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7/23/2019 2.-Vectores-2015
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2. lgebra de vectoresFsica General
Ing. Civil InformticaEduardo Chanda A.
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Sistemas de coordenadas Es utilizado para describir la posicin de un
punto en el espacio.
Un sistema de coordenadas se compone de:
Un punto de referencia O, denominado origen.
Un conjunto de ejes especificados con escalas y
leyendas sobre los ejes. Instrucciones sobre cmo marcar un punto en el
espacio en relacin con el origen y los ejes.
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Sistemas de coordenadas El sistema de coordenadas que
se emplear con frecuencia esel sistema de coordenadascartesiano.
Un punto se designa con lascoordenadas (x,y).
La direccin x positiva sedefine a la derecha del origen.
La direccin y positiva sedefine hacia arriba del origen.
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Propiedades trigonomtricas
A
B
c
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Ejercicio Se tiene un rectngulo de
lados:
C=5 m A=4 m
B=3 m
Obtener el seno, coseno y
tangente del ngulo , juntocon el valor del ngulo.
A
B
c
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Sistemas de coordenadas El sistema de coordenadas
polareses otro sistema decoordenadas.
Un punto en el plano sedesigna con las coordenadas(r,).
r es la distancia desde elorigen hasta el punto de
coordenadas (x,y). es el ngulo entre r y un eje
fijo.
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Sistemas de coordenadas Ambos sistemas de
coordenadas se relacionan dela siguiente forma:
22
tan
cos
yxr
xy
rseny
rx
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Vector Ente matemtico cuya
determinacin exige elconocimiento de un mdulouna direccin y un sentido.
Grficamente a un vector serepresenta por un segmento derecta orientado
Analticamente se representapor una letra con una flechaencima.
PO
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Elementos Vector Direccin:
Grficamente viene representada por la recta soporte. En el
plano por un ngulo y en el espacio mediante tres ngulos.
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Elementos Vector Sentido:
Es el elemento que indica la
orientacin del vector.Grficamente vienerepresentada por la cabezade flecha.
Magnitud:
Representa el valor de la
magnitud fsica a la cual seasocia. Grficamente vienerepresentado por la longituddel segmento de recta.
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Magnitudes fsicas Magnitud Escalar:
Solo tiene magnitud y no direccin.
Queda especificada con un nmero y su unidad.
Ejemplo: Longitud, rea, temperatura, masa, etc.
Magnitud Vectorial: Tiene magnitud, direccin y sentido.
Ejemplos: Fuerza a un objeto, posicin de unapartcula, velocidad de un auto, etc.
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Propiedades de Vectores Igualdad de Vectores:
Se define que 2 vectores A y Bson iguales si tienen la mismamagnitud y apuntan en lamisma direccin.
No es necesario que ambosvectores tengan el mismoinicio.
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Propiedades de Vectores Adicin de Vectores:
Se suman los vectores mediante la regla del triangulo o
paralelogramo.
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Propiedades de Vectores Conmutatividad: Asociatividad:
ABBA
CBACBA
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Propiedades de Vectores Negativo de un vector: Sustraccin:
0 VV
VUVU
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Propiedades de Vectores Multiplicacin de un vector por un escalar:
Si el vector A se multiplica por un escalar c, el producto cA es unvector que tiene la misma direccin que A y magnitud cA.
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Ejercicio Un automvil viaja 20 km al norte y luego a 35
km en una direccin 60 al noroeste, como se
muestra en la figura. Encuentre la magnitud ydireccin del desplazamiento resultante delautomvil.
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Ejercicio Un automvil viaja 20 km al norte y luego a 35
km en una direccin 60 al noroeste, como se
muestra en la figura. Encuentre la magnitud ydireccin del desplazamiento resultante delautomvil.
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Componentes de un vector Cualquier vector puede expresarse en trminos de sus proyecciones:
Un vector A localizado en el plano xy puede expresarse como la suma deotros 2 vectores.
Axrepresenta la proyeccin de A en el eje x, y Ayrepresenta la proyeccinde A en el eje y.
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Componentes de un vector Cualquier vector puede expresarse en trminos de sus proyecciones:
yx
y
x
AAA
AsenA
AA
cos
22
1
yx
x
y
AAA
A
A
tg
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Vectores Unitarios A cada uno de los ejes se les asigna vectores
unitarios:
Cada uno de estos vectores unitario a tienemdulos iguales a la unidad y direcciones
perpendiculares entre s.
, ,i j k
i j k
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Vectores Unitarios
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Componentes de un vector Suma de vectores por sus componentes:
jAiAA yx
yjxir
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Componentes de un vector Suma de vectores por sus componentes:
jRiRR
jBAR
iBAR
jBAiBARBAR
yx
yyy
xxx
yyxx
)(
)(
)()(
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Componentes de un vector Suma de vectores por sus componentes:
xx
yy
x
y
yyxx
yx
BA
BA
R
R
BABAR
RRR
tan
22
22
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Componentes de un vector Representacin y suma de vectores en el plano x, y, z
kBAjBAiBABAR
kBjBiBB
kAjAiAA
zzyyxx
zyx
zyx
)()()(
)(
)(
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Ejercicio 1 Determine la suma de A y B en el plano xy, junto con la
magnitud del vector resultante y el ngulo que forma con eleje x positivo.
?
?
?
42
22
R
BAR
jiB
jiA
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Ejercicio 1 Determine la suma de A y B en el plano xy, junto con la
magnitud del vector resultante y el ngulo que forma con eleje x positivo.
44,33356,2636056,26)5,0(tan
5,04
2tan
47,42024
2
4
24)42()22(
1
2222
x
y
yx
y
x
R
R
RRRR
R
R
jijiBAR
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Ejercicio 2 Una partcula experimenta tres desplazamientos
consecutivos. Encuentre las componentes del desplazamientoresultante y su magnitud.
jid
kjid
kjid
5,13,1
6,34,13,2
2,135,1
3
2
1
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Ejercicio 2 Una partcula experimenta tres desplazamientos
consecutivos. Encuentre las componentes del desplazamientoresultante y su magnitud.
2,6
8,4
1,3
5,2
321
R
R
R
R
dddR
z
y
x
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Ejercicio 3 Una excursionista inicia una excursin caminando primero 25 km hacia el
sureste desde su campamento base. En el segundo da camina 40 km en unadireccin 60 al norte del este, punto en el cual descubre la torre de un
guardabosque.
a) Determine la componente del desplazamiento diario del excursionista.
b) Determine las componentes del desplazamiento resultante R de laexcursionista en el viaje. Encuentre una expresin de R en trminos devectores unitarios.
c) Determine la magnitud y la direccin del desplazamiento total.
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Ejercicio 3a)Determine la componente del desplazamiento diario del
excursionista.
kmxBsenBkmxBB
kmxAsenA
kmxAA
y
x
y
x
6,34866,0)40()60(205,040)60cos(
7,17707,0)25()45(
7,17707,025)45cos(
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Ejercicio 3b) Determine las componentes del desplazamiento resultante R
de la excursionista en el viaje. Encuentre una expresin de Ren trminos de vectores unitarios.
jiR
kmBAR
kmBAR
BAR
yyy
xxx
9,167,37
9,166,347,17
7,37207,17
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Ejercicio 3c) Determine la magnitud y la direccin del
desplazamiento total.
14,24)448,0(tan
448,0
7,37
9,16tan
31,419,17069,167,37
1
2222
x
y
yx
R
R
kmRRRR
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Producto Interno Tambin conocido como producto interior o producto punto,
es una operacin entre dos vectores de un mismo espacioeucldeo.
El resultado de esta operacin es un nmero o escalar queresulta de sumar las multiplicaciones de las dimensiones deestos dos vectores en cada uno de los ejes coordenados.
zzyyxx BABABABA
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Producto Interno Ejemplo:Encontrar el valor del producto interno para los vectores
532413)4(2
141
)1,4,4(
)3,2
1,1(
21
2
1
VV
V
V
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Producto Interno Propiedades:
Conmutativa:
Asociativa:
Distributiva: CABACBA
BABABA
ABBA
)(
)()()(
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Producto Interno Definicin geomtrica:
El producto interno entre2 vectores se define como
el producto de ambosmdulos por el coseno delngulo que forman:
cosBABA
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Producto Interno Propiedades:
Producto Punto de 2 vectores unitarios:
Si los vectores unitarios son iguales su producto es 1; si nosu producto es 0.
1
1
1
kk
jj
ii
0
0
0
ik
kj
ji
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Producto Interno Propiedades:
Producto Punto de 2 vectores perpendiculares:
Si ambos vectores son distintos de 0 y su producto es 0implica que ambos son perpendiculares.
BABA
BABA
0,0
0cos
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Ejercicio 1 Sean los vectores u=(2,k) y v=(3,-2), encuentre el valor de k
para que:
a) Los vectores sean perpendiculares
b) Los vectores sean paralelos
c) Ambos vectores formen un ngulo de 60
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Ejercicio 2 Suponiendo de la base ortonormal del plano los vectores
a, b tienen expresiones:
encuentre el valor de k sabiendo que
vu
,
vub
vkua
35
2
6ba
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Ejercicio 3 Calcule la proyeccin del vector
sobre el vectorjiu 52
jiv 5
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Producto Vectorial El producto vectorial o cruz
producto es una operacin
binaria entredos vectores enun espacio tridimensional
El resultado es unvector perpendicular a losvectores que se multiplican,y por lo tanto normal alplano que los contiene.
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Producto Vectorial Dado 2 vectores A y B,
definimos el producto
vectorial como un nuevovector C.
BAC
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Producto Vectorial El mdulo de C es el mdulo
de A por el mdulo de B por elseno del ngulo que forman.
El mdulo del vector productovectorial coincide con el readel paralelogramo definidopor ambos vectores.
senBAC
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Producto Vectorial La direccin del vector
producto vectorial esperpendicular a los vectores A
y B.
0
0
BC
AC
BAC
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Producto Vectorial La direccin del vector viene
dada por la regla de la manoderecha.
Curve los dedos de la manoderecha tendiendo a hacergirar al primer vector hacia elsegundo; el dedo pulgarextendido nos da el vectorproducto.
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Producto Vectorial Propiedades:
Anticonmutativo
Distributivo
Escalar porproducto vectorial
ABBA
CABACBA
)(
)()()( BmABAmBAm
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Producto Vectorial Propiedades:
Multiplicacin vectorial de vectores unitarios.
jik
ikj
kji
0
0
0
kk
jj
ii
jki
ijk
kij
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Producto Vectorial Propiedades:
El producto vectorial de 2 vectores en componentes esta dadopor:
zBABAjBABAiBABABA
zBB
AAj
BB
AAi
BB
AABA
BBB
AAA
kji
BA
xyyxxzzxyzzy
yx
yx
zx
zx
zy
zy
zyx
zyx
)()()(
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Ejercicio 1 Calcular el producto vectorial de y)3,2,1(u
)2,1,1(v
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Ejercicio 2 Calcular el producto vectorial de y
y comprobar que el vector encontrado es
perpendicular a y
kjiu 3
kjiv
v
u
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Ejercicio 3 Hallar el rea de paralelogramo que est dado por los vectores
y)1,1,3( u
)4,3,2(v
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Ejercicio 4 Determinar el rea del triangulo cuyos vrtices son los puntos
, y)3,1,1(A )5,1,2( B )1,3,3(C