2014 iii 07 cocientes notables

1

Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2014-III

ÁLGEBRA “COCIENTES NOTABLES”

COCIENTES NOTABLES

Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales el cociente y el residuo de la división se obtienen sin mediar algoritmo correspondiente, o sea sin necesidad de efectuar la operación. La división es exacta (esto es, el resto es nulo). Estos casos especiales son de la forma general.

Donde: x, a son las bases

nN n2 Condiciones que deben cumplir a) Deben tener las bases iguales. b) Deben tener los exponentes

iguales.

Así: ax

ax nn

Numéricamente: ax

ax

1010

CASOS DE COCIENTES NOTABLES Existen cuatro casos de cocientes notables, que se determinan combinando convenientemente los signos; las cuales son:

ax

ax nn

;

ax

ax nn

; ax

ax nn

; ax

ax nn

PRIMER CASO: A. Cálculo del Resto: Por el

teorema del resto.

x-a = 0 x=a R=an-an=0

R=0 Esto indica que para cualquier valor entero de “n”, será siempre exacta por lo tanto es un cociente notable.

B. Cálculo del cociente: Donde “n” es par o impar Ejemplo: Calcular el cociente en forma directa de:

322344

axaaxxax

ax

Semana Nº 07

Tablilla

Babilónica

ax

ax nn

ax

ax nn

122321 .....

nnnnnnn

axaaxaxxax

ax

Lic. José Azañero – Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Rios Álgebra.

2


SEGUNDO CASO: A. Cálculo del resto: Por el teorema

del resto.

x-a=0 x=a R=an+an

R=2an0

Vemos que en éste caso para cualquier valor de “n” el resto es siempre diferente de cero por lo cual el cociente que se obtiene será siempre un cociente completo y nunca un cociente exacto.

B. Cálculo del cociente: Donde “n” es par o impar. Importante: Excluiremos el presente caso debido a que la división no es exacta, en consecuencia no es un cociente notable.

TERCER CASO: A. Cálculo del Resto: Por el teorema

del resto.

x+a=0 x=-a R=(-a)n+an

Si:n=# par R=an+an=2an0

(cociente completo)

Si:n=# impar R= -an+an=0 (cociente exacto):

B. Cálculo del cociente.- Donde “n” es impar. Ejemplo: Calcular el cociente en forma directa de:

43223455

axaaxaxxax

ax

CUARTO CASO: A. Cálculo del resto.- Por el teorema

del resto.

x+a=0 x=-a R=(-a)n-an

Si:n = # par =an-an=0 (cociente exacto)

Si:n = # imparR=-an-an=-

2an0(cociente completo)

B. Cálculo del cociente.-

Donde “n” es par.

Donde “n” es par.

122321 .....

nnnnnnn

axaaxaxxax

ax

ax

aaaxaxx

ax

ax nnnnn

nn

2.... 12321

ax

ax nn

ax

ax nn

122321 ...

nnnnnnn

axaaxaxxax

ax

ax

ax nn

122321 ...

nnnnnnn

axaaxaxxax

ax


3


FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables sin necesidad de conocer los demás: Sabemos que:

122321 ...

321

nn

t

n

t

n

t

nnn

axaaxaxxax

ax

Donde:

t1=xn-1=xn-1a° t2=xn-2a=xn-1a1 t3=xn-3a2=xn-3a2 t69=……..=xn-69a68

En General

Donde: K es el lugar pedido

N es el exponente de las bases en el numerador

El signo se colocará de acuerdo al caso que corresponda.

REGLA PARA EL SIGNO a) Cuando el divisor es de la forma

(x-a):

b) Cuando el divisor es de la forma (x+a) y si:

Ejemplo: En el cociente notable de:

yx

yx

6060

Hallar el término de lugar 15. Resolución: Recordando en

yx

yx nn

tk=xn-kyk-1

En el problema n=60 k=15

t15 = x60-15 . y15-1

t15=x45y14

LEYES DE UN COCIENTE NOTABLE

I. Si la división tiene la forma que origina un

cociente notable, el exponente que se repite en el dividendo indica el número de términos del cociente.

a) 100min#100100

ostérde

yx

yx

b) 64

506504

64

300200 )()(

yx

yx

yx

yx

# de términos = 50

II. El cociente se caracteriza por ser completo y ordenado respecto a sus bases; además de ser homogéneo respecto a las mismas.

III. El primer término del desarrollo se obtiene

dividiendo el primer término del dividendo entre el primero del divisor.

IV. A partir del segundo término los exponentes de

la primera base disminuyen de uno en uno, mientras que los de la segunda van aumentando de uno en uno.

tk= xn-k

ak-1

signo

; 1 k n

Todos son positivos (+)

K=# impar (positivo +)

K=# par (negativo -)


4


V. Si el divisor es un binomio diferencia (x-a) todos los términos del cociente serán positivos; pero si es un binomio suma (x+a) los términos del cociente serán alternados (los de lugar impar positivos y los de lugar par negativos).

VI. Solo cuando “n” es impar, las bases del

término central tendrán igual exponente.

Ejemplo:

654233245677

axaaxaxaxaxxax

ax

VII. Para calcular un término cualquiera contando

de derecha a izquierda, sólo basta con intercambiar las bases tanto en el numerador como en el denominador, para luego aplicar la fórmula del término general. Ejemplo: Calcular el término 35 contando a partir de derecha a izquierda del desarrollo de:

ax

ax

121121

Resolución: Intercambiando las bases:

xa

xa

121121

Luego: t35=a121-35x35-1=x34a86

VIII. Si: qp

nm

ax

ax

origina un cociente notable

Entonces se cumple: q

n

p

m

Además: q

n

p

m número de términos

Ejemplo: si 42

2001

yx

yxn

origina un

cociente notable, calcular el valor de “n”.

Resolución

Como origina un cociente notable:

4

200

2

1

n n+1=(50)(2)

n=100-1

n=99

1) Halla el término 5, luego de

desarrollar:

ax

ax 77

=

Solución:

t5 = x7-5 a5-1

t5 = x2a4

2) Calcula el número de términos en:

200100

20001000

yx

yx

Solución:

N° términos = 200

2000

100

1000 = 10

3) Halla “m” para que sea un cociente

notable:

33

51m3

2x

2x

Solución:

3

51

3

m3 17

m= 17

4) ¿Cuántos términos tiene el C.N?

54

m5m4

yx

yx

; si T5 es de grado 32.

PROBLEMAS RESUELTOS


5


Solución:

54

54

yx

yxmm

T5 = (x 4 ) m - 5 (y 5) 4

Luego : 4(m – 5) + 5(4) = 32

4m - 20 + 20 = 32

m = 8

Luego el C.N. tiene: 8 términos

5) Halla “n” y el número de términos del

C.N.

n2

4530

yx

yx

Solución:n

45

2

30 n = 3

Luego : 2

30 = 15 términos

6) Halla el 7° término del cociente:

yx

yx

1515

Solución:

t7 = x15-7 y7-1

t7 = x8 y6

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar el número de términos que

tendrá el siguiente producto:

1...

1.........

323334

323334

nnnn

nnn

xxxx

xxxP

a) 25 b) 40 c) 35 d) 30 e) 45

2. Hallar el valor numérico del término

central en el desarrollo de:

43

12737

mm

mm

yx

yx Siendo: 11 yx

a) 4096 b) 2048 c) 1024 d) 256 e) 1

3. Hallar el número de términos del

siguiente cociente notable:

......... 872678 yxyx

a) 15 b) 13 c) 30 d) 17 e) 34

4. Calcular el valor numérico del

término de lugar 25 del cociente

notable originado al dividir:

26

3233131

x

xx Para:

3

1x

a) 64 b) -1 c) 1 d) 729 e) 4096

5. Si la división:

x

xx1111

11

genera un cociente notable que tiene

un término de la forma: bxa 12 .

Halle: 22 ba

a) 13 b) 25 c) 37 d) 29 e) 41

6. Halle “n”, tal que:

;0300352 nn si la división:

2

11

1

1

yxxy

yxyxnnn

genera un

cociente notable. Donde: .Zn

a) 20 b) 15 c) -15 d) 10 e) -20

7. En el desarrollo del siguiente cociente

notable: 23

3451

xx

xx el número de

términos fraccionarios es:

a) 9 b) 6 c) 5 d) 8 e) 7

8. Si el desarrollo del cociente notable:

b

a

yx

yx

9

posee un término de la forma

rxy con ,Nb entonces el máximo

valor que puede admitir “ a ” es:

a) 45 b) 18 c) 63 d) 27 e) 36


6


9. Calcular el término de lugar 32 en el

siguiente cociente notable:

31

2

41

158

x

xx

a) x-4 b) x-3 c) x-2 d) x+4 e) x-8

10. Si la división:

22

4444

8 yxxy

yxyx

genera un cociente notable, calcular el

valor numérico del término central.

Para 12 yx

a) 620

b) 340

c) 320

d) 420

e) 820

11. Si el término “k” contando a partir del

extremo final del desarrollo del

cociente notable: 25

60150

yx

yx

tiene

como grado absoluto 91. Calcular el

grado absoluto del 2kT contando a

partir del primero.

a) 114 b) 118 c) 116 d) 106 e) 126

12. Sabiendo que e siguiente cociente

notable: 72 yx

yx pm

admite ser

desarrollado como término central a 70yxa

. Evaluar 203 mpJ

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. Calcular el mínimo valor de “k” de

manera que en el cociente notable:

;

1

ba

bam

mm mm

para (m = impar) el

grado absoluto del término que ocupa

el lugar “k” exceda en (4m-4) al grado

absoluto del término que ocupa el

lugar “k” contando desde la derecha.

a) 9 b) 10 c) 12 d) 11 e) 13

14. ¿Qué relación debe cumplir nk

para que la expresión sea un cociente

notable?

22

33

nkkn

knnkknnk

yxy

yyx

a) k/n =1 b) k/n = 2 c) kn=1 d) kn=2 e) 0

15. Si un término del cociente notable que

resulta de dividir: 23

mm

nmm

yyx

yx es

x12

. Hallar el valor de (m+n)

a) 51 b) 52 c) 53 d) 54 e) 55

16. Si: 20 18 2 11

10 9 8

... 1 1( )

... 1 1

x x x xE x

x x x x x

Hallar: E (-1/3).

a) -1/9 b) -1/3 c) 1 d) 3 e) 9

17. Simplificar:

78 76 74 240

38 36 34 2

... 1

... 1

x x x xE x

x x x x

a) 0 b) 1 c) 36x c)

41x e) 42x

18. Calcular el residuo de la división:

1997

11998 1997

a) 1 b) 0 c) 1996 d) - 1 e) N.A.

19. Hallar + en el cociente notable:

43 yx

yx

Si: 2812

7

96yx

t

t.t

a) 20 b) 84 c) 48 d) 36 e) N.A.

20. El cociente de:

x

1x

xx 168

Al ser expresado en forma de un cociente

notable tiene en su desarrollo un término

que no contiene a x. ¿Cuál es su posición?

a) to6 b) to5 c) avo16 d) ero3 e) N.A.


7


SUMATIVO 2011 III

21. En el cociente notable que se obtiene

de: 32

44

xx

xx bm

, el décimo término

contando a partir del final es

independiente de “x”. El número de

términos racionales enteros que

contiene dicho cociente notable, es:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

SUMATIVO 2012 I

22. Simplificar:

)xx1.(x...xxx1

x...xxx1 np2np

p)1n(p3p2p

p)1n2(p3p2p

a) np3x - 1 b) np3

x + 1 c) 1xp2

d) 1xp e) 1

SUMATIVO 2013 I

23. ¿ Qué lugar ocupa en el desarrollo del

cociente notable: 74

280160

yx

yx

el

término que tiene 252 como grado

absoluto.

a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35

SUMATIVO 2013 III

24. El término 21t en el siguiente

cociente notable: esa

aa,

11

220

2

a) a-2 b) a-1 c) a2-1 d) a

2+3 e) a

2-5

SUMATIVO 2014 I

25. El grado absoluto del décimo primer

término en el cociente que se obtiene

al dividir: esyx

yxn

nn

52

1523

a) 25 b) 28 c) 30 d) 32 e) 34

SUMATIVO 2014 II

26. Los términos 22252615 xaxa

pertenecen a un cociente notable; el

segundo está a dos lugares del

primero. El término central en dicho

cociente notable, es:

a) 1640xa b) 2420xa c) 2820xa

d) 2050xa e) 3050xa

SUMATIVO

27. Si la división:

21

6535

nn

nn

yx

yx es un

cociente notable, entonces el valor de

“n” es:

a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 10

SUMATIVO

28. Dado el siguiente cociente notable:

32

1523

yx

yx nn

, entonces el grado

absoluto del décimo primer término

en el cociente notable, es:

a) 28 b) 31 c) 34 d) 37 e) 39

29. Si el desarrollo de la fracción

irracional: 43 43

170

adopta la forma

de un CN muestre el noveno término

del mismo.

a) 413 b) 316 c) 414 d) 442 e) 480

30. Hallar el coeficiente del tercer término

del desarrollo de 42

163

12

x

x

a) 6 b) 4 c) 2 d) 1 e) -1

31. Hallar el número de términos

fraccionarios del desarrollo:

23

3045

xx

xx

a) 15 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6


8


32. Hallar el número de términos que

tiene el siguiente cociente notable:

22

2122

ax

axaxnn

a) 3 b) 7 c) 11 d) 17 e) 21

33. Determinar el término central en el

cociente notable:

axax

aax

22 22

1414

a) 66 axa b) 66 axa c) 1

d) 77 axa e) 77 axa

34. Luego de expresar:

n n

2

a b a b

ab b

Como una

división notable y siendo uno de los

términos de su cociente notable

5

2 22 a b . Calcular el valor de

“n”.

a) 12 b) 16 c) 17 d) 18 e) 20

35. Si: 66 7 5rx y

es el séptimo término

del desarrollo del C.N.:

11

p q

r

x y

x y

Indicar el término de lugar 5

contado a partir del extremo final.

a) 55 49x y b)

66 42x y c) 55 35x y

d) 44 56x y e)

5 66x y

36. Si 28px y ; 16 2( 6)px y son términos

equidistantes de los extremos en el

cociente notable de 4 7

m nx y

x y

, calcular

“m + n + p”

a) 225 b) 235 c) 245

d) 257 e) 322

37. Reducir:

22 20 18 218

2 2

... 1

( 1)( 1)

x x x xE x

x x x x

a) 6 3 1x x b)

12 6 1x x

c) 6 3 1x x d)

10 5 1x x

e) 12 6 1x x

38. Si:

112 10 8 6

24 20 16

... 1)( )

... 1

x x x xF x

x x x

Hallar: 2F

a) 257 b) 511 c) 25

d) 127 e) 510

39. Calcular m para que el término

independiente del cociente notable

13

5515

mxx

xmx

sea 64.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8

40. Hallar el término independiente

respecto a “x” en el C.N.

x

y)yx( nn si : n9

n10 yT

a) 4y b) 4y2 c) 4y3

d) 4y4 e) 4y5

41. En el cociente notable de:

22

5050

b2a2

baba

)()(

¿Qué valor adquiere el término central para:

a = 2

2x48

; b =

2

2x48

a) 2 b) 1/2 c) 2

d) 242 e) 48

2

Documents

2014 iii 07 cocientes notables