

s y

u

L

V

y

u

Y de la definición del coeficiente de fricción

0

*

*

2*Re

2

2

yL

sf y

u

VC

(6.77)

De la 6.76 se puede inferir que

*

**

2

0

*

*

,Re,* x

pxf

y

uL

y

Luego, para una geometría establecida, la 6.77 se expresa como

LL

f xfC Re,Re

2 *2 (6.78)

Intuitivamente uno supone que h depende de las propiedades del fluido (k, cp, , ), la velocidad del fluido V, la escala de longitud L y la geometría de la superficie, pero 6.74 sugiere una dependencia más simplificada.

*

***

3* ,Pr,Re,,

x

pyxfT L

(6.79)

De la definición del coeficiente de convección (6.17) y de las variables adimensionales, (6.59) y (6.61) se puede obtener

0

*

*

0

*

*

**

y

f

ys

sf

y

T

L

k

y

T

TT

TT

L

kh

Ecuación que nos conduce a la definición de un nuevo parámetro adimensional

Número de Nusselt

0

*

*

*

Nu

yf y

T

k

Lh (6.80) (Gradiente de temperatura adimensional en la superficie)

Luego, para una geometría establecida, se infiere que

Pr,Re,Nu *4 Lxf (6.81)

El Nu es para la capa límite térmica lo que el coeficiente de fricción es a la capa límite de velocidad. A partir de él se puede calcular h. Integrando sobre toda la superficie del cuerpo, se buscará entonces un Nu promedio para calcular la transferencia total de calor.

Pr,Re5 Lf

fk

LhuN (6.82)

Significado físico de los parámetros adimensionales

Ls

I LV

LV

LV

F

FRe

2

2

viscosasFuerzas

inerciadeFuerzasRe

El número de Prandtl proporciona una medida de la efectividad relativa del transporte de cantidad de movimiento y energía por difusión en las capas límite hidrodinámica y térmica, respectivamente.

n

t

Pr

(6.87) Gases: Pr 1 Aceites: Pr >> 1 Metales líquidos: Pr << 1

Efectos de la turbulencia

PPP

Se producen fluctuaciones aleatorias. Si P es una propiedad cualquiera

Si P es independiente del tiempo, se dice que el flujo es estable.

Pr

Las ecuaciones vistas anteriormente se convierten ahora en

vuy

u

yx

p

y

uv

x

uu

Tvcy

Tk

yy

Tv

x

Tuc pp

(6.105)

(6.106)

Se presentan unos términos adicionales de la forma que explican el efecto de la fluctuaciones de turbulencia sobre el transporte de cantidad de movimiento y energía. Ahora los esfuerzos de corte y flujo de calor totales se expresan como

ba

Tvcy

Tkq ptot

vuy

utot (6.108) (6.109)

Un modelo conceptual sencillo atribuye el transporte de cantidad de movimiento y calor en la capa límite turbulenta al movimiento de remolinos, lo cual incrementa los valores. Se define como difusividad parásita para la transferencia de momento de la forma.

vuy

uM

Por lo cual(6.111)

y

uMtot

(6.112)

Similarmente, de define la difusividad parásita para la transferencia de calor

Tvy

TH

y

Tcq Hptot

(6.113) Por lo cual (6.115)

Debido al aumento de transferencia de calor, se desea tener condiciones de flujo turbulento en muchas aplicaciones de ingeniería. Pero el aumento de esfuerzo cortante tendrá el efecto inverso de aumentar los requerimientos de potencia de bombeo o ventilación.