7/23/2019 [2013-1] Primera Prueba Catedra

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PRIMERA PRUEBA ECUACIONES DIFERENCIALES MA382 (18 abril 2013)

1. Resuelva la ecuación diferencial (15 ptos.)

(2x2y2 2x3y + 4x2)dx + (4x3y x4)dy = 0;   (1)

buscando un factor integrante de la forma  (z) con  z  =  x2.

Solución

Multiplicando (1) por (z),

(z)(2x2y2 2x3y + 4x2)dx + (z)(4x3y x4)dy = 0;   (2)

entonces, (z) con  z  =  x2, será factor integrante si

@ 

@y[(z)(2x2y2 2x3y + 4x2)] =

  @ 

@x[(z)(4x3y x4)]

(z)(4x2y 2x3) =   0(z)dz

dx(4x3y x4) + (z)(12x2y 4x3)

(z)(8x2y + 2x3) =   03y x4):

)   (z)(4xy + x2) = 03y x4) ) 0(z)

(z)  =

 4yx + x2

4x3y x4  =

 (4y x)

x2(4y x) =

 1

z

) 0(z)(z)   = 1z  ) d(z)(z)   = 1z   dz  )   ln((z)) = ln(z)  )   (z) = eln(z) = z1 (12 pun

Así, un factor integrante es   (z) = z1 = x2.

Reemplazando (z) = x2 en (2), se tiene la ecuación exacta

(2y2 2xy + 4)dx + (4xy x2)dy = 0

Entonces, existe F (x; y) tal que

@F 

@x  = 2y2 2xy + 4; : : : (3)

  @F 

@y  = 4xy x2; : : : (4)

Integrando (3) con respecto a x, se obtiene

F (x; y) = 2xy2 x2y + 4x + (y)   : : : (5)

1

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Derivando (5) con respecto a  y  e igualando a (4), se tiene

4xy x2 + 0(y) =  @F @y

  = 4xy x2 )   0(y) = 0  )   (y) = 0:

Reemplazando (y) = 0  en (5):   F (x; y) = 2xy2 x2y + 4x  y la solución general dela ecuación (1) es

2xy2 x2y + 4x =  C:   (3 puntos)

2. Resolver la ecuación ( 10 ptos.)

dy

dx =

  4

xy + x

p y;   (6)

Solución

La ecuación (6) se puede escribir como

dy

dx 4

xy =  xy1=2 (7)

que corresponde a una ecuación de Bernoulli con  n  = 1=2:

Multiplicando (7) por y1=2 obtenemos

y1=2 dy

dx 4

x y1=2 = x:   (8)

De…nimos z  =  y1=2 , entonces tenemos  dz

dx =

 12

 y1=2 dydx

:  Reemplazando en (8),

2dz

dx 4

x z  =  x   ) dz

dx 2

x z  =

 x

2  )   dz 2

x z dx =

 x

2 dx   (5 puntos)   (9)

que es una ecuación lineal de primer orden.

Factor integrante para (9):   (x) = eR   2

x dx = e2 ln(x) = x2.

Multiplicando (9) por (x) se obtiene  d(x2 z) = x1

2  dx   e integrando se tiene

x2 z  = 1

2 ln(x) + C; )   ln(x) = 2 x2 z + C   )   x = C e2 x2

z

y reemplazando z  =  y1=2, la solución general de (6) es

x =  C e2 x2p y:   (5 puntos)

2

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3. Encontrar, la solución general de la ecuación: (15 ptos.)

(3x2y y3)dx (x3 3xy2)dy = 0 (10)

Solución

Denotando M (x; y) = 3x2y y3 y N (x; y) = x3 + 3xy2, para todo   real se tiene

M (x;y) = 3(x)2(y) (y)3 = 3(3x2y y3) = 3M (x; y);

N (x;y) = (x)3 3(x)(y)2 = 3(x3 3xy2) = 3N (x; y);

entonces  M (x; y)   y   N (x; y)  son funciones homogéneas de grado 3, así(10) es unaecuación diferencial de coe…cientes homogéneos.

Haciendo el cambio de variable v  =  y=x, se tiene y  =  vx; dy  =  vdx + xdv,

y reemplazando en la ecuaciónm (10), se obtiene

(3x3v x3v3)dx (x3 3x3v2)(vdx + xdv) = 0

(3v v3)dx (1 3v2)(vdx + xdv) = 0

(3v v3 v + 3v3)dx (1 3v2)xdv   = 0

(2v + 2v3)dx (1 3v2)xdv   = 0

2v(1 + v2)dx (1 3v2)xdv   = 0;

entonces1

xdx 1 3v2

2v(1 + v2)dv = 0 ) 1

xdx (1 + v2) 4v2

2v(1 + v2)  dv = 0

luego,

1

xdx (

 1

2v  2v

1 + v2)dv = 0   e integrando,   ln(x) 1

2ln(v) + ln(1 + v2) = C;

así,

lnxv1=2(1 + v2)

 =  C 

 )  xv1=2(1+v2) = C;  ( sino incluye valor absoluto, se descuenta  1

y reemplazando v  =  y=x, la solución general de (10) es

x(y

x)1=2(1 +

 y2

x2) = C:

3

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4. Un tanque contiene originalmente 1000 litros de una solución agua-mineral, con

una concentración de   0:3   kg/lit. Se hace ingresar al tanque agua que contiene0:4  kilogramos de mineral por litro, con una rapidez de  30   lit/hora, y la soluciónabandona el tanque con una velocidad de  40   lit/hora. Determinar la cantidad demineral y la concentración en el tanque después de  50  horas. (20 ptos.)

Solución

X (t) es la cantidad de mineral en el tanque en el instante  t.

Datos:

Volumen inicial V  (0) = 1000  litros

Concentración inicial C (0) = 0:3 y como C (0) =   X (0)V  (0) , entonces

X (0) = C (0)V  (0) = 0:3(1000), entonces   X (0) = 300  kg

Concentración de entrada   ce = 0:4 kg=lit

Velocidad de entrada   ve = 30 lit=hora

Velocidad de salida   vs = 40 lit=hora

Volumen   V  (t) = V  (0) + t(ve vs), entonces   V  (t) = 1000 10 t

Hallar   X (50) =?,   C (50) =?

Modelo:d X 

d t

  =   vece 

vsX 

V  (t)

, reemplazando los datos se tiene que resolver la ecuación

diferencial lineal:

d X 

d t  = (0:4)(30) 40

  X 

1000 10 t  ) d X 

d t  = 12 4

  X 

100   t

dX  +  4

100   t X dt = 12 dt   (10 puntos) (11)

Factor integrante para (11):   (t) = eR 

  4

100t = e4 ln(100t) = (100 t)4.

Multiplicando (11) por  (t), se tiene   d((100 t)4X ) = 12 (100 t)4 dt

e integrando se obtiene

(100t)4X  = 4(100t)3+C  )   X (t) = 4(100t)+C  (100t)4:(5 puntos) (

Aplicando la condición X (0) = 300  en (12):

300 = X (0) = 400 + C  (100)4 ) 100 = C  (100)4 )   C  = (100)3;

4

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y reemplazando en (12),

X (t) = 4(100 t) (100)3(100 t)4:   (13)

En t  = 50  de (13) se tiene

X (50) = 4(50) (100)3(50)4 = 200 (2)3(50) = 200 25

4  =

 775

4  = 193:75

La cantidad de mineral en el tanque despues de 50 horas es 193. 75 kilogramos.

Ahora, como V  (50) = 1000 10(50) = 500  y X (0) = 193:75, entonces

C (50) =

 X (50)

V  (50)   =

 193:75

500   =

 1:9375

5   = 0:3875;   (5 puntos)

entonces, la concentración en el tanque despues de 50 horas es 0.3875 kilogramos demineral por litro.

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