Ejercicio 3:

Datos del Ejercicio: Sistema: Alemn Cuota 11: $7.137,90 Cuota 12: $6.902,28 Cantidad de Cuotas (n) = 12 bimestrales

Datos a calcular: Tasa de inters nominal anual (TNA) Importe del prstamo (Vo). Monto Total de intereses abonados ( I ). Cmo calcular la tasa de inters nominal anual? Para poder calcular este punto, tenemos que tomar los tres nicos datos que nos dan. Sabemos que trabajamos con un sistema de amortizacin alemn en donde, por definicin se cumplen los siguientes aspectos:

Cuota de Amortizacin = Valor del prstamo

Cantidad de Cuotas

I = p x Vo x i x 1 - (p 1)

2 x n

Siendo p la cantidad de cuotas abonadas hasta un determinado momento

Ejercicio 3:

Nosotros tambin sabemos que la Cuota 11 = $7.137,90 y que la Cuota 12 = $6.902,28

Cuota 11 = Cuota 12 la reduccin de intereses originada por haber amortizado una cuota de capital adicional.

Expresado de otra manera: $7.137,90 = $6.902,28 + m * i Tambin podemos decir que la cuota 11 es el monto de amortizacin (el cual no cambia para ninguna cuota) ms los intereses de ese perodo. $7.137,90 = m + I Re-expresado y haciendo uso de la frmula anterior, podramos decir lo siguiente: $7.137,90 = m + (12 m 10 m) * i $7.137,90 = m + 2 m * i

1

2

Ejercicio 3:

Qu pasa si trabajamos con las expresiones 1 y 2 obtenidos del paso anterior?

$7.137,90 = $6.902,28 + m * i

$7.137,90 = m + 2 m * i

1

2

m * i = - 235,62

$7.137,90 = m + 2 * 235,62

Formamos una tercer expresin que quedara expresada de la siguiente manera:

3

m = $6.666,66

Con esto yo puedo calcular los siguientes valores:

Tasa de Inters: $7.137,90 = $6.902,28 + 6.666,66 * i

i = 0,035343

Monto del prstamo: $6.666,66 * 12

Vo = $79.999,92

Dado que esta tasa es efectiva bimestral, para calcular la TNA efectiva a 60 das: i = 0,035343 x 360

60

= 0,212058

Ejercicio 3:

Con esto ya contestamos las primeras dos preguntas: la tasa de inters del prstamo, y el monto de $ que me prestaron para la adquisicin del automvil. Vamos por el clculo de los intereses pagados durante toda la operacin. Como habamos mencionado, la cuota para calcular todos los intereses, es la siguiente:

I = p x Vo x i x 1 - (p 1)

2 x n

Siendo p la cantidad de cuotas abonadas hasta un determinado momento. Como en este caso nos piden los intereses durante las 12 cuotas pagas, p termina siendo igual a n.

I = n x Vo x i x 1 - (n 1)

2 x n

Reemplazamos los valores:

I = 12 x $79.999, 92 x 0,035343 x 1 - (12 1)

2 x 12

I = $18.378,3416

Ejercicio 3:

En el ltimo enunciado, me hablan de unas nuevas condiciones de emisin del prstamo que incluyen: Gastos de otorgamiento que ascienden al 3% de Vo. Gastos incluidos en la cuota por $350,00

Para poder resolver este ejercicio, lo que tenemos que hacer es plantear el prstamo en su frmula inicial, y avanzar con una interpolacin de tasas, tal como se expresa abajo:

Vo = C - r x (1 + i) - 1 - n x r x (1 + i)

i

n

i i

- n

Vo = $79.999,92 - $79.999,92 x 0,03

Vo original Gastos de Otorgamiento

Vo = $77.599,9224

Ejercicio 3:

Clculo de la Cuota 1 (C) para reemplazar en la frmula: Cuota 1 = m + Intereses de la primer cuota

Cuota 1 = $79.999,92 + $79.999,92 x 0,035343

12

Cuota 1 = $9.949,09717

Clculo de la razn de decrecimiento (r) para reemplazar en la frmula: r = m * i r = $6.666,66 * 0,035343 r = 235,6197644

Ejercicio 3:

Una vez calculados todos los valores, reemplazamos en la frmula original, teniendo en cuenta los $350,00 del seguro que se adicionan a cada cuota.

$77.599,9224 = ($9.949,09 + $350,00) - 235,6197 x (1+i) - 1 - 12 x 235,6197 x (1 + i)

i

12 - 12

i i

Dado que la tasa de inters est elevada a ms de un exponente, no nos queda otra alternativa ms que interpolar para obtener una tasa de inters efectiva aproximada. Como sabemos que tenemos costos asociados, la tasa de inters va a ser ms alta que la efectiva inicial del 3,5343%. Esto quiere decir que podramos utilizarla para obtener un Vo mayour a los $77.599,9224 y usarla en la interpolacin.

i = 0,035343 1

y reemplazo todas las i de la frmula de arriba, dejando como nica incgnita Vo.

Vo = 83.375,26986 1

Gastos

Ejercicio 3:

Utilizamos una segunda tasa de inters que me arroje un Vo mayor al original:

i = 0,06 2

Y sigo los mismos pasos que para i 1.

Vo = $73.027,2131 2

i - i = Vo - Vo 1 1

i - i = Vo - Vo 1 1 2 2

Ahora utilizamos la frmula de interpolacin de tasas para calcular la tasa que me pide el enunciado de la siguiente manera:

0,035343 - i = $83.375,26 - $77.599,92

0,035343 - 0,06 $83.375,26 - $73.027,21

Reemplazamos los valores:

Esto nos arroja una tasa i = 0,0491043

Ejercicio 3:

Como ltimo paso, tenemos que determinar la TNA, y la TEM de la tasa efectiva bimestral que acabamos de calcular.

La TNA para operaciones a 60 das = 0,0491043 * 360

60

TNA = 29,46258%

La TEM = (1+ 0,0491043) - 1 30/60

La TEM = 2,425793%