MATERIALES DE ENSEÑANZA José Oscátegui

El Modelo AK Octubre 2009

Crecimiento endógeno empleando el modelo de Solow

Una restricción importante para entender la existencia de tasas de crecimiento económico

positivas en el largo plazo, es la función de producción neoclásica, Y = A Kα L1−α , 0<α< 1 , con

rendimientos marginales decrecientes de los factores de producción. Una función de producción

con estas características no es capaz de generar tasas de crecimiento de largo plazo del PBI

per cápita positivas, pues su producto marginal es decreciente.

Como esta función de producción puede expresarse en términos per cápita como y = A k α, si la

expresamos en términos de tasas de cambio tenemos

y¿

y= A

¿

A+ α

k¿

k .

En ausencia de cambio tecnológico, el primer término de la derecha sería cero. Como en el

largo plazo a lo largo de una trayectoria estable la tasa de crecimiento del capital no puede

exceder a la del producto, la única forma en que la ecuación podría ser satisfecha sería si la

tasa de crecimiento de largo plazo del producto y del capital son iguales a cero. En

consecuencia, en ausencia de cambio tecnológico la tasa de crecimiento del producto per capita

es cero.

Sin embargo, si la función de producción fuera

1) Y t = A K t

el crecimiento del producto per capita podría ser positivo en el largo plazo sin depender de la

evolución de la tecnología. Esto es así porque el exponente del capital es 1 (uno) por lo que el

producto marginal del capital es constante y no decreciente. Una crítica que se hace a la función

AK es que omite el trabajo. Sin embargo, si consideramos fuerza de trabajo calificada esta

puede ser considerada capital humano. Considerado así el trabajo, el término K incluiría tanto

capital físico como capital humano.

Las características de esta función son las siguientes:

a) exhibe retornos constantes a escala con homogeneidad de grado 1, pues

AK= Y, donde es el factor de variación del K.

b) presenta retornos marginales constantes al capital,

∂Y∂K

= A ;∂2Y∂K2

= 0.

c) no satisface las condiciones de Inada, pues el producto marginal del capital,

independientemente de la magnitud de este factor, es positivo y siempre el mismo y el

producto marginal nunca converge a cero.

1

Si omitimos la optimización del consumidor, podemos presentar el modelo AK reemplazando en

la ecuación fundamental de Solow la función de producción de rendimientos marginales

decrecientes con la función AK.

Expresemos las ecuaciones en términos per capita, y = Y

L; k = K

L .

2 ) k¿

= sAk −( n+δ ) kde donde podemos obtener la tasa de crecimiento del stock de capital per capita.

3 ) k¿

k= s A −( n+δ )

Como se puede apreciar en la ecuación (3), este tasa de crecimiento es constante e

independiente del stock de capital acumulado. Podemos graficar la evolución de la acumulación

de capital.

Mientras sA > n+ la acumulación procederá a la misma tasa de manera permanente. Por esto,

la tasa de crecimiento del stock de capital en el largo plazo es la misma que en cualquier

momento, es decir, γ k = γ k

¿

.

Como el producto per capita es proporcional al stock de capital per capita, y=Ak, la tasa de

crecimiento del producto per capita será igual a la del capital. También, como

k¿

= sAk⏟S

− (n+δ ) k = Ak − c⏟y−c =S

−(n+δ) k

, entonces

k¿

k= A −( n+δ )− c

k . Por lo que, siendo

constante en el largo plazo la tasa de crecimiento del capital, la tasa de crecimiento del

consumo debe ser igual a la del capital. Por esto,

4 ) γc = γk = γ y = γ∗= sA − (n + δ )

Hay cinco diferencias importantes entre este modelo y el modelo neoclásico.

a) la tasa de crecimiento del producto per capita es positiva sin necesidad de que haya algún

factor exógeno que la haga posible.

b) la tasa de crecimiento puede variar si varían o la tasa de ahorro, s, o el factor de

productividad, A. Esta variación de la tasa de crecimiento será permanente y sostenible en

sA

n +

k

2

el largo plazo.

c) la economía siempre se encuentra en su equilibrio de largo plazo, en este sentido, no hay

dinámica de la transición porque no hay transición, la economía siempre crece a la misma

tasa, y el nivel del stock de capital acumulado no tiene efecto alguno sobre la tasa de

crecimiento, pues la función de producción tiene rendimientos marginales constantes.

d) como la tasa de crecimiento del capital no está relacionado con el stock de capital,

tampoco lo estará con el nivel del producto. Por esto, el modelo no predice convergencia

entre economías con niveles de ingreso diferentes, sino la mantención de las distancias que

pudieran existir, sea cual fuera el nivel de capital y de producto que hubiera en ellas.

e) las economías que hubieran perdido capital por cualquier motivo se encontrarán con

niveles de ingreso menores, esto no será recuperable pues, como dijimos,

independientemente del nivel de capital que posean su tasa de crecimiento será la misma.

Si había alguna distancia con respecto a economías mas ricas, esa distancia se agrandará

permanentemente.

f) con la tecnología Ak no es posible que haya inversión en exceso, es decir, no es posible

que se presente la “ineficiencia dinámica”. Veamos.

En el modelo de Solow, la regla dorada (RD) dice que f ' (k )−δ = n cuando k = kRD¿

. Por

esto, si k > kRD¿

tendremos que n > f '(k )−δ = r , siendo r la tasa de retribución al capital.

Pero, como en el modelo de Solow, el producto, Y, crece en el estado estacionario a la tasa

γY¿ = n , entonces, cuando hay ineficiencia dinámica tenemos que γY

¿ > r¿

.

En el modelo AK, r = A − δ en todo momento y también, por supuesto, cuando pensamos

en un estado estacionario, r¿ = A − δ . La tasa de crecimiento del producto per cápita, y, es

siempre constante e igual a la tasa de crecimiento del capital per cápita:γ y = γ k = sA − δ − n

.

Por esto, la tasa de crecimiento del producto, Y, será γY

¿ = γ y¿ + n= s A −δ

. Por lo tanto,

nunca puede presentarse que γY¿ = s A −δ > A − δ = r¿

, ya que para que esto ocurra la tasa

de ahorro, s, tendría que ser mayor que 1.

El modelo AK con optimización del consumidor

El modelo de crecimiento conocido como AK puede desarrollarse asumiendo la existencia de

un consumidor que busca maximizar su utilidad. Esto conduce a que tanto la condición de

transversalidad, ecuación (7.a), como la ecuación de Euler, ecuación (8.1), en el modelo de

Ramsey, sean las mismas en este modelo que presentamos.

La gran diferencia se encuentra en la especificación de la función de producción. Esta puede

formularse como Y = A K. En términos per-cápita tenemos

3

1) y = f (k )= Ak , A > 0

Como ya fue mencionado, puede observarse que para esta ecuación no se cumplen las

condiciones de Inada, pues si bien la primera derivada es mayor que cero, f´(k) > 0, esta

derivada no tiende a cero a medida que k, sino que permanece siendo A. Con respecto a la

segunda derivada, esta no es negativa sino cero. Es decir, para esta función no existen retornos

decrecientes.

Siguiendo el mismo procedimiento seguido para el modelo anterior, de la maximización de

beneficios puede hallarse que f´(k) - = r, ó, lo que es lo mismo, que r = A - .

La variable k puede ser considerada como un término que incluye capital humano (entendido

como trabajadores calificados) y físico, y que en la producción no se requiere de trabajo no

calificado. El retorno para ambas formas de capital sería el mismo, mientras que el pago al

trabajo no calificado, w, sería cero.

Manteniendo la misma función de utilidad que se utilizó en el modelo de Ramsey, pero

introduciendo los valores de r = A - ; w = 0 dentro de la restricción presupuestaria de flujo,

obtenemos para esta última la siguiente función

Esta ecuación 2, también puede escribirse como

de modo que la ecuación 2 también podría ser escrita como,

2 .a) k¿

k= s A − (n+δ )

Como la función de producción es y = Ak, la tasa de crecimiento del producto y del stock de

capital serán iguales. Mirando la ecuación (2.a) puede verse que entre dos países con iguales

funciones de producción, el país que tiene una tasa de ahorro mayor tendrá tasas mayores de

crecimiento del capital y del producto. Sin embargo, como el producto marginal del capital es el

mismo para ambos países, no habrá razón para que el capital se desplace del país con mayor

capital al otro país por el hecho de que alguno de ellos tenga un stock de capital mayor. Es

decir, el modelo no predice convergencia en niveles de ingreso y capital per-cápita.

Formulando el Hamiltoniano, como en el modelo anterior de Ramsey, el consumidor maximizará

su utilidad sujeto a la restricción presupuestal dinámica.

3 ) U =∫0

∞

u (c t ) e−(ρ−n )t dt

4

2 ) k t

¿

= (A − δ − n) k t − ct

k¿

= Ak − c − (δ + n) k , pero Ak − c = S ≡ sy = sAk

2 ) k t

¿

=( A−δ−n )k t −ct ; k0 > 0 , c t >0 para todo t

Formulando el Hamiltoniano:

4 ) H t = u (ct ) e−( ρ−n )t + λ t [(A−δ−n)k t − ct ]

Las condiciones de primer orden para la maximización de la utilidad son,

4 .1 ) u ' (ct ) e−(ρ−n) t − λ t = 0

4 .2 ) λ¿

t =−∂H∂ k t

=−λt ( A − δ −n)

4 .3 ) limt→∞

[ λt k t ]= 0. Esta es la condición de transversalidad.

De 4.1 y 4.2 obtenemos la ecuación de Euler, que nos indica cuál es la trayectoria óptima del

consumo,

5 ) c¿

c≡ γ c =

A−δ−ρθ

De la ecuación 4.1 sabemos que λ t = λ0 e−∫

0

t

( A−δ−n) dv

, podemos normalizar λ0 = 1. Introduciendo

esta ecuación en la condición de transversalidad obtenemos,

6 ) lim

t→∞[ e

−∫0

t

(A−δ−n ) dv

k t ]= 0

La ecuación (5) resulta de considerar que si bien en el modelo AK el producto marginal, que es

la retribución al capital, r, es igual a A y es constante, el producto marginal neto de depreciación

es (A - ) = r . Resolviendo la ecuación (5) resulta

que nos dice que mientras la economía sea suficientemente productiva, i.e. A > ( + ), el

consumo crecerá permanentemente a lo largo del tiempo, independientemente del stock de

capital acumulado.

¿Cómo evolucionará el capital a lo largo de la trayectoria estable?

Si vemos la ecuación (2), el crecimiento permanente del consumo –como lo muestra la ecuación

(7)- podría ser un problema para la acumulación de capital, que podría incluso volverse

negativa.Veamos.

Reemplazando la ecuación (7) en la ecuación (2), obtenemos

8 ) k¿

= ( A − δ − n ) k − c0 e1θ

[ A−δ−ρ] t

Resolvemos la ecuación (8) aplicando el factor de integración

5

7 ) c( t ) = c0 e1θ

[ A−δ−ρ ] t

e−(A−δ−n ) t k¿

− e−( A−δ−n) t ( A−δ−n) k =− c0 e−( A−δ−n) t e1θ( A−δ−ρ) t

Esta ecuación puede escribirse como

9 )∂ [e−( A−δ−n ) t k t ]

∂ t=− c0 e

−[ ( A−δ−n) − 1θ

( A−δ− ρ) ] t

.

La expresión del exponencial del lado derecho de la ecuación 9, es

ϕ = [( A−δ−n ) − 1θ

(A−δ−ρ ) ], que puede ser reescrita como

ϕ ≡(θ−1 )

θ(A − δ ) + ρ

θ− n

, y

es positiva.1

Integrando la ecuación 9, obtenemos,

e−( A−δ−n) t k t=− c0∫ e− ϕ t dt = − c0e− ϕ t

−ϕ+ κ

Multiplicando toda la ecuación por e−(A−δ−n ) t

obtenemos

k ( t )= κ e( A−δ−n ) t −c0

−ϕe(A−δ− ρ) t

θ

(recuerden el valor de φ),

que si la evaluamos en t=0, obtenemos

cons tan te≡ κ = (k 0ϕ−c0 ) ,

Por lo tanto, podemos escribir

10 ) k ( t ) = (k 0ϕ−c0 ) eA−δ−n) t +c0

ϕe

( A−δ−ρθ

) t

Sustituyendo la ecuación (10) en la ecuación (6), obtenemos una expresión más desarrollada de

la CTV,

6 .1) limt→∞

[cons tan te + (c0

ϕ) e− ϕ t ] = 0

Tal como se puede verificar, el término exponencial en la CTV tiende a cero cuando t , lo

cual obliga a que el término constante de la ecuación 6.1 sea igual a cero, pues de otro modo

no se cumpliría la CTV. Con este resultado y el de la ecuación (7), la ecuación (10) se convierte

en

k ( t ) =

c0

ϕe

( A−δ− ρθ

) t≡

c ( t )ϕ , que podemos escribir de la manera que sigue

1 En la ecuación 12 vemos que (ρ − n) > ( 1

θ) ( A−δ− ρ) − A+δ+ ρ

es la condición para que la utilidad no sea infinita en

tiempo finito. Con un poquito de álgebra podemos obtener 0 > ( 1

θ) ( A−δ− ρ) − A+δ+n =

(1−θ)θ

) (A−δ)−ρθ+n

. Por

lo tanto, [(θ−1)

θ) ( A−δ )+ ρ

θ−n ] >0

.

6

11 ) c ( t ) = ϕ k ( t )

Esta ecuación nos dice que a lo largo de la trayectoria óptima el consumo es proporcional al

stock de capital, y que la tasa de crecimiento del consumo será igual a la tasa de crecimiento

del capital,

c¿

c= k

¿

k . Esto lo escribimos como k = c, cuyo valor es el de la ecuación (5).

Con este resultado ya no tenemos que preocuparnos por la acumulación de capital.

Diferenciando la función de producción tampoco es difícil hallar que k = y.

A diferencia del modelo de Solow donde teníamos rendimientos marginales decrecientes acá

son constantes, y la tasa de crecimiento del producto en el largo plazo (y del consumo y capital),

es positiva γ y

¿ = γ c¿ = γ k

¿

> 0.

Cuál es esta tasa?. Esta tasa es la de la ecuación (5), γ c = A−δ− ρ

θ> 0

Una condición adicional para la estabilidad del modelo

Como en este modelo, a diferencia del modelo de Ramsey, el crecimiento del consumo es

permanentemente mayor que cero podría llevar al consumidor a tener utilidad infinita en tiempo

finito. Por esto, es necesario establecer las condiciones para que esta tasa no sea de tal

magnitud que nos lleve a enfrentar ese problema. Si sustituimos la ecuación (7) en la función de

utilidad obtenemos

12) U =∫0

∞

e−(ρ−n ) t {c0

(1−θ )e( 1−θ

θ) [ A−δ−ρ ] t

− 1

1 − θ}

En la ecuación (12) tenemos dos funciones exponenciales, una con exponente de signo positivo

y otra de signo negativo.2 En el largo plazo, la utilidad convergirá asintóticamente a cero si

predomina el término con signo negativo. Es decir, si

( ρ − n ) > ( 1−θ

θ) ( A−δ−ρ )

la utilidad no se hará infinita en tiempo finito. Sumando ( n + δ )a ambos lados obtenemos

δ + ρ > [ 1 − θθ

] [ A − δ − ρ ] + n + δ , que considerando que la economía debe ser

suficientemente productiva, puede escribirse como

2 En la función de utilidad que estamos analizando hay dos exponenciales, uno con signo negativo y el otro con signo positivo. El que tiene el signo negativo hace que la utilidad finalmente converja a cero, mientras que el otro hace que el consumo crezca (siempre que A>+n+), con lo que la utilidad pueda explotar hacia un valor infinito. Entonces, para evitar valores infinitos los parámetros que están en el primero deben ser mayores que los que están en el segundo. Es decir, + > [(1-)/] [A- -]+n+.

7

13 ) A> δ + ρ > [ 1 − θθ

] [ A − δ − ρ ] + n + δ

¿Por qué es importante que existan condiciones que garanticen que la utilidad no se volverá

infinita en tiempo finito?

Por que en la realidad no se encuentra, como casos representativos, que los agentes se

encuentren totalmente satisfechos y que aún tengan recursos que podrían gastar. Lo que

hallamos es que, por lo general, los agentes, están constreñidos por su restricción

presupuestaria. Pero, si pudieran tener utilidad infinita en tiempo finito, no tendrían restricción

presupuestaria, pues aún cuando su corriente de ingresos continuaría ellos ya estarían

satisfechos. El modelo no serviría para modelar humanos tal como los conocemos. Hasta los

agentes más ricos están constreñidos por su presupuesto, no pueden comprar todo lo que

quisieran.

En este modelo la tasa de ahorro bruto también es constante. Para hallarla sólo es necesario

recordar que K = k.L, también que Y = y.L, y luego sólo un poco de trabajo.

14 ) s ( t )= K + δ K¿

Y=

k¿

k+ n + δ

yk

=γ k + n + δ

A

Como γ k = γc = A − δ − ρ

θ , podemos escribir

15 ) s ( t )= A − δ − ρ + θ n + θ δθ A

Es interesante observar que la tasa de ahorro bruto depende de los mismos parámetros de los

que depende la tasa de crecimiento del capital per-cápita. Pero, también observamos que

depende positivamente de la tasa de crecimiento de la población. Es decir, en este modelo,

tasas mayores de crecimiento de la población no afectan la tasa de crecimiento de la

economía, pero reducen el consumo per-cápita. Sin embargo, también incrementan la

tasa de ahorro de la economía. Este incremento de la tasa de ahorro puede explicarse como

una respuesta necesaria para mantener constante la tasa de crecimiento del capital per-cápita.

Como se ve en la ecuación (3) la tasa de crecimiento de la población no tiene ningún efecto

sobre las tasas de crecimiento del producto, consumo, y capital per-cápita.

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