Experimentos · 2009-02-23 · Capítulo 1 Experimentos “Son vanas y están plagadas de errores las ciencias que no han nacido del experimento, madre de toda certidumbre.” –

Capítulo 1

Experimentos

“Son vanas y están plagadas de errores las ciencias que no han nacido del experimento, madre de toda

certidumbre.”

– Leonardo Da Vinci

1.1. Introducción

En este capítulo se describen algunos de los experimentos llevados a cabo para validar las soluciones

encontradas al problema de la coordinación de los robots ápodos.

En la primera parte se presenta la plataforma desarrollada para la realización de los experimentos,

constituida por los mecánica, electrónica y el software, y se describen los cuatro prototipos de robots

ápodos construidos:Cube Revolutions, Hypercube, Minicube-Iy Mincube-II.

En la segunda se documentan algunos de los experimentos realizados. Se han dividido en tres grupos:

locomoción en 1D, locomoción en 2D y configuraciones mínimas, correspondientes a los capítulos

??, ??y ??.

1.2. Plataforma desarrollada

1.2.1. Módulos Y1

Los módulos diseñados para implementar los robots modulares son losmódulos Y1, mostrados en la

figura 1.1. Están inspirados en la primera generación de módulos de Polybot, creada por Mark Yim.

1

2 CAPÍTULO 1. EXPERIMENTOS

Figura 1.1: Los módulos Y1, creados para la construcción de robots modulares

Sin embargo, los módulos Y1 están pensados para ser muy fáciles de construir y se han diseñado para

los servos del tipo Futaba 3003 o compatibles, que son baratos y se consiguen en cualquier tienda de

aeromodelismo.

Las características se resumen en la tabla 1.1. Están construidos en metacrilato de 3mm de espesor.

Las piezas se han cortado por láser y se han unido mediante un pegamento de contacto. El consumo

y par vienen dados por las características del servo usado.

La sección es cuadrada, lo que permite la unión de los módulossea de tipo cabeceo-cabeceo o bien

cabeceo-viraje (figura 1.2). Esta unión es fija, mediante tornillos que unen ambos módulos. Sólo con

este módulo se pueden construir todos los robots ápodos discutidos en esta tesis.

Dimensiones: 52x52x72mm(alto x ancho x largo)Peso: 50grMaterial: Metacrilato de 3mm de espesorSección: Cuadrada(52x52)Grados de libertad: 1Servo: Futaba 3003Par: 3,2Kg.cm/0,314N.mVelocidad: 260 grados/seg.Rango de giro: 180 gradosSeñal de control: Pulse Width Modulation (PWM)Unión entre módulos: Mediante tornillos

Cuadro 1.1: Características de los módulos Y1

1.2. PLATAFORMA DESARROLLADA 3

Figura 1.2: Dos módulos Y1 en conexión de tipo cabeceo-cabeceo y cabeceo-viraje


Figura 1.3: Prototipos de los robots construidos para los experimentos

Toda la información necesaria para su construcción está disponible en línea1. En el apéndice?? se

encuentran los planos y las instrucciones para su montaje.

1.2.2. Robots

Para la realización de los experimentos se han construido los cuatro prototipos de robots ápodos

mostrados en la figura 1.3. Todos ellos formados por varios módulos Y1 encadenados. Se dividen en

dos grupos, los robots con conexión de cabeceo-cabeceo y de cabeceo-viraje. Para cada grupo se han

creado dos prototipos, uno de 8 módulos y otro con el número mínimo.

Así, dentro del grupo de robots ápodos con conexión de cabeceo-cabeceo los dos robots sonCube

Revolutions2 y Minicube-I 3, que se muestran en las figura 1.4 y 1.5 respectivamente. El primero

está formado por 8 módulos. El segundo se corresponde con la configuración mínimaPP.

Para el grupo de cabeceo-viraje los robots sonHypercube4 y Minicube-II (figura 1.4 y 1.5), de 8 y

3 módulos respectivamente. Minicube-II es la configuraciónmínimaPYP.

1.2.3. Esquema de control

El esquema de control de los robots se muestra en la figura 1.6.Los algoritmos de locomoción se

ejecutan en un ordenadorPC, con sistema operativo GNU/LinuxDebian Sarge. Las posiciones in-

1http://www.iearobotics.com/personal/juan/doctorado/Modulos-Y1/modulos-y1.html2Vídeos en línea: Cube Revolutionshttp://www.iearobotics.com/wiki/index.php?title=Cube_

Revolutions3Vídeos en línea: http://www.iearobotics.com/wiki/index.php?title=MiniCube4Vídeos en línea: http://www.iearobotics.com/wiki/index.php?title=Hypercube


Cube Revolutions Hypercube

Figura 1.4: Los robotsCube Revolutione Hypercube


Minicube−I Minicube-I

Figura 1.5: Los robots Minicube-I y II. Son las configuraciones mínimas

Figura 1.6: Esquema de control de los robots modulares en losexperimentos


Figura 1.7: La tarjetaSkypic, empleada para el control de los robots modulares

Microprocesador: PIC16F876AFrecuencia de reloj: 20MhzArquitectura: RISC. Datos de 8 bits. Instrucciones de 14Alimentación: Entre 4.5 y 6 voltiosPines de E/S digital: 22Canales A/D: 8 de 10 bits de resoluciónMemoria flash: 8KbMemoria SRAM: 368 bytesMemoria Eeprom: 256 bytesTemporizadores: Dos, de 8 y 16 bitsComunicaciones: Serie asíncronas (RS-232). Síncronos: I2C ySSPOtros: Dos unidades de captura, comparación y PWM

Cuadro 1.2: Características de la tarjetaSkypic

stantáneas de cada servo se envían por comunicación serie (protocoloRS−232) a la tarjeta microcon-

troladoraSkypic[2], basada en elPIC16F876A. Ésta se conecta mediante un cable al robot modular a

controlar. Se encarga de generar las señalesPWMde posicionamiento de los servos.

Tanto la electrónica como la alimentación están situados fuera de los robots. El objetivo de los experi-

mentos es comprobar la locomoción en robot reales, para posteriormente hacerlos autónomos. Con el

esquema propuesto las pruebas son más sencillas, rápidas y baratas. No obstante, una vez demostra-

da la viabilidad de los controladores sinusoidales y la validación de las ecuaciones, en los trabajos

futuros se propone la realización de un módulo más avanzado que integre la electrónica y las baterías.

1.2.4. Electrónica

Como electrónica se ha utilizado latarjeta Skypic5 diseñada por Andrés Prieto-Moreno y el autor

de esta tesis[2]. Está publicada bajo una licencia dehardwarelibre[1]. Las características técnicas se

muestran en la tabla 1.2.

5Más información: http://www.iearobotics.com/wiki/index.php?title=Skypic


Figura 1.8: Pantallazos de algunas de las aplicaciones desarrolladas

1.2.5. Software

1.2.5.1. Modelos matemáticos

Los modelos matemáticos presentados en esta tesis han sido implementados enOctave (versión

2.1.73). A partir de ellos se han dibujado la forma de los robots, tanto continuos como discretos

de los grupos de cabeceo-cabeceo y cabeceo-viraje, y se han obtenido las gráficas.

1.2.5.2. Simulación

Para la simulación de la locomoción de los robots ápodos se han creado un conjunto de librerías y

programas que utilizan elmotor físico libre ODE6 (Open Dynamics Engine, versión 0.5). Se han pro-

gramado enlenguaje Cy permiten definir el tipo de conexionado del robot, especificar los parámetros6Disponible en línea en http://www.ode.org/

1.3. EXPERIMENTOS DE LOCOMOCIÓN EN 1D 9

de los generadores sinusoidales y realizar las simulaciones. Las simulaciones se pueden hacer bien

visualmente o bien en la consola volcándose en ficheros los datos solicitados, como la posición del

centro de masas, velocidad, rotación, etc.

Para la utilización de losalgoritmos genéticosse han creados aplicaciones basadas enpgapack7

(versión 1.0), que usando las librerías de simulación anteriores evalúan cada uno de los individuos de

la población para determinar la función defitness.

Este software se ha hecho específico para trabajar con topologías 1D de robots modulares. Sin em-

bargo, Rafael Treviño ha implementado como proyecto fin de carrera[3], dirigido por el autor de esta

tesis, elentorno MRSuite, que permite trabajar con topologías de una y dos dimensiones. Esta her-

ramienta está programada enPython y permite diseñar los robots modulares visualmente, añadirlas

funciones de control de las articulaciones y realizar las simulaciones.

En la figura 1.8 se muestran algunos pantallazos de las aplicaciones implementadas.

1.2.5.3. Control

Para el control de los robots reales se pueden emplear las aplicaciones anteriores de simulación, que

permiten enviar las posiciones de los servos por el puerto serie a la electrónica. Así, el usuario opta

por ver la simulación en el ordenador o conectar el robot realy analizar su movimiento en vivo.

Además se han creado dos aplicaciones específicas para los robotsCube Revolutionse Hypercube

(ver pantallazos en figura 1.8) que permite especificar visualmente los valores de los parámetros de

los generadores y hacer pruebas. Están programados en ellenguaje C#, utilizando la máquina virtual

libre del proyectoMono8.

Para el movimiento de los servos se ha implementado un firmware para la tarjetaSkypic. Las apli-

caciones que corren en elPC envían la información a este programa que se encarga de generar las

señales dePWMde control de los servos. Se denominaServos89 y permite controlar hasta 8 servos.

1.3. Experimentos de locomoción en 1D

1.3.1. Forma del robot

1.3.1.1. Experimento 1: Comparación entre la forma del robot y las curvas teóricas

En este experimento se compara la forma de un robot ápodo de 16módulos con las curvas continua y

discreta obtenidas mediante las ecuaciones??, ??y ??, ?? respectivamente. La comparación se hace7Disponible en línea en: http://www-fp.mcs.anl.gov/CCST/research/reports_pre1998/comp_bio/stalk/pgapack.html8Más información en http://www.mono-project.com/Main_Page9Más información en http://www.iearobotics.com/proyectos/stargate/servidores/sg-servos8/sg-servos8.html


Figura 1.9: Experimento 1: comparación entre la forma de un robot ápodo de 16 módulos con lascurvas serpentinoides discreta y continua


para diferentes punto de trabajo. En la figura 1.9 se muestranlos resultados.

Las curvas continua y discreta se han generado a partir de losscriptsen Octave y se han superpuesto

sobre las capturas de pantalla del simulador. Se han escalado en tamaño para poder compararlas.

En este experimento se ve que tanto la curva continua como la discreta son muy parecidas. Se están

empleando dos ondulaciones por lo que el número de módulos por ondulaciónMu es de 8. Según el

criterio de discretización presentado en el apartado??, puesto queMu es mayor que 7 el error en las

dimensiones será siempre menor del 5 %.

Este experimento permite también validar el simulador, comprobando que el robot virtual generado

tiene la forma de una onda serpentinoide.

1.3.1.2. Experimento 2: Comparación entre la forma del CubeRevolutions y las curvas teóri-

cas

La forma de un robot virtual de 8 módulos se compara con la curva serpentinoide discreta y con el

robot Cube Revolutions (figura 1.10). Se comprueba que el robot real adopta la forma serpentinoide.

1.3.2. Estabilidad

1.3.2.1. Experimento 3: Estabilidad para diferentes valores de k

Analizaremos qué le ocurre a un robot de 16 módulos para diferentes valores del parámetrok. Para

ello se ha representado en la figura 1.11 tanto la altura del centro de masas como la del punto situado

su punto medio. La altura del centro de masas cuandok es 1 oscila. Después de alcanzar el punto

máximo cae bruscamente.

Al aumentar k, la estabilidad es mayor. Parak = 1,5, la altura máxima que alcanza ha disminuido y

aunque todavía hay oscilaciones éstas son de menor amplitudy más suaves.

Finalmente, cuandok = 2, cumpliéndose el principio de estabilidad enunciado en elapartado??, el

centro de masas permanece a una altura constante y el movimiento es uniforme y suave.

En la gráfica de la derecha se muestra la altura del punto mediodel robot. Varía entre un mínimo

(cuando está en contacto con el suelo) y un máximo cuando estáen lo más alto. Cuandok = 1,

se observa que la altura oscila, pero aparecen puntos donde la suavidad se pierde (la función es no

derivable). En un determinado momento el robot cae hacia un lado u otro debido a que sólo hay un

punto de apoyo provocando la pérdida de suavidad. Cuandok= 1,5, este efecto sigue existiendo, pero

está más atenuado. También se observa que la altura máxima del punto es menor. Finalmente, en el

caso estable (k = 2), la oscilación de la altura es una onda sinusoidal.


Figura 1.10: Experimento 2: Comparación entre la forma de unrobot ápodo virtual de 8 módulos conla curva serpentinoide discreta y el robot Cube Revolutions


0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Tiempo (Seg) Tiempo (Seg)

Altura del punto de referencia (cm)

0

40

10

20

30

0

10

20

30

Altura del centro de masas (cm)

k=1

k=1,5

k=2

k=1

k=1,5

k=2

Figura 1.11: Experimento 3: Estabilidad de un robot ápodo de16 módulos en función dek.

1.3.2.2. Experimento 4: Estabilidad de Cube Revolutions para diferentes valores de k

En este experimento analizamos la estabilidad de un robot ápodo de 8 módulos. En la figura 1.12 se

han representado las formas y posiciones de dos robots, uno simulado y otro real, en fases cercanas

a la inestabilidad para diferentes valores dek. El comportamiento es como el descrito en el apartado

??. Cuandok es igual a 1, el sistema es inestable. Ambos robots, el simulado y el real se comportan

como se describió en el apartado?? y como se dibujó en el figura??. Según se aproxima la fase a

la zona de inestabilidad, el robot se inclina hacia la derecha haciendo que el extremo izquierdo se

levante. Llega un momento en el que la estabilidad se pierde yel robot se inclina hacia la izquierda,

golpeando el extremo con el suelo. Ahora es el módulo de la derecha el que queda en posición más

elevada. El robot no llega a volcar, sin embargo es un movimiento muy brusco.

Cuandok = 1,5, ocurre lo mismo pero de manera más suave. Ahora el extremo izquierdo no alcanza

tanta altura pero el movimiento no es uniforme, sino que tiene una zona de transición entre una

inclinación y otra. Finalmente, cuandok = 2 los robots se desplazan suavemente.

En la figura 1.13 se muestra el espacio recorrido por el robot en la dirección del ejex en función

del tiempo. Se puede ver que es un movimiento NO uniforme cuando k < 2. Aparecen intervalos en

los que esta distancia varía bruscamente. Sin embargo, parak = 2, el movimiento es uniforme. La

velocidad en este caso será constante e igual a∆x/T, donde∆x es el paso yT el periodo. El espacio

recorrido se calculará mediante la ecuación:

x =∆xT

t

1.3.3. Desplazamiento

En estos experimentos se muestra de una manera cualitativa cómo se mueve un robot ápodo de 8

módulos, tanto en simulación cómo en la realidad. Para ellosse han escogido dos puntos de trabajo,


k=1

Inestable

k=1.5

Inestable

k=2

Estable

Figura 1.12: Experimento 4: Estabilidad de un robot ápodo de8 módulos en función dek. Forma yposición del robot real y simulado


Tiempo (Seg)

2 4 6 8 1000

10

20

30

40

50

Distancia en x (cm)

2 4 6 8 100 2 4 6 8 100

Tiempo (Seg) Tiempo (Seg)

k=1 k=1.5 k=2

Figura 1.13: Experimento 4: Estabilidad de un robot ápodo de8 módulos en función de k. Distanciarecorrida por el robot

Puntos de trabajo α k M A ∆ΦPunto A 42.4 2 8 60 90Punto B 32.4 3 8 60 135

Cuadro 1.3: Puntos de trabajo seleccionados para el desplazamiento en línea recta de los robots ápo-dos de 8 módulos

A y B mostrados en la tabla 1.3. En ambos puntos el robot es estable, con valores de k iguales a 2 y 3

respectivamente.

1.3.3.1. Experimento 5: Simulación

En la figura 1.14 se muestra la distancia recorrida por el robot en función del tiempo, durante la

simulación. Puesto que para ambos puntos de trabajo la locomoción es estáticamente estable, estas

gráficas son muy lineales. Se trata de movimientos rectilíneos uniformes.

Se comprueba también que cuando se cambia el signo del parámetro ∆φ el desplazamiento del robot

es igual, pero en el sentido contrario, tal como indica el principio de simetría (apartado??).

En las figuras 1.15 y 1.16 se muestran 9 instantáneas del movimiento del robot en los puntos A y

B respectivamente. También se comparan las posiciones iniciales y finales y se muestra el paso de

los robots. El objetivo es mostrar cualitativamente cómo esel movimiento del robot. Se verifica que

efectivamente el movimiento se realiza y que para diferentes puntos de trabajo, tanto la coordinación

como el paso son distintas.

1.3.3.2. Experimento 6: Locomoción de Cube Revolutions

En las figuras 1.17 y 1.18 se muestra la locomoción de Cube Revolutions en los puntos de trabajo A

y B respectivamente, en los mismos instantes que en el caso dela simulación del experimento 5. Se


0 1 2 3 4 5 6

0

5

10

15

-10

-5

-15

Punto B

Punto A

=90

=-90

=135

=-135

Tiempo (Seg)

Distancia recorrida en eje x (cm)

Figura 1.14: Experimento 5: Distancia recorrida por un robot ápodo virtual de 8 módulos en lospuntos de trabajo A y B, en ambos sentidos

observa que la forma del robot en esos instantes es muy similar a la de la simulación a pesar de que

en ella los módulos son hexaédricos y en el robot real tienen otra geometría.

Con este experimento se muestra que los robots reales se pueden desplazar y que lo hacen de una

manera similar a los resultados de la simulación.

1.3.4. Paso

En este grupo de experimentos se contrastan las ecuaciones teóricas propuestas para el cálculo del

paso con los datos obtenidos de las simulaciones y del movimiento del robot real. Los experimentos

se realizan para los tres modelos de módulo: el alámbrico, hexaédrico y el real.

Para los modelos alámbrico y hexaédrico, se comparan las gráficas de la variación del paso con el

parámetroα para robots con diferentes número de módulos por ondulación(Mu). Todos los experi-

mentos se han realizado parak = 2.

1.3.4.1. Experimento 7: Paso del modelo alámbrico

En la figura 1.19 se muestran los resultados obtenidos en la simulación del desplazamiento en línea

recta de seis robots ápodos, con un número de ondulación comprendido entre 3 y 8. Se muestra la

variación con respecto al parámetroα. Estos valores se contrastan con los predichos por la ecuación

teórica??y se observa que son muy parecidos.

Para la simulación del modelo alámbrico se ha utilizado un robot con módulos aplanados, de longitud

L, anchura W pero una altura despreciable.

Se puede ver, también, que el paso aumenta con el ángulo de serpenteoα.


Figura 1.15: Experimento 5: Simulación de la locomoción en línea recta de un robot ápodo de 8módulos en el punto de trabajo A


Figura 1.16: Experimento 5: Simulación de la locomoción de un robot ápodo de 8 módulos en elpunto de trabajo B


Figura 1.17: Experimento 6: Locomoción de Cube Revolutionsen línea recta, en el punto de trabajoA


Figura 1.18: Experimento 6: Locomoción de Cube Revolutionsen línea recta, en el punto de trabajoB


Figura 1.19: Experimento 7: Comparación del paso teórico y el obtenido en simulación para robotápodos con diferente número de módulos por ondulación, cuando el modelo es alámbrico

1.3.4.2. Experimento 8: Paso del modelo hexaédrico

En la figura 1.20 se muestran los resultados de la simulación del desplazamiento en línea recta de

robots ápodos en los que el modelo de módulo es hexaédrico de longitudL y alturaH. Se comparan

con los resultados teóricos obtenidos por la ecuación propuesta?? y se observa que son similares.

El valor en la simulación siempre está un poco por debajo del teórico. En el modelo teórico se ha

supuesto que no hay desplazamiento de los puntos de apoyo. Enla simulación no es así por lo que el

paso es ligeramente inferior al predicho. El error relativoes menor del 8 % en el caso peor.

1.3.4.3. Experimento 9: Paso del robot Cube Revolutions

En la figura 1.21 se comparan los resultados obtenidos en la locomoción en línea recta de Cube Rev-

olutions con los predichos por los modelos alámbrico y hexaédrico. Se han realizado experimentos

para los valores deMu igual a 3 y 4que se corresponden conk = 2,6 y k = 2 respectivamente. Se ob-

serva que la ecuación que más aproxima el paso del robot es la del modelo hexaédrico. Sin embargo,

cuando los valores deα se aceran al máximo, comienzan a separarse de los teóricos.

En la tabla 1.4 se muestran los valores numéricos que se han medido en el robot real. En estos ex-

perimentos se ha desplazado el robot durante un periodo y se ha medido con una regla la distancia

recorrida, repitiéndose varias veces para descartar resultados erróneos. Los símbolos∆x3 y ∆x4 deto-

nan el paso dado por los robots con parámetrosMu = 3 y 4 respectivamente.


Figura 1.20: Experimento 8: Comparación del paso teórico y el obtenido en simulación para robotsápodos con diferente número de módulos por ondulación, cuando el modelo es hexaédrico

Figura 1.21: Experimento 9: Comparación del paso dado por Cube Revolutions con los predichos porlos modelos hexaédrico y alámbrico

α(grados) 0 10 20 30 40 50 60∆x3(cm) 0 2.5 5.5 7.8 10 11.3 —∆x4(cm) 0 2.3 5.4 9.2 12.5 15 18

Cuadro 1.4: Experimento 9: Mediciones del paso del robot para diferentes valores deα y Mu


Figura 1.22: Experimento 11: Variación del paso de un robot ápodo virtual de 8 módulos con∆φ

1.3.5. Paso y diferencia de fase∆φ

1.3.5.1. Experimento 10: influencia de∆φ

En la figura 1.22 se ha representado el paso del robot en función de la diferencia de fase para un robot

ápodo virtual de 8 módulos. La amplitud aplicada a los generadores se ha fijado a A=45 grados.

Se observa que la gráfica es impar. Esto es debido al principiode la simetría (apartado??). Si se

cambia el signo de∆φ el movimiento se realiza con el mismo paso pero en la dirección contraria.

En los puntos donde∆φ es 0 y 180 grados, el paso es nulo, como establece el principiode generadores

en fase y oposición de fase (apartado??).

En la región que está en blanco, el valor k es menor de 2 por lo que el robot es inestable. Además el

movimiento es caótico. Una pequeña variación en∆φ hace que el paso pase bruscamente de un valor

máximo a uno mínimo. Dentro de la zona estable, el paso es inversamente proporcional a∆φ hasta

alcanzar un valor entorno a los 165 grados donde prima el efecto de la oposición de fase y el paso cae

muy rápidamente a cero.

1.3.5.2. Experimento 11: Generadores en fase y oposición defase

Este experimento es la confirmación del principio de fase y oposición de fase por el cual el robot no

se desplaza en estas condiciones. En la figura 1.23 se representan las coordenadasx y zdel centro de

masas del robot en función del tiempo cuando los generadoresestán en fase (∆φ = 0) y en oposición

de fase (∆φ = 180). Se han dibujado también la forma que el robot adopta en diferentes puntos. La


Figura 1.23: Experimento 11: Simulación del movimiento de un robot de 8 módulos cuando losgeneradores están en fase y oposición de fase

coordenada z en ambos casos oscila, haciendo que la altura del robot suba y base. El desplazamiento

enx no existe, aunque sí una ligera oscilación en el caso de la oposición de fase.

En la figura 1.24 se muestra la forma que adopta el robot virtual y Cube Revolutions en las situaciones

en las que∆φ = 0 y 180. Para Cube Revolutions sólo se han presentado el movimiento en oposición

de fase, ya que los servos no tienen la suficiente fuerza para adoptar las formas que se producen

cuando los generadores están en fase. Es la confirmación en lapráctica de la figura?? obtenida a

partir de las ecuaciones teóricas.


Figura 1.24: Experimento 11: Forma del robot virtual y real en los cuando los generadores están enfase y en oposición de fase


1.4. Experimentos de locomoción en 2D

1.4.1. Ondas serpentinoides 3D

En estos experimentos se muestran algunas de las formas que adopta el cuerpo de los robots del grupo

cabeceo-viraje, de 32 módulos, cuando se superponen dos ondas serpentinoides, una en las articula-

ciones verticales y otra en las horizontales, formando una onda serpentinoide 3D. La clasificación se

estas ondas se muestra en el apartado??.

1.4.1.1. Experimento 12: Ondas isomorfas rectas

Las ondas isomorfas se caracterizan porque su proyección enel planozyes una figura fija, que no varía

con la propagación de la onda. Denominamos ondas isomorfas rectas a aquellas que su proyección en

este plano es una línea recta. En este experimento se muestran los dos tipos de ondas isomorfas rectas,

las planas y las inclinadas y su proyección sobre el planoxy se compara con una curva serpentinoide

calculada mediante las ecuaciones teóricas (ver figura 1.25). Se observa que para ambos tipos de

ondas, efectivamente la forma que adoptan es la de una curva serpentinoide. En el caso de la onda

isomorfa recta inclinada el ángulo de serpenteo de la curva resultantes se calcula mediante la ecuación

?? y para los dos ejemplos mostrados sus valores son de 72.4 y 92.3 grados. Para cada curva, se han

tomado dos pantallazos, uno mostrando su forma en el planoxy y otro en perspectiva para poder

apreciar la inclinación.

Experimento 13: Ondas isomorfas elípticas y circulares

En este experimento se muestran las ondas elípticas y circulares en un robot ápodo de 32 módulos.

Los resultados se muestran en la figura 1.26. Cada tipo de ondase muestran para diferentes valores de

los parámetrosα y k. Se han incluido también las versiones planas de las curvas,en las queαh es un

orden de magnitud mayor queαv por lo que la forma del robot está “aplanada” y se puede aproximar

por una curva serpentinoide.

1.4.1.2. Experimento 14: Ondas no isomorfas

En este experimento se muestra la forma de un robot de 32 módulos cuando se utilizan ondas no

isomorfas. En la figura1.27 superior las capturas de pantalla se han realizado en fases diferentes para

apreciar que la forma cambia con la fase. En el segundo ejemplo, dondekh = 1 se puede ver que para

φ = φ1 la sección del robot es un elipsoide y paraφ = φ2 tiene forma de∞.

Los robots de la parte inferior de la figura se corresponden con dos ondas no isomorfas planas. Se

pueden aproximar por dos serpentinoides sobre el planoxy.


Figura 1.25: Experimento 12: Ondas isomorfas rectas


Figura 1.26: Experimento 13: Ondas isomorfas elípticas y circulares


Figura 1.27: Experimento 14: Ondas no isomorfas


Figura 1.28: Experimento 15: Comparación entre la forma delrobot real y simulado con la fórmulateórica

1.4.2. Desplazamiento en línea recta

1.4.2.1. Experimento 15: Forma del robot

En la figura 1.28 se compara la forma de un robot con conexión decabeceo-viraje de 8 módulos,

tanto simulado como real, con la obtenida mediante las ecuaciones teóricas?? y ??. A diferencia de

los robots del grupo cabeceo-cabeceo, ahora los bloques empleados son de tipo cabeceo-viraje y los

parámetrosd y d0 valenL/2 y 2L respectivamente (apartado??). Se observa que efectivamente la

curva teórica y la forma de los dos robots son similares.

1.4.2.2. Experimento 16: Simulación del Movimiento en línea recta de Hypercube

En este experimento se simula el movimiento en línea recta del robot Hypercube cuando se utilizan

los puntos de trabajo A y B mostrados en la tabla 1.5. En la figura 1.29 se muestra la gráfica de la


Distancia recorrida en eje x (cm) Distancia recorrida en eje y (cm)

Punto B

Punto A

Puntos A y B

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tiempo (Seg)

0

5

10

15

-5

-10

-15

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tiempo (Seg)

=90

=-90

=135

=-135

Figura 1.29: Experimento 16: Distancia recorrida por el robot en función del tiempo (durante 2 ciclos)

Puntos de trabajo αv kv Av ∆φv αh kh Ah

Punto A 14,1 1 20 90 0 – 0Punto B 24.4 1.5 45 135 0 – 0

Cuadro 1.5: Puntos de trabajo empleados en los experimentosde locomoción en línea recta

distancia recorrida a lo largo del eje x en función del tiempo, durante dos ciclos, para los dos puntos

de trabajo. Se observa que no son líneas rectas. El movimiento no es rectilíneo uniforme. Esto es

debido a que no se cumple el criterio de estabilidad y en los dos casosk es menor que 2. Puesto que el

robot sólo tiene 4 módulos verticales, este criterio nunca se cumple. Sin embargo, el desplazamiento

del robot sí se realiza. Además, al cambiar el signo del parámetro∆φ , el movimiento se realiza en la

dirección contraria.

Se ha representado también el valor del desplazamiento en elejey, comprobándose que es nulo. El

robot sólo se desplaza en línea recta.

En la figura 1.30 se muestran las capturas de pantalla de la simulación del movimiento en línea recta

correspondientes a 8 instantes de tiempo, cuando se utilizael punto de trabajo B.

1.4.2.3. Experimento 17: Movimiento en línea recta de Hypercube

En este experimento se comprueba que el robot Hypercube es capaz de moverse en línea recta. En

la figura 1.31 se muestran las fotos tomadas durante el movimiento, correspondientes a los mismos

instantes que en la simulación mostrada en la figura 1.30.


Figura 1.30: Experimento 16: Instantáneas de la simulacióndel movimiento en línea recta de Hyper-cube


Figura 1.31: Experimento 17: Locomoción en línea recta del robot Hypercube

Puntos de trabajo M αv kv Av ∆φv αh kh Ah ∆φh ∆φvh

Punto A 32 6.5 2 5 45 52.3 2 40 45 90Punto B 32 5.1 1 2 22.5 51.2 1 20 22.5 90Punto C 8 14.1 1 20 90 28.3 1 40 90 90Punto D 8 10.8 1.5 20 135 21.6 1.5 40 135 90Punto E 8 42.4 1 60 90 42.4 1 60 90 30

Cuadro 1.6: Puntos de trabajo empleados en los experimentosdel desplazamiento lateral


Figura 1.32: Experimento 18: Trayectorias del centro de gravedad de un robot ápodo de 32 móduloscuando se sitúa en los puntos de trabajo A y B

1.4.3. Desplazamiento lateral

1.4.3.1. Puntos de trabajo

Todos los puntos de trabajo empleados en los experimentos dedesplazamiento lateral se muestran en

la tabla 1.6. Los puntos A y B son para la simulación de un robotápodo de 32 módulos y el resto para

uno de 8.

1.4.3.2. Experimento 18: Desplazamiento del modelo continuo

En este experimento se calculan las trayectorias descritaspor un robot ápodo de 32 módulos cuando

se simula su desplazamiento lateral. Los puntos de trabajo empleados son el A y el B. Los resultados

se muestran en las gráficas de la figura 1.32. La duración de la simulación es de cuatro periodos. Para

cada punto se han representado las 4 trayectorias existentes en función del signo de∆φvh y del sentido

de propagación de la onda corporal (apartado??).

Se observa que el robot sigue una trayectoria rectilínea en el punto A pero en el B se va curvando. Es

decir, además de un desplazamiento lateral hay un pequeño cambio en la orientación.

En la comparación de ambas trayectorias se ve que ha avanzadomás distancia en el punto B que en

el A.

En las figuras 1.33 y 1.34 se muestran las instantáneas durante el movimiento del robot en los puntos

A y B respectivamente, a lo largo de un ciclo.


Figura 1.33: Experimento 18: Instantáneas de la simulacióndel desplazamiento lateral en el punto detrabajo A


Figura 1.34: Experimento 18: Instantáneas de la simulacióndel desplazamiento lateral en el punto detrabajo B


Figura 1.35: Experimento 19: Comparación del paso del desplazamiento lateral en los puntos A y B

1.4.3.3. Experimento 19: Paso del desplazamiento lateral

En este experimento se comparan los pasos dados por los robots en los puntos A y B en la simulación

con las ecuaciones teóricas del módulo (ec.??) y la orientación (ec.??). Se observa que los valores

de simulación están por debajo de los teóricos. La ecuación teórica está calculada para el modelo

alámbrico y suponiendo que los puntos de apoyo permanecen fijos en el suelo, sin embargo en la

simulación del modelo hexaédrico esto no es así. Los puntos sufren deslizamiento.

1.4.3.4. Experimento 20: Simulación de Hypercube en los puntos C y D

La simulación del desplazamiento lateral de un robot ápodo de 8 módulos en los puntos de trabajo C

y D se muestra en las figuras 1.36 y 1.37.

1.4.3.5. Experimento 21: Desplazamiento de Hypercube en los puntos C y D

El desplazamiento lateral del robot Hypercube en los puntosde trabajo C y D se muestra en las figuras

1.38 y 1.39.

1.4.3.6. Experimento 22: Comparación entre simulación y robot real

En este experimento se comparan las curvas del paso del robotreal y en simulación para los puntos

C y D y se comparan con las curvas teóricas. Los resultados se muestran en la figura 1.40.

1.4.3.7. Experimento 23: Desplazamiento lateral inclinado

La simulación y movimiento real del robot cuando el desplazamiento es de tipo lateral inclinado

(punto E) se muestra en las figura 1.41 y 1.42.


Figura 1.36: Experimento 20: Instantáneas de la simulacióndel movimiento en línea recta de Hyper-cube en el punto de trabajo C


Figura 1.37: Experimento 20: Instantáneas de la simulacióndel movimiento en línea recta de Hyper-cube en el punto de trabajo D


Figura 1.38: Experimento 21: Desplazamiento lateral de Hypercube en el punto C


Figura 1.39: Experimento 21: Desplazamiento lateral de Hypercube en el punto D


Figura 1.40: Experimento 22: Comparación entre la simulación y locomoción de Hypercube


Figura 1.41: Experimento 23: Instantáneas de la simulacióndel movimiento en línea recta de Hyper-cube en el punto de trabajo E


Figura 1.42: Experimento 23: Desplazamiento lateral de Hypercube en el punto D


Puntos de trabajo M αv kv Av ∆φv αh kh Ah ∆φh ∆φvh

Punto A 32 13.1 4 10 90 52.3 2 40 45 0Punto B 32 12.8 2 5 45 51.3 1 20 22.5 0Punto C 8 15 2 30 180 20 1 40 90 0Punto D 8 5.3 1.6 10 140 34 0.8 40 70 0

Cuadro 1.7: Puntos de trabajo empleados en los experimentosde rotación

1.4.4. Rotación


Todos los puntos de trabajo empleados en los experimentos dedesplazamiento lateral se muestran en

la tabla 1.7. Los puntos A y B son para la simulación de un robotápodo de 32 módulos y B y C para

uno de 8.

1.4.4.2. Experimento 24: Trayectoria del movimiento en lospuntos A y B

Las trayectorias del centro de masas de un robot ápodo de 32 módulos en el planoxy cuando rota en

los puntos de trabajo A y B se muestra en la figura 1.43, para unaduración de cuatro periodos. Para

cada punto se han representado dos trayectorias correspondientes a los dos sentidos de propagación

de la onda corporal. Se puede ver que al cambiar el sentido de propagación las rotaciones se hacen en

sentidos contrarios.

También se han mostrado el ángulo de orientación del módulo central. Inicialmente se toma como

referencia 0 grados. Esta orientación va oscilando, debidoal movimiento de viraje del módulo central,

pero el valor medio aumenta con cada ciclo debido a la rotación.

El movimiento en el punto B tiene un paso angular mayor. Al cabo de cuatro periodo el robot ha

rotado prácticamente 360 grados y la posición del centro de masas está muy cercana a la inicial.

En las figuras 1.44 y 1.45 se muestran 8 instantes durante la rotación en un ciclo de los robots ápodos,

en los puntos A y B respectivamente.

1.4.4.3. Experimento 25: Variación del ángulo de rotación con α

En la figura 1.46 se ha representado la gráfica que relaciona elpaso angular rotado por el robot ápodo

con el ángulo de serpenteoα. Los datos se han obtenido a partir de la simulación de un robot ápodo

de 32 módulos, para los puntos de trabajo A y B. La tendencia esque el ángulo de rotación aumenta

conα.


Figura 1.43: Experimento 24: Rotación de un robot ápodo de 32módulos en los puntos A y B


Figura 1.44: Experimento 24: Instantáneas de la simulaciónde la rotación de un robot ápodo de 32módulos en el punto A


Figura 1.45: Experimento 24: Instantáneas de la simulaciónde la rotación de un robot ápodo de 32módulos en el punto B


Figura 1.46: Experimento 25: Variación del ángulo de rotación conα

1.4.4.4. Experimento 26: Simulación de Hypercube

La simulación del desplazamiento lateral de un robot ápodo de 8 módulos en los puntos de trabajo C

y D se muestra en las figuras 1.47 y 1.48 respectivamente.

1.4.4.5. Experimento 27: Rotación de Hypercube

La rotación del robot Hypercube en los puntos C y D se muestra en las figuras 1.49 y 1.50 respecti-

vamente.

1.4.4.6. Experimento 28: Comparación entre la simulación ymovimiento real de Hypercube

En la figura 1.51 se muestra la comparación de los resultados obtenidos de la simulación y el movimien-

to real de Hypercube en los puntos de trabajo C y D respectivamente. En ambos la tendencia es a

aumentar el paso angular al aumentar el ángulo de serpenteo.


Figura 1.47: Experimento 26: Instantáneas de la simulaciónde la rotación de Hypercube en el puntode trabajo C


Figura 1.48: Experimento 26: Instantáneas de la simulaciónde la rotación de Hypercube en el puntode trabajo D


Figura 1.49: Experimento 27: Rotación de Hypercube en el punto C


Figura 1.50: Experimento 27: Rotación de Hypercube en el punto D


Figura 1.51: Experimento 28: Comparación entre el movimiento simulado y real


Puntos de trabajo M α A ∆φv ∆φh ∆φvh

Punto A 20 40 4 0 0 90Punto B 20 180 18 0 0 90Punto C 20 270 27 0 0 90Punto D 20 360 36 0 0 90Punto E 8 120 30 0 0 90Punto F 8 240 60 0 0 90

Cuadro 1.8: Puntos de trabajo empleados en los experimentosdel movimiento de rodar

Figura 1.52: Experimento 28: resultados obtenidos de la simulación de un robot ápodo de 20 módulosque rueda en los puntos de trabajo A,B,C y D

1.4.5. Movimiento de rodar


Los puntos de trabajo empleados en los experimentos del movimiento de rodar se muestran en la tabla

1.8. Los cuatro primeros son para la simulación de un robot ápodo de 20 módulos y el E y el F para

el movimiento y simulación de Hypercube, de 8 módulos.


1.4.5.2. Experimento 29: cinemática del movimiento

En este experimento se ha simulado el movimiento de rodar de un robot de 20 módulos en los puntos

de trabajo A,B,C y D. Los resultados obtenidos se muestran enlas cuatro gráficas de la figura 1.52.

En la gráficaa) se puede ver la distancia recorrida a lo largo del ejey por el centro de masas del robot

en función del tiempo. Se aprecia que se trata de un movimiento rectilíneo uniforme, como se había

obtenido en el apartado??. Además, la velocidad del desplazamiento varía con el parámetroα. El

punto A es el que tiene unα menor y es el que se mueve con mayor velocidad. Por el contrario, en el

Punto D,α tiene el valor máximo de 360 y no hay desplazamiento.

El robot rueda con una velocidad angular constante. Dado queel periodo en todos los puntos de

trabajo es el mismo, la velocidad angular de giro es la misma para todos. El ángulo que rota alrededor

de su eje corporal en función del tiempo se muestra en la gráficac). Es la misma para todos los puntos

de trabajo. En el punto D, el robot rueda, pero no se desplaza.

La variación del paso del robot conα se muestra enb). En la curva se han representado los pasos

dados en los puntos de trabajo seleccionados. En el gráfico inferior (d) se comparan estos valores

experimentales con los obtenidos por la ecuación del paso (ec. ??).

Dado que el robot simulado tiene una sección cuadrada, el movimiento sólo se realiza cuandoα sea

mayor queαmin, donde este valor mínimo está dado por la ecuación??. Para el robot del experimento,

de 20 módulos, sección cuadrada de ladoH = 5,2cmy longitud del móduloL = 7,2cm, el αmin tiene

un valor de 12.3 grados. Los experimentos confirman que en valores inferiores el robot no rueda.

En las figuras 1.53 y 1.54 se muestran las capturas de pantalladel movimiento en los diferentes puntos

de trabajo.

1.4.5.3. Experimento 30: Simulación y movimiento de Hypercube

En las figuras 1.55 y 1.56 se muestran a Hypercube en diferentes instantes durante el movimiento

de rodar, para los puntos E y F respectivamente. Se han realizado tanto las simulaciones como el

movimiento del robot real.

1.4.5.4. Experimento 31: Comparación entre el movimiento real y la simulación de Hypercube

En la figura 1.57 se muestra la comparación del paso del robot en función deα con la simulación y

la ecuación teórica. Lo primero que se aprecia es que el valordelαmin de la simulación y de la teoría

coinciden, sin embargo en el caso del robot real este valor esmayor. Hay que aplicar amplitudes

mayores para que el robot comience a rodar.


1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

=40 grados M=20 =180 grados M=20Punto A Punto B

Figura 1.53: Experimento 28: Simulación del movimiento de rodar de un robot ápodo de 20 módulosen los puntos A y B


1

2

3

4

5

M=20=270 grados

1

2

3

4

5

M=20=360 gradosPunto C Punto D

Figura 1.54: Experimento 28: Simulación del movimiento de rodar de un robot ápodo de 20 módulosen los puntos C y D


Figura 1.55: Experimento 30: Movimiento de rodar y su simulación para Hypercube, en el punto E


Figura 1.56: Experimento 30: Movimiento de rodar y su simulación para Hypercube, en el punto F


Figura 1.57: Experimento 31: Comparación entre el paso dadopor el robot Hypercube y su simulacióncon los valores teóricos

Lo segundo es que tanto la simulación como el robot real estánpor encima de la curva teórica. Esto

es debido a que no se han tenido en cuenta la dinámica del sistema. Una vez que el robot empieza a

rodar, adquiere una inercia que hace que el paso sea mayor queen el caso teórico, en el que sólo se

ha tenido en cuenta la geometría para su cálculo.

Se aprecia que la pendiente de variación del paso en función de α es similar en los tres casos.


Puntos M αv αh kv Av Ah ∆φv

S1 18 40 90 1.5 40 10 60S2 18 40 90 2 51 10 80S3 18 40 90 2.5 61 10 100S4 18 40 90 3 70 10 120A 18 40 90 3 70 10 120B 18 40 180 3 70 10 120C 18 40 360 3 70 10 120D 8 12 90 1.3 20 22 120E 8 12 180 1.3 20 44 120F 8 12 360 1.3 20 90 120

Cuadro 1.9: Puntos de trabajo seleccionados para los experimentos de desplazamiento en trayectoriacircular

1.4.6. Trayectoria circular


Los puntos de trabajo empleados en los experimentos del desplazamiento en trayectoria circular se

muestran en la tabla 1.8. Los cuatro primeros,S1−S4 se emplean para comprobar la estabilidad de un

robot de 18 módulos, los tres siguientes, A,B y C, son para la simulación del giro de un robot ápodo

de 18 módulos y los tres últimos D, E y F para el movimiento y simulación del robot Hypercube, de

8 módulos.

1.4.6.2. Experimento 32: Estabilidad durante el giro

El objetivo de este experimento es comprobar el criterio de estabilidad enunciado en el apartado??,

según el cual el desplazamiento en trayectoria circular de un robot es estable siempre que el parámetro

k sea mayor o igual a 3 (válido para el modelo alámbrico). Se simula un robot ápodo de 18 módulos

cuando se desplaza utilizando los puntosS1−S4. Todos ellos son iguales, sólo cambia el valor dek.

Para comprobar la estabilidad medimos la evolución del ángulo de inclinación (roll ) del robot con

el tiempo. Los resultados se muestran en la figura 1.58. En el puntoS1 (k = 1,5) el robot vuelca. El

ángulo de inclinación decrece hasta que alcanza un punto de no retorno. En el puntoS2 no vuelca

pero sí hay una fuerte oscilación, que hace que el movimientosea muy brusco. EnS3 la oscilación

persiste pero más atenuada. Finalmente enS4, la inclinación aunque todavía existente no afecta al

movimiento, siendo bastante uniforme. Valores mayores dek harán que la oscilación disminuya más.

En la figura 1.59 se muestra la posición del robot para tres fases diferentes, en todos los puntos de

trabajoS1−S4.


Figura 1.58: Experimento 32: Resultados de las pruebas de estabilidad. Ángulo de inclinación delrobot en función del tiempo


Punto S1 M=18 v =40h =90k=1.5 Inestable

Punto S2 M=18 v =40h =90k=2 Inestable

Punto S3 M=18 v =40h =90k=2.5 Inestable

Punto S4 M=18 v =40h =90k=3 Estable

Figura 1.59: Experimento 32: Estabilidad del movimiento enarco de un robot ápodo de 18 valorespara diferentes valores de k


0 5 10 15 20 25 30 35

0

5

10

15

20

25

30

35

Distancia x (cm)

Dis

tan

cia

y (

cm)

A

B

C

Trayectorias

Figura 1.60: Experimento 33: Trayectoria del punto medio deun robot ápodo de 18 módulos para lospuntos de trabajo A,B y C

1.4.6.3. Experimento 33: Trayectorias

En la figura 1.60 se muestran las posiciones del punto medio deun robot de 18 módulos en función

del tiempo, para los puntos de trabajo A, B y C. Se aprecia cómoel radio de giro es diferente según

el punto.

En la figura 1.61 se muestran las capturas de pantalla correspondientes a cinco instantes de tiempo

durante el desplazamiento en un ciclo del robot para los trespuntos de trabajo. Para apreciar mejor

el desplazamiento del robot, en la figura 1.62 se muestran lasposiciones del robot en cuatro ciclos,

todos ellos correspondientes a la misma fase.

1.4.6.4. Experimento 34: Movimiento y simulación de Hypercube

El movimiento de Hypercube en una trayectoria circular así como su simulación en los puntos de

trabajo D,E y F se muestra en las figuras 1.64 y 1.63 respectivamente.


Desplazamiento durante un periodo

M=18

Punto A

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

Punto B Punto C

v =40h =90 k=3 h =180 h =360M=18 v =40k=3 M=18 v =40k=3

Figura 1.61: Experimento 33: Instantáneas de la simulacióndel desplazamiento en trayectoria circularde un robot ápodo de 18 módulos en los puntos A,B y C, durante unperiodo


1T

2T

3T

4T

1T

2T

3T

4T

1T

2T

3T

4T

Desplazamiento durante 4 periodos

M=18

Punto A Punto B Punto C

v =40h =90 k=3 h =180 h =360M=18 v =40k=3 M=18 v =40k=3

Figura 1.62: Experimento 33: Instantáneas de la simulacióndel desplazamiento en trayectoria circularde un robot ápodo de 18 módulos en los puntos A,B y C, durante cuatro periodos



1T

2T

3T

4T

1T

2T

3T

4T

1T

2T

3T

4T

M=8

Punto D Punto E Punto F

v =12h =90 k=1.3 h =180 h =360M=8 v =12k=1.3 M=8 v =12k=1.3

Figura 1.63: Experimento 34: Simulación del giro de Hypercube en los puntos D,E y F


1T

2T

3T

4T

1T

2T

3T

4T

1T

2T

3T

4T


M=8

Punto D Punto E Punto F

v =12h =90 k=1.3 h =180 h =360M=8 v =12k=1.3 M=8 v =12k=1.3

Figura 1.64: Experimento 34: Desplazamiento en trayectoria circular de Hypercube, en los puntosD,E y F


1.5. Experimentos de locomoción de las configuraciones mínimas

1.5.1. Locomoción en línea recta

1.5.1.1. Experimento 35: Forma del robot

En este experimento se compara la forma del modelo alámbricode la configuraciónPP dada por las

ecuaciones teóricas con la que tienen el robot real y simulado. Los vectores de posición de los cuatro

puntos principales de la configuraciónPP, −→r0 ,−→r1 ,−→r2 y −→r3 se calculan en el apartado??). A partir

de la faseφ , se deduce la etapa en la que se encuentra el robot (apartado??) y para cada etapa se

calcula el valor del ángulo de orientaciónϕ0 (apartado??). A partir de esos datos se dibuja el modelo

alámbrico y se superpone con las capturas de pantalla de la simulación (figura 1.65) tomadas en las

mismas fases y con las fotos del robot Minicube-I (figura 1.66) también en esas mismas fases. El

modelo alámbrico se ha escalado para que la longitudL de sus módulos sea igual a la de los que se

quiere comparar.

Se comprueba que las ecuaciones teóricas obtenidas representan fielmente el modelo alámbrico, tanto

en simulación como para robots reales.

1.5.1.2. Experimento 36: Desplazamiento y simulación de Minicube-I

Experimento para comprobar que efectivamente el robot Minicube-I (configuraciónPP) se desplaza

en línea recta. Se ha seleccionado el punto de trabajo donde la coordinación es la mejor (∆φ = 109), y

como amplitud se ha tomado la mitad del rango (A= 45). En la figura 1.67 se muestran los pantallazos

de la simulación y en la 1.68 las fotos del desplazamiento delrobot real.

1.5.1.3. Experimento 37: Paso del modelo alámbrico

En este experimento se comparara la simulación del paso del modelo alámbrico de la configuración

PPcon la ecuación teórica (ec.??). En la figura 1.69 se muestran los resultados. La simulaciónse ha

realizado con el modelo “plano” en el que la altura de los módulos es despreciable en comparación

con su anchura y longitud. En la gráfica de la izquierda se muestra la variación del paso con la fase.

Para∆φ ≥ 90 ambos modelos se comportan de manera similar, con un errorrelativo menor del 6 %.

En la zona∆φ < 90 la distancia entre los puntos de apoyo durante la etapa 2 seva incrementando

por lo que el desplazamiento no depende de la coordinación sino del rozamiento entre los puntos de

apoyo y el suelo. Esta zona no es de interés por no cumplir el criterio de coordinación (apartado??).

La ecuación teórica del paso, por tanto, sólo es válida para∆φ ≥ 90.

1.5. EXPERIMENTOS DE LOCOMOCIÓN DE LAS CONFIGURACIONES MÍNIMAS 71

=0

(gra

dos)

=-4

5 (

gra

do

s)=

-145 (

gra

dos)

=-1

99

(g

rad

os)

=-2

44

(g

rado

s)=

-28

9 (

gra

do

s)=

-324 (

gra

do

s)

=-9

0 (

gra

do

s)

Punto de trabajo: A=45 =109

Figura 1.65: Experimento 35: Comparación entre la forma de la configuraciónPPen simulación y laobtenida mediante las ecuaciones teóricas


=0

(gra

dos)

=-4

5 (

gra

do

s)=

-145 (

gra

dos)

=-1

99

(g

rad

os)

=-2

44

(g

rad

os)

=-2

89

(g

rad

os)

=-3

24 (

gra

dos)

=-9

0 (

gra

do

s)


Figura 1.66: Experimento 35: Comparación entre la forma delrobot Minicube-I y la obtenida medi-ante las ecuaciones teóricas


Figura 1.67: Experimento 36: Simulación del desplazamiento en línea recta de Minicube-I


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Desplazamiento durante un periodoPunto de trabajo: A=45 =109

Figura 1.68: Experimento 36: Desplazamiento en línea rectade Minicube-I, durante un periodo


Figura 1.69: Experimento 37: Comparación del paso del modelo alámbrico de la configuraciónPPcon la ecuación teórica

En la gráfica de la derecha se compara la variación del paso conla amplitud, para la fase de∆φ = 110,

donde la coordinación es la mejor. Las gráficas son similar para A < 70. A partir de esa amplitud el

paso en la simulación sigue creciendo conA, pero a un ritmo más lento que lo indicado por la ecuación

teórica.

1.5.1.4. Experimento 38: Paso del modelo hexaédrico

En este experimento se obtiene el paso del modelo hexaédricoa partir de la simulación y se compara

con el del modelo alámbrico y el del robot real. Los resultados se muestran en las gráficas de la figura

1.70.

En las gráficas superiores se compara el modelo alambico con el hexaédrico. Lo primero que se

observa es que el paso dado por el modelo hexaédrico es mayor que en el caso del alámbrico. Esto es

debido a que los puntos de apoyo de los extremos. En el modelo hexaédrio los segmentos que unen

las articulaciones con los puntos de apoyo tienen una longitud mayor a L y por tanto el paso es mayor.

La gráfica del paso en función de∆φ muestra un desplazamiento a la derecha. El máximo que existe

en∆φ = 110 en el caso alámbrico, se ha traslado al punto∆φ = 150 en el hexaédrico. En la gráfica

superior derecha se muestra la variación del paso con la amplitud en los dos modelos. Se comportan

de manera similar. Al aumentar A aumenta el paso.

En la parte inferior se compara el modelo hexaédrico con los resultados obtenidos del movimiento

del robot real. El comportamiento en la zona∆φ > 110 es cualitativamente similar. El paso aumenta

hasta alcanzar un máximo y luego decae bruscamente. Cuantitativamente el paso dado por el robot

real es mayor en la misma zona∆φ > 110. Esto es debido a que la geometría del robot real no es

hexaédrica. Las diferencias se aprecian en las instantáneas tomadas en el experimento 36.

En la gráfica inferior derecha se muestra la variación del paso con la amplitud cuando la diferencia

de fase es de 110 grados. Se observa que la variación es similar: el aumento en la amplitud hace que

el paso sea mayor.


Figura 1.70: Experimento 38: Comparación del paso del modelo alámbrico, hexaédrico y robot real


Independientemente del modelo alámbrico o hexaédrico y de la geometría del robot robot real, existe

un punto donde la coordinación es la mejor y el paso se maximiza. En todos los casos el paso aumenta

con la amplitud A.

1.5.1.5. Experimento 39: Desplazamiento de la configuración PYP

En este experimento se verifica que el robot Minicube-II (configuraciónPYP) se desplaza en línea

recta al aplicar la misma coordinación que en el caso de la configuraciónPP. En la figura 1.71 se

muestran las forma del robot en diferentes instantes. En la columna de la izquierda se ve el movimien-

to durante un periodo y en la derecha las posiciones que alcanza al comienzo de cada ciclo, durante

una simulación de 4 ciclos.


Desplazamiento durante un periodo Desplazamiento durante 4 periodos

1

2

3

4

5

1T

2T

3T

4T

5T


Figura 1.71: Experimento 39: Desplazamiento de Minicube-II (configuraciónPYP) en línea recta


Puntos de trabajo Av Ah ∆φv ∆φvh

Punto A 30 40 180 90Punto B 30 80 180 90

Cuadro 1.10: Puntos de trabajo del movimiento de rotación dela configuraciónPYP

Figura 1.72: Experimento 40: Variación del ángulo de rotación con el tiempo

1.5.2. Rotación


Los puntos de trabajo para los experimentos de rotación de laconfiguraciónPYPse muestran en la

tabla 1.10. La única diferencia es la amplitud del módulo central.

1.5.2.2. Experimento 40: Variación del ángulo de rotación

En la figura 1.72 se muestra la variación de la orientación delmódulo central del robot con el tiempo,

durante un ciclo. En el estado inicial se toma como referencia el ángulo, de cero grados. El módulo

central oscila hacia ambos lados, pero al cabo de un ciclo el resultado neto es que su orientación ha

variado una cantidad igual al paso angular. Se observa también que la rotación en el punto A es menor

que en el B, por lo que depende del parámetroAh. Al incrementarlo aumenta el paso angular.

1.5.2.3. Experimento 41: Trayectoria del centro de masas

La trayectoria del centro de masas se muestra en la figura 1.73para los dos puntos de trabajo A y B,

durante un ciclo. En la parte izquierda se muestra con más detalle y en la derecha referida a la longitud

total del robot, que es de 22cm aproximadamente. Se observa que para el punto B el desplazamiento

del módulo central es mayor y que al cabo de un ciclo no se sitúaen la posición inicial sino que se ha

desplazado una distancia. Para el punto B este desplazamiento representa un 9 % de su longitud total.


Figura 1.73: Experimento 41: Trayectoria del centro de masas durante la rotación

1.5.2.4. Experimento 42: Rotación de Minicube-II y su simulación

La rotación de Minicube-II y su simulación en los puntos de trabajo A y B se muestran en las figuras

1.74 y 1.75 respectivamente. En la parte de la izquierda se puede ver la forma del robot en 5 instantes

del mismo ciclo, tanto del robot real como del simulado. En laderecha se muestra la variación de la

posición del robot durante 4 ciclos para apreciar cómo va rotando.

1.5.2.5. Experimento 43: Comparación el paso angular teórico, simulado y real

En este experimento se representa el paso angular del robot en función del parámetroAh para el robot

real, simulado y la ecuación teórica (ec.??) cuando están en el punto de trabajo A. Se observa que en

todos los casos el paso angular aumenta con la amplitud horizontal de manera muy similar.


Figura 1.74: Experimento 42: Rotación de Minicube-II y su simulación en el punto de trabajo A


Figura 1.75: Experimento 42: Rotación de Minicube-II y su simulación en el punto de trabajo B


Figura 1.76: Experimento 43: Comparación entre el paso angular realizado por el robot simulado, elreal y lo predicho por la ecuación teórica, en el punto A


Figura 1.77: Experimento 44: Estabilidad del desplazamiento lateral de Minicube-II

1.5.3. Desplazamiento lateral

1.5.3.1. Experimento 44: Estabilidad

El desplazamiento lateral se realiza aplicando la misma coordinación que en el caso del movimiento

de rodar. La diferencia está en el valor del parámetroAh, que según el criterio del apartado??, si es

menor queAhL se producirá el desplazamiento o de lo contrario rodará. El valor deAhL para el modelo

hexaédrico de la configuraciónPYPes de 51.4 grados (Tabla??).

En este experimento se comprueba lo que ocurre para dos puntos de trabajo conAh = 60 y 30. Con

el primero el robot rodará, por lo que lo consideramos inestable para el desplazamiento lateral. Con

el segundo sí se realiza el movimiento. En la figura 1.77 se ha representado el ángulo de rotación

(roll ) del módulo central. Se puede ver que cuando el movimiento esestable, este ángulo siempre

permanece a cero. Sin embargo, en el caso inestable el ángulovaría, alcanzando los -90 grados (ha

volcado).

En la figura 1.78 se muestra el robot Minicube-II y su simulación durante la realización del desplaza-

miento lateral en estos dos puntos de trabajo.

1.5.3.2. Experimento 45: Desplazamiento lateral de Minicube-II y su simulación

En la figura 1.79 se muestra el desplazamiento lateral del robot Minicube-II y su simulación. En la

izquierda se pueden ver los robots en 5 instantes durante un ciclo. En la derecha está el robot en 5

instantes correspondientes al comienzo de cada periodo, deun total de 4 ciclos.

1.5.3.3. Experimento 46: Paso y trayectoria

En la figura 1.80 se muestra la posición del centro de masas delrobot a lo largo del tiempo, para

cuatro ciclos. Se observa que al cambiar el signo del parámetro ∆φvh el robot se desplaza en sentido

contrario, pero de la misma manera.


Figura 1.78: Experimento 44: Estabilidad del desplazamiento lateral de Minicube-II


Figura 1.79: Experimento 45: Desplazamiento lateral de Minicube-II y su simulación


Figura 1.80: Experimento 46: Paso y trayectoria del desplazamiento lateral del robot Minicube-II

En la gráfica de la derecha se compara la gráfica del paso dado enfunción deAh para el robot real,

el simulado y la ecuación teórica (ec.??). En todos los casos el paso aumenta conAh. Tanto la

simulación como el robot real tiene un paso por encima del teórico. Esto es debido a que la ecuación

se ha calculado para el modelo alámbrico y no se han tenido en cuenta la dinámica de los puntos de

apoyo.

1.5.4. Movimiento de rodar

1.5.4.1. Experimento 47: Movimiento de rodar de Minicube-II y su simulación

El movimiento de rodar de Minicube-II y su simulación se muestran en las figuras 1.82 y 1.81 re-

spectivamente, durante un periodo. Se utiliza una amplitudA de 60 grados. El paso dado por ambos

robots difiere en un 3 %. Sus valores están por debajo del máximo 20.8 que se obtendría si el robot

pudiese rodar en posición extendida.

1.5.4.2. Experimento 48: Trayectoria y ángulo de rotación

El ángulo de rotación en función del tiempo se muestra en la gráfica derecha de figura 1.83. Al

cambiar el signo del parámetro∆φvh cambia el sentido de rotación.

Esta rotación, provoca que el robot se mueva a lo largo del ejey, variando la posición de su centro

de masas como se indica en la figura de la izquierda. Se comprueba, también, que el movimiento

es simétrico con respecto al signo de∆φvh. El movimiento tiene a ser rectilíneo uniforme, pero con

oscilaciones superpuestas de pequeña amplitud.


Figura 1.81: Experimento 47: Simulación del movimiento de rodar de Minicube-II, durante un perio-do


Figura 1.82: Experimento 47: Movimiento de rodar de Minicube-II, durante un periodo


Figura 1.83: Experimento 47: Trayectoria y ángulo de rotación

1.5.5. Trayectoria circular

1.5.5.1. Experimento 49: Movimiento de Minicube-II en trayectoria circular

En la figura 1.84 se muestra el desplazamiento del robot siguiendo una trayectoria circular durante 4

ciclos.

1.6. Conclusiones

Hemos desarrolladoun simulador para confirmar la validez de las soluciones propuestasal prob-

lema de la coordinación de los robots ápodos deM módulos del grupo cabeceo-cabeceo y cabeceo-

viraje. Esta herramienta nos permite simular el desplazamiento de los robots ápodos de cualquier

longitud, con los siguientes fines:

1. Confirmar cualitativamente la viabilidad de una solución, mediante la visualización del de-

splazamiento del robot virtual.

2. Obtener datos cuantitativos empíricos sobre la cinemática del movimiento: paso, trayectoria

del centro de masas, velocidad, etc.

3. Implementación de funciones de evaluación para la realización de búsquedas mediante algorit-

mos genéticos.

La obtención de soluciones mediante simulación tiene limitaciones. Por una lado, se emplean

modelos simplificados. En nuestro casos se han usado móduloshexaédricos. Por otro lado, aparecen

soluciones que funcionan muy bien en simulación pero que no son viables en robots reales.

1.6. CONCLUSIONES 91


1T 2T 3T

4T 5T 6T

Punto de Trabajo: =45Av=40Ah v=110

Figura 1.84: Experimento 49: Desplazamiento de Minicube-II siguiendo una trayectoria circular

Uno de los objetivos de la tesis esencontrar soluciones válidas que sean implementables en robots

reales. Por ellos hemosdiseñado nuestros propios módulos, denominados Módulos Y1 y hemos

construido cuatro prototipos de robots ápodos. Dos de ellos pertenecen al grupo cabeceo-cabeceo

y son el robotCube Revolutionsde 8 módulos yMinicube-I, de dos módulos, que es la configuración

mínima. Los otros dos pertenecen al grupo cabeceo-viraje. SonHypercube, de 8 módulos yMinicube-

II , la configuración mínima de 3 módulos.

Los experimentos se ha agrupado en tres grupos: locomoción de los robots del grupo cabeceo-

cabeceo, del grupo cabeceo-viraje y de las configuraciones mínimas. Para todos ellos se ha com-

probado la viabilidad de las soluciones tanto en simulacióncomo en los robots reales.

La principal conclusión es lademostración cualitativa de la viabilidad del modelo de control

basado en generadores sinusoidalespara el desplazamiento de los robots ápodos de los grupos

cabeceo-cabeceo y cabeceo-viraje. Hemos confirmado que este método es válido para el desplaza-

miento de robots reales. Además, se han mostrado las relaciones experimentales entre los parámetros

de los generadores y el paso dado por el robot y se han comparado con las fórmulas teóricas propues-

tas.

Finalmente, para permitir a otros investigadores continuar este trabajo o repetir ellos mismos estos

experimentos,hemos empleado sólo tecnologías libresdentro de lo posible: todo el software utiliza-

do y el desarrollado por nosotros, el hardware diseñado y losmódulos creados son libres. Cualquiera

tiene las libertades de poder estudiar nuestros robots, construirlos, modificarlos y redistribuirlos.


Bibliografía

[1] I. González, J. González-Gómez, and F. Gómez-Arribas. Hardware libre: clasificación y desarrol-

lo de hardware reconfigurable en entornos GNU/Linux. InActas del VI Congreso de Hispalinux,

September 2003.

[2] J. González-Gómez and A. Prieto-Moreno. Hardware libre: la Tarjeta Skypic, una Entrenadora

para Microcontroladores PIC. InActas del I Congreso de Tecnologías del Software Libre, pages

57–66, 7 July 2005.

[3] R. Treviño. Entorno de simulación para el estudio de la locomoción de robots modulares. Proyec-

to fin de carrera. Escuela Superior de Informática. Universidad Politécnica de Madrid, 15 October

2007.

93

Documents

Experimentos · 2009-02-23 · Capítulo 1 Experimentos “Son vanas y están plagadas de errores las ciencias que no han nacido del experimento, madre de toda certidumbre.” –