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Primer Recuperatorio del primer parcial

Tema B - 03/07/2013 - Primer Cuatrimestre 2013

Anlisis Numrico !7"#12 $"#0%& ' Curso nro# (

Ejercicio nro. 1

Dado el siguiente sistema lineal bxA . Se pide lo siguiente:

0,117

0,083

0,167-

0,20,250,333

0,250,3330.5

0,3330.51

3

2

1

x

x

x

a) Hallar la solucin del sistema mediante el mtodo de Gauss sin pivoteoutilizando una grilla de punto flotante de 3 dgitos significativos y redondeosimtrico. !" puntos).

Resp)#ara resolverlo primeramente e$presaremos la matriz como matriz ampliada de3$%.

117,02,025,0333,0

083,025,0333,05,0

167,0333,05,01~A

&o se pide efectuar intercam'ios de filas ya (ue de'emos resolverlo por Gauss sinpivoteo.alculamos los multiplicadores y efectuamos las operaciones para de*ar ceros enla primera columna+ modificando los elementos de la matriz , ampliada:

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173,00556,0117,0167,0333,0117,0

089,0111,02,0333,0333,02,0

083,0167,025,05,0333,025,0

167,00835,0083,0167,05,0083,0083,0167,025,0333,05,025,0

083,025,0333,05,05,0333,0

333,01/333,0/

5,01/5,0/

)1(

1431

)1(

34

)2(

34

)1(

1331

)1(

33

)2(

33

)1(

1231

)1(

32

)2(

32

)1(

1421

)1(

24

)2(

24

)1(

1321

)1(

23

)2(

23

)1(

1221

)1(

22

)2(

22

1

11

1

3131

1

11

1

2121

GG

GG

GG

GG

GG

GG

amaa

amaa

amaa

amaaamaa

amaa

aam

aam

173,0089,0083,0333,0167,0083,0083,05,0

167,0333,05,01~ 2A

,-ora calculamos los multiplicadores y efectuamos las operaciones para de*arceros en la segunda columna+ modificando los elementos de la matriz , ampliada:

006,0167,0173,0167,01173,0

006,0083,0089,0083,01089,0

00,1083,0/083,0/

)2(2432

)2(34

)3(34

)2(

2332

)2(

33

)3(

33

)2(

22

)2(

3232

GG

GG

G

amaa

amaa

aam

006,0006,01333,0

167,0083,0083,05,0

167,0333,05,01~ 3A

,-ora (ue la matriz , aumentada fue triangulada puede encontrarse la solucinpor sustitucin inversa:

101,101,1

01,11/01,11/505,05,0

50,0333,0167,01/01,1*5,01*333,0167,0/)(

083,0/084,0083,0/083,0167,0083,0/1*083,0167,0/)(

1006,0/006,0/

1

11212313141

22323242

33343

x

x

axaxaax

axaax

aax

GG

G

GG

G

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Se encontr la solucin (ue dista de la predic-a como solucin. l error a'solutoen "x"resulta ser de /+/!.

') 0tilizar la solucin de a) con la misma grilla para aplicar refinamiento iterativo.

!" puntos).Resp)n este caso se puede utilizar la descomposicin de la matrizAen producto dematrices L y U+ de forma tal (ue PA=LU. #ara este caso particular la matriz depermutaciones resulta ser P=Id+ con lo cual (ueda#rimeramente utilizaremos la do'le precisin para calcular el residuo1Gr!/+2+)+rd4).

00083,0

00167,0

005,0

11617,0

08133,0

172,0

117,0

083,0

167,0

12,001,125,001,1333,0

125,001,1333,001,1*5,0

1333,001,15,001,1*1

117,0

083,0

167,01

01,1

01,1

2,025,0333,0

25,0333,05,0

333,05,01

117,0

083,0

167,0~

r

r

xAbr

&otar (ue luego de calcular el residuo (ued dentro de la grilla 1Gr!/+3+)+rd4.Grilla en la cual efectuaremos las operaciones de sustitucin directa e inversa apartir de las matrices 5 y 0 -alladas en el punto anterior:

yxU

rLy

rxLUrxALUA

xAxxAxAAxxAbr

)~(~~

Donde las matrices 5+ 0 y # son:

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00083,0

00167,0

005,0

006,000

083,0083,00

333,05,01

11333,0

015,0

001

r

U

L

6esolvemos por sustitucin directa e inversa o'teniendo el:

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0,00167-0,000691-00973,0

00973,01/00973,01/00417,000556,01/00417,0000556,0005,0

1/0,00833-5,00,00167-333,0005,01/5,0333,0005,0

-0,00833083,0/-0,000691083,0/000139,000083,0

083,0/0,00167-083,000083,0083,0/083,000083,0

-0,00167006,0/00001,0

00001,0

00083,0

005,0

006,000

083,0083,00

333,05,01luego

00001,000083,000084,000083,000167,000083,0

00083,0*1005,0333,000083,01333,000083,0

00083,00025,000167,0

005,05,000167,05,000167,0

005,0

00083,0

00167,0

005,0

11333,0

015,0

001

1

231

2

32

3

3

2

1

3

213

2

12

1

3

2

1

x

x

xxx

x

xx

x

x

x

x

yxU

y

yyy

y

yy

y

y

y

y

rLy

GGG

GG

GGG

GG

G

GG

GG

GG

G

,-ora me*oramos la solucin de a):

0,998110,00167-0,00833-00973,0101,101,1~ xxx

c) Sa'iendo (ue el n7mero de condicin de , es de 8//+ y con los resultados dea) y ') indicar si es facti'le o'tener una estimacin del 9,) y si dic-aestimacin es 'uena.

omparar los resultados de a) y ') con la solucin e$acta tx 111st; el sistema mal condicionado< $pli(ue. !/ puntos).

Resp)

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5a estimacin del n7mero de condicin de la matriz ser;:

101001,1

00973,010~)(

33

x

xAK

. Sin em'argo esta estimacin no es 'uena.

='tendra una me*or estimacin con m;s dgitos en la mantisa.

Desde ya (ue el sistema est; mal condicionado por(ue 800)( AK + el cual esmuy distinto al valor estimado.,dem;s la solucin me*orada es distinta del verdadero valor.

Sin em'argo 01,0

xxa y 002,0 xxb + con lo cual resulta me*or la

apro$imacin por refinamiento.

Ejercicio nro. 2

,pli(ue los dos mtodos (ue se enuncian a continuacin para -allar el cero de

2)ln()( 22 xxxf con una e$actitud de 410 . Determine el intervalo de

convergencia de am'os mtodos para (ue se satisfagan las condiciones del >#?.0tilice en am'os casos 20 x :

a) @ediante la funcin de iteracin de punto fi*o 2)ln()( 2 xxg . / puntos).

Resp)#rimero de todo calculemos algunos valores considerando (ue la diferencia entre

dos iteraciones sea menor (ue 510 . 5gicamente (ue ello no indica (ue la

diferencia con el verdadero valor sea menor (ue 410 pero nos dar; una pauta del

valor verdadero.

77375,1

77376,1

77377,177382,1

77396,1

77441,1

77581,1

78025,1

79436,1

84019,1

2

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

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, partir de estos c;lculos podemos determinar un intervalo dentro del cual caerantodos los puntos de la sucesin y dic-o intervalo podra ser por e*emplo) A!B C.

,-ora verifi(uemos (ue satisface todas las condiciones del teorema del punto fi*o.

i) la funcin 2)ln()( 2 xxg es continua en dic-o intervalo por ser

suma+ cuadrado y composicin de funciones continuas+ y al ser ellogaritmo de valores mayores a ! ser;n siempre positivos+ con lo cual la

funcin ser; siempre creciente con un mnimo en 41421,12 y un

m;$imo en 84019,12)4ln( .

ii) omo ya se indic g(x) es creciente por(ue

02)ln(

1

2)ln(

21

2

1

2)ln(

2)ln(

2

12)ln()(

22

2

2

22

xxx

xx

x

xxxg

en el intervalo A!BC. on esto se puede determinar (ue

2184019,141421,121:

g por ser una funcin montonacreciente.

iii) &os falta ver (ue la g(x)es de 5ipsc-itz y (ue dic-a constante es menor(ue ! en el intervalo A!BC. 5a g'(x) es decreciente+ con

70711,02)1ln(1

1)1(

2)ln(

1)(

22

gxx

xg y

27171,02)2ln(2

1)2(

2

g y el valor m;$imo ser; en !+ con lo

cual ! " 170711,0)(max21

###

xgLx

on estas tres condiciones vemos (ue la g$) satisface las tres condiciones delteorema del punto fi*o con lo cual e$iste un 7nico punto fi*o de la g$) en el

intervalo A!BC. Dic-o punto fi*o lo -emos determinado y vale 77375,1$ . >am'inpodemos determinar el orden de convergencia y la constante asinttica del error a

partir de la derivada de g$) en el punto fi*o: 031784,02)ln(

1

2%

$$$g

con lo cual el orden de convergencia es ! y la constante asinttica del error vale/+3!E8%.

') @ediante el mtodo de &eFton6ap-son. !" puntos).Resp)#rimero escri'imos la funcin de iteracin mediante el mtodo de &eFton6ap-son:

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x

x

xxx

xf

xfxxgNR 2

2

2)ln( 22

alculamos algunos valores considerando (ue la diferencia entre dos iteraciones

sea menor (ue

5

10

. 5gicamente (ue ello no indica (ue la diferencia con elverdadero valor sea menor (ue 410 pero nos dar; una pauta del valor verdadero.

77375,1

77375,1

77400,1

79543,1

2

4

3

2

1

0

x

x

x

x

x

, partir de estos c;lculos podemos determinar un intervalo dentro del cual caerantodos los puntos de la sucesin y dic-o intervalo podra ser por e*emplo) A!+"B C.

,c-icamos el intervalo por(ue el valor ! genera inconvenientes de continuidad conla funcin en el denominador.

,-ora verifi(uemos (ue satisface todas las condiciones del teorema del punto fi*o.

i) la funcin

xx

xxxxgNR 2

2

2)ln( 22

es continua en dic-o intervalo

por ser suma+ cuadrado y composicin de funciones continuas. See$cluy el punto $! por el inconveniente del denominador.

ii) 5a funcing(x)posee un mnimo en el punto fi*o+ siendo decreciente de!+" al punto fi*o y creciente del punto fi*o a . , continuacin los valoresm;s representativos de la funcin de iteracin de &eFton6ap-son vistacomo una funcin de iteracin de punto fi*o:

25,183656,1

5,1

25,12

2)5,1ln(5,15,15,1

22

&

NRg +

25,179543,1

2

222

2)2ln(222

22

&

NRg y

25,177375,1

77375,1

277375,12

2)77375,1ln(77375,177375,177375,1

22

&

NRg

. 5a derivada de la funcin de &6 (ueda

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2

222

22

222)ln(

xx

xxx

xf

xfxfxgNR + siendo

58337,05,1

NRg

+

17047,02

NRg

y

077375,1

NRg .

6esultaclaro (ue dic-o punto fi*o es una raz de multiplicidad ! de la f$)+ ya (ue

042,22

277375,1 %$

$$f . #or todo lo e$puesto

25,183656,177375,125,1: NRg .iii) &os falta ver (ue la g(x)es de 5ipsc-itz y (ue dic-a constante es menor

(ue ! en el intervalo A!+" C. 5a g'(x)es creciente+ siendo su m;$imovalor en mdulo el de la derivada en !+"+ con lo cual

! " 158337,0)(max21

###

xgLx

on estas tres condiciones vemos (ue la g$) satisface las tres condiciones delteorema del punto fi*o con lo cual e$iste un 7nico punto fi*o de la g$) en el

intervalo A!+" C. Dic-o punto fi*o lo -emos determinado y vale 77375,1$ .>am'in podemos determinar el orden de convergencia y la constante asintticadel error a partir de la derivada de g$) en el punto fi*o:

02

2

222)ln(

2

222

$$

$$$

$NRg con lo cual el orden de convergencia es

al menos y la constante asinttica del error vale

545,0

222

22

2

2

$$

$$NRgCA.

Ejercicio nro. 3

a) Dadas las siguientes % condiciones+ se pide -allar el polinomio interpolante demenor grado (ue las satisface+ calculando con dic-o polinomio #/+"). !"

puntos).

Resp)

5-2-1

000

)()( )1( xfxfx

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#lanteamos la solucin mediante el mtodo de las diferencias divididas+ para lo

cual tomamos 021 xx y 143 xx . Se usar; " dgitos decimales para las

cuentas. ntonces las diferencias divididas ser;n 021 xfxf + 243 xfxf + 0, 121 xfxxf y 5, 343 xfxxf . ,-ora -ago

los c;lculos: 20102,

23

2332

xxxfxfxxf +

201

02,,,,

13

2132321

xx

xxfxxfxxxf +

301

25,,,,

24

3243432

xx

xxfxxfxxxf y por 7ltimo

101

23,,,,,,,

14

3214324321

xx

xxxfxxxfxxxxf . on estos valores

calculados podemos e$presar el polinomio interpolante como:

223

143212132112113

121001002000

,,,,,,

xxxxxxxxxxP

xxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxP

alculamos 375,05,05,05,0 23 P . I esto es todo lo pedido en la partea). De'eramos c-e(uear (ue el polinomio satisface las % condiciones. Se de*acomo parate del e*ercicio.

b) Sa'iendo (ue34 3)( xxxf + calcular el error verdadero y la acotacin del

error para el punto $/+". !/ puntos).

Resp)l error verdadero es tan solo plantear

0625,03125,0375,05,05,0 3 PfErr .#ara la cota del error planteamos la frmula:

'

(4

1

4

34 k

kxxf

xPxfErr )

y calculamos las % derivadas de la f$):

2334 94)(3)( xxxfxxxf + seguimos calculando

24)(24)(1824)(1812)( 44322 )fxfxxfxxxf .

,-ora especializamos la frmula en 5,0x + con lo (ue nos (uedar;:

''

((4

1

224

1

4

3 062,015,005,05,024

24

45,05,0

k

k

k

k xxxf

PfErr )

.&otar (ue coinciden el error verdadero y la cota del error+ esto de'ido a (ue laderivada cuarta de la f$) es constante en todo el intervalo.

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