2010 Ayuda Memoria.algebra Lineal

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AYUDA MEMORIA DE ESPACIOS VECTORIALES EN R n Dr. Rolando Morales Anaya. Junio 2010

1. Introducción

Esta Ayuda Memoria trata de operaciones que se pueden hacer en conjuntos de n-uplas denúmeros reales. Estos conjuntos se escriben E=R n . Cada elemento de este conjunto estáconformado por n números reales; por ejemplo, si n=3, x={2,1,4} es un elemento de R 3.Por convención, se escribe estos elementos en forma de una lista vertical de números. Porejemplo:

4

1

2

x

También por convención, estos elementos son llamados vectores en R n.

Vectores especiales:

Vector uno: se trata de un vector cuyas componentes son todas iguales a 1.Vector cero: se trata de un vector cuyas componentes son todas iguales a 0.Vector unidad j: se trata de un vector cuyas componentes son iguales a cero, salvo la j-iésima que es igual a 1.Vector unitario: se trata de un vector cuya suma de elementos al cuadrado es igual a 1.

2. Operaciones con vectores

Las operaciones básicas entre vectores son la suma y la multiplicación por un número.Ambas están definidas a partir de operaciones realizadas individualmente en cada una delas componentes de los vectores.

2.1 Suma

9

0

3

6

2

2

3

2

1


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2

2.2 Mu ltip lic ación po r un núm ero (llamad o tam bi én esc alar)

15

10

5

3

2

1

5

2.3 Com binación l ineal

Una combinación lineal de un conjunto de vectores es un nuevo vector obtenido por sumasy multiplicaciones por escalares de los vectores contenidos en ese conjunto. Por ejemplo, elvector y=a 1x1+a2x2 donde x 1 y x 2 son vectores en R

n y a 1, a2 son dos números (o escalares)es una combinación lineal de los vectores x 1, x 2. El vector siguiente es una combinaciónlineal de los dos vectores de los cuales es función

18

2

10

6

2

2

3

3

2

1

4

2.4 Dependencia e independ encia l ineal

Sea E=[x 1, x2,...x m] un conjunto de vectores en R n.

Si ninguno de estos vectores puede expresarse como combinación lineal de los otros,entonces se dice que estos vectores son linealmente independientes (se abrevia LIN).

Si alguno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los otros, entonces estosvectores no son LIN.

Al interior de un conjunto de m-vectores puede que el número máximo de vectores LIN sear. Ello significa que el resto de los vectores son combinaciones lineales de ellos.

Ejemplos

Vectores linealmente independientes

5

2

0

4

......

3

1

2

0

....

3

0

2

1


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3

Obsérvese que si los vectores son lienealmente independientes, una relación del tipo:

λ1x1+ λ2x2 + λ3x3 = 0 implica λ1= λ2= λ3=0

Vectores linealmente dependientes

9

1

6

2

....

3

1

2

0

....

3

0

2

1

Si los vectores son linealmente dependientes, una relación del tipo λ1x1+ λ2x2 + λ3x3 = 0 puede darse sin que todos los λi sean simultáneamente iguales a cero.

3. (Sub-) Espacio vectorial en R n

Un (sub)-espacio vectorial asociado al conjunto de vectores E=[x 1, x2,...x m] es (pordefinición) el conjunto de combinaciones lineales que se puede realizar con los vectoresque pertenecen a E. Se dice que E es el conjunto generador de ese espacio que (sinlimitación alguna) se lo llamara V (u otra cosa).En fórmulas, puede escribirse:

V = {v / v= a 1x1 +a2x2,..+.a mxm para todos los valores posibles de los a j, j=1,m }

Acorde con la definición todo espacio vectorial contiene el vector cero.

La dimensión del espacio vectorial es igual (por definición) al número máximo de vectoresLIN en E (o, en forma equivalente, en V).

Si un conjunto E=[x 1, x2,...x m] o un conjunto generado por E no contiene todas suscombinaciones lineales no es un espacio vectorial.

4. Representación gráfica

Los vectores en R n son puntos en un espacio n-dimensional.

Los espacios vectoriales son líneas en R 1, planos en R 2 , hiperplanos en R n que pasan por elorigen.


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5

La distancia euclidiana es un tipo de distancia particular usada en espacios vectoriales deltipo R n, pero, el concepto de distancia es mucho más amplio y es aplicado a diferentesconjuntos o espacios. Se lo introduce a través de la siguiente axiología:

d(x,y)=d(y,x)

d(x,y)=0 si y solamente si x=yd(x,y)


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6

15

10

5

..........

1

2

1

Si la media de los vectores x,y es igual a cero, cos(x,y) es igual al coeficiente de correlaciónlineal entre entre x,y. Si no es el caso, es suficiente de centrarlos a su media para llegar auna misma conclusión. Asociado a la idea de (in)dependencia lineal, se entiende lasignificación del coeficiente de correlación lineal.

6. Combinaciones lineales y matrices

6.1 MatricesUna matriz es una colección de vectores columna. Por ejemplo:

4....

1....

2....

6

5

2

A

Esta matriz tiene 3 línea y 2 columnas; puede ser considerada como un conjunto de 2vectores columna en R 3

Cuando se desea representar una matriz A escribiendo sus vectores columna como líneas,la nueva matriz s e denomina “transpuesta de A” y se escribe A’.

Matrices particulares

Matriz cero: contiene sólo cerosMatriz uno: contiene sólo unosMatriz identidad: es una matriz cuadrada con unos en su diagonal principal y 0 en el resto,

puede considerarse como una colección ordenada de vectores unidad-j.Matriz simétrica: matriz cuadrada donde las i-ésima línea es igual a la i-ésima columna; una

matriz simétrica es idéntica a su transpuesta.

La escritura matricial facilita mucho las operaciones con vectores.

Rango de una matriz

El rango de una matriz es igual al máximo número de vectores columna linealmenteindependientes que contiene (es equivalente a decir el máximo número de vectors linealinealmente independientes que contiene).

Traza de una matriz


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La traza de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos que se encuentran en sudiagonal principal.

6.2 Produ cto de una m atriz y un vector == com binación linealEl producto de una matriz por un vector es otra forma de escribir una combinación lineal delos vectores columna de esa matriz. Por ejemplo, sea A=[a 1, a2, ...a m] una matriz con n-líneas y m-columnas conformadas por los m-vectores a j. Sea x un vector en R m cuyascomponentes son {x 1, x2, ...x m}. El producto de la matriz A por el vector x es un nuevovector y:

y = Axy= x 1a1 + x 2a2 +....x mam

Es decir, es una combinación lineal de los vectores columna a 1, a2, ...a m de la matriz A.

6.3 Operaciones con m atrices

La suma de dos matrices A y B (del mismo número de líneas y del mismo número decolumnas) es otra matriz C=A+B donde sus elementos son c ij=a ij + b ij

El producto de un escalar λ por una matriz A es una nueva matriz donde todos suselementos han sido multiplicados por ese escalar.

El producto de una matriz A con n-líneas y m-columnas por una matriz B=[b 1, b2, 0 b k ] conm-líneas y k columnas es una nueva matriz C con n-líneas y k columnas donde suscolumnas c j son combinaciones lineales de las columnas de la matriz A. Es decir:

c j=Ab j, j=1,2,..k.

A veces es también útil representar el producto de dos matrices usando el producto escalar:

Si C=AB, y si se llama αi a las líneas de la matriz A y b j a las columnas de la matriz B, sedemuestra fácilmente que c ij= αi’b j (producto escalar de la i-ésima línea de A por la j-iésimacolumna de B).

6.4 Más m atric es par tic ul ares

Matriz inversa. Se dice que B es la matriz inversa de A si AB=BA=I donde I es la matrizidentidad. Generalmente, se escribe B=A -1. Sólo las matrices cuadradas de rango máximoadmiten un inverso.


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Matriz A ortogonal por columnas : es una matriz tal que el producto A’A da una matrizdiagonal. En otras palabras, es una matriz cuyos vectores columna son ortogonales entre sí.Si la matriz diagonal es igual a la matriz identidad, se dice que esta matriz es ortonormada.

Matriz A idempotente . Es una matriz que A’A = A

Proyector. Es una matriz simétrica e indempotente. Por ejemplo la matriz Q=A(A’A)-1Aes un proyector, donde A es una matriz nxm de rango igual a m.

6.5 Kern el o Núcleo de un a m atriz. Definición (su bes paciovectorial)

El núcleo o Kernel de una matriz está compuesto por todas las combinaciones lineales devectores x j tales que Ax j=0 donde 0 representa un vector lleno de ceros.

Se demuestra fácilmente que el Kernel de una nxm- matriz A de rango r, es un espaciovectorial de dimensión m-r.

Ejemplo:

9......3

6......2

3......1

A

Esta matriz es de rango 1, pues teniendo 2 vectores columna, el segundo es múltiplo del

primero. Un vector x que verifica Ax=0 es el vector siguiente:

1

3 x

Y, el Kernel de A es ker(A) = {v / v= λx, para todo escalar λ en R}

7. Ecuaciones lineales

Sea A una matriz mxn de rango r. Sea b un vector mx1. Se supone que A y b sonconocidos. Se llama sistema de ecuación lineal en x a la relación: Ax=b, donde x es unvector mx1 desconocido que se trata de determinar.

Un sistema de ecuaciones lineales puede no tener solución o tener varias soluciones. Sitiene una o más soluciones, una forma general de representarlas es la siguiente:

x j=x0 + v j


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Donde x 0 + v j es cualquier solución al sistema; los vectores v j conforman una Base para elKernel de A (es decir, son LIN, verifican Av j =0 y generan todo el ker(A)). Luego, existenn-r+1 soluciones de este tipo.

Un sistema de n-ecuaciones no admite solución, si sus n-ecuaciones no son compatiblesentre sí.

8. Formas bilineales

Sea V, W dos espacios vectoriales. Una aplicación g(x,y) de VxW en R, con x en V, y enW, se llama bilineal con relación a la matriz A si g(x,y)=x’Ay. Como podrá observarse,esta aplicación es lineal con relación a cada uno de sus argumentos.

Con V=W, x un vector en V y una matriz A simétrica, la aplicaci ón g(x,x)= x’Ax es unaforma cuadrática . Obsérvese que:

i j

ij ji a x x Ax x'

Algunas matrices tienen la importante propiedad de que todas sus formas cuadráticas sonsiempre positivas (x’Ax>0 para todo x). Se dice que estas matrices sondefinidas positivas .

De manera simétrica, si para todo vector x, x’Ax


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Hesiano . El Hesiano de la función f(x) es una matriz nxn conteniendo las segundasderivadas de la función f(x).

Jacobien . Es el determinante del Hesiano

Función cóncava . f(x) es cóncava en la vecindad V(x 0) si su Hesiano es una matrizdefinida negativa en esa vecindad.

Función convexa . f(x) es convexa en la vecindad V(x 0) si su Hesiano es una matrizdefinida positiva en esa vecindad.

Las dos definiciones siguientes son válidas para funciones continuas, dos veces derivablesal interior de un intervalo abierto.

Máximo . f(x) tiene un máximo en el punto x 0 si en ese punto grad f(x)= 0 y si en lavecindad V(x 0) su Hesiano es una matriz definida negativa.

Mínimo . f(x) tiene un mínimo en el punto x 0 si en ese punto grad f(x)= 0 y si en la vecindadV(x 0) su Hesiano es una matriz definida positiva.

10. Esperanza matemática; matriz de varianzascovarianzas

Sea X=(X 1, X 2,...X n)’ un vector conteniendo n-variables aleatorias. La EsperanzaMatemática de este vector es un vector cuyas componentes son las esperanzas matemáticasde cada una de estas variables: E(X)=(E(X 1), E(X 2),...E(X n))

E( ) es un operador lineal. Luego, verifica las dos propiedades siguientes:

E(aX) = aE(X) donde a es una constante

E(X+Y)= E(X) + E(Y)

E(XX’) es una matriz nxn cuyos componentes son E(XiX j).

La matriz de varianzas y covarianzas del vector aleatorio X es definida de la siguientemanera:

E(X-E(X))(X- E(X))’

Se trata de una matriz nxn cuyos elementos en la diagonal principal son las varianzas decada una de los componentes del vector X y en el resto se encuentran las covarianzas. Conalguna frecuencia, se abrevia esta matriz con alguna letra griega mayúscula, por ejemplo,Σ, Ω, Φ etc. Si la abreviación es Σ, sus elementos son σij. Obsérvese que entonces:


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Sea Q una matriz simétric a, definida positiva, de rango r

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