2. LENGUAJE ALGEBRAICO.

2.1. Definición de Álgebra. 2.2. Notación algebraica (lenguaje algebraico).

2.3. Signos algebraicos de operación, de relación y de agrupación.

2.4. Término algebraico y sus partes. 2.5. Clasificación de los términos algebraicos; semejantes ó no semejantes.

2.6. Clasificación de las expresiones algebraicas por su número de términos. 2.7. Grado de una expresión algebraica.

2.8. Ordenamiento de una expresión algebraica. 2.9. Valor numérico de una expresión algebraica.

2.1 DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el

tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que

debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de

número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo experimentado por el álgebra se

debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en particular, a Al-Hwarizmi (Siglo IX

d.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día.

El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las

cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.

El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que

mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan

valores determinados, en álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden

representar cualquier valor que se les asigne.

2.2. NOTACIÓN ALGEBRAICA Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden se de dos

tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades

conocidas y perfectamente determinadas.

Lenguaje algebraico Capitulo 2

L E N G U A J E A L G E B R A I C O

2 - 2

Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas como

desconocidas. En general, las cantidades conocidas se representan utilizando las primeras

letras del alfabeto: a, b, c, d…, mientras que las cantidades desconocidas se representan

utilizando las últimas letras del alfabeto: x, y, z…

Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas;

por ejemplo a’, a’’, a’’’ que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de

subíndices: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres.

Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio

de letras son las fórmulas algebraicas. Una fórmula algebraica es la representación, por

medio de letras, de una regla o de un principio general.

2.3. SIGNOS ALGEBRAICOS DE OPERACIÓN, DE RELACIÓN Y DE AGRUPACIÓN Con las cantidades algebraicas se efectúan las mismas operaciones que con las aritméticas,

es decir: suma o adición, resta, multiplicación o producto, división, potenciación, radicación,

logaritmación, etc.

SIGNOS DE OPERACIÓN

En la suma se utiliza el signo (+). Así, por ejemplos x+y se leerá “equis más ye”.

En la resta se utiliza el signo (-). Así, por ejemplo x-y se leerá “equis menos ye”.

En la multiplicación se utiliza el símbolo multiplicado por (x) ó (). Así, por ejemplo x x y

= xy se leerá “equis multiplicado por ye”. El signo suele omitirse cuando los factores

están indicados por letras o bien por letras y números.

Por ejemplo x x y x z = xyz = xyz

En la división se utiliza el signo dividido entre (:)() ó (/). Así, por ejemplo x:y = x/y = xy

y se leerá “equis dividido entre ye”.

En la potenciación se utiliza un superíndice denominado exponente que se sitúa arriba y

a la derecha de una cantidad llamada base por sí misma. Así, por ejemplo x4= xxxx…

(4 veces) y se leerá “equis elevado a la ye”. En el caso de que una letra no lleve

exponente se sobreentiende que el exponente es uno.

En la radicación se utiliza el signo radical ( ), debajo del cual se coloca la

cantidad a la que se le extrae la raíz. Así, por x , se leerá “raíz cuadrada de equis”;

3 x “raíz cúbica de equis” y así sucesivamente.

SIGNOS DE RELACIÓN

Los signos de relación se utilizan para indicar la relación que hay entre dos cantidades.

L E N G U A J E A L G E B R A I C O

2 - 3

El signo = se lee igual a. x=y se leerá “equis igual a ye”.

El signo se lee diferente de. xy se leerá “equis diferente de ye”.

El signo > se lee mayor que. x>y se leerá “equis mayor que ye”.

El signo < se lee menor que. x<y se leerá “equis menor que ye”.

El signo se lee mayor que o igual.

El signo se lee menor que o igual.

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Los signos de agrupación más utilizados son: los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves {

}. Los signos de agrupación indican que la operación encerrada en su interior debe

efectuarse en primer lugar.

2.4 TÉRMINO ALGEBRAICO Y SUS PARTES Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos

+ o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico.

En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la

parte literal y el grado.

Signo

Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los

términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo + se

acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término no va

precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo.

Coeficiente

Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para

multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como

sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se

sobreentiende que el coeficiente es la unidad.

Parte literal

La parte literal está formada por las letras que haya en el término.

-4x2

signo exponente

coeficiente base o literal

L E N G U A J E A L G E B R A I C O

2 - 4

Grado

El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por

ejemplo el término x3y

2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto

a y y de primer grado con respecto a x.

2.5 CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS; SEMEJANTES Ó NO SEMEJANTES. Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman términos

semejantes.

5x y 6x son términos semejantes. 2 327x y y 2 332x y son términos semejantes.

4x y 17y no son términos semejantes. 215x y y 26xy no son términos semejantes.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar varios

términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes pueden

presentarse los tres casos siguientes:

a) Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los coeficientes

anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos los términos y a

continuación se escribe la parte literal.

Ejemplo

Reducir las siguientes expresiones

2 3 5 7 17xy xy xy xy xy

2 2 2

3 5 8x x x

a a a

1 2 3 4 7

2 3 6 6ab ab ab ab

1 2 1 2 3

3 3 3 3xy xy xy xy xy

b) Para reducir términos semejantes que tengan distintos signos se restan los

coeficientes anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se

escribe la parte literal.

Ejemplo

Reducir las siguientes expresiones 2 2 22 5 3xy xy xy

3 4a a a

18 11 7x x x

1 2 3 4 1

2 3 6 6xy xy xy xy

L E N G U A J E A L G E B R A I C O

2 - 5

c) Para reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se reducen todos

los términos positivos a un solo término y todos lo términos negativos a un solo

término y se restan los coeficientes de los términos así obtenidos anteponiendo a la

diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplo

Reducir 5a -8a +a -6a + 21a

Reduciendo los positivos: 5a +a + 21a = 27a

Reduciendo los negativos: -8a -6a = -14a

Aplicando a los resultados obtenidos (27a y -14a), la regla del caso anterior, se tiene

27a -14a =13a

Tendremos: 5a -8a +a -6a + 21a= 13a

Ejemplo

Reducir 22222 44

3

5

1

5

2bxbxbxbxbx

Reduciendo los positivos: 2222

20

39

4

3

5

1bxbxbxbx

Reduciendo los negativos: 222

5

224

5

2bxbxbx

Tendremos: 222

20

49

5

22

20

39bxbxbx

2.6. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS POR SU NÚMERO DE TÉRMINOS.

Monomios: Son aquellos que constan de un solo término, en la que números y letras están

ligadas por la operación multiplicar. 332

3 ,7

2 ,

2 ,3 ,5 ab

b

xa

y

zxabx

Polinomios: Son aquellos que constan de más de un término, es decir, es la suma

algebraica de dos o más monomios. 2a+b, 3x2-5y+z, 2x3-7x2-3x+8

a) Binomio.- Polinomio de dos términos: 5x2-3y2, u +at, 4a2b +x2y6,

b) Trinomio.- Polinomio de tres términos: x+y+z, 2ab-3a2+5b2, m-2n-8

Término nulo: Si el coeficiente de un término es cero, se tiene un término cuyo valor

absoluto es cero o nulo. (0)x2y = 0 (0)a2 = 0

2.7 GRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA. El exponente de mayor orden de la variable se conoce como grado del polinomio. Para

encontrar el grado de un polinomio, basta examinar cada término y hallar el exponente de

L E N G U A J E A L G E B R A I C O

2 - 6

mayor orden de la variable. Por lo tanto, el grado de 3x2 + 5x

4 - 2 se halla examinando el

exponente de la variable en cada término.

El exponente en 3x2 es 2

El exponente en 5x4 es 4

El exponente en -2 es 0, porque -2=-2x0 (x0=1)

Entonces el grado de 253 42 xx es 4, el exponente de mayor orden de la variable en el

polinomio.

De manera semejante, el grado de 253 934 yyy es 5, puesto que 5 es el exponente de

mayor orden de una variable presente en el polinomio.

Por convención, un número como -4 o 7 se conoce como polinomio de grado 0, porque si

a0, a=ax°.

El grado de un polinomio puede ser “absoluto” o “relativo” a una literal.

Grado absoluto: El grado absoluto de un polinomio se determina por el exponente mayor,

de uno de sus términos.

4 3 25 7 3 1a a a a El grado absoluto es cuatro. 5 3 5 2 62 6 2 4x x y x y x El grado absoluto es sexto.

2 3 3 3 52 3 5ab a b a b b El grado absoluto es quinto.

Grado relativo a una literal: El grado relativo de un polinomio con respecto a una literal,

es el mayor exponente que tiene la literal que se considere del polinomio.

7 4 3 2 64xy x y x y x El grado con relación a x es séptimo, de quinto grado con relación a y.

5 2 22 7 8a a b ab El grado con relación a a es tres, de segundo grado con relación a b.

Polinomio cero

El mismo número 0 se conoce como polinomio cero y no se le asigna grado. Se hace notar

que 0x4=0, 0x2=0, 0x3=0, y así sucesivamente de modo que los polinomios cero no pueden

tener grado.

2.8. ORDENAMIENTO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra cuando los exponentes de

una letra determinada van aumentando o disminuyendo desde el primero hasta el último con

respecto a la letra considerada, que recibe el nombre de letra ordenatriz. Esto simplifica

muchas veces las operaciones con polinomios.

L E N G U A J E A L G E B R A I C O

2 - 7

Así, por ejemplo, el polinomio 32234 xyyxyxx está ordenado en orden ascendente con

respecto a la letra ordenatriz y y está ordenado en orden descendente con respecto a la letra

ordenatriz x.

Ejemplo

Escribir en orden ascendente el polinomio 4753 211204385 yyyyy

SOLUCIÓN: Ordenamos los términos de menor a mayor según su grado, así: 7543 208251143 yyyyy

Ejemplo

Ordenar el polinomio x5 –x7 +x4 –x6 en orden descendente con respecto a la letra x

SOLUCIÓN: Deberíamos escribirlo así: –x7 –x6 +x5 +x4

Ejemplo

Escribir en orden descendente el polinomio zwzwwwzzw 6328753 452114324 , con

respecto a cada una de las variables.

SOLUCIÓN: Debemos ordenar los términos del polinomio de mayor a menor respecto a cada

variable.

Respecto a la variable w tenemos: 7325368 322144514 wzzwzwzww

Respecto a la variable z tenemos: 8632537 144521432 wzwzwzwwz

Así pues, ordenar un polinomio consiste en escribir todos sus términos en un orden tal que

los exponentes de una misma letra, llamada ordenatriz, vayan disminuyendo o aumentando

desde el primer término hasta el último.

2.9. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA. La evaluación de expresiones algebraicas, es el proceso que consiste en sustituir los valores

numéricos asignados para las literales de una expresión algebraica y que al efectuar las

operaciones indicadas se obtiene la evaluación correspondiente.

JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

1. Se efectúa toda operación que se encuentre entre paréntesis o arriba o debajo de una

raya de fracción.

2. Se efectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el orden que se

presenten de izquierda a derecha.

3. Se efectúan las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha.

L E N G U A J E A L G E B R A I C O

2 - 8

Ejemplo

Resuelve 2a2bc3, cuando a=2, b=3 y c=1

2(2)2(3)(1)3 = 2(4)(3)(1) = 24

Ejemplo

Evaluar 34 bx , cuando b=8 y x=2

32848842843

Ejemplo

Evaluar 2 2

2

8 5 2a b a b

x y x y cuando a=1, b=2, y=4 y x=3.

9

57

36

272

36

418096

36

45

3

8

49

212

4

45

3

18

43

212

4

25

3

182

22

Ejemplo

Resuelve 4 6

2

x para x=3.

9

2

18

2

612

2

634

2

634

Ejemplo

Resuelve 3xy y para x=2 y=3.

2 3 3 3 6 9 15

Ejemplo

Evaluar zw

zw

2

35

cuando w = -4.2 z = 3.6

6.103

8.31

2.72.4

8.1021

6.322.4

6.332.45

2

35

zw

zw

L E N G U A J E A L G E B R A I C O

2 - 9

E J E R C I C I O S 2 .1 :

Reducir los siguientes términos:

1) 1212 57 baba yxyx

2) xxx 764

3) yyy 532

4) xyxyxy 543

5) aaa 87

6) xyxyxy 547

7) aaa xxx 423

8) 111 325 xxx aaa

9) xxxx 432

10) xyxyxyxy 232

11) 2222 3423 yyyy

12) abababab 32

13) xyxyxyxy 5324

14) 2222 243 abababab

15) xyxyxyxy 3715

16) abababab 543

17) 2222 89312 yyyy

18) xxxxx 35432

19) yyyyy 5243

20) xyxyxyxyxy 4332

21) yxyxyxyxyx 22222 76543

22) xxxxxx 2322

23) aaaaa xxxxx 2432

24) 11111 332 aaaaa xxxxx

25) xxxxxx 34232

26) yyyyyy 2432

27) aa2

12

1

28) abab10

15

3

29) xyxy6

13

1

30) xyxy5

45

1

E J E R C I C I O S 2 .2 :

Reducir los siguientes términos:

a) yxyx 22 2

b) yxyx 22

11

9

7

4

c) 11 aa xx

d) 22 99 abab

e) amam4

5

8

3

f) 11 3225 aa mm

g) baba 22

12

5

6

5

h) nmnm baba8

7

i) mnmn4

35

j) 22

3

14 aa

k) 11

12

7

6

5 mm aa

L E N G U A J E A L G E B R A I C O

2 - 10

l) 22

2

1

4

1 mm aa

m) 11 aa xx

n) amam5

3

o) mnmn8

7

6

5

p) baba 22

11

3

q) 3434 6.54.3 baba

r) xyxy 4.32.1

s) xx aa 24

t) 11 88 xx aa

u) yxyx 22 77

v) mnmn 118101

w) abab 405502

x) xx 10181024

y) abab 1515

z) aa4

3

2

1

aa) aa2

1

4

3

bb) 2323 8155 baba

cc) xyxy 4015

dd) nmnm 22 6

E J E R C I C I O S 2 .3 :

Reducir los siguientes términos:

i. mmm2

1

4

1

5

3

ii. yyy3

1

3

2

iii. 222 391524 xxx aaa

iv. xxx aaa 3595

v. ababab 261511

vi. mmm 61019

vii. –x +19x -18x=

viii. mnmnmn 52312

ix. –8x +9x -x=

x. aaa 539

xi. ababababababab 233184605221

xii. aaaaaaa 619183411308140

xiii. 2323232323 48

5

4

1

3

2

6

5aaaaaaaaaa

xiv. xmxmxmxmxmxm 222222 16523171560450184

xv. babababababa 222222 391318515

xvi. bbbbbb 1108117119

xvii. aaaaaa 318015026

xviii. 11111 2620117 xxxxx aaaaa

xix. xxxxx aaaaa 73941307

xx. xxxxx

6

5

4

1

4

32

L E N G U A J E A L G E B R A I C O

2 - 11

xxi. xxxxx2

1

6

7

3

2

2

1

xxii. aaaaaa 63

xxiii. yayayayaya 22222 4851937

xxiv. mnmnmnmnmn 203114

xxv. ccccc 823014217

xxvi. aaaaa 7515118

xxvii. 2222

8

3

6

1

6

5abababab

xxviii. babababa 2222

3

1

6

1

5

3

xxix. yyyy12

1

6

1

3

1

3

1

xxx. xxxx5

1

4

1

3

1

2

1

E J E R C I C I O S 2 .4 :

Resolver cuando a=1, b=2, c=3, d=4, m=½, n=2/3, p=¼, x=0:

1. (a+b) c-d=

2. (a+b)(b-a)=

3. (b-m)(c-n)+4a2=

4. (2m+3n)(4p+b2)=

5. (4m+8p)(a2+b

2)(6n-d)=

6. (c-b)(d-c)(b-a)(m-p)=

7. b2(c+d)-a

2(m+n)+2x=

8. 2mx+6(b2+c

2)-4d

2=

9.

a

b

p

n

m 16

9

8

10. acb cdamx

11.

2

224

c

ba

a

pm

12. pnmnppnm 209468432

13. pnbpmdnmc 222

14.

m

da

dc 222

L E N G U A J E A L G E B R A I C O

2 - 12

15. apmpnbp 40282241824

16.

2

2

25

p

m

bd

b

da

17. 22 8 nmbcba

18.

pdc

b

nca 6

2

19. n

padnbc2

162323

20.

abc

cdnp

ab

mn

b

abc

2

3

82

6

21.

2

2 111111

mncbbab

22. 2242432 nmcpnm

23.

mb

n

mab

cb

2

3

2

24. ab5

25. 22bc

26. bc

a

3

4

27. 2

2

n

m

28. 222

24

pn

mn

29. 324

3

2mba

30. pnm 3224

L E N G U A J E A L G E B R A I C O

2 - 13

R E S U L T A D O S D E L O S E J E R C I C I O S 2 .1 :

1) 121212 257 bababa yxyxyx

2) xxxx 5764

3) yyyy 4532

4) xyxyxyxy 2543

5) 087 aaa

6) xyxyxyxy 2547

7) aaaa xxxx 3423

8) 1111 4325 xxxx aaaa

9) xxxxx 2432

10) xyxyxyxyxy 2232

11) 22222 23423 yyyyy

12) ababababab 32

13) 05324 xyxyxyxy

14) 0243 2222 abababab

15) xyxyxyxyxy 73715

16) ababababab 5543

17) 22222 1089312 yyyyy

18) xxxxxx 535432

19) yyyyyy 55243

20) xyxyxyxyxyxy 4332

21) yxyxyxyxyxyx 222222 376543

22) xxxxxxx 32322

23) 02432 aaaaa xxxxx

24) 111111 4332 aaaaaa xxxxxx

25) xxxxxxx 34232

26) yyyyyyy 2432

27) aaa 2

12

1

28) ababab10

710

15

3

29) xyxyxy2

16

13

1

30) xyxyxy 5

45

1

R E S U L T A D O S D E L O S E J E R C I C I O S 2 . 2 :

a) yxyx 22 2 0

b) yxyxyx 222

14

1

11

9

7

4

c) 11 aa xx 0

d) 22 99 abab 0

e) amamam8

7

4

5

8

3

f) 111 73225 aaa mmm

g) bababa 222

12

5

12

5

6

5

h) nmnmnm bababa

8

1

8

7

i) mnmnmn4

17

4

35

j) 222

3

11

3

14 aaa

k) 111

4

1

12

7

6

5 mmm aaa

l) 222

4

1

2

1

4

1 mmm aaa

m) 11 aa xx 0

L E N G U A J E A L G E B R A I C O

2 - 14

n) amamam5

2

5

3

o) mnmnmn24

1

8

7

6

5

p) bababa 222

11

8

11

3

q) 343434 2.26.54.3 bababa

r) xyxyxy 2.24.32.1

s) xxx aaa 224

t) 11 88 xx aa 0

u) yxyx 22 77 0

v) mnmnmn 17118101

w) ababab 97405502

x) xxx 610181024

y) abab 1515 0

z) aaa4

1

4

3

2

1

aa) aaa4

1

2

1

4

3

bb) 232323 268155 bababa

cc) xyxyxy 254015

dd) nmnmnm 222 56

R E S U L T A D O S D E L O S E J E R C I C I O S 2 .3 :

i. mmmm20

17

2

1

4

1

5

3

ii. yyy3

1

3

20

iii. 222 391524 xxx aaa 0

iv. xxxx aaaa 313595

v. ababab 261511 0

vi. mmmm 1561019

vii. –x +19x -18x=0

viii. mnmnmnmn 1652312

ix. –8x +9x -x=0

x. aaaa 11539

xi. ababababababab 233184605221 0

xii. aaaaaaa 619183411308140 a28

xiii. 232323232323

8

544

8

5

4

1

3

2

6

5aaaaaaaaaaaa

xiv. xmxmxmxmxmxmxm 2222222 134016523171560450184

xv. bababababababa 2222222 162391318515

xvi. bbbbbbb 91108117119

xvii. aaaaaaa 88318015026

xviii. 111111 2620117 xxxxxx aaaaaa

xix. xxxxx aaaaa 73941307 0

L E N G U A J E A L G E B R A I C O

2 - 15

xx. xxxxxx6

5

6

5

4

1

4

32

xxi. xxxxxx2

1

2

1

6

7

3

2

2

1

xxii. aaaaaaa 363

xxiii. yayayayaya 22222 4851937 0

xxiv. mnmnmnmnmnmn 2203114

xxv. cccccc 80823014217

xxvi. aaaaaa 647515118

xxvii. 22222

6

1

8

3

6

1

6

5ababababab

xxviii. bababababa 22222

30

7

3

1

6

1

5

3

xxix. yyyyy12

1

12

1

6

1

3

1

3

1

xxx. xxxxx60

13

5

1

4

1

3

1

2

1

R E S U L T A D O S D E L O S E J E R C I C I O S 2 .4 :

1. (a+b) c-d=

2. (a+b)(b-a)=

3. (b-m)(c-n)+4a2=

4. (2m+3n)(4p+b2)=

5. (4m+8p)(a2+b

2)(6n-d)=

6. (c-b)(d-c)(b-a)(m-p)=

7. b2(c+d)-a

2(m+n)+2x=

8. 2mx+6(b2+c

2)-4d

2=

9.

a

b

p

n

m 16

9

8

10. acb cdamx

11.

2

224

c

ba

a

pm

12. pnmnppnm 209468432

13. pnbpmdnmc 222

14.

m

da

dc 222

15. apmpnbp 40282241824

16.

2

2

25

p

m

bd

b

da

L E N G U A J E A L G E B R A I C O

2 - 16

17. 22 8 nmbcba

18.

pdc

b

nca 6

2

19. n

padnbc2

162323

20.

abc

cdnp

ab

mn

b

abc

2

3

82

6

21.

2

2 111111

mncbbab

22. 2242432 nmcpnm

23.

mb

n

mab

cb

2

3

2

24. ab5

25. 22bc

26. bc

a

3

4

27. 2

2

n

m

28. 222

24

pn

mn

29. 324

3

2mba

30. pnm 3224