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Colegio Secundario “ Manuel Ramón González ”
Funciones
Exponenciales
C. S. “M. R. G.”
2020
Autor: Profesor Saúl Enrique Zamaniego - Colegio Secundario “ Manuel Ramón González ”
Año: 2020 Curso: 6° “U” Localidad: San Lorenzo
e-mail: [email protected] Pág. 2
Crecimiento Exponencial
En un lago del sur de la Argentina un grupo de científicos acaba de descubrir una nueva
especie de bacterias que se estaría reproduciendo velozmente de manera tal que podría causar
muchos problemas de enfermedades en los habitantes de esa zona geográfica. Estudios
complementarios recientes revelaron que esta especie se reproduce cada una hora de manera que
cada bacteria se duplica orgánicamente y todo habría empezado con una sola bacteria…
* Completar la siguiente tabla de referencia para saber cuánto crecerá la población de bacterias a
medida que transcurre el tiempo…
Tiempo 0 hs 1 hs 2 hs 3 hs 4 hs 5 hs 6 hs 7 hs 8 hs 9 hs 10 hs
Población de bacterias 1
� Responder cada una de las siguientes preguntas de acuerdo con los valores obtenidos o
estimando algunos de ellos…
a) ¿ Cuántas bacterias habrán a las 10 horas de inicio de la reproducción ?
b) ¿ Cuál sería la población de bacterias luego de un día de haberse iniciado el ciclo reproductivo ?
c) Si los biólogos estiman que con una población de 262144 bacterias correríamos una alta
probabilidad de riesgo … ¿ cuántas horas deberían pasar para que ocurra este peligroso
acontecimiento ?
d) Obtener la expresión o fórmula matemática que permita hallar la cantidad de bacterias en función
del tiempo ( en horas) transcurrido.
e) Realizar un gráfico que represente esta situación planteada.
Resolución :
dejar espacio suficiente para la resolución …
Función Exponencial
DEFINICIÓN: se llama “función exponencial” a una función numérica que presenta la siguiente forma
f : ℝ → ℝ / y = f ( x ) = k . ax
, donde “k” y “a” son dos números reales
denominados “coeficiente” y “base” respectivamente que deben cumplir las siguientes
condiciones…
Los valores “K” y “a” son los parámetros de la función exponencial. Por lo tanto en una función
exponencial definida simbólicamente se reconocen las siguientes componentes o partes:
Dominio de la función Codominio de la función Variable independiente
Nombre de la función f : ℝ → ℝ / y = f ( x ) = k . ax
Variable dependiente Coeficiente Base
≠
≠∧⟩
) 0 de distinto k"" ( 0 k
1 de distinto a"" y 0 que mayor a"" ( 1 a 0 a
Autor: Profesor Saúl Enrique Zamaniego - Colegio Secundario “ Manuel Ramón González ”
Año: 2020 Curso: 6° “U” Localidad: San Lorenzo
e-mail: [email protected] Pág. 3
Algunos ejemplos de funciones exponenciales son los siguientes:
1) f : ℝ → ℝ / y = f ( x ) = 2x
; entonces k = 1 ; a = 2
2) g : ℝ → ℝ / y = g ( x ) = 3 .
3
1
x ; entonces k = 3 ; a =
3
1
3) h : ℝ → ℝ / y = h ( x ) = –1 .
2
1
x ; entonces k = –1 ; a =
2
1
4) j : ℝ → ℝ / y = j ( x ) = 2
1 . 4
x ; entonces k =
2
1 ; a = 4
Consideraciones Previas Elementales
Antes de iniciar el estudio y análisis propio de las funciones exponenciales vamos a considerar
y repasar algunas cuestiones elementales con respecto a la potenciación en el conjunto de los
números reales…
8 2 . 2 . 2 2 3 ==
( – 2 ) 4
= ( – 2 ) . ( – 2 ) . ( – 2 ) . ( – 2 ) = 16
4 3 −
=
4
1 3 =
4
1 .
4
1 .
4
1 =
64
1
( – 3 ) 3 −
=
−
3
1
3 =
−
3
1 .
−
3
1 .
−
3
1 =
27
1 −
2
5
2 − =
5
2
2 =
5
2 .
5
2 =
25
4
−
3
4
3 − =
−
4
3
3 =
−
4
3 .
−
4
3 .
−
4
3 =
64
27 −
−
3
1
4 − = ( – 3 )
4 = ( – 3 ) . ( – 3 ) . ( – 3 ) . ( – 3 ) = 81
EJEMPLO N° 1:
Considerando a la función exponencial f : ℝ → ℝ / y = f ( x ) = 2x
a) Identificar los parámetros de la misma.
b) Construir la tabla de valores correspondiente
c) Representar gráficamente a dicha función.
Resolución.
a) k = 1 ; a = 2
Autor: Profesor Saúl Enrique Zamaniego - Colegio Secundario “ Manuel Ramón González ”
Año: 2020 Curso: 6° “U” Localidad: San Lorenzo
e-mail: [email protected] Pág. 4
b)
x y = f ( x ) = 2x
– 4 24 −
=
2
1 4
= 2
1 .
2
1 .
2
1 .
2
1 =
16
1
– 3 23 −
=
2
1 3
= 2
1 .
2
1 .
2
1 =
8
1
– 2 22 −
=
2
1 2
= 2
1 .
2
1 =
4
1
– 1 21 −
=
2
1 1
= 2
1
0 20
= 1
1 21
= 2
2 22
= 2 . 2 = 4
3 23
= 2 . 2 . 2 = 8
4 24
= 2 . 2 . 2 . 2 = 16
c)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
x
y
* OBSERVACIÓN: Como se puede apreciar en el gráfico de este ejemplo, el recorrido de la función
exponencial se acerca mucho al semieje negativo x , pero nunca llega a cortarlo… Se dice entonces
que el semieje negativo x es la asíntota de esta función exponencial.
x 2 ) x ( f y ==
0
Autor: Profesor Saúl Enrique Zamaniego - Colegio Secundario “ Manuel Ramón González ”
Año: 2020 Curso: 6° “U” Localidad: San Lorenzo
e-mail: [email protected] Pág. 5
Por otra parte se observa que el recorrido de la función exponencial “corta o intercepta” al
EJE Y en y = 1 … Se dice entonces que el punto y = 1 es la ordenada al origen de la función
exponencial y como dato alusivo la ordenada al origen coincide con el valor del coeficiente ( k ) de la
función exponencial.
EJEMPLO N° 2:
Considerando la función exponencial g : ℝ → ℝ / y = g ( x ) = 2
1 − . 2
x
a) Identificar los parámetros de la misma.
b) Construir la tabla de valores correspondiente
c) Representar gráficamente a dicha función.
d) Determinar asíntota y ordenada al origen de la función dada.
Resolución.
a) k = ; a =
b)
x y = g ( x ) = 2
1 − . 2
x
– 4
−
2
1 . 2
4 − =
– 3
−
2
1 . 2
3 − =
– 2
−
2
1 . 2
2 − =
– 1
−
2
1 . 2
1 − =
0
−
2
1 . 2
0 =
1
−
2
1 . 2
1 =
2
−
2
1 . 2
2 =
3
−
2
1 . 2
3 =
4
−
2
1 . 2
4 =
Autor: Profesor Saúl Enrique Zamaniego - Colegio Secundario “ Manuel Ramón González ”
Año: 2020 Curso: 6° “U” Localidad: San Lorenzo
e-mail: [email protected] Pág. 6
c)
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−17
−16
−15
−14
−13
−12
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
x
y
d) La asíntota de la función exponencial es el …………………………………………………… mientras que la
ordenada al origen es el punto y = …….
EJEMPLO N° 3:
Considerando la función exponencial h : ℝ → ℝ / y = h ( x ) = 3 .
3
1x
a) Identificar los parámetros de la misma.
b) Construir la tabla de valores correspondiente
c) Representar gráficamente a dicha función.
d) Determinar asíntota y ordenada al origen de la función dada.
Resolución.
a) k = ; a =
x2 .
2
1 ) x ( g y −==
Autor: Profesor Saúl Enrique Zamaniego - Colegio Secundario “ Manuel Ramón González ”
Año: 2020 Curso: 6° “U” Localidad: San Lorenzo
e-mail: [email protected] Pág. 7
b)
x y = h ( x ) = 3 .
3
1x
– 4 – 3
– 2
– 1
0
1
2
3
4
c)
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
x
y
d) La asíntota de la función exponencial es el …………………………………………………… mientras que la
ordenada al origen es el punto y = …….
x
3
1 . 3 ) x ( h y
==
Autor: Profesor Saúl Enrique Zamaniego - Colegio Secundario “ Manuel Ramón González ”
Año: 2020 Curso: 6° “U” Localidad: San Lorenzo
e-mail: [email protected] Pág. 8
ACTIVIDADES:
Para cada una de las siguientes funciones exponenciales…
1) m : ℝ → ℝ / y = m ( x ) = 2 . x
2
1
2) t : ℝ → ℝ / y = t ( x ) = – 3 . x
3
1
3) f : ℝ → ℝ / y = f ( x ) = 2
1 . 2
x
4) g : ℝ → ℝ / y = g ( x ) = 3
1 − . 3
x
a) Identificar los parámetros de cada una de ellas.
b) Construir la tabla de valores asociada a cada función.
c) Representarla gráficamente.
d) Determinar la asíntota y la ordenada al origen de cada función.