2º ESO - Matemáticas - SM - 1I = DIVISIBILIDAD. NÚMEROS ENTEROS - 2 – Números primos y compuestos

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13. a) 39 no es divisible entre 2, porque no acaba en 0 ni cifra par

es divisible entre 3, porque •

=+ 393 ⇒ luego es compuesto

b) 18 Sí es divisible entre 2, porque acaba en cifra par ⇒ luego es compuesto

c) 53 es primo, ya que dividido, sucesivamente, entre los de la serie de primos sale: No es divisible entre 2, porque no acaba en 0 ni en cifra par

No es divisible entre 3, porque •

≠=+ 3835 No es divisible entre 5, porque no acaba en 0 ó 5 No es divisible entre 7, porque 53 = (7 x 7) + 4 7 = 7 No es divisible entre 11, porque 53 = (11 x 4) + 9 11 > 4 → no hay que seguir.

d) 71 es primo, ya que dividido, sucesivamente, entre los de la serie de primos sale: No es divisible entre 2, porque no acaba en 0 ni en cifra par

No es divisible entre 3, porque •

≠=+ 3817 No es divisible entre 5, porque no acaba en 0 ó 5 No es divisible entre 7, porque 71 = (7 x 10) + 1 7 < 10 No es divisible entre 11, porque 71 = (11 x 6) + 5 11 > 6 → no hay que seguir. e) 77 No es divisible entre 2, porque no acaba en 0 ni en cifra par

No es divisible entre 3, porque •

≠=+ 31477 No es divisible entre 5, porque no acaba en 0 ó 5

Sí es divisible entre 7, porque 77 = (7 x 11) + 0 ⇒ luego es compuesto f) 121 No es divisible entre 2, porque no acaba en 0 ni en cifra par

No es divisible entre 3, porque •

≠=++ 34121 No es divisible entre 5, porque no acaba en 0 ó 5 No es divisible entre 7, porque 121 = (7 x 17) +2 7 < 17 Sí es divisible entre 11, porque 121 = (11 x 11) ⇒ luego es compuesto

g) 147 No es divisible entre 2, porque no acaba en 0 ni en cifra par

Sí es divisible entre 3, porque •

=++ 3741 ⇒ luego es compuesto

h) 169 No es divisible entre 2, porque no acaba en 0 ni en cifra par

No es divisible entre 3, porque •

≠=++ 316961 No es divisible entre 5, porque no acaba en 0 ó 5 No es divisible entre 7, porque 169 = (7 x 24) + 1 7 < 24 No es divisible entre 11, porque 169 = (11 x 15) + 4 11 < 15

Sí es divisible entre 13, porque 169 = (13 x 13) + 0 ⇒ luego es compuesto

i) 239 es primo, ya que al dividirlo sucesivamente, entre los de la serie de primos, sale: No divisible entre 2, porque no acaba en cifra par

No divisible entre 3, porque •

≠=++ 314932 No divisible entre 5, porque no acaba en 0 ó 5 No divisible entre 7, porque 239 = (7 x 33) + 2 7 < 33 No divisible entre 11, porque 239 = (11 x 21) + 8 11 < 21

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No divisible entre 13, porque 239 = (13 x 18) + 5 13 < 18 No divisible entre 17, porque 239 = (17 x 14) + 1 17 > 14 → no hay que seguir.

j) 343 es primo, porque al dividirlo, sucesivamente, entre los de la serie de primos, sale: No es divisible entre 2, porque no acaba en 0 ni en cifra par

No es divisible entre 3, porque •

≠=++ 310343 No es divisible entre 5, porque no acaba en 0 ó 5 No es divisible entre 7, porque 343 = (7 x 47) + 4 7 < 47 No es divisible entre 11, porque 343 = (11 x 31) + 2 11 < 31 No es divisible entre 13, porque 343 =(13 x 26) + 5 13 < 26 No es divisible entre 17, porque 343 = (17 x 20) + 3 17 < 20 No es divisible entre 19, porque 343 =(19 x 18) + 1 19 > 18 → no hay que seguir.

k) 803 No es divisible entre 2, porque no acaba en 0 ni encifra par

No es divisible entre 3, porque •

≠=++ 311308 No es divisible entre 5, porque no acaba en 0 ó 5 No es divisible entre 7, porque 803 = (7 x 114) + 5 Sí es divisible entre 11, porque 803 = 11 x 73 → luego es compuesto.

l) 2001 No es divisible entre 2, porque no acaba en 0 ni en cifra par

Sí es divisible entre 3, porque •

≡=+++ 331002 ⇒ luego es compuesto 14. El nº siguiente 117, no es primo, pues es divisible entre 3 (1+1+7 = 9 = múltiplo de 3) El nº 118 no es primo, pues es divisible entre 2, al acabar en cifra par El nº 119 no es primo, pues es divisible entre 7, ya que 119 = (7 x 17) + 0 El nº 120 no es primo, pues es divisible entre 2, al acabar en 0 El nº 121 no es primo, pues divisible entre 11, ya que 121 = (11 x 11) + 0 El nº 122 no es primo, pues es divisible entre 2, al acabar en cifra par El nº 123 no es primo, pues es divisible entre 3, ya que 1 + 2 + 3 = 6 (múltiplo de 3) El nº 124 no es primo, pues es divisible entre 2, al acabar en cifra par El nº 125 no es primo, pues es divisible entre 5, al acabar en 5 El nº 126 no es primo, pues es divisible entre 2, al acabar en cifra par El nº 127 sí es primo, pues: No es divisible entre 2, al no acabar en 0 ni en cifra par No es divisible entre 3 (1+2+7=10 ≠ múltiplo 3) No es divisible entre 5 (no acaba en 0 ni 5) No lo es entre 7: 127 = (7 x 18) + 1 7 < 18 No lo es entre 11: 127 = (11 x 11) + 6 11 = 11 No lo es entre 13: 127 = (13 x 9) + 10 13 > 9 → no hay que seguir 15. En la serie de los números, comprendidos entre 300 y 400, retiramos sucesivamente:

• Los divisibles entre 2 y quedan 301, 303, 305, 307, 311, 313, 315, 317, 319, … • Los divisibles entre 3 y quedan 301, 305, 307, 311, 313, 317, 319, 323, 327, … • Los divisibles entre 5 y quedan: 301, 307, 311, 313, 317, 319, 331, 337, 341, …

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• Los divisibles entre 7 y quedan: 307, 311, 313, 317, 319, 323, 331, 337, 341, … • Los divisibles entre 11 y quedan: 307, 311, 313, 317, 323, 331, 337, 347, 349, … • Los divisibles entre 13 y quedan: 307, 311, 313, 317, 323, 331, 337, 347, 349, … • Los divisibles entre 17 y quedan: 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, … • Los divisibles entre 19 y quedan: 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, … Como los cocientes, de estos números entre 19, son menores que 19, no hay que seguir. Se eligen, pues, cuatro de la serie: 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, …

Análogamente se hace en la serie: 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, … • Al quitar divisibles entre 2, queda: 401, 403, 405, 407, 409, 411, 413, 415, … • Al quitar divisibles entre 3, queda: 401, 403, 405, 407, 409, 413, 415, 419, … • Al quitar divisibles entre 5, queda: 401, 403, 407, 409, 413, 419, 421, 427, … • Al quitar divisibles entre 7, queda: 401, 403, 407, 409, 419, 421. 431, 439, … • Al quitar divisibles entre 11, queda: 401, 403, 409, 419, 421, 431. 433, 439, … • Al quitar divisibles entre 13, queda: 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, … • Al quitar divisibles entre 17, queda: 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, … • Al quitar divisibles entre 19, queda: 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, … • Al quitar divisibles entre 23, queda: 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, … Como los cocientes, de estos números entre 23, son menores que 23, no hay que seguir. Se eligen, pues, cuatro de la serie: 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, …

Otro método, más lógico y rápido, para elegir los precedentes “números primos”, consiste en disponer de la serie de números primos, adquirida o confeccionada, que es la siguiente: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503.

Se comprueba que los “números primos” señalados arriba son coincidentes. 16. Para no repetir el proceso del ejercicio precedente, directamente de la tabla anterior: Números primos entre 200 y 205 ⇒ Ninguno En efecto: 201 es divisible entre 3, 202 entre 2, 203 entre 7 y 204 entre 2. Números primos entre 300 y 305 ⇒ Ninguno En efecto: 301 es divisible entre 7, 302 entre 2, 303 entre 3 y 304 entre 2.