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8/18/2019 2. Estado Triaxial de Esfuerzos 2016
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Estado de esfuerzotriaxial
Ing. Norberto D. Ñique G.
8/18/2019 2. Estado Triaxial de Esfuerzos 2016
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Estado de esfuerzos en un punto
A
F n
A
lím
0
σ
A
F t
Alím
0
τ
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La intensidad de fuerza o fuerza por unidad de área, actuando normal a ∆A, se define como
esfuerzo normal ,σ (sigma)quematemáticamentepuedeexpresarsecomo:
AF n
Alím
0
σ
De lamisma manera, a la intensidad de la fuerza, que actúa tangentea ∆A, se ledenomina
esfuerzo cortante τ (tau). Estacomponenteseexpresamatemáticamentecomo:
AF t
Alím
0
τ
A
F z
A
z lím
0
σ
AF x
A
zx lím 0τ
A
F y
A
zy lím
0
τ
k ji z zy zxnk σττσ
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z zy zx
yz y yx
xz xy x
σττ
τστ
ττσ
Estado de esfuerzos en un punto
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cos xn=lxn
cos yn=lyn
cos zn=lzn
lxn2+ lyn2+ lzn2=1
Estado de esfuerzos en un plano oblicuo (arbitrario)
z zy zx
yz y yx
xz xy x
σττ
τστ
ττσ
l2+ m2+ n2=1
Conocido el estado de esfuerzos en un punto:
Se pretende determinar el valor de nr
para un plano oblicuo cualquiera que pasa por
el punto.
El plano será identificado por sus correspondientes cosenos directores:
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Planteando el equil ibrio de fuerzas en el eje x
lznlynlxn zx yx xnx ττσσ
z y x zx yx xnx ττσσ
z y x zx yx xnx ττσσ
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lznlynlxn zx yx xnx ττσσ
lznlynlxn zy y xyny τστσ
lznlynlxn z yz xznz σττσ
Conocidas las componentes cartesianas el esfuerzo resultante en el plano oblicuo
será:
2222
nznynxnr σσσσ
El esfuerzo resultante depende del estado de esfuerzos en el punto y de la
orientación del plano oblicuo , es decir de sus cosenos directores
Componentes cartesianas del esfuerzo resultante en el plano obl icuo
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Al proyectar lascomponentescartesianasenladirecciónn
lznlynlxnnznynxn
σσσσ
Reemplazando los valores de las componentes cartesianas en la ecuación anterior se obtiene:
)(2222 lxnlznlznlynlynlxnlznlynlxn zx yz xy z y xn τττσσσσ
222
nt nnr τσσ
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El estado general de esfuerzos en un punto, no da una visión clara de la manera en la
que actúan las fuerzas que se transmiten por el elemento diferencial.
La transmisión de fuerzas puede ser:
Uniaxial
Biaxial
Triaxial
z zy zx
yz y yx
xz xy x
σττ
τστ
ττσ
3
2
1
00
0000
σ
σ
σ
Estado de esfuerzos principales
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1. En cualquier estado de esfuerzos en un punto, un elemento se puede orientar de
tal forma que los esfuerzos cortantes se conviertan en un valor cero sobre todas
las superficies.
2. Las tres direcciones normales a las superficies del elemento así orientadas se lasdenomina orientaciones principales.
3. Los esfuerzos normales p
( p: 1, 2 y 3) que actúan en tal elemento se les
denomina Esfuerzos Principales
La ecuación:
)(2222 lxnlznlznlynlynlxnlznlynlxn zx yz xy z y xn τττσσσσ
Es una cuadrática en un espacio de cosenos directores, una propiedad de ella es
que hay una terna de direcciones, denominadas direcciones principales en las que
se anulan las componentes bilineales, es decir: en esta ecuación cuadrática de
esfuerzos habrá tres direcciones en las cuales se anulan las componentes
cortantes (tangenciales, cizallantes)
A los esfuerzos normales correspondientes a estas tres direcciones
se les denomina:
Esfuerzos Principales.
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lxp p px σσ
lyp p py σσ
lzp p pz σσ
0)-( lzplyplxp xz xy p x ττσσ
0)-( lzplyplxp yz p y yx τσστ
0)-( lzplyplxp p z yz zx σσττ
Las tres ecuaciones anteriores son linealmente homogéneas con respecto a los
cosenos directores, la solución correspondería a igualar a cero el determinante de
los coeficientes de cosenos directores puesto que estos cosenos directores lxp, lyp
y lzp no pueden ser todos iguales.
0
lzplyplxp
lzplyplxp
lzplyplxp
p z yz xz
yz p y xy
xz xy p x
σσττ
τσστ
ττσσ
El desarrollo de esta determinante es la ecuación cúbica:
lznlynlxn zx yx xnx ττσσ
Reemplazando en las ecuaciones
de componentes cartesianas en un
plano oblicuo o arbitrario : n=p
obtenemos las componentes
cartesianas del esfuerzo principal p
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0
p z yz xz
yz p y xy
xz xy p x
σσττ
τσστ
ττσσ
El desarrollo de esta determinante es una ecuación cúbica (Ω):
0
lzp
lyp
lxp
p z yz xz
yz p y xy
xz xy p x
σσττ
τσστ
ττσσ
...)()( 22223
p zx yz xy x z z y y x p z y x p στττσσσσσσσσσσσ
0)2(...
222
xy z zx y yz x zx yz xy z y x τστστστττσσσ
Las tres raíces de la ecuación anterior corresponden a esfuerzos principales:
321 y, σσσ 321 σσσ
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Para determinar la dirección, con respecto a los ejes coordenados x,y, z en la que los
esfuerzos principales actúan, es preciso sustituir por turnos los esfuerzos principales
en las tres ecuaciones del sistema. Por ejemplo , para el esfuerzo principal 1
tenemos.
Las ecuaciones resultantes han de resolverse simultáneamente para lxp, lyp y lzp con
ayuda de la relación auxiliar:
lxp 2+ lyp 2+ lzp 2=1
Para cada uno de los esfuerzos principales
0
1
1
1
1
1
1
lz
ly
lx
z yz xz
yz y xy
xz xy x
σσττ
τσστ
ττσσ
Direcciones principales
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Como el estado de esfuerzos en un punto determinado de un plano es
independiente de la terna de referencia, la solución de la ecuación (
) serán lasmismas cualesquiera que sea la terna adoptada para definir dicho estado de
esfuerzos.
Como consecuencia tenemos:
Los coeficientes de la ecuación cúbica no sufrirán alteraciones si se cambia el
sistema de coordenadas de referencia, es decir:
Los coeficientes de la ecuación cúbica son independientes del sistema dereferencia, es por esto que se les denomina invariantes del estado de esfuerzos.
...)()( 22223
p zx yz xy x z z y y x p z y x p στττσσσσσσσσσσσ
0)2(... 222
xy z zx y yz x zx yz xy z y x τστστστττσσσ
Invarirantes del estado de esfuerzos
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222
2I zx yz xy x z z y y x τττσσσσσσ
z y x σσσ 1I
222
3 2I xy z zx y yz x zx yz xy z y x τστστστττσσσ
Ejes cartesianos xyz
3211I σσσ
1332212I σσσσσσ
3213 σσσ
0III 322
1
3 p p p σσσ
Ejes principales 123
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Analizamos ahora el estado de esfuerzos para un plano ABC, el cual no es
un plano principal, en función de la terna de ejes principales.
nn
l111
σσ
2
3
2
2
2
1
2
nnnnr σσσσ
2
33
2
22
2
11
2)()()( nnnnr lll σσσσ
nnnnnnn lll 332211 σσσσ
2
33
2
22
2
11 nnnn lll σσσσ
nn l222 σσ
nn l333 σσ
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22
nnr nt σστ
22
33
2
22
2
11
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2)( nnnnnnnt llllll σσσσσστ
2
3
2
2
2
32
2
3
2
1
2
31
2
2
2
1
2
21
2
)()()( nnnnnnnt llllll σσσσσστ
321 σσσ
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Los esfuerzos tangenciales principales
(cortantes o cizal lantes) actúan en planos quebisecan el ángulo formado por dos de los tres
ejes principales.
Esfuerzos
Tangenciales
Principales
Cosenos directores de los plano
l 1n
l 2n
l 3n
0
0
0
2
321
σστ
2
312
σστ
2
213
σστ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Esfuerzos cortantes principales
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2
312max
σσττ
el esfuerzo tangencial principal máximo estaría dado por:
321 σσσ
La teoría de plasticidad, se acepta que las deformaciones de los materiales son
consecuencia de la acción de los esfuerzos tangenciales, de al lí la importancia de los
esfuerzos tangenciales en la teoría de f luencia en las operaciones de conformado de
los metales en particular.
Aceptando el convenio que
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Bibliografía
BIBLIOGRAFIA
(1) “Mecánica de sólidos”. T.J. Lardnery R.R. Archer. 2-20 pag.
(2) “Mecánica de materiales”. R. C. Hibbeler. (2-10) (22-25) y (109)
pag.