3

FO

RM

A,

E

SP

AC

IO

Y

M

ED

ID

A

EL

AB

OR

O:

M

tr

a.

N

ia

ly

Y

.

Ál

va

re

z

Me

na

ch

o

ESQUEMA

Conocimiento

Del contenido

Procesos de

aprendizaje

De los alumnos

Diseño y gestión de

entornos de

aprendizaje

Gestión del currículo Reflexión y

transformación de la

práctica

Errores y dificultades Comunes.

Concepciones

Estrategias de aprendizaje.

Comprensión.

Evolución de su razonamiento.

Normas

sociomatemáticas

Teorías didácticas.

Procesos de matematización.

Resolución de

problemas.

Uso de las TIC.

Representaciones.

Evaluación de

los aprendizajes.

Articulación entre el

conocimiento del contenido y su tratamiento en el plan de estudios de la

Educación Preescolar.

Práctica docente con los contenidos

del curso.

Diseño de instrumentos de

recuperación de la información.

Sistematización y elaboración de

textos.

Común espacializado

M

E

D

I

C

I

Ó

N

Imaginación Espacial

Figuras y trazos geométricos

Simetrías y transformaciones en

el plano

Cuerpos geométricos

R ES I G N I F I C A C I Ó N

Geometría

dinámica

Vinculación y relaciones de complejidad

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopa

sdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcv

bnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklz

xcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert

yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghj

klzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq

wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas

dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvb

nmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio

pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx

cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty

uiopasdfghjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxc

Licenciatura en Educación Preescolar

AGENDA SEMESTRAL 2012-2013

PLANEACIÓN SEMESTRAL

Forma, Espacio y Medida

Mtra. Nialy Y. Álvarez Menacho

1

FO

RM

A,

E

SP

AC

IO

Y

M

ED

ID

A

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA En este curso los docentes en formación abordarán el estudio de la geometría desde la óptica de su aprendizaje y enseñanza en educación preescolar teniendo como referente los contenidos planteados para el nivel de preescolar (SEP, 2011). El curso va más allá del reconocimiento de figuras y cuerpos geométricos, se hace énfasis en el estudio de las propiedades de las figuras con la finalidad de propiciar un análisis profundo de los conceptos y relaciones geométricas, destacando la distinción entre lo perceptible y el objeto geométrico que se analiza. El curso de Forma, espacio y medida, se desarrolla a partir de una exploración empírica basada en la percepción y la manipulación de objetos, y continúa hacia un estudio orientado al conocimiento de las propiedades geométricas que poseen. Se emplea la construcción de figuras y cuerpos geométricos como un vehículo para motivar la formulación de conjeturas, se acude a las estructuras conceptuales previamente desarrolladas como el referente para validarlas o refutarlas y a la resolución de problemas como la estrategia de aprendizaje. En el tratamiento de los temas se acude al uso de software de geometría dinámica (Geogebra), como un recurso para explorar relaciones y propiedades geométricas que conduzca a la realización de tareas de tres tipos: exploración, formulación de conjeturas y demostración. Estas tareas se orientarán a construir un esquema para la enseñanza de las nociones en educación preescolar acerca de la forma, el espacio y la medida, que sentarán las bases para comprender los conceptos geométricos que se abordan en el jardín de niños, de manera que la articulación entre los conocimientos disciplinarios y los conocimientos didácticos presentes en el curso, al resignificarse desde la práctica docente de nivel preescolar, contribuyan al desarrollo de las competencias profesionales de los futuros docentes de ese nivel.

6

FO

RM

A,

E

SP

AC

IO

Y

M

ED

ID

A

El

ab

ro

o:

M

tr

a.

N

ia

ly

Y

.

Al

va

re

z

Me

na

ch

o

APRENDIZAJES ESPERADOS

DATOS GENERALES

LICENCIATURA Educación Preescolar ASIGNATURA Forma, Espacio y Medida

SEMESTRE Segundo “B” No. de horas por semana de clase

6 hrs. No. de

Créditos 7.5 %

TRAYECTO Preparación para la enseñanza y el aprendizaje

PROPÓSITOS GENERALES DEL CURSO El curso de Forma, espacio y medida pretende que las alumnas de la licenciatura en educación preescolar:

Los futuros profesores abordarán el estudio de la geometría desde la óptica de su aprendizaje y enseñanza en educación preescolar teniendo como referente los contenidos planteados para el nivel preescolar.

Estudio de las propiedades de las figuras con la finalidad de propiciar un análisis profundo de los conceptos y relaciones geométricas, destacando la distinción entre lo perceptible y el objeto geométrico que se analiza.

Construcción de figuras y cuerpos geométricos como un vehículo para motivar la formulación de conjeturas, se acude a las estructuras conceptuales previamente desarrolladas como el referente para validarlas o refutarlas y a la resolución de problemas como la estrategia de aprendizaje.

Investigación y uso de software para la enseñanza de la geometría como un recurso para explorar relaciones y propiedades geométricas que conduzca a la realización de tareas de tres tipos: exploración, formulación de conjeturas y demostración.

Construir un esquema para la enseñanza de las nociones en educación preescolar acerca de la forma, el espacio y la medida.

UNIDAD DE APRENDIZAJE 1 La geometría como objeto de enseñanza en el nivel preescolar. CONTENIDOS APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

3.1 Eje Forma, espacio y medida. 3.2 Conocimiento del espacio y la geometría: la perspectiva del niño. 3.3 Desarrollo de los procesos de medida en niños de 3 a 6 años de edad. 3.4 Diseño de situaciones didácticas y material de apoyo para la enseñanza de la geometría. 3.5 Construcción de estrategias para la promoción de los procesos de medida dedicadas a los niños. 3.6 Diseño de recursos para evaluar los avances en la construcción del pensamiento geométrico de los

Demuestra habilidades de visualización, comunicación, razonamiento y argumentación al trabajar contenidos de geometría

Identifica problemas de la enseñanza y el aprendizaje de la geometría en la educación preescolar y los considera en el diseño de secuencias didácticas.

Analiza los niveles de razonamiento geométrico y los procesos cognitivos de los estudiantes, para la comprensión y la enseñanza de la geometría. Describe los procesos de construcción del pensamiento geométrico por los que atraviesan los niños preescolares y construye estrategias para apoyar su desarrollo. Propone para su validación material y secuencias didácticas e instrumentos de evaluación en la enseñanza de los contenidos del eje forma, espacio y medida. Usa estrategias de carácter lúdico en el diseño de ambientes para la enseñanza y aprendizaje de contenidos de geometría.

6

FO

RM

A,

E

SP

AC

IO

Y

M

ED

ID

A

El

ab

ro

o:

M

tr

a.

N

ia

ly

Y

.

Al

va

re

z

Me

na

ch

o

preescolares.

UNIDAD DE APRENDIZAJE 2 1. Forma y Espacio CONTENIDOS APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

1.1. Cuerpos y figuras geométricas: triángulos, cuadriláteros. 1.2. Revisión de las propiedades del rectángulo, cuadrado y triángulo rectángulo. 1.3. Ángulos y su medida: rectos, agudos y obtusos. Trazo con regla y compás. 1.4. Triángulos: equiláteros, isósceles y escalenos. 1.5. Construcción de triángulos con regla y compás. Congruencia de triángulos. 1.6. Rectas paralelas y perpendiculares en el plano. Construcción con regla y compás. 1 .7. Clasificación de cuadriláteros con base en sus propiedades. 1.8. Suma de los ángulos internos y externos de triángulos, cuadriláteros y otros polígonos. 1.9. Prismas y pirámides. Desarrollos planos. 1.10. Simetría axial y central. Rotación y traslación.

Aplica habilidades de visualización, comunicación, razonamiento y argumentación al trabajar contenidos de geometría.

Plantea y resuelve problemas geométricos en diferentes contextos con recursos tradicionales y/o el uso de la geometría dinámica.

Demuestra comprensión conceptual, procedimental y actitudinal de la geometría al establecer y fundamentar los componentes críticos y la interrelación entre contenidos del nivel básico de forma inter y multidisciplinaria. Analiza los niveles de razonamiento geométrico y los procesos cognitivos de los estudiantes, para la comprensión y la enseñanza de la geometría. Usa estrategias de carácter lúdico para la enseñanza y aprendizaje de contenidos de geometría.

UNIDAD DE APRENDIZAJE 3 Medida y cálculo geométrico CONTENIDOS APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

1.1. Longitud y perímetro. 2.2. Área. 2.3. Volumen. 2.4. Tiempo, peso y otras magnitudes medibles.

Demuestra habilidades de visualización, comunicación, razonamiento y argumentación al trabajar contenidos de geometría.

Plantea y resuelve problemas geométricos en diferentes contextos con recursos tradicionales y/o el uso de la geometría dinámica.

Demuestra comprensión conceptual, procedimental y actitudinal de la geometría, al establecer y fundamentar los componentes críticos y la interrelación entre contenidos del nivel básico de forma inter y multidisciplinaria. Analiza los niveles de razonamiento geométrico y los procesos cognitivos de los estudiantes, para la comprensión y la enseñanza de la geometría.

6

FO

RM

A,

E

SP

AC

IO

Y

M

ED

ID

A

El

ab

ro

o:

M

tr

a.

N

ia

ly

Y

.

Al

va

re

z

Me

na

ch

o

Usa estrategias de carácter lúdico para la enseñanza y aprendizaje de contenidos de geometría.

259

ANEXO 3

Espacio y forma*****

Susan Sperry Smith

El desarrollo del sentido del espacio, haciendo uso de la geometría, es una herramienta esen-

cial para el pensamiento matemático. Muchos adultos se sienten intimidados por tareas como

“contar el número de cubos” en una ilustración, cuando sólo se da una vista de lado. Afortuna-

damente, la imaginación visual y las habilidades espaciales mejoran con la práctica (Del Grande,

1990; Yackel y Wheatley, 1986).

[…]

La comprensión inicial de la geometría en un niño ocurre como un conocimiento físico del

espacio. Un infante ve la cara de su madre desde un punto de vista cuando la mira desde abajo,

de otro cuando está acurrucado en sus brazos y de otro cuando está sentado en su silla. Una

cara no es una “fotografía” estática de una persona, por el contrario, hay “varias caras”, depen-

diendo del ángulo de visión.

Los adultos también perciben las formas de manera diferente, dependiendo de la distancia.

Un chofer tiene una vista de la última casa de una cuadra cuando maneja por la calle y una

visión diferente cuando estaciona el auto enfrente. Debido a que los adultos han desarrollado

la perspectiva, pueden visualizar la casa como un objeto estático.

Nos orientamos y movemos “en el espacio”: el niño pequeño alcanza una sonaja en la

bandeja o gatea hasta la mesa y se levanta agarrado de la orilla; los adultos suben unas

escaleras que les son familiares sin mirar hacia abajo, pero en unos escalones nuevos para

bajar a la playa, observamos nuestros pies para juzgar dónde daremos el siguiente paso; un

jugador de futbol americano tira un pase en el campo de juego y el receptor lo atrapa; dos

bailarines entran a una pista de baile con mucha gente y encuentran espacio para moverse; un

adolescente toma un par de pantalones de mezclilla en la tienda y decide si esa talla le queda-

rá. Estas actividades ilustran algunas de las formas en que la gente se relaciona con el espacio

a su alrededor.

* “Space and Shape”, en Early Childhood Mathematics, 2ª ed., Boston, Allyn & Bacon, pp. 58-78. [Traducción de la SEP realizada con

fines académicos, no de lucro.]

260

Un segundo tipo de juicio sobre el espacio es el que considera la relación de objetos entre

sí o respecto a lo que hay alrededor: ¿Qué distancia hay entre dos árboles? ¿Cabrá una hama-

ca? ¿Cabrá el juguete en el juguetero? ¿Cuál es el color de la siguiente cuenta en un patrón

de cuentas creado con azul, amarillo y verde? Aquí tomamos decisiones con base en dónde se

encuentran las cosas en relación con otras.

Los niños pequeños comienzan sus estudios de geometría con el tema de la topología, un

tipo especial de geometría que investiga estas relaciones. En la topología, los materiales pue-

den estar comprimidos o expandidos para crear investigaciones matemáticas.

Por ejemplo, una pelota de barro puede convertirse en una serpiente y ser topográficamente

equivalente. En la geometría de una forma rígida (Geometría Euclidiana) se hacen dos formas

diferentes: una esfera y un cilindro. El maestro muestra una cuerda elástica con cuentas de

colores amarradas a intervalos de tres centímetros; la estira y la deja contraerse. Las propie-

dades esenciales de la tira elástica permanecen igual. La licra, con la que se confeccionan

trajes de baño, también se estira bien. Una cara dibujada en un pedazo de licra puede contor-

sionarse y revertirse. Los títeres hechos con el material de un traje de baño viejo, serán una

adición imaginativa para el centro de juego dramático.

Un geoplano y unas ligas son herramientas útiles para mostrar muchas formas diferentes,

todas creadas con la misma liga (véase figura 1).

La topología es el estudio de las relaciones entre los objetos, lugares o eventos, más que la

habilidad de dibujar figuras comunes como un círculo o un cuadrado.

En general, los niños necesitan experiencias topológicas con muchos tamaños de espacios

para desarrollar habilidades espaciales.

Figura 1. Formas en un geoplano.

261

Cuatro conceptos topológicos –proximidad, separación, ordenamiento y encerramiento–

forman la base de las experiencias en geometría para el nivel preescolar.

La proximidad se refiere a preguntas sobre posición, dirección y distancia, tales como: “¿dónde

estoy?” o “¿dónde estás tú?” (adentro-afuera, arriba-abajo, enfrente-atrás), “¿por dónde?” (hacia-

distanciarse, alrededor-atravesar, hacia adelante-hacia atrás), y “¿dónde está?” (cerca-lejos,

cerca de-lejos de).

La separación se refiere a la habilidad de ver un objeto completo como un compuesto de

partes o piezas individuales. Los niños dibujan la figura humana en forma de huevo con ojos y

boca, y agregan líneas para formar brazos y/o piernas. Posteriormente se añade un torso,

dedos y dedos de los pies (Sanford y Zelman, 1981). El concepto de partes y enteros surge

gradualmente con la experiencia de armar modelos, rompecabezas y construir con bloques:

las llantas se quitan y ponen en el carrito de juguete; el osito recibe un suéter y un sombrero; se

construye un garaje para guardar los camiones. Después, en los grados de primaria, la habili-

dad para visualizar 1 000 pequeños cubos dentro de un bloque de madera es necesaria para

utilizar este manipulable como un modelo de nuestro sistema de valor posicional.

La separación también tiene que ver con reconocer las fronteras. Una cinta amarilla sobre

el piso del gimnasio divide el espacio. Los alumnos se paran detrás de la línea amarilla hasta

que el maestro da la señal de correr. El río separa al centro de la ciudad del barrio. La niñera

dice: “quédate en este lado de las vías del tren”.

El ordenamiento se refiere a la secuencia de objetos o eventos. Las dos maneras comunes

de describir la sucesión son de “primero al último” o al revés, “del último al primero”. También se

puede referir a la formación de un patrón o a acomodar cosas en un espacio para que sean

Espacio grande.

Espacio mediano.

Espacio pequeño.

Estos espacios incluyen parques y campos de juegos, o parques con apa-

ratos para trepar, columpiarse, lanzarse por la resbaladilla, hacer círculos

y correr. Los gimnasios también pueden tener suficiente espacio para jue-

gos donde corran, tiren pelotas, se balanceen en cuerdas o brinquen en

los trampolines.

Estos espacios involucran espacio o espacios en el piso que permitan

actividades como construcción con bloques o tareas de cuidado del ho-

gar, donde los niños entran a sus construcciones o construyen una es-

tructura más grande que ellos.

Son espacios que permiten hacer construcciones, como una mesa, con ma-

teriales como bloques de Lego, Duplos y juegos de construcción/armado,

y con muchos objetos manipulables utilizados como parte del curriculum

de matemáticas. Estas piezas generalmente caben en la mano del niño.

262

agradables a la vista. Los niños aprenden a secuenciar un día utilizando tarjetas con imágenes

antes de que sean capaces de utilizar el lenguaje para primero, segundo o tercero. Revertir la

secuencia, como contar para atrás o hablar de los eventos de la semana pasada, es difícil para

algunos niños de primer grado. Las actividades con patrones [...] y de igualar un número a un

conjunto (donde cuatro elementos contados se igualan al numeral 4, y cinco cosas conta-

das con el numeral 5) desarrollan el sentido de sucesión.

El encerramiento se refiere a estar rodeado o encajonado por objetos alrededor. Un punto

en una línea puede estar cercado por puntos en ambos lados. En un espacio tridimensional,

una barda puede cercar animales o un bote con una tapa puede encerrar al cereal.

Mientras que el encerramiento se refiere técnicamente a lo que está adentro, hay en realidad

tres dimensiones pertinentes a la geometría. Por ejemplo, al describir la casa del perro, hay

encerramiento o espacio para que viva (yardas o metros cúbicos); la frontera o dimensiones de

perímetro, las medidas de superficie de las paredes, la medida del techo; y el espacio afuera

de la casa, como el jardín para jugar. Con frecuencia, los niños pequeños confunden área con

perímetro, piensan que la frontera es lo mismo que el encerramiento. Actividades que involu-

cran plantillas ayudan a desarrollar estos tres espacios diferentes. Por ejemplo, los niños pueden

poner la plantilla de un gato sobre un papel, trazan la línea exterior y luego pueden colorear el

gato o el fondo (figura 2).

Figura 2. Una plantilla de un gato.

263

Espacio: aprendizaje informal en el hogar y en la escuela

Desarrollar conceptos acerca del espacio es una parte natural del crecimiento. Las oportunida-

des de jugar en espacios abiertos, con equipo de juego seguro y de crear objetos en espacios

medianos son cruciales. Los niños no deben estar confinados a las sillas de infantes, corrales

o a un cuarto pequeño amontonado.

Los conceptos de proximidad se desarrollan cuando los maestros y cuidadores instan a los

niños a utilizar palabras del lenguaje especial para posición y dirección: [...] “Mi silla está al lado

de la pared”, “Las cuentas cayeron debajo del escritorio”. Los juegos de mesa, como las damas,

fomentan el movimiento y la planeación relacionados con el espacio.

La separación en partes y enteros ocurre cuando los niños juegan con muñecos y ropa, rom-

pecabezas, Legos, muñecos de papel o modelos que se separan en partes. Con el tiempo, pueden

hablar sobre las diversas partes de un objeto, por ejemplo, una silla tiene un asiento, patas y a lo

mejor un respaldo o brazos.

Se impulsa la comprensión del ordenamiento al leer literatura infantil como Hansel y Gretel.

Una secuencia de eventos sucede y luego se revierte. Muchos clásicos para niños pequeños,

como The Very Hungry Caterpillar [Una oruga muy hambrienta] (Carle, 1981), utilizan el tiem-

po como una secuencia.

Las actividades que involucran el concepto de encerramiento incluyen construir estructu-

ras con paredes, puertas y techos para pequeños animales como jerbos y pájaros. Las pregun-

tas que se pueden hacer incluyen: “¿La puerta está cerrada para que Paco, nuestro pájaro, no

se escape?”. Las colecciones de animales con corrales también crean oportunidades para

encerramientos. Posteriormente, es posible llenar, cerrar y abrir jarras con tapas y cajas

cubiertas.

Es posible crear muchas actividades de aula para incrementar el aprendizaje de la geome-

tría. Es factible acomodar una pista de obstáculos en el gimnasio para que los niños sigan una

serie de órdenes utilizando el lenguaje de la topología. Los niños cruzan por debajo del caballo

de madera y se arrastran a través de la caja. Hay tapetes que se venden comercialmente –se

llaman “Workmat Math” [“Matemáticas en tapete de trabajo”] (Creative Publications)– y están

diseñados para el uso de instrucciones directas en lenguaje matemático. Estos escenarios

motivadores se utilizan en los niveles finales del preescolar y en primer grado de primaria.

Tarjetas con forma de animales (ETA) se cubren con patrones de bloques. Las primeras tarjetas

tienen una silueta de las piezas que se necesitan para llenar el animal y después pueden ser

cubiertas con múltiples combinaciones. Estas tarjetas proporcionan trabajo productivo en el

pupitre, al tiempo que enseñan acerca de las partes y los enteros.

El ordenamiento puede resaltarse en una lección cuando el maestro pone monedas en una

alcancía y pregunta: “¿Qué moneda fue la última?”. Hacer composiciones con pedazos de

264

tela, encaje y estambre insta un sentido de equilibrio, o arreglos interesantes de artículos

sobre una cartulina.

Los geoplanos, las ligas y el papel lleno de puntos son herramientas útiles para explorar las

formas cambiantes. Los geoplanos exponen a los niños a “curvas cerradas” y también los auxi-

lian para desarrollar imágenes visuales: una curva cerrada se elabora al detener y comenzar

una figura en el mismo punto; un aro de llavero puede ser cerrado para sostener llaves; un

gancho en el armario está abierto para colgar la chamarra.

Lanzar bolas llenas de frijoles es otro juego de aula que enseña el concepto de encierro:

¿La bolsa está adentro, afuera o en el cuadro? Finalmente, la construcción con bloques es una

actividad invaluable para todos los alumnos. La construcción con bloques tendrá que incluirse

como una parte del curriculum de geometría que no se debe perder nadie.

Evaluación de relaciones espaciales

Observe

El niño, ¿sigue las instrucciones que utilizan palabras de posición, ordenamiento y distancia?

¿Puede decir cuándo está presente el objeto completo o identificar si falta una parte? ¿Puede

describir las partes de un objeto?, por ejemplo, ¿qué partes conforman sus tenis? ¿Puede cons-

truir un encierro con bardas para que los animales no se salgan? ¿Utiliza las palabras “afuera-

adentro” o “entre”?

Entrevista

Pida al niño que le cuente una historia acerca de las actividades en el aula, como la pista de

obstáculos o la construcción de modelos. Con la excepción de las palabras de sucesión o

de orden, los conceptos y vocabularios resaltados en este capítulo ya deben dominarse a los

seis años.

[…]

Forma

La forma es el estudio de figuras rígidas, sus propiedades y su relación entre una y otra. Las

investigaciones más comunes se refieren a las figuras espaciales, como una pelota, y las figu-

ras planas, como un círculo. Un ejemplo del concepto de relación entre formas puede ser:

“¿Son iguales los dos triángulos (congruentes)?”. Las figuras tridimensionales o figuras espa-

265

Figura 4. Figuras planas comunes.

Figura 3. Figuras espaciales comunes.

ciales que se encuentran en el aula de la infancia temprana incluyen la esfera, el cilindro, el cono,

el cubo y el prisma rectangular (figura 3).

Las figuras planas comunes incluyen el círculo, el triángulo, el cuadrado, el rectángulo, el

rombo y el elipse (figura 4).

Los niños encuentran similitudes y diferencias en las formas presentes en el medio ambien-

te. El desarrollo de la habilidad de discriminar una forma de otra es la meta de instrucción del

curriculum temprano sobre las formas.

Forma: aprendizaje informal en el hogar y en la escuela

Los niños pequeños aprenden a diferenciar una forma de otra al manipular objetos: algunos

son fáciles de tomar y llevar a la boca; algunos ruedan y otros no; algunos son lisos, como una

cuchara; otros son puntiagudos, como un tenedor. Después de crear una pintura con los dedos

o un colage, pueden “ver” una forma: “Se parece a mi perro”.

Las figuras espaciales se enseñan primero, porque estas formas se pueden encontrar en el

medio ambiente. Con frecuencia se describen los objetos con nombres comunes, por ejemplo:

aquello que tiene forma de pelota o aquel objeto en forma de caja. Los cilindros se ven como

tubos o latas de refresco. Los cubos parecen bloques pequeños o dados. Los niños inventan

sus propios puntos de referencia utilizando experiencias cotidianas.

El aprendizaje informal sobre las figuras espaciales ocurre en la casa o en la escuela cuando

el ambiente circundante contiene muchos objetos para llenar, vaciar algo desde ellos, anidar,

266

separar y unir: una cocina tiene tazas medidoras, ollas y sartenes con tapas para hacer que

concuerden, y fregaderos y jarras para verter. Ver imágenes o videos, la televisión o las panta-

llas de computadora no puede sustituir las experiencias directas. Los niños deben tocar y

moldear formas además de reconocerlas.

Las figuras planas, como los círculos y los cuadrados, con frecuencia se encuentran en los

libros de imágenes. Un ejemplo maravilloso de formas se encuentra en el libro de Lois Ehlert,

Color Zoo [Zoológico de color] (1989). Otros excelentes libros se pueden encontrar con facili-

dad en los estantes de la biblioteca. Los padres y parientes con frecuencia señalan el nombre

de la forma de los artículos comunes del hogar, por ejemplo, la tapa de una lata de sopa puede

ser un objeto que se presta para una lección de formas: “Ves, la tapa es un círculo”. Muchas

personas sienten que nombrar formas comunes es una tarea de la geometría infantil tempra-

na, por lo tanto, hacen un esfuerzo para utilizar palabras como cuadrado o redondo.

Planeación de actividades de forma

Los niños exploran la forma en una variedad de maneras. Cuatro niveles de dificultad delinean

el rango del proceso. Generalmente, comienzan con objetos tridimensionales y continúan con

figuras planas.

Para la edad de seis a siete años, la mayoría de los niños pueden dibujar todas las figuras

planas comunes, incluyendo el rombo (Sanford y Zelman, 1981).

Las actividades de aula en el nivel preescolar deben apoyar las actividades de concordan-

cia y clasificación. Los niños utilizarán objetos cotidianos como la fruta para practicar la clasi-

ficación. Un conjunto de frutas reales está en la mesa, mientras otro conjunto de frutas de

plástico está en la bolsa: “Mete tu mano en la bolsa y toma una fruta. ¿Qué tienes?”. Primero

Separa las formas por su similitud. “Pon todos los juntos en una pila y

todos los en otra”.

Igualar una forma a una forma similar. “Pon el en la figura del ”

Nombra la forma: “¿Qué forma es esta?”.

Dibuja las formas. Copia el modelo o dibújalo de memoria (difícil).

Nivel I

Nivel II

Nivel III

Nivel IV

267

el niño nombra la fruta misteriosa y luego la suelta. Es posible utilizar otro tipo de colecciones,

mientras que los objetos tengan características distintivas. No sería justo poner un lápiz y una

pluma en la misma bolsa.

Las actividades de concordancia son fomentadas cuando el niño crea “Mi libro de formas”.

Se pegan en papel imágenes de figuras espaciales cortadas de revistas y periódicos. Un libro

entero puede dedicarse a una forma en particular, como la pelota, o separar algunas páginas

individuales a cada forma. En el rincón de actividad matemática se dividirá una mesa y se

etiquetará una sección para cada forma. Los niños traen objetos de su casa y los hacen con-

cordar con el lugar correcto en la mesa de formas.

La separación ocurre como parte de las actividades de clasificación: se separan botones

redondos y cuadrados, y las conchas de mar entre lizas y corrugadas. La separación habilita a

los niños a comenzar a enfocarse en las características específicas o en las partes de un todo.

Posteriormente, en los grados de primaria, estas habilidades serán de utilidad. Las figuras

serán separadas por el número de esquinas o tipos de ángulos.

Los niños aprenden a asociar de varias maneras una etiqueta o nombre con un objeto. Es

benéfico moldear una forma en plastilina o barro. No es suficiente sólo trazar la figura. Las

formas se pueden crear con palillos y malvaviscos o gomitas de dulce. Se puede moldear harina

para hacer galletas y luego hornearla.

El dibujo de figuras planas puede dejarse para el primer grado. Los niños pequeños con

frecuencia no tienen el control motor fino o la habilidad para discriminar las características

únicas de las formas comunes y se requiere ubicar la perspectiva para dibujar las figuras

espaciales. En cambio, doblar papeles de secciones de figuras espaciales, previamente dibu-

jadas, ayudará para reconocer los diferentes lados y esquinas: se traza el patrón, se dibujan

líneas discontinuas para doblar, y se usa cinta adhesiva para mantener la forma intacta. Tam-

bién un simple origami es una actividad artística muy agradable al igual que una lección de

matemáticas.

En las aulas inclusivas, los niños con necesidades educativas especiales pueden descubrir

qué objetos ruedan y cuáles son planos o separar los que tienen esquinas de los que no las

tienen. El trabajo con arcilla, pinturas de agua, tableros perforados para poner estacas gran-

des, y con bloques iguales para hacer patrones, les ayudarán a desarrollar las habilidades

espaciales.

268

Evaluación de formas

Observe

¿En niño puede utilizar la forma para separar y clasificar? ¿Puede concordar objetos comunes

con figuras tridimensionales de espacio? Utilizando el libro de formas, ¿puede encontrar la

forma que va con la historia?

Entrevista

Pida al niño que le cuente acerca de un dibujo o un collage, ¿identifica las formas? Pídale que

nombre figuras planas básicas y que describa figuras espaciales en términos cotidianos, por

ejemplo, un óvalo o una elipse tienen forma de huevo (seis años en adelante).

Evaluación de actuación (cinco a seis años)

• Artículos necesarios: objetos cotidianos como pelotas, botes de avena, conos para

helados, cajas, triángulos (instrumentos musicales) y el ambiente natural del aula.

• Pida al niño que busque alrededor de la habitación y encuentre un ejemplo de una

forma en particular. Si es necesario, muéstrele un dibujo de líneas de la figura como

estímulo.

• Jugar The Shape Board Game [Tablero de juego de formas] y “Ready-Set-Math” [“En

sus marcas-listos-matemáticas”] como se describe en la sección de actividades.

[…]

Lenguaje preciso

Para los niños pequeños un punto es un punto o una bolita en el papel. Para los matemáticos

un punto en el papel es una burda aproximación de una idea abstracta. Un punto matemático

es una ubicación y no tiene tamaño. No es la bolita en el papel. Y esta lógica se extiende a las

curvas, las líneas y los planos.

Los maestros de infancia temprana necesitan utilizar lenguaje adulto y preciso cuando ha-

blan de las figuras como los círculos, cuadrados, triángulos y rectángulos. Un estudio de inves-

tigación realizado por Hannibal (1999) demostró que los niños de edades entre tres y seis años

son renuentes a abandonar sus nociones sobre lo que constituye una forma en particular. Se

rehúsan a identificar un triángulo escaleno como un triángulo, porque “tiene muchas puntas”;

269

Figura 5. Movimientos comunes hechos con una forma geométrica.

los triángulos equiláteros sólo son triángulos, y un pentágono podría ser un triángulo, porque

tiene una punta. Ellos rechazan la idea de que un cuadrado es un rectángulo. La investigadora

también encontró que los niños consistentemente sobrepasaban a las niñas, y la diferencia se

ampliaba con la edad. Resaltó que las niñas necesitan más experiencia con la forma.

Una manera de ayudar a resolver la situación es comenzar con explicaciones matemáticas

correctas desde el inicio. Hannibal escribe: “DIGAN que los triángulos tienen tres lados, o

segmentos de líneas, y tres puntas, o esquinas, con todos los lados rectos y todos los lados

conectados... DIGAN que los rectángulos tienen cuatro lados con lados opuestos congruentes

y que tienen cuatro ángulos” (p. 356). Ella sugiere utilizar la esquina de un pedazo de papel

para revisar los ángulos rectos; evitar referencias que sugieran que un triángulo es sólo como

un pino o que el rectángulo es como una caja. Es importante utilizar tantos ejemplos diferentes

como encajen en la definición, pero que no se encuentran comúnmente en los libros sobre

formas.

El estudio de la topología continúa en los grados de primaria. Las plantillas de metal para

las variadas figuras planas están disponibles comercialmente. Se puede trazar un óvalo dentro

del trazo de un cuadrado. Los niños utilizan lápices de colores para sombrear el área que no

está cubierta por el óvalo.

Es posible explorar la relación del área con el perímetro utilizando un geoplano de 11 pun-

tos. Los niños piensan en el geoplano como una pieza de un terreno de siembra: un cerdo

necesita una cierta cantidad de terreno y se pueden construir tamaños diferentes de corrales

utilizando cercas hechas con ligas; una unidad de la cerca se alarga de estaca a estaca. Cada

nueva configuración se registra en un papel graficado con puntos. Por otro lado, si se permite

a los estudiantes tener sólo 12 unidades de cerca, el área cambiará mientras que el perímetro

permanece igual.

El estudio de la geometría de movimiento incluye los conceptos “deslizar”, “rotar” y “girar”,

porque las formas se mueven en el espacio, ya sea deslizándose, girando o rotando (figura 5).

Taza A Taza A1 Taza B Taza B1 Taza C Taza C1

Deslizar Rotar Girar

270

Las actividades de patrones con bloques permiten experimentar la geometría de movimien-

to, pues se mueven, giran o rotan, y los niños pueden crear diferentes diseños.

Las unidades que utilizan piezas de rompecabezas del tangram* y patrones de pentómino,*

también estudian los conceptos de la geometría de movimiento.

La simetría añade equilibrio a un diseño y es agradable a la vista. Las líneas de simetría se

encuentran cuando un objeto, una imagen o un diseño puede separse en dos mitades idénti-

cas. En la naturaleza, las mariposas, algunas flores, algunas hojas y las personas, tienen al

menos una línea de simetría (figura 6): muchas colchas tienen líneas de simetría fáciles de

encontrar y, si el patrón no es muy complicado, la tela puede ser doblada en una línea; fruta

cortada, como una naranja, puede mostrar una línea vertical y una horizontal.

Una forma natural de investigar la simetría es doblando papel. En las clases de arte, un

pedazo de papel se dobla y se dan unos toques de pintura de colores, la parte seca se presio-

na contra la parte con la pintura y aparece una imagen refleja. Los diseños de copos de nieve

son otra posibilidad. El papel se dobla y se cortan pequeños triángulos, luego se abre para

revelar un copo de nieve simétrico.

Otra actividad favorita involucra letras del alfabeto cortadas. Los estudiantes intentan encon-

trar líneas de simetría. Las letras A y M tienen líneas verticales, mientras que la B y la D tienen

* El juego del Tangram se jugaba en la antigua China y era considerado como un juego para niños y mujeres. Generalmente se hacía contíteres, y lo que el público veía era la sombra de los títeres reflejada en una pantalla, los detalles de los títeres se perdían y sólo quedaba lasilueta de la figura. Los chinos lograban así representar objetos inanimados, pero también animales o personas en movimiento (n. de la t.).

* Es un antiguo juego de origen árabe que admite muchas soluciones (n. de la t.).

Figura 6. Línea de simetría.

271

líneas horizontales. La letra I y la O tienen ambos tipos de línea. Algunas letras como la H, la I y

la O se pueden rotar 180 grados y permanecer igual.

Alrededor del tercer grado, los estudiantes están listos para estudiar las líneas de simetría

en varias figuras planas. Se investiga la relación del número de líneas de simetría con el número

de lados; por ejemplo, un cuadrado tiene cuatro líneas de simetría y cuatro lados. En grados

más avanzados el estudio de la simetría lleva al estudio de la congruencia.

Seguir un “sendero”, “trazar una ruta” y practicar juegos con cuadrícula desarrolla el cono-

cimiento informal de la geometría de coordenadas. Al utilizar un sistema de coordenadas es

posible ubicar una calle en particular en un mapa de la ciudad. Los niños aprenden que cuando

se da un par de números, el primero se refiere al número de la línea horizontal; el segundo es

el vertical. Otra forma de pensar acerca del sistema es “hacia allá y arriba”. Un juego fácil

utiliza una cuadrícula, dos estacas de colores diferentes y un dado marcado 1-2-3, 1-2-3. Cada

jugada tiene una estaca. Se tira el dado. Si sale un 2, el niño lee el número y dice: “sobre dos”,

y mueve la estaca horizontalmente. Luego el mismo niño tira otra vez. Si aparece el número

uno, dice: “uno arriba”, y mueve la estaca un orificio en el eje vertical. Se pasa el dado al

siguiente jugador. El ganador es la persona que salga primero del tablero.

Numerosas compañías publican trabajo de escritorio en el cual los estudiantes buscan pun-

tos utilizando un sistema de coordenadas, como letras o números. Al encontrar los puntos el

niño los conecta. Un objeto misterio aparece. Los estudiantes pueden hacer sus propios rom-

pecabezas para compartir con la clase.

[…]

Bibliografía

Carle, E. (1981), The Very Hungry Caterpillar, Nueva York, Philomel Books.

Crowley, M. L. (1987), “The van Hiele model of the development of geometric thought”, en M.

M. Lindquist y A. P. Schulte (eds.), 1987 Yearbook: Learning and Teaching Geometry K–

12, Reston, VA, National Council of Teachers of Mathematics, pp. 1-16.

Del Grande, J. J. (1990), “Spatial sense”, en Arithmetic Teacher, 37 (6), 14-20.

Ehlert, L. (1989), Color Zoo, Nueva York, J. B. Lippincott.

Fuys, D., D. Geddes y R. Tichler (1988), “The van Hiele model of thinking in geometry among

adolescents”, en Journal for Research in Mathematics Education, Monograph No. 3, Reston,

VA, National Council of Teachers of Mathematics.

Hannibal, M. A. (1999), “Young children’s developing understanding of geometric shapes”, en

Teaching Children Mathematics, 5, 535-357.

272

National Council of Teachers of Mathematics (2000), Principles and standards for school mathe-

matics, Reston, VA (author).

— (1989), Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, Reston, VA (author).

Pyshkalo, A. M. (1992), Soviet Studies in Mathematical Education. Vol. 7. Geometry in Grades

1-4: Problems in the Formation of Geometric Conception in Primary School Children.

English Language Edition, Chicago, IL, University of Chicago.

Sanford, A. R. y J. G. Zelman (1981), Learning Accomplishment Profile, Revised, Chapel Hill, NC,

Chapel Hill Training-Outreach Project.

Wilson, P. S. y R. Rowland (1993), en R. J. Jensen (ed.), Research Ideas for the Classroom:

Early Childhood Mathematics, Nueva York, Macmillan, pp.188-189.

Van Hiele, P. (1999), “Developing geometric thinking through activities that begin with play”, en

Teaching Children Mathematics, 5, 310-316.

Yackel, E. y G. H. Wheatley (1990), “Promoting visual imagery in young people”, en Arithmetic

Teacher, 37 (6), 52-58.

Construyamos un Tangram

Coordinadora Mtra. Nialy Y. Álvarez Menacho

Construyamos un Tangram

Dibuja un cuadrado de 10 cm por lado. (20 cuadritos de la hoja)

Construyamos un Tangram

2. Traza una de las diagonales del cuadrado y la recta que une los puntos medios de dos lados consecutivos del cuadrado; esta recta debe ser paralela a la diagonal.

Construyamos un Tangram

3. Dibuja la otra diagonal del cuadrado y llévala hasta la segunda línea.

Construyamos un Tangram

4. La primera diagonal que trazaste deberás partirla en cuatro partes iguales.

Construyamos un Tangram

5. Traza la recta que se muestra en el dibujo.

Construyamos un Tangram

6. Por último traza esta otra recta.

Construyamos un Tangram

Ahora deberás graduar el tangram haciendo marcas de 1cm. Para marcar las diagonales necesariamente deberás usar una regla.

Construyamos Tangram Ahora juega a hacer figuras con tu Tangram y familiarízate con él. Ahora ya estás lista para jugar con geometría.

Construyamos Tangram

¿Tiene todas el mismo perímetro?

¿Tienen todas áreas iguales?

¿Por qué?

Figura Perímetro Área

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Llena la siguiente tabla: Analiza con cuidado cada una de las

figuras

El Tangram El juego del Tangram se jugaba en la antigua China y era considerado como un juego para niños y mujeres. También se han encontrado libros sobre el Tangram que fueron publicados en 1830, así como juegos de Tangram hechos de arcilla fabricados en 1890.

Algunas versiones dicen que el Tangram tiene sus orígenes en las representaciones teatrales que se hacían en la antigua China. Generalmente se hacían con títeres, y lo que el público veía era la sombra de los títeres reflejada en una pantalla, los detalles de los títeres se perdían y sólo quedaba la silueta de la figura. Los chinos lograban así, representar objetos inanimados pero también animales o personas en movimiento.

El Tangram El juego del Tangram es algo muy parecido: con siete piezas obtenidas de un cuadrado se pueden hacer siluetas de objetos, animales o personas.

D O S S I E R162

A C C I Ó N P E D A G Ó G I C A, Vol. 13, No. 2 / 2004

El desarrollo de la nocion de espacio en elniño de Educación Inicial

Universidad de Los Andes Táchira

Jeannett Castro Bustamante

Aceptado: Jul io de 2004

Esta es una investigación de tipo documental en la cual se trata la Noción de espacio la cual constituye unode los marcos lógico-matemáticos fundamentales, que ha de servir para estructurar el futuro pensamientoabstracto- formal. En tal sentido, resulta imperioso el conocimiento de tal proceso por parte de los docentesque atienden a grupos de niños en sus primeros años de vida escolar eecialmente en el nivel de pre-escolar,pues de ello dependerá la adecuada selección de estrategias de enseñanza y de actividades de aprendizajeque fomenten el desarrollo de las nociones de carácter topológico, proyectivo y euclidiano que garanticen, afuturo, la comprensión de los principios fundamentales de la Geometría.

Palabras clave: Noción de Espacio, Euclidiano, Proyectivo y Topológico.

Resumen

***

DEVELOPMENT THE NOTION OF SPACE IN CHILDREN OF INITIAL EDUCATION

This investigation is documentary investigation that addresses the notion of space which constitutes the basefor the logic-mathematical principles underlying the future abstract formal thinking. In this sense, the knowledgeof this process is fundamental for teachers that teach children in their first years particularly in kindergarten.That knowledge will allow teachers to plan the strategies that promote the development of notions of space,projective, and Euclidian character, which will lead to understand the principles of geometry.

Abstract

Key words: Notion of space, Euclidian, and projective.

DÈVELOPPEMENT LA NOTION D’ESPACE DANS ENFANTS D’EDUCATION INITIALE

Il s’agit ici d’une recherche de type documentaire dans laquelle on aborde la notion d’espace. Cette notionconstitue une des marques logicomathématiques fondamentales qui doit servir pour la structuration de lafuture pensée abstracto-formelle. C’est en ce sens, que la connaissance d’un tel processus par les enseignantsqui s’occupent de groupes d’enfants dans leurs premières années de vie scolaire, plus spécialement au niveaupréscolaire, doit être impérieux. Les enfants dépendront de la sélection adéquate de stratégies d’enseignementet d’activité d’apprentissage qui fomenteront le développement des notions à caractère topologique, projectifet euclidien qui garantissent la compréhension des principes fondamentaux de la géométrie dans le futur.

Résumé

***

Mots-clés: Notion d’espace, Euclidien, Projectif et Topologique.

163

JEANNETT CASTRO DE BUSTAMANTE[ L A N O C I Ó N D E E S P A C I O E N E L N I Ñ O ]

E D U C A C I Ó N I N F A N T I L

INTRODUCCIÓN

En los últimos años hemos experimentado en el

ámbito educativo, un realce de la importancia que

tienen los primeros años de vida de nuestros niños/

niñas; de allí que se ha planteado la reestructura-

ción de los aspectos organizativos, curriculares y

pedagógicos de la educación de los niños/niñas en-

tre 0 y 6 años de edad. Como producto de este pro-

ceso, en el Documento Normativo que registra al

Currículo Básico Nacional del nivel de Educación

Inicial (MECD, 2001), se integran tales aspectos en

función de su «pertinencia y adecuación al nivel»;

con ello, lo que hasta entonces se llamaba Educa-

ción Pre-escolar, pasa a denominarse Educación

Inicial.

Desde este referente, la Educación Inicial ...«es

aquella que busca garantizar el desarrollo inte-

gral infantil…bajo la concepción del niño y la

niña como seres sociales, integrantes de una fa-

milia y una comunidad, que posee característi-

cas personales, sociales, culturales y lingüísticas

particulares, que aprenden en un proceso cons-

tructivo y relacional con su medio» (MECD,2001;

4)

Así, el desarrollo del niño/niña se concibe desde

un enfoque integral que debe favorecer el aspecto

físico, social y emocional para lo cual, el docente

aparece como un «mediador» y «propiciador» de

experiencias de aprendizaje significativas, que per-

mitan al niño/niña avanzar en su formación.

Bajo estas circunstancias, cobra importancia la

consideración del poder que tienen las estrategias

de enseñanza que el docente propone, que

involucran las actividades de carácter cognitivo-

procedimental que realiza el niño/niña en los prime-

ros años de su etapa escolar, y que pretenden el

desarrollo del pensamiento en general y del lógico-

matemático en particular (Hernández y Soriano,

1999).

Nos referiremos aquí, a las experiencias que

buscan desarrollar la capacidad para organizarse en

el espacio mediante el fomento de relaciones de

características lógico-matemáticas, que el niño/niña

establece con su medio a través de las experiencias

que cotidianamente vive.

Desde la perspectiva de la Física Moderna la

construcción de los conceptos del continuo espacio-

tiempo requiere, simultáneamente, de estos dos ti-

pos de conocimientos. En la primera etapa de la vida,

esta apreciación de la Física Moderna, encaja per-

fectamente; en un principio nuestra percepción

muestra entremezclada, las nociones temporales y

las espaciales. Así por ejemplo, una persona alta

representa a un adulto, mientras que una persona

baja representa un niño; es decir, en nuestra per-

cepción el tiempo y el tamaño (espacio) se asocian

indisolublemente.

No obstante, en nuestras continuas experiencias

sensoriales estos aspectos se van presentando de

forma bastante diferenciada; es decir, nuestras ca-

pacidades sensoriales permiten ir disociando estas

nociones, por lo que resulta aceptado referirnos a

ellas de manera separada; es decir, hablamos de

espacio y hablamos de tiempo (Viera, 1997).

En lo que respecta a la enseñanza de los con-

ceptos matemáticos y más específicamente de las

nociones referidas al espacio, tradicionalmente las

actividades de enseñanza han quedado, en muchos

casos, restringidas exclusivamente a experiencias

de carácter euclidiano; es decir, a aquellas relativas

al mundo de las medidas, las distancias, los ángulos

subsumiéndose allí los aspectos proyectivos y

topológicos que configuran, en unión con lo

euclidiano, el «espacio total» sobre el cual se debe

desarrollar nuestra capacidad de ubicación en el

espacio.

En virtud de que el niño/niña en sus primeros

años de vida escolar se caracteriza por su gran ac-

tividad física, por la permanente interacción que es-

tablece con su medio, por la constante investigación

que emerge de su intuición infantil y que le orienta a

la búsqueda de explicaciones mediante la construc-

ción y desarrollo de su pensamiento simbólico y con-

creto, el docente de los primeros años tiene bajo su

responsabilidad la selección y desarrollo de itinera-

rios y actividades escolares que favorezcan en los

niños su conocimiento geométrico y el desarrollo de

su capacidad de representación; «El período pre-

escolar es esencialmente el momento del progre-

so de la habilidad del niño para usar represen-

taciones. Progresa en sus habilidades para re-

presentar su conocimiento del mundo a través

de diversos medios y modalidades, dejando ya

de depender totalmente del aquí y el ahora y de

los objetos concretos de su mundo» (de la Torre

D O S S I E R164

A C C I Ó N P E D A G Ó G I C A, Vol. 13, No. 2 / 2004

y Gil, s.f; 124). Por ello, se aportan a continua-

ción, algunas referencias que pudieran constituir

fundamentos esclarecedores de muchas de las es-

trategias de enseñanza y de actividades de aprendi-

zaje que los docentes realizan o pudieran realizar

con sus alumnos(as) como actividades cognitivo-

procedimentales que favorecen el desarrollo de la

noción de espacio en el niño.

LOS TRES TIPOS DE ESPACIO

Seguramente el nombre de Euclides y la refe-

rencia a conceptos euclidianos, nos resulta bastante

familiar. Sin embargo no podemos decir lo mismo,

de los conceptos proyectivos y menos aún de los

topológicos, como temas obligados en nuestra edu-

cación formal. El estudio formal de tales temas,

corresponde a especialistas; no obstante se hace

indispensable que los docentes, particularmente los

que atienden los primeros niveles de educación, co-

nozcan los principios que definen los tres tipos de

espacios que se derivan correspondientemente de

tres tipos de Geometría y que explican las relacio-

nes espaciales, a fin de poseer los fundamentos

epistemológicos que le permitan la selección ade-

cuada de estrategias de enseñanza y aprendizaje

orientadas al desarrollo de la capacidad de ubica-

ción en el espacio.

El Espacio Euclidiano:

La referencia histórica de la evolución y desa-

rrollo de Geometría nos lleva, en primera instancia,

a la época de los griegos y a su afán por establecer

un sistema de demostración y razonamiento funda-

mentado en la «deducción» y en la «formalidad» del

pensamiento. Este método busca determinar la ver-

dad de nuevos conceptos, deducidos de otros ante-

riores, que han sido aceptados como conceptos e

ideas abstractas absolutamente ciertas. Todo este

sistema de razonamiento encontró su mejor expre-

sión en la Geometría y en Euclides, su mayor expo-

nente. De allí, que se habla de la Geometría

Euclidiana.

«Las figuras comunes de la geometría, lo mis-

mo que las relaciones simples, como la

perpendicularidad, el paralelismo, la congruen-

cia y la semejanza provienen de la experiencia

ordinaria. Los árboles crecen perpendicularmen-

te al suelo, y las paredes de una casa se cons-

truyen verticales a propósito, para que tengan

estabilidad máxima. Las orillas de un río son

paralelas. El constructor que erige una serie de

casas conforme a un mismo plano desea que

todas ellas tengan el mismo tamaño y la misma

forma, es decir quiere que sean congruentes…

semejantes al objeto representado»... (Kline,

1997; 129)

Esta cita, permite introducirnos en lo que se co-

noce como nociones del espacio de carácter

Euclidiano, que además de un método de razona-

miento deductivo nos proporciona todo un sistema

de representación formal de los cuerpos y figuras

geométricas que dibujan la realidad.

«La Geometría Euclidiana,también conocida como«Métrica», trata del estudio yrepresentación de laslongitudes, ángulos, áreas yvolúmenes como propiedadesque permanecen constantes,cuando las figurasrepresentadas son sometidas atransformaciones rígidas»...

[Figura 1]

La Geometría Euclidiana, también conocida

como «Métrica», trata del estudio y representación

de longitudes, ángulos, áreas y volúmenes como pro-

piedades que permanecen constantes, cuando las

figuras representadas son sometidas a transforma-

165

JEANNETT CASTRO DE BUSTAMANTE[ L A N O C I Ó N D E E S P A C I O E N E L N I Ñ O ]

E D U C A C I Ó N I N F A N T I L

ciones «rígidas»; es decir, movimientos en el plano

horizontal o verticalmente, giros sobre alguno de sus

ejes. Como se observa en la Figura 1, la representa-

ción de la forma luego de haber sufrido movimien-

tos rígidos, conserva las longitudes de sus lados, la

magnitud de sus ángulos y el área interior sigue siendo

la misma. Se trata de la representación de figuras

congruentes, puesto que una puede ser obtenida de

la otra, trasladando y/o rotando una de ellas.

En estos casos, estamos ante representaciones

de carácter euclidiano, que requieren del conoci-

miento y manejo de sistemas de representación for-

males; es decir, de sistemas convencionales de re-

presentación, que incluyen además de la aceptación

de conceptos primitivos como «punto, recta, plano,

figura geométrica»..., el uso de instrumentos

cognoscitivos de un alto grado de abstracción (len-

guaje, símbolos, relaciones, clasificaciones,…).

El Espacio Proyectivo:

«Las preguntas que se hicieron los pintores

mientras trabajaban en las matemáticas de la

perspectiva ocasionaron que ellos mismos y,

más tarde, los matemáticos profesionales, de-

sarrollaran la materia conocida como Geome-

tría Proyectiva. Esta rama, la creación más origi-

nal del siglo XVII es ahora una de las principales

de las matemáticas» (Kline, 1997; 237)

La necesidad de hacer representaciones cada

vez más realistas, alejadas de los prototipos que inun-

daban el mundo místico religioso, hizo que los pinto-

res del renacimiento y sus etapas ulteriores, hicie-

ran uso de las líneas, puntos y figuras geométricas

para plasmar en sus cuadros el espacio y la profun-

didad. Así, la potencialidad de los principios y leyes

de la matemática y de la geometría, se incorpora al

mundo del arte; «la perspectiva» favoreció la pro-

yección del realismo natural en los lienzos de este

importante periodo de la historia.

El espacio proyectivo comprende la representa-

ción de transformaciones en las cuales, a diferencia

de lo que ocurre en las de tipo euclidiano, las longi-

tudes y los ángulos experimentan cambios que de-

penden de la posición relativa entre el objeto repre-

sentado y la fuente que lo plasma. Con este tipo de

representación, se busca que el objeto representado

sea lo más parecido posible al objeto real; no obs-

tante, su proyección es relativa.

Cuando se observa, por ejemplo, un paisaje, la

representación que se haga de éste dependerá de

varios factores: de la distancia de observación, del

ángulo visual; aspectos que se convierten en impor-

tantes referentes a la hora de observar y compren-

der varias representaciones de una misma escena u

objeto. La figura 2, nos muestra ejemplos de este

tipo de representación.

«El espacio proyectivocomprende la representación

de transformaciones en lascuales, a diferencia de lo que

ocurre en las de tipo euclidiano,las longitudes y los ángulosexperimentan cambios que

dependen de la posiciónrelativa entre el objeto

representado y la fuente que loplasma».

[Figura 2]

D O S S I E R166

A C C I Ó N P E D A G Ó G I C A, Vol. 13, No. 2 / 2004

Como se observa, en una transformación

proyectiva la representación de los puntos siguen

siendo puntos; las líneas siguen siendo líneas; los

ángulos siguen siendo ángulos; sin embargo, las lon-

gitudes de las líneas y la magnitud de los ángulos

cambian en función de la perspectiva o de la posi-

ción relativa del objeto representado.

Otras propiedades, como la proporcionalidad entre

líneas y áreas permanecen invariables en una trans-

formación proyectiva por lo cual es posible, a pesar

de ellas, reconocer las estructuras geométricas que

definen al objeto representado.

El espacio Topológico

Las experiencias expresadas mediante el reco-

nocimiento y representación gráfica de

acercamientos, separación, orden, entorno y conti-

nuidad representan experiencias de carácter «To-

pológico».

En este tipo de representación, las transforma-

ciones sufridas por una figura original son tan pro-

fundas y generales que alteran los ángulos, las lon-

gitudes, las rectas, las áreas, los volúmenes, los pun-

tos, las proporciones; no obstante, a pesar de ello

algunas relaciones o propiedades geométricas per-

manecen invariables. Por ejemplo en la Figura 3

observamos como los puntos interiores y exteriores

a una figura cerrada que cambia de forma y la se-

cuencia de los puntos de su contorno, conservan la

relación dada entre ellos, a pesar de la drástica trans-

formación que experimenta la representación del

objeto en cuestión.

Así, los puntos interiores siguen siendo puntos

interiores a la región correspondiente; los puntos

exteriores siguen siendo exteriores; el orden y la

secuencia entre distintos puntos marcados en su

contorno, se conserva. Es decir, las relaciones es-

paciales que determinan la proximidad o acercamien-

to, la separación o alejamiento entre puntos y/o re-

giones, la condición de cierre de un contorno, la se-

cuencia, continuidad o discontinuidad de líneas, su-

perficies o volúmenes constituyen propiedades

geométricas que se conservan en una transforma-

ción de carácter Topológico.

La referencia histórica Vs el desarrolloinfantil

La revisión al panorama histórico de la evolu-

ción de la Matemática, nos muestra que en su seno

la Geometría se desarrolla en primer lugar, debido a

los aportes de los Babilonios, Egipcios y Griegos,

por lo que se señala a la Geometría Euclidiana, como

«los cimientos de esta ciencia».

En segunda instancia, debido a los aportes de

importantes personajes del siglo XVII, se estable-

cen las bases de la Geometría Proyectiva; y más

tarde, comienza a formalizarse una nueva vertiente

de la Geometría, la Topología. Así, el orden históri-

co nos refiere a la Geometría Euclidiana, la

Proyectiva y la Topológica. No obstante, y a pesar

de no haber un absoluto consenso entre diversos

autores, existe la tendencia a aceptar que en el de-

sarrollo infantil los procesos de elaboración de los

conceptos espaciales atraviesa etapas en orden con-

[Figura 3]

167

JEANNETT CASTRO DE BUSTAMANTE[ L A N O C I Ó N D E E S P A C I O E N E L N I Ñ O ]

E D U C A C I Ó N I N F A N T I L

trario al desarrollo histórico de la Geometría; es de-

cir, en el niño/niña los conceptos espaciales eviden-

cian primero indicadores de carácter topológico, más

tarde de carácter proyectivo, para finalmente inte-

grarse en capacidades de representación de tipo

euclidianas.

Sin duda que esto ha de ser un importante refe-

rente teório-epistemológico que debe considerarse

por parte de docentes del nivel de Educación Inicial,

a la hora de seleccionar y proponer estrategias de

enseñanza y de aprendizaje orientadas al desarrollo

del pensamiento lógico, que vayan más allá de un

tratamiento didáctico que se reduce al manejo con-

ceptual y exclusivo de las nociones de lateralidad y

posición.

La Noción de Espacio en el Niño

La estructuración de la noción de espacio, aun

cuando está presente desde el nacimiento, cobra

fuerza en la medida en que el niño/niña progresa en

la posibilidad de desplazarse y de coordinar sus ac-

ciones (espacio concreto), e incorpora el espacio

circundante a estas acciones como una propiedad

de las mismas.

En general, el concepto de espacio se obtiene

sin mayores contratiempos de modo paralelo a la

noción y conciencia de la existencia de «objetos»;

sin embargo, en ocasiones puede presentar dificul-

tades derivadas de lagunas que se han creado du-

rante nuestra educación. Tradicionalmente, se ha

hecho énfasis en la enseñanza de la Geometría

Euclidiana, es decir en el espacio de longitudes, lí-

neas, distancias, áreas, medidas y volúmenes y se

descuidan los otros dos aspectos del «espacio to-

tal»: el topológico y el proyectivo.

De acuerdo con Piaget la noción de espacio se

construye paulatinamente siguiendo el orden que

parte de las experiencias: Topológicas, Proyectivas

y Euclidianas, contrario al orden en que histórica-

mente fueron formalizadas las respectivas geome-

trías.

En una primera etapa, el espacio del niño/niña se

reduce a las posibilidades que le brinda su capaci-

dad motriz; de allí que la noción correspondiente, se

denomina «espacio perceptual» y tiene durante lar-

go tiempo, al cuerpo como centro principal de refe-

rencia. Durante esta etapa priva el carácter «con-

creto del espacio», por lo que no se encuentra sufi-

cientemente interiorizado, para ser sometido a ope-

raciones mentales. Hacia finales de esta etapa el

niño percibe las relaciones espaciales entre las co-

sas pero no se las representa todavía en ausencia

de contacto directo. (de la Torre y Gil, s.f; 110)

Aproximadamente a partir de los dos años, las

relaciones espaciales más sencillas se expresan

mediante palabras como: arriba, abajo, encima, de-

bajo, más arriba, más abajo, delante, detrás; dichas

expresiones contribuyen grandemente a alcanzar las

nociones espaciales. Estas categorías preceptuales

son favorecidas por experiencias de carácter topo-

lógico, que, como ya se ha indicado, representan

transformaciones en las que permanecen constan-

tes sólo algunas propiedades geométricas como la

delimitación y pertenencia de los puntos interiores y

exteriores a una figura cerrada que sufre una fuerte

transformación o la secuencia de los puntos corres-

pondientes a su contorno.

En esta etapa el niño no puede distinguir un cír-

culo de un cuadrado porque ambas son figuras ce-

rradas, pero si las puede diferenciar de la figura de

una herradura. Posteriormente logra distinguir lí-

neas curvas de rectas y figuras largas de cortas, así

como también diferenciar el espacio interior y exte-

rior de una frontera dada o determinar posiciones

relativas al interior de un orden lineal.

A este nivel, cobra relevancia la capacidad de

representación del niño; esta condición juega un papel

importante en el proceso de construcción del cono-

cimiento matemático, pues las relaciones aritméti-

cas y espaciales ...«tratan sobre objetos, even-

tos, acciones y de las relaciones entre ellos, de

tal manera que el conocimiento matemático es

una representación simbólica de los mismos»

(Gómez, 1994; 30)

De tal manera que en esta etapa se va desarro-

llando en el niño/niña la capacidad de hacer repre-

sentaciones mentales de las relaciones espaciales

que se establecen entre los objetos y su propio cuer-

po; por ejemplo, puede encontrar un objeto escondi-

do luego de varios desplazamientos, aún cuando

hayan sido efectuados fuera de su campo visual (de

la Torre y Gil, s/f). En otras palabras, con este tipo

de conductas el niño refleja la capacidad de repre-

sentación de las relaciones espaciales derivadas del

desplazamiento, tanto de su propio cuerpo, como de

los objetos, y entre los objetos con los que tiene con-

tacto.

D O S S I E R168

A C C I Ó N P E D A G Ó G I C A, Vol. 13, No. 2 / 2004

Se entiende entonces, que las relaciones

topológicas que establece el niño durante esta pri-

mera etapa, permiten la constitución de una geome-

tría del objeto respecto a su espacio; es decir, una

geometría de carácter singular. No obstante, la «no

conservación» de número, longitud, masa, peso, vo-

lumen que caracteriza el pensamiento del niño/niña

en esta etapa, limita igualmente la conservación «del

espacio». Así, la distancia entre dos objetos parece

ser menor si se interpone un tercer objeto entre ellos;

una subida parece ser más larga que si la recorre-

mos bajando; es posible describir un recorrido de

inicio a final, pero no de modo contrario; una distan-

cia puede ser infra o supra valorada; es posible dis-

tinguir un estado inicial y uno final en los desplaza-

mientos, pero la limitación de su capacidad infralógica

no le permite considerar los puntos intermedios que

se han recorrido en el mismo.

Las actividades escolares previstas para los ni-

ños/niñas en edad preescolar, están concebidas en

función de las condiciones que caracterizan a estos

pequeños. De tal modo que los docentes del nivel

preescolar o de educación inicial deben tener pre-

sente, que, adicionalmente a los aspectos descritos,

el lenguaje y los distintos tipos y códigos de repre-

sentación, que de manera gradual va manejando el

niño, median entre las experiencias y su representa-

ción.

Recordemos que, en primera instancia, el niño

necesita estar en presencia del objeto para poder

representarlo; luego puede tomar sólo una parte del

objeto real como índice de su representación (por

ejemplo, una huella permite la reconstrucción men-

tal de un perro que pasó por allí) y finalmente, pue-

de evocar y hacer representaciones mentales, no

solo en ausencia del objeto o situación, sino diferi-

das en el tiempo. Adicionalmente, no debemos olvi-

dar que las representaciones enácticas (gestos, so-

nidos, movimientos,…), icónicas y simbólicas, que

según Bruner (en Miranda, Fortes y Gil, 1998)

filogenéticamente se adquieren en este mismo or-

den, constituyen para el niño/niña un sólido sistema

de representación adecuado para codificar y trans-

formar información.

Alrededor de los seis años aproximadamente,

etapa en la que el niño/niña se incorpora al segundo

nivel de escolaridad formal, los conceptos topológicos

comienzan a transformarse en conceptos proyectivos

que permiten la construcción de una geometría del

espacio exterior al niño/niña; en otras palabras, la

«descentración» le permite establecer la represen-

tación de su espacio circundante en la que los ejes

adelante-atrás, izquierda-derecha dejan de ser ab-

solutos; es decir, van siendo coordinados en la me-

dida en que se efectúan operaciones mentales que

permiten al niño/niña ver los objetos desde otro pun-

to de vista.

Así, las transformaciones proyectivas, permiten

al niño /niña visualizar los cambios que sufren ángu-

los y longitudes en la representación del objeto ob-

servado; por ejemplo cuando dibujan un paisaje con

los árboles cada vez más pequeños, reflejan la pro-

fundidad y el alejamiento, mediante los cambios en

las longitudes y los ángulos que contienen, mientras

que las líneas, puntos y proporciones permanecen

invariables.

Paralelamente a los conceptos proyectivos, los

conceptos topológicos se transforman también en

conceptos Euclidianos, lo que equivale a decir que

el niño comienza a percibir los objetos de su espacio

exterior no como algo estático, sino como objetos

móviles; por ejemplo, puede describir y dibujar la

trayectoria del recorrido de un automóvil (no sólo su

punto de partida y llegada como ocurría antes); com-

prender la congruencia de un cuerpo al sufrir un

cambio rígido (movimiento, rotación, traslado), con-

serva las propiedades de longitud, ángulos, áreas y

volúmenes

En síntesis, la base del conocimiento Matemáti-

co según Piaget, se encuentra en el proceso reflexi-

vo que el niño hace cuando acciona sobre los obje-

tos de su entorno. En este sentido, distingue las ope-

raciones lógicas, que surgen de la manipulación de

objetos discretos (clases y relaciones) y las opera-

ciones infralógicas cuyo punto de partida, son las

partes de un todo continuo (objeto o infraclase).

De acuerdo con esto, las relaciones espaciales

son de índole infralógica. Es en este aspecto, en el

que se fundamenta el desarrollo de la capacidad del

niño para representar la perspectiva de un cuerpo,

posibilidad que se amplía a partir de los 9 años de

edad; y ya a los once años, puede dibujar correcta-

mente el desarrollo de un cubo así como también

operar mentalmente con figuras. De tal modo, la

organización de las primeras acciones transitivas y

reversibles que se aplican a objetos reales o imagi-

169

JEANNETT CASTRO DE BUSTAMANTE[ L A N O C I Ó N D E E S P A C I O E N E L N I Ñ O ]

E D U C A C I Ó N I N F A N T I L

narios y la posibilidad de descentraje que ocurre en

la etapa de operaciones concretas, permiten al niño

la construcción de su noción de espacio desde dis-

tintos puntos de vista.

En función de los aspectos planteados, es de vi-

tal importancia destacar que las actividades que rea-

lizan los niños/niñas en edad preescolar y que se

refieren a la noción de espacio, son fundamental-

mente experiencias de carácter topológico (orde-

nar, agrupar, amontonar, doblar, estirar, pegar, colo-

rear, completar, recortar, hacer corresponder, des-

cribir posiciones, describir desplazamientos…); no

obstante, esto no excluye la posibilidad del niño/niña

de la etapa de educación inicial, de interpretar y

comprender algunas experiencias de tipo proyectivo

y euclidiano (al menos en sus primeras aproxima-

ciones). En tal sentido, es primordial que los docen-

tes de educación inicial potencien las fortalezas de

este tipo de experiencias, que brindan la posibilidad

de consolidar a futuro, las bases de la comprensión

de la noción de espacio total.

Algunas orientaciones didácticas

En general, las actividades de carácter cognitivo-

procedimental que se realizan en el preescolar, res-

ponden a un programa o proyecto a través del cual

se busca el desarrollo integral de los niños/niñas.

Bajo este referente resulta fundamental, desde el

punto de vista didáctico y pedagógico, que los do-

centes reconozcan e identifiquen las características

de las actividades o tareas que proponen a sus alum-

nos y las demandas cognitivas que éstas implican

(Hernández y Soriano, 1999).

En el aprendizaje y desarrollo de conceptos ma-

temáticos este aspecto cobra relevancia; por ello,

en función de los aspectos planteados, se proponen

a continuación una serie de actividades que contri-

buyen a desarrollar en el niño/niña de preescolar, su

capacidad de comprensión de las nociones de ca-

rácter topológico que implican demandas cognitivas

como el reconocimiento de interioridad y exteriori-

dad, acercamientos y alejamientos, fronteras, lími-

tes, orden y secuencias, vecindad de puntos, figuras

abiertas y figuras cerradas, continuidad y disconti-

nuidad.

Realizar sobre líneas u objetos que las represen-

tan marcas, puntos, rayas, nudos… Pueden usar-

se pabilos, cintas, lápices…diferenciando los pun-

tos con colores, letras o números (Figura 4). Se

plantean preguntas como: ¿Cuál es el primer

punto? ¿Cuál es el último punto y cuál le sigue a

él? ¿Cuál está entre A y C? ¿Cuál o cuáles son

los vecinos de C, y los de D? y ¿Qué ocurre si

lo estiramos? ¿Y si lo cortamos?...

[Figura 4]

Trabajar con aros flexibles la idea de líneas

cerradas. Se pueden usar ligas, gomas o sen-

cillamente representar sobre papel las trans-

formaciones topológicas que puede sufrir una

línea cerrada (Figura 5). Se sugieren pre-

guntas como: ¿Tiene principio o fin la línea?

¿Cuál es el interior y cuál el exterior de la

línea? ¿Se puede cruza en algunos puntos la

línea? ¿Y si no se permite el cruce de la lí-

nea, que otra forma podemos representar con

ella? Resultan muy adecuados a este tipo de

experiencias, los juegos de laberintos,

completación de líneas sobre cuadrículas,

colorear regiones, plegado de papel identifi-

cando las partes en que queda dividido, ar-

mar rompecabezas.

Recortar formas y figuras y hacerlas corres-

ponder con una estructura predeterminada,

construir maquetas separando regiones con

plastilinas, cartones... Destacar la presen-

cia de huecos o regiones y las líneas fronte-

ra que las limitan (Figura 6).

D O S S I E R170

A C C I Ó N P E D A G Ó G I C A, Vol. 13, No. 2 / 2004

[Figura 5]

[Figura 6]

Cirigliano, Zulma. (1999). Enseñanza de la Matemática en la

Educación Básica. Fundamentos Epistemológicos y Psi-

cológicos. Caracas: Centro de Reflexión y Planificación

Educativa. (CERPE).

De la Torre, Nancy y Gil, Ma. (s.f.). Metodología de la educa-

ción preescolar para el desarrollo cognoscitivo del niño

de 0 a 7 años. Universidad Pedagógica Experimental Liber-

tador. Caracas: Instituto de Mejoramiento Profesional del

Magisterio.

Gómez, Luis F. (1994). La enseñanza de la matemática desde

la perspectiva sociocultural del desarrollo cognoscitivo.

México: Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de

Occidente ITESO.

Hernández y Soriano. (1999). Enseñanza y aprendizaje del as

Matemáticas en Educación Primaria. Madrid: Editorial La

Muralla.

Kline, Morris. (1992). Matemáticas para los estudiantes de

Humanidades. México: Consejo Nacional de Ciencia y Tec-

nología. Fondo de Cultura Económica.

Miranda, Fortes y Gil. (1998). Dificultades del aprendizaje del

as Matemáticas. Un enfoque evolutivo. Granada-España:

Ediciones Aljibe.

Currículo Básico Nacional del nivel de Educación Inicial. Repú-

blica Bolivariana de Venezuela. Ministerio de Educación

Cultura y Deportes. Viceministerio de Asuntos Educativos.

Dirección de Educación Preescolar. (2001). Caracas.

Piaget, Jean. (1981). Epistemología y Psicología. Barcelona:

Ariel.

Rivas, Pedro. (1996). La Enseñanza de la Matemática en la

Educación Básica. Mérida- Venezuela: Consejo de Publi-

caciones de la Universidad de Los Andes.

Viera, Ana Mª. (1997). Matemáticas y Medio. Ideas para favo-

recer el desarrollo cognitivo Infantil. Colección Investiga-

ción y Enseñanza. Sevilla: DÍADA Editora.

279

ANEXO 5

¿Cómo desarrollar elpensamiento matemático enlos niños de preescolar? Laimportancia de la presentación deuna actividad*

Irma Fuenlabrada**

Referentes

La Secretaría de Educación Pública editó recientemente el Programa de Educación Preesco-

lar 2004 para orientar, a partir del ciclo escolar 2004-2005, el trabajo de las educadoras. La

renovación curricular inmersa en dicho Programa, implica una apertura metodológica y una

inclusión de contenidos (o su caracterización) que, de manera significativa, resultan ajenos

tanto a las prácticas docentes dominantes, como a las temáticas que ordinariamente se han

abordado en el nivel.

Los contenidos referidos al desarrollo del Campo Formativo del Pensamiento Matemático

del preescolar, señalados en el Programa citado, refieren a diferentes pesos curriculares que

este mismo programa adjudica a las diversas temáticas, a saber:

• El Número (50%), que los niños:1

– Utilicen los números en situaciones variadas que implican poner en juego los princi-

pios del conteo.

– Planteen y resuelvan problemas en situaciones que les sean familiares y que implican

agregar, reunir, quitar, igualar, comparar y repartir objetos.

* Elaborado ex profeso para esta guía.

** Cinvestav-DIE, México.1 Las temáticas enlistadas son las genéricas de las que aparecen en el Programa de Educación Preescolar 2004, porque la resolucióndidáctica de éstas conllevan a las específicas.

280

– Reúnan información sobre criterios acordados, representen gráficamente dicha infor-

mación y la interpreten.

– Identifiquen regularidades en una secuencia a partir de criterios de repetición y cre-

cimiento.

• El Espacio (18%), las Figuras (18%), y la Medida (14%), que los niños:

– Reconozcan y nombren características de objetos, figuras y cuerpos geométricos.

– Construyan sistemas de referencia en relación con la ubicación espacial.

– Utilicen unidades no convencionales para resolver problemas que implican medir mag-

nitudes de longitud, capacidad, peso y tiempo.

– Identifiquen para qué sirven algunos instrumentos de medición.

Se hacen necesarios entonces, entre otras acciones, espacios de reflexión que coadyuven

a las educadoras a reorientar su trabajo docente en concordancia con los nuevos lineamientos

editados por la SEP. Particularmente, en esta presentación nos ocuparemos de la sutil diferencia,

con base en tres ejemplos, entre plantear a los niños situaciones que pongan en juego sus

saberes previos y sus posibilidades cognitivas; es decir, que la resolución de la situación los com-

prometa a un trabajo intelectual que les permita interactuar con los conceptos matemáticos

que se desea aprendan.

Ubicación de la problemática

Las prácticas docentes dominantes (Nemirovsky et al., 1990) evidencian un universo limitado del

conocimiento matemático que se desarrolla con los niños de preescolar. Las educadoras –en

analogía a lo que hacen los maestros de la escuela primaria– han priorizado, de la enseñanza

de la matemática, los contenidos aritméticos (números y cuentas) en detrimento de los conte-

nidos geométricos (el espacio, las figuras). Y, a veces, algunas prácticas de enseñanza no han

sido muy afortunadas, como es el caso del número, en que se observa una tendencia genera-

lizada a suponer –con base en una equivocada interpretación de la Teoría Psicogenética– que

siendo la síntesis de la seriación, la clasificación y el orden, significa en términos de enseñan-

za realizar diversas actividades de seriación (verde, rojo, amarillo, verde, rojo, amarillo…; cua-

drado, círculo, triángulo, cuadrado,…, etcétera); de clasificación (con criterios cualitativos: los

grandes vs. los chicos; los rojos vs. los azules, etcétera), y de orden (organizar palitos por

tamaños: del más chico al más grande, etcétera). Pero Piaget se refería a la clasificación de

colecciones desde criterios cuantitativos; es decir, van juntas todas las colecciones que tienen

el mismo número de objetos, por ejemplo, 6 elementos, en otro paquete están las que tienen 8

o 3, etcétera, independientemente de las cualidades de los objetos que constituyen a las co-

281

lecciones. Estos “paquetes de colecciones” se pueden ordenar, también en atención a un

criterio cuantitativo: un paquete va después de otro si las colecciones que lo conforman tienen

un elemento más que las colecciones de otro paquete; así, las que tienen 6 objetos van des-

pués de las que tienen 5, porque todas la colecciones que están en el paquete del 6 tienen un

elemento más que cualquiera de las que pertenecen al paquete del 5. Finalmente este orden

construye una serie: 1, 2, 3, 4, etcétera.

Datos empíricos sobre la enseñanza de la matemática en la educación preescolar seña-

lan que las educadoras se han ocupado fundamentalmente de que los niños aprendan e identi-

fiquen los símbolos de los números, quienes acertadamente sólo lo hacen con los primeros (hasta

el 10), reducen las actividades al conteo de colecciones pequeñas para que los niños escriban

las cardinalidades2 correspondientes y viceversa, a partir de un número les piden a los niños que

dibujen una colección cuya cardinalidad sea el número dado; de esta manera, en muchas cla-

ses de preescolar se observa: “la clase del uno, luego la clase del dos, para seguir con la clase

del tres, etcétera”;3 más adelante aparecen las sumas y restas con los números encolumnados,

los signos (+, -) y la rayita para separar el resultado. Otras educadoras realizan las actividades

descritas, pero consideran que trabajar sólo con los primeros números es demasiado poco, así

que extienden la serie numérica oral y escrita (ya sin relacionarlas sistemáticamente con las

colecciones, llegan hasta el 100 y algunas más osadas hasta el 1 000), y también “enseñan”

sumas y restas de números, pero con números de dos cifras, sin transformación.4

Respecto al trabajo con la geometría al que, como se señalara, se le da menos importancia

que al de los números, los niños correlacionan algunas figuras geométricas con su nombre

(cuadrado, rectángulo, triángulo, círculo), iluminan figuras, las recortan y las pegan; hacen

algunas configuraciones con ellas. En relación con el manejo del espacio, circunscriben éste a

las relaciones: adelante, atrás, arriba, debajo, derecha e izquierda (esto último sin mucho

éxito), y en ningún caso se desarrolla con la importancia requerida la relatividad de estas

relaciones. Por ejemplo, situaciones en las que un objeto esté arriba de otro, pero debajo de un

tercero, casi no aparecen.

2 Cardinalidad es el número de objetos que tiene una colección.3 Para cada clase se recurre a una colección, a la escritura del número correspondiente, al dibujo, etcétera.4 Los niños muestran “comprensión” de la serie oral y escrita de los números con base en las regularidades de estas series (se atoran, porejemplo, en el 29, se les ayuda un poquito: 30; y siguen 31, 32, etcétera, o bien escriben 204 para el “veinte-cuatro”; no reconocen por qué24 es diferente que 42, cuando estos números no están ubicados en la serie numérica escrita. Tales ausencias o confusiones no sonbanales, un aprendizaje eficiente y eficaz conlleva el desocultamiento de las leyes de los sistemas numéricos de base y posición, que a suvez sustentan los algoritmos de las operaciones. Pero esto es competencia de los primeros dos años de la escuela primaria y de ello no nosocuparemos, puede consultarse (Block et al., 1991).

282

Alternativas posibles

Las prácticas docentes, sucintamente descritas, evidencian lo señalado en cuanto al universo

limitado del conocimiento matemático que se desarrolla con los niños de preescolar, a lo que se

agrega una ausencia de recursos didácticos. Con base en el nuevo curriculum y el enfoque

para la enseñaza suscrito por la SEP (2004), las educadoras necesitan de una redefinición de sus

concepciones disciplinarias que les posibilite orientar sus acciones en el proceso de enseñan-

za, en apego a una resolución didáctica que responda de manera más coherente a lo que

actualmente se conoce sobre el proceso de aprendizaje infantil de la matemática.

Lo que la investigación en didáctica de la matemática ha mostrado en los últimos 30 años de

desarrollo, es que los niños aprenden interactuando con el objeto de conocimiento. Una manera

concreta de realizar esto es plantear problemas que reten los saberes y las experiencias de los

niños, quienes necesariamente, si se les permite, los pondrán en juego para resolverlos.

En esta presentación se recurre al análisis de algunas situaciones, anticipando que si bien

éstas son realizables en el preescolar, no corresponden necesariamente al inicio del proceso

de aprendizaje del número, ni al de la geometría como tampoco al de la medición; simplemen-

te se pretende abrir un espacio de reflexión sobre lo señalado en el párrafo anterior.

El número

Para trabajar con los números, por ejemplo, no es lo mismo pedirle a Genny que saque seis

crayolas de un bote, que quizá lo pueda hacer y de no ser así la educadora le “ayudará a

contarlas”, que pedirle que tome del bote de las crayolas, las que se necesitan para que a ella

le toque una y pueda darle una a cada niño de su equipo (6), de tal manera que no le sobre

ninguna crayola.

La situación así planteada permite un diálogo entre el alumno y el problema, y éste es

posible si a Genny le queda claro en qué consiste la tarea; pero en la forma en que se le

presentó no recibe ningún señalamiento sobre cómo debe (o se espera) que actúe. De hecho,

no se necesita que Genny haya recibido las “clases de los números”; quizá lo único que sepa

es la serie oral de los primeros números, o a lo mejor ni siquiera esto. Pero ello no significa que

no pueda hacer algo para resolver la situación que se le propuso.

Antes de comentar las posibilidades de Genny, cabe precisar que la libertad de actuación

que se le concedió está posibilitada por las características de la tarea propuesta. En Teoría de

las Situaciones Didácticas, Brousseau (1998) define a este tipo de actividades como adidácticas,

representan un momento de una situación didáctica,5 porque son situaciones que el maestro

5 Una situación “no didáctica” puede producir aprendizaje, pero a diferencia de la situación didáctica, en la primera no hay alguien quetenga expresamente la intención de enseñarle a otro.

283

asume (y por tanto propone) para propiciar aprendizajes en sus alumnos. En las situaciones

adidácticas el maestro se repliega de alguna manera, observando lo que sus alumnos ponen

en juego para resolverlas, cuestiona sus procedimientos en caso necesario, pero procura no

indicarles cómo resolverlo.

Nótese que en la situación-ejemplo, en ningún momento se le dice a Genny que cuente,

esto es algo que hará si sabe hacerlo y si además lo considera conveniente y útil; si es el

caso, contará a los niños de su equipo (incluyéndose) para saber cuántas crayolas debe

tomar, después contará las crayolas correspondientes y estará segura que con esta manera

de proceder garantiza que a cada uno le tocará una crayola y no le va a sobrar ninguna.

También puede suceder que aunque Genny sepa contar (hasta el seis o un poco más),

todavía no reconozca que contar es una estrategia que le permite resolver la situación. Los

números y el conteo son conocimientos que el niño debe aprender, pero esto significa

prioritariamente que su maestra, en su intervención como docente, le dé la posibilidad de ir

descubriendo las funciones y el uso de ese conocimiento; es decir, que vaya teniendo la opor-

tunidad de reconocer: ¿qué tipo de problemas se resuelven con el conteo? y ¿para qué sirven

los números?

Pero si Genny está en la situación descrita, todavía no sabe contar o ni siquiera sabe escri-

bir los números, puede, por ejemplo –y es lo que muchos niños hacen–, establecer una corres-

pondencia uno a uno entre las crayolas que va tomando y el nombre de cada destinatario (una

para Juanito, otra para Pedrito, etcétera) y así resolver lo que se le solicitó.

Cabe destacar que Genny, como muchos niños que inicialmente establecen, para compa-

rar colecciones, para igualarlas, para construirlas…, correspondencias uno a uno de manera

espontánea (en el ejemplo: nombre de un compañero-una crayola), no necesita que nadie se

la “enseñe”, sólo recurren a su conocimiento y a su experiencia, el que poseen en el momento

de enfrentar una situación que implica al conteo. Se trata de un proceso de aprendizaje por

adaptación, el niño logra desarrollar una estrategia para resolver el problema, pero no necesa-

riamente es conciente de que en su acción subyace un nuevo conocimiento susceptible de

evolucionar (hacia conocimiento constituido); en este caso, hacia el proceso de conteo (y a la

representación simbólica de los números) que conlleva establecer también una relación uno

a uno, sólo que en éste, la relación se establece entre los objetos de la colección que se están

contando y la serie numérica oral (uno, dos, tres, etcétera), que irá aprendiendo conforme se

involucre en diversas situaciones en que contar tenga sentido, que a su vez le van revelando

que el último número que se nombra es el que indica cuántos elementos tiene la colección

contada.

Las diversas situaciones en las que contar tiene sentido, son los problemas que involucran

a una operación, que los niños de preescolar resuelven realizando el conteo de diversas ma-

neras, en función de las relaciones semánticas entre los datos y no con las operaciones que la

284

matemática ha establecido para solucionarlos. A fin de ilustrar esto, revisemos los siguientes

problemas:

1. Erick tiene 2 canicas rojas y 5 canicas blancas. ¿Cuántas canicas tiene Erick?

2. Erick tiene 2 canicas rojas y su mamá le regaló 5 canicas blancas. ¿Cuántas canicas

tiene Erick?

3. Erick tiene 7 canicas, le regala 2 a su hermana y las otras a su mamá. ¿Cuántas

canicas le regaló Erick a su mamá?

4. Erick tiene 2 canicas, pero quisiera tener 7. ¿Cuántas canicas le faltan a Erick para

tener 7 canicas?

El problema 1 sugiere poner 2 canicas (en su defecto semillitas) en un lado, 5 en otro, juntar-

las y contar desde el 1 toda la colección para obtener como resultado 7. El problema 2 se

resuelve con la misma operación (2+5) que el problema 1; sin embargo, para solucionarlo, como

todavía no saben sumar, los niños recurren al conteo, pero ahora se trata (para ellos) de una

organización del conteo diferente a la que utilizaron en el problema 1, a saber: ponen 2 y agregan

a esa colección 5 más, al terminar cuentan la colección resultante desde el 1 y obtienen 7.

Los problemas 3 y 4 son de resta (7-2), pero los niños no saben “restar”, lo que sí saben es

contar pequeñas colecciones y esto es precisamente lo que utilizan. Para el problema 3 ponen

7 canicas, parten la colección en 2 y 5, porque Erick le regaló 2 a su hermana, las canicas de

la otra colección son las que cuentan, así averiguan que la mamá recibió 5 canicas de su hijo.

Mientras que en el problema 4 optan por poner las 2 canicas que tiene Erick, agregan las

canicas suficientes para llegar al 7, el conteo ahora parte del 3 hasta llegar al 7; controlan para

no confundir las que agregaron con las 2 primeras, cuentan desde el 1 hasta el 5, para encon-

trar el resultado.

Como se puede observar, no se requiere tomar números muy grandes (como muchas educa-

doras, e incluso profesores de la primaria han supuesto) para complejizar la actividad intelec-

tual de los niños, sobre los números y sus relaciones. Desde luego, hay muchos más problemas

diferentes a los descritos, que implican la suma y la resta entre el 2, el 5 y el 7, pero éste no es

el espacio para analizarlos,6 como tampoco lo es para analizar el proceso de representación

de los números (Fuenlabrada, 2001).

El espacio y las figuras (geométricas)

Lo que permite a los bebés, entre otras cosas, reconocer su biberón o cualquier otro objeto

familiar, es precisamente la posibilidad que tienen de percibir su forma. Asimismo, los niños,

desde antes de su ingreso al preescolar y dada su necesidad de desplazamiento en el espa-

6 ¿Cuántas canicas tiene Erick? Las relaciones semánticas entre los datos de un problema, de Irma Fuenlabrada (en prensa).

285

cio, también van reconociendo las relaciones espaciales (la ubicación de los objetos entre sí y

desde un punto de referencia en particular), así son capaces de realizar diferentes trayectos

para desplazarse, por ejemplo, desde su recámara hacia la cocina, por citar una de las múlti-

ples trayectorias que pueden ejecutar, porque se han construido un mapa mental de su espa-

cio cotidiano.

Es decir, el conocimiento del espacio, las diversas formas de los objetos que en él existen y

su ubicación en éste, es un conocimiento temprano que los niños van construyendo de manera

natural (en situaciones no didácticas), para adaptarse al mundo tridimensional en que se ven

inmersos. En cambio, siendo la geometría una matematización (o modelización) del espacio,

su aprendizaje requiere ser enseñado, porque responde a una particular manera de representar

el espacio. De esta manera, desde las diferentes formas que un niño pequeño puede recono-

cer en los objetos, algunas de ellas son objeto de estudio de la geometría y otras no.

Mientras que la forma de un biberón resulta muy interesante para un bebé, la forma rectan-

gular de una ventana le tiene totalmente sin cuidado, pero no es así para la geometría; mien-

tras para un niño pequeño la imagen mental de su espacio cotidiano le es suficiente para

resolver sus problemas de ubicación y desplazamiento en él, para la geometría lo importante

es la representación gráfica de ese espacio y su manipulación simbólica, el mapa de una ciudad,

por ejemplo.

Una manera muy general de establecer la diferencia entre los problemas espaciales (propios

del nivel preescolar) y los problemas geométricos, es señalar que los primeros se relacionan

más francamente con la resolución de situaciones cotidianas de desplazamiento y ubicación;

mientras que los segundos tienen que ver con el espacio representado a través de figuras y

dibujos.

En preescolar, así como en el primer ciclo de la escuela primaria, se persigue que los niños

amplíen su conocimiento sobre el espacio, poniéndolos en situaciones de comunicación con

algo que ya saben: ubicar objetos y desplazarse. En el proceso de comunicación explicitan, a

través del lenguaje oral o con diagramas simples: la ubicación de objetos, puntos de referencia

consecutivos y relaciones espaciales (que conforman un sistema de referencia).

En la expresión: el libro está adentro de la caja que está arriba de la mesa que está entre el

estante y el bote de basura. El libro es el objeto que se está ubicando, la caja, la mesa, el estante

y el bote de basura son puntos de referencia consecutivos, mientras que “adentro, arriba y

entre” son relaciones espaciales.

Es posible que los niños sean capaces de ejecutar consignas como la descrita y realizar el

proceso inverso, es decir, elaborar las consignas para que otros las lleven a cabo. La elabora-

ción que los niños hacen de las consignas, es posible que en principio las comuniquen a través

de la oralidad; luego lo harán mediante un dibujo simple. Evidentemente, producir e interpretar

a través de un dibujo, es una tarea más compleja que hacerlo con la oralidad. Análogamente

286

se espera que los niños comuniquen e interpreten desplazamientos en el espacio, descritos de

manera verbal o gráfica.

Cabe señalar que ambas actividades –la ubicación de un objeto o los desplazamientos–

involucran el control de puntos de referencia y de relaciones espaciales, y se diferencian en

que para ubicar un objeto, los niños se ven en la necesidad de interpretar la consigna verbal

(no es el caso del dibujo) “en sentido contrario” al que fue elaborada; es decir, en el ejemplo,

retienen la información sobre el objeto (el libro), pero ubican primero el basurero o el estante,

luego la mesa, para seguir con la caja; en cambio, la consigna de un desplazamiento la realizan

en franca correspondencia con la instrucción recibida.

A diferencia del trabajo con el espacio, en la geometría (del nivel preescolar o el inicio de la

primaria), para muchos niños son sus primeras experiencias para empezar a desarrollar

sistemáticamente su percepción geométrica, trabajando con las figuras y los cuerpos.

En relación con el trabajo con la geometría, particularmente con las figuras geométricas,7

analicemos la siguiente situación:

Supongamos, sólo por dramatizar y ponernos en un caso extremo, que la maestra de Mariana

un día decide darle “la clase del cuadrado”; para ello le muestra la figura, le dice cómo se llama

y aprovecha para que la niña repase (o empiece a aprender los colores), practique el recorte y

el pegado; otro día, de manera análoga y a través de las mismas u otras manualidades, la

maestra le presenta a Mariana el triángulo, luego quizá el rectángulo o el círculo. En el mejor

de los casos, el recaudo de esas clases para Mariana será que logre, antes de ingresar a la

primaria, identificar las figuras con su nombre, pero el desarrollo de su percepción geométrica

ha tenido pocas oportunidades de realizarse.

Resultaría más productivo para el aprendizaje geométrico de Mariana, que su maestra le

diera las figuras del Tangram (figura 1),8 así en una misma oportunidad aparecen el cuadrado,

el triángulo y una misteriosa figura llamada romboide. ¿Qué se le puede proponer a Mariana

para que ponga en juego no sólo su percepción geométrica sino que, además, le ayude a de-

sarrollarla?

Una posibilidad entre otras, es pedirle que de esas figuras tome las que le sirvan para cubrir

la flecha dibujada en una hoja (figura 2).

Es válido que la maestra explore, en el momento de entregar los Tangram, si sus alumnos

ya conocen el nombre de alguna de las figuras; incluso, si lo desconocen, puede dárselos con

7 Se escoge esta situación a partir del interés observado en las educadoras por esta temática: las figuras geométricas.8 El trabajo en el preescolar con diversos rompecabezas (Fuenlabrada, et al., 1996) es muy importante para desarrollar la percepcióngeométrica. En esta presentación sólo nos ocuparemos del Tangram porque, como se anticipará, interesa destacar el trabajo con lasfiguras geométricas, a lo que se agrega la posibilidad de construir con sus piezas distintas imágenes (peces, figuras humanas, etcétera),en función de diferentes ubicaciones espaciales de las mismas, a diferencia de las posibilidades que dan otros rompecabezas comerciales,en los que la solución es única.

287

el fin de facilitar la comunicación, “a las cosas viene bien nombrarlas por su nombre”, pero la

relación figura-nombre no es la parte nodal de la clase; los nombres de las figuras ya se los

irán aprendiendo Mariana y sus compañeros.

Lo esencial es qué hacen los niños para resolver la situación: ¿qué figuras seleccionan?,

¿cuántos intentos hacen para colocar una figura en el lugar que ellos creen que se puede

poner?, ¿la desechan?, ¿intentan con otra?, ¿acomodan y reacomodan una figura en particu-

lar y no atinan a ubicarla?

En esas acciones fallidas o exitosas, los niños ponen en juego su percepción de la flecha

contra las figuras disponibles del Tangram que, por cierto, una vez que toman una figura que les

sirve se inutiliza al menos otra. Así que, como en el Tangram no hay ninguna figura que tenga la

forma del dibujo, tienen que empezar a “mirar las figuras ocultas” en la flecha, que explícitamente

no están, pero que ellos perciben, empiezan “a ver”: un triángulo y un cuadrado y dejan de

considerar al romboide, parece que por el momento no hay nada que sugiera utilizarlo. Pero,

¿será que sirve el cuadrado que tienen?, y de los triángulos, ¿cuál? o ¿cuáles?, ¿serán dos o

tres? No hay de otra…, tienen que probar.

Mariana se decide por el cuadrado y el triángulo mediano, el primero le sirvió y al colocar el

segundo, queda el espacio de un triángulo de igual tamaño que el que ya puso…, no hay

problema, lo bueno es que, ¡todavía quedan triángulos!, pero ¡ninguno del tamaño que ella

necesita! ¿Será que su compañerito de banca le quiera prestar el triángulo que ella necesita?

No, no está dispuesto, la maestra dijo que cada quien con su Tangram…, Mariana tendrá que

resolverlo con sus figuras, observa los triángulos y se da cuenta que los dos pequeños pueden

9 Las figuras del Tangram se obtienen de cualquier cuadrado (como se muestra en la figura) y consiste en dos triángulos grandes, unomediano, dos chicos, un cuadrado y un romboide.

Figura 2.Figura 1.9

288

servirle, intenta colocarlos y “no se dejan”, “pero tiene que poderse (piensa), se ve como que

sí”; cada vez está más segura, ¡por fin lo logra! (figura 3).

Algunos niños, como lo hizo Mariana, utilizarán el cuadrado, el triángulo mediano y los dos

chicos; sin embargo, otros optarán por un camino más sencillo usando el cuadrado y el trián-

gulo grande (figura 4); a unos les parecerá mejor usar sólo triángulos: el grande y los dos

chicos (figura 5); mientras algunos más podrán doblegar a esa figura “chueca”: el romboide

(figura 6).

Evidentemente el problema de la flecha admite varias soluciones, cada una en función de

la percepción geométrica de los niños. La aparición de tales soluciones, sólo es posible si la

maestra de Mariana deja a sus alumnos que resuelvan la situación por sí mismos, como se

observó en el caso ya analizado de Genny, cuando decide usar la relación uno a uno para

resolver el problema de las crayolas.

Figura 3.

Figura 4. Figura 5. Figura 6.

289

Cabe destacar que el trabajo intelectual de Mariana y del resto del grupo, en sus intentos

por resolver el problema propuesto, es totalmente geométrico y dista, por mucho, del que

tienen que realizar en las “clases del cuadrado o del triángulo” descritas inicialmente, cuyo

recaudo son las manualidades. En ambas situaciones –las clases de las figuras y las del

Tangram–, los niños empiezan a reconocer los nombres de las figuras.

Puede suceder que algunos niños presenten más dificultades que otros; en estos casos, la edu-

cadora, al observar sus intentos, los retoma y les presta un poco de ayuda, ello es particularmen-

te recomendable en los casos en que los niños se estén desesperando. Por ejemplo, si Maria-

na insistiera en colocar un segundo triángulo mediano (que no existe en el Tangram), su maestra

podría sugerirle que utilizara uno de los chicos, incluso dependiendo de las posibilidades de

Mariana, podría hasta colocárselo y animarla a que complete lo que falta de la flecha.

En las actividades geométricas, a diferencia de las relacionadas con los números (las aritmé-

ticas) y las de medición, es más factible el trabajo individual que el de parejas y, en menor

medida, el de equipo, porque las acciones se sustentan en lo que el niño percibe, que no siem-

pre coincide con su compañero. Los proyectos de acción, en situaciones de este tipo, son muy

personales, difícilmente las posibilidades de solución son comunicables porque conllevan a

ejecuciones muy inmediatas: “se ve y se intenta”.

La medición

Desde antes de ingresar al preescolar, los niños han tenido diversas experiencias de distintas

magnitudes, principalmente con la longitud, el peso, la capacidad y el tiempo. Desde luego que su

conocimiento ha estado básicamente relacionado con los efectos de estas magnitudes en

sus actividades cotidianas. Así, saben que su casa está más lejos de la casa de su abuelita

que del mercado; que unos juguetes son más pesados que otros, unos los pueden cargar y

necesitan ayuda para levantar otros o moverlos de lugar; hay juguetes o cacharros de la coci-

na que les sirven para contener agua pero otros no; asimismo, han registrado el paso del

tiempo, por el suceder secuencial de los eventos, por la frecuencia de su repetición, aunque

para ellos no es lo mismo dos horas de juego, que dos horas de visita de su mamá a la casa de

su amiga, cuando ellos tienen que “comportarse”.

En cambio sus experiencias con la medición de esas magnitudes, refieren a un conocimien-

to nominativo de las mismas; es decir, expresiones como: “tres metros de listón”, “un kilo de

frijoles”, “dos litros de leche” o “en media hora llega tu hermana”, les son familiares, pero no les

significan mucho más allá que una manera de hablar.

En preescolar el trabajo sobre la medición involucra la interacción con las magnitudes de

longitud, capacidad, peso y tiempo, a través de la comparación, la estimación y la medición

con unidades no convencionales. Hay una tendencia general en las prácticas de enseñanza

290

dominantes, a disociar los distintos componentes de un concepto, en un intento de hacer “más

accesible” el conocimiento a los niños; pero esto en lugar de favorecer el aprendizaje lo obstacu-

liza, fundamentalmente se minimiza su funcionalidad.10 Es como si se quisiera que los niños aprecia-

ran la belleza de una pintura, sólo que en vez de mostrárselas completa la tapáramos con

una franela e hiciéramos un orificio, para que nada más vieran un pedacito, luego moviéra-

mos el orificio para mostrarles otro pedacito, y con esta manera de proceder pretendiéramos

que se fueran haciendo una idea completa de la pintura en cuestión, ¿no sería más sensato que

los dejáramos ver la pintura completa y luego ir analizando con ellos los detalles?: hay una

casita…, no, parece que son dos, hay una atrás; tres personas están conversando; cerca de

los árboles hay unos niños jugando con un perro, etcétera.

En preescolar suelen aparecer actividades de comparación de tamaños, a partir de mostrar

diferentes pares de objetos dibujados en una hoja o en un cuaderno de trabajo (pez-ballena,

osito-osote, etcétera): se solicita a los niños que diferencien iluminando o encerrando objetos

grandes y chicos. Otra vez nos encontramos con una actividad, ahora referida a la longitud,

que se supone que “lo grande”o “lo chico” refiere, o a la altura de los objetos (osito-osote) o a

lo largo (pez-ballena), sin ninguna posibilidad física para que los niños realicen la comparación

entre los objetos, por lo que el trabajo sobre la longitud se diluye una vez más, en el entreteje

de las manualidades.

Una de las pocas actividades que se hacen en el preescolar sobre la longitud, es solicitar a los

niños que ordenen distintos palitos por su tamaño.11 Sin embargo, se logra un trabajo más intere-

sante y sostenido con la comparación y la estimación de las longitudes con el siguiente juego:

Organizados en equipos (4), se les entregan semillitas y dos paquetes de tiras de

cartoncillo grueso: uno con ocho de distinto color y tamaño (6cm, 7cm…, 13cm12 ), y el

otro con tiras blancas de diferentes tamaños, los mismos que las de colores. Se les

anticipa que ninguna de las tiras se puede doblar ni marcar con lápiz. Dispersan en la

mesa las tiras de colores, por turnos un niño toma, sin ver, una tira del paquete de las

blancas y selecciona [sin tomarla, sólo con la vista] de las de colores, la que crea que

es del mismo tamaño que la blanca que tomó, después verifica [ahora sí tomando la

tira de color seleccionada] lo acertado de su elección; si fue correcta toma una semillita

(si falló no toma ninguna) y regresa ambas tiras, la de color a la mesa (dispersándo-

las) y la blanca al paquete; es el turno de otro niño. El juego termina cuando alguno

junte cinco semillitas.13

10 Ejemplo de ello son las “clases” de los números o de las figuras geométricas, sobre las que ya se ha comentado.11 Equivocadamente se cree que esta actividad atiende a situaciones de orden referidas a números (clasificación, seriación y orden).12 Es claro que las medidas se señalan para la educadora, los niños las desconocen, ellos no van a trabajar con los “centímetros”.13 El juego se puede complejizar aumentando el número de tiras de distinto tamaño. Desde luego, si con seis tiras es difícil la estimaciónde la longitud por parte de los niños, se pueden retirar en las primeras experiencias cuatro tiras intermedias (7cm, 9cm, 11cm, 13cm.),con las tiras que quedan, además de que son menos posibilidades de elección, la percepción de las longitudes entre ellas es más clara.

291

Al realizar el juego, los niños tienen la oportunidad de trabajar con la estimación de longitu-

des y, para convencer a sus compañeros que pueden quedarse con una semillita, tienen que

encontrar un recurso que les permita verificar su elección, para lo cual tendrán que comparar

la longitud de las tiras, ya sea “parándolas” o “acostándolas” sobre la mesa. Juntar cinco semillitas

garantiza que al menos en cinco ocasiones hayan estimado y comparado bien las longitudes,

a lo que se adiciona las veces que indirectamente lo hicieron, viendo a sus compañeros.

En el transcurso del juego es muy importante que la educadora observe que sus alumnos

estén haciendo correctamente la comparación de las tiras, ésta es la parte central de la actividad;

ello significa que para hacerlo, un extremo de las mismas esté alineado, que queda garantizado

si están “parando” las tiras, pero puede ser que haya problemas si para compararlas las tienen

“acostadas”. En cuanto a la estimación de la longitud, se irá desarrollando en los niños en la

medida en que tengan muchas oportunidades de ponerla en juego en diversas situaciones.

Un caso extremo que tal vez suceda, es que en algún equipo ninguno de los niños sepa que

alinear un extremo de las tiras (cuando están acostadas sobre la mesa) es condición necesaria

para hacer la comparación y esto hay que aclararlo, pero sólo en caso de que así ocurra; es

decir, lo recomendable es que los niños se autorregulen y se expliquen entre ellos la condi-

ción de la comparación de longitudes. Sin embargo, al término de la clase, la educadora propicia-

rá una discusión colectiva sobre el particular.

Cabe destacar que un juego es algo más que una actividad lúdica porque tiene reglas, se

sabe cuándo termina la actividad y quién gana; en los juegos subyacen condiciones didácticas

que comprometen a los participantes a realizar bien la actividad, porque ninguno de los juga-

dores está dispuesto a que otro “haga trampa, por ignorancia o mala fe”.

El juego descrito propicia, como ya se dijo, el desarrollo de la estimación [de la magnitud] de

la longitud planteando problemas de comparación y realizando ésta como recurso para verifi-

car esa estimación. Se puede modificar el juego para que los niños estimen la medida de la

longitud, para esto se necesita que sigan comparando, pero ahora comparan la longitud de una

tira con la longitud de otra que funciona como unidad (de medida) y lo que estiman es cuántas

veces creen que la (tira) unidad cabe en la tira que se quiere medir.

El juego se plantea con las mismas condiciones iniciales que el anterior (trabajo en equipo,

semillas y participación por turnos), las tiras de colores pueden aumentarse a 10 (6cm, 8cm,

10cm, 12cm, 14cm, 15cm, 16cm, 18cm, 20cm y 21cm) y las tiras blancas también suman 10,

de 3cm y seis tiras negras de 4cm.

Las tiras de colores se meten a una bolsita, las tiras blancas y las negras se ponen sobre la

mesa. Por turnos, un niño saca una tira de color, elige “tiras blancas” o “tiras negras” y dice

cuántas veces, las tiras que eligió (blancas, por ejemplo) caben en la tira de color; una vez que

hizo la estimación la verifica. Si acierta, toma un semillita y regresa la tira de color a la bolsa; el

juego termina cuando algún participante reúne tres semillitas.

292

Este juego es evidentemente más complejo que el anterior, porque ahora se trata de propi-

ciar la medición. Los niños tendrán que generar un recurso para verificar su respuesta, como

no se vale marcar ni doblar las tiras tendrán que colocar tiras unidad (blanca o negra) sobre la

tira de color, o (menos probable, pero posible) trazar la longitud de ésta en una hoja blanca e ir

marcando con la unidad cuántas veces cabe. Aunado a ello, es altamente probable que la

unidad elegida no quepa un número exacto de veces en la tira de color (es el caso de 10cm

y 14cm), bien haber elegido la unidad blanca (3cm) para medir (8cm, 10cm, 14cm, 16cm y

20cm) o querer medir (6cm, 10cm, 14cm, 15cm, 18cm y 21cm)con la unidad negra (4cm). Los

niños no “le van a atinar” varias veces, pero se irán dando cuenta que es más acertado decir:

“Tres blancas y un poquito”, “casi cuatro negras” o “es más de tres blancas, pero menos que

cuatro”. Tendrán que proponer un cambio de regla, para aceptar este tipo de estimaciones

(aproximaciones a la medida) y así ganar las semillitas, en cuyo caso se acepta el cambio,

pero ahora gana quien junte cinco semillitas.

Algunas precisiones son: el juego sobre estimación de la medida y llevar a cabo la medición

para verificarla, involucra la medición con unidades no convencionales; el centímetro es una

unidad convencional, pero las tiras blancas o negras (longitudes 3cm o 4cm) no lo son. Poner

a los niños en situación de medir, cuando la unidad no cabe un número exacto de veces, es

una situación más frecuente en lo cotidiano.

Por esto, el sistema métrico decimal se organiza con el metro y sus múltiplos y submúltiplos.

La expresión “un metro ocho decímetros” da cuenta de una medida más exacta que “más de

un metro, pero menos que dos metros” o “casi dos metros”, y éstas últimas expresiones, a su

vez, son una mejor aproximación a la medida que decir solamente “un metro”.

En preescolar no se pretende que los niños den medidas exactas sino aproximaciones de

ésta usando unidades no convencionales, así como que trabajen con diversas unidades (el

tamaño de su pie, las cuartas, varitas, etcétera) y seleccionen la unidad tomando en cuenta lo

que quieren medir. Es decir, la unidad se elige en función de lo que se quiera medir; a veces

conviene usar una unidad grande y otras una chica, las unidades blancas o negras usadas en

el juego, no son útiles, por ejemplo, para medir la distancia entre el salón de clase y la direc-

ción. Por eso, utilizando el sistema convencional de medidas de longitud,14 el metro no es

siempre la unidad más conveniente para hacer una medición, si se quiere medir la distancia

entre dos pueblos es más razonable usar el kilómetro (múltiplo del metro) y si lo que se nece-

sita es medir el largo de un zapato es mejor usar al centímetro (submúltiplo del metro).

14 Que no se trabaja en el preescolar.

293

Los libros para los niños, diferentes tipos de organización

para resolver las actividades y el material didáctico

Estudios realizados sobre la escuela primaria (Balbuena et al., 1991), muestran una sobreva-

loración en el uso de los libros dirigidos a los niños, incluso la enseñanza se ha organizado

alrededor de éstos; esta manera de proceder en la enseñanza tiene como recaudo el bajo nivel

de conocimiento matemático que adquieren los alumnos en su tránsito por la escuela, a la vez

que se anidan sentimientos de frustración y de rechazo hacia la disciplina matemática.

Esto no deja de ser un riesgo instalado en preescolar, máxime ahora que se amplían los

contenidos; los niños en general, y con más razón los de preescolar que son muy pequeños, si

bien pueden interactuar con el material gráfico que les ofrece algún libro, fundamentalmente

deben realizar múltiples y diferentes actividades que son necesarias e ineludibles para acceder

a un conocimiento con sentido (funcional) de la matemática. Es decir, el libro para los niños (en

caso de existir) debe ser un recurso didáctico cuya principal función es propiciar y favorecer las

actividades de aprendizaje, y no necesariamente hacer más fácil la tarea escolar de alumnos

y maestros.

En didáctica, lo fácil no necesariamente resulta productivo; suele confundirse este principio,

por lo que en varios libros dirigidos a alumnos proliferan ejercicios o actividades que lo que

exigen de los niños es tiempo y no actividad intelectualmente productiva que les genere aprendi-

zajes con sentido; para ello es recomendable que antes de optar por un libro, se le revise desde

la perspectiva del tipo y la calidad del trabajo intelectual que propone propiciar en los niños.

Las actividades pueden realizarse en el salón de clase o en el patio, organizando a los

niños en parejas o en equipos, también puede tratarse de trabajo individual o de grupo. Estas

diferentes organizaciones para realizar las actividades propician, en cuanto al aprendizaje de

la matemática, espacios de socialización del conocimiento y de las experiencias de (y entre)

los niños y colateralmente van propiciando el desarrollo de competencias sociales tales como:

exponer y compartir ideas, escuchar a otros, tomar acuerdos o en ocasiones disentir generan-

do argumentos para exponer la propia posición.

Cabe advertir que seguramente estas diferentes organizaciones serán visualizadas, no por

pocas educadoras, como una tarea compleja tratándose de niños pequeños, con el riesgo

además de malograr la disciplina del grupo; sin embargo, iniciar la socialización sistemática

del conocimiento desde el preescolar, habilita a los niños para su ingreso a la primaria, que

comparte la misma sugerencia metodológica y por ello está asentado en el enfoque de la

Propuesta. A esto se adiciona que, investigaciones como las de Rancel,15 sobre la experi-

15 Experimentación de una secuencia didáctica sobre los números, en un grupo de preescolar. Estudio de caso, tesis para obtener el grado deMaestría en Ciencias en Investigación Educativa en el Departamento de Investigaciones Educativas del Cinvestav, desarrollada por Maríade los Ángeles Rangel Yescas, bajo la dirección de la M. en C. Irma Fuenlabrada. Tesis en proceso de defensa para el inicio del 2005.

294

mentación de una secuencia didáctica en un grupo de preescolar llevada a cabo por una

educadora, han mostrado no sólo su viabilidad con niños pequeños, sino fundamentalmente

los beneficios sobre el aprendizaje de la matemática que ello reporta. Una de las conclusiones

de dicha investigación señala cómo la educadora logró que sus alumnos trabajaran en equi-

po, en parejas o grupalmente a partir de una equilibrada respuesta de ella hacia sus alumnos.

Por un lado, las diversas organizaciones aparecían sistemáticamente en todas las actividades

del aula (no sólo las referidas a la matemática) y, por otro, la educadora daba espacios de

participación a todos sus alumnos (no sólo a los que decían o hacían lo que ella pudiera

esperar, como suele suceder en muchas aulas), con el tiempo esta actitud fue minimizando la

natural insistencia de los niños por ser atendidos y aumentó en todos la confianza por expre-

sarse libremente sobre sus particulares maneras de enfrentar las situaciones frente a sus

compañeros y su maestra.

En muchas actividades es necesaria la interacción de los niños con material didáctico o con

material escolar16 que se requiere como apoyo para su razonamiento en la búsqueda de solu-

ciones a las problemáticas que se les propongan; pero que sirven poco para el aprendizaje si

lo utilizan siguiendo indicaciones de aquella educadora cuya única finalidad es que la actividad

resulte entretenida y organizada y, si es el caso, limpiecita y bien presentada.

A título de conclusiones

Una de las aspiraciones del enfoque metodológico de la Propuesta editada por la SEP es apunta-

lar la autonomía de los niños (competencias cognitivas) y su control sobre el aprendizaje (com-

petencias cognitivas y afectivas; la autoestima, por ejemplo, que se adquiere de saber que

es capaz de resolver situaciones sin que nadie le diga cómo hacerlo). Pero pareciera ser que el

proceso de enseñanza que se deriva de dicho enfoque implica un nuevo rol de las educadoras;

esto es parcialmente cierto, ya que si bien se espera (esto es lo nuevo) que las educadoras se

deslinden de asumir no sólo la dirección paso a paso de la manipulación de un material sino

también de lo que sus alumnos consideren necesario hacer para resolver las situaciones (en

las situaciones adidácticas), también es cierto que en el proceso didáctico está previsto que las

educadoras “recuperen”, por así decirlo, su rol de enseñantes, pues ellas son las que poseen

el conocimiento cultural de las temáticas que se trabajan en el preescolar.

Nos parece importante advertir sobre este doble rol que se demanda a las educadoras, con

el fin de prever algunas equivocadas interpretaciones de enfoques metodológicos análogos al

16 Se entiende por material didáctico: fichas de colores, tarjetas con escenas, con números colección, rompecabezas, dominós, balanzas,recipientes, etcétera; mientras que el material escolar refiere a: estambre, tijeras, crayolas, papel, etcétera.

295

que se sustenta en la Propuesta, en los que erróneamente se ha inferido que el docente sólo

es un facilitador u observador del aprendizaje de sus alumnos desprovisto de la facultad de dar

informaciones o de intervenir. Citaremos algunos ejemplos de intervención: si los niños llegan

a preescolar sin el conocimiento del inicio de la serie numérica oral (ya sea porque son muy

pequeños, o porque su núcleo social es de analfabetas o su lengua materna no es el espa-

ñol17 ), deben aprenderla de su maestra, porque sin ella no pueden iniciarse en el proceso de

conteo,18 lo mismo sucede con los símbolos con los que convencionalmente se escriben los

números: si no hay alguien que les diga cómo son, no los aprenderán; de la misma manera

requieren que se les diga cómo se llaman algunas figuras geométricas. La prevención opera al

saber en qué momento es importante dar esta información, pero sobre todo al no perder de vista

que la enseñanza –desde lo que actualmente se sabe sobre procesos de aprendizaje in-

fantil de la matemática– no es un acto de informar para que los niños puedan repetir dicha

información a solicitud de su maestro, sino que su aprendizaje de la matemática se instale

como una herramienta útil, eficiente y eficaz para resolver diversos problemas. De hecho, el

aprendizaje conlleva el reconocimiento del significado de los diversos conceptos matemáticos

(para qué sirven, qué tipo de problemas resuelven, cómo se representan), que para el preescolar

refieren a los primeros números con su representación para dar cuenta del resultado, el conteo

como estrategia de solución de diferentes problemas, el desarrollo de la percepción geométrica,

las nociones iniciales de algunas magnitudes y los procesos de medición, por citar algunos.

Bibliografía

Balbuena, Hugo, David Block, Irma Fuenlabrada, Leove Ortega y Ruth Valencia (1991), “Re-

flexiones en torno a la modernización educativa. El caso de las matemáticas en los pri-

meros grados de la escuela primaria”, en Educación Matemática, vol. 3, núm. 3, México,

Grupo Editorial Iberoamérica.

Block, David, Irma Fuenlabrada, Alicia Carvajal y Patricia Martínez (1991), Los números y su

representación. Propuestas para divertirse y trabajar en el aula, México, SEP (Libros del

rincón).

Brousseau, Guy (1998), “Théorie des situation didactiques”, en Recherches en Didactiques

des Mathématiques, París, La Pensée Sauvage.

Fuenlabrada, Irma (2001), “La numerosidad de las colecciones y los números como signos

que las representan”, en Memorias (electrónicas) del VI CNIE, Manzanillo, Colima.

17 La serie numérica oral tendrán que aprenderla y trabajar con ella en su lengua, posteriormente la aprenderán en español.18 Recuérdese que contar pasa por establecer una correspondencia uno a uno, entre los objetos de una colección y la serie numérica oral,y los niños no lo harán si todavía no pueden mencionar los nombres de los números en orden (uno, dos, tres, etcétera).

296

Fuenlabrada, Irma, Leove Ortega y Ruth Valencia (1996), “La geometría en los libros de texto

de Matemáticas del primer ciclo de primaria”, en G. Waldegg y D. Block (coords.), Estu-

dios en Didáctica, México, Grupo Editorial Iberoamérica.

Nemirovsky, Miriam et al. (1990), Informe de Investigación: Situación actual de la enseñanza

de la Matemática en el Nivel Preescolar, México, Dirección General de Educación Prees-

colar-Sección de Matemática Educativa-Cinvestav.

SEP (2004), Programa de Educación Preescolar 2004, México.

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Segundo Semestre “C”

INVITACIÓN A LA DIDÁCTICA DE

LA GEOMETRÍA

CLAUDI ALSINA CATALÁ

COORDINADORA Mtra. Nialy Yolanda Álvarez Menacho

niatec_@hotmail.com

BENEMÉRITA ESCUELA NORMAL VERACRUZANA

ENRIQUE C. RÉBSAMEN

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

üEn nuestro entorno ambiental estamos rodeados de objetos, formas, diseños y transformaciones…intuición geométrica.

üla geometría es la ciencia que tiene por objeto analizar, organizar y sistematizar los conocimientos espaciales.

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

üEl estudio de la geometría puede ser caracterizada como el estudio de las experiencias espaciales.

üEl espacio puede ser caracterizado desde diferentes puntos de vista: físico, psicológico, social, geométrico, arquitectónico, etc.

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

üPercepción espacial según R. Pallascio proponen cinco etapas: visualización, estructuración, la traducción, la determinación y la clasificación.

Ø la visualización: consiste en poder memorizar

imágenes parciales a fin de poder reconocer objetos iguales o semejantes por cambio de posición o de escala, entre una diversidad de obetos teniendo el mismo croquis.

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

ØEstructuración: después de haber visualizado el objeto, su estructuración consiste en poder reconocer y reconstruir el objeto a partir de sus elementos básicos constituyentes.

ØTraducción: consiste en poder reconocer un objeto a partir de una descripción.

ØDeterminación: consiste en poder reconocer su existencia a partir de una descripción de sus relaciones métricas

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

ØClasificación: consiste en poder reconocer clases de objetos equivalente según diferentes criterios de clasificación.

NOTA

Cada una de estas etapas

Permiten desarrollar las habilidades de observar (visualización), abstraer (estructuración), comunicar (traducción), y organizar (determinación y clasificación).

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

vla geometría debe ser un objetivo general para todo ciudadano.

vTener una cultura geométrica con visión histórica e interdisciplinar, aplicar conocimientos geométricos para modelizar, crear, resolver problemas reales, usar los diferentes lenguajes y representaciones.

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

LA FINALIDAD

vEn la enseñanza de la geometría, es aquello que sea útil con rango futurible y pueda motivarse desde la actualidad, razonar correctamente, representar, abstraer, relacionar, clasificar y resolver son verbos deseables en el abanico de lo deseable.

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

PROGRAMA DE EDUCACIÓN PREESCOLAR 2011

PEP (2011)

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Bases para el trabajo docente en

preescolar PEP 2011

ü Referentes para orientar la organización y el desarrollo del trabajo docente, la evaluación del aprendizaje y de las formas en que se propicia.

ü Guía para la reflexión (individual y colectiva) sobre las prácticas en el aula y en la escuela.

ü Organizan en 3 grandes rubros: v Características infantiles y procesos de aprendizaje.

v Diversidad y equidad.

v Intervención educativa

CARACTERISTICAS INFANTILES Y PROCESOS DE APRENDIZAJE

Llegan a la escuela con conocimientos y capacidades

Aprenden en interacción con sus pares

El juego potencia el desarrollo y aprendizaje

Bases para el trabajo docente PEP 2011 LOS NIÑOS Y LAS

NIÑAS

DIVERSIDAD Y EQUIDAD

La educación inclusiva implica oportunidades formativas de calidad para

todos.

La atención de los niños y niñas con NEE con o sin discapacidad y con AS.

Igualdad de derechos entre niños y niñas se fomenta desde su participación en

actividades de socialización y aprendizaje.

Bases para el trabajo docente PEP 2011

INTERVENCION EDUCATIVA

Fomentar y mantener en los niños y las niñas, el deseo de conocer, así como, interés y la motivación de aprender

La confianza en la capacidad de aprender se propicia en un ambiente estimulante

en el aula y la escuela

La intervención educativa requiere de una planificación flexible

La colaboración y el conocimiento mutuo entre la escuela y la familia favorece el desarrollo de

los niños (as)

Bases para el trabajo docente PEP 2011

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA CAMPO DE DESARROLLO

Permite identificar en qué aspectos del desarrollo y aprendizaje

se concentran (lenguaje, pensamiento matemático, etc.) y

constituyen los cimientos de aprendizajes más formales y

específicos que los alumnos estarán en condiciones de construir

conforme avanzan en su trayecto escolar. (SEP. PEP 2011)

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Pensamiento Matemático

“…El trabajo con la resolución de problemas matemáticos exige una

intervención educativa que considere los tiempos requeridos por

los niños para reflexionar y decidir sus acciones, comentarlas y

buscar estrategias propias de solución. Ello implica que la maestra

tenga una actitud de apoyo, observe las actividades e intervenga

cuando los niños lo requieran…” (PEP 2011, Pág. 56)

Matemáticas para la Educación Normal

Guía para el aprendizaje y enseñanza

de la geometría y la medición

Tenoch E. Cedillo Ávalos

Masami Isoda

Antonio Chalini Herrera

Valentín Cruz Oliva

II

Todos los derechos reservados.

Coordinador general: Manuel Cerón

Editora: Paloma Núñez Aguilera

Diseño: Jaime E. Esquivel

Traducción: Edgar Krauss

PRIMERA EDICIÓN, 2012.D.R. c 2012 Contra Punto Editores S de RL de CV.5 de febrero 792, interior11Colonia Álamos, C.P. 03100Benito Juárez, México, D.F.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por foto-copia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.

ISBN: XXXXXXXXXXXXXXImpreso en México. Printed in Mexico.

Secretaría de Educación Pública

José Ángel Córdova VillalobosSecretario de Educación

Rodolfo Tuirán GutiérrezSubsecretario de Educación Superior

Marcela Santillán NietoDirectora General de Educación Superior

para Profesionales de la Educación.

Cedillo, T., Isoda, M., Chalini, A., Cruz,V. Matemáticas para la Educación Normal Guía para el aprendizaje y enseñanza

de la geometría y la medición SEP, México.

Contra Punto Editores S de RL de CV, 2012ISBN:

Área : MatemáticasFormato: Páginas:

Geometría y Medición

III

Nuestro profundo agradecimiento por su valiosa

contribución a nuestros distinguidos colegas:

María Olga Martínez Torres, Escuela Normal “Profr y Gral. Alberto Carrera Torres”, Tamaulipas.

María del Rocío Nava Álvarez, Instituto Superior de Ciencias de la Educación del Estado de México.

Enrique Vega Ramírez, Universidad Pedagógica Nacional, Unidad Ajusco.

Noé Sanmartín Román, Escuela Normal No. 1 de Nezahualcóyotl, Estado de México.

Geometría y Medición

IV

Índice

Introducción VIII

Parte I :

La enseñanza de las matemáticas: el papel del

análisis de videos y de los libros de texto. 1

Qué es el Estudio de Clases 2

Actividades 2

Actividades 3

Actividades 3

¿Por qué los niños pudieron decir “hay algo que está mal”?

El potencial de un libro de texto bien secuenciado 4

Actividades 4

Parte II:

Aprendiendo a aprender matemáticas 7

¿Cómo podemos saber si los niños están aprendiendo

por sí mismos? 8

Exploración del entorno desde la perspectiva de las

Actividades 8

El mundo de las matemáticas: belleza, simplicidad,

Actividades 9

¿Dónde podemos ver actividades similares

en los demás tomos? 10

Actividades 10

Aprendiendo matemáticas a partir de una situación

con comprensión 11

Actividades 11

Geometría y Medición

V

Actividades 12

Extensión del mundo de las matemáticas: desarrollo

de las matemáticas desde las matemáticas 12

Actividades 12

Actvidades 13

Piensa cómo lo hiciste: desarrollo de ideas y su

generalización mediante representaciones formales 14

Actividades 14

Uso de las representaciones como herramientas del

pensamiento 15

Actividades 15

Actividades 15

Parte III:

Resolución de problemas: el gusto por las matemáticas 17

Actividades fructíferas en la resolución de problemas:

¿cómo podemos ir más allá? 19

Actividades 19

Actividades 19

Diferencias entre una tarea y un problema: problematización 20

Actividades 20

Formulación de preguntas y cambios de representación 21

Actividades 21

Extensión de las ideas previamente aprendidas 22

Actividades 22

Desarrollo de la actitud para hacer matemáticas

como un matemático 23

Actividades 23

Fases de enseñanza en la resolución de problemas 24

Geometría y Medición

VI

Planeación de la clase empleando el pizarrón 26

Actividades 26

Actividades 27

Actividades 28

Actividades 29

Actividades 30

Actividades 31

Actividades 32

Una útil lista de cotejo para planear la clase 33

Actividades 33

Una lista de cotejo para recopilar las impresiones

de los alumnos 34

Parte IV:

Geometría 37

Formas 38

Construcción de cajas 40

Círculos y esferas (1) 42

Círculos y esferas (2) 43

Círculos y esferas (3) 44

Concepto de circunferencia 46

Ángulos 48

Construcción de triángulos 52

Conceptualización de rectas perpendiculares 54

Conceptualización de rectas paralelas 56

Paralelas y perpendiculares: aplicación conceptual 58

El paralelogramo y su didáctica 62

El paralelogramo y sus diagonales 64

Geometría y Medición

VII

Ángulos del triángulo: razonamiento inductivo 66

Polígonos: razonamiento inductivo 68

Desarrollos planos 70

Prismas 72

Parte V:

Medición 75

Comparemos longitudes (1) 76

Comparemos longitudes (2) 77

Longitud (1): ¿cómo expresar la longitud? 78

Longitud (2): El metro 79

Tiempo y hora 80

¿Cómo medir distancias? El kilómetro 82

Peso de un objeto 83

Volumen 84

Ángulos 86

Área (1) 88

Área (2) 90

Área del paralelogramo 92

Área del triángulo 94

Triangulación 96

Diámetros y circunferencias 98

El área de un círculo 99

Volumen 100

Cálculo del volumen 102

Medición con otro tipo de unidades. Promedio 104

Midamos usando otro tipo de unidades 106

Velocidad 108

Área aproximada 110

Referencias 112

Geometría y Medición

VIII

La Subsecretaría de Educación Superior de la Secretaría de Educación Pública, a través de la Dirección General de Educación Superior para Profesionales de la Educación, pone a disposición de los docentes y estudiantes de las Escuelas Normales el libro Matemáticas para la Educación Normal, guía para el aprendizaje y enseñanza de la

geometría y la medición. Este volumen consiste en un conjunto de orientaciones didácticas para el tratamiento de los temas de geometría y medición que se abordan en la educación básica, estas orientaciones se acompañan con actividades que se sugieren para el futuro docente cuya

de la asignatura y lo relacionen con la práctica en el aula.Este libro es uno de los resultados del intenso trabajo de estudio e investigación que la Dirección

General de Educación Superior para Profesionales de la Educación llevó a cabo durante cuatro años con el Centro de Investigación y Cooperación Internacional en Desarrollo Educativo de la

de 140 profesores de 90 Escuelas Normales del país que participaron en las acciones de la Comunidad de Práctica Profesional en Enseñanza de las Matemáticas.

Matemáticas para la Educación Normal, guía para el aprendizaje y enseñanza de la geometría

y la medición

formas de actuar de experimentados maestros, en particular, cómo elaboran un plan de clase y cómo lo ajustan sobre la marcha a partir de las reacciones de sus alumnos. En este análisis se abordan componentes esenciales en la formación de los futuros docentes, como la determinante

debe tomar en una clase, durante todo el curso y sus efectos en los aprendizajes de sus alumnos.El análisis de episodios en la clase de matemáticas se realiza en el marco del método de

la distancia que hay entre lo que un maestro puede lograr trabajando de forma aislada, y lo que puede alcanzar si lo hace colegiadamente con sus pares y con maestros más experimentados. En estos episodios se destacan competencias que el futuro docente debe cultivar, como la capacidad de escuchar a sus colegas y a sus alumnos, y sobre todo, la capacidad de generar múltiples formas para que sus alumnos desarrollen esas competencias.

Geometría y Medición

IX

a los alumnos les gusten las matemáticas es indispensable que las entiendan, aún más, que las entiendan muy bien. Los resultados de las evaluaciones nacionales e internacionales muestran lo difícil que es lograrlo, en particular porque requiere que el maestro produzca secuencias didácticas cuya articulación matemática permita que los contenidos sean comprensibles para sus alumnos, es decir, que cada paso que avancen se sustente en una clara comprensión de los conocimientos que previamente construyeron.

El propósito central de este libro es propiciar que los futuros docentes analicen secuencias didác-ticas bien articuladas matemáticamente, esto favorecerá que desarrollen competencias docentes que en su momento aplicarán para conducir a sus alumnos en la construcción de una sólida estruc-tura conceptual que les haga posible aprender a aprender matemáticas. Esto último constituye una meta que debe aspirar un docente, y su logro es uno de los grandes propósitos de los nuevos planes y programas de la Educación Normal. En este sentido, nuestra expectativa es que este libro ofrezca oportunidades de aprendizaje para que los futuros docentes disfruten al estudiar matemáticas y que, con base en esto, se inicien en la generación de propuestas didácticas orientadas a que sus alumnos también disfruten al construir conocimientos matemáticos y resolver problemas.

Este libro está organizado en cinco partes, en la Parte I se trata lo referente al análisis de una clase de matemáticas empleando el método del Estudio de Clases, en qué consiste y cómo podemos aplicarlo fructíferamente. En la Parte II, a través del estudio de casos se discute qué queremos decir con “aprender a aprender matemáticas”, cómo podemos propiciar que ocurra ese tipo de aprendizaje, cómo podemos darnos cuenta si está ocurriendo y qué tipo de actividades son más adecuadas para propiciar que los alumnos aprendan a aprender matemáticas. En la Parte III se trata lo correspondiente al enfoque de resolución de problemas y las posibilidades que brinda para favorecer que los alumnos cultiven el gusto por las matemáticas. En la Parte IV se analiza pormenorizadamente el tratamiento didáctico y matemático de los temas de geometría que se estudian en la educación básica. La Parte V se aboca al tratamiento didáctico y matemá-tico de los temas de medición que se estudian en la educación básica. Los materiales de análisis en las Partes IV y V son las lecciones sobre geometría y medición que se presentan en los once volúmenes de la serie Matemáticas para la Educación Normal.

Marcela Santillán Nieto

Geometría y Medición

Geometría y Medición 1

Parte I La enseñanza

de las matemáticas:

el papel del análisis

de videos y de

los libros de texto

Los once volúmenes que conforman la serie Matemáticas

para la Educación Normal fueron diseñados para que los alumnos aprendan a aprender matemáticas y desarrollen habilidades para extender sus conocimientos por sí mismos. Para la consecución de ese ambicioso propósito, se adoptó la resolución de problemas como un método para que los alumnos desarrollaran su pensamiento matemático y cultiva-ran habilidades para comunicar ideas matemáticas. Los vi-deos a los que se hace referencia, proporcionan ejemplos de lo que consideramos un apropiado e innovador acercamiento a la enseñanza de las matemáticas.

Geometría y Medición2

Qué es el Estudio de ClasesEl Estudio de Clases es un método que se aplica en el trabajo colaborativo entre maestros que se reúnen para planear, po-ner en práctica y observar críticamente el proceso de ense-ñanza/aprendizaje en el aula. Dicho sucintamente, el Estudio de Clases es un estudio sistemático para mejorar la práctica docente y la calidad de los aprendizajes de los alumnos. En el proceso de planear una clase, los maestros determinan el propósito que en ella se quiere lograr mediante un análisis profundo del contenido de enseñanza, enfocándose de ma-nera especial en lo que se pretende que aprendan los alum-nos. En la implementación de la clase los maestros siguen estrictamente el plan que se diseñó y los observadores ana-lizan lo que ocurre en la clase en el marco de los propósitos de aprendizaje que se determinaron. Después de la clase los maestros discuten con detalle las observaciones que se hicieron, hacen los ajustes correspondientes y lo sujetan a nuevas sesiones de observación hasta lograr que los alum-nos muestren que han alcanzado de forma satisfactoria los propósitos de aprendizaje que se plantearon.

El Estudio de Clases se propone mejorar la enseñanza por medio de la innovación, no se centra en la crítica del des-empeño del maestro porque el plan de clase fue elaborado colegiadamente, no por un sólo maestro. Aún siendo erró-nea la conducción del proceso de enseñanza por parte del maestro, lo prioritario es lograr el propósito de aprendizaje, si éste no se alcanzó, lo conducente es revisar de forma minuciosa el plan de clase, buscar alternativas y, colegiada-mente, hacer los ajustes del caso. En el Estudio de Clases se asume la premisa de que el conocimiento profesional de los maestros se enriquecerá si tienen la disposición para reunirse y discutir cómo generar mejores alternativas para lograr un propósito compartido.

En el Estudio de Clases tiene lugar un proceso de evalua-ción, pero no se centra en el desempeño del maestro que impartió una clase que fue observada, se enfoca en el logro del propósito de aprendizaje de la clase y el plan para lle-varla a cabo en el aula. En este sentido, la evaluación tiene

maestros y obtener óptimos aprendizajes de los alumnos. El concepto de Estudio de Clases sería sensiblemente distor-sionado si se entendiera como un instrumento para evaluar el desempeño del maestro.

Para preparar las sesiones del Estudio de Clases se invita a un destacado educador para que exponga los aspectos teóri-cos; su exposición se dirige a docentes en servicio, a futuros

-giadamente un marco conceptual que oriente las siguientes fases del Estudio de Clases. Los participantes ponen en juego lo mejor de su conocimiento profesional para formular pregun-

las estrategias de enseñanza para lograrlos. El conocimiento básico que se requiere para participar en esas reuniones, está contenido en la parte IV de este volumen.

Actividades

Observa y discute el video , Profe-

sor Takao Seiyama, Segundo Grado.

1. Observa el video del minuto 11:53 al 13:34. Toma nota de

lo que está escrito en el pizarrón y discute su contenido con

tus compañeros.

2. Observa el video del minuto 13:34 al 15:03. El profesor Sei-

yama usó la expresión “las matemáticas son la ciencia de los

patrones”. Discute con tus compañeros qué es lo que quiso

decir con esa expresión.

3. Observa el video del minuto 15:03 al 16:46. El profesor Ho-

es lo que quería explicar con ese gesto?

4. Observa el video del minuto 16:07 al 16:34. El profesor Sei-

yama describió la secuencia de enseñanza que había dise-

ñado y los aprendizajes que espera que logren sus alumnos.

Con base en esa descripción explica su plan de enseñanza

y el propósito de la clase empleando tus propias palabras.

5. Al inicio del video algunos niños se expresaron acerca del

-

que él prepara la clase?

El profesor Seiyama está planeando una clase cuyo propósito es que los alum-nos encuentren las reglas ocultas en la realización de ciertas operaciones (regularidades). En la se-cuencia de enseñanza está considerando los ca-sos cuando la diferencia es 1, 2, 3… Él considera que su plan de clase será exitoso si los alumnos pueden explicar lo que ocurrirá cuando la diferencia es 9 y está ansioso por realizar la clase y probar sus hipótesis. Cuando el profesor Seiyama explicaba lo anterior, el profesor Hosomizu hizo el gesto de cruzar sus manos. Con ese gesto sugirió lo que harían los niños cuando intenten encontrar el patrón.

Geometría y Medición 3

Actividades

Ubica la sección del video titulada: “Seguimiento de clase/

Observación”.

manera en que el profesor Seiyama presenta el problema

de enseñanza.

-

-

neó originalmente? Explica por qué empezó con este caso

un niño dijo: “Señor Seiyama, hay algo mal en las respuestas”.

-

chos de sus compañeros estaban de acuerdo con él?

4. Observa el video del minuto 19:01 al 19:40. Después del caso

donde la diferencia es 5, un niño dijo: “si… en el caso donde la

5. Al inicio del video los niños se expresaron acerca del pro-

-

ta a partir de lo que has observado de la clase hasta ahora?

El profesor Seiyama cambió su secuencia original para ini-ciar con el caso donde la diferencia es 3. No esperaba que los niños reordenarían las respuestas que daban, que eso les ayudaría a encontrar el patrón y que desarrollarían por sí mismos otros ejemplos. ¿Por qué pudieron hacer eso los niños? Puedes encontrar una respuesta plausible al estudiar posteriormente la parte IV de este libro donde se analizan las lecciones sobre la resta.

Con base en lo que el profesor Hosomizu expresó al cruzar sus manos, el profesor Seiyama comprendió que el orden es la clave para encontrar el patrón. Al observar el video se puede constatar que los niños se dieron cuenta que ordenar los casos es importante para encontrar el patrón.

Otro aspecto que es importante considerar es que los ni-ños disfrutaron la clase y valoraron el esfuerzo de su profe-sor para conducirlos en el mundo de las matemáticas. Esto muestra algo que es obvio, pero que con frecuencia se olvi-da: el primer paso para que los alumnos disfruten en la clase de matemáticas es que entiendan lo que están haciendo.

Actividades

la clase”.

1. Observa el video del minuto 20:14 al 22:30. Discute con tus

las actividades que se emplearon en la clase y por qué es me-

jor iniciar con el caso donde la diferencia es 3, que cuando

la diferencia es 1.

2. Observa el video del minuto 22:30 al 23:26. El profesor Tsu-

bota hizo importantes observaciones acerca del propósito de

-

puso el profesor Tsubota?

3. Al inicio del video los niños se expresaron acerca del pro-

-

ta a partir de lo que has observado de la clase hasta ahora?

En la discusión de la clase hubo dos intervenciones que destacaron. La primera fue la del profesor Hosomizu, él es-tuvo de acuerdo con el propósito planteado por el profesor Seiyama, pero argumentó que debió empezar con el caso donde la diferencia es 1 porque es más sencillo. El profesor Seiyama contra argumentó explicando que, aún siendo más difícil, el caso donde la diferencia es 3 es mejor para iniciar, porque condujo a los niños a ordenar las operaciones, as-

consideró que los casos donde la diferencia es 1 o 2 no son los más apropiados.

La segunda intervención estuvo a cargo del profesor Tsu-bota, quien fue más crítico. Él no estaba de acuerdo con la forma en que el profesor Seiyama condujo la actividad para lograr el propósito de la clase. Argumentó que la clase fue exitosa porque los niños ya sabían de la importancia de ordenar los casos, eso lo aprendieron en el primer grado. Recomendó al profesor Seiyama que si el propósito es que todos los niños encontraran el patrón, debió problematizar la situación de manera que los alumnos aprendan cómo encon-trarlo, no a que lo logren porque eventualmente uno de ellos observó que las operaciones estaban desordenadas. Indicó que si hubiera iniciado con el caso donde la diferencia es 5, el profesor podría decir al grupo que escogería a cinco alum-nos al azar para que escribieran cada uno una respuesta en el pizarrón, que así sería muy probable que las respuestas estuvieran en desorden, e incluso que algunas se repitieran. Esto induciría en los niños la necesidad de ordenar las opera-ciones y observar la “regla oculta” que trataban de encontrar: “si agregas 1 al minuendo y al sustraendo la diferencia no cambia”. Esta es una propiedad importante de la resta.

Volviendo al asunto de por qué les gusta a los niños la forma en que enseña el profesor Seiyama, una respuesta plausible es porque él acude a lo que los niños han aprendido previa-mente y esto les permite aplicar lo que saben para entender las ideas nuevas. Entender siempre es estimulante.

Geometría y Medición4

“hay algo que está mal”?El potencial de un libro de texto

bien secuenciado.

El desarrollo de esta sección se orientará por la siguiente pregunta:¿por qué el profesor Seiyama pensaba que los ni-

ños encontrarían el patrón?

Un año antes, cuando esos niños estaban en primer gra-do, el profesor Seiyama trabajó con ellos jugando con las “tarjetas de la suma”. Cada tarjeta tiene en una cara una suma y en la otra, el resultado.

En esa clase se dio un interesante intercambio de preguntas y -

cia de enseñanza los niños contestaron: “detrás del 4 está 2+2, 3+1 y 1+3”, en ese orden, “1+3” al último. ¿Podemos decir que los niños estaban considerando el orden en ese momento?

El profesor Seiyama preguntó a los niños cuál de las res-puestas “2+2”, “3+1” o “1+3” debería ir primero en la tarjeta “4”. Entonces los niños comenzaron a reconocer que hay un orden en las tarjetas y explicaron por qué “1+3” debería ir primero en la tarjeta del “4”. Encontraron esto observando verticalmente el arreglo y explicaron que primero deben ir las respuestas donde

los que empiezan con “3”. Posteriormente les pidió que en-contraran otras maneras para explicar usando el arreglo “1+1”, “1+2” y “2+1” que tenían en el pizarrón. Entonces ellos usaron los términos “horizontalmente” y “simétricamente”.

La clase continuó con pregun-

tas y respuestas similares hasta llegar al caso de la tarjeta con el “6”: “1+5”, “2+4”, “3+3” y “4+2”, sin embargo, les faltaba la tarjeta con “5+1”. Entonces el profesor Seiyama les preguntó por qué no habían incluido la tarjeta “5+1”.

Actividades

Explica cómo pudo haber sido la explicación que dieron los

niños para responder esa última pregunta.

En esta clase los niños no intentaron ordenar las tarjetas, ellos sólo contestaron que para la tarjeta con el “4” las sumas eran “2+2”, “3+1” y “1+3”. Debido a la secuencia de pregun-

orden de las tarjetas con la ayuda de los patrones que obser-vaban en el pizarrón. Las tres formas de explicación que ellos formularon están relacionadas con los patrones verticales, horizontales y diagonales que se observan en la imagen. Los niños relacionaron el arreglo diagonal con simetría y expre-saron que todos los arreglos presentan una bella estructura. El profesor Seiyama les dio tarjetas en blanco después de que reconocieron el patrón. Usando estas tarjetas pudieron explicar la estructura siguiendo los patrones que visualiza-ban. Los niños mostraron que habían entendido cómo exten-der los patrones, pero no el orden. En términos del Estudio de Clases, la atención estaba enfocada en cómo inducir la idea de orden mediante el arreglo de las tarjetas.

que los alumnos apreciaran la belleza del patrón y que razo-naran para encontrarlo mediante un arreglo ordenado de las tarjetas. Vale la pena destacar que los hallazgos del profesor Seiyama fueron incorporados en los libros de texto, esto se

Matemáticas para la Educación Normal). El profesor Seiyama pronosticó que si los alumnos usan esos libros de texto, seguramente aprenderán a arreglar las tarjetas para encontrar la propiedad de la resta que podemos enunciar de manera general como sigue: a-b=a+c-(b+c), donde a, b y c son números enteros.

Geometría y Medición 5

Esta generalización es la conclusión a la que puede llegar-

de primer grado (Tomo I) se dedican cuatro lecciones para que los alumnos trabajen con tarjetas y aprendan las venta-jas de ordenarlas, en el segundo grado (Tomo II) se dedica una lección que culmina con la propiedad antes mencionada para el caso particular a-b=a+1-(b+1). El profesor Seiyama construyó la secuencia de las preguntas que se incluyen en esas lecciones con el apoyo de las observaciones generadas durante el Estudio de Clases y los ajustes que hizo a su plan de clase con base en ellas. Considerando lo antes expues-

realizó previamente es la principal razón por la cual los niños

Fig.1

Fig. 2

Fig. 3

Geometría y Medición6

Geometría y Medición 7

Parte II Aprendiendo

a aprender

matemáticas

Si leemos los Tomos I a VI y establecemos las relaciones correspondientes entre los temas tratados en los distintos grados, es posible observar que se repiten más de una vez ciertas secuencias de enseñanza. Como veremos a conti-nuación, esas secuencias tienen el propósito de ayudar a los alumnos a que aprendan por sí mismos.

Hay tres propósitos centrales en la educación matemática de la escuela primaria en Japón: el primero, es promover el desarrollo de destrezas que son útiles para la vida diaria, y consiste en las destrezas matemáticas mínimas para enten-dernos con los demás. El segundo, es propiciar el desarrollo del pensamiento matemático, el cual será útil en la construc-ción de nuevos conocimientos y en la habilidad para formu-lar generalizaciones; este propósito está relacionado con el desarrollo de formas innovadoras para vivir. El tercer propó-

las secciones de “Geometría” y “Medición” (parte IV y V) se enfocan en el primer propósito. En la presente sección nos referiremos al segundo y tercer propósitos en el marco de las actividades de enseñanza que se presentan en los Tomos I a VI de la serie Matemáticas para la Educación Normal.

Geometría y Medición

aprendiendo por sí mismos?

Si los niños tienen el deseo de aprender ya están en el um-bral para empezar a aprender a aprender matemáticas por

curiosidad intelectual que los conduce a hacer preguntas que van más allá de lo que muestra el material de enseñanza o el profesor, si pueden formular conjeturas y buscan formas para validarlas, si se entusiasman cuando el profesor pregunta: “¿de qué otras maneras podemos hacerlo?”.

Para responder preguntas como esas los niños necesitan con-frontar en varias ocasiones tareas como las mencionadas en los renglones anteriores. Por ejemplo: si los alumnos han percibido a través de su experiencia escolar que “las matemáticas son la ciencia de los patrones” y que la actividad matemática usual-mente está relacionada con la formulación de generalizaciones, seguramente cultivarán el hábito de buscar regularidades que los conduzcan a proponer una generalización.

Los videos del profesor Seiyama muestran que es posible propiciar que los niños desarrollen su pensamiento matemá-tico, como el que exhibieron al decir que es necesario orde-nar las operaciones aritméticas en la búsqueda de un patrón. Si usamos libros de texto bien secuenciados y el profesor entiende el objetivo de aprendizaje, es posible desarrollar competencias asociadas a los grandes propósitos de la edu-cación matemática: actitudes favorables, emplear herramien-tas para el pensamiento y aplicar destrezas matemáticas.

Exploración del entorno desde la perspectiva de las matemáticas:

Actividades

Tomo I de la serie?

similitudes?

tomos de la serie?

En las páginas 14, 44 y 56 (Figs.1,2 y 3) se pide a los niños que dibujen para “hacer libros” de matemáticas usando sus propias ideas. Esta actividad propicia que los alumnos del primer grado desarrollen habilidades para ver el mundo real desde las matemáticas mediante la elaboración de dibujos que usan para expresar apropiadamente sus ideas.

Fig.1

Fig. 2

Geometría y Medición 9

En la página 44 los niños viven su primera experiencia a este respecto. Es conveniente que la tarea sea introducida por el profesor, de antemano se sabe que a los niños les gustará porque se trata de hacer dibujos y que disfrutarán presentando su trabajo al resto de sus compañeros. La opor-tunidad de ver y discutir el trabajo que hicieron los demás propicia que se genere una actitud de respeto entre ellos y esto los estimula para enfrentar exitosamente nuevos retos. Este es un método básico para que se comprendan y respe-ten unos a otros en el salón de clases, para que aprendan a escuchar a los demás y para que aprendan cómo actuar para ser escuchados.

En la página 44 el profesor empieza la clase recordando lo que han aprendido. Si los niños disfrutaron el trabajo que hicieron en la página 14, la página 44 les será más fácil por-que es su segunda experiencia. Entonces el profesor puede centrar su atención en las expresiones que usan los niños, por consiguiente, ellos recrean las dos formas de abordar la suma que se resaltan en esa lección. Si los niños aprendie-ron y disfrutaron del trabajo en las páginas 14 y 44, la acti-vidad de la página 56 les ofrecerá una tercera oportunidad que también disfrutarán. Si el profesor hace un breve repaso de la página 44, seguramente los niños querrán hacer por sí mismos la actividad de la página 56.

Esta secuencia se planeó para enseñarles a ver el mun-do en que viven relacionándolo con las matemáticas y pro-

dónde aplicar las matemáticas que aprenden en la escuela.-

temáticos (Estándares curriculares, Japón, 1947). Podemos encontrar tareas similares después de la multiplicación, en el Tomo II, Vol. 2, y después de la primera sección sobre la división, en el Tomo III, Vol. 2.

El mundo de las matemáticas:

y generalización

Actividades

92 del Tomo I?

-

nas en el Tomo I?

en los demás tomos de la serie?

Los asuntos que discutiremos aquí son similares a los que abordamos en la sección “Aprendiendo a aprender mate-máticas”. En la tarea 1 de la página 42 (Fig.4), se pide a los niños que recuerden las respuestas de ciertas sumas, en la tarea 2 se busca que los niños desarrollen destrezas para

que encuentren regularidades. Estas actividades se enmar-can en la hipótesis de que si los niños desarrollan destrezas

belleza de la estructura de la suma, de las formas equiva-lentes en que pueden expresar una suma y su resultado. En la página 52 aplican lo que han aprendido acerca de la suma para confrontar la operación de restar. Debemos notar que en estas actividades se muestra que la suma y la resta no dependen de las estructuras matemáticas que pue-den observarse en los arreglos de las tarjetas, razón por la cual los niños pueden extender los patrones que vieron en la página 42 y aplicar esos conocimientos en las actividades

las matemáticas se puede extender” y usan esa “extensión” en la página 92.

Fig.3

Fig. 4

Geometría y Medición10

los demás tomos?

En la lección “Multiplicación 2”, del Tomo II, Vol. 2, en cada

las tarjetas de la multiplicación. Esto conlleva el propósito de que los alumnos memoricen los resultados, como se hizo en los casos de la suma y la resta. También en la página 21 hay un juego con tarjetas para desarrollar destrezas en el manejo de esta operaciones. En la página 24 (Fig. 1) hay una tabla de multiplicación que los niños construyen usando la propiedad distributiva de la multiplicación, ahí se sugiere

allá de la del 5. Esta extensión en el conocimiento de las

de actividades. En la lección “Multiplicación 4” se presenta “el mundo de la tabla de la multiplicación”. La imagen de la página 40 (Fig.2) muestra la tabla simulada con monedas apiladas. El centro de gravedad de la pila de monedas es el centro de la tabla (5×5); entonces el peso total de las

cómo calcular el peso de las monedas. Los niños podrán apreciar la belleza de la estructura de la tabla de multiplicar

Actividades

Encuentra un tratamiento similar para la división en el

Tomo III y describe la belleza de la estructura que en ella

se observa.

Al revisar esas lecciones en los Tomos II y III se podrá apreciar a qué nos referimos con la expresión “el mundo de las mate-máticas”. Es un error pensar que el estudio de las matemáticas debe empezar con el análisis de situaciones del mundo real para modelarlas matemáticamente. Para que los niños aprecien la existencia “del mundo de las matemáticas”, las situaciones ma-temáticas son un mejor contexto que las situaciones del mundo real, porque es en las estructuras matemáticas donde se pueden

-cen procesos de generalización, esto es lo que permite extender el conocimiento matemático y estar mejor preparado para com-prender dónde y cuándo es necesario aplicarlo en situaciones del mundo real. Este tipo de habilidades son el paso previo a lo que en matemáticas se conoce como modelación.

Fig.1

Fig.2

Geometría y Medición 11

Aprendiendo matemáticas a partir

desarrollo del conocimiento matemático con comprensión

Actividades

Compara la secuencia de actividades en la lección “Suma

encontrar otros ejemplos de esto en los otros Tomos?

La discusión es muy parecida a la de la sección anterior. La se-cuencia de enseñanza en la lección “Resta (1)” es la misma que en las lecciones “Suma (1)”, “Suma (2)” y “Resta (2)”.

hicieron en el capítulo 2); por esto los niños no encuentran difícil hacer la traducción entre bloques y expresiones mate-máticas. Sin embargo, es necesario que el maestro se ase-gure que los niños aprendan cómo trabajar con los bloques, de otra manera muchos niños todavía sumarán contando uno por uno.

Si el profesor se limita a que los niños realicen las actividades de esas páginas contando uno por uno los elementos a sumar, no aprovecharán la oportunidad de aprender cómo traducir entre las dos formas de representación que hemos mencionado. En ese caso no están aprendiendo a sumar, sólo estarán contando. La tarea 3 de la página 37 (Fig. 4) es la primera en que se pide a los niños que calculen usando una expresión matemática, podrán completar fácilmente esta actividad si entendieron cómo compo-ner y descomponer los números en el Capítulo 2; si no, tendrán que traducir entre la tarea y la situación usando los bloques.

A continuación analizaremos la secuencia de enseñanza de la lección “Suma (1)”.

La lección de la página 34 (Fig. 1) se inicia pidiendo a los niños que describan verbalmente la situación que observan. En la página 35 (Fig. 2) se pide que describan la situación verbalmente y que después la representen usando los bloques que se les proporcionan. La opera-ción con bloques como dos conjuntos es una representa-ción de las acciones de componer y descomponer núme-ros que iniciaron en el Capítulo 2.

En la página 36 (Fig.3) la situación de operar con bloques se representa también mediante una expresión matemática; es hasta esta página que se induce cómo representar me-diante una expresión matemática las situaciones que han representado usando bloques. Aquí se les está enseñando a los niños cómo traducir de una forma de representación a otra. Debido a que la situación se ubica en un contexto sig-

conjuntos que pueden componer y descomponer (como lo

Fig.1 Fig.2 Fig.3

Fig.4

Geometría y Medición12

En la página 37 del Tomo I se pide a los niños que propon-gan un problema a partir de una situación que se les da. En esa lección puede observarse una secuencia de enseñanza como la siguiente:

En la lección “Suma (1)” se repite esta secuencia una vez más. Es hasta la

Fig. 1) que los niños abordan la situación “poner todos juntos”, en la página 39 los niños con-frontan la suma en la situa-ciones del tipo “agregar”.

En lo que sigue analizare-mos la lección “Resta (1)” y discutiremos cómo propiciar que los niños desarrollen habilidades para explorar el contenido matemático en

que los niños disfruten la clase y dan seguimiento a la forma en que van aprendiendo, es muy probable que los niños for-talezcan sus aprendizajes y los apliquen en las situaciones que se presentan en lecciones posteriores.

Actividades

veces la secuencia de aprendizaje que mencionamos en el

esquema anterior.

1. Lee en los Tomos II y III la secuencia de enseñanza en las

de esas lecciones en los Tomos II y III?

Extensión del mundo de las matemáticas:desarrollo de las matemáticas desde

las matemáticas

Actividades

1. En las páginas 7 y 11 del Tomo III, Vol. 1, hay situaciones

desde las matemáticas”. Haz la tarea 2 de la página 7 y lee

-

empeña la tarea 2.

2. Completa la tarea 2 de la página 11 y lee las páginas 12 a

3. Hay unas tablas que los niños deben completar en la página

59 del Tomo III, Vol. 1, y en la página 2 del Tomo VI, Vol. 2.

Explica el contenido de esas actividades.

En la sección “Conociendo el mundo de las matemáticas”, discutimos que la enseñanza de las matemáticas no nece-sariamente debe partir de problemas que se relacionan con la vida cotidiana, en esta sección abundaremos sobre esto.

Si los niños desarrollan pericia para calcular podrán percibir que las matemáticas estudian el comportamiento de patrones en la búsqueda de generalizaciones, entonces probablemente indagarán por sí mismos cómo funcionan los procedimientos para calcular, que usualmente se aprenden durante el proceso de extensión de la magnitud de los números y los cálculos aso-ciados a ellos. En la página 7 del Tomo III, Vol. 1, los niños ya saben sumar en la forma vertical con casos en que la suma de dos dígitos no sea mayor que 10.

Situación

Composición y descomposición

SituaciónRelato

Expresión

Cálculos

Mundo real:

situación

Mundo de las

matemáticas

En la tarea 2 de la página 7 (Fig.2) los niños realizan varias sumas en la forma vertical y se les pide que piensen cómo las realizaron. La pregunta “piensa cómo lo hiciste” parece aplicarse

-varse que mediante esta pregunta se está induciendo a los niños a que extiendan sus conocimientos sobre el cálculo de la suma

en el siguiente orden: Shigeru, Susumu, Takeshi, Satoko y Yu-kie. Este orden está relacionado con la descomposición de un

Fig.1

Fig.2

Geometría y Medición 13

número mediante la estimación anticipada de los resultados de las sumas parciales que ese cálculo requerirá. Lo que propone Satoko es en ese sentido, pero aparece un cero en las decenas. En la operación de Yukie la respuesta es mayor que 1000. Se debe notar que la tarea 2 tiene el propósito de preparar a los niños de acuerdo con sus estilos de aprendizaje.

En la página 59 del Tomo III, Vol. 2 (Fig. 4), se formulan preguntas similares para introducir la multiplicación de nú-meros con dos dígitos. Si los niños completan correctamente los espacios en blanco, las actividades que siguen les serán relativamente fáciles. También pueden observar tareas simi-lares en la página 2 del Tomo VI, Vol. 2 (Fig.5).

Actividades

1. Revisa la tarea 2 de la página 7, Tomo III , Vol. 1. Explica

de forma detallada la secuencia de actividades que ahí se

plantean en términos de lo que pueden aprender los niños en

cada actividad y en ellas en conjunto.

2. Revisa la página 2 del Tomo VI, Vol. 2. Explica detallada-

mente la secuencia de actividades que ahí se plantean en tér-

minos de lo que pueden aprender los niños en cada actividad

y en ellas en conjunto.

La secuencia para extender sus conocimientos sobre la

los niños, después se aborda la suma en forma vertical hasta llegar a sumas de números con tres dígitos, donde ninguna suma parcial es mayor o igual a 10. Posteriormente se ex-tiende a sumas que requieren descomponer y componer cier-tos números porque hay sumas parciales que son mayores o iguales a 10.

Al concluir la tarea 2 habrá maestros que puedan decir “ahora mis alumnos entienden mejor la suma, saben cuándo es necesario descomponer los números porque pueden anti-cipar qué tan grandes son algunas respuestas”. Si un maes-

eso, entonces puede repasar lo que vieron en las tareas 2 y 3 y pedirles que hagan de nuevo las tareas 5, 6 y 7. Si los niños completan esas tareas exitosamente la tarea 2 tendrá

Fig.3

Fig.4

Fig.5

Geometría y Medición14

Piensa cómo lo hiciste: desarrollo de ideas y su generalización

mediante representaciones formales

Actividades

recuadros en otras páginas desempeñando el mismo papel?

La instrucción “piensa cómo…” en los 11 volúmenes de la serie, corresponde al propósito central de una lección. Al ver la instrucción los niños saben que ése ese el tema principal que van a estudiar. Completar el recuadro no equivale a responder la tarea que se plantea, esa actividad introduce una extensión para irse aproximando a la formulación de generalizaciones. La instrucción “piensa cómo hiciste los cálculos” usualmente incluye posibles formas para calcular (convencionales y no convencionales) y varias formas de explicación mediante dis-tintas representaciones.

la calidad de los aprendizajes de sus estudiantes. Por esto es muy importante el trabajo que se desarrolle en las sec-ciones “Piensa cómo calcular”. Si los niños aprenden lo que se propone en estas secciones tendrán más recursos para enfrentar con éxito los retos no triviales que se incluyen en estos libros.

Debemos notar que la tarea de la página 26 es similar a la de la página 23. En la página 23 del Tomo V, Vol. 1, los niños responden preguntas cuya respuesta ya conocen, esta acti-vidad aparentemente sencilla los prepara para extender sus conocimientos sobre la multiplicación con números enteros al caso con números decimales. En otras palabras, los conoci-mientos previos permiten traducir un problema nuevo (multi-plicación con números decimales) a un problema que antes han resuelto (multiplicación con números enteros). Este caso es un buen ejemplo de lo que queremos decir con la expre-sión “extender los conocimientos”. En la página 23, cuando los niños responden con un número entero reconocen que están trabajando con la multiplicación, que es una operación que les es familiar. Si ellos responden con un número deci-

embargo, reconocerán por analogía lo que aprendieron con la multiplicación de números enteros.

En la página 26 hay un “diagrama de cinta”, un “recuadro en blanco” y un “diagrama de caja”. En el proceso de resolución del problema se muestra la relación entre su representación

(expresión matemática) y los cálculos que hay que realizar para resolverlos (diagrama de caja). Veamos dónde apren-dieron los niños acerca de esas representaciones antes del quinto grado.

Si los maestros reconocen la importancia de preparar a los alumnos para confrontar futuros conocimientos podrán aten-der este aspecto. Las secciones “Piensa cómo calcular” son una oportunidad para que los maestros hagan un recuento de lo que han aprendido sus alumnos previamente. En la pá-gina 26 se usan distintas representaciones para explicar el

que han asignado los alumnos a los números y las operacio-nes. Es necesaria la traducción entre esas representaciones para lograr un buen aprendizaje conceptual. Si los alumnos

-posible que puedan hacer la traducción entre las distintas representaciones. Sólo los alumnos que aprendieron en los grados anteriores a usar formalmente esas representaciones pueden emplearlas por sí mismos como herramientas para resolver problemas. Aun si estas representaciones están incluidas en el capítulo suplementario, los maestros deben

previamente han aprendido.

La sección “Piensa cómo calcular” es la preparación para lo que se tratará en el capítulo siguiente, el cual propone acti-vidades para extender lo que los niños previamente han es-tudiado. Los capítulos donde se extienden los conocimientos previos serán más difíciles para los niños si no se atendió cuidadosamente lo que hicieron en “Piensa cómo calcular”. Esta sección es un tipo de organizador avanzado en el sen-tido de Ausubel, no obstante, lo más determinante para que los niños puedan avanzar es que hayan aprendido bien lo que estudiaron en los grados anteriores. La investigación que se desarrolla en el marco del Estudio de Clases ha arrojado evidencias de que la mayoría de los profesores que se con-

-ción a las lecciones donde se prepara a los alumnos para los

Fig.1

Geometría y Medición 15

Uso de las representaciones como herramientas del pensamiento

Actividades

Veremos cómo construir la recta numérica proporcional.

Para iniciar, realiza las siguientes actividades:

-

2. Si repartimos equitativamente 5.7 litros de leche entre tres

Hay cuatro operaciones aritméticas, pero en el álgebra sólo se consideran dos operaciones. Esto se debe a que al intro-ducir los números negativos no es necesario distinguir entre la suma y la resta: a + - b = a - b ; y cuando se inicia el uso del inverso multiplicativo no es necesario distinguir entra la multi-plicación y la división: a=1

aa a × = 1

cinta o de segmentos permite representar esas operaciones formalmente en los libros de texto. Los siguientes diagramas muestran relaciones parte-todo.

La construcción que se mues-

como sigue:

llama “0” (cero) a su vértice.

ángulo y la longitud correspondiente a a en el otro lado.

marca la longitud b (con base en la unidad).a.

segmento cuya longitud es b.

lado del ángulo y llama a ese punto a × b. a × b es el

resultado de multiplicar a por b.

Si recuerdas lo que aprendiste en tus cursos de geometría podrás hacer la demostración que valida la representación geométrica del producto de dos números cualesquiera. Tiem-po antes que Descartes, el matemático italiano Galileo cons-truyó un “compás proporcional”.

Actividades

1. Usa el concepto de recta numérica proporcional para re-

2. Usa el concepto de recta numérica proporcional para re-

presentar los datos, y las relaciones entre ellos, en el proble-

ma “Si repartimos equitativamente 5.7 litros de leche entre

-cional es muy abstracta para los alumnos de la escuela primaria, sin embargo, debido a su utilidad didáctica, se introduce su uso en las lecciones sin intentar explicar cómo se construye. Se usa

II, Vol. 2, cuando se estudia la multiplicación; en las páginas 53

Hay al menos dos razones importantes para enseñar a los ni-ños a usar este tipo de representaciones: la primera razón es que son herramientas para el pensamiento, y la segunda, porque se familiarizarán con ellas y esto les preparará para entender su uso con mayor facilidad en los cursos posteriores a la primaria. Para propiciar que los alumnos razonen por sí mismos debemos dar-les las herramientas que les ayudarán en su futuro aprendizaje, los alumnos que aprendan lo que están estudiando en las leccio-nes que mencionamos en el párrafo anterior podrán hacer un uso

En los Tomos I a VI se emplean las expresiones matemáticas

-do al sistema de numeración de base 10, los niños usan esos diagramas y el material manipulable para construir sus propias ideas y producir respuestas, en otras palabras, los usan como herramientas para el pensamiento.

En los primeros grados de la educación primaria se usan

aditivas o sustractivas. En casos excepcionales se representa la diferencia en situaciones sustractivas. En los últimos grados se usan estas representaciones en las situaciones donde se involucran los conceptos de razón o fracción. Los niños pue-

frecuencia en los libros de texto, ellos empiezan a trabajar con esto desde el volumen 2 del Tomo II.

Una recta proporcional se cons-

truye aplicando conceptos de proporcionalidad, sin embargo, no es necesario explicar a los ni-ños esos conceptos porque el diagrama sólo se está usando aquí para preparar sus aprendizajes futuros. Por ejemplo, pode-mos proceder como sigue para representar geométricamente la multiplicación a × b = c a” como la unidad, si “b” es la longitud dada en términos de la unidad, la longitud del segmento “a × b” corresponde al producto “c”.

para explicar la representación geométrica de a × b. Los argumen-tos que se emplean para mostrar la validez de esta representación se basan en la teoría de la semejanza de triángulos.

Geometría y Medición16

Geometría y Medición 17

Parte III Resolución de

problemas: el gusto por

las matemáticas

Los profesores deben proponer tareas y hacer preguntas que propicien que sus alumnos aprendan por sí mismos, lo cual apoyará el desarrollo de su pensamiento matemático. Con

donde se abordan recursivamente los mismos procesos y for-mas de representación, esto proporciona fundamentos para que los alumnos sustenten las nuevas ideas matemáticas que se les proponen.

Geometría y Medición

La resolución de problemas se introdujo en los salones de clase de Japón siguiendo los principios que a continuación se describen:

Los maestros empiezan la clase planteando un pro-

blema que los estudiantes no han resuelto antes. En-

tonces los alumnos trabajan en equipo para encontrar

una solución al problema. Minutos después se pide a

los alumnos a que presenten sus ideas al grupo; el gru-

po discute lo que cada equipo propone, dando especial

atención a las formas de razonamiento interesantes y a

los conceptos matemáticos involucrados.

Stigler y Hiebert [1999] Cuando hablamos de métodos de enseñanza no nos refe-

rimos únicamente a la enseñanza de las destrezas básicas, sino también al “saber cómo”, “los qué” y los “por qué”, a

en el salón de clases. Este acercamiento no consiste sólo en hacer preguntas y guiar el razonamiento de los alumnos para que produzcan las respuestas que espera escuchar el maestro. Hatsumon

“preguntar en el contexto de la resolución de un problema”. Los profesores de educación primaria en Japón usan ese término en el Estudio de Clases cuando su propósito es “pro-piciar que los alumnos piensen por sí mismos”. Las clases orientadas al logro de este propósito se planean con especial atención. El video del Profesor Seiyama es un ejemplo de cómo se planean estas clases.

Las preguntas que se preparan no son necesariamente las mismas que se hacen durante la puesta en práctica de la clase, el maestro las ajusta o las cambia sobre la marcha dependiendo de lo que ocurre en el curso de la clase.

El profesor debe escuchar con mucha atención las ideas de sus alumnos y con base en ello decidir cuál Hatsumon es más adecuado para potenciar su razonamiento. El proceso descrito con anterioridad es un medio para evaluar la cali-dad de la enseñanza. La habilidad para autoevaluarse es de la mayor importancia en la formación de los maestros, tanto para su desarrollo profesional, como para mejorar la calidad de los aprendizajes de sus alumnos.

Es muy importante que los maestros elijan bien las pregun-tas que harán a sus alumnos en el contexto de resolución de problemas; las preguntas deben servir para dar retroalimen-tación al alumno, para que al contestarlas le sea evidente por qué lo que propone es correcto o incorrecto, para llevarlo más allá del punto al que ha llegado y vislumbre una posible generalización o una forma más ágil y elegante de resolver el problema. Si los alumnos se apropian del objetivo que persigue su maestro, reconocerán el papel de la situación problemática con relación al propósito de aprendizaje que se pretende alcanzar.

Las preguntas no deben conducir paso a paso a los alum-nos hasta que produzcan la respuesta esperada, en el Es-tudio de Clases las preguntas que hace el maestro son un aspecto que se discute a profundidad por los observadores. Isoda (2003) propone tres tipos de preguntas en la clase de matemáticas: el primer tipo corresponde a aquellas preguntas para potenciar el pensamiento matemático de los alumnos, que se formulan con la intención de desarrollar, reconocer, o reorganizar el conocimiento matemático de los alumnos, el método de resolución empleado y su pertinencia.

Este tipo de preguntas se emplea para ayudar a los niños a

una forma particular de pensamiento.

Geometría y Medición 19

El segundo tipo son las preguntas orientadas a cambiar las fases de enseñanza en el salón de clases, por ejemplo: al-gunas fases en la resolución de un problema son conducidas por el maestro y otras por los alumnos. La planeación de las preguntas para cada fase está relacionada con la “planea-ción del uso del pizarrón”, esto se discutirá más adelante. Para guiar a los niños a que se muevan a la siguiente fase el

El tercer tipo corresponde a las preguntas para favorecer que los niños aprendan a aprender matemáticas, y que se repiten recursivamente en cada clase. Son preguntas que conducen a los alumnos a pensar matemáticamente, por ejemplo: ¿cómo podemos ir más allá de lo que vimos?, ¿hay otras maneras de resolver este problema?, ¿pueden encon-trar cómo hacerlo más ágilmente?, ¿pueden encontrar cómo

-levancia de este tipo de preguntas, las empezarán a formular a sí mismos, y su maestro podrá reducir los tipos de Hatsu-

mon, porque los niños serán quienes hagan las preguntas retadoras (Isoda, M., 1997).

Actividades fructíferas en la resolución de problemas:

Actividades

1. Realiza la operación 37 × 3 = ____.

punto al que llegaste?

Un principio básico en la resolución de problemas es favore-cer que los niños extiendan su conocimiento matemático por sí mismos. La actividad con que se inició esta sección tiene el propósito de que indaguemos qué podemos desarrollar por nosotros mismos. Si pudiste extender esa actividad ya empe-zaste a aprender matemáticas por ti mismo.

Para propiciar que los niños aprendan matemáticas por sí mismos es necesario que les enseñemos cómo construir y desarrollar las ideas matemáticas. Parece que hay pocas personas que disfrutan de las matemáticas, que tienen un buen sentido numérico y saben cómo extender su conoci-miento matemático (dar el paso que sigue). Si se propone esta tarea a niños que “están matemáticamente bien nutri-dos”, seguramente podrán generar el siguiente paso.

Actividades

Realiza lo siguiente:

37 × 3 =

37 × 6 =

_×_ =

No hay problema si los niños no pueden imaginarse el si-guiente paso cuando analizan la operación 37 × 3. Si no pue-den avanzar por sí mismos se les puede sugerir que exploren con “37 × 6” y “37 × 9” y pedirles que traten de encontrar el siguiente paso. Si para los niños no es un problema realizar los cálculos, podrán notar algo interesante y empezarán a explicarse entre ellos lo que están observando.

Hay que dar a los niños la oportunidad de que generen ideas para proponer el siguiente paso. Si el maestro les da tiempo, algunos niños podrán encontrar algo interesante y espontáneamente lo mostrarán a sus compañeros y a su profesor. Es importante que el maestro escuche con aten-ción sus ideas y los aliente a continuar con expresiones sencillas como “¡eso está muy bien!”. Esto motivará a otros niños y continuarán explorando, eso se observará en el bri-llo de sus ojos. Si además se preguntan por qué ocurre lo que observan, estarán experimentando un aprendizaje con calidad, porque encontrar y explicarse las reglas que go-biernan un patrón numérico es una acción que está en el corazón de las matemáticas.

Geometría y Medición20

Tener curiosidad intelectual por desentrañar los “aspectos matemáticos misteriosos” es un buen punto de partida para que los niños vayan más allá de lo esperado y “den el si-guiente paso”, esto da lugar a situaciones que les ofrecen oportunidades para desarrollar su conocimiento matemático por sí mismos.

No debe ser motivo de preocupación si los niños no mues-tran interés ni curiosidad, pero el maestro debe tomarlo en cuenta seriamente, porque ese desinterés seguramente se debe a carencias en la enseñanza que previamente recibie-ron y es importante que el maestro subsane este problema. El momento presente es el mejor para prepararlos y que pue-dan dar solos “el paso que sigue”. Como antes se ha dicho, los niños disfrutan la clase de matemáticas cuando son cons-cientes de que están desarrollando su pensamiento matemá-tico. De ahí en adelante se preguntarán por sí mismos “cuál es el paso que sigue”. Por ejemplo, en situaciones similares

cálculos reconocerán la belleza del patrón numérico que es-tán explorando, podrán apreciar la belleza que está detrás de los aparentemente fríos cálculos aritméticos. Por supuesto, todo esto ocurrirá más fácilmente si los niños no tienen pro-blemas para calcular, por esto es muy importante que hayan desarrollado destrezas para calcular ágilmente.

Diferencias entre una tarea y un problema:

problematización

Actividades

Analiza las siguientes operaciones:

37 × 3 = 111

37 × 6 = 222

37 × 9 = 333

37 ×12 = 444

37×15 =

de 37 × 15.

los resultados.

guiar esta actividad con alumnos de la escuela primaria.

-

zar en esta actividad.

En el enfoque de resolución de problemas las tareas son presentadas por los maestros, pero se espera que sean los alumnos quienes hagan las preguntas y expliquen las

matemáticos que dan origen a esas tareas. Para distin-guirlo del problema original, llamaremos problemática al nuevo problema que se plantea cuando los alumnos pro-ponen “el siguiente paso”, el cual está relacionado con sus expectativas en el marco de su contexto de aprendizaje. La problemática no es igual al problema original, depende totalmente de las reacciones de los niños y con frecuencia se relaciona de forma directa con lo que previamente han aprendido. Si los alumnos cultivan el hábito de pensar por sí mismos a través de responder la pregunta: “¿cuál es el paso que sigue?”, entenderán mejor lo que están haciendo. Por eso es importante que el maestro mantenga el interés de los alumnos en la tarea y que espere a que sean ellos quienes empiecen a plantear nuevas expectativas. Por ejemplo, si los alumnos pronostican que el resultado que sigue es “555”, es conveniente que el maestro les pregun-te: “¿estás seguro?” “¿Por qué?” Usualmente los maestros son quienes asignan las tareas a realizar, pero es a través de las preguntas que plantea el maestro, que los niños ha-cen suyo el problema; en otras palabras, la “problemática” es una extensión del problema original que han planteado los alumnos. A este respecto, recomendamos enfática-mente que el maestro se proponga cambiar la actitud de sus alumnos si ellos creen que resolver un problema se trata sólo de obtener una respuesta, para propiciar el de-sarrollo del pensamiento matemático de los alumnos es de la mayor importancia que empiecen a proponer problemas por sí mismos, problemas que sean una extensión de los problemas que el maestro les propone. Si se les pregun-ta: “¿por qué crees que el siguiente resultado es 555?”,

Geometría y Medición 21

pueden responder: “porque los resultados anteriores son 111, 222, 333 y 444”, “porque hay un patrón”, “porque hice el cálculo”, etc. Si el profesor pregunta: “¿por qué?”, los niños tendrán oportunidad de desarrollar sus habilidades para argumentar. Cuando se pregunta: “¿estás seguro?”, dará lugar a que el alumno se cuestione a sí mismo para encontrar un fundamento claro para su respuesta. La for-ma en que se producen los resultados de esas multipli-caciones es un “misterio” que debe desentrañarse, como si al lanzar tres dados muchas veces mostraran todos el mismo número de puntos. Incluso antes de que los niños consigan hacer cálculos con lápiz y papel, pueden predecir

seguros que esa será la respuesta para “37x15”. Entonces, obtener la respuesta no es un problema que valga la pena resolver, lo valioso es explicar la causa de que “555” será la siguiente respuesta.

y cambios de representación

Actividades

37×6, 37×9, 37×12 y 37×15?

Para explicar este “hecho misterioso” puede ser útil un diagrama como el que se muestra a la derecha. En cada paso se agrega 3 al multiplicador (3, 6, 9, …). El producto se incrementa en 111, independientemente de que el multiplicador se incre-

representa la estructura de este patrón. Si los niños com--

ma muestra una relación funcional, aun si ellos todavía no conocen el concepto de proporcionalidad.

Es fructífero usar diagramas como éste para representar relaciones desde el primer grado. Si los niños están fami-liarizados con esas formas de representación el maestro puede hacer un diagrama en el pizarrón a partir de que los niños encuentran la relación entre los multiplicadores (3, 6,

--

proporcionalidad o el patrón que encontraron al multiplicar relacionándolo con sumas repetidas. A través de conocer la

explorar el concepto de proporcionalidad como antecedente para su posterior formalización.

Una vez que una explicación como la anterior es posible,

replanteándolo como sigue: “¿siempre que el multiplicador se incremente en 3, las respuestas se incrementarán en 111 y todos sus dígitos serán iguales?” Después podemos pre-guntar: “¿por qué en cada respuesta todos los dígitos son iguales?” Los lectores ya habrán adelantado que lo anterior es cierto sólo hasta que el multiplicador es 27, donde la respuesta es 999.

Esta actividad muestra la importancia de las preguntas que pueden formular los maestros y las representaciones que usan para favorecer que los alumnos piensen mate-máticamente. La representación de las relaciones mediante

tabla de multiplicar (que son múltiplos de 3).

Geometría y Medición22

La razón por la cual los dígitos del producto son iguales es que 37 × (3 × __ ) = 37 × 3 ×__ , y 37 × 3 = 111; así puede explicarse que resulta lo mismo en 111× ___ . Esta es una oportunidad para darse cuenta que es posible reconocer un patrón con base en el primer elemento.

Para los niños es interesante notar que pueden utilizar lo que han aprendido para entender nuevas ideas. Usar los conocimientos previos es uno de los aspectos más im-portantes en el razonamiento matemático. La representación

los argumentos en el caso que acabamos de analizar. Esta forma de representación permite comparar la relación entre expresiones matemáticas. Para desarrollar el razonamiento matemático es útil usar una representación para expresar las ideas a través de la visualización. La actividad que aquí analizamos da oportunidad para que los alumnos desen-trañen el “misterio” usando la propiedad asociativa de la multiplicación. Incluso si los alumnos no conocen esta propiedad, entenderán la relevancia de poder cambiar el orden en la multiplicación.

Extensión de las ideas previamente aprendidas

Actividades

El patrón de los dígitos idénticos termina después de 37 × 27.

-pezó a reconocer un patrón. En el caso de la actividad con la que inicia esta sección, el patrón es que los dígitos de las decenas y las centenas son iguales. No solamente eso, si uno observa cuidadosamente podrá notar que la suma de los dígi-tos de las unidades y los millares es igual al dígito de la dece-nas y al de las centenas, por ejemplo: en “1332”, 1+2=3. Esto

patrón produce una sensación de sorpresa en los alumnos, entonces el maestro puede preguntarles: ¿esto es cierto? ¿Se conservará este patrón de aquí en adelante? ¿Por qué?

A partir de este punto hay que hacer algunos cálculos, al multiplicar en forma vertical con lápiz y papel en lugar de su-mar 111, podemos observar por qué el patrón presenta ese comportamiento. En general, cambiar y agregar otras formas de representación es un buen recurso para encontrar nuevos elementos para formular una explicación.

Si analizamos que 37 × 36 = 37 × (3 × 12) = (37 × 3) × 12 = 111 × 12 = 111 × (10 + 2) = 1110 + 222, observaremos por qué los dígitos de las decenas y las centenas deben ser igua-les, y por qué estos dígitos son la suma de los dígitos de las unidades y los millares. Los dígitos idénticos se derivan de 37 × (3 × ___), asimismo, el hecho de que los dígitos de las decenas y las centenas sean la suma de los millares y el de las unidades del número que va en el espacio en blanco.

que se produce el nuevo patrón que observamos. Es intere-sante que este patrón haya surgido de otro que previamente

9” observamos que “0+9=9”. Observemos que 37 × 27 = 37 × (3 × 09) = (37 × 3) × 09 = 111 × 09 = 0000 + 999 = 0999, de esto tenemos que dos patrones aparentemente distintos, en realidad son el mismo. Pero aún no sabemos hasta dónde se

Geometría y Medición 23

presentará este patrón; cuando uno se propone disfrutar de las matemáticas en esta forma parece ser que este tipo de

Algunos matemáticos, como Devlin (1994), caracterizaron a las matemáticas como la ciencia de los patrones. En el marco de esa caracterización, completar una tarea debiera ir más allá de lo que esa tarea aparentemente exige. Cuando uno va más allá puede descubrir fenómenos interesantes, por ejemplo: la existencia de patrones (regularidades). Al examinar si un pa-trón se conserva bajo cualquier circunstancia, o sólo bajo cier-tas circunstancias, uno recrea o redescubre las matemáticas

-nes los alumnos aplican lo que previamente aprendieron y ex-perimentan una sensación similar a la que vive un matemático cuando descubre un resultado o resuelve un nuevo problema.

Desarrollo de la actitud para hacer matemáticas como un matemático

Actividades

¿Pudiste encontrar hasta dónde se extiende el patrón que se

-dable preguntarse: ¿qué sigue de esto? Si lo hiciste, ya estás desarrollando una actitud favorable hacia la exploración mate-

-

cultivar los métodos del pensamiento matemático.

En la página inicial de la Parte II se mencionó que hay tres propósitos prioritarios en la educación matemática de la escuela primaria en Japón: “el primero es promover el de-sarrollo de destrezas que son útiles para la vida diaria, que consiste en las destrezas matemáticas mínimas para enten-dernos con los demás. El segundo es propiciar el desarrollo del pensamiento matemático que será útil en la construcción de nuevos conocimientos y en la habilidad para pensar en general, este propósito está relacionado con el desarrollo de

cultivar valores y actitudes para la vida”.

En el marco de esos propósitos nos preguntaremos cómo podemos saber que los alumnos están aprendiendo por sí mismos. La respuesta inicial que planteamos es: “si los alum-nos muestran que tienen el deseo de aprender y que disfru-tan en la clase de matemáticas”.

y las razones por las cuales la resolución de problemas en un acercamiento promisorio para ayudar a que los alumnos aprendan a aprender matemáticas por sí mismos.

Geometría y Medición24

Las fases de enseñanza en el marco de la resolución de problemas pueden esquematizarse como sigue:

“Presentación del problema”

El maestro propone el problema, la problemática se de-sarrolla a partir de las nuevas ideas de los alumnos. La tarea simple es obtener la respuesta, a la cual se llega fácilmente si los alumnos cuentan las unidades cuadradas. La problemática consiste en aplicar la fórmula para calcu-lar el área del rectángulo en una situación nueva para los alumnos. La tarea principal del maestro es escuchar las ideas de los alumnos.

“Planeación y predicción de la solución”

los alumnos ya estudiaron y podremos observar que la pla-neación y predicción de la solución no es difícil. Particular-

-niendo el área total invariante.

El maestro sugiere algunas ideas a los alumnos que en-

en sí misma es parte de la problemática y es una buena oportunidad para enfrentar retos. El maestro no debe pro-porcionar la respuesta. Mientras camina entre las bancas

Presentación del problema

Planeación y predicción de la

solución

Resolución grupal /resolución

independiente

Explicación y discusión /

validación y comparación

Resumen/aplicación y

posteriores desarrollos

Participación del maestro

Presenta el problema sin hacer

explícito el objetivo de la clase.

Guía a los alumnos para que

reconozcan el objetivo.

Apoya el trabajo individual.

Guía la discusión con base en

el objetivo de la clase.

Estatus de los alumnos

Abordan la tarea pero no necesariamente conocen el objetivo de la clase.

Tienen expectativas, conocen el objetivo de la clase, reconocen

tanto los datos como las incógnitas, de qué se trata el problema y

proponen ideas para abordarlo .

Tratan de resolver el problema con las ideas que compartieron.

Establecen relaciones entre lo conocido y lo desconocido y tratan

alumnos proponen ideas, no debe esperarse hasta que todos los

alumnos den respuestas correctas, porque responder correctamente

no es el propósito principal de la clase. Si se dedica tiempo a esperar

a todos, los alumnos pueden perder sus ideas y decrecerá su

motivación para discutir las soluciones que se presenten.

Explican cada acercamiento y los comparan relacionando lo

conocido con lo desconocido. Se comunican para entender las

ideas de los demás considerando sus acercamientos. Valoran

el esfuerzo de los demás y reconocen que es una meta a lograr

mediante el trabajo en grupo.

Reorganizan lo que aprendieron durante la clase; valoran sus

logros, formas de razonamiento e ideas.

lección de la página 11, del Tomo IV, Vol. 2 (Fig.1).

Fig.1

Geometría y Medición 25

del aula, el maestro debe planear qué preguntas debe hacer a esos alumnos para ayudarlos a que expliquen más clara-

comparación”

El maestro pide a los alumnos que presenten al grupo sus ideas. Es conveniente que inicie planteando una idea senci-lla que escuchó de un alumno y avance hacia las ideas más generales y poderosas que los alumnos externaron. En la página 12 (Fig. 2) se sugieren varias ideas a este respecto.

En la página 12 se presentan cuatro ideas propuestas por los alumnos, no todas son correctas. Con base en esas ideas los alumnos pueden aprender a aplicar la fórmula del área del rectángulo mediante la composición y descompo-

-tenga invariante. En la tarea 6 los alumnos deben notar que la idea de Takeshi no se puede aplicar.

Esta fase es la más difícil, por lo que se sugiere considerar los siguientes niveles:

Nivel del novato: Generalmente los profesores noveles seleccionan una o dos ideas de las distintas soluciones que presentan los alumnos y piden que las presenten al grupo. En este caso los demás niños se sienten marginados.

Nivel del experto: Los maestros que tienen más experien-cia, y que están mejor preparados, propician que los alumnos den tantas respuestas como les sea posible y tratan de reto-marlas todas. Los maestros se mantienen atentos y recepti-vos a todas las ideas de los alumnos, alientan a los alumnos a que las presenten al grupo y ellos disfrutan esto. Sin em-bargo, no siempre es posible que puedan aprovechar cada

de ésta, el maestro presenta sus propias ideas sin conectar-las necesariamente con las de todos sus alumnos.

Nivel de resolución de problemas: El maestro anticipa un plan considerando la discusión que se dará en la clase, trata de conec-tar varias ideas con la problemática que desarrollarán los alumnos.

Nivel dialéctico: Si los alumnos avanzan bien, los maes-tros y los alumnos comparan varias ideas valiosas para el pensamiento matemático, como aplicabilidad, simplicidad,

trabajo el maestro está propiciando que sus alumnos disfru-ten escuchar las ideas de otros y presentar las suyas, las comparan y aprecian que la discusión de las ideas matemá-ticas es agradable y fructífera, ven en las matemáticas una fuente de conocimientos que les permite generar nuevas ideas. En este tipo de trabajo es importante que el maes-tro haga evidente en qué momentos de la clase se observan las características de aplicabilidad, simplicidad, generalidad,

profesor no borre lo que se registró en el pizarrón, porque

realizado en la sesión de aula. Este último aspecto se discu-tirá con mayor detalle en la siguiente sección.

Valorar las ideas es una componente clave en el desarrollo del pensamiento matemático, un documento para abundar en torno a

http://e-archive.criced.tsukuba.ac.jp/result_data.php?idx_key=1959

Fig.2

Geometría y Medición26

Planeación de la clase empleando el pizarrón

En la resolución de problemas es importante que los niños pasen al frente y presenten sus ideas. El resumen del trabajo lo hacen entre los alumnos y el maestro. Para propiciar que estas acciones ocurran, el maestro debe planear cómo usar el pizarrón para desarrollar su clase. A continuación, se muestra un ejemplo:

Actividades

Con base en la distribución de los espacios del pizarrón que

se muestra, diseña cómo usarías tu pizarrón para desarro-

llar una clase usando la lección de las páginas 11 y 12 del

Tomo IV, Vol. 2.

Este es un buen ejemplo del uso del pizarrón, sin embargo, es necesario considerar lo siguiente:

1. Al planear el uso del pizarrón el maestro debe anticipar las respuestas que los alumnos pueden formular con base en lo que han aprendido previamente. El pizarrón no debe ser el lugar para escribir las explicaciones del profesor, es el espa-cio para registrar las ideas de los alumnos y sus procesos de razonamiento. Por esta causa, el profesor debe asignar un lugar en el pizarrón donde ubicará la secuencia de preguntas.

2. El maestro debe considerar el potencial de las ideas de los alumnos con relación a la problemática y al propósito de aprendizaje. La tarea será apropiada sólo si satisface las expectativas respecto a la problemática que se anticipó y al propósito de la lección. Si la problemática y el propósito coin-ciden, el profesor podrá pedir a los alumnos que seleccionen

las mejores ideas que se presentaron. Con base en éstas el maestro puede resumir lo que se aprendió durante la clase.

3. El maestro debe considerar las ideas útiles de los alum-nos y la forma de representarlas para resumir la clase de

-comendamos enfáticamente que nunca se borre lo que está

4. Al usar de esta manera el pizarrón podemos compartir la interacción que se dio entre los alumnos y el profesor, las preguntas que se hicieron y las ideas que se plantearon. Para hacer claro este proceso el maestro puede usar “globos de texto” para visualizar el contexto en que se dieron las pregun-tas y su relación con las ideas que presentaron los alumnos.

5. El maestro debe tener en cuenta que los alumnos aprecian sus propias ideas y no es fácil que se desprendan de ellas

de la clase, cuando se les pide seleccionar las mejores ideas, muchos niños no eligen aquellas que otros propusieron. Para entender las ideas de los demás es necesario proponer tareas

pizarrón que se mostró en la sección anterior, se designó un espacio para “Ejercicios”, ahí pueden analizarse las ideas de Takeshi (tarea 6 de la página 12, Tomo IV, Vol. 2).

Lo que el maestro piensa

[Problema]

[Problemática]

Expresión matemática

Respuesta

¿Qué ideas?

Flujo de la lección Niños que participanComentarios de los niños

Resolución autónoma Resumen

[Ejercicios]

¡Lo que conocen!

¡Por encontrar!

¡Seleccionen!

Hoja de presentación 1

Hoja de presentación 4

Hoja de presentación 2

Hoja de presentación 5

Hoja de presentación 3

1. Presentación del problema

4. Argumentos y comparación

5. Resumen

3. Resolución autónoma

2. Predicción de la solución

Tarea que presenta el maestro

Generar la problemática que será el propósito de

la lección.

Registrar las preguntas en orden para generar

la problemática.

Expresiones verbales y matemáticas que plantean los niños para representar

el problema que corresponde a la problemática.

El resumen se forma con las soluciones a la

problemática o a las ideas que se generalizaron.

¿Qué tipos de soluciones se presentarán para la tarea? ¿En qué orden se harán las

preguntas a los niños? ¿En qué orden se les pedirá que presenten sus ideas? ¿Qué se

discutirá? ¿Qué idea se generalizará?

pistas se remarcan en los niños para que escriban un resumen

posterior?

Oportunidades que crea el maestro para que los

niños formulen conjeturas, expresiones matemáticas

y respuestas.

Ayudar a los niños al ir recorriendo el salón

Respuestas a ¡Lo que conocen! o al Resumen

Geometría y Medición 27

La distribución de espacios en el pizarrón que se muestra es sólo un ejemplo, el maestro debe planear cómo usar el pizarrón dependiendo de los aspectos que considere para anticipar las reacciones de los alumnos; la planeación del uso del pizarrón es

el maestro toma durante el curso de la clase. También debe an-ticiparse cómo se usará el pizarrón para organizar las fases del proceso de resolución de problemas. En síntesis, no debe inten-tar generalizarse el ejemplo que mostramos para la distribución de espacios en el pizarrón. Esa distribución debe adaptarse de acuerdo al contenido de enseñanza, al propósito de aprendizaje y a las acciones de los alumnos. La planeación del uso del pizarrón proporciona recursos importantes para la toma de decisiones con base en la evaluación que el maestro hace del desarrollo de su clase. Por último, es necesario destacar que en el pizarrón no puede faltar un espacio para registrar la secuencia de preguntas que ha anticipado el profesor, esas preguntas son el vehículo que determinará en gran medida las acciones que ocurran en la clase.

Actividades

Diseña un plan de clase para el cuarto grado. Planea cómo

usar el pizarrón para conducir la clase usando la lección de

y

secuencia de preguntas que harás, las respuestas que creas

que darán los alumnos y las preguntas que harás para guiar-

los hacia la consecución del propósito de aprendizaje.

Nota que hay una barra vertical al lado de algunas actividades, esta barra indica que son actividades enmarcadas en la reso-lución de problemas, la barra también representa la instrucción “Piensa cómo hacerlo”. Esta instrucción es el objeto central de esta clase. Estas lecciones se presentan en dos páginas, de ma-nera que los alumnos vean ambas al tener el libro abierto. En la página de la derecha se sugieren varias respuestas. Esto hace obvio que el propósito de la clase no es obtener la respuesta, sino la sección “Piensa cómo hacerlo”, el maestro debe dar énfasis a que los alumnos atiendan esa instrucción. En las lecciones hay “globos de texto” que sugieren ideas o preguntas interesantes a los alumnos. Por ejemplo, la tarea 5 de la página 11 es acerca

sólo conocen la fórmula para calcular el área de un rectángulo. “¿Cuántos centímetros?” es la tarea inicial y “piensa cómo ha-cerlo” es el propósito principal, si los alumnos se plantean “puedo calcular el área si…” ya comprendieron el propósito de la clase. Todas las respuestas que se sugieren parecen ser apropiadas para la tarea 5, el maestro debe señalar que la composición y

alumnos confronten el reto de resolver la tarea 6, ahí deben reco-nocer que de las ideas que se sugieren algunas son aplicables y otras no, la idea de Takeshi no funciona para la tarea 6. Entonces los alumnos deben revisar lo que hicieron en la tarea 5 y aprende-rán cuando una idea es aplicable o no. El libro de texto presenta una secuencia de enseñanza que conduce a formalizar las ideas a través de extender la experiencia que han tenido al componer y descomponer números y no se intenta aplicar la fórmula general desde el principio. Mediante esta secuencia los alumnos tienen la oportunidad de valorar cada idea y el maestro les debe orientar para que desarrollen su pensamiento matemático por sí mismos.

Fig. 1

Fig.2

Geometría y Medición

Actividades

Diseña un plan de clase para el primer grado. Planea cómo

usar el pizarrón para conducir la clase usando la lección de

y

-

cia de preguntas que harás, las respuestas que creas que los

alumnos darán y las preguntas que harás en concordancia

para guiarlos hacia la consecución del propósito.

Como señalamos antes, la barra vertical al lado de una acti-vidad indica que ésta corresponde al enfoque de resolución de problemas y que el objeto central de la lección es “Pien-sa cómo hacerlo”.

La tarea en la página 77 es encontrar el número de niños, antes de esto, los alumnos han aprendido cómo componer y descomponer los números, la suma y resta hasta 10 y los

números hasta el 20. “¿Cuántos hay?” es la tarea inicial y “Piensa cómo hacerlo” es el propósito mayor de la lec-ción. Los alumnos pueden contestar de inmediato porque ya pueden contar, lo que se espera es que se pregunten cómo pueden formar un grupo de 10. Si ellos hacen esa pregunta han logrado el propósito de la clase. En la pági-

sugeridas son apropiadas para la tarea 1 pero el objeto de la clase es “Piensa cómo hacerlo”, en este caso, “cómo ha-cer un grupo de 10”. Entonces ellos discuten cómo lograrlo como parte del proceso para hacer el cálculo que se les pide, aquí deben aplicar su experiencia en la composición y descomposición de números. El libro presenta una secuen-cia de enseñanza que se basa en lo que los alumnos han aprendido antes. Esto indica que esta clase está orientada a prepararlos para su futuro aprendizaje.

Fig.1

Fig.2

Geometría y Medición 29

Actividades

Diseña un plan de clase para el segundo grado. Planea cómo

usar el pizarrón para conducir la clase usando la lección de

y

-

cia de preguntas que harás, las respuestas que creas que los

alumnos darán y las preguntas que harás en concordancia

para guiarlos hacia la consecución del propósito.

Como señalamos antes, la barra vertical al lado de una acti-vidad indica que ésta corresponde al enfoque de resolución de problemas y que el objeto central de la lección es “Piensa cómo hacerlo”.

La tarea 3 de la página 31, Tomo II, Vol. 1, consiste en encontrar el número de libros. Antes de esto, los alumnos ya conocen los números hasta el 1000, las representaciones del sistema de numeración de base 10 con bloques y un pri-mer acercamiento a la forma vertical de la suma en el caso en que todas las sumas de los dígitos son menores que 10, es decir, no es necesario descomponer números. “¿Cuán-tos hay?” es la tarea original y “Piensa cómo hacerlo” es el objeto principal de la clase. Los alumnos pueden encontrar la respuesta usando los diagramas de bloques, lo que se les está pidiendo es que apliquen lo que aprendieron antes, se ha logrado el objetivo de la clase si los alumnos se dan cuenta que es necesario descomponer algunos números y que tienen que pensar cómo pueden usar esto en la forma vertical de la suma. La página 32 sugiere varias soluciones usando la forma vertical. Todas las respuestas sugeridas son correctas para la tarea 3, pero el propósito de la clase es “pensar cómo hacerlo”. Los alumnos discuten sobre las distintas opciones sabiendo de antemano que son correctas todas y el maestro introduce la forma convencional con la ayuda de los diagramas de bloques. La lección muestra la secuencia para formalizar las ideas matemáticas y se abor-

esta secuencia los alumnos tienen la oportunidad de apren-der por sí mismos.

Fig. 1

Fig. 2

Geometría y Medición30

Actividades

Diseña un plan de clase para el tercer grado. Planea cómo

usar el pizarrón para conducir la clase usando la lección de

y -

secuencia de preguntas que harás, las respuestas que creas

que darán los alumnos y las preguntas que harás en con-

cordancia para guiarlos hacia la consecución del propósito.

Como señalamos antes, la barra vertical al lado de una activi-dad indica que ésta corresponde a la resolución de problemas y que el objeto central de la lección es “Piensa cómo hacerlo”.

La tarea 1 de la página 45, Tomo III, Vol. 2, consiste en en-contrar el número de bolsas. Antes de esta lección los alumnos han estudiado la división sin residuo, la cual incluye la noción de la multiplicación como inversa de la división y el reparto uno a uno de los objetos hasta agotarlos. “¿Cuántos hay?” es la tarea original y “Piensa cómo hacerlo” es el objeto principal de la clase. Los alumnos pueden contestar mediante la simple inspección de la ilustración, los “globos de texto” sugieren que hay que producir una expresión matemática que represente los datos y sus relaciones en el problema, si los alumnos pro-ponen esto se ha alcanzado el propósito de la clase.

La página 46 sugiere varias soluciones mediante diagramas y expresiones matemáticas. Todas las respuestas sugeridas son apropiadas para resolver el problema pero la discusión debe centrarse en el residuo y su tamaño, esto se resalta en las expresiones matemáticas que se sugieren. La lección muestra la secuencia de enseñanza para formalizar las ideas

de esta secuencia los alumnos tienen la oportunidad de valo-rar cada idea y el maestro debe orientarlos para que desarro-llen su pensamiento matemático por sí mismos.

Fig.1

Fig.2

Geometría y Medición 31

Actividades

Diseña un plan de clase para el quinto grado. Planea cómo

usar el pizarrón para conducir la clase usando la lección de

y

-

cia de preguntas que harás, las respuestas que creas que da-

rán los alumnos y las preguntas que harás en concordancia

para guiarlos hacia la consecución del propósito.

Como señalamos antes, la barra vertical al lado de una actividad indica que ésta corresponde al enfoque de resolución de proble-mas y que el objeto central de la lección es “Piensa cómo hacer-lo”. Adicionalmente, el libro incluye una sección titulada “Piensa cómo hacerlo”. Esta sección tiene como propósito preparar a los alumnos para el capítulo siguiente que se enmarca en la resolución de problemas. Algunas veces los alumnos olvidan lo que han aprendido antes y en algunos casos el profesor del grado anterior no se aseguró que se apropiaran adecuadamen-te del conocimiento necesario para abordar los contenidos del grado siguiente. La sección “Piensa cómo hacerlo” se incluye para prevenir que se presenten estos casos, en ella hay “globos de texto” que sugieren ideas para los maestros y los alumnos. Los maestros deben hacer preguntas apropiadas para que los alumnos aprovechen lo que se sugiere en los “globos de texto”.

La tarea de la página 23 del Tomo V, Vol. 1, prepara la extensión de la multiplicación con números enteros a la multiplicación con números decimales. Para hacer esto los alumnos tienen que re-

los conocimientos que antes adquirieron. Al inicio la tarea consis-te en completar el recuadro en blanco, antes de esto los alumnos han aprendido algunas cosas sobre los números decimales pero no cómo multiplicar o dividir con ellos. A través de completar los recuadros en blanco los alumnos pueden extender por su expe-riencia con números enteros al caso de los números decimales y preguntarse cómo calcular usando números decimales. En la página 24 se sugieren varias formas de respuesta con base en lo que antes han aprendido acerca de los números enteros. En la si-guiente lección aplicarán esas ideas para el caso de los números decimales. Dado que ya obtuvieron las respuestas en el capítulo anterior, el objetivo principal es enfocarse en “Piensa cómo hacer-lo” en el contexto de la resolución de problemas.

Fig.1

Fig.2

Geometría y Medición32

Actividades

Diseña un plan de clase para el quinto grado. Planea cómo

usar el pizarrón para conducir la clase usando la lección de

y -

secuencia de preguntas que harás, las respuestas que creas

que darán los alumnos y las preguntas que harás en con-

cordancia para guiarlos hacia la consecución del propósito.

Como antes se ha señalado, la barra vertical al lado de una actividad indica que corresponde a resolución de problemas y que el objeto central de la lección es “Piensa cómo hacer-lo”, los alumnos del sexto grado ya están familiarizados con esta secuencia de enseñanza y tienen claro que encontrar la solución no es el objeto central de la lección, sino que

alumnos deben haberlas comprendido. Ya saben que en la siguiente página encontrarán varias soluciones y globos de texto en los que se les sugieren ideas interesantes. Saben que ellos deberán analizar esas ideas y producir otras ideas propias. Para que esto ocurra los maestros deben haber anti-cipado qué preguntas pueden orientar mejor el desarrollo del pensamiento matemático de los alumnos.

El propósito de la tarea 1 de la página 53, Tomo VI, Vol. 1, es introducir la noción de volumen, no cómo calcular el volumen. Los alumnos ya conocen algunas medidas de ca-pacidad, como litros y decilitros, y cómo calcular áreas. La tarea se centra en la actividad de comparar, primero median-te comparación directa, posteriormente se hacen compara-ciones indirectas usando unidades arbitrarias y por último, usando unidades convencionales. Los alumnos que han ve-nido trabajando con los volúmenes anteriores están familiari-zados con esta secuencia. Se recomienda que los maestros hagan estas comparaciones acudiendo a las longitudes y al

completar de la página 54 se consideran las cuatro formas de comparación que mencionamos en este párrafo. En el caso de la idea de Satoshi la comparación acude a la noción de “la parte que queda”, la cual puede tomarse como unidad para medir ambos objetos. La unidad de volumen no se limita sólo al caso de las unidades cúbicas, pero se da preferencia a la unidad cúbica para realizar los cálculos.

Fig.1

Fig.2

Geometría y Medición 33

Una útil lista de cotejo para planear la clase

Actividades

Toma como referencia cada una de las categorías que se mencionan en la lista que se muestra a continuación para analizar las páginas 11 y 12 del Tomo IV, Vol. 2. Indica qué actividades de esas páginas se pueden asociar a las categorías que se mencionan en la lista, si una categoría no puede aplicarse elige NA.

(1) Presentación del “problema” para inducir que se genere la “problemática”.

(2) Ubicación del planteamiento del problema en el contexto cotidiano o el contexto matemático que es de utilidad para el niño.

el propósito de la clase del día.

(4) Anticipa los métodos de resolución y la solución.

Actividad NA

(1) Ayuda a los niños a que apliquen lo que previamente han aprendido.

(2) Anticipa las respuestas de los niños o lo que pueden pensar.

(3) Anticipa los tropiezos de los niños, sugiere ideas para ayudarlos a que avancen por sí mismos.

(4) Propicia que los niños solucionen los problemas comprendiendo la importancia de la “representación” (escritura)” en la resolución.

(5) Pide a los niños que escriban una solución usando una representación que les permita explicar.

(1) Propicia el proceso de aprender cómo desarrollar el conocimiento matemático.

(2) Propicia que los niños expresen su satisfacción por lo que han experimentado.

(3) Resume los logros respecto al propósito de la lección.

(1) Anticipa distintas ideas de solución de los niños considerando el orden de su posible ocurrencia en la clase.

(2) Privilegia la elaboración de los niños sobre la explicación del profesor

(3) Escuchar y seleccionar lo que los niños murmuran para conducir la discusión (desde el punto de vista de la problemática o el propósito).

(4) Considera las intervenciones de los niños que se pueden derivar en explicaciones comprensibles.

(5) Propicia el desarrollo de la capacidad de los niños para escucharse y entenderse unos a otros.

(6) Usa la “problemática” para que generalicen y se alcance el objetivo de la sesión.

(7) Elaboración y manejo de los argumentos de los niños.

Actividad NA

Actividad NA

Actividad NA

Esta lista de cotejo incluye condiciones deseables para una bue-na práctica en el enfoque de resolución de problemas. La lista fue pensada para ayudar al maestro a preparar mejor sus interven-ciones en la clase cuando trabaja con lecciones que se ubican en el marco de la resolución de problemas. En el contenido de la lista se asume la premisa de que este tipo de lecciones deben ayudar a los alumnos a que aprendan a aprender matemáticas por sí mismos. Los maestros pueden usar esta lista para revisar su plan de clase y mejorarlo.

Esta lista fue tomada de: Isoda, M., Olfos, R. (2009). El Enfoque de Resolución de Problemas. En la Enseñanza de la matemática a partir del estudio de clases. Edi-

(Puede descargarse libremente http://www.criced.tsukuba.ac.jp/renkei/msa/)

Geometría y Medición34

Una lista de cotejo para recopilar las impresiones de los alumnos

Consideramos que las habilidades para la comunicación verbal y escrita son de vital importancia para el desarrollo integral de los alumnos y su formación como ciudadanos productivos. A este respecto, a continuación se presenta una lista de cotejo que permite que los alumnos se autoevalúen, esta lista ha mostrado ser útil para que los maestros(as) comparen las impresio-

de este cotejo es que los maestros(as) que atienden de 4º, 5º o 6º grado cuenten con un instrumento para retroalimentar los resultados de su clase.

Capacidad para tomar notas Capacidad para escuchar

y hacer preguntas

Capacidad para hablar

Colorea en amarillo el número de estrellas que consideres adecuado

Entre más estrellas, el nivel es más alto

Capacidad para tomar notas para resumir tus razonamientos

Nivel 0 Colorea el círculo si tomas notas sistemáticamente.

Qué tan bien utilizas tus notas. Tu capacidad de copiar correctamente lo que se escribe en el pizarrón.

Tu capacidad para registrar tus pensamientos con palabras, dibujos y diagramas.

Tu capacidad para resumir usando el orden lógico de las expresiones “en primer lugar”, “después” etc.

Tu capacidad para corregir tus ideas equivocadas cuando escuchas las

presentaciones de tus compañeros.

Tu capacidad para resumir tus pensamientos registrando sólo las palabras clave. Tu capacidad para agregar las buenas ideas aportadas por tus compañeros.

Tu capacidad para escribir claramente con suposiciones y perspectivas, anotando razones y fundamentos.

Capacidad para hacer correcciones al comparar tus pensamientos con los de tus compañeros.

Los métodos para recabar las impresiones de los niños des-pués de una clase fueron desarrollados para obtener eviden-cia de la efectividad de las prácticas de enseñanza desde el

la práctica de enseñanza en el aula de matemáticas. Este tipo de evaluación no se relaciona con el propósito de la clase, más

bien se relaciona con la forma en que los niños perciben cómo se intenta enseñarles el contenido de una lección y cómo se desempeñan en la clase en general. Lo que incluye esta lista de cotejo está lejos de ser un instrumento estandarizado, se desarrolló teniendo en mente el logro de los tres grandes pro-pósitos de la educación matemática de la escuela primaria que se mencionaron anteriormente.

Geometría y Medición 35

Capacidad para tomar notas para resumir tus razonamientos

Nivel 0 Si escuchas sistemáticamente para hacer preguntas colorea el círculo.

Sabes escuchar lo que otra persona está diciendo.

Sabes expresar tus puntos de acuerdo y desacuerdo.

Sabes escuchar lo que está diciendo otra persona desde que inició hasta que concluyó.

la forma en que tú piensas.

Tomas nota de los puntos que no entiendes y haces preguntas.

Escuchas los puntos expuestos por otros y tomas nota de todo lo que tú consideras necesario.

Formulas preguntas a la persona que está haciendo una presentación, de modo que lo que está comunicando sea más claro para ti.

Capacidad para hacer presentaciones

Nivel 0 Colorea el círculo si consideras que en general haces tus presentaciones ante la clase correctamente.

Tu capacidad para hablar con claridad y usar correctamente el lenguaje.

Tu capacidad para hablar usando expresiones que articulen tu discurso, como “en primer lugar” o “luego”.

Tu capacidad para hablar y dar información usando diagramas, resúmenes y materiales manipulables. Tu capacidad para presentar verbalmente con claridad la conexión entre “lo que has entendido” y “las razones”.

Tu capacidad para hablar de manera que quienes escuchan puedan entender.

Tu capacidad para hablar considerando lo que otros han dicho.

El contenido de la lista pretende incluir las destrezas y habi-lidades que los alumnos requieren para su aprendizaje en el salón de clases. Mediante la información que proporcionan es-tas listas los alumnos comparten libremente con sus maestros cómo se ven a sí mismos en un momento dado. Esta relación se puede apreciar en el número de estrellas que los alumnos se auto asignan. Cada vez que los alumnos completan una de estas listas se les pide que tengan en mente la forma en que quisieran verse en el futuro. Generalmente ellos piensan que el siguiente paso es mejorar y esto les estimula para desarro-llar actitudes positivas respecto a sus aprendizajes.

Esta lista fue tomada de: Isoda, M., Olfos, R. (2009). El Enfoque de Resolución de Problemas. En la Enseñanza de la matemática a partir del estudio de clases. Edi-

(Puede descargarse libremente http://www.criced.tsukuba.ac.jp/renkei/msa/)

Geometría36

Geometría 37

Parte IV

Geometría

Geometría38

Poliedro. Sólido geométrico limitado por planos.

Prisma. Es un poliedro en el el que dos de sus caras son polígonos iguales situados en planos paralelos, y sus otras caras son paralelogramos.

Cilindro. Sólido limitado por

es cilíndrica y dos son circu-lares planas y paralelas.

Esfera. Sólido limitado por

sus puntos equidistan de un punto interior llamado centro.

Triángulo. Figura cerrada cuyos límites son tres rectas.

Cuadrilátero. Figura cerra-da cuyos límites son cuatro rectas llamadas lados.

Paralelogramo. Es un cua-drilátero cuyos lados opues-tos son paralelos.

Rectángulo. Paralelogramo cuyos ángulos son rectos.

Rombo. Paralelogramo cu-yos cuatro lados son iguales.

Cuadrado. Paralelogramo cuyos ángulos son rectos y sus cuatro lados tienen la misma

-ce también a la clases de los rectángulos y los rombos.

Círculo. Figura plana limita-da por una curva cerrada cu-yos puntos equidistan de un punto interior llamado centro.

En las páginas 60 a 63 del Tomo I de Matemáticas para la Educación Normal se plantea el tema

En las imágenes que se presentan en la página 60 (Fig. 1

sobre cartoncillo (Fig. 2 -

tricos correspondientes. La estrategia didáctica de esta lección consiste en pasar del mundo tridi-

mensional al bidimensional.

En la págnina 63 (Fig. 3

http://www.mat.uson.mx/depto/diplomado/secundaria/lecturas.pdf

Fig.1

Fig.2 Fig.3

Geometría 39

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1.

2. -

sarrollos planos.

3.

-

4

5

6.

7.

8.

9.

-

10. cm cm.

11.

a)

d)

g)

m)

p) q) r)

n)

k) l)

i)

o)

b)

e)

c)

f)

Geometría

En la página 78 (Fig. 1 -

-

-

-

similar al modelo.

En la página 80 (Fig. 2

rectos de base rectangular. Los poliedros se

-

liédrica que los alumnos conocen. Luego se

-

regular. Cabe destacar que no se usan las

denominaciones matemáticas de estas for-

Al explorar estas páginas los alumnos ponen en acción va-rias capacidades, entre éstas, aquellas relacionadas con la habilidad de visualización.

La actividad de visualizar

1. Interpretación de la infor-

2. Procesamiento visual.

La interpretación de informa-

al proceso de comprensión e interpretación de las represen-taciones visuales, que implica extraer la información que contienen las imágenes.

El procesamiento visual hace referencia a la interpretación

imágenes, o bien al proceso de transformación de unas imáge-nes en otras.

es aquella que se expresa por medio de imágenes.

Puede observarse que am-bos procesos de pensamiento están presentes cuando los alumnos se involucran en lle-var a cabo las actividades de estas páginas.

1. Todas las imágenes deben ser comprendidas e interpre-tadas con base en lo que se

además, debemos tener pre-sente que la mayoría son imágenes planas que evocan formas tridimensionales.

2. Por otro lado, en la última imagen plana hay la indica-ción de completarla para que, al imaginar su transformación, conforme una caja tridimen-sional. Esto se ha denominado como procesamiento visual.

Fig.1

la página 80 como para los prismas de la

Fig. 3 -

lo que se pregunta. En el caso de la segunda

Fig.2

Fig.3

Geometría

Actividades que se sugieren para los futuros docentes

1.

2.

armar el dodecaedro.

3.

4.

Geometría42

Los cuerpos geométricos existen en la realidad o pueden concebirse mentalmente y están

--

pacio, por lo tanto cuentan con tres dimensiones: alto, ancho y

polie-dros o cuerpos redondos. Los cuerpos redondos son aquellos que tienen al menos una de sus

curva. Entre los más conocidos

es-fera -

cerrada cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado

cono recto es un sólido de re-

de uno de sus catetos. -

do por el otro cateto se denomina base y al punto donde

Un cilindro es la super-

puntos situados a una

del cilindro.

toro

exterior coplanaria (que está en su plano y no la corta). La pala-bra “toro” proviene del vocablo en latín torusen castellano es “bocel” o “mu-recillo”, que se trata de una mol-dura redondeada de la basa, con

círculo -trico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto

plano que se encuentran dentro

ambos conceptos están relacio-

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1

en geometría.

2.

3. -

-

4.

-

-

-

-

-

-

Fig. 1

-

Fig. 2)

Fig. 1

Fig. 2

recto es

de

do p

círculo

Geometría 43

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1.

2.

Fig.1

-

Fig.1 -

El círculoplana que está limitada por

El círculo comparte con la -

tos principales: el centro, el radio, el diámetro, el arco.

circunferencia es el -

tos de un plano que equi-

coplanar llamado centro.-

nea curva, plana y cerrada,

por los puntos que están en -

rencia; es decir, la circun-

círculo.

Círculo

radio

arco diámetro

centro

Geometría44

-

Fig. 1

-

-

-

Fig.2

Fig. 1

Fig. 2

El círculo comparte con la -

Centro: el punto interior equidistante de todos los

Radioel centro con un punto cual-

Diámetro -mento que une dos puntos de

-mente pasa por el centro).

Cuerda-

máxima son los diámetros. Recta secante: corta a la

Recta tangente: toca a la cir-

Punto de tangencia: el pun-to de contacto de la recta tan-

Arco: -líneo determinado por dos puntos que pertenecen a la

Semicircunferencia: cada uno de los dos arcos delimi-tados por los extremos de un diámetro.

cuerda

secante

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1

2.3. 4.5.6.7.

8.9.10. -

Geometría 45

Geometría46

La siguiente fórmula es un modo de ver la construcción conceptual que se desarrolla en estas páginas:

1. Se plantea un problema

2. La solución conduce a conceptualizar algún objeto geométrico o relación entre

3. Se presentan casos que ilustran el concepto que se está construyendo, junto con los casos que no satisfacen el

4.

5. Se construyen casos que ilustran al concepto y se re-conocen en el entorno casos que lo ilustran y que no lo

6. Se procede a ampliar el

Esta es la secuencia que se ve en estas páginas para la cons-trucción conceptual y que se volverá a aplicar sucesiva-mente en otras partes del texto

En las páginas 17 a 21 del Tomo IV, Vol.

1 se aborda el concepto de circunferencia.

La página 17 inicia con el planteamiento

del siguiente problema: ¿cómo deberán co-

locarse los niños para que al tirar la argolla

todos tengan la misma oportunidad de ensar-

tarla en el poste azul? (Fig. 1).

Para que el juego sea equitativo, la única

cual se lanza la argolla, ya que otras como

estatura, fuerza, longitud de los brazos, etc.,

más o menos están controladas por ser los ni-

ños y niñas de la misma estatura, edad y com-

plexión. En la página 18 se encuentra la solu-

ción: colocar a los niños en torno del poste

azul y a la misma distancia de él (Fig. 2). Las

siguientes dos imágenes de esa página gene-

ralizan la idea abstrayéndola de su contexto y

aún no se le conoce como circunferencia.

Fig.2

Fig.1

Fig.3

Fig.4

En la página 19 (Fig. 3) se plantea en la

actividad 2 un problema y tres respuestas, al

reproducir las hojas y recortar el papel, la co-

rrecta será la de Yoshio, porque sólo en ésta

se puede comprobar que los puntos de la

periferia se encuentran a la misma distancia

del punto de intersección de los dobleces de

la hoja (que es el centro de la circunferen-

cia). Los otros casos son importantes porque

muestran ejemplos que no producirán la for-

ma redonda que se solicita hacer. La estrate-

gia de presentar casos que ilustran un con-

cepto y casos que no lo ilustran es de mucha

importancia para la formación de conceptos.

el concepto de circunferencia. Se enseña a

los alumnos cómo trazar circunferencias con

compás, instrumento que construye conjun-

tos de puntos equidistantes del punto donde

de circunferencia.

diámetro

en la página 21 (Fig. 4) se pide a los alumnos

completar enunciados acerca de varias rela-

ciones entre diámetro y circunferencia que

proporcionan una ampliación del concepto de

diámetro: su punto medio es el centro de la cir-

cunferencia, es un eje de simetría, es la cuer-

da de mayor longitud. Finalmente, se plantea

el problema de reproducir una circunferencia,

este es un problema clásico de la geometría.

Geometría 47

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. Dos diámetros diferentes de una circunferencia se intersectan es un punto. ¿Qué

tus compañeros y tu profesor.

2. La siguiente imagen fue tomada de la página 21, las líneas rojas son

cuerdas trazadas desde un mismo punto.

Traza una circunferencia en una hoja y desde un mismo punto (como

en la imagen) traza muchas cuerdas, después localiza y marca con

color rojo los puntos medios de las cuerdas trazadas.

a) ¿Qué forma evoca la curva que describen los puntos medios de las

cuerdas?

b)

Notas: Se llama cuerda de una circunferencia a cualquier segmento de recta cuyos pun-

tos extremos están en la circunferencia. Se llama punto medio de un segmento al punto

del segmento que lo divide por la mitad.

3. En la actividad 7 de la página 21, en la pregunta 2 se plantea cómo encontrar el centro

de una circunferencia cuando no se le conoce, o bien no está marcado en la imagen.

En la imagen del texto un chico sugiere: “Recorta el círculo y examínalo. Si lo doblamos

a) Encuentra la solución al problema aplicando esta sugerencia.

b) Argumenta la solución y busca en un texto de geometría su sustento.

Geometría48

En las páginas 59 a 63 del Tomo IV, Vol. 1

se integra el concepto de ángulo.

Como antecedente a esta lección, en la

página 20 del Tomo III Vol. 2, se estudió la

-

da en la idea de medida, sino en la acción

de girar en la comparación con un modelo

llamado ángulo recto.

En la página 59 del Tomo IV, Vol. 1, se de-

siguientes dos páginas se plantea al alumno

los ángulos, medirlos relacionándolos con

otros. Posteriormente se aborda la cuestión

de cómo asociar a cada ángulo un número

que sea su medida y además que se cum-

pla un aspecto fundamental: si dos ángulos

tienen diferente tamaño, deberán tener tam-

bién medidas diferentes. En el fondo este es

el problema que se plantea al alumno al pre-

guntarle sobre cuál animal tiene más abier-

ta la boca y cuál menos, y que los ordene

según el tamaño del ángulo formado por sus

bocas abiertas (Fig. 1).

En la página 62 (Fig. 3) se ve que las ideas

proponer un patrón con respecto al cual com-

parar los casos concretos: cuántas veces

cabe el patrón en un ángulo dado, ¿la mitad,

un tercio, dos veces, tres y media veces…?

La idea de Masako consiste en crear un ins-

trumento que permita una mejor apreciación

de las comparaciones que se pide hacer.

En la página 63 se introduce el patrón de

medida para los ángulos, patrón universal-

mente aceptado, así como el instrumento para

medirlos. En la página 66 (Fig. 4) se enseña

cómo construir ángulos con medidas dadas.

De esta forma se da solución al problema

de medir ángulos mediante un sistema que a

todo ángulo le asigna un único número como

su medida y a los ángulos con diferente aber-

tura les asigna diferentes medidas.

Concepto de medida:Por medición se entiende el proceso por medio del cual asignamos un número a una magnitud física de algún ob-jeto o conjunto de objetos con

El nombre de medida se usa para denotar el número de unidades que corresponden a

La medida cuenta con las si-guientes propiedades:

igual a la suma de las medi-

-nes de realización de una me-dición, la repetición de ésta

Medición directa: Es un proceso visual que consiste en hacer una comparación directa de la cualidad de un objeto con una unidad de me-

Medición indirecta: Hay propiedades físicas que no pueden medirse de forma directa como la temperatura, la presión atmosférica, la ve-

debe utilizar instrumentos de medición indirecta, como el termómetro, el manómetro o

El transportador es un ins-trumento que cuenta con una escala para medir ángulos de

La medida de los ángulos,

cumple las tres propiedades que

Fig.1

Fig.2

Fig.3

Fig.4

Geometría 49

Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. En estas páginas se pretende que los alumnos aprendan a medir ángulos con el

así realizada satisface las tres propiedades que toda medida debe cumplir.

2. Supongamos que alguien inventó un método para medir ángulos

basado en el área que éstos encierran. Este método se ilustra en

A una distancia de un centímetro del vértice del ángulo, se

traza sobre uno de sus lados el segmento perpendicular a él.

El área del triángulo así formado será la medida del ángulo.

En este caso es:

número positivo.

Argumenta por qué los resultados de este procedimiento no

cumplen las propiedades que debe tener una medida.

3. A la luz de las tres propiedades que toda medida debe cumplir, comenta casos de

otras medidas, como: temperatura, longitud, volumen, peso, etc.

Geometría50

Un aspecto notable en esta forma de abordar el concepto de triángulo y sus diferentes tipos es el papel que se le hace jugar a la fuerza de gravedad, o de otra manera, al peso de

los popotes de la misma longitud pesan lo mismo

Por lo tanto:

con tres popotes del mismo tamaño, entonces al colgarlo por cualquiera de sus vértices, éste quedará en equilibrio con

dos popotes de igual tamaño y el tercero es de diferente lon-gitud, entonces, solamente si se le cuelga por el vértice for-mado por los popotes iguales, la base quedará horizontal, en cualquier otro caso la base

por tres popotes de diferente tamaño cada uno, entonces al ser colgado por cualquiera de sus vértices, la base quedará

Si en lugar de longitud se hablara de color, el resultado sería el mismo, pues los popo-tes del mismo color tienen la

Es una forma ingeniosa de

triángulos por la longitud de sus lados, que puede dar lugar a preguntas cuya respuesta puede ser interesante:¿Por qué cuando se cuelga un triángulo equilátero por cualquiera de sus vértices, al lograrse el equilibrio, la base siempre queda horizontal? ¿Por qué en el caso del trián-gulo isósceles únicamente su-cede con un vértice? ¿Por qué para el triángulo escaleno esto nunca ocurre?

Después de esta experiencia, los alumnos pueden observar que los triángulos se divididen

En las páginas 72 a 78 y en la 80 del Tomo

triángulos. Como antecedentes a esta lección

ángulo y la medición de ángulos.

En la página 72 (Fig. 1), los triángulos

construidos por medio de popotes de colores

poseen cualidades singulares a partir de los

popotes que se usen para su construcción.

Lo anterior sucede de esta forma porque los

popotes tienen diferente longitud según sea

su color, entonces los del mismo color pesan

lo mismo.

Estas características de los triángulos que

se construyen explican su comportamiento al

ser colgados en el pizarrón (Fig. 2):

y solamente si se cuelga del vértice forma-

do por los popotes del mismo color el lado

opuesto estará en posición horizontal.

3. Si un triángulo está formado por popotes

de diferente color, todos sus lados serán de

diferente longitud y en ningún caso al colgar

el triángulo de uno de sus vértices el lado

opuesto será horizontal.

Los comportamientos enlistados se mues-

tran en el método de la maestra y en el de

Hiroshi (Fig. 3).

1. Si un triángulo está formado por popotes

del mismo color, el lado opuesto al vértice de

donde se cuelga será siempre horizontal y to-

dos los lados tendrán la misma longitud.

2. Si un triángulo está formado por dos popo-

tes del mismo color y otro de un color diferente

el triángulo tendrá dos lados del mismo tamaño

A partir de esta experiencia, en donde inter-

viene la acción de la gravedad, se propicia

-

gulos equiláteros e isósceles.

-

nes, y como en otros casos de conceptuali-

zación, se procede a reconocer en el entorno

real y en el abstracto, casos particulares que

ilustren estos conceptos (Figs. 4 y 5).

Fig.1

Fig.2

Fig.3

Fig.4

Fig.5

Geometría 51

Actividades que se sugieren para los futuros

docentes 1. En la página 80 del texto se encuentra la siguiente imagen.

La indicación es doblar y recortar hojas como se ilustra en la

parte superior para formar triángulos isósceles. Se indica hacer

varios triángulos con la misma forma y superponerlos como se

recta y esta línea aparece sin importar el número de triángulos

que así se construyan. Esta última imagen es muy sugerente y

la línea que ahí aparece.

a) Escribe enunciados geométricos cuyo sujeto sea esta línea

usando en ellos algunas o todas las siguientes palabras: sime-

tría, altura, mediatriz, punto medio, perpendicular.

Deben ser enunciados verdaderos y para cada uno debes ar-

gumentar sobre su veracidad.

2. La siguiente imagen se en-

cuentra en la página 86 del libro:

En el contenido de la página 78 se declara: “En un triángulo isósceles, hay 2 ángulos

Respecto a la imagen se dice: A y B son los centros de las circunferencias, BD y AE son

diámetros. Se pregunta: ¿qué tipo de triángulo es CDB?

Responde la pregunta, pero no midiendo sobre la imagen, sino argumentando la validez

de tu respuesta con base en las conceptos expuestos en estas páginas.

A BC

D

Geometría52

La construcción con regla y compás es uno de los temas

estas páginas se introduce la

al primer teorema de los Ele-mentos de Euclides: Dado un segmento, construir sobre él un triángulo equilátero

Esta construcción, con una ligera diferencia, es la que se usa en la página 79, inciso

En geometría los problemas de construcción no se termi-nan al realizar ésta; se exige además explicar cómo se hace, fundamentarla con base

y en resultados ya probados y establecidos como teoremas

-miento de Euclides es más o menos el siguiente:

A y radio AB se traza la circunferencia c

B y radio BA se traza la circunferencia c

C es un punto de intersección

CA y CB

AC es radio de la circunferencia c, entonces AC=AB

BC es radio de la circunferencia c’, entonces BC=BA.

AB=BA, enton-ces AC=BC

AB, AC y BC son iguales en

triángulo ABC es equilátero y está construido sobre el segmento AB

En las páginas 79 a 85 del Tomo IV, Vol. 1

se aborda la construcción de triángulos con

regla y compás.

1. Al principio se trata la construcción de

triángulos isósceles o equiláteros para los

cuales se da la longitud de sus lados.

2. En otro caso se aborda la construcción

de un triángulo dando la longitud de un lado

y la medida de los ángulos adyacentes a él.

3. En el siguiente, se da la longitud de los

lados de un triángulo donde todos sus lados

son diferentes.

4. En el último, se dan las longitudes de dos

lados y el ángulo formado por ellos.

tema de congruencia de triángulos, cuyo es-

tudio culmina en el nivel de bachillerato. En

el nivel de educación primaria sólo se em-

pieza a esbozar a partir de la siguiente pre-

gunta: “si un triángulo tiene tres lados y tres

ángulos, ¿cuántos y cuáles de estos elemen-

tos necesitas conocer como mínimo para re-

Fig.1

Fig.2 Fig.4

Fig.3

En las páginas 84 y 85 (Figs. 3 y 4) se de-

sarrollan respuestas a la pregunta anterior.

Para la primera actividad de la página 84,

Yoshiko y Tamotsu plantean cada uno formas

diferentes de proceder que conducen a solu-

ciones correctas para la construcción. La so-

lución de Yoshiko hace referencia al caso del

inciso 2 del listado anterior, mientras que la

de Tamotsu corresponde al inciso 4, en am-

bos casos se dan tres elementos de los seis

que contiene el triángulo.

Este problema no es simple. En la sección

3 de la página 85, solamente para el primer

caso es posible construir el triángulo, en los

otros dos, no se puede construir sólo con

esos datos. En los tres casos de la pregun-

ta se dan tres datos del triángulo. Si en los

casos 2 y 3, se da un dato más (4 datos en

total) ya es posible la construcción, pero en-

tonces estos casos se pueden reducir a los

planteados por Yoshiko o Tamotsu, es decir,

-

quiera de ellos.

A

c c‘

B

C

Geometría 53

Actividades que se sugieren para los futuros docentes Revisa en cualquier libro de texto de geometría el tema de congruencia de triángulos y

después, resuelve los siguientes problemas.

1. ABD es equilátero.

C y D intersecciones

de las circunferencias. Esa línea recta es perpendicular al segmento AB.

triángulos DAC y DBC son congruentes. Argumenta por qué esos triángulos efectivamen-

te son congruentes.

2.

y DBE son congruentes.

Observa que al ser congruentes los triángulos DAE y DBE, entonces los ángulos de esos

triángulos con vértice E son congruentes, es decir, miden lo mismo. Como esos ángulos

suman 180°, entonces cada uno mide 90°. Por lo tanto, la recta DC es perpendicular al

segmento AB.

Nota. Los criterios planteados en los incisos de la página anterior son útiles para este problema.

A B

D

C

A B

D

C

A B

D

C

A B

D

C

Geometría54

Ángulo recto: es la esquina que se forma de la manera

Como antecedente a esta lección se encuentran las

Medida del ángulo recto:

Medición

En el entorno es frecuente

-

apoyan la veracidad de la

Un razonamiento similar se aplica para el otro par de

En las páginas 45 a 47 del Tomo 5, Vol. 1

se trata la conceptualización de rectas per-

pendiculares.

En la página 45 (Fig. 1) se acude a una ima-

pide trazar dos rectas que unan puntos rojos.

Del conjunto de respuestas se presentan

la 1, de Yoshio y la 2, de Mari (Fig. 2):

líneas en los dos casos.

grados de los cuatro ángulos.

Fig.1

esta relación, pues no es el propósito del

muy claro ese contexto matemático por lo

que a los alumnos se les pueda ocurrir en

concluir es que en el caso de Yoshio, los án-

gulos son diferentes, mientras que en el es-

quema de Mari los cuatro ángulos tienen la

misma medida: 90°. Más adelante, el alumno

de rectas perpendiculares.Es necesario ha-

cer notar que este concepto se enuncia fren-

te a un caso que lo ilustra y otro que no.

Fig.2

Con respecto a los ejercicios de la página 47

(Fig. 3):

de rectas perpendicualres y aquellos que no

-

dida de ángulos y contrastando el resultado

construir rectas perpendiculares.

alumnos, la respuesta esperada es que

midan los ángulos.

cruzan. Cuando dos líneas rectas en un

mismo plano se intersecan, forman cua-

tro ángulos y se induce que entre éstos

siempre existe la siguiente relación: los ángulos opuestos por el vértice miden lo mismo.

Fig.3

o - <c o - <c

Geometría 55

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1a. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

b. ¿Qué relación guardan los ángulos x y z?

c. ¿Cuál es la medida del ángulo y?

2. -

Geometría56

En las páginas 50 a 52 del Tomo V, Vol. 1,

se trata el concepto de rectas paralelas.

de este tema:

1. En las páginas 22 y 24 del Tomo III, Vol.

cuadrado, que son cuadriláteros cuyas cua-

tro esquinas son ángulos rectos.

2. En la página 23 del Tomo III, Vol.2 se

4. En las páginas 46 y 48 del Tomo V, Vol.1,

En la página 50 (Fig. 1) se plantea un pro-

-

-

ras. Los tres chicos de la imagen expresan

trazo pedido. La mejor solución planteada

se sustenta en alguno de los antecedentes.

-

En la página 51 se plantea: ¿cómo se tra-

zan rectas paralelas a una recta dada? (Fig.

2

matemáticamente correcta, que corresponde

-

mente es cierta si la línea (a) es perpendicular

condición, los ángulos b y c miden lo mismo.

el concepto de rectas paralelas.

-lelas se aborda en términos

Esto es adecuado para un primer acercamiento a este

-

la caracterización “intuitiva” que inicialmente se da (ver

“nunca se cruzan por mucho

Esta idea se formaliza como

-

se cruzan en un punto cuando

Entonces se forma un trián-b d y un

b d

Entonces bcual contradice el hecho de que b d

La contradicción ocurre por la

-

-

la misma en cada punto” es

Fig.1

Fig.2

Igual que para las rectas perpendiculares,

-

zarlas con otra línea recta los ángulos seña-

-

tinguir entre rectas que son parelalas de las

que no lo son midiendo los ángulos. Es decir,

acudir al concepto formal.

En la página 52 (Fig. 3

rectas son paralelas, entonces las dos pre-

guntas prácticamente se contestan aplicando

Fig.3

Geometría 57

Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1.

-

2.b y c

3. -

Geometría58

En las páginas 48, 49, 53

y 55 del Tomo V, Vol. 1 se

-

ceptual de rectas paralelas y

perpendiculares.

Al momento de estudiar es-

tas páginas los alumnos co-

nocen los conceptos de rectas

perpendiculares y paralelas.

Estos conceptos se presentan

-

-

cional y además se muestran

ejemplos de éstos.

-

da la aplicación de estos

conceptos tanto en la iden-

-

tisfacen o no el concepto,

como en la construcción de

ejemplos de ellos. En el pri-

mer caso el razonamiento

estudiantes pueden aprender muchos conceptos si se les da

-

forma en que en estos textos se va desarrollando el conoci-

se complementa con las que han orientado el análisis de las

-

implica la delimitación de un

se expresan los atributos que

de este universo se les llama

--

si éste es instancia o no del

Fig.2

sos satisfacen o no al con-

hipótesis se hace acudiendo

construcción de ejemplos, el

razonamiento es en el senti-

-

Fig.1

Fig.3

Fig.4

Fig.5

Geometría 59

Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Enlista los antecedentes de que disponen los alumnos al momento de iniciar la reali-

2. Analiza la imagen que muestra el trazo de rectas paralelas con regla y escuadra, jus-

3. f a y b

no son ejemplos del concepto de rectas paralelas.

4. c y g no son ejemplos del concepto de rectas perpendicu-

5.-

Las construcciones de las

páginas 48 (Fig. 1) y 53

(Fig. 2) ilustran lo anterior.

Hiroshi parte de una recta

en la que marca un punto

transportador y realiza la

construcción que cumple

de la misma manera para

construir rectas paralelas:

apoya la escuadra en la re-

gla y la coloca perpendicu-

larmente a la recta dada; de

esa forma puede trazar otra

recta diferente que es per-

pendicular a la regla y tam-

en concordancia con lo que

ángulos formados por la re-

gla y las rectas que están

igualmente situados miden

lo mismo, 90°. El ejercicio

6 de la página 49 (Fig. 3) y

el 4 de la página 53 (Fig. 4)

tienen el propósito de prac-

ticar las construcciones que

se han mostrado.

El ejercicio 1 de la pá-

gina 55 (Fig. 5) pide que

se identifiquen casos que

ejemplifican los conceptos.

-

tisface o no al concepto de

rectas perpendiculares o

paralelas midiendo los án-

definición.

misma página, son de natura-

Con respecto al 3, las rec-

tas son paralelas, se aplica

conocimiento que ya se tiene

de la medida de los ángulos

formados por dos rectas que

se intersecan.

-

niciones de rectángulo y de

rectas perpendiculares para

deducir la perpendicularidad

de los lados. El paralelismo

entre las rectas es la misma.

Es un dato que la recta a es paralela a la recta b, ¿cuál es la medida del ángulo d?

d y f forman un ángulo de 180°, ¿cuál es la medida

del ángulo f ?

Es un dato que la recta b es paralela a la recta c, ¿cuál es la medida del ángulo g?

e y f forman un ángulo de 180°, ¿cuál es la medida del

ángulo e?

6.

Geometría60

En las páginas 58 y 59 del Tomo V, Vol. 1, se

Fig. 1) se

estudian los cuadriláteros y se realiza un in-

cuadrado, rectas paralelas y perpendiculares.

de puntos.

cuadriláteros de acuerdo con su forma, uti-

lizando las etiquetas, las maneras de dibujarlos y sus características.

de las habilidades matemáticas más importantes a desarrollar

es necesaria la capacidad de

partir de la consideración de

dos o más casos satisfacen el

Ante varios casos del mismo --

sible determinar las diferentes

crear los conceptos de trape-

Estos conceptos se usan para --

so conceptual mencionado en

de trapecios es una subcate-

en que se intersecan representa

A partir de este agrupamiento (Fig. 2), des-

sus lados y el paralelismo entre ellos: sin la-

dos paralelos, con un par y con dos pares

iguales y/o cuatro ángulos rectos.

La categoría más general es la correspon-

diente a los cuadriláteros e incluye a todos

los casos de la página. Los que tienen un

-

tegoría que incluye a todos menos los ca-

sos a y glos que tienen dos pares de lados paralelos

contiene los casos e, f, i, k, los cuales, a su

Etiqueta Lados paralelos Ángulos rectos Lados de igual medida

g

c, h Dos pares Los lados opuestos

i Dos pares Cuatro

e Dos pares Cuatro Los lados opuestos

f, k Dos pares Cuatro Cuatro

Cuadriláteros

Trapecios

P

aralel

ogramos

Fig.1

Fig.2

Geometría 61

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1.

2. En el caso b -

de la malla.

3. En el caso e

4. En los casos c, h, i

Geometría62

En las páginas 61 a 63 del Tomo V, Vol. 1,

se analiza el paralelogramo y su didáctica.

página 61 (Fig. 1), nota que además de los

casos c y h -

-

-

miento para su construcción. La construcción

malla de puntos, aunque hay que tener claras

las limitaciones de este recurso.

En este tema se estudian

formulan los conceptos de

que correspondan o no a di-chos conceptos y construir

los casos satisfacen o no el concepto dado; la validación de la respuesta se hace acu-diendo a los atributos que se

subyace en estas lecciones

Otro aspecto que se aborda es la extensión de los conceptos mediante el descubrimiento de atributos diferentes a los que se

-cho se encuentra en el interés de las lecciones de este tema y muestra cómo los conceptos se

Para el desarrollo del pensa-

imporetancia estudiar cómo

listado de antecedentes para -

cer relaciones conceptuales que constituyan teoremas de

En la página 62 (Fig. 2) se usan la regla y la

escuadra, estos instrumentos permiten la cons-

trucción de los pares de rectas paralelas con

construir muchos paralelogramos, pero para

En el apartado 4 se orienta la atención del

-

-

cen referencia a cualidades diferentes como

ángulos diagonalmente opuestos tienen la

sentido de que si uno de ellos ocurre en un

cuadrilátero, entonces es un paralelogramo.

La geometría permite demostrar de manera

Fig. 3) con-

siste en la construcción de un paralelogramo

a partir de ciertos datos. El pollito plantea

que los lados sean paralelos. Tal propósito

se logra como lo hace Takeshi, quien opta

por la construcción de paralelas a partir de

porque los lados opuestos resultan iguales,

-

opuestos diagonalmente.

Fig.1

Fig.2

Fig.3

Geometría 63

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1.dos ángulos de 135°.

2. Construye con regla y escuadras un paralelogramo que tenga dos ángulos de 75°.

3. Construye un paralelogramo que tenga dos ángulos de 15°.

4. Haz la siguiente construcción y explica de qué tipo es el cuadrilátero que se forma.

de tres centímetros, llama a esos puntos A y B.

5.explica de qué tipo es el cuadrilátero que se forma.

un cuadrilátero.

6.explica de qué tipo es el cuadrilátero que se forma.

7.y explica de qué tipo es el cuadrilátero que se forma.

8.y explica de qué tipo es el cuadrilátero que se forma.

Geometría64

En las páginas 66, 67, 71 y 72 del Tomo

V, Vol. 1, se estudia el paralelogramo y sus

diagonales.

En el caso de los cuadriláteros las diagona-

-

en el apartado 2 de la página 67 (Fig. 3) es

que los alumnos comprendan esas propie-

dades. El ejercicio se enlaza con la página

66 (Fig. 1), se pide trazar las diagonales de

cada cuadrilátero, realizar las mediciones co-

cuyas diagonales muestran las relaciones

-

La caracterización de los cuadriláteros por la posición

consistente con lo que repre-

-

-mos con una propiedad adicio-

Paralelogramo: sus diagonales se cortan

en su punto medio.

Rombo: sus diagonales son mutuamente

perpendiculares y se cortan en su punto medio.

Rectángulo: sus diagonales tienen igual

longitud y se cortan en su punto medio.

Cuadrado: sus diagonales tienen igual

longitud, son mutuamente perpendiculares y

se intersecan en su punto medio.

alumnos.

En la página 72 (Fig. 4) se presenta un

ejercicio de aplicación de estos casos; los

-

deducir sus respuestas por la posición de los

puntos con relación a las circunferencias.

(Fig. 2

los conceptos aprendidos:

concretos.

-

te la aplicación de la caracterización de sus

diagonales.

Fig.1

Fig.2

Fig.3

Fig.4

Cuadriláteros

Trapecios

P

aralel

ogram

os

Geometría 65

Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1.

2.

3.

4.

5.

de su error?

Geometría66

En las páginas 99 a 101 del Tomo V, Vol. 1,

ángulos del triángulo.

Fig. 1) y

Fig.2):

aunque en realidad uno se

-

-

La primera se obtuvo como

-máticas plenamente estable-

teoremaUn teorema se establece me-diante el procedimiento de demostración en el marco de una construcción axiomático-

plantea tal nivel de estudio de las matemáticas en la primaria

de los resultados matemáticos -

les simplemente se declaran o

-

ABC -

CD para-lela al lado BA

e son ángulos adyacen-

tesd

lado BCBCE

C mide 50°, al desarrollar

muestra (Fig. 3). La exactitud de las medidas

depende de la precisión que se haya logrado.

a la siguiente conjetura (Fig. 4):

imágenes de la página 100 tienen la función

A 60° 50° 40° 30° 20° 10°

B 30° 40° 50° 60° 70° 80°

la de B disminuye.

A +

B toma diferentes posiciones en la recta BC

-

siones se llaman conjeturas, es decir: juicios

que se forman a partir de indicios u observa-

. Al procedimiento

llamado método inductivo.

En la página 100 (Fig. 5) se presenta al

al punto 3 de la página 99 para completar la

La suma de los tres ángulos de un triángulo es_____ grados.

A 80° 70° 60° 50° 40° 30°

B 50° 60° 70° 80° 90° 100°

CA 50° 50° 50° 50° 50° 50°

de cualquier triángulo es 180°, siendo que

-

sos. A esta forma de expresar la conjetura

se le llama generalización y constituye una

proceden con los alumnos, éstas serán

de su formación.

Fig.1

Fig.3

Fig.4

Fig.5

Fig.2

Fig.6

Geometría 67

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1.

preguntas:

a + bca + b c Porque dos cosas iguales a

una tercera son iguales entre sí.

Al ángulo c se le llama ángulo externo, a los ángulos

internos a y b se les llama ángulos no adyacentes al ángulo c.

a, b y c

2.

mostrar que la suma de los ángulos del cuadrilátero es 360°

3. conocimiento para contestar la pregunta que se hace en la imagen, utiliza en cada caso

Geometría68

En las páginas 102,104, 105 y 107 del Tomo

En la página 105 (Fig. 1) se propone una ac-

-

Como en el caso de los ángulos del triángulo,

para el caso de otros polígonos, la formulación

-

Veamos el caso del cuadrilátero: en la página

102 ( Fig.2 ) se pide calcular la suma de los cua-

tro ángulos. De la primera parte de esta página

Veamos el caso del pentágono, en la página

104 (Fig. 3

-

El siguiente caso se encuentra en la página

105 (Fig. 1) que corresponde al hexágono. Al

polígono y diagonal de un polígono. Estas dia-

gonales han estado siempre presentes, como lo

polígonos, pero no han sido utilizadas. Ahora, la

que las incorpora (Fig. 5

pensar en una conjetura no circunscrita a un

polígono en particular sino a los polígonos en

se forman y suma de ángulos, incorporando en

el razonamiento un tipo de triangulación de los

la siguiente conjetura:

La suma de los ángulos de cualquier polígono

se obtiene multiplicando 180° por el número de

triángulos que se pueden construir al trazar las

diagonales desde un vértice.

consideración de cuatro casos particulares, es

-

gen de la página 107 (Fig. 6

se aplicará la conjetura para dar respuesta a las

los ángulos.

El método inductivo trata de -

-servación y el estudio de las tablas conduce al estableci-

-mentos más visibles de esta

-

analogía generalización y la especialización

Analogíase observó que en cada caso

la suma de las medidas de los ángulos es 180° por el núme-ro de triángulos formados. En este sentido los casos son aná-

se anota en letras negritas

Generalización

-o por

-to en los cinco procedimientos inductivos que se presentan en

-turas encontradas son válidas

-

resultado en matemáticas se

resuelve el problema matemá-

Especialización-

tura en nuevos casos y si se

es que aumenta nuestra con-

establecimiento del conoci--

para el descubrimiento de los

Fig.3

Fig.1

Fig.4

Fig.6

180

1

360

2

540

3

720

4

Fig.5

Fig.2

Geometría 69

Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1.

polígonos. Finalmente, calcula la suma de los ángulos de un polígono de 53 lados.

2. Traza un círculo y tantos diámetros en él como se indica en cada caso. Las partes en

trazar 137 diámetros.

3.5, 7 y 20.

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono

1 2 3 4

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Figura

Perímetro del triángulo mayor

1

3

4

6

9

9

16

12

Geometría70

El desarrollo plano de una forma tridimensional es una representación en el plano que al ser transformada de forma adecuada permite obtener la forma tridimensional dada.

No todos los cuerpos tienen un desarrollo plano.

También puede haber más de un desarrollo plano para un cuerpo. Por ejemplo, para el cubo:

Se comentó con anterioridad

-nes adicionales) la relevancia que tiene para este tema la actividad de visualización, la cual implica, en general, dos procesos: interpretación

procesamiento visual.

La interpretación de infor- hace refe-

rencia al proceso de compren-sión e interpretación de las representaciones visuales, el

-mación que contienen éstas.

El procesamiento visual hace referencia a la inter-pretación de información no

al proceso de transformación de unas imágenes en otras.

medio de imágenes.

En las páginas 37 a 42 y 46 del Tomo VI,

Vol.1 se estudian los desarrollos planos.

Como antecedente a esta lección, se cuenta

con la lección de las páginas 78 a 80 del Tomo

III, Vol.2 en la cual se trabajó con cajas rec-

tangulares (prismas rectangulares y cubos).

En el sexto grado se les da nombre a estas

formas y se avanza en su formalización.

En la página 38 (Fig. 1) se caracteriza al pris-

ma rectangular y al cubo, recordando que

estas formas están constituidas de caras,

aristas y vértices (esta información se dio a

conocer en el tercer grado).

Fig.1

Fig.2

generar o no un prisma o un cubo.

aristas, vértices) van a coincidir al armar su

desarrollo plano.

-

mente dé lugar a un prisma.

den lugar a un mismo prisma.

Fig.4

Fig.5

En estos cuatro casos se apela a la capacidad

de imaginar la transformación espacial de es-

tas redes de puntos y líneas (Figs. 4 y 5).

Fig.3

A partir de un prisma rectangular, en la si-

guiente página se ilustra cómo “extraer” sobre

un papel una red de puntos y rectas que for-

marán lo que se conoce como el desarrollo

plano del prisma (Fig. 2), que al ser doblado

como ahí se ilustra, se obtiene un prisma rec-

tangular similar al que sirvió de modelo.

Esta experiencia es relevante porque enseña

al alumno a apropiarse de algunas formas

que aparecen en el entorno, le capacita para

desagregarlas e integrarlas, transitando de

una representación plana a otra tridimensional

y recíprocamente.

Las actividades de las páginas siguientes ilus-

tran las habilidades de percepción visual que

esta forma de enseñanza posibilita (Fig. 3). Uti-

lizando únicamente la capacidad de visualiza-

ción el alumno debe poder concluir lo siguiente:

Geometría 71

Actividades que se sugieren para los futuros docentes Una proyección isométrica

-

les en la proyección isométrica forman ángulos de 120° y las dimensiones paralelas a

dichos ejes se miden con la misma escala. Este recurso tiene la ventaja de permitir la

-

ño –proporcional a la distancia– que percibe el ojo humano.

1. En la página 46 el texto aborda la representación plana de objetos tridimensionales

que son justamente representaciones isométricas. Haz las representaciones isométri-

cas de las siguientes formas tridimensionales:

2. Dibuja el desarrollo plano del siguiente cuerpo.

1 Módulo 1 Módulo

1 Módulo

300

A

300

Altura

Profundidad

Ancho

Geometría72

En las páginas 43 a 50 del Tomo VI, Vol.1

se abunda en la comprensión del tema de los

prismas.

Cuando los alumnos inician el estudio de

estas páginas ya han transitado de un cono-

cimiento global de formas tridimensionales

(prisma y cubo) al reconocimiento de sus

partes constitutivas: caras, aristas, vértices y

los desarrollos planos que los articulan.

Ahora en la página 43 (Fig. 1) se muestran

otras características de estas formas rela-

cionadas con las nociones de paralelismo y

perpendicularidad:

caras.

caras y las aristas.

aristas.

De esta forma se amplían los conceptos de

prisma y cubo al reconocer que se encuen-

tran formados por elementos mas simples,

los cuales a su vez se encuentran relaciona-

dos de diferentes maneras y que son objeto

de la mayoría de las preguntas que se hacen

en estas lecciones.

En la página 48 (Fig. 2) hay una tabla a la

que el alumno debe completar a partir de los

cuatro prismas que se muestran en la ima-

gen de la página 47 (Fig. 3). A manera de

ejemplo, la tabla tiene llena la primera colum-

na correspondiente al prisma de base trian-

gular y se pide al alumno que la complete.

El método inductivo permite descubrir mediante la obser-

-rencia. Los elementos más vi-sibles de esta forma de razonar,

-

ocurre al realizar el análisis de la tabla, estudiarla con la intención de descubrir alguna regularidad entre las columnas de datos. Si el análisis permite des-cubrir una relación entre los datos de cada columna que se cumpla para las otras colum-nas, entonces se dice que los

-sión verbal o escrita de esta

es un aspecto formal, se da al demostrar que las conjeturas encontradas son válidas siempre. Por ejemplo: en el caso de los prismas, que la regularidad descubierta es válida para todos los prismas. La generalización ocurre cuan-do se dice o escribe: Para todo prisma rectangular se cum-ple… (en el lugar de los puntos suspensivos, se debe escribir la conjetura).

El método inductivo permite avanzar en la formulación de una conjetura, pero esto no re-suelve el problema de la gene-ralización en el sentido que lo

onsiste en probar la validez de la conjetura en nuevos casos. Si se cumple la conjetura en un nuevo caso, lo único que sucede es que au-

Desde el punto de vista del establecimiento del conoci-miento matemático el método inductivo es limitado, sin em-bargo, es fundamental para el descubrimiento de éste.

Fig.1

Fig.2

Además de completar la tabla, es intere-

sante analizarla con la idea de descubrir al-

guna relación entre caras, vértices y aristas.

partir de los datos de la tabla, varias cosas

además de conocer globalmente a los pris-

mas y de saber que están constituidos por

elementos más simples, algunos relaciona-

dos por medio de la perpendicularidad y el

paralelismo, ahora han descubierto que estos

cuatro prismas rectangulares cumplen una

relación que los asemeja aún más. Casi de

forma natural puede plantearse: ¿la relación

descubierta se cumple para otros prismas?

Fig.3

Geometría 73

Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1.

a) Analogía: Completa la tabla y busca analogías que permitan establecer una conjetura:

Escribe la conjetura que encontraste.

b) Generalización: Escribe la generalización de tu conjetura.

c) Especialización: Prueba la validez de tu conjetura para el

Número de vértices: ____

Número de aristas: ____

Número de caras: ____

Conclusión: ____________________________________

4

1 2 3

5 6

7 8 9

1. Prisma triangular

2. Cubo

3. Prisma pentagonal

4. Tetraedro

5. Pirámide cuadrada

6. Pirámide pentagonal

7. Octaedro

8. Torre

9. Antiprisma

Prisma triangular

Cubo

Vértices

Aristas

Caras

TorrePrisma

pentagonalPirámide cuadrada

Pirámide pentagonal

Tetraedro Octaedro Antiprisma

Medición 74

Medición 75

Parte V

Medición

Medición76

La construcción matemática de la acción de medir puede concebirse en dos pasos:

1) pre-medición, que se basa en el uso de procedimientos empíricos para comparar, or-denar y combinar de manera directa un conjunto de objetos que poseen un atributo dado.

2) medición, se asigna un nú-mero real no negativo a cada objeto, de tal forma que ese número expresa la magnitud que interesa medir.

La longitud es una de las magnitudes físicas funda-mentales, en tanto que no

-minos de otras magnitudes. En nuestro sistema de medi-ción la longitud es la unidad fundamental, de la cual se derivan otras mediciones.

Por ejemplo, el área y el vo-lumen se obtienen con base en la longitud. La longitud es una medida unidimen-sional (lineal), mientras que el área es una medida bidi-mensional y el volumen es una medida tridimensional.

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. ¿Con qué antecedentes cuenta el alumno de primer grado para iniciarse en el estudio de la medi-

ción? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.

2. ¿Presenta alguna ventaja didáctica el hecho de iniciar el estudio de la medida de longitudes con

unidades arbitrarias en lugar de usar las unidades convencionales de un sistema de medición prees-

tablecido? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.

3. ¿Por qué se consideran importantes los procesos de comparación, ordenación y combinación de

objetos para la comprensión de la medición? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.

4. Desarrolla una secuencia de actividades para que un alumno de primer grado se inicie en el pro-

ceso de medición.

En las páginas 101 a 103 del Tomo I de Matemáticas para la Educación Normal, se plan-

tea la comparación de longitudes.

En la página 101 (Fig. 1) se aborda la noción de longitud mediante la comparación del

tamaño de diversos objetos. La pregunta generadora es: “¿cuál es más largo?”

Fig. 1

Al momento de abordar esta lección el alumno aún no dispone de una unidad de medida

para responder dicha pregunta. Los recursos de que dispone son procedimientos empíricos

para hacer directamente la comparación, ordenación y combinación de los objetos. En la

página 102, los procedimientos que se ilustran en la lección son:

- Medir el largo de los objetos usando listones para comparar sus longitudes (Fig. 2).

- Colocar un objeto junto al otro para

compararlos (Fig. 3).

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

- Marcar el largo y ancho

de un libro sobre un obje-

to que sea más largo para

comparar las longitudes de

ambas dimensiones (Fig. 4).

En esta primera parte de

la lección el tratamiento del

tema se basa en los proce-

sos de comparación, orde-

nación y combinación de ob-

jetos, los cuales son de gran

utilidad para introducir a los

alumnos en la comprensión

de la noción de medir.

Medición 77

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1.

2. ¿Qué diferencias encuentras en el uso del número como medida y como expresión de una cantidad?

Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.

3. ¿De qué manera contribuye esta parte de la lección al desarrollo de la noción de medición?

4. ¿Qué unidades de medida conoces y cómo y dónde se usan?

En las páginas 104 a 106 del Tomo I, se

puede observar que la lección continúa con

la pregunta: “¿cuál objeto es más largo?”. La

diferencia aquí es el método que se emplea

para responderla.

Para determinar cuál de los objetos es más

largo se acude a la estrategia de encontrar

cuántas veces cabe un objeto en otro para

asignar una medida.

Por ejemplo, en la primera imagen se ob-

serva cómo medir el largo y ancho de una

mesa con un lápiz (Fig. 1). En la segunda

imagen (Fig. 2) se muestra un bolígrafo y un

lápiz sobre una cuadrícula para conocer el

número de cuadritos que ocupa su largo.

En ambos casos, los alumnos están en po-

sibilidad de asignar un valor numérico a la

longitud de los objetos: el largo de la mesa

es 3 lápices y su ancho 4; el largo del bolí-

grafo abarca 6 cuadros y el del lápiz 7. Para

determinar con esta información cuál objeto

es más largo deben comparar las medidas

asignadas a cada longitud.

En la actividad de la página 106 (Fig. 3):

“¿cuál tren es el más largo?”, el método

que se usa consiste en medir el largo de

los trenes a partir del número de vagones

que los conforman (la unidad de medida es

un vagón).

El uso de este método hace innecesaria la

alineación de los objetos o el uso de otros

objetos para comparar sus longitudes, como

los listones del inicio de la lección. Es en-

tonces cuando el alumno comienza a utilizar

unidades de medida no convencionales para

efectuar mediciones.

El rasgo que distingue al proceso de medi-

ción del proceso de contar, es que en el pri-

y con éstas medir la misma cantidad.

Medición: consiste en asig-nar un número real no nega-tivo a una magnitud de un objeto, de tal forma que ese número la describe en sus características esenciales.

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Medición78

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. Elabora un esquema que te permita ilustrar la secuencia didáctica de esta lección. Después, compárala con

la de tus compañeros y comenten.

2.

3. ¿Cuál es el propósito didáctico de transitar de una comparación cualitativa a una cuantitativa?

4. ¿Qué importancia tiene en el proceso de medición la construcción y uso de un instrumento de medición?

Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.

5. ¿A qué obedece, en términos didácticos, la incorporación de unidades de longitud como el centímetro y el milímetro?

6.

magnitudes que sólo admitan una medición aproximada. Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.

Una magnitud es una carac-terística de un objeto que se puede medir y expresar de forma numérica. La longitud es una magnitud.Algunas acciones que ayu-dan a desarrollar la noción

ordenar y construir patrones.

La medición se realiza cuando contamos el número de veces que cabe una cierta unidad en el objeto a medir.

Al usar unidades más pe-queñas aumentamos la pre-cisión de la medición.

Con la asignación de una unidad de medida es posible construir un instrumento graduado que permite medir objetos de forma indirecta.

El centímetro (cm) y el milí-metro (mm) son unidades de medida que permiten expre-sar la longitud de los objetos. Estas unidades pertenecen al

que es un sistema de unidades construido con base en múlti-

cm = 10 mm.

En las páginas 72 a 80 del Tomo II, Vol. 1 se analiza cómo expresar la longitud.

En esta lección se aborda la medición de longitudes transitando de lo cualitativo a lo cuan-

titativo. Primero, en la página 72 (Fig. 1) se comparan las longitudes de los objetos sin el

auxilio de otros elementos (comparación directa) y posteriormente, en la siguiente página

(Fig. 2) se utiliza algún objeto externo (comparación indirecta).

El proceso de medición culmina al determi-

nar el número de veces que cabe una unidad

previamente establecida en el objeto que se

quiere medir.

En la lección se establece una unidad de

medida usando papel cuadriculado como un

instrumento de medición (como la regla gra-

duada), esto permite determinar la longitud

de objetos como el ejemplo del lápiz en la

página 74 (Fig. 3).

El uso del papel cuadriculado tiene como

propósito introducir medidas convenciona-

les, ya que la distancia entre sus líneas es

de un centímetro. Por ejemplo, en la página

75, la longitud de la cinta (Fig. 4) es de “9

cuadritos” (9 cm).

Fig. 1 Fig. 2

Fig. 3

Fig.4

Fig.5

Fig.6

La longitud de muchos objetos no se puede

medir de manera exacta en centímetros, este

hecho permite introducir la necesidad de deter-

minar unidades de medida más pequeñas para

aumentar la precisión de una medición. Por

ejemplo, en la actividad 5 de la página 77 (Fig.

5), se muestra la pertinencia de usar una regla

graduada hasta milímetros para encontrar que

la tira de madera mide 7 cm 2 mm.

El milímetro es otra unidad de longitud y

diez de estas unidades componen un centí-

metro (1 cm=10 mm).

En esta lección se ilustra el cálculo con es-

tas unidades de medida, así como la equiva-

lencia entre

centímetros

y milímetros.

En las páginas 49 a 51 del Tomo II, Vol. 2 se

continúa con el tema de la longitud y se incor-

pora la noción del metro.

En la lección 8 se introdujeron dos unidades

convencionales para medir longitudes (el cen-

tímetro y el milímetro). En esta lección se abor-

da un problema cuya solución hace evidente

la necesidad de contar con otras unidades

de longitud que estén relacionadas entre sí a

través de un sistema de equivalencias que en

conjunto conforman un sistema de medidas.

Se plantean situaciones orientadas a introducir

una nueva unidad convencional: el metro.

Por ejemplo, en la página 49 (Fig. 1), la ex-

tensión de los brazos de la niña se mide con

una cinta y la longitud de esta última se deter-

mina usando reglas de 30 cm. Los alumnos

observan que caben tres reglas más 25 cm en

el largo de la cinta.

Medición 79

Fig. 2

Fig. 1

Fig. 4

Fig. 3

Con base en esto (Fig. 2) concluyen que

la extensión de los brazos es de 115 cm. Al

usar una regla de un metro (Fig. 3), la longi-

tud equivalente queda expresada como 1 m

15 cm.

La imagen muestra la relación que existe

entre el centímetro y el metro (1 m = 100 cm).

Debemos destacar la importancia de medir

un mismo objeto con distintas unidades, esto

da sentido al establecimiento de equivalen-

cias entre las unidades de medida y a que

los alumnos comprendan gradualmente el

funcionamiento del sistema de medición.

El uso de diferentes unidades permite tam-

bién expresar las medidas con mayor pre-

cisión, por ejemplo, en la actividad 2 de la

página 50 (Fig. 4), el largo de la jardinera es

de 2 m 80 cm.

Fig. 5

Fig. 6

La longitud es una magnitud continua y esto

facilita crear unidades de medición más pre-

cisas. Se hace énfasis en que el sistema de

unidades de medida permite el cálculo usando

diferentes unidades. En la página 51 (Figs. 5 y

6) se ilustran algunas estrategias para efectuar

dichos cálculos.

En esta lección es importan-te observar que las unidades de medida y las relaciones de equivalencia entre ellas se abordan acudiendo a situa-ciones prácticas en el entorno inmediato de los alumnos.

a los alumnos que midan dis-

de agotar la utilidad de una cierta unidad de medida y crear la necesidad de contar con otra que permita medir con mayor precisión.

lección se basa en ofrecer oportunidades para que los alumnos le den sentido al sistema de medición a través la construcción de unidades de medida más adecuadas a cada situación.

El metro es la unidad princi-pal de longitud del Sistema Métrico Decimal.

están el decámetro (10 mhectómetro (100 m -metro (1000 m -

m

los submúltiplos del metro se encuentran el decímetro (0.1

milímetro (0.001 m) y el mi-crómetro (0.000001 m).

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1.

compañeros y tu profesor.

2. ¿Cuál es la relevancia de resaltar en la lección el uso de diferentes unidades de medida para medir un mismo objeto?

Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.

3.

diferentes unidades de medida? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.

4.

con tus compañeros y tu profesor.

5. ¿Qué ventajas y/o limitaciones ofrece el hecho de que en los textos de segundo grado se introduzca el sistema métrico

decimal? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.

6. ¿Cuáles deben ser las características y propiedades que debe tener un sistema de unidades de medición? Detalla tu

respuesta y discútela con tus compañeros y tu profesor.

Medición80

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1.

2.

3. -

-

-

-

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

1 hora= 60 minutos1 minuto= 60 segundos

Para medir tiempos se ne-cesitan dos cosas:

- Una unidad de medida.-Un aparato, que mediante un movimiento regular, re-produzca dicha unidad.

La unidad principal del tiempo es el segundo. El aparato que se utiliza para medir el tiempo es el reloj.

En el Sistema Internacional de Unidades, un segundo equivale a 9.192.631.770 periodos de radiación co-rrespondientes a la tran-sición entre los dos nive-

fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio (133Cs).

Medición

4. -

5.

a)

b)

c)

6.

Para medir periodos de tiem-po mayores a un día, se uti-lizan unidades mayores que una hora:

- Un día es el tiempo que tar-da la Tierra en dar una vuelta completa alrededor de su eje.

- Un año es el tiempo aproxi-mado que tarda la Tierra en dar una vuelta completa alre-dedor del Sol.

Otras unidades de tiempo son: 1 minuto = 60 segundos(1 min = 60 s)

1 hora = 60 minutos (1 h = 60 min)

1 día = 24 horas

1 año normal = 365 días

1 año bisiesto = 366 días

1 lustro = 5 años

1 década = 10 años

1 siglo = 100 años

1 milenio = 1,000 años

Cuando es necesario medir tiempos cortos, se utiliza el se-gundo como unidad de medida.

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Fig. 5

Fig. 6

Fig. 7

Fig. 8

Fig. 9

Medición82

En la lección se induce la noción de que la distancia más corta entre dos puntos es la longitud del segmento de recta que los une.

Asimismo, se induce que el concepto de distancia no se

--

siste en el empleo del término distancia para referirse a la longitud de un recorrido que no necesariamente se realiza

El sistema métrico decimal tiene como patrón de medi-da al metro. A las unidades que son mayores a un metro se denominan múltiplos, por ejemplo: el decámetro equi-vale a 10 metros (1 dam=10 m), el hectómetro a 100 me-tros (1 hm=100 m) y el kiló-metro a 1000 metros (1 Km= 1000 m)

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. Describe en forma detallada, mediante un esquema, la secuencia didáctica de la lección (inicio, desarrollo y cierre).

2. ¿Consideras pertinente la secuencia didáctica que se emplea en la lección?

3. ¿Qué propondrías para mejorarla? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.

4. Enlista los contenidos matemáticos incluidos en la lección y las relaciones que hay entre ellos. Discute tu respuesta

con tus compañeros y tu profesor.

5. En la sección “¿Puedes hacer esto?”, en “Explora el centro de tu ciudad”, página 81, aparece un mapa y preguntas

relacionadas con esta lección. Formula una serie de preguntas que permitan aprovechar esta sección para apoyar esta

lección. Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.

6. Elabora una secuencia didáctica que permita abordar el aprendizaje y la enseñanza de los contenidos matemáticos

de esta lección con base en la actividad “Organicemos una carrera de 1 Km” de la página 96.

En las páginas 73 a 80 del Tomo III, Vol. 1

se estudia cómo la medición de longitudes

grandes requiere de unidades de medida e

instrumentos propios para el caso.

En esta lección una longitud “grande” es

la distancia que recorre un avión de papel,

y una cinta métrica es el instrumento ade-

cuado para determinar cuánto avanza. Esta

situación requiere determinar un punto inicial

recta entre ellos.

En la página 73 (Fig. 1), los niños usan una

cinta métrica para medir.

Con la cinta es posible medir longitudes

mayores a 3m, como en los casos que se

muestran en la página 75 (Fig. 2).

Se aborda el problema de medir distancias

mayores para dar sentido a la introducción de

otra unidad, el kilómetro (Km), y muestra la

conveniencia de expresar en kilómetros dis-

tancias que son mayores a mil metros.

Para introducir la noción de distancia entre

dos puntos, en la página 77 hay una imagen

(Fig. 3), en la cual se muestra que es posible

determinar de dos maneras la distancia que

hay entre la casa de Yoshiko y la escuela.

Por el camino marcado: 280 m + 510 m +

370 m =1160 m =1Km 160 m y la correspon-

diente al segmento que une los dos lugares

en línea recta: 1050 m = 1Km + 50 m.

La organización y distribución de los ele-

real) permite dar sentido a la incorporación

del cálculo con medidas, como es el caso de

la distancia por el camino marcado.

Un aspecto importante en la lección es que

distancias mayores a través de preguntas

como: ¿qué distancia conoces que sea aproxi-

madamente de 10 metros?, ¿qué distancia en

kilómetros habrá desde la puerta de tu casa a

la escuela? o ¿qué sitios están a un kilómetro

de distancia de donde te encuentras?

Fig. 1

Fig. 3

Fig. 2

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. De acuerdo con la lección, ¿qué secuencia didáctica se propone para desarrollar en los

alumnos el proceso de medición del peso de un cuerpo. Descríbelo en forma detallada.

2. ¿Compartes la propuesta de la lección para abordar el tema de la medición del peso de un

cuerpo? ¿Tienes sugerencias? ¿Cuáles?

3. Anticipa las posibles estrategias y respuestas de un alumno para la actividad de la página

76 (Fig. 1 -

4. Responde la pregunta de la página 72 (Fig.2) y argumenta. Compara tu respuesta con la

de tus compañeros y escribe tus conclusiones.

5. En la página 77 (Fig. 3) aparece el siguiente planteamiento. ¿Cuál es la respuesta a la pre-

gunta que se hace? Argumenta, revisa en grupo las respuestas y escribe tus conclusiones.

Medición 83

Fig.1

Por medición se entiende el proceso por medio del cual asignamos un número a una

-

propósitos de comparación.medida se usa

para denotar el número de unidades de la propiedad que se mide.

Una medida tiene las siguien-tes propiedades:1. La medida del todo es igual a la suma de las medidas de cada una de sus partes.2. La medida es siempre un número mayor o igual a cero.3. En igualdad de condiciones de realización de una medi-ción, la repetición de ésta da resultados iguales.

Medición directa: Es un pro-ceso visual que consiste en hacer una comparación direc-

con una adecuada unidad de medida estándar.

Medición indirecta: Hay

pueden medir directamente como la temperatura, la pre-sión atmosférica, la velocidad, etc., para medirlos hay que usar instrumentos de medición indirecta como el termómetro,

una escala numérica.

Fig. 3) es un instrumento que mide direc-tamente el peso de los cuerpos.

La medida del peso de los cuerpos como se caracteriza en las páginas analizadas cumple las tres propiedades que toda

En las páginas 68 a 77 del Tomo III, Vol. 2,

se inicia con el concepto de peso.

El peso de los objetos es una cualidad que

todos conocemos y sentimos. Entonces, de

igual forma que para el tiempo, la longitud y

el volumen revisados en el segundo grado,

para esta nueva cualidad el problema que se

plantea es cómo medir el peso de los cuerpos.

Al intentar determinar entre varios objetos

(con forma y tamaño distintos) cuál pesa

más que otro (Fig. 1), puede pensarse que a

mayor tamaño corresponde mayor peso, tal

conclusión no es verdadera en general.

La comparación es parte del proceso de me-

dición y al comparar el peso de diversos obje-

tos debe responderse a la pregunta “¿cuál es

más pesado?” Una primera conjetura puede

hacerse al sopesar los objetos (Fig. 2 -

nir una unidad de medida es el siguiente paso

en la solución del problema. Por ejemplo, en

las páginas 69 y 70 se ilustra cómo equilibrar

(utilizando la idea de balanza) los objetos con

respecto a una cierta cantidad de monedas

iguales, lo cual permite expresar el peso de

los objetos en función de éstas, que juegan la

función de unidades de peso (Fig. 3).

El gramo (g) es una unidad de peso con-

vencional. Una balanza es una herramienta

hecha para medir el peso, y dependiendo

de su precisión pueden expresarse las me-

didas tomadas de ella (Figs. 4 y 5): en gra-

mos (g), miligramos (mg), kilogramos (Kg) o

toneladas (T). Las equivalencias entre estas

unidades son 1000 mg =1 g, 1000 g =1Kg,

1000 Kg=1T.

El cálculo con las unidades de peso se reali-

za operando entre unidades iguales y hacien-

do en su caso las conversiones correspon-

dientes. Por ejemplo, 300 g del canasto más

900 g de naranjas son 1200 g que equivalen

a 1 Kg 200 g.

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Fig. 5

Fig.2

Fig.3

Medición84

Volumen es la medida que se asocia al espacio que ocupa un cuerpo.Capacidad: los objetos que son susceptibles de ser me-didos respecto a su capaci-dad se llaman comúnmente recipientes. Son objetos en los que podemos introducir otros objetos o sustancias.El volumen puede expresar-se en unidades de capacidad (el litro) y en unidades de volumen (el metro cúbico), con sus respectivos múlti-plos y submúltiplos.La relación entre estas uni-dades es la equivalencia que existe entre el litro y el de-címetro cúbico (1 =1dm3).

En las páginas 83 a 92 del Tomo III, Vol. 1, se

trata el concepto de volumen.

El volumen de un cuerpo es la medida que se

asocia al espacio que ocupa. Para comparar

el volumen de dos objetos es necesario dis-

poner de un referente que permita determi-

nar cuál tiene mayor volumen. En la página

83 (Fig. 1) se puede ver que si dos objetos

tienen formas diferentes, una comparación

directa entre ellos resulta poco práctica y

estaríamos apoyándonos básicamente en

nuestra percepción visual.

Una comparación indirecta recurre a objetos auxiliares. Por ejemplo: en la página 84 (Figs. 2

y 3), conservando el volumen, el líquido contenido en los envases puede trasladarse a otros

que sirvan como unidades de medida intermedias.

En este proceso surge la necesidad de crear

el volumen; en la página 85 (Fig. 4) vemos por

ejemplo el número de vasos que pueden lle-

narse vertiendo el líquido de cada recipiente.

En el caso del volumen que ocupa un líquido

en un recipiente (Fig. 4) la unidad de medida

básica es el litro (1 ).

Para una mayor precisión, en la página 86

(Fig. 5) se introducen otras unidades de me-

dida y se hace notar que corresponden a su

décima o milésima parte, como el decilitro

(m ) y el mililitro (m ).

Para hacer cálculos como 1 6 d + 1 2 d ,

en la página 88 (Fig. 6) se muestra que de-

ben agruparse las unidades homólogas y en

su caso hacer las conversiones necesarias.

En este caso el resultado es 2 , 8 d .

Fig.1

Fig.2

Fig.3

Fig.4

Fig.6

Fig.5

Medición 85

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. Describe la secuencia didáctica utilizada en la lección para desarrollar el tema de

la lección.

2. ¿Qué contenidos matemáticos incluye implícitamente la lección?

3. ¿Qué propones para enriquecer la secuencia didáctica utilizada en la lección?

Discútelas con tus compañeros y tu profesor.

4. ¿Qué diferencias y similitudes encuentras entre los términos volumen y capacidad?

para documentar tus respuestas y discútelas con tus compañeros y tu profesor.

5. ¿Cuáles son los múltiplos y submúltiplos del litro y del metro cúbico?

6. ¿Cuáles consideras que pueden ser los obstáculos que un alumno enfrente para resolver

la siguiente situación? Discútelas con tus compañeros y tu profesor.

7. Describe diferentes estrategias que te permitan auxiliar a los alumnos que tengan

tu profesor.

Medición86

En las páginas 59 a 68 del Tomo IV, Vol. 1

se abunda en el estudio de los ángulos.

En esta lección se aborda la noción de

ángulo como la unión de dos rectas en un

punto, el punto de unión es su vértice y las

rectas sus lados (Fig. 1). Se induce la idea de

que la abertura entre las dos rectas requiere

ser medida y expresada mediante unidades

para determinar cuánto mide un ángulo; se

hace énfasis en que no importa la longitud de

los lados, sino la abertura entre ellos (Fig. 2).

Un primer paso en el proceso de medición

es la comparación entre ángulos; en la pági-

na 62 (Figs. 3 y 4) vemos que dos posibles

estrategias son: superponiendo un ángulo

con otro o construyendo un auxiliar que per-

mita determinar cuántas veces cabe en los

ángulos que se están comparando.

Se sugiere que haciendo girar un par de ti-

ras de cartón unidas en uno de sus extremos

pueden generarse diversos ángulos (Fig. 5),

esto da lugar a que se observe su relación

con la circunferencia o con una parte de ella

(un cuarto, la mitad, etc.). De esta acción se

para expresar cuánto fue girada una de las

tiras de cartón respecto a la otra. Se divide

la circunferencia en 360 partes iguales y se

indica que cada una de éstas es un grado

(1°), que es una unidad de medida en el sis-

tema sexagesimal ya que 1°=60 minutos y

1 minuto=60 segundos. De esta manera se

induce que un ángulo que abarca la cuarta

parte de una circunferencia tiene por medida

90°. Se introduce el transportador como el

instrumento con el cual es posible determi-

nar la medida de ángulos y la forma correcta

de usarlo. La medición de ángulos permite

explorar propiedades geométricas (Fig. 6),

como los ángulos que se forman al cortarse

dos rectas o los ángulos internos de triángu-

los (Fig. 7), como los de las escuadras (45°-

90°- 45° y 30°-60°-90°)

La suma y resta de ángulos es entre uni-

dades de medida homólogas (grados con

grados, minutos con minutos y segundos con

segundos), de esta manera al sumar 60°+30°

se obtienen 90°.

La medida de un ángulo sola-mente depende de la amplitud del giro que se realiza para llevar un lado a la posición del otro, a este movimiento se le llama rotación.

Un ángulo es mayor que otro cuando la rotación que se realiza para llevar un lado a la posición del otro es mayor.

La longitud de los lados de un ángulo no afecta su medida.

Fig.1

Fig.2 Fig.3

Fig.4

Fig.5

Fig.6

Fig.7

Fig.8

Medición 87

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. Analiza la lección y describe con detalle la secuencia didáctica que propone.

2. ¿Consideras conveniente esa secuencia? ¿Qué sugerencias harías? Argumenta con

detalle.

3.

para el estudio del tema de la lección?

4.

5. ¿Qué estrategias consideras que puedes implementar para apoyar al alumno a superar

6. ¿Cuáles son los antecedentes que requiere un alumno para abordar la lección?

7. ¿Cuáles son los contenidos matemáticos implícitos y explícitos de la lección?

8. ¿Qué otras unidades de medida para ángulos conoces? Descríbelas.

9. Realiza la siguiente actividad y anota tus conclusiones.

Medición88

En las páginas 4 a 8 del Tomo IV, Vol. 2, se

abunda en el tema del área.

El objeto de estudio de la lección es medir

página 4 (Fig. 1) se comparan dos trozos de

tela y se pregunta cuál tiene mayor super-

-

gunta es comparando en forma directa, su-

perponiendo los trozos de tela, sin embargo

uno es más grande que el otro.

En esta lección se asume el área como la medida de una

Se induce la noción de que

expresa en unidades cuadra-das mediante la actividad de contar cuántos cuadrados de igual tamaño la cubren.

abajo, el barco mide 14 uni-dades cuadradas y su vela 10.

Una unidad convencional para expresar el área es el centímetro cuadrado (cm2).

Fig.1

Fig.2

Fig.3

Fig.4 Fig.5

Fig.8

Fig.6

Fig.7

La comparación indirecta, que se auxilia de

(Fig. 2), una contiene 16 sellos y otra 13 (Fig.

3). Con base en esto se determina cuál y por

cuánto es una mayor que otra.

esto (Figs. 4 y 5) se acude a la estrategia de cuadricular los rectángulos y contar cuántos

En la página 7 (Figs. 6 y 7), los cuadrados

que se usan son de igual tamaño, cada uno

es una unidad cuadrada. Si el lado del cua-

drado mide un centímetro, la unidad de medi-

da se denomina “un centímetro cuadrado” (1

cm2), la cual es una unidad de área.

-

presada en forma numérica. Por ejemplo, al

contar los cuadrados de las siguientes super-

cm2 y

15 cm2.

De igual forma puede determinarse el área

diferente forma todas tienen un área de un

centímetro cuadrado (Fig. 8).

Medición 89

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. Describe en forma detallada la secuencia didáctica propuesta en la lección para intro-

2. ¿Cuáles antecedentes consideras necesarios para que tenga un alumno de cuarto

grado de primaria para abordar el estudio de la lección?

3. ¿Qué contenidos matemáticos aborda la lección?

4. Realiza las siguientes actividades y discútelas con tus compañeros.

5. Encuentren en equipos una estrategia para determinar el área de la

hoja de un árbol. ¿Cuál es el área que encontraron? ¿Es igual la medida

que encontraron todos los equipos? ¿A qué se debe que haya diferen-

tes resultados? ¿Todos usaron la misma unidad de medida de área?

-

quen sus respuestas.

rea de la

medida

iferen-

área?

-

Medición90

La fórmula para calcular el área de un rectángulo es:

Área = base × altura

La fórmula para calcular el área de un cuadrado es:

Área = lado × lado

Unidades de medida de área convencionales son el metro (m2) cuadrado, el kilómetro cuadrado (Km2), el centímetro cuadrado (cm2), entre otros.Algunas equivalencias son:

1 Km2 = 106 m2

1 m2 = 104 cm2

base

lado

lado

altura

En las páginas 9 a 17 del Tomo IV, Vol. 2 se continúa con el estudio del área. El cálculo

del área del rectángulo y el cuadrado puede resultar relativamente sencillo si se conocen las

medidas de sus lados, ya que sólo basta con multiplicarlas para conocer cuántas unidades

resultado que se obtiene al utilizar las fórmulas para el cálculo de su área.

Fig.3 Fig.4

En esta lección, el uso de fórmulas permite proponer actividades en las que a partir del

área y un lado se pide calcular la medida del otro lado, lo cual da origen al estudio de las

ecuaciones (la noción de incógnita, el signo igual, etc.).

-

diante métodos de composición y descomposición de áreas. Por ejemplo, en las siguientes

medida, como el metro cuadrado (m2), y el kilómetro cuadrado (Km2).

El uso de nuevas unidades cuadradas de

área genera la necesidad de establecer rela-

ciones entre las unidades, dando origen a un

sistema de unidades de medida. Por ejemplo:

un metro cuadrado es igual a diez mil centí-

metros cuadrados.

2

Fig.1 Fig.2

Medición 91

Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Realiza las siguientes actividades y compara tus respuestas con las de tus compañe-

ros. ¿Fueron iguales todas las estrategias? ¿Obtuvieron el mismo resultado?

2. Realiza la siguiente actividad en equipos. Preparen un presentación detallada de sus

respuestas y preséntelas al grupo.

3. Elabora una secuencia de actividades para abordar la conversión entre unidades de

medida de área, preséntala al grupo y discutan su pertinencia.

Medición92

Las imágenes de los paralelo-gramos de la página 3 plan-tean una situación interesante que no se hace explícita en el texto: los tres paralelogramos tienen el mismo perímetro (sus lados tienen igual longi-tud), sin embargo, sus áreas son diferentes. Esto puede motivar el interés del alum-no. Este problema puede ser planteado así: de todos lo paralelogramos posibles con lados de 5 y 6 unidades, ¿cuál es el que tiene mayor área?

Un problema diferente que involucra a los paralelogra-mos anteriores es: de todos los paralelogramos de perí-metro de 22 unidades, ¿cuáles son las dimensiones del que tiene mayor área?

Esta clase de problemas son casos elementales de la clase de problemas denominados isoperimétricos: entre todas las curvas cerradas en el pla-no que tienen el mismo perí-metro, ¿qué curva (si la hay) maximiza el área de la región que encierra?

Si la parte de la curva que está por debajo de la línea

área pero no el perímetro.

Si la elipse vertical se modi--

chas aumenta el área pero no cambia el perímetro.

http://es.wikipedia.org/

Isoperimetría

En las páginas 3 a 8 del Tomo V, Vol. 2, se abunda

en el tema del paralelogramo.

Los antecedentes del tema del cálculo de área

de un paralelogramo que se han abordado en

el texto son:

El propósito de la página 3 (Fig. 1) es que el

alumno piense cómo calcular el área de varios

paralelogramos, sabiendo que:

1. Los tres paralelogramos tienen lados de la

misma medida.

2. El alumno puede calcular el área de (a).

3. El alumno puede estimar las otras dos áreas

contando cuadrados (unidad de área) comple-

tos, o que se pueden completar entre ellos.

En la página 4 (Fig. 2) se presenta la solución

prevista para el paralelogramo (a). La solución

mostrada para el paralelogramo (b) introduce

un conocimiento nuevo. La esencia de esta so-

lución es que se transforma el paralelogramo en

un rectángulo y entonces el problema se reduce

al caso (a): calcular el área de un rectángulo.

La pregunta en este último caso es: ¿al llevar el

ángulo ABF a una nueva posición realmente se

completa un rectángulo?

Lo anterior se cumple si el triángulo CDE es

igual al triángulo BAF (Fig. 3). Esto se satisface

por lo siguiente:

1. AB es paralela a DC y BE es un segmen-

to de recta que pasa por F y C, entonces:

ABF= DCE.

2. DE se construye paralelo a AF para que sean

lados opuestos de un rectángulo, entonces:

CED= BFA.

3. De los dos pasos anteriores, y porque la

suma de los ángulos de un triángulo es 180°, se

tiene: CDE = BAF.

4. Además, AB=CD, por ser lados opuestos de

un paralelogramo.

5. De los pasos 1, 3 y 4 y el criterio de congruen-

cia ALA ABF DCE.

Por lo tanto la transformación es válida y el cálculo

de AF EF proporciona el área del paralelogramo

inicial. Hay que hacer notar que EF es la base del

rectángulo que se forma con la transformación y

AF es su altura.

Esta última conclusión se establece en la siguiente

página al formalizar la expresión para calcular el

área del paralelogramo.

Hay que hacer notar tres cosas:

en otro del cual se conoce la solución.

opuestos son paralelos.

el concepto rectángulo.

Fig.1

Fig.2

Fig.3

Fig.4

Medición 93

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1.

correcta y conduce al mismo resultado.

2.

los paralelogramos cuyo perímetro es 22 unidades, ¿cuáles son las dimensiones del

que tiene mayor área? Construye una tabla de resultados que ilustre la respuesta dada

al problema al considerar otros casos.

3.

Medición94

En las páginas 9, 10 y 12 del Tomo V, Vol. 2

se refuerza el conocimiento respecto al área

del triángulo.

Los antecedentes que se han abordado en

el texto sobre este tema son:

rectángulo.

paralelogramo.

Fig. 1) sugieren

dos transformaciones con base en sus cono-

cimientos anteriores. La manera en que se

ubicaron los triángulos en la malla sugiere

cómo hacer las transformaciones para tradu-

cir el problema del área del triángulo a otro

problema que los alumnos ya saben resolver.

Se muestran cuatro soluciones en la página

10 (Fig. 2) que se explican por sí mismas y

en que hacen ver el potencial heurístico de la

cuadrícula para apoyar la explicación.

Fig.1

Fig.2

Debemos notar que el cálculo del área que

se estableció anteriormente es de carácter

general, no se encuentra ligado a las particu-

laridades del triángulo usado ni a sus dimen-

siones o a la cuadrícula. Esto es así porque el

razonamiento que se empleó para obtener las

soluciones de la página 10 es válido en ge-

neral y no depende de la cuadrícula, aunque

la corta edad de los alumnos.

El problema se plantea en el contexto del cál-

culo de áreas de rectángulos y paralelogramos,

para calcular la del triángulo con las transforma-

la página 12 (Fig. 3) se establece lo siguiente:

Fig.3

Fig.4

Fig.5

La altura es un concepto que requiere aten-

ción para el cálculo de áreas del triángulo y

del cuadrilátero. La altura es un concepto que

está atado al lado que se toma como la base,

el lado que está en posición horizontal. Este

concepto es la razón de ser del contenido de

las páginas 6 (Fig. 4) y 12 (Fig. 5).

Medición 95

Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1.

2. Resuelve el problema:

3. Resuelve los siguientes ejercicios:

Medición96

En las páginas 8, 14, 15, 20 y 87 del Tomo

V, Vol. 2, se estudia la triangulación.

Al llegar a estas páginas el alumno conoce:

El uso de estas fórmulas requiere conocer los

valores de la base y la altura.

En la página 8 (Fig. 1), la imagen plantea el

-

nocer el área y uno de los datos, base o altura;

ahora el problema es calcular el otro dato que

se desconoce.

Esta variación da lugar a los problemas 5 y 6

de la página 14. En el 5, el dato por calcular es

la base del paralelogramo, mientras que en el 6

lo que hay que calcular es la altura del triángulo

(Fig. 2).

como las de los incisos 1 y 2. Para el problema 5

-

Las soluciones requieren aplicar una operación

inversa respecto a las de las de los incisos 1 y 2.

Triangulación: En esta imagen de la página 15

(Fig. 3) se describe la estrategia de triangulación

para calcular áreas de cuadriláteros y pentágo-

nos. En realidad la idea es no solamente usar

triángulos, sino dividir las áreas que se quieren

cuales se sepa y se pueda calcular su área.

Por ejemplo, para los tres problemas de la

imagen de la página 20 (Fig. 4), se procede de

las siguientes formas:

Para 1: la imagen se divide en siete parale-

logramos: cuatro azules y tres blancos, y para

todos se pueden conocer sus dimensiones para

calcular sus áreas.

Para 2: Conviene considerar el área rosa

como el resultado de restar las áreas de dos

triángulos: uno mayor de altura 10 y base 12 y el

blanco, de altura 5 y base 12.

-

dos paralelos, entonces basta dividirlo por una

de sus diagonales, forman dos triángulos cuyas

dimensiones se conocen.

Para el pentágono de la página 87 (Fig. 5), es

una solución inmediata que se apoya en el uso

de la cuadrícula.

Fig.1

Fig.2

Fig.3

Fig.4

Fig.5

Un propósito central de la formación en matemáticas es que el alumno aprenda a utilizarlas como herramienta para resolver problemas. Uno de los más relevantes conocedores del tema fue George Pólya (1887-1985). Que caracteriza en cuatro pa-sos la solución de problemas:

1. Comprender el problema. 2. Concebir un plan para des-cubrir la solución. 3. Ejecución del plan.

-miento y la comprobación del resultado.

Con respecto a los problemas que nos ocuparon, la compren-sión del problema pasa por el conocimiento de las imágenes que en todos los casos forman parte del enunciado y apoyan su comprensión. Para los problemas de triangu-lación, en todos los casos las ilustraciones que se emplean

siguiente paso es ejecutarlos. Sin embargo, no es explícito el paso 4, -cedimiento y comprobación del resultado. Este aspecto se aborda en el problema de la página 87, donde la cuadrícula claramente sugiere una solu-

-carla. En los otros casos este paso se apoya principalmente en la corrección del procedi-miento realizado.

97

Actividades que se sugieren para los futuros docentes. 1. Enlista los antecedentes que poseen los alumnos al momento de iniciar la realización

de las actividades de las páginas analizadas.

2. Para los problemas de triangulación, desarrolla el plan de solución delineado en la

3. Realiza las actividades de la página 86 del libro.

Medición98

Circunferencia. Es una línea curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de

Círculo.

comprendida en el interior

Cuerda.

recta que une dos puntos de

Diámetro. Es una cuerda que pasa por el centro de la

Razón. Es el cociente entre dos números o dos cantida-des comparables entre sí, lo cual puede expresarse como

3 y 4 es , que se lee “3 es

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. ¿Reconoces posibles obstáculos para que los alumnos no puedan intuir la relación entre las medi-

das de la circunferencia y el diámetro de un círculo mediante las actividades que propone la lección?

2.

de la circunferencia con el diámetro de un círculo?

3. ¿Qué estrategias utilizarías para discutir con tus alumnos acerca de que el valor de la razón de cir-

cunferencia

En las páginas 40 a 43 del Tomo V, Vol. 2

se estudia la relación entre el diámetro y la

circunferencia.

Fig. 1

ab

34

La primera parte de la lección en la pági-

na 40 (Fig. 1) aborda la relación entre las

medidas de la circunferencia y el diámetro

del círculo. En la actividad inicial el alumno

construye círculos a partir de la medida de

su diámetro, mide las circunferencias de los

círculos que construyó, estima la medida de

otra circunferencia dado su diámetro, com-

pleta una tabla y hace conjeturas a partir de

preguntas como: ¿qué sucede con la medida

de la circunferencia si aumenta la del diáme-

tro? ¿Qué pasa si se duplica la medida del

diámetro? ¿Y si se triplica? ¿Cuántas veces

es más larga la circunferencia que el diáme-

tro? ¿Es la misma cantidad de veces para

todos los círculos utilizados? Se conduce a

que el alumno gradualmente intuya que hay

un valor constante en la relación entre la cir-

cunferencia y el diámetro, lo cual no le debe

-

sarrollado habilidades para trabajar con los

En las siguientes actividades se pide a los

alumnos que mediante la operación de divi-

sión encuentren la razón entre las medidas

de la circunferencia y el diámetro.

El cociente entre dos números es interpre-

tado como la razón entre dichas cantidades.

Así que conforme el alumno completa la tabla

de la página 42 (Fig.2) puede observar que

todos los valores que obtiene para el último

renglón (Circunferencia ÷ Diámetro) son muy

parecidos, a tal resultado se le denomina en

la lección Razón de la circunferencia y el diá-

metro, que aproximado a centésimos es 3.14,

en la página 54 hay una breve reseña de esta

razón que se representa con la letra griega pi

-

cunferencia es mayor que el diámetro, y que

los alumnos ya habían intuido.

En las siguientes actividades, como las que

se incluyen en la página 43 (Fig.3) los alum-

nos deberán determinar las medidas de la

circunferencia y el diámetro de círculos con

ecuaciones sencillas.

Fig. 2

Fig. 3

Medición 99

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. ¿Consideras que alumnos de quinto grado de educación primaria pueden comprender las deducciones que

se hacen para obtener la fórmula para calcular el área del círculo? Explica con detalle tu respuesta.

2. En la deducción de la fórmula para el cálculo del área del círculo se usó el

arreglo con sectores circulares que se muestra a la derecha. Explica en forma

clara y detallada cómo y por qué es plausible usar este arreglo.

3. Indaga qué otras estrategias se han usado para deducir la fórmula para el cálculo del área del círculo y

prepara una presentación para discutirla con tus compañeros y con tu profesor.

Fig. 2

En las páginas 44 a 50 del Tomo V, Vol. 2, se estudia el cálculo del área del círculo y se abordan

varias maneras para deducir una fórmula para calcular esa área

En la página 45 (Fig. 1) podemos ver que un acercamiento para

el cálculo del área es mediante el cuadriculado del círculo en cua-

drados de 1 cm2, se obtiene una aproximación al sumar el total de

cuadrados azules con la mitad del total de cuadrados rosas. Se

muestra que para mejorar esta aproximación es necesario hacer

a la búsqueda de una fórmula que

permita calcular el área de manera

directa. Para ello, en la página 46 (Fig. 2) se sugiere la descom-

de estas piezas construir formas conocidas. Al trazar radios se

divide al círculo en sectores circulares que conforme el ángulo

central disminuye se asemejan a triángulos, es una manera de

“triangular el círculo”. La lección presenta tres arreglos (Fig. 3):

dos triángulos y un rectángulo, de los que se conoce una fórmula

para determinar su área.

una idea muy intuitiva del

se presenta el concepto como tal, pero sí aparece como un proceso implícito a través del Método de Exhaución que se

Este método se atribuye al

y se aplicaba al cálculo de

-

El Método de Exhaución consiste en aproximar una

correspondiente, de tal forma -

A partir de las fórmulas del área del triángulo ( ) y del rectángulo ( b x h) el alumno deberá

llegar a la del círculo (Radio x Radio x 3.14). Para ello establece equivalencias (como el hecho de que

el diámetro es igual a dos radios y que la base del rectángulo construido es la mitad de la longitud

de la circunferencia ), y realiza sustituciones que apoyen la deducción.

b x h2

Fig. 1

Fig. 3

Medición100

Una propiedad de los obje-tos es el espacio que ocupan, la medida de dicho espacio es su volumen.Una unidad de volumen es el espacio que ocupa un cubo cuya arista mide un centí-metro. Si las dimensiones de una habitación están expre-sadas en metros, se toma por unidad de volumen el metro cúbico, que es el espacio ocupado por un cubo cuya arista mide un metro.El volumen de un sólido es el número de unidades cúbi-cas que contiene.Si dos cuerpos tienen el mis-mo volumen se dice que son equivalentes.

En las páginas 53 a 56 del Tomo VI, Vol. 1 se

estudia el volumen de cuerpos y cómo puede

expresarse usando unidades de medida con-

vencionales. Primero se hace una compara-

ción de dos o más cuerpos y se pregunta cuál

tiene mayor tamaño. Las estrategias que se

sugieren para responder esta pregunta son

las siguientes:

Fig.1

igual medida) y se indica que el volumen del

cuerpo es su expresión numérica en unida-

des de medida. El centímetro cúbico (cubo

cuyas aristas miden un centímetro) es una

unidad de medida de volumen. Por ejemplo:

el volumen de los siguientes cuerpos es de

ocho, cuatro y doce centímetros cúbicos res-

pectivamente.

Fig.2

Fig.3

Fig.4

Fig.5

Fig.6

Cortar los objetos y reacomodar los trozos de

manera que las formas puedan compararse

al tener dos dimensiones de igual medida.

Otra manera es cortar en trozos iguales los

cuerpos (cubos de un centímetro de arista)

y contar cuántos contiene cada uno. Por últi-

mo se aborda el uso de elementos externos

(cubos) para reproducir los objetos y contar

cuántos se requirieron en cada caso.

Las comparaciones directa e indirecta que

se utilizan permiten determinar cuál de los

cuerpos es mayor; las dos últimas estrate-

posible decir qué tanto es uno mayor que el

otro. La medición del tamaño de los cuerpos

se hace con unidades cúbicas (cubos de

Se induce la idea de que los cuerpos geomé-

tricos con diferente forma que tienen igual

volumen, están compuestos por la misma

cantidad de unidades cúbicas.

Medición 101

Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Describe con detalle la secuencia didáctica que sugiere la lección en esta parte para

introducir la noción de volumen. Compara tu descripción con la de tus compañeros.

2. ¿Qué sugerencias puedes hacer para mejorar esta lección?

3. Revisa en equipo las actividades de la página 92 “¿Cómo es una caja de 1000 cm3?”

a. ¿Cuáles consideras que son los propósitos de estas actividades?

b. ¿Qué conocimientos matemáticos pone en juego el alumno al realizar estas

actividades?

c.

d.

Comparen su trabajo con los de los demás equipos.

Medición102

En las páginas 56 a la 62

del Tomo VI, Vol. 1 se aborda

la forma en que debe calcu-

larse un volumen. La fórmula

para el cálculo del volumen

de un prisma rectangular es:

Volumen del prisma rectan-

gular= largo × ancho × altura

Esta fórmula se deriva de

considerar el total de unida-

des cúbicas que caben en la

base del prisma (largo × an-

cho) y enseguida el total de

capas como éstas que abar-

can su altura (largo × ancho

× altura), lo cual se ilustra en

la página 56 (Fig. 1). Aunque

el uso de esta fórmula permi-

te calcular en forma casi au-

tomática el volumen del pris-

ma, es recomendable tener

ejemplo: el volumen de ese

prisma es 2 × 3 × 4 =24 cm3.

Una consecuencia de esto

es la fórmula para el cubo:

Volumen del cubo = arista ×

arista × arista. En la lección

se muestra que para cuer-

pos de mayor volumen es

conveniente usar como uni-

dad el metro cúbico, su equi-

Un poliedro es un sólido li-mitado por planos.

Un prisma es un poliedro en el que dos de sus caras son polígonos iguales situados en planos paralelos y sus otras caras son paralelogramos.

Los dos polígonos paralelos se llaman bases del prisma y los paralelogramos se llaman caras laterales; las intersec-ciones de las caras laterales se llaman aristas.

En el caso de los prismas, el término cara se aplica exclu-sivamente a las laterales.

Un prisma recto es aquél cu-yas caras son perpendiculares a las bases.

En el Sistema Internacional la unidad para medir volúme-nes es el metro cúbico (m3). El decímetro cúbico (dm3) y el centímetro cúbico (cm3) son submúltiplos del metro cúbico. Sus equivalencias con el metro cúbico son:1 m3 = 1 000 dm3

1 m3 = 1 000000 cm3

Fig.3

valencia en centímetros cú-

bicos se obtiene al multiplicar

100 × 100 × 100 = 1000000

cm3, como se muestra en la

metro cúbico hay 100 × 100

cubos de un centímetro por

lado y para cubrir su altura

se necesitan 100 grupos de

100 × 100 cubos. Las equi-

valencias más usuales entre

las unidades de volumen y

las de capacidad son las si-

guientes: 1cm3=1ml, 1dm3 = 1l

y 1m3 =1000l, en la imagen

de la página 61 (Fig. 3) se

Fig.1

Fig.2

ilustran estas equivalencias y

las proyecciones dan una idea

de la proporción que guardan

entre sí estas unidades de me-

dida. Para el cálculo del volu-

men de cuerpos compuestos

por prismas rectangulares y

cubos pueden seguirse estra-

tegias como la composición y

descomposición de cuerpos.

Este tipo de actividades in-

ducen la noción de concep-

tos como conservación del

volumen, por ejemplo: el ele-

fante tiene el mismo volumen

que el prisma y el cubo

(Fig.6), ya que fue moldeado

con la plastilina que están

hechos ambos cuerpos.

Fig.4

Fig.5

Fig.6

Medición 103

Actividades que se sugieren

para los futuros docentes 1. Realiza la actividad que se encuentra

en la página 58 y compara tus respuestas

con las de tus compañeros. ¿Son todas

iguales? ¿A qué se debe?

2. Realiza las siguientes actividades.

a. Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

b.

c.

d.

e. ¿Consideras que la secuencia didáctica de la lección provee los conocimientos

y experiencias necesarias para que el alumno aborde estas actividades?

f. ¿Qué propones para mejorar la lección?

3. Revisa cuidadosamente en equipo las páginas 64 y 65 “Volumen de un prisma”.

Anota tus observaciones y comentarios.

4. ¿De qué manera puede comprobarse

que el volumen del elefante es el mismo

que el de los cuerpos geométricos? Puedes

revisar la página 67 “¿Puedes hacer esto?:

El volumen de distintos cuerpos”.

5. Realicen en equipos las actividades de las páginas 96 y 97 “Construyamos cubos y

rellenémoslos”.

a. ¿Qué contenidos matemáticos están involucrados en estas páginas?

b. ¿Qué relación hay entre los conocimientos geométricos y aritméticos en estas actividades?

c. ¿Qué aspectos didácticos debe tener en cuenta un profesor al utilizar estas activida-

des con sus alumnos de sexto grado?

Medición104

Si en una habitación hay tres personas, la media aritmética de la cantidad de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de reunir el dine-ro de los tres y dividirlo en partes iguales entre cada uno de ellos.

El promedio (media aritméti-ca) es una medida estadística que permite representar los datos de una población, por ejemplo: el dinero que tiene cada persona. En este caso, el promedio informa la canti-dad de dinero que aproxima-damente posee cada persona.

Si los datos son muy dis-persos la información que proporciona el promedio

ejemplo: si las edades en años cumplidos de cinco niños fueran 5, 5, 5, 10 y 10 años, el promedio sería (5+5+5+10+10)÷5=7.

-lor “7 años” no representa de un modo adeptable las eda-des de los niños que forman esa población.

En resumen, el promedio es una medida representativa de los datos de una pobla-ción si esos datos no son muy dispersos.

Una manera de medir la dis-persión es mediante la des-viación estándar.

En las páginas 70 a 73 del Tomo VI, Vol. 1, se estudia la medición de situaciones que por las carac-

Por ejemplo: ¿cómo comparamos los registros diarios de lectura de dos niños?, sus resultados

son mostrados en las tablas (Fig.1). El número de páginas que leen cada día es diferente, ¿qué

medida le corresponde a cada uno de esos conjuntos de valores? La unidad de medida para

esta situación es repartir de manera equitativa el número de páginas entre los días en que

modo que en el primer caso se observa que se leyeron en promedio cinco páginas por día y

en el segundo caso seis. El segundo niño tiene un promedio mayor de páginas leídas por día.

Fig.1

Fig.2

De un conjunto de valores obtenidos en una cierta cantidad de momentos, el promedio es una

unidad de medida que representa los datos registrados de mejor manera. En la lección se avanza

hacia un procedimiento analítico para calcular el promedio, para esto se presentan dos estrategias

que permiten encontrar entre cuatro cantidades de jugo una que las represente (el promedio).

La segunda estrategia induce el procedimiento, la suma del contenido de todos los recipientes y su

repartición equitativa entre los cuatro sugiere el algoritmo convencional para calcular el promedio:

Promedio = (suma de todas las cantidades) ÷ (número de cantidades)

El promedio puede contener números decimales, por ejemplo: el peso promedio de los hue-

vos que pone la gallina blanca es de 57g y el de la otra es de 65.33 g. Aun para cantidades

discretas es válido usar decimales, por ejemplo: el número de libros leídos en un mes por

cinco alumnos, con los datos que aparecen en la tabla, es de 2.8 libros por niño.

Fig.4

Fig.5

Fig.4

Medición 105

Actividades que se sugieren para los futuros docentes

1. ¿Consideras conveniente la secuencia didáctica utilizada para abordar el concepto de

promedio estadístico? Explica con detalle tu respuesta.

2. ¿Es el promedio siempre el mejor valor para representar un conjunto de datos como

3. Realiza las siguientes actividades y compara tus procedimientos y respuestas con las de

4. Revisa en equipo con todo detalle la ac-

tividad de las páginas 100 y 101 “¿Cuántas

monedas hay?”

a) Expongan en equipos las dos estrategias

de la página 101. ¿Cuáles son los contenidos

y procedimientos matemáticos explícitos e

implícitos de esta actividad?

b) ¿Hay otras formas de resolver la actividad?

Describe cuáles y explícalas con detalle.

c) Pon en práctica la actividad con un grupo

de sexto grado de primaria, registra todo lo

sucedido y comparte tus experiencias con las

de tus demás compañeros. ¿Qué aprendi-

zajes observaron? ¿Encontraron estrategias

diferentes a las de la lección?

5. Indaga cómo calcular la desviación están-

dar y construye poblaciones de cinco ele-

mentos que arrojen los siguientes resultados:

a) Promedio igual a 8 y desviación estándar

igual a cero.

b) Promedio igual a 10 y desviación estándar

igual a 1.

Medición106

En las páginas 74 a 80 del Tomo VI, Vol. 1,

se aborda el concepto de densidad de pobla-

ción, la cual mide cuántas personas habitan

un territorio por unidad de área.

-

tes de 1m2, se pregunta en cuál caso hay una

mayor o menor concentración de niños. Al

distribuírlos en grupos del mismo tamaño en

cada tapete tenemos que para a) hay 6 niños

por metro cuadrado, para b) hay 4 y para c)

en a) hay la mayor concentración y en b) la

menor. La unidad de medida para esta situa-

ción es la densidad de población, la cual se

calcula mediante la fórmula:

La lección continúa con el estudio de otras

situaciones que requieren el uso de una me-

dida por unidad auxiliándose de tablas de doble entrada (con el valor por unidad de medida

como interrogante) y rectas donde se señala la posición del 1 y su valor correspondiente en

la tira (modelos continuos). Cada situación pide hacer una comparación, la cual puede reali-

zarse una vez que se conoce el valor por unidad de medida. Por ejemplo: en qué huerta se

logra una mejor producción de papa, cuál cuaderno es el de mejor precio, cuál alambre es el

más pesado. Las comparaciones pueden hacerse si se conocen el peso de la papa por metro

cuadrado, el valor unitario de los cuadernos y el peso por metro de los alambres.

La relación entre un espacio determinado y el número de personas que lo habitan se lla-ma densidad de población, la cual se calcula al dividir el nú-mero de personas que viven en

el número de kilómetros cua-drados que mide ese territorio.

La medida por unidad pue-de determinarse al encontrar la razón entre las variables.

metro de alambre (medida por unidad).

Fig.1

Fig.2

Conocido el valor por unidad de medida

pueden determinarse otros valores. En la ta-

de alambre) le corresponden 20 gramos de

peso, se pregunta cuántos gramos le corres-

ponden a 15 metros. El procedimiento mos-

trado consiste en multiplicar al valor unitario

por la nueva longitud.

-

de determinarse con una división: Longitud =

(peso) ÷ (peso por unidad de longitud). Fig.3

Fig.4 Fig.5

Medición 107

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. Describe con detalle la secuencia didáctica de esta parte de la lección. Usa un esquema.

2. ¿Consideras pertinente la forma de abordar el contenido matemático de esta parte de

la lección? Explica con detalle.

3. ¿Qué ajustes sugieres a esta parte de la lección? Descríbelos claramente.

4. ¿Qué conocimientos matemáticos consideras que debes poseer como docente para

guiar y orientar esta lección con alumnos de sexto grado de educación primaria?

5. Realiza las siguientes actividades y revísalas con tus compañeros. Discutan su per-

educación primaria.

6. Trabaja en grupo la actividad de la página 88 “¿Puedes hacer esto?” “El promedio y

la aglomeración con el medio ambiente”. Consideren el posible escenario en un salón

de clases de un grupo de sexto grado de primaria y realicen las conjeturas necesarias

en una situación real.

7. Indaga los datos necesarios y calcula la densidad de población de la entidad federa-

tiva en la que vives.

Medición108

En las páginas 81 a 85 del Tomo VI, Vol. 1, se estudia la medición de la velocidad, la cual puede

ser expresada mediante una unidad de medida. En el proceso para comparar la velocidad de tres

carritos de juguete se construye una tabla con los datos de la distancia y el tiempo que recorren.

Se pregunta cuál de los tres carritos es más veloz. Si emplean el mismo tiempo o recorren la

misma distancia la comparación es directa, por ejemplo: los autos de los incisos a) y b) emplearon

el mismo tiempo y el inciso a) recorrió mayor distancia por lo que a) fue más veloz que b); en el

caso de los carros de b) y c) ambos recorrieron la misma distancia pero c) empleó menos tiempo

así que c) fue más veloz.

En la lección la velocidad es la relación entre la distancia que recorre un carrito de ju-guete y el tiempo que tarda en recorrerla. Si la velocidad

Km/h, quiere decir que recorre una distan-

Km en cada hora.

Decir que la velocidad es la relación entre la distancia y el tiempo, es equivalente a decir que se trata de la razón entre la distancia y el tiempo.

-corre 150 Km en 3 horas, su velocidad es:

150 Km / 3h = 50 Km/h

Fig.1

Fig.2

Fig.4

Para comparar a) y c) que no recorrieron la misma distancia o emplearon tiempos iguales es

necesaria otra consideración: se debe calcular el desplazamiento por unidad de tiempo, esto es,

a) recorre 8 metros por minuto y c) 7.5 metros por minuto, así que a) es más rápido. La unidad de

medida para la velocidad es la distancia recorrida por unidad de tiempo:

Velocidad = distancia ÷ tiempo

En la lección se muestra que las unidades de medida

de tiempo no se limitan a los minutos, también es posi-

ble usar segundos y horas, con los respectivos procedi-

mientos para su conversión de una a otra unidad, como se

A partir de la relación para expresar la velocidad se muestra que pueden determinarse la distan-

cia o el tiempo: Distancia = velocidad × tiempo y Tiempo = distancia ÷ velocidad

La velocidad puede expresarse mediante medidas por unidad que hacen posible determinar

entre varias cuándo una es mayor.

Con esta parte la lección concluye el estudio de diversas situaciones que pueden ser medidas y

expresadas con unidades de medida como el promedio, la densidad y la medida por unidad.

Fig.3

Medición 109

Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. ¿Consideras conveniente el tratamiento didáctico de esta parte de la lección? Explica

con detalle.

2. ¿Qué sugerencias puedes hacer para mejorarla? Descríbelas con detalle.

3. ¿Cuáles consideras que son los contenidos matemáticos necesarios para que un

alumno de sexto grado de educación primaria aborde el estudio de esta parte de la

lección?

4. Realiza las siguientes actividades y revisa tus respuestas con las de otros compañeros.

enfrentar los alumnos de sexto grado de primaria? ¿Qué otras actividades propones?

5. Realiza la actividad de la página 93 (“El juego de la velocidad”) con un grupo de sexto

grado de educación primaria. Intercambia tus experiencias con las de otros compañeros

que también la hayan puesto en práctica. ¿Es factible su puesta en práctica en un grupo

escolar? ¿Qué conocimientos y habilidades matemáticas son puestas en práctica por los

alumnos al realizarla? ¿Requieren hacerse ajustes a la actividad? ¿Cuáles y por qué?

Medición110

A lo largo de esta serie de tex-tos el proceso de medición se ha desarrollado mediante pro-cesos que incluyen la compa-ración, el uso de un patrón,

de medida convencional y un sistema de unidades con el cual es posible hacer con-versiones y cálculos. Aunque en muchas de las situaciones reales no siempre es posible usar en forma directa fór-mulas o los procedimientos convencionales, éstos son las herramientas que ayudan a construir nuevos recursos para medir.

Hoy en día contamos con una gran variedad de recursos tecnológicos que auxilian en el proceso de medición, sin embargo, no debiera dejarse a un lado la curiosidad de los alumnos por desentrañar las bases matemáticas que per-miten la construcción y fun-cionamiento de los sistemas y procedimientos de medi-ción, teniendo en cuenta que

quienes los desarrollaron.

En las páginas 29 y 30 del Tomo VI, Vol. 2 se -

para calcular su área. En la lección se proponen dos métodos, el primero consiste en colocar la

y un kilómetro, con base en esto los alumnos cuentan la unidades cuadradas enteras conteni-

-

cuadrados son consideradas como una unidad entera; de esta manera se obtiene una aproxi-

-

-la para el cálculo de su área. Es decir, el nuevo

La lección sugiere el empleo de los métodos antes descritos

Para este último, es posible consultar su área en diversas Km2. Como se observa

en la siguiente tabla las medidas obtenidas son aproximacio-

6

12

12

6

1

11

11

7

2

4

10

7

3

5

10

8

8

9

9

Método Cálculo Área (km2)

12 Km2

2 12.56 Km2

10.5 Km2

2A=

Medición 111

Actividades que se sugieren para los futuros docentes

1. ¿Consideras pertinente la propuesta didáctica para abordar el tema de la lección?

2.

de sexto grado de educación primaria para abordar esta lección?3. -

4. Selecciona una de las actividades de la lección y ponla en práctica con un grupo de alumnos de sexto grado de educación primaria. Registra tus observaciones e intercám-bialas con las de tus demás compañeros

5.

a) ¿Cuál es aproximadamente el área del terreno?b)

6. El matemático George Pick determinó la relación existente entre los nodos (puntos de inter-

sobre ella. Si f i

a)

b) -

7.

10 m

10 m

)1(2

, if

A if

nudos en el interior

Geometría y Medición112

Gould Peter, Isoda, M., Eng Foo Chuan. eds.(2012). Companion Mathematics Challenge (written by

Yasuhiro Hosomizu). Sydney: State of New South Wealth Department of Education and Communities.

Gould Peter, Isoda, M., Eng Foo Chuan. eds. (2010). (written

by Yasuhiro Hosomizu). Sydney: State of New South Wealth Department of Education and TrainingState

of New South Wealth Department of Education and Training.

Hitotsumatsu, Shin et al eds. (2005). (11

vols). Tokyo, Japan : Gakkohtosho.

Isoda, M. ed. (2010). -

tics (grade 7-9) (by the Ministry of Education, Culture, Sports, Science and Technolog, Japan).Tsukuba:

CRICED, University of Tsukuba.

Isoda, M. ed. (2010). -

tics (grade 1-6) (by the Ministry of Education, Culture, Sports, Science and Technolog, Japan).Tsukuba:

CRICED, University of Tsukuba.

Isoda, M. (2011).

, Journal of Science and mathematics Education in Southeast Asia. 34(1). 2-25.

Isoda, M. (2003).

. vol.1-3. Tokyo: Meijitoshosyuppan. (writ-

ten in Japanese).

Isoda, M. (1997).

. Journal of Japan Society of Mathematics

Education. 79(1). 2-12. (written in Japanese).

Isoda, M.; Arcavi, Abraham; Mena Lorca, Arturo.(2008). -

2a ed. Valparaí-

Isoda, M.; Katagiri, S. (2012). . Singa-

Referencias

Geometría y Medición 113

Isoda, M.; Murata, Aki; Santillán, Marcela; Cedillo, Tenoch et al trans. and eds. (2011).

(12 vols). Tokyo, Japan : Gakkohtosho.

Isoda,M. Nakamura, Takashi (eds). (2010).

, Journal of Japan Society of Mathematical Education,

92(11). 1-157.

Isoda, M., Olfos, Raimundo. Coordinadores. D’Ambrosio, Ubiratan y Chamorro, Claudia Georgia

Sabba María del Carmen; Block, David y Reséndiz, Laura; Mendes, María de Fátima; Brocardo, Joa-

na y Oliveira, Hélia. (2011).

Propuestas Iberoamericanas

Isoda, M.; Olfos, Raimundo (2009).

Universidad Católica de Valparaíso.

Isoda,M.;Olfos, Raimundo (2009).

demandas curriculares

Isoda, M.; Stephens Max, Ohara Yutaka, Miyakawa Takeshi eds. (2007).

Stigler, J., Hiebert, J. (1999). Teaching Gap. NY: Free Press.

Geometría y Medición114

Colofón

Itatibusa vendisi quiamusa dusamus.

Us, iur sim quasi qui dolluptam con coria et laccatustio core,

quostrunt, si nos et etur? Qui sinctem ut volum et ressus sun-

toreptat.

Iquisse repratur, audam, coratas eturiat.

Lupta quos re nobit voluptatio. Et etur?

Occus est od molorru ptatis is nempos demporeped exceaque

velessi nctatur?

Occuptatio. Cerum voloris earchicia as sed quasimus et

quid modit voluptam endis sunt exceperchici tet re sit quatur

antibus, il eatem et maion pra dolenim intotatis dolupta quaturi

-

tem quiatior sime re, soluptae. Ut delest eum et et aditionsed

untemporrum eum re parum harumque nonsequi aute labor

reiciam que evel molore, sam, sit qui omnimo ipsaepedis sit ut

et et, quundit, ut reicide molupta ssit